Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier
📝 Situation du Projet : Technicentre SNCF
Vous êtes Ingénieur Structure Senior au sein du bureau d'études spécialisé "MetalStruct Solutions", mandaté par la SNCF pour la réhabilitation du Technicentre de Hellemmes (Hauts-de-France). Ce site industriel historique assure la maintenance lourde des rames TGV et TER. Dans le cadre de la modernisation de la zone "Révision Moteurs", le maître d'ouvrage souhaite installer une nouvelle potence pivotante de levage sur un poteau en béton armé existant (file 14).
Cette potence est critique : elle doit permettre de soulever et de déplacer des blocs moteurs pesant plusieurs tonnes. Cependant, une contrainte géométrique majeure est apparue lors du relevé sur site : la présence d'une passerelle de maintenance existante et le passage des gaines de ventilation en plafond empêchent l'installation d'une potence standard centrée. Pour contourner cet obstacle, la conception technique impose de déporter le point d'accroche du palan latéralement par rapport à l'axe de la poutre principale. Ce décalage géométrique (excentricité) n'est pas anodin : il va générer un couple de torsion parasite permanent dans la poutre, un phénomène particulièrement défavorable pour les profilés ouverts en "I" ou "H" qui sont traditionnellement conçus pour résister à la flexion simple.
En tant qu'Expert Calcul, vous devez vérifier si le profilé IPE 300, initialement pré-dimensionné pour une flexion pure, est capable de résister à la combinaison complexe Flexion + Torsion imposée par cette contrainte de site. Vous devrez mener une analyse normative stricte selon l'Eurocode 3 pour valider la sécurité des opérateurs, en appliquant le critère de ruine de Von Mises au point le plus sollicité de la structure.
"Attention, ne sous-estimez pas la torsion ! Sur un profilé ouvert comme un IPE, la contrainte de cisaillement due à la torsion uniforme (Saint-Venant) peut rapidement devenir prépondérante et s'ajouter aux contraintes de flexion. Vérifiez impérativement le critère de Von Mises au point le plus critique de la section (jonction âme-semelle ou bord de semelle)."
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif, matériel et géométrique du projet. Ces données sont extraites du CCTP (Cahier des Clauses Techniques Particulières) et des normes Eurocodes en vigueur pour la construction métallique en France.
📚 Référentiel Normatif Applicable
Le dimensionnement doit respecter scrupuleusement les règlements européens suivants :
NF EN 1993-1-1 (Eurocode 3) RDM Classique (Théorie des Poutres)Note : La norme NF EN 1993-1-1 impose des coefficients partiels de sécurité sur le matériau (\(\gamma_{M0} = 1.0\)) pour les vérifications de résistance des sections de classe 1, 2 ou 3.
Le choix s'est porté sur l'acier S355 (anciennement E36), un acier de construction standard à haute limite élastique, couramment utilisé pour les éléments structurels soumis à des efforts importants dans les bâtiments industriels. Ses propriétés isotropes sont les suivantes :
| PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES | |
| Limite Élastique (Yield Strength) | \(f_{\text{y}} = 355 \text{ MPa}\) (N/mm²) |
| Module de Young (Elasticité Longitudinale) | \(E = 210\,000 \text{ MPa}\) |
| Module de Coulomb (Cisaillement) | \(G \approx 81\,000 \text{ MPa}\) |
| Coefficient de Poisson | \(\nu = 0.3\) |
📐 Géométrie du Profilé & Chargement
Le profilé retenu est un IPE 300 (I à Profil Européen de hauteur 300mm). Ce type de poutre est optimisé pour la flexion selon son axe fort (inertie élevée) grâce à sa hauteur importante, mais sa section ouverte le rend intrinsèquement très souple et fragile en torsion.
- Longueur de la poutre (Portée libre) : \(L = 2,50 \text{ m}\)
- Force appliquée en bout de poutre : \(F = 35 \text{ kN}\) (35 000 N)
(Cette valeur inclut le poids du moteur de 3 tonnes + un coefficient dynamique de 1.15 propre aux appareils de levage). - Excentricité de la charge : \(e = 150 \text{ mm}\) (\(0,15 \text{ m}\))
(Distance latérale entre l'axe de l'âme de la poutre et le point d'application de la force).
⚖️ Hypothèses de Modélisation
Pour simplifier l'analyse tout en restant sécuritaire (approche conservative), nous posons les hypothèses suivantes :
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur de section | \(h\) | 300 | \(\text{mm}\) |
| Largeur des semelles | \(b\) | 150 | \(\text{mm}\) |
| Épaisseur de l'âme | \(t_{\text{w}}\) | 7,1 | \(\text{mm}\) |
| Épaisseur des semelles | \(t_{\text{f}}\) | 10,7 | \(\text{mm}\) |
| Moment d'inertie (Flexion forte) | \(I_{\text{y}}\) | 83 560 000 | \(\text{mm}^4\) |
| Module de flexion élastique | \(W_{\text{el},y}\) | 557 000 | \(\text{mm}^3\) |
| Constante de Torsion (Saint-Venant) | \(I_{\text{t}}\) | 201 200 | \(\text{mm}^4\) |
E. Protocole de Résolution
Pour garantir la fiabilité du dimensionnement, nous appliquerons une méthode rigoureuse de décomposition des efforts, du global vers le local.
Calcul du Torseur de Cohésion
Identification des efforts internes (Moments de Flexion et de Torsion) au point d'encastrement, section la plus critique.
Analyse de la Contrainte Normale
Calcul de la contrainte maximale générée par la flexion simple (Navier-Bernoulli) dans les fibres extrêmes.
Analyse de la Contrainte de Torsion
Évaluation de la contrainte tangentielle (cisaillement) due à la torsion de Saint-Venant.
Validation Von Mises
Combinaison des contraintes et comparaison avec la limite élastique de l'acier S355.
Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier
🎯 Objectif
L'objectif fondamental de cette première étape est de quantifier précisément les sollicitations internes qui règnent dans la matière au niveau de la section la plus critique de la poutre : l'encastrement (\(x=0\)). C'est en effet à cet endroit que le bras de levier est maximal, rendant la rupture ou la déformation plastique la plus probable. Nous devons traduire l'action mécanique de la force excentrée \(F\) (action extérieure) en efforts intérieurs (\(M\) et \(T\)) que le matériau devra combattre.
📚 Référentiel
PFS (Statique)Théorie des Poutres (Saint-Venant)Face à une charge excentrée, il est impératif de "ramener" les efforts au centre de gravité (\(G\)) de la section étudiée pour pouvoir appliquer les formules classiques de la RDM. En mécanique rationnelle, déplacer une force hors de sa ligne d'action crée un moment de transport. Ici, le déplacement de la force verticale \(F\) du point d'application (décalé de \(e\)) vers le centre de l'âme crée un couple de torsion pur. Simultanément, la distance longitudinale \(L\) crée un moment de flexion classique. Nous allons isoler la poutre et exprimer le torseur de cohésion en \(G\) (\(x=0\)) en utilisant la méthode de la coupe à droite ou l'équilibre global.
Le torseur de cohésion \(\{ \mathcal{T}_{\text{coh}} \}\) représente l'ensemble des efforts intérieurs transmis par la partie droite de la poutre sur la partie gauche à travers une section droite. Pour une force verticale excentrée, il se compose de trois éléments non nuls :
1. L'Effort Tranchant (\(V_z\)) : La force verticale qui tend à cisailler la section.
2. Le Moment de Flexion (\(M_{\text{f},y}\)) : Le couple qui fait courber la poutre autour de l'axe y.
3. Le Moment de Torsion (\(M_{\text{t}}\)) : Le couple qui fait vriller la poutre autour de son axe longitudinal x.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Force \(F\) | \(35\,000 \text{ N}\) (\(35 \text{ kN}\)) |
| Longueur \(L\) | \(2,5 \text{ m}\) |
| Excentricité \(e\) | \(0,15 \text{ m}\) |
Travaillez toujours en Newton (N) et en Mètre (m) pour les calculs de moments initiaux afin d'obtenir des Joule (ou N.m). Convertissez en N.mm uniquement à la toute fin, juste avant de diviser par des modules en \(\text{mm}^3\) ou \(\text{mm}^4\), pour éviter les erreurs de puissance de 10 intermédiaires.
📝 Calculs Détaillés
1. Détermination du Moment de Flexion Max (\(M_{\text{f},y}\)) :
Le moment de flexion est maximal à l'encastrement. Il correspond à l'intensité de la force multipliée par le bras de levier longitudinal. C'est l'effort "noble" pour lequel la poutre est conçue.
Ce moment de 87,5 kNm tend à courber la poutre vers le bas, mettant la semelle supérieure en traction et la semelle inférieure en compression.
2. Détermination du Moment de Torsion (\(M_{\text{t}}\)) :
Ce moment est généré exclusivement par le décalage géométrique de la charge. Contrairement à la flexion qui varie le long de la poutre, ce couple est constant sur toute la longueur.
Ce moment de 5,25 kNm tend à tordre la poutre autour de son axe longitudinal. Bien que 16 fois plus faible que le moment de flexion, son effet sur un profilé ouvert peut être dévastateur.
✅ Interprétation Globale
Nous avons réussi à décomposer l'action complexe de la charge excentrée en deux sollicitations simples. La poutre doit maintenant résister simultanément à une flexion importante (attendue) et à une torsion (parasite). La suite de l'étude consistera à vérifier si la matière peut supporter le cumul de ces deux efforts.
Le rapport des moments est de \( M_{\text{f}} / M_{\text{t}} = 2.5 / 0.15 \approx 16 \). Cela semble rassurer sur la prépondérance de la flexion. Cependant, ne nous y trompons pas : la rigidité torsionnelle d'un IPE étant extrêmement faible, un "petit" moment de torsion peut générer de "grandes" contraintes.
Ne confondez pas les bras de levier ! \(L\) correspond à la flexion (axe z), \(e\) correspond à la torsion (axe x). Une inversion ici conduirait à sous-estimer la flexion d'un facteur 16, ce qui serait catastrophique pour la sécurité de l'ouvrage.
🎯 Objectif
Nous devons maintenant traduire l'effort abstrait de flexion (le moment de 87,5 kN.m) en une grandeur physique concrète : la **contrainte normale** (pression interne) au sein du matériau. L'objectif est de calculer la valeur maximale de cette contrainte, notée \(\sigma_{\text{max}}\), qui se situe sur la "peau" de la poutre, c'est-à-dire dans les fibres les plus éloignées de l'axe neutre (les semelles supérieure et inférieure).
📚 Référentiel
Hypothèse de Navier-BernoulliLoi de Hooke (Élasticité)La flexion engendre une variation linéaire de la contrainte sur la hauteur du profilé : c'est l'hypothèse des sections planes qui restent planes. La contrainte est nulle au centre de gravité (axe neutre) et maximale aux extrémités. Pour un profilé doublement symétrique comme l'IPE 300, la contrainte de traction (en haut) est égale en valeur absolue à la contrainte de compression (en bas). Plutôt que de recalculer l'inertie \(I\) et la distance \(v\), nous utiliserons directement le **module de flexion élastique** \(W_{\text{el},y}\) fourni par le catalogue du constructeur, qui condense déjà ces deux paramètres géométriques.
La loi de Hooke relie la contrainte \(\sigma\) à la déformation \(\epsilon\) : \(\sigma = E \cdot \epsilon\). Or, en flexion pure, la déformation varie linéairement avec la distance \(y\) à l'axe neutre : \(\epsilon = -y / R\). On en déduit que \(\sigma = -E \cdot y / R\). En intégrant le moment résultant sur la section (\(M = \int \sigma y dA\)), on élimine \(R\) pour obtenir la célèbre formule de Navier.
Formule Contrainte Normale Max
Cette formule simplifiée est directement dérivée de \(\sigma = \frac{M \cdot v}{I}\) en posant \(W_{\text{el}} = I/v\).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Unité SI conv. |
|---|---|---|
| Moment \(M_{\text{f},y}\) | \(87\,500\) | \(\text{N.m}\) |
| Module \(W_{\text{el},y}\) | \(557\,000\) | \(\text{mm}^3\) |
Pour obtenir des **MPa (N/mm²)** directement en sortie de calcul, la méthode la plus sûre est de tout convertir en N et en mm.
Convertissez votre Moment : 1 N.m = 1000 N.mm.
Gardez le Module en mm³ tel quel.
📝 Calculs Détaillés
1. Conversion du Moment en N.mm :
Nous convertissons le moment de flexion pour assurer l'homogénéité avec le module de section en mm³.
La valeur est maintenant compatible avec le module de section.
2. Calcul de la Contrainte Normale Max :
Application numérique de la formule de Navier pour trouver la contrainte en fibre extrême.
Cela signifie que chaque millimètre carré de la semelle supérieure subit une traction de 157 Newtons.
✅ Interprétation Globale
La contrainte de flexion seule (157,1 MPa) est bien inférieure à la limite élastique de l'acier S355 (355 MPa). Le taux de travail en flexion pure est d'environ 44%. Si la poutre n'était soumise qu'à la flexion, elle serait largement dimensionnée et parfaitement sûre. C'est un résultat classique : un IPE 300 est très performant pour porter 3,5 tonnes à 2,5m.
L'ordre de grandeur est cohérent. Pour un acier de construction, on s'attend généralement à des taux de travail entre 50% et 90% pour une conception optimisée. Ici, nous sommes un peu bas, ce qui laisse de la "réserve" pour d'autres efforts... mais cette réserve sera-t-elle suffisante pour la torsion ?
Attention, cette contrainte est une contrainte normale (perpendiculaire à la section). Elle ne pourra pas être additionnée directement à la contrainte de torsion qui est une contrainte de cisaillement (tangente à la section). Il faudra utiliser un critère de combinaison spécifique (Von Mises) à l'étape 4.
🎯 Objectif
C'est l'étape critique et souvent sous-estimée. Les profilés en I sont très peu rigides en torsion. Le moment de torsion calculé précédemment va générer des contraintes de cisaillement (tangentielles) notées \(\tau\). Nous devons calculer la valeur maximale de ce cisaillement. Contrairement à un tube circulaire où la contrainte est uniforme sur le pourtour, dans un IPE, la torsion de Saint-Venant génère des pics de contrainte au milieu des grands côtés des parois (semelles et âme).
📚 Référentiel
Torsion de Saint-VenantAnalogie de la MembranePour un profilé ouvert à parois minces (comme un IPE), la contrainte de torsion ne se répartit pas "en rond" autour du centre. Elle se comporte comme un flux circulant le long des parois. La contrainte maximale est proportionnelle à l'épaisseur de la paroi. Pour un IPE, l'épaisseur des semelles (\(t_{\text{f}} = 10.7\text{mm}\)) est supérieure à celle de l'âme (\(t_{\text{w}} = 7.1\text{mm}\)). C'est donc dans les semelles que le cisaillement sera le plus violent. Nous utiliserons la formule simplifiée applicable aux sections ouvertes composées de rectangles allongés.
Pour une section ouverte composée de \(n\) rectangles de largeur \(b_i\) et d'épaisseur \(t_i\) (avec \(b_i \gg t_i\)), la constante de torsion \(I_{\text{t}}\) (ou \(J\)) est approximée par la somme des inerties de chaque rectangle :
C'est cette dépendance cubique à l'épaisseur \(t^3\) qui explique la très faible inertie des IPE comparée aux tubes fermés.
Contrainte Tangentielle Maximale
Avec \(M_{\text{t}}\) le moment de torsion, \(t_{\text{max}} = t_{\text{f}}\) l'épaisseur de la semelle, et \(I_{\text{t}}\) la constante de torsion.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Source |
|---|---|---|
| Moment Torsion \(M_{\text{t}}\) | \(5\,250 \text{ N.m}\) | Calcul Étape 1 |
| Constante Torsion \(I_{\text{t}}\) | \(201\,200 \text{ mm}^4\) | Catalogue IPE |
| Épaisseur Semelle \(t_{\text{f}}\) | \(10,7 \text{ mm}\) | Catalogue IPE |
Vérifiez bien l'unité de \(I_{\text{t}}\). Dans les catalogues, elle est souvent en \(\text{cm}^4\). Il faut la convertir en \(\text{mm}^4\) (x 10 000). Ici la donnée est déjà en \(\text{mm}^4\).
📝 Calculs Détaillés
1. Conversion du Moment en N.mm :
Homogénéisation des unités.
Prêt pour le calcul.
2. Calcul du Cisaillement Max :
On applique la formule en ciblant la semelle (\(t = 10,7\text{mm}\)), zone la plus épaisse.
Ce cisaillement agit "à plat" dans l'épaisseur de la semelle, tentant de faire glisser les couches d'acier les unes sur les autres.
✅ Interprétation Globale
C'est un résultat spectaculaire et inquiétant ! Remarquez le paradoxe : le moment de torsion (5 kNm) est 16 fois plus faible que celui de flexion (87 kNm), et pourtant il génère une contrainte (279 MPa) presque deux fois supérieure à celle de flexion (157 MPa). Cela démontre mathématiquement l'extrême inefficacité des poutres en I pour reprendre de la torsion.
Si nous comparons cette valeur à la résistance au cisaillement pur de l'acier (généralement \(f_{\text{y}} / \sqrt{3} \approx 205 \text{ MPa}\)), nous voyons que la torsion seule suffit déjà à ruiner la poutre (279 > 205). Avant même de combiner avec la flexion, la structure est en danger.
Dans ce calcul, nous avons négligé le "Gauchissement" (Torsion gênée). En réalité, l'encastrement empêche les sections de se voiler librement, ce qui ajoute des contraintes normales supplémentaires (\(\sigma_{\text{w}}\)). Notre approche est une simplification (torsion uniforme pure), mais le résultat catastrophique obtenu suffit déjà à invalider le profilé sans avoir besoin d'affiner davantage avec le gauchissement.
🎯 Objectif
Nous disposons maintenant de deux types de contraintes agissant simultanément au même endroit critique (dans la semelle supérieure, près de l'encastrement) : une contrainte normale de flexion \(\sigma\) et une contrainte de cisaillement de torsion \(\tau\). Nous ne pouvons pas les additionner arithmétiquement (on n'additionne pas des pommes et des poires). Nous devons utiliser un critère de plasticité pour calculer une "contrainte équivalente" scalaire que nous pourrons comparer directement à la limite élastique du matériau fournie par l'essai de traction.
📚 Référentiel
Critère de Von Mises (Énergie de distorsion)Eurocode 3Le critère de Von Mises est le standard pour les matériaux ductiles comme l'acier. Il représente l'énergie de distorsion accumulée dans le matériau. La formule générale en 3D est complexe, mais pour le cas d'une poutre (état plan de contrainte avec \(\sigma\) et \(\tau\)), elle se simplifie considérablement. Si la contrainte équivalente \(\sigma_{\text{vm}}\) dépasse la limite élastique \(f_{\text{y}}\), l'acier quitte le domaine élastique pour entrer en plasticité : il se déforme de manière irréversible et la ruine est imminente.
Le critère de Von Mises complet s'écrit :
Pour une poutre en flexion-torsion, le tenseur des contraintes ne contient que \(\sigma_{xx}\) (flexion) et \(\tau_{xy}\) (torsion). En injectant ces composantes, tous les termes s'annulent sauf \(\sigma^2\) et \(3\tau^2\), ce qui donne la forme elliptique simplifiée.
Contrainte Équivalente de Von Mises (Poutres)
Le facteur 3 devant \(\tau^2\) pénalise fortement le cisaillement.
📋 Données d'Entrée
| Contrainte | Valeur | Source |
|---|---|---|
| Normale (Flexion) | \(157,1 \text{ MPa}\) | Étape 2 |
| Tangentielle (Torsion) | \(279,2 \text{ MPa}\) | Étape 3 |
| Limite élastique | \(355 \text{ MPa}\) | Donnée S355 |
C'est le moment de vérité. Assurez-vous d'avoir bien élevé les contraintes au carré avant de faire la somme. Le cisaillement "compte triple" dans l'addition des carrés !
📝 Calculs Détaillés
1. Calcul de l'équivalent Von Mises :
On injecte les valeurs dans la formule quadratique.
Nous voyons ici que le terme de torsion (233 856) est 10 fois plus grand que le terme de flexion (24 680).
2. Résultat Final :
Extraction de la racine carrée pour obtenir la contrainte en MPa.
3. Calcul du Taux de Travail :
On compare la contrainte réelle à la capacité maximale du matériau.
Soit un taux de travail de 143%.
✅ Interprétation Globale
Le critère n'est pas vérifié. La contrainte équivalente dépasse la limite élastique de plus de 150 MPa. La poutre va subir une plastification immédiate et massive, menant potentiellement à un flambement local ou une rupture par fatigue oligocyclique très rapide. La structure est dangereuse et impropre au service.
Ce résultat confirme l'intuition de l'ingénieur expérimenté : le terme \(3 \cdot \tau^2\) dans la formule de Von Mises agit comme un "amplificateur" de la contrainte de cisaillement. Comme le cisaillement de torsion était déjà très élevé (279 MPa), son impact au carré multiplié par 3 écrase complètement la contribution de la flexion.
Il est formellement interdit de valider cette note de calcul. La solution technique (IPE 300) doit être abandonnée pour ce cas de charge. Il faut se tourner vers des profilés tubulaires fermés (Carrés ou Rectangulaires) qui possèdent une inertie de torsion \(I_{\text{t}}\) des centaines de fois supérieure à celle d'un IPE de même poids.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 24/10/2024 | Création du document / Première diffusion | Ing. Calcul |
- Eurocode 3 : Calcul des structures en acier
- Matériau S355 (Limite élastique 355 MPa)
| Moment Flexion \(M_{\text{y,Ed}}\) | \(87,5 \text{ kN.m}\) |
| Moment Torsion \(M_{\text{t,Ed}}\) | \(5,25 \text{ kN.m}\) |
Vérification des contraintes combinées (Flexion + Torsion) à l'encastrement.
L'Ingénieur Expert
Directeur Technique
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