Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir

Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir en Hydraulique

Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir en Hydraulique

Comprendre la Pression au Fond d'un Réservoir

La pression exercée par un fluide au repos (pression hydrostatique) est un concept fondamental en mécanique des fluides. Elle dépend de la masse volumique du fluide, de l'accélération due à la gravité, et de la profondeur du point considéré par rapport à la surface libre du fluide. Le calcul de la pression au fond d'un réservoir est crucial pour le dimensionnement de la structure du réservoir lui-même, ainsi que pour la conception des systèmes de vidange ou de raccordement. La force totale exercée par cette pression sur le fond est également une considération importante.

Données de l'étude

On considère un réservoir cylindrique à fond plat, ouvert à l'atmosphère, rempli d'huile.

Caractéristiques du fluide et de l'environnement :

  • Fluide : Huile
  • Masse volumique de l'huile (\(\rho_{\text{huile}}\)) : \(850 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)) : \(101.3 \, \text{kPa}\)

Caractéristiques du réservoir :

  • Hauteur de l'huile dans le réservoir (\(H\)) : \(3.5 \, \text{m}\)
  • Diamètre intérieur du réservoir (\(D\)) : \(2 \, \text{m}\)
  • Points d'intérêt pour le calcul de pression :
    • Point S : à la surface libre de l'huile.
    • Point M : à mi-hauteur de l'huile.
    • Point F : au centre du fond du réservoir.
Schéma : Réservoir cylindrique rempli d'huile
Surface libre (Huile) S M F (Fond) H = 3.5m H/2 D = 2m P atm

Réservoir cylindrique rempli d'huile avec indication des points de calcul.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression relative et la pression absolue au point S (surface libre de l'huile).
  2. Calculer la pression relative et la pression absolue au point M, situé à mi-hauteur de l'huile.
  3. Calculer la pression relative et la pression absolue au point F, au centre du fond du réservoir.
  4. Calculer l'aire du fond du réservoir (\(A_{\text{fond}}\)).
  5. Calculer la force hydrostatique résultante (\(F_{\text{fond}}\)) exercée par l'huile sur le fond du réservoir.
  6. Si le réservoir était fermé et soumis à une surpression de \(50 \, \text{kPa}\) à la surface libre de l'huile, quelle serait la nouvelle pression absolue au point F ?

Correction : Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir

Question 1 : Pression relative et absolue au point S (surface libre)

Principe :

À la surface libre d'un liquide ouvert à l'atmosphère, la pression relative est nulle par définition, et la pression absolue est égale à la pression atmosphérique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{rel}} = \rho_{\text{huile}} g h \] \[ P_{\text{abs}} = P_{\text{rel}} + P_{\text{atm}} \]

Où \(h\) est la profondeur par rapport à la surface libre.

Données spécifiques :
  • Point S : \(h_S = 0 \, \text{m}\) (à la surface)
  • \(P_{\text{atm}} = 101.3 \, \text{kPa} = 101300 \, \text{Pa}\) (conversion de kPa en Pa)
Calcul :

Pression relative au point S :

\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,S}} &= \rho_{\text{huile}} g h_S \\ &= 850 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 0 \, \text{m} \\ &= 0 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Pression absolue au point S :

\[ \begin{aligned} P_{\text{abs,S}} &= P_{\text{rel,S}} + P_{\text{atm}} \\ &= 0 \, \text{Pa} + 101300 \, \text{Pa} \\ &= 101300 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Pression relative au point S : \(P_{\text{rel,S}} = 0 \, \text{Pa}\)
  • Pression absolue au point S : \(P_{\text{abs,S}} = 101300 \, \text{Pa}\) (ou \(101.3 \, \text{kPa}\))

Question 2 : Pression relative et absolue au point M (mi-hauteur)

Principe :

La pression hydrostatique augmente linéairement avec la profondeur. Le point M est situé à une profondeur \(h_M = H/2\).

Données spécifiques :
  • Hauteur de l'huile (\(H\)) : \(3.5 \, \text{m}\)
  • \(\Rightarrow\) Profondeur du point M (\(h_M\)) : \(H/2 = 3.5 \, \text{m} / 2 = 1.75 \, \text{m}\)
  • \(\rho_{\text{huile}} = 850 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(P_{\text{atm}} = 101300 \, \text{Pa}\)
Calcul :

Pression relative au point M :

\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,M}} &= \rho_{\text{huile}} g h_M \\ &= 850 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1.75 \, \text{m} \\ &= 14578.875 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(14579 \, \text{Pa}\) (ou \(14.58 \, \text{kPa}\)).

Pression absolue au point M :

\[ \begin{aligned} P_{\text{abs,M}} &= P_{\text{rel,M}} + P_{\text{atm}} \\ &= 14578.875 \, \text{Pa} + 101300 \, \text{Pa} \\ &= 115878.875 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(115879 \, \text{Pa}\) (ou \(115.88 \, \text{kPa}\)).

Résultat Question 2 :
  • Pression relative au point M : \(P_{\text{rel,M}} \approx 14579 \, \text{Pa}\)
  • Pression absolue au point M : \(P_{\text{abs,M}} \approx 115879 \, \text{Pa}\)

Question 3 : Pression relative et absolue au point F (fond du réservoir)

Principe :

Le point F est au fond du réservoir, à la profondeur maximale \(H\).

Données spécifiques :
  • Profondeur du point F (\(h_F = H\)) : \(3.5 \, \text{m}\)
Calcul :

Pression relative au point F :

\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,F}} &= \rho_{\text{huile}} g H \\ &= 850 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 3.5 \, \text{m} \\ &= 29157.75 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(29158 \, \text{Pa}\) (ou \(29.16 \, \text{kPa}\)).

Pression absolue au point F :

\[ \begin{aligned} P_{\text{abs,F}} &= P_{\text{rel,F}} + P_{\text{atm}} \\ &= 29157.75 \, \text{Pa} + 101300 \, \text{Pa} \\ &= 130457.75 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(130458 \, \text{Pa}\) (ou \(130.46 \, \text{kPa}\)).

Résultat Question 3 :
  • Pression relative au point F : \(P_{\text{rel,F}} \approx 29158 \, \text{Pa}\)
  • Pression absolue au point F : \(P_{\text{abs,F}} \approx 130458 \, \text{Pa}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Si la hauteur H d'huile dans le réservoir est doublée, comment la pression relative au fond (Point F) change-t-elle ?

Question 4 : Aire du fond du réservoir (\(A_{\text{fond}}\))

Principe :

L'aire d'un disque (fond du réservoir cylindrique) est donnée par \(A = \pi r^2\) ou \(A = \frac{\pi D^2}{4}\).

Données spécifiques :
  • Diamètre intérieur du réservoir (\(D\)) : \(2 \, \text{m}\)
  • \(\Rightarrow\) Rayon intérieur du réservoir (\(r\)) : \(D/2 = 1 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\text{fond}} &= \pi r^2 \\ &= \pi \times (1 \, \text{m})^2 \\ &= \pi \, \text{m}^2 \\ &\approx 3.14159 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(3.142 \, \text{m}^2\).

Résultat Question 4 : L'aire du fond du réservoir est \(A_{\text{fond}} \approx 3.142 \, \text{m}^2\).

Question 5 : Force hydrostatique résultante (\(F_{\text{fond}}\)) sur le fond

Principe :

La force hydrostatique sur une surface plane horizontale est le produit de la pression en tout point de cette surface (qui est constante) par l'aire de la surface. Ici, la pression à considérer est la pression relative au fond.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{fond}} = P_{\text{rel,F}} \times A_{\text{fond}} \]
Données spécifiques :
  • Pression relative au fond (\(P_{\text{rel,F}}\)) : \(29157.75 \, \text{Pa}\)
  • Aire du fond (\(A_{\text{fond}}\)) : \(\pi \, \text{m}^2 \approx 3.14159 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{\text{fond}} &= 29157.75 \, \text{Pa} \times \pi \, \text{m}^2 \\ &\approx 29157.75 \times 3.14159 \, \text{N} \\ &\approx 91601.1 \, \text{N} \end{aligned} \]

Soit environ \(91.60 \, \text{kN}\).

Résultat Question 5 : La force hydrostatique résultante sur le fond du réservoir est \(F_{\text{fond}} \approx 91601 \, \text{N}\).

Question 6 : Nouvelle pression absolue au point F avec surpression

Principe :

Si le réservoir est fermé et soumis à une surpression à la surface libre, cette surpression s'ajoute à la pression atmosphérique pour déterminer la pression absolue à la surface. La pression hydrostatique due à la colonne d'huile s'ajoute ensuite à cette nouvelle pression de surface.

Données spécifiques :
  • Pression relative hydrostatique au fond (\(P_{\text{rel,F}}\)) (due à la colonne d'huile) : \(29157.75 \, \text{Pa}\) (inchangée)
  • Pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)) : \(101300 \, \text{Pa}\)
  • Surpression à la surface (\(P_{\text{surpression}}\)) : \(50 \, \text{kPa} = 50000 \, \text{Pa}\)
Calcul :

Nouvelle pression absolue à la surface (\(P'_{\text{abs,S}}\)) :

\[ \begin{aligned} P'_{\text{abs,S}} &= P_{\text{atm}} + P_{\text{surpression}} \\ &= 101300 \, \text{Pa} + 50000 \, \text{Pa} \\ &= 151300 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Nouvelle pression absolue au point F (\(P'_{\text{abs,F}}\)) :

\[ \begin{aligned} P'_{\text{abs,F}} &= P'_{\text{abs,S}} + P_{\text{rel,F}} \\ &= 151300 \, \text{Pa} + 29157.75 \, \text{Pa} \\ &= 180457.75 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit environ \(180.46 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 6 : Avec une surpression de \(50 \, \text{kPa}\) à la surface, la nouvelle pression absolue au fond du réservoir (point F) serait \(P'_{\text{abs,F}} \approx 180458 \, \text{Pa}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La force hydrostatique sur le fond d'un réservoir cylindrique dépend-elle de la forme des parois latérales du réservoir (pour une même hauteur d'eau et même diamètre de fond) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. La pression hydrostatique en un point d'un fluide au repos :

8. La pression absolue est égale à :

9. La force exercée par un fluide sur le fond plat d'un réservoir :

Glossaire

Pression Hydrostatique
Pression exercée par un fluide au repos en un point donné, due au poids de la colonne de fluide au-dessus de ce point. \(P = \rho g h\).
Pression Relative (Manométrique)
Pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique ambiante. Elle est nulle à la surface libre d'un liquide en contact avec l'atmosphère.
Pression Absolue
Pression totale par rapport au vide absolu. Elle est la somme de la pression relative et de la pression atmosphérique.
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'un substance par unité de volume (ex: \(\text{kg/m}^3\)).
Pascal (Pa)
Unité de mesure de la pression dans le Système International, équivalente à un Newton par mètre carré (\(\text{N/m}^2\)).
Force Hydrostatique
Force exercée par un fluide au repos sur une surface (immergée ou non). Sur une surface plane horizontale, elle est égale au produit de la pression sur cette surface par son aire.
Calcul de la Pression au Fond d’un Réservoir - Exercice d'Application

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