Étude des Forces dans les Barres d’une Structure
📝 Situation Géographique et Contraintes Environnementales
Le projet se situe dans la vallée encaissée de la Rivière Bleue, une zone classée Natura 2000 qui impose des contraintes écologiques strictes. L'ouvrage d'art projeté est une passerelle mixte piétons-cycles destinée à relier le nouveau quartier résidentiel des "Hauts-Prés" au centre-ville historique, enjambant le cours d'eau dont le lit mineur fait environ 8 mètres de large, mais dont le lit majeur inondable s'étend sur 15 mètres. Les sondages géotechniques ont révélé un sol de qualité médiocre (argiles limoneuses compressibles) sur les berges, nécessitant des fondations profondes (micropieux) sur lesquelles reposeront les culées en béton armé. L'accès au site est difficile pour les engins de levage lourds, ce qui a orienté le choix vers une structure métallique préfabriquée en atelier et assemblée par tronçons légers sur site.
🏭 Choix de la Typologie Structurelle
Pour répondre à la double exigence de légèreté (pour limiter les charges sur les fondations médiocres) et d'esthétique industrielle demandée par l'Architecte des Bâtiments de France, le bureau d'études a opté pour une poutre treillis de type Pratt. Cette configuration historique (brevetée en 1844) est particulièrement pertinente ici : sous les charges gravitaires verticales dominantes (poids propre + foule), les diagonales travaillent exclusivement en traction (évitant ainsi le flambement et permettant des sections plus fines) tandis que seuls les montants verticaux, plus courts, sont comprimés. Cela permet une optimisation significative de la matière par rapport à une poutre à âme pleine.
En tant qu'Ingénieur Structure Principal, vous avez la responsabilité de valider le prédimensionnement de l'ossature porteuse principale. Vous devez mener une analyse statique globale pour déterminer les efforts normaux (Traction/Compression) dans les membrures et les diagonales les plus sollicitées. Votre note de calcul doit démontrer sans ambiguïté la stabilité de l'ouvrage sous les charges d'exploitation maximales réglementaires, et justifier le choix des profilés commerciaux (tubes carrés formés à froid) vis-à-vis de la limite élastique de l'acier.
"Attention, pour cette étude préliminaire de faisabilité (Phase APD), nous simplifions le modèle en négligeant le poids propre des barres devant les charges d'exploitation intenses (foule compacte). Considérez impérativement les liaisons comme des rotules parfaites (modèle de treillis idéal sans moment secondaire). Soyez extrêmement rigoureux sur les signes des efforts : une erreur d'interprétation Traction vs Compression peut être fatale, car une barre comprimée risque le flambement bien avant d'atteindre sa limite élastique !"
Le modèle de calcul retenu est un treillis plan isostatique, reposant sur deux appuis simples aux extrémités. Les chargements sont modélisés comme étant appliqués exclusivement aux nœuds de la membrure inférieure, simulant l'action des entretoises du tablier transmettant les charges des piétons directement aux nœuds porteurs.
📚 Référentiel Normatif Applicable
L'étude doit se conformer strictement aux Eurocodes structuraux en vigueur :
📐 Géométrie Détaillée du Treillis
- Portée totale (\( L \)) : 12.00 m (Entre appuis \( A \) et \( E \))
- Hauteur (\( h \)) : 2.00 m (Distance axe à axe des membrures)
- Maille élémentaire (\( a \)) : 3.00 m (Largeur d'un panneau)
- Nombre de panneaux : 4 panneaux identiques
- Type de Diagonales : Configuration Pratt (Montants verticaux, Diagonales descendantes vers le centre)
⚖️ Hypothèses de Chargement (ELS)
Les charges sont considérées comme des actions ponctuelles appliquées aux nœuds de la membrure inférieure.
| Propriété | Symbole | Valeur | Unité | Commentaire |
|---|---|---|---|---|
| Acier de Construction | - | S355 JR | - | Acier à haute limite élastique pour réduire le poids propre. |
| Limite Élastique | \( f_{\text{y}} \) | 355 | MPa | Contrainte maximale avant déformation plastique permanente. |
| Module de Young | \( E \) | 210 000 | MPa | Module d'élasticité longitudinal de l'acier. |
| Section des Barres | \( A \) | 15.0 | cm² | Profilé Tube Carré (SHS) envisagé pour toutes les barres (simplification). |
E. Protocole de Résolution
Pour garantir l'intégrité structurelle de l'ouvrage, nous appliquerons une méthode rigoureuse d'analyse statique.
Équilibre Global
Isolement de la structure complète pour déterminer les réactions aux appuis (\( A \) et \( E \)) via le Principe Fondamental de la Statique.
Équilibre Local (Nœud A)
Application de la méthode des nœuds pour déterminer les efforts dans les barres de rive (Membrure \( AC \) et Diagonale \( AG \)).
Coupe de Ritter (Section Centrale)
Utilisation de la méthode des sections pour isoler et calculer les efforts dans les barres centrales critiques (Membrure supérieure \( GH \)) sans calculer tous les nœuds intermédiaires.
Vérification des Contraintes
Calcul de la contrainte normale (\( \sigma \)) dans la barre la plus sollicitée et comparaison avec la limite élastique de l'acier S355.
Étude des Forces dans les Barres d’une Structure
1. 🎯 Objectif
L'objectif premier de cette étape est de quantifier les actions mécaniques exercées par le sol sur la structure via les appuis \( A \) et \( E \). Cette étape est fondamentale : une erreur ici se propagerait à l'ensemble des calculs ultérieurs. Nous cherchons à équilibrer les charges extérieures (les forces \( P \)) par les réactions du sol pour garantir l'immobilité de la passerelle. Nous devons donc déterminer les composantes verticales et horizontales des réactions aux points de liaison avec les culées.
2. 📚 Référentiel
Principe Fondamental de la Statique (PFS)3. 🧠 Réflexion de l'Ingénieur
Nous sommes en présence d'un problème plan. Le système est isostatique : nous avons 3 inconnues de liaison (2 à l'articulation \( A \) qui bloque les translations \( X \) et \( Y \), 1 au rouleau \( E \) qui bloque uniquement la translation verticale \( Y \)) et 3 équations d'équilibre statique disponibles dans le plan. Cependant, l'ingénieur avisé remarquera immédiatement la symétrie parfaite du chargement et de la géométrie de la structure. Bien que nous puissions poser les équations formelles, la symétrie nous indique intuitivement que la charge totale se répartira équitablement entre les deux appuis.
4. 📘 Rappel Théorique : PFS
Pour qu'un solide indéformable soit en équilibre statique par rapport à un repère galiléen, deux conditions vectorielles doivent être simultanément remplies : la somme vectorielle des forces extérieures est nulle (empêche la translation) et la somme des moments est nulle (empêche la rotation).
5. 📐 Formules Clés : Moment Statique
6. 📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge unitaire \( P \) | 20 kN |
| Distance maille \( a \) | 3.0 m |
| Longueur Totale \( L \) | 12.0 m (4 x 3.0 m) |
7. 💡 Astuce d'Expert
Sur un problème parfaitement symétrique (géométrie ET chargement), vous pouvez affirmer directement que les réactions sont égales à la moitié de la charge totale. C'est un gain de temps précieux lors d'un pré-dimensionnement rapide ou en examen, mais il faut toujours justifier cette affirmation par le mot-clé "Symétrie".
8. 📝 Calcul Détaillé
Nous commençons par sommer toutes les charges gravitationnelles appliquées sur la structure pour avoir une idée de l'effort global à reprendre.
La structure doit reprendre un total de 60 kN (soit environ 6 tonnes). C'est cette force qui doit être compensée par les appuis.
8.2. Construction de l'Équation des Moments en ANous écrivons l'équation d'équilibre des moments en développant chaque terme force x distance.
L'équation est posée. Les moments des charges \( P \) sont négatifs (horaires) et le moment de la réaction est positif (anti-horaire).
8.3. Isolation et Calcul de \( R_E \)Nous isolons le terme inconnu \( R_E \) à gauche et passons les termes connus à droite.
Nous trouvons une réaction verticale de 30 kN à l'appui \( E \).
Connaissant \( R_E \), nous utilisons la somme des forces verticales pour trouver \( R_A \).
La réaction en \( A \) est également de 30 kN, ce qui confirme l'hypothèse de symétrie.
9. ✅ Interprétation Globale
Le calcul démontre que la charge totale de 60 kN est parfaitement répartie entre les deux appuis (30 kN chacun). C'est le comportement attendu d'une poutre simple isostatique chargée symétriquement. Ces valeurs de réaction serviront de conditions aux limites pour le dimensionnement des fondations (micropieux) et pour le calcul des efforts internes.
10. ⚖️ Analyse de Cohérence
La somme des réactions (30 + 30 = 60) est bien égale à la somme des actions (3 x 20 = 60). L'équilibre statique est parfaitement vérifié. De plus, l'absence de charges horizontales implique que la réaction horizontale \( R_{A,\text{x}} \) est nulle.
11. ⚠️ Points de Vigilance
N'oubliez jamais que l'appui \( A \) est une articulation (bloque \( X \) et \( Y \)) alors que \( E \) est un rouleau (bloque \( Y \) uniquement). Si une charge horizontale (vent ou freinage véhicule) existait, seul l'appui \( A \) serait capable de la reprendre via \( R_{A,\text{x}} \). Ne jamais modéliser deux articulations sur un pont simple, sinon les effets de dilatation thermique créeraient des contraintes énormes.
1. 🎯 Objectif
Nous entrons maintenant dans la matière structurelle : déterminer les efforts internes dans les barres. Nous commençons par isoler le nœud \( A \) (appui gauche). Le but est de trouver la force axiale dans la membrure inférieure (Barre \( AB \)) et dans le montant d'extrémité incliné (Barre \( AF \) - ici une diagonale selon la géométrie trapézoïdale ou rectangulaire). C'est la première étape pour "entrer" dans le treillis.
2. 📚 Référentiel
Méthode des Nœuds (Cremona analytique)3. 🧠 Réflexion de l'Ingénieur
Le nœud \( A \) est un point matériel soumis à l'action de 3 forces concourantes : la réaction d'appui \( R_A \), l'effort dans la barre \( AB \) et l'effort dans la barre \( AG \). Puisque le nœud est immobile (équilibre), la somme vectorielle de ces forces est nulle. La stratégie consiste à projeter ces forces sur un système d'axes orthonormés (\( X \) horizontal, \( Y \) vertical). L'angle de la diagonale \( AG \) est une donnée géométrique cruciale qu'il faut calculer au préalable pour obtenir les composantes sinus et cosinus.
4. 📘 Rappel Théorique : Convention de Signe
En RDM treillis, une force est positive (+) si elle s'éloigne du nœud : cela signifie que la barre tire sur le nœud, elle est donc en TRACTION. Elle est négative (-) si elle pointe vers le nœud : cela signifie que la barre pousse sur le nœud, elle est donc en COMPRESSION. Par défaut, nous supposons toujours que les efforts inconnus sont en traction (flèches sortantes).
5. 📐 Formules Clés : Trigonométrie
Calcul de l'angle \( \alpha \) entre la membrure inférieure (horizontale) et la diagonale \( AG \). La tangente est le rapport hauteur/base.
6. 📋 Données Géométriques
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Hauteur \( h \) | 2.0 m |
| Largeur \( a \) | 3.0 m |
| Réaction \( R_A \) | 30 kN |
7. 💡 Astuce d'Expert
Ne calculez pas l'angle en degrés si ce n'est pas nécessaire. Travaillez directement avec les valeurs exactes de \( \sin(\alpha) \) et \( \cos(\alpha) \) issues du triangle rectangle. Cela évite les erreurs d'arrondi intermédiaires.
8. 📝 Calcul Détaillé
Nous appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le montant et la maille.
Le sinus correspond au côté opposé (la hauteur \( h \)) divisé par l'hypoténuse.
Le cosinus correspond au côté adjacent (la largeur \( a \)) divisé par l'hypoténuse.
Sur l'axe vertical, seules deux forces interviennent : la réaction \( R_A \) (connue) et la composante verticale de la diagonale \( AG \). C'est l'équation la plus simple à résoudre en premier.
Le résultat est négatif. Cela signifie que notre hypothèse de traction était fausse. La barre \( AG \) est en COMPRESSION. Physiquement, le montant d'extrémité "pousse" vers le bas sur le nœud \( A \) pour contrer la réaction du sol qui pousse vers le haut.
8.5. Équilibre Horizontal (Projection sur X) : Trouver \( N_{\text{AB}} \)Maintenant que \( N_{\text{AG}} \) est connu (avec son signe !), nous projetons sur l'axe horizontal. La composante horizontale de \( AG \) doit être équilibrée par la barre \( AB \).
Le résultat est positif. La barre \( AB \) est donc en TRACTION. C'est logique : sous l'effet de la flexion, la membrure inférieure d'une poutre sur appuis simples s'allonge (tendue).
9. ✅ Interprétation Globale
L'analyse du nœud d'about nous révèle que la charge verticale de l'appui est transmise au reste de la structure par une compression forte dans la diagonale (-54 kN). Cette compression tend à "écarter" le nœud vers la droite, ce qui est retenu par la membrure inférieure qui se met en traction (+45 kN). C'est le comportement typique d'un treillis : transformer de la flexion globale en efforts normaux locaux.
10. ⚖️ Analyse de Cohérence
Il est classique que les diagonales d'about (sur appui) soient comprimées pour transférer la charge vers le sol, et que la membrure basse soit tendue. L'ordre de grandeur est cohérent avec la réaction d'appui.
11. ⚠️ Points de Vigilance
Le signe est capital ! Une barre comprimée (-54 kN) doit être vérifiée au flambement. Une barre tendue (+45 kN) ne risque que la rupture de section. Ne confondez jamais les deux.
1. 🎯 Objectif
Plutôt que de calculer laborieusement les nœuds \( B \), \( G \), \( C \) successivement (ce qui accumule les erreurs d'arrondi), nous allons utiliser la méthode des sections (dite de Ritter) pour déterminer directement l'effort dans la membrure supérieure au centre du treillis (Barre \( GH \)). C'est intuitivement la barre la plus sollicitée en compression du fait du moment fléchissant maximal à mi-portée.
2. 📚 Référentiel
Méthode de Ritter (Équilibre global d'un tronçon)3. 🧠 Réflexion de l'Ingénieur
Nous imaginons une coupe virtuelle verticale passant au milieu du panneau central (entre les nœuds \( B \)-\( G \) et \( C \)-\( H \)). Cette coupe sectionne trois barres : la membrure supérieure \( GH \), la diagonale \( GC \) et la membrure inférieure \( BC \). Nous isolons ensuite la partie GAUCHE de la structure pour écrire son équilibre global. L'astuce de Ritter consiste à choisir un point de calcul des moments où deux des trois inconnues se croisent, pour les annuler. Ici, les barres \( GC \) et \( BC \) se croisent au point \( C \). En calculant la somme des moments en \( C \), nous isolons directement \( N_{\text{GH}} \).
4. 📘 Rappel Théorique : Méthode des Coupes
Si une structure est en équilibre, n'importe quelle partie de cette structure (isolée par une coupe fictive) doit aussi être en équilibre sous l'effet des forces extérieures qui lui sont appliquées ET des efforts internes (sectionnés) qui deviennent alors des forces extérieures pour le tronçon.
5. 📐 Formules Clés : Équation de Moment
L'équilibre de rotation du tronçon gauche impose que la somme des moments calculée au point \( C \) (situé à \( x=2a, y=0 \)) soit nulle. Le point \( C \) est le "pivot" virtuel de notre calcul.
6. 📋 Données Géométriques
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Bras de levier Réaction (\( R_A \to C \)) | \( 2a = 6.0 \) m |
| Bras de levier Charge (\( P \to C \)) | \( a = 3.0 \) m |
| Bras de levier Effort (\( N_{\text{GH}} \to C \)) | \( h = 2.0 \) m |
7. 💡 Astuce d'Expert
Toujours vérifier le sens des moments. Posez votre doigt sur le point de pivot (\( C \)) et imaginez dans quel sens chaque force fait tourner la feuille. Horaire = Moins, Anti-horaire = Plus.
8. 📝 Calcul Détaillé
Listons les forces qui créent un moment autour de \( C \) : La réaction \( R_A \) est à une distance \( 2a \) (horaire), La charge \( P \) en \( B \) est à une distance \( a \) (anti-horaire), L'effort inconnu \( N_{\text{GH}} \) est à une hauteur \( h \) (horaire si tracté).
Notez que les efforts diagonaux et inférieurs passant par \( C \) ont un moment nul.
8.2. Construction de l'équation d'équilibreNous posons la somme des moments égale à zéro.
Nous isolons l'inconnue \( N_{\text{GH}} \).
Le résultat est négatif. La membrure supérieure est donc en COMPRESSION. C'est tout à fait cohérent : comme pour une poutre fléchie simple, la fibre supérieure est comprimée.
9. ✅ Interprétation Globale
La méthode de Ritter nous a permis d'accéder directement au cœur de la structure. L'effort de compression maximal dans la membrure supérieure est de 60 kN. C'est cet effort qui va dimensionner le profilé supérieur (risque de flambement). On remarque que l'intensité de l'effort augmente au fur et à mesure qu'on se rapproche du centre de la travée, suivant la courbe du moment fléchissant.
10. ⚖️ Analyse de Cohérence
L'effort de compression en tête (-60 kN) est plus élevé en valeur absolue que l'effort de traction en pied calculé précédemment (+45 kN). C'est normal car le moment fléchissant est maximum au centre de la poutre (L/2). C'est cette valeur de 60 kN qui dimensionnera la membrure supérieure.
11. ⚠️ Points de Vigilance
Attention au signe négatif. Dans les formules de vérification au flambement (Eurocode 3), l'effort normal de compression \( N_{\text{Ed}} \) est souvent pris en valeur absolue, mais il faut savoir qu'il s'agit de compression.
1. 🎯 Objectif
L'objectif final est de valider le choix du profilé. Nous devons nous assurer que l'acier choisi (S355) ne subira pas de dommages irréversibles (plastification) sous l'effet de l'effort normal maximal que nous venons de calculer (-60 kN). C'est l'étape de validation sécuritaire normative (État Limite Ultime de résistance).
2. 📚 Référentiel
Critère de Résistance Élastique (Von Mises simplifié en 1D)3. 🧠 Réflexion de l'Ingénieur
Pour une barre de treillis, nous considérons que l'effort est purement axial (Traction ou Compression pure). Dans ce cas, la contrainte normale \( \sigma \) est uniformément répartie sur toute la section transversale de la barre. Le critère de vérification est simple : la contrainte calculée doit rester inférieure à la limite élastique du matériau \( f_{\text{y}} \). Nous supposons ici que le profilé est un tube carré creux (SHS 50x50x4 par exemple) offrant une section d'acier \( A = 15 \text{ cm}^2 \).
4. 📘 Rappel Théorique : Contrainte Normale
La contrainte (\( \sigma \)) représente l'intensité des forces de cohésion interne par unité de surface. Elle s'exprime en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa). La limite d'élasticité (\( f_{\text{y}} \)) est le seuil au-delà duquel le matériau se déforme de manière permanente.
5. 📐 Formules Clés : Vérification ELU
Le critère de résistance de la section brute exige que l'effort appliqué ne dépasse pas la résistance plastique de la section. Avec \( N_{\text{Ed}} \) l'effort de calcul et \( A \) la section transversale.
6. 📋 Données d'Entrée
| Type | Valeur |
|---|---|
| Effort Max de calcul (\( N_{\text{Ed}} \)) | 60 kN (valeur absolue de la compression max) |
| Section du profilé (\( A \)) | 15 cm² = 1500 mm² |
| Limite élastique de l'acier (\( f_{\text{y}} \)) | 355 MPa (N/mm²) |
7. 💡 Astuce d'Expert
Attention aux unités ! Les forces sont souvent en kN et les sections en cm², alors que la résistance est en MPa (N/mm²). Convertissez tout en N et mm² avant de diviser pour obtenir des MPa directement.
8. 📝 Calcul Détaillé
La contrainte est la force divisée par la surface. Attention rigoureuse aux unités : il faut convertir les kN en Newtons (N) et les cm² en mm² pour obtenir directement des Mégapascals (MPa).
La contrainte réelle dans le matériau est de 40 MPa.
Nous comparons la contrainte réelle à la contrainte admissible. Un ratio < 1.0 (ou < 100%) signifie que ça tient.
La barre travaille à seulement 11.3% de sa capacité élastique. Elle est très largement dimensionnée vis-à-vis du risque de plastification.
9. ✅ Interprétation Globale
La vérification est formelle : avec une contrainte de 40 MPa pour une limite de 355 MPa, le profilé choisi est très robuste. Il y a une large marge de sécurité. Cependant, cette marge est nécessaire car elle doit aussi couvrir les effets dynamiques (vibrations piétons) et surtout l'instabilité de flambement qui réduit drastiquement la capacité réelle des barres comprimées.
10. ⚖️ Analyse de Cohérence
Une contrainte de 40 MPa est faible pour de l'acier (qui tient jusqu'à 355). C'est cohérent avec une structure légère de type passerelle où la rigidité (flèche) et la stabilité (flambement) sont souvent plus dimensionnantes que la résistance pure.
11. ⚠️ Points de Vigilance
Ne vous réjouissez pas trop vite ! Même si le taux de travail en contrainte est très faible (11%), le risque principal pour la membrure comprimée reste le FLAMBEMENT. Une barre élancée peut se dérober et plier brusquement sous une charge bien inférieure à celle qui la ferait fondre. Une vérification Eurocode 3 complète ("Instabilité des barres") est impérative pour valider définitivement ce profilé.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 24/05/2024 | Création du document / Première diffusion | Ing. G. CIVIL |
- Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
- Eurocode 3 : Calcul des structures en acier (EN 1993-1-1)
| Acier de construction | S355 JR |
| Limite Élastique (\( f_{\text{y}} \)) | 355 MPa |
| Charge Nodale (\( P \)) | 20.0 kN |
Vérification des barres critiques sous chargement de service.
Étudiant Ingénieur
Prof. Structures
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