Mouvement Curviligne sur Route Inclinée

Principe :

Le poids d'un objet est le produit de sa masse par l'accélération due à la gravité.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• Masse du véhicule (\(m\)) : \(1200 \, \text{kg}\)
• Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul :

Principe :

La force centripète est la force nette requise pour maintenir un objet en mouvement sur une trajectoire circulaire. Elle est dirigée vers le centre de la courbure.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• Masse (\(m\)) : \(1200 \, \text{kg}\)
• Vitesse (\(v\)) : \(60 \, \text{km/h}\)
• Rayon de courbure (\(R\)) : \(80 \, \text{m}\)

Conversion de la vitesse :

Calcul :

Principe :

On décompose les forces dans un repère judicieusement choisi. Un repère avec un axe horizontal (vers le centre de courbure) et un axe vertical est souvent pratique pour les problèmes de virage. Alternativement, un repère lié à la pente (axe normal et axe tangentiel à la pente) peut être utilisé. Considérons un repère avec l'axe \(x\) horizontal dirigé vers le centre du virage et l'axe \(y\) vertical dirigé vers le haut. Les forces agissant sur le véhicule sont :

• Le poids \(P = mg\), vertical vers le bas.
• La force normale \(N\), perpendiculaire à la surface de la route.
• La force de frottement statique \(f_s\), parallèle à la surface de la route. Sa direction dépend de la tendance au glissement.

La force normale \(N\) fait un angle \(\theta\) avec la verticale. La force de frottement \(f_s\) fait un angle \(\theta\) avec l'horizontale (si elle est dirigée vers le bas de la pente) ou vers le haut de la pente. L'accélération centripète \(a_c = v^2/R\) est horizontale et dirigée vers le centre du virage.

Équations de la dynamique (deuxième loi de Newton) :

\(\sum F_x = m a_x = m \frac{v^2}{R}\) (horizontalement)

\(\sum F_y = m a_y = 0\) (verticalement, pas de mouvement vertical)

Composantes des forces :

• Poids : \(P_x = 0\), \(P_y = -mg\)
• Normale : \(N_x = N \sin\theta\), \(N_y = N \cos\theta\)
• Frottement (supposons qu'il aide à tourner, donc sa composante horizontale est vers le centre) : Si \(f_s\) est vers le bas de la pente : \(f_{s,x} = f_s \cos\theta\), \(f_{s,y} = -f_s \sin\theta\) Si \(f_s\) est vers le haut de la pente : \(f_{s,x} = -f_s \cos\theta\), \(f_{s,y} = f_s \sin\theta\)

Donc, les équations générales deviennent (en considérant \(f_s\) positive si elle pointe vers le bas de la pente et contribue à la force centripète) :

Si \(f_s\) pointe vers le haut de la pente (pour empêcher de glisser vers l'intérieur), son signe change dans les équations.

Principe :

La force normale \(N\) et la force de frottement \(f_s\) sont inconnues. Nous avons deux équations (de la Q3) et deux inconnues. Nous devons résoudre ce système. De l'équation verticale : \(N \cos\theta - f_s \sin\theta = mg\). De l'équation horizontale : \(N \sin\theta + f_s \cos\theta = m \frac{v^2}{R}\). Multiplions la première par \(\cos\theta\) et la seconde par \(\sin\theta\) : \(N \cos^2\theta - f_s \sin\theta \cos\theta = mg \cos\theta\) \(N \sin^2\theta + f_s \cos\theta \sin\theta = m \frac{v^2}{R} \sin\theta\) En additionnant ces deux équations modifiées : \(N (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = mg \cos\theta + m \frac{v^2}{R} \sin\theta\) Puisque \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) :

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(m = 1200 \, \text{kg}\)
• \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
• \(\theta = 10^\circ\) (\(\cos 10^\circ \approx 0.9848\), \(\sin 10^\circ \approx 0.1736\))
• \(v \approx 16.667 \, \text{m/s}\)
• \(R = 80 \, \text{m}\)
• \(m \frac{v^2}{R} \approx 4166.84 \, \text{N}\) (Force centripète de Q2)

Calcul :

Note : Cette formule pour N suppose que la composante verticale de la force centripète est nulle, ce qui est le cas pour un virage horizontal incliné. Si le virage avait aussi une composante verticale (comme une route qui monte ou descend en courbe), le calcul serait plus complexe.

Principe :

Une fois \(N\) connue, on peut utiliser l'une des équations de la Q3 pour trouver \(f_s\). Utilisons l'équation horizontale : \(f_s \cos\theta = m \frac{v^2}{R} - N \sin\theta\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(m \frac{v^2}{R} \approx 4166.84 \, \text{N}\)
• \(N \approx 12315.62 \, \text{N}\)
• \(\sin 10^\circ \approx 0.1736\)
• \(\cos 10^\circ \approx 0.9848\)

Calcul :

Puisque \(f_s\) est positive, cela signifie que notre supposition initiale (frottement vers le bas de la pente, aidant à tourner) est correcte. Le véhicule a tendance à déraper vers l'extérieur, et le frottement s'oppose à ce mouvement en agissant vers l'intérieur du virage (et donc avec une composante vers le bas de la pente).

Vérifions si cette force est inférieure à la force de frottement statique maximale : \(f_{s, \text{max}} = \mu_s N \approx 0.6 \times 12315.62 \, \text{N} \approx 7389.37 \, \text{N}\).
Comme \(2060.14 \, \text{N} < 7389.37 \, \text{N}\), le véhicule ne dérape pas à cette vitesse.

Principe :

La vitesse idéale est celle pour laquelle la composante horizontale de la force normale fournit exactement la force centripète requise, sans aucune contribution du frottement (\(f_s = 0\)).

Avec \(f_s = 0\), les équations de la Q3 deviennent :
\(N \sin\theta = m \frac{v_{\text{idéale}}^2}{R}\)
\(N \cos\theta - mg = 0 \Rightarrow N = \frac{mg}{\cos\theta}\)

Formule(s) utilisée(s) :

En substituant N dans la première équation : \(\frac{mg}{\cos\theta} \sin\theta = m \frac{v_{\text{idéale}}^2}{R}\)

\(mg \tan\theta = m \frac{v_{\text{idéale}}^2}{R}\)

Données spécifiques :

• \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
• \(R = 80 \, \text{m}\)
• \(\theta = 10^\circ\) (\(\tan 10^\circ \approx 0.1763\))

Calcul :

Conversion en km/h : \(11.763 \, \text{m/s} \times 3.6 \approx 42.35 \, \text{km/h}\).

Principe :

À la vitesse maximale, le véhicule est sur le point de déraper vers l'extérieur. La force de frottement statique atteint sa valeur maximale \(f_{s, \text{max}} = \mu_s N\) et est dirigée vers l'intérieur du virage (vers le bas de la pente).

Les équations de la Q3 s'appliquent avec \(f_s = \mu_s N\) :
\(N \sin\theta + \mu_s N \cos\theta = m \frac{v_{\text{max}}^2}{R}\) (Eq. H)
\(N \cos\theta - \mu_s N \sin\theta - mg = 0\) (Eq. V)

De (Eq. V) : \(N(\cos\theta - \mu_s \sin\theta) = mg \Rightarrow N = \frac{mg}{(\cos\theta - \mu_s \sin\theta)}\)

Substituer N dans (Eq. H) : \(\frac{mg}{(\cos\theta - \mu_s \sin\theta)} (\sin\theta + \mu_s \cos\theta) = m \frac{v_{\text{max}}^2}{R}\)

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
• \(R = 80 \, \text{m}\)
• \(\theta = 10^\circ\) (\(\tan 10^\circ \approx 0.1763\))
• \(\mu_s = 0.6\)

Calcul :

Conversion en km/h : \(26.102 \, \text{m/s} \times 3.6 \approx 93.97 \, \text{km/h}\).

Principe :

À la vitesse minimale, le véhicule est sur le point de glisser vers l'intérieur de la pente. La force de frottement statique atteint sa valeur maximale \(f_{s, \text{max}} = \mu_s N\) et est dirigée vers l'extérieur du virage (vers le haut de la pente). Les équations de la Q3 sont modifiées pour le signe de \(f_s\):
\(N \sin\theta - \mu_s N \cos\theta = m \frac{v_{\text{min}}^2}{R}\) (Eq. H')
\(N \cos\theta + \mu_s N \sin\theta - mg = 0\) (Eq. V')

De (Eq. V') : \(N(\cos\theta + \mu_s \sin\theta) = mg \Rightarrow N = \frac{mg}{(\cos\theta + \mu_s \sin\theta)}\)

Substituer N dans (Eq. H') : \(\frac{mg}{(\cos\theta + \mu_s \sin\theta)} (\sin\theta - \mu_s \cos\theta) = m \frac{v_{\text{min}}^2}{R}\)

Formule(s) utilisée(s) :

Note : Si \(\tan\theta - \mu_s < 0\), la racine carrée d'un nombre négatif n'a pas de sens réel, ce qui signifie qu'il n'y a pas de vitesse minimale non nulle ; le véhicule ne glissera pas vers l'intérieur même à l'arrêt si \(\tan\theta \le \mu_s\).

Données spécifiques :

• \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
• \(R = 80 \, \text{m}\)
• \(\theta = 10^\circ\) (\(\tan 10^\circ \approx 0.1763\))
• \(\mu_s = 0.6\)

Calcul :

Vérifions le numérateur : \(\tan\theta - \mu_s \approx 0.1763 - 0.6 = -0.4237\).

Puisque \(\tan\theta - \mu_s\) est négatif, cela signifie que la force de frottement statique maximale est suffisante pour empêcher le véhicule de glisser vers l'intérieur même s'il est à l'arrêt (\(v=0\)). En effet, l'angle de frottement \(\phi_s = \arctan(\mu_s) = \arctan(0.6) \approx 30.96^\circ\). Comme \(\theta = 10^\circ < \phi_s\), le véhicule ne glissera pas vers le bas de la pente à l'arrêt. Il n'y a donc pas de vitesse minimale non nulle pour éviter le glissement vers l'intérieur dans ces conditions.

Si la question impliquait une situation où \(\tan\theta > \mu_s\), alors une vitesse minimale serait nécessaire.