Changement de Longueur des Matériaux

Comprendre le Changement de Longueur des Matériaux

Dans le cadre de la construction d’un pont suspendu, il est crucial de prendre en compte les variations de température tout au long de l’année, car elles influencent la longueur des câbles utilisés. Ces câbles sont fabriqués en acier, un matériau qui se dilate et se contracte en réponse aux changements de température. Cet exercice a pour objectif de calculer la variation de longueur d’un de ces câbles en fonction des changements de température observés.

Données:

Longueur initiale du câble, \( L_0 \): 1000 mètres
Coefficient de dilatation linéaire de l’acier, \( \alpha \): \( 12 \times 10^{-6} \) /°C
Température en été, \( T_{été} \): 35°C
Température en hiver, \( T_{hiver} \): -10°C
Température de référence lors de l’installation du câble, \( T_{ref} \): 10°C.

Questions:

1. Calcul de la variation de longueur en été:

Exprimer la formule qui permet de calculer la variation de longueur \( \Delta L \) en fonction de la différence de température \( \Delta T \).
Calculer la différence de température entre l’été et la température de référence.
Utiliser cette différence pour déterminer la variation de longueur du câble en été.

2. Calcul de la variation de longueur en hiver:

Calculer la différence de température entre l’hiver et la température de référence.
Utiliser cette différence pour déterminer la variation de longueur du câble en hiver.

3. Discussion sur l’impact des variations de longueur:

Discuter des conséquences potentielles de ces variations de longueur sur la structure du pont.
Proposer des mesures qui pourraient être prises pour minimiser l’impact de ces variations sur la sécurité et la stabilité du pont.

Correction : Changement de Longueur des Matériaux

1. Calcul de la variation de longueur en été

Formule de dilatation linéaire

La variation de longueur ΔL d'un matériau est donnée par la formule :

\[ \Delta L = \alpha \times L_0 \times \Delta T \]

où :

\(\Delta L\) est la variation de longueur (en mètres)
\(\alpha\) est le coefficient de dilatation linéaire du matériau (en \(^{\circ}\text{C}^{-1}\))
\(L_0\) est la longueur initiale (en mètres)
\(\Delta T\) est la variation de température (en \(^{\circ}\text{C}\))

Calcul de la différence de température en été

\[ \Delta T = T_{été} - T_{ref} \] \[ \Delta T = 35°C - 10°C \] \[ \Delta T = 25°C \]

Calcul de la variation de longueur en été

\[ \Delta L = \alpha \times L_0 \times \Delta T \] \[ \Delta L = 12 \times 10^{-6} \text{ °C}^{-1} \times 1000 \text{ m} \times 25 \text{ °C} \] \[ \Delta L = 12 \times 10^{-6} \times 1000 \times 25 \] \[ \Delta L = 12 \times 25 \times 10^{-3} \] \[ \Delta L = 300 \times 10^{-3} \text{ m} \] \[ \Delta L = 0,300 \text{ m} = 30 \text{ cm} \]

En été, le câble s'allonge donc de 30 centimètres par rapport à sa longueur lors de l'installation.

2. Calcul de la variation de longueur en hiver

Calcul de la différence de température en hiver

\[ \Delta T = T_{hiver} - T_{ref} \] \[ \Delta T = -10°C - 10°C \] \[ \Delta T = -20°C \]

Remarque : La différence de température est négative car la température en hiver est inférieure à la température de référence.

Calcul de la variation de longueur en hiver

\[ \Delta L = \alpha \times L_0 \times \Delta T \] \[ \Delta L = 12 \times 10^{-6} \text{ °C}^{-1} \times 1000 \text{ m} \times (-20 \text{ °C}) \] \[ \Delta L = 12 \times 10^{-6} \times 1000 \times (-20) \] \[ \Delta L = -12 \times 20 \times 10^{-3} \] \[ \Delta L = -240 \times 10^{-3} \text{ m} \] \[ \Delta L = -0,240 \text{ m} = -24 \text{ cm} \]

En hiver, le câble se contracte de 24 centimètres par rapport à sa longueur lors de l'installation.

3. Discussion sur l'impact des variations de longueur

Conséquences potentielles des variations de longueur

Amplitude totale des variations : Entre l'été et l'hiver, le câble subit une variation totale de longueur de 30 cm + 24 cm = 54 cm, ce qui est considérable pour une structure comme un pont suspendu.
Contraintes mécaniques : Ces variations de longueur induisent des tensions variables dans les câbles, pouvant entraîner de la fatigue des matériaux à long terme.
Modification de la géométrie du pont : L'allongement en été peut provoquer un fléchissement plus important du tablier, tandis que la contraction en hiver peut augmenter la tension dans les câbles.
Risques pour les joints de dilatation : Si les joints de dilatation ne sont pas correctement dimensionnés, ils peuvent être endommagés par ces variations.
Influence sur la hauteur du tablier : Les variations de longueur des câbles modifient la position verticale du tablier, ce qui peut affecter la circulation sur le pont.

Mesures pour minimiser l'impact des variations

Conception de joints de dilatation adaptés : Installer des joints permettant d'absorber les variations dimensionnelles du tablier du pont.
Système de compensation mécanique : Mettre en place des systèmes de tension ajustables qui compensent automatiquement les variations de longueur des câbles.
Choix de matériaux composites : Utiliser pour certaines parties de la structure des matériaux ayant un coefficient de dilatation plus faible.
Monitoring en continu : Installer des capteurs pour surveiller en temps réel les tensions dans les câbles et les déformations de la structure.
Prise en compte des variations saisonnières lors de la construction : Ajuster la tension initiale des câbles en fonction de la saison durant laquelle l'installation est réalisée.
Isolation thermique partielle : Dans les cas extrêmes, envisager une isolation thermique de certains éléments structurels pour réduire l'amplitude des variations de température.

Ces mesures permettraient d'assurer la sécurité et la durabilité de l'ouvrage malgré les variations thermiques importantes entre l'été et l'hiver.

Changement de Longueur des Matériaux

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