Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Différence de Hauteur en topographie

Calcul de la Différence de Hauteur en Topographie

Calcul de la Différence de Hauteur en Topographie

Comprendre le Calcul de la Différence de Hauteur

La différence de hauteur, ou dénivelée, entre deux points est une information topographique fondamentale. Elle est essentielle pour de nombreuses applications telles que la conception de routes, de réseaux d'assainissement, le calcul des pentes, la modélisation du terrain, ou encore l'évaluation des terrassements. Le nivellement direct est une méthode courante et précise pour déterminer les dénivelés. Il consiste à utiliser un niveau (instrument optique qui matérialise un plan de visée horizontal) et une mire (règle graduée) pour lire des hauteurs par rapport à ce plan de visée sur différents points.

Données de l'étude

Un topographe effectue un nivellement direct pour déterminer l'altitude d'un point B à partir d'un point de référence A d'altitude connue.

Mesures et informations :

  • Altitude du point de référence A (\(Z_{\text{A}}\)) : \(135.250 \, \text{m}\)
  • L'instrument (niveau) est stationné entre A et B.
  • Lecture sur la mire posée sur le point A (visée arrière, \(L_{\text{ar}}\)) : \(1.685 \, \text{m}\)
  • Lecture sur la mire posée sur le point B (visée avant, \(L_{\text{av}}\)) : \(0.950 \, \text{m}\)

Hypothèses :

  • L'instrument est correctement calé (le plan de visée est horizontal).
  • Les lectures sur la mire sont exemptes d'erreurs de lecture grossières.

Schéma : Nivellement direct simple
{/* */} {/* */} Point A (ZA) Lar {/* */} {/* */} Niveau {/* */} Point B (ZB) Lav {/* */} Plan de Visée (Zpv) Nivellement Direct Simple

Schéma illustrant un nivellement direct entre un point A de référence et un point B.

Questions à traiter

  1. Calculer l'altitude du plan de visée (\(Z_{\text{pv}}\)) de l'instrument.
  2. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z_{\text{AB}}\)) entre le point A et le point B.
  3. Calculer l'altitude (\(Z_{\text{B}}\)) du point B.
  4. Si, depuis la même station d'instrument, on effectue une visée avant sur un point C avec une lecture mire \(L_{\text{avC}} = 2.150 \, \text{m}\), quelle serait l'altitude du point C (\(Z_{\text{C}}\)) ?
  5. Quelle serait alors la dénivelée entre B et C (\(\Delta Z_{\text{BC}}\)) ?

Correction : Calcul de la Différence de Hauteur

Question 1 : Altitude du Plan de Visée (\(Z_{\text{pv}}\))

Principe :

L'altitude du plan de visée de l'instrument est égale à l'altitude du point de référence (point arrière) augmentée de la lecture sur la mire en ce point (visée arrière).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{pv}} = Z_{\text{A}} + L_{\text{ar}}\]
Données spécifiques :
  • Altitude de A (\(Z_{\text{A}}\)) : \(135.250 \, \text{m}\)
  • Lecture arrière sur A (\(L_{\text{ar}}\)) : \(1.685 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{pv}} &= 135.250 \, \text{m} + 1.685 \, \text{m} \\ &= 136.935 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'altitude du plan de visée de l'instrument est \(Z_{\text{pv}} = 136.935 \, \text{m}\).

Question 2 : Dénivelée (\(\Delta Z_{\text{AB}}\)) entre A et B

Principe :

La dénivelée entre un point arrière (A) et un point avant (B) est égale à la lecture arrière moins la lecture avant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{\text{AB}} = L_{\text{ar}} - L_{\text{av}}\]
Données spécifiques :
  • Lecture arrière sur A (\(L_{\text{ar}}\)) : \(1.685 \, \text{m}\)
  • Lecture avant sur B (\(L_{\text{av}}\)) : \(0.950 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{AB}} &= 1.685 \, \text{m} - 0.950 \, \text{m} \\ &= +0.735 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le signe positif indique que le point B est plus haut que le point A.

Résultat Question 2 : La dénivelée entre A et B est \(\Delta Z_{\text{AB}} = +0.735 \, \text{m}\).

Question 3 : Altitude (\(Z_{\text{B}}\)) du Point B

Principe :

L'altitude d'un point avant est égale à l'altitude du plan de visée moins la lecture sur la mire en ce point (visée avant). Alternativement, \(Z_{\text{B}} = Z_{\text{A}} + \Delta Z_{\text{AB}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{B}} = Z_{\text{pv}} - L_{\text{av}}\]

Ou :

\[Z_{\text{B}} = Z_{\text{A}} + \Delta Z_{\text{AB}}\]
Données spécifiques :
  • Altitude du plan de visée (\(Z_{\text{pv}}\)) : \(136.935 \, \text{m}\)
  • Lecture avant sur B (\(L_{\text{av}}\)) : \(0.950 \, \text{m}\)
  • (Alternative) Altitude de A (\(Z_{\text{A}}\)) : \(135.250 \, \text{m}\)
  • (Alternative) Dénivelée (\(\Delta Z_{\text{AB}}\)) : \(+0.735 \, \text{m}\)
Calcul (Méthode 1) :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{B}} &= 136.935 \, \text{m} - 0.950 \, \text{m} \\ &= 135.985 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - Vérification) :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{B}} &= 135.250 \, \text{m} + 0.735 \, \text{m} \\ &= 135.985 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'altitude du point B est \(Z_{\text{B}} = 135.985 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Une lecture arrière (Lar) plus grande qu'une lecture avant (Lav) depuis la même station d'instrument signifie que le point avant est :

Question 4 : Altitude (\(Z_{\text{C}}\)) du Point C

Principe :

L'altitude du point C est égale à l'altitude du même plan de visée (\(Z_{\text{pv}}\)) moins la lecture sur la mire en C (\(L_{\text{avC}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{C}} = Z_{\text{pv}} - L_{\text{avC}}\]
Données spécifiques :
  • Altitude du plan de visée (\(Z_{\text{pv}}\)) : \(136.935 \, \text{m}\)
  • Lecture avant sur C (\(L_{\text{avC}}\)) : \(2.150 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{C}} &= 136.935 \, \text{m} - 2.150 \, \text{m} \\ &= 134.785 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'altitude du point C est \(Z_{\text{C}} = 134.785 \, \text{m}\).

Question 5 : Dénivelée entre B et C (\(\Delta Z_{\text{BC}}\))

Principe :

La dénivelée entre B et C est la différence de leurs altitudes. Alternativement, puisque les lectures sont faites depuis la même station, \(\Delta Z_{\text{BC}} = L_{\text{avB}} - L_{\text{avC}}\) (attention, ici \(L_{\text{avB}}\) est la lecture sur B et \(L_{\text{avC}}\) la lecture sur C, toutes deux des visées avant depuis la même station).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{\text{BC}} = Z_{\text{C}} - Z_{\text{B}}\]

Ou, depuis la même station :

\[\Delta Z_{\text{BC}} = L_{\text{av (sur B)}} - L_{\text{av (sur C)}}\]
Données spécifiques :
  • Altitude de B (\(Z_{\text{B}}\)) : \(135.985 \, \text{m}\)
  • Altitude de C (\(Z_{\text{C}}\)) : \(134.785 \, \text{m}\)
  • Lecture avant sur B (\(L_{\text{av}}\) ou \(L_{\text{avB}}\)) : \(0.950 \, \text{m}\)
  • Lecture avant sur C (\(L_{\text{avC}}\)) : \(2.150 \, \text{m}\)
Calcul (Méthode 1 - par altitudes) :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{BC}} &= 134.785 \, \text{m} - 135.985 \, \text{m} \\ &= -1.200 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - par lectures avant depuis même station) :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{BC}} &= 0.950 \, \text{m} - 2.150 \, \text{m} \\ &= -1.200 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que le point C est plus bas que le point B.

Résultat Question 5 : La dénivelée entre B et C est \(\Delta Z_{\text{BC}} = -1.200 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la lecture mire sur un point X est plus grande que sur un point Y (visées avant depuis la même station), alors le point X est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'altitude du plan de visée est calculée par :

2. La dénivelée entre un point A (arrière) et un point B (avant) est :

3. L'altitude d'un point avant se calcule par :

Glossaire

Nivellement Direct
Méthode topographique de détermination des altitudes ou des dénivelés par des visées horizontales sur des mires graduées, à l'aide d'un niveau.
Altitude (Z)
Hauteur d'un point par rapport à une surface de référence, généralement le niveau moyen des mers (datum).
Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude entre deux points. Elle est positive si le second point est plus haut que le premier, négative sinon.
Niveau (Instrument)
Instrument optique permettant de matérialiser un plan de visée horizontal.
Mire
Règle graduée (généralement en centimètres ou millimètres) tenue verticalement sur les points dont on veut déterminer l'altitude ou la dénivelée.
Visée Arrière (\(L_{\text{ar}}\))
Lecture faite sur une mire posée sur un point d'altitude connue (ou un point de départ d'un cheminement).
Visée Avant (\(L_{\text{av}}\))
Lecture faite sur une mire posée sur un point dont on cherche à déterminer l'altitude (ou un point suivant dans un cheminement).
Plan de Visée (\(Z_{\text{pv}}\))
Altitude du plan horizontal défini par l'axe optique du niveau.
Calcul de la Différence de Hauteur - Exercice d'Application

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