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Calcul de la Fermeture Angulaire

Exercice : Calcul de Fermeture Angulaire

Calcul de la Fermeture Angulaire d'un Polygone Topographique

Contexte : Le contrôle des levés topographiques.

En topographie, un cheminement polygonalUn itinéraire formé par une succession de segments de droite (côtés) reliant des points appelés sommets ou stations. Il sert de base pour les levés de détails. est une méthode courante pour déterminer les coordonnées de points sur le terrain. Avant de pouvoir calculer les coordonnées, il est impératif de vérifier la qualité des mesures angulaires effectuées sur le terrain. Cette vérification passe par le calcul de la fermeture angulaireLa différence entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique que ces angles devraient avoir géométriquement., une étape fondamentale qui garantit la cohérence et la précision du levé.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à effectuer le premier contrôle qualité essentiel d'un cheminement polygonal fermé. Maîtriser cette étape est crucial pour tout technicien ou ingénieur en topographie.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le concept de fermeture angulaire et son importance.
  • Savoir calculer la somme théorique des angles internes d'un polygone.
  • Calculer la fermeture angulaire à partir d'angles observés.
  • Vérifier si la fermeture est acceptable en la comparant à une tolérance réglementaire.
  • Répartir l'erreur de fermeture pour compenser les angles mesurés.

Données de l'étude

Une équipe de topographes a réalisé le levé d'un cheminement polygonal fermé à 5 sommets (pentagone). Les angles internesAngles mesurés à l'intérieur des sommets d'un polygone fermé. ont été mesurés à l'aide d'une station totaleInstrument de topographie électronique qui mesure à la fois les angles et les distances.. Vous devez vérifier et compenser ces mesures.

Schéma du cheminement polygonal (Pentagone)
A B C D E α β γ δ ε
Sommet Angle Interne Observé
α (Sommet A) 108° 15' 20"
β (Sommet B) 110° 30' 45"
γ (Sommet C) 105° 45' 10"
δ (Sommet D) 107° 05' 30"
ε (Sommet E) 108° 22' 55"

La toléranceL'erreur maximale admissible pour qu'un travail soit accepté. Elle dépend de la précision de l'instrument et du nombre de mesures. pour ce type de levé est donnée par la formule : \( T = 20" \sqrt{n} \), où \(n\) est le nombre de sommets du polygone.

Questions à traiter

  1. Calculer la somme théorique des angles internes du polygone.
  2. Calculer la somme des angles observés sur le terrain.
  3. Déterminer la fermeture angulaire (\(f_a\)).
  4. Vérifier si cette fermeture est dans les limites de la tolérance admise.
  5. Calculer la compensation à appliquer à chaque angle et donner les valeurs des angles compensés.

Les bases du calcul de fermeture angulaire

Pour garantir la qualité d'un levé polygonal, on compare toujours les mesures du terrain à une valeur géométrique théorique. Toute différence doit être analysée et corrigée.

1. Somme Théorique des Angles Internes
Pour tout polygone simple (qui ne se croise pas) avec \(n\) sommets, la somme de ses angles internes est une constante géométrique. Elle se calcule avec la formule : \[ \Sigma_{\text{th}} = (n - 2) \times 180^\circ \]

2. Fermeture Angulaire et Tolérance
La fermeture angulaire \(f_a\) est la différence entre la somme des angles réellement mesurés (\(\Sigma_{\text{obs}}\)) et la somme théorique (\(\Sigma_{\text{th}}\)). \[ f_a = \Sigma_{\text{obs}} - \Sigma_{\text{th}} \] Cette fermeture doit être inférieure ou égale en valeur absolue à une tolérance \(T\) pour que le levé soit validé : \( |f_a| \le T \).

3. Compensation des Angles
Si la fermeture est jugée acceptable, on la répartit équitablement sur tous les angles mesurés. La correction \(C\) à appliquer à chaque angle est l'opposé de la fermeture, divisé par le nombre d'angles. \[ C = - \frac{f_a}{n} \] L'angle compensé \( \alpha' \) est alors : \( \alpha' = \alpha_{\text{obs}} + C \).

Calcul de la Fermeture Angulaire d'un Polygone Topographique

Question 1 : Calculer la somme théorique des angles internes du polygone.

Principe (le concept physique)

Avant toute mesure, la géométrie nous donne une valeur parfaite et immuable pour la somme des angles d'une figure. Pour un polygone fermé, cette somme ne dépend que du nombre de ses sommets. C'est notre "vérité terrain" théorique, la cible à atteindre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \( \Sigma_{\text{th}} = (n - 2) \times 180^\circ \) vient du fait que l'on peut décomposer n'importe quel polygone de \(n\) côtés en \(n-2\) triangles en traçant les diagonales à partir d'un seul sommet. Comme la somme des angles de chaque triangle est de 180°, la somme totale est bien \((n-2) \times 180^\circ\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette première étape est cruciale et ne doit comporter aucune erreur. C'est la référence sur laquelle tout le reste du calcul va s'appuyer. Une erreur ici invaliderait toute la suite.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul ne dépend pas d'une norme de construction ou topographique, mais d'un théorème fondamental de la géométrie euclidienneGéométrie 'classique' sur une surface plane, où la somme des angles d'un triangle est toujours 180°., universellement accepté.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \Sigma_{\text{th}} = (n - 2) \times 180^\circ \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le polygone est "simple", c'est-à-dire que ses côtés ne se croisent pas.
  • Le levé est réalisé dans un plan (géométrie euclidienne), ce qui est une approximation valable pour les chantiers de taille courante.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Nombre de sommetsn5sans unité
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du Pentagone en Triangles
123
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \Sigma_{\text{th}} &= (5 - 2) \times 180^\circ \\ &= 3 \times 180^\circ \\ &= 540^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce calcul ne produit pas de nouveau schéma, le résultat est une valeur numérique unique qui caractérise le polygone de l'énoncé.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de 540° est une valeur absolue. Toute somme de mesures sur le terrain devra être comparée à ce chiffre exact pour évaluer sa précision.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas se tromper dans le nombre de sommets \(n\). Une erreur d'une unité sur \(n\) change le résultat de 180°, ce qui est une erreur énorme et facilement identifiable.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La somme théorique des angles internes est la première valeur à calculer.
  • Elle ne dépend que du nombre de sommets \(n\).
  • La formule \((n-2) \times 180^\circ\) est à connaître par cœur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour des levés de très grande étendue (à l'échelle d'un pays), la courbure de la Terre n'est plus négligeable. On utilise alors la géométrie sphérique, où la somme des angles d'un triangle est supérieure à 180° !

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule fonctionne-t-elle pour les angles externesAngles mesurés à l'extérieur des sommets d'un polygone, supplémentaires aux angles internes. ?

Non. La somme des angles externes d'un polygone convexe est toujours égale à 360°, quel que soit le nombre de côtés.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La somme théorique des angles internes du pentagone est de 540° 00' 00".
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Quelle serait la somme théorique pour un cheminement octogonal (8 sommets) ?

Question 2 : Calculer la somme des angles observés sur le terrain.

Principe (le concept physique)

Cette étape consiste à additionner les valeurs brutes mesurées sur le terrain. Ce total représente la réalité de la mesure, avec ses imperfections inhérentes. C'est la contrepartie expérimentale de la valeur théorique calculée précédemment.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'addition d'angles en format sexagésimalSystème de numération en base 60, utilisé pour les angles (degrés, minutes, secondes) et le temps. (Degrés, Minutes, Secondes) est une compétence arithmétique de base en topographie. Le système est en base 60 : 60 secondes = 1 minute, et 60 minutes = 1 degré. Les retenues se font donc par paquets de 60.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La rigueur est de mise. Une simple erreur d'inattention dans l'addition faussera le calcul de la fermeture et donc toute l'analyse qui en découle. Prenez votre temps et vérifiez votre calcul.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Il s'agit d'une simple somme :

\[ \Sigma_{\text{obs}} = \alpha + \beta + \gamma + \delta + \epsilon \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les cinq valeurs d'angles mesurés fournies dans le tableau de l'énoncé.

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs, additionnez chaque colonne (secondes, minutes, degrés) séparément. Ensuite, et seulement ensuite, propagez les retenues en partant des secondes vers les degrés.

Schéma (Avant les calculs)
Addition des Angles Observés
108° 15' 20"110° 30' 45"105° 45' 10"107° 05' 30"108° 22' 55"+Σ obs = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On pose l'addition :

108°15'20"
+110°30'45"
+105°45'10"
+107°05'30"
+108°22'55"
Total brut538°117'160"

Conversion des secondes :

\[ 160'' = 2 \times 60'' + 40'' \Rightarrow 2' \ 40'' \]

Conversion des minutes (avec la retenue) :

\[ \begin{aligned} 117' + 2' &= 119' \\ &= 1 \times 60' + 59' \\ &\Rightarrow 1^\circ \ 59' \end{aligned} \]

Somme finale des degrés (avec la retenue) :

\[ 538^\circ + 1^\circ = 539^\circ \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La somme observée de 539° 59' 40" est très proche de la somme théorique de 540°. Cela indique a priori que les mesures ont été effectuées avec soin et qu'il n'y a pas d'erreur grossièreUne erreur importante et évidente, souvent due à une inattention (ex: mauvaise lecture d'un chiffre). Elle est aussi appelée une faute. (comme une lecture erronée de 1° par exemple).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est une faute de calcul dans les retenues du système sexagésimal. Une double vérification de l'addition est toujours une bonne pratique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La somme des angles observés est la somme brute des lectures de terrain. La méthode d'addition par colonne puis de conversion des retenues (base 60) est la plus sûre.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le système sexagésimal nous vient des Babyloniens, il y a près de 4000 ans ! Ils l'utilisaient pour l'astronomie et les mathématiques. C'est pourquoi nous l'utilisons encore aujourd'hui pour mesurer le temps et les angles.

FAQ (pour lever les doutes)
Puis-je utiliser une calculatrice ?

Oui, la plupart des calculatrices scientifiques ont un mode "DMS" (Degré Minute Seconde) qui automatise ces additions. C'est plus rapide, mais il est essentiel de comprendre le calcul manuel pour vérifier les résultats et ne pas dépendre aveuglément de la machine.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La somme des angles observés est \( \Sigma_{\text{obs}} = 539^\circ \ 59' \ 40" \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Sommez les deux angles suivants : 45° 50' 30" et 22° 25' 40".

Question 3 : Déterminer la fermeture angulaire (\(f_a\)).

Principe (le concept physique)

La fermeture angulaire est l'incarnation numérique de l'erreur de mesure globale. C'est la différence concrète entre ce que l'on aurait dû obtenir (théorie) et ce que l'on a réellement obtenu (mesure). C'est le premier indicateur quantitatif de la qualité du levé.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En métrologieLa science de la mesure et de ses applications., l'erreur est définie comme la différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie (ou de référence). Ici, la somme observée est la valeur mesurée, et la somme théorique est notre meilleure estimation de la valeur vraie. La fermeture est donc l'erreur totale sur la somme des angles.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne soyez pas surpris d'obtenir une valeur non nulle. Une fermeture de zéro est statistiquement quasi impossible en raison des micro-erreurs inévitables. L'important n'est pas d'avoir une erreur nulle, mais une erreur suffisamment petite.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ f_a = \Sigma_{\text{obs}} - \Sigma_{\text{th}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\Sigma_{\text{obs}} = 539^\circ \ 59' \ 40"\) (de Q2)
  • \(\Sigma_{\text{th}} = 540^\circ \ 00' \ 00"\) (de Q1)
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Sommes
Σth = 540° 00' 00"Σobs = 539° 59' 40"fa = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} f_a &= 539^\circ \ 59' \ 40" - 540^\circ \ 00' \ 00" \\ &= -20" \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une fermeture de -20" signifie que la somme de nos angles mesurés est inférieure de 20 secondes à la valeur théorique. C'est un "défaut" d'angle. Si la fermeture avait été positive, cela aurait été un "excès" d'angle.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à l'ordre de la soustraction. C'est toujours (Observé - Théorique). Inverser les termes changerait le signe de la fermeture, ce qui conduirait à une compensation incorrecte à la fin.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La fermeture angulaire est l'indicateur de l'erreur globale.
  • Son signe est important : négatif pour un défaut d'angle, positif pour un excès.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Une des plus grandes erreurs de topographie de l'histoire est celle de la mesure de la frontière entre la Pennsylvanie et le Maryland (la ligne Mason-Dixon) au 18ème siècle, qui a dévié de sa latitude théorique sur des centaines de kilomètres à cause de l'accumulation de petites erreurs instrumentales.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas faire Théorique - Observé ?

La convention "Observé - Théorique" est standard en calcul d'erreur. Elle permet d'interpréter directement le signe : un résultat négatif signifie que la mesure est "en-dessous" de la référence, et vice-versa. Cela rend la correction plus intuitive (on doit "rajouter" pour compenser un manque).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La fermeture angulaire est \( f_a = -20" \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si \(\Sigma_{\text{th}} = 360^\circ\) et \(\Sigma_{\text{obs}} = 360^\circ 00' 15"\), quelle est la fermeture \(f_a\) ?

Question 4 : Vérifier si cette fermeture est dans les limites de la tolérance admise.

Principe (le concept physique)

Aucune mesure n'est parfaite. La tolérance est le "droit à l'erreur" que l'on s'accorde. Elle définit une fourchette à l'intérieur de laquelle l'erreur de mesure est considérée comme normale et acceptable. Si notre erreur (la fermeture) est dans cette fourchette, le travail est validé.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de tolérance est souvent basée sur la théorie de la propagation des erreursÉtude de la manière dont les incertitudes sur les mesures initiales affectent l'incertitude du résultat final d'un calcul.. Les erreurs accidentelles sur chaque angle s'additionnent de manière quadratique. C'est pourquoi la tolérance globale est souvent proportionnelle à la racine carrée du nombre de mesures (\(\sqrt{n}\)), et non à \(n\) directement. Cela signifie que doubler le nombre de mesures ne double pas l'erreur attendue, mais l'augmente seulement d'environ 41%.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne jamais compenser une fermeture qui est hors tolérance ! Cela reviendrait à "cacher" une erreur potentiellement grave (une faute) en la diluant dans toutes les mesures. La vérification de la tolérance est un garde-fou non négociable.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de tolérance \( T = 20" \sqrt{n} \) est une formule empirique courante en France pour des travaux de topographie de précision standard (polygonation de chantier). Des cahiers des charges plus stricts peuvent imposer des formules plus exigeantes (par exemple avec 10" au lieu de 20").

Formule(s) (l'outil mathématique)

Calcul de la tolérance :

\[ T = 20" \sqrt{n} \]

Critère de validation :

\[ |f_a| \le T \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Fermeture angulaire, \(f_a = -20"\)
  • Nombre de sommets, \(n = 5\)
Schéma (Avant les calculs)
Validation : La Balance
|fa|T?
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de la tolérance

\[ \begin{aligned} T &= 20" \sqrt{5} \\ &\approx 20" \times 2.236 \\ &\approx 44.72" \end{aligned} \]

Étape 2 : Comparaison

\[ |f_a| = |-20"| = 20" \]

On vérifie si \( 20" \le 44.72" \). La condition est respectée.

Schéma (Après les calculs)
Comparaison de la Fermeture à la Tolérance
Zone de Tolérance (± 44.72")Fermeture (20")
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La fermeture étant bien inférieure à la tolérance, on peut conclure que le levé a été réalisé avec une précision conforme aux attentes pour ce type de travail. Il n'est pas nécessaire de refaire les mesures sur le terrain.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier la racine carrée dans la formule de tolérance. Une autre erreur est d'oublier de prendre la valeur absolue de la fermeture pour la comparaison.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La validation d'un levé passe obligatoirement par la comparaison de la valeur absolue de la fermeture à la tolérance réglementaire ou celle du cahier des charges. \(|f_a| \le T\).

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la fermeture est HORS tolérance ?

Si \(|f_a| > T\), le levé est refusé. Il faut retourner sur le terrain pour identifier la source de l'erreur. Cela peut être une faute de lecture, un mauvais centrage de l'appareil sur un point, ou un problème instrumental. On re-mesure alors tous les angles, ou au moins ceux qui semblent suspects.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La fermeture angulaire de 20" est acceptable car elle est inférieure à la tolérance de 44.72".
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Pour un polygone de 9 sommets, une fermeture de -65" serait-elle acceptable avec la même formule de tolérance ?

Question 5 : Calculer la compensation et les angles compensés.

Principe (le concept physique)

La compensation est un ajustement mathématique qui vise à "annuler" l'erreur de fermeture en la répartissant sur toutes les mesures. On part du principe que chaque angle mesuré a contribué un peu à l'erreur globale. En corrigeant chaque angle d'une petite quantité, on obtient un ensemble d'angles géométriquement parfaits dont la somme correspondra exactement à la théorie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode de répartition uniforme est la plus simple. Elle suppose que toutes les mesures ont été faites avec le même soin et la même précision (on dit qu'elles ont le même "poids"). Pour des calculs de haute précision, on utilise des méthodes de compensation plus complexes (comme les moindres carrésMéthode d'optimisation mathématique qui permet de trouver le meilleur ajustement pour un ensemble de données en minimisant la somme des carrés des erreurs.) qui répartissent l'erreur en fonction de la qualité estimée de chaque mesure.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette dernière étape est essentielle pour "nettoyer" les données avant de passer aux calculs suivants (calcul des gisementsAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence (généralement le Nord)., puis des coordonnées). On ne travaille jamais avec des données brutes non compensées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Compensation \(C\) par angle :

\[ C = - \frac{f_a}{n} \]

Angle compensé \( \alpha'_{\text{i}} \) :

\[ \alpha'_{\text{i}} = \alpha_{\text{i, obs}} + C \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On fait l'hypothèse que chaque angle est entaché de la même quantité d'erreur, ce qui justifie une répartition uniforme. C'est une simplification acceptable pour les levés courants.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Fermeture angulaire, \(f_a = -20"\)
  • Nombre de sommets, \(n = 5\)
  • La liste des angles observés.
Astuces (Pour aller plus vite)

Le signe de la compensation est toujours l'opposé du signe de la fermeture. Si vous avez un défaut d'angle (fa < 0), vous devez ajouter une correction positive. Si vous avez un excès (fa > 0), vous devez soustraire une correction.

Schéma (Avant les calculs)
Répartition de la Fermeture
fa = -20"÷ 5C = +4" / angle
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de la compensation unitaire

\[ \begin{aligned} C &= - \frac{-20"}{5} \\ &= +4" \end{aligned} \]

Étape 2 : Application aux angles

SommetAngle ObservéCompensationAngle Compensé
A108° 15' 20"+ 4"108° 15' 24"
B110° 30' 45"+ 4"110° 30' 49"
C105° 45' 10"+ 4"105° 45' 14"
D107° 05' 30"+ 4"107° 05' 34"
E108° 22' 55"+ 4"108° 22' 59"
Schéma (Après les calculs)
Vérification Finale
Σ angles compensés540° 00' 00"
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les angles compensés sont les valeurs finales qui seront utilisées pour la suite des calculs topographiques (calculs de gisements et de coordonnées). Elles sont considérées comme les estimations les plus probables des vraies valeurs angulaires.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'appliquer la correction avec le mauvais signe. Rappelez-vous : la compensation doit "annuler" la fermeture. Si \(f_a = -20"\), il faut ajouter 20" au total, donc la compensation unitaire est positive.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La compensation vise à annuler la fermeture.
  • La correction unitaire a le signe opposé de la fermeture.
  • On l'applique à chaque angle mesuré.
  • Toujours vérifier que la nouvelle somme est correcte.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La méthode de compensation par les moindres carrés, développée par Gauss et Legendre, est une technique beaucoup plus puissante qui permet de compenser simultanément les angles et les distances d'un levé, en donnant plus de poids aux mesures jugées plus précises. Elle est à la base de tous les logiciels de calcul topographique modernes.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si la compensation n'est pas un nombre entier de secondes ?

Si \(C\) n'est pas entier (ex: +3.5"), on arrondit les corrections pour certains angles afin de retomber sur un total exact. On applique par exemple +4" aux angles les plus grands et +3" aux plus petits, de sorte que la somme totale des corrections soit bien égale à \(-f_a\). C'est ce qu'on appelle la répartition des arrondisTechnique pour distribuer les fractions de seconde restantes lors d'une compensation afin que la somme des corrections soit exactement égale à l'opposé de la fermeture..

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Une compensation de +4" est appliquée à chaque angle. Les valeurs finales des angles compensés sont données dans le tableau ci-dessus.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Pour un carré (4 sommets), si la fermeture est de +12", quelle correction appliquer à chaque angle ?

Outil Interactif : Simulateur de Fermeture

Utilisez cet outil pour explorer comment le nombre de sommets et l'erreur de fermeture influencent la validation et la compensation d'un cheminement. La tolérance est fixée à \( T = 20" \sqrt{n} \).

Paramètres d'Entrée
5 sommets
-20"
Résultats Clés
Somme théorique des angles -
Tolérance Admissible (T) -
Compensation par angle (-fa/n) -
Statut -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la formule correcte pour la somme théorique des angles internes d'un polygone à 'n' côtés ?

2. Si la somme des angles observés est inférieure à la somme théorique, la fermeture angulaire est :

3. Pour un polygone à 6 sommets, la somme théorique des angles est :

4. Une fermeture de -40" est trouvée pour un polygone de 8 sommets. La compensation à appliquer à chaque angle est :

5. À quoi sert principalement la tolérance de fermeture ?

Glossaire

Cheminement Polygonal
Ensemble de lignes droites connectées formant un parcours. En topographie, il sert de canevas pour lever les points de détail. Il est dit "fermé" quand il revient à son point de départ.
Fermeture Angulaire (fa)
Différence entre la somme des angles d'un polygone mesurés sur le terrain et la somme théorique dictée par la géométrie. C'est un indicateur de la précision des mesures.
Tolérance (T)
Erreur maximale autorisée dans les mesures pour que le travail soit considéré comme valide. Elle dépend de la précision des instruments et des méthodes de travail.
Compensation
Processus de correction des mesures initiales en répartissant l'erreur de fermeture (si elle est jugée acceptable) sur l'ensemble des observations, pour rendre les données géométriquement cohérentes.
Exercice de Topographie : Fermeture Angulaire

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