Études de cas pratique

EGC

Calcul de la densité humide du sol

Calcul de la Densité Humide du Sol

Calcul de la Densité Humide du Sol

Comprendre la Densité Humide du Sol

En géotechnique, la densité humide (ou masse volumique humide, \(\rho_h\) ou simplement \(\rho\)) d'un sol est une propriété physique fondamentale. Elle représente la masse totale du sol (solides + eau) par unité de volume total du sol (solides + vides remplis d'eau et/ou d'air). La connaissance de la densité humide est essentielle pour de nombreux calculs en mécanique des sols, tels que l'évaluation des contraintes dans le sol, la capacité portante, le tassement des fondations, et la stabilité des talus. Elle est généralement déterminée en laboratoire à partir d'un échantillon de sol prélevé sur site.

Données de l'étude

Un échantillon de sol intact est prélevé sur un site à l'aide d'un carottier cylindrique. Les mesures suivantes sont effectuées en laboratoire :

  • Masse totale de l'échantillon de sol humide (\(M_t\)) : \(385.6 \, \text{g}\)
  • Volume total de l'échantillon de sol (\(V_t\)) (volume du carottier) : \(200 \, \text{cm}^3\)

Après séchage complet de l'échantillon à l'étuve, sa masse sèche (\(M_s\)) est mesurée à \(325.2 \, \text{g}\).

On suppose que la masse volumique des grains solides (\(\rho_s\)) est de \(2.65 \, \text{g/cm}^3\).

Objectif : Déterminer plusieurs paramètres physiques de cet échantillon de sol.

Schéma : Échantillon de Sol et ses Composantes
Échantillon de sol Vt Diamètre/Largeur Mt Pesée

Représentation schématique d'un échantillon de sol pour la détermination de la densité.

Questions à traiter

  1. Calculer la densité humide (\(\rho_h\)) du sol.
  2. Calculer la teneur en eau (\(w\)) du sol.
  3. Calculer la densité sèche (\(\rho_d\)) du sol.
  4. Calculer l'indice des vides (\(e\)) du sol.
  5. Calculer la porosité (\(n\)) du sol.
  6. Calculer le degré de saturation (\(S_r\)) du sol.

Correction : Calcul des Propriétés Physiques du Sol

Question 1 : Densité Humide (\(\rho_h\))

Principe :

La densité humide (ou masse volumique humide) \(\rho_h\) est le rapport de la masse totale de l'échantillon de sol humide (\(M_t\)) à son volume total (\(V_t\)). Elle représente la masse du sol par unité de volume dans son état naturel, incluant les solides et l'eau contenue dans les vides.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\rho_h = \frac{M_t}{V_t}\]
Données spécifiques :
  • Masse totale humide (\(M_t\)) : \(385.6 \, \text{g}\)
  • Volume total (\(V_t\)) : \(200 \, \text{cm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \rho_h &= \frac{385.6 \, \text{g}}{200 \, \text{cm}^3} \\ &= 1.928 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]

On peut aussi l'exprimer en \(\text{kg/m}^3\) ou \(\text{t/m}^3\): \(1.928 \, \text{g/cm}^3 = 1928 \, \text{kg/m}^3 = 1.928 \, \text{t/m}^3\).

Résultat Question 1 : La densité humide du sol est \(\rho_h = 1.928 \, \text{g/cm}^3\).

Question 2 : Teneur en Eau (\(w\))

Principe :

La teneur en eau (\(w\)) d'un sol est le rapport de la masse de l'eau (\(M_w\)) contenue dans les vides du sol à la masse des particules solides sèches (\(M_s\)). Elle est généralement exprimée en pourcentage. La masse de l'eau est obtenue par la différence entre la masse totale humide et la masse sèche.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_w = M_t - M_s\] \[w = \frac{M_w}{M_s} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • Masse totale humide (\(M_t\)) : \(385.6 \, \text{g}\)
  • Masse sèche (\(M_s\)) : \(325.2 \, \text{g}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_w &= 385.6 \, \text{g} - 325.2 \, \text{g} \\ &= 60.4 \, \text{g} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} w &= \frac{60.4 \, \text{g}}{325.2 \, \text{g}} \times 100\% \\ &\approx 0.18573 \times 100\% \\ &\approx 18.57\% \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La teneur en eau du sol est \(w \approx 18.57\%\).

Question 3 : Densité Sèche (\(\rho_d\))

Principe :

La densité sèche (ou masse volumique sèche) \(\rho_d\) est le rapport de la masse des particules solides sèches (\(M_s\)) au volume total de l'échantillon de sol (\(V_t\)). Elle représente la masse des solides par unité de volume total du sol. Elle peut aussi être calculée à partir de la densité humide et de la teneur en eau : \(\rho_d = \frac{\rho_h}{1+w}\) (où \(w\) est en décimal).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\rho_d = \frac{M_s}{V_t} \quad \text{ou} \quad \rho_d = \frac{\rho_h}{1+w}\]
Données spécifiques :
  • Masse sèche (\(M_s\)) : \(325.2 \, \text{g}\)
  • Volume total (\(V_t\)) : \(200 \, \text{cm}^3\)
  • \(\rho_h = 1.928 \, \text{g/cm}^3\)
  • \(w \approx 0.18573\) (en décimal)
Calcul (méthode 1) :
\[ \begin{aligned} \rho_d &= \frac{325.2 \, \text{g}}{200 \, \text{cm}^3} \\ &= 1.626 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]
Calcul (méthode 2, pour vérification) :
\[ \begin{aligned} \rho_d &= \frac{1.928 \, \text{g/cm}^3}{1+0.18573} \\ &= \frac{1.928}{1.18573} \, \text{g/cm}^3 \\ &\approx 1.6260 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La densité sèche du sol est \(\rho_d = 1.626 \, \text{g/cm}^3\).

Question 4 : Indice des Vides (\(e\))

Principe :

L'indice des vides (\(e\)) est le rapport du volume des vides (\(V_v\)) au volume des particules solides (\(V_s\)). Il peut être calculé à partir de la densité sèche (\(\rho_d\)), de la masse volumique des grains solides (\(\rho_s\)) par la relation : \(e = \frac{\rho_s}{\rho_d} - 1\). Le volume des solides \(V_s\) est \(M_s / \rho_s\), et le volume des vides \(V_v = V_t - V_s\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_s = \frac{M_s}{\rho_s}\] \[V_v = V_t - V_s\] \[e = \frac{V_v}{V_s} \quad \text{ou} \quad e = \frac{\rho_s}{\rho_d} - 1\]
Données spécifiques :
  • Masse sèche (\(M_s\)) : \(325.2 \, \text{g}\)
  • Volume total (\(V_t\)) : \(200 \, \text{cm}^3\)
  • Masse volumique des grains solides (\(\rho_s\)) : \(2.65 \, \text{g/cm}^3\)
  • Densité sèche (\(\rho_d\)) : \(1.626 \, \text{g/cm}^3\)
Calcul (méthode avec \(\rho_s\) et \(\rho_d\)) :
\[ \begin{aligned} e &= \frac{2.65 \, \text{g/cm}^3}{1.626 \, \text{g/cm}^3} - 1 \\ &\approx 1.629766 - 1 \\ &\approx 0.629766 \end{aligned} \]
Calcul (méthode avec volumes) :
\[ \begin{aligned} V_s &= \frac{325.2 \, \text{g}}{2.65 \, \text{g/cm}^3} \approx 122.71698 \, \text{cm}^3 \\ V_v &= 200 \, \text{cm}^3 - 122.71698 \, \text{cm}^3 \approx 77.28302 \, \text{cm}^3 \\ e &= \frac{77.28302 \, \text{cm}^3}{122.71698 \, \text{cm}^3} \approx 0.62976 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'indice des vides est \(e \approx 0.630\).

Question 5 : Porosité (\(n\))

Principe :

La porosité (\(n\)) est le rapport du volume des vides (\(V_v\)) au volume total de l'échantillon (\(V_t\)). Elle est souvent exprimée en pourcentage. Elle peut être reliée à l'indice des vides par la formule \(n = \frac{e}{1+e}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[n = \frac{V_v}{V_t} \times 100\% \quad \text{ou} \quad n = \frac{e}{1+e} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • Volume des vides (\(V_v\)) : \(\approx 77.28302 \, \text{cm}^3\)
  • Volume total (\(V_t\)) : \(200 \, \text{cm}^3\)
  • Indice des vides (\(e\)) : \(\approx 0.629766\)
Calcul (méthode avec \(e\)) :
\[ \begin{aligned} n &= \frac{0.629766}{1+0.629766} \times 100\% \\ &= \frac{0.629766}{1.629766} \times 100\% \\ &\approx 0.38641 \times 100\% \\ &\approx 38.64\% \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La porosité du sol est \(n \approx 38.64\%\).

Question 6 : Degré de Saturation (\(S_r\))

Principe :

Le degré de saturation (\(S_r\)) est le rapport du volume de l'eau (\(V_w\)) au volume des vides (\(V_v\)). Il est généralement exprimé en pourcentage. Le volume de l'eau peut être calculé à partir de sa masse (\(M_w\)) et de la masse volumique de l'eau (\(\rho_w \approx 1 \, \text{g/cm}^3\)). Il peut aussi être calculé par la relation \(S_r = \frac{w \cdot \rho_s}{e \cdot \rho_w}\) ou \(S_r = \frac{w \cdot G_s}{e}\) où \(G_s = \rho_s / \rho_w\) est la densité relative des grains.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_w = \frac{M_w}{\rho_w}\] \[S_r = \frac{V_w}{V_v} \times 100\% \quad \text{ou} \quad S_r = \frac{w \cdot G_s}{e} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • Masse de l'eau (\(M_w\)) : \(60.4 \, \text{g}\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho_w\)) : \(1 \, \text{g/cm}^3\)
  • Volume des vides (\(V_v\)) : \(\approx 77.28302 \, \text{cm}^3\)
  • Teneur en eau (\(w\)) : \(\approx 0.18573\)
  • Indice des vides (\(e\)) : \(\approx 0.629766\)
  • Densité relative des grains (\(G_s = \rho_s/\rho_w\)) : \(2.65/1 = 2.65\)
Calcul (méthode avec volumes) :
\[ \begin{aligned} V_w &= \frac{60.4 \, \text{g}}{1 \, \text{g/cm}^3} = 60.4 \, \text{cm}^3 \\ S_r &= \frac{60.4 \, \text{cm}^3}{77.28302 \, \text{cm}^3} \times 100\% \\ &\approx 0.78154 \times 100\% \\ &\approx 78.15\% \end{aligned} \]
Calcul (méthode avec \(w, G_s, e\)) :
\[ \begin{aligned} S_r &= \frac{0.18573 \cdot 2.65}{0.629766} \times 100\% \\ &= \frac{0.4921845}{0.629766} \times 100\% \\ &\approx 0.78153 \times 100\% \\ &\approx 78.15\% \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le degré de saturation du sol est \(S_r \approx 78.15\%\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si un sol est parfaitement sec, sa teneur en eau \(w\) est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. La densité humide d'un sol est toujours :

8. Un indice des vides \(e > 1\) signifie que :

9. Si un sol est complètement saturé en eau, son degré de saturation \(S_r\) est :

Glossaire

Densité Humide (\(\rho_h\))
Masse totale du sol (solides + eau) par unité de volume total du sol. Aussi appelée masse volumique totale.
Teneur en Eau (\(w\))
Rapport de la masse de l'eau à la masse des particules solides sèches, exprimé en pourcentage.
Densité Sèche (\(\rho_d\))
Masse des particules solides sèches par unité de volume total du sol.
Masse Volumique des Grains Solides (\(\rho_s\))
Masse des particules solides par unité de volume des particules solides elles-mêmes (sans les vides).
Indice des Vides (\(e\))
Rapport du volume des vides au volume des particules solides.
Porosité (\(n\))
Rapport du volume des vides au volume total du sol, exprimé en pourcentage.
Degré de Saturation (\(S_r\))
Rapport du volume de l'eau au volume des vides, exprimé en pourcentage. Indique la proportion des vides remplie d'eau.
Calcul de la Densité Humide du Sol - Exercice d'Application

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