Calcul des déformations dans une poutre
📝 Situation du Projet - Entrepôt Logistix Inc.
Vous êtes ingénieur structure au sein du bureau d'études "MetalStruct Solutions", un cabinet reconnu pour son expertise dans les charpentes industrielles lourdes. Le projet actuel concerne la réhabilitation du Hall B de l'entrepôt logistique "Zone Nord" de notre client Logistix Inc., situé en zone sismique modérée (Zone 2).
Dans le cadre de l'optimisation des flux, le client souhaite installer une plateforme de stockage (mezzanine) en acier. Cette structure est destinée à supporter des charges lourdes de manutention ainsi que des racks de stockage temporaire. La contrainte architecturale majeure réside dans la hauteur sous plafond limitée : l'épaisseur du plancher technique doit être minimisée, ce qui nous a conduits à utiliser des profilés IPE.
La problématique technique spécifique que vous devez traiter aujourd'hui se situe au niveau de la poutre principale (sommier) de la file 4. Cette poutre, d'une portée de 8 mètres, supporte non seulement le platelage (charge répartie générée par la dalle et l'exploitation) mais doit également reprendre la charge ponctuelle d'un palan motorisé Konecranes 3.5t, fixé exactement en son centre pour le levage de pièces mécaniques volumineuses.
Le point critique est le suivant : des bureaux administratifs cloisonnés par des parois vitrées toute hauteur sont situés juste en dessous de cette poutre. Si cette poutre fléchit trop sous la charge (déformation excessive), elle risque d'entrer en contact avec le châssis supérieur des vitrages, brisant les cloisons et créant un risque majeur pour la sécurité des employés de bureau.
En tant qu'Expert Calcul Structure, vous avez la responsabilité de vérifier le critère de flèche à l'État Limite de Service (ELS) de la poutre profilée IPE 360 proposée par l'architecte. Vous devrez calculer la déformée maximale sous la combinaison des charges (répartie + ponctuelle) et la comparer à la limite normative admissible stricte (\(L/300\)) pour garantir l'intégrité des ouvrages sous-jacents.
"Attention, la présence des cloisons vitrées sous la poutre nous impose un critère de flèche très strict. Ne confondez pas les unités lors de la conversion de l'inertie en mètres puissance quatre, c'est l'erreur classique des stagiaires. Vérifiez bien le module de Young de l'acier."
Les données suivantes sont extraites du CCTP (Cahier des Clauses Techniques Particulières) et des abaques fournisseurs. Elles constituent la base unique pour tous les calculs de vérification.
📚 Référentiel Normatif & Physique
L'étude s'inscrit strictement dans le cadre des Eurocodes structurels en vigueur :
- Eurocode 0 (EN 1990) : Bases de calcul des structures (Combinaisons d'actions ELS).
- Eurocode 1 (EN 1991) : Actions sur les structures (Poids volumiques, charges d'exploitation).
- Eurocode 3 (EN 1993-1-1) : Calcul des structures en acier (Règles générales).
| ACIER S235 JR (EN 10025-2) | |
| Module de Young (Élasticité) | \(E = 210\,000 \text{ MPa}\) |
| Limite d'élasticité | \(f_{\text{y}} = 235 \text{ MPa}\) |
| SECTION IPE 360 (EURONORM 19-57) | |
| Hauteur de section | \(h = 360 \text{ mm}\) |
| Largeur de section | \(b = 170 \text{ mm}\) |
| Moment quadratique (Inertie forte) | \(I_y = 16\,270 \text{ cm}^4\) |
📐 Géométrie du Système
- Portée de la poutre (entre nus d'appuis) : \(L = 8,00 \text{ m}\)
- Type d'appuis : Appuis simples (Rotule à gauche, Appui simple à droite).
- Position de la charge ponctuelle : Mi-travée (\(L/2\)).
⚖️ Sollicitations / Charges (ELS)
Les valeurs ci-dessous résultent de la descente de charges pondérée à l'ELS (G + Q).
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur | \(L\) | 8,00 | m |
| Inertie | \(I_y\) | 16 270 | cm\(^4\) |
| Module Young | \(E\) | 210 000 | MPa |
| Charge répartie | \(q\) | 12 | kN/m |
| Charge ponctuelle | \(P\) | 35 | kN |
E. Protocole de Résolution
Afin de valider la conformité de la poutre vis-à-vis du critère de flèche, nous allons suivre une méthodologie rigoureuse étape par étape, passant de la caractérisation géométrique à la vérification normative.
Calcul de la Rigidité de Flexion
Conversion des unités d'inertie et calcul du produit \(E \cdot I\) pour obtenir la rigidité intrinsèque de la poutre.
Déformées Élémentaires
Calcul séparé de la flèche due à la charge répartie \(q\) et de la flèche due à la charge ponctuelle \(P\) en utilisant les formulaires standards.
Principe de Superposition
Sommation des flèches élémentaires pour obtenir la flèche totale maximale à mi-travée.
Vérification Normative
Comparaison de la flèche totale calculée avec la limite admissible \(L/300\) imposée par l'Eurocode pour ce type d'ouvrage.
Calcul des déformations dans une poutre
🎯 Objectif
L'objectif primordial de cette première étape est de déterminer la rigidité de flexion (\(E \cdot I\)) de la poutre. Cette grandeur physique fondamentale quantifie la résistance intrinsèque de l'élément structurel à la déformation élastique. En d'autres termes, elle nous dit à quel point la poutre est "raide" ou "souple". Pour garantir l'exactitude des calculs ultérieurs, il est impératif de convertir toutes les grandeurs mécaniques (Inertie, Module de Young) dans le système international d'unités (SI), à savoir le mètre (m) et le Newton (N).
📚 Référentiel
Catalogue Profilés Acier (ArcelorMittal) Système International (SI)Dans la pratique courante des bureaux d'études, les catalogues fournisseurs donnent l'inertie en cm\(^4\) pour éviter l'écriture de nombres trop petits, et le module de Young en GPa ou MPa pour éviter les nombres trop grands. Cependant, les formules de flèche (comportant des longueurs en mètres et des forces en Newtons) exigent une cohérence absolue des unités. Une erreur de conversion à ce stade se propage et s'amplifie dans tout le reste de la note de calcul. Nous allons donc procéder méthodiquement : d'abord convertir l'inertie géométrique, ensuite le module élastique, et enfin calculer leur produit.
Section IPE 360 et axes d'inertie
La rigidité de flexion est le produit de deux termes :
1. \(E\) (Module de Young) : Représente la rigidité du matériau lui-même (L'acier est plus rigide que l'aluminium).
2. \(I\) (Moment quadratique) : Représente la rigidité liée à la forme de la section. Plus la matière est éloignée du centre de gravité, plus \(I\) est grand.
La loi de comportement élastique s'écrit :
où \(y''(x)\) est la courbure. C'est la base de toute la RDM.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur Catalogue |
|---|---|---|
| Module de Young | \(E\) | 210 000 MPa |
| Inertie (Axe Fort) | \(I_y\) | 16 270 cm\(^4\) |
Utilisez systématiquement la notation scientifique (puissances de 10) sur votre calculatrice pour ces conversions. Cela évite de compter manuellement les zéros et réduit drastiquement le risque d'erreur de saisie.
Calculs Détaillés
1. Conversion de l'Inertie \(I_y\) en unités SI
Nous convertissons l'inertie de l'IPE 360 donnée en cm\(^4\) vers l'unité normalisée m\(^4\) en appliquant le facteur de conversion \(10^{-8}\).
Interprétation : La valeur numérique devient très petite, ce qui est normal car un mètre puissance quatre est une unité gigantesque pour une section d'acier.
2. Conversion du Module de Young \(E\) en unités SI
Le module d'élasticité est donné en Mégapascals (MPa). Sachant que le préfixe "Méga" vaut \(10^6\), nous convertissons en Pascals (Pa).
Interprétation : L'acier est un matériau extrêmement rigide, d'où cette valeur très élevée en Pascals.
3. Calcul de la Rigidité de Flexion \(EI\)
Nous effectuons enfin le produit des deux grandeurs converties pour obtenir la rigidité globale de la section.
Interprétation : Ce chiffre sera le dénominateur commun de toutes nos formules de flèche. Plus il est grand, moins la poutre se déforme.
L'ordre de grandeur de \(10^7\) pour une rigidité \(EI\) en acier est cohérent pour un profilé de moyenne inertie comme l'IPE 360. Si vous aviez trouvé \(10^3\), cela correspondrait à du bois ou du plastique, et \(10^{10}\) à un pont autoroutier.
Ne confondez surtout pas l'inertie \(I_y\) (flexion autour de l'axe fort, poutre debout) et \(I_z\) (axe faible, poutre couchée). L'inertie \(I_z\) pour un IPE 360 ne vaut que 1040 cm\(^4\), soit 16 fois moins ! Une telle erreur conduirait à un effondrement théorique immédiat dans les calculs.
🎯 Objectif
Nous entrons maintenant dans le cœur du calcul mécanique. L'objectif est de calculer séparément la déformation verticale maximale (flèche) induite par chaque type de charge. Nous appliquons ici le théorème de superposition : nous décomposons le problème complexe (plusieurs charges simultanées) en deux problèmes simples connus (charge répartie seule + charge ponctuelle seule), que nous traiterons successivement.
📚 Référentiel
Formulaire RDM (Poutres Isostatiques) Principes de la StatiqueLes formules de flèche maximale se trouvent dans les formulaires standards de RDM (comme le Muller-Breslau ou les guides techniques Arcelor). Pour un chargement symétrique (charge répartie uniforme sur toute la longueur et charge ponctuelle centrée), la flèche maximale se produit mathématiquement au milieu de la poutre, à l'abscisse \(x = L/2\). Nous n'avons donc pas besoin de déterminer l'équation complète de la ligne élastique, mais seulement d'appliquer les formules spécifiques pour \(x = L/2\).
Pour une poutre isostatique sur deux appuis :
• Une charge répartie \(q\) génère une déformée parabolique du 4ème ordre.
• Une charge ponctuelle \(P\) génère une déformée composée de deux polynômes du 3ème ordre.
Le point de flèche maximale est toujours au centre pour ces cas symétriques.
Pour une poutre sur deux appuis simples de portée \(L\) :
Notez la puissance 4 sur la longueur \(L\), rendant la flèche très sensible à la portée.
Ici, la longueur \(L\) intervient à la puissance 3.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge répartie \(q\) | 12 kN/m |
| Charge ponctuelle \(P\) | 35 kN |
| Longueur \(L\) | 8,00 m |
| Rigidité \(EI\) (calculée précédemment) | 34 167 000 N.m² |
Assurez-vous toujours que la longueur \(L\) est en mètres et les charges en Newtons (ou N/m) pour être cohérent avec le \(EI\) calculé en N.m². Un mélange mm/m est fatal.
Calculs Détaillés
1. Conversion des Charges en Newtons
Avant d'appliquer les formules, nous devons convertir les kilonewtons (kN) en Newtons (N) pour respecter l'homogénéité avec le module de Young (Pa = N/m²) et l'inertie (m\(^4\)).
Conversion de la charge répartie :
Conversion de la charge ponctuelle :
Interprétation : Nous travaillerons avec \(12\,000 \text{ N/m}\) et \(35\,000 \text{ N}\).
2. Calcul de la flèche due à la charge répartie (\(f_q\))
Nous calculons la déformée induite par le poids propre, le platelage et la charge d'exploitation répartie. Nous utilisons le résultat \(EI\) obtenu à l'étape précédente.
Interprétation : La charge répartie seule provoque une descente d'environ 1,87 cm au centre de la poutre. Pour faciliter la lecture, nous convertirons en millimètres : \(18,73 \text{ mm}\).
3. Calcul de la flèche due à la charge ponctuelle (\(f_P\))
Nous calculons maintenant l'impact spécifique du palan central chargé.
Interprétation : La charge ponctuelle ajoute environ 1,09 cm de flèche supplémentaire. En millimètres : \(10,93 \text{ mm}\).
Les valeurs obtenues sont de l'ordre du centimètre pour une portée de 8 mètres, ce qui est physiquement réaliste pour une structure métallique chargée. Une flèche de 1 mètre (poutre en caoutchouc ?) ou de 0,1 mm (poutre infiniment rigide ?) aurait indiqué une erreur grossière de calcul.
L'erreur la plus fréquente dans ce calcul est d'utiliser \(L^3\) pour la charge répartie au lieu de \(L^4\). Cela fausse le résultat d'un facteur 8 (la longueur de la poutre) ! Vérifiez toujours vos puissances.
🎯 Objectif
Cette troisième étape consiste à faire la synthèse des résultats précédents pour obtenir la valeur unique de déformation maximale que la poutre subira en conditions réelles d'exploitation. C'est cette valeur physique, la flèche totale, qui sera visible à l'œil nu et qui sollicitera mécaniquement les éléments non structuraux situés sous la poutre (les cloisons vitrées).
📚 Référentiel
Principe de Superposition (Linéarité)Pourquoi avons-nous le droit d'additionner les flèches ? Parce que nous supposons que le matériau (acier) reste dans son domaine élastique linéaire (loi de Hooke : \(\sigma = E \cdot \epsilon\)) et que les déplacements restent faibles devant les dimensions de la poutre (hypothèse des petits déplacements). Dans ce cadre, les effets des causes (charges) s'ajoutent linéairement. Comme les deux flèches maximales calculées précédemment se situent exactement au même endroit géométrique (à mi-travée, \(x = L/2\)), nous pouvons procéder à une simple sommation scalaire.
Principe de superposition des déformées
Pour un système linéaire élastique, l'effet produit par un ensemble de causes (forces) agissant simultanément est égal à la somme des effets produits par chacune des causes agissant isolément.
Flèche totale :
Somme algébrique des déplacements verticaux.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Composante | Valeur calculée |
|---|---|
| Flèche charge répartie \(f_q\) | 18,73 mm |
| Flèche charge ponctuelle \(f_P\) | 10,93 mm |
Si les deux charges n'agissaient pas dans le même sens (ex: soulèvement par le vent + poids propre), il faudrait soustraire les valeurs. Ici, la gravité agit dans le même sens pour les deux : on additionne.
Calculs Détaillés
1. Sommation des composantes de flèche
Nous additionnons les valeurs en millimètres obtenues à l'étape 2.
Interprétation : La poutre descendra au total de près de 30 mm (3 cm) par rapport à sa position horizontale initiale au repos.
La poutre va descendre de presque 3 cm en son centre. C'est une déformation visible à l'œil nu sur une longueur de 8 mètres. Il est crucial de vérifier si cela est acceptable.
🎯 Objectif
L'étape finale, et la plus critique, consiste à confronter notre résultat technique calculé (\(f_{\text{tot}}\)) à la limite réglementaire et contractuelle imposée (\(f_{\text{lim}}\)). C'est l'étape décisionnelle binaire : la conception est-elle CONFORME (on peut construire) ou NON CONFORME (on doit redimensionner) ?
📚 Référentiel
Eurocode 3 - Critères ELS CCTP Projet (Critères spécifiques)Le critère \(L/300\) (longueur divisée par 300) est une exigence standard de l'Eurocode pour éviter les désordres esthétiques ou fonctionnels dans les éléments portés courants. Cependant, la présence de cloisons vitrées est très contraignante. Les vitres n'ont aucune ductilité : si le cadre métallique du plafond descend et appuie sur le verre, celui-ci explose. Nous devons donc être intransigeants sur le respect de cette limite.
Visualisation du dépassement de la flèche limite
Les vérifications ELS ne concernent pas la ruine de la structure (effondrement = ELU), mais son confort et son fonctionnement. Une flèche excessive peut empêcher des portes d'ouvrir, fissurer des cloisons ou créer des flaques d'eau en toiture.
Étape 1 : Rappel des Données de Vérification
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Portée de la poutre \(L\) | 8 000 mm |
| Critère de flèche imposé | \(L/300\) |
| Flèche réelle \(f_{\text{tot}}\) | 29,66 mm |
Pour comparer rapidement, calculez d'abord la limite \(L/300\). Si votre flèche est supérieure, inutile de chercher des virgules : c'est non conforme.
Vérification Finale
1. Calcul de la flèche limite admissible \(f_{\text{lim}}\)
Nous déterminons la valeur seuil absolue en millimètres à ne pas dépasser.
Interprétation : La poutre ne doit pas descendre de plus de 26,67 mm sous charge.
2. Comparaison et Conclusion
Nous confrontons la réalité physique calculée (\(f_{\text{tot}}\)) à la contrainte réglementaire (\(f_{\text{lim}}\)).
Résultat : La flèche réelle dépasse la limite autorisée. Le critère n'est PAS respecté.
Le dépassement est de l'ordre de 11% (\(29,66 / 26,67 \approx 1,11\)). Ce n'est pas énorme, mais suffisant pour être refusé par un bureau de contrôle, surtout avec des vitrages en jeu.
Si l'on maintient ce profilé, il y a un risque réel de bris de glace sur les cloisons inférieures. Pour résoudre ce problème, l'ingénieur doit proposer un profilé plus rigide (avec une inertie \(I_y\) plus grande). Un IPE 400 (\(I_y = 23\,130 \text{ cm}^4\)) serait probablement suffisant, ou alors un renforcement de l'IPE 360 par des plats soudés sur les semelles.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
STRUCT
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 20/10/2024 | Création du document | Ing. Junior |
| B | 24/10/2024 | Ajout charge Palan | Ing. Structure |
- Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
- Eurocode 3 : Calcul des structures en acier
- Critère de flèche imposé : \(f \leq L/300\)
| Portée \(L\) | 8,00 m |
| Inertie de flexion \(I_y\) | 16 270 cm\(^4\) |
| Module de Young \(E\) | 210 000 MPa |
Vérification de la flèche verticale maximale à mi-travée sous combinaison quasi-permanente.
L'Ingénieur IA
Chef de Projet
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