La précontrainte rend le béton "actif" en le comprimant.
Calcul des Efforts en Béton Précontraint
📝 Situation du Projet
Dans le cadre de la construction d'une passerelle piétonne, vous êtes chargé de vérifier le dimensionnement d'une poutre principale en béton précontraint par post-tension. L'étude se concentre sur la phase critique de la mise en tension des câbles.
L'étape actuelle est cruciale : la mise en tension des câbles (aussi appelée "transfert"). C'est l'instant \(t=0\) où la force de précontrainte est appliquée à la structure. À ce moment précis :
- La poutre ne porte encore que son propre poids (pas de tablier, pas de superstructures, pas de piétons).
- La force de précontrainte est maximale (les pertes différées dues au fluage et à la relaxation n'ont pas encore eu lieu).
- Le béton est "jeune" (généralement âgé de 3 à 7 jours) et n'a pas encore atteint sa résistance caractéristique finale \(f_{ck}\). Sa résistance au jeune âge \(f_{ck}(t)\) est plus faible.
Ce cumul de facteurs rend cette phase dimensionnante pour la sécurité de l'élément, notamment vis-à-vis du risque de fissuration par traction excessive en fibre supérieure.
Vérifier les contraintes normales (compression/traction) dans la section médiane de la poutre (à mi-portée) juste après le blocage des ancrages. Vous devez vous assurer que :
1. Le béton ne fissure pas en fibre supérieure (zone tendue par la précontrainte).
2. Le béton ne s'écrase pas en fibre inférieure (zone comprimée par la précontrainte).
- Localisation
Lyon, France - Maître d'Ouvrage
Métropole du Grand Lyon - Ouvrage
Tablier VIPP (Portée 20m)
"Attention, à la mise en tension, le câble exerce un effort colossal qui tend à soulever la poutre. Comme le poids propre (qui la fait redescendre) est le seul chargement qui s'y oppose, la fibre supérieure risque d'être fortement tendue. Vérifiez bien que la traction ne dépasse pas la capacité du béton jeune !"
2. Données Techniques de Référence
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet, conformément aux Eurocodes (EC2) et aux règles professionnelles du BPEL 91 révisé 99 (souvent utilisées comme référence comparative en France).
📚 Référentiel Normatif
Eurocode 2 (EN 1992-1-1) BPEL 91 R99 (Référence)Le calcul sera mené selon les principes de la RDM (Résistance des Matériaux) classique appliquée aux sections homogènes.
[Art. 3.2] BÉTON C40/50
- Résistance caract. compression (28j) : \(f_{ck} = 40 \, \text{MPa}\)
- Résistance moyenne traction (28j) : \(f_{ctm} = 3.5 \, \text{MPa}\)
- Poids volumique (armé) : \(\rho = 25 \, \text{kN}/\text{m}^3\)
[Art. 4.1] PRÉCONTRAINTE
- Type : Torons T15S (7 fils) classe 1860 TBR (Très Basse Relaxation).
- Limite rupture : \(f_{pk} = 1860 \, \text{MPa}\)
- Limite élastique 0.1% : \(f_{p0.1k} = 1640 \, \text{MPa}\)
[Art. 5.5] PERTES INSTANTANÉES
- Estimation forfaitaire : \(\Delta P_{\text{inst}} = 10\%\) (incluant frottements \(\mu\), recul d'ancrage \(g\) et raccourcissement élastique).
| BÉTON (Structure) | |
| Classe | C40/50 |
| fck (Compression) | 40 MPa |
| fctm (Traction) | 3.5 MPa |
| ACIER (Actif) | |
| Type | T15S - 1860 |
| fpk (Rupture) | 1860 MPa |
| Section Câble (Ap) | 15 cm² (hyp.) |
📐 Géométrie de la Poutre
Pour les besoins de l'exercice, la section réelle en I a été simplifiée en une section rectangulaire équivalente.
- Portée de calcul (L): 20.00 m (distance entre les appareils d'appui).
- Section Transversale: Rectangulaire \(0.50 \times 1.20\) m.
- Excentricité du câble (e): 0.40 m (distance verticale entre le centre de gravité G et le câble à mi-portée).
- Position Fibre Neutre (v): 0.60 m (G est à mi-hauteur).
⚖️ Chargement (Phase t=0)
À l'instant du transfert, seules deux actions s'opposent :
Aucune charge d'exploitation (trafic, foule), ni de revêtement (chaussée) n'est présente à ce stade. C'est le cas de charge "à vide".
E. Protocole de Résolution
Méthodologie pour la vérification d'une section en béton précontraint à l'ELS (État Limite de Service).
Caractéristiques Géométriques
Calcul de l'Aire (B), de l'Inertie (I) et du rendement.
Sollicitations Extérieures
Calcul du Moment de Poids Propre (Mg).
Force de Précontrainte
Détermination de P0 (initiale) et P (après pertes).
Vérification des Contraintes
Calcul de Sigma(sup) et Sigma(inf) et comparaison aux admissibles.
Calcul des Efforts en Béton Précontraint
🎯 Objectif Détaillé
Avant d'analyser les forces et contraintes, il est impératif de définir la "carte d'identité géométrique" de la poutre. L'objectif est de calculer les propriétés de la section transversale qui vont dicter sa réponse mécanique :
- L'Aire (B) : Elle gouverne la réponse aux efforts normaux (compression pure générée par la précontrainte P/B).
- L'Inertie (I) : Aussi appelée Moment Quadratique, elle quantifie la rigidité de la section face à la flexion. Plus I est grand, moins la poutre fléchit sous un moment donné.
- La Position du Centre de Gravité (v, v') : Indispensable pour calculer les contraintes sur les fibres extrêmes (les plus sollicitées).
Dans cet exercice, nous travaillons sur la section brute (béton seul, sans aciers), une simplification courante en précontrainte car la compression maintient la section non-fissurée et pleinement active.
📚 Référentiel Normatif
Ce calcul s'appuie sur les principes fondamentaux de la Résistance des Matériaux (RDM) et les définitions de l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1), article 5.8.3 "Propriétés des sections".
EN 1992-1-1 (EC2) Théorie des Poutres (Navier-Bernoulli)Pourquoi calculer la "Section Brute" ?
En béton armé classique, le béton tendu fissure et on ne compte que sur l'acier (section fissurée). En béton précontraint, la philosophie est inverse : on comprime le béton pour empêcher la fissuration. Par conséquent, toute la section de béton participe à la résistance. C'est pourquoi nous utilisons les caractéristiques de la section totale de béton (section brute) pour nos vérifications à l'ELS (État Limite de Service).
Note : Pour être parfaitement exact, on devrait utiliser la "section nette" (sans les trous des gaines) ou "homogénéisée" (avec aciers), mais la section brute est une excellente approximation pour un prédimensionnement rapide.
Pour une section rectangulaire de largeur \(b\) et de hauteur \(h\) :
- Centre de Gravité (G) : Point d'équilibre de la surface. Pour un rectangle, il est situé exactement à mi-hauteur (\(h/2\)).
- Moment d'Inertie (\(I_{Gx}\)) : Exprime la résistance à la rotation autour de l'axe neutre. Il dépend de la largeur mais surtout du cube de la hauteur (\(h^3\)). Doubler la hauteur multiplie la rigidité par 8 !
- Fibres extrêmes (\(v, v'\)) : Distances verticales entre l'axe neutre et les bords supérieur/inférieur de la poutre.
Étape 1 : Données d'Entrée & Analyse Dimensionnelle
Il est crucial de bien identifier les dimensions de la poutre avant tout calcul. Ici, nous travaillons en unités S.I. (Système International) de base : le Mètre (m).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur de la poutre | \(b\) | 0.50 | \(\text{m}\) |
| Hauteur totale | \(h\) | 1.20 | \(\text{m}\) |
Restez en mètres (m) ! Bien que les plans béton soient souvent en cm ou mm, les calculs de RDM (Moments, Contraintes en MPa/MN) sont beaucoup plus simples si vous gardez tout en mètres :
- Aire en \(m^2\)
- Inertie en \(m^4\)
- Force en \(MN\)
Cela évite les erreurs de conversion complexes (ex: \(1 m^4 = 10^{12} mm^4\)).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous appliquons ici les formules théoriques avec les valeurs spécifiques de notre poutre (\(0.50 \times 1.20\)).
1. Calcul de l'Aire (B)On applique la formule simple de l'aire d'un rectangle \(b \times h\).
Cette surface de \(0.60 \, \text{m}^2\) est importante : elle servira de dénominateur pour la contrainte axiale (\(P/B\)).
2. Calcul de l'Inertie (I)On applique la formule de l'inertie \(bh^3/12\). Attention à bien mettre la hauteur au cube.
Cette valeur est le dénominateur des termes de flexion. Elle est très sensible à la hauteur : une petite erreur sur h a un gros impact sur I.
3. Fibre Neutre (v)La section étant rectangulaire et symétrique, le centre de gravité est situé exactement à mi-hauteur.
Interprétation : Une inertie de \(0.072 \, \text{m}^4\) est conséquente. Pour comparaison, une poutre carrée de 20cm aurait une inertie de \(0.00013 \, \text{m}^4\). Notre poutre est environ 500 fois plus rigide.
Validation Graphique
I = 0.072 m⁴
v = 0.60 m
Est-ce que \(0.072 \, \text{m}^4\) est réaliste ? Oui. Pour des ouvrages de génie civil (ponts, passerelles), les inerties sont souvent inférieures à \(1 \, \text{m}^4\) mais bien supérieures à \(0.001 \, \text{m}^4\). L'ordre de grandeur est cohérent avec une section massive de 1m de haut.
- Confusion h vs d : En béton armé, on calcule souvent avec \(d\) (hauteur utile). Ici, pour l'inertie de la section brute, c'est bien la hauteur totale \(h\) qu'il faut utiliser.
- Unités : Ne mélangez pas cm et m. Si b est en cm et h en m, le résultat sera faux. Convertissez tout en mètres dès le début.
- Axe fort vs Axe faible : La formule \(bh^3/12\) s'applique pour la flexion verticale. Si la poutre fléchissait horizontalement, l'inertie serait \(hb^3/12\) (beaucoup plus faible).
❓ Question Fréquente
Pourquoi négliger les aciers (section brute) ?
En précontrainte, le béton est comprimé, ce qui empêche les fissures de s'ouvrir. Le béton travaille donc sur toute sa section. De plus, la section d'acier est très petite (quelques \(cm^2\)) par rapport au béton (\(6000 \, cm^2\)), son impact sur l'inertie est négligeable en première approche.
🎯 Objectif Détaillé
Dans cette étape, nous devons quantifier les efforts internes que la poutre doit supporter du seul fait de son existence. La poutre a une masse, donc la gravité terrestre exerce une force sur elle (son poids). Cette force crée de la flexion.
L'objectif est de traduire la masse volumique du béton (kg/m³) en un Moment Fléchissant (\(M_g\)) exprimé en MNm, qui servira à vérifier si la précontrainte est suffisante (ou trop forte) à vide.
📚 Référentiel Normatif
Le calcul des charges permanentes est régi par l'Eurocode 1 (EN 1991-1-1) "Actions sur les structures - Poids volumiques".
EN 1991-1-1 (Charges) RDM (Poutre Isostatique)Le duel "Poids Propre" vs "Précontrainte"
À la mise en tension (\(t=0\)), la poutre ne porte rien d'autre qu'elle-même. C'est une phase critique ! Pourquoi ?
- La précontrainte pousse la poutre vers le haut (contre-flèche).
- Le poids propre la tire vers le bas.
Si le poids propre est trop faible (poutre légère), la précontrainte risque de casser la poutre en la pliant vers le haut. Il est donc fondamental de calculer \(M_g\) avec précision pour vérifier cet équilibre.
Le cheminement de la charge se fait en 3 étapes :
- Volume \(\rightarrow\) Linéique : On ramène le poids de tout le volume de béton à une charge par mètre de longueur (\(g\)).
- Modèle Statique : On considère une poutre sur deux appuis simples soumise à cette charge uniforme.
- Efforts Internes : La flexion est nulle aux appuis et maximale au centre. La courbe des moments est une parabole parfaite.
Étape 1 : Données d'Entrée
On récupère l'aire calculée à la question précédente et les données du sujet.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Section transversale | \(B\) | 0.60 | \(\text{m}^2\) |
| Poids volumique béton | \(\rho\) | 25 | \(\text{kN}/\text{m}^3\) |
| Portée de la poutre | \(L\) | 20.00 | \(\text{m}\) |
Une charge linéaire \(g = 15 \, \text{kN}/\text{m}\) signifie que chaque mètre de poutre pèse 1.5 tonne (car \(10 \, \text{kN} \approx 1 \, \text{tonne}\)). C'est une charge très lourde, typique du béton, qui va générer des efforts importants même sans aucune voiture ou piéton dessus.
Étape 2 : Calculs Détaillés
Nous procédons en deux temps : d'abord la charge répartie, puis le moment de flexion.
1. Calcul de la Charge Linéique (g)On transforme le volume en ligne.
Cela représente une charge permanente très importante de 1.5 tonne par mètre linéaire.
2. Calcul du Moment Fléchissant (Mg)Application de la formule parabolique au centre de la poutre (\(x=L/2\)).
Ce moment de 750 kNm est l'effort maximal à mi-portée.
3. Conversion en Unités Contraintes (MNm)Pour calculer des contraintes en MPa (\(MN/m^2\)), il faut le moment en MNm.
Sens physique : Ce moment est positif. Il tend à faire sourire la poutre ◡. La fibre inférieure est tendue, la supérieure est comprimée. C'est exactement l'inverse de ce que fait la précontrainte.
Diagrammes
Pour une poutre de 20m de portée, un moment de flexion sous poids propre est généralement significatif. Une règle empirique très grossière est \(M \approx L^2/2\) à \(L^2\). Ici \(20^2 = 400\). On trouve 750. C'est le bon ordre de grandeur pour une poutre béton lourde.
- Portée (L) : Utilisez bien la distance entre les appuis (20m), pas la longueur totale de la poutre si elle dépasse. Le moment dépend du carré de la portée : une petite erreur sur L a un grand impact !
- Unités de force : Le poids volumique est en kN/m³, pas en kg/m³. Si on vous donne 2500 kg/m³, multipliez par 9.81 (ou 10) pour avoir des Newtons.
❓ Question Fréquente
Doit-on pondérer par 1.35 (ELU) ?
Non ! Ici, nous sommes en train de vérifier les contraintes en service (ELS) ou lors d'une phase de construction. On cherche à savoir ce qui se passe "réellement" dans la matière, sans coefficients de sécurité majorateurs de charges. On utilise donc les charges caractéristiques (\(G_k\)).
🎯 Objectif Détaillé
Il s'agit de calculer la force de tension initiale (\(P_0\)) que l'on va appliquer au vérin, puis de déterminer la force restante (\(P_{m0}\) ou \(P\)) qui agira réellement sur le béton juste après le relâchement du vérin. On doit respecter les limites de l'acier pour éviter sa rupture ou une déformation excessive.
📚 Référentiel Normatif
Les limites de tension sont dictées par l'Eurocode 2, Article 5.10.2 "Force de précontrainte maximale".
EN 1992-1-1 Art 5.10.2 Agrément du procédéPourquoi limiter la tension ?
L'acier de précontrainte est très résistant (\(1860 \, \text{MPa}\)) mais fragile. Si on le tend trop :
- Risque de rupture brutale lors de la mise en tension (sécurité chantier).
- Risque de dépasser la limite élastique : l'acier s'allonge de manière irréversible et perd sa force.
C'est pourquoi la norme impose un "double plafond" : on ne doit dépasser ni 80% de la rupture, ni 90% de la limite élastique.
Dès qu'on lâche le vérin, la force diminue instantanément. Pourquoi ?
- Frottements : Le câble frotte contre la gaine (surtout si elle est courbe).
- Recul d'ancrage : Les clavettes qui bloquent le câble "rentrent" de quelques millimètres (6-8mm) pour se coincer. Cela détend un peu le câble.
- Raccourcissement élastique : En comprimant le béton, la poutre raccourcit. Le câble raccourcit avec elle et perd donc de la tension.
Dans cet exercice, toutes ces pertes sont estimées globalement à 10%.
Étape 1 : Hypothèses Acier
Données issues des catalogues fournisseurs (ex: Freyssinet, VSL) et de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Limite de rupture | \(f_{pk}\) | 1860 | \(\text{MPa}\) |
| Limite élastique 0.1% | \(f_{p0.1k}\) | 1640 | \(\text{MPa}\) |
| Section totale d'acier | \(A_p\) | 1500 (15) | \(\text{mm}^2 (\text{cm}^2)\) |
Sur le chantier, on ne mesure pas directement la "Force". On contrôle deux choses :
- La Pression hydraulique dans le vérin (en Bars) \(\rightarrow\) Image de la Force.
- L'Allongement du câble (en mm) \(\rightarrow\) Vérification de la cohérence (Loi de Hooke).
Si l'allongement ne correspond pas à la pression, on arrête tout (problème de frottement ou de gaine bouchée) !
Étape 2 : Calcul de la Force P
Nous allons déterminer la contrainte maximale autorisée, en déduire la force initiale totale, puis appliquer le coefficient de perte.
1. Calcul de la contrainte admissible au vérinC'est la limite élastique (1476 MPa) qui est dimensionnante ici.
2. Calcul de la Force Initiale (P0)Force maximale que le vérin va exercer sur les torons.
C'est la force maximale théorique que le vérin peut appliquer avant de risquer d'endommager l'acier.
3. Force après pertes immédiates (10%)On estime les pertes immédiates (frottements, recul d'ancrage) à 10% de la force initiale.
Nous retiendrons P = 2.0 MN pour la vérification des contraintes. C'est la force qui "comprime" réellement le béton.
Résultat Force
Une force de 2 MN correspond à environ 200 tonnes. C'est considérable ! Cela équivaut au poids de 5 camions semi-remorques chargés, appliqué sur une petite surface d'ancrage. Cela explique pourquoi le béton derrière l'ancrage doit être particulièrement ferraillé (frettage).
- Unités de contrainte : \(1 \text{ MPa} = 1 \text{ N}/\text{mm}^2 = 1 \text{ MN}/\text{m}^2\). Le mélange de ces unités est la source n°1 d'erreurs.
- Pertes différées : Attention, P n'est pas la force finale ! Avec le temps (fluage, retrait du béton, relaxation acier), on perdra encore environ 10 à 15%. La force finale à long terme sera plutôt autour de 1.7 - 1.8 MN.
❓ Question Fréquente
Pourquoi le coefficient est 0.9 pour f_p0.1k ?
C'est une marge de sécurité pour garantir qu'on reste dans le domaine élastique de l'acier, même en cas de légère surtension accidentelle ou d'imprécision du vérin.
🎯 Objectif Détaillé
Il s'agit de s'assurer que, sous l'effet combiné de la précontrainte (qui comprime) et du poids propre (qui fléchit), le béton ne subit pas de contraintes excessives. Concrètement :
- Pas de traction : Le béton doit rester comprimé pour ne pas fissurer (surtout en fibre supérieure).
- Pas de compression excessive : Le béton ne doit pas s'écraser (surtout en fibre inférieure où les efforts s'ajoutent).
📚 Référentiel Normatif
Selon l'Eurocode 2 (Art 5.10.2.2), lors de la mise en tension, on doit limiter la compression à \(0.6 f_{ck}(t)\) et maîtriser la traction (souvent interdite ou limitée à \(f_{ctm}\)).
EN 1992-1-1 (EC2) Formule de NavierL'état de contrainte est une superposition.
Imaginez trois calques superposés :
- Une compression uniforme partout (l'effet "étau" de la précontrainte P).
- Une flexion vers le haut (l'effet "levier" de la précontrainte excentrée).
- Une flexion vers le bas (l'effet "gravité" du poids propre).
La somme de ces trois effets donne l'état de contrainte réel. Le point critique est souvent la fibre supérieure : la précontrainte la tend, le poids propre la comprime. Si le poids propre est trop faible, la poutre "casse vers le haut".
- Compression centrée : \(\sigma = P/B\) (Toujours positif/compression).
- Flexion Précontrainte : \(\sigma = (P \cdot e \cdot v) / I\). Elle tend le haut et comprime le bas.
- Flexion Poids Propre : \(\sigma = (M_g \cdot v) / I\). Elle comprime le haut et tend le bas.
Convention de signe : Compression (+) / Traction (-).
Étape 1 : Récapitulatif des Données
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| P | 2.00 | MN |
| e | 0.40 | m |
| Mg | 0.750 | MNm |
| B | 0.60 | m² |
| I | 0.072 | m4 |
| v | ± 0.60 | m |
Plutôt que d'apprendre la formule par cœur avec les signes, raisonnez physiquement pour chaque terme :
- P/B : Ajoute de la compression partout (+).
- P.e (Flexion P) : Comprime le bas (+), tend le haut (-).
- Mg (Flexion g) : Tend le bas (-), comprime le haut (+).
Ensuite, faites la somme algébrique.
Étape 2 : Calcul des Contraintes
Nous calculons les contraintes aux deux fibres extrêmes : Supérieure (v = -0.60) et Inférieure (v = +0.60).
1. Pré-calcul des termesLa précontrainte tend (-), le poids propre comprime (+).
La valeur est positive : la fibre supérieure reste comprimée malgré l'effet de soulèvement de la précontrainte.
3. Fibre Inférieure (Zone de forte compression)La précontrainte comprime fort (+), le poids propre soulage (-).
La compression est forte, mais acceptable.
4. ConclusionInterprétation : Les deux valeurs sont positives. La section est entièrement comprimée. Il n'y a aucune traction dans le béton, ce qui est le scénario idéal pour éviter la fissuration précoce.
Diagramme des Contraintes
Le béton est comprimé partout, ce qui est l'objectif de la précontrainte. Les valeurs (2 à 4 MPa) sont faibles par rapport à la résistance du béton (40 MPa). C'est normal : la précontrainte est là pour contrer les futures charges d'exploitation, pas pour écraser la poutre à vide.
- Risque en fibre sup : Si Sigma sup était négatif (traction), il faudrait vérifier si cette traction dépasse la résistance \(f_{ctm}\) (3.5 MPa) pour éviter la fissuration.
- Béton jeune : N'oubliez pas qu'à la mise en tension (souvent à 3-7 jours), le béton n'a pas encore atteint sa résistance finale (40 MPa). Il faut vérifier la contrainte par rapport à la résistance \(f_{ck}(t)\) à l'instant t.
❓ Question Fréquente
Pourquoi la fibre supérieure est-elle la plus critique à vide ?
Car la précontrainte (qui soulève la poutre) crée de la traction en haut. Si le poids propre n'est pas suffisant pour compenser (poutre courte ou légère), la poutre peut se casser "vers le haut" lors de la mise en tension.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
NOTE DE CALCULS - POUTRE P1 (PHASE TRANSFERT)
| Désignation | Valeur / Description |
|---|---|
| 1. HYPOTHÈSES GÉNÉRALES | |
| Matériaux | Béton C40/50 / Câble T15S (1860 MPa) |
| Géométrie | Section \(50 \times 120\) cm / Portée \(20.00\) m |
| 2. SOLLICITATIONS (t=0) | |
| Moment Poids Propre (\(M_g\)) | 0.750 MNm |
| Force Précontrainte Initiale (\(P\)) | 2.00 MN (après pertes instant.) |
| Excentricité du câble (\(e\)) | 0.40 m |
| 3. VÉRIFICATION DES CONTRAINTES | |
| Contrainte Fibre Supérieure (\(\sigma_{\text{sup}}\)) | +2.91 MPa (Compression) OK |
| Contrainte Fibre Inférieure (\(\sigma_{\text{inf}}\)) | +3.75 MPa (Compression) OK |
4. CONCLUSION GÉNÉRALE
L'analyse de la section médiane à la mise en tension montre que la précontrainte (2.0 MN) équilibre efficacement le poids propre de la poutre. La section reste entièrement comprimée, éliminant tout risque de fissuration par traction en fibre supérieure. Les niveaux de compression (max 3.75 MPa) restent très inférieurs à la résistance caractéristique du béton, même au jeune âge. Le dimensionnement est donc validé pour cette phase de construction.
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