Analyse de la Contrainte et Déformation
📝 Situation du Projet et Environnement
Vous êtes ingénieur structure senior au sein du bureau d'études "Alpina Ingénierie", basé à Chamonix, spécialisé dans les ouvrages d'art complexes en milieu montagnard hostile. Le projet actuel concerne la "Passerelle des Cimes", un ouvrage suspendu piétonnier de type "Himalayen" reliant deux pitons rocheux à 2400m d'altitude, exposé à des conditions climatiques extrêmes.
Récemment, une campagne de mesure in-situ a révélé des vitesses de vent dépassant les valeurs centennales initialement prévues (rafales > 180 km/h) couplées à des phénomènes de givrage asymétrique sur les câbles. Face à ces nouvelles données, la Direction Technique a ordonné une réévaluation complète de la sécurité. Votre responsabilité porte spécifiquement sur le Tirant d'Ancrage T1 (côté Nord), l'élément critique qui transmet l'intégralité de la tension du câble porteur principal vers le massif de fondation en béton armé. Une rupture de cet élément entraînerait l'effondrement immédiat de l'ouvrage.
Vous devez mener une contre-étude de dimensionnement du tirant T1. Votre objectif est double : 1) Valider la sécurité structurelle (ELU) en vérifiant que la contrainte dans l'acier reste inférieure à sa limite élastique malgré l'augmentation des charges. 2) Vérifier la compatibilité des déformations (ELS) en calculant l'allongement précis du tirant pour s'assurer qu'il reste dans les tolérances des dispositifs de réglage (tendeurs à vis).
"Attention, pour optimiser le poids propre de la structure et faciliter l'héliportage, nous utilisons un acier à Haute Limite Élastique (S460). Ne confondez surtout pas sa limite élastique (460 MPa) avec celle d'un acier de construction standard (S235). Soyez également vigilant sur la conversion des unités : un résultat d'allongement en mètres serait incohérent, travaillez en millimètres."
L'étude s'appuie rigoureusement sur les normes européennes en vigueur. Les paramètres ci-dessous sont issus du dossier de consultation des entreprises (DCE) et de la note de calcul "Charges Climatiques Révisée v2.1".
📚 Référentiel Normatif & Hypothèses
Le cadre réglementaire impose l'utilisation des Eurocodes pour garantir la fiabilité structurelle :
- Eurocode 0 (EN 1990) : Bases de calcul des structures (définition des coefficients de sécurité partiels).
- Eurocode 3 (EN 1993-1-1) : Calcul des structures en acier (propriétés des matériaux et critères de résistance).
- Hypothèse RDM : On considère le tirant comme une poutre idéale travaillant en traction pure (effort normal constant le long de la barre, contrainte uniforme dans la section).
L'acier S460 a été choisi pour sa capacité à reprendre des efforts très importants avec une section réduite, ce qui minimise le poids mort.
| PROPRIÉTÉS MÉCANIQUES | |
| Module de Young \( E \) Rigidité du matériau |
\( 210\,000 \text{ MPa} \) (soit 210 GPa) |
| Limite Élastique \( f_{\text{y}} \) Seuil de déformation irréversible |
\( 460 \text{ MPa} \) (N/mm²) |
| Coefficient de sécurité \( \gamma_{\text{M0}} \) Sécurité sur le matériau |
\( 1.0 \) (Selon annexe nationale) |
📐 Géométrie du Tirant
Le tirant est une barre pleine usinée, connectée par des chapes à ses extrémités.
- Longueur initiale à vide (entre axes) : \( L_0 = 8.50 \text{ m} \)
- Diamètre de la section courante : \( d = 50 \text{ mm} \)
- Type de section transversale : Circulaire pleine (Disque)
⚖️ Sollicitations (Charges Pondérées)
La charge ci-dessous résulte de la combinaison d'action ELU la plus défavorable : \( 1.35 G + 1.5 Q_{\text{vent}} + 1.5 Q_{\text{neige}} \).
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Effort Normal de dimensionnement | \( N_{\text{Ed}} \) | 850 | kN |
| Diamètre de la section | \( d \) | 50 | mm |
| Longueur initiale | \( L_0 \) | 8.50 | m |
| Module de Young (Acier) | \( E \) | 210 000 | MPa |
E. Protocole de Résolution
Afin de valider la tenue structurelle du tirant avec rigueur, nous allons suivre une méthodologie séquentielle stricte issue de la Résistance des Matériaux.
Calcul des Caractéristiques Géométriques
Détermination précise de la section droite \( S \) (Aire) du tirant à partir de son diamètre, pour pouvoir convertir l'effort en contrainte.
Analyse des Contraintes (ELU)
Calcul de la contrainte normale \( \sigma \) et comparaison avec la limite élastique de l'acier \( f_{\text{y}} \) pour valider la sécurité structurale.
Calcul des Déformations (ELS)
Application de la Loi de Hooke pour déterminer la déformation relative \( \varepsilon \) et l'allongement total \( \Delta L \) sous charge.
Synthèse et Validation
Conclusion formelle sur l'aptitude au service du tirant et rédaction de la note de synthèse.
Analyse de la Contrainte et Déformation
🎯 1. Objectif Scientifique et Technique
L'objectif fondamental de cette première étape est de quantifier géométriquement la "quantité de matière" disponible pour résister à l'effort de traction. En Résistance des Matériaux (RDM), une force brute (en Newtons) ne suffit pas à prédire la rupture ; c'est sa répartition sur une surface qui génère la contrainte. Nous devons donc déterminer avec précision l'aire de la section transversale \( S \) (aussi notée \( A \) dans l'Eurocode) du tirant cylindrique. Ce calcul est le socle de toute la suite : une erreur ici se propagera linéairement sur le calcul de contrainte et de déformation.
📚 2. Référentiel
Géométrie Euclidienne (Aire du disque) ISO 80000-4 (Mécanique)Le tirant est défini comme une barre pleine de section circulaire constante. Nous ne sommes pas face à un tube ou un profilé complexe. La géométrie est celle d'un disque parfait. La donnée d'entrée est le diamètre \( d \), car c'est la grandeur mesurable in-situ avec un pied à coulisse. Notre stratégie est simple : appliquer la formule de l'aire du disque en fonction du diamètre, en veillant scrupuleusement à conserver l'unité millimétrique pour éviter les conversions hasardeuses de puissances de 10 ultérieures.
L'aire \( S \) d'une surface plane circulaire est proportionnelle au carré de sa dimension caractéristique. Si l'on utilise le rayon \( r \), la formule est :
Cependant, en ingénierie mécanique et civile, on préfère exprimer cette surface directement en fonction du diamètre \( d \) (où \( r = d/2 \)). En substituant, on obtient la forme standardisée dans les bureaux d'études :
📋 6. Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Diamètre nominal \( d \) | 50 mm |
| Constante mathématique \( \pi \) | ~ 3.14159265... |
Sur un chantier, sans calculatrice scientifique, retenez que \( \pi / 4 \approx 0.785 \). Pour calculer une section de tête, faites :
C'est souvent suffisant pour une vérification d'ordre de grandeur rapide (le "sanity check").
📝 8. Note de Calcul Détaillée
A. Élévation du diamètre au carré :
On commence par calculer le carré du diamètre, qui représente l'image d'un carré circonscrit au cercle. C'est une opération arithmétique simple mais cruciale pour dimensionner l'aire.
Cette valeur intermédiaire de 2500 mm² correspond à l'aire d'un carré de 50mm de côté.
B. Application du facteur circulaire :
On applique ensuite le facteur \( \pi/4 \) pour "rogner" les angles du carré et obtenir la surface du disque inscrit. Mathématiquement, cela revient à multiplier par environ 0.785.
Le résultat mathématique brut comporte une infinité de décimales dues à \( \pi \), que nous allons arrondir pour l'usage technique.
✅ 9. Interprétation Globale
La section résistante du tirant est établie à 1963.50 mm² (en arrondissant au centième par sécurité). Cela signifie que nous disposons d'environ 20 cm² de métal pur pour "porter" les 85 tonnes de traction. C'est cette valeur précise qui sera le dénominateur de notre calcul de contrainte.
Est-ce cohérent ? Un carré de 50x50mm ferait 2500 mm². Un cercle inscrit occupe environ 78% de ce carré. L'approximation donne :
Notre résultat de 1963.5 est très proche de cette estimation. L'ordre de grandeur est validé.
Attention : Ne convertissez jamais ce résultat en mètres carrés (\( \text{m}^2 \)) à ce stade ! Cela donnerait \( 0.0019635 \text{ m}^2 \), un chiffre peu maniable qui induit souvent des erreurs de puissances de 10 lors de la division par la force. En génie civil métallique, le couple sacré est [Newton] et [Millimètre].
🎯 1. Objectif Scientifique et Technique
L'enjeu ici est critique : il s'agit de la vérification de la sécurité des personnes. Nous devons déterminer si, sous la charge maximale pondérée (ELU), l'acier du tirant risque de sortir de son domaine élastique. Si la contrainte dépasse la limite élastique, le tirant s'allongera de manière irréversible (plastification), ce qui est interdit pour un élément de sécurité principal. Nous allons calculer la contrainte normale de traction \( \sigma \) (sigma), qui représente la pression interne subie par le matériau.
📚 2. Référentiel
Eurocode 3 (EN 1993-1-1) - Clause 6.2.3 Théorie des Poutres (Navier-Bernoulli)Nous sommes face à un cas d'école de traction pure. L'effort normal est appliqué selon l'axe du cylindre. Selon le principe de Saint-Venant, si l'on s'éloigne suffisamment des points d'attache, la répartition des contraintes est uniforme sur toute la section coupée. Le piège principal réside dans les unités : la charge est donnée en KiloNewtons (kN) par habitude métier, mais la résistance du matériau est en MégaPascals (MPa ou N/mm²). La conversion préalable est obligatoire.
La contrainte \( \sigma \) (exprimée en Pa ou N/m²) est une pression interne. C'est le rapport d'une force \( F \) sur une surface \( S \). En RDM métallique, pour obtenir des MPa directement, on divise des Newtons par des millimètres carrés. L'équivalence est parfaite :
C'est l'unité universelle de résistance des matériaux.
Avec \( N_{\text{Ed}} \) l'effort normal de calcul (N) et \( S \) la section (mm²).
On compare la contrainte agissante à la résistance limite pondérée.
📋 6. Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Effort pondéré ELU \( N_{\text{Ed}} \) | 850 kN |
| Section calculée \( S \) | 1963.50 \( mm^2 \) |
| Limite élastique \( f_{\text{y}} \) | 460 MPa |
| Coeff. partiel \( \gamma_{\text{M0}} \) | 1.0 |
Mémorisez ceci : "kilo" veut dire "mille". Donc 850 kN, c'est 850 "mille" Newtons. Rajoutez simplement trois zéros. C'est la conversion la plus fréquente et la plus source d'erreurs en examen.
📝 8. Note de Calcul Détaillée
A. Conversion de la charge en Newtons :
Étape indispensable pour l'homogénéité des unités (N / mm²). On multiplie par 1000 pour passer de kN à N.
B. Calcul de la contrainte effective \( \sigma \) :
On applique la force de 850 000 N sur la surface de 1963.50 mm². C'est une simple division.
Chaque millimètre carré de métal supporte une pression de 432.9 Newtons.
C. Calcul du Taux de Travail (Ratio) :
On compare la contrainte réelle à la limite admissible (460 MPa) par une division pour obtenir un pourcentage d'utilisation.
Le ratio est un nombre sans dimension qui exprime le pourcentage d'utilisation de la capacité.
✅ 9. Interprétation Globale
La contrainte calculée est de 432.9 MPa. Cette valeur est inférieure à la limite élastique de 460 MPa. La condition de résistance \( \sigma \leq f_{\text{y}} \) est donc vérifiée. Le tirant ne rompra pas et ne subira pas de déformation plastique permanente sous cette charge.
Nous sommes à 94% de la capacité. C'est un dimensionnement très "tendu", typique de l'optimisation extrême recherchée en haute montagne pour limiter le poids. Si nous avions utilisé un acier standard S235 (limite 235 MPa), le ratio aurait été de :
Soit 184% : la structure se serait effondrée. Le choix de la nuance S460 est donc vital.
Bien que conforme, une marge de sécurité de 6% est faible pour absorber d'éventuels défauts de matière ou des surcharges dynamiques non modélisées. Une surveillance accrue de la corrosion sera nécessaire.
🎯 1. Objectif Scientifique et Technique
La vérification de résistance ne suffit pas. En ingénierie de précision, il faut maîtriser la déformabilité. Un tirant qui s'allonge trop pourrait déséquilibrer la passerelle ou induire des fissures dans le béton d'ancrage. L'objectif est de calculer l'allongement total \( \Delta L \) (delta L) du tirant sous la charge maximale. Cette valeur servira aux équipes de montage pour régler les tendeurs à vis : ils devront "raccourcir" le tirant de cette valeur précise au repos pour qu'il ait la bonne longueur sous charge.
📚 2. Référentiel
Loi de Hooke (1678) Module d'élasticité (Young)Puisque nous avons prouvé à l'étape 2 que la contrainte reste sous la limite élastique (\( \sigma < f_{\text{y}} \)), nous sommes autorisés à utiliser la Loi de Hooke. Cette loi postule que la déformation est proportionnelle à la contrainte. Le facteur de proportionnalité est la rigidité intrinsèque du matériau : le Module de Young \( E \). Pour l'acier, cette valeur est constante et colossale (210 000 MPa). Notre stratégie : calculer d'abord le "pourcentage" d'allongement (\( \varepsilon \)), puis l'appliquer à la longueur totale.
La déformation longitudinale relative \( \varepsilon \) (epsilon) est un ratio sans unité (souvent exprimé en %). Elle relie la contrainte et le module d'Young :
Ce qui implique :
L'allongement absolu \( \Delta L \) est simplement cette déformation relative multipliée par la longueur initiale de la pièce.
Résultat sans dimension.
Le résultat aura la même unité de longueur que \( L_0 \).
📋 6. Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Contrainte calculée \( \sigma \) | 432.90 MPa |
| Module de Young \( E \) | 210 000 MPa |
| Longueur initiale \( L_0 \) | 8.50 m |
L'unité de \( \sigma \) et \( E \) est la même (MPa). Leur division s'annule proprement. Pour \( L_0 \), convertissez-la immédiatement en millimètres (8500 mm). Ainsi, votre résultat final \( \Delta L \) sortira directement en millimètres, l'unité reine du plan de ferraillage.
📝 8. Note de Calcul Détaillée
A. Calcul de la déformation relative \( \varepsilon \) :
On divise la contrainte (432.9) par la rigidité (210 000). Les unités s'annulent.
Cela signifie que le métal s'allonge de 0.206 %. C'est très peu, mais sur une grande longueur, cela compte.
B. Conversion de la longueur en mm :
Pour obtenir un résultat en mm, on convertit la longueur initiale.
C. Calcul de l'allongement final \( \Delta L \) :
Application sur la longueur totale par multiplication simple.
Le tirant s'est allongé de plus d'un centimètre et demi.
✅ 9. Interprétation Globale
Sous l'effet de la charge extrême, le tirant de 8.50 mètres va s'allonger de 17.5 mm. Cette valeur est significative en construction mécanique. Elle doit être communiquée impérativement aux monteurs.
Un allongement de l'ordre du 1/500ème de la longueur (2mm par mètre environ) est classique pour un acier très sollicité. 17.5 mm est un ordre de grandeur physiquement sain.
Attention à la température ! Ce calcul est fait à température constante (20°C). En haute montagne, avec une amplitude de -30°C à +30°C, la dilatation/retrait thermique va s'ajouter ou se soustraire à cet allongement mécanique.
🎯 1. Objectif Scientifique et Technique
Cette dernière étape consiste à agréger les résultats des calculs précédents (ELU et ELS) pour formuler un avis technique définitif. L'ingénieur ne se contente pas de chiffres ; il doit prendre la responsabilité de signer "Bon pour Exécution" ou de rejeter la note. Nous allons synthétiser les marges de sécurité et valider la faisabilité constructive.
📚 2. Référentiel
Jugement de l'Ingénieur Règles de l'ArtSynthèse des Résultats
- Contrainte ELU : 432.9 MPa
- Limite admissible : 460.0 MPa
- Marge de sécurité : 5.9 %
- Allongement ELS : 17.5 mm
✅ 3. Interprétation Globale & Décision
Le tirant T1 en acier S460 de diamètre 50mm est STRUCTURELLEMENT VALIDE. Il résiste aux charges climatiques extrêmes sans ruine. Cependant, la marge de sécurité étant faible (< 10%), aucune modification de charge ultérieure (ajout de câbles, lourds équipements) ne sera permise sans renforcement.
Concernant l'installation, les chapes de connexion aux extrémités devront posséder une course de réglage d'au moins +/- 25mm pour absorber l'allongement sous charge (17.5mm) et les tolérances de montage.
Le tirant sera livré avec une longueur "à vide" de 8500mm. Une fois le pont chargé (poids propre + neige), il mesurera 8517.5mm. Les écrous de serrage devront être positionnés en conséquence.
Ce schéma de synthèse résume l'état final du tirant sous charge, en mettant en évidence l'allongement calculé et la conservation de l'intégrité structurelle.
📄 6. Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 01/10/24 | Création du document | J. Martin |
| B | 24/10/24 | Mise à jour charges climatiques | P. Dubois |
- Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
- Eurocode 3 : Calcul des structures en acier (EN 1993-1-1)
| Acier Nuance | S460 |
| Limite Élastique \( f_{\text{y}} \) | 460 MPa |
| Diamètre \( d \) | 50 mm |
| Longueur \( L_0 \) | 8.50 m |
Vérification du tirant sous charge de traction maximale pondérée (ELS/ELU).
Prévoir réserve de réglage > 20mm sur les chapes.
Ing. J. Dupont
Dir. Tech. M. Durant
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