Dimensionnement à l’ELU d’une dalle en béton armé
📝 Situation du Projet
Le projet "Les Terrasses de Lumière" est un immeuble résidentiel R+4 situé dans le quartier dense de la Part-Dieu à Lyon. Cette localisation urbaine impose des contraintes logistiques fortes et une exigence architecturale élevée. La structure porteuse est conçue en système mixte voiles-dalles, offrant une grande liberté d'aménagement intérieur.
Dans le cadre de la phase d'Avant-Projet Détaillé (APD), nous devons valider le ferraillage des éléments horizontaux les plus sollicités. Votre attention se porte spécifiquement sur la Dalle D104 du niveau R+1. Cette dalle couvre le grand séjour de 35m² de l'appartement témoin. En raison de sa géométrie allongée (L_y/L_x > 2), elle fonctionne mécaniquement comme une poutre large portant dans le sens de sa petite portée (4.50m). Ce dimensionnement est critique car il servira de référence ("dalle type") pour l'ensemble des planchers courants des étages supérieurs.
En qualité d'Ingénieur Structure Béton Armé, votre mission consiste à produire la note de calcul justificative pour le ferraillage inférieur de cette dalle à l'État Limite Ultime (ELU). Vous ne devez pas simplement appliquer des formules : vous devez justifier chaque hypothèse (choix des matériaux, enrobages, charges) et déterminer la section d'acier optimale qui concilie sécurité, économie et facilité de mise en œuvre sur chantier.
- Localisation
Lyon (69), Zone de sismicité faible (2) - Maître d'Ouvrage
SCI Horizon Immobilier - Exigence "Standing" - Lot Concerné
Lot 02 - Gros Œuvre (Béton Armé)
"Attention aux hypothèses d'enrobage. Bien que nous soyons en classe d'exposition XC1 (intérieur sec), le Maître d'Ouvrage exige une durabilité accrue de 50 ans. Le CCTP impose donc un enrobage nominal minimal de 30mm, supérieur au minimum réglementaire de l'Eurocode. C'est un point de vigilance absolu pour le calcul de la hauteur utile (d) !"
Pour assurer la pérennité de l'ouvrage et sa conformité légale, l'ensemble des calculs doit s'appuyer strictement sur les normes européennes en vigueur et les spécifications du marché. Toute déviation par rapport à ces données devra être justifiée.
📚 Référentiel Normatif
L'étude s'inscrit dans le cadre légal des Eurocodes structuraux, qui sont les normes de référence pour le calcul des bâtiments en Europe :
NF EN 1990 (Bases de calcul) NF EN 1991-1-1 (Actions sur les structures) NF EN 1992-1-1 (Calcul des structures en béton)1. Choix du Béton (C25/30) :
Le choix s'est porté sur un béton de classe C25/30 (fck = 25 MPa). Il s'agit du standard économique actuel pour le bâtiment résidentiel en France. Une classe inférieure (C20/25) est aujourd'hui déconseillée pour assurer une durabilité à 50 ans en zone urbaine, tandis qu'une classe supérieure (C30/37) serait surdimensionnée et plus coûteuse pour des portées modestes de 4.5m.
2. Choix de l'Acier (B500B) :
Les armatures seront des barres à haute adhérence (HA) de nuance B500B. La limite élastique de 500 MPa est le standard européen permettant d'optimiser les sections d'acier. La classe de ductilité "B" est requise en zone sismique 2, offrant une capacité de déformation plastique suffisante avant rupture, contrairement à la classe "A" (treillis soudés standards).
3. Enrobage et Durabilité (30mm) :
Bien que l'Eurocode autorise 15mm pour une classe d'exposition XC1 (intérieur sec), le CCTP impose 30mm. Cette sur-épaisseur est une mesure conservatoire demandée par le client pour garantir la protection des aciers contre la carbonatation sur une durée de vie de 50 ans, et pour assurer une résistance au feu REI 60 sans calcul complexe.
ART. 3.4 - CHARGES D'EXPLOITATION
Les planchers d'habitation seront calculés pour une charge d'exploitation Q = 1.5 kN/m² (Catégorie A - Eurocode 1).
ART. 3.5 - CHARGES PERMANENTES ADDITIONNELLES
En sus du poids propre de la structure, l'entrepreneur prendra en compte une charge morte forfaitaire de 1.5 kN/m² représentant :
- Chape flottante et carrelage : 1.0 kN/m²
- Cloisons légères de distribution : 0.5 kN/m²
| GÉOMÉTRIE | |
| Portée libre entre nus (\(L\)) | 4.50 m |
| Épaisseur de la dalle (\(h\)) | 20 cm (0.20 m) |
| Enrobage nominal (\(c_{\text{nom}}\)) | 30 mm (0.03 m) |
| MATÉRIAUX | |
| Résistance béton (\(f_{\text{ck}}\)) | 25 MPa |
| Limite élastique acier (\(f_{\text{yk}}\)) | 500 MPa |
| CHARGEMENTS | |
| Poids Volumique Béton Armé | 25 kN/m³ |
| Charges Permanentes Compl. (\(g_{\text{compl}}\)) | 1.5 kN/m² (Sol + Cloisons) |
| Charge d'Exploitation (\(q\)) | 1.5 kN/m² (Habitation) |
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Largeur de calcul | \( b \) | 1.00 | m |
| Hauteur totale | \( h \) | 0.20 | m |
| Coeff. sécurité Béton | \( \gamma_c \) | 1.5 | - |
| Coeff. sécurité Acier | \( \gamma_s \) | 1.15 | - |
E. Protocole de Résolution
Pour dimensionner correctement cette dalle, nous allons suivre scrupuleusement le cheminement des charges jusqu'à la résistance interne des matériaux. Cette méthodologie garantit la sécurité structurelle.
Analyse des Charges & ELU
Inventaire précis des poids propres (G) et d'exploitation (Q), puis calcul de la combinaison fondamentale à l'État Limite Ultime.
Calcul du Moment Sollicitant (M_Ed)
Détermination de l'effort maximal de flexion au centre de la travée, en considérant la dalle comme une poutre isostatique sur deux appuis.
Calcul des Armatures (A_s)
Utilisation de la méthode du "Pivot" (Rectangulaire simplifié) pour déterminer la section d'acier nécessaire pour équilibrer le moment.
Vérifications & Choix
Contrôle de la condition de non-fragilité et choix commercial des barres (diamètre et espacement) pour le plan d'exécution.
Dimensionnement à l’ELU d’une dalle en béton armé
🎯 Objectif
L'objectif de cette première étape est de quantifier précisément la charge totale qui s'exerce sur la dalle en situation accidentelle la plus défavorable (l'État Limite Ultime). Nous cherchons à obtenir une valeur de charge linéique pondérée \( p_{\text{Ed}} \) (en kN par mètre linéaire) appliquée sur notre bande d'étude de 1,00 mètre de largeur. Cette valeur "par mètre" simplifiera grandement la suite des calculs RDM.
📚 Référentiel
- NF EN 1990 (Eurocode 0) : Article 6.4.3.2 (Combinaisons d'actions pour les états limites ultimes).
- NF EN 1991-1-1 (Eurocode 1) : Tableau A.1 (Poids volumiques des matériaux) et Tableau 6.2 (Charges d'exploitation des bâtiments).
Avant de lancer le moindre calcul, visualisons ce qui pèse sur la dalle. Il y a d'abord le "poids mort" incompressible : la masse du béton lui-même (c'est souvent la charge prépondérante dans le béton armé !). À cela s'ajoutent les éléments fixes de l'aménagement : la chape de ravoirage, le carrelage, les cloisons de distribution. Tout ceci constitue les charges permanentes notées \( G \). Ensuite, il y a la vie du bâtiment : les habitants, les meubles, les fêtes... C'est la charge d'exploitation variable, notée \( Q \).
Pourquoi l'ELU (État Limite Ultime) ? Parce que nous voulons garantir que le bâtiment ne s'effondrera pas même si les charges dépassent légèrement la normale. Nous allons donc "majorer" artificiellement ces charges par des coefficients de sécurité partiels : on multiplie les charges permanentes (que l'on connaît bien) par 1,35 et les charges variables (plus aléatoires) par 1,50. C'est ce qu'on appelle la "pondération".
À l'État Limite Ultime (ELU) pour des situations de projet durables et transitoires, la combinaison d'actions fondamentale s'écrit sous la forme symbolique suivante :
Dans notre cas simplifié, avec une seule action variable dominante, cela se traduit par la formule pratique ci-dessous.
Étape 1 : Données Spécifiques
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Épaisseur de la dalle | \( h \) | 0.20 m |
| Poids volumique du béton armé | \( \gamma_{\text{ba}} \) | 25 kN/m³ |
| Charges permanentes complémentaires | \( g_{\text{compl}} \) | 1.50 kN/m² |
| Charge d'exploitation (Habitation) | \( q \) | 1.50 kN/m² |
| Largeur de bande | \( b \) | 1.00 m |
Une erreur fréquente est de confondre kN/m² (pression sur une surface) et kN/m (poids réparti sur une ligne). Pour passer de l'un à l'autre dans un calcul de poutre ou de dalle unidirectionnelle, on multiplie toujours la valeur surfacique par la largeur de la bande considérée \( b \). Ici \( b=1m \), donc les valeurs numériques ne changent pas, mais le sens physique si !
Étape 2 : Calculs Détaillés
1. Calcul du Poids Propre de la dalle (\(g_{\text{dalle}}\))
Nous commençons par calculer le poids surfacique du gros œuvre seul. On multiplie l'épaisseur de la dalle par la densité du béton armé.
Interprétation : Chaque mètre carré de dalle pèse 500 kg avant même d'ajouter quoi que ce soit dessus. C'est une charge considérable.
2. Calcul de la Charge Permanente Totale (\(G_{\text{tot}}\))
Nous additionnons maintenant le poids propre calculé précédemment avec les charges mortes définies au CCTP (chape, carrelage, cloisons).
Interprétation : La charge permanente totale est donc de 650 kg/m².
3. Calcul de la charge ELU linéique (\(p_{\text{Ed}}\))
C'est l'étape finale de cette partie : nous appliquons les coefficients de sécurité (1.35 pour G et 1.5 pour Q) et nous ramenons le tout sur la bande de 1m.
Interprétation Finale : Le résultat de 11,03 kN/m signifie que sur chaque mètre de longueur de notre bande fictive, une force répartie de plus d'une tonne (1103 kg force) est appliquée en situation ultime de calcul.
✅ Interprétation Globale de l'Étape 1
Nous avons établi que la dalle est soumise à une charge linéique de conception de 11.03 kN/m. Cette valeur intègre toutes les sécurités réglementaires. Elle servira de base unique pour le calcul des sollicitations (moments) à l'étape suivante. La part des charges permanentes est prépondérante (environ 80% de la charge totale), ce qui est typique des ouvrages en béton.
Pour un bâtiment d'habitation courant, les charges ELU tournent généralement autour de 10 à 13 kN/m pour des dalles de 20cm. Notre résultat de 11.03 est parfaitement cohérent. Une valeur de 5 kN/m aurait indiqué l'oubli des coefficients, et une valeur de 25 kN/m aurait suggéré une charge d'exploitation industrielle.
Attention ! Une erreur classique est d'oublier les charges permanentes complémentaires (\(g_{\text{compl}}\)). Si vous ne comptez que le poids du béton, vous sous-dimensionnez la dalle de près de 20%, ce qui peut être dangereux à long terme (fissuration, flèche excessive).
🎯 Objectif
Calculer la valeur maximale du moment fléchissant qui sollicite la dalle. C'est cette grandeur mécanique (exprimée en kN.m) qui traduit l'effort de "pliage" imposé par les charges. C'est cette valeur qui servira directement à dimensionner les aciers.
📚 Référentiel
- RDM Classique : Théorie des poutres droites isostatiques.
- NF EN 1992-1-1 : Article 5.3.2.2 (Modélisation structurelle pour les dalles).
Notre dalle repose simplement sur deux murs parallèles. Bien qu'il s'agisse d'un volume, nous avons découpé une tranche de 1m de large. Mécaniquement, cette tranche se comporte exactement comme une "poutre" posée sur deux appuis simples.
Sous l'effet de la charge répartie que nous venons de calculer, la dalle va "faire le ventre" (fléchir). La Résistance des Matériaux (RDM) nous enseigne que pour une poutre sur appuis simples, le moment est nul aux extrémités (appuis) et qu'il est maximal pile au milieu de la portée (à L/2). C'est ce maximum que nous devons trouver pour dimensionner le ferraillage au point le plus critique.
Pour une poutre isostatique de portée \( L \) soumise à une charge uniforme \( p \), le diagramme des moments est une parabole. La valeur maximale à mi-travée est donnée par la formule universelle :
Étape 1 : Données du Modèle
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Charge ELU calculée en Q1 | \( p_{\text{Ed}} \) | 11.03 kN/m |
| Portée libre de la dalle | \( L \) | 4.50 m |
Vérifiez toujours que la charge et la longueur sont dans des unités compatibles (ici kN/m et m). Le résultat sera alors directement en kN.m.
Étape 2 : Calculs Détaillés
1. Application Numérique du Moment
Nous appliquons la formule en élevant d'abord la portée au carré, puis en multipliant par la charge et en divisant par 8.
Interprétation : Ce moment de 27.91 kN.m agit sur chaque mètre de largeur de la dalle. C'est un moment positif, ce qui signifie qu'il tend les fibres inférieures du béton (le bas de la dalle s'allonge) et comprime les fibres supérieures. Les aciers devront donc être placés en bas.
✅ Interprétation Globale de l'Étape 2
La dalle subit un effort de flexion maximal de 27.91 kN.m. C'est la valeur de référence pour le ferraillage. Comme le moment est positif (traction en bas), nous dimensionnerons des armatures "en nappe inférieure".
Pour une dalle d'habitation courante avec une portée de 4 à 5m, un moment compris entre 20 et 40 kN.m est un ordre de grandeur tout à fait standard. Si vous aviez trouvé 200 kN.m, il y aurait une erreur (probablement une confusion d'unité sur la longueur, en utilisant des cm au lieu de m, ce qui multiplierait le résultat par 100 ou 10000 !).
Assurez-vous toujours d'utiliser la "portée libre" (entre les murs) et non la "portée entraxe". Bien que la différence soit faible, elle peut influencer le calcul.
🎯 Objectif
C'est l'étape centrale : calculer la section d'acier (en cm²) qu'il faut placer en zone tendue (bas de la dalle) pour équilibrer le moment de 27.91 kN.m. Le béton ayant une résistance nulle en traction dans les calculs ELU, c'est l'acier seul qui reprendra cet effort.
📚 Référentiel
- NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) : Section 6.1 (Flexion simple).
- Méthode du Rectangle Simplifié : Diagramme rectangulaire des contraintes (bloc de béton comprimé).
Pour dimensionner les aciers, nous utilisons la méthode des "moments réduits". Le principe est de comparer notre moment sollicitant à la capacité résistante du béton comprimé.
La démarche se fait en 3 temps :
- Définir la hauteur utile \( d \) : c'est le "bras de levier potentiel" maximal, la distance entre la fibre la plus comprimée (le haut) et le centre de gravité des aciers tendus. C'est une valeur géométrique.
- Calculer le moment réduit \( \mu_{\text{bu}} \) : c'est une valeur sans unité qui nous dit "à quel point le béton est fatigué". Si ce chiffre est faible, le béton est à l'aise, et on n'a besoin que d'aciers tendus (Pivot A). S'il est trop fort, il faudrait aussi des aciers comprimés (ce qu'on évite en dalle).
- Calculer la section d'acier \( A_s \) en déduisant le bras de levier interne réel \( z \).
L'Eurocode 2 permet de simplifier le comportement du béton comprimé par un bloc rectangulaire de contrainte constante \( f_{\text{cd}} \) sur 80% de la hauteur comprimée. Cela permet des calculs directs sans itérations.
Étape 1 : Données Spécifiques
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Moment ELU (Q2) | \( M_{\text{Ed}} \) | 27.91 kN.m |
| Résistance béton | \( f_{\text{ck}} \) | 25 MPa |
| Limite élastique acier | \( f_{\text{yk}} \) | 500 MPa |
| Largeur de bande | \( b \) | 1.00 m |
Pour passer de m² à cm², on multiplie par 10 000 (\(100 \times 100\)). C'est pour cela que \(0.000401 m^2\) devient \(4.01 cm^2\).
Étape 2 : Calculs Détaillés
1. Résistance de calcul du béton (\(f_{\text{cd}}\))
On divise la résistance caractéristique à 28 jours (\(f_{\text{ck}}\)) par le coefficient de sécurité du béton (\(\gamma_c = 1.5\)).
Interprétation : Le béton est considéré comme résistant à 16.67 MPa en compression pour le calcul.
2. Résistance de calcul de l'acier (\(f_{\text{yd}}\))
On divise la limite élastique (\(f_{\text{yk}}\)) par le coefficient de sécurité de l'acier (\(\gamma_s = 1.15\)).
Interprétation : On ne fera pas travailler l'acier au-delà de 435 MPa.
3. Estimation de la hauteur utile (\(d\))
Pour calculer \(d\), on doit estimer le diamètre des barres que l'on va utiliser. Supposons des barres de 10mm (\(\phi=0.01m\)). \(d\) est la hauteur totale moins l'enrobage moins un demi-diamètre.
Interprétation : Le bras de levier "géométrique" disponible est de 16.5 cm.
4. Calcul du moment réduit (\(\mu_{\text{bu}}\))
Attention aux unités ! Le moment est en MN.m (0.02791) si \(f_{\text{cd}}\) est en MPa (MN/m²). La largeur \(b\) est 1m.
Interprétation : \(\mu_{\text{bu}} = 0.0615\). Comme \(\mu_{\text{bu}} < 0.186\) (limite du Pivot A), le béton n'est pas saturé en compression. Il n'y a pas besoin d'aciers comprimés. Le dimensionnement est simple.
5. Calcul du paramètre de hauteur (\(\alpha\))
Ce paramètre intermédiaire sert à déterminer la hauteur de la zone comprimée du béton.
Interprétation : La zone comprimée représente environ 8% de la hauteur utile.
6. Calcul du bras de levier interne (\(z\))
C'est la distance réelle entre la force de compression du béton et la force de traction de l'acier.
Interprétation : Le bras de levier est de 16.0 cm, très proche de \(d\) (16.5 cm), ce qui est logique car le béton est peu sollicité.
7. Calcul final de la section d'acier (\(A_s\))
Nous divisons le moment par le couple (bras de levier × résistance acier).
Conclusion : Il nous faut donc au moins 4.01 cm² d'acier par mètre de largeur de dalle pour assurer la stabilité.
✅ Interprétation Globale de l'Étape 3
Le calcul RDM nous impose une section d'acier de 4.01 cm²/m. C'est une valeur modérée pour une dalle de 20cm. Cela signifie que le dimensionnement est gouverné par le moment en travée. Nous devrons cependant vérifier si cette quantité est suffisante vis-à-vis des règles de non-fragilité.
Le ratio d'acier géométrique est de \( 4.01 / (100 \times 20) \approx 0.2\% \). C'est un taux de ferraillage très classique et économique pour une dalle pleine.
Ne jamais arrondir la section d'acier calculée vers le bas. C'est un minimum strict.
🎯 Objectif
Transformer notre résultat théorique (4.01 cm²) en une réalité constructive (nombre de barres réelles). Nous devons aussi vérifier que cette quantité respecte le "minimum de non-fragilité" imposé par la norme pour éviter une rupture brutale sans fissuration préalable.
📚 Référentiel
- NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) : Clause 9.2.1.1 (Ferraillage minimal).
Le calcul théorique donne ce qu'il faut pour tenir la charge calculée. Mais si la charge réelle est très faible, le calcul donnerait une section d'acier minuscule. Or, le béton a besoin d'un minimum d'armatures pour ne pas casser comme du verre à la moindre contrainte thermique ou de retrait. C'est la condition de non-fragilité.
Une fois le minimum vérifié, nous devrons choisir des barres commerciales (HA8, HA10, HA12...) avec un espacement régulier (tous les 15 ou 20cm) pour que les maçons puissent les poser facilement.
La section minimale \( A_{s,\text{min}} \) est calculée pour être capable de reprendre l'effort de traction au moment précis où le béton fissure. Si on mettait moins d'acier, la barre casserait immédiatement après la fissuration du béton.
Étape 1 : Données Spécifiques
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Section calculée (Q3) | \( A_{s,\text{calc}} \) | 4.01 cm² |
| Résistance béton | \( f_{\text{ck}} \) | 25 MPa |
| Limite élastique acier | \( f_{\text{yk}} \) | 500 MPa |
Pour le choix des barres : cherchez dans les tableaux la valeur immédiatement supérieure à la section nécessaire. Privilégiez les espacements qui sont des diviseurs de 100cm (20, 25, 33) ou 15cm pour simplifier le travail des ferrailleurs.
Étape 2 : Vérification du Minimum & Choix
1. Résistance moyenne du béton en traction (\(f_{\text{ctm}}\))
La résistance en traction est estimée empiriquement à partir de la résistance en compression.
Interprétation : Le béton C25/30 a une résistance à la traction d'environ 2.56 MPa.
2. Calcul de la section minimale (\(A_{s,\text{min}}\))
La norme impose une section minimale proportionnelle à la section de béton et à la résistance en traction.
Comparaison : \( A_{s,\text{calc}} (4,01) > A_{s,\text{min}} (2,19) \). La section calculée est supérieure au minimum requis. Nous gardons donc 4,01 cm².
3. Choix du ferraillage réel
Nous cherchons dans les abaques une combinaison (Diamètre / Espacement) qui offre une section supérieure à 4.01 cm².
Interprétation : On opte pour des barres de diamètre 10mm espacées de 15cm.
4. Vérification de la section réelle (\(A_{s,\text{reel}}\))
1 barre tous les 15cm correspond à \( 100/15 = 6,66 \) barres par mètre. La section d'un HA10 est de 0.785 cm².
Conclusion : 5.23 cm² > 4.01 cm². Le dimensionnement est validé et sécuritaire.
✅ Interprétation Globale de l'Étape 4
Le choix final se porte sur des barres HA10 espacées de 15cm. Cette disposition offre une sur-sécurité de 30% par rapport au besoin théorique, ce qui est excellent pour la durabilité et la sécurité. L'espacement de 15cm permet un bon coulage du béton.
Un espacement de 15cm est très standard (trame de chantier). Des barres de 10mm sont faciles à manipuler et à façonner. La solution est économique, robuste et évite un encombrement excessif des armatures.
Vérifiez que l'espacement maximal (généralement 2h ou 25cm) est respecté. Ici 15cm < 25cm, c'est bon.
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