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Réseau de Distribution d’Eau Potable

Exercice : Réseau de Distribution d’Eau Potable

Réseau de Distribution d’Eau Potable

Contexte : L'Alimentation en Eau Potable (AEP).

L'objectif est de concevoir une conduite d'adduction pour alimenter un nouveau quartier résidentiel depuis un château d'eau. Nous devons nous assurer que la pression de l'eau au point de livraison respecte les normes réglementaires, tout en dimensionnant correctement la station de pompage nécessaire pour surmonter les dénivelés et les pertes de chargeDiminution de l'énergie de l'eau (et donc de sa pression) due aux frottements sur les parois de la conduite.. Cet exercice vous guidera à travers les étapes clés de l'hydraulique en charge.

Remarque Pédagogique : Cet exercice concret permet d'appliquer les principes fondamentaux de la mécanique des fluides (théorème de Bernoulli, calcul des pertes de charge) à un cas d'ingénierie civile courant et essentiel pour la vie quotidienne.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse de l'écoulement et le nombre de Reynolds.
  • Déterminer les pertes de charge linéaires en utilisant la formule de Darcy-Weisbach.
  • Appliquer le théorème de Bernoulli pour calculer une pression ou une hauteur de pompage.
  • Calculer la puissance hydraulique et électrique d'une pompe.

Données de l'étude

Un château d'eau, dont le niveau d'eau est à une altitude constante, doit alimenter un point de livraison B situé en contrebas. Une station de pompage est installée en sortie du château d'eau pour garantir la pression requise au point B.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Fluide Eau (15°C)
Matériau de la conduite PVC
Pression minimale requise au point B 3,0 bars
Rendement de la pompe 75 %
Schéma du Réseau d'Adduction
Château d'eau (Point A) ZA = 120m Pompe L = 1200 m, DN = 200 mm Point B ZB = 95m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Altitude du plan d'eau (Point A) \(Z_A\) 120 m
Altitude du point de livraison (Point B) \(Z_B\) 95 m
Longueur de la conduite \(L\) 1200 m
Diamètre intérieur de la conduite \(D\) 200 mm
Débit de pointe à assurer \(Q\) 45 L/s
Rugosité du PVC \(k\) 0.0015 mm
Viscosité cinématique de l'eau \(\nu\) \(1.0 \times 10^{-6}\) m²/s

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de l'écoulement dans la conduite.
  2. Déterminer le régime d'écoulement en calculant le nombre de Reynolds.
  3. Calculer les pertes de charge linéaires totales (\(\Delta H\)) dans la conduite.
  4. Déterminer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) que la pompe doit fournir.
  5. Calculer la puissance électrique absorbée par la pompe pour assurer ce service.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, deux concepts majeurs sont nécessaires : le théorème de Bernoulli, qui est une formulation du principe de conservation de l'énergie pour les fluides, et le calcul des pertes de charge, qui quantifie l'énergie perdue par frottement.

1. Le Théorème de Bernoulli
Il relie la pression, la vitesse et l'altitude entre deux points d'un écoulement. Pour un réseau avec une pompe, il s'écrit : \[ \frac{P_A}{\rho g} + Z_A + \frac{V_A^2}{2g} + H_{\text{pompe}} = \frac{P_B}{\rho g} + Z_B + \frac{V_B^2}{2g} + \Delta H_{A \to B} \] Où \(H_{\text{pompe}}\) est la HMT et \(\Delta H\) les pertes de charge.

2. Pertes de Charge (Formule de Darcy-Weisbach)
C'est la méthode la plus précise pour calculer l'énergie dissipée par frottement : \[ \Delta H = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \] Le coefficient de frottement \(f\) dépend du nombre de Reynolds (\(Re\)) et de la rugosité relative (\(k/D\)). Pour un régime turbulent, on utilise souvent l'équation de Colebrook-White ou des approximations comme celle de Swamee-Jain.

Correction : Réseau de Distribution d’Eau Potable

Question 1 : Calculer la vitesse de l'écoulement

Principe (le concept physique)

La vitesse d'écoulement est le rapport entre le débit volumique (la quantité d'eau qui passe chaque seconde) et la surface de la section de la conduite. C'est une mesure de la rapidité à laquelle l'eau se déplace.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce calcul repose sur le principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible. Le débit (\(Q\)) est constant tout au long d'une conduite de section constante (\(A\)). La vitesse (\(V\)) est donc uniforme dans cette section.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape de tout problème d'hydraulique est souvent de calculer la vitesse. C'est une valeur intermédiaire essentielle. Assurez-vous toujours que vos unités sont cohérentes avant de faire le calcul final.

Normes (la référence réglementaire)

Les réglementations (comme les fascicules techniques en France) recommandent des plages de vitesse dans les conduites d'AEP, typiquement entre 0.5 m/s et 2.0 m/s, pour limiter les pertes de charge et les risques de coups de bélier.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation Débit-Vitesse-Section

\[ Q = V \times A \quad \Rightarrow \quad V = \frac{Q}{A} \]

Aire d'une section circulaire

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • L'écoulement est considéré comme permanent (le débit ne varie pas dans le temps).
  • La conduite est pleine et le fluide est incompressible.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
DébitQ45L/s
DiamètreD200mm
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour convertir rapidement les L/s en m³/s, il suffit de diviser par 1000. Pour les mm en m, divisez aussi par 1000. Mémoriser ces conversions simples fait gagner beaucoup de temps.

Schéma (Avant les calculs)
QAV
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion du débit

\[ \begin{aligned} Q &= 45 \text{ L/s} \\ &= 45 \times 10^{-3} \text{ m}^3\text{/s} \\ &= 0.045 \text{ m}^3\text{/s} \end{aligned} \]

Conversion du diamètre

\[ \begin{aligned} D &= 200 \text{ mm} \\ &= 0.200 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'aire de la section

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.200 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.04 \text{ m}^2}{4} \\ &\approx 0.0314 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse

\[ \begin{aligned} V &= \frac{0.045 \text{ m}^3\text{/s}}{0.0314 \text{ m}^2} \\ &\approx 1.433 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
V = 1.43 m/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une vitesse de 1,43 m/s est une valeur tout à fait classique et acceptable pour une conduite d'adduction. Elle se situe bien dans la plage recommandée par les normes, ce qui valide a priori le diamètre choisi pour ce débit.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les unités. Calculer avec un débit en L/s et un diamètre en mm mènera à un résultat complètement faux. Soyez systématique : tout en SI avant de calculer !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vitesse est inversement proportionnelle au carré du diamètre (\(V \propto 1/D^2\)).
  • La formule \(V = Q/A\) est fondamentale.
  • La conversion des unités est une étape critique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les ingénieurs romains, sans connaître ces formules, dimensionnaient leurs aqueducs de manière empirique. Ils donnaient une pente douce et constante à leurs ouvrages pour maîtriser la vitesse de l'eau et éviter l'érosion ou la sédimentation.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas avoir une vitesse très élevée pour réduire le diamètre des tuyaux ?

Une vitesse élevée augmente très fortement les pertes de charge (proportionnelles au carré de la vitesse), ce qui nécessiterait des pompes beaucoup plus puissantes et coûteuses en énergie. Elle augmente aussi les risques de "coups de bélier", des surpressions destructrices.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse de l'écoulement dans la conduite est d'environ 1,43 m/s.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le débit en L/s si, pour le même diamètre de 200 mm, la vitesse était de 1.0 m/s ?

Question 2 : Déterminer le régime d'écoulement

Principe (le concept physique)

Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie (qui tendent à créer des tourbillons) aux forces de viscosité (qui tendent à amortir le mouvement). Il permet de prédire si l'écoulement sera laminaire (lisse et ordonné) ou turbulent (chaotique).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Osborne Reynolds a montré en 1883 par des expériences de visualisation que le passage d'un régime à l'autre dépendait de ce nombre unique. Typiquement :
- \(Re < 2000\) : Régime laminaire
- \(2000 < Re < 4000\) : Régime transitoire
- \(Re > 4000\) : Régime turbulent

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

En AEP, les vitesses et diamètres sont tels que le régime est presque toujours turbulent. Le calcul du Reynolds est une vérification systématique qui conditionne la méthode de calcul des pertes de charge. Ne sautez jamais cette étape !

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme imposant un régime d'écoulement, mais toutes les formules de calcul de pertes de charge modernes (Colebrook, etc.) sont basées sur la connaissance du régime d'écoulement via le nombre de Reynolds.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du Nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la viscosité cinématique de l'eau est constante à 15°C sur tout le tronçon.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse (calculée)V1.433m/s
DiamètreD0.200m
Viscosité cinématique\(\nu\)\(1.0 \times 10^{-6}\)m²/s
Astuces (Pour aller plus vite)

Comme V, D et \(\nu\) sont en unités SI, le calcul est direct. Attention à la puissance de 10 de la viscosité, c'est une source d'erreur fréquente.

Schéma (Avant les calculs)
Paramètres pour le calcul de Reynolds
DVFluide (ν)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du Nombre de Reynolds

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.433 \text{ m/s} \times 0.200 \text{ m}}{1.0 \times 10^{-6} \text{ m}^2\text{/s}} \\ &= 286600 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des Régimes d'Écoulement
Laminaire (Re < 2000)Turbulent (Re > 4000)Notre cas : Re = 286 600 -> TURBULENT
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le nombre de Reynolds est très élevé (286 600), bien au-delà du seuil de 4000. L'écoulement est donc pleinement turbulent. Cela signifie que les pertes de charge seront significatives et dépendront à la fois de la vitesse et de la rugosité de la conduite.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre viscosité dynamique (\(\mu\), en Pa.s) et viscosité cinématique (\(\nu\), en m²/s). La formule utilise la viscosité cinématique. Si la dynamique est donnée, il faut la diviser par la masse volumique (\(\nu = \mu / \rho\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le nombre de Reynolds est le critère universel du régime d'écoulement.
  • La formule \(Re = VD/\nu\) doit être connue.
  • Un \(Re > 4000\) implique un régime turbulent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept du nombre de Reynolds est utilisé bien au-delà de l'hydraulique, par exemple en aérodynamique pour concevoir les ailes d'avion, ou en génie chimique pour optimiser le mélange dans les réacteurs.

FAQ (pour lever les doutes)
L'eau est-elle toujours à 15°C ?

Non, la température de l'eau varie, ce qui modifie sa viscosité. Une eau plus froide est plus visqueuse (Re diminue), une eau plus chaude est plus fluide (Re augmente). Cependant, pour les calculs courants en AEP, utiliser une valeur moyenne comme \(1.0 \times 10^{-6}\) m²/s est une simplification acceptable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le nombre de Reynolds est de 286 600, ce qui indique un régime d'écoulement turbulent.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait une huile 100 fois plus visqueuse (\(\nu = 100 \times 10^{-6}\) m²/s) avec la même vitesse et le même diamètre, quel serait le nouveau Reynolds ?

Question 3 : Calculer les pertes de charge linéaires

Principe (le concept physique)

Les pertes de charge représentent l'énergie "perdue" par le fluide, transformée en chaleur par les frottements contre les parois de la conduite. Cette perte d'énergie se traduit par une diminution de la pression le long de l'écoulement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le coefficient de frottement \(f\) pour un régime turbulent dépend de \(Re\) et de la rugosité relative \(k/D\). On l'obtient via le diagramme de Moody ou des formules approchées. Nous utiliserons ici la formule de Swamee-Jain, très précise pour les calculs directs et facilement implémentable dans un tableur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul des pertes de charge est le cœur de l'hydraulique en charge. La formule de Darcy-Weisbach est universelle, mais la difficulté réside dans la détermination correcte du coefficient \(f\). Soyez méthodique.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de conception des réseaux AEP imposent de calculer ces pertes de charge pour s'assurer que la pression minimale est respectée en tout point du réseau, même le plus défavorisé.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de Swamee-Jain pour \(f\)

\[ f = \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(\frac{k}{3.7D} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right) \right]^2} \]

Formule de Darcy-Weisbach pour \(\Delta H\)

\[ \Delta H = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • On ne considère que les pertes de charge linéaires (dues au frottement sur la longueur). Les pertes singulières (coudes, vannes) sont négligées dans cet exercice.
  • La rugosité de la conduite est uniforme.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
LongueurL1200m
DiamètreD0.200m
VitesseV1.433m/s
Pesanteurg9.81m/s²
Rugositék0.0000015m
ReynoldsRe286600-
Astuces (Pour aller plus vite)

Le terme \(L/D\) représente le nombre de diamètres sur la longueur de la conduite. C'est un facteur d'amplification énorme. Le terme \(V^2/2g\) est l'énergie cinétique du fluide. On voit donc que la perte d'énergie est une fraction (\(f\)) de l'énergie cinétique, répétée sur toute la longueur.

Schéma (Avant les calculs)
Illustration des Pertes de Charge
P_entréeP_sortieLRugosité k
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion de la rugosité

\[ \begin{aligned} k &= 0.0015 \text{ mm} \\ &= 0.0000015 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la rugosité relative

\[ \begin{aligned} \frac{k}{D} &= \frac{0.0000015 \text{ m}}{0.200 \text{ m}} \\ &= 7.5 \times 10^{-6} \end{aligned} \]

Calcul du coefficient de frottement \(f\)

\[ \begin{aligned} f &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(\frac{k}{3.7D} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(\frac{7.5 \times 10^{-6}}{3.7} + \frac{5.74}{286600^{0.9}}\right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(2.027 \times 10^{-6} + \frac{5.74}{74055}\right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(7.96 \times 10^{-5}\right) \right]^2} \\ &\approx 0.0146 \end{aligned} \]

Calcul des pertes de charge \(\Delta H\)

\[ \begin{aligned} \Delta H &= f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \\ &= 0.0146 \times \frac{1200 \text{ m}}{0.200 \text{ m}} \times \frac{(1.433 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &= 0.0146 \times 6000 \times 0.1046 \text{ m} \\ &\approx 9.16 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne de Charge et Ligne Piezométrique
Z=0Point A'Point BLigne piézométriqueLigne de chargeΔH = 9.16m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On perd 9,16 mètres d'énergie (soit environ 0,9 bar de pression) uniquement à cause des frottements sur 1200m. C'est une valeur significative qui ne peut absolument pas être négligée dans le dimensionnement de la pompe.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas oublier le terme \(1/2g\) dans la formule de Darcy. Une autre erreur est de mal calculer le coefficient \(f\), soit en se trompant de formule, soit en faisant une erreur de calcul avec les logarithmes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les pertes de charge sont proportionnelles à la longueur L et à la vitesse au carré V².
  • Elles sont inversement proportionnelles au diamètre D.
  • Le calcul de \(f\) est une étape intermédiaire cruciale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les très vieilles conduites en fonte, la rugosité augmente avec le temps à cause de la corrosion et des dépôts (incrustation), ce qui augmente les pertes de charge et diminue la capacité du réseau. C'est un enjeu majeur pour la maintenance des réseaux anciens.

FAQ (pour lever les doutes)
Et les pertes de charge singulières ?

Elles sont dues aux coudes, vannes, tés, etc. On les calcule avec la formule \(\Delta H_s = K \cdot (V^2/2g)\), où K est un coefficient propre à chaque accessoire. Dans un long tronçon comme ici, elles sont souvent faibles par rapport aux pertes linéaires et peuvent être négligées en première approche.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pertes de charge linéaires dans la conduite sont de 9,16 mètres de colonne d'eau (mCE).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la conduite faisait 2400 m au lieu de 1200 m, quelles seraient les nouvelles pertes de charge ?

Question 4 : Déterminer la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Principe (le concept physique)

La HMT est l'énergie totale, exprimée en mètres de colonne d'eau, que la pompe doit fournir au fluide. Elle correspond à la somme de trois termes : la différence d'altitude à vaincre, la pression à fournir à l'arrivée, et les pertes d'énergie à compenser en chemin.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La HMT est issue directement du théorème de Bernoulli, qui est la loi de conservation de l'énergie appliquée à un fluide. Chaque terme de l'équation (\(Z, P/\rho g, V^2/2g\)) représente une forme d'énergie : potentielle de pesanteur, de pression, et cinétique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le calcul de synthèse qui regroupe tous les résultats précédents. La HMT est LA caractéristique principale pour choisir une pompe dans le catalogue d'un fabricant. Une erreur ici et tout le projet est compromis.

Normes (la référence réglementaire)

La pression minimale au point de livraison (ici 3 bars) est une exigence réglementaire (Code de la santé publique en France) pour garantir un service correct à l'usager et le bon fonctionnement des appareils (chauffe-eau, etc.).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Théorème de Bernoulli généralisé

\[ \text{HMT} = (Z_B - Z_A) + \frac{P_B - P_A}{\rho g} + \frac{V_B^2 - V_A^2}{2g} + \Delta H \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La pression à la surface du réservoir est la pression atmosphérique (\(P_A = 0\) en pression relative).
  • La vitesse à la surface d'un grand réservoir est négligeable (\(V_A \approx 0\)).
  • La vitesse au point de livraison est celle dans la conduite (\(V_B = V\)).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude A\(Z_A\)120m
Altitude B\(Z_B\)95m
Pression requise en B\(P_B\)3bar
Vitesse en B\(V_B\)1.433m/s
Pertes de charge\(\Delta H\)9.16m
Astuces (Pour aller plus vite)

Retenez la structure : \(\text{HMT} = \Delta Z_{\text{géo}} + H_{\text{pression}} + \Delta H_{\text{pertes}}\). Le terme d'énergie cinétique \(V^2/2g\) est souvent très faible et peut parfois être négligé en pré-dimensionnement, mais il faut le calculer pour être rigoureux.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan énergétique entre les points A et B
ZAZBZB - ZA = -25mHMT ?ΔH = 9.16mPB = 3 bars
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion de la pression requise

\[ \begin{aligned} \frac{P_B}{\rho g} &= 3.0 \text{ bars} \times 10.2 \frac{\text{mCE}}{\text{bar}} \\ &= 30.6 \text{ mCE} \end{aligned} \]

Application de la formule de Bernoulli simplifiée

\[ \text{HMT} = (Z_B - Z_A) + \frac{P_B}{\rho g} + \frac{V_B^2}{2g} + \Delta H \]

Calcul final de la HMT

\[ \begin{aligned} \text{HMT} &= (95\text{m} - 120\text{m}) + 30.6\text{m} + \frac{(1.433 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} + 9.16\text{m} \\ &= -25\text{m} + 30.6\text{m} + 0.105\text{m} + 9.16\text{m} \\ &\approx 14.865 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan énergétique avec HMT calculée
ZA=120ZB=95HMT = 14.9mÉnergie totale = -25m (géo) + 30.6m (pression) + 9.2m (pertes) + 0.1m (vitesse) = 14.9m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Bien que le point B soit 25m plus bas que le point A, il faut quand même une pompe fournissant près de 15m de HMT. Cela est dû à la forte pression exigée à l'arrivée (30.6m) et aux pertes de charge (9.16m). Sans pompe, la pression à l'arrivée serait négative (dépression) !

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes ! La hauteur géométrique est \(Z_{\text{arrivée}} - Z_{\text{départ}}\). Ici, c'est \(Z_B - Z_A = 95 - 120 = -25\)m. Un signe incorrect ici fausse complètement le résultat.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La HMT est la somme de la hauteur géométrique, de la hauteur de pression requise et des pertes de charge. C'est le bilan énergétique complet du système.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour choisir la pompe, on cherche l'intersection entre la "courbe de réseau" (qui donne la HMT requise pour chaque débit) et la "courbe de pompe" (qui donne la HMT fournie par la pompe pour chaque débit). Le point d'intersection est le point de fonctionnement.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la HMT est négative parfois ?

Une HMT calculée négative signifierait qu'une pompe n'est pas nécessaire et qu'il faudrait même installer une turbine pour dissiper l'excès d'énergie (cas des barrages hydroélectriques). Dans notre cas, elle est positive, donc une pompe est bien requise.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La pompe doit fournir une HMT d'environ 14,9 mCE.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la HMT nécessaire si la pression requise au point B était de 4 bars (soit 40.8 mCE) ?

Question 5 : Calculer la puissance électrique absorbée

Principe (le concept physique)

La puissance électrique est la puissance que la pompe consomme sur le réseau électrique pour fonctionner. Elle est supérieure à la puissance réellement transmise à l'eau (puissance hydraulique) car aucune machine n'est parfaite : une partie de l'énergie est perdue (chaleur, frottements mécaniques), ce que quantifie le rendement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La puissance est une énergie par unité de temps (en Watts). La puissance hydraulique \(P_h\) est le produit du poids du volume d'eau déplacé par seconde (\(\rho \cdot g \cdot Q\)) par la hauteur à laquelle il est élevé (HMT).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la conclusion de l'étude : quel est le coût énergétique de l'opération ? La puissance électrique permet de dimensionner l'alimentation électrique du site et d'estimer les coûts de fonctionnement annuels.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes sur l'efficacité énergétique (écoconception) poussent les fabricants à proposer des pompes avec des rendements de plus en plus élevés pour limiter la consommation d'énergie à l'échelle d'un pays.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Puissance hydraulique (\(P_h\))

\[ P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot \text{HMT} \]

Puissance électrique absorbée (\(P_e\))

\[ P_e = \frac{P_h}{\eta} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le rendement de 75% est constant au point de fonctionnement. En réalité, le rendement varie avec le débit.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique de l'eau\(\rho\)1000kg/m³
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81m/s²
Débit\(Q\)0.045m³/s
HMT\(\text{HMT}\)14.9m
Rendement\(\eta\)0.75-
Astuces (Pour aller plus vite)

Une formule approchée souvent utilisée pour un calcul rapide est \(P_e (\text{kW}) \approx \frac{Q(\text{m}^3/\text{h}) \times \text{HMT}(\text{m})}{270}\) pour un rendement de 75%. Vérifions : \(\frac{(0.045 \times 3600) \times 14.9}{270} \approx 8.94\) kW. C'est un bon ordre de grandeur !

Schéma (Avant les calculs)
Flux de puissance dans une pompe
Pe (électrique)POMPERendement ηPertesPh (hydraulique)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la puissance hydraulique

\[ \begin{aligned} P_h &= 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 0.045 \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \times 14.9 \text{ m} \\ &\approx 6576 \text{ Watts} \end{aligned} \]

Calcul de la puissance électrique

\[ \begin{aligned} P_e &= \frac{6576 \text{ W}}{0.75} \\ &\approx 8768 \text{ Watts} \\ &\approx 8.77 \text{ kW} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan de Puissance Final
8.77 kW(électrique)POMPEη = 75%2.19 kW (pertes)6.58 kW(hydraulique)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Il faut une pompe d'une puissance électrique d'environ 8.8 kW. C'est une puissance modeste, typique d'une petite station de pompage. Ce chiffre est essentiel pour le dimensionnement du transformateur, des câbles et de l'armoire électrique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le rendement ! L'erreur classique est de calculer la puissance hydraulique et de s'arrêter là. Il faut toujours diviser par le rendement (un nombre < 1) pour obtenir la puissance électrique, qui sera donc logiquement plus grande.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La puissance hydraulique est l'énergie transmise à l'eau.
  • La puissance électrique est l'énergie consommée par la pompe.
  • \(P_e = P_h / \eta\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le pompage de l'eau représente une part très importante de la consommation électrique mondiale (environ 4%). L'amélioration du rendement des pompes et l'optimisation de la gestion des réseaux sont donc des enjeux écologiques et économiques majeurs.

FAQ (pour lever les doutes)
Le rendement de 75% est-il réaliste ?

Oui, c'est un rendement tout à fait standard pour une pompe centrifuge moderne bien entretenue et fonctionnant près de son point de meilleur rendement (Best Efficiency Point - BEP). Les rendements peuvent aller de 60% pour de petites pompes à plus de 90% pour de très grosses unités.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La puissance électrique absorbée par la pompe est d'environ 8,77 kW.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la puissance électrique si le rendement de la pompe n'était que de 60% ?

Outil Interactif : Impact du Diamètre et du Débit

Utilisez ce simulateur pour visualiser comment le débit et le diamètre de la conduite influencent les pertes de charge. Observez à quel point une petite variation de diamètre peut changer radicalement l'énergie perdue.

Paramètres d'Entrée
45 L/s
200 mm
Résultats Clés
Vitesse (m/s) -
Pertes de Charge / km (mCE) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le débit dans une conduite (en gardant le diamètre constant), les pertes de charge linéaires sont approximativement...

2. La Hauteur Manométrique Totale (HMT) d'une pompe représente...

3. Un nombre de Reynolds élevé (ex: > 100 000) signifie que...

4. Pour réduire les pertes de charge dans un réseau, la solution la plus efficace est :

5. La puissance électrique d'une pompe est toujours supérieure à sa puissance hydraulique à cause...

Glossaire

Perte de Charge
Énergie (exprimée en mètres de colonne d'eau) dissipée par le frottement de l'eau sur les parois de la conduite. Elle se traduit par une baisse de pression.
Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale que la pompe doit fournir à chaque kilogramme de fluide pour atteindre les conditions de pression et d'altitude requises au point de livraison.
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces visqueuses. Il permet de déterminer si un écoulement est laminaire (calme, ordonné) ou turbulent (chaotique, avec des tourbillons).
Rugosité (k)
Hauteur moyenne des aspérités à l'intérieur d'une conduite, qui influence le frottement et donc les pertes de charge.
Exercice : Dimensionnement d'un Réseau d'Eau Potable

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