Calcul du Module de Young du Titane
📝 Situation du Projet Aéronautique
Vous êtes Ingénieur Expert en Sciences des Matériaux au sein du département "Structures Avancées" d'un leader mondial de l'aéronautique civile. Dans le cadre du programme de développement de l'A350-XWB, une initiative majeure vise à réduire la masse non suspendue des trains d'atterrissage pour optimiser la consommation de carburant (projet "Green Sky").
La pièce critique sous votre responsabilité est la bielle de contrefiche principale, historiquement forgée en acier 300M (ultra-haute résistance mais densité élevée : ~7.8 g/cm³). Le bureau d'études propose de la remplacer par une pièce en alliage de Titane Ti-6Al-4V (Grade 5), réputé pour son exceptionnel rapport résistance/densité. Cependant, la rigidité du Titane est inférieure à celle de l'acier, ce qui pourrait entraîner des déformations excessives sous charge statique.
Avant de valider la conception numérique (FEA), vous devez impérativement caractériser expérimentalement la rigidité réelle (Module de Young) d'un lot d'éprouvettes issues de la même coulée que les futures bielles. Vous disposez d'une machine de traction électromécanique de précision (Classe 0.5 selon ISO 7500-1) équipée d'un extensomètre axial à jauges de contrainte.
Vous devez dépouiller les données brutes issues de l'essai de traction monotone réalisé dans le domaine élastique. Votre objectif est de déterminer avec une précision scientifique le Module de Young (E) de l'échantillon. Ce résultat déterminera si la bielle en Titane sera assez rigide pour supporter les charges d'atterrissage sans flambement.
"Attention, nous travaillons ici exclusivement dans le domaine élastique (réversible). Ne confondez pas la longueur totale de l'éprouvette avec la longueur calibrée utile \(L_0\) située entre les couteaux de l'extensomètre. Soyez extrêmement vigilants sur les conversions d'unités : l'extensomètre donne des mm, mais le module s'exprime en GPa !"
Les données ci-dessous définissent le cadre normatif, géométrique, chimique et physique de l'essai. Elles sont issues du certificat matière (CCPU) fourni par la fonderie et des relevés métrologiques effectués avant l'essai.
📚 Référentiel Normatif & Standards
- ISO 6892-1 : Matériaux métalliques - Essai de traction - Partie 1 : Méthode d'essai à température ambiante.
- ASTM E8 / E8M : Standard Test Methods for Tension Testing of Metallic Materials.
- AMS 4911 : Spécification aérospatiale pour le Titane Ti-6Al-4V (feuilles, bandes, plaques).
| GÉOMÉTRIE INITIALE DE L'ÉPROUVETTE | |
| Diamètre de la partie calibrée \(d_0\) | 10,00 mm (± 0.01) |
| Longueur utile initiale \(L_0\) | 50,00 mm (Base de mesure) |
| DONNÉES ACQUISES (INSTANT T) | |
| Force de traction axiale \(F\) | 35,00 kN |
| Allongement mesuré \(\Delta L\) | 0,205 mm |
L'alliage Ti-6Al-4V est un alliage alpha-bêta, le plus utilisé en aéronautique pour son excellent compromis.
| Élément / Propriété | Teneur / Valeur | Rôle / Note |
|---|---|---|
| Titane (Ti) | Base (~90%) | Matrice |
| Aluminium (Al) | 5.5 - 6.75 % | Stabilisant Alpha (Résistance) |
| Vanadium (V) | 3.5 - 4.5 % | Stabilisant Bêta (Ductilité) |
| Densité \(\rho\) | 4.43 g/cm³ | Vs 7.8 pour l'acier (Gain de masse) |
| Coefficient de Poisson \(\nu\) | 0.342 | Donnée indicative |
📐 Hypothèses de Modélisation
- Le matériau est considéré comme homogène, isotrope et continu.
- L'essai se déroule en conditions quasi-statiques (vitesse de déformation lente).
- La température est stabilisée à 20°C (pas d'effets de dilatation thermique).
- La déformation est supposée purement élastique linéaire (validité de la Loi de Hooke).
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Diamètre Initial | \( d_0 \) | 10,0 | [mm] |
| Longueur Initiale | \( L_0 \) | 50,0 | [mm] |
| Force Appliquée | \( F \) | 35 000 | [N] |
| Allongement | \( \Delta L \) | 0,205 | [mm] |
E. Protocole de Résolution
Pour déterminer la rigidité intrinsèque du matériau (Module de Young) à partir des mesures brutes de force et de déplacement, nous devons suivre une démarche structurée qui permet de passer des grandeurs "globales" (liées à la géométrie de la pièce) aux grandeurs "locales" (liées au matériau).
Calcul de la Section Droite (\(S_0\))
Déterminer la surface de la section transversale de l'éprouvette sur laquelle l'effort de traction est appliqué uniformément.
Calcul de la Contrainte Normale (\(\sigma\))
Transformer l'effort de traction (Force) en une pression interne (Contrainte) subie par le matériau, indépendamment de la taille de l'échantillon.
Calcul de la Déformation (\(\varepsilon\))
Normaliser l'allongement mesuré par rapport à la longueur initiale pour obtenir une valeur de déformation relative (sans unité).
Détermination du Module de Young (\(E\))
Appliquer la Loi de Hooke pour lier la contrainte à la déformation et isoler la constante de raideur du matériau.
Calcul du Module de Young du Titane
1. 🎯 Objectif
L'objectif primordial de cette étape est de déterminer la "surface résistante" offerte par l'éprouvette à l'effort de traction. Cette grandeur géométrique \(S_0\) est indispensable pour normaliser la force appliquée : une même force n'aura pas le même effet destructeur sur une aiguille que sur un pilier de pont. Nous devons calculer l'aire de la section transversale perpendiculaire à l'axe de la charge.
2. 📚 Référentiel
Géométrie EuclidienneHypothèse de Saint-VenantNotre éprouvette est cylindrique par définition normative (ISO 6892). Sa section transversale est donc un disque parfait. Dans le cadre de l'ingénierie RDM conventionnelle, nous basons tous nos calculs sur la section initiale non déformée \(S_0\), car la variation réelle de section (striction) est négligeable dans le domaine élastique des métaux durs comme le Titane. Le diamètre est la donnée d'entrée \(d_0\), mais c'est l'aire qui nous intéresse pour diviser la force.
4. 📘 Rappel Théorique
La surface d'un cercle peut être calculée via son rayon \(r\) ou son diamètre \(d\). En métrologie industrielle, on mesure toujours le diamètre (pied à coulisse). La formule privilégiée est donc ci-dessous :
5. 📐 Formules Clés
6. 📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Diamètre \(d_0\) | 10,0 mm |
| Constante \(\pi\) | ~ 3,14159 |
7. 💡 Astuce Technique
Gardez toujours la valeur exacte de \(\pi\) dans votre calculatrice pour éviter les erreurs d'arrondi intermédiaires. Une erreur de précision ici se répercutera sur la contrainte et donc sur le Module de Young final.
8. 📝 Calculs Détaillés
Calcul de l'Aire
Nous appliquons la formule de l'aire du disque avec le diamètre fourni de 10 mm. Ce calcul est direct.
La section résistante de notre éprouvette est d'environ 78,54 mm². C'est une valeur standard pour des éprouvettes de traction normalisées. Nous conserverons 4 décimales pour les calculs suivants.
9. ✅ Interprétation Globale
10. ⚖️ Analyse de Cohérence
11. ⚠️ Points de Vigilance
1. 🎯 Objectif
Il s'agit ici de normaliser l'effort appliqué pour le rendre indépendant de la taille de la pièce. Dire qu'on applique "35 000 Newtons" ne suffit pas pour prédire la rupture ; il faut rapporter cet effort à la surface calculée précédemment. La contrainte \(\sigma\) (sigma) représente cette "pression interne" de cohésion de la matière.
2. 📚 Référentiel
Mécanique des Milieux ContinusDéfinition de la Contrainte (Cauchy)La force est axiale et la section est constante. Nous sommes dans un cas d'école de traction pure (uniaxiale). La contrainte est donc réputée uniforme sur toute la section droite. L'unité résultante sera des Newtons par millimètre carré (\(N/mm^2\)). En RDM, cette unité est strictement équivalente au Mégapascal (MPa), l'unité standard internationale.
4. 📘 Rappel Théorique
La contrainte normale moyenne \(\sigma\) est le rapport de l'effort normal \(N\) (ici égal à la force \(F\)) sur l'aire de la section droite \(S\).
5. 📐 Formules Clés
Où \(F\) est en Newtons (N) et \(S_0\) en \(\text{mm}^2\). Le résultat est en MPa.
6. 📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Conversion SI |
|---|---|---|
| Force \(F\) | 35,0 kN | 35 000 N |
| Section \(S_0\) | 78,5398 mm² | - |
7. 💡 Astuce Technique
Retenez par cœur : \(1 \text{ MPa} = 1 \text{ N/mm}^2\). C'est l'équivalence la plus utile en mécanique. Évitez de tout convertir en mètres (Pa), cela donne des chiffres trop grands difficiles à manipuler.
8. 📝 Calculs Détaillés
A. Conversion de la Force
La machine donne des kN. Il faut impérativement passer en Newtons.
B. Application Numérique
Nous divisons la force en Newtons par la section en \(\text{mm}^2\).
Analyse dimensionnelle :
La contrainte interne est d'environ 446 MPa.
9. ✅ Interprétation Globale
10. ⚖️ Analyse de Cohérence
11. ⚠️ Points de Vigilance
1. 🎯 Objectif
L'allongement brut en millimètres (\(\Delta L\)) dépend de la longueur de l'éprouvette testée. Pour caractériser le matériau intrinsèquement, nous devons calculer sa déformation relative (ou extension). C'est une grandeur sans unité (ou exprimée en %) qui représente le taux d'allongement par rapport à la longueur initiale.
2. 📚 Référentiel
Cinématique des milieux continusL'extensomètre a mesuré un déplacement \(\Delta L\) sur la longueur utile \(L_0\). La déformation \(\varepsilon\) (epsilon) est le ratio de ces deux longueurs. C'est une valeur très petite dans le domaine élastique des métaux (souvent inférieure à 1%). Il est crucial d'utiliser la longueur de référence de l'extensomètre (\(L_0\)) et non la longueur totale de l'éprouvette.
4. 📘 Rappel Théorique
La déformation conventionnelle \(\varepsilon\) est définie par le rapport de l'allongement absolu sur la longueur initiale de référence.
5. 📐 Formules Clés
Grandeur adimensionnelle (mm/mm).
6. 📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Allongement \(\Delta L\) | 0,205 mm |
| Longueur Initiale \(L_0\) | 50,0 mm |
7. 💡 Astuce Technique
8. 📝 Calculs Détaillés
Application Numérique
Le calcul est un simple rapport de longueurs.
Vérification des unités :
La déformation est de 0,0041 mm/mm.
9. ✅ Interprétation Globale
10. ⚖️ Analyse de Cohérence
11. ⚠️ Points de Vigilance
1. 🎯 Objectif
C'est l'objectif final de l'expertise : déterminer la rigidité intrinsèque du Titane Ti-6Al-4V. Le module de Young (\(E\)) est la constante de proportionnalité entre la contrainte et la déformation. C'est la "signature" élastique du matériau : plus \(E\) est élevé, plus le matériau est rigide (difficile à déformer élastiquement).
2. 📚 Référentiel
Loi de Hooke (1678)Théorie de l'élasticité linéaireNous avons validé que nous sommes dans le domaine élastique. La relation entre \(\sigma\) et \(\varepsilon\) est donc linéaire. Pour trouver \(E\), il suffit d'inverser la formule de la loi de Hooke.
4. 📘 Rappel Théorique
Dans le domaine élastique linéaire d'un matériau isotrope, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation : le facteur de proportionnalité est le Module de Young.
5. 📐 Formules Clés
Manipulation algébrique : La loi de Hooke s'écrit \(\sigma = E \cdot \varepsilon\). Nous cherchons \(E\). En divisant les deux côtés de l'équation par \(\varepsilon\) (qui est non nul), nous isolons \(E\) :
6. 📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Contrainte \(\sigma\) | 445,6339 MPa |
| Déformation \(\varepsilon\) | 0,0041 |
7. 💡 Astuce Technique
8. 📝 Calculs Détaillés
A. Calcul de \(E\) en MPa
Nous divisons la contrainte par la déformation.
B. Conversion en GPa
Division par 1000 pour respecter la convention d'ingénierie.
Conversion finale : Le résultat brut sort en MPa. Pour obtenir des GPa (unité usuelle), on sait que \(1 \text{ GPa} = 1000 \text{ MPa}\).
Nous obtenons un module de Young expérimental d'environ 108,7 GPa.
9. ✅ Interprétation Globale
10. ⚖️ Analyse de Cohérence
11. ⚠️ Points de Vigilance
Synthèse graphique de l'essai de traction : La pente de la droite dans le domaine élastique correspond au Module de Young (\(E\)).
6. Livrable Final (Note de Synthèse)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 20/10/2024 | Réception Échantillon | Tech. Labo |
| B | 24/10/2024 | Calcul & Validation Module E | Ing. Matériaux |
- Alliage : Titane Ti-6Al-4V (Grade 5)
- Type : Éprouvette Cylindrique Standard
- Machine : Traction Uniaxiale 100kN
| Diamètre initial \(d_0\) | 10,0 mm |
| Force appliquée \(F\) | 35 000 N |
| Allongement \(\Delta L\) | 0,205 mm sur 50 mm |
Synthèse des calculs intermédiaires effectués selon la norme ISO 6892.
Expert Matériaux
Chef de Laboratoire
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