Calcul des Réactions d’Appui et Efforts Internes
📝 Situation du Projet
Le cabinet d'ingénierie "Alpina Structures", spécialisé dans les ouvrages d'art en milieu montagneux, a été mandaté pour la conception d'une passerelle d'observation touristique située dans le massif du Mont-Blanc. Cet ouvrage, baptisé "La Vigie des Glaciers", doit permettre aux visiteurs de s'avancer au-dessus du vide pour observer la vallée en contrebas.
La structure principale repose sur un système de poutres en acier à haute limite élastique. La configuration retenue pour optimiser l'insertion paysagère et limiter les points d'ancrage au sol (complexe en terrain rocheux instable) est une poutre isostatique avec un porte-à-faux important. En tant qu'ingénieur structure junior, vous êtes chargé de valider le dimensionnement de la poutre principale longitudinale sous les charges d'exploitation maximales (foule compacte en bout de belvédère).
Vous devez effectuer l'analyse statique complète de la poutre principale (IPE 400). Cela implique de calculer les réactions aux appuis pour dimensionner les ancrages béton, et de tracer les diagrammes des efforts internes (Tranchant et Moment Fléchissant) pour vérifier la résistance de l'acier aux sections critiques.
"Attention, ne négligez pas l'effet de levier du porte-à-faux sur l'appui B. Une erreur de signe sur le moment fléchissant peut être catastrophique pour le dimensionnement de la semelle inférieure de la poutre (risque de flambement dévers)."
L'étude se fonde sur les hypothèses de dimensionnement arrêtées lors de la phase d'Avant-Projet Sommaire (APS). L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet, conformément aux exigences de sécurité pour les Établissements Recevant du Public (ERP).
📚 Référentiel Normatif & Hypothèses
Le dimensionnement doit impérativement respecter les Eurocodes structuraux en vigueur, garantissant la fiabilité de l'ouvrage sur une durée de vie de 50 ans.
Eurocode 0 (EN 1990) : Bases de calcul des structures Eurocode 3 (EN 1993-1-1) : Calcul des structures en acierPour résister aux conditions climatiques rigoureuses de la haute montagne et minimiser le poids propre (transport par hélicoptère), le choix s'est porté sur un Acier de Construction à Haute Limite Élastique. Ce matériau offre un excellent compromis entre ductilité et résistance mécanique.
| ACIER DE STRUCTURE S355 JR | |
| Limite d'élasticité (\(f_{\text{y}}\)) | 355 MPa (N/mm²) |
| Module de Young (\(E\)) | 210 000 MPa |
| Masse volumique (\(\rho\)) | 7 850 kg/m³ |
| PROFILÉ IPE 400 | |
| Hauteur de section (\(h\)) | 400 mm |
| Module de flexion élastique (\(W_{\text{el},y}\)) | 1160 cm³ |
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur Travée | \( L_1 \) | 6.00 | m |
| Longueur Console | \( L_2 \) | 2.00 | m |
| Charge Répartie | \( q \) | 15.00 | kN/m |
| Charge Ponctuelle | \( F \) | 25.00 | kN |
E. Protocole de Résolution
Pour valider la structure, nous allons suivre une démarche rigoureuse issue de la Résistance des Matériaux (RDM). Chaque étape est conditionnée par la réussite de la précédente.
Modélisation & Statique
Isoler la poutre, inventorier les actions mécaniques et appliquer le Principe Fondamental de la Statique (PFS) pour déterminer les inconnues de liaison (Réactions \(R_A\) et \(R_B\)).
Efforts Internes (Méthode des Coupures)
Déterminer les équations analytiques de l'Effort Tranchant \(V(x)\) et du Moment Fléchissant \(M(x)\) le long de la poutre en effectuant des coupures virtuelles dans chaque zone caractéristique.
Tracé des Diagrammes
Représenter graphiquement l'évolution des sollicitations pour identifier visuellement les sections critiques (là où le moment ou le cisaillement est maximal).
Vérification de la Contrainte
Calculer la contrainte normale maximale de flexion (Navier-Bernoulli) et la comparer à la limite élastique de l'acier S355 pour valider le profilé.
Calcul des Réactions d’Appui et Efforts Internes
🎯 Objectif Scientifique
L'objectif fondamental de cette première étape est de déterminer les actions mécaniques de liaison, c'est-à-dire les forces que la poutre exerce sur ses appuis (et réciproquement, par le principe de l'action et de la réaction). Ces valeurs, nommées réactions d'appui, sont indispensables pour deux raisons majeures : d'une part, elles permettent de vérifier que le sol ou les fondations peuvent supporter la charge ; d'autre part, elles constituent les conditions aux limites nécessaires pour calculer ensuite les efforts internes dans la matière (cisaillement et flexion). Sans ces valeurs exactes, tout dimensionnement ultérieur est impossible.
📚 Référentiel & Théorèmes
Pour résoudre ce problème de statique, nous nous appuyons sur les piliers de la mécanique classique :
- Principe Fondamental de la Statique (PFS) : Pour qu'un solide soit en équilibre dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures et la somme des moments doivent être nulles.
- Hypothèse des Petites Perturbations (HPP) : Nous supposons que les déformations de la structure sont négligeables par rapport à ses dimensions, ce qui nous permet d'écrire les équations d'équilibre sur la géométrie initiale (non déformée).
Nous sommes en présence d'un problème plan (2D). La poutre est modélisée par une ligne moyenne reposant sur deux appuis : un appui pivot en A et un appui simple (rouleau) en B. Analysons les inconnues :
- L'appui A bloque les translations verticale et horizontale (\(R_{Ay}, R_{Ax}\)).
- L'appui B bloque uniquement la translation verticale (\(R_{By}\)).
Comme il n'y a aucune force externe horizontale (pas de vent ni de séisme dans cette étude simplifiée), l'équation d'équilibre sur l'axe X donne immédiatement \(R_{Ax} = 0\). Il nous reste donc deux inconnues principales à déterminer : les composantes verticales \(R_A\) et \(R_B\). Pour les trouver, nous disposons de deux équations scalaires utiles : la somme des moments et la somme des forces verticales.
Le moment d'une force par rapport à un point est la capacité de cette force à faire tourner le système autour de ce point. Il se calcule par le produit de l'intensité de la force et de son bras de levier (distance perpendiculaire). En statique plane, l'équilibre des moments est crucial pour empêcher la rotation de la structure.
📐 Formules Clés
📋 Données d'Entrée Rappelées
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge répartie \(q\) | 15 kN/m (appliquée sur \(L_1=6m\)) |
| Charge ponctuelle \(F\) | 25 kN (appliquée à \(x=8m\)) |
| Bras de levier \(L_1\) (Portée A-B) | 6.00 m |
| Bras de levier \(L_2\) (Console B-C) | 2.00 m |
💡 Astuce
Pour écrire l'équation des moments sans erreur, il est fortement recommandé de remplacer mentalement la charge répartie \(q\) par une Force Résultante Ponctuelle Équivalente. Cette force fictive a la même intensité totale que la charge répartie et s'applique à son centre de gravité (ici, au milieu de la travée AB).
Calculs Détaillés
1. Calcul de la Résultante de la charge répartie (\(Q_{\text{res}}\)) :
Nous calculons d'abord l'intensité totale de la charge linéaire de 15 kN/m appliquée sur la longueur de 6 mètres. Cela correspond à l'aire du rectangle de chargement.
Interprétation : La charge répartie équivaut statiquement à une force unique de 90 kN appliquée au milieu de la travée.
Position de la résultante :
Le centre de gravité se situe à mi-longueur de la travée chargée.
2. Isolement de \(R_B\) par l'Équilibre des Moments en A :
Pour trouver \(R_B\), nous choisissons d'écrire la somme des moments au point A. Pourquoi A ? Car la réaction inconnue \(R_A\) passe par ce point, son bras de levier est donc nul, ce qui l'élimine de l'équation. Nous adoptons la convention classique : un moment qui fait tourner dans le sens anti-horaire est positif (+).
Le moment de \(Q_{\text{res}}\) est négatif car il fait tourner en sens horaire.
Le moment de \(R_B\) est positif car il fait tourner en sens anti-horaire.
Le moment de \(F\) est négatif car il fait tourner en sens horaire.
L'équation est posée. Les charges \(Q_{\text{res}}\) et \(F\) tentent de faire tourner la poutre dans le sens horaire (signe moins), tandis que la réaction \(R_B\) s'y oppose (signe plus).
3. Résolution numérique pour \(R_B\) :
Nous isolons le terme \(R_B\) pour trouver sa valeur numérique. Nous passons les termes constants de l'autre côté de l'égalité en changeant leur signe.
Interprétation : L'appui B reprend une charge très importante (78.33 kN). C'est logique car il est situé entre la charge principale de la travée et la charge en porte-à-faux, agissant comme un point de pivot ("fulcrum").
4. Calcul de \(R_A\) par la Somme des Forces Verticales :
Connaissant \(R_B\), nous utilisons la deuxième équation du PFS (projection sur l'axe Y) pour trouver \(R_A\). La somme des forces montantes (\(R_A, R_B\)) doit égaler la somme des forces descendantes (\(Q_{\text{res}}, F\)).
Interprétation : La réaction en A (36.67 kN) est nettement plus faible que celle en B. L'effet de levier de la charge \(F\) en bout de console tend à "soulever" la poutre au niveau de A, ce qui déleste cet appui.
✅ Interprétation Globale
Les résultats obtenus montrent une répartition asymétrique des charges. L'appui B est le plus sollicité car il supporte à la fois une partie de la charge répartie de la travée centrale et l'intégralité de l'effort de basculement induit par le porte-à-faux. L'appui A, bien que soulagé, reste comprimé (réaction positive), ce qui garantit la stabilité au soulèvement sous ce cas de charge.
Il est impératif de vérifier nos calculs par une méthode indépendante. Calculons la somme des moments par rapport au point B (au lieu de A).
1. Moment des forces à gauche de B :Les deux valeurs sont quasi-identiques (l'écart de 0.02 est dû aux arrondis). L'équilibre est confirmé.
Risque de Soulèvement : Si la charge \(F\) en bout de console avait été beaucoup plus élevée (par exemple 100 kN), le calcul de \(R_A\) aurait donné un résultat négatif. Cela signifierait que la poutre se soulèverait en A ! Dans ce cas, un simple appui "posé" ne suffirait pas, il faudrait prévoir un ancrage capable de reprendre de la traction.
🎯 Objectif Scientifique
Avoir déterminé les réactions externes ne suffit pas. La poutre peut très bien être en équilibre global mais se rompre localement si les contraintes internes sont trop fortes. L'objectif de cette étape est de "scanner" l'intérieur de la poutre pour déterminer, en tout point \(x\) de son abscisse, la valeur de l'Effort Tranchant \(V(x)\) (tendance au cisaillement) et du Moment Fléchissant \(M(x)\) (tendance à la courbure).
📚 Référentiel & Théorèmes
Nous utilisons la théorie des poutres (modèle Euler-Bernoulli) qui relie les sollicitations externes aux efforts internes. Les principes de continuité de la matière et d'équilibre local sont appliqués à chaque tronçon.
La structure présente une discontinuité géométrique et de chargement au niveau de l'appui B (à \(x=6\)m). En effet, l'apparition de la force ponctuelle \(R_B\) et la fin de la charge répartie \(q\) modifient brusquement les équations d'équilibre. Nous devons donc diviser notre étude en deux domaines de définition distincts :
Zone 1 : La travée entre les appuis A et B (\(0 \le x < 6m\)).
Zone 2 : La console (porte-à-faux) entre B et C (\(6m \le x \le 8m\)).
Nous appliquerons la Méthode des Coupures en isolant le tronçon de gauche à chaque fois.
Lorsque l'on coupe la poutre à une abscisse \(x\) et qu'on garde le morceau de gauche, les efforts internes qui rétablissent l'équilibre sont définis positifs ainsi :
- Effort Tranchant \(V(x)\) : Dirigé vers le bas (s'oppose aux forces montantes).
- Moment Fléchissant \(M(x)\) : Dirigé dans le sens anti-horaire (tend les fibres inférieures, fait "sourire" la poutre).
📐 Formules Clés
Ces formules s'appliquent en balayant la poutre de la gauche vers la droite.
1. Effort Tranchant :
2. Moment Fléchissant :
📋 Données d'Entrée Rappelées
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Réaction \(R_A\) | 36.67 kN |
| Réaction \(R_B\) | 78.33 kN |
| Charge \(q\) | 15 kN/m |
💡 Astuce
Pour le moment fléchissant, n'oubliez pas que le bras de levier d'une charge répartie est la distance entre la coupure et le centre de cette portion de charge. Pour une portion de longueur \(x\), le centre est à \(x/2\).
ZONE 1 : Travée principale (\(0 \le x \le 6\))
Nous effectuons une coupure virtuelle à une distance \(x\) quelconque comprise entre A et B. Les forces présentes à gauche de cette coupure sont : la réaction \(R_A\) (vers le haut) et une portion de la charge répartie \(q\) sur une longueur \(x\) (vers le bas).
1. Équation de l'Effort Tranchant \(V(x)\) :
On somme les forces verticales à gauche : \(R_A\) est positive, la charge répartie sur la longueur \(x\), qui vaut \(q \times x\), est négative.
Interprétation : C'est une fonction affine décroissante (équation d'une droite de pente -15).
Valeur en A (\(x=0\)) :
Valeur juste avant B (\(x=6\)) :
2. Équation du Moment Fléchissant \(M(x)\) :
On somme les moments au point de coupure \(x\).
- Le moment dû à \(R_A\) est \(R_A \times x\) (positif).
- Le moment dû à la charge répartie \(q \cdot x\) est négatif. La résultante \(q \cdot x\) est appliquée au milieu du segment \(x\), donc à une distance \(x/2\) de la coupure.
Interprétation : C'est une parabole concave (forme en cloche inversée à cause du terme en \(-x^2\)).
Valeur en A (\(x=0\)) :
Valeur en B (\(x=6\)) :
ZONE 2 : Porte-à-faux (\(6 \le x \le 8\))
Pour cette zone, la coupure est faite après l'appui B. Nous devons donc ajouter dans nos équations l'influence de la réaction \(R_B\) et considérer que toute la charge répartie de la travée 1 est active (mais qu'elle s'arrête à \(x=6\)).
1. Équation de l'Effort Tranchant \(V(x)\) :
La charge répartie s'arrête à \(x=6\). Sur la console, il n'y a plus de charge répartie (dans cet exercice simplifié). Donc \(V(x)\) sera constant. On ajoute simplement \(R_B\) à l'équation précédente évaluée à \(x=6\).
Interprétation : L'effort tranchant est constant et positif (+25 kN) sur tout le porte-à-faux.
Vérification de fermeture en C (\(x=8\)) :
Le diagramme se referme parfaitement.
2. Équation du Moment Fléchissant \(M(x)\) :
- La charge répartie totale (90kN) a pour centre \(x=3\). Son bras de levier est \((x - 3)\).
- La réaction \(R_B\) est en \(x=6\). Son bras de levier est \((x - 6)\).
Interprétation : C'est une droite croissante (pente positive de 25).
Valeur en B (\(x=6\)) :
Valeur en C (\(x=8\)) :
Vérification de continuité en B (\(x=6\)) : \(M(6) = -50\) kNm. C'est exactement la valeur trouvée à la fin de la Zone 1 !
✅ Interprétation Globale
Nous avons réussi à déterminer les lois d'évolution des efforts internes sur l'ensemble de la poutre. Nous observons une inversion de courbure (passage d'un moment positif à négatif) qui indique que la fibre tendue passe du bas (en travée) vers le haut (sur appui B). Cette information est capitale pour le ferraillage (si béton armé) ou le choix des raidisseurs (si acier).
La fermeture du diagramme des moments à zéro aux deux extrémités (A et C) est un gage de cohérence pour une structure isostatique sur appuis simples.
L'effort tranchant subit un "saut" brutal au droit de l'appui B, passant de -53.33 kN à +25 kN. Ce saut de 78.33 kN correspond exactement à la valeur de la réaction \(R_B\). C'est une vérification visuelle très puissante.
🎯 Objectif Scientifique
L'ingénieur ne dimensionne pas une structure pour ses efforts moyens, mais pour ses sollicitations maximales. Nous devons identifier le "pire moment" que la poutre devra subir. Il peut s'agir d'un moment positif (qui tend la fibre inférieure, généralement en milieu de travée) ou d'un moment négatif (qui tend la fibre supérieure, généralement sur appui).
📚 Référentiel
Nous utilisons l'analyse mathématique des fonctions dérivées appliquée à la résistance des matériaux.
Pour trouver le maximum d'une fonction (ici le Moment \(M(x)\)), il faut chercher où sa dérivée s'annule. Or, nous savons que la dérivée du Moment est l'Effort Tranchant \(V(x)\). La stratégie est donc simple : trouver où \(V(x)\) croise l'axe zéro.
En résistance des matériaux, il existe une relation mathématique fondamentale : l'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à la position \(x\).
\[ V(x) = \frac{dM(x)}{dx} \]
En mathématiques, l'extremum d'une fonction (maximum ou minimum) est atteint lorsque sa dérivée s'annule. Traduction physique : Le moment fléchissant est maximal là où l'effort tranchant \(V(x)\) est nul.
📐 Formules Clés
Condition d'extremum local :
📋 Données d'Entrée
- Equation V(x) Zone 1 : \(36.67 - 15x\)
- Equation M(x) Zone 1 : \(36.67x - 7.5x^2\)
💡 Astuce
Si \(V(x)\) ne s'annule pas sur une zone (comme c'est le cas pour la zone 2 où V est constant), alors le maximum se trouve nécessairement à l'une des bornes de l'intervalle.
1. Localisation du maximum en travée (Zone 1)
Dans la zone 1, l'effort tranchant \(V(x) = 36.67 - 15x\) commence à 36.67 et finit à -53.33. Il passe donc forcément par zéro. Cherchons cette position exacte \(x_0\).
Résolution de l'équation \(V(x) = 0\) :
Nous posons l'équation et isolons x.
Le moment fléchissant maximal positif se situe donc à 2.445 mètres de l'appui A.
Calcul de la valeur du Moment Positif Max :
Nous injectons cette valeur \(x_0 = 2.445\) dans l'équation de moment de la Zone 1 trouvée précédemment (\(M(x) = 36.67x - 7.5x^2\)).
Interprétation : La travée subit un moment fléchissant de 44.82 kNm qui tend à l'incurver vers le bas.
2. Comparaison avec le Moment sur Appui
Nous devons maintenant comparer ce maximum local avec les valeurs aux bornes, notamment sur l'appui B où nous avons déjà calculé une valeur significative lors de l'étape précédente.
- Max Travée (positif) : +44.82 kNm (Traction en bas, Compression en haut)
- Sur Appui B (négatif) : -50.00 kNm (Traction en haut, Compression en bas)
Verdict :
La valeur absolue la plus grande est 50.00 kNm. C'est cette valeur extrême, appelée Moment de Dimensionnement \(M_{\text{Ed}}\), qui sera utilisée pour vérifier la résistance de la poutre. Le point critique de la structure est donc situé juste au-dessus de l'appui B.
✅ Interprétation Globale
La structure est régie par le moment sur appui. Cela signifie que c'est le porte-à-faux qui "dicte" le dimensionnement. Si la poutre casse, elle cassera d'abord sur l'appui B.
La valeur de 50 kNm est cohérente avec les charges appliquées (charge ponctuelle de 25kN à 2m = 50kNm). Le moment en travée est légèrement inférieur, ce qui montre un bon équilibrage de la conception.
Attention : Au niveau de l'appui B, le moment est négatif, donc la membrure comprimée est celle du bas. Contrairement à la membrure haute qui est souvent tenue par le plancher, la membrure basse est souvent libre. Il y a un risque majeur d'instabilité latérale (déversement) à vérifier séparément.
🎯 Objectif Scientifique
L'étape finale consiste à confronter la réalité de l'effort (le moment de 50 kNm que nous venons de calculer) avec la capacité de résistance du matériau (l'acier S355). Nous devons nous assurer que la contrainte maximale générée dans l'acier reste inférieure à sa limite d'élasticité pour éviter toute déformation permanente ou rupture. C'est la vérification à l'État Limite Ultime (ELU).
📚 Référentiel
Eurocode 3 : Calcul des structures en acier. Critère de résistance élastique des sections de classe 1, 2 ou 3.
Nous allons calculer la contrainte normale maximale \(\sigma\) qui règne dans la poutre. Cette contrainte est maximale sur les fibres les plus éloignées de l'axe neutre. Si cette contrainte dépasse la limite \(f_{\text{y}}\) de l'acier, la poutre plastifie et risque de s'effondrer. Nous devons donc vérifier que le taux de travail est inférieur à 100%.
En flexion simple, la répartition des contraintes normales \(\sigma\) sur la hauteur de la section est linéaire. La contrainte est maximale aux fibres extrêmes (les plus éloignées de l'axe neutre).
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}}}{W_{\text{el}}} \]
📐 Formules Clés
Formule de la contrainte de flexion :
Critère de validation : \(\sigma_{\text{max}} \le f_{\text{y}}\).
📋 Données d'Entrée
| Propriété | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Moment dimensionnant | \(M_{\text{Ed}}\) | 50.00 kNm |
| Module de flexion élastique | \(W_{\text{el},y}\) | 1160 cm³ |
| Limite élastique de l'acier | \(f_{\text{y}}\) | 355 MPa (N/mm²) |
💡 Astuce
Le piège mortel en RDM est l'unité. Un moment est souvent en kNm et un module en cm³. Pour obtenir des MPa (N/mm²), il faut TOUT convertir en N et en mm avant de diviser.
1 kNm = \(10^6\) N.mm
1 cm³ = \(1000\) mm³
Calcul de Vérification
1. Homogénéisation des Unités :
Nous convertissons les données d'entrée en unités cohérentes (Newtons et millimètres). On multiplie les kNm par \(10^6\) et les cm³ par \(1000\).
Interprétation : Les valeurs sont prêtes pour le calcul final.
2. Calcul de la Contrainte Normale Max (\(\sigma\)) :
Nous appliquons maintenant la formule de flexion simple en divisant le moment par le module.
Interprétation : Chaque millimètre carré de l'acier le plus sollicité supporte une force de 43.1 Newtons.
3. Calcul du Taux de Travail :
Le taux de travail représente le pourcentage de la capacité du matériau qui est réellement utilisé.
Interprétation : La contrainte calculée (43.1 MPa) est très largement inférieure à la limite admissible (355 MPa). La poutre travaille à peine à 12% de ses capacités en flexion.
✅ Interprétation Globale
La section IPE 400 est validée avec une marge de sécurité très importante vis-à-vis de la rupture en flexion. Le risque de ruine par excès de contrainte normale est écarté.
Un taux de travail aussi bas (12%) peut surprendre pour un "dimensionnement". Cependant, c'est courant en construction métallique.
Le profilé IPE 400 n'a probablement pas été choisi pour sa résistance (ELU), mais pour sa rigidité. Pour une passerelle piétonne, le critère dimensionnant est souvent la flèche (déformation maximale) ou la fréquence propre (pour éviter les vibrations sous les pas des piétons). Si nous avions choisi un profilé plus petit qui travaillerait à 90% de résistance, la passerelle serait "molle" et vibrerait dangereusement.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 10/10/24 | Création du document | Ing. Junior |
| B | 12/10/24 | Validation hypothèses charges climatiques | Ing. Senior |
- Poutre sur 2 appuis avec porte-à-faux de 2.00m.
- Acier S355 (Fy = 355 MPa).
- Chargement : Réparti (15kN/m) + Ponctuel extrémité (25kN).
L'Étudiant
P. Martin (Ing. Senior)
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