Calcul de la Production d'un Parc Éolien

Contexte : L'énergie éolienne.

L'énergie éolienne est une source d'énergie renouvelable qui utilise la force du vent pour produire de l'électricité. Les éoliennes convertissent l'énergie cinétique du vent en énergie mécanique, puis en électricité. Cet exercice a pour but de vous familiariser avec les calculs fondamentaux permettant d'estimer la production d'une éolienne en fonction de ses caractéristiques et des conditions de vent. Nous utiliserons des concepts clés comme la Loi de BetzUn principe fondamental qui stipule qu'une éolienne ne peut capter au maximum que 59,3% de l'énergie cinétique du vent..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème d'ingénierie complexe en étapes de calcul simples et à comprendre les facteurs qui influencent le plus la production d'énergie d'un parc éolien.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer la formule de la puissance du vent.
Calculer la puissance électrique générée par une éolienne en tenant compte de son rendement.
Estimer la production énergétique annuelle d'un parc éolien.
Identifier les paramètres clés influençant la production éolienne.

Données de l'étude

On étudie un projet de parc éolien composé de 5 éoliennes identiques. L'objectif est d'estimer sa production annuelle pour évaluer sa rentabilité.

Schéma d'une Éolienne

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre du rotor	\(D\)	120	m
Vitesse moyenne du vent sur le site	\(v\)	8	m/s
Masse volumique de l'air	\(\rho\)	1.225	kg/m³
Coefficient de puissance de l'éolienne	\(C_p\)	0.45	-
Rendement du système (générateur, etc.)	\(\eta\)	0.90	-
Nombre d'heures de fonctionnement par an	\(T\)	8000	h/an

Questions à traiter

Calculer la surface balayée par les pales de l'éolienne (A).
Déterminer la puissance cinétique du vent traversant cette surface (P_vent).
Calculer la puissance électrique nette produite par une seule éolienne (P_elec).
Estimer la production d'énergie annuelle totale du parc éolien (E_total) en GWh.

Les bases sur l'Énergie Éolienne

Pour calculer l'énergie que l'on peut extraire du vent, il faut d'abord comprendre d'où elle vient. Le vent est de l'air en mouvement, il possède donc une énergie cinétique. Une éolienne est une machine conçue pour capter une partie de cette énergie.

1. Puissance Cinétique du Vent
La puissance disponible dans le vent dépend de trois facteurs : la masse volumique de l'air (\(\rho\)), la surface que l'éolienne intercepte (\(A\)), et surtout, la vitesse du vent (\(v\)). La formule est : \[ P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot v^3 \] On remarque que la puissance varie avec le cube de la vitesse du vent. Une petite augmentation de la vitesse a donc un impact énorme sur la puissance disponible.

2. La Limite de Betz
Il est physiquement impossible de capter 100% de l'énergie du vent. Si on le faisait, l'air s'arrêterait derrière l'éolienne et bloquerait le passage du vent suivant. Le physicien Albert Betz a calculé en 1919 que la puissance maximale récupérable est de 16/27 (soit environ 59.3%) de la puissance cinétique totale. Ce facteur est appelé la limite de Betz. Le Coefficient de Puissance (Cp)Rapport entre la puissance mécanique extraite par l'éolienne et la puissance totale du vent traversant la même surface. Sa valeur maximale théorique est de 59,3%. d'une éolienne réelle est toujours inférieur à cette limite.

Correction : Calcul de la Production d’un Parc Éolien

Question 1 : Calculer la surface balayée par les pales de l'éolienne (A).

Principe

Les pales d'une éolienne tournent en décrivant un cercle. La surface balayée est simplement l'aire de ce disque. C'est cette surface qui "capture" le vent. Plus cette surface est grande, plus l'éolienne peut intercepter de vent et donc, potentiellement, produire plus d'énergie.

Mini-Cours

En géométrie, l'aire d'un disque est une mesure de l'espace à l'intérieur du cercle. Elle est directement proportionnelle au carré de son rayon. Cela signifie que si vous doublez le rayon (ou le diamètre) d'un cercle, sa surface est multipliée par quatre. C'est une relation fondamentale en géométrie euclidienne.

Remarque Pédagogique

Pour ce type de calcul géométrique simple, la première étape est toujours d'identifier la forme (ici, un disque) et de se souvenir de la formule de base correspondante. Assurez-vous de bien distinguer le rayon (R) du diamètre (D), car c'est une source d'erreur fréquente.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire pour calculer l'aire d'un cercle, c'est un principe mathématique universel. Cependant, les normes de conception des éoliennes, comme la série IEC 61400, définissent précisément ce que représente le "diamètre du rotor" pour garantir des calculs de performance cohérents entre les fabricants.

Formule(s)

L'aire d'un disque est donnée par la formule bien connue, en utilisant soit le rayon (R), soit le diamètre (D).

A = \pi \cdot R^2 \quad \text{ou} \quad A = \frac{\pi \cdot D^2}{4}

Hypothèses

Pour ce calcul, l'unique hypothèse est que les pales décrivent un cercle parfait, ce qui est le cas en fonctionnement normal.

Donnée(s)

D'après l'énoncé, nous avons la seule donnée nécessaire :

Diamètre du rotor, \(D = 120 \, \text{m}\)

Astuces

Pour un calcul rapide, vous pouvez approximer \(\pi \approx 3.14\). Pour plus de précision, utilisez la touche \(\pi\) de votre calculatrice. Souvenez-vous que \( (D/2)^2 = D^2 / 4 \), ce qui peut parfois simplifier les calculs.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation de la Surface Balayée

Calcul(s)

On applique la formule avec la donnée du diamètre.

Étape 1 : Calcul du rayon (R)

\begin{aligned} R &= \frac{D}{2} \\ &= \frac{120 \, \text{m}}{2} \\ &= 60 \, \text{m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la surface (A)

\begin{aligned} A &= \pi \cdot R^2 \\ &= \pi \cdot (60 \, \text{m})^2 \\ &= \pi \cdot 3600 \, \text{m}^2 \\ &\approx 11309.7 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Surface Calculée

Réflexions

Une surface de plus de 11 000 m² est considérable. Cela équivaut à environ 1.5 terrain de football. C'est cette immense "voile" invisible qui permet de capter l'énergie d'une masse d'air très importante, même si le vent semble léger au sol.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre le rayon au carré (\(R^2\)) ou d'utiliser le diamètre directement dans la formule \(\pi \cdot D^2\). Vérifiez toujours que vos unités sont cohérentes : si le diamètre est en mètres, la surface sera en mètres carrés.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez :
1. La surface de capture d'une éolienne est un disque.
2. La formule de l'aire d'un disque est \(A = \pi \cdot R^2\).
3. La surface augmente avec le carré du diamètre, c'est un facteur de performance crucial.

Le saviez-vous ?

Les plus grandes éoliennes offshore actuelles ont des diamètres de rotor dépassant 230 mètres, ce qui leur donne une surface balayée de plus de 41 500 m², soit près de 6 terrains de football !

FAQ

Résultat Final

La surface balayée par les pales de l'éolienne est d'environ 11 310 m².

A vous de jouer

Une éolienne plus petite a un diamètre de 80 m. Quelle est sa surface balayée ?

Question 2 : Déterminer la puissance cinétique du vent traversant cette surface (P_vent).

Principe

On calcule ici l'énergie totale transportée par le vent qui traverse la surface balayée par les pales chaque seconde. C'est la puissance brute disponible, avant toute conversion par l'éolienne. C'est le potentiel énergétique maximal que la nature nous offre à cet endroit précis.

Mini-Cours

L'énergie cinétique d'un objet est donnée par \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\). Pour un fluide comme l'air, on raisonne en termes de débit massique (la masse d'air qui traverse une surface par seconde). La puissance (énergie par seconde) devient alors \(P = \frac{1}{2} \cdot (\text{débit massique}) \cdot v^2\). Comme le débit massique est \(\rho \cdot A \cdot v\), on aboutit à la formule finale \(P = \frac{1}{2}\rho A v^3\).

Remarque Pédagogique

Le point le plus important à comprendre ici est l'impact de la vitesse du vent au cube (\(v^3\)). C'est pourquoi le choix d'un site venteux est le critère numéro un pour un projet éolien. Une petite différence de vitesse moyenne annuelle change radicalement la rentabilité du projet.

Normes

Les méthodes de mesure de la vitesse du vent et de la densité de l'air pour l'évaluation des sites éoliens sont standardisées (par exemple, par la norme IEC 61400-12) pour assurer la fiabilité des estimations de production. On utilise des anémomètres placés sur des mâts de mesure à la hauteur du moyeu de la future éolienne.

Formule(s)

La formule de la puissance cinétique du vent est :

P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot v^3

Hypothèses

Pour ce calcul, on fait plusieurs hypothèses simplificatrices :
- La vitesse du vent est uniforme sur toute la surface du disque.
- La masse volumique de l'air est constante.
- Le vent souffle perpendiculairement au plan de rotation des pales.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la question 1 :

Masse volumique de l'air, \(\rho = 1.225 \, \text{kg/m}^3\)
Surface balayée, \(A \approx 11310 \, \text{m}^2\)
Vitesse du vent, \(v = 8 \, \text{m/s}\)

Astuces

Calculez d'abord le terme \(v^3\) car c'est lui qui a le plus d'impact. Ensuite, multipliez par les autres termes. Cela vous permet de voir rapidement l'influence de la vitesse. Pour les ordres de grandeur, une éolienne moderne de plusieurs MW a typiquement une puissance dans le vent de plusieurs MW également.

Schéma (Avant les calculs)

Flux d'air à travers le rotor

Calcul(s)

On remplace les valeurs dans la formule.

Application numérique

\begin{aligned} P_{\text{vent}} &= \frac{1}{2} \cdot 1.225 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 11310 \, \text{m}^2 \cdot (8 \, \frac{\text{m}}{\text{s}})^3 \\ &= 0.5 \cdot 1.225 \cdot 11310 \cdot 512 \, \text{W} \\ &\approx 3545142 \, \text{W} \end{aligned}

Conversion en Mégawatts (MW)

\begin{aligned} P_{\text{vent}} &\approx \frac{3545142 \, \text{W}}{1000000} \\ &\approx 3.55 \, \text{MW} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Puissance du Vent

Réflexions

Plus de 3.5 MW de puissance traversent l'éolienne. C'est une quantité d'énergie considérable, mais nous savons, grâce à la loi de Betz, que nous ne pourrons pas tout capter. Ce chiffre représente le potentiel maximal absolu.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier le cube sur la vitesse (\(v^3\)). Mettre la vitesse au carré (\(v^2\)) est une faute classique qui sous-estime massivement la puissance. Vérifiez toujours que toutes vos unités sont dans le Système International (m, kg, s) avant le calcul.

Points à retenir

1. La puissance du vent est proportionnelle à la surface balayée A.
2. La puissance du vent est proportionnelle à la masse volumique de l'air \(\rho\).
3. La puissance du vent est proportionnelle au CUBE de la vitesse v.

Le saviez-vous ?

La masse volumique de l'air \(\rho\) diminue avec l'altitude et la température. Une éolienne installée en haute montagne par temps chaud produira donc moins d'électricité qu'une éolienne au niveau de la mer par temps froid, pour une même vitesse de vent.

FAQ

Résultat Final

La puissance cinétique du vent disponible est d'environ 3.55 MW.

A vous de jouer

Que deviendrait la puissance du vent si la vitesse passait à 10 m/s ?

Question 3 : Calculer la puissance électrique nette produite par une seule éolienne (P_elec).

Principe

La puissance électrique réelle est une fraction de la puissance du vent. On doit appliquer deux facteurs de réduction : le coefficient de puissance \(C_p\) (efficacité aérodynamique, liée à la limite de Betz) et le rendement \(\eta\) (pertes dans le générateur, la boîte de vitesses, etc.). On passe du potentiel brut à la production réelle.

Mini-Cours

Une chaîne de conversion d'énergie n'est jamais parfaite. Chaque étape entraîne des pertes. Pour une éolienne :
1. Vent \(\Rightarrow\) Pales (Mécanique) : L'efficacité est le \(C_p\). Pertes dues à l'aérodynamique, limitées par la loi de Betz.
2. Pales \(\Rightarrow\) Générateur (Électrique) : L'efficacité est le rendement \(\eta\). Pertes mécaniques (frottements) et électriques (effet Joule).

Remarque Pédagogique

Il est essentiel de comprendre que le \(C_p\) n'est pas une constante. Il varie avec la vitesse du vent et la vitesse de rotation des pales. Les fabricants fournissent une "courbe de puissance" qui donne la puissance électrique réelle pour chaque vitesse de vent. Ici, nous utilisons une valeur moyenne pour simplifier.

Normes

La courbe de puissance d'une éolienne, qui lie la vitesse du vent à la puissance électrique produite, est une caractéristique certifiée selon la norme IEC 61400-12-1. C'est le document de référence qui garantit les performances d'une machine et qui est utilisé dans les contrats de vente.

Formule(s)

La puissance électrique est calculée comme suit :

P_{\text{elec}} = P_{\text{vent}} \cdot C_p \cdot \eta

Hypothèses

On suppose que le coefficient de puissance \(C_p\) et le rendement \(\eta\) sont constants pour la vitesse de vent donnée, ce qui est une simplification pour l'exercice.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat précédent et les données de l'énoncé :

Puissance du vent, \(P_{\text{vent}} \approx 3545142 \, \text{W}\)
Coefficient de puissance, \(C_p = 0.45\)
Rendement du système, \(\eta = 0.90\)

Astuces

Vous pouvez multiplier les deux rendements (\(C_p \cdot \eta\)) pour obtenir un "rendement global" de la chaîne de conversion. Ici, \(0.45 \cdot 0.90 = 0.405\). Cela signifie que l'éolienne convertit environ 40.5% de l'énergie du vent en électricité.

Schéma (Avant les calculs)

Chaîne de Conversion Énergétique

Calcul(s)

On multiplie la puissance du vent par les deux facteurs d'efficacité.

Application numérique

\begin{aligned} P_{\text{elec}} &= P_{\text{vent}} \cdot C_p \cdot \eta \\ &= 3545142 \, \text{W} \cdot 0.45 \cdot 0.90 \\ &\approx 1435845 \, \text{W} \end{aligned}

Conversion en Mégawatts (MW)

\begin{aligned} P_{\text{elec}} &\approx \frac{1435845 \, \text{W}}{1000000} \\ &\approx 1.44 \, \text{MW} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation des Pertes de Puissance

Réflexions

Le résultat de 1.44 MW est la puissance instantanée que l'éolienne injecte dans le réseau électrique lorsque le vent souffle à 8 m/s. On constate que près de 60% de la puissance initiale du vent a été "perdue" (en réalité, elle a continué son chemin derrière l'éolienne ou a été dissipée en chaleur).

Points de vigilance

Ne confondez pas le \(C_p\) et le rendement \(\eta\). Le \(C_p\) représente l'efficacité de la conversion de l'énergie du vent en énergie mécanique par les pales. Le rendement \(\eta\) représente les pertes lors de la conversion de cette énergie mécanique en énergie électrique.

Points à retenir

1. La puissance électrique est toujours inférieure à la puissance du vent.
2. La conversion se fait via deux efficacités principales : aérodynamique (\(C_p\)) et électromécanique (\(\eta\)).
3. Le rendement global est le produit des rendements de chaque étape.

Le saviez-vous ?

Les éoliennes modernes sont capables d'orienter leurs pales ("pitch control") pour optimiser le \(C_p\) à différentes vitesses de vent et pour limiter la puissance captée lorsque le vent devient trop fort, afin de ne pas endommager le générateur.

FAQ

Résultat Final

La puissance électrique nette produite par une éolienne est d'environ 1.44 MW.

A vous de jouer

Si le \(C_p\) de l'éolienne n'était que de 0.40, quelle serait la puissance électrique produite (en MW) ?

Question 4 : Estimer la production d'énergie annuelle totale du parc éolien (E_total) en GWh.

Principe

L'énergie est une puissance exercée pendant une certaine durée. Pour trouver l'énergie produite sur un an, on multiplie la puissance électrique d'une éolienne par le nombre d'heures de fonctionnement et par le nombre d'éoliennes dans le parc. On passe d'une valeur instantanée (puissance) à une valeur accumulée (énergie).

Mini-Cours

La relation entre Énergie (E), Puissance (P) et Temps (t) est l'une des plus fondamentales en physique : \(E = P \cdot t\). Il est crucial de faire attention aux unités :
- Si P est en Watts et t en secondes, E est en Joules (SI).
- Dans le secteur de l'électricité, on utilise plus couramment le Wattheure (Wh) : si P est en Watts et t en heures, E est en Wh.

Remarque Pédagogique

Dans la réalité, la vitesse du vent n'est jamais constante. On ne peut donc pas simplement multiplier la puissance à une vitesse moyenne par le nombre d'heures. Les ingénieurs utilisent des distributions statistiques de la vitesse du vent (comme la loi de Weibull) et la courbe de puissance de l'éolienne pour calculer l'énergie produite heure par heure sur une année typique.

Normes

Les contrats de vente d'électricité (PPA - Power Purchase Agreement) sont basés sur des estimations de production d'énergie annuelle (exprimée en GWh/an). Ces estimations doivent suivre des méthodologies reconnues internationalement pour être "bancables", c'est-à-dire jugées fiables par les investisseurs et les banques.

Formule(s)

La formule de l'énergie est :

E_{\text{total}} = P_{\text{elec}} \cdot T \cdot \text{Nombre d'éoliennes}

Hypothèses

On fait l'hypothèse très forte que l'éolienne produit sa puissance calculée à la vitesse moyenne (\(P_{\text{elec}}\)) pendant toute la durée de fonctionnement (T). C'est une simplification majeure par rapport à la réalité.

Donnée(s)

Nous avons toutes les informations nécessaires :

Puissance électrique par éolienne, \(P_{\text{elec}} \approx 1.44 \, \text{MW}\)
Temps de fonctionnement, \(T = 8000 \, \text{h/an}\)
Nombre d'éoliennes = 5

Astuces

Faites attention aux préfixes (k, M, G). \(1 \, \text{GWh} = 1000 \, \text{MWh} = 1000000 \, \text{kWh}\). Pour convertir de MWh en GWh, il suffit de diviser par 1000. C'est une opération très courante dans le domaine de l'énergie.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma du Parc Éolien

Calcul(s)

Le calcul se fait en plusieurs étapes pour gérer les unités.

Étape 1 : Énergie annuelle pour une éolienne en MWh

\begin{aligned} E_{\text{1 éolienne}} &= P_{\text{elec}} \cdot T \\ &= 1.44 \, \text{MW} \cdot 8000 \, \text{h} \\ &= 11520 \, \text{MWh} \end{aligned}

Étape 2 : Énergie annuelle pour le parc (5 éoliennes) en MWh

\begin{aligned} E_{\text{parc}} &= E_{\text{1 éolienne}} \cdot 5 \\ &= 11520 \, \text{MWh} \cdot 5 \\ &= 57600 \, \text{MWh} \end{aligned}

Étape 3 : Conversion en Gigawattheures (GWh)

\begin{aligned} E_{\text{total}} &= \frac{57600 \, \text{MWh}}{1000} \\ &= 57.6 \, \text{GWh} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Production Annuelle du Parc

Réflexions

57.6 GWh est une quantité d'énergie significative. Pour donner un ordre de grandeur, la consommation moyenne d'un foyer français (hors chauffage électrique) est d'environ 2.7 MWh/an. Ce parc éolien pourrait donc alimenter l'équivalent de plus de 21 000 foyers.

Points de vigilance

La principale erreur est de confondre puissance (MW) et énergie (MWh). La puissance est instantanée, comme la vitesse d'une voiture. L'énergie est accumulée, comme la distance parcourue. N'oubliez pas de multiplier par le temps pour passer de la puissance à l'énergie.

Points à retenir

1. Énergie = Puissance × Temps.
2. L'énergie d'un parc est la somme des énergies de chaque unité.
3. Soyez rigoureux avec les préfixes des unités (kilo, Méga, Giga) lors des conversions finales.

Le saviez-vous ?

Le "facteur de charge" d'un parc éolien (l'énergie produite divisée par l'énergie maximale théorique s'il tournait à pleine puissance 24/7) est un indicateur clé de sa performance. Il se situe typiquement entre 20% et 45% selon la qualité du site.

FAQ

Résultat Final

La production annuelle estimée du parc éolien est de 57.6 GWh.

A vous de jouer

Si le parc était composé de 8 éoliennes au lieu de 5, quelle serait la production annuelle en GWh ?

Outil Interactif : Simulateur de Puissance Éolienne

Utilisez les curseurs pour voir comment la vitesse du vent et le diamètre du rotor influencent la puissance électrique produite par une éolienne. On utilise des valeurs fixes pour \(\rho\) (1.225 kg/m³), \(C_p\) (0.45) et \(\eta\) (0.90).

Paramètres d'Entrée

Vitesse du vent (m/s) 8 m/s

Diamètre du rotor (m) 120 m

Résultats Clés

Surface balayée (m²) -

Puissance Électrique (MW) -

Coefficient de Puissance (Cp): Le rapport entre la puissance mécanique captée par les pales de l'éolienne et la puissance totale du vent qui traverse la surface balayée. C'est une mesure de l'efficacité aérodynamique des pales.
Loi de Betz: Un principe physique qui établit la limite théorique maximale du coefficient de puissance à 16/27 (environ 59,3%). Aucune éolienne ne peut extraire plus que ce pourcentage de l'énergie cinétique du vent.
Puissance Électrique: La quantité d'électricité produite par seconde. Elle est mesurée en Watts (W), Kilowatts (kW), Mégawatts (MW) ou Gigawatts (GW).
Énergie: La puissance délivrée sur une période de temps. Elle est mesurée en Wattheures (Wh), Kilowattheures (kWh), Mégawattheures (MWh) ou Gigawattheures (GWh).