Méthode des Nœuds pour un Treillis
📝 Situation du Projet
Vous êtes ingénieur structure senior au sein du bureau d'études "IngéBat Expert", réputé pour ses ouvrages d'art légers. La municipalité de Val-Verde, souhaitant dynamiser son Parc Technologique, a commandé une passerelle piétonne pour franchir un ravin artificiel paysager de 8 mètres de large. L'architecte en chef a imposé une structure métallique de type "Ferme Latine" (ou King Post Truss) pour sa pureté géométrique et sa légèreté visuelle. Cette passerelle sera un point de passage névralgique reliant le pôle de recherche au centre de conférences. En plus de son poids propre et des charges climatiques standards (vent, neige), le cahier des charges impose une surcharge d'exploitation sévère simulant une foule compacte lors des événements inauguraux. La sécurité du public est la priorité absolue. En votre qualité de Responsable des Calculs, vous avez la responsabilité critique de valider la statique de l'ouvrage avant le lancement des plans d'exécution. Vous devez appliquer rigoureusement la Méthode des Nœuds pour déterminer les efforts normaux dans chaque barre du treillis principal sous la charge pondérée ELU. Vos résultats serviront de base indiscutable pour le dimensionnement final des profilés et des assemblages.
"Attention, pour cette étude de faisabilité (APD), nous négligeons le poids propre des barres devant la charge climatique pondérée. Considérez impérativement toutes les liaisons (nœuds) comme des rotules parfaites sans frottement (hypothèse du treillis idéal)."
Les paramètres ci-dessous constituent le socle technique du projet. Ils sont extraits du CCTP et doivent être utilisés tels quels pour les calculs.
📚 Référentiel Normatif
Eurocode 0 (EN 1990)Eurocode 3 (EN 1993-1-1)| Désignation | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Portée Totale entre appuis | \( L \) | 8.00 | m |
| Hauteur au faîtage | \( h \) | 3.00 | m |
| Charge Ponctuelle ELU | \( P \) | 50.0 | kN |
| Limite Élastique Acier | \( f_y \) | 235 | MPa |
| Module de Young | \( E \) | 210 000 | MPa |
| Type de profilés (Hypothèse) | - | IPE / HEA | - |
E. Protocole de Résolution
Pour résoudre ce problème de statique graphique et analytique, nous suivrons rigoureusement la procédure de la "Méthode des Nœuds".
Équilibre Global
Vérification de l'isostaticité du système et calcul des réactions d'appuis aux nœuds A et B via le Principe Fondamental de la Statique (PFS).
Isolement du Nœud A
Isolement du premier nœud (appui) pour déterminer les efforts dans les barres concourantes (Arbalétrier AD et Tirant AC) par projection vectorielle.
Propagation au Nœud D
Déplacement vers le nœud sommital D pour calculer l'effort dans le montant vertical (Poinçon DC) et vérifier l'équilibre avec la charge extérieure P.
Synthèse & Vérification
Récapitulatif des efforts (Traction/Compression) et vérification de la cohérence globale au nœud C.
Méthode des Nœuds pour un Treillis
🎯 Objectif
L'objectif premier de cette étape est de déterminer les actions mécaniques de liaison que le sol exerce sur la structure. Avant même de "couper" la structure pour regarder ce qui se passe à l'intérieur (les efforts dans les barres), nous devons nous assurer que l'ensemble est en équilibre statique global. C'est la condition sine qua non pour que la passerelle ne s'effondre pas ou ne se déplace pas sous la charge. Nous allons isoler l'ensemble de la ferme et appliquer les équations de la statique.
📚 Référentiel
Principe Fondamental de la Statique (PFS)Loi de NewtonNous sommes face à un système plan isostatique. Le nœud A est une articulation (rotule) qui bloque les translations horizontales et verticales (2 inconnues : \(X_A, Y_A\)). Le nœud B est un appui simple à rouleau qui ne bloque que la translation verticale (1 inconnue : \(Y_B\)). La structure est symétrique par sa géométrie, et le chargement est unique et vertical, appliqué sur l'axe de symétrie (Nœud D). Cette double symétrie nous permet d'anticiper que les réactions verticales seront égales et se partageront la charge totale.
Pour qu'un solide soit en équilibre, la somme vectorielle des forces extérieures et la somme vectorielle des moments en tout point doivent être nulles. En 2D, cela se traduit par 3 équations scalaires :
📐 Formules Clés
1. Somme des moments en A pour trouver \(Y_B\) :
2. Somme des forces verticales pour trouver \(Y_A\) :
📋 Données d'Entrée
- Charge P = 50 kN
- Portée L = 8.0 m
- Bras de levier a = 4.0 m (mi-portée)
DCL Global : Actions mécaniques extérieures
Toujours commencer par l'équation des moments en un point d'appui (A ou B). Cela permet d'éliminer les inconnues de cet appui et de trouver directement la réaction de l'autre appui.
1. Équilibre des forces horizontales
Nous projetons toutes les forces extérieures sur l'axe horizontal (x). Seule la réaction \(X_A\) peut exister car la charge P est purement verticale.
Interprétation : Aucune poussée horizontale n'est générée par le chargement vertical.
2. Équilibre des moments (au point A)
Calculons la somme des moments au point A pour éliminer les inconnues \(X_A\) et \(Y_A\) et trouver directement \(Y_B\). Le sens trigonométrique (anti-horaire) est positif. Nous isolons \(Y_B\) à partir de l'équation des moments.
Interprétation : La réaction en B reprend exactement la moitié de la charge, ce qui est logique vu la symétrie.
3. Équilibre des forces verticales
Nous vérifions l'équilibre vertical global en isolant \(Y_A\).
Interprétation : L'appui A reprend l'autre moitié de la charge.
✅ Interprétation Globale
Le système est parfaitement symétrique. Les appuis se partagent équitablement la charge de 50 kN. L'absence d'efforts horizontaux parasites confirme que la structure ne "pousse" pas sur ses culées sous ce chargement vertical, simplifiant la conception des fondations.
Nous trouvons \(Y_A = Y_B = 25 \text{ kN}\). La somme \(25 + 25 = 50 \text{ kN}\) est bien égale à la charge totale \(P\). Les résultats sont cohérents.
Si la charge n'était pas centrée, les réactions seraient inégales. Ne jamais supposer la symétrie sans vérifier la géométrie ET le chargement.
🎯 Objectif
Déterminer les efforts normaux dans l'arbalétrier (barre AD) et le tirant (barre AC). Nous allons "couper" le nœud A et remplacer les barres par les forces qu'elles exercent sur ce nœud. Par convention, nous dessinerons les forces "sortantes", ce qui correspond à une hypothèse de Traction positive.
📚 Référentiel
Méthode des NœudsTrigonométrieAu nœud A, nous avons deux barres inconnues (AD et AC) et une force connue (la réaction d'appui \(Y_A\)). Comme nous sommes dans un plan, nous disposons de deux équations d'équilibre (\(\sum F_x = 0\) et \(\sum F_y = 0\)). Le système est donc résoluble. La stratégie consiste à projeter les forces sur les axes x et y. Pour cela, il faut impérativement connaître l'angle \(\alpha\) de l'arbalétrier.
Une force F inclinée d'un angle \(\alpha\) par rapport à l'horizontale se décompose en : \(F_x = F \cdot \cos(\alpha)\) et \(F_y = F \cdot \sin(\alpha)\).
📐 Formules Clés
1. Trigonométrie de base :
2. Équilibre Vertical du Nœud A :
3. Équilibre Horizontal du Nœud A :
📋 Données d'Entrée
- Réaction \(Y_A\) = +25 kN
- Largeur a = 4.0 m
- Hauteur h = 3.0 m
DCL Nœud A : Forces sortantes (Hypothèse Traction)
Utilisez toujours les valeurs exactes des fractions trigonométriques quand c'est possible (ici triangle 3-4-5) pour éviter les erreurs d'arrondi cumulatives.
1. Calcul de la Géométrie (Angle \(\alpha\))
L'arbalétrier AD forme un triangle rectangle de base 4m et de hauteur 3m (Triangle 3-4-5). On calcule d'abord la tangente, puis l'arc tangente.
Nous utiliserons les valeurs exactes : \(\sin(\alpha) = 3/5 = 0.6\) et \(\cos(\alpha) = 4/5 = 0.8\).
2. Équilibre Vertical (\(\sum F_y = 0\))
Seule la composante verticale de l'effort \(N_{AD}\) peut équilibrer la réaction d'appui \(Y_A\). L'effort \(N_{AC}\) est horizontal et n'intervient pas ici. On isole \(N_{AD}\).
Le signe négatif indique que la barre AD est en COMPRESSION. Elle "pousse" sur le nœud A.
3. Équilibre Horizontal (\(\sum F_x = 0\))
Maintenant que \(N_{AD}\) est connu, nous pouvons trouver \(N_{AC}\) en l'isolant dans l'équation horizontale.
Le signe positif indique que la barre AC est en TRACTION. Elle "tire" sur le nœud A.
✅ Interprétation Globale
L'arbalétrier (barre oblique) travaille en compression pour amener la charge vers l'appui. Le tirant (barre horizontale) travaille en traction pour empêcher les arbalétriers de s'écarter (effet de "chasse").
L'effort dans l'arbalétrier est plus grand que la réaction d'appui (\(41.67 > 25\)), ce qui est logique car il reprend la résultante vectorielle. L'ordre de grandeur est correct.
Attention aux signes ! Une erreur de signe sur \(N_{AD}\) entraînerait une erreur sur \(N_{AC}\). Toujours vérifier le sens physique : l'appui "pousse" vers le haut, donc l'arbalétrier doit "pousser" vers le bas (Compression).
🎯 Objectif
Déterminer l'effort dans le poinçon (barre verticale DC). Nous connaissons maintenant l'effort dans la barre AD arrivant au nœud D. Par symétrie, l'effort dans la barre DB sera identique à celui de AD. Nous allons vérifier l'équilibre vertical du sommet.
📚 Référentiel
Méthode des NœudsSymétrie des StructuresIsolons le nœud D. Il est soumis à : 1. La charge extérieure P (descendante). 2. L'effort de l'arbalétrier gauche \(N_{DA}\) (connu, compression). 3. L'effort de l'arbalétrier droit \(N_{DB}\) (connu par symétrie). 4. L'effort du poinçon \(N_{DC}\) (inconnu vertical). L'équation de projection sur l'axe vertical Y suffira à trouver l'inconnue. Nous n'avons pas besoin de l'axe X (symétrie).
Dans un nœud en T sans charge extérieure appliquée, la barre perpendiculaire aux deux autres alignées est à effort nul. Ici, nous avons une charge P, donc ce n'est pas automatique, il faut calculer.
📐 Formules Clés
Projection sur l'axe vertical y (sens positif vers le haut) :
📋 Données d'Entrée
- Charge P = 50 kN
- Effort \(N_{AD}\) = -41.67 kN
- Sinus \(\alpha\) = 0.6
DCL Nœud D : Attention, Nda pousse le nœud vers le haut
Rappelez-vous que la barre AD "pousse" le nœud D vers le haut. Sa composante verticale s'oppose donc à P.
1. Calcul de l'équilibre vertical
Attention aux signes ! L'effort \(N_{AD}\) est une valeur algébrique négative (-41.67). Dans la formule vectorielle projetée, si on écrit \(+ N_{AD}\sin(\alpha)\), cela donnera une valeur négative (vers le bas) ? Non, attention à la convention. On remplace algébriquement les variables dans l'équation initiale :
Le poinçon ne transmet aucun effort sous ce chargement.
✅ Interprétation Globale
Nous trouvons un effort nul dans le montant central (Poinçon). C'est théoriquement normal pour ce type de chargement symétrique parfait sur une ferme triangulée simple où la charge est appliquée directement au sommet. La charge P est entièrement "descendue" vers les appuis par les arbalétriers compressés.
Le résultat 0 confirme que les arbalétriers suffisent à porter la charge P vers les appuis. Le triangle supérieur est stable par lui-même.
Ne supprimez pas le poinçon pour autant ! Il sert à réduire la longueur de flambement du tirant (si celui-ci était comprimé, ce qui n'est pas le cas ici) et surtout à reprendre le poids propre du tirant pour éviter qu'il ne fléchisse (effet non calculé ici).
🎯 Objectif
Récapituler l'ensemble des efforts internes pour identifier les barres les plus sollicitées et valider le comportement global de la structure par une dernière vérification au nœud C.
📚 Référentiel
Contrôle Qualité CalculsGestion des Risques (Flambement)Une note de calcul n'est jamais terminée sans une vérification. Nous avons calculé tous les efforts en utilisant les nœuds A et D. Le nœud C n'a jamais été utilisé. Si nos calculs sont justes, le nœud C doit être naturellement en équilibre sous l'action des barres qui y convergent (AC, BC et DC).
Dans un treillis, le dernier nœud sert toujours de nœud de vérification. Si \(\sum F \neq 0\) sur ce nœud, il y a une erreur dans les étapes précédentes.
📐 Formules Clés
Équilibre vectoriel du nœud C :
📋 Données d'Entrée
- \(N_{AC} = +33.34\) kN (Traction)
- \(N_{BC} = +33.34\) kN (Traction, par symétrie)
- \(N_{DC} = 0\) kN
Coloriez toujours vos schémas : Rouge pour la Compression (Danger Flambement), Bleu pour la Traction.
1. Tableau Récapitulatif des Efforts Normaux
| Barre | Type | Effort Calculé (kN) | État |
|---|---|---|---|
| Arbalétriers (AD / DB) | Membrure Sup. | - 41.67 | COMPRESSION 🔴 |
| Tirants (AC / CB) | Membrure Inf. | + 33.34 | TRACTION 🔵 |
| Poinçon (DC) | Montant | 0.00 | NUL ⚪ |
DCL Nœud C : Vérification de l'équilibre horizontal
2. Vérification au Nœud C
Le nœud C reçoit : Le tirant gauche AC (Traction, tire vers la gauche), le tirant droit CB (Traction, tire vers la droite) et le poinçon DC (Nul). Vérifions que la somme est nulle.
Projection Horizontale :Le nœud C est parfaitement équilibré, ce qui valide l'ensemble de la descente de charges.
✅ Interprétation Globale
La structure fonctionne sainement. Les efforts sont distribués de manière logique. La vérification finale clôture la note de calcul statique.
Tout boucle parfaitement à zéro. La précision est confirmée.
Attention ! Les barres AD et DB sont fortement comprimées (41.67 kN). Pour le dimensionnement final, la contrainte simple (\(\sigma = F/S\)) ne suffira pas : il faudra impérativement vérifier l'instabilité au flambement, qui est le mode de ruine prépondérant pour les membrures comprimées élancées.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur | Vérifié par |
|---|---|---|---|---|
| A | 24/10/2023 | Création du document / Première diffusion | Ing. Stagiaire | Chef Projet |
- NF EN 1990 : Bases de calcul des structures.
- NF EN 1993-1-1 : Calcul des structures en acier (Règles générales).
| Type de structure | Treillis King Post |
| Portée / Hauteur | L=8.0m / h=3.0m |
| Acier | S235 |
| Charge ELU | 50 kN |
| Élément | Nœuds | Effort Normal \( N_{Ed} \) (kN) | Nature de l'effort |
|---|---|---|---|
| Arbalétriers | AD / DB | - 41.67 | COMPRESSION |
| Tirants | AC / CB | + 33.34 | TRACTION |
| Poinçon | DC | 0.00 | NUL |
L'équilibre statique global est vérifié. Le nœud de clé (C) présente une somme des forces nulle, validant l'ensemble de la descente de charges.
L'Ingénieur Stagiaire
Chef de Projet
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