Études de cas pratique

EGC

Méthode de triangulation en topographie

Méthode de Triangulation en Topographie

Méthode de Triangulation en Topographie

Comprendre la Méthode de Triangulation

La triangulation est une méthode topographique classique utilisée pour déterminer les positions relatives de points en mesurant des angles et au moins une distance de base (appelée baseline). En formant un réseau de triangles, on peut calculer les longueurs des autres côtés des triangles par trigonométrie (principalement la loi des sinus) et ensuite déterminer les coordonnées des nouveaux points. Cette méthode a été historiquement fondamentale pour la cartographie à grande échelle et l'établissement de réseaux géodésiques avant l'avènement des techniques satellitaires modernes comme le GPS. Elle reste un concept important pour comprendre les fondements de la topométrie.

Données de l'étude

Deux points géodésiques A et B ont des coordonnées connues. On souhaite déterminer les coordonnées d'un nouveau point C par triangulation. Les angles intérieurs du triangle ABC ont été mesurés depuis les points A et B.

Coordonnées des points connus (en mètres) :

  • Point A : \(X_{\text{A}} = 1000.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{A}} = 2000.000 \, \text{m}\)
  • Point B : \(X_{\text{B}} = 1800.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{B}} = 2300.000 \, \text{m}\)

Angles mesurés (en degrés décimaux) :

  • Angle \(\alpha = \angle CAB = 65.0000^\circ\)
  • Angle \(\beta = \angle CBA = 55.0000^\circ\)

On utilisera les conventions topographiques standards pour les gisements (azimuths) : comptés dans le sens horaire à partir du Nord.

Schéma : Triangulation du point C
A (X_A, Y_A) B (X_B, Y_B) C (X_C, Y_C) Baseline α β γ N

Schéma illustrant la triangulation du point C à partir des points connus A et B et des angles mesurés \(\alpha\) et \(\beta\).

Questions à traiter

  1. Calculer la longueur de la baseline (distance AB).
  2. Calculer l'angle \(\gamma = \angle ACB\).
  3. Utiliser la loi des sinus pour calculer les longueurs des côtés AC et BC.
  4. Calculer le gisement de la ligne AB (\(G_{\text{AB}}\)).
  5. Calculer les gisements des lignes AC (\(G_{\text{AC}}\)) et BC (\(G_{\text{BC}}\)).
  6. Calculer les coordonnées du point C (\(X_{\text{C}}, Y_{\text{C}}\)) en utilisant le point A et les éléments calculés pour AC.
  7. À titre de vérification, calculer les coordonnées du point C en utilisant le point B et les éléments calculés pour BC. Comparer les résultats.

Correction : Méthode de Triangulation en Topographie

Question 1 : Longueur de la baseline (distance AB)

Principe :

La distance entre deux points A(\(X_{\text{A}}, Y_{\text{A}}\)) et B(\(X_{\text{B}}, Y_{\text{B}}\)) dans un système de coordonnées cartésiennes est donnée par la formule de la distance euclidienne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ d_{\text{AB}} = \sqrt{(X_{\text{B}} - X_{\text{A}})^2 + (Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}})^2} \]
Données spécifiques :
  • \(X_{\text{A}} = 1000.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{A}} = 2000.000 \, \text{m}\)
  • \(X_{\text{B}} = 1800.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{B}} = 2300.000 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{AB}} &= X_{\text{B}} - X_{\text{A}} = 1800.000 - 1000.000 = 800.000 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{AB}} &= Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} = 2300.000 - 2000.000 = 300.000 \, \text{m} \\ d_{\text{AB}} &= \sqrt{(800.000)^2 + (300.000)^2} \\ &= \sqrt{640000 + 90000} \\ &= \sqrt{730000} \\ &\approx 854.40037 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La longueur de la baseline AB est \(d_{\text{AB}} \approx 854.400 \, \text{m}\).

Question 2 : Calcul de l'angle \(\gamma = \angle ACB\)

Principe :

La somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à \(180^\circ\) (ou \(200\) grades).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)\]
Données spécifiques :
  • \(\alpha = 65.0000^\circ\)
  • \(\beta = 55.0000^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \gamma &= 180^\circ - (65.0000^\circ + 55.0000^\circ) \\ &= 180^\circ - 120.0000^\circ \\ &= 60.0000^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'angle \(\gamma = \angle ACB\) est de \(60.0000^\circ\).

Question 3 : Calcul des longueurs AC et BC (Loi des Sinus)

Principe :

La loi des sinus établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus de ses angles opposés.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \frac{d_{\text{BC}}}{\sin \alpha} = \frac{d_{\text{AC}}}{\sin \beta} = \frac{d_{\text{AB}}}{\sin \gamma} \]
Données spécifiques :
  • \(d_{\text{AB}} \approx 854.40037 \, \text{m}\)
  • \(\alpha = 65.0000^\circ\)
  • \(\beta = 55.0000^\circ\)
  • \(\gamma = 60.0000^\circ\)
Calcul :

Calcul de \(d_{\text{AC}}\):

\[ \begin{aligned} d_{\text{AC}} &= d_{\text{AB}} \cdot \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} \\ &\approx 854.40037 \, \text{m} \cdot \frac{\sin(55.0000^\circ)}{\sin(60.0000^\circ)} \\ &\approx 854.40037 \cdot \frac{0.81915204}{0.86602540} \\ &\approx 854.40037 \cdot 0.94587658 \\ &\approx 808.158 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul de \(d_{\text{BC}}\):

\[ \begin{aligned} d_{\text{BC}} &= d_{\text{AB}} \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} \\ &\approx 854.40037 \, \text{m} \cdot \frac{\sin(65.0000^\circ)}{\sin(60.0000^\circ)} \\ &\approx 854.40037 \cdot \frac{0.90630779}{0.86602540} \\ &\approx 854.40037 \cdot 1.0465137 \\ &\approx 894.152 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Les longueurs des côtés sont :
  • \(d_{\text{AC}} \approx 808.158 \, \text{m}\)
  • \(d_{\text{BC}} \approx 894.152 \, \text{m}\)

Quiz Intermédiaire 1 : La loi des sinus est utilisée ici pour :

Question 4 : Gisement de la ligne AB (\(G_{\text{AB}}\))

Principe :

Le gisement (ou azimuth) d'une ligne AB est l'angle mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord jusqu'à la ligne AB. Il peut être calculé à partir des différences de coordonnées \(\Delta X = X_{\text{B}} - X_{\text{A}}\) et \(\Delta Y = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}\) en utilisant la fonction arc tangente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{AB}} = \text{atan2}(\Delta X_{\text{AB}}, \Delta Y_{\text{AB}}) \]

La fonction \(\text{atan2}(y, x)\) (ou \(\text{atan2}(x, y)\) selon les conventions, ici nous utilisons \(\text{atan2}(\Delta X, \Delta Y)\) pour un gisement depuis le Nord) donne un résultat en radians, qu'il faut convertir en degrés et ajuster pour être entre \(0^\circ\) et \(360^\circ\).

Données spécifiques :
  • \(\Delta X_{\text{AB}} = 800.000 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Y_{\text{AB}} = 300.000 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G_{\text{AB,rad}} &= \text{atan2}(800.000, 300.000) \\ &\approx 1.21202568 \, \text{radians} \end{aligned} \]

Conversion en degrés :

\[ \begin{aligned} G_{\text{AB,deg}} &= G_{\text{AB,rad}} \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &\approx 1.21202568 \times \frac{180^\circ}{3.14159265} \\ &\approx 69.443956^\circ \end{aligned} \]

Comme \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\), le gisement est dans le premier quadrant, donc l'angle est correct.

Résultat Question 4 : Le gisement de la ligne AB est \(G_{\text{AB}} \approx 69.4440^\circ\).

Question 5 : Gisements des lignes AC (\(G_{\text{AC}}\)) et BC (\(G_{\text{BC}}\))

Principe :

Le gisement d'une nouvelle ligne peut être calculé à partir du gisement d'une ligne connue et de l'angle (orienté) entre les deux lignes. Les angles \(\alpha\) et \(\beta\) sont les angles intérieurs du triangle. On suppose une orientation des points A-B-C dans le sens antihoraire pour la déduction des gisements.

Formule(s) utilisée(s) :

Si A, B, C sont orientés dans le sens antihoraire :

\[ G_{\text{AC}} = (G_{\text{AB}} - \alpha + 360^\circ) \pmod{360^\circ} \]
\[ G_{\text{BA}} = (G_{\text{AB}} + 180^\circ) \pmod{360^\circ} \]
\[ G_{\text{BC}} = (G_{\text{BA}} + \beta + 360^\circ) \pmod{360^\circ} \]

Attention : La formule pour \(G_{\text{AC}}\) suppose que l'angle \(\alpha\) est soustrait car on "tourne à droite" depuis la direction AB pour viser C. Si l'orientation est horaire, les signes des angles changent. Il est crucial de visualiser le schéma.

Pour notre schéma (A, B, C anti-horaire) : \(G_{\text{AC}} = G_{\text{AB}} - \alpha\). (Si \(\alpha\) est l'angle de A vers C par rapport à la direction AB, tournant vers la droite). Cependant, \(\alpha\) est l'angle intérieur \(\angle CAB\). Pour aller de la direction Nord vers AC, on prend \(G_{\text{AB}}\) et on soustrait \(\alpha\).

Données spécifiques :
  • \(G_{\text{AB}} \approx 69.443956^\circ\)
  • \(\alpha = 65.0000^\circ\)
  • \(\beta = 55.0000^\circ\)
Calcul :

Calcul de \(G_{\text{AC}}\) (en considérant que l'angle \(\alpha\) à partir de la ligne AB vers AC se fait dans le sens anti-horaire par rapport à la direction AB, donc on soustrait de \(G_{\text{AB}}\)) :

\[ \begin{aligned} G_{\text{AC}} &= G_{\text{AB}} - \alpha \\ &\approx 69.443956^\circ - 65.0000^\circ \\ &\approx 4.443956^\circ \end{aligned} \]

Calcul de \(G_{\text{BA}}\):

\[ \begin{aligned} G_{\text{BA}} &= G_{\text{AB}} + 180^\circ \\ &\approx 69.443956^\circ + 180^\circ \\ &\approx 249.443956^\circ \end{aligned} \]

Calcul de \(G_{\text{BC}}\) (en considérant que l'angle \(\beta\) à partir de la ligne BA vers BC se fait dans le sens horaire par rapport à la direction BA, donc on ajoute \(\beta\)) :

\[ \begin{aligned} G_{\text{BC}} &= (G_{\text{BA}} + \beta) \pmod{360^\circ} \\ &\approx (249.443956^\circ + 55.0000^\circ) \pmod{360^\circ} \\ &\approx 304.443956^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Les gisements sont :
  • \(G_{\text{AC}} \approx 4.4440^\circ\)
  • \(G_{\text{BC}} \approx 304.4440^\circ\)

Question 6 : Coordonnées du point C à partir de A

Principe :

Les coordonnées d'un point peuvent être calculées à partir des coordonnées d'un point connu, de la distance et du gisement vers le nouveau point.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ X_{\text{C}} = X_{\text{A}} + d_{\text{AC}} \cdot \sin(G_{\text{AC}}) \]
\[ Y_{\text{C}} = Y_{\text{A}} + d_{\text{AC}} \cdot \cos(G_{\text{AC}}) \]

Attention : les fonctions trigonométriques en programmation attendent généralement des radians.

Données spécifiques :
  • \(X_{\text{A}} = 1000.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{A}} = 2000.000 \, \text{m}\)
  • \(d_{\text{AC}} \approx 808.158 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{AC}} \approx 4.443956^\circ\)
Calcul :

Conversion de \(G_{\text{AC}}\) en radians : \(G_{\text{AC,rad}} \approx 4.443956^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.077561 \, \text{rad}\)

\[ \begin{aligned} X_{\text{C}} &= 1000.000 + 808.158 \cdot \sin(4.443956^\circ) \\ &= 1000.000 + 808.158 \cdot 0.077453 \\ &\approx 1000.000 + 62.594 \\ &\approx 1062.594 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{C}} &= 2000.000 + 808.158 \cdot \cos(4.443956^\circ) \\ &= 2000.000 + 808.158 \cdot 0.997000 \\ &\approx 2000.000 + 805.733 \\ &\approx 2805.733 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Les coordonnées du point C calculées à partir de A sont environ \(X_{\text{C}} \approx 1062.594 \, \text{m}\), \(Y_{\text{C}} \approx 2805.733 \, \text{m}\).

Question 7 : Vérification des coordonnées de C à partir de B

Principe :

On recalcule les coordonnées de C en utilisant le point B et les éléments de la ligne BC pour vérifier la cohérence des calculs.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ X_{\text{C}} = X_{\text{B}} + d_{\text{BC}} \cdot \sin(G_{\text{BC}}) \]
\[ Y_{\text{C}} = Y_{\text{B}} + d_{\text{BC}} \cdot \cos(G_{\text{BC}}) \]
Données spécifiques :
  • \(X_{\text{B}} = 1800.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{B}} = 2300.000 \, \text{m}\)
  • \(d_{\text{BC}} \approx 894.152 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{BC}} \approx 304.443956^\circ\)
Calcul :

Conversion de \(G_{\text{BC}}\) en radians : \(G_{\text{BC,rad}} \approx 304.443956^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 5.313423 \, \text{rad}\)

\[ \begin{aligned} X_{\text{C}} &= 1800.000 + 894.152 \cdot \sin(304.443956^\circ) \\ &= 1800.000 + 894.152 \cdot (-0.824700) \\ &\approx 1800.000 - 737.391 \\ &\approx 1062.609 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{C}} &= 2300.000 + 894.152 \cdot \cos(304.443956^\circ) \\ &= 2300.000 + 894.152 \cdot (0.565511) \\ &\approx 2300.000 + 505.644 \\ &\approx 2805.644 \, \text{m} \end{aligned} \]

Comparaison des résultats :
Depuis A : \(X_{\text{C}} \approx 1062.594 \, \text{m}\), \(Y_{\text{C}} \approx 2805.733 \, \text{m}\)
Depuis B : \(X_{\text{C}} \approx 1062.609 \, \text{m}\), \(Y_{\text{C}} \approx 2805.644 \, \text{m}\)
Les différences sont minimes (\(\Delta X \approx 0.015 \, \text{m}\), \(\Delta Y \approx 0.089 \, \text{m}\)) et dues aux arrondis des calculs intermédiaires et des fonctions trigonométriques. En pratique, on chercherait une meilleure concordance ou on utiliserait des méthodes de compensation.

Résultat Question 7 : Les coordonnées du point C calculées à partir de B sont environ \(X_{\text{C}} \approx 1062.609 \, \text{m}\), \(Y_{\text{C}} \approx 2805.644 \, \text{m}\). Les résultats sont cohérents avec ceux obtenus à partir du point A, les petites différences étant dues aux arrondis.

Quiz Intermédiaire 2 : Pourquoi est-il important d'effectuer un calcul de vérification des coordonnées d'un nouveau point ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. En triangulation, quelle est l'information minimale nécessaire en plus des angles mesurés pour calculer les longueurs des côtés d'un triangle ?

9. La loi des sinus relie :

10. Un gisement (ou azimuth) en topographie est généralement mesuré :

Glossaire

Triangulation
Méthode de détermination de la position de points en mesurant les angles d'un réseau de triangles à partir d'une ligne de base de longueur connue.
Baseline (Ligne de base)
Côté d'un triangle de triangulation dont la longueur est mesurée avec précision et qui sert de référence pour calculer les longueurs des autres côtés.
Loi des Sinus
Relation trigonométrique dans un triangle quelconque : le rapport de la longueur d'un côté au sinus de l'angle opposé est constant pour tous les côtés et angles du triangle.
Gisement (ou Azimuth)
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord géographique ou magnétique) jusqu'à une ligne ou une direction donnée.
Coordonnées Cartésiennes
Système de positionnement de points dans un plan (par exemple, X et Y) ou dans l'espace (X, Y, Z) par rapport à des axes orthogonaux.
Point Géodésique
Point dont la position (coordonnées, altitude) a été déterminée avec une grande précision et qui sert de référence pour les levés topographiques et cartographiques.
Topométrie
Ensemble des techniques permettant d'obtenir la représentation plane ou tridimensionnelle d'une portion de la surface terrestre.
Méthode de Triangulation en Topographie - Exercice d'Application

D’autres exercices de topographie:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *