Études de cas pratique

EGC

Vérification de la résistance à la compression

Vérification de la Résistance à la Compression d'un Poteau

Comprendre la Vérification de la Résistance à la Compression d'un Poteau

La vérification de la résistance à la compression d'un poteau en béton armé consiste à s'assurer que sa capacité portante (\(N_{Rd}\)) est supérieure ou égale à l'effort axial de calcul agissant (\(N_{Ed}\)) à l'État Limite Ultime (ELU). Cette capacité dépend des dimensions de la section du poteau, des résistances de calcul du béton et de l'acier, ainsi que de la quantité d'armatures longitudinales. Pour les poteaux élancés, les effets du second ordre (flambement) doivent également être pris en compte, mais ils seront négligés dans cet exercice pour se concentrer sur la résistance de la section.

Données de l'étude

On souhaite vérifier la résistance à la compression simple d'un poteau carré en béton armé.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Section du poteau (carrée) : \(b = h = 300 \, \text{mm}\)
  • Armatures longitudinales : 4 HA 16 (4 barres de 16 mm de diamètre)
  • Béton : C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\) (béton), \(\gamma_s = 1.15\) (acier)
  • Coefficient \(\alpha_{cc}\) pour charges de longue durée : \(0.85\) (selon Eurocode 2)

Sollicitations (ELU) :

  • Effort axial de calcul agissant (\(N_{Ed}\)) : \(1200 \, \text{kN}\)

Hypothèse : Le poteau est court et les effets du second ordre (flambement) peuvent être négligés. La charge est appliquée de manière centrée.

Schéma : Section du Poteau
300 mm 300 mm Section Poteau (300x300) 4 HA 16

Section transversale du poteau avec les armatures longitudinales.

Questions à traiter

  1. Calculer la section brute de béton (\(A_c\)) et la section totale d'acier longitudinal (\(A_s\)).
  2. Calculer les résistances de calcul des matériaux : \(f_{cd}\) pour le béton et \(f_{yd}\) pour l'acier.
  3. Calculer la résistance axiale de calcul du poteau en compression simple (\(N_{Rd}\)) en utilisant la formule de l'Eurocode 2 : \(N_{Rd} = A_c \cdot f_{cd} + A_s \cdot f_{yd}\). (On considère que \(f_{cd}\) inclut déjà \(\alpha_{cc}\) ou que \(\alpha_{cc}\) est appliqué sur la contribution du béton).

    Pour plus de précision selon l'EC2 : \(N_{Rd} = 0.85 \cdot A_c \cdot f_{cd,net} + A_s \cdot f_{yd}\) où \(f_{cd,net} = f_{ck}/\gamma_c\), ou \(N_{Rd} = A_c \cdot (\alpha_{cc} f_{ck}/\gamma_c) + A_s \cdot (f_{yk}/\gamma_s)\). Nous utiliserons la seconde forme pour la correction.

  4. Comparer l'effort axial agissant (\(N_{Ed}\)) à l'effort axial résistant (\(N_{Rd}\)) et conclure sur la sécurité du poteau.

Correction : Vérification de la Résistance à la Compression

Question 1 : Sections de Béton (\(A_c\)) et d'Acier (\(A_s\))

Principe :

La section brute de béton est l'aire totale de la section du poteau. La section d'acier est la somme des aires des barres longitudinales.

Formule(s) utilisée(s) :

Section brute de béton (\(A_c\)) pour un poteau carré :

\[A_c = b^2\]

Section d'une barre HA 16 (\(\phi=16\) mm) :

\[A_{\phi 16} = \frac{\pi \phi^2}{4}\]

Section totale d'acier (\(A_s\)) :

\[A_s = \text{Nombre de barres} \times A_{\phi 16}\]
Données spécifiques :
  • Côté du poteau (\(b\)) : \(300 \, \text{mm}\)
  • Armatures : 4 HA 16
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_c &= (300 \, \text{mm})^2 \\ &= 90000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_{\phi 16} &= \frac{\pi \times (16 \, \text{mm})^2}{4} \\ &\approx 201.06 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_s &= 4 \times 201.06 \, \text{mm}^2 \\ &= 804.24 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(A_c = 90000 \, \text{mm}^2\) et \(A_s \approx 804.24 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Résistances de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients partiels de sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\] \[f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}\]
Données spécifiques :
  • Béton C25/30 : \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 25 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= \frac{21.25}{1.5} \, \text{MPa} \\ &\approx 14.17 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} \approx 14.17 \, \text{MPa}\) et \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Résistance Axiale de Calcul (\(N_{Rd}\))

Principe :

La résistance axiale de calcul d'un poteau en compression simple (sans flambement) est la somme des contributions du béton et des armatures longitudinales.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 2) :
\[N_{Rd} = A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\]

Selon l'énoncé, on utilise \(f_{cd} = \alpha_{cc} f_{ck} / \gamma_c\).

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(A_c = 90000 \, \text{mm}^2\)
  • \(A_s \approx 804.24 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_{cd} \approx 14.17 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :

Contribution du béton :

\[ \begin{aligned} N_{Rd,c} &= A_c f_{cd} \\ &= 90000 \, \text{mm}^2 \times 14.17 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 1275300 \, \text{N} \end{aligned} \]

Contribution de l'acier :

\[ \begin{aligned} N_{Rd,s} &= A_s f_{yd} \\ &\approx 804.24 \, \text{mm}^2 \times 434.78 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 349668 \, \text{N} \end{aligned} \]

Résistance totale :

\[ \begin{aligned} N_{Rd} &= N_{Rd,c} + N_{Rd,s} \\ &= 1275300 + 349668 \, \text{N} \\ &= 1624968 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN :

\[ N_{Rd} \approx 1625.0 \, \text{kN} \]
Résultat Question 3 : La résistance axiale de calcul du poteau est \(N_{Rd} \approx 1625.0 \, \text{kN}\).

Question 4 : Vérification de la Sécurité

Principe :

La sécurité du poteau vis-à-vis de la compression axiale est assurée si l'effort axial de calcul agissant (\(N_{Ed}\)) est inférieur ou égal à l'effort axial résistant de calcul (\(N_{Rd}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{Ed} \leq N_{Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(N_{Ed} = 1200 \, \text{kN}\)
  • \(N_{Rd} \approx 1625.0 \, \text{kN}\) (calculé)
Comparaison :
\[1200 \, \text{kN} \leq 1625.0 \, \text{kN}\]

La condition est vérifiée.

Résultat Question 4 : Le poteau est capable de supporter l'effort axial de calcul appliqué (\(N_{Ed} < N_{Rd}\)). La section est donc vérifiée en compression simple (sans prise en compte du flambement).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Que signifie \(N_{Ed}\) dans le calcul des structures ?

2. Comment obtient-on la résistance de calcul du béton \(f_{cd}\) à partir de la résistance caractéristique \(f_{ck}\) ?

3. Si \(N_{Ed} > N_{Rd}\) pour un poteau, cela signifie :

Glossaire

Résistance à la Compression
Capacité d'un matériau ou d'un élément structural à supporter des charges qui tendent à le raccourcir (compresser).
Poteau
Élément structural vertical conçu principalement pour reprendre des efforts de compression.
Effort Axial de Calcul (\(N_{Ed}\))
Force de compression (ou de traction) agissant le long de l'axe du poteau, calculée à l'État Limite Ultime (ELU) en tenant compte des coefficients de pondération des charges.
Effort Axial Résistant de Calcul (\(N_{Rd}\))
Capacité maximale de la section du poteau à résister à un effort axial de compression, calculée à l'ELU.
Résistance Caractéristique du Béton (\(f_{ck}\))
Résistance à la compression du béton mesurée sur des éprouvettes cylindriques (ou cubiques) à 28 jours, avec une probabilité de 5% d'avoir une valeur inférieure.
Résistance de Calcul du Béton (\(f_{cd}\))
Résistance du béton utilisée dans les calculs de dimensionnement à l'ELU, obtenue en divisant \(f_{ck}\) par \(\gamma_c\) et en appliquant \(\alpha_{cc}\).
Limite d'Élasticité Caractéristique de l'Acier (\(f_{yk}\))
Contrainte à partir de laquelle l'acier commence à se déformer plastiquement de manière significative.
Résistance de Calcul de l'Acier (\(f_{yd}\))
Résistance de l'acier utilisée dans les calculs à l'ELU, obtenue en divisant \(f_{yk}\) par \(\gamma_s\).
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_c, \gamma_s\))
Coefficient minorant la résistance des matériaux pour tenir compte des incertitudes.
Coefficient \(\alpha_{cc}\)
Coefficient (généralement 0.85 ou 1.0) tenant compte des effets défavorables à long terme et de la manière dont la charge est appliquée sur la résistance du béton en compression.
Armatures Longitudinales (\(A_s\))
Barres d'acier principales disposées le long de l'axe du poteau.
Section Brute de Béton (\(A_c\))
Aire totale de la section transversale du poteau.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure (rupture, flambement).
Vérification de la Résistance à la Compression - Exercice d'Application

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