Études de cas pratique

EGC

Poutre encastrée et Diagramme des Moments

Poutre Encastrée et Diagramme des Moments en RDM

Poutre Encastrée et Diagramme des Moments

Comprendre les Poutres Encastrées et les Diagrammes d'Efforts Internes

Une poutre encastrée est un élément structural fixé à une extrémité de telle manière que cette extrémité ne peut ni tourner ni se déplacer (translation bloquée dans toutes les directions et rotation bloquée). Ce type d'appui est capable de reprendre une force verticale, une force horizontale et un moment (appelé moment d'encastrement).

L'analyse des efforts internes, tels que l'effort tranchant (\(V\)) et le moment fléchissant (\(M\)), est cruciale pour le dimensionnement des poutres. Les diagrammes d'effort tranchant (DET ou SFD) et de moment fléchissant (DMF ou BMD) représentent graphiquement la variation de ces efforts le long de la poutre, permettant d'identifier les valeurs maximales et leurs emplacements.

Cet exercice se concentre sur une poutre encastrée soumise à une charge ponctuelle à son extrémité libre.

Données de l'étude

Une poutre encastrée de longueur \(L\) est fixée en A (\(x=0\)) et libre en B (\(x=L\)). Elle est soumise à une charge ponctuelle \(P\) appliquée verticalement vers le bas à son extrémité libre B.

Caractéristiques de la poutre et du chargement :

  • Longueur de la poutre (\(L\)) : \(4 \, \text{m}\)
  • Charge ponctuelle (\(P\)) : \(10 \, \text{kN}\)

On néglige le poids propre de la poutre.

Schéma de la Poutre Encastrée
{/* */} {/* */} A (x=0) {/* */} B (x=L) {/* */} P {/* */} L = 4 m {/* */} x y

Poutre encastrée en A, libre en B, avec une charge ponctuelle P à l'extrémité B.

Questions à traiter

  1. Déterminer les réactions d'appui en A (force verticale \(R_A\) et moment d'encastrement \(M_A\)).
  2. Établir l'équation de l'effort tranchant \(V(x)\) le long de la poutre (\(0 \le x \le L\)).
  3. Établir l'équation du moment fléchissant \(M(x)\) le long de la poutre (\(0 \le x \le L\)).
  4. Tracer le diagramme de l'effort tranchant (DET).
  5. Tracer le diagramme du moment fléchissant (DMF).
  6. Identifier la valeur et la position du moment fléchissant maximal (\(M_{max}\)).

Correction : Poutre Encastrée et Diagramme des Moments

Question 1 : Réactions d'appui en A

Principe :

Pour une structure isostatique à l'équilibre, la somme des forces et la somme des moments doivent être nulles. On applique les équations d'équilibre statique. Convention : forces vers le haut positives, moments anti-horaire positifs.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_y = 0 \] \[ \sum M_A = 0 \]
Données spécifiques :
  • Charge \(P = 10 \, \text{kN}\)
  • Longueur \(L = 4 \, \text{m}\)
Calcul :

Équilibre des forces verticales :

\[ \begin{aligned} \sum F_y &= 0 \\ R_A - P &= 0 \\ R_A &= P \\ R_A &= 10 \, \text{kN} \quad (\text{vers le haut}) \end{aligned} \]

Équilibre des moments par rapport au point A (encastrement) :

\[ \begin{aligned} \sum M_A &= 0 \\ M_A - P \cdot L &= 0 \quad (\text{P crée un moment horaire, donc } -P \cdot L \text{ si } M_A \text{ est supposé anti-horaire}) \\ M_A &= P \cdot L \\ M_A &= 10 \, \text{kN} \times 4 \, \text{m} \\ M_A &= 40 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{anti-horaire, ou "hogging" si on suit la convention de la fibre tendue en haut}) \end{aligned} \]

Note sur la convention du moment d'encastrement : Si \(M_A\) est le moment réactif de l'encastrement, il s'oppose au moment créé par P. Si P tend à faire tourner la poutre dans le sens horaire autour de A, \(M_A\) sera anti-horaire. Pour les diagrammes de moment fléchissant, on adopte souvent la convention où un moment qui tend la fibre inférieure est positif (sagging). Ici, la charge P à l'extrémité tend la fibre supérieure à l'encastrement (hogging).

Résultat Question 1 :
Réaction verticale en A : \(R_A = 10 \, \text{kN}\) (vers le haut).
Moment d'encastrement en A : \(M_A = 40 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) (sens anti-horaire pour équilibrer le moment dû à P).

Question 2 : Équation de l'effort tranchant \(V(x)\)

Principe :

On effectue une coupure à une abscisse \(x\) (\(0 \le x \le L\)) et on considère l'équilibre de la section de gauche. L'effort tranchant \(V(x)\) est la somme des forces verticales à gauche de la coupure (ou à droite avec signe opposé). Convention : \(V(x)\) est positif s'il tend à faire tourner la section dans le sens horaire.

Calcul pour \(0 \le x \le L\) :

En considérant la section de gauche (de 0 à x) :

\[ V(x) = R_A = 10 \, \text{kN} \]

L'effort tranchant est constant sur toute la longueur de la poutre.

Résultat Question 2 : L'équation de l'effort tranchant est \(V(x) = +10 \, \text{kN}\) pour \(0 \le x \le 4 \, \text{m}\).

Question 3 : Équation du moment fléchissant \(M(x)\)

Principe :

On effectue une coupure à une abscisse \(x\) et on considère l'équilibre en moments de la section de gauche. Convention : \(M(x)\) est positif s'il tend la fibre inférieure (sagging).

Calcul pour \(0 \le x \le L\) :

En considérant la section de gauche (de 0 à x) : Le moment \(M_A\) est anti-horaire (positif selon notre convention d'équilibre, mais il crée une tension en fibre supérieure, donc négatif pour le diagramme de moment fléchissant si on suit la convention "fibre tendue en bas = positif"). La force \(R_A\) crée un moment \(R_A \cdot x\) qui tend la fibre supérieure (négatif).

Alternativement, en considérant la section de droite (de x à L) : La force P à l'extrémité (L) crée un moment \(P \cdot (L-x)\) qui tend la fibre supérieure (moment négatif).

\[ \begin{aligned} M(x) &= - P \cdot (L-x) \quad (\text{en considérant la section de droite, et positif = sagging}) \\ &= -10 (4-x) \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= -40 + 10x \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Vérification :
À \(x=0\) (encastrement A) : \(M(0) = -40 + 10(0) = -40 \, \text{kN} \cdot \text{m}\). Cela correspond au moment réactif \(M_A\) mais avec le signe de la convention du moment fléchissant (hogging).
À \(x=L=4 \, \text{m}\) (extrémité libre B) : \(M(4) = -40 + 10(4) = 0 \, \text{kN} \cdot \text{m}\), ce qui est correct pour une extrémité libre.

Résultat Question 3 : L'équation du moment fléchissant est \(M(x) = -10(4-x) = 10x - 40 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) pour \(0 \le x \le 4 \, \text{m}\).

Question 4 & 5 : Diagrammes de l'Effort Tranchant (DET) et du Moment Fléchissant (DMF)

Principe :

Le DET est tracé à partir de l'équation \(V(x)\). Le DMF est tracé à partir de l'équation \(M(x)\).

Diagrammes DET et DMF
{/* */} Poutre A B {/* */} DET V(x) (kN) {/* */} x {/* */} V +10 {/* */} DMF M(x) (kN.m) {/* */} x {/* */} M -40 0

DET constant positif. DMF linéaire, de -40 kN.m en A à 0 en B.

Question 6 : Moment fléchissant maximal (\(M_{max}\))

Principe :

Le moment fléchissant maximal est la valeur absolue la plus élevée du moment fléchissant le long de la poutre. Il se situe là où l'effort tranchant change de signe ou aux appuis pour les poutres encastrées.

Analyse du DMF :

D'après l'équation \(M(x) = 10x - 40\):
À \(x=0 \, \text{m}\) (encastrement A) : \(M(0) = -40 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
À \(x=4 \, \text{m}\) (extrémité libre B) : \(M(4) = 0 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
La fonction est linéaire et croissante. La valeur absolue maximale est à l'encastrement.

Résultat Question 6 : Le moment fléchissant maximal est \(|M_{max}| = 40 \, \text{kN} \cdot \text{m}\), situé à l'encastrement A (\(x=0\)). (La valeur est \(M = -40 \, \text{kN} \cdot \text{m}\), indiquant une tension dans la fibre supérieure).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour une poutre encastrée avec une charge uniformément répartie sur toute sa longueur, la forme du diagramme de moment fléchissant est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un encastrement parfait peut reprendre :

2. L'effort tranchant est nul à l'extrémité libre d'une poutre en porte-à-faux (encastrée-libre) si aucune charge ponctuelle n'y est appliquée.

3. La relation entre le moment fléchissant \(M(x)\) et l'effort tranchant \(V(x)\) est :

Glossaire

Poutre Encastrée (Cantilever Beam)
Poutre fixée à une seule extrémité (l'encastrement), l'autre extrémité étant libre. L'encastrement empêche toute translation et rotation.
Réactions d'Appui
Forces et moments exercés par les appuis sur la poutre pour maintenir son équilibre sous l'effet des charges appliquées.
Effort Tranchant (\(V\))
Effort interne résultant des forces tendant à cisailler la poutre perpendiculairement à son axe longitudinal. Unité : Newton (N) ou kN.
Moment Fléchissant (\(M\))
Moment interne résultant des forces tendant à courber la poutre. Unité : Newton-mètre (N.m) ou kN.m.
Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)
Représentation graphique de la variation de l'effort tranchant le long de la poutre.
Diagramme du Moment Fléchissant (DMF)
Représentation graphique de la variation du moment fléchissant le long de la poutre.
Convention de Signes
Ensemble de règles définissant les directions positives pour les forces, les moments, l'effort tranchant et le moment fléchissant. Les conventions peuvent varier, il est important de les définir clairement.
Poutre Encastrée et Diagramme des Moments en RDM - Exercice d'Application

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