EGC

Dimensionnement d’un éclissage de membrures

Dimensionnement d’un Éclissage de Membrures en Structure Métallique

Dimensionnement d’un éclissage de membrures en structure métallique

Contexte : La continuité des structures en acier.

Les éléments en acier, tels que les poutres ou les poteaux, sont fabriqués en longueurs limitées pour des raisons de transport et de manutention. Sur un chantier, il est souvent nécessaire de les assembler bout à bout pour créer des éléments continus de grande portée. Cette jonction, appelée éclissageAssemblage de deux pièces de construction dans le prolongement l'une de l'autre, assurant la continuité mécanique., est un point critique de la structure. Elle doit être capable de transmettre intégralement les efforts (traction, compression, flexion) d'un élément à l'autre. Cet exercice se concentre sur le dimensionnement d'un éclissage par boulons travaillant à la traction.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous plonge au cœur du calcul d'assemblages selon l'Eurocode 3. Vous apprendrez à identifier les différents modes de ruine possibles pour un assemblage boulonné (cisaillement des boulons, pression diamétrale sur les tôles, rupture de la section nette) et à vérifier que la résistance de l'assemblage est supérieure à l'effort appliqué, en utilisant les coefficients de sécurité réglementaires.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les modes de défaillance d'un assemblage boulonné en traction.
  • Calculer la résistance au cisaillementSollicitation qui tend à faire glisser les unes contre les autres deux sections d'une pièce. Dans un boulon, c'est l'effort qui tend à le "cisailler". d'un boulon.
  • Calculer la résistance à la pression diamétraleEffort de contact entre le corps du boulon et le bord du trou dans la tôle, qui peut entraîner une ovalisation du trou ou une déchirure de la tôle..
  • Déterminer le nombre de boulons nécessaires pour reprendre un effort de traction.
  • Vérifier la résistance de la section netteSection transversale d'une pièce dont on a déduit la surface des trous de boulons. C'est la section la plus faible en traction. des pièces assemblées.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner l'éclissage de la semelle supérieure d'une poutre en treillis. La semelle est constituée d'un profilé IPE 300 et est soumise à un effort de traction de calcul \(N_{Ed}\). L'assemblage est réalisé par deux couvre-joints (un de chaque côté de la semelle) et des boulons à haute résistance.

Schéma de l'éclissage de la semelle
Vue de dessus N_Ed N_Ed Vue de côté (Coupe) Semelle IPE 300 (t_f) Couvre-joint (t_p)
Vue 3D interactive de l'éclissage

Utilisez la souris pour faire pivoter, zoomer et déplacer la vue.

Paramètre Notation Valeur Unité
Effort de traction de calcul \(N_{Ed}\) 450 \(\text{kN}\)
Profilé IPE 300
... Épaisseur de la semelle \(t_f\) 10.7 \(\text{mm}\)
Nuance d'acier (profilé et couvre-joints) - S235 -
... Limite d'élasticité \(f_y\) 235 \(\text{MPa}\)
... Résistance ultime à la traction \(f_u\) 360 \(\text{MPa}\)
Épaisseur des couvre-joints \(t_p\) 10 \(\text{mm}\)
Boulons (HR) - M20 - Classe 8.8 -
... Résistance ultime du boulon \(f_{ub}\) 800 \(\text{MPa}\)
Coefficient partiel de sécurité (boulons) \(\gamma_{M2}\) 1.25 -

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance au cisaillement d'un boulon (\(F_{v,Rd}\)).
  2. Calculer la résistance à la pression diamétrale (\(F_{b,Rd}\)).
  3. Déterminer le nombre de boulons requis pour l'assemblage.
  4. Avec la disposition proposée (4 boulons par côté), vérifier la résistance de la section nette de la semelle de l'IPE (\(N_{net,Rd}\)).
  5. Vérifier la résistance de la section nette des couvre-joints.

Les bases du calcul d'assemblages boulonnés

Un assemblage doit être aussi résistant que les pièces qu'il relie. Pour cela, on vérifie plusieurs modes de ruine potentiels.

1. Ruine par Cisaillement des Boulons
L'effort de traction tend à "cisailler" les boulons. La résistance dépend de la section du boulon, de la résistance de son acier et du nombre de plans de cisaillement. Dans notre cas, avec deux couvre-joints, chaque boulon est cisaillé en deux endroits (double cisaillement), ce qui double sa résistance.

2. Ruine par Pression Diamétrale
Le boulon exerce une pression sur le bord des trous. Si cette pression est trop forte, elle peut ovaliser le trou ou déchirer la tôle. La résistance dépend de l'épaisseur de la tôle la plus fine, du diamètre du boulon et de la résistance de l'acier des tôles.

3. Ruine par Traction de la Section Nette
La présence des trous affaiblit la pièce. La section résistante n'est pas la section brute, mais la section "nette" (section brute moins la surface des trous). La pièce peut se rompre par traction au droit de cette section affaiblie.

Correction : Dimensionnement d’un éclissage de membrures en structure métallique

Question 1 : Calculer la résistance au cisaillement d'un boulon (\(F_{v,Rd}\))

Principe (le concept physique)

La résistance au cisaillement représente la force maximale que le corps d'un boulon peut supporter avant d'être cisaillé en deux. Dans notre configuration avec deux couvre-joints, le boulon traverse trois plaques. L'effort est transmis de la plaque centrale aux deux plaques extérieures, créant deux plans de cisaillement. Le boulon travaille donc en "double cisaillement", ce qui double sa résistance par rapport à un assemblage simple.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de l'Eurocode 3 pour la résistance au cisaillement inclut un coefficient \(\alpha_v\) qui dépend de la classe du boulon (0.6 pour les classes 4.6, 5.6, 8.8) et un coefficient de sécurité \(\gamma_{M2}\). La section résistante \(A\) est la section du fût non fileté si le plan de cisaillement passe par cette partie, ou la section résistante à la traction \(A_s\) si le plan de cisaillement passe par la partie filetée. On prend généralement le cas le plus défavorable.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape dans le calcul d'un assemblage est toujours de déterminer la résistance d'un seul élément de fixation (ici, un boulon). C'est la brique de base qui permettra ensuite de déterminer combien de "briques" sont nécessaires pour construire un "mur" résistant à l'effort total.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul est régi par la norme **EN 1993-1-8, section 3.6**. Cette section détaille les formules de calcul pour les boulons en cisaillement, en traction et en pression diamétrale, ainsi que les coefficients de sécurité à appliquer.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance au cisaillement par plan de cisaillement :

\[ F_{v,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le plan de cisaillement passe par la partie filetée du boulon, ce qui correspond à l'utilisation de la section résistante \(A_s\), l'hypothèse la plus sécuritaire. On considère un assemblage en double cisaillement (\(n=2\) plans).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Classe de boulon : 8.8 \(\Rightarrow \alpha_v = 0.6\)
  • Résistance ultime du boulon, \(f_{ub} = 800 \, \text{MPa} = 800 \, \text{N/mm}^2\)
  • Boulon M20 \(\Rightarrow\) Section résistante, \(A_s = 245 \, \text{mm}^2\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{M2} = 1.25\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Travaillez en Newtons (N) et millimètres (mm). Les résistances des matériaux (\(f_{ub}\), \(f_y\)) sont données en MPa, ce qui est équivalent à N/mm². C'est l'unité la plus pratique pour les calculs d'assemblages.

Schéma (Avant les calculs)
Boulon en Double Cisaillement
F/2F/4F/4Plan 1Plan 2
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Résistance pour un plan de cisaillement :

\[ \begin{aligned} F_{v,Rd,1} &= \frac{0.6 \times 800 \, \text{N/mm}^2 \times 245 \, \text{mm}^2}{1.25} \\ &= \frac{117600 \, \text{N}}{1.25} \\ &= 94080 \, \text{N} \\ &= 94.08 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Résistance totale pour un boulon en double cisaillement (\(n=2\)) :

\[ \begin{aligned} F_{v,Rd} &= 2 \times F_{v,Rd,1} \\ &= 2 \times 94.08 \, \text{kN} \\ &= 188.16 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résistance au Cisaillement
Fv,Rd = 188.2 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un seul boulon M20 de classe 8.8, placé en double cisaillement, peut résister à un effort de 188.16 kN. Cette valeur est la première des deux résistances élémentaires que nous devons calculer pour dimensionner l'assemblage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le nombre de plans de cisaillement ! Omettre le facteur 2 pour un double cisaillement est une erreur fréquente et dangereuse, car elle conduit à sous-estimer la résistance du boulon de moitié.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au cisaillement dépend de la section du boulon, de sa nuance d'acier et du nombre de plans de cisaillement.
  • Le double cisaillement double la résistance du boulon.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les boulons à Haute Résistance (HR) sont serrés à une valeur très précise (le "serrage contrôlé") qui met le boulon en traction. Cette précontrainte crée une force de serrage très importante entre les plaques, qui permet de transmettre une partie des efforts par friction avant même que les boulons ne commencent à travailler en cisaillement.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on \(A_s\) et non l'aire totale du boulon ?

On utilise la section nette au niveau du filetage (\(A_s\)) car c'est la section la plus faible du boulon. C'est une mesure de sécurité pour s'assurer que le calcul est basé sur le point le plus susceptible de céder, même si le plan de cisaillement n'est pas exactement dans le filetage.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de calcul au cisaillement d'un boulon M20 cl. 8.8 en double cisaillement est de \(F_{v,Rd} = 188.16 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le boulon était en simple cisaillement, quelle serait sa résistance \(F_{v,Rd}\) en kN ?

Question 2 : Calculer la résistance à la pression diamétrale (\(F_{b,Rd}\))

Principe (le concept physique)

La résistance à la pression diamétrale (ou poinçonnement) représente la capacité des tôles à résister à la concentration de contrainte exercée par le corps du boulon sur le bord du trou. Une force trop élevée peut soit ovaliser le trou, soit provoquer une rupture par cisaillement du bloc de matière entre le trou et le bord de la tôle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de l'Eurocode 3 pour la pression diamétrale dépend de plusieurs facteurs géométriques (distances au bord \(e_1, e_2\), pas entre les boulons \(p_1, p_2\)) via un coefficient \(k_1\). La résistance est proportionnelle au diamètre du boulon, à l'épaisseur de la tôle et à la résistance ultime de l'acier des tôles.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La résistance d'un assemblage est comme une chaîne : elle vaut la résistance de son maillon le plus faible. Après avoir vérifié le boulon lui-même (cisaillement), il est impératif de vérifier les pièces qu'il assemble (pression diamétrale). Souvent, pour des tôles fines, c'est ce mode de ruine qui est dimensionnant.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul est également régi par la norme **EN 1993-1-8, section 3.7**. La norme fournit les formules pour calculer le coefficient \(k_1\) et la résistance finale \(F_{b,Rd}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance à la pression diamétrale :

\[ F_{b,Rd} = \frac{k_1 \cdot \alpha_b \cdot f_u \cdot d \cdot t}{\gamma_{M2}} \]

Avec \(\alpha_b\) étant le minimum de \(\frac{e_1}{3d_0}\), \(\frac{p_1}{3d_0} - \frac{1}{4}\), \(\frac{f_{ub}}{f_u}\), ou 1.0.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour une vérification simplifiée, on prend souvent la valeur la plus défavorable pour \(\alpha_b\), qui dépend des distances aux bords et entre axes. On supposera ici des distances standards qui permettent de prendre \(\alpha_b = 0.61\) (valeur courante pour les bords). On doit vérifier la pression diamétrale dans la semelle de l'IPE (\(t_f\)) et dans l'ensemble des deux couvre-joints (\(2 \times t_p\)). Le plus faible des deux sera le cas dimensionnant.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Pour simplifier, on prend \(k_1 = 2.5\) et \(\alpha_b = 0.61\) (valeurs standards)
  • Résistance ultime de l'acier, \(f_u = 360 \, \text{MPa}\)
  • Diamètre du boulon, \(d = 20 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur semelle IPE, \(t_f = 10.7 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur totale des couvre-joints, \(2 \times t_p = 2 \times 10 = 20 \, \text{mm}\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{M2} = 1.25\)
Astuces(Pour aller plus vite)

L'épaisseur à considérer est toujours l'épaisseur cumulée la plus faible de part et d'autre d'un plan de cisaillement. Ici, on compare l'épaisseur de la semelle centrale (10.7 mm) à l'épaisseur totale des deux couvre-joints (20 mm). Le maillon faible est donc la semelle de l'IPE.

Schéma (Avant les calculs)
Modes de Ruine par Pression Diamétrale
Ovalisation du trouRupture du bloc
Calcul(s) (l'application numérique)

L'épaisseur déterminante est \(t = \min(t_f, 2 \times t_p) = \min(10.7, 20) = 10.7 \, \text{mm}\).

\[ \begin{aligned} F_{b,Rd} &= \frac{2.5 \times 0.61 \times 360 \, \text{N/mm}^2 \times 20 \, \text{mm} \times 10.7 \, \text{mm}}{1.25} \\ &= \frac{117306 \, \text{N}}{1.25} \\ &= 93845 \, \text{N} \\ &= 93.85 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résistance à la Pression Diamétrale
Fb,Rd = 93.9 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance à la pression diamétrale (93.85 kN) est inférieure à la résistance au cisaillement d'un boulon (188.16 kN). Cela signifie que pour cet assemblage, le mode de ruine qui gouverne le dimensionnement est la pression diamétrale. C'est le "maillon faible" de la chaîne.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur classique est d'oublier de comparer l'épaisseur de la pièce centrale à la somme des épaisseurs des couvre-joints. La pression diamétrale doit être vérifiée pour l'épaisseur la plus faible, car c'est là que la rupture se produira en premier.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance à la pression diamétrale dépend de la tôle et non du boulon.
  • Elle est souvent le mode de ruine critique pour les tôles relativement fines.
  • La résistance de l'assemblage est dictée par la plus faible des résistances (cisaillement ou pression diamétrale).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les ponts métalliques anciens du 19ème siècle, les assemblages n'étaient pas boulonnés mais rivetés. Un rivet était chauffé au rouge, inséré dans le trou, puis sa deuxième tête était formée par martelage. En refroidissant, le rivet se contractait, créant un serrage extrêmement puissant des tôles, similaire à la précontrainte des boulons HR.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les coefficients \(k_1\) et \(\alpha_b\) sont-ils importants ?

Ils tiennent compte de la géométrie de l'assemblage. Si les boulons sont trop près du bord (\(e_1\) faible), ou trop proches les uns des autres (\(p_1\) faible), la tôle aura tendance à se déchirer plus facilement. Ces coefficients réduisent la résistance de calcul pour prendre en compte ce risque accru.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de calcul à la pression diamétrale est de \(F_{b,Rd} = 93.85 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'on utilisait des couvre-joints de 5 mm d'épaisseur (\(2 \times t_p = 10\) mm), quelle serait la nouvelle résistance \(F_{b,Rd}\) en kN ?

Question 3 : Déterminer le nombre de boulons requis pour l'assemblage

Principe (le concept physique)

La logique est simple : la résistance totale de l'assemblage doit être supérieure ou égale à l'effort appliqué. La résistance totale est le nombre de boulons multiplié par la résistance d'un seul boulon. La résistance d'un seul boulon est la plus faible de ses résistances individuelles (cisaillement ou pression diamétrale).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le dimensionnement d'un assemblage consiste à satisfaire l'inéquation fondamentale de la sécurité structurale : \(E_d \le R_d\), où \(E_d\) est la valeur de calcul de l'effet des actions (l'effort appliqué) et \(R_d\) est la valeur de calcul de la résistance de la structure. Ici, \(E_d = N_{Ed}\) et \(R_d = n \times F_{boulon,Rd}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape de synthèse où les calculs précédents prennent tout leur sens. On compare les deux "maillons" de la chaîne (boulon et tôle) pour identifier le plus faible, puis on en déduit le nombre de "chaînes" nécessaires pour tenir la charge totale.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification globale de l'assemblage est l'objectif final des sections 3.6 et 3.7 de l'**EN 1993-1-8**. La résistance d'un groupe de boulons est la somme des résistances individuelles, à condition que l'assemblage ne soit pas sujet à des effets de levier ou à une distribution non uniforme des efforts.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance d'un boulon :

\[ F_{boulon,Rd} = \min(F_{v,Rd}, F_{b,Rd}) \]

Nombre de boulons requis :

\[ n \ge \frac{N_{Ed}}{F_{boulon,Rd}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'effort de traction se répartit uniformément entre tous les boulons de l'assemblage. Cette hypothèse est valable pour les assemblages courts et rigides comme celui-ci.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort de traction, \(N_{Ed} = 450 \, \text{kN}\)
  • Résistance au cisaillement, \(F_{v,Rd} = 188.16 \, \text{kN}\)
  • Résistance à la pression diamétrale, \(F_{b,Rd} = 93.85 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le nombre de boulons calculé sera rarement un entier. Il faut toujours arrondir au nombre entier **supérieur**. De plus, pour des raisons de symétrie et de montage, on choisit souvent un nombre pair de boulons.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre Global de l'Assemblage
n x F_RdN_EdN_Ed
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Déterminer la résistance d'un boulon :

\[ \begin{aligned} F_{\text{boulon,Rd}} &= \min(188.16 \, \text{kN}, 93.85 \, \text{kN}) \\ &= 93.85 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calculer le nombre de boulons :

\[ \begin{aligned} n &\ge \frac{450 \, \text{kN}}{93.85 \, \text{kN/boulon}} \\ &\ge 4.79 \, \text{boulons} \end{aligned} \]

On arrondit au nombre entier supérieur, et on choisit un nombre pair pour la symétrie :

\[ n = 6 \, \text{boulons} \]
Schéma (Après les calculs)
Nombre de Boulons Requis
n = 6 boulons
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Il faut un minimum de 5 boulons pour reprendre l'effort. Pour des raisons pratiques de symétrie et de montage, on choisira 6 boulons, disposés en 2 rangées de 3. Notre disposition initiale proposée avec 4 boulons par côté (soit 8 au total) est donc largement suffisante de ce point de vue.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais arrondir le nombre de boulons à l'inférieur ! Même si le calcul donne 4.1, il faut en mettre 5 (ou plutôt 6 pour la symétrie). Un boulon manquant peut entraîner une cascade de ruptures.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance d'un assemblage est limitée par le mode de ruine le plus défavorable.
  • Le nombre de boulons est l'effort total divisé par la résistance du "maillon faible".
  • Toujours arrondir le nombre de boulons à l'entier supérieur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le pont du Golden Gate est assemblé par environ 1.2 million de rivets. Lors de sa construction dans les années 1930, des équipes de quatre personnes travaillaient en tandem : un "chauffeur" chauffait le rivet, un "lanceur" le jetait à la bonne personne, un "receveur" l'attrapait dans un cône, et un "riveur" le mettait en place avec un marteau pneumatique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas juste utiliser un très grand nombre de boulons pour être sûr ?

Utiliser trop de boulons n'est pas économique. De plus, un assemblage très long peut entraîner une répartition non uniforme de l'effort entre les boulons (les boulons aux extrémités travaillent plus que ceux du milieu), ce qui rend l'hypothèse de base invalide.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Il est requis un minimum de 6 boulons pour cet assemblage.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'effort \(N_{Ed}\) était de 800 kN, combien de boulons faudrait-il au minimum ?

Question 4 : Vérifier la résistance de la section nette de la semelle de l'IPE (\(N_{net,Rd}\))

Principe (le concept physique)

La présence des trous pour les boulons réduit la section d'acier capable de résister à la traction. On doit vérifier que cette section affaiblie, appelée "section nette", est toujours capable de supporter l'effort appliqué sans rompre. C'est une vérification de la pièce principale, indépendamment des boulons.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance de la section nette est calculée avec la contrainte ultime de l'acier (\(f_u\)) car on vérifie un état de rupture. La formule de l'Eurocode 3 inclut un coefficient de 0.9 pour tenir compte des imperfections et de la concentration de contraintes autour des trous, ainsi que le coefficient de sécurité \(\gamma_{M2}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un assemblage peut être parfaitement dimensionné du point de vue des boulons, mais si l'on a percé trop de trous dans la pièce principale, c'est elle qui cédera. C'est pourquoi cette vérification est une étape non négociable du processus de conception.

Normes (la référence réglementaire)

Cette vérification est prescrite par l'**EN 1993-1-1, section 6.2.3**. Elle s'applique à tous les éléments tendus avec des trous pour des fixations.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance de la section nette :

\[ N_{net,Rd} = \frac{0.9 \cdot A_{net} \cdot f_u}{\gamma_{M2}} \]

Aire de la section nette :

\[ A_{net} = A_{brute} - n_{trous} \cdot d_0 \cdot t \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère la ligne de rupture la plus défavorable, qui est une coupe transversale passant par le plus grand nombre de trous. Dans notre cas, c'est une ligne passant par 2 trous de boulons. Le diamètre du trou (\(d_0\)) est pris égal au diamètre du boulon + 2 mm (\(d_0 = 22\) mm).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profilé IPE 300 : Largeur semelle \(b_f = 150 \, \text{mm}\), épaisseur \(t_f = 10.7 \, \text{mm}\)
  • Nombre de trous dans la section critique, \(n_{trous} = 2\)
  • Diamètre du trou, \(d_0 = 22 \, \text{mm}\)
  • Résistance ultime, \(f_u = 360 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{M2} = 1.25\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord l'aire brute de la semelle (\(b_f \times t_f\)), puis l'aire des trous à déduire. Cela clarifie le calcul de l'aire nette et réduit les risques d'erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Section Nette de la Semelle
Ligne de rupture
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'aire nette de la semelle :

\[ \begin{aligned} A_{net} &= (b_f \cdot t_f) - (n_{trous} \cdot d_0 \cdot t_f) \\ &= (150 \times 10.7) - (2 \times 22 \times 10.7) \\ &= 1605 - 470.8 \\ &= 1134.2 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul de la résistance de la section nette :

\[ \begin{aligned} N_{net,Rd} &= \frac{0.9 \times 1134.2 \, \text{mm}^2 \times 360 \, \text{N/mm}^2}{1.25} \\ &= \frac{367589 \, \text{N}}{1.25} \\ &= 294071 \, \text{N} \\ &= 294.07 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ N_{Ed} = 450 \, \text{kN} > N_{net,Rd} = 294.07 \, \text{kN} \Rightarrow \textbf{NON VÉRIFIÉ} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Section Nette
450 kN > 294 kN : Rupture !
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance de la semelle affaiblie (294 kN) est bien inférieure à l'effort appliqué (450 kN). L'assemblage n'est pas valide. Même si nous avons assez de boulons, la pièce principale elle-même casserait. Cela montre que la disposition des boulons (trop de boulons dans une même section) est aussi importante que leur nombre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier d'utiliser le diamètre du trou (\(d_0\)) et non le diamètre du boulon (\(d\)) pour le calcul de la section nette. Le trou est toujours légèrement plus grand que le boulon pour permettre le montage.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Un assemblage doit être vérifié pour la résistance des fixations ET pour la résistance des pièces assemblées.
  • La section nette est une section critique qui doit toujours être vérifiée en traction.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La rupture du pont de Silver Bridge aux États-Unis en 1967, qui a causé 46 morts, a été initiée par la rupture fragile d'une seule barre à œil en acier à haute résistance, due à une minuscule fissure de corrosion sous contrainte. Cet événement a radicalement changé les réglementations sur l'inspection des ponts et la conception des assemblages critiques.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment pourrait-on rendre cet assemblage valide ?

Plusieurs solutions : utiliser un profilé IPE plus grand avec une semelle plus large et/ou plus épaisse, utiliser de l'acier de nuance supérieure (ex: S355), ou changer la disposition des boulons (par exemple, 3 rangées de 2 boulons au lieu de 2 rangées de 4) pour réduire le nombre de trous dans la section la plus critique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de la section nette de la semelle est \(N_{net,Rd} = 294.07 \, \text{kN}\). L'assemblage n'est pas conforme car \(N_{Ed} > N_{net,Rd}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on ne mettait qu'un seul boulon par ligne (au lieu de 2), quelle serait la nouvelle résistance \(N_{net,Rd}\) en kN ?

Question 5 : Vérifier la résistance de la section nette des couvre-joints

Principe (le concept physique)

De la même manière que la semelle, les couvre-joints sont également soumis à la traction et affaiblis par les trous. Nous devons effectuer la même vérification de la section nette pour les couvre-joints. Comme il y a deux couvre-joints, leur aire nette cumulée doit être capable de résister à l'effort total.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La philosophie de conception des éclissages est que l'éclisse (l'ensemble des couvre-joints et des boulons) doit être au moins aussi résistante que la pièce qu'elle raccorde. Par conséquent, la section nette des couvre-joints doit être supérieure ou égale à la section nette de la pièce principale. C'est une règle de bonne pratique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette dernière vérification boucle la conception. On a vérifié les boulons, la pièce principale, il ne reste plus qu'à vérifier la pièce de raccordement. C'est une étape logique qui assure que chaque composant de l'assemblage a été inspecté.

Normes (la référence réglementaire)

La même norme que pour la question précédente s'applique ici : **EN 1993-1-1, section 6.2.3**.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance de la section nette (pour les 2 couvre-joints) :

\[ N_{net,Rd,cj} = \frac{0.9 \cdot A_{net,cj} \cdot f_u}{\gamma_{M2}} \]

Aire nette des 2 couvre-joints :

\[ A_{net,cj} = 2 \times \left( (b_p \cdot t_p) - (n_{trous} \cdot d_0 \cdot t_p) \right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la largeur des couvre-joints (\(b_p\)) est égale à la largeur de la semelle de l'IPE (\(b_f = 150\) mm). La ligne de rupture critique passe également par 2 trous.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur couvre-joint, \(b_p = 150 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur couvre-joint, \(t_p = 10 \, \text{mm}\)
  • Nombre de couvre-joints = 2
  • Nombre de trous dans la section critique, \(n_{trous} = 2\)
  • Diamètre du trou, \(d_0 = 22 \, \text{mm}\)
  • Résistance ultime, \(f_u = 360 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{M2} = 1.25\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vous pouvez calculer l'aire nette d'un seul couvre-joint, puis multiplier la résistance finale par deux. Cela revient au même et peut parfois simplifier les calculs intermédiaires.

Schéma (Avant les calculs)
Section Nette des Couvre-Joints
2 x Couvre-joints
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'aire nette totale des couvre-joints :

\[ \begin{aligned} A_{net,cj} &= 2 \times [ (150 \times 10) - (2 \times 22 \times 10) ] \\ &= 2 \times [ 1500 - 440 ] \\ &= 2 \times 1060 \\ &= 2120 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul de la résistance :

\[ \begin{aligned} N_{net,Rd,cj} &= \frac{0.9 \times 2120 \, \text{mm}^2 \times 360 \, \text{N/mm}^2}{1.25} \\ &= \frac{686880 \, \text{N}}{1.25} \\ &= 549504 \, \text{N} \\ &= 549.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ N_{Ed} = 450 \, \text{kN} < N_{net,Rd,cj} = 549.5 \, \text{kN} \Rightarrow \textbf{VÉRIFIÉ} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification des Couvre-Joints
450 kN < 549.5 kN : OK
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les couvre-joints sont suffisamment résistants. L'aire nette totale des deux couvre-joints (2120 mm²) est bien supérieure à l'aire nette de la semelle de l'IPE (1134.2 mm²), ce qui est une bonne pratique de conception. Le point faible de l'assemblage reste donc la semelle du profilé principal.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de multiplier par le nombre de couvre-joints (ici, 2). L'effort total se répartit entre les deux plaques, il faut donc sommer leurs résistances.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la section nette doit être effectuée pour toutes les pièces tendues d'un assemblage.
  • La résistance cumulée des pièces d'éclissage doit être supérieure à la résistance de la pièce éclissée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'acier Corten est un type d'acier qui développe une couche de rouille superficielle protectrice lorsqu'il est exposé aux intempéries. Cette "patine" auto-régénérante élimine le besoin de peinture et donne aux structures une apparence distinctive, comme on peut le voir sur de nombreux ponts et sculptures modernes.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la rupture des couvre-joints se faisait en quinconce ?

C'est une excellente question. Si les boulons sont disposés en quinconce, une ligne de rupture peut "zigzagger" entre les trous. L'Eurocode 3 fournit une formule pour calculer l'aire nette pour ces lignes de rupture en quinconce, qui pénalise la section pour chaque changement de direction.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de la section nette des couvre-joints est \(N_{net,Rd,cj} = 549.5 \, \text{kN}\), ce qui est supérieur à l'effort appliqué de 450 kN. Cette partie de l'assemblage est donc valide.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait de l'acier S355 (\(f_u = 490\) MPa) pour les couvre-joints, quelle serait leur nouvelle résistance \(N_{net,Rd,cj}\) en kN ?

Outil Interactif : Simulateur de Dimensionnement d'Éclissage

Variez l'effort et le diamètre des boulons pour voir l'impact sur la sécurité de l'assemblage.

Paramètres d'Entrée
450 kN
Résultats Clés (pour 8 boulons)
Résistance / Boulon (kN) -
Ratio de Travail (Boulons) -
Ratio de Travail (Section Nette) -

Le Saviez-Vous ?

La Tour Eiffel est entièrement construite en fer puddlé, un ancêtre de l'acier moderne, et est assemblée par plus de 2.5 millions de rivets. Pour lutter contre la corrosion, elle est repeinte en moyenne tous les 7 ans, une opération qui nécessite 60 tonnes de peinture et près de 2 ans de travail pour une équipe de 25 peintres.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre un boulon standard et un boulon HR (Haute Résistance) ?

Un boulon standard (ex: classe 4.6) a une résistance mécanique plus faible et est généralement utilisé dans des assemblages non critiques ou travaillant uniquement en cisaillement. Un boulon HR (ex: classe 8.8 ou 10.9) a une résistance beaucoup plus élevée et est conçu pour être mis en précontrainte par serrage contrôlé, ce qui améliore la rigidité de l'assemblage et sa résistance à la fatigue.

Doit-on toujours mettre deux couvre-joints ?

Non, un éclissage peut être réalisé avec un seul couvre-joint. Cependant, cette configuration crée une excentricité de l'effort, ce qui induit un moment de flexion secondaire dans l'assemblage. Un assemblage symétrique avec deux couvre-joints est préférable car l'effort reste centré, ce qui conduit à un comportement plus simple et plus fiable.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on utilise un acier de nuance supérieure (ex: S355 au lieu de S235), quelle résistance est directement améliorée ?

  • La résistance à la pression diamétrale
  • Les deux

2. Dans un assemblage en traction, le "maillon le plus faible" est...

Éclissage
Assemblage de deux pièces de construction dans le prolongement l'une de l'autre, assurant la continuité mécanique.
Cisaillement (Boulon)
Sollicitation qui tend à faire glisser les unes contre les autres deux sections d'une pièce. Dans un boulon, c'est l'effort qui tend à le "cisailler".
Pression Diamétrale
Effort de contact entre le corps du boulon et le bord du trou dans la tôle, qui peut entraîner une ovalisation du trou ou une déchirure de la tôle.
Section Nette
Section transversale d'une pièce dont on a déduit la surface des trous de boulons. C'est la section la plus faible en traction.
Dimensionnement d’un éclissage de membrures en structure métallique

D’autres exercices de structure métallique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *