Calcul de l'Énergie de Déformation

1. Contexte de la MissionPHASE : ÉTUDE D'EXÉCUTION

📝 Situation du Projet

Vous avez intégré le bureau d'études structures (BET) en charge de la conception de la nouvelle passerelle piétonne du "Parc des Sciences". Cette structure, bien que d'apparence simple, doit répondre à des critères stricts de déformabilité et de confort vibratoire. Avant de lancer les simulations numériques complexes par éléments finis, le Chef de Projet exige une validation analytique manuelle des concepts fondamentaux.

Votre tâche spécifique concerne l'analyse énergétique d'une poutre maîtresse en acier sous une charge d'exploitation statique. L'objectif n'est pas seulement de calculer la contrainte maximale, mais de quantifier l'Énergie de Déformation Élastique (U) stockée dans la poutre lors de son chargement. Cette grandeur scalaire est fondamentale car elle permet, via le théorème de Castigliano ou le principe du travail virtuel, de calculer ultérieurement les flèches en tout point de structures hyperstatiques plus complexes.

🎯

Votre Mission :

En tant qu'Ingénieur Structure Junior, vous devez calculer l'énergie interne de déformation (en Joules) emmagasinée par la poutre principale sous une charge ponctuelle centrale, en négligeant l'effort tranchant devant le moment fléchissant.

🗺️ SCHÉMA DE PRINCIPE MÉCANIQUE

Charge Concentrée

Acier S235

Appuis (Rotule & Rouleau)

📌

Note du Responsable Technique :

"Attention à la distinction fondamentale entre le Travail des forces extérieures (W) et l'Énergie interne de déformation (U). Bien que numériquement égaux pour un système conservatif chargé progressivement, ils représentent deux concepts physiques distincts. Vérifiez la cohérence des unités : nous voulons des Joules (J), pas des N.m de moment !"

2. Données Techniques de Référence

L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet. Ces valeurs sont issues du cahier des charges techniques et doivent être utilisées telles quelles pour l'application numérique.

📚 Référentiel Normatif & Théorique

Eurocode 3 (Acier)Théorie des Poutres (Euler-Bernoulli)

⚙️ Caractéristiques Géométriques & Matériaux

GÉOMÉTRIE DE LA SECTION (RECTANGULAIRE)
Largeur de la section	b = 200 mm
Hauteur de la section	h = 400 mm
MATÉRIAU (ACIER STANDARD)
Module de Young (Élasticité)	E = 210 GPa
Comportement	Élastique Linéaire

📐 Géométrie Globale

Portée de la poutre (entre appuis) : L = 8.00 m
Position de la charge : mi-travée (L/2)

⚖️ Sollicitations / Chargement

Charge Ponctuelle (Service)P = 50 kN

Type de chargeStatique & Gravitaire

[VUE TECHNIQUE : SECTION TRANSVERSALE]

Section rectangulaire pleine. L'inertie (I) sera calculée par rapport à l'axe neutre Gz.

📋 Récapitulatif des Données

Donnée	Symbole	Valeur	Unité
Portée	\( L \)	8.00	m
Charge Ponctuelle	\( P \)	50	kN
Module d'Young	\( E \)	210	GPa
Largeur	\( b \)	200	mm
Hauteur	\( h \)	400	mm

E. Protocole de Résolution

Pour garantir la rigueur scientifique de l'analyse, nous suivrons scrupuleusement le cheminement analytique suivant. Cette méthodologie permet de séparer l'analyse statique de l'analyse énergétique.

Analyse Statique (RDM)

Détermination des réactions d'appuis et établissement de l'équation du Moment Fléchissant \( M_{\text{f}}(x) \) le long de la poutre par la méthode des coupures.

Formulation Énergétique

Expression littérale de l'intégrale de l'énergie de déformation élastique en flexion pure, basée sur le carré du moment fléchissant.

Intégration Analytique

Résolution mathématique de l'intégrale sur la longueur de la poutre pour obtenir une formule littérale fermée de type \( U = f(P, L, E, I) \).

Calcul & Validation

Calcul numérique de l'inertie \( I \), application numérique finale en Joules, et vérification de la cohérence par le calcul du travail des forces extérieures (Théorème de Clapeyron).

CORRECTION

Calcul de l’Énergie de Déformation

Détermination du Moment Fléchissant \( M_{\text{f}}(x) \)

🎯 Objectif

L'objectif primordial de cette étape est de modéliser mathématiquement la distribution des efforts internes le long de la poutre. Plus précisément, nous cherchons à établir l'équation du moment fléchissant \( M_{\text{f}}(x) \). Cette fonction est la pierre angulaire de notre étude car l'énergie de déformation dépend directement de l'intensité locale de la flexion. Sans une expression analytique précise du moment, l'intégration énergétique est impossible.

📚 Référentiel

Statique des SolidesConvention des Efforts de CohésionPrincipe Fondamental de la Statique (PFS)

🧠 Réflexion de l'Ingénieur

Avant de se lancer dans des calculs complexes, observons la géométrie et le chargement. Nous avons une poutre simple sur deux appuis avec une charge parfaitement centrée. Il s'agit d'un système isostatique symétrique. Cette symétrie est une aubaine : elle implique que les réactions aux appuis sont identiques (chacun reprend la moitié de la charge) et que la distribution des efforts dans la moitié gauche de la poutre est l'image miroir de celle de droite. Stratégiquement, nous allons donc nous concentrer sur l'étude de l'intervalle \( [0, L/2] \), ce qui réduira par deux le volume de calculs d'intégration par la suite.

📘 Rappel Théorique : La Méthode des Coupures

Pour déterminer les efforts internes à une distance \( x \) de l'origine, on effectue une coupure virtuelle de la poutre. On isole ensuite un tronçon (généralement celui de gauche pour simplifier les signes). Pour satisfaire l'équilibre statique de ce tronçon isolé, on doit introduire des forces et moments internes au niveau de la section coupée : ce sont les éléments de réduction du torseur de cohésion (Effort Normal N, Effort Tranchant T, Moment Fléchissant \( M_{\text{f}} \)). Le PFS appliqué à ce tronçon permet de calculer ces inconnues.

Schéma de la coupure fictive : équilibre entre la réaction R_A et les efforts internes.

📐 Équilibre des Moments

L'équilibre en rotation du tronçon isolé par rapport au point de coupure G s'écrit :

\[ \sum \mathcal{M}_{\text{G}}(\vec{F}_{\text{ext}}) + \vec{M}_{\text{f}} = \vec{0} \]

Où \( \vec{M}_{\text{f}} \) est le moment de flexion interne cherché.

📋 Données d'Entrée pour cette étape

Paramètre	Valeur
Charge Totale	\( P \) (Variable littérale)
Longueur Totale	\( L \) (Variable littérale)
Condition aux limites	Appuis simples en A (x=0) et B (x=L)

💡 Astuce d'Expert

Dans les problèmes symétriques, vérifiez toujours vos équations aux bornes. Ici, pour \( x=0 \) (appui), le moment doit être nul (car appui simple = pivot parfait). Pour \( x=L/2 \) (centre), le moment doit être maximum. Si vos équations ne donnent pas 0 en x=0, revoyez votre bras de levier !

📝 Résolution Analytique

1. Calcul des Réactions d'Appuis

Nous appliquons le théorème de la résultante statique sur l'axe vertical pour l'ensemble de la poutre. La symétrie parfaite de la géométrie et du chargement nous permet de poser immédiatement l'égalité des réactions \( R_{\text{A}} = R_{\text{B}} \).

\[ \begin{aligned} R_{\text{A}} + R_{\text{B}} - P &= 0 \\ R_{\text{A}} &= R_{\text{B}} \\ \Rightarrow 2R_{\text{A}} &= P \\ R_{\text{A}} &= \frac{P}{2} \end{aligned} \]

Chaque appui reprend donc la moitié de la charge, ce qui est physiquement intuitif.

2. Établissement de l'équation du Moment (Zone \( 0 < x < L/2 \))

Isolons le tronçon gauche de longueur \( x \). Les forces en présence sont la réaction \( R_{\text{A}} \) ascendante et les efforts de cohésion. Écrivons l'équilibre des moments au point de coupure \( G \) (abscisse \( x \)). Le moment de la réaction \( R_{\text{A}} \) vaut \( -R_{\text{A}} \cdot x \) (sens horaire, négatif) et le moment de cohésion \( M_{\text{f}} \) est positif (sens trigo).

\[ \begin{aligned} M_{\text{f}}(x) - R_{\text{A}} \cdot x &= 0 \\ M_{\text{f}}(x) &= R_{\text{A}} \cdot x \\ M_{\text{f}}(x) &= \frac{P}{2} \cdot x \end{aligned} \]

On obtient une fonction linéaire du premier degré : le moment croît proportionnellement à la distance depuis l'appui.

✅ Interprétation Globale

Nous avons réussi à caractériser l'état de sollicitation de la poutre. Le moment fléchissant suit une loi linéaire simple \( M_{\text{f}}(x) = \frac{P}{2}x \). Cela signifie que la courbure de la poutre augmentera progressivement depuis les appuis jusqu'au centre. C'est cohérent avec l'observation visuelle d'une poutre qui "plie" davantage en son milieu.

⚖️ Analyse de Cohérence

Vérifions les bornes :

Si \( x = 0 \):

\[ \begin{aligned} M_{\text{f}} = \frac{P}{2} \times 0 = 0 \end{aligned} \]

Si \( x = L/2 \) :

\[ \begin{aligned} M_{\text{f}} = \frac{P}{2} \times \frac{L}{2} = \frac{PL}{4} \end{aligned} \]

C'est cohérent avec un appui simple (moment nul) et la valeur standard au centre.

⚠️ Points de Vigilance

Attention à ne pas extrapoler cette équation au-delà de \( x=L/2 \). Passé la charge centrale, l'équation change car le bras de levier de la force P intervient. Cependant, grâce à la symétrie, nous n'aurons pas besoin de calculer l'équation pour \( x > L/2 \).

Formulation de l'Intégrale Énergétique

🎯 Objectif

L'objectif de cette étape est de construire l'expression intégrale qui représente l'énergie totale stockée. Nous devons traduire physiquement le concept de "travail interne" en une formulation mathématique exploitable. Il s'agit de passer d'une grandeur locale (le moment \( M_{\text{f}}(x) \) défini précédemment) à une grandeur scalaire globale (l'énergie \( U \)) en sommant les contributions infinitésimales sur toute la longueur de la structure.

📚 Référentiel

Théorème de l'Énergie Potentielle ÉlastiqueHypothèse de Navier-Bernoulli

🧠 Réflexion de l'Ingénieur

Une poutre se déforme principalement par flexion, mais aussi légèrement par cisaillement. Dans les calculs d'ingénierie courante pour des poutres élancées (où la longueur est au moins 10 fois supérieure à la hauteur), l'énergie due au cisaillement est minime (souvent < 2%). Pour optimiser notre temps de calcul sans sacrifier la précision significative, nous choisirons de négliger le cisaillement. Nous allons donc formuler l'intégrale uniquement sur la base du moment fléchissant carré. De plus, nous exploiterons la symétrie identifiée en étape 1 pour intégrer sur une demi-poutre et doubler le résultat.

📘 Rappel Théorique : Énergie de Déformation

L'énergie de déformation \( U \) est définie comme le travail des contraintes internes lors de la mise en charge. Pour un élément de poutre de longueur \( dx \), l'énergie élémentaire de flexion est :

\[ \begin{aligned} \text{d}U &= \frac{1}{2} M_{\text{f}} \cdot \text{d}\theta \end{aligned} \]

En utilisant la relation moment-courbure \( M_{\text{f}} = EI \frac{\text{d}\theta}{\text{d}x} \), on aboutit à la forme quadratique classique.

📐 Formule Intégrale de l'Énergie de Flexion

L'énergie totale est la somme des énergies élémentaires sur toute la longueur L :

\[ U = \int_{0}^{L} \frac{M_{\text{f}}(x)^2}{2EI} \, \text{d}x \]

Avec \( E \) le module de Young et \( I \) l'inertie de la section.

📋 Données d'Entrée pour cette étape

Paramètre	Expression
Moment \( M_{\text{f}}(x) \)	\( \frac{P}{2}x \)
Bornes d'intégration	de 0 à L/2 (grâce à la symétrie)

💡 Astuce d'Expert

N'oubliez jamais le facteur \( 2 \) devant l'intégrale si vous n'intégrez que sur la moitié de la poutre ! C'est une erreur classique qui divise le résultat final par deux. Notez aussi que le terme \( 2EI \) au dénominateur est une constante pour une poutre prismatique, on peut donc le sortir de l'intégrale pour alléger l'écriture.

📝 Mise en équation

1. Adaptation de la formule générale

Nous remplaçons l'intégration sur [0, L] par deux fois l'intégration sur [0, L/2]. Le facteur 2 devant l'intégrale va se simplifier avec le 2 du dénominateur \( 2EI \), il ne restera que \( EI \) au dénominateur.

\[ \begin{aligned} U &= \int_{0}^{L} \frac{M_{\text{f}}(x)^2}{2EI} \, \text{d}x \\ &= 2 \times \int_{0}^{L/2} \frac{M_{\text{f}}(x)^2}{2EI} \, \text{d}x \\ &= \int_{0}^{L/2} \frac{M_{\text{f}}(x)^2}{EI} \, \text{d}x \end{aligned} \]

La formule est simplifiée, le facteur 1/2 a disparu.

2. Injection de l'équation du moment

On remplace \( M_{\text{f}}(x) \) par son expression \( \frac{P}{2}x \) trouvée à la question 1. Nous élevons ensuite ce terme au carré : \( (P/2)^2 = P^2/4 \) et \( x \) devient \( x^2 \).

\[ \begin{aligned} U &= \frac{1}{EI} \int_{0}^{L/2} \left( \frac{P}{2} x \right)^2 \, \text{d}x \\ &= \frac{1}{EI} \int_{0}^{L/2} \frac{P^2}{4} x^2 \, \text{d}x \end{aligned} \]

L'expression est maintenant prête à être intégrée mathématiquement.

✅ Interprétation Globale

Nous avons transformé un problème physique en un problème purement mathématique. Nous avons une intégrale définie d'une fonction polynomiale simple (un carré). Tout est en place pour la résolution.

⚖️ Analyse de Cohérence

L'intégrale porte sur un terme au carré. Cela garantit que l'énergie sera toujours positive, quel que soit le signe du moment (flexion positive ou négative). C'est cohérent : une énergie ne peut pas être négative.

⚠️ Points de Vigilance

Vérifiez bien que le module \( EI \) est constant. Si la poutre avait une section variable (inertie I variable selon x), nous n'aurions pas pu sortir I de l'intégrale, et le calcul aurait été beaucoup plus complexe.

Calcul de l'Intégrale (Résolution Littérale)

🎯 Objectif

Nous allons maintenant procéder à la résolution mathématique de l'intégrale posée. Le but est d'obtenir une formule littérale "fermée" (une équation finale) qui donne l'énergie \( U \) en fonction des variables d'entrée \( P, L, E, I \). Cette formule générale sera réutilisable pour n'importe quelle poutre ayant les mêmes conditions aux limites.

📚 Référentiel

Calcul IntégralPrimitives Usuelles

🧠 Réflexion de l'Ingénieur

L'intégrale porte sur la variable de position \( x \). Toutes les autres grandeurs (\( P, E, I \)) sont des constantes indépendantes de \( x \). La stratégie est simple : sortir toutes les constantes devant le signe intégral pour ne laisser à l'intérieur que la fonction de \( x \). Nous identifierons ensuite une primitive de type polynôme pour résoudre l'intégrale définie entre 0 et L/2.

📘 Rappel Théorique : Primitive d'une puissance

La primitive d'une fonction puissance \( f(x) = x^n \) est donnée par :

\[ \begin{aligned} F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{aligned} \]

Dans notre cas, nous aurons à intégrer \( x^2 \), dont la primitive est donc :

\[ \begin{aligned} F(x) = \frac{x^3}{3} \end{aligned} \]

Le calcul d'une intégrale définie entre deux bornes a et b est ensuite :

\[ \begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x)\text{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \end{aligned} \]

Visualisation : L'intégrale correspond à l'aire sous la courbe du moment au carré.

📐 Formule de Newton-Leibniz

Application fondamentale du calcul intégral :

\[ \int_{a}^{b} k \cdot x^2 \, \text{d}x = k \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{a}^{b} \]

Avec \( k \) une constante quelconque.

📋 Données d'Entrée pour cette étape

Élément	Expression
Intégrande	\( \frac{P^2}{4EI} x^2 \)
Borne sup	\( L/2 \)
Borne inf	\( 0 \)

💡 Astuce d'Expert

Faites très attention aux puissances lors de l'évaluation de la borne supérieure \( (L/2)^3 \). N'oubliez pas que le cube s'applique aussi au dénominateur 2 ! \( (L/2)^3 = L^3 / 8 \). C'est une source d'erreur fréquente qui fausse le résultat d'un facteur 8.

📝 Résolution Pas à Pas

1. Extraction des constantes

Nous sortons le terme constant \( \frac{P^2}{4EI} \) de l'intégrale pour isoler la variable \( x \).

\[ \begin{aligned} U &= \int_{0}^{L/2} \frac{P^2}{4EI} x^2 \, \text{d}x \\ &= \frac{P^2}{4EI} \int_{0}^{L/2} x^2 \, \text{d}x \end{aligned} \]

2. Calcul de la primitive

Nous intégrons \( x^2 \) entre 0 et L/2. Le terme \( (L/2)^3 \) devient \( L^3/8 \). Le terme \( 0^3/3 \) vaut zéro.

\[ \begin{aligned} \int_{0}^{L/2} x^2 \, \text{d}x &= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{L/2} \\ &= \frac{(L/2)^3}{3} - \frac{0^3}{3} \\ &= \frac{L^3 / 8}{3} \\ &= \frac{L^3}{24} \end{aligned} \]

3. Assemblage final

Nous multiplions la constante par le résultat de l'intégrale. Les dénominateurs 4 et 24 se multiplient pour donner 96.

\[ \begin{aligned} U &= \frac{P^2}{4EI} \times \frac{L^3}{24} \\ &= \frac{P^2 L^3}{96 EI} \end{aligned} \]

Voici la formule "Magique" pour ce cas de charge spécifique.

✅ Interprétation Globale

Le résultat \( \frac{P^2 L^3}{96 EI} \) est très instructif. Il montre que l'énergie est proportionnelle au carré de la charge (relation non-linéaire force-énergie) et surtout au cube de la portée. Cela confirme que l'augmentation de la portée est extrêmement coûteuse en termes de flexibilité et d'énergie emmagasinée.

⚖️ Analyse de Cohérence Dimensionnelle

Vérifions les unités :

\[ \begin{aligned} \frac{\text{N}^2 \cdot \text{m}^3}{\text{N} \cdot \text{m}^2} = \text{N} \cdot \text{m} = \text{Joule} \end{aligned} \]

L'équation est homogène à une énergie (ou un travail). C'est correct.

⚠️ Points de Vigilance

Cette formule n'est valable QUE pour une charge ponctuelle centrée. Si la charge était répartie uniformément (type poids propre), la forme de l'équation serait différente (avec un facteur différent au dénominateur, souvent 240EI ou autre). Ne pas appliquer cette formule à l'aveugle pour d'autres cas de charges.

Application Numérique & Vérification

🎯 Objectif

C'est l'heure de vérité. Nous allons injecter les valeurs numériques réelles de notre passerelle dans la formule littérale pour obtenir une valeur concrète en Joules. Ensuite, pour être certains de notre résultat, nous allons utiliser une méthode totalement différente (le travail de la force extérieure) pour vérifier si nous retombons sur la même valeur. C'est une démarche de "double contrôle" essentielle en ingénierie.

📚 Référentiel

Système International (SI)Théorème de Clapeyron

🧠 Réflexion de l'Ingénieur

Le piège principal ici réside dans les unités. Les plans d'architecte sont en millimètres (mm), les charges en kilo-Newtons (kN) et le module d'Young en Giga-Pascals (GPa). Si on mélange ces unités, le résultat sera faux de plusieurs ordres de grandeur. La stratégie impérative est de tout convertir en unités de base SI (Mètres, Newtons, Pascals) AVANT de faire le moindre calcul. De plus, il faut d'abord calculer l'inertie de la section \( I \) car elle n'est pas donnée directement.

📘 Rappel Théorique : Inertie Rectangulaire

Le moment quadratique (inertie) d'une section rectangulaire pleine de largeur \( b \) et de hauteur \( h \) par rapport à son axe de flexion principal est donné par :

\[ \begin{aligned} I = \frac{b \cdot h^3}{12} \end{aligned} \]

C'est la capacité géométrique de la section à résister à la flexion.

La force augmente linéairement avec le déplacement. L'énergie est l'aire du triangle.

📐 Travail des Forces Extérieures

Le travail W d'une force statique P qui provoque un déplacement \(\delta\) est :

\[ W = \frac{1}{2} P \cdot \delta \]

Le facteur 1/2 vient du fait que la charge est appliquée progressivement (de 0 à P).

📋 Données d'Entrée (Converties SI)

Paramètre	Valeur Brute	Valeur SI
Largeur b	200 mm	0.2 m
Hauteur h	400 mm	0.4 m
Charge P	50 kN	50 000 N
Module E	210 GPa	210 000 000 000 Pa

💡 Astuce d'Expert

Pour le module d'Young, retenez que \( 210 \text{ GPa} = 2.1 \times 10^{11} \text{ Pa} \). Utiliser la notation scientifique sur votre calculatrice évite les erreurs de saisie de zéros.

📝 Application Numérique

1. Calcul de l'Inertie I

Calculons la rigidité géométrique de la section. Le cube de 0.4 est :

\[ \begin{aligned} 0.4 \times 0.4 \times 0.4 = 0.064 \end{aligned} \]

Le calcul de l'inertie donne :

\[ \begin{aligned} I &= \frac{0.2 \cdot (0.4)^3}{12} \\ &= \frac{0.2 \cdot 0.064}{12} \\ &= 1.0667 \times 10^{-3} \text{ m}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul de l'Énergie U

Injection dans la formule finale trouvée en Q3. Nous simplifions les puissances de 10 :

\[ \begin{aligned} (5 \times 10^4)^2 = 25 \times 10^8 \end{aligned} \]

Le calcul global est :

\[ \begin{aligned} U &= \frac{(50\,000)^2 \times 8^3}{96 \times (2.1 \times 10^{11}) \times (1.0667 \times 10^{-3})} \\ &= \frac{25 \times 10^8 \times 512}{2.15 \times 10^{10}} \\ &= 59.52 \text{ J} \end{aligned} \]

L'énergie stockée est d'environ 60 Joules.

3. Vérification par Clapeyron

Calculons d'abord la flèche théorique \( \delta = \frac{PL^3}{48EI} \), puis le travail.

\[ \begin{aligned} \delta &= \frac{50\,000 \times 512}{48 \times 2.1 \times 10^{11} \times 1.0667 \times 10^{-3}} = 0.00238 \text{ m} \\ W &= \frac{1}{2} \times 50\,000 \times 0.00238 \\ &= 59.52 \text{ J} \end{aligned} \]

Les deux méthodes donnent exactement le même résultat !

✅ Interprétation Globale

La validation croisée est un succès total. Nous avons démontré que l'intégrale du moment fléchissant correspond parfaitement au travail de la force extérieure. Cela valide non seulement notre calcul d'intégrale, mais aussi nos hypothèses de modélisation (négligence du cisaillement pour le calcul de la flèche, comportement élastique).

⚖️ Analyse de Cohérence

Une flèche de 2.38 mm pour une poutre de 8m chargée à 5 tonnes est très faible (L/3300), ce qui indique une poutre très rigide. L'énergie de 60 Joules est également faible (c'est l'énergie nécessaire pour soulever 6 kg d'un mètre). C'est cohérent avec une structure en acier massive en petites déformations.

⚠️ Points de Vigilance

Ne jamais oublier le facteur 1/2 dans le calcul du travail :

\[ \begin{aligned} W = \frac{1}{2} P \cdot \delta \end{aligned} \]

Oublier ce facteur reviendrait à supposer que la charge est appliquée brutalement (dynamique), ce qui doublerait la contrainte et l'énergie !

📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)

VALIDÉ

BET
STRUCT

Projet : Passerelle Piétonne "Newton"

NOTE DE CALCULS - ÉNERGIE DE DÉFORMATION

Affaire :RDM-04

Phase :EXE

Date :10/10/2023

Indice :B

Ind.	Date	Objet de la modification	Rédacteur
A	01/10/23	Création du document / Première diffusion	Ing. Junior
B	10/10/23	Validation calculs énergétiques	Ing. Principal

1. Hypothèses & Données d'Entrée

1.1. Référentiel Normatif

Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
Eurocode 3 : Calcul des structures en acier (EN 1993-1-1)

1.2. Matériaux & Géométrie

Charge (P)	50.00 kN (ELS)
Portée (L)	8.00 m
Rigidité Flexionnelle (EI)	224 007 kNm²

2. Note de Calculs Synthétique

Calcul de l'énergie potentielle élastique (U) sous charge centrée.

2.1. Formule Analytique

Expression littérale :U = (P²L³) / (96EI)

Numérateur (Force² x Longueur³) :1.28 x 10^12

Dénominateur (96 x Rigidité) :2.15 x 10^10

Énergie Calculée (U) :59.52 Joules

2.2. Vérification (Méthode de Clapeyron)

Travail Extérieur (W = 1/2 P.f) :59.52 Joules

Écart / Erreur :0.00 % (Conforme)

3. Conclusion & Décision

DÉCISION TECHNIQUE

✅ RÉSULTATS VALIDÉS

L'énergie de déformation est confirmée par double approche. Modèle prêt pour l'analyse dynamique.

4. Bilan Énergétique Visuel

Rédigé par :
J. MARTIN

Vérifié par :
P. DUBOIS (Chef BET)

VISA DE CONTRÔLE

Titre de l'article...

Calcul de l’Énergie de Déformation

📝 Situation du Projet

📚 Référentiel Normatif & Théorique

📐 Géométrie Globale

⚖️ Sollicitations / Chargement

E. Protocole de Résolution

Analyse Statique (RDM)

Formulation Énergétique

Intégration Analytique

Calcul & Validation

Calcul de l’Énergie de Déformation

🎯 Objectif

📚 Référentiel

📋 Données d'Entrée pour cette étape

📝 Résolution Analytique

✅ Interprétation Globale

🎯 Objectif

📚 Référentiel

📋 Données d'Entrée pour cette étape

📝 Mise en équation

✅ Interprétation Globale

🎯 Objectif

📚 Référentiel

📋 Données d'Entrée pour cette étape

📝 Résolution Pas à Pas

✅ Interprétation Globale

🎯 Objectif

📚 Référentiel

📋 Données d'Entrée (Converties SI)

📝 Application Numérique

✅ Interprétation Globale

📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)

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🎯 Objectif

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📝 Mise en équation

✅ Interprétation Globale

🎯 Objectif

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📋 Données d'Entrée pour cette étape

📝 Résolution Pas à Pas

✅ Interprétation Globale

🎯 Objectif

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✅ Interprétation Globale

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