Calcul de flèche d’une poutre
📝 Situation du Projet
Vous avez intégré le prestigieux bureau d'études "Structure & Innovation" en tant qu'ingénieur calculateur junior. Le projet actuel concerne la construction d'une nouvelle technopole dédiée aux énergies renouvelables. L'architecte a imaginé une passerelle légère, aérienne et métallique, reliant le bâtiment administratif (Bâtiment A) au laboratoire de recherche (Bâtiment B), permettant aux chercheurs de circuler librement sans passer par l'extérieur. Cet ouvrage doit marquer les esprits par sa légèreté visuelle tout en garantissant une sécurité absolue.
Cette passerelle, d'une portée de 8 mètres, est constituée de deux poutres principales en acier (profilés IPE) supportant un platelage en caillebotis. Pour des raisons esthétiques, l'architecte impose une finesse maximale des poutres, mais le maître d'ouvrage s'inquiète du confort des usagers : la passerelle ne doit pas "danser" ou fléchir visiblement lors du passage de groupes de piétons. Votre responsable, l'ingénieur en chef, a pré-dimensionné la structure à la rupture (ELU) pour s'assurer qu'elle ne s'effondrera pas, mais il vous confie la tâche critique de vérifier la déformée en service (ELS). C'est une étape décisive : si la flèche est trop importante, l'ouvrage sera perçu comme "peu sûr" par le public, ce qui serait désastreux pour l'image de la technopole.
En tant qu'Ingénieur Structure, vous devez vérifier le critère de flèche de la poutre principale. Vous devez calculer la déformation maximale théorique sous les charges de service et la comparer à la limite réglementaire de confort imposée par l'Eurocode. Une note de calcul détaillée et pédagogique est attendue pour justifier vos choix auprès de l'architecte.
"Attention, ne confondez pas ELU (État Limite Ultime) et ELS (État Limite de Service). Ici, nous ne cherchons pas à savoir si la poutre va casser, mais si elle va trop se déformer. Soyez rigoureux sur les unités, l'inertie sera grande !"
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet. Ces données ne sont pas le fruit du hasard mais résultent d'une analyse précise du besoin et des contraintes du site.
📚 Référentiel Normatif & Standards
Tout projet de génie civil en Europe doit se conformer aux Eurocodes. Pour cette passerelle, nous nous référons spécifiquement à l'Eurocode 3 qui régit les structures en acier. Nous utiliserons également les principes de la Résistance des Matériaux (RDM) classique pour les calculs de déformée.
Pour garantir une rigidité suffisante sans alourdir la structure inutilement, le choix s'est porté sur un Acier S235 standard. C'est un acier de construction courant, soudable et ductile. Le profilé retenu est un IPE 300 (poutre en I à ailes parallèles), sélectionné pour son excellent rapport inertie/poids dans le sens de la flexion forte.
| ACIER DE CONSTRUCTION S235 | |
| Module de Young (Elasticité) | 210 GPa (210 000 MPa) |
| PROFILÉ IPE 300 (Données catalogue ArcelorMittal) | |
| Hauteur de section (h) | 300 mm |
| Largeur (b) | 150 mm |
| Moment quadratique (Inertie Iy) | 8 356 cm⁴ |
📐 Géométrie et Hypothèses
La passerelle est modélisée comme une poutre isostatique simple sur deux appuis (modèle de poutre bi-appuyée). La portée de calcul est la distance entre les axes des appareils d'appui.
- Portée de calcul L : 8.00 m
- Type d'appuis : Isostatique (Appui simple + Articulation)
⚖️ Charges Appliquées (Linéaires)
Les charges ont été évaluées par métré. La charge permanente inclut le poids propre de l'acier et du platelage bois. La charge d'exploitation correspond à une foule compacte de piétons, conformément à l'Eurocode 1.
E. Protocole de Résolution
Pour valider la structure vis-à-vis du confort des usagers, nous allons suivre une démarche rigoureuse en 4 étapes.
Combinaison des Charges (ELS)
Déterminer la charge linéique totale \( q \) à prendre en compte pour une vérification de service.
Conversion des Propriétés Géométriques
Convertir l'inertie du profilé IPE 300 dans le système d'unités international (mètre) pour assurer la cohérence des calculs.
Calcul de la Flèche Maximale
Appliquer la formule de la RDM pour une poutre isostatique chargée uniformément afin d'obtenir la déformation théorique.
Vérification Normative
Comparer la flèche calculée à la limite admissible \( L/300 \) pour valider ou rejeter la conception.
Calcul de flèche d’une poutre
🎯 Objectif
L'objectif premier de cette étape est de synthétiser les différentes actions mécaniques agissant sur la passerelle pour obtenir une valeur unique de chargement linéaire, notée \( q_{\text{ser}} \). Cette valeur servira de donnée d'entrée fondamentale pour tous les calculs de déformation ultérieurs. Il est primordial de bien distinguer les combinaisons de charges à l'État Limite Ultime (ELU), qui visent à prévenir la rupture, des combinaisons à l'État Limite de Service (ELS), qui nous concernent ici et visent à garantir le confort et l'aspect visuel de l'ouvrage.
📚 Référentiel
Eurocode 0 (EN 1990) : Bases de calcul des structuresDans la pratique, une structure n'est jamais soumise à une seule force isolée. Elle subit son propre poids en permanence (charges permanentes \( G \)), et de manière ponctuelle, le poids des utilisateurs (charges d'exploitation \( Q \)). La question cruciale est : "Comment additionner ces charges ?". Pour vérifier si la poutre va casser, on applique des coefficients de sécurité (ex: on multiplie les charges par \( 1.35 \) ou \( 1.5 \)). Mais ici, pour vérifier la flèche (déformation réelle visible), on se place dans les conditions d'utilisation quotidienne. On n'applique donc généralement pas de majoration de sécurité. On cherche la "réalité physique" probable. La combinaison caractéristique (somme simple) est souvent retenue pour les vérifications de flèche standard, car elle représente un scénario de chargement plein mais réaliste.
L'Eurocode définit trois types de combinaisons à l'ELS : la combinaison caractéristique (pour les dommages irréversibles), la combinaison fréquente (pour les dommages réversibles) et la combinaison quasi-permanente (pour les effets à long terme comme le fluage). Pour une vérification de flèche standard sur une passerelle métallique (matériau ne fluant pas à température ambiante), la combinaison caractéristique est la référence la plus courante pour s'assurer du confort immédiat sous charge maximale. La formule est donc une simple addition vectorielle des charges.
Principe de superposition des charges à l'État Limite de Service
📋 Données d'Entrée
| Type de Charge | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Permanente (Poids Propre + Caillebotis) | \( G \) | \( 3.10 \text{ kN/m} \) |
| Exploitation (Foule piétonne) | \( Q \) | \( 2.00 \text{ kN/m} \) |
Avant de calculer, vérifiez toujours l'homogénéité des unités. Ici, les deux charges sont données en "kiloNewtons par mètre linéaire" (\( \text{kN/m} \)). Elles sont donc compatibles et peuvent être additionnées directement. Si l'une était en \( \text{kN} \) (force ponctuelle) et l'autre en \( \text{kN/m} \), l'addition serait impossible sans conversion préalable.
📝 Calcul Détaillé
Nous procédons maintenant au calcul effectif de la charge de service. Cette valeur agrégée représentera l'intensité de la force qui appuie sur chaque mètre de la poutre lorsque la passerelle est pleine.
1. Sommation des charges caractéristiques :
Nous additionnons simplement la composante permanente et la composante variable, sans coefficient de pondération supérieur à 1. Cette manipulation correspond à une superposition linéaire des effets.
Interprétation : La charge totale de service est de \( 5.10 \text{ kN/m} \). Cela signifie que chaque mètre de poutre doit supporter environ \( 510 \text{ kg} \).
✅ Interprétation Globale
Nous avons déterminé que la structure devra être capable de résister à une charge linéique de \( 5.10 \text{ kN/m} \) sans se déformer de manière excessive. Cette valeur est le "moteur" de la déformation : plus elle est élevée, plus la flèche sera importante. C'est cette valeur exacte qui sera injectée dans la formule de la RDM à l'étape 3.
Est-ce logique ? \( 5.10 \text{ kN/m} \) correspond à une demi-tonne par mètre. Pour une passerelle métallique capable d'accueillir une foule compacte, c'est un ordre de grandeur tout à fait standard. Une valeur de \( 0.5 \text{ kN/m} \) aurait été suspecte (trop léger), et \( 50 \text{ kN/m} \) aurait indiqué un ouvrage de génie civil lourd (pont routier).
Ne jamais utiliser cette valeur \( q_{\text{ser}} \) pour vérifier la résistance à la rupture de la poutre ! Pour la résistance, il faudrait utiliser la combinaison ELU. L'utilisation de la mauvaise charge est une cause fréquente de sous-dimensionnement ou de sur-dimensionnement.
🎯 Objectif
Cette étape est purement mathématique mais absolument critique. Nous devons convertir les propriétés géométriques de la section (le moment d'inertie \( I_y \)) fournies par le catalogue fournisseur en unités du Système International (mètres). Sans cette conversion, l'application numérique dans la formule de la flèche sera mathématiquement fausse.
📚 Référentiel
Système International d'unités (SI)C'est ici que se joue la fiabilité du calcul. Les fabricants d'acier (comme ArcelorMittal) fournissent des catalogues où les dimensions sont en millimètres (\( \text{mm} \)) et les inerties en centimètres à la puissance 4 (\( \text{cm}^4 \)), car ce sont des unités "à taille humaine" et faciles à lire. Cependant, les formules de la physique (RDM) utilisent le Pascal (Newton/\( \text{m}^2 \)) pour le module d'élasticité. Pour être cohérent, il faut impérativement que l'inertie soit exprimée en \( \text{m}^4 \). Mélanger des \( \text{cm}^4 \) avec des Pascals conduirait à une erreur d'un facteur 100 millions !
Le facteur de conversion est lié à la dimension physique de la grandeur. Une longueur se convertit avec un facteur \( 100 \).
Une aire avec un facteur \( 100^2 \). Une inertie (ou moment quadratique) a la dimension d'une longueur à la puissance 4 (\( L^4 \)). Le facteur de conversion est donc \( 100^4 \).
Pour passer de l'unité catalogue (\( \text{cm}^4 \)) à l'unité SI (\( \text{m}^4 \)), il faut diviser par \( 10^8 \), soit multiplier par \( 10^{-8} \).
Section du profilé et axes d'inertie
Relation fondamentale de changement d'unité pour les moments quadratiques.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur Catalogue |
|---|---|
| Inertie de flexion forte (\( I_y \)) | \( 8\,356 \text{ cm}^4 \) |
Pour éviter les erreurs de saisie sur calculatrice (compter les zéros), utilisez toujours la notation scientifique (touche EXP ou \( 10^x \)). Écrivez \( 8356\text{E}-8 \) plutôt que \( 0.00008356 \).
📝 Calcul Détaillé
Nous appliquons le facteur multiplicatif à la valeur brute issue du catalogue technique.
1. Conversion en mètres puissance 4 :
Opération de changement d'échelle : on remplace \( \text{cm}^4 \) par \( (10^{-2} \text{m})^4 \), ce qui donne bien \( 10^{-8} \text{m}^4 \).
Interprétation : La valeur numérique devient très petite, ce qui est normal car \( 1 \) mètre puissance 4 représente une inertie colossale (celle d'un carré plein de \( 1 \text{ m} \times 1 \text{ m} \)).
✅ Interprétation Globale
Nous disposons désormais d'une valeur d'inertie compatible avec les autres grandeurs du problème (longueur en mètres, module de Young en Pascals). Cette étape de "nettoyage" des données est invisible mais indispensable pour garantir la justesse du résultat final.
L'ordre de grandeur est correct. Une inertie de \( 10^{-5} \text{ m}^4 \) est typique pour un profilé métallique de taille moyenne. Une valeur de \( 10^{-2} \) ou \( 10^{-9} \) aurait signalé une erreur de conversion.
Assurez-vous d'avoir sélectionné la bonne inertie dans le catalogue ! Un profilé IPE possède deux inerties : \( I_y \) (axe fort) et \( I_z \) (axe faible). Pour une poutre fléchissant verticalement, c'est toujours l'inertie la plus grande (\( I_y \)) qui travaille. Prendre \( I_z \) par erreur conduirait à surestimer la flèche de manière dramatique (la poutre semblerait molle comme un spaghetti).
🎯 Objectif
C'est le cœur de l'exercice. Nous allons maintenant calculer la valeur physique précise du déplacement vertical maximal de la poutre (la "flèche") au milieu de sa portée. Il s'agit de transformer des forces (Newton), des géométries (mètres) et des rigidités (Pascals) en une distance concrète (millimètres) que l'on pourrait mesurer avec un mètre ruban sur le chantier.
📚 Référentiel
Théorie des Poutres (Euler-Bernoulli)Nous sommes face au "cas d'école" absolu de la Résistance des Matériaux : une poutre sur deux appuis simples soumise à une charge uniforme. Dans cette configuration, la poutre se courbe pour former une parabole symétrique. Le déplacement est nul aux appuis (par définition) et maximal exactement au centre (à \( x = L/2 \)). La formule qui régit ce déplacement est connue sous le nom de "5/384". C'est une formule puissante mais dangereuse : elle contient des termes à la puissance 4. Cela signifie qu'une petite erreur sur la longueur \( L \) a des conséquences énormes sur le résultat (si on double la portée, la flèche est multipliée par 16 !).
La flèche maximale \( f \) est le résultat d'une compétition entre deux "équipes". Au numérateur (en haut), l'équipe "Action" qui veut déformer la poutre : la charge \( q \) et la longueur \( L \). Au dénominateur (en bas), l'équipe "Résistance" qui empêche la déformation : le matériau représenté par son module de Young \( E \) et la forme de la section représentée par son inertie \( I \). Le coefficient \( 5/384 \) est une constante mathématique issue de la double intégration de l'équation différentielle de la ligne élastique.
Déformée théorique sous charge uniforme
Expression analytique de la flèche à mi-portée pour une charge uniforme.
📋 Données d'Entrée
Avant de lancer le calcul, nous rassemblons toutes les valeurs dans le système international strict (Newton et Mètre).
| Paramètre | Valeur SI | Origine |
|---|---|---|
| Charge (\( q \)) | \( 5\,100 \text{ N/m} \) | Conversion de \( 5.10 \text{ kN/m} \) |
| Longueur (\( L \)) | \( 8.00 \text{ m} \) | Donnée géométrique |
| Module Young (\( E \)) | \( 210\,000\,000\,000 \text{ Pa} \) | \( 210 \text{ GPa} = 210 \times 10^9 \text{ Pa} \) |
| Inertie (\( I \)) | \( 0.00008356 \text{ m}^4 \) | Calculée à l'étape 2 |
Convertissez toujours les GigaPascals (\( \text{GPa} \)) en Pascals (\( \text{Pa} \)) en multipliant par \( 10^9 \). Convertissez les \( \text{kN/m} \) en \( \text{N/m} \) en multipliant par \( 1000 \). Ne faites pas ces conversions "de tête" directement dans la formule finale, posez-les avant.
📝 Calcul Détaillé
Pour éviter les erreurs et clarifier la démarche, nous allons calculer séparément le numérateur et le dénominateur.
1. Calcul du Numérateur (Forces motrices) :
Ce terme représente l'intensité de l'action de flexion. Notez l'impact massif de la longueur à la puissance 4.
Ce nombre est gigantesque, c'est normal car nous travaillons en unités de base.
2. Calcul de la Rigidité Flexionnelle (EI) :
On multiplie le Module de Young par l'Inertie. Observez la simplification des puissances de 10.
3. Calcul du Dénominateur complet :
On intègre le coefficient géométrique 384.
4. Division Finale :
Nous divisons l'action par la résistance pour obtenir le déplacement.
Interprétation : Le résultat brut est de \( 0.0155 \) mètres. Pour un ingénieur BTP, le mètre n'est pas une unité parlante pour une déformation. Nous convertissons immédiatement en millimètres.
✅ Interprétation Globale
La poutre va fléchir de \( 15.5 \text{ mm} \) sous son chargement complet. Cela correspond à environ \( 1.5 \text{ cm} \). C'est une déformation que l'œil humain peut commencer à percevoir sur une ligne droite, mais qui reste modérée pour une structure de cette envergure.
\( 1.5 \text{ cm} \) de flèche sur une poutre de \( 8 \text{ m} \) de long est un résultat physiquement plausible. Imaginez une règle de \( 8 \) mètres qui ploie d'un centimètre et demi au milieu : c'est visible mais pas effrayant. Si vous aviez trouvé \( 1.5 \text{ m} \) (poutre en caoutchouc) ou \( 0.01 \text{ mm} \) (poutre infiniment rigide), il y aurait eu une erreur de calcul.
Attention aux parenthèses lors du calcul sur machine ! L'erreur classique est de diviser par \( 384 \) puis de multiplier le résultat par \( E \) et \( I \) au lieu de diviser par le produit.
🎯 Objectif
Le calcul théorique est terminé, mais l'ingénieur ne s'arrête pas là. Il faut maintenant donner du sens à ce chiffre. Est-ce que \( 15.5 \text{ mm} \), c'est "bien" ou "mal" ? Pour le savoir, nous devons confronter ce résultat à la réglementation. Une structure peut très bien tenir debout (ne pas casser) tout en étant inutilisable car trop souple (inconfort à la marche, fissuration des revêtements, sentiment d'insécurité). Nous allons vérifier si la flèche respecte le critère de confort.
📚 Référentiel
Eurocode 3 (Critères ELS - Annexe Nationale)Les limites de flèche ne sont pas des lois de la physique (comme la gravité), mais des règles de l'art issues de l'expérience. Elles dépendent de l'usage de l'ouvrage. Pour une toiture industrielle, on accepte souvent \( L/200 \) (c'est souple). Pour un plancher d'habitation supportant des cloisons, on exige \( L/500 \) (très rigide) pour éviter de fissurer les murs. Pour une passerelle piétonne, le critère standard est souvent \( L/300 \) ou \( L/250 \) pour garantir un confort de marche acceptable et éviter l'effet "trampoline". Ici, nous utiliserons le critère \( L/300 \).
Étape 1 : Calcul de la Flèche Limite (Critère)
Nous allons traduire le critère abstrait "\( L/300 \)" en une valeur millimétrique concrète, spécifique à notre poutre de 8 mètres.
1. Détermination du seuil admissible :
La limite est une simple fraction de la portée totale.
Convertissez \( L \) en millimètres (\( 8000 \text{ mm} \)) dès le début de ce petit calcul pour obtenir directement une limite en \( \text{mm} \), comparable à votre résultat précédent.
Taux d'utilisation de la capacité de déformation
📝 Calcul Détaillé
C'est l'heure de vérité. Nous comparons la réalité (calculée) au règlement (limite).
1. Vérification de l'inégalité :
La flèche réelle doit être strictement inférieure à la limite. Cette simple inéquation valide la conformité.
2. Calcul du ratio d'utilisation :
Ce pourcentage indique à quel point nous sommes proches de la limite. Un ratio \( > 100\% \) signifie un échec.
Interprétation : La poutre utilise \( 58\% \) de sa "capacité de déformation" autorisée. Nous sommes donc largement en sécurité vis-à-vis de ce critère.
✅ Interprétation Globale
Le profilé IPE 300 satisfait pleinement aux exigences de l'Eurocode pour l'État Limite de Service en termes de flèche verticale. La marge de sécurité de \( 42\% \) est confortable, ce qui suggère une conception robuste. Le confort des usagers ne sera pas impacté par une souplesse excessive.
Avec un taux de travail de \( 58\% \), la section IPE 300 est très confortable pour cette portée. On pourrait théoriquement optimiser la structure en prenant un profilé plus petit (IPE 270 par exemple), ce qui réduirait le poids et le coût de l'acier, tout en restant sous la barre des \( 100\% \).
Attention : valider la flèche ne suffit pas à valider entièrement une passerelle ! Pour des structures légères soumises au trafic piéton, le véritable ennemi est souvent la vibration. Une étude dynamique (calcul des fréquences propres) est indispensable pour vérifier que la passerelle n'entrera pas en résonance avec le pas des marcheurs (phénomène type "Millenium Bridge").
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 12/10/2023 | Création du document / Vérification ELS | Ing. Junior |
- Eurocode 0 : Bases de calcul des structures (EN 1990)
- Eurocode 3 : Calcul des structures en acier (EN 1993-1-1)
| Profilé | IPE 300 (S235) |
| Portée (\( L \)) | \( 8.00 \text{ m} \) |
| Module Young (\( E \)) | \( 210\,000 \text{ MPa} \) |
| Inertie (\( I_y \)) | \( 8\,356 \text{ cm}^4 \) |
Vérification de la flèche verticale sous combinaison caractéristique (\( G+Q \)).
L'Ingénieur Junior
Directeur Technique
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