Calcul de la contrainte de flexion
📝 Situation Opérationnelle
Vous avez rejoint l'équipe "Structures & Ouvrages d'Art" du complexe pétrochimique "Alpha-Nord", un site classé SEVESO seuil haut. Dans le cadre de la maintenance décennale, les accès aux vannes de régulation de la zone de craquage catalytique doivent être mis aux normes. Actuellement, les opérateurs doivent contourner une nappe dense de tuyauteries haute pression, ce qui augmente le temps d'intervention critique.
La Direction Technique a validé la construction d'une nouvelle passerelle de franchissement directe. Cet ouvrage, bien que modeste par sa portée, est stratégique : il servira de voie d'évacuation secondaire. L'environnement est hostile : vibrations dues aux compresseurs, variations thermiques importantes et atmosphère potentiellement corrosive. La fiabilité de la structure doit être absolue.
Le bureau d'études a pré-dimensionné une structure composée de deux poutres latérales en acier supportant un caillebotis. Votre mission est de vérifier, par le calcul, si le profilé HEA 200 proposé par l'entrepreneur est suffisant pour reprendre les charges sans risque de ruine par plastification (dépassement de la limite élastique).
En tant qu'Ingénieur Calcul, vous devez mener la **vérification réglementaire à l'État Limite Ultime (ELU)** de la poutre principale. Vous devrez modéliser le système, calculer le moment de flexion maximum, en déduire la contrainte normale maximale dans l'acier et conclure sur la validité du profilé HEA 200.
"Attention aux unités ! Les erreurs de conversion (mètres en millimètres, kN en Newtons) sont la cause n°1 des effondrements théoriques en bureau d'étude. Travaillez systématiquement en Newtons (N) et millimètres (mm) pour les calculs de contrainte."
L'étude repose sur une modélisation précise des matériaux et des charges. Les données ci-dessous sont extraites des spécifications techniques du projet (CCTP) et des normes européennes en vigueur pour la construction métallique.
📚 Référentiel Normatif Applicable
Le cadre légal impose l'utilisation des Eurocodes pour tout ouvrage de génie civil en Europe. Ces normes définissent les marges de sécurité et les méthodes de calcul.
Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1) RDM (Théorie des Poutres)L'acier choisi est un **S235 JR**. C'est l'acier de construction standard, offrant un bon compromis coût/ductilité. Le profilé est un **HEA** (Poutrelle Européenne à larges ailes), privilégié ici pour sa bonne stabilité latérale et sa résistance en flexion.
| ACIER S235 | |
| Limite Élastique (f_y) | 235 MPa (N/mm²) |
| Module de Young (E) | 210 000 MPa |
| GÉOMÉTRIE HEA 200 | |
| Hauteur de section (h) | 190 mm |
| Largeur de semelle (b) | 200 mm |
| Inertie de flexion (I_y) | 3692 cm⁴ |
⚖️ Descente de Charges (ELU)
La charge linéique totale comprend le poids propre de la poutre, le poids du platelage, les garde-corps et la surcharge d'exploitation (foule), le tout pondéré par les coefficients de sécurité (1.35G + 1.5Q).
Voici la synthèse des valeurs numériques que vous devrez utiliser dans les formules mathématiques. Assurez-vous de bien identifier chaque symbole avant de commencer.
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge linéique | q | 15 | kN/m |
| Portée de la poutre | L | 6.00 | m |
| Limite élastique acier | f_y | 235 | MPa |
| Inertie de flexion | I_y | 3692 | cm⁴ |
| Module de flexion élastique | W_el,y | À calculer | cm³ |
E. Protocole de Résolution
Pour vérifier la tenue mécanique de cette poutre, nous allons suivre une démarche rigoureuse, partant des efforts externes pour descendre jusqu'à la contrainte locale dans le matériau.
Calcul des Sollicitations
Détermination du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{\text{Ed}}\)) agissant sur la poutre à partir du chargement extérieur. Il représente "l'effort de torsion" que la poutre doit subir.
Caractéristiques Géométriques
Identification de l'inertie et calcul du Module de Flexion (\(W_{\text{el}}\)) propre au profilé HEA 200. Cela quantifie la "capacité géométrique" de la poutre à résister à la flexion.
Calcul de Contrainte
Application de la formule de Navier pour déterminer la contrainte maximale de traction/compression dans la section (en MPa). Attention aux conversions d'unités cruciales à cette étape.
Vérification & Conclusion
Comparaison de la contrainte calculée avec la limite élastique de l'acier S235 (Critère ELU). Si la contrainte < Limite, le dimensionnement est validé.
Calcul de la contrainte de flexion
🎯 Objectif de l'Étape
L'objectif fondamental de cette première étape est de quantifier la sollicitation interne maximale que la structure devra supporter. En Résistance des Matériaux (RDM), l'effort prédominant pour une poutre horizontale chargée verticalement est le Moment Fléchissant. Il traduit la tendance de la poutre à se courber sous l'effet de la charge. Pour dimensionner correctement, nous devons impérativement trouver l'endroit où cet effort est maximal et calculer sa valeur, notée \(M_{\text{Ed}}\) (Design Bending Moment) selon l'Eurocode.
📚 Référentiel Théorique
Statique des Poutres (Isostatique) Formulaire RDM StandardNous sommes en présence d'un schéma statique classique : une poutre reposant sur deux appuis simples (articulé/rouleau) aux extrémités A et B. La charge est répartie uniformément (\(q\)) sur toute la longueur (\(L\)).
Par symétrie et intuition physique, nous savons que :
1. La déformée sera symétrique.
2. La flèche maximale sera au centre (à \(L/2\)).
3. Le moment fléchissant sera donc maximal au centre de la poutre.
Au lieu de redémontrer l'équation de la parabole par double intégration, nous utiliserons la formule standard issue des formulaires techniques, ce qui est la pratique courante en bureau d'études pour gagner du temps et éviter les erreurs de calcul.
Le moment fléchissant \(M(x)\) à une abscisse \(x\) correspond à la somme des moments de toutes les forces situées à gauche de la coupure. Pour une charge répartie \(q\), le diagramme des moments est parabolique. La valeur maximale est atteinte là où l'effort tranchant s'annule (au milieu pour une poutre symétrique).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge Répartie (q) | 15 kN/m |
| Portée (L) | 6.00 m |
N'oubliez jamais le carré sur la longueur (\(L^2\)) ! Cela signifie que si vous doublez la portée de la passerelle, le moment (et donc la contrainte) est multiplié par 4. C'est pourquoi la portée est le paramètre le plus critique en RDM.
📝 Calculs Détaillés
1. Substitution des valeurs :
Nous remplaçons \(q\) par 15 et \(L\) par 6 dans la formule. Nous veillons à conserver les unités cohérentes (kN et m).
2. Calcul du numérateur :
On calcule d'abord le carré de la longueur, puis le produit avec la charge.
3. Résultat Final :
On effectue la division finale pour obtenir le moment en kilonewton-mètre.
Interprétation : Au point central de la poutre, l'effort de flexion atteint 67 500 Joules. C'est cet effort exact que le profilé HEA 200 devra être capable de dissiper élastiquement.
✅ Interprétation Globale
Nous avons déterminé la sollicitation maximale. Ce moment de 67.5 kN.m est la valeur de référence pour tout le reste du dimensionnement. Si la poutre casse, elle cassera en son centre sous l'effet de ce moment.
L'ordre de grandeur est cohérent pour une poutre de 6m supportant une charge industrielle. Pour comparaison, un plancher d'habitation standard subirait environ 10-15 kN.m.
Attention à l'unité du résultat. Il s'agit d'un moment (Force x Distance), donc des kN.m. Ne confondez pas avec des kN/m (charge répartie) ou des kPa (pression).
🎯 Objectif de l'Étape
Nous connaissons l'effort (le Moment), mais quelle est la capacité de la poutre à y résister ? Cette capacité dépend de la forme de sa section transversale. Nous devons calculer le Module de Flexion Élastique (\(W_{\text{el}}\)), qui représente le volume de matière travaillant efficacement en flexion. Plus ce module est grand, moins la poutre subira de contraintes pour un même moment.
📚 Référentiel
Catalogue Profilés ArcelorMittal Cours RDM (Inertie & Module)La théorie de la flexion (Navier-Bernoulli) nous dit que la contrainte est maximale sur la fibre la plus éloignée de l'axe neutre (la peau extérieure de la poutre). Pour un profilé symétrique comme le HEA, l'axe neutre passe exactement au milieu de la hauteur. La distance maximale (\(v\)) est donc la moitié de la hauteur totale (\(h/2\)). Le module de flexion s'obtient en divisant l'inertie (\(I\)) par cette distance (\(v\)).
L'inertie (\(I\)) est la résistance à la *déformation* (flèche).
Le module (\(W\)) est la résistance à la *contrainte* (rupture/plastification). Ici, nous vérifions la résistance, c'est donc \(W\) qui nous intéresse.
Le module de flexion autour de l'axe fort (y-y) est défini par :
- \(I_y\) : Moment quadratique (Inertie) en cm⁴
- \(h\) : Hauteur totale de la section en cm
📋 Données d'Entrée (HEA 200)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Inertie (I_y) | 3692 cm⁴ |
| Hauteur (h) | 190 mm = 19.0 cm |
Travaillez ici en centimètres (cm). Les catalogues de profilés donnent l'inertie en cm⁴. Il est plus simple de calculer W en cm³ puis de le convertir en mm³ à la toute fin.
📝 Calculs Détaillés
1. Détermination de la fibre extrème (\(v\)) :
C'est la distance du centre de gravité au bord le plus éloigné.
2. Calcul du Module de Flexion (\(W_{\text{el}}\)) :
Nous divisons l'inertie par la distance \(v\).
Pour rester sécuritaire et cohérent avec les abaques constructeurs qui arrondissent souvent, nous retiendrons la valeur de 389 cm³.
✅ Interprétation Globale
Ce module de 389 cm³ est la "signature de résistance" de notre poutre HEA 200. C'est cette valeur qui va diviser l'effort. Plus elle est élevée, plus la contrainte baisse.
Ce résultat est cohérent avec les tables standard. Un IPE 200 aurait un module d'environ 194 cm³, le HEA est donc beaucoup plus robuste.
Attention, ce calcul n'est valable que pour le domaine élastique. Si la section plastifie, le module \(W_{\text{pl}}\) (plastique) serait utilisé, mais en sécurité, on reste sur \(W_{\text{el}}\).
🎯 Objectif de l'Étape
C'est l'étape pivot de la note de calcul. Nous allons combiner l'effort calculé en Q1 et la résistance géométrique calculée en Q2 pour déterminer la contrainte normale (\(\sigma\)). Cette valeur physique représente la pression interne réelle subie par le matériau. Elle s'exprime en Mégapascals (MPa), soit des Newtons par millimètre carré (N/mm²).
📚 Référentiel
Loi de Navier-Bernoulli Analyse DimensionnelleLe principal danger ici n'est pas mathématique (c'est une simple division), mais dimensionnel.
- Le Moment est en kN.m (Kilo-Newton Mètre).
- Le Module est en cm³ (Centimètre cube).
- La Contrainte doit être en N/mm² (Newton par millimètre carré).
Si nous divisons directement 67.5 par 389, le résultat sera physiquement absurde. Il est impératif de tout convertir dans le système d'unité cohérent pour la mécanique : Newton (N) et Millimètre (mm).
La contrainte normale \(\sigma\) en un point d'une section est proportionnelle à la distance de ce point à l'axe neutre :
Sur la fibre la plus éloignée, cela devient :
Selon Navier, la contrainte est proportionnelle au moment et inversement proportionnelle au module :
Pour obtenir des MPa, \(M\) doit être en N.mm et \(W\) en mm³.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur Initiale |
|---|---|
| Moment (M_Ed) | 67.5 kN.m |
| Module (W_el) | 389 cm³ |
- 1 kN = 1 000 N et 1 m = 1 000 mm. Donc 1 kN.m = 1 000 * 1 000 = 1 000 000 N.mm (x 10⁶).
- 1 cm = 10 mm. Donc 1 cm³ = 10³ mm³ = 1 000 mm³ (x 10³).
📝 Calculs Détaillés (Étape par Étape)
1. Conversion du Moment Fléchissant (\(M_{\text{Ed}}\)) :
On passe des kN.m aux N.mm en multipliant par un million (\(10^6\)).
Interprétation : C'est l'effort exprimé à l'échelle microscopique du matériau.
2. Conversion du Module de Flexion (\(W_{\text{el}}\)) :
On passe des cm³ aux mm³ en multipliant par mille (\(10^3\)).
Interprétation : C'est le volume de matière résistant exprimé en millimètres cubes.
3. Calcul Final de la Contrainte (\(\sigma\)) :
On effectue la division des deux valeurs converties.
La contrainte maximale qui règne dans la poutre (en fibre inférieure tendue et en fibre supérieure comprimée) est de 173.5 MPa.
✅ Interprétation Globale
Nous avons réussi à quantifier l'état de stress du matériau. Chaque millimètre carré de l'acier au point le plus sollicité subit une force de 173.5 Newtons. C'est cette valeur que nous pourrons comparer à la résistance catalogue de l'acier.
Une valeur de 173.5 MPa est réaliste pour de l'acier. Si vous aviez trouvé 0.17 MPa (oubli des N.mm) ou 17350 MPa (erreur de virgule), il faudrait s'inquiéter immédiatement. L'acier de construction travaille généralement entre 100 et 355 MPa.
Ce calcul suppose que la section reste plane (Hypothèse de Bernoulli). Il n'est valable que loin des appuis et des charges concentrées (Principe de Saint-Venant).
🎯 Objectif de l'Étape
C'est l'heure du verdict technique. La poutre va-t-elle tenir ou s'effondrer ? Nous devons comparer la contrainte réelle calculée (\(\sigma\)) à la capacité intrinsèque maximale du matériau (\(f_{\text{y}}\)). C'est le critère ELU (État Limite Ultime) de résistance. Si la contrainte dépasse la limite, la poutre plastifie et l'intégrité structurelle n'est plus garantie.
📚 Référentiel
Eurocode 3 (Critère de résistance élastique)Pour un acier de nuance S235, la limite d'élasticité nominale est de 235 MPa. Cela signifie que jusqu'à 235 MPa, l'acier se comporte comme un ressort (déformation réversible). Au-delà, il se comporte comme de la pâte à modeler (déformation permanente). Pour valider le dimensionnement, il faut impérativement que :
En conception élastique, la ruine est définie non pas par la casse (rupture), mais par le début de la déformation plastique irréversible. On doit donc rester sous la limite \(f_{\text{y}}\).
L'inégalité fondamentale de dimensionnement est :
📋 Données Comparatives
| Type | Valeur |
|---|---|
| Contrainte calculée (\(\sigma\)) | 173.5 MPa |
| Limite élastique Acier (\(f_{\text{y}}\)) | 235.0 MPa |
Exprimez toujours le résultat sous forme de pourcentage (taux de travail). C'est beaucoup plus parlant pour un client ou un maître d'ouvrage qu'une simple valeur en MPa.
📝 Calculs Détaillés
1. Comparaison directe :
On vérifie si la valeur calculée dépasse la valeur seuil.
L'inégalité est vérifiée. La contrainte est inférieure à la limite.
2. Calcul du taux de travail (Ratio) :
C'est le pourcentage de la capacité de la poutre qui est utilisé.
Le ratio est inférieur à 100% (ou 1.0). La condition de résistance est donc pleinement satisfaite.
✅ Interprétation Globale
La poutre est validée en résistance. Elle ne subira aucune déformation permanente sous la charge de calcul. Le dimensionnement est correct et sécuritaire.
Un taux de 74% est un excellent résultat pour un dimensionnement structurel.
- < 50% : La structure serait surdimensionnée (gaspillage de matière et d'argent).
- > 95% : La structure serait trop optimisée, sans marge pour les imprévus.
Avec 74%, nous avons une marge de sécurité confortable de 26%.
Attention, cette vérification ne concerne que la résistance mécanique (ELU). Pour que le dossier soit complet dans la réalité, il faudrait aussi vérifier :
1. La flèche (déformation) à l'ELS pour le confort des usagers.
2. Le déversement (instabilité latérale) car le HEA est comprimé en partie supérieure.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
STRUCT
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 18/01/2026 | Création du document / Première diffusion | Ingénieur Calcul |
- Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
- Eurocode 3 : Calcul des structures en acier (NF EN 1993-1-1)
| Profilé | HEA 200 (S235) |
| Portée (\(L\)) | 6.00 m |
| Charge ELU (\(q\)) | 15.0 kN/m |
Vérification de la contrainte normale de flexion à l'ELU.
L'Ingénieur Expert
Le Directeur Technique
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