Études de cas pratique

EGC

Pressions de Terre au Repos et en Mouvement

Calcul des Pressions de Terre au Repos et en Mouvement

Comprendre les Pressions des Terres

Lorsqu'un ouvrage de soutènement (comme un mur) retient une masse de sol, ce sol exerce une poussée latérale sur l'ouvrage. L'intensité de cette poussée dépend de l'état de déformation du mur par rapport au sol. On distingue principalement trois états :

  • Pression des terres au repos (\(K_0\)) : Lorsque le mur est rigide et ne subit aucun déplacement. C'est l'état initial avant toute déformation.
  • Poussée active (\(K_a\)) : Lorsque le mur s'éloigne légèrement du sol retenu, permettant au sol de se décomprimer et d'atteindre un état de rupture active. La poussée est alors minimale.
  • Butée (ou poussée passive, \(K_p\)) : Lorsque le mur est poussé contre le sol, comprimant celui-ci jusqu'à un état de rupture passive. La résistance mobilisée par le sol (butée) est alors maximale.
Le calcul de ces pressions et des forces résultantes est fondamental pour le dimensionnement des ouvrages de soutènement afin d'assurer leur stabilité. Les théories de Rankine et de Coulomb sont couramment utilisées pour ces estimations, en fonction des caractéristiques du sol et de l'interface mur-sol.

Données de l'étude

Un mur de soutènement vertical à parement arrière lisse retient un massif de sable sec et homogène. La surface du remblai est horizontale.

Caractéristiques du mur et du sol :

  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Caractéristiques du sable retenu :
    • Poids volumique (\(\gamma\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
    • Angle de frottement interne (\(\phi'\)) : \(32^\circ\)
    • Cohésion (\(c'\)) : \(0 \, \text{kPa}\) (sol pulvérulent)

Objectif : Calculer les coefficients de pression des terres au repos, active et passive, ainsi que les forces de poussée active et de butée passive par mètre linéaire de mur.

Schéma d'un Mur de Soutènement et Pressions des Terres
Poussée des Terres sur Mur Vertical Mur Sol Retenu (\(\gamma\), \(\phi'\)) Pa H/3 Pp H = 4.0m

Schéma d'un mur de soutènement avec illustration des diagrammes de pression active et passive (conceptuel).

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de pression des terres au repos (\(K_0\)), en utilisant la formule de Jaky \(K_0 = 1 - \sin(\phi')\).
  2. Calculer la contrainte horizontale de poussée des terres au repos (\(\sigma'_{h0}\)) à la base du mur.
  3. Calculer le coefficient de poussée active des terres (\(K_a\)) selon la théorie de Rankine.
  4. Calculer la force résultante de la poussée active des terres (\(P_a\)) par mètre linéaire de mur et déterminer son point d'application par rapport à la base du mur.
  5. Calculer le coefficient de butée (poussée passive) des terres (\(K_p\)) selon la théorie de Rankine.
  6. Calculer la force résultante de la butée passive des terres (\(P_p\)) par mètre linéaire de mur (en supposant une mobilisation complète de la butée sur toute la hauteur) et déterminer son point d'application.

Correction : Calcul des Pressions de Terre

Question 1 : Coefficient de pression des terres au repos (\(K_0\))

Principe :

Le coefficient de pression des terres au repos, \(K_0\), est utilisé pour estimer la contrainte horizontale dans un sol lorsque celui-ci n'est pas autorisé à se déformer latéralement (par exemple, derrière un mur très rigide qui ne bouge pas). Pour les sols normalement consolidés, la formule empirique de Jaky est couramment utilisée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[K_0 = 1 - \sin(\phi')\]
Données spécifiques :
  • Angle de frottement interne (\(\phi'\)) : \(32^\circ\)
Calcul :

\(\sin(32^\circ) \approx 0.5299\)

\[ \begin{aligned} K_0 &= 1 - \sin(32^\circ) \\ &\approx 1 - 0.5299 \\ &\approx 0.4701 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le coefficient de pression des terres au repos est \(K_0 \approx 0.470\).

Question 2 : Contrainte horizontale de poussée au repos (\(\sigma'_{h0}\)) à la base

Principe :

La contrainte horizontale effective au repos à une profondeur \(z\) est le produit du coefficient \(K_0\) et de la contrainte verticale effective \(\sigma'_v\) à cette profondeur. Pour un sol homogène avec une surface horizontale et sans nappe, \(\sigma'_v = \gamma z\). À la base du mur, \(z = H\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma'_v(H) = \gamma H\]
\[\sigma'_{h0}(H) = K_0 \sigma'_v(H) = K_0 \gamma H\]
Données spécifiques :
  • \(K_0 \approx 0.4701\) (de Q1)
  • Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma'_{v}(H) &= 18 \, \text{kN/m}^3 \times 4.0 \, \text{m} = 72 \, \text{kN/m}^2 \text{ (kPa)} \\ \sigma'_{h0}(H) &= 0.4701 \times 72 \, \text{kPa} \\ &\approx 33.8472 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte horizontale de poussée au repos à la base du mur est \(\sigma'_{h0}(H) \approx 33.85 \, \text{kPa}\).

Question 3 : Coefficient de poussée active (\(K_a\)) selon Rankine

Principe :

Lorsque le mur s'éloigne légèrement du sol, le sol se décomprime et la pression horizontale diminue jusqu'à une valeur minimale, appelée pression active. Le coefficient de poussée active \(K_a\) pour un sol pulvérulent (\(c'=0\)), un remblai horizontal et un mur à parement arrière lisse est donné par la formule de Rankine.

Formule(s) utilisée(s) :
\[K_a = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')} = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right)\]
Données spécifiques :
  • Angle de frottement interne (\(\phi'\)) : \(32^\circ\)
Calcul :

\(\sin(32^\circ) \approx 0.5299\)

\[ \begin{aligned} K_a &= \frac{1 - 0.5299}{1 + 0.5299} = \frac{0.4701}{1.5299} \\ &\approx 0.30727 \end{aligned} \]

Alternativement : \(45^\circ - \frac{32^\circ}{2} = 45^\circ - 16^\circ = 29^\circ\). \(\tan(29^\circ) \approx 0.5543\). \(\tan^2(29^\circ) \approx (0.5543)^2 \approx 0.3072\).

Résultat Question 3 : Le coefficient de poussée active des terres est \(K_a \approx 0.307\).

Question 4 : Force de poussée active (\(P_a\)) et point d'application

Principe :

La distribution de la pression active est triangulaire, nulle en surface et maximale (\(p_a = K_a \gamma H\)) à la base du mur. La force résultante \(P_a\) est l'aire de ce triangle de pression. Elle s'applique au tiers de la hauteur (\(H/3\)) depuis la base du mur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2\]

Point d'application à \(y_a = H/3\) depuis la base.

Données spécifiques :
  • \(K_a \approx 0.307\) (de Q3)
  • \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \times 0.307 \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times (4.0 \, \text{m})^2 \\ &= 0.5 \times 0.307 \times 18 \times 16 \, \text{kN/m} \\ &\approx 44.208 \, \text{kN/m} \\ y_a &= \frac{4.0 \, \text{m}}{3} \approx 1.333 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La force de poussée active est \(P_a \approx 44.21 \, \text{kN/m}\), appliquée à environ \(1.33 \, \text{m}\) de la base du mur.

Question 5 : Coefficient de butée (\(K_p\)) selon Rankine

Principe :

Lorsque le mur est poussé contre le sol, le sol se comprime et offre une résistance maximale, appelée butée (ou poussée passive). Le coefficient de butée \(K_p\) pour un sol pulvérulent, un remblai horizontal et un mur lisse est donné par la formule de Rankine. C'est l'inverse de \(K_a\) si l'on inverse les signes dans la formule.

Formule(s) utilisée(s) :
\[K_p = \frac{1 + \sin(\phi')}{1 - \sin(\phi')} = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right)\]
Données spécifiques :
  • Angle de frottement interne (\(\phi'\)) : \(32^\circ\)
Calcul :

\(\sin(32^\circ) \approx 0.5299\)

\[ \begin{aligned} K_p &= \frac{1 + 0.5299}{1 - 0.5299} = \frac{1.5299}{0.4701} \\ &\approx 3.2544 \end{aligned} \]

Alternativement : \(45^\circ + \frac{32^\circ}{2} = 45^\circ + 16^\circ = 61^\circ\). \(\tan(61^\circ) \approx 1.804\). \(\tan^2(61^\circ) \approx (1.804)^2 \approx 3.254\).

Résultat Question 5 : Le coefficient de butée des terres est \(K_p \approx 3.254\).

Question 6 : Force de butée passive (\(P_p\)) et point d'application

Principe :

Similaire à la poussée active, la distribution de la pression de butée est triangulaire, nulle en surface et maximale (\(p_p = K_p \gamma H\)) à la base. La force résultante \(P_p\) est l'aire de ce triangle et s'applique à \(H/3\) de la base.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_p = \frac{1}{2} K_p \gamma H^2\]

Point d'application à \(y_p = H/3\) depuis la base.

Données spécifiques :
  • \(K_p \approx 3.254\) (de Q5)
  • \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_p &= \frac{1}{2} \times 3.254 \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times (4.0 \, \text{m})^2 \\ &= 0.5 \times 3.254 \times 18 \times 16 \, \text{kN/m} \\ &\approx 468.576 \, \text{kN/m} \\ y_p &= \frac{4.0 \, \text{m}}{3} \approx 1.333 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La force de butée passive est \(P_p \approx 468.58 \, \text{kN/m}\), appliquée à environ \(1.33 \, \text{m}\) de la base du mur. On note que \(P_p\) est significativement plus grande que \(P_a\).

Quiz Intermédiaire (Fin) : Pour un sol donné, comment se compare généralement \(K_a\) à \(K_p\) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La pression des terres au repos est celle qui s'exerce lorsque le mur :

2. Le coefficient de poussée active \(K_a\) est utilisé pour calculer :

3. Pour un sol avec \(\phi' = 30^\circ\), \(K_a\) est approximativement :

Glossaire

Pression des Terres
Pression latérale exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement (mur, écran, etc.) ou sur une structure enterrée.
Pression des Terres au Repos
Pression latérale exercée par le sol lorsque l'ouvrage de soutènement ne subit aucun déplacement latéral. Le coefficient associé est \(K_0\).
Poussée Active des Terres
Pression latérale minimale exercée par le sol lorsque l'ouvrage de soutènement s'éloigne légèrement du massif de sol, permettant à ce dernier d'atteindre un état de rupture active. Le coefficient associé est \(K_a\).
Butée (ou Poussée Passive des Terres)
Résistance latérale maximale que le sol peut mobiliser lorsque l'ouvrage de soutènement est poussé contre le massif de sol, amenant ce dernier à un état de rupture passive. Le coefficient associé est \(K_p\).
Coefficient de Pression des Terres (\(K\))
Rapport entre la contrainte horizontale effective et la contrainte verticale effective dans un sol. Il prend différentes valeurs (\(K_0, K_a, K_p\)) selon l'état de déformation.
Théorie de Rankine
Méthode d'analyse de la pression des terres qui suppose un mur à parement arrière vertical et lisse, et un remblai à surface horizontale, sans frottement entre le mur et le sol.
Angle de Frottement Interne (\(\phi'\))
Paramètre de résistance au cisaillement d'un sol, représentant le frottement entre les grains du sol.
Cohésion (\(c'\))
Paramètre de résistance au cisaillement d'un sol, représentant l'attraction entre les particules (surtout pour les argiles). Pour les sables propres, \(c' \approx 0\).
Sol Pulvérulent
Sol dont la résistance au cisaillement est principalement due au frottement entre les grains, avec une cohésion négligeable (ex: sable, gravier).
Pressions de Terre au Repos et en Mouvement - Exercice d'Application

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