Études de cas pratique

EGC

Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal

Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal en Hydraulique

Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal

Comprendre le Périmètre Mouillé d'un Canal

En hydraulique à surface libre, le périmètre mouillé (\(P\)) d'un canal est une caractéristique géométrique essentielle. Il représente la longueur de la ligne de contact entre l'eau et les parois solides du canal (fond et berges) dans une section transversale donnée. Le périmètre mouillé est un facteur déterminant dans le calcul des pertes de charge par frottement : plus le périmètre mouillé est grand pour une section d'écoulement donnée, plus la surface de contact est importante, et donc plus les frottements (et les pertes d'énergie associées) seront élevés. Il intervient directement dans le calcul du rayon hydraulique (\(R_h = A/P\)), qui est lui-même un paramètre clé dans les formules de calcul de vitesse et de débit, telles que celles de Chezy ou de Manning-Strickler.

Données de l'étude

On considère un canal d'irrigation de section trapézoïdale. On souhaite déterminer ses caractéristiques géométriques pour un écoulement donné.

Caractéristiques géométriques du canal :

  • Largeur au fond (petite base, \(b\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau (tirant d'eau, \(y\)) : \(0.75 \, \text{m}\)
  • Pente des talus (fruit, \(z\)) : \(1.5\) (ce qui signifie que pour 1 unité de hauteur verticale, la projection horizontale du talus est de \(1.5\) unités ; donc \(z = \text{projection horizontale / hauteur verticale}\))
Schéma : Section d'un Canal Trapézoïdal
Section Trapézoïdale du Canal {/* */} {/* */} {/* */} Écoulement {/* */} {/* */} b = 1.5 m {/* */} y = 0.75 m {/* */} Largeur au miroir (B) {/* */} zy zy Pente talus z = 1.5

Section transversale d'un canal trapézoïdal avec indication des dimensions.

Questions à traiter

  1. Calculer la largeur au miroir (\(B\)) du canal (largeur de la surface libre de l'eau).
  2. Calculer la longueur d'un talus mouillé (\(L_t\)).
  3. Calculer le périmètre mouillé (\(P\)) du canal.
  4. Calculer la section mouillée (\(A\)) du canal.
  5. Calculer le rayon hydraulique (\(R_h\)) du canal.

Correction : Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal

Question 1 : Calcul de la Largeur au Miroir (\(B\))

Principe :

La largeur au miroir (\(B\)) d'un canal trapézoïdal est la largeur de la surface libre de l'eau. Elle est égale à la largeur au fond (\(b\)) augmentée de deux fois la projection horizontale de chaque talus. La projection horizontale d'un talus est le produit de la hauteur d'eau (\(y\)) par le fruit du talus (\(z\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ B = b + 2 \cdot (z \cdot y) \]
Données spécifiques :
  • Largeur au fond (\(b\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau (\(y\)) : \(0.75 \, \text{m}\)
  • Fruit du talus (\(z\)) : \(1.5\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} B &= 1.5 \, \text{m} + 2 \times (1.5 \times 0.75 \, \text{m}) \\ &= 1.5 \, \text{m} + 2 \times 1.125 \, \text{m} \\ &= 1.5 \, \text{m} + 2.25 \, \text{m} \\ &= 3.75 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La largeur au miroir du canal est \(B = 3.75 \, \text{m}\).

Question 2 : Calcul de la Longueur d'un Talus Mouillé (\(L_t\))

Principe :

La longueur d'un talus mouillé (\(L_t\)) correspond à la longueur de la paroi inclinée du canal en contact avec l'eau. Pour un canal trapézoïdal, chaque talus forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents sont la hauteur d'eau (\(y\)) et la projection horizontale du talus (\(z \cdot y\)). On utilise le théorème de Pythagore pour calculer \(L_t\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L_t = \sqrt{y^2 + (z \cdot y)^2} = y \sqrt{1 + z^2} \]
Données spécifiques :
  • Hauteur d'eau (\(y\)) : \(0.75 \, \text{m}\)
  • Fruit du talus (\(z\)) : \(1.5\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_t &= 0.75 \, \text{m} \times \sqrt{1 + (1.5)^2} \\ &= 0.75 \, \text{m} \times \sqrt{1 + 2.25} \\ &= 0.75 \, \text{m} \times \sqrt{3.25} \\ &\approx 0.75 \, \text{m} \times 1.8027756 \\ &\approx 1.35208 \, \text{m} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(L_t \approx 1.352 \, \text{m}\)

Résultat Question 2 : La longueur d'un talus mouillé est \(L_t \approx 1.352 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le fruit du talus (\(z\)) était plus petit (talus plus raides), la longueur du talus mouillé (\(L_t\)) pour une même hauteur d'eau (\(y\)) serait :

Question 3 : Calcul du Périmètre Mouillé (\(P\))

Principe :

Le périmètre mouillé (\(P\)) est la longueur totale de la section du canal qui est en contact avec l'eau. Pour un canal trapézoïdal, il est égal à la somme de la largeur au fond (\(b\)) et des longueurs des deux talus mouillés (\(2 \times L_t\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P = b + 2 L_t \]

Ou directement :

\[ P = b + 2y\sqrt{1+z^2} \]
Données spécifiques :
  • Largeur au fond (\(b\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Longueur d'un talus mouillé (\(L_t\)) : \(\approx 1.35208 \, \text{m}\) (valeur non arrondie de Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= 1.5 \, \text{m} + 2 \times 1.35208 \, \text{m} \\ &= 1.5 \, \text{m} + 2.70416 \, \text{m} \\ &\approx 4.20416 \, \text{m} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(P \approx 4.204 \, \text{m}\)

Résultat Question 3 : Le périmètre mouillé du canal est \(P \approx 4.204 \, \text{m}\).

Question 4 : Calcul de la Section Mouillée (\(A\))

Principe :

La section mouillée (\(A\)) d'un canal trapézoïdal peut être calculée comme l'aire d'un trapèze, dont les bases sont la largeur au fond (\(b\)) et la largeur au miroir (\(B\)), et la hauteur est la hauteur d'eau (\(y\)). Alternativement, on peut la voir comme un rectangle de base \(b\) et hauteur \(y\), plus deux triangles de chaque côté.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \frac{(b+B) \times y}{2} \]

Ou, en substituant \(B = b + 2zy\) :

\[ A = \frac{(b + b + 2zy) \times y}{2} = \frac{(2b + 2zy) \times y}{2} = (b+zy)y \]
Données spécifiques :
  • Largeur au fond (\(b\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Largeur au miroir (\(B\)) : \(3.75 \, \text{m}\) (résultat Q1)
  • Hauteur d'eau (\(y\)) : \(0.75 \, \text{m}\)
  • Fruit du talus (\(z\)) : \(1.5\)
Calcul (utilisant la première formule) :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{(1.5 \, \text{m} + 3.75 \, \text{m}) \times 0.75 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{5.25 \, \text{m} \times 0.75 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{3.9375 \, \text{m}^2}{2} \\ &= 1.96875 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Calcul (utilisant la seconde formule) :
\[ \begin{aligned} A &= (1.5 \, \text{m} + 1.5 \times 0.75 \, \text{m}) \times 0.75 \, \text{m} \\ &= (1.5 \, \text{m} + 1.125 \, \text{m}) \times 0.75 \, \text{m} \\ &= 2.625 \, \text{m} \times 0.75 \, \text{m} \\ &= 1.96875 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Arrondissons à \(A \approx 1.969 \, \text{m}^2\)

Résultat Question 4 : La section mouillée du canal est \(A \approx 1.969 \, \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la largeur au fond (\(b\)) du canal trapézoïdal augmentait, la section mouillée (\(A\)) pour une même hauteur d'eau (\(y\)) et même fruit (\(z\)) :

Question 5 : Calcul du Rayon Hydraulique (\(R_h\))

Principe :

Le rayon hydraulique (\(R_h\)) est le rapport entre la section mouillée (\(A\)) et le périmètre mouillé (\(P\)). C'est une mesure de l'efficacité hydraulique de la section du canal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_h = \frac{A}{P} \]
Données spécifiques :
  • Section mouillée (\(A\)) : \(\approx 1.96875 \, \text{m}^2\) (valeur non arrondie de Q4)
  • Périmètre mouillé (\(P\)) : \(\approx 4.20416 \, \text{m}\) (valeur non arrondie de Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_h &= \frac{1.96875 \, \text{m}^2}{4.20416 \, \text{m}} \\ &\approx 0.46828 \, \text{m} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(R_h \approx 0.468 \, \text{m}\)

Résultat Question 5 : Le rayon hydraulique du canal est \(R_h \approx 0.468 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Pour une section mouillée donnée, un périmètre mouillé plus petit conduit à un rayon hydraulique :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le périmètre mouillé d'un canal représente :

2. Pour un canal rectangulaire de largeur \(b\) et de hauteur d'eau \(y\), le périmètre mouillé est :

3. Le rayon hydraulique (\(R_h\)) est défini comme :

Glossaire

Périmètre Mouillé (\(P\))
Longueur de la ligne de contact entre le fluide en écoulement et les parois solides du canal (fond et berges) dans une section transversale donnée. Unité : \(\text{m}\).
Section Mouillée (\(A\))
Aire de la section transversale de l'écoulement qui est effectivement occupée par le fluide. Unité : \(\text{m}^2\).
Rayon Hydraulique (\(R_h\))
Rapport entre la section mouillée et le périmètre mouillé (\(R_h = A/P\)). C'est une longueur caractéristique utilisée dans de nombreuses formules d'hydraulique pour représenter l'efficacité de la section d'écoulement. Unité : \(\text{m}\).
Canal Trapézoïdal
Canal dont la section transversale a la forme d'un trapèze. Il est caractérisé par une largeur au fond (petite base), une hauteur d'eau, et des pentes de talus (berges inclinées).
Fruit d'un Talus (\(z\))
Rapport entre la projection horizontale et la projection verticale d'un talus incliné (ex: \(z = \text{Horizontal / Vertical}\)). Pour un talus de 1V:1.5H, \(z=1.5\).
Largeur au Miroir (\(B\))
Largeur de la surface libre de l'eau dans un canal. Pour un canal trapézoïdal, \(B = b + 2zy\).
Calcul du Périmètre Mouillé d’un Canal - Exercice d'Application

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