Calcul de la Cubature des Terrassements
Comprendre le Calcul de la Cubature des Terrassements
Vous êtes un ingénieur civil chargé de la planification d’un nouveau développement résidentiel sur un terrain en pente. Le projet nécessite la création de terrasses pour stabiliser le terrain et fournir des surfaces planes pour la construction de maisons. Le site est rectangulaire avec une longueur de 120 mètres et une largeur de 50 mètres. La pente naturelle du terrain est constante et descend à un angle de 15° par rapport à l’horizontale.
Pour comprendre le Calcul des Fouilles en terrassement, cliquez sur le lien.
Objectif:
Votre tâche est de calculer le volume total de terre à déplacer pour créer trois terrasses égales sur la longueur du terrain. Chaque terrasse aura une hauteur de retenue de 5 mètres et s’étendra sur toute la largeur du terrain.
Données:
- Dimensions du terrain : 120 mètres de long et 50 mètres de large.
- Pente du terrain : 15° par rapport à l’horizontale.
- Nombre de terrasses : 3
- Hauteur de chaque terrasse : 5 mètres
- Les terrasses sont espacées équitablement sur la longueur du terrain.
Questions:
1. Calculer la longueur horizontale de chaque terrasse : Utilisez la trigonométrie pour déterminer la longueur horizontale de chaque terrasse, en tenant compte de la pente du terrain.
2. Déterminer le dénivelé entre chaque terrasse : Calculez le changement vertical entre le haut et le bas de chaque terrasse.
3. Calcul du volume de terre à déplacer : Estimez le volume de terre nécessaire pour construire chaque terrasse. Utilisez l’approximation que chaque section de terrasse est un trapèze en trois dimensions.
Correction : Calcul de la Cubature des Terrassements
1. Calcul de la longueur horizontale de chaque terrasse
Sur un terrain incliné d’un angle \(\alpha\), pour obtenir un dénivelé vertical \(h\) (ici 5 m), la relation trigonométrique en considérant le triangle rectangle formé est :
\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{d} \]
où
- \(h = 5\text{ m}\) (la hauteur verticale)
- \(d\) est la longueur horizontale (la projection) correspondante.
Formule :
\[ d = \frac{h}{\tan(\alpha)} \]
Données :
- \(h = 5\text{ m}\)
- \(\alpha = 15^\circ\)
- \(\tan(15^\circ) \approx 0,267949\)
Calcul :
\[ d = \frac{5}{\tan(15^\circ)} \] \[ d = \frac{5}{0,267949} \] \[ d \approx 18,66\text{ m} \]
Conclusion :
La longueur horizontale de chaque terrasse est d’environ 18,66 m.
2. Détermination du dénivelé entre chaque terrasse
Chaque terrasse est conçue avec une hauteur de retenue de 5 m. Cela signifie que le changement d’élévation (le dénivelé) entre le haut et le bas de la terrasse est exactement de 5 m.
Calcul :
\[ \Delta z = 5\text{ m} \]
Conclusion :
Le dénivelé entre le haut et le bas de chaque terrasse est de 5 m.
3. Calcul du volume de terre à déplacer pour chaque terrasse
On va approximer l’excavation réalisée pour créer une terrasse par un volume dont la section verticale est représentée par un trapèze (dans notre cas particulier, le trapèze se réduit à un triangle car l’une des bases est nulle).
- Hypothèse de travail : La coupe verticale de l’excavation est une figure dont l’aire représente la différence entre la pente naturelle et la surface horizontale de la terrasse.
Schématisation en coupe verticale :
- La base supérieure correspond à la ligne de la terrasse, qui est plate. On peut la considérer (pour la différence de matière à enlever) comme de longueur nulle, car on amène le terrain à ce niveau.
- La base inférieure correspond à la projection horizontale de la portion de pente sur laquelle se fait le dénivelé de 5 m. D’après la question 1, cette longueur est :
\[ b = \frac{5}{\tan(15^\circ)} \approx 18,66\text{ m} \]
La hauteur du trapèze (distance verticale) est \(h = 5\text{ m}\).
Remarque : Un trapèze dont une base est nulle est en réalité un triangle. La formule de l’aire d’un trapèze est :
\[ A = \frac{b_1 + b_2}{2} \times h \]
Ici, avec \(b_1 = 0\) et \(b_2 = 18,66\text{ m}\), on obtient :
\[ A = \frac{0 + 18,66}{2} \times 5 \] \[ A = 9,33 \times 5 \] \[ A \approx 46,65\text{ m}^2 \]
Volume de l’excavation pour une terrasse :
L’excavation s’étend sur toute la largeur du terrain, soit 50 m. Le volume \(V\) est donc :
\[ V = A \times \text{largeur} \] \[ V = 46,65\text{ m}^2 \times 50\text{ m} \] \[ V \approx 2332,5\text{ m}^3 \]
Volume total pour 3 terrasses :
\[ V_{\text{total}} = 3 \times 2332,5\text{ m}^3 \] \[ V_{\text{total}} \approx 6997,5\text{ m}^3 \]
On peut arrondir ce résultat à environ 7000 m\(^3\).
Conclusion
Pour stabiliser le terrain et réaliser les trois terrasses, il faudra déplacer environ 7000 m³ de terre. Cette estimation repose sur l’approximation d’un volume en « trapèze en trois dimensions » dont la section verticale est assimilée à un triangle de hauteur 5 m et de base \(\frac{5}{\tan(15^\circ)} \approx 18,66\text{ m}\) multiplié par la largeur de 50~m, et ensuite multiplié par le nombre de terrasses (3).
Calcul de la Cubature des Terrassements
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