Vérification au Flambement d'un Poteau en Bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un poteau élancé ne s'écrase pas : il flambe. La ruine survient par perte d'équilibre, bien avant que la matière n'atteigne sa résistance — et la charge qui la déclenche ne dépend pas de la résistance du bois mais de sa rigidité et de la géométrie de la pièce. Cet exercice vérifie un poteau intérieur en GL28h de section 140 × 200 mm sur 4,00 m, sous une charge de compression permanente de 150 kN. Trois paramètres y jouent un rôle décisif et sont régulièrement mal choisis : l'axe sur lequel se fait la vérification, la classe de durée de la charge, et le coefficient partiel propre au lamellé-collé.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Un poteau intérieur en lamellé-collé GL28h, section 140 × 200 mm, longueur de flambement 4,00 m dans les deux plans — articulé en tête comme en pied, sans maintien intermédiaire.
Environnement : Classe de service 1, local chauffé. La charge est annoncée permanente : sa classe de durée fixe \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \), la valeur la plus sévère du tableau 3.1.
L'objectif final : Vérifier le poteau selon le § 6.3.2 et, s'il ne passe pas, comparer deux remèdes : élargir la section ou poser un maintien latéral à mi-hauteur. Le second est bien plus efficace.
L'astuce de l'ingénieur : Sur un poteau libre dans les deux plans, c'est bien l'axe faible qui gouverne. Dès qu'un maintien apparaît d'un seul côté, l'axe critique peut basculer — et il faut recalculer les deux.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et vous reprenez la note de calculs d'un poteau déjà commandé. Votre travail consiste à refaire la vérification avec les bonnes valeurs normatives, à mesurer l'écart, et à proposer une solution si le poteau s'avère insuffisant.

Le grand défi : La classe de durée. Une charge permanente donne \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) et non 0,80 : l'écart vaut un tiers de la résistance de calcul, et c'est de très loin l'erreur la plus lourde de cette famille d'exercices.
Votre rôle : Produire une note traçable : deux élancements, l'élancement relatif, le coefficient \( k_{\text{c}} \), la vérification, et un avis chiffré sur les dispositions à prendre.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — la stabilité : les deux élancements et la charge critique d'Euler, l'élancement relatif et le coefficient de flambement \( k_{\text{c}} \).
Livrable 2 — la vérification : la résistance de calcul avec les bons coefficients, le taux de travail, la charge admissible, et la comparaison chiffrée de deux dispositions correctives.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 avec les valeurs de l'annexe nationale française, et les caractéristiques du lamellé-collé proviennent de la NF EN 14080. Trois points appellent une vigilance particulière : le module au fractile 5 % du GL28h, qui vaut 10 500 et non 9 600 N/mm² — cette dernière valeur étant celle du GL24h ; la classe de durée de la charge, ici permanente ; et le coefficient partiel du lamellé-collé, qui vaut 1,25 et non 1,30.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Rayon de giration d'une section rectangulaire \( i_{y} = \dfrac{h}{\sqrt{12}} \) · \( i_{z} = \dfrac{b}{\sqrt{12}} \)
Élancement mécanique \( \lambda = \dfrac{L_{\text{f}}}{i} \)
Charge critique d'Euler \( N_{\text{cr}} = \dfrac{\pi^{2}\,E_{0,05}\,I}{L_{\text{f}}^{2}} \)
Élancement relatif — § 6.3.2(1) \( \lambda_{\text{rel}} = \dfrac{\lambda}{\pi}\sqrt{\dfrac{f_{c,0,\text{k}}}{E_{0,05}}} \)
Grandeur intermédiaire — § 6.3.2(3) \( k = 0{,}5\big(1 + \beta_{\text{c}}(\lambda_{\text{rel}} - 0{,}3) + \lambda_{\text{rel}}^{2}\big) \)
Coefficient de flambement — § 6.3.2(3) \( k_{\text{c}} = \dfrac{1}{k + \sqrt{k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2}}} \)
Résistance de calcul — § 2.4.1 \( f_{c,0,\text{d}} = \dfrac{k_{\text{mod}}\,f_{c,0,\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \)
Critère de vérification au flambement \( \sigma_{c,0,\text{d}} \le k_{\text{c}}\,f_{c,0,\text{d}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( b \times h \)	Section du poteau, rapport h/b = 1,43	140 × 200	mm
\( L_{\text{f}} \)	Longueur de flambement, identique dans les deux plans — rotules aux deux extrémités	4 000	mm
\( f_{c,0,\text{k}} \)	Résistance caractéristique en compression axiale du GL28h NF EN 14080 - Tableau 5	28	N/mm²
\( E_{0,05} \)	Fractile 5 % du module axial du GL28h — et non 9 600, valeur du GL24h NF EN 14080 - Tableau 5	10 500	N/mm²
\( \beta_{\text{c}} \)	Coefficient de rectitude du lamellé-collé — 0,2 en bois massif EN 1995-1-1 - § 6.3.2(1)	0,1	—
\( \gamma_{\text{M}} \)	Coefficient partiel du lamellé-collé — et non 1,30 EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,25	—
\( k_{\text{mod}} \)	Classe de service 1, action permanente — valeur la plus sévère du tableau EN 1995-1-1 - Tableau 3.1	0,60	—

Les trois valeurs qui décident, et leurs pièges

Le module : \( E_{0,05} = 10\,500 \text{ pour le GL28h — 9 600 est celui du GL24h} \)
La duree : \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \text{ pour une charge } \textbf{permanente} \text{, et non 0,80} \)
Le produit : \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \text{ en lamelle-colle, et non 1,30} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( N_{\text{d}} \)	Effort normal de compression, déjà pondéré à l'ELU	150	kN
Classe de durée	La charge est permanente : poids propre de la structure portée et équipements fixes EN 1995-1-1 - Tableau 2.2	Permanente	—
Maintiens	Rotules en tête et en pied, aucun maintien latéral intermédiaire	2	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Flexion composee : \( \S\,6.3.2(3) \text{ — aucun moment n est applique au poteau} \)
Compression transversale : \( \S\,6.1.5 \text{ — en pied, sur la platine ou le de beton} \)
Assemblages : \( \S\,8 \text{ — les rotules doivent etre realisees, pas supposees} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Extrait de la NF EN 14080 — lamellés-collés homogènes

Grandeur	GL24h	GL28h	GL32h
Compression \( f_{c,0,\text{k}} \)	24	28	32
Module moyen \( E_{0,\text{mean}} \)	11 500	12 600	14 200
Fractile 5 % \( E_{0,05} \)	9 600	10 500	11 800
Masse volumique \( \rho_{\text{k}} \)	385	425	440

Les valeurs sont en N/mm² sauf la masse volumique, en kg/m³. Le piège est visible dans le tableau : 9 600 appartient au GL24h et 10 500 au GL28h. Employer le premier avec la résistance du second est une confusion de ligne, difficile à repérer parce que les deux ordres de grandeur sont voisins. Elle sous-estime la stabilité de 8 %, dans le sens de la sécurité — mais elle reste une erreur.

Extrait du tableau 3.1 — coefficient \( k_{\text{mod}} \), lamellé-collé

Classe de durée	Service 1	Service 2	Service 3
Permanente	0,60	0,60	0,50
Long terme	0,70	0,70	0,55
Moyen terme	0,80	0,80	0,65
Court terme	0,90	0,90	0,70
Instantanée	1,10	1,10	0,90

La ligne permanente est la plus sévère du tableau, et c'est celle qui s'applique ici. L'écart avec la ligne « moyen terme », souvent retenue par réflexe, atteint 33 % sur la résistance de calcul. C'est de très loin le paramètre le plus lourd de cet exercice — bien davantage que le coefficient partiel ou le choix du module.

Comment agir sur le flambement d'un poteau

Réduire la longueur de flambement : un maintien latéral à mi-hauteur la divise par deux, et l'élancement avec elle
Élargir l'axe faible : le rayon de giration croît proportionnellement au côté
Équilibrer la section : une section carrée de même aire est toujours plus stable qu'un rectangle allongé
Changer de classe de bois : peu efficace, car la contrainte critique dépend surtout de la rigidité

Le classement est sans appel : la longueur de flambement est le levier le plus puissant, puisque l'élancement lui est directement proportionnel. Un maintien latéral coûte une entretoise ; élargir un poteau coûte du bois sur toute sa hauteur. Et il faut se souvenir qu'un maintien posé d'un seul côté peut faire basculer l'axe critique : les deux plans se recalculent après toute modification.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

\( f_{c,0,\text{k}} = 28 \) et \( E_{0,05} = 10\,500 \) N/mm² pour le GL28h — NF EN 14080, tableau 5, lamellés homogènes
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) pour le lamellé-collé — tableau 2.3 et annexe nationale
\( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) — tableau 3.1, classe de service 1, action permanente
\( \beta_{\text{c}} = 0{,}1 \) pour le lamellé-collé — § 6.3.2(1) ; la valeur du bois massif est 0,2
Le classement de la charge en action permanente relève du tableau 2.2 et de l'analyse du projet

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Élancements et charge critique

Géométrie 25 min | Accessible

But de l'étape : Caractériser la finesse du poteau dans les deux plans, et donner un sens physique au résultat par la charge critique d'Euler.

Énoncé Q1 : Pour la section 140 × 200 mm :

calculer les deux rayons de giration et les deux élancements ;
désigner l'axe critique et justifier ce choix ;
calculer la charge critique d'Euler et la comparer à la charge appliquée.

Ici les deux longueurs de flambement sont égales : c'est bien la section qui décide. Ce ne sera plus vrai à la question 4 .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le rayon de giration d'une section rectangulaire vaut le côté divisé par \( \sqrt{12} \), soit environ 0,289 fois le côté. L'axe critique est celui du plus grand élancement, donc du plus petit rayon de giration lorsque les longueurs de flambement sont égales.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( i_{y} = 200/\sqrt{12} = 57{,}74 \) mm et \( i_{z} = 140/\sqrt{12} = 40{,}41 \) mm, d'où \( \lambda_{y} = 69{,}3 \) et \( \lambda_{z} = \) 98,97. La charge critique vaut 296 kN, à peine le double de la charge appliquée.

Question 2 : Élancement relatif et coefficient de flambement

Stabilité 25 min | Piège

But de l'étape : Traduire l'élancement géométrique en coefficient réducteur de la résistance, par la chaîne en trois étapes du § 6.3.2.

Énoncé Q2 : À partir de l'élancement critique :

calculer l'élancement relatif \( \lambda_{\text{rel},z} \) et contrôler le résultat par la charge critique ;
en déduire la grandeur intermédiaire \( k \) puis le coefficient \( k_{\text{c}} \) ;
chiffrer ce que donnerait le module du GL24h, employé par erreur dans la note reprise.

Le module au fractile 5 % du GL28h vaut 10 500 N/mm². La valeur 9 600 est celle du GL24h : deux lignes voisines du même tableau.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'élancement relatif compare la contrainte critique d'Euler à la résistance en compression. Un contrôle immédiat existe : \( \lambda_{\text{rel}}^{2} \) doit valoir exactement \( f_{c,0,\text{k}}/\sigma_{\text{cr}} \), où la contrainte critique se déduit de la charge critique de la question 1.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( \lambda_{\text{rel},z} = (98{,}97/\pi)\sqrt{28/10\,500} = \) 1,627, puis \( k = 1{,}890 \) et \( k_{\text{c}} = \) 0,351. Avec le module du GL24h, on obtiendrait 0,322.

Question 3 : Résistance de calcul et contrainte appliquée

Lecture normative 25 min | BOSS

But de l'étape : Choisir les deux coefficients de la résistance de calcul. C'est ici que se joue l'essentiel de l'écart avec la note reprise, et le paramètre décisif n'est pas celui qu'on croit.

Énoncé Q3 : En citant la ligne de tableau employée pour chaque coefficient :

établir la résistance de calcul \( f_{c,0,\text{d}} \) du GL28h sous charge permanente ;
chiffrer ce que donnaient les valeurs de la note reprise et mesurer l'écart ;
calculer la contrainte appliquée et la capacité disponible après réduction par \( k_{\text{c}} \).

Une charge permanente donne \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \). Le réflexe du 0,80 coûte ici un tiers de la résistance .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le coefficient \( k_{\text{mod}} \) se lit au croisement de la classe de service et de la classe de durée. L'énoncé donne les deux : classe de service 1 et charge permanente. La ligne « permanente » est la première du tableau, et la plus sévère.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( f_{c,0,\text{d}} = 0{,}60 \times 28/1{,}25 = \) 13,44 N/mm², contre 17,23 dans la note reprise. La contrainte appliquée vaut 5,36 N/mm² et la capacité disponible seulement 4,71 N/mm².

Question 4 (Finale) : Vérification et dispositions correctives

Synthèse et décision 35 min | Piège

But de l'étape : Conclure sur le poteau, puis comparer deux remèdes à effet très différent — et découvrir qu'un maintien latéral fait basculer l'axe critique.

Mention spéciale — l'axe critique n'est pas acquis une fois pour toutes : Tant que les deux longueurs de flambement sont égales, c'est l'axe faible qui gouverne. Dès qu'un maintien latéral n'agit que dans un seul plan, le rapport s'inverse et l'axe fort peut devenir critique. Les deux plans se recalculent après toute modification.

Mener la vérification finale et donner la charge admissible du poteau tel qu'il est. Chiffrer ensuite l'effet d'un maintien latéral à mi-hauteur dans le plan faible, en identifiant l'axe qui devient critique, puis celui d'un élargissement à 160 mm. Rédiger enfin un avis, en précisant ce que changerait une charge de courte durée.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un maintien latéral posé dans le plan faible divise par deux la longueur de flambement de ce plan seulement. Celle du plan fort reste à 4,00 m. Il faut donc recalculer les deux élancements et retenir le plus grand.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le taux atteint 114 % : le poteau est refusé, et sa charge admissible n'est que de 132 kN. Avec un maintien à mi-hauteur, l'axe y devient critique avec \( k_{\text{c},y} = 0{,}651 \) et le taux tombe à 61 %.

NOTE DE CALCULS

Flambement d'un poteau en lamellé-collé GL28h : l'axe faible décide

Question 1 : Élancements et charge critique

Dans la tête de l'ingénieur

"Un poteau articulé aux deux extrémités, sans maintien intermédiaire : les deux longueurs de flambement sont égales, et c'est donc la section seule qui départage les deux plans. La réponse est acquise d'avance — l'axe faible l'emporte — mais je vais calculer les deux, parce que le rapport entre eux m'intéresse et parce que la question 4 va changer la donne. Je vais aussi calculer la charge critique d'Euler, que l'Eurocode n'exige pas. Elle ne sert à aucune vérification, mais elle donne un sens physique à l'élancement relatif et fournit un contrôle croisé gratuit à la question suivante."

Observation : Le rapport des deux élancements vaut exactement celui des côtés, soit 200/140 = 1,43. Les longueurs de flambement étant égales, elles se simplifient.
Analyse du risque : Confondre l'axe fort et l'axe faible donnerait \( \lambda = 69{,}3 \) au lieu de 99,0, et un coefficient de flambement deux fois trop favorable.
Choix stratégique : Je calcule la charge critique d'Euler bien qu'elle ne soit pas demandée. Elle situe immédiatement le problème et contrôlera l'élancement relatif.
Alternative : J'aurais pu me contenter de l'axe faible, dont on sait qu'il gouverne ici. Mais garder les deux élancements sous la main évite de tout reprendre quand un maintien apparaîtra.
Objectif visé : Sortir avec deux élancements, un axe critique désigné, et un ordre de grandeur du risque.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( \lambda_{y} = 69{,}28 \) · \( \lambda_{z} = \) 98,97, axe critique · charge critique d'Euler \( N_{\text{cr}} = \) 296 kN, soit à peine le double de la charge appliquée

Rappel Théorique : le flambement d'un poteau

Le flambement n'est pas une rupture de matière mais une perte d'équilibre. Un poteau parfaitement résistant peut y céder, et la charge qui le déclenche ne dépend pas du tout de sa résistance.

Principe 1 — Euler et la charge critique : Au-delà d'une certaine charge, la position droite du poteau devient instable : la moindre imperfection le fait basculer. Cette charge varie en \( 1/L^{2} \) et ne fait intervenir que la rigidité.
Principe 2 — l'élancement condense la géométrie : \( \lambda = L_{\text{f}}/i \) réunit longueur de flambement et taille de section en un seul nombre. Deux poteaux de même élancement se comportent identiquement, quelles que soient leurs dimensions absolues.
Principe 3 — l'axe critique est celui du plus grand élancement : Ce n'est pas nécessairement celui du plus petit rayon de giration : si les longueurs de flambement diffèrent d'un plan à l'autre, le classement peut s'inverser.
Principe 4 — la longueur de flambement dépend des liaisons : \( L_{\text{f}} = L \) pour un poteau bi-articulé, \( 0{,}7L \) avec un encastrement, \( 2L \) pour un poteau encastré-libre. C'est le paramètre le plus décisif et le plus mal évalué.
Principe 5 — une section carrée est toujours plus stable : À aire égale, le rectangle allongé gaspille de la capacité : c'est son petit côté qui décide, et la matière placée dans l'autre direction ne sert à rien.

Équations Fondamentales

Deux relations : l'élancement mécanique, grandeur normative, et la charge critique d'Euler, qui en donne le sens physique.

Élancement mécanique d'un poteau :

Il caractérise la finesse de la pièce dans un plan donné.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la contrainte critique d'Euler, obtenue en divisant la charge critique par l'aire, ne dépend que du rapport \( L_{\text{f}}/i \). Ce rapport unique remplace donc deux grandeurs géométriques et permet de comparer entre eux des poteaux de toutes tailles. Pour une section rectangulaire, le rayon de giration se calcule immédiatement : il vaut le côté divisé par \( \sqrt{12} \), soit environ 29 % du côté.

Contexte de validité : Barre droite de section constante, comprimée axialement. Une pièce de section variable demanderait une analyse spécifique.
Avantage : Un seul nombre par plan, et une expression du rayon de giration qui se retient sans effort pour les rectangles.
Paramètre clé : La longueur de flambement, qui dépend des liaisons et non de la longueur physique de la pièce.
Vérification : Un élancement supérieur à 150 est déconseillé en construction courante. Entre 50 et 120, le poteau est dans la plage où le coefficient de flambement chute le plus vite.
Limite : La formule \( i = \text{côté}/\sqrt{12} \) ne vaut que pour les sections rectangulaires pleines. Une section composée exige de repasser par \( \sqrt{I/A} \).

\[ \begin{aligned} \lambda = \frac{L_{\text{f}}}{i} \quad \text{avec} \quad i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \frac{\text{côté}}{\sqrt{12}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce n'est pas d'être long qui rend un poteau fragile, c'est d'être long par rapport à sa largeur. Un mât de vingt mètres et une allumette peuvent partager le même élancement, donc le même comportement au flambement. C'est ce qui rend la notion si puissante : elle efface l'échelle.

Décomposition des termes :

\( \lambda \) : élancement mécanique dans le plan considéré, unité : sans dimension
\( L_{\text{f}} \) : longueur de flambement, ici égale à la hauteur, unité : mm
\( i \) : rayon de giration de la section dans ce plan, unité : mm
\( \sqrt{12} \) : 3,4641 — propre aux sections rectangulaires pleines, unité : sans dimension
Côté : \( h \) pour l'axe fort, \( b \) pour l'axe faible, unité : mm

Charge critique d'Euler :

C'est la charge qui rend la position droite instable.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un poteau légèrement dévié de sa position droite subit un moment égal au produit de la charge par le déplacement, et que sa rigidité de flexion s'y oppose. Tant que la rigidité l'emporte, le poteau revient ; au-delà d'une charge précise, l'équilibre bascule. Cette charge ne contient aucune résistance : elle ne dépend que du module d'élasticité et de la géométrie. Un poteau en acier de même forme flamberait vingt fois plus haut, non parce qu'il est plus résistant mais parce qu'il est plus raide.

Contexte de validité : Barre parfaite et matériau élastique. Le bois réel, avec ses défauts de rectitude, flambe plus tôt — d'où le coefficient \( \beta_{\text{c}} \) de la question 2.
Avantage : Elle donne un ordre de grandeur immédiat du risque, en comparant directement à la charge appliquée.
Paramètre clé : \( E_{0,05} \), le fractile 5 % du module. Une instabilité est gouvernée par la pièce la plus souple du lot, pas par la pièce moyenne.
Vérification : Le rapport \( f_{c,0,\text{k}}/\sigma_{\text{cr}} \) doit égaler \( \lambda_{\text{rel}}^{2} \). C'est le contrôle croisé le plus direct de la question 2.
Limite : Elle n'apparaît dans aucune vérification de l'Eurocode 5, qui préfère la formulation par élancement relatif. Elle reste un outil de compréhension et de contrôle.

\[ \begin{aligned} N_{\text{cr}} = \frac{\pi^{2}\,E_{0,05}\,I_{z}}{L_{\text{f}}^{2}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : il existe une charge au-delà de laquelle le poteau ne tient plus debout, et la résistance du bois n'y est pour rien. C'est l'expérience de la règle plastique : elle flanche sans casser, sous une force ridicule au regard de sa résistance. Le flambement est une affaire de forme, pas de matière.

Décomposition des termes :

\( N_{\text{cr}} \) : charge critique de flambement d'Euler, unité : N
\( E_{0,05} \) : fractile 5 % du module axial, unité : N/mm²
\( I_{z} = h\,b^{3}/12 \) : moment quadratique de l'axe faible, unité : mm⁴
\( L_{\text{f}} \) : longueur de flambement, au carré, unité : mm
Absente : toute résistance du matériau, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'associer l'axe \( y \) à la largeur et l'axe \( z \) à la hauteur..."

L'approche d'ingénieur : La convention est l'inverse de l'intuition : un axe porte le nom de la direction autour de laquelle la section tourne, pas celui de la dimension qu'il mesure.

L'erreur : Écrire \( i_{y} = b/\sqrt{12} \). L'élancement critique tomberait à 69,3 au lieu de 99,0, et le coefficient de flambement serait deux fois trop favorable.
La bonne méthode : Se rappeler que la flexion autour de l'axe y mobilise la hauteur \( h \), et celle autour de l'axe z mobilise la largeur \( b \). Le moment quadratique \( I_{y} = bh^{3}/12 \) le confirme.
L'astuce de pro : Ne pas se fier aux indices mais au résultat : le plus grand élancement correspond forcément au plus petit côté, à longueurs de flambement égales.
Le moyen mnémotechnique : « L'axe porte le nom de ce autour de quoi ça tourne ».
L'impact direct : L'erreur va franchement dans le sens du danger : elle double la capacité annoncée d'un poteau déjà insuffisant.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( b \), \( h \), \( i \), \( L_{\text{f}} \) : toutes en mm , sans exception
\( \lambda \) : mm / mm donne une grandeur sans unité
\( I \) : exprimé en mm⁴
\( E_{0,05} \) : exprimé en N/mm²
\( N_{\text{cr}} \) : le résultat sort en N , à convertir en kN

Le seul risque d'unité de cette question est de mélanger mètres et millimètres dans l'élancement. Une longueur de flambement en mètres divisée par un rayon de giration en millimètres donnerait un élancement mille fois trop faible — et comme l'élancement relatif tomberait alors sous 0,3, on conclurait tranquillement que le flambement ne joue pas. L'erreur est grossière et sa conséquence est dangereuse.

1. Résolution Numérique Élancement autour de l'axe fort

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut les deux élancements pour désigner l'axe critique, et parce que celui-ci servira à la question 4.

Méthodologie du calcul :

Rayon de giration sur la hauteur de section, puis division de la longueur de flambement.

Substitution : \( h = 200 \) mm et \( L_{\text{f}} = 4\,000 \) mm, identique dans les deux plans.
Piège évité : La flexion autour de l'axe y mobilise la hauteur. C'est bien 200 mm qu'il faut diviser par \( \sqrt{12} \).
Hypothèse validée : Rotules en tête et en pied dans les deux plans, donc \( L_{\text{f}} = L \) partout.
Vérification croisée : Le rayon de giration doit valoir 0,289 fois le côté : \( 0{,}289 \times 200 = 57{,}7 \) mm. C'est bien le cas.
Finalité : Cet élancement ne gouverne pas ici, mais il deviendra critique dès qu'un maintien latéral sera posé.

\[ \begin{aligned} \lambda_{y} &= \frac{L_{\text{f}}}{h/\sqrt{12}} = \frac{4\,000}{200/3{,}4641} \\ &= \frac{4\,000}{57{,}74} = \mathbf{69{,}28} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

69,28, un élancement modéré. Voyons ce qu'il annonce.

Ordre de grandeur : Entre 50 et 100 : le poteau est moyennement élancé dans ce plan, dans la zone où le coefficient de flambement varie le plus vite.
Impact sur la suite : Il ne gouverne pas tant que les deux longueurs de flambement sont égales. Il gouvernera dès qu'un maintien réduira l'autre plan.
Cohérence : Le rapport à l'autre élancement vaudra exactement 200/140 = 1,43, les longueurs de flambement se simplifiant.
Attention : Un poteau encastré en pied aurait ici \( L_{\text{f}} = 0{,}7L \) et un élancement de 48,5 seulement. La liaison compte davantage que la section.
Comparaison : Une section carrée de même aire, soit 167 × 167 mm, donnerait 82,8 dans les deux plans — plus stable que le rectangle, dont l'axe faible atteint 99.

Remarque pédagogique : Faites calculer, en marge, l'élancement d'une section carrée de même aire : 82,8 contre 99,0. Le rectangle allongé gaspille de la capacité, parce que c'est toujours son petit côté qui décide et que la matière placée dans l'autre direction ne sert à rien contre le flambement. Un poteau se dessine carré, sauf raison contraire.

Élancement autour de l'axe faible

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est lui qui gouverne tant que le poteau est libre dans les deux plans.

Méthodologie du calcul :

Même opération sur la largeur de section, plus petite dimension.

Substitution : \( b = 140 \) mm et \( L_{\text{f}} = 4\,000 \) mm.
Piège évité : Ne pas retenir la moyenne des deux élancements ni leur combinaison. Le flambement se produit dans un plan et un seul : celui du plus grand élancement.
Hypothèse validée : Aucun maintien latéral intermédiaire : la longueur de flambement vaut toute la hauteur du poteau.
Vérification croisée : Le rapport \( \lambda_{z}/\lambda_{y} = 98{,}97/69{,}28 = 1{,}429 \) doit égaler \( h/b = 200/140 \). Concordance exacte.
Finalité : C'est cet élancement qui entrera dans le calcul du coefficient de flambement.

\[ \begin{aligned} \lambda_{z} &= \frac{L_{\text{f}}}{b/\sqrt{12}} = \frac{4\,000}{140/3{,}4641} \\ &= \frac{4\,000}{40{,}41} = \mathbf{98{,}97} \quad \text{axe critique} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

98,97, soit 43 % de plus que dans l'autre plan. Voyons ce que cela implique.

Ordre de grandeur : Proche de 100 : le poteau est nettement élancé, et le flambement sera très pénalisant.
Impact sur la suite : C'est cette valeur qui donnera l'élancement relatif, puis un coefficient de flambement voisin de 0,35.
Cohérence : Le rapport des deux élancements vaut exactement celui des côtés, comme prévu : les longueurs de flambement se simplifient.
Attention : Cet élancement reste sous le seuil de 150 déconseillé en construction courante, mais il en est assez proche pour que la vérification soit tendue.
Comparaison : Avec un maintien latéral à mi-hauteur dans ce plan, il tomberait à 49,5 — et l'axe critique basculerait vers l'autre plan.

Remarque pédagogique : Insistez sur le fait que le flambement se produit dans un seul plan, celui du plus grand élancement. Il n'y a rien à combiner, rien à moyenner : le poteau part du côté où il est le plus faible, exactement comme une chaîne cède à son maillon le plus faible. Cette image simple évite beaucoup d'hésitations.

Charge critique d'Euler

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il donne un ordre de grandeur immédiat du risque, et parce qu'il fournira un contrôle croisé de l'élancement relatif.

Méthodologie du calcul :

Application de la formule d'Euler avec le moment quadratique de l'axe faible et le module au fractile 5 %.

Substitution : \( I_{z} = 200 \times 140^{3}/12 = 45{,}73 \times 10^{6} \) mm⁴ et \( E_{0,05} = 10\,500 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas employer \( E_{0,\text{mean}} = 12\,600 \) N/mm². Une instabilité se calcule au fractile 5 %, car le poteau est seul face à son défaut.
Hypothèse validée : Poteau bi-articulé, cas où la formule d'Euler s'écrit avec la longueur entière.
Vérification croisée : La contrainte critique vaut \( 296\,200/28\,000 = 10{,}58 \) N/mm². Son rapport à \( f_{c,0,\text{k}} \) donnera le carré de l'élancement relatif.
Finalité : Situer le risque avant tout calcul réglementaire, et disposer d'un contrôle pour la question 2.

\[ \begin{aligned} N_{\text{cr}} &= \frac{\pi^{2} \times 10\,500 \times 45{,}73 \times 10^{6}}{4\,000^{2}} \\ &= \mathbf{296} \text{ kN} \quad \text{pour } N_{\text{d}} = 150 \text{ kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

296 kN contre 150 appliqués : à peine le double. Voyons ce que cela présage.

Ordre de grandeur : Un rapport de 1,97 seulement. Pour un poteau parfait ce serait confortable ; pour un poteau réel, avec ses défauts, c'est inquiétant.
Impact sur la suite : La contrainte critique de 10,58 N/mm² est inférieure à la résistance caractéristique de 28. L'instabilité précède donc l'écrasement, et de loin.
Cohérence : Le rapport \( 28/10{,}58 = 2{,}65 \) sera exactement le carré de l'élancement relatif de la question 2. Le contrôle est acquis d'avance.
Attention : La charge critique d'Euler surestime largement la capacité réelle : elle suppose un poteau parfaitement droit. Le § 6.3.2 la corrige par le coefficient \( \beta_{\text{c}} \).
Comparaison : La capacité réglementaire s'établira à 132 kN, soit 45 % seulement de la charge critique d'Euler. L'écart mesure ce que coûtent les imperfections et les coefficients de sécurité.

Remarque pédagogique : Faites comparer la charge critique d'Euler, 296 kN, à la capacité réglementaire qui sortira à la question 4, 132 kN. L'écart d'un facteur 2,2 n'est pas de la sur-prudence : il couvre les défauts de rectitude, la dispersion du matériau, le fluage sous charge permanente et l'imprécision du modèle. Euler donne la borne supérieure d'un monde idéal ; l'Eurocode donne la capacité d'une pièce réelle.

RÉSULTAT FINAL

Élancement critique, axe faible = 98,97 — contre 69,28 sur l'axe fort ; charge critique d'Euler 296 kN

"Le poteau part du côté où il est le plus faible : un seul plan, jamais une moyenne !"

Question 2 : Élancement relatif et coefficient de flambement

Dans la tête de l'ingénieur

"Trois lignes de calcul, enchaînées, sans possibilité d'en sauter une. La seule décision est celle du module, et c'est là que la note que je reprends s'est trompée : elle emploie 9 600 N/mm², qui est la valeur du GL24h, alors que le poteau est en GL28h et vaut 10 500. Deux lignes voisines du même tableau, deux ordres de grandeur proches — l'erreur est parfaitement invisible dans le résultat. Elle va dans le sens de la sécurité, ce qui la rend d'autant plus difficile à défendre : on ne peut pas invoquer la prudence pour justifier une lecture fausse. Je vais chiffrer les deux et laisser le lecteur juger de l'ampleur."

Observation : L'élancement relatif dépasse 1,4 : le poteau est dans la zone où le coefficient de flambement décroît en \( 1/\lambda^{2} \) — l'instabilité y est purement élastique.
Analyse du risque : Employer \( E_{0,\text{mean}} = 12\,600 \) au lieu du fractile surestimerait la stabilité de 20 %. L'erreur de ligne du GL24h, elle, va dans l'autre sens.
Choix stratégique : Je contrôle l'élancement relatif par la charge critique de la question 1. C'est un contrôle gratuit et il valide toute la chaîne d'un coup.
Alternative : J'aurais pu lire \( k_{\text{c}} \) sur un abaque. Trois lignes de calcul sont plus rapides, exactes, et se documentent — un abaque ne se cite pas dans une note.
Objectif visé : Sortir avec un coefficient de flambement justifié, et une mesure de l'erreur que contenait la note reprise.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( \lambda_{\text{rel},z} = \) 1,627 · \( k = 1{,}890 \) · \( k_{\text{c}} = \) 0,351 · avec le module du GL24h employé par erreur, on obtiendrait 0,322

Rappel Théorique : de l'élancement au coefficient réducteur

L'Eurocode ne compare jamais directement la charge à la charge critique. Il passe par un élancement relatif, puis par une courbe qui traduit le comportement réel des pièces imparfaites.

Principe 1 — l'élancement relatif compare deux contraintes : Sous la racine figure \( f_{c,0,\text{k}}/\sigma_{\text{cr}} \). Au-dessus de 1, la contrainte critique est inférieure à la résistance : le poteau flambe avant de s'écraser.
Principe 2 — le coefficient \( \beta_{\text{c}} \) chiffre l'imperfection : Aucune pièce n'est parfaitement droite. Ce coefficient vaut 0,1 pour le lamellé-collé, mieux dressé, et 0,2 pour le bois massif.
Principe 3 — la courbe compte trois zones : En dessous de 0,3, aucune réduction. Entre 0,3 et 1,0 environ, ruine mixte. Au-delà, l'instabilité élastique domine et la résistance du bois ne joue presque plus.
Principe 4 — la chaîne ne se raccourcit pas : Élancement, élancement relatif, grandeur intermédiaire, coefficient : quatre étapes, aucune facultative. La grandeur \( k \) n'a d'ailleurs aucun sens physique propre.
Principe 5 — au-delà de 1,4, la classe de bois ne sert plus : Le coefficient tend vers \( 1/\lambda_{\text{rel}}^{2} \), et le produit \( k_{\text{c}}f_{c,0,\text{k}} \) redonne alors la contrainte critique — qui ne dépend que de la rigidité.

Équations Fondamentales

Trois relations qui forment une chaîne : du matériau à l'élancement relatif, puis à la grandeur intermédiaire, puis au coefficient réducteur.

Élancement relatif — EN 1995-1-1 § 6.3.2(1) :

Il introduit les propriétés du bois dans un critère jusqu'ici purement géométrique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'élancement géométrique seul ne dit pas quel mode de ruine surviendra le premier. Un poteau en acier et un poteau en bois de même élancement se comportent différemment, parce que leur rapport résistance sur rigidité n'est pas le même. L'élancement relatif compare précisément la contrainte critique d'Euler à la résistance en compression : c'est lui, et non \( \lambda \), qui situe la pièce sur la courbe de flambement.

Contexte de validité : Toute pièce comprimée en bois. Le rapport \( f_{c,0,\text{k}}/E_{0,05} \) est propre à la classe de résistance employée.
Avantage : Il rend la courbe de flambement universelle : la même sert du C18 au GL32h.
Paramètre clé : \( E_{0,05} \) et non \( E_{0,\text{mean}} \). Un poteau qui flambe est seul face à son défaut, sans voisin pour le retenir.
Vérification : Son carré doit égaler \( f_{c,0,\text{k}}/\sigma_{\text{cr}} \). Le contrôle est immédiat dès qu'on a calculé la charge critique.
Limite : En dessous de 0,3, la suite du calcul est inutile : \( k_{\text{c}} = 1 \) et seule la résistance en compression se vérifie.

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel}} = \frac{\lambda}{\pi}\sqrt{\frac{f_{c,0,\text{k}}}{E_{0,05}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : qui, de la matière ou de la forme, cédera le premier ? Un élancement relatif inférieur à 1 désigne la matière : le poteau s'écrase. Supérieur à 1, il désigne la forme : le poteau flambe. Ici la valeur dépasse 1,6, et la réponse ne fait aucun doute.

Décomposition des termes :

\( \lambda_{\text{rel}} \) : élancement relatif au flambement, unité : sans dimension
\( f_{c,0,\text{k}} \) : résistance caractéristique en compression, 28 pour le GL28h, unité : N/mm²
\( E_{0,05} \) : fractile 5 % du module, 10 500 pour le GL28h, unité : N/mm²
\( \pi \) : hérité de la formule d'Euler, unité : sans dimension
Seuil 0,3 : en dessous, aucun risque de flambement, unité : sans dimension

Grandeur intermédiaire du calcul de \( k_{\text{c}} \) :

Elle intègre le défaut de rectitude propre au produit.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'Euler traite une barre idéale, parfaitement droite et parfaitement centrée. Une pièce réelle présente une flèche initiale, une excentricité de chargement et une hétérogénéité de matériau : elle commence à fléchir dès la première charge et flambe donc plus tôt. Le terme en \( \beta_{\text{c}} \) est un forfait calé sur des essais, qui rabaisse la courbe théorique au niveau du comportement observé.

Contexte de validité : \( \lambda_{\text{rel}} > 0{,}3 \). En deçà, ce calcul intermédiaire n'a pas lieu d'être.
Avantage : Elle permet une expression fermée du coefficient, programmable une fois pour toutes.
Paramètre clé : \( \beta_{\text{c}} = 0{,}1 \) pour le lamellé-collé, deux fois moins que pour le bois massif : le produit est plus droit et plus régulier.
Vérification : La grandeur \( k \) doit toujours dépasser \( \lambda_{\text{rel}} \), sans quoi la racine de l'étape suivante serait négative.
Limite : La lettre \( k \) désigne une grandeur sans signification physique. Ce n'est qu'un intermédiaire, à ne jamais confondre avec \( k_{\text{c}} \).

\[ \begin{aligned} k = 0{,}5\Big(1 + \beta_{\text{c}}\big(\lambda_{\text{rel}} - 0{,}3\big) + \lambda_{\text{rel}}^{2}\Big) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une pièce qui n'est pas parfaitement droite flambe plus tôt que la théorie ne le prévoit. Le terme en \( \beta_{\text{c}} \) est l'aveu, inscrit dans la norme, que le matériau réel n'est pas le matériau idéal. Il est deux fois plus lourd en bois massif qu'en lamellé-collé, ce qui récompense la régularité du produit collé.

Décomposition des termes :

\( k \) : grandeur intermédiaire, sans signification physique, unité : sans dimension
\( \beta_{\text{c}} = 0{,}1 \) : coefficient de rectitude du lamellé-collé, unité : sans dimension
\( \lambda_{\text{rel}} \) : élancement relatif de l'étape précédente, unité : sans dimension
Seuil 0,3 : borne en deçà de laquelle le flambement ne joue plus, unité : sans dimension
À ne pas confondre : \( k \) et \( k_{\text{c}} \), qui n'ont ni la même valeur ni le même rôle, unité : —

Coefficient de flambement — EN 1995-1-1 § 6.3.2(3) :

Il réduit la résistance en compression utilisable.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un poteau élancé ne peut pas être vérifié en comparant simplement la contrainte à la résistance : la ruine survient bien avant. Plutôt que d'écrire un critère d'une autre nature, l'Eurocode conserve la forme habituelle et rabaisse la résistance. Toute la difficulté du flambement se trouve ainsi concentrée dans un coefficient multiplicatif, immédiatement comparable aux autres lignes d'une note de calculs.

Contexte de validité : Pièce comprimée, \( \lambda_{\text{rel}} > 0{,}3 \). Un coefficient est nécessaire par plan de flambement.
Avantage : La vérification garde la forme « contrainte sur résistance », ce qui permet de la combiner facilement avec la flexion.
Paramètre clé : \( \lambda_{\text{rel}} \), qui gouverne tout. Entre 0,5 et 1,5, le coefficient chute très rapidement.
Vérification : Le résultat est toujours compris entre 0 et 1. Une valeur supérieure signale une erreur de signe sous la racine.
Limite : Il ne s'applique qu'à la compression. La résistance en flexion relève du déversement, traité au § 6.3.3.

\[ \begin{aligned} k_{\text{c}} = \frac{1}{k + \sqrt{k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : plus le poteau est élancé, moins on a le droit de compter sur sa résistance. À élancement nul, le bois donne tout ce qu'il a. À élancement relatif 1,6, il n'en reste qu'un tiers. La matière n'a pas changé : c'est la forme qui décide, et elle décide durement.

Décomposition des termes :

\( k_{\text{c}} \) : coefficient de réduction de la résistance en compression, unité : sans dimension
\( k \) : grandeur intermédiaire de l'étape précédente, unité : sans dimension
\( \lambda_{\text{rel}} \) : élancement relatif dans le plan critique, unité : sans dimension
Deux valeurs : une par plan, dès que les longueurs de flambement diffèrent, unité : —
Plage utile : de 1 pour un poteau trapu à moins de 0,2 pour un poteau très élancé, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de prendre le module d'une classe voisine dans le tableau des lamellés-collés..."

L'approche d'ingénieur : Les lignes se ressemblent, les ordres de grandeur sont voisins, et rien dans le résultat ne signale l'erreur. C'est le type de faute qu'aucun contrôle automatique ne détecte.

L'erreur : Employer \( E_{0,05} = 9\,600 \) N/mm², valeur du GL24h, avec la résistance du GL28h. Le coefficient de flambement tomberait à 0,322 au lieu de 0,351, soit 8 % de capacité perdue.
La bonne méthode : Relever toutes les valeurs d'une même ligne du tableau, en une seule fois, et les reporter ensemble dans la note. Piocher ligne par ligne au fil du calcul est ce qui produit ces mélanges.
L'astuce de pro : Contrôler la cohérence interne : pour les lamellés homogènes, le module au fractile vaut environ 375 fois le nombre de la classe. Pour du GL28h, cela donne bien 10 500.
Le moyen mnémotechnique : « Une classe, une ligne, toutes les valeurs ».
L'impact direct : Ici l'erreur est sécuritaire, ce qui ne la rend pas acceptable : elle traduit une lecture inexacte, et la même méthode produira un jour une erreur dans l'autre sens.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( f_{c,0,\text{k}} \) et \( E_{0,05} \) : tous deux en N/mm²
Leur rapport : grandeur sans unité , comme sa racine
\( \lambda \) : grandeur sans dimension , issue de la question 1
\( k \) et \( k_{\text{c}} \) : grandeurs sans unité
\( \beta_{\text{c}} \) : grandeur sans unité , propre au produit

Cette question ne comporte aucun risque dimensionnel : tout y est sans unité. Les seuls contrôles disponibles sont donc ceux de cohérence : la grandeur \( k \) doit dépasser \( \lambda_{\text{rel}} \), le coefficient \( k_{\text{c}} \) doit rester entre 0 et 1, et le carré de l'élancement relatif doit égaler le rapport de la résistance à la contrainte critique de la question 1. Trois vérifications gratuites, qui valident toute la chaîne.

1. Résolution Numérique Élancement relatif dans le plan critique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est lui, et non l'élancement géométrique, qui situe le poteau sur la courbe de flambement.

Méthodologie du calcul :

Application directe de la relation du § 6.3.2(1), avec les valeurs du GL28h.

Substitution : \( \lambda_{z} = 98{,}97 \), \( f_{c,0,\text{k}} = 28 \) et \( E_{0,05} = 10\,500 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas employer 9 600 N/mm², valeur du GL24h. Les deux lignes se suivent dans le tableau 5 de la NF EN 14080.
Hypothèse validée : Lamellé-collé homogène, série GL h. Un panaché GL28c aurait un module légèrement différent.
Vérification croisée : Le carré vaut 2,647, et \( f_{c,0,\text{k}}/\sigma_{\text{cr}} = 28/10{,}58 = 2{,}647 \). La chaîne est validée d'un coup.
Finalité : Cet élancement relatif alimentera les deux étapes suivantes.

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel},z} &= \frac{98{,}97}{\pi}\sqrt{\frac{28}{10\,500}} \\ &= 31{,}504 \times 0{,}05164 = \mathbf{1{,}627} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,627, bien au-delà de 1. Voyons ce que cela situe.

Ordre de grandeur : Supérieur à 1,4 : le poteau se trouve dans la zone d'instabilité élastique, où la résistance du bois ne joue presque plus.
Impact sur la suite : Le coefficient de flambement sera très pénalisant, de l'ordre de 0,35 : deux tiers de la résistance disparaissent.
Cohérence : Le contrôle par la charge critique est exact : \( 1{,}627^{2} = 2{,}647 = 28/10{,}58 \). Les deux voies coïncident au millième.
Attention : Avec le module du GL24h, on obtiendrait 1,701 — écart de 4,5 % seulement sur l'élancement, mais 8 % sur le coefficient final. La racine carrée amortit.
Comparaison : Sur l'axe fort, cet élancement relatif ne vaudrait que 1,139 — encore au-dessus du seuil, mais dans la zone de ruine mixte.

Remarque pédagogique : Faites vérifier l'élancement relatif par la charge critique de la question 1. Le contrôle est gratuit, il valide d'un coup le rayon de giration, l'élancement, le moment quadratique et le choix du module. C'est exactement le genre de recoupement qu'un ingénieur pose systématiquement, et qui distingue une note vérifiée d'une note simplement écrite.

Grandeur intermédiaire du calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'étape qui introduit le défaut de rectitude, et qu'elle ne peut pas être sautée.

Méthodologie du calcul :

Application de l'expression du § 6.3.2(3) avec le coefficient de rectitude du lamellé-collé.

Substitution : \( \lambda_{\text{rel}} = 1{,}627 \) et \( \beta_{\text{c}} = 0{,}1 \), valeur du lamellé-collé.
Piège évité : Ne pas prendre \( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \), qui vaut pour le bois massif. Le lamellé-collé, mieux dressé, bénéficie d'un forfait deux fois plus faible.
Hypothèse validée : Pièce industriellement dressée, conforme aux tolérances de rectitude de la NF EN 14080.
Vérification croisée : La grandeur obtenue, 1,890, dépasse bien \( \lambda_{\text{rel}} = 1{,}627 \). La racine de l'étape suivante sera donc réelle.
Finalité : Alimenter le calcul du coefficient de flambement.

\[ \begin{aligned} k &= 0{,}5\big(1 + 0{,}1 \times (1{,}627 - 0{,}3) + 1{,}627^{2}\big) \\ &= 0{,}5 \times (1 + 0{,}133 + 2{,}647) = \mathbf{1{,}890} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,890. Voyons la contribution de chaque terme.

Ordre de grandeur : Le terme en \( \lambda_{\text{rel}}^{2} \) pèse 2,647 sur 3,780, soit 70 % du total. C'est l'élancement qui domine.
Impact sur la suite : La différence \( k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2} = 0{,}925 \) reste positive, donc la racine est réelle et le calcul se poursuit.
Cohérence : Le terme de rectitude ne pèse que 0,133, soit 3,5 % du total. Son effet est modeste ici, il serait double en bois massif.
Attention : Cette grandeur n'a aucun sens physique. La reporter dans une conclusion ou l'interpréter serait une erreur de lecture de la norme.
Comparaison : En bois massif, avec \( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \), elle vaudrait 1,956 et le coefficient final tomberait à 0,329.

Remarque pédagogique : Faites nommer explicitement cette grandeur comme un intermédiaire de calcul. Les étudiants cherchent souvent à interpréter chaque symbole, et celui-ci n'a rien à dire. Savoir reconnaître les grandeurs purement calculatoires évite de perdre du temps à leur chercher un sens qu'elles n'ont pas.

Coefficient de flambement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat de la question : le facteur par lequel la résistance en compression sera réduite.

Méthodologie du calcul :

Application de l'expression fermée du § 6.3.2(3), troisième et dernière étape de la chaîne.

Substitution : \( k = 1{,}890 \) et \( \lambda_{\text{rel}} = 1{,}627 \), soit une différence de carrés de 0,925.
Piège évité : Ne pas confondre \( k \) et \( k_{\text{c}} \). Le premier vaut 1,890, le second 0,351 : ils n'ont ni le même rôle ni le même ordre de grandeur.
Hypothèse validée : Compression axiale pure, sans moment. En flexion composée, il faudrait combiner avec les critères d'interaction.
Vérification croisée : Pour un élancement relatif de 1,627, la loi asymptotique \( 1/\lambda_{\text{rel}}^{2} = 0{,}378 \) donne un ordre de grandeur voisin. La formule complète est un peu plus sévère.
Finalité : Ce coefficient multipliera la résistance de calcul dans la vérification finale.

\[ \begin{aligned} k_{\text{c}} &= \frac{1}{1{,}890 + \sqrt{1{,}890^{2} - 1{,}627^{2}}} \\ &= \frac{1}{1{,}890 + 0{,}962} = \mathbf{0{,}351} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,351 : près de deux tiers de la résistance disparaissent. Voyons ce que cela signifie.

Ordre de grandeur : Un peu plus d'un tiers de la résistance reste utilisable. C'est une pénalité très lourde, cohérente avec un élancement de 99.
Impact sur la suite : La résistance de calcul, quelle qu'elle soit, sera divisée par près de trois avant d'être comparée à la contrainte.
Cohérence : La loi asymptotique donnerait 0,378 : la formule complète est 7 % plus sévère, l'écart venant du terme de rectitude.
Attention : Avec le module du GL24h, on aurait obtenu 0,322, soit 8 % de moins. L'erreur de la note reprise était sécuritaire sur ce point précis.
Comparaison : Sur l'axe fort, le coefficient vaudrait 0,651 — presque le double. C'est l'écart que rattrapera un maintien latéral à la question 4.

Remarque pédagogique : Faites tracer la courbe \( k_{\text{c}}(\lambda_{\text{rel}}) \) de 0 à 2. Sa forme explique tout : plate jusqu'à 0,3, très raide entre 0,5 et 1,5, puis décroissante en \( 1/\lambda^{2} \). Presque tous les poteaux de bâtiment tombent dans la zone raide, ce qui signifie qu'un petit changement de longueur de flambement produit un grand changement de capacité. C'est exactement ce que la question 4 va exploiter.

RÉSULTAT FINAL

Coefficient de flambement = 0,351 — pour un élancement relatif de 1,627 ; la note reprise annonçait 0,322

"Une classe, une ligne, toutes les valeurs : on ne pioche pas dans un tableau au fil du calcul !"

Question 3 : Résistance de calcul et contrainte appliquée

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est ici que se joue la vraie partie. La note que je reprends emploie \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) alors que la charge est permanente : le tableau 3.1 donne 0,60. Un tiers de capacité gagné sans justification. Elle emploie aussi \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \), coefficient du bois massif, sur une pièce en lamellé-collé qui a droit à 1,25 — celle-là joue dans l'autre sens, mais elle est tout aussi fausse. Deux erreurs de signe opposé ne s'annulent pas : elles s'additionnent en défaut de rigueur. Je vais chiffrer la résistance correcte, puis reconstituer celle de la note pour mesurer l'écart."

Observation : La charge est entièrement permanente : poids propre de la structure portée. Aucun terme variable ne vient relever la classe de durée.
Analyse du risque : Le coefficient de durée est le paramètre le plus lourd de toute la vérification : il fait varier la capacité de 0,60 à 1,10, soit un rapport de près de deux.
Choix stratégique : Je calcule la résistance correcte, puis celle de la note reprise, pour que l'écart soit visible et non pas seulement affirmé.
Alternative : Si une part de la charge était variable, la combinaison la plus courte durée s'appliquerait — mais à l'ensemble de la combinaison, pas à sa seule part variable.
Objectif visé : Disposer des deux nombres à comparer : la contrainte appliquée et la capacité réellement disponible.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f_{c,0,\text{d}} = \) 13,44 N/mm² · \( \sigma_{c,0,\text{d}} = \) 5,36 N/mm² · capacité \( k_{\text{c}}f_{c,0,\text{d}} = \) 4,71 N/mm² · la note reprise annonçait 17,23 N/mm² de résistance

Rappel Théorique : de la valeur caractéristique à la valeur de calcul

Entre la résistance mesurée en laboratoire et celle qu'on a le droit d'utiliser, deux coefficients interviennent — l'un pour la durée et l'humidité, l'autre pour l'incertitude sur le matériau.

Principe 1 — le bois flue et se rompt sous charge maintenue : Une pièce chargée en permanence cède à un niveau bien inférieur à sa résistance instantanée. C'est l'effet Madison, et le coefficient de durée le traduit.
Principe 2 — la combinaison la plus courte gouverne : Dans une combinaison, on retient le coefficient associé à l'action de plus courte durée. Ici, tout est permanent : aucune échappatoire.
Principe 3 — le coefficient partiel dépend du produit : 1,25 pour le lamellé-collé, 1,30 pour le bois massif. Le produit collé est plus régulier, donc moins pénalisé.
Principe 4 — le facteur d'échelle ne s'applique pas ici : Le coefficient \( k_{\text{h}} \) concerne la flexion et la traction axiale, pas la compression. Aucune majoration de ce côté.
Principe 5 — l'ordre des opérations est imposé : On calcule d'abord la résistance de calcul, puis on lui applique le coefficient de flambement. Multiplier la valeur caractéristique donnerait le même résultat, mais brouillerait la lecture de la note.

Équations Fondamentales

Deux relations élémentaires, mais dont les paramètres font toute la difficulté.

Résistance de calcul en compression — EN 1995-1-1 § 2.4.1 :

Elle transforme une valeur d'essai en valeur utilisable en projet.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la valeur caractéristique est mesurée en laboratoire, sur éprouvette conditionnée, en quelques minutes. La réalité est autre : la pièce porte pendant cinquante ans, dans une ambiance qui varie, et son bois n'est pas exactement celui de l'éprouvette. Le premier coefficient corrige le temps et l'humidité, le second couvre la dispersion du matériau et les écarts du modèle de calcul.

Contexte de validité : Toute vérification aux états limites ultimes en bois. Les états limites de service emploient d'autres coefficients.
Avantage : Elle sépare clairement ce qui relève du chargement et ce qui relève du matériau.
Paramètre clé : \( k_{\text{mod}} \), qui varie de 0,60 à 1,10 : c'est de loin le terme le plus influent.
Vérification : La résistance de calcul est toujours inférieure à la caractéristique — ici environ la moitié.
Limite : Elle ne dit rien de la stabilité. Le coefficient de flambement s'y ajoute ensuite.

\[ \begin{aligned} f_{c,0,\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}}\,f_{c,0,\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : le bois n'a pas la même résistance selon la durée pendant laquelle on le charge. Une rafale de vent de quelques secondes autorise 1,10. Une charge portée cinquante ans n'autorise que 0,60. Le même bois, deux capacités dans un rapport de près de deux : c'est ce que traduit ce coefficient.

Décomposition des termes :

\( f_{c,0,\text{d}} \) : résistance de calcul en compression axiale, unité : N/mm²
\( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) : charge permanente, classe de service 1, tableau 3.1, unité : sans dimension
\( f_{c,0,\text{k}} = 28 \) : résistance caractéristique du GL28h, unité : N/mm²
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) : coefficient partiel du lamellé-collé, tableau 2.3, unité : sans dimension
Rapport global : 0,48, soit moins de la moitié de la valeur caractéristique, unité : —

Contrainte de compression appliquée :

La sollicitation, à comparer à la capacité réduite.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la compression axiale se répartit uniformément sur la section : chaque millimètre carré porte la même part. C'est la plus simple des contraintes, et la seule où l'aire brute suffit — la fissuration ne la réduit pas comme en cisaillement, et la position dans la hauteur n'intervient pas comme en flexion. Toute la subtilité de l'exercice est ailleurs : dans la capacité, pas dans la sollicitation.

Contexte de validité : Compression centrée. Une excentricité imposerait un calcul en flexion composée.
Avantage : Aucune ambiguïté : ni fibre extrême, ni section réduite, ni coefficient correcteur.
Paramètre clé : L'aire brute. Une entaille ou un percement en pied imposerait de retenir l'aire nette.
Vérification : 150 kN sur 280 cm² donne environ 5,4 N/mm² : l'ordre de grandeur se contrôle de tête.
Limite : La contrainte est la même sur les 4 mètres, mais l'effet de la compression, lui, dépend de la longueur : c'est tout le problème du flambement.

\[ \begin{aligned} \sigma_{c,0,\text{d}} = \frac{N_{\text{d}}}{A} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la charge se partage également entre toutes les fibres. C'est le cas le plus favorable qui soit : rien n'est gaspillé, aucune fibre n'est plus chargée qu'une autre. Et pourtant le poteau ne passera pas — parce que ce n'est pas la contrainte qui décide, mais la stabilité.

Décomposition des termes :

\( \sigma_{c,0,\text{d}} \) : contrainte de compression parallèle au fil, unité : N/mm²
\( N_{\text{d}} = 150 \) : effort normal de calcul, déjà pondéré, unité : kN
\( A = 28\,000 \) : aire brute de la section 140 × 200, unité : mm²
Répartition : uniforme sur toute la section, unité : —
Indice 0 : compression parallèle au fil, à ne pas confondre avec l'indice 90, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de prendre \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) par habitude, sans lire la durée de la charge..."

L'approche d'ingénieur : C'est l'erreur la plus fréquente et la plus coûteuse de tout l'Eurocode 5. La valeur 0,80 correspond au moyen terme, pas au permanent.

L'erreur : Retenir 0,80 pour une charge permanente. La résistance de calcul passerait de 13,44 à 17,92 N/mm², soit un tiers de capacité fictive.
La bonne méthode : Écrire la durée de chaque action avant d'ouvrir le tableau 3.1. Poids propre et équipements fixes : permanent, 0,60. Rien d'autre à discuter.
L'astuce de pro : Dans une combinaison, chercher l'action de plus courte durée : c'est elle qui donne le coefficient, appliqué ensuite à la combinaison entière.
Le moyen mnémotechnique : « Plus c'est long, plus c'est faible » — 1,10 pour l'instantané, 0,60 pour le permanent.
L'impact direct : Combinée à l'emploi de \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \), cette erreur donnait dans la note reprise une résistance de 17,23 au lieu de 13,44 N/mm² : 28 % de trop.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( f_{c,0,\text{k}} \) : en N/mm² , identique au MPa
\( k_{\text{mod}} \) et \( \gamma_{\text{M}} \) : grandeurs sans unité
\( N_{\text{d}} \) : converti de kN en N , soit 150 000
\( A \) : en mm² , soit 28 000
N divisé par mm² : bien des N/mm²

Le seul piège dimensionnel est la conversion de l'effort : 150 kN valent 150 000 N. L'oublier donnerait 0,005 N/mm², et le poteau paraîtrait vérifié mille fois. L'ordre de grandeur attendu est de quelques N/mm² : une contrainte de compression en bois de bâtiment se situe presque toujours entre 2 et 10.

1. Résolution Numérique Résistance de calcul en compression

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la valeur que le poteau a réellement le droit d'atteindre, avant même de tenir compte du flambement.

Méthodologie du calcul :

Application du § 2.4.1 avec les deux coefficients correctement choisis.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) — charge permanente, classe de service 1 — et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \).
Piège évité : Ne pas retenir 0,80, qui correspond au moyen terme. Le poids propre de la structure portée ne s'en va jamais.
Hypothèse validée : Poteau intérieur, classe de service 1 ; en classe 2, le coefficient tomberait à 0,60 également, mais en classe 3 à 0,50.
Vérification croisée : Le rapport global vaut 0,48 : la résistance de calcul représente moins de la moitié de la valeur caractéristique.
Finalité : Cette valeur sera ensuite réduite par le coefficient de flambement.

\[ \begin{aligned} f_{c,0,\text{d}} &= \frac{0{,}60 \times 28}{1{,}25} \\ &= \frac{16{,}80}{1{,}25} = \mathbf{13{,}44 \ \text{N/mm}^2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

13,44 N/mm² pour un bois annoncé à 28. Voyons où est passée la moitié.

Ordre de grandeur : 48 % de la valeur caractéristique. Le coefficient de durée en retire 40 %, le coefficient partiel 20 % du reste.
Impact sur la suite : Après application du coefficient de flambement, il ne restera qu'environ 4,7 N/mm² — un sixième de la valeur d'essai.
Cohérence : Le lamellé-collé profite ici de son coefficient partiel réduit : en bois massif, avec 1,30, on n'aurait que 12,92 N/mm².
Attention : Si la charge comportait une part de courte durée, le coefficient monterait à 0,90 et la résistance à 20,16 N/mm². La durée n'est pas un détail administratif.
Comparaison : Un GL24h donnerait 11,52 N/mm² : le choix de la classe pèse moins que celui de la durée.

Remarque pédagogique : Faites écrire la durée de chaque action avant tout calcul, dans un petit tableau en tête de note. Cinq lignes suffisent, et elles évitent l'erreur la plus répandue de l'Eurocode 5. Un étudiant qui prend l'habitude de justifier son coefficient de durée en une phrase ne le choisira plus jamais au hasard.

Ce qu'annonçait la note reprise

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une erreur doit être chiffrée pour être comprise, et non simplement signalée.

Méthodologie du calcul :

Reconstitution de la résistance obtenue avec les deux coefficients erronés de la note d'origine.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) — valeur du moyen terme — et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) — valeur du bois massif.
Piège évité : Ne pas croire que les deux erreurs se compensent : la première majore de 33 %, la seconde ne minore que de 4 %.
Hypothèse validée : Ces deux valeurs figurent bien telles quelles dans la note reprise ; il ne s'agit pas d'une interprétation.
Vérification croisée : Le rapport des deux résistances vaut \( (0{,}80/0{,}60) \times (1{,}25/1{,}30) = 1{,}282 \), ce que confirme 17,23/13,44.
Finalité : Mesurer la part de l'écart final imputable au matériau, avant celle imputable au module.

\[ \begin{aligned} f_{c,0,\text{d}}^{\text{note}} &= \frac{0{,}80 \times 28}{1{,}30} \\ &= \frac{22{,}40}{1{,}30} = \mathbf{17{,}23 \ \text{N/mm}^2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

17,23 contre 13,44 : 28 % de résistance en trop. Décomposons.

Ordre de grandeur : L'erreur sur la durée majore la capacité de 33 % à elle seule. C'est l'erreur lourde.
Impact sur la suite : Elle explique la plus grande part de l'écart entre le taux annoncé de 96 % et le taux réel.
Cohérence : L'erreur sur le coefficient partiel joue en sens inverse, mais ne retire que 4 % : elle ne compense presque rien.
Attention : Deux erreurs de sens opposé restent deux erreurs. Le résultat approximativement juste par compensation est le pire des cas : il masque la méthode fausse.
Comparaison : Cumulée à l'erreur de module de la question 2, l'ensemble donnait une capacité surestimée de 18 % — assez pour faire passer un poteau qui ne passe pas.

Remarque pédagogique : Faites toujours rejouer un calcul contesté avec les valeurs d'origine, plutôt que de le déclarer faux. Le chiffre obtenu doit reproduire exactement celui de la note critiquée : si ce n'est pas le cas, c'est qu'on n'a pas compris ce qu'a fait son auteur, et la critique perd toute valeur. En expertise, cette reconstitution est la première chose que demande un juge.

Contrainte de compression appliquée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la sollicitation, le membre de gauche du critère de vérification.

Méthodologie du calcul :

Division de l'effort normal de calcul par l'aire brute de la section.

Substitution : \( N_{\text{d}} = 150\,000 \) N et \( A = 140 \times 200 = 28\,000 \) mm².
Piège évité : Convertir l'effort en newtons. L'oubli donnerait 0,005 N/mm² et une vérification absurdement favorable.
Hypothèse validée : Effort déjà pondéré à l'ELU. Il ne faut pas lui réappliquer un coefficient de 1,35.
Vérification croisée : 15 tonnes sur 280 cm² font environ 54 kg/cm², soit 5,4 N/mm². L'ordre de grandeur est confirmé.
Finalité : Fournir le terme à comparer à la capacité réduite.

\[ \begin{aligned} \sigma_{c,0,\text{d}} &= \frac{150\,000}{28\,000} \\ &= \mathbf{5{,}36 \ \text{N/mm}^2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

5,36 N/mm² : une contrainte modeste. Et pourtant.

Ordre de grandeur : À peine 19 % de la résistance caractéristique du GL28h. Sans flambement, le poteau serait très largement surdimensionné.
Impact sur la suite : Comparée à 13,44 N/mm², elle donnerait un taux de 40 %. C'est le coefficient de flambement qui va tout changer.
Cohérence : Rapportée à la contrainte critique d'Euler de 10,58 N/mm², elle en représente la moitié : le poteau travaille à mi-chemin de sa charge de flambement théorique.
Attention : Une contrainte faible n'est pas un gage de sécurité pour une pièce élancée. C'est la leçon centrale de cet exercice.
Comparaison : En section 160 × 200, elle tomberait à 4,69 N/mm², soit 13 % de moins.

Remarque pédagogique : Faites comparer cette contrainte à la contrainte critique avant toute autre chose. Le rapport de 5,36 à 10,58 dit immédiatement que la marge vis-à-vis du flambement est de deux, sans coefficient partiel ni coefficient de durée. Ce genre de repère brut, calculé en dix secondes, oriente le jugement bien avant que la note ne soit terminée.

Capacité résistante après flambement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la valeur réellement opposable à la contrainte, une fois l'instabilité prise en compte.

Méthodologie du calcul :

Produit de la résistance de calcul par le coefficient de flambement du plan critique.

Substitution : \( k_{\text{c}} = 0{,}351 \), valeur de l'axe faible, et \( f_{c,0,\text{d}} = 13{,}44 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas retenir le coefficient de l'axe fort, 0,651. Un poteau flambe dans le plan le plus défavorable, pas dans celui qu'on préfère.
Hypothèse validée : Aucun maintien latéral intermédiaire : les deux longueurs de flambement valent 4 mètres.
Vérification croisée : Le produit \( k_{\text{c}}f_{c,0,\text{k}} = 9{,}83 \) N/mm² reste inférieur à la contrainte critique de 10,58 : cohérent, puisque la courbe est en dessous de l'hyperbole d'Euler.
Finalité : Fournir le membre de droite du critère de la question 4.

\[ \begin{aligned} k_{\text{c}}\,f_{c,0,\text{d}} &= 0{,}351 \times 13{,}44 \\ &= \mathbf{4{,}71 \ \text{N/mm}^2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

4,71 N/mm² face à 5,36 appliqués. Le compte n'y est pas.

Ordre de grandeur : La capacité est inférieure à la contrainte appliquée. Le poteau n'est pas vérifié, et la question 4 le chiffrera.
Impact sur la suite : Il manque 0,65 N/mm², soit 12 % de la sollicitation. Ce n'est pas un dépassement marginal.
Cohérence : 4,71 sur 28 : il ne reste que 17 % de la résistance annoncée du bois. Durée, coefficient partiel et flambement se sont succédé.
Cas d'école : La note reprise obtenait 5,55 N/mm², soit 18 % de plus — juste assez pour conclure à tort.
Comparaison : Avec un maintien à mi-hauteur, elle monterait à 8,75 N/mm² : le problème se règle par la géométrie, pas par le matériau.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que de 28 N/mm² annoncés il ne reste que 4,71 réellement utilisables, soit un sixième. Cette chute n'a rien d'anormal : elle est le produit de trois réductions indépendantes et légitimes. Un étudiant qui a vu ce chemin une fois comprend pourquoi les sections en bois paraissent généreuses par rapport à l'acier, et cesse de trouver l'Eurocode 5 excessivement sévère.

RÉSULTAT FINAL

Capacité disponible = 4,71 N/mm² — contre 5,36 N/mm² appliqués : la marge est négative

"Plus c'est long, plus c'est faible : le poids propre ne s'en va jamais !"

Question 4 : Vérification, charge admissible et remèdes

Dans la tête de l'ingénieur

"Le verdict est acquis : le poteau ne passe pas, et la note d'origine qui annonçait 96 % se trompait de 18 % sur la capacité. Reste le travail qui a de la valeur : dire de combien on dépasse, quelle charge le poteau accepterait réellement, et surtout comment rattraper. Deux voies s'offrent. Épaissir la section : coûteux, et le gain est plus faible qu'on ne croit. Ou bloquer le poteau à mi-hauteur dans le plan faible, ce qui divise par deux la longueur de flambement sans ajouter un gramme de bois. Une pièce de contreventement horizontale, quelques équerres, et l'axe faible cesse d'être le problème."

Observation : Le dépassement est de 14 % : ni marginal, ni catastrophique. Trop pour être négligé, assez peu pour être rattrapé simplement.
Analyse du risque : Un dépassement au flambement ne prévient pas. La ruine est brutale, sans fissuration ni flèche annonciatrice.
Choix stratégique : Je chiffre le maintien à mi-hauteur, qui coûte presque rien, avant d'envisager d'élargir la section.
Alternative : Passer en GL32h ne servirait presque à rien : à cet élancement, c'est la rigidité qui gouverne, et elle varie peu d'une classe à l'autre.
Objectif visé : Sortir avec un taux de travail, une charge admissible, et une solution constructive chiffrée.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Taux de travail = 114 % — NON VÉRIFIÉ · charge admissible 132 kN · avec un maintien à mi-hauteur : 61 %

Rappel Théorique : conclure, puis corriger

Une vérification qui échoue n'est pas la fin de l'étude : c'est le début du dimensionnement. Encore faut-il agir sur le bon paramètre.

Principe 1 — le critère porte sur la capacité réduite : On compare la contrainte au produit \( k_{\text{c}}f_{c,0,\text{d}} \), et non à la résistance seule.
Principe 2 — le plan critique peut changer : Dès qu'on bride un plan, l'autre devient déterminant. La vérification doit être refaite dans les deux plans après toute modification.
Principe 3 — la longueur agit au carré : Diviser la longueur de flambement par deux divise l'élancement par deux et quadruple la charge critique.
Principe 4 — élargir coûte cher pour peu : Passer de 140 à 160 mm ajoute 14 % de bois et ne fait gagner que 28 % de capacité, parce que la contrainte baisse en même temps.
Principe 5 — changer de classe ne sert presque à rien : Dans la zone élastique, la capacité suit le module, qui varie de 10 % d'une classe à l'autre alors que la résistance varie de 30 %.

Équations Fondamentales

Le critère proprement dit, puis la relation qui gouverne l'effet d'un maintien latéral.

Critère de vérification au flambement — EN 1995-1-1 § 6.3.2(3) :

La conclusion de toute la chaîne de calcul.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un critère de vérification doit être lisible et comparable d'un élément à l'autre. En rabaissant la résistance plutôt qu'en introduisant un critère d'une autre nature, l'Eurocode permet d'écrire toutes les vérifications sous la même forme : une sollicitation, une capacité, un rapport. L'ingénieur lit un taux de travail, et ce taux a le même sens qu'il s'agisse d'une poutre en flexion ou d'un poteau élancé.

Contexte de validité : Compression axiale seule. Avec un moment, il faudrait passer aux critères d'interaction du § 6.3.2(3).
Avantage : Le taux de travail se compare directement à celui des autres éléments du projet.
Paramètre clé : Le coefficient du plan le plus défavorable, jamais une moyenne des deux.
Vérification : Le critère doit être écrit dans les deux plans, même si l'un est manifestement plus favorable.
Limite : Il ne couvre ni le flambement par torsion, ni les assemblages d'extrémité, qui relèvent d'autres vérifications.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,\text{d}}}{k_{\text{c}}\,f_{c,0,\text{d}}} \leq 1 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce que je demande au poteau doit rester en dessous de ce qu'il peut donner une fois son élancement pris en compte. Ici le rapport vaut 1,14 : on demande 14 % de plus que ce qui est disponible. Le poteau n'en informera pas ses occupants — il tiendra jusqu'au jour où il ne tiendra plus.

Décomposition des termes :

\( \sigma_{c,0,\text{d}} \) : contrainte appliquée, 5,36, unité : N/mm²
\( k_{\text{c}} \) : coefficient du plan critique, ici 0,351, unité : sans dimension
\( f_{c,0,\text{d}} \) : résistance de calcul, 13,44, unité : N/mm²
Rapport : le taux de travail, exprimé en pourcentage, unité : %
Seuil : 1, sans tolérance ni arrondi favorable, unité : —

Effet d'un maintien latéral sur l'élancement :

Le levier le plus efficace pour un poteau élancé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la longueur de flambement n'est pas la longueur de la pièce : c'est la distance entre points tenus dans le plan considéré. Une pièce horizontale qui bloque le déplacement latéral à mi-hauteur coupe le poteau en deux du point de vue du flambement, sans rien changer à sa géométrie. C'est le seul paramètre du calcul qu'on modifie à coût presque nul, et il agit au carré sur la charge critique.

Contexte de validité : Le maintien doit être effectif : capable de reprendre environ 2 % de l'effort normal et convenablement ancré.
Avantage : Quelques kilos d'acier et de bois remplacent des dizaines de kilos de section supplémentaire.
Paramètre clé : Le plan tenu. Un maintien dans le mauvais plan ne sert à rien.
Vérification : Après maintien, contrôler que l'autre plan n'est pas devenu critique — c'est précisément ce qui se produit ici.
Limite : Un maintien qui n'est qu'un appui de contact, sans fixation, ne peut pas être compté.

\[ \begin{aligned} \lambda_{z}' = \frac{L_{\text{f}}/2}{i_{z}} = \frac{\lambda_{z}}{2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce n'est pas la hauteur du poteau qui compte, mais la distance entre les points où on l'empêche de partir. Le poteau reste le même, le bois reste le même, la charge reste la même : seule la façon dont on le tient a changé, et la charge critique quadruple.

Décomposition des termes :

\( \lambda_{z}' \) : élancement dans le plan faible après maintien, unité : sans dimension
\( L_{\text{f}}/2 = 2\,000 \) : distance entre points tenus, unité : mm
\( i_{z} = 40{,}41 \) : rayon de giration inchangé, unité : mm
Effet sur \( N_{\text{cr}} \) : multiplication par quatre, unité : —
Condition : le maintien doit être fixé, pas simplement en contact, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de s'arrêter une fois le plan faible bridé, sans revérifier l'autre plan..."

L'approche d'ingénieur : Brider un plan ne fait pas disparaître le flambement : cela le déplace. Le calcul doit être repris en entier dans les deux plans.

L'erreur : Croire qu'avec un maintien à mi-hauteur le coefficient passe à 0,889 et le taux à 45 %. C'est faux : l'axe fort devient critique, avec 0,651, et le taux réel est de 61 %.
La bonne méthode : Après toute modification, recalculer les deux coefficients et retenir le plus petit. La bascule d'axe critique est la règle, pas l'exception.
L'astuce de pro : Le maintien optimal est celui qui égalise les deux élancements : au-delà, on ajoute du contreventement sans rien gagner.
Le moyen mnémotechnique : « On ne supprime pas le flambement, on le déménage ».
L'impact direct : Croire au taux de 45 % conduirait à supprimer le maintien du plan fort en pensant avoir de la marge, et à retomber en dessous du critère.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Numérateur et dénominateur du critère : tous deux en N/mm²
Le taux de travail : grandeur sans unité , exprimée en %
Charge admissible : N/mm² × mm² = N , converti en kN
\( L_{\text{f}}/2 \) et \( i_{z} \) : tous deux en mm
Élancements et coefficients : grandeurs sans unité

La seule conversion de cette question est celle de la charge admissible : une capacité en N/mm² multipliée par une aire en mm² donne des newtons, à diviser par mille. L'ordre de grandeur attendu est de quelques dizaines à quelques centaines de kilonewtons pour un poteau de bâtiment : un résultat en méganewtons signalerait une conversion oubliée.

1. Résolution Numérique Taux de travail du poteau

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conclusion attendue de la note : vérifié ou non, et de combien.

Méthodologie du calcul :

Rapport de la contrainte appliquée à la capacité réduite par le flambement.

Substitution : \( \sigma_{c,0,\text{d}} = 5{,}36 \) N/mm² et \( k_{\text{c}}f_{c,0,\text{d}} = 4{,}71 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas comparer à \( f_{c,0,\text{d}} \) seule, ce qui donnerait 40 % et une conclusion inverse.
Hypothèse validée : Coefficient de l'axe faible, seul plan sans maintien intermédiaire.
Vérification croisée : L'écart de 0,65 N/mm² sur 4,71 représente bien 14 %.
Finalité : Conclure formellement, puis quantifier ce qu'il faut corriger.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,\text{d}}}{k_{\text{c}}f_{c,0,\text{d}}} &= \frac{5{,}36}{4{,}71} \\ &= \mathbf{1{,}14} \ \Rightarrow \ \mathbf{114\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

114 % : le poteau n'est pas vérifié. La note reprise annonçait 96 %.

Ordre de grandeur : Dépassement de 14 %. Ce n'est pas une question d'arrondi : aucun ajustement de détail ne le rattrapera.
Impact sur la suite : Il faut soit réduire la charge, soit brider le poteau, soit l'élargir. Les trois voies vont être chiffrées.
Cohérence : L'écart avec les 96 % de la note reprise s'explique intégralement par les trois corrections : durée, coefficient partiel et module.
Cas d'école : Un taux annoncé entre 90 et 100 % doit toujours alerter : c'est la plage où une erreur de coefficient fait basculer la conclusion.
Comparaison : Si la charge était de courte durée, le même poteau afficherait 76 % et passerait sans difficulté.

Remarque pédagogique : Faites comparer 114 % à ce qu'aurait donné une vérification en compression simple : 40 %. L'écart entre ces deux nombres est toute la matière de l'exercice. Un étudiant qui a une fois écrit « 40 %, largement vérifié » avant de découvrir 114 % ne néglige plus jamais le flambement d'une pièce comprimée.

Charge normale admissible

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un maître d'ouvrage a besoin d'un nombre, pas d'un pourcentage de dépassement.

Méthodologie du calcul :

Multiplication de la capacité par l'aire de la section, puis conversion en kilonewtons.

Substitution : \( k_{\text{c}}f_{c,0,\text{d}} = 4{,}71 \) N/mm² et \( A = 28\,000 \) mm².
Piège évité : Diviser par mille pour obtenir des kN. Un résultat de 132 000 newtons se lit mal dans une note.
Hypothèse validée : Charge permanente et poteau non maintenu : c'est la configuration la plus défavorable des deux paramètres.
Vérification croisée : 132 kN rapportés aux 150 kN appliqués donnent 88 %, soit exactement l'inverse du taux de 114 %.
Finalité : Fournir la valeur exploitable si l'on choisit de réduire la charge plutôt que de renforcer.

\[ \begin{aligned} N_{\text{adm}} &= \frac{4{,}71 \times 28\,000}{1\,000} \\ &= \mathbf{132 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

132 kN contre 150 demandés : il manque 18 kN.

Ordre de grandeur : Il faudrait décharger de 12 % pour rentrer dans le critère — soit environ une tonne huit.
Impact sur la suite : Redistribuer 18 kN sur les poteaux voisins est parfois possible, mais suppose de revoir toute la descente de charges.
Cohérence : Cette charge admissible représente 45 % de la charge critique d'Euler de 296 kN. Le rapport global de sécurité vis-à-vis de l'instabilité est donc de 2,2.
Attention : Cette valeur est propre à une charge permanente. Le même poteau accepterait 198 kN sous charge de courte durée.
Comparaison : La note reprise autorisait implicitement 155 kN, soit 18 % de plus que la réalité.

Remarque pédagogique : Faites systématiquement convertir un taux de travail en charge admissible. « 114 % » ne parle qu'aux ingénieurs ; « le poteau accepte 132 kN et on lui en demande 150 » parle à tout le monde, y compris au maître d'ouvrage qui devra financer la correction. Savoir traduire un résultat de calcul en grandeur physique est une compétence à part entière.

Coefficient de flambement de l'axe fort

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que si l'on bride le plan faible, c'est cet axe qui deviendra déterminant.

Méthodologie du calcul :

Reprise de la chaîne complète de la question 2, appliquée à l'élancement de l'axe fort.

Substitution : \( \lambda_{y} = 69{,}28 \), d'où \( \lambda_{\text{rel},y} = 1{,}139 \) puis \( k = 1{,}190 \).
Piège évité : Ne pas supposer que l'axe fort est hors de danger : son élancement relatif dépasse encore largement le seuil de 0,3.
Hypothèse validée : Aucun maintien dans ce plan : la longueur de flambement y reste de 4 mètres.
Vérification croisée : Avec un maintien à mi-hauteur, le plan faible remonterait à \( k_{\text{c},z} = 0{,}889 \) : c'est bien l'axe fort, avec 0,651, qui gouverne alors.
Finalité : Établir le coefficient qui s'appliquera après renforcement.

\[ \begin{aligned} k_{\text{c},y} &= \frac{1}{1{,}190 + \sqrt{1{,}190^{2} - 1{,}139^{2}}} \\ &= \frac{1}{1{,}190 + 0{,}347} = \mathbf{0{,}651} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,651, contre 0,351 sur l'axe faible : presque le double.

Ordre de grandeur : Deux tiers de la résistance restent utilisables sur l'axe fort, contre un tiers seulement sur l'axe faible.
Impact sur la suite : C'est ce coefficient qui plafonnera le gain d'un maintien latéral : inutile d'espérer mieux que 0,651.
Cohérence : Un rapport d'élancements de 1,43 produit un rapport de coefficients de 1,85 : la courbe amplifie fortement les écarts géométriques.
Attention : Avec un élancement relatif de 1,139, cet axe se situe dans la zone de ruine mixte : ni écrasement pur, ni instabilité élastique pure.
Comparaison : Une section carrée de même aire, 167 × 167, donnerait un coefficient unique de 0,486 dans les deux plans : mieux que 0,351, moins bien que 0,651.

Remarque pédagogique : Faites calculer les deux coefficients dès la première itération, même quand l'un des deux paraît manifestement décisif. Le coût est de trois lignes, et le bénéfice est immédiat dès qu'on cherche un remède : on sait tout de suite jusqu'où il est utile de brider, et à partir de quand tout renforcement supplémentaire est de l'argent perdu.

Taux de travail avec un maintien à mi-hauteur

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le remède recommandé, et qu'il doit être chiffré comme le reste.

Méthodologie du calcul :

Reprise du critère avec le coefficient du plan devenu critique après bascule d'axe.

Substitution : \( k_{\text{c}} = 0{,}651 \) — celui de l'axe fort, désormais le plus faible des deux — et \( f_{c,0,\text{d}} = 13{,}44 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas employer 0,889, valeur du plan faible bridé. Le flambement s'est déplacé, il n'a pas disparu.
Hypothèse validée : Maintien effectif, fixé mécaniquement, capable de reprendre environ 2 % de l'effort normal, soit 3 kN.
Vérification croisée : Le rapport 0,651/0,351 = 1,85 doit se retrouver entre les deux taux : 114/61 = 1,87, aux arrondis près.
Finalité : Démontrer qu'une pièce de contreventement résout le problème sans toucher à la section.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,\text{d}}}{k_{\text{c},y}f_{c,0,\text{d}}} &= \frac{5{,}36}{0{,}651 \times 13{,}44} \\ &= \frac{5{,}36}{8{,}75} = \mathbf{61\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

De 114 % à 61 % sans ajouter un gramme de bois au poteau.

Ordre de grandeur : Le taux est presque divisé par deux. Le poteau passe de refusé à confortablement vérifié.
Impact sur la suite : La charge admissible remonte à 245 kN, soit 86 % de plus qu'avant maintien.
Cohérence : Le gain est plafonné par l'axe fort : brider davantage le plan faible, au tiers de la hauteur par exemple, ne changerait plus rien.
Attention : Le maintien doit être tenu à ses deux extrémités par un élément de contreventement. Une pièce simplement clouée entre deux poteaux également libres ne tient rien.
Comparaison : Élargir la section à 160 × 200 donnerait 78 % : moins efficace, et 14 % de bois en plus sur toute la hauteur.

Remarque pédagogique : Faites comparer les deux remèdes en coût et non seulement en taux : quelques mètres de bois de contreventement et deux équerres contre 14 % de section supplémentaire sur toute la hauteur du poteau, et ce pour un résultat moins bon. C'est exactement le raisonnement qu'attend un bureau d'études, et il ne s'apprend qu'en chiffrant les deux options côte à côte.

Variante : la même charge en courte durée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il montre à quel point la durée — et non la section — décide de la conclusion.

Méthodologie du calcul :

Même poteau, même charge, même élancement : seul le coefficient de durée change.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \), valeur du court terme en classe de service 1, d'où \( f_{c,0,\text{d}} = 20{,}16 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas transposer ce résultat au cas réel : la charge de l'exercice est bien permanente.
Hypothèse validée : Le coefficient de flambement, lui, ne dépend pas de la durée : il reste à 0,351.
Vérification croisée : Le rapport des taux vaut 0,60/0,90 = 0,667, et 114 × 0,667 donne bien 76 %.
Finalité : Mesurer, sur un cas concret, le poids réel du coefficient de durée.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,\text{d}}}{k_{\text{c}}f_{c,0,\text{d}}} &= \frac{5{,}36}{0{,}351 \times 20{,}16} \\ &= \frac{5{,}36}{7{,}08} = \mathbf{76\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

76 % au lieu de 114 % : le même poteau, la même charge, une durée différente.

Ordre de grandeur : Un tiers de taux en moins, uniquement par le coefficient de durée. Aucune modification physique.
Impact sur la suite : Cela explique pourquoi l'erreur de la note reprise était décisive : elle jouait exactement sur ce paramètre.
Cohérence : La charge admissible passerait de 132 à 198 kN, soit 50 % de plus.
Attention : Une charge de bâtiment comporte presque toujours une part permanente importante. Le cas court terme pur est l'exception.
Comparaison : Le coefficient de durée pèse ici plus lourd que le passage de 140 à 160 mm de largeur, qui ne fait descendre le taux qu'à 78 %.

Remarque pédagogique : Faites classer les paramètres par influence : le maintien latéral fait gagner 53 points de taux, la durée 38, l'élargissement de section 36. Cette hiérarchie, établie sur un cas réel, vaut mieux que n'importe quel discours sur l'importance relative des coefficients. Elle apprend surtout où porter l'effort quand il faut rattraper une vérification qui échoue.

RÉSULTAT FINAL

Taux de travail = 114 % — NON VÉRIFIÉ — charge admissible 132 kN ; avec un maintien à mi-hauteur, le taux tombe à 61 %

"On ne supprime pas le flambement, on le déménage : après bridage, l'autre axe décide !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — la déformée de flambement et l'axe qui décide

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de vérification :

J'ai calculé l'élancement dans les deux plans et retenu le plus grand. J'ai employé \( E_{0,05} \) et non \( E_{0,\text{mean}} \), parce qu'il s'agit d'une instabilité. J'ai lu toutes les valeurs sur la ligne du GL28h, sans piocher dans les classes voisines. J'ai retenu \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) , la charge étant permanente, et non 0,80 par habitude. J'ai appliqué \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) , valeur du lamellé-collé, et non 1,30. J'ai comparé la contrainte à la capacité réduite \( k_{\text{c}}f_{c,0,\text{d}} \), et non à \( f_{c,0,\text{d}} \) seule. Après avoir bridé un plan, j'ai revérifié l'autre , qui est devenu critique.

Avis technique — poteau 140 × 200 mm en GL28h NON VÉRIFIÉ au flambement, avec un taux de travail de 114 %. L'axe faible, de rayon de giration 40,41 mm, donne un élancement de 99,0 contre 69,3 sur l'axe fort. La charge critique d'Euler vaut 296 kN, soit une contrainte critique de 10,58 N/mm², d'où un élancement relatif de 1,627 et un coefficient de flambement de 0,351. La résistance de calcul, avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \), s'établit à 13,44 N/mm², ce qui laisse une capacité disponible de 4,71 N/mm² face aux 5,36 N/mm² appliqués. La charge normale admissible n'est que de 132 kN pour 150 kN demandés. Un maintien latéral à mi-hauteur dans le plan faible ramène le taux à 61 % : c'est la solution retenue.

Trois défauts dans la note reprise, et un seul qui décide : \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) sur une charge permanente majore la capacité de 33 % et suffit à faire passer le taux de 114 à 96 %. Le résultat structurel tient en une phrase : comparée à la seule résistance de calcul, la sollicitation ne représente que 40 % — c'est le flambement de l'axe faible qui refuse le poteau. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle isole la part de chaque erreur, désigne le plan qui gouverne, et chiffre le remède qui coûte le moins.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{\text{c},90} \) — § 6.1.5 : 1,25 et 1,50 pour le bois massif selon l'appui, 1,50 et 1,75 pour le lamellé-collé, et l'extension fixe de 30 mm.
NF EN 14080 — bois lamellé-collé : les valeurs caractéristiques du GL24h employées ici.

Vérification au Flambement d'un Poteau en Bois

Vérification au Flambement d'un Poteau en Bois

Le premier mois à 1 €

Flambement d'un poteau en lamellé-collé GL28h : l'axe faible décide

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Élancements et charge critique

Question 2 : Élancement relatif et coefficient de flambement

Question 3 : Résistance de calcul et contrainte appliquée

Question 4 (Finale) : Vérification et dispositions correctives

Flambement d'un poteau en lamellé-collé GL28h : l'axe faible décide

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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