Exercice corrigé

Traitement de l'eau par coagulation-floculation

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 25 mars 2026• 77 min de lecture• 4 vues

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Étude de cas · Note de calculs Réf. EP-20-FLO

Traitement de l'eau par coagulation-floculation

Dimensionnement d'un floculateur à agitation mécanique : consommation de réactif, volume de l'ouvrage, puissance de mélange et compartimentation.

NiveauLicence / Master Génie Civil — Traitement des eaux

DomaineEau potable — génie des procédés

ThèmeCoagulation-floculation & formule de Camp et Stein

PrérequisDosage d'un réactif en solution · Matière active et produit commercial · Temps de séjour hydraulique · Gradient de vitesse · Viscosité dynamique · Réacteurs en série

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une station de production d'eau potable de 1500 mètres cubes par heure doit se doter d'un floculateur à agitation mécanique. L'ouvrage se situe entre l'injection du coagulant, qui neutralise les charges des colloïdes en quelques secondes, et la décantation, qui sépare les flocs de l'eau. Entre les deux, il faut du temps et de l'énergie : du temps pour que les particules déstabilisées se rencontrent, de l'énergie pour provoquer ces rencontres sans briser les agrégats qui se forment. Le dimensionnement d'un floculateur consiste précisément à doser ces deux grandeurs.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent la démarche, du réactif à commander jusqu'à l'énergie de mélange à installer :

Enjeu Principal : Le réactif acheté n'est pas le réactif qui agit. La dose porte sur la matière active, alors que le produit livré est une solution : confondre les deux fausse la logistique de toute la station.
Le temps est une donnée réglementée : Le temps de séjour d'un floculateur n'est pas un paramètre libre. Le référentiel de conception fixe un minimum qui dépend de la technologie employée, et ce minimum commande directement le volume de génie civil.
L'énergie au carré : La puissance de mélange varie comme le carré du gradient de vitesse. Doubler l'intensité d'agitation quadruple la puissance à installer : c'est ce qui rend l'arbitrage sur le gradient si sensible.
L'astuce de l'ingénieur : Compartimenter l'ouvrage pour appliquer un gradient dégressif : fort au début pour multiplier les collisions, faible à la fin pour préserver les flocs formés.

Votre Mission :

Dimensionner le floculateur à agitation mécanique de la station. Vous établirez d'abord la consommation journalière de solution commerciale de chlorure ferrique, puis le volume de l'ouvrage compatible avec le temps de séjour exigé. Vous calculerez ensuite la puissance de mélange à dissiper, vous répartirez cette puissance entre les trois compartiments en série, et vous conclurez par le calcul du nombre de Camp.

Le grand défi : Comprendre qu'un floculateur ne se dimensionne pas sur une seule grandeur mais sur un couple : le temps de séjour et le gradient de vitesse, chacun encadré séparément par le référentiel de conception.
Votre rôle : Livrer un ouvrage conforme : un volume qui respecte le temps de séjour minimal imposé, une puissance calculée dans les conditions les plus défavorables, et une compartimentation qui applique le profil d'agitation recommandé.

PLAN DE REPÉRAGE — COUPE LONGITUDINALE DE LA FILIÈRE DE CLARIFICATION

Livrables Attendus (Checklist) :

La masse journalière de solution commerciale de chlorure ferrique à commander et à stocker.
Le volume du floculateur, confronté au temps de séjour minimal du référentiel.
La puissance de mélange à dissiper, établie dans les conditions les plus défavorables.
Le volume d'un compartiment et la répartition de la puissance selon le profil d'agitation recommandé.
Le nombre de Camp et son interprétation au regard des critères de conception.

2. Données Techniques & Normes

Les données de cette étude se répartissent en trois ensembles. Le premier décrit l'eau à traiter : un débit de production et une température, dont dépend la viscosité. Le deuxième porte sur le réactif : une dose et une concentration de solution commerciale. Le troisième fixe les paramètres de mélange : un temps de séjour, un gradient de vitesse et un nombre de compartiments. Les valeurs de référence mobilisées portent sur les temps de résidence minimaux en floculation, sur les gradients de vitesse admissibles et sur la plage usuelle de dosage des coagulants.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Les deux premières relations dosent le réactif, la troisième dimensionne l'ouvrage, les deux dernières chiffrent l'énergie de mélange.

Masse de matière active par jour \( M_{\text{pur}} = Q_{\text{jour}} \times \tau \)
Masse de solution commerciale par jour \( M_{\text{comm}} = \dfrac{M_{\text{pur}}}{C} \)
Volume d'un réacteur hydraulique \( V = Q \times t \)
Puissance de mélange (Camp et Stein) \( P = G^2 \times V \times \mu \)
Volume d'un compartiment \( V_{\text{comp}} = \dfrac{V}{n} \)
Nombre de Camp \( Gt = G \times t \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

EAU À TRAITER

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( Q \)	Débit de production de la station, supposé constant sur les vingt-quatre heures	1500	m³/h
\( \theta \)	Température moyenne annuelle de l'eau. Le référentiel signale que l'eau froide constitue le cas défavorable et peut justifier de prolonger les temps de contact Guide de conception — § 9.6.3.1	15	°C
\( \mu \)	Viscosité dynamique de l'eau à la température moyenne indiquée	1,139 × 10⁻³	Pa·s

RÉACTIF DE COAGULATION

Symbole	Description	Valeur	Unité
—	Coagulant retenu : chlorure ferrique, de formule FeCl₃. Sa gamme de pH d'utilisation s'étend de 5,5 à 8,5, avec un optimum à 8. En traitement des eaux, il est uniquement utilisé sous forme de solution aqueuse, stockée en bonbonnes, containers ou citernes Directive 1.2.2 DIT2 — § 3.2	FeCl₃	—
\( \tau \)	Taux de traitement optimal, exprimé en matière active. Cette valeur relève d'un essai de floculation sur l'eau à traiter, les doses usuelles étant encadrées entre 20 et 150 mg/L Directive 1.2.2 DIT2 — § 3.3	40	mg/L
\( C \)	Concentration massique de la solution commerciale livrée par le fournisseur	41	% en masse

PARAMÈTRES DE MÉLANGE ET DE COMPARTIMENTATION

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( t \)	Temps de séjour de floculation visé par le cahier des charges. Le référentiel encadre la floculation entre 6 et 30 minutes et fixe un minimum qui dépend de la technologie employée Guide de conception — § 9.7.3	25	min
\( G \)	Gradient de vitesse moyen visé. Le référentiel impose G supérieur à 10 s⁻¹ pour éviter la déposition du floc dans le bassin Guide de conception — § 9.7.3	30	s⁻¹
\( n \)	Nombre de compartiments identiques disposés en série. Le référentiel indique qu'il est parfois avantageux d'utiliser deux ou trois bassins en série, l'intensité de mélange devant alors être décroissante Guide de conception — § 9.7	3	—
\( Gt \)	Plage de nombre de Camp visée par le cahier des charges. Cette grandeur est un critère du maître d'ouvrage : le référentiel de conception consulté encadre séparément le temps de séjour et le gradient, sans fixer de plage pour leur produit	20 000 à 100 000	sans dimension

Cadre Normatif de Référence (Valeurs mobilisées dans la correction)

Les valeurs ci-dessous encadrent le dimensionnement d'un floculateur. Elles portent sur le temps de séjour, sur le gradient de vitesse et sur la géométrie de l'ouvrage.

Temps de résidence minimum en floculation (Guide de conception, § 9.7.3)

Technologie de floculation	Temps de résidence minimum
Coagulant seul	30 minutes
Coagulant et floculant	15 minutes
Coagulant, floculant et microsable	6 minutes

Critères de conception du bassin de floculation

Paramètre	Prescription
Durée totale de floculation	de 6 à 30 minutes au débit de conception ; une floculation trop longue conduit à la destruction progressive du floc
Gradient de vitesse minimal	G supérieur à 10 s⁻¹, pour éviter la déposition du floc dans le bassin
Bassins en série	deux ou trois bassins, avec une intensité de mélange décroissante de G = 60 s⁻¹ à 15 s⁻¹ dans chacun des bassins ; le temps total doit rester conforme aux exigences ci-dessus
Réglage de l'agitation	les agitateurs doivent être pourvus de variateurs de vitesse permettant l'ajustement de l'intensité de mélange
Vitesse d'extrémité de pale	inférieure à 0,6 m/s pour un floc fragile et à 1,2 m/s pour un floc fort, afin d'éviter le bris du floc
Profondeur du bassin	ne devrait pas excéder cinq mètres, en raison des courants instables parfois induits au-delà de cette profondeur
Dimension des pales	ratio D/T de 0,2 à 0,4, où D est la longueur des pales et T le diamètre équivalent du bassin
Transfert vers la décantation	vitesses d'acheminement de l'eau floculée de préférence entre 0,15 et 0,45 m/s, pour éviter la déposition et le bris des flocs

Détermination et conduite du dosage (Directive 1.2.2 DIT2, § 3 à 3.3)

Point	Prescription
Détermination de la dose	elle relève d'un essai de floculation mené sur l'eau à traiter ; les doses usuelles à encadrer lors de l'essai s'étendent de 20 à 150 mg/L
Fréquence de l'essai	il n'est pas nécessaire de le réaliser tous les jours, mais il est indispensable si la qualité de l'eau fluctue, ce qui est le cas d'une eau de surface en période pluvieuse
Excès de réactif	un excès de réactif provoque le même effet que la charge négative : les colloïdes se repoussent à nouveau et restent en suspension
Précision du dosage	le dosage doit être effectué avec précision : en excès, les composés se diluent dans l'eau traitée, qui pourrait devenir impropre à la consommation
Influence du pH	le floc se forme dans une zone de pH bien déterminée ; au-delà de 7,5 à 7,6 la précipitation n'est plus totale et une partie du réactif est gaspillée
Influence de la température	la chaleur accélère la réaction de floculation, sauf chaleur excessive ; on se réfèrera aux prescriptions du fournisseur

Deux étages à ne pas confondre : le bassin de coagulation et le bassin de floculation obéissent à des critères opposés. Le premier relève d'un mélange rapide : le référentiel lui assigne un temps de rétention d'au moins 1 à 2 minutes et un gradient de vitesse de l'ordre de 300 à 1500 s⁻¹, les valeurs supérieures s'appliquant à la coagulation par neutralisation des charges. Le second relève d'une agitation lente et prolongée, avec des gradients cent fois plus faibles et des temps vingt fois plus longs. Le présent exercice porte exclusivement sur le second. Appliquer au floculateur les gradients du bassin de coagulation briserait systématiquement les flocs formés.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche part du réactif et remonte vers l'ouvrage. La première étape relève de la chimie des réactifs : une dose devient une masse de produit commercial à commander. Les trois suivantes relèvent du génie des procédés : un temps de séjour donne un volume, ce volume et un gradient donnent une puissance, et cette puissance se répartit entre les compartiments. La dernière étape est un contrôle global : le nombre de Camp, qui combine l'intensité et la durée du mélange.

Question 1 : Consommation journalière de chlorure ferrique

Dosage des réactifs 25 min | Accessible

But de l'étape : Passer de la matière active qui agit dans l'eau au produit commercial que l'exploitant achète, stocke et injecte.

Énoncé Q1 : Calculez la masse de solution commerciale de chlorure ferrique nécessaire par jour, puis la consommation annuelle correspondante. Situez la dose retenue au regard des doses usuelles du référentiel .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Procédez en deux temps : d'abord le besoin en matière active sur la période, ensuite la correction par la concentration du produit réellement employé.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Une dose en mg/L équivaut à une dose en g/m³ : cette identité évite toute conversion laborieuse.

Question 2 : Volume total du floculateur

Temps de séjour hydraulique 30 min | Confirmé

But de l'étape : Traduire une durée en volume de génie civil, et confronter la durée visée au minimum imposé par le référentiel.

Énoncé Q2 : Déterminez le volume total du floculateur correspondant au temps de séjour visé. Vérifiez la conformité de ce temps de séjour au regard de la technologie de floculation retenue, et concluez sur le volume à retenir .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le volume d'un réacteur est le produit du débit par le temps de séjour, à condition que les deux soient exprimés dans la même base de temps.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le temps de résidence minimum dépend de la technologie : lisez attentivement quels réactifs sont mis en œuvre dans cette station.

Question 3 : Puissance de mélange à dissiper

Formule de Camp et Stein 35 min | Confirmé

But de l'étape : Chiffrer l'énergie de mélange à fournir, et identifier la condition de température la plus défavorable.

Énoncé Q3 : Calculez la puissance totale à dissiper dans le floculateur pour assurer le mélange. Examinez l'effet de la température de l'eau sur cette puissance et concluez sur la valeur à retenir pour le dimensionnement .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La puissance dépend du carré du gradient, du volume et de la viscosité : vérifiez que les trois grandeurs sont dans les unités du Système International.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La viscosité de l'eau augmente quand la température baisse : quelle saison constitue le cas dimensionnant ?

Question 4 : Compartimentation de l'ouvrage

Réacteurs en série 30 min | Confirmé

But de l'étape : Répartir le volume entre les trois cellules et appliquer le profil d'agitation que recommande le référentiel.

Énoncé Q4 : Le floculateur est divisé en trois compartiments identiques en série. Déterminez le volume d'un compartiment, puis établissez la puissance à installer sur chaque agitateur en appliquant le profil de gradient dégressif recommandé .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le volume se divise simplement, mais le gradient de vitesse ne doit pas rester uniforme : consultez les bornes du profil dégressif.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La puissance variant comme le carré du gradient, les trois agitateurs n'auront pas du tout la même taille.

Question 5 (Finale) : Nombre de Camp

Critère adimensionnel 25 min | BOSS

But de l'étape : Contrôler globalement la conception par un critère adimensionnel, et savoir ce qu'il vaut réellement comme preuve de conformité.

Le moment de vérité : le volume, la puissance et la compartimentation sont établis. Reste à vérifier que l'ensemble apporte à l'eau la bonne quantité totale de mélange.

Calculez le nombre de Camp pour la configuration visée par le cahier des charges, puis pour la configuration conforme au référentiel. Positionnez les deux valeurs et concluez sur la portée exacte de ce critère.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le gradient est donné en s⁻¹ et le temps en minutes : la première opération à faire est une conversion.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Avec un gradient variable d'un compartiment à l'autre, le nombre de Camp global est la somme des contributions de chaque cellule.

NOTE DE CALCULS

Traitement de l'eau par coagulation-floculation

Question 1 : Consommation journalière de chlorure ferrique

Dans la tête de l'ingénieur

« Quarante milligrammes par litre : voilà la dose. Mais quarante milligrammes de quoi, exactement ? De chlorure ferrique, la molécule qui réagit. Or ce que je commande au fournisseur, ce n'est pas du chlorure ferrique : c'est une solution aqueuse à quarante-et-un pour cent. Sur cent kilogrammes livrés, quarante-et-un travaillent et cinquante-neuf sont de l'eau. Si je commande sur la base de la dose, je commanderai moins de la moitié de ce qu'il faut, et la station sera à l'arrêt avant la fin de la semaine. »

Observation : la dose porte sur la matière active, alors que la livraison porte sur le produit commercial.
Analyse du risque : confondre les deux revient à sous-estimer de 59 % la quantité à commander, à sous-dimensionner les cuves et à espacer excessivement les livraisons.
Choix stratégique : procéder en deux temps : le besoin en matière active sur la journée, puis la correction par la concentration du produit livré.
Alternative : travailler directement en volume de solution. Écartée à ce stade : la masse volumique de la solution commerciale n'est pas une donnée de l'étude et doit être obtenue du fournisseur.
Objectif visé : livrer un tonnage journalier et annuel exploitable pour le dimensionnement du stockage et la passation du marché de réactifs.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

M_comm = 3512,2 kg/jour · soit 1282 tonnes de solution commerciale par an

Rappel Théorique : matière active, produit commercial et détermination de la dose

Un réactif de coagulation n'est jamais employé pur en traitement de l'eau. Le chlorure ferrique, de formule FeCl₃, est uniquement utilisé sous forme de solution aqueuse, stockée en bonbonnes, containers ou citernes. Sa gamme de pH d'utilisation s'étend de 5,5 à 8,5, avec un optimum à 8.

Le mécanisme de la coagulation : les fines particules présentes dans l'eau sont chargées négativement — ce sont les colloïdes — elles se repoussent et restent séparées. Pour qu'elles puissent se rapprocher, il faut les rendre électriquement neutres, au moyen de réactifs contenant des ions fortement chargés positivement.
La rapidité de la réaction : la coagulation étant très rapide, le référentiel impose d'injecter le réactif près de l'entrée d'eau, dans la zone où la turbulence est la plus grande.
La détermination de la dose : elle relève d'un essai de floculation mené sur l'eau à traiter. Les doses usuelles à encadrer lors de l'essai s'étendent de 20 à 150 mg/L. L'essai n'a pas à être refait quotidiennement, mais il est indispensable si la qualité de l'eau fluctue, ce qui est le cas d'une eau de surface en période pluvieuse.
Le danger de l'excès : un excès de réactif provoque le même effet que la charge négative : les colloïdes se repoussent à nouveau. Le dosage doit être effectué avec précision, car les composés en excès se diluent dans l'eau traitée, qui pourrait devenir impropre à la consommation.
La conduite du dosage : le référentiel impose que le dosage soit effectué de façon continue et proportionnelle au débit, et qu'un point d'injection supplémentaire soit prévu pour optimiser le mélange en toutes périodes de l'année.

Équations Fondamentales

La première relation donne le besoin en matière active, la seconde le convertit en produit commercial. La seconde est celle que l'on oublie.

Masse de matière active par jour :

Donne la quantité de molécule réactive à introduire dans l'eau sur une journée de production.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la dose est une concentration : elle exprime une masse de réactif par unité de volume d'eau. La multiplier par le volume traité restitue la masse totale.

Contexte de validité : elle suppose le débit et la dose constants sur la période considérée.
Avantage : elle est indépendante de la forme sous laquelle le réactif est livré, ce qui la rend universelle.
Paramètre clé : la dose, seule grandeur issue d'un essai de laboratoire et non d'un calcul.
Vérification : des mètres cubes multipliés par des kilogrammes par mètre cube donnent bien des kilogrammes.
Limite : elle ne dit rien de la forme commerciale du réactif : appliquée seule, elle sous-estime la quantité à commander.

\[ M_{\text{pur}} = Q_{\text{jour}} \times \tau \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle chiffre la masse de molécule active que la station doit introduire chaque jour dans l'eau pour neutraliser les charges des colloïdes.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{pur}} \) : masse de matière active nécessaire par jour, unité : kg/j
\( Q_{\text{jour}} \) : volume d'eau traité par la station en une journée, unité : m³/j
\( \tau \) : taux de traitement exprimé en matière active, unité : kg/m³

Masse de solution commerciale par jour :

Convertit le besoin en matière active en quantité de produit réellement livré et stocké sur le site.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la concentration commerciale est une fraction massique : chaque kilogramme de solution ne contient qu'une fraction de matière active. Diviser par cette fraction restitue la masse de solution correspondante.

Contexte de validité : elle exige que la concentration soit exprimée en masse ; une concentration volumique appellerait une conversion préalable.
Avantage : elle fournit directement la donnée utile à l'exploitant : le tonnage à commander.
Paramètre clé : la concentration commerciale, qui varie d'un fournisseur à l'autre et doit être relevée sur la fiche produit.
Vérification : la concentration étant inférieure à l'unité, la masse commerciale est nécessairement supérieure à la masse active.
Limite : elle donne une masse, non un volume. Le passage au volume — nécessaire au réglage de la pompe doseuse — exige la masse volumique de la solution.

\[ M_{\text{comm}} = \frac{M_{\text{pur}}}{C} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle indique combien de produit livré il faut manipuler pour introduire dans l'eau la masse de matière active voulue.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{comm}} \) : masse de solution commerciale à injecter par jour, unité : kg/j
\( M_{\text{pur}} \) : masse de matière active nécessaire par jour, unité : kg/j
\( C \) : concentration massique de la solution commerciale, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« La station traite 36 000 m³ par jour à raison de 40 g/m³. Il faut donc commander 1440 kg de chlorure ferrique par jour, soit environ 1,4 tonne. »

L'approche d'ingénieur : Le calcul s'arrête à la matière active. Or le chlorure ferrique n'est livré qu'en solution aqueuse : il faut 3512 kg de solution pour apporter 1440 kg de matière active, soit deux fois et demie plus.

L'erreur : assimiler la dose à la quantité de produit à commander, alors qu'elle porte sur la molécule qui réagit.
La bonne méthode : diviser systématiquement la masse active par la concentration commerciale relevée sur la fiche du fournisseur.
L'astuce de pro : une solution à 41 % appelle un facteur correctif de 2,44 : mémoriser ce facteur permet un contrôle de tête immédiat.
Le moyen mnémotechnique : « on dose ce qui agit, on commande ce qui est livré ».
L'impact direct : une cuve dimensionnée sur 1440 kg/j au lieu de 3512 kg/j serait vidée en moins de la moitié du temps prévu, avec rupture d'approvisionnement et arrêt de la coagulation.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( Q = 1500 \ \text{m}^3\text{/h} \) : débit horaire de production
\( \tau = 40 \ \text{mg/L} = 40 \ \text{g/m}^3 = 0{,}040 \ \text{kg/m}^3 \) : identité fondamentale du traitement des eaux
\( C = 41 \ \% = 0{,}41 \) : fraction massique, donc sans dimension
\( M_{\text{pur}} \) et \( M_{\text{comm}} \) : obtenues en kg/j
la masse volumique de la solution n'intervient à aucun stade de ce calcul de masse

L'identité \( 1 \ \text{mg/L} = 1 \ \text{g/m}^3 \) mérite d'être retenue : un mètre cube valant mille litres et un gramme mille milligrammes, le rapport est inchangé. Elle supprime la principale source d'erreur des calculs de dosage.

1. De la Dose à la Commande de Réactif Enchaînement du volume traité jusqu'au tonnage annuel

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour fournir à l'exploitant les deux chiffres dont il a besoin : la consommation journalière, qui dimensionne le stockage, et la consommation annuelle, qui fonde le marché de fourniture.

Méthodologie du calcul :

Le débit horaire est d'abord porté à l'échelle de la journée, la dose est convertie dans une unité cohérente, puis le besoin en matière active est corrigé par la concentration commerciale.

Substitution : on injecte \( Q = 1500 \ \text{m}^3\text{/h} \), \( \tau = 40 \ \text{mg/L} \) et \( C = 0{,}41 \).
Piège évité : ne pas s'arrêter à la masse active : la division par la concentration est l'étape décisive.
Hypothèse validée : le débit est supposé constant sur les vingt-quatre heures, conformément à l'énoncé.
Vérification croisée : la masse commerciale doit valoir environ deux fois et demie la masse active.
Finalité : disposer du tonnage journalier et annuel de solution commerciale.

a. Volume d'eau traité par jour

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la consommation de réactif se raisonne à l'échelle de la journée : c'est le pas de temps de l'exploitation, du suivi des stocks et des livraisons.

\[ \begin{aligned} Q_{\text{jour}} &= Q \times 24 \\ &= 1500 \ \text{m}^3\text{/h} \times 24 \ \text{h/j} \\ &= \mathbf{36\,000} \ \text{m}^3\text{/j} \end{aligned} \]

La station traite 36 000 mètres cubes par jour, soit l'équivalent de la consommation domestique d'une agglomération de plus de deux cent mille habitants.

b. Conversion de la dose dans une unité cohérente

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le volume est en mètres cubes et la dose en milligrammes par litre : il faut ramener les deux à un système cohérent avant toute multiplication.

\[ \begin{aligned} \tau &= 40 \ \text{mg/L} \\ &= 40 \ \text{g/m}^3 \\ &= \mathbf{0{,}040} \ \text{kg/m}^3 \end{aligned} \]

La dose s'exprime indifféremment en milligrammes par litre ou en grammes par mètre cube : c'est la même grandeur, écrite dans deux systèmes d'unités.

c. Masse de matière active nécessaire par jour

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la masse de molécule réactive qui doit effectivement entrer dans l'eau, indépendamment de la forme sous laquelle elle est livrée.

\[ \begin{aligned} M_{\text{pur}} &= Q_{\text{jour}} \times \tau \\ &= 36\,000 \ \text{m}^3\text{/j} \times 0{,}040 \ \text{kg/m}^3 \\ &= \mathbf{1440} \ \text{kg/j} \end{aligned} \]

Il faut introduire 1440 kilogrammes de chlorure ferrique par jour dans l'eau brute. C'est cette masse, et elle seule, qui agit sur les colloïdes.

d. Masse de solution commerciale à injecter par jour

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le chlorure ferrique n'est livré qu'en solution aqueuse : c'est la masse de cette solution qui sera commandée, stockée et pompée.

\[ \begin{aligned} M_{\text{comm}} &= \frac{M_{\text{pur}}}{C} \\ &= \frac{1440 \ \text{kg/j}}{0{,}41} \\ &= \mathbf{3512{,}2} \ \text{kg/j} \end{aligned} \]

Ce sont donc 3,51 tonnes de solution commerciale qui transitent chaque jour par les pompes doseuses, pour 1,44 tonne de matière active.

e. Consommation annuelle de solution commerciale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le marché de fourniture de réactifs se passe à l'année : c'est ce tonnage qui figure au cahier des charges de la consultation.

\[ \begin{aligned} M_{\text{an}} &= M_{\text{comm}} \times 365 \\ &= 3512{,}2 \ \text{kg/j} \times 365 \ \text{j/an} \\ &= 1\,281\,953 \ \text{kg/an} = \mathbf{1282} \ \text{t/an} \end{aligned} \]

La station consomme près de 1300 tonnes de solution par an : le poste réactif constitue à lui seul une ligne budgétaire majeure de l'exploitation.

Analyse intermédiaire du chiffre :

3512 kg/jour, 1282 t/an : ces valeurs commandent directement la taille des cuves de stockage et la fréquence des livraisons par camion-citerne. Une citerne de trente tonnes couvrirait environ huit jours de fonctionnement, ce qui impose une livraison hebdomadaire et une capacité de stockage permettant d'absorber un aléa de transport.

Ordre de grandeur : environ 3,5 tonnes par jour de solution commerciale pour 36 000 m³ d'eau traitée.
Conformité de la dose : les 40 mg/L retenus se situent dans la plage usuelle de 20 à 150 mg/L que le référentiel invite à encadrer lors de l'essai de floculation.
Réserve sur la donnée : cette dose ne vaut que pour la qualité d'eau ayant servi à l'essai ; le référentiel impose de refaire l'essai dès que la qualité de l'eau fluctue.
Cohérence : le rapport entre masse commerciale et masse active vaut 2,44, soit l'inverse de 0,41.
Conséquence sur l'ouvrage : le local de stockage doit être conçu pour un produit corrosif, avec rétention et matériaux compatibles.

Remarque pédagogique : l'énoncé propose de considérer la masse volumique de la solution comme voisine de l'unité. Cette hypothèse est sans effet sur le résultat : la concentration étant donnée en pourcentage massique, le passage de la matière active au produit commercial est un simple rapport de masses, où aucune masse volumique n'intervient. Cette grandeur ne devient nécessaire que pour convertir le tonnage en débit volumique de pompe doseuse, en litres par heure ; elle doit alors être relevée sur la fiche technique du fournisseur et non supposée.

RÉSULTAT FINAL

M_comm = 3512,2 kg/jour soit 1282 tonnes de solution commerciale de chlorure ferrique par an

« On dose ce qui agit, on commande ce qui est livré. »

Question 2 : Volume total du floculateur

Dans la tête de l'ingénieur

« Vingt-cinq minutes de temps de séjour : le calcul du volume est immédiat. Mais avant de le poser, une question s'impose — vingt-cinq minutes, est-ce autorisé ? Le référentiel de conception ne laisse pas ce paramètre libre : il fixe un temps de résidence minimum, et ce minimum dépend de ce que l'on injecte. Coagulant seul, coagulant plus floculant, ou coagulant plus floculant plus microsable : trois technologies, trois durées. Or cette station n'injecte qu'un coagulant. »

Observation : le temps de séjour n'est pas un paramètre de conception libre : il est encadré par un minimum qui dépend de la technologie retenue.
Analyse du risque : construire l'ouvrage sur les vingt-cinq minutes du cahier des charges produirait un floculateur non conforme, dont la reprise après construction serait matériellement impossible.
Choix stratégique : calculer les deux volumes — celui du cahier des charges et celui du référentiel — et retenir le second.
Alternative : ajouter un floculant, ce qui ramènerait le minimum à quinze minutes. Écartée ici : le cahier des charges ne prévoit aucun floculant, et l'ajouter modifierait la filière et son exploitation.
Objectif visé : livrer un volume conforme et la géométrie qui l'accompagne, en respectant la profondeur maximale admise.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

V = 625 m³ pour 25 min · volume conforme retenu : 750 m³ pour 30 min

Rappel Théorique : temps de séjour hydraulique et durées imposées en floculation

Le temps de séjour hydraulique est le temps théorique que met un fluide à traverser un réacteur. Il se définit par le rapport du volume de l'ouvrage au débit qui le traverse. En floculation, ce temps conditionne le nombre de collisions que subissent les particules déstabilisées, donc la taille des flocs formés.

La borne inférieure : le référentiel impose d'assurer le temps nécessaire à la floculation, compris entre 6 et 30 minutes au débit de conception. Le minimum applicable dépend de la technologie : 30 minutes pour un coagulant seul, 15 minutes avec un floculant, 6 minutes avec floculant et microsable.
La borne supérieure : elle existe également, et pour une raison contre-intuitive : une floculation trop longue conduit à la destruction progressive du floc. Allonger le temps de séjour par prudence dégraderait donc le traitement.
Le rôle du floculant : la floculation est obligatoire avant l'étape de clarification. L'ajout d'un floculant accélère l'agglomération et permet de réduire de moitié le temps de séjour requis — donc le volume de génie civil.
La profondeur du bassin : elle ne devrait pas excéder cinq mètres, en raison des courants instables parfois induits au-delà de cette profondeur. Cette contrainte gouverne la surface au sol de l'ouvrage.
Volume utile et volume construit : le volume calculé est le volume utile hydraulique, celui qu'occupe l'eau. Le volume construit lui est supérieur : il intègre la revanche et les zones non balayées par l'écoulement.

Équations Fondamentales

La première relation dimensionne le volume de l'ouvrage, la seconde en déduit la surface au sol compte tenu de la profondeur admissible.

Volume d'un réacteur hydraulique :

Donne le volume utile qu'il faut construire pour garantir une durée de séjour donnée au débit de conception.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le débit est un volume par unité de temps : le multiplier par une durée restitue le volume que le fluide occupe pendant cette durée.

Contexte de validité : elle exige que le débit et le temps soient exprimés dans la même base de temps.
Avantage : c'est la relation la plus universelle du dimensionnement des ouvrages de traitement, du floculateur au réservoir de contact.
Paramètre clé : le temps de séjour, qui n'est pas un choix mais une valeur encadrée par le référentiel.
Vérification : des mètres cubes par heure multipliés par des heures donnent bien des mètres cubes.
Limite : elle suppose un écoulement idéal ; en réalité, la distribution des temps de séjour est étalée autour de la valeur théorique.

\[ V = Q \times t \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle indique la taille de la boîte que l'eau doit traverser pour y séjourner la durée voulue : plus le débit est fort ou la durée longue, plus la boîte est grande.

Décomposition des termes :

\( V \) : volume utile hydraulique du floculateur, unité : m³
\( Q \) : débit de conception traversant l'ouvrage, unité : m³/h
\( t \) : temps de séjour hydraulique imposé, unité : h

Surface au sol du bassin :

Traduit le volume en emprise foncière, compte tenu de la profondeur d'eau retenue.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la profondeur d'un bassin de floculation est plafonnée : au-delà de cinq mètres, des courants instables peuvent s'établir. Le volume ne peut donc être obtenu qu'en développant la surface.

Contexte de validité : elle suppose une hauteur d'eau uniforme sur toute la surface du bassin.
Avantage : elle fournit l'emprise au sol, donnée décisive pour l'implantation de l'ouvrage sur le site.
Paramètre clé : la hauteur d'eau, arbitrée entre l'emprise foncière et la stabilité de l'écoulement.
Vérification : des mètres cubes divisés par des mètres donnent bien des mètres carrés.
Limite : elle donne une surface globale ; la répartition entre compartiments et le rapport des côtés relèvent d'un second niveau de conception.

\[ S = \frac{V}{h} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle indique l'emprise au sol qu'il faut réserver sur le site pour loger le volume requis sans dépasser la profondeur admissible.

Décomposition des termes :

\( S \) : surface au sol du bassin de floculation, unité : m²
\( V \) : volume utile hydraulique retenu, unité : m³
\( h \) : hauteur d'eau dans le bassin, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le cahier des charges fixe vingt-cinq minutes de temps de séjour. Le volume vaut donc 1500 fois 25 sur 60, soit 625 m³. L'ouvrage est dimensionné. »

L'approche d'ingénieur : Le calcul est juste, mais la donnée d'entrée ne l'est pas. Le référentiel impose un temps de résidence minimum de 30 minutes pour une floculation au coagulant seul, technologie retenue ici. Le volume conforme est de 750 m³, non de 625.

L'erreur : traiter le temps de séjour comme une donnée du client alors que c'est une valeur encadrée par le référentiel de conception.
La bonne méthode : identifier d'abord la technologie de floculation mise en œuvre, en lire le temps minimum, puis dimensionner.
L'astuce de pro : sur un floculateur, la question à poser en premier est « qu'est-ce qu'on injecte ? » : coagulant seul, coagulant plus floculant, ou avec microsable. La réponse détermine le volume à un facteur cinq près.
Le moyen mnémotechnique : « le temps de floculation ne se choisit pas, il se lit ».
L'impact direct : un ouvrage de 625 m³ offrirait cinq minutes de moins que le minimum requis, avec des flocs plus petits et une décantation dégradée en aval.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( Q = 1500 \ \text{m}^3\text{/h} \) : débit exprimé à l'heure
\( t = 25 \ \text{min} \) : temps exprimé en minutes — incohérence à lever avant tout produit
\( t_{\text{min}} = 30 \ \text{min} = 0{,}50 \ \text{h} \) : minimum imposé pour un coagulant seul
\( V \) : obtenu en m³
\( h \le 5 \ \text{m} \) : profondeur maximale recommandée pour un bassin de floculation

L'incohérence des unités de temps est la première source d'erreur de ce calcul. Le plus sûr est de convertir la durée dans l'unité du débit : le débit étant horaire, les minutes doivent devenir des heures. Multiplier directement 1500 par 25 donnerait 37 500, valeur dépourvue de sens physique.

1. Volume Correspondant au Temps de Séjour Visé Application directe de la relation volume-débit-temps

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir le volume que produirait la donnée du cahier des charges, avant d'en examiner la conformité.

Méthodologie du calcul :

Le temps de séjour est d'abord converti en heures, puis multiplié par le débit de conception.

Substitution : on injecte \( Q = 1500 \ \text{m}^3\text{/h} \) et \( t = 25 \ \text{min} \).
Piège évité : convertir les minutes en heures avant le produit, et non après.
Hypothèse validée : le volume calculé est le volume utile hydraulique, celui réellement occupé par l'eau.
Vérification croisée : vingt-cinq minutes représentant un peu plus de quatre dixièmes d'heure, le volume doit avoisiner 0,42 fois le débit horaire.
Finalité : disposer du volume de référence à confronter au minimum réglementaire.

a. Conversion du temps de séjour visé

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le débit est exprimé à l'heure : la durée doit être ramenée à la même base de temps sous peine d'obtenir un résultat dépourvu de sens.

\[ \begin{aligned} t &= 25 \ \text{min} \\ &= \frac{25}{60} \ \text{h} \\ &= \mathbf{0{,}4167} \ \text{h} \end{aligned} \]

Vingt-cinq minutes représentent un peu plus de quatre dixièmes d'heure : le floculateur contiendra donc un peu moins d'une demi-heure de production.

b. Volume correspondant au temps de séjour du cahier des charges

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer l'ouvrage tel que le cahier des charges le définit, et disposer d'une base de comparaison avec l'exigence réglementaire.

\[ \begin{aligned} V &= Q \times t \\ &= 1500 \ \text{m}^3\text{/h} \times 0{,}4167 \ \text{h} \\ &= \mathbf{625} \ \text{m}^3 \end{aligned} \]

Le volume demandé par le cahier des charges s'établit à 625 mètres cubes : un ouvrage de génie civil conséquent, comparable au volume d'une piscine olympique de faible profondeur.

Analyse intermédiaire du chiffre :

625 m³ : ce volume est exact au regard de la donnée fournie, mais la donnée elle-même doit être vérifiée. Le référentiel encadre la durée de floculation entre 6 et 30 minutes et fixe un minimum par technologie. C'est cette confrontation, et non le calcul, qui constitue l'apport du bureau d'études.

Ordre de grandeur : environ 0,42 fois le débit horaire, conforme au contrôle de cohérence annoncé.
Donnée à vérifier : les vingt-cinq minutes se situent dans la plage générale de 6 à 30 minutes, mais la technologie retenue impose un minimum plus élevé.
Cohérence : ce volume représente vingt-cinq minutes de production, ce que confirme la lecture inverse du rapport volume sur débit.
Portée : ce chiffre ne peut être transmis au projeteur tant que la conformité du temps de séjour n'est pas établie.
Comparaison : un temps de séjour de vingt minutes ramènerait le volume à 500 m³, s'éloignant encore davantage du minimum requis.

2. Vérification de Conformité et Volume Retenu Confrontation au temps de résidence minimum imposé

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la station n'injecte qu'un coagulant, sans floculant ni microsable : c'est la première ligne du tableau des temps de résidence minimum qui s'applique.

Méthodologie du calcul :

Le temps minimum applicable est identifié à partir de la technologie de floculation, puis le volume correspondant est établi et comparé au précédent.

Substitution : on injecte \( t_{\text{min}} = 30 \ \text{min} = 0{,}50 \ \text{h} \), valeur prescrite pour un coagulant seul.
Piège évité : ne pas retenir la borne de 15 minutes, qui suppose l'emploi d'un floculant absent de cette filière.
Hypothèse validée : trente minutes constituent simultanément le minimum imposé et la borne supérieure de la plage générale : la marge de manœuvre est nulle.
Vérification croisée : trente minutes valant exactement une demi-heure, le volume doit être la moitié du débit horaire.
Finalité : livrer le volume conforme et l'écart qu'il représente par rapport au cahier des charges.

a. Volume conforme au temps de résidence minimum

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir le volume que le référentiel impose réellement, seul chiffre transmissible au projeteur de l'ouvrage.

\[ \begin{aligned} V_{\text{min}} &= Q \times t_{\text{min}} \\ &= 1500 \ \text{m}^3\text{/h} \times 0{,}50 \ \text{h} \\ &= \mathbf{750} \ \text{m}^3 \end{aligned} \]

Le volume conforme s'établit à 750 mètres cubes, valeur qui sera retenue pour la suite de l'étude.

b. Écart entre le volume conforme et le volume du cahier des charges

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer le surcoût de génie civil que représente la mise en conformité, information nécessaire à la décision du maître d'ouvrage.

\[ \begin{aligned} \Delta V &= V_{\text{min}} - V \\ &= 750 \ \text{m}^3 - 625 \ \text{m}^3 \\ &= \mathbf{125} \ \text{m}^3 \ (+20 \ \%) \end{aligned} \]

La mise en conformité coûte 125 mètres cubes de volume supplémentaire, soit un cinquième de l'ouvrage initialement envisagé.

c. Surface au sol correspondante

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la profondeur d'un bassin de floculation ne devrait pas excéder cinq mètres : le volume conforme doit donc être traduit en emprise au sol. Une hauteur d'eau de 4,00 m est retenue, en retrait de la limite.

\[ \begin{aligned} S &= \frac{V_{\text{min}}}{h} \\ &= \frac{750 \ \text{m}^3}{4{,}00 \ \text{m}} \\ &= \mathbf{187{,}5} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

L'ouvrage occupera 187,5 mètres carrés au sol, soit par exemple un rectangle de 15,00 m de long sur 12,50 m de large, hauteur d'eau 4,00 m.

Analyse intermédiaire du chiffre :

750 m³ au lieu de 625 m³ : la mise en conformité alourdit l'ouvrage de 20 %. Ce n'est pas une marge de sécurité prise par prudence, mais l'application d'un minimum prescrit. La donnée du cahier des charges devra être corrigée, et le maître d'ouvrage informé que la seule façon de revenir à un volume plus faible serait d'introduire un floculant dans la filière.

Ordre de grandeur : le volume conforme vaut exactement la moitié du débit horaire, trente minutes valant une demi-heure.
Conformité : trente minutes constituent à la fois le minimum pour un coagulant seul et la borne haute de la plage générale : la valeur est donc unique et non négociable dans cette configuration.
Limite haute : il serait fautif d'allonger encore la durée par prudence : une floculation trop longue conduit à la destruction progressive du floc.
Emprise : avec 4,00 m de hauteur d'eau, l'ouvrage occupe 187,5 m², en retrait de la profondeur maximale de cinq mètres.
Variante : l'ajout d'un floculant ramènerait le minimum à quinze minutes, soit 375 m³ — la moitié du volume retenu.

Remarque pédagogique : un floculateur est l'un des rares ouvrages de traitement dont le dimensionnement est encadré par le haut et par le bas. Trop petit, les flocs n'atteignent pas la taille nécessaire à la décantation ; trop grand, l'agitation prolongée finit par les briser. Le référentiel traduit cette double contrainte par une plage fermée de 6 à 30 minutes, à l'intérieur de laquelle la technologie employée fixe le minimum applicable.

RÉSULTAT FINAL

V = 750 m³ volume conforme au temps de résidence minimum de 30 min imposé pour une floculation au coagulant seul, contre 625 m³ pour les 25 min du cahier des charges

« Le temps de floculation ne se choisit pas, il se lit. »

Question 3 : Puissance de mélange à dissiper

Dans la tête de l'ingénieur

« La formule de Camp et Stein est simple, mais elle contient un piège de dimensionnement. La puissance dépend de la viscosité de l'eau, et la viscosité dépend de la température. On me donne une température moyenne de quinze degrés — or une station ne fonctionne pas à la moyenne : elle fonctionne toute l'année, y compris en hiver, quand l'eau est froide et donc plus visqueuse. Dimensionner sur la moyenne, c'est accepter que l'agitation soit insuffisante pendant la saison la plus défavorable. »

Observation : la puissance est proportionnelle à la viscosité, laquelle augmente lorsque la température baisse.
Analyse du risque : un moteur dimensionné sur la température moyenne ne pourra pas maintenir le gradient visé en eau froide, période où la floculation est déjà la plus difficile.
Choix stratégique : calculer la puissance sur le volume conforme établi précédemment, puis la réévaluer dans les conditions d'eau froide.
Alternative : réduire le gradient en hiver pour rester dans la puissance installée. Écartée : cela dégraderait la floculation au moment où l'eau est la plus difficile à traiter.
Objectif visé : livrer une puissance enveloppe, valable en toute saison, sur laquelle le choix des motorisations pourra être engagé.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

P = 768,8 W à 15 °C sur le volume conforme · 1026 W en eau froide, valeur retenue

Rappel Théorique : gradient de vitesse, puissance de mélange et rôle de la viscosité

La floculation n'est pas une réaction passive : elle exige un apport d'énergie contrôlé. Cette énergie, fournie par un agitateur, crée des turbulences qui multiplient les rencontres entre particules déstabilisées. Le gradient de vitesse quantifie l'intensité de cette turbulence.

La signification du gradient : il mesure la déformation du fluide par unité de temps. Plus il est élevé, plus les particules se rapprochent et se heurtent fréquemment ; mais au-delà d'un certain seuil, le cisaillement brise les agrégats déjà formés.
Le seuil bas : le référentiel impose G supérieur à 10 s⁻¹ pour éviter la déposition du floc dans le bassin. En dessous, les agrégats sédimentent sur place au lieu de rester en suspension jusqu'au décanteur.
Le rôle de la viscosité : elle représente la résistance du fluide au mouvement. Une eau plus froide est plus visqueuse et demandera donc plus d'énergie pour être agitée à la même intensité. Le référentiel signale d'ailleurs que l'eau froide constitue le cas défavorable des ouvrages de contact.
L'effet de la température sur la réaction : au-delà de la seule viscosité, la chaleur accélère la réaction de floculation, sauf chaleur excessive. L'hiver cumule donc deux handicaps : une eau plus visqueuse à agiter et une réaction plus lente.
La commande de l'agitation : le référentiel impose que les agitateurs soient pourvus de variateurs de vitesse, précisément pour permettre d'ajuster l'intensité de mélange aux conditions du moment.
La limite mécanique : l'intensité ne peut être obtenue par n'importe quel moyen : la vitesse d'extrémité de pale doit rester inférieure à 0,6 m/s pour un floc fragile et à 1,2 m/s pour un floc fort, afin d'éviter le bris du floc.

Équations Fondamentales

Une seule relation gouverne cette question, mais elle contient trois sensibilités très différentes : au carré pour le gradient, au premier ordre pour le volume et pour la viscosité.

Puissance de mélange — formule de Camp et Stein :

Donne la puissance à dissiper dans un volume d'eau pour y maintenir un gradient de vitesse donné.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'énergie dissipée dans un fluide en régime turbulent est proportionnelle à sa viscosité et au carré du taux de déformation qu'on lui impose. Le gradient de vitesse étant précisément ce taux, la puissance en découle directement.

Contexte de validité : elle suppose le gradient uniforme dans tout le volume considéré, ce qui n'est vrai qu'approximativement autour d'un agitateur.
Avantage : elle relie une grandeur de procédé — l'intensité de mélange — à une grandeur d'équipement : la puissance à installer.
Paramètre clé : le gradient de vitesse, qui intervient au carré : le doubler quadruple la puissance.
Vérification : l'analyse dimensionnelle donne \( \text{s}^{-2} \times \text{m}^3 \times \text{Pa} \cdot \text{s} \), soit des watts, le pascal-seconde valant un newton-seconde par mètre carré.
Limite : elle donne la puissance dissipée dans l'eau, non la puissance électrique appelée : les rendements de l'agitateur, du réducteur et du moteur restent à prendre en compte.

\[ P = G^2 \times V \times \mu \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle chiffre l'énergie qu'il faut injecter chaque seconde dans la masse d'eau pour y entretenir le niveau de brassage voulu, contre la résistance visqueuse du fluide.

Décomposition des termes :

\( P \) : puissance dissipée dans l'eau, unité : W
\( G \) : gradient de vitesse moyen imposé au fluide, unité : s⁻¹
\( V \) : volume d'eau soumis à l'agitation, unité : m³
\( \mu \) : viscosité dynamique de l'eau à la température considérée, unité : Pa·s

L'Erreur Classique (Le Piège)

« La température moyenne de l'eau est de quinze degrés, la viscosité correspondante est donnée. On applique la formule avec cette valeur et l'on obtient la puissance de l'agitateur. »

L'approche d'ingénieur : Un ouvrage se dimensionne sur le cas le plus défavorable, non sur la moyenne. La viscosité de l'eau augmente d'un tiers entre quinze et cinq degrés : la puissance requise passe de 769 à 1026 watts.

L'erreur : confondre une valeur moyenne, utile aux bilans d'exploitation, avec une valeur de dimensionnement, qui doit envelopper toutes les situations.
La bonne méthode : retenir la température la plus basse de l'année, donc la viscosité la plus élevée, pour le choix des motorisations.
L'astuce de pro : mémoriser que la viscosité de l'eau augmente d'environ un tiers entre quinze et cinq degrés : le contrôle se fait de tête.
Le moyen mnémotechnique : « l'hiver est le cas de charge du floculateur ».
L'impact direct : un agitateur dimensionné à 769 W ne pourrait maintenir le gradient visé en hiver : le gradient réel chuterait à 26 s⁻¹ environ, avec des flocs plus petits au moment où l'eau est la plus difficile à traiter.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( G = 30 \ \text{s}^{-1} \) : gradient de vitesse, à élever au carré
\( V = 750 \ \text{m}^3 \) : volume conforme retenu à la question précédente
\( \mu_{15} = 1{,}139 \times 10^{-3} \ \text{Pa} \cdot \text{s} \) : viscosité à la température moyenne
\( \mu_{5} = 1{,}52 \times 10^{-3} \ \text{Pa} \cdot \text{s} \) : viscosité de l'eau à 5 °C, condition hivernale
\( P \) : obtenue en watts, le pascal-seconde valant un newton-seconde par mètre carré

Deux vigilances s'imposent. Le gradient doit être élevé au carré : l'oublier divise le résultat par trente. Et la viscosité doit être exprimée en pascals-secondes et non en poises ou en centipoises, unités encore courantes en chimie mais étrangères au Système International.

1. Puissance à la Température Moyenne Application de la formule de Camp et Stein au volume conforme

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir la puissance de référence dans les conditions moyennes de fonctionnement, avant d'examiner l'effet de la saison froide.

Méthodologie du calcul :

Le carré du gradient est multiplié par le volume conforme et par la viscosité correspondant à la température moyenne annoncée.

Substitution : on injecte \( G = 30 \ \text{s}^{-1} \), \( V = 750 \ \text{m}^3 \) et \( \mu_{15} = 1{,}139 \times 10^{-3} \ \text{Pa} \cdot \text{s} \).
Piège évité : retenir le volume conforme de 750 m³ et non celui du cahier des charges.
Hypothèse validée : le gradient est supposé uniforme dans tout le volume, hypothèse qui sera réexaminée lors de la compartimentation.
Vérification croisée : neuf cents fois sept cent cinquante font 675 000 ; multipliés par un peu plus d'un millième, le résultat doit avoisiner 770 W.
Finalité : disposer de la puissance de référence en conditions moyennes.

a. Puissance dissipée à la température moyenne

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer l'énergie de mélange dans les conditions moyennes annuelles, valeur utile au bilan énergétique d'exploitation.

\[ \begin{aligned} P_{15} &= G^2 \times V \times \mu_{15} \\ &= (30 \ \text{s}^{-1})^2 \times 750 \ \text{m}^3 \times 1{,}139 \times 10^{-3} \ \text{Pa} \cdot \text{s} \\ &= 900 \times 750 \times 1{,}139 \times 10^{-3} \\ &= \mathbf{768{,}8} \ \text{W} \end{aligned} \]

Il faut donc dissiper 769 watts dans 750 m³ d'eau : une puissance remarquablement faible, qui illustre le caractère doux et prolongé de l'agitation de floculation.

Analyse intermédiaire du chiffre :

769 W pour 750 000 litres d'eau : environ un watt par mètre cube. Ce chiffre traduit toute la philosophie de la floculation — on ne cherche pas à mélanger vigoureusement, mais à entretenir un mouvement d'ensemble suffisant pour provoquer des rencontres sans briser ce qui vient de se former.

Ordre de grandeur : environ 1 W par mètre cube d'ouvrage, valeur caractéristique d'une agitation lente.
Conformité du gradient : les 30 s⁻¹ retenus sont bien supérieurs aux 10 s⁻¹ en deçà desquels le floc se déposerait dans le bassin.
Portée du résultat : il s'agit de la puissance dissipée dans l'eau ; la puissance à l'arbre puis au moteur sera supérieure, les rendements de l'agitateur et du réducteur restant à appliquer.
Cohérence : sur le volume de 625 m³ du cahier des charges, la même formule donnerait 640,7 W, soit 17 % de moins.
Sensibilité : porter le gradient à 40 s⁻¹ appellerait 1367 W : la puissance varie au carré, l'écart est immédiat.

2. Condition de Dimensionnement en Eau Froide Réévaluation de la puissance à la viscosité hivernale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un équipement se dimensionne sur le cas le plus défavorable, et que le référentiel signale expressément l'eau froide comme condition pénalisante des ouvrages de contact.

Méthodologie du calcul :

La même formule est appliquée avec la viscosité de l'eau à 5 °C, température représentative des conditions hivernales d'une eau de surface.

Substitution : seule la viscosité change ; on injecte \( \mu_{5} = 1{,}52 \times 10^{-3} \ \text{Pa} \cdot \text{s} \).
Piège évité : ne pas modifier le gradient : c'est la même intensité de mélange qu'il faut maintenir, quelle que soit la saison.
Hypothèse validée : la viscosité retenue est une propriété physique de l'eau, indépendante de la filière de traitement.
Vérification croisée : le rapport des viscosités valant environ 1,33, la puissance doit augmenter d'un tiers.
Finalité : livrer la puissance enveloppe à retenir pour le choix des motorisations.

a. Puissance dissipée en conditions hivernales

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir la puissance qui devra être disponible en toute saison, condition du maintien du gradient visé lorsque l'eau est la plus visqueuse.

\[ \begin{aligned} P_{5} &= G^2 \times V \times \mu_{5} \\ &= (30 \ \text{s}^{-1})^2 \times 750 \ \text{m}^3 \times 1{,}52 \times 10^{-3} \ \text{Pa} \cdot \text{s} \\ &= 900 \times 750 \times 1{,}52 \times 10^{-3} \\ &= \mathbf{1026} \ \text{W} \end{aligned} \]

La puissance à dissiper atteint 1026 watts en hiver, soit un peu plus d'un kilowatt : c'est cette valeur qui commande le choix des motorisations.

b. Majoration liée à la condition hivernale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour quantifier l'écart entre la valeur moyenne et la valeur de dimensionnement, et rendre visible ce que coûte la prise en compte de la saison froide.

\[ \begin{aligned} \frac{P_{5}}{P_{15}} &= \frac{\mu_{5}}{\mu_{15}} \\ &= \frac{1{,}52 \times 10^{-3}}{1{,}139 \times 10^{-3}} \\ &= \mathbf{1{,}33} \ \ (+33 \ \%) \end{aligned} \]

La majoration est donc de 33 %, et elle ne dépend que du rapport des viscosités : ni le gradient ni le volume n'interviennent dans ce rapport.

Analyse intermédiaire du chiffre :

1026 W au lieu de 769 W : un tiers de puissance supplémentaire pour la seule prise en compte de l'eau froide. Cette majoration ne relève pas d'un coefficient de sécurité arbitraire : elle résulte d'une propriété physique de l'eau, dont la viscosité augmente lorsque la température baisse. Sur une installation qui fonctionne toute l'année, ignorer cet effet revient à accepter une agitation insuffisante pendant plusieurs mois.

Valeur retenue : 1026 W, puissance à dissiper dans l'eau en conditions hivernales.
Double handicap de l'hiver : l'eau froide est non seulement plus visqueuse à agiter, mais elle ralentit aussi la réaction de floculation elle-même.
Conséquence sur l'équipement : les variateurs de vitesse imposés par le référentiel prennent ici tout leur sens : ils permettent de réduire l'intensité en été et de la restaurer en hiver.
Cohérence : le rapport des puissances est exactement le rapport des viscosités, les autres facteurs étant inchangés.
Réserve : cette puissance est celle dissipée dans l'eau ; la puissance électrique appelée sera supérieure et devra être établie à partir des rendements du matériel retenu.

Remarque pédagogique : la puissance obtenue paraît dérisoire au regard du volume brassé, et c'est précisément l'enseignement de cette question. La floculation ne demande pas de la force mais de la constance : une agitation douce entretenue pendant une demi-heure, à l'opposé du mélange rapide de la coagulation, où le référentiel prescrit des gradients de 300 à 1500 s⁻¹ sur une à deux minutes seulement.

RÉSULTAT FINAL

P = 1026 W puissance à dissiper en conditions hivernales, contre 768,8 W à la température moyenne de 15 °C

« L'hiver est le cas de charge du floculateur. »

Question 4 : Compartimentation de l'ouvrage

Dans la tête de l'ingénieur

« Diviser le volume par trois : l'opération est triviale. Mais si l'on se contente de cela, on n'a pas compris pourquoi l'on compartimente. On ne coupe pas un bassin en trois pour le plaisir de couler trois voiles : on le coupe pour appliquer trois intensités d'agitation différentes. Fort au début, quand il faut multiplier les collisions entre micro-flocs ; faible à la fin, quand les agrégats sont gros et fragiles. Le référentiel est explicite : en série, l'intensité de mélange doit être décroissante. Un gradient uniforme de trente sur les trois cellules contredit cette prescription. »

Observation : la compartimentation n'a d'intérêt que si elle s'accompagne d'un profil d'agitation dégressif.
Analyse du risque : conserver un gradient uniforme reviendrait à construire trois bassins pour obtenir le comportement d'un seul, en payant les voiles de séparation sans en tirer le bénéfice.
Choix stratégique : retenir les bornes du référentiel — 60 s⁻¹ au premier compartiment, 15 s⁻¹ au dernier — et une valeur intermédiaire au deuxième.
Alternative : un seul bassin à gradient uniforme. Écartée : elle expose les flocs formés en fin de parcours au même cisaillement que les micro-flocs du début.
Objectif visé : livrer trois puissances d'agitateur distinctes, directement exploitables pour la consultation des équipementiers.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

V_comp = 250 m³ · P₁ = 1368 W, P₂ = 342 W, P₃ = 85,5 W · total 1795,5 W

Rappel Théorique : réacteurs en série et floculation à gradient dégressif

Placer plusieurs bassins les uns après les autres poursuit deux objectifs distincts. Le premier est hydraulique : la mise en série resserre la distribution des temps de séjour et rapproche le comportement de l'ouvrage de celui d'un écoulement piston. Le second est procédé : chaque cellule peut recevoir sa propre intensité d'agitation.

La prescription du référentiel : il indique qu'il est parfois avantageux d'utiliser deux ou trois bassins en série, et que dans ce cas l'intensité de mélange devra être décroissante, de G = 60 s⁻¹ à 15 s⁻¹ dans chacun des bassins, le temps total devant rester conforme aux exigences de durée.
La logique du profil dégressif : au premier compartiment, les particules sont minuscules et nombreuses : il faut une agitation forte pour multiplier les rencontres. Au dernier, les flocs ont atteint leur taille utile et deviennent fragiles : l'agitation doit être réduite pour ne pas les briser.
La conséquence sur les puissances : la puissance variant comme le carré du gradient, un rapport de quatre entre le premier et le dernier gradient produit un rapport de seize entre les puissances. Les trois agitateurs n'auront donc rien de commun.
Les déflecteurs : ils peuvent être utilisés pour éviter la formation d'un vortex et améliorer l'efficacité du mélange ; le cas échéant, ils pénètrent de 1/8 à 1/12 de la largeur du bassin.
La géométrie des pales : leur dimension doit respecter un ratio D/T de 0,2 à 0,4, où D est la longueur des pales et T le diamètre équivalent du bassin.
Le contrôle par l'observation : le référentiel recommande d'installer une lumière, de préférence submergée, à chaque bassin de floculation : l'observation du floc est le paramètre de contrôle le plus important de cette étape.

Équations Fondamentales

La première relation partage le volume, la seconde donne la vitesse de rotation admissible compte tenu de la contrainte de bris du floc.

Volume d'un compartiment :

Répartit le volume total entre les cellules identiques disposées en série.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les compartiments sont identiques et que l'eau les traverse successivement : le temps de séjour total se partage en parts égales, donc le volume aussi.

Contexte de validité : elle suppose des compartiments de volume utile identique, ce que retient l'énoncé.
Avantage : chaque compartiment devient une cellule de génie civil distincte, avec son propre agitateur et son propre réglage.
Paramètre clé : le nombre de compartiments, que le référentiel situe entre deux et trois.
Vérification : la somme des volumes des compartiments doit restituer exactement le volume total.
Limite : elle ne dit rien du gradient à appliquer dans chaque cellule, qui est précisément l'objet de la compartimentation.

\[ V_{\text{comp}} = \frac{V}{n} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle indique la taille de chacune des cellules successives que l'eau devra traverser, chacune correspondant à un tiers du temps de floculation.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{comp}} \) : volume utile d'un compartiment, unité : m³
\( V \) : volume utile total du floculateur, unité : m³
\( n \) : nombre de compartiments en série, unité : sans dimension

Vitesse d'extrémité de pale :

Relie la vitesse de rotation de l'agitateur à la contrainte mécanique subie par le floc.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le bris du floc ne dépend pas de la puissance globale mais de la vitesse locale rencontrée au bout des pales, là où le cisaillement est maximal. Le référentiel plafonne précisément cette vitesse.

Contexte de validité : elle exige que la vitesse de rotation soit exprimée en tours par seconde avant application.
Avantage : elle traduit une prescription de procédé en une caractéristique d'équipement directement vérifiable sur une fiche technique.
Paramètre clé : la dimension des pales, encadrée par le ratio D/T de 0,2 à 0,4.
Vérification : des mètres multipliés par des tours par seconde donnent bien des mètres par seconde.
Limite : le plafond dépend de la résistance du floc — 0,6 m/s pour un floc fragile, 1,2 m/s pour un floc fort — donnée qui relève de l'observation en exploitation.

\[ v_{\text{pale}} = \pi \times D \times N \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle donne la vitesse à laquelle le bout de la pale traverse l'eau, c'est-à-dire l'agression mécanique maximale que subit un floc lors de son passage.

Décomposition des termes :

\( v_{\text{pale}} \) : vitesse linéaire à l'extrémité de la pale, unité : m/s
\( D \) : diamètre balayé par les pales, unité : m
\( N \) : vitesse de rotation de l'agitateur, unité : tr/s

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le floculateur est divisé en trois compartiments identiques. Chacun fait donc un tiers du volume, et l'on installe trois agitateurs identiques puisque le gradient moyen est de 30 s⁻¹. »

L'approche d'ingénieur : Les compartiments sont bien identiques, mais les agitateurs ne le sont pas. Le référentiel impose une intensité de mélange décroissante de 60 à 15 s⁻¹ : les trois puissances s'échelonnent de 1368 à 85,5 W, dans un rapport de seize.

L'erreur : croire que compartiments identiques implique équipements identiques, alors que la compartimentation existe précisément pour les différencier.
La bonne méthode : appliquer le profil dégressif prescrit et calculer une puissance par cellule.
L'astuce de pro : la puissance variant au carré du gradient, un rapport de quatre sur les gradients donne un rapport de seize sur les puissances : le contrôle est immédiat.
Le moyen mnémotechnique : « on compartimente pour différencier, pas pour découper ».
L'impact direct : trois agitateurs identiques à 30 s⁻¹ soumettraient les gros flocs du troisième compartiment au double du gradient recommandé, avec destruction partielle avant la décantation.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( V = 750 \ \text{m}^3 \) : volume conforme retenu
\( n = 3 \) : nombre de compartiments, sans dimension
\( G_1 = 60 \ \text{s}^{-1} \), \( G_2 = 30 \ \text{s}^{-1} \), \( G_3 = 15 \ \text{s}^{-1} \) : profil dégressif prescrit
\( \mu_{5} = 1{,}52 \times 10^{-3} \ \text{Pa} \cdot \text{s} \) : viscosité retenue pour le dimensionnement
\( N \) en tr/s pour le calcul de vitesse de pale, et non en tours par minute

Une vigilance domine cette question : chaque puissance doit être calculée sur le volume du compartiment concerné, et non sur le volume total. Appliquer le gradient de 60 s⁻¹ aux 750 m³ de l'ouvrage entier donnerait une puissance trois fois trop forte et un agitateur inutilisable.

1. Partage du Volume entre les Trois Cellules Volume et géométrie d'un compartiment

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour définir la cellule élémentaire sur laquelle porteront tous les calculs de puissance qui suivent.

Méthodologie du calcul :

Le volume conforme est divisé par le nombre de compartiments, puis traduit en dimensions constructives compatibles avec la profondeur maximale admise.

Substitution : on injecte \( V = 750 \ \text{m}^3 \) et \( n = 3 \).
Piège évité : partir du volume conforme et non des 625 m³ du cahier des charges.
Hypothèse validée : les compartiments sont de volume utile identique, chacun correspondant à dix minutes de séjour.
Vérification croisée : la somme des trois volumes doit restituer 750 m³.
Finalité : disposer du volume unitaire et des dimensions d'une cellule.

a. Volume utile d'un compartiment

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est ce volume, et non le volume total, qui entre dans le calcul de la puissance de chaque agitateur.

\[ \begin{aligned} V_{\text{comp}} &= \frac{V}{n} \\ &= \frac{750 \ \text{m}^3}{3} \\ &= \mathbf{250} \ \text{m}^3 \end{aligned} \]

Chaque cellule contient 250 mètres cubes, soit dix minutes de production au débit de conception.

b. Surface au sol d'un compartiment

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour passer du volume à des dimensions constructives, en conservant la hauteur d'eau de 4,00 m retenue précédemment.

\[ \begin{aligned} S_{\text{comp}} &= \frac{V_{\text{comp}}}{h} \\ &= \frac{250 \ \text{m}^3}{4{,}00 \ \text{m}} \\ &= \mathbf{62{,}5} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Chaque cellule occupe 62,5 m², soit par exemple 5,00 m de long sur 12,50 m de large : les trois compartiments alignés forment l'ouvrage de 15,00 m sur 12,50 m établi précédemment.

2. Puissances des Trois Agitateurs Application du profil de gradient dégressif

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le référentiel impose une intensité de mélange décroissante de 60 à 15 s⁻¹ lorsque les bassins sont disposés en série : chaque cellule appelle donc sa propre puissance.

Méthodologie du calcul :

La formule de Camp et Stein est appliquée trois fois, sur le volume d'un compartiment, avec le gradient propre à chaque cellule et la viscosité de dimensionnement.

Substitution : on injecte \( V_{\text{comp}} = 250 \ \text{m}^3 \), \( \mu_{5} = 1{,}52 \times 10^{-3} \ \text{Pa} \cdot \text{s} \) et les trois gradients.
Piège évité : utiliser le volume d'un compartiment et non le volume total de l'ouvrage.
Hypothèse validée : les bornes 60 et 15 s⁻¹ sont celles du référentiel ; la valeur intermédiaire de 30 s⁻¹ correspond à la moyenne géométrique des deux bornes.
Vérification croisée : les gradients étant dans un rapport de deux d'une cellule à l'autre, les puissances doivent être dans un rapport de quatre.
Finalité : livrer les trois puissances d'agitateur à installer.

a. Puissance du premier compartiment

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la cellule où l'agitation est la plus intense : les micro-flocs y sont nombreux et minuscules, et il faut multiplier leurs rencontres.

\[ \begin{aligned} P_1 &= G_1^2 \times V_{\text{comp}} \times \mu_{5} \\ &= (60 \ \text{s}^{-1})^2 \times 250 \ \text{m}^3 \times 1{,}52 \times 10^{-3} \ \text{Pa} \cdot \text{s} \\ &= 3600 \times 250 \times 1{,}52 \times 10^{-3} \\ &= \mathbf{1368} \ \text{W} \end{aligned} \]

Le premier agitateur concentre à lui seul 1368 watts, soit plus des trois quarts de la puissance totale de l'ouvrage.

b. Puissance du deuxième compartiment

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les flocs y ont déjà grossi : l'agitation doit rester suffisante pour maintenir les collisions, tout en réduisant le cisaillement.

\[ \begin{aligned} P_2 &= G_2^2 \times V_{\text{comp}} \times \mu_{5} \\ &= (30 \ \text{s}^{-1})^2 \times 250 \ \text{m}^3 \times 1{,}52 \times 10^{-3} \ \text{Pa} \cdot \text{s} \\ &= 900 \times 250 \times 1{,}52 \times 10^{-3} \\ &= \mathbf{342} \ \text{W} \end{aligned} \]

Le deuxième agitateur n'appelle plus que 342 watts : le gradient ayant été divisé par deux, la puissance l'est par quatre.

c. Puissance du troisième compartiment

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les flocs y ont atteint leur taille utile et sont devenus fragiles : l'agitation ne sert plus qu'à les maintenir en suspension jusqu'au décanteur.

\[ \begin{aligned} P_3 &= G_3^2 \times V_{\text{comp}} \times \mu_{5} \\ &= (15 \ \text{s}^{-1})^2 \times 250 \ \text{m}^3 \times 1{,}52 \times 10^{-3} \ \text{Pa} \cdot \text{s} \\ &= 225 \times 250 \times 1{,}52 \times 10^{-3} \\ &= \mathbf{85{,}5} \ \text{W} \end{aligned} \]

Le troisième agitateur ne dissipe plus que 85,5 watts. Son gradient de 15 s⁻¹ reste néanmoins supérieur au seuil de 10 s⁻¹ en deçà duquel le floc se déposerait dans le bassin.

d. Puissance totale installée sur le floculateur

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer du bilan de puissance de l'ouvrage et le comparer à celui qu'aurait produit une agitation uniforme.

\[ \begin{aligned} P_{\text{tot}} &= P_1 + P_2 + P_3 \\ &= 1368 + 342 + 85{,}5 \\ &= \mathbf{1795{,}5} \ \text{W} \end{aligned} \]

La puissance totale atteint 1795,5 watts, contre 1026 W pour une agitation uniforme à 30 s⁻¹ : le profil dégressif coûte 75 % de puissance supplémentaire.

e. Vérification de la vitesse d'extrémité de pale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la puissance ne dit rien du cisaillement local : le référentiel plafonne la vitesse d'extrémité de pale à 0,6 m/s pour un floc fragile. Le contrôle porte sur le premier compartiment, le plus sollicité. Une pale de 2,50 m est retenue, conforme au ratio D/T de 0,2 à 0,4 pour un bassin de diamètre équivalent 8,92 m.

\[ \begin{aligned} N_{\text{max}} &= \frac{v_{\text{pale}}}{\pi \times D} \\ &= \frac{0{,}60 \ \text{m/s}}{\pi \times 2{,}50 \ \text{m}} \\ &= 0{,}0764 \ \text{tr/s} = \mathbf{4{,}58} \ \text{tr/min} \end{aligned} \]

L'agitateur du premier compartiment ne devra pas dépasser 4,6 tours par minute si le floc est fragile — vitesse extrêmement lente, caractéristique des agitateurs de floculation.

Analyse intermédiaire du chiffre :

1368 / 342 / 85,5 W : les trois agitateurs s'échelonnent dans un rapport de seize entre le premier et le dernier. Cette hiérarchie est le véritable produit de la compartimentation : elle permet de traiter différemment des flocs qui n'ont ni la même taille ni la même fragilité selon l'endroit où ils se trouvent dans l'ouvrage.

Répartition : le premier compartiment concentre 76 % de la puissance installée, le dernier moins de 5 %.
Conformité du profil : les gradients retenus correspondent exactement aux bornes du référentiel, 60 s⁻¹ et 15 s⁻¹, avec décroissance d'une cellule à l'autre.
Seuil bas respecté : le gradient du dernier compartiment, 15 s⁻¹, demeure supérieur aux 10 s⁻¹ requis pour éviter la déposition du floc.
Conséquence sur l'équipement : trois agitateurs de tailles très différentes, chacun muni de son variateur de vitesse comme l'impose le référentiel.
Comparaison : l'agitation uniforme à 30 s⁻¹ n'appellerait que 1026 W, mais soumettrait les flocs formés à un cisaillement double de celui recommandé en fin de parcours.

Remarque pédagogique : le premier compartiment consomme à lui seul 1368 W, soit davantage que les 1026 W qu'appellerait l'ouvrage entier à gradient uniforme. Ce résultat déconcertant tient au caractère quadratique de la relation : élever le gradient là où c'est utile coûte cher, tandis que l'abaisser là où c'est nécessaire rapporte peu en énergie et beaucoup en qualité de floc. C'est un arbitrage de procédé, non un arbitrage économique.

RÉSULTAT FINAL

V_comp = 250 m³ trois agitateurs de 1368 W, 342 W et 85,5 W selon le profil dégressif 60 – 30 – 15 s⁻¹, soit 1795,5 W au total

« On compartimente pour différencier, pas pour découper. »

Question 5 : Nombre de Camp

Dans la tête de l'ingénieur

« Le nombre de Camp est séduisant : un seul chiffre qui résume l'intensité et la durée du mélange. Mais il faut savoir ce qu'il prouve, et surtout ce qu'il ne prouve pas. Le cahier des charges vise une plage de vingt mille à cent mille. Or la configuration initiale — trente secondes moins un pendant vingt-cinq minutes — donne quarante-cinq mille, confortablement au milieu de cette plage. Et pourtant cette configuration est non conforme, parce que le temps de séjour est inférieur au minimum imposé. Un critère global peut être satisfait alors que les critères élémentaires ne le sont pas. »

Observation : le nombre de Camp est un produit : deux configurations très différentes peuvent donner la même valeur.
Analyse du risque : conclure à la conformité sur la seule foi de ce produit masquerait le non-respect du temps de séjour minimal, qui reste la prescription opposable.
Choix stratégique : calculer le nombre de Camp des trois configurations examinées et rappeler ce que ce critère établit réellement.
Alternative : s'en tenir au seul nombre de Camp comme critère de conception. Écartée : le référentiel encadre séparément le temps de séjour et le gradient de vitesse.
Objectif visé : livrer une conclusion hiérarchisée : ce qui relève du référentiel, et ce qui relève du critère du maître d'ouvrage.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Gt = 45 000 pour le cahier des charges · 63 000 pour la configuration conforme à profil dégressif

Rappel Théorique : signification et portée du nombre de Camp

Le nombre de Camp est un critère adimensionnel : il ne représente pas une grandeur physique directe, mais un facteur global combinant l'intensité du mélange et sa durée. Le gradient exprime un nombre de rencontres potentielles par seconde ; le temps exprime la durée pendant laquelle ces rencontres peuvent se produire. Leur produit est donc proportionnel au nombre total de collisions subies par une particule pendant son passage dans l'ouvrage.

Son caractère adimensionnel : le gradient s'exprime en secondes puissance moins un et le temps en secondes ; leur produit est donc sans dimension, ce qui permet de comparer des ouvrages de tailles très différentes.
Ce qu'il ne distingue pas : une agitation modérée prolongée et une agitation forte de courte durée peuvent donner le même produit, alors que la première formera des flocs et que la seconde les brisera. Le couple gradient-temps doit donc être examiné avant le produit.
Son statut normatif : le référentiel de conception consulté n'assigne pas de plage au nombre de Camp. Il encadre séparément la durée de floculation — de 6 à 30 minutes, avec un minimum par technologie — et le gradient de vitesse — supérieur à 10 s⁻¹, décroissant de 60 à 15 s⁻¹ en série. La plage visée dans cette étude relève donc du cahier des charges du maître d'ouvrage.
Le cas des gradients variables : lorsque l'agitation diffère d'une cellule à l'autre, le nombre de Camp global est la somme des contributions de chaque compartiment, chacune étant le produit du gradient local par le temps de séjour local.
Le véritable paramètre de contrôle : le référentiel rappelle que l'observation du floc demeure le paramètre de contrôle le plus important de la floculation, et recommande à cette fin une lumière submergée dans chaque bassin. Sous une même intensité d'agitation, la grosseur du floc est proportionnelle à sa résistance.

Équations Fondamentales

La première relation s'applique à un gradient uniforme, la seconde généralise au cas des compartiments à gradients différents.

Nombre de Camp à gradient uniforme :

Donne la quantité totale de mélange apportée à l'eau lorsque l'agitation est identique dans tout l'ouvrage.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le nombre de collisions subies par une particule est proportionnel à la fréquence de ces collisions — que traduit le gradient — multipliée par la durée pendant laquelle elles peuvent se produire.

Contexte de validité : elle suppose le gradient constant sur toute la durée du séjour.
Avantage : étant adimensionnelle, elle permet de comparer des ouvrages de tailles et de débits très différents.
Paramètre clé : l'unité de temps : le gradient étant en secondes puissance moins un, la durée doit être en secondes.
Vérification : des secondes multipliées par des secondes puissance moins un donnent bien un nombre sans dimension.
Limite : elle masque le couple dont elle est issue : deux configurations opposées peuvent donner le même produit.

\[ Gt = G \times t \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle chiffre l'opportunité totale de contact offerte aux particules : combien de fois, en moyenne, une particule aura eu l'occasion d'en rencontrer une autre pendant son passage.

Décomposition des termes :

\( Gt \) : nombre de Camp, unité : sans dimension
\( G \) : gradient de vitesse moyen, unité : s⁻¹
\( t \) : temps de séjour dans l'ouvrage, unité : s

Nombre de Camp à gradients échelonnés :

Généralise le critère au cas d'un ouvrage compartimenté dont chaque cellule reçoit une agitation propre.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les collisions s'accumulent au fil du parcours : chaque cellule apporte sa propre contribution, produit de son gradient par le temps qu'y passe l'eau, et l'ensemble s'additionne.

Contexte de validité : elle exige que le gradient soit uniforme à l'intérieur de chaque compartiment.
Avantage : elle permet d'évaluer le critère global d'un ouvrage à profil dégressif, seule configuration recommandée en série.
Paramètre clé : le temps de séjour par cellule, qui vaut le temps total divisé par le nombre de compartiments lorsque ceux-ci sont identiques.
Vérification : si tous les gradients sont égaux, la somme doit redonner l'expression du gradient uniforme.
Limite : comme la précédente, elle ne dit rien de la répartition des gradients, qui est pourtant la raison d'être de la compartimentation.

\[ Gt = \sum_{i=1}^{n} G_i \times t_i \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle cumule les occasions de rencontre offertes à une particule dans chacune des cellules qu'elle traverse successivement.

Décomposition des termes :

\( G_i \) : gradient de vitesse appliqué au compartiment de rang i, unité : s⁻¹
\( t_i \) : temps de séjour dans le compartiment de rang i, unité : s
\( n \) : nombre de compartiments en série, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le nombre de Camp vaut 45 000, valeur située presque au centre de la plage visée. La conception est donc validée. »

L'approche d'ingénieur : Le calcul est exact, la conclusion est fausse. Ce nombre de Camp est obtenu avec un temps de séjour de 25 minutes, inférieur au minimum de 30 minutes imposé pour une floculation au coagulant seul. Un critère global favorable ne rachète pas un critère élémentaire non respecté.

L'erreur : traiter un indicateur de synthèse comme une preuve de conformité, alors qu'il ne fait qu'agréger deux grandeurs encadrées séparément.
La bonne méthode : vérifier d'abord le temps de séjour, ensuite le gradient, et n'examiner le produit qu'en dernier lieu.
L'astuce de pro : un nombre de Camp peut être atteint par une infinité de couples. Toujours demander : « quel gradient, pendant combien de temps ? »
Le moyen mnémotechnique : « le produit ne rachète pas les facteurs ».
L'impact direct : valider l'ouvrage sur ce seul critère conduirait à construire un floculateur de 625 m³ non conforme, dont la reprise après réalisation serait impossible.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( G \) en s⁻¹ : unité imposée par la définition du gradient
\( t = 25 \ \text{min} = 1500 \ \text{s} \) : configuration du cahier des charges
\( t_{\text{min}} = 30 \ \text{min} = 1800 \ \text{s} \) : configuration conforme
\( t_i = 1800 / 3 = 600 \ \text{s} \) : temps de séjour dans chaque compartiment
\( Gt \) : nombre sans dimension

Le piège d'unités est toujours le même : le gradient est systématiquement fourni en secondes puissance moins un, tandis que le temps de séjour est presque toujours exprimé en minutes. La conversion en secondes doit précéder toute multiplication ; l'omettre diviserait le résultat par soixante.

1. Nombre de Camp des Configurations Examinées Comparaison du cahier des charges et des configurations conformes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour positionner les trois configurations étudiées au regard du critère visé, et mesurer ce que ce critère permet — ou ne permet pas — de conclure.

Méthodologie du calcul :

Les durées sont d'abord converties en secondes, puis le produit est formé pour la configuration du cahier des charges, pour la configuration conforme à gradient uniforme, et enfin par sommation pour la configuration conforme à profil dégressif.

Substitution : on injecte \( G = 30 \ \text{s}^{-1} \) avec \( t = 1500 \ \text{s} \), puis \( t = 1800 \ \text{s} \), enfin le profil 60 – 30 – 15 s⁻¹ sur 600 s par cellule.
Piège évité : convertir les minutes en secondes avant toute multiplication.
Hypothèse validée : les trois compartiments étant identiques, le temps total se répartit en parts égales entre eux.
Vérification croisée : la somme des gradients du profil dégressif valant 105 s⁻¹, le nombre de Camp doit avoisiner 63 000.
Finalité : positionner chaque configuration et hiérarchiser les critères de conformité.

a. Conversion du temps de séjour en secondes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le gradient s'exprime en secondes puissance moins un : c'est la seconde, et non la minute, qui doit servir d'unité de temps.

\[ \begin{aligned} t &= 25 \ \text{min} \\ &= 25 \times 60 \ \text{s} \\ &= \mathbf{1500} \ \text{s} \end{aligned} \]

Les vingt-cinq minutes du cahier des charges représentent 1500 secondes de séjour dans l'ouvrage.

b. Nombre de Camp de la configuration du cahier des charges

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir la valeur que produirait la configuration initialement demandée, et la confronter à la plage visée.

\[ \begin{aligned} Gt_{\text{cdc}} &= G \times t \\ &= 30 \ \text{s}^{-1} \times 1500 \ \text{s} \\ &= \mathbf{45\,000} \end{aligned} \]

La valeur se situe au sein de la plage visée, presque au centre de l'intervalle — alors même que le temps de séjour est non conforme.

c. Nombre de Camp de la configuration conforme à gradient uniforme

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour isoler l'effet du seul allongement du temps de séjour, le gradient restant inchangé à 30 s⁻¹.

\[ \begin{aligned} Gt_{\text{unif}} &= G \times t_{\text{min}} \\ &= 30 \ \text{s}^{-1} \times 1800 \ \text{s} \\ &= \mathbf{54\,000} \end{aligned} \]

Le passage de vingt-cinq à trente minutes fait progresser le nombre de Camp de 20 %, dans la même proportion que le temps de séjour.

d. Nombre de Camp de la configuration conforme à profil dégressif

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la configuration effectivement retenue : les gradients diffèrent d'une cellule à l'autre, et les contributions doivent être sommées.

\[ \begin{aligned} Gt_{\text{dég}} &= (G_1 + G_2 + G_3) \times t_i \\ &= (60 + 30 + 15) \ \text{s}^{-1} \times 600 \ \text{s} \\ &= 105 \times 600 \\ &= \mathbf{63\,000} \end{aligned} \]

La configuration retenue apporte 63 000 unités de mélange, valeur qui demeure à l'intérieur de la plage visée tout en respectant l'ensemble des prescriptions du référentiel.

Analyse intermédiaire du chiffre :

45 000, 54 000, 63 000 : les trois configurations se situent toutes à l'intérieur de la plage visée, alors que la première est non conforme sur le temps de séjour et la deuxième non conforme sur le profil d'agitation. C'est la démonstration la plus nette de la portée limitée de ce critère : il agrège, mais il ne discrimine pas.

Valeur retenue : 63 000 pour la configuration conforme, soit un peu moins des deux tiers de la borne haute visée.
Hiérarchie des critères : le temps de séjour et le gradient relèvent du référentiel de conception ; le nombre de Camp relève du cahier des charges du maître d'ouvrage.
Piège démontré : la configuration non conforme donne un nombre de Camp parfaitement acceptable : ce critère seul n'aurait rien révélé.
Cohérence : le rapport entre les configurations conforme et initiale vaut 1,40, produit de 1,20 sur la durée et de 1,167 sur la somme des gradients.
Marge disponible : la valeur retenue laisse une marge substantielle avant la borne haute, ce qui autorise un relèvement des gradients par les variateurs si l'observation du floc le justifie.

Remarque pédagogique : cette question illustre une règle générale de la vérification technique : un indicateur agrégé ne peut jamais se substituer aux critères élémentaires dont il est issu. Il complète l'analyse, il ne la remplace pas. En floculation, la séquence de vérification est invariable : d'abord la durée de séjour, ensuite le gradient dans chaque cellule, enfin le produit global.

RÉSULTAT FINAL

Gt = 63 000 pour la configuration conforme à profil dégressif, contre 45 000 pour la configuration initiale du cahier des charges

« Le produit ne rachète pas les facteurs. »

SCHÉMA BILAN — PLAN ET COUPE COTÉS DU FLOCULATEUR RETENU

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous maîtrisez la logique de dimensionnement d'un floculateur, et non la seule application des formules :

Je distingue la matière active du produit commercial, et je sais que la concentration massique suffit à passer de l'une à l'autre. Je sais que le temps de séjour d'un floculateur n'est pas un choix mais une valeur encadrée, dont le minimum dépend de la technologie employée. Je sais que la floculation est encadrée par le haut comme par le bas : trop longue, elle détruit progressivement le floc. Je dimensionne l'agitation à la viscosité de l'eau froide, et non à la viscosité moyenne annuelle. Je sais que la puissance varie comme le carré du gradient, et j'en tire les conséquences sur le choix des motorisations. Je compartimente pour appliquer un gradient dégressif, et non pour découper un volume en parts égales. Je vérifie la vitesse d'extrémité de pale, seule grandeur qui traduise réellement le risque de bris du floc. Je sais qu'un indicateur agrégé comme le nombre de Camp ne se substitue jamais aux critères élémentaires dont il est issu.

L'étude livre le dimensionnement complet du floculateur de la station. Le débit de production de 1500 m³/h représente 36 000 m³ traités par jour, qui appellent 1440 kg de chlorure ferrique en matière active, soit 3512,2 kg de solution commerciale par jour à 41 % en masse et 1282 tonnes par an. Le temps de séjour visé de 25 minutes est inférieur au minimum de 30 minutes imposé pour une floculation au coagulant seul : le volume retenu passe de 625 à 750 m³, soit une emprise de 187,5 m² pour une hauteur d'eau de 4,00 m. La puissance de mélange, calculée à la viscosité de l'eau froide, s'établit à 1026 W pour une agitation uniforme, contre 768,8 W à la température moyenne. La compartimentation en trois cellules de 250 m³ avec le profil dégressif de 60, 30 et 15 s⁻¹ conduit à trois agitateurs de 1368 W, 342 W et 85,5 W, soit 1795,5 W installés. Le nombre de Camp de la configuration retenue atteint 63 000, contre 45 000 pour la configuration initiale.

La plus-value technique de cette note tient à quatre points de méthode. Le premier est la distinction entre matière active et produit commercial : la dose de 40 mg/L porte sur la molécule qui réagit, alors que le chlorure ferrique n'est livré qu'en solution aqueuse. Le facteur correctif de 2,44 sépare les 1440 kg qui agissent des 3512 kg qui sont commandés, stockés et pompés. Le deuxième point est le statut du temps de séjour : il n'appartient pas au maître d'ouvrage de le fixer librement, car le référentiel de conception lui assigne un minimum par technologie — 30 minutes au coagulant seul, 15 minutes avec un floculant, 6 minutes avec floculant et microsable. La correction alourdit l'ouvrage de 20 %, et la seule façon de revenir à un volume moindre serait d'introduire un floculant dans la filière, décision qui relève du procédé et non du génie civil. Le troisième point est la condition de dimensionnement : la puissance de mélange est proportionnelle à la viscosité, laquelle augmente d'un tiers entre quinze et cinq degrés. Retenir la température moyenne conduirait à un gradient réel de 26 s⁻¹ au lieu de 30 pendant la saison froide, précisément lorsque la floculation est la plus difficile. Le quatrième point est la hiérarchie des critères : la configuration initiale produit un nombre de Camp de 45 000, valeur située au centre de la plage visée, alors que son temps de séjour est non conforme. Un indicateur agrégé peut être satisfait quand les critères élémentaires ne le sont pas ; l'ordre de vérification — durée, puis gradient, puis produit — n'est donc pas indifférent. Au-delà du cas traité, cette étude établit qu'un floculateur se dimensionne sur un couple et non sur une grandeur : le temps donne le volume, le gradient donne la puissance, et c'est leur répartition dans l'ouvrage qui fait la qualité du floc.

Exercices eau potableÉtape 9 sur 21

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