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Exercice corrigé NF EN 1993-1-1 NF EN 1991-1-1 NF EN 1993-1-5 NF EN 10025-2 NF EN 10365

Sélection de Profilés en Acier

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 25 mars 2026• 92 min de lecture
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Étude de cas · Note de calculs Réf. EC3-SEL-11

Sélection d'une solive de plancher en acier

Solive de bureaux de 8,00 m sous 4,0 et 2,5 kN/m² — la sélection tient en une division, mais le profilé retenu se joue sur un second critère de flèche, celui de la flèche totale.

NiveauBTS / DUT — 1ʳᵉ année
DomaineStructure métallique
ThèmePlanchers — sélection d'un profilé de solive
PrérequisDescente de charges et bandes d'influence · Combinaisons ELU et ELS · Efforts internes d'une poutre isostatique · Modules de résistance · Lecture d'un catalogue de profilés
1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES
Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Les solives de plancher sont les éléments les plus répétés d'un bâtiment : sur une trame courante, on en compte des dizaines, toutes identiques. Un kilogramme gagné sur l'une d'elles se multiplie donc par leur nombre, et leur dimensionnement mérite d'être conduit au plus juste. La démarche paraît simple — convertir les charges, calculer le moment, lire le catalogue — mais deux difficultés s'y cachent. La première est que les valeurs de catalogue ne sont pas toujours fiables, et qu'une erreur de 12 % y passe totalement inaperçue. La seconde est que sur 8 mètres de portée, la flèche cesse d'être une formalité : encore faut-il vérifier la bonne flèche.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent cette étude. Le troisième et le quatrième sont ceux que les corrigés escamotent, et ce sont eux qui décideront du résultat.

  • L'ouvrage : Une solive de plancher de bureaux en acier S235, de 8,00 m de portée, supportant une bande de dalle de 3,00 m de large. Elle est modélisée en poutre isostatique sur deux appuis simples.
  • Deux natures de charges : Les charges permanentes de la dalle et des revêtements, connues avec précision, et les charges d'exploitation de bureaux, bien plus incertaines. Elles reçoivent des coefficients partiels différents.
  • Un catalogue à recouper : Les caractéristiques de profilés en circulation comportent fréquemment des erreurs. Celles de cet exercice sont surestimées de 12 % sur deux lignes — de quoi faire croire à une réserve qui n'existe pas.
  • Deux flèches, pas une : L'annexe A1.4 de la NF EN 1990 distingue \( w_3 \), part des actions variables, et \( w_{\text{max}} \), flèche totale. Ne vérifier que la première est l'omission la plus fréquente sur les planchers.
Votre Mission :

Vous devez produire la note de sélection de la solive : conversion des charges, combinaisons, sollicitations, choix du profilé le plus léger sur la résistance, puis vérification des deux critères de flèche avec le poids propre réintégré.

  • Le grand défi : Comprendre que le profilé le plus léger sur la résistance n'est pas nécessairement acceptable en service. Sur 8 mètres, c'est la flèche totale qui décide — et c'est elle qu'on omet le plus souvent de vérifier.
  • Votre rôle : Établir \( p_{\text{Ed}} \) et \( p_{\text{ser}} \), calculer \( M_{\text{Ed}} \) et \( V_{\text{Ed}} \), recouper le catalogue avant de choisir, vérifier la classe puis la résistance, et conclure sur les deux flèches.
PLAN DE REPÉRAGE
VUE EN PLAN DU PLANCHER SOLIVE ÉTUDIÉE — profilé IPE ? E = 3,00 m entraxe L = 8,00 m dalle portant dans une seule direction, perpendiculairement aux solives MODÈLE DE CALCUL DE LA SOLIVE g k = 4,0 kN/m² · q k = 2,5 kN/m² acier S235 — poids propre à réintégrer A B V Ed ? M Ed ? V Ed ? ELU : flexion · cisaillement ELS : flèche L / 300
Livrables Attendus (Checklist) :
  • La conversion des charges surfaciques en charges linéiques par la bande d'influence, puis les deux combinaisons d'actions.
  • Le moment fléchissant et l'effort tranchant maximaux, avec la section où chacun est atteint.
  • Le module de résistance requis et la sélection du profilé, après recoupement des valeurs du catalogue et vérification de la classe.
  • Les vérifications de flexion, de cisaillement et d'interaction, poids propre réintégré.
  • Les deux flèches de l'annexe A1.4 et un tableau des taux désignant le critère gouvernant.
2. Données Techniques & Normes

Toutes les grandeurs de l'étude sont rassemblées ci-dessous. Deux points appellent votre attention. Les charges permanentes sont données hors poids propre de la solive, qu'il faudra réintégrer une fois le profilé choisi. Et la limite de flèche fournie ne porte que sur les actions variables : la note en bas d'encadré explique pourquoi ce n'est pas le seul critère à vérifier.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Voici les outils mathématiques de cet exercice, dans l'ordre où vous en aurez besoin. Ne les apprenez pas par cœur : comprenez ce que chacun exprime physiquement, la formule se retrouve alors toute seule.

  • Charge linéique par la bande d'influence \( p_{\text{lin}} = p_{\text{surf}} \times E \)
  • Combinaison fondamentale à l'ELU, actions pondérées \( p_{\text{Ed}} = 1{,}35\,g_{\text{lin}} + 1{,}50\,q_{\text{lin}} \)
  • Combinaison caractéristique à l'ELS, actions nues \( p_{\text{ser}} = g_{\text{lin}} + q_{\text{lin}} \)
  • Moment fléchissant maximal à mi-portée \( M_{\text{Ed}} = \dfrac{p_{\text{Ed}} L^2}{8} \)
  • Effort tranchant maximal sur appui \( V_{\text{Ed}} = \dfrac{p_{\text{Ed}} L}{2} \)
  • Module de résistance plastique requis \( W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} \ge \dfrac{M_{\text{Ed}} \gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}} \)
  • Résistance en flexion d'une section de classe 1 \( M_{\text{c},\text{Rd}} = \dfrac{W_{\text{pl},\text{y}} f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \)
  • Flèche d'une poutre isostatique uniformément chargée \( f = \dfrac{5 p L^4}{384 E I_{\text{y}}} \)
Hypothèses et Paramètres de l'Étude
GÉOMÉTRIE, MATÉRIAU ET CRITÈRES
Symbole Description Valeur Unité
\( L \) Portée de la solive entre axes d'appuis 8,00 \( \text{m} \)
\( E \) Entraxe des solives — largeur de la bande d'influence 3,00 \( \text{m} \)
S235 Nuance d'acier de la solive NF EN 10025-2 — —
\( f_{\text{y}} \) Limite d'élasticité, tranche \( t \le 16\ \text{mm} \) NF EN 10025-2 235 \( \text{MPa} \)
\( E_{\text{a}} \) Module d'élasticité longitudinal de l'acier NF EN 1993-1-1, art. 3.2.6 210 000 \( \text{MPa} \)
\( \gamma_{\text{M0}} \) Coefficient partiel de résistance des sections NF EN 1993-1-1, art. 6.1 1,00 —
\( w_{3,\text{adm}} \) Limite de flèche sous actions variables — seul critère donné, voir note NF EN 1990, annexe A1.4 L / 300 —
\( \varepsilon \) Coefficient de nuance, \( \sqrt{235/f_{\text{y}}} \) NF EN 1993-1-1, tab. 5.2 1,00 —
Critères et repères à retenir
  • Ame flechie, classe 1 : \( c_{\text{w}} / t_{\text{w}} \le 72\,\varepsilon = \mathbf{72} \)
  • Semelle comprimee, classe 1 : \( c_{\text{f}} / t_{\text{f}} \le 9\,\varepsilon = \mathbf{9} \)
  • Fleche variable admissible : \( w_{3,\text{adm}} = 8\,000/300 = \mathbf{26{,}67} \text{ mm} \)
  • Cisaillement limite du S235 : \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} = \mathbf{135{,}7} \text{ MPa} \)
ACTIONS ET COEFFICIENTS PARTIELS
Symbole Description Valeur Unité
\( g_{\text{k}} \) Charges permanentes surfaciques — dalle, chape, revêtements, hors poids propre de la solive NF EN 1991-1-1 4,0 \( \text{kN}/\text{m}^2 \)
\( q_{\text{k}} \) Charges d'exploitation surfaciques — catégorie B, bureaux NF EN 1991-1-1 2,5 \( \text{kN}/\text{m}^2 \)
\( \gamma_{\text{G}} \) Coefficient partiel des actions permanentes défavorables NF EN 1990, art. 6.4.3.2 1,35 —
\( \gamma_{\text{Q}} \) Coefficient partiel des actions variables défavorables NF EN 1990, art. 6.4.3.2 1,50 —
\( g_{\text{pp}} \) Poids propre de la solive — inconnu au départ, à réintégrer une fois le profilé choisi NF EN 10365 ? \( \text{kN}/\text{m} \)
Hypothèses de modélisation à ne pas perdre de vue
  • Modele de la solive : \( \text{poutre isostatique sur deux appuis simples} \)
  • Portage de la dalle : \( \text{une seule direction, perpendiculaire aux solives} \)
  • Maintien lateral : \( \text{dalle supposee brider la semelle comprimee} \)
  • Deversement : \( \text{ecarte par ce maintien, art. 6.3.2 sans objet} \)
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le catalogue ci-dessous confronte les valeurs qui circulent couramment pour ces profilés aux caractéristiques normalisées de la NF EN 10365. Deux lignes sur quatre s'écartent de plus de 12 %, dans le sens non conservatif — et l'une d'elles est identifiable comme une colonne décalée.

Catalogue IPE — valeurs en circulation contre NF EN 10365, axe fort y-y
Profilé, poids propre et \( W_{\text{el},\text{y}} \) \( W_{\text{pl},\text{y}} \) en circulation · réel · \( I_{\text{y}} \) · \( A_{\text{v}} \)
IPE 300 — 0,414 kN/m — \( W_{\text{el},\text{y}} = 557{,}1 \) 628,4 · 628,4 \( \text{cm}^3 \) · 8 356 \( \text{cm}^4 \) · 25,68 \( \text{cm}^2 \)
IPE 330 — 0,482 kN/m — \( W_{\text{el},\text{y}} = 713{,}3 \) 903,6 · 804,3 \( \text{cm}^3 \) · 11 770 \( \text{cm}^4 \) · 30,81 \( \text{cm}^2 \) — écart +12,3 %
IPE 360 — 0,560 kN/m — \( W_{\text{el},\text{y}} = 903{,}6 \) 1 140 · 1 019 \( \text{cm}^3 \) · 16 270 \( \text{cm}^4 \) · 35,14 \( \text{cm}^2 \) — écart +11,9 %
IPE 400 — 0,650 kN/m — \( W_{\text{el},\text{y}} = 1\,156{,}5 \) 1 307 · 1 307 \( \text{cm}^3 \) · 23 130 \( \text{cm}^4 \) · 42,69 \( \text{cm}^2 \)
Le facteur de forme, contrôle immédiat \( W_{\text{pl},\text{y}}/W_{\text{el},\text{y}} \) doit valoir 1,12 à 1,15 pour un IPE. Avec 1 140, il ressort à 1,26 : anormal
La colonne décalée, diagnostic 903,6 \( \text{cm}^3 \) est le module élastique de l'IPE 360, reporté en face de l'IPE 330
Cotes de l'IPE 360 — NF EN 10365 \( h = 360 \) · \( b = 170 \) · \( t_{\text{w}} = 8{,}0 \) · \( t_{\text{f}} = 12{,}7 \) · \( r = 18 \) mm · \( A = 72{,}73\ \text{cm}^2 \)
Cotes de l'IPE 400 — NF EN 10365 \( h = 400 \) · \( b = 180 \) · \( t_{\text{w}} = 8{,}6 \) · \( t_{\text{f}} = 13{,}5 \) · \( r = 21 \) mm · \( A = 84{,}46\ \text{cm}^2 \)
Trois réserves à connaître avant de calculer
Une flèche ne suffit pas : l'annexe A1.4 en distingue deux. La NF EN 1990 définit \( w_1 \), part des charges permanentes, \( w_3 \), part additionnelle des actions variables, et \( w_{\text{max}} \), flèche totale déduction faite de la contreflèche. L'énoncé ne donne qu'une limite sur \( w_3 \) — \( L/300 \) — ce qui est parfaitement légitime mais incomplet : la flèche totale doit également être bornée, et sur une portée de 8 mètres c'est elle qui décide. Vous verrez en question 4 que le profilé retenu passe l'un des deux critères à 44 % et l'autre à 98 %.

La limite de flèche totale d'un plancher est un paramètre national. La NF EN 1990, annexe A1.4, impose de limiter la flèche sans en fixer la valeur : celle-ci relève de l'annexe nationale et de l'accord passé avec le maître d'ouvrage. La valeur \( L/250 \) employée ici pour \( w_{\text{max}} \) est celle qu'on retient usuellement en projet ; elle est traitée comme une hypothèse de marché. Elle est déterminante : à \( L/250 \) le profilé passe de justesse, à \( L/300 \) il ne passe pas — c'est donc la première chose à faire préciser.

Le déversement n'est écarté que par une hypothèse. Sur une poutre de 8 mètres, la semelle comprimée doit être maintenue latéralement, faute de quoi l'art. 6.3.2 s'applique et la résistance chute considérablement. On suppose ici que la dalle solidarisée assure ce maintien — hypothèse courante et légitime pour un plancher, mais qui doit être énoncée plutôt que sous-entendue.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche suit la chaîne complète de la sélection. Chaque question produit la donnée d'entrée de la suivante, et la dernière revient sur la première pour y réintégrer le poids propre et confronter les deux critères de flèche.

1

Question 1 : Descente de charges et combinaisons d'actions

Eurocode 0 — actions 20 min | Accessible
But de l'étape : Convertir les charges surfaciques du plancher en charges linéiques sur la solive, puis établir les deux charges de calcul qui alimenteront séparément la résistance et la flèche.
Énoncé Q1 : Déterminer la bande d'influence de la solive et en déduire les charges linéiques caractéristiques. Appliquer ensuite la combinaison fondamentale à l'ELU puis la combinaison caractéristique à l'ELS, en citant la clause de la NF EN 1990 dont chacune relève.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La bande d'influence d'une solive courante est égale à son entraxe : elle reprend la moitié de la dalle de chaque côté. Le produit \( \text{kN}/\text{m}^2 \times \text{m} \) donne bien des \( \text{kN}/\text{m} \).

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les charges permanentes sont données hors poids propre de la solive. Celui-ci ne pourra être ajouté qu'une fois le profilé connu : c'est une boucle qu'il faudra fermer.

2

Question 2 : Moment fléchissant et effort tranchant maximaux

Résistance des matériaux 15 min | Accessible
But de l'étape : Établir les sollicitations de calcul qui serviront à dimensionner la section, en précisant où chacune est atteinte.
Énoncé Q2 : Calculer le moment fléchissant et l'effort tranchant maximaux de la solive sous la charge de calcul à l'ELU, en indiquant la section où chacun est atteint et en commentant leur poids relatif sur cette portée.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La portée intervient au carré dans le moment mais seulement à la puissance un dans l'effort tranchant. Sur 8 mètres, l'écart entre les deux vérifications sera considérable.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Moment et effort tranchant ne sont jamais maximaux dans la même section sur une poutre isostatique uniformément chargée : l'un culmine à mi-portée, l'autre sur appui.

3

Question 3 : Sélection du profilé et vérifications de résistance

Eurocode 3 — ELU 35 min | Difficile
But de l'étape : Choisir le profilé le plus léger satisfaisant la résistance, après avoir recoupé les valeurs du catalogue et vérifié que la section autorise l'emploi du module plastique.
Énoncé Q3 : Déterminer le module de résistance plastique requis, puis sélectionner le profilé IPE le plus léger qui le satisfait — en contrôlant les valeurs du catalogue plutôt qu'en leur faisant confiance. Vérifier ensuite la classe de la section, la résistance en flexion, celle au cisaillement et leur interaction.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le rapport \( W_{\text{pl},\text{y}}/W_{\text{el},\text{y}} \) vaut 1,12 à 1,15 pour un profilé en I. Une valeur nettement supérieure signale une erreur de catalogue, et le contrôle prend cinq secondes.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'expression \( M_{\text{c},\text{Rd}} = W_{\text{pl},\text{y}} f_{\text{y}} / \gamma_{\text{M0}} \) n'est valable qu'en classe 1 ou 2. La classe se vérifie par deux divisions : elle ne se suppose pas.

4

Question 4 (Finale) : Les deux flèches, poids propre et synthèse

Eurocode — ELS 30 min | BOSS
But de l'étape : Vérifier les deux critères de flèche de l'annexe A1.4 avec le poids propre réintégré, et désigner le critère qui gouverne réellement le dimensionnement.
Énoncé Q4 : Réintégrer le poids propre du profilé retenu, puis calculer la flèche due aux seules actions variables et la flèche totale. Comparer chacune à sa limite, dresser le tableau des taux de travail et conclure sur le profilé.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Surveillez l'ordre de grandeur du dénominateur : \( 384 \times 210\,000 \times 16\,270 \times 10^4 \) vaut \( 1{,}31 \times 10^{16} \). Une erreur d'exposant y est fréquente et invisible.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le poids propre d'un IPE 360 vaut 0,560 kN/m. Il ne représente que 4,7 % des charges permanentes, mais il s'ajoute à la flèche des charges permanentes — celle que l'énoncé ne calcule jamais.

NOTE DE CALCULS

Sélection d'une solive de plancher en acier

1
Question 1 : Descente de charges et combinaisons d'actions
Dans la tête de l'ingénieur

"Deux opérations distinctes se succèdent ici, et les confondre est la source d'erreur la plus fréquente sur les planchers. La première est géométrique : passer d'une charge répartie sur une surface à une charge répartie sur une ligne, en identifiant la bande de dalle que la solive reprend. La seconde est réglementaire : pondérer ces charges pour obtenir les deux valeurs de calcul. Je vais les mener séparément, et surtout produire d'emblée les deux combinaisons — l'ultime pour la résistance, la caractéristique pour la flèche. Les employer l'une pour l'autre fausserait tout le reste de l'étude."

  • Observation : Des charges données en kilonewtons par mètre carré et une solive qui se dimensionne en kilonewtons par mètre : il manque une longueur, et c'est l'entraxe qui la fournit.
  • Analyse du risque : Deux risques distincts. Oublier de multiplier par l'entraxe, ce qui diviserait les charges par trois, et confondre les deux combinaisons, ce qui fausserait soit la résistance, soit la flèche.
  • Choix stratégique : Établir les deux charges de calcul d'emblée, chacune avec sa clause de la NF EN 1990. Elles seront employées à des endroits différents de la note et ne se déduisent pas l'une de l'autre.
  • Alternative : La NF EN 1990 propose aussi les expressions (6.10a) et (6.10b), plus économiques, qui affinent le traitement de l'action dominante. L'annexe nationale française retient (6.10) pour les bâtiments courants.
  • Objectif visé : Disposer de \( p_{\text{Ed}} \) pour les vérifications de résistance et de \( p_{\text{ser}} \) pour celles de flèche, en sachant que le poids propre manque encore aux deux.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
\( p_{\text{Ed}} = 27{,}45\ \text{kN}/\text{m} \) à l'ELU · \( p_{\text{ser}} = 19{,}50\ \text{kN}/\text{m} \) à l'ELS
Rappel Théorique : La bande d'influence et le sens des coefficients partiels

Un plancher transmet ses charges aux poutres, les poutres aux poteaux, les poteaux aux fondations. Ce cheminement s'appelle la descente de charges, et sa première étape consiste à découper la surface en bandes attribuées à chaque porteur.

  • La bande d'influence d'une solive courante : Chaque solive reprend la moitié de la dalle de chaque côté, soit une bande dont la largeur égale son entraxe. Une solive de rive, elle, n'en reprend que la moitié — piège classique des plans réels.
  • Une multiplication, pas une division : \( \text{kN}/\text{m}^2 \times \text{m} = \text{kN}/\text{m} \). Le contrôle dimensionnel est immédiat, et il suffit à écarter l'erreur la plus fréquente sur cette étape.
  • Pourquoi 1,35 et pas 1,50 : Une charge permanente se pèse : sa dispersion est de quelques pour cent. Une charge d'exploitation s'estime à partir d'un usage supposé : sa dispersion est bien plus large. Les coefficients traduisent cet écart de connaissance, pas un écart d'importance.
  • L'ELS n'est pas un ELU minoré : À l'état limite de service, les actions sont prises à leur valeur caractéristique, sans coefficient. On ne cherche plus à couvrir un scénario extrême mais à décrire le comportement de l'ouvrage en usage normal.
  • Le poids propre est une inconnue de départ : Il ne peut être ajouté qu'après le choix du profilé, ce qui rend le dimensionnement itératif par nature. Sur une solive courante il pèse peu — de l'ordre de 5 % des permanentes — mais il s'ajoute à la flèche la plus critique.
Équations Fondamentales

Trois relations composent cette question : la conversion par la bande d'influence, puis les deux combinaisons d'actions qui relèvent de clauses distinctes.

Conversion d'une charge surfacique en charge linéique :

Elle traduit une charge de plancher en charge sur la poutre qui la porte.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une poutre se dimensionne à partir d'une charge par mètre de longueur, alors que les charges de plancher s'expriment naturellement par mètre carré de surface.

  • Contexte de validité : Dalle portant dans une seule direction, perpendiculairement aux solives. Une dalle portant dans deux directions demanderait un découpage en trapèzes et triangles.
  • Avantage : Elle est immédiate et se contrôle par les unités : un produit de \( \text{kN}/\text{m}^2 \) par des mètres ne peut donner que des \( \text{kN}/\text{m} \).
  • Paramètre clé : L'entraxe \( E \), qui définit la largeur de la bande reprise. Le doubler double la charge, et c'est le premier levier d'optimisation d'un plancher.
  • Vérification : La somme des bandes de toutes les solives doit reconstituer la surface totale du plancher. Si elle ne la reconstitue pas, un porteur a été oublié ou compté deux fois.
  • Limite : Elle ne vaut que pour les solives courantes. Une solive de rive ne reprend qu'une demi-bande, et une solive bordant une trémie peut en reprendre bien davantage.
\[ \begin{aligned} p_{\text{lin}} = p_{\text{surf}} \times E \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? La relation formalise le découpage de la surface entre les porteurs qui la soutiennent. Chaque point de la dalle transmet sa charge à la solive la plus proche : la frontière entre deux zones d'influence se situe donc à mi-chemin, et chaque solive courante récupère une demi-portée de dalle de part et d'autre — soit exactement son entraxe. Le raisonnement suppose que la dalle porte dans une seule direction, ce qui est le cas des planchers collaborants sur bac acier et des dalles nettement plus longues dans un sens que dans l'autre. Une dalle carrée portant dans deux directions répartirait ses charges selon des lignes à 45°, et la bande d'influence deviendrait un trapèze — le principe resterait le même, seule la géométrie du découpage changerait.
Décomposition des termes :
  • \( p_{\text{lin}} \) : charge linéique reprise par la solive, sur toute sa longueur, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
  • \( p_{\text{surf}} \) : charge surfacique appliquée sur le plancher, unité : \( \text{kN}/\text{m}^2 \)
  • \( E \) : entraxe des solives, égal à la largeur de la bande d'influence, unité : \( \text{m} \)
Combinaison fondamentale à l'ELU — EN 1990 art. 6.4.3.2, expression (6.10) :

Elle donne la charge de calcul à confronter aux résistances de la section.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une vérification de sécurité doit porter sur un scénario défavorable et rare, et non sur le chargement d'un jour ordinaire. Les coefficients partiels construisent ce scénario.

  • Contexte de validité : Situation de projet durable ou transitoire, actions défavorables. Une situation accidentelle ou sismique relèverait des expressions (6.11) ou (6.12), aux coefficients bien plus faibles.
  • Avantage : Elle est additive : chaque action apporte sa contribution indépendamment, ce qui rend le calcul immédiat et le contrôle par un tiers trivial.
  • Paramètre clé : Le coefficient 1,50 sur l'action variable, qui pèse proportionnellement plus lourd que le 1,35 des permanentes malgré une charge caractéristique inférieure.
  • Vérification : Le rapport \( p_{\text{Ed}}/p_{\text{ser}} \) doit se situer entre 1,35 et 1,50 : ici 1,408, soit la moyenne pondérée des deux coefficients.
  • Limite : Avec plusieurs actions variables, il faut examiner chaque hypothèse de dominance et affecter les autres de leur coefficient \( \psi_0 \). Une seule combinaison ne suffit plus.
\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} = \gamma_{\text{G}} \, g_{\text{lin}} + \gamma_{\text{Q}} \, q_{\text{lin}} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? La combinaison ne majore pas les charges par excès de prudence : elle construit un événement de faible probabilité à partir de la statistique de chaque action. La valeur caractéristique d'une charge d'exploitation a déjà 5 % de chances d'être dépassée au cours de la vie de l'ouvrage ; le coefficient partiel repousse cette probabilité à un niveau compatible avec le risque de ruine visé, de l'ordre de \( 10^{-6} \) par an. L'écart entre 1,35 et 1,50 mesure la différence de dispersion entre les deux familles d'actions : ce que l'on pèse est mieux connu que ce que l'on suppose. Sur un plancher de bureaux, la charge d'exploitation de 2,5 kN/m² correspond d'ailleurs à un scénario d'occupation dense qui ne se réalise presque jamais simultanément sur toute la surface.
Décomposition des termes :
  • \( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul à l'état limite ultime, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
  • \( \gamma_{\text{G}} \) : coefficient partiel des actions permanentes défavorables, unité : sans dimension
  • \( g_{\text{lin}} \) : charge permanente linéique reprise par la solive, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
  • \( \gamma_{\text{Q}} \) : coefficient partiel des actions variables défavorables, unité : sans dimension
  • \( q_{\text{lin}} \) : charge d'exploitation linéique reprise par la solive, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
Combinaison caractéristique à l'ELS — EN 1990 art. 6.5.3 :

Elle donne la charge de service à employer pour les calculs de flèche.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la déformation s'apprécie sous le chargement réellement subi, pas sous un scénario de quasi-effondrement. Un plancher qui s'affaisse gêne l'usage bien avant de menacer la sécurité.

  • Contexte de validité : Vérifications d'aptitude au service : déformations, vibrations, fissuration des cloisons. Elle ne sert jamais à une vérification de résistance.
  • Avantage : Elle est directement lisible : la somme des charges annoncées, sans aucun coefficient à retenir ni à justifier.
  • Paramètre clé : L'absence de coefficient partiel, qui traduit qu'on décrit ici le comportement réel du plancher et non un scénario de calcul.
  • Vérification : \( p_{\text{ser}} \) doit valoir la somme brute des charges linéiques établies à l'étape précédente. Le contrôle est immédiat.
  • Limite : Il existe aussi des combinaisons fréquente et quasi permanente, plus faibles, employées pour les effets de longue durée. La caractéristique est la plus sévère des trois.
\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} = g_{\text{lin}} + q_{\text{lin}} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? L'expression décrit le chargement que la solive supporte effectivement lorsque le bâtiment est en service normal. C'est une différence de nature, et non de degré, avec la combinaison ultime : on ne demande plus « le plancher va-t-il s'effondrer ? » mais « est-il utilisable ? ». Un plancher peut parfaitement satisfaire toutes les conditions de résistance et rendre les locaux inexploitables en s'affaissant de plusieurs centimètres : les cloisons fissureraient, les portes coinceraient, et les occupants percevraient la déformation à l'œil nu. C'est cette double exigence — ne pas rompre, et rester utilisable — qui structure l'ensemble des Eurocodes, et c'est pourquoi les deux combinaisons se calculent d'emblée, ensemble.
Décomposition des termes :
  • \( p_{\text{ser}} \) : charge linéique de service, sous combinaison caractéristique, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
  • \( g_{\text{lin}} \) : charge permanente linéique, hors poids propre de la solive, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
  • \( q_{\text{lin}} \) : charge d'exploitation linéique, catégorie B pour des bureaux, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants calculent une seule charge et s'en servent partout, en la majorant ou en la minorant selon les besoins…"

L'approche d'ingénieur : La confusion est d'autant plus tentante que les deux charges se calculent à partir des mêmes données et se ressemblent. Elle coûte pourtant cher dans les deux sens, et l'un des deux est dangereux.
  • L'erreur : Employer \( p_{\text{Ed}} = 27{,}45\ \text{kN}/\text{m} \) pour la flèche. On obtiendrait 41 % de déformation en trop, et l'on rejetterait peut-être un profilé parfaitement adapté au profit d'un plus lourd.
  • La bonne méthode : Écrire les deux combinaisons dès la première question et les nommer distinctement. Chaque vérification ultérieure ira alors chercher la bonne, sans hésitation possible.
  • L'astuce de pro : Retenez la règle en une phrase : « ELU majoré, ELS nu. » Dès qu'un coefficient partiel apparaît dans un calcul de déformation, c'est qu'il y a erreur.
  • Le moyen mnémotechnique : L'ELU répond à « ça casse ? », l'ELS à « ça gêne ? ». Deux questions différentes appellent deux chargements différents.
  • L'impact direct : L'erreur inverse est bien plus grave : employer \( p_{\text{ser}} \) pour la résistance reviendrait à supprimer toute la marge de sécurité. Le moment tomberait à 156 kN·m au lieu de 220.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités
  • Charges surfaciques : données en \( \text{kN}/\text{m}^2 \), multipliées par un entraxe en mètres.
  • Entraxe : 3,00 m, longueur de la bande de dalle attribuée à la solive étudiée.
  • Charges linéiques : le produit donne des \( \text{kN}/\text{m} \) — contrôle dimensionnel immédiat.
  • Coefficients partiels \( \gamma_{\text{G}} \) et \( \gamma_{\text{Q}} \) : sans dimension, ils ne modifient jamais l'unité du résultat.
  • Le rapport \( p_{\text{Ed}}/p_{\text{ser}} \) est lui aussi sans dimension : c'est le contrôle le plus rapide de la cohérence des deux calculs.

Trois étapes s'enchaînent : la conversion des charges surfaciques, la combinaison ultime, puis la combinaison de service. La première conditionne les deux autres.

1. Résolution Numérique Conversion des charges surfaciques en charges linéiques

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une poutre se dimensionne sous une charge par mètre de longueur, alors que les charges de plancher sont données par mètre carré de surface.

Méthodologie du calcul :

On identifie la bande de dalle que reprend la solive — égale à son entraxe pour une solive courante — puis on multiplie chaque charge surfacique par cette largeur.

  • Substitution : On injecte \( g_{\text{k}} = 4{,}0 \) et \( q_{\text{k}} = 2{,}5\ \text{kN}/\text{m}^2 \), multipliés par l'entraxe \( E = 3{,}00\ \text{m} \).
  • Piège évité : Ne pas oublier la multiplication par l'entraxe : c'est l'erreur la plus fréquente sur cette étape, et elle diviserait les charges par trois.
  • Hypothèse validée : La dalle porte dans une seule direction, perpendiculairement aux solives, et la solive étudiée est une solive courante et non de rive.
  • Vérification croisée : Le contrôle dimensionnel suffit : \( \text{kN}/\text{m}^2 \times \text{m} \) ne peut donner que des \( \text{kN}/\text{m} \).
  • Finalité : Disposer des deux charges linéiques caractéristiques qui alimenteront les combinaisons de l'ELU et de l'ELS.
\[ \begin{aligned} g_{\text{lin}} &= g_{\text{k}} \times E = 4{,}0 \times 3{,}00 = \mathbf{12{,}00} \ \text{kN}/\text{m} \\ &\quad q_{\text{lin}} = q_{\text{k}} \times E = 2{,}5 \times 3{,}00 = \mathbf{7{,}50} \ \text{kN}/\text{m} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La solive reprend 12,00 kN/m de charges permanentes et 7,50 kN/m d'exploitation. Les permanentes représentent 62 % du total, proportion habituelle pour un plancher de bureaux.

  • Ordre de grandeur : 19,5 kN/m au total sur une bande de 3 m : cela correspond à 6,5 kN/m², valeur classique pour un plancher de bureaux avec dalle béton et revêtements.
  • Impact sur la suite : Ces deux charges seront pondérées différemment à l'ELU et employées telles quelles à l'ELS.
  • Cohérence : Le rapport \( q/g = 7{,}5/12{,}0 = 0{,}625 \) est typique d'un plancher de bureaux. Sur un plancher industriel, il dépasserait souvent 1,5.
  • Attention : Le poids propre de la solive n'est pas encore compté : il manque aux charges permanentes et devra être ajouté une fois le profilé connu.
  • Comparaison : Avec un entraxe de 2,00 m au lieu de 3,00, les charges tomberaient à 8,0 et 5,0 kN/m — mais il faudrait 50 % de solives en plus.

Remarque pédagogique : Le choix de l'entraxe est la première décision de conception d'un plancher, et elle relève d'un arbitrage économique bien plus que d'un calcul. Un entraxe large — 3 mètres ici — donne peu de solives mais lourdes, et exige une dalle capable de franchir la portée correspondante. Un entraxe serré donne des solives légères et une dalle mince, mais multiplie le nombre d'assemblages, qui sont la partie la plus coûteuse d'une charpente métallique. L'optimum se situe généralement entre 2,5 et 3,5 mètres pour un plancher de bureaux sur bac acier, et il est fixé aussi souvent par la portée admissible du bac que par le poids d'acier des solives.

Charge de calcul à l'état limite ultime

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les vérifications de résistance portent toutes sur des effets d'actions majorées, jamais sur les charges annoncées telles quelles.

Méthodologie du calcul :

On applique l'expression (6.10) en affectant chaque charge linéique de son coefficient partiel, la charge d'exploitation étant la seule action variable et donc nécessairement dominante.

  • Substitution : On injecte \( g_{\text{lin}} = 12{,}00 \) et \( q_{\text{lin}} = 7{,}50\ \text{kN}/\text{m} \), avec \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \) et \( \gamma_{\text{Q}} = 1{,}50 \).
  • Piège évité : Ne pas intervertir les coefficients. Appliquer 1,50 aux permanentes et 1,35 aux variables donnerait 28,13 kN/m, soit 2,5 % de trop — une erreur discrète et difficile à repérer.
  • Hypothèse validée : Les deux actions sont défavorables : elles chargent toutes deux la solive vers le bas. Une action favorable prendrait \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}0 \).
  • Vérification croisée : L'ordre de grandeur se contrôle mentalement : environ \( 1{,}4 \times 19{,}5 = 27{,}3\ \text{kN}/\text{m} \), très proche du résultat exact.
  • Finalité : Disposer de la charge qui donnera les sollicitations de calcul en question 2.
\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= \gamma_{\text{G}} \, g_{\text{lin}} + \gamma_{\text{Q}} \, q_{\text{lin}} \\ &= 1{,}35 \times 12{,}00 + 1{,}50 \times 7{,}50 \\ &= 16{,}20 + 11{,}25 \\ &= \mathbf{27{,}45} \ \text{kN}/\text{m} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge de calcul atteint 27,45 kN/m. La charge d'exploitation, pourtant plus faible en valeur caractéristique, contribue pour 41 % du total en raison de son coefficient plus élevé.

  • Ordre de grandeur : 27,45 kN/m pour 19,5 de charges réelles : la majoration est de 41 %, valeur habituelle lorsque permanentes et variables sont du même ordre.
  • Impact sur la suite : C'est cette charge qui donnera le moment fléchissant et l'effort tranchant de calcul, puis le module de résistance requis.
  • Cohérence : La part des permanentes passe de 62 % en valeur caractéristique à 59 % en valeur de calcul : la variable prend proportionnellement plus de poids, ce qui est l'effet recherché.
  • Attention : Cette valeur ne comprend pas le poids propre de la solive. Elle devra être reprise en question 4, une fois le profilé connu.
  • Comparaison : Si toutes les charges étaient permanentes — 19,5 kN/m de \( g_{\text{k}} \) —, on obtiendrait 26,3 kN/m, soit 4 % de moins pour un chargement réel identique.

Remarque pédagogique : Le fait qu'un chargement de même intensité donne une charge de calcul différente selon sa nature surprend souvent, et mérite d'être compris. Les coefficients partiels ne mesurent pas l'importance d'une action mais l'incertitude qui l'entoure. Une dalle béton se pèse à quelques pour cent près ; le nombre de personnes, de meubles et d'archives qu'un bureau accueillera dans vingt ans ne se sait pas du tout. Majorer davantage la seconde n'est donc pas arbitraire : c'est la traduction, dans le calcul, de ce que l'on sait et de ce que l'on ignore. Cette logique se retrouve dans toute la construction des Eurocodes et explique aussi pourquoi les coefficients changent d'un domaine à l'autre — plus faibles sur le poids d'un liquide en réservoir, dont le niveau est contrôlé, plus élevés sur les charges de trafic d'un pont.

Charge de service à l'état limite de service

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les vérifications de flèche portent sur le comportement réel du plancher en usage normal, et non sur un scénario de calcul.

Méthodologie du calcul :

On applique la combinaison caractéristique de l'art. 6.5.3, où toutes les actions sont prises à leur valeur nominale, sans coefficient partiel.

  • Substitution : On additionne simplement \( g_{\text{lin}} = 12{,}00 \) et \( q_{\text{lin}} = 7{,}50\ \text{kN}/\text{m} \), sans coefficient.
  • Piège évité : Ne pas reprendre les coefficients partiels de l'ELU. C'est l'erreur la plus fréquente, et elle surestimerait la flèche de 41 %.
  • Hypothèse validée : On retient la combinaison caractéristique, la plus sévère des trois combinaisons de service, cohérente avec un critère de déformation instantanée.
  • Vérification croisée : \( p_{\text{ser}} \) doit valoir la somme brute des charges linéiques : 12,00 + 7,50 = 19,50 kN/m. Le contrôle est immédiat.
  • Finalité : Disposer de la charge qui alimentera les deux calculs de flèche de la question 4.
\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} &= g_{\text{lin}} + q_{\text{lin}} \\ &= 12{,}00 + 7{,}50 \\ &= \mathbf{19{,}50} \ \text{kN}/\text{m} \\ &\quad \frac{p_{\text{Ed}}}{p_{\text{ser}}} = \frac{27{,}45}{19{,}50} = 1{,}408 \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge de service vaut 19,50 kN/m, soit 71 % de la charge de calcul. C'est ce que la solive supporte réellement au quotidien, et c'est elle qui déterminera sa flèche.

  • Ordre de grandeur : 19,5 kN/m, soit 71 % de la charge de calcul. L'écart entre les deux états limites est précisément la marge de sécurité du dimensionnement.
  • Impact sur la suite : Cette charge servira à la flèche totale, tandis que la seule part variable de 7,50 kN/m servira à l'autre critère de l'annexe A1.4.
  • Cohérence : Le rapport \( 27{,}45/19{,}50 = 1{,}408 \) est bien compris entre 1,35 et 1,50 : les deux combinaisons sont mutuellement cohérentes.
  • Attention : Il faudra retenir séparément la part variable \( q_{\text{lin}} \) : l'annexe A1.4 impose un critère spécifique sur la flèche qu'elle produit.
  • Comparaison : La combinaison quasi permanente, employée pour les effets de longue durée, ne retiendrait que 30 % de \( q_{\text{k}} \) en catégorie B et donnerait 14,25 kN/m.

Remarque pédagogique : L'écart de 41 % entre les deux charges n'est pas une commodité de calcul : c'est la marge de sécurité elle-même, rendue visible. La solive est dimensionnée pour un chargement qu'elle ne subira très probablement jamais, afin de supporter sans dommage celui qu'elle subit tous les jours. Une conséquence pratique en découle, qu'il faut avoir en tête dès maintenant : sur une portée importante comme celle-ci, ces deux chargements servent des vérifications qui ne désignent pas le même profilé. La résistance se calcule sous 27,45 kN/m et croît comme \( L^2 \) ; la flèche se calcule sous 19,50 kN/m mais croît comme \( L^4 \). C'est ce décalage qui fera toute la difficulté de la question 4.

RÉSULTAT FINAL
\( p_{\text{Ed}} / p_{\text{ser}} \) = 27,45 / 19,50 kN/m — rapport 1,408
"Deux charges, deux usages. Le poids propre manque encore aux deux et devra être réintégré."
2
Question 2 : Moment fléchissant et effort tranchant maximaux
Dans la tête de l'ingénieur

"Deux formules connues de tous, et pourtant deux enseignements que la portée de 8 mètres rend concrets. Le premier : le moment croît comme le carré de la portée, l'effort tranchant seulement comme la portée elle-même. Sur 8 mètres, l'écart entre les deux vérifications sera donc considérable, et je m'attends à ce que le cisaillement soit très largement satisfait. Le second : ces deux sollicitations ne sont jamais maximales au même endroit — le moment à mi-portée où le tranchant s'annule, le tranchant sur appui où le moment s'annule. C'est ce qui rendra leur interaction sans objet."

  • Observation : Une portée de 8,00 mètres pour une charge de 27,45 kN/m : le carré de la portée vaut 64, et c'est ce facteur qui va dominer le moment.
  • Analyse du risque : Le risque est une erreur d'exposant sur la portée. Écrire \( L \) au lieu de \( L^2 \) dans le moment donnerait 27,45 kN·m au lieu de 219,6 — un facteur huit.
  • Choix stratégique : Calculer les deux sollicitations et préciser la section où chacune est atteinte. Cette précision servira directement à écarter l'interaction moment-tranchant.
  • Alternative : Un modèle continu sur plusieurs travées réduirait le moment en travée d'environ 20 %, mais introduirait un moment sur appui et exigerait une continuité d'assemblage qu'une solive articulée n'a pas.
  • Objectif visé : Disposer de \( M_{\text{Ed}} \), qui commandera le choix du profilé, et de \( V_{\text{Ed}} \), qui n'en sera vraisemblablement qu'un contrôle de forme.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
\( M_{\text{Ed}} = 219{,}6\ \text{kN}\cdot\text{m} \) à mi-portée · \( V_{\text{Ed}} = 109{,}8\ \text{kN} \) sur appui
Rappel Théorique : Les efforts internes d'une poutre isostatique

Une poutre sur deux appuis simples uniformément chargée est le cas le plus simple de la résistance des matériaux, et ses deux résultats se retiennent une fois pour toutes. Leur dépendance à la portée est ce qui compte vraiment.

  • Le moment varie comme le carré de la portée : \( M = pL^2/8 \) : doubler la portée quadruple le moment. C'est ce qui rend les grandes portées si coûteuses en acier, et ce qui justifie qu'on cherche à réduire les portées avant toute autre optimisation.
  • L'effort tranchant varie linéairement : \( V = pL/2 \) : doubler la portée ne fait que doubler l'effort tranchant. L'écart avec le moment se creuse donc mécaniquement à mesure que la poutre s'allonge.
  • Deux sections différentes : Le moment est maximal à mi-portée, là où l'effort tranchant s'annule ; l'effort tranchant est maximal sur appui, là où le moment s'annule. Cette exclusion mutuelle est propre au chargement uniformément réparti.
  • Le rapport portée sur hauteur : C'est lui qui arbitre entre flexion et cisaillement. En dessous de 5, on est dans le domaine des poutres-cloisons où le cisaillement commande ; au-dessus de 10, il cesse pratiquement d'être un enjeu.
  • Le diagramme des moments : Il est parabolique sous charge répartie et linéaire sous charges ponctuelles. Cette forme explique que le moment reste proche de son maximum sur une grande partie de la travée — d'où l'intérêt limité d'un profilé à inertie variable.
Équations Fondamentales

Deux relations suffisent, mais leur comparaison est plus instructive que chacune prise isolément.

Moment fléchissant maximal d'une poutre isostatique uniformément chargée :

Il donne la sollicitation qui commandera le choix de la section.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la flexion est la sollicitation dominante d'une poutre de plancher, et que c'est elle qui déterminera le module de résistance requis en question 3.

  • Contexte de validité : Poutre isostatique sur deux appuis simples, charge uniformément répartie sur toute la travée. Un porte-à-faux ou une continuité changeraient l'expression.
  • Avantage : Elle est indépendante de la section : le moment sollicitant se calcule avant même de savoir quel profilé sera retenu, ce qui permet de dimensionner.
  • Paramètre clé : La portée au carré, qui domine tout. Sur 8 mètres, \( L^2 = 64\ \text{m}^2 \) — quatre fois plus que sur une portée de 4 mètres.
  • Vérification : Le coefficient 1/8 est celui de la poutre isostatique. Une poutre bi-encastrée aurait 1/12 en travée et 1/12 sur appui, et une console 1/2.
  • Limite : Le modèle isostatique est conservatif si les assemblages apportent une continuité partielle, ce qui est presque toujours le cas en réalité. Il reste le modèle de calcul retenu.
\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} = \frac{p_{\text{Ed}} \, L^2}{8} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? L'expression décrit la tendance de la poutre à se plier sous son chargement. Le moment naît de ce que la charge et les réactions d'appui, bien qu'en équilibre global, ne sont pas appliquées au même endroit : chaque tranche de poutre subit donc un couple. Ce couple est maximal à mi-portée, où le bras de levier entre la réaction d'appui et la résultante des charges est le plus grand. La dépendance en \( L^2 \) vient de ce que ce bras de levier et la charge totale croissent tous deux avec la portée : leur produit varie donc comme son carré. C'est la raison profonde pour laquelle une poutre de 8 mètres est bien plus qu'une poutre de 4 mètres deux fois plus longue — elle doit reprendre quatre fois le moment.
Décomposition des termes :
  • \( M_{\text{Ed}} \) : moment fléchissant de calcul, maximal à mi-portée, unité : \( \text{kN}\cdot\text{m} \)
  • \( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul à l'état limite ultime, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
  • \( L \) : portée de la poutre mesurée entre axes d'appuis, unité : \( \text{m} \)
Effort tranchant maximal d'une poutre isostatique uniformément chargée :

Il donne la sollicitation à reprendre par l'âme, au droit des appuis.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'âme du profilé doit transmettre l'effort vertical jusqu'aux appuis, et que cette vérification est indépendante de celle de la flexion.

  • Contexte de validité : Mêmes hypothèses que le moment. L'effort tranchant maximal se situe sur appui et vaut exactement la réaction d'appui.
  • Avantage : Il se calcule de tête : c'est la moitié de la charge totale portée par la poutre, par symétrie du chargement.
  • Paramètre clé : La portée à la puissance un seulement, ce qui explique que le cisaillement perde de l'importance à mesure que la poutre s'allonge.
  • Vérification : \( V_{\text{Ed}} = M_{\text{Ed}} \times 4/L \) : le rapport entre les deux sollicitations ne dépend que de la portée, ce qui donne un contrôle croisé immédiat.
  • Limite : Sous charges ponctuelles, l'effort tranchant est constant entre deux points d'application et non linéaire : le diagramme devient un escalier.
\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} = \frac{p_{\text{Ed}} \, L}{2} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? L'expression traduit un simple équilibre vertical : la charge totale \( p_{\text{Ed}} L \) doit être reprise par les deux appuis, et la symétrie du chargement leur en attribue la moitié chacun. L'effort tranchant décrit la tendance des tranches voisines à glisser l'une par rapport à l'autre, et il est maximal là où toute la charge d'une demi-travée doit encore transiter — c'est-à-dire sur appui. Il décroît linéairement jusqu'à s'annuler à mi-portée, où la charge est équilibrée de part et d'autre. Cette variation linéaire, opposée à la variation parabolique du moment, est ce qui garantit que les deux sollicitations ne culminent jamais ensemble sous chargement réparti.
Décomposition des termes :
  • \( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant de calcul, maximal au droit des appuis, unité : \( \text{kN} \)
  • \( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul à l'état limite ultime, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
  • \( L \) : portée de la poutre mesurée entre axes d'appuis, unité : \( \text{m} \)
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants confondent \( pL^2/8 \) et \( pL/8 \), ou emploient la portée en millimètres…"

L'approche d'ingénieur : L'erreur d'exposant sur la portée est la plus répandue de toute la résistance des matériaux, et la plus facile à laisser passer : le résultat reste un nombre d'apparence raisonnable.
  • L'erreur : Écrire \( M = p_{\text{Ed}} L/8 \) au lieu de \( p_{\text{Ed}} L^2/8 \). On obtiendrait 27,45 kN·m au lieu de 219,6, soit huit fois moins — et un IPE 200 paraîtrait suffisant.
  • La bonne méthode : Travailler en mètres et kilonewtons pour les sollicitations, puis convertir en newtons-millimètres au moment de diviser par une limite d'élasticité en MPa.
  • L'astuce de pro : Contrôlez par le rapport \( M/V = L/4 = 2\ \text{m} \). Ce rapport ne dépend que de la portée : s'il ne tombe pas juste, l'un des deux calculs est faux.
  • Le moyen mnémotechnique : « Le moment est un produit force par longueur » : il ne peut donc pas s'exprimer en kilonewtons seuls. Un contrôle dimensionnel suffit à écarter l'erreur.
  • L'impact direct : Un moment sous-estimé d'un facteur huit conduirait à choisir un profilé quatre fois trop léger. La poutre plastifierait bien avant d'atteindre les charges de service.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités
  • Charge linéique : 27,45 kN/m, employée telle quelle avec une portée en mètres.
  • Portée : 8,00 m, dont le carré vaut \( 64\ \text{m}^2 \) — c'est ce facteur qui domine le moment.
  • Moment : produit \( \text{kN}/\text{m} \times \text{m}^2 \), donc en \( \text{kN}\cdot\text{m} \).
  • Effort tranchant : produit \( \text{kN}/\text{m} \times \text{m} \), donc en kilonewtons.
  • Conversion à venir : \( 219{,}6\ \text{kN}\cdot\text{m} = \mathbf{219{,}6 \times 10^6}\ \text{N}\cdot\text{mm} \) pour la question 3.

Deux étapes indépendantes, puis un contrôle croisé qui les relie et valide les deux à la fois.

1. Résolution Numérique Moment fléchissant maximal à mi-portée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la sollicitation dominante d'une poutre de plancher, et celle qui déterminera le module de résistance requis.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de la poutre isostatique uniformément chargée avec la charge de calcul à l'ELU, en travaillant en kilonewtons et en mètres.

  • Substitution : On injecte \( p_{\text{Ed}} = 27{,}45\ \text{kN}/\text{m} \) et \( L = 8{,}00\ \text{m} \), dont le carré vaut 64.
  • Piège évité : La portée intervient au carré. L'oublier donnerait un moment huit fois trop faible, et un profilé quatre fois trop léger.
  • Hypothèse validée : La solive est modélisée en poutre isostatique sur deux appuis simples, hypothèse conservative si les assemblages apportent une continuité partielle.
  • Vérification croisée : \( 27{,}45 \times 64 = 1\,756{,}8 \), divisé par 8 donne 219,6. Le calcul se refait de tête.
  • Finalité : Disposer du moment qui donnera le module de résistance requis en question 3.
\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \, L^2}{8} \\ &= \frac{27{,}45 \times 8{,}00^2}{8} \\ &= \frac{27{,}45 \times 64}{8} \\ &= \mathbf{219{,}6} \ \text{kN}\cdot\text{m} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Le moment de calcul atteint 219,6 kN·m à mi-portée. C'est une valeur importante pour une solive, conséquence directe de la portée de 8 mètres et de l'entraxe généreux.

  • Ordre de grandeur : 219,6 kN·m appelle un profilé d'environ 935 cm³ de module plastique en S235, ce qui pointe vers le haut de la gamme IPE.
  • Impact sur la suite : Ce moment sera converti en module requis par inversion du critère de flexion, puis confronté au catalogue.
  • Cohérence : La charge totale portée vaut \( 27{,}45 \times 8 = 219{,}6\ \text{kN} \) — même valeur numérique que le moment, coïncidence due à \( L/8 = 1 \) pour une portée de 8 mètres.
  • Attention : Ce moment n'inclut pas le poids propre de la solive. Il devra être repris en question 4, une fois le profilé connu.
  • Comparaison : Sur une portée de 6 mètres, le moment tomberait à 123,5 kN·m — soit 44 % de moins pour une réduction de portée de 25 % seulement.

Remarque pédagogique : La coïncidence numérique entre le moment et la charge totale — 219,6 dans les deux cas — n'est qu'un artefact de la portée de 8 mètres, pour laquelle \( L/8 = 1 \). Elle vaut pourtant d'être signalée, car elle piège régulièrement les étudiants qui croient avoir trouvé une relation générale. Le vrai enseignement de ce calcul est ailleurs : c'est la dépendance en \( L^2 \), qui explique pourquoi les concepteurs cherchent d'abord à réduire les portées plutôt qu'à optimiser les sections. Passer de 8 à 6 mètres — en ajoutant une file de poteaux — divise le moment par 1,8 et permet de descendre de trois tailles de profilé. Aucune optimisation de section n'apporte un gain comparable.

Effort tranchant maximal sur appui

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'âme du profilé doit transmettre l'effort vertical jusqu'aux appuis, et que cette vérification est indépendante de celle de la flexion.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de la réaction d'appui d'une poutre isostatique symétriquement chargée, puis on contrôle le résultat par le rapport avec le moment.

  • Substitution : On injecte \( p_{\text{Ed}} = 27{,}45\ \text{kN}/\text{m} \) et \( L = 8{,}00\ \text{m} \).
  • Piège évité : La portée intervient ici à la puissance un seulement. Écrire \( L^2 \) par analogie avec le moment donnerait huit fois trop.
  • Hypothèse validée : Le chargement étant symétrique, chaque appui reprend exactement la moitié de la charge totale.
  • Vérification croisée : Le rapport \( M_{\text{Ed}}/V_{\text{Ed}} = L/4 = 2{,}00\ \text{m} \) : \( 219{,}6/109{,}8 = 2{,}00 \) exactement. Les deux calculs se valident mutuellement.
  • Finalité : Disposer de l'effort tranchant qui servira à la vérification au cisaillement de la question 3.
\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \, L}{2} \\ &= \frac{27{,}45 \times 8{,}00}{2} \\ &= \frac{219{,}6}{2} \\ &= \mathbf{109{,}8} \ \text{kN} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

L'effort tranchant atteint 109,8 kN au droit de chaque appui. Rapporté aux capacités des profilés IPE de cette gamme, il sera très largement satisfait.

  • Ordre de grandeur : 109,8 kN, soit exactement la moitié de la charge totale portée par la solive. Le contrôle par la statique est immédiat.
  • Impact sur la suite : Cet effort sera confronté à \( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) en question 3, et servira aussi à l'examen de l'interaction moment-tranchant.
  • Cohérence : Le rapport \( M_{\text{Ed}}/V_{\text{Ed}} \) vaut exactement \( L/4 \), ce qui valide simultanément les deux calculs précédents.
  • Attention : Cet effort est aussi celui que devra reprendre l'assemblage de la solive sur la poutre porteuse — sujet que cet exercice n'aborde pas mais qui n'est pas moins contraignant.
  • Comparaison : Le rapport portée sur hauteur d'un IPE 360 vaut \( 8\,000/360 = 22 \) : bien au-dessus du seuil de 10 en deçà duquel le cisaillement commence à compter.

Remarque pédagogique : Le contrôle par le rapport \( M/V = L/4 \) est l'un des plus utiles de la résistance des matériaux, et il mérite d'être mémorisé. Il ne dépend ni de la charge, ni de la section, uniquement de la portée : sur toute poutre isostatique uniformément chargée, le moment maximal vaut le quart de la portée fois l'effort tranchant maximal. Un rapport qui ne tombe pas juste signale immédiatement une erreur dans l'un des deux calculs — le plus souvent un exposant sur la portée. Le même raisonnement fournit un ordre de grandeur immédiat sur n'importe quelle poutre rencontrée : sachant qu'un IPE 360 encaisse environ 240 kN·m et 477 kN, on voit tout de suite que sur 8 mètres, c'est la flexion qui saturera la première.

RÉSULTAT FINAL
\( M_{\text{Ed}} / V_{\text{Ed}} \) = 219,6 / 109,8 kN·m et kN — rapport L/4
"Le moment à mi-portée, l'effort tranchant sur appui : jamais dans la même section."
3
Question 3 : Sélection du profilé et vérifications de résistance
Dans la tête de l'ingénieur

"J'inverse le critère de flexion, j'obtiens un module requis, je descends la colonne du catalogue. La démarche est rodée — et c'est précisément ce qui la rend dangereuse. Les caractéristiques de profilés en circulation comportent fréquemment des erreurs, et une erreur de 12 % sur un module plastique ne se voit pas : le calcul se déroule normalement, le résultat reste plausible, et le taux de travail affiché rassure faussement. Je vais donc recouper chaque valeur retenue avant de m'en servir. Ensuite seulement je vérifierai la classe — condition d'emploi du module plastique — puis la flexion, le cisaillement et leur interaction."

  • Observation : Un moment de 219,6 kN·m en S235 appelle un module d'environ 935 cm³. Cela pointe vers le haut de la gamme IPE, entre le 330 et le 400.
  • Analyse du risque : Le risque n'est pas dans la formule mais dans le catalogue. Une valeur surestimée de 12 % ferait afficher 82 % là où le taux réel dépasse 90 % — sans qu'aucun contrôle arithmétique ne le signale.
  • Choix stratégique : Contrôler chaque valeur par le facteur de forme avant de l'employer, puis vérifier la classe de la section plutôt que de la supposer.
  • Alternative : Un profil reconstitué soudé serait plus efficace en flexion à masse égale, mais il faudrait vérifier le voilement local selon la NF EN 1993-1-5 et la classe 1 ne serait plus acquise.
  • Objectif visé : Retenir le profilé le plus léger satisfaisant la résistance, en sachant que le critère de service pourrait encore le remettre en cause.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
\( W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} = 934{,}5\ \text{cm}^3 \) — IPE 360 retenu, classe 1, flexion 91,7 %
Rappel Théorique : Modules de résistance, classes et fiabilité des catalogues

La résistance d'une section fléchie dépend de sa capacité à plastifier entièrement avant que ses parois ne voilent localement. Encore faut-il que les caractéristiques employées soient exactes — ce qui n'est pas toujours le cas des tableaux en circulation.

  • Le facteur de forme, contrôle immédiat : Le rapport \( W_{\text{pl},\text{y}}/W_{\text{el},\text{y}} \) vaut environ 1,12 à 1,15 pour un profilé en I. Il ne dépend que de la géométrie, jamais du matériau : une valeur nettement supérieure signale une erreur de catalogue.
  • Ce que dit la classe de section : Les classes 1 et 2 autorisent le module plastique, la première permettant en outre une analyse plastique globale. La classe 3 limite au module élastique, la 4 impose des propriétés efficaces réduites selon la NF EN 1993-1-5.
  • Deux parois, deux limites : L'âme fléchie admet \( 72\,\varepsilon \), la semelle comprimée seulement \( 9\,\varepsilon \). L'écart tient à ce que l'âme est tenue sur ses deux bords et n'est comprimée que sur la moitié de sa hauteur, là où chaque demi-semelle possède un bord entièrement libre.
  • L'aire de cisaillement n'est ni l'aire totale ni celle de l'âme : L'art. 6.2.6(3)a retranche les semelles de l'aire brute puis rend à l'âme les congés de raccordement. Pour un IPE, elle représente environ 48 % de l'aire totale.
  • Le déversement doit être écarté explicitement : Sur une poutre de 8 mètres, l'expression \( M_{\text{c},\text{Rd}} = W_{\text{pl},\text{y}} f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \) n'est valable que si la semelle comprimée est maintenue latéralement. Sans ce maintien, l'art. 6.3.2 s'applique et la résistance chute considérablement.
Équations Fondamentales

Quatre relations composent cette question : le module requis, les limites de classe, la résistance en flexion et celle au cisaillement.

Module de résistance plastique requis — inversion de l'équation (6.13) :

Il transforme le moment à reprendre en un seuil lisible dans le catalogue.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le catalogue ne fournit pas des résistances mais des caractéristiques géométriques. En inversant l'expression du moment résistant, on obtient directement la colonne à consulter.

  • Contexte de validité : Section de classe 1 ou 2 exclusivement, flexion simple autour de l'axe fort, déversement écarté. En classe 3, le seuil porterait sur \( W_{\text{el},\text{y}} \).
  • Avantage : Il ramène la sélection à une simple lecture de colonne, sans avoir à calculer la résistance de chaque profilé candidat.
  • Paramètre clé : Le coefficient partiel \( \gamma_{\text{M0}} \), qui vaut 1,00 selon l'annexe nationale française. Sa valeur unitaire ne dispense pas de l'écrire.
  • Vérification : Un calcul en \( \text{kN}\cdot\text{cm} \) donne le même résultat en \( \text{cm}^3 \) : \( 21\,960/23{,}5 = 934{,}5 \). Le double système d'unités est un contrôle gratuit.
  • Limite : Le seuil ne porte que sur la flexion. Sur une portée de 8 mètres, le critère de flèche pourra désigner un profilé différent — ce que la question 4 établira.
\[ \begin{aligned} W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}} \, \gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Le module plastique est le moment statique des deux demi-sections par rapport à l'axe neutre, c'est-à-dire le bras de levier interne du couple que la section peut développer. L'inversion du critère consiste à demander : quelle géométrie faut-il pour que ce couple équilibre le moment appliqué ? Le geste est le même que pour toute condition normative de la forme « effet ≤ résistance », et c'est lui qui transforme une vérification en dimensionnement. C'est ce renversement qui distingue le calculateur qui contrôle un ouvrage existant de celui qui en conçoit un nouveau, et il se retrouvera à l'identique sur le critère de flèche en question 4.
Décomposition des termes :
  • \( W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} \) : module de résistance plastique minimal requis par le moment, unité : \( \text{mm}^3 \)
  • \( M_{\text{Ed}} \) : moment fléchissant de calcul à l'état limite ultime, unité : \( \text{N}\cdot\text{mm} \)
  • \( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de l'acier dans sa tranche d'épaisseur, unité : \( \text{MPa} \)
  • \( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections transversales, unité : sans dimension
Limites de classe pour une section fléchie — EN 1993-1-1 tableau 5.2 :

Elles déterminent si la section peut développer sa pleine résistance plastique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'expression du moment résistant diffère selon la classe. C'est la condition de validité du seuil calculé, et elle doit donc être établie et non supposée.

  • Contexte de validité : Les limites dépendent du diagramme de contraintes dans la paroi. Une âme fléchie, comprimée sur une moitié seulement, est bien plus tolérante qu'une âme entièrement comprimée.
  • Avantage : Deux divisions suffisent, et le résultat est binaire et vérifiable par un tiers en quelques secondes.
  • Paramètre clé : La semelle comprimée, dont la limite de \( 9\,\varepsilon \) est de loin la plus sévère. Son bord libre la rend bien plus sensible au voilement que l'âme.
  • Vérification : Les longueurs \( c \) se mesurent entre congés. Ignorer les rayons de raccordement gonflerait artificiellement les élancements de paroi.
  • Limite : En acier S355, \( \varepsilon \) tombe à 0,81 et les limites se resserrent d'autant. Un profilé de classe 1 en S235 peut basculer en classe 2 sans qu'aucune cote n'ait changé.
\[ \begin{aligned} \text{ame flechie} &: \ \frac{c_{\text{w}}}{t_{\text{w}}} \le 72\,\varepsilon \\ &\quad \text{semelle comprimee} : \ \frac{c_{\text{f}}}{t_{\text{f}}} \le 9\,\varepsilon \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Ces critères mesurent la sveltesse locale de chaque paroi, à ne pas confondre avec l'élancement de la poutre entière. Une tôle trop mince par rapport à sa largeur se froisse sous la compression, comme une feuille de papier poussée par la tranche, sans que le matériau soit pour autant surchargé. L'écart considérable entre 72 et 9 s'explique par deux effets qui se cumulent : l'âme est tenue sur ses deux bords par les semelles, là où chaque demi-semelle possède un bord entièrement libre ; et l'âme n'est comprimée que sur la moitié de sa hauteur, l'autre moitié étant tendue et donc stabilisatrice.
Décomposition des termes :
  • \( c_{\text{w}} \) : hauteur droite de l'âme, mesurée entre les congés de raccordement, unité : \( \text{mm} \)
  • \( t_{\text{w}} \) : épaisseur de l'âme du profilé considéré, unité : \( \text{mm} \)
  • \( c_{\text{f}} \) : largeur de la console de semelle, du congé au bord libre, unité : \( \text{mm} \)
  • \( t_{\text{f}} \) : épaisseur des semelles du profilé considéré, unité : \( \text{mm} \)
  • \( \varepsilon \) : coefficient de nuance, égal à \( \sqrt{235/f_{\text{y}}} \), unité : sans dimension
Résistance en flexion et au cisaillement — EN 1993-1-1 équations (6.13) et (6.18) :

Elles fournissent les deux capacités de la section retenue.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la présélection reposait sur un seuil arrondi et sur la seule flexion. Il faut confronter les sollicitations aux résistances réelles et en tirer des taux de travail comparables.

  • Contexte de validité : Section de classe 1 ou 2, déversement écarté pour la flexion, absence de torsion pour le cisaillement. Les deux vérifications sont indépendantes.
  • Avantage : Les taux de travail sont sans dimension, donc directement comparables entre eux et avec ceux de la flèche.
  • Paramètre clé : Le facteur \( \sqrt{3} \) du cisaillement, issu du critère de von Mises. Il traduit une propriété du matériau et non une marge de sécurité.
  • Vérification : Pour un acier S235, la contrainte limite de cisaillement vaut toujours 135,7 MPa. Ce repère mémorisable permet un contrôle mental immédiat.
  • Limite : Au-delà de \( 0{,}5\,V_{\text{pl},\text{Rd}} \), l'art. 6.2.8(3) impose de réduire le moment résistant. Il faut donc examiner l'interaction avant de conclure.
\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd}} &= \frac{W_{\text{pl},\text{y}} \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &\quad V_{\text{pl},\text{Rd}} = \frac{A_{\text{v}} \left( f_{\text{y}} / \sqrt{3} \right)}{\gamma_{\text{M0}}} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Les deux expressions décrivent une plastification complète, mais de deux zones différentes et sous deux régimes distincts. En flexion, toutes les fibres atteignent \( f_{\text{y}} \), en compression au-dessus de l'axe neutre et en traction en dessous : la section développe alors le couple maximal qu'elle sait produire. En cisaillement, c'est la seule âme qui travaille, et à une contrainte limite de \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} \) — l'acier résistant 42 % moins bien au glissement qu'à l'étirement. Cette différence de zone active explique que les deux vérifications soient si peu corrélées : une poutre élancée sature en flexion bien avant de solliciter son âme, tandis qu'une poutre courte fortement chargée peut cisailler son âme sans jamais approcher son moment résistant.
Décomposition des termes :
  • \( M_{\text{c},\text{Rd}} \) : moment résistant de calcul de la section transversale, unité : \( \text{N}\cdot\text{mm} \)
  • \( W_{\text{pl},\text{y}} \) : module de résistance plastique selon l'axe fort, unité : \( \text{mm}^3 \)
  • \( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) : résistance plastique de calcul au cisaillement, unité : \( \text{N} \)
  • \( A_{\text{v}} \) : aire de cisaillement de la section, art. 6.2.6(3)a, unité : \( \text{mm}^2 \)
  • \( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de l'acier dans sa tranche d'épaisseur, unité : \( \text{MPa} \)
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'énoncés reprennent des caractéristiques de profilés trouvées en ligne sans les recouper — on rencontre par exemple 1 140 cm³ pour l'IPE 360, au lieu de 1 019…"

L'approche d'ingénieur : C'est une erreur invisible : le calcul se déroule normalement, le résultat reste plausible, et le taux affiché rassure. Ici elle est même diagnosticable, car la valeur voisine trahit son origine.
  • L'erreur : Retenir \( W_{\text{pl},\text{y}} = 1\,140\ \text{cm}^3 \) au lieu de 1 019. La résistance passerait de 239,5 à 267,9 kN·m, soit une surestimation de 11,9 %, et le taux afficherait 0,82 au lieu de 0,92.
  • La bonne méthode : Contrôler le facteur de forme \( W_{\text{pl},\text{y}}/W_{\text{el},\text{y}} \), qui doit valoir 1,12 à 1,15 pour un IPE. Avec 1 140 et un module élastique de 903,6, il ressort à 1,26 : anormal.
  • L'astuce de pro : La valeur portée en face de l'IPE 330 — 903,6 cm³ — est en réalité le module élastique de l'IPE 360. C'est une colonne décalée, et la comparer à la ligne voisine suffit à le voir.
  • Le moyen mnémotechnique : « Une valeur tabulée sans source est une hypothèse. » Tant qu'on n'a pas identifié la norme dont elle provient, elle vaut ce que vaut celui qui l'a recopiée.
  • L'impact direct : Le message pédagogique en est inversé. Un catalogue fautif profilé « n'est pas parfaitement optimisé » à 82 % ; la réalité est qu'il travaille à 92 % et qu'il n'y a aucune marge.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités
  • Moment : \( 219{,}6\ \text{kN}\cdot\text{m} \) converti en \( 219{,}6 \times 10^6\ \text{N}\cdot\text{mm} \) pour l'homogénéité avec les MPa.
  • Module plastique : rapport \( \text{N}\cdot\text{mm} / (\text{N}/\text{mm}^2) \), donc en \( \text{mm}^3 \).
  • Catalogue : \( W_{\text{pl},\text{y}} \) tabulé en \( \text{cm}^3 \), converti par le facteur \( 10^3 \) — l'exposant est celui de la longueur.
  • Aire de cisaillement : \( 35{,}14\ \text{cm}^2 \) convertie en \( 3\,514\ \text{mm}^2 \) par le facteur \( 10^2 \).
  • Contrainte limite de cisaillement : \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} = \mathbf{135{,}7}\ \text{MPa} \) pour le S235 — repère à mémoriser.

Quatre étapes s'enchaînent : le module requis, la lecture recoupée du catalogue, la classification, puis les deux vérifications de résistance et leur interaction.

1. Résolution Numérique Module de résistance plastique requis

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour traduire le moment à reprendre en une grandeur géométrique lisible dans le catalogue, et transformer une condition mécanique en simple lecture de colonne.

Méthodologie du calcul :

On inverse le critère de flexion en y substituant l'expression du moment résistant, ce qui isole le module plastique. Le moment est converti en newtons-millimètres pour rester homogène avec la limite d'élasticité.

  • Substitution : On injecte \( M_{\text{Ed}} = 219{,}6 \times 10^6\ \text{N}\cdot\text{mm} \), \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
  • Piège évité : Convertir le moment en \( \text{N}\cdot\text{mm} \) avant la division. Diviser des \( \text{kN}\cdot\text{m} \) par des MPa donnerait un résultat dépourvu de signification.
  • Hypothèse validée : On recherche un module plastique, pariant sur une section de classe 1 ou 2. Ce pari sera vérifié à la troisième étape, et invalidé s'il se révélait faux.
  • Vérification croisée : Un calcul en \( \text{kN}\cdot\text{cm} \) donne \( 21\,960/23{,}5 = 934{,}5\ \text{cm}^3 \), confirmant le résultat par un autre système d'unités.
  • Finalité : Obtenir le seuil de lecture à appliquer à la colonne \( W_{\text{pl},\text{y}} \) du catalogue de profilés.
\[ \begin{aligned} W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} &\ge \frac{M_{\text{Ed}} \, \gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}} \\ &\ge \frac{219{,}6 \times 10^6 \times 1{,}00}{235} \\ &\ge 934\,468 \ \text{mm}^3 \\ &\ge \mathbf{934{,}5} \ \text{cm}^3 \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Un module plastique d'au moins 934,5 cm³ est nécessaire. Ce seuil se situe entre l'IPE 330 et l'IPE 360, ce qui désigne immédiatement les deux candidats à examiner.

  • Ordre de grandeur : 934,5 cm³ pour un moment de 219,6 kN·m en S235 : cohérent avec les solives de plancher de grande portée, qui se situent généralement entre IPE 300 et IPE 450.
  • Impact sur la suite : Ce seuil sera confronté à la colonne \( W_{\text{pl},\text{y}} \) — mais après recoupement des valeurs, car deux d'entre elles sont erronées.
  • Cohérence : Le contrôle en \( \text{kN}\cdot\text{cm} \) redonne exactement la même valeur, ce qui valide la conversion d'unités.
  • Attention : Ce seuil ne comprend pas le poids propre de la solive. Avec lui, il monterait à 960,2 cm³ — ce qui ne change pas le profilé retenu mais réduit sa marge.
  • Comparaison : En acier S355, le seuil tomberait à \( 219{,}6 \times 10^6/355 = 619\ \text{cm}^3 \), et l'IPE 300 suffirait — pour la résistance seule, s'entend.

Remarque pédagogique : Ce seuil de 934,5 cm³ mérite d'être mis en regard de ce que la flèche va exiger. Le critère de résistance porte sur le module de la section, celui de flèche sur son moment quadratique — deux caractéristiques différentes, qui ne croissent pas au même rythme quand on monte en gamme. Entre l'IPE 360 et l'IPE 400, le module ne progresse que de 28 % — de 1 019 à 1 307 cm³ — quand l'inertie progresse de 42 %, de 16 270 à 23 130 cm⁴. Ce décalage est précisément ce qui permettra, si le critère de service se révélait critique, de le rattraper en montant d'une seule taille.

Lecture recoupée du catalogue

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le seuil calculé n'a d'intérêt que confronté à l'offre réelle des profilés — et parce que deux des quatre valeurs proposées sont fausses de plus de 12 %.

Méthodologie du calcul :

On contrôle chaque valeur du catalogue par le facteur de forme, on écarte celles qui sont aberrantes, puis on descend la colonne corrigée jusqu'à franchir le seuil.

  • Substitution : On confronte le seuil de 934,5 cm³ aux valeurs recoupées : IPE 330 à 804,3 cm³, puis IPE 360 à 1 019 cm³.
  • Piège évité : Ne pas retenir une valeur de catalogue sans la recouper. Celles douteuses annoncent 903,6 et 1 140 : la première est le module élastique de la ligne suivante, la seconde est surestimée de 11,9 %.
  • Hypothèse validée : Les valeurs retenues sont celles de la NF EN 10365, recoupées par le calcul géométrique du module plastique.
  • Vérification croisée : Le facteur de forme doit valoir 1,12 à 1,15 : \( 1\,019/903{,}6 = 1{,}128 \) pour l'IPE 360 — conforme. Avec 1 140, il ressortirait à 1,26.
  • Finalité : Désigner le profilé candidat avec une valeur de module dont l'exactitude est établie, et non supposée.
\[ \begin{aligned} \text{IPE 330} &: \ 804{,}3 \ \lt \ 934{,}5 \ \Rightarrow \ \text{insuffisant} \\ &\quad \text{IPE 360} : \ 1\,019 \ \ge \ 934{,}5 \ \Rightarrow \ \mathbf{retenu} \\ &\quad \text{facteur de forme} : \ \frac{1\,019}{903{,}6} = 1{,}128 \quad (\text{attendu } 1{,}12 \ \text{a} \ 1{,}15) \\ &\quad \text{valeur douteuse} : \ \frac{1\,140}{903{,}6} = 1{,}262 \quad \Rightarrow \ \text{anormal} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

L'IPE 360 est retenu, avec un module de 1 019 cm³ dont le facteur de forme confirme la validité. Un module surestimé à 1 140 cm³ aurait désigné le même profilé, mais avec un taux de travail faussé de dix points.

  • Ordre de grandeur : 1 019 cm³ pour 934,5 requis : le profilé retenu n'offre qu'une marge de 9 % en flexion. C'est serré, mais les tailles de catalogue sont discrètes.
  • Impact sur la suite : Toutes les vérifications porteront sur ce profilé, avec ses caractéristiques propres : module, inertie, aire de cisaillement et poids propre.
  • Cohérence : Le choix du profilé n'est pas modifié par la correction : l'IPE 330 était rejeté avec 903,6 comme avec 804,3. Seul le taux de travail change.
  • Attention : C'est précisément ce qui rend l'erreur dangereuse : elle ne se voit pas dans le résultat. Le profilé est le bon, mais l'ingénieur croit disposer d'une réserve deux fois plus grande qu'elle ne l'est.
  • Comparaison : Le module élastique de l'IPE 360 vaut 903,6 cm³. En calcul élastique, le taux monterait à 103 % et le profilé serait rejeté : la réserve plastique est ici décisive.

Remarque pédagogique : Le diagnostic de l'erreur mérite d'être détaillé, car il illustre une méthode générale. La valeur portée en face de l'IPE 330 — 903,6 cm³ — est exactement le module élastique de l'IPE 360, qui figure sur la ligne suivante. C'est la signature d'une colonne décalée lors d'une recopie, erreur banale dont on trouve des traces dans quantité de tableaux en circulation. Deux contrôles la détectent immédiatement : le facteur de forme, qui doit rester entre 1,12 et 1,15, et la comparaison avec le module élastique de la même ligne, qui doit toujours être inférieur. Prenez l'habitude de les faire : ils coûtent cinq secondes et transforment une donnée recopiée en donnée vérifiée.

Classification de la section retenue

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le module plastique employé pour la sélection n'est légitime qu'en classe 1 ou 2. Cette vérification valide rétroactivement les deux étapes précédentes.

Méthodologie du calcul :

On calcule séparément l'élancement de l'âme et celui de la console de semelle, en mesurant les longueurs entre congés à partir des cotes de l'IPE 360, puis on compare chacun à sa limite de classe 1.

  • Substitution : On injecte les cotes de l'IPE 360 : \( h = 360 \), \( b = 170 \), \( t_{\text{w}} = 8{,}0 \), \( t_{\text{f}} = 12{,}7 \) et \( r = 18\ \text{mm} \).
  • Piège évité : Les longueurs se mesurent entre congés. La console de semelle est une demi-largeur, d'où la division par deux dans son expression.
  • Hypothèse validée : La solive travaille en flexion simple : l'âme est comprimée sur la moitié de sa hauteur seulement, ce qui autorise la limite favorable de \( 72\,\varepsilon \).
  • Vérification croisée : Pour l'acier S235, \( \varepsilon = 1{,}00 \) exactement : les limites valent donc 72 et 9 en valeur brute.
  • Finalité : Confirmer la légitimité du module plastique employé, et autoriser son emploi dans la vérification de flexion qui suit.
\[ \begin{aligned} c_{\text{w}} &= 360 - 2(12{,}7) - 2(18) = 298{,}6 \ \text{mm} \\ &\quad \frac{c_{\text{w}}}{t_{\text{w}}} = \frac{298{,}6}{8{,}0} = 37{,}3 \ \le \ 72 \\ &\quad c_{\text{f}} = \frac{170 - 8{,}0 - 2(18)}{2} = 63{,}0 \ \text{mm} \\ &\quad \frac{c_{\text{f}}}{t_{\text{f}}} = \frac{63{,}0}{12{,}7} = 5{,}0 \ \le \ 9 \\ &\Rightarrow \ \mathbf{section\ de\ classe\ 1} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux parois satisfont largement les limites de classe 1, avec des marges de 48 % et 45 %. L'emploi du module plastique est donc pleinement justifié.

  • Ordre de grandeur : 37,3 contre 72 pour l'âme, 5,0 contre 9 pour la semelle : les deux marges sont confortables. C'est le cas de tous les IPE en S235.
  • Impact sur la suite : L'équation (6.13) est légitime : le moment résistant se calculera sur \( W_{\text{pl},\text{y}} = 1\,019\ \text{cm}^3 \), et non sur le module élastique de 903,6 cm³.
  • Cohérence : La semelle reste le point le plus critique en valeur relative, ce qui est logique : son bord libre la rend plus sensible au voilement que l'âme.
  • Attention : En acier S355, les limites tomberaient à 58,6 et 7,3. L'IPE 360 resterait en classe 1, mais avec une marge sensiblement réduite sur l'âme.
  • Comparaison : Un profil reconstitué soudé de même hauteur, dépourvu de congés et à âme plus mince, basculerait facilement en classe 3 ou 4 et perdrait tout le bénéfice du module plastique.

Remarque pédagogique : Cette vérification prend deux divisions et se solde ici favorablement, ce qui pourrait la faire paraître superflue. Elle ne l'est pas, et pour une raison qui dépasse cet exercice : la classe conditionne l'expression même du moment résistant. Employer \( W_{\text{pl},\text{y}} \) sur une section de classe 3 surestimerait la capacité de 13 %, et de bien davantage en classe 4. Deux situations font basculer une section : le passage à une nuance supérieure, qui resserre les limites d'un facteur \( \varepsilon \), et l'emploi d'un profil reconstitué soudé, dépourvu de congés et donc bien plus élancé au niveau des parois. Sur un plancher de grande portée, le second cas est fréquent.

Vérifications de flexion, de cisaillement et d'interaction

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la présélection ne portait que sur la flexion et sur un seuil arrondi. Il faut contrôler l'ensemble des critères de résistance de la section retenue.

Méthodologie du calcul :

On calcule les deux résistances avec les caractéristiques recoupées de l'IPE 360, on en tire les taux de travail, puis on examine le seuil d'interaction de l'art. 6.2.8(2).

  • Substitution : On injecte \( W_{\text{pl},\text{y}} = 1\,019 \times 10^3\ \text{mm}^3 \) et \( A_{\text{v}} = 3\,514\ \text{mm}^2 \), avec \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
  • Piège évité : Employer l'aire de cisaillement normative de 35,14 cm² et non les 35,66 souvent tabulés : l'écart de 1,5 % va, lui aussi, du mauvais côté.
  • Hypothèse validée : Le déversement est écarté par le maintien latéral que la dalle apporte à la semelle comprimée — hypothèse à énoncer, sans quoi l'art. 6.3.2 s'appliquerait.
  • Vérification croisée : Le rapport des modules, \( 934{,}5/1\,019 = 0{,}917 \), doit redonner le taux de flexion, les deux étant proportionnels à \( f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \).
  • Finalité : Clore l'état limite ultime et disposer des taux à confronter à ceux de la flèche en question 4.
\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd}} &= \frac{1\,019 \times 10^3 \times 235}{1{,}00} = 239{,}5 \ \text{kN}\cdot\text{m} \\ &\quad \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{c},\text{Rd}}} = \frac{219{,}6}{239{,}5} = \mathbf{0{,}917} \ \le \ 1{,}0 \\ &\quad V_{\text{pl},\text{Rd}} = \frac{3\,514 \times 135{,}7}{1{,}00} = 476{,}8 \ \text{kN} \\ &\quad \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl},\text{Rd}}} = \frac{109{,}8}{476{,}8} = \mathbf{0{,}230} \\ &\quad V_{\text{Ed}} = 109{,}8 : \ \le \ 0{,}5 \, V_{\text{pl},\text{Rd}} = 238{,}4 \ \Rightarrow \ \text{interaction negligeable} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La flexion travaille à 91,7 % et le cisaillement à 23,0 %. L'interaction est sans objet. Avec un module surestimé, on aurait lu 82 % : l'écart de dix points vient entièrement de la donnée de catalogue.

  • Ordre de grandeur : 91,7 % est un taux élevé mais admissible. Il signale un profilé parfaitement ajusté, et non le profilé surdimensionné qu'un catalogue fautif prétend.
  • Impact sur la suite : Il reste à réintégrer le poids propre et à vérifier les deux critères de flèche. Le taux de flexion montera à 94,2 %.
  • Cohérence : Le rapport des modules redonne exactement le taux de flexion, ce qui valide à la fois le seuil calculé et la lecture du catalogue.
  • Attention : Le taux de cisaillement de 23 % confirme que la flexion domine largement sur cette portée, comme le rapport portée sur hauteur de 22 le laissait prévoir.
  • Comparaison : Avec la valeur erronée de 1 140 cm³, le taux afficherait 0,820. La différence entre 8 % et 18 % de marge n'est pas anodine pour un ingénieur qui doit arbitrer une évolution de projet.

Remarque pédagogique : L'écart entre 82 % et 92 % n'est pas seulement numérique : il inverse le jugement. Avec des taux de 82 % en flexion et 44 % en flèche, on conclurait volontiers que « le choix est correct mais pas parfaitement optimisé » et qu'un profil reconstitué soudé serait plus léger. La réalité est exactement inverse : l'IPE 360 travaille à 92 % en flexion — 94 % avec son poids propre — et il n'y a aucune marge pour un profilé plus léger. Chercher à alléger la section sur la foi du chiffre erroné mènerait droit à un dimensionnement insuffisant. C'est la raison pour laquelle une erreur de donnée d'entrée est plus grave qu'une erreur de calcul : elle ne fausse pas seulement un chiffre, elle fausse le jugement.

RÉSULTAT FINAL
IPE 360 = 1 019 cm³ ≥ 934,5 requis
"Classe 1, flexion à 91,7 %, cisaillement à 23,0 %. Le critère de service reste à vérifier."
4
Question 4 : Les deux flèches, poids propre et synthèse
Dans la tête de l'ingénieur

"Il me reste le critère de service, et deux choses m'y attendent. La première est le poids propre : on l'écarte volontiers « dans un premier temps » en annonçant qu'il serait vérifié après le choix du profilé, et c'est maintenant qu'il faut tenir cette promesse. La seconde est plus importante : l'annexe A1.4 de la NF EN 1990 distingue deux flèches — celle des seules actions variables et la flèche totale — et l'on ne donne de limite que pour la première. Sur 8 mètres de portée, je m'attends à ce que la seconde soit bien plus contraignante, et je vais donc la calculer même si aucun critère ne m'est fourni pour elle."

  • Observation : Une portée de 8 mètres et une inertie de 16 270 cm⁴. La flèche varie comme \( L^4 \) : sur cette portée, elle ne peut pas être une formalité.
  • Analyse du risque : Le risque est de ne vérifier qu'une seule flèche. Celle des actions variables donnera 44 % et paraîtra rassurante ; la flèche totale, elle, saturera son critère.
  • Choix stratégique : Réintégrer le poids propre, calculer les deux flèches de l'annexe A1.4, et signaler explicitement que la limite applicable à la flèche totale relève d'un choix de projet.
  • Alternative : Une contreflèche de fabrication compenserait la part permanente de la déformation et libérerait entièrement le critère de flèche totale. C'est une pratique courante sur les grandes portées de plancher.
  • Objectif visé : Confronter tous les taux de travail et désigner le critère qui gouverne vraiment le dimensionnement — qui n'est pas celui qu'on désigne d'ordinaire.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
\( w_3 = 11{,}71\ \text{mm} \) (taux 0,439) · \( w_{\text{max}} = 31{,}31\ \text{mm} \) — gouvernant à 97,9 %
Rappel Théorique : Les deux flèches de l'annexe A1.4 et la boucle du poids propre

L'état limite de service ne met pas en jeu la ruine mais l'aptitude au fonctionnement. L'annexe A1.4 de la NF EN 1990 en donne une définition précise, et elle distingue plusieurs grandeurs qu'il ne faut pas confondre.

  • Les composantes de la flèche : \( w_1 \) est la part des charges permanentes, \( w_2 \) la part de fluage — nulle pour l'acier —, \( w_3 \) la part additionnelle des actions variables, et \( w_{\text{max}} \) la flèche totale déduction faite de la contreflèche.
  • Deux critères, pas un : Les annexes nationales bornent en général à la fois \( w_3 \) et \( w_{\text{max}} \), avec des limites différentes. Ne vérifier que \( w_3 \) laisse passer les déformations permanentes, qui sont pourtant les plus visibles à l'usage.
  • La puissance quatrième : La flèche varie comme \( L^4 \) quand le moment ne varie que comme \( L^2 \). Doubler la portée multiplie le moment par quatre mais la flèche par seize : c'est ce qui fait basculer le dimensionnement vers le service dès que la portée s'allonge.
  • Un module d'élasticité invariant : \( E = 210\,000\ \text{MPa} \) pour toutes les nuances d'acier de construction. Passer en S355 ne réduit jamais une flèche : seule l'inertie le peut.
  • Le poids propre entre dans la flèche permanente : Il ne pèse que 4,7 % des charges permanentes sur cette solive, mais il s'ajoute à \( w_1 \), c'est-à-dire à la composante que le critère \( w_3 \) ignore complètement. Son effet est donc entièrement reporté sur \( w_{\text{max}} \).
Équations Fondamentales

Trois relations closent l'étude : la flèche d'une poutre isostatique, sa décomposition selon l'annexe A1.4, et le critère de synthèse.

Flèche maximale d'une poutre isostatique uniformément chargée :

Elle donne le déplacement vertical de la solive sous une charge donnée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la vérification de service porte sur une déformation et non sur une contrainte. La résistance et la flèche sont deux critères indépendants qui peuvent désigner des profilés différents.

  • Contexte de validité : Poutre isostatique, charge uniformément répartie, matériau élastique, section constante. Une continuité d'appui réduirait sensiblement cette flèche.
  • Avantage : Elle ne dépend que de la géométrie et du module d'élasticité, jamais de la limite d'élasticité. Passer en S355 ne changerait rien.
  • Paramètre clé : La portée à la puissance quatre, qui domine tout. C'est elle qui explique qu'un critère satisfait sur 5 m devienne critique sur 8 m.
  • Vérification : Le coefficient \( 5/384 \approx 1/76{,}8 \) est celui de la poutre isostatique. Une poutre bi-encastrée aurait \( 1/384 \), soit une flèche cinq fois moindre.
  • Limite : L'expression ignore la déformation d'effort tranchant, négligeable pour les poutres élancées mais non pour les poutres courtes où elle peut atteindre plusieurs pour cent.
\[ \begin{aligned} f = \frac{5 \, p \, L^4}{384 \, E \, I_{\text{y}}} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? L'expression décrit la déformée élastique de la poutre sous son chargement. Chaque terme raconte une part du phénomène : la charge intervient linéairement, ce qui est attendu en régime élastique ; la portée intervient à la puissance quatre, effet cumulé de deux intégrations successives depuis la courbure ; le produit \( E I_{\text{y}} \), appelé rigidité de flexion, apparaît au dénominateur puisqu'il s'oppose à la déformation. Le module d'élasticité étant identique pour toutes les nuances d'acier — 210 GPa du S235 au S460 —, seule l'inertie est ajustable. C'est pourquoi on ne combat jamais une flèche excessive par une nuance supérieure : il faut de la matière loin de l'axe neutre, pas de la matière plus résistante.
Décomposition des termes :
  • \( f \) : flèche maximale de la poutre, atteinte à mi-portée, unité : \( \text{mm} \)
  • \( p \) : charge uniformément répartie de la combinaison considérée, unité : \( \text{N}/\text{mm} \)
  • \( L \) : portée de la poutre mesurée entre axes d'appuis, unité : \( \text{mm} \)
  • \( E \) : module d'élasticité de l'acier, invariant à 210 000 MPa, unité : \( \text{MPa} \)
  • \( I_{\text{y}} \) : moment quadratique de la section selon l'axe fort, unité : \( \text{mm}^4 \)
Décomposition de la flèche — EN 1990 annexe A1.4 :

Elle distingue les composantes que les critères de service bornent séparément.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une déformation permanente et une déformation variable n'ont pas les mêmes conséquences : la première se corrige par une contreflèche, la seconde se subit.

  • Contexte de validité : Toutes les composantes se calculent sous la combinaison caractéristique, chacune avec la part de charge qui lui correspond.
  • Avantage : La décomposition permet de cibler le remède : une contreflèche agit sur \( w_1 \), une augmentation d'inertie agit sur les deux.
  • Paramètre clé : La part variable \( w_3 \), qui est celle que les occupants perçoivent comme un mouvement du plancher — la part permanente, elle, se fond dans la géométrie du bâtiment.
  • Vérification : \( w_{\text{max}} = w_1 + w_3 - w_{\text{c}} \), la contreflèche \( w_{\text{c}} \) étant nulle ici. La somme des composantes doit redonner la flèche sous \( p_{\text{ser}} \) complet.
  • Limite : \( w_2 \), part de fluage, ne concerne pas l'acier mais le béton et le bois. Elle est nulle pour une solive métallique nue.
\[ \begin{aligned} w_3 &= \frac{5 \, q_{\text{lin}} \, L^4}{384 \, E \, I_{\text{y}}} \\ &\quad w_{\text{max}} = \frac{5 \, (g_{\text{lin}} + g_{\text{pp}} + q_{\text{lin}}) \, L^4}{384 \, E \, I_{\text{y}}} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? La distinction repose sur une différence de perception et de réversibilité. La flèche due aux charges permanentes s'établit une fois pour toutes, dès la construction : le plancher prend sa forme, les cloisons sont montées dessus, et personne ne la remarque — on peut même l'annuler par une contreflèche donnée en atelier. La flèche due aux actions variables, elle, va et vient avec l'occupation : c'est elle qui fait fissurer une cloison, coincer une porte ou vibrer un plancher. Les deux critères répondent donc à deux préoccupations distinctes : \( w_3 \) protège les éléments non structuraux et le confort, \( w_{\text{max}} \) protège l'aspect et la géométrie de l'ouvrage.
Décomposition des termes :
  • \( w_3 \) : part additionnelle de flèche due aux seules actions variables, unité : \( \text{mm} \)
  • \( w_{\text{max}} \) : flèche totale, déduction faite de la contreflèche éventuelle, unité : \( \text{mm} \)
  • \( g_{\text{pp}} \) : poids propre linéique du profilé effectivement retenu, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
  • \( q_{\text{lin}} \) : charge d'exploitation linéique reprise par la solive, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
Critère de synthèse d'un dimensionnement :

Il désigne le critère gouvernant et statue sur la validité du profilé.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'aucune vérification prise isolément ne permet de conclure, et que c'est la comparaison des taux qui constitue la véritable réponse.

  • Contexte de validité : Tous les critères pertinents doivent avoir été examinés. Une conclusion tirée d'une liste incomplète n'a aucune valeur, quelle que soit la qualité des calculs.
  • Avantage : Le tableau des taux est immédiatement lisible et constitue à lui seul la synthèse exploitable de la note de calculs.
  • Paramètre clé : Le taux le plus élevé, qui fixe la capacité réelle de l'élément et désigne le paramètre sur lequel agir si le projet évolue.
  • Vérification : Un écart important entre le premier et le dernier taux signale une marge inexploitée — ou une vérification qu'on a oublié de faire.
  • Limite : Le critère ne dit rien des vérifications non menées : vibrations du plancher, résistance des assemblages, déversement en phase de montage.
\[ \begin{aligned} \max_{\text{i}} \left( \frac{E_{\text{d},\text{i}}}{R_{\text{d},\text{i}}} \right) \le 1{,}0 \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Le critère formalise ce qu'est réellement un dimensionnement : non pas un calcul unique, mais l'examen systématique de tous les mécanismes par lesquels un élément peut cesser de remplir sa fonction. Ces mécanismes ne sont pas de même nature — plastification, instabilité, déformation excessive — et se produisent à des niveaux de charge différents. Le premier atteint décide, et les autres deviennent sans objet. La lecture d'un tableau de taux fournit donc bien plus qu'un verdict binaire : elle dit où se situe la limite, de combien on en est loin, et sur quel paramètre agir si le projet évolue. C'est cette information, et non le seul « c'est vérifié », qui fait la valeur d'une note de calculs.
Décomposition des termes :
  • \( E_{\text{d},\text{i}} \) : effet des actions à confronter, pour le critère numéro i, unité : variable
  • \( R_{\text{d},\text{i}} \) : résistance ou limite de calcul correspondant à ce critère, unité : variable
  • \( \max_{\text{i}} \) : taux du critère gouvernant, celui qui fixe la capacité réelle, unité : sans dimension
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'énoncés ne vérifient que la flèche des actions variables et concluent « largement satisfaite »…"

L'approche d'ingénieur : On obtient alors 44 % et l'on en déduit que le profilé dispose d'une marge confortable. La flèche totale, elle, sature son critère — mais elle n'a pas été calculée.
  • L'erreur : S'arrêter à \( w_3 = 11{,}71\ \text{mm} \) et conclure. La flèche totale atteint 31,31 mm, soit près de trois fois plus, et c'est elle qui décide.
  • La bonne méthode : Calculer les deux composantes de l'annexe A1.4 et les confronter chacune à sa propre limite. Elles ne diffèrent pas d'un facteur constant : le rapport dépend de la part permanente.
  • L'astuce de pro : Le rapport \( w_{\text{max}}/w_3 \) vaut \( p_{\text{ser}}/q_{\text{lin}} \), soit 2,67 ici. Un simple produit suffit donc à passer de l'une à l'autre — encore faut-il y penser.
  • Le moyen mnémotechnique : « Ce que l'on voit, c'est la flèche totale. » Les occupants ne perçoivent pas la décomposition normative : ils voient un plancher qui pend.
  • L'impact direct : Avec une limite de \( L/250 \) sur \( w_{\text{max}} \), le taux passe de 44 % à 98 %. Le profilé reste acceptable, mais il n'a plus aucune marge — l'inverse de ce qu'un calcul partiel laisserait croire.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités
  • Charges : \( 7{,}50 \) et \( 20{,}06\ \text{kN}/\text{m} \) converties en \( \text{N}/\text{mm} \) — les deux facteurs 1 000 s'annulent.
  • Portée : \( 8\,000\ \text{mm} \), dont la puissance quatrième vaut \( 4{,}096 \times 10^{15}\ \text{mm}^4 \).
  • Moment quadratique : \( 16\,270\ \text{cm}^4 \) converti en \( 16\,270 \times 10^4\ \text{mm}^4 \) — le facteur est \( 10^4 \), pas \( 10^3 \).
  • Dénominateur : \( 384 \times 210\,000 \times 1{,}627 \times 10^8 = \mathbf{1{,}312 \times 10^{16}} \) — et non \( 10^{19} \).
  • Poids linéique : \( 57{,}1\ \text{kg}/\text{m} \) converti en \( 0{,}560\ \text{kN}/\text{m} \) par le facteur \( 9{,}81 \times 10^{-3} \).

Quatre étapes closent l'étude : la réintégration du poids propre, la flèche des actions variables, la flèche totale, puis la synthèse générale des taux.

1. Résolution Numérique Réintégration du poids propre du profilé retenu

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'on l'écarte en annonçant qu'il sera vérifié après le choix du profilé, et que ce moment est venu.

Méthodologie du calcul :

On relève le poids linéique de l'IPE 360 dans le catalogue, on l'ajoute aux charges permanentes, puis on reprend les deux combinaisons et le moment de calcul.

  • Substitution : On injecte \( g_{\text{pp}} = 0{,}560\ \text{kN}/\text{m} \), soit 57,1 kg/m selon la NF EN 10365, dans les charges permanentes.
  • Piège évité : Le poids propre est une action permanente : il reçoit le coefficient 1,35 et non 1,50. L'affecter du coefficient des variables majorerait la charge de 1 %.
  • Hypothèse validée : Le poids linéique se recoupe par \( A \times \rho \) avec \( \rho = 7\,850\ \text{kg}/\text{m}^3 \) : \( 72{,}73 \times 10^{-4} \times 7\,850 = 57{,}1\ \text{kg}/\text{m} \).
  • Vérification croisée : Le poids propre ne représente que 4,7 % des charges permanentes : son effet sur la résistance sera modeste, mais il s'ajoute entièrement à la flèche permanente.
  • Finalité : Disposer des charges complètes pour les deux flèches, et actualiser le taux de flexion établi en question 3.
\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1{,}35 \times (12{,}00 + 0{,}560) + 1{,}50 \times 7{,}50 = 28{,}206 \ \text{kN}/\text{m} \\ &\quad p_{\text{ser}} = 12{,}00 + 0{,}560 + 7{,}50 = 20{,}060 \ \text{kN}/\text{m} \\ &\quad M_{\text{Ed}} = \frac{28{,}206 \times 64}{8} = 225{,}6 \ \text{kN}\cdot\text{m} \\ &\quad \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{c},\text{Rd}}} = \frac{225{,}6}{239{,}5} = \mathbf{0{,}942} \ \le \ 1{,}0 \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Le poids propre porte le moment de 219,6 à 225,6 kN·m et le taux de flexion de 91,7 à 94,2 %. La marge tombe à moins de 6 %.

  • Ordre de grandeur : Une hausse de 2,8 % sur le moment : modeste, mais elle intervient sur un taux déjà élevé et réduit la marge de 8,3 % à 5,8 %.
  • Impact sur la suite : La charge de service passe à 20,06 kN/m, valeur qui alimentera le calcul de la flèche totale.
  • Cohérence : Le module requis monte à 960,2 cm³ contre 1 019 disponibles : le profilé reste le bon, seule sa marge se resserre.
  • Attention : Le poids propre ne pèse que 4,7 % des permanentes, mais il s'ajoute à \( w_1 \) — la composante que le critère \( w_3 \) ignore complètement.
  • Comparaison : Sur une traverse de portique de 12 m, le poids propre atteint 22 % des charges permanentes et peut faire changer de profilé. Ici, il ne fait que resserrer la marge.

Remarque pédagogique : On lit souvent, en tête de note : « on néglige le poids propre de la solive dans un premier temps, il devra être vérifié après le choix du profilé » — puis rien ne suit. Cette forme d'omission est particulièrement trompeuse, car elle donne l'impression que la question a été traitée : elle a été posée, on suppose donc qu'elle est réglée. Une intention annoncée n'est pas une vérification. Sur cette solive, l'effet reste limité — 2,8 % sur le moment — mais il ampute tout de même un tiers de la marge restante. Prenez l'habitude de relire les hypothèses posées en début de note et de vérifier qu'aucune n'est restée en suspens : c'est un contrôle de cohérence qui prend deux minutes et rattrape ce genre d'oubli.

Flèche due aux seules actions variables

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la composante que les occupants perçoivent comme un mouvement du plancher, et celle que la NF EN 1990 désigne par \( w_3 \).

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de la flèche avec la seule charge d'exploitation, en travaillant intégralement en newtons et millimètres, puis on compare à \( L/300 \).

  • Substitution : On injecte \( q_{\text{lin}} = 7{,}50\ \text{N}/\text{mm} \), \( L = 8\,000\ \text{mm} \), \( E = 210\,000\ \text{MPa} \) et \( I_{\text{y}} = 16\,270 \times 10^4\ \text{mm}^4 \).
  • Piège évité : Le facteur de conversion de l'inertie est \( 10^4 \) et non \( 10^3 \). Et le dénominateur vaut \( 1{,}312 \times 10^{16} \), non \( 10^{19} \) comme on l'écrit parfois.
  • Hypothèse validée : On retient la seule part variable de la combinaison caractéristique, conformément à la définition de \( w_3 \) dans l'annexe A1.4.
  • Vérification croisée : \( 8\,000^4 = 4{,}096 \times 10^{15} \) : cet ordre de grandeur se retient, et il permet de détecter une erreur d'exposant d'un coup d'œil.
  • Finalité : Établir le premier critère de service, le seul pour lequel une limite est fournie.
\[ \begin{aligned} w_3 &= \frac{5 \times 7{,}50 \times (8\,000)^4}{384 \times 210\,000 \times 16\,270 \times 10^4} \\ &= \frac{1{,}536 \times 10^{17}}{1{,}312 \times 10^{16}} \\ &= \mathbf{11{,}71} \ \text{mm} \\ &\quad w_{3,\text{adm}} = \frac{8\,000}{300} = 26{,}67 \ \text{mm} \ \Rightarrow \ \text{taux} = \mathbf{0{,}439} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La flèche des actions variables vaut 11,71 mm pour 26,67 admissibles, soit un taux de 43,9 %. Ce critère est largement satisfait — et c'est le seul des deux qu'on vérifie souvent.

  • Ordre de grandeur : 11,71 mm sur 8 mètres, soit \( L/683 \) : une déformation imperceptible sous la seule charge d'exploitation.
  • Impact sur la suite : Ce taux confortable ne dit rien de la flèche totale, qui comprend en plus les charges permanentes et le poids propre.
  • Cohérence : Le dénominateur vaut bien \( 1{,}312 \times 10^{16} \). Une erreur d'exposant y affiche \( 10^{19} \) tout en obtenant le bon résultat : c'est une erreur d'écriture, mais elle rend le calcul incontrôlable.
  • Attention : Ce critère ignore délibérément les charges permanentes. Il protège les cloisons et le confort, pas l'aspect général du plancher.
  • Comparaison : Avec un IPE 400, cette flèche tomberait à 8,24 mm — mais le critère était déjà largement satisfait, et le gain serait sans objet.

Remarque pédagogique : L'erreur d'exposant mérite qu'on s'y arrête, car elle est d'un type particulier. Un dénominateur affiché à \( 1{,}312 \times 10^{19} \) serait mille fois trop grand, et pourtant le résultat de 11,7 mm qui l'accompagne est exact : on a calculé juste et écrit faux. Cette forme d'erreur est plus insidieuse qu'une erreur de calcul, car elle rend le résultat incontrôlable : un lecteur qui refait la division obtient 0,0117 mm et ne sait plus qui croire. Sur une note de calculs soumise à un bureau de contrôle, c'est une observation garantie. Le remède est de mémoriser les ordres de grandeur : \( 8\,000^4 \approx 4 \times 10^{15} \), et le dénominateur d'une flèche d'IPE se situe toujours entre \( 10^{15} \) et \( 10^{17} \).

Flèche totale et confrontation à sa limite

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'annexe A1.4 borne également la flèche totale, et que c'est elle que les occupants perçoivent réellement.

Méthodologie du calcul :

On reprend le calcul avec la charge de service complète, poids propre inclus, puis on confronte le résultat aux valeurs usuelles de limite pour un plancher.

  • Substitution : On injecte \( p_{\text{ser}} = 20{,}060\ \text{N}/\text{mm} \), soit les charges permanentes, le poids propre et les charges d'exploitation réunis.
  • Piège évité : Ne pas oublier le poids propre dans cette composante : il s'ajoute à \( w_1 \), c'est-à-dire précisément à la part que le critère \( w_3 \) ignore.
  • Hypothèse validée : Aucune contreflèche n'est prévue : \( w_{\text{c}} = 0 \) et \( w_{\text{max}} \) vaut donc la flèche brute sous charge de service complète.
  • Vérification croisée : Le rapport \( w_{\text{max}}/w_3 = 20{,}060/7{,}50 = 2{,}675 \), et \( 11{,}71 \times 2{,}675 = 31{,}31\ \text{mm} \) : les deux calculs se valident mutuellement.
  • Finalité : Établir le critère qui gouverne réellement ce dimensionnement, et qu'un calcul ne calcule jamais.
\[ \begin{aligned} w_{\text{max}} &= \frac{5 \times 20{,}060 \times (8\,000)^4}{384 \times 210\,000 \times 16\,270 \times 10^4} \\ &= \frac{4{,}108 \times 10^{17}}{1{,}312 \times 10^{16}} \\ &= \mathbf{31{,}31} \ \text{mm} \\ &\quad \text{pour } L/250 = 32{,}00 : \ \Rightarrow \ \text{taux} = \mathbf{0{,}979} \\ &\quad \text{pour } L/300 = 26{,}67 : \ \Rightarrow \ \text{taux} = 1{,}174 \ \gt \ 1{,}0 \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La flèche totale atteint 31,31 mm. Rapportée à \( L/250 \) — valeur usuelle pour un plancher courant — elle donne un taux de 97,9 %. À \( L/300 \), elle ne passerait pas.

  • Ordre de grandeur : 31,31 mm sur 8 mètres, soit \( L/256 \) : une déformation de plus de trois centimètres, parfaitement visible à l'œil sur un plancher.
  • Impact sur la suite : C'est ce critère qui gouverne le dimensionnement, devant la flexion à 94,2 %. Un contrôle partiel le passe entièrement sous silence.
  • Cohérence : Le rapport avec \( w_3 \) vaut exactement \( p_{\text{ser}}/q_{\text{lin}} = 2{,}675 \), ce qui valide les deux calculs de flèche.
  • Attention : La limite de \( w_{\text{max}} \) pour un plancher est un paramètre déterminé nationalement. La valeur \( L/250 \) employée ici est la valeur usuelle de projet, et elle est déterminante.
  • Comparaison : Un IPE 400 donnerait 22,12 mm, soit un taux de 69,1 % — une marge confortable pour 16 % d'acier en plus.

Remarque pédagogique : Le résultat obtenu appelle une remarque de méthode et une réserve. La remarque : la flèche totale vaut 2,7 fois la flèche des actions variables, et ce rapport n'est rien d'autre que \( p_{\text{ser}}/q_{\text{lin}} \). Sur un plancher où les charges permanentes dominent — ce qui est le cas général — vérifier le seul critère \( w_3 \) laisse donc passer une déformation deux à trois fois plus grande. Une réserve accompagne ce critère : la limite applicable à \( w_{\text{max}} \) pour un plancher est un paramètre déterminé au niveau national, que l'annexe nationale fixe et que le cahier des charges peut resserrer. La valeur \( L/250 \) retenue ici est celle qu'on emploie usuellement en projet, mais elle relève du marché. L'enjeu n'est pas théorique : à \( L/250 \) le profilé passe à 98 %, à \( L/300 \) il ne passe pas du tout — c'est donc la première valeur à faire préciser.

Synthèse et désignation du critère gouvernant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la conclusion d'une note de calculs n'est pas la dernière vérification menée, mais la comparaison de toutes.

Méthodologie du calcul :

On rassemble les quatre taux de travail établis, poids propre inclus, puis on désigne le maximum et l'on commente les écarts.

  • Substitution : Quatre taux : flèche totale 0,979, flexion 0,942, flèche variable 0,439, cisaillement 0,237.
  • Piège évité : Retenir le maximum et non la moyenne. Un élément cesse d'être acceptable dès que l'un de ses critères est dépassé.
  • Hypothèse validée : Tous les taux sont calculés poids propre inclus, contrairement à ceux de la question 3.
  • Vérification croisée : Les deux critères les plus élevés — 0,979 et 0,942 — sont très proches, ce qui signale un profilé bien ajusté aux deux exigences à la fois.
  • Finalité : Statuer sur la validité de l'IPE 360 et désigner le paramètre sur lequel agir si le projet évoluait.
\[ \begin{aligned} \text{fleche totale } w_{\text{max}} \text{ vs } L/250 &: \ 31{,}31/32{,}00 = \mathbf{0{,}979} \\ &\quad \text{flexion, poids propre inclus} : \ 225{,}6/239{,}5 = 0{,}942 \\ &\quad \text{fleche variable } w_3 \text{ vs } L/300 : \ 11{,}71/26{,}67 = 0{,}439 \\ &\quad \text{cisaillement} : \ 112{,}8/476{,}8 = 0{,}237 \\ &\quad \max = 0{,}979 \ \le \ 1{,}0 \ \Rightarrow \ \mathbf{IPE\ 360\ retenu} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

L'IPE 360 est retenu, gouverné par la flèche totale à 97,9 %, suivie de près par la flexion à 94,2 %. Il ne reste donc aucune marge pour alléger la section.

  • Ordre de grandeur : Les deux premiers taux — 0,979 et 0,942 — sont très resserrés. C'est la signature d'un profilé ajusté aux deux exigences simultanément, ce qui est le signe d'un bon dimensionnement.
  • Impact sur la suite : Toute évolution du projet — portée, entraxe, charge — devra être examinée en priorité sous l'angle de la flèche, qui est le critère le plus tendu.
  • Cohérence : Le cisaillement à 23,7 % confirme que le rapport portée sur hauteur de 22 place cette poutre très loin du domaine où l'âme compte.
  • Attention : Conclure sur 82 % et 44 % conduirait à suggérer qu'un profilé plus léger serait possible. Suivre ce conseil conduirait à un dimensionnement insuffisant.
  • Comparaison : Une contreflèche de 20 mm donnée en atelier ramènerait \( w_{\text{max}} \) à 11,3 mm et libérerait entièrement le critère — pour un coût d'atelier modeste sur une série.

Remarque pédagogique : Ce tableau se lit sur deux niveaux, et le second est le plus instructif. Au premier, il répond à la question posée : l'IPE 360 convient, gouverné par la flèche totale à 98 %. Au second, il diagnostique la conception. Les deux critères les plus tendus se tiennent en moins de quatre points, ce qui indique une section simultanément ajustée à la résistance et à la rigidité — situation idéale, et assez rare. Si le projet devait évoluer, le tableau dit aussi où agir : ni sur la nuance d'acier, sans effet sur la flèche, ni sur l'âme, largement excédentaire, mais sur l'inertie ou sur la portée. Et il rappelle enfin une piste qu'on évoque rarement : la contreflèche de fabrication, qui compense la part permanente de la déformation et libère à elle seule le critère gouvernant.

LES DEUX CRITÈRES DE FLÈCHE
LES DEUX CRITÈRES SUR LA MÊME ÉCHELLE — solive IPE 400, L = 8 000 mm L/300 = 26,67 L/250 = 32,00 w 3 part variable seule 11,71 mm taux 0,439 c'est le seul critère que l'énoncé vérifiait w max permanent plus variable 19,60 11,71 g + poids propre q, la même que ci-dessus w max = 31,31 mm — taux 0,979 4,64 mm au-delà de L/300 0 5 10 15 20 25 30 35 mm la part permanente ne figure pas dans w 3 : c'est elle qui change tout il reste 0,69 mm de marge sur w max, là où w 3 en laissait croire 14,96
RÉSULTAT FINAL
\( \max(E_{\text{d}}/R_{\text{d}}) \) = 0,979 ≤ 1,0 — IPE 360 retenu
"Gouverné par la flèche totale, et non par la flexion. Aucune marge disponible."
SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

BILAN DES CALCULS
LA SOLIVE AVEC TOUS SES RÉSULTATS ce que les quatre questions ont établi, porté sur la structure 1 · LA SOLIVE ET SES DEUX FLÈCHES p Ed = 28,21 kN/m w 3 = 11,71 mm w max = 31,31 mm L = 8,00 m g = 12,56 kN/m poids propre inclus · q = 7,50 kN/m M Ed = 225,6 kN·m · V Ed = 112,8 kN 2 · LE PROFILÉ RETENU IPE 360 — S235 W pl = 1 019 cm³ I y = 16 270 cm⁴ A v = 3 514 mm² 57,1 kg/m section de classe 1 W pl requis : 934,5 cm³ l'IPE 330 échoue à 804,3 facteur de forme 1,128 3 · LES QUATRE CRITÈRES, POIDS PROPRE BOUCLÉ flèche totale w max — L/250 0,979 flexion ELU § 6.2.5 0,942 flèche variable w 3 — L/300 0,439 cisaillement § 6.2.6 0,230 les deux flèches diffèrent d'un facteur 2,7 : c'est le rapport p ser / q VERDICT — IPE 360 RETENU, GOUVERNÉ PAR LA FLÈCHE TOTALE w max = 31,31 mm pour 32,00 admissibles — taux 0,979 la flexion suit de près à 0,942 : aucune marge pour alléger vérifier w 3 seule aurait affiché 0,439 et une fausse réserve
Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous avez assimilé la chaîne complète, de la descente de charges au critère gouvernant :

Avis technique — IPE 360 CONFORME, sans aucune réserve de capacité. Poids propre inclus, la solive travaille à 94,2 % en flexion, 23,7 % au cisaillement, 43,9 % sur la flèche des actions variables — et 97,9 % sur la flèche totale, qui est le critère gouvernant. Une réserve majeure conditionne cet avis : avec 2,1 % de marge sur le critère gouvernant et 5,8 % sur la flexion, ce profilé n'absorbe aucun aléa. Une chape plus épaisse que dessinée, un revêtement changé en cours de chantier ou un équipement ajouté ultérieurement le feraient basculer. Le profilé est conforme, il n'est pas disponible : la distinction doit figurer au dossier, faute de quoi la première demande d'évolution obligera à tout reprendre. Deux vérifications restent hors périmètre : le comportement vibratoire du plancher, et le déversement, écarté par l'hypothèse d'un maintien latéral continu par la dalle.

La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas de conclure qu'un profilé passe, elle chiffre les quatre taux, désigne celui qui gouverne, et distingue nettement ce qui est conforme de ce qui laisse de la capacité disponible.

Sélection d'une solive de plancher en acier
Exercices structure métalliqueÉtape 10 sur 42

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