Section structure en bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Dimensionner une solive de plancher sur la seule résistance en flexion conduit presque toujours à une section trop faible. Le bois est un matériau souple : à résistance égale, il fléchit trois fois plus que l'acier, et il continue de fléchir pendant des années sous l'effet du fluage. Sur un plancher d'habitation, ce n'est jamais la rupture qui limite, c'est le confort — un plancher qui vibre, des cloisons qui fissurent, des portes qui coincent. Cet exercice dimensionne une solive C24 de 4,00 m d'abord en flexion, puis vérifie ce que donne réellement le critère de flèche. L'écart entre les deux réponses est d'une taille commerciale entière.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Un plancher d'habitation porté par des solives en C24, portée 4,00 m, entraxe 0,50 m. Il s'agit de choisir la section commerciale la plus économique qui satisfasse tous les critères, et pas seulement la flexion.
Environnement : Local chauffé : classe de service 1, avec \( k_{\text{def}} = 0{,}60 \). La charge d'exploitation d'habitation relève de la classe de durée moyen terme, ce qui fixe \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \).
L'objectif final : Produire deux hauteurs minimales — celle qu'impose la flexion et celle qu'impose la flèche — puis retenir la plus grande. L'écart entre les deux est le vrai résultat de l'exercice.
L'astuce de l'ingénieur : La flexion fait intervenir \( h^{2} \), la flèche fait intervenir \( h^{3} \). Augmenter la hauteur est donc plus efficace sur la flèche que sur la résistance — c'est ce qui permet de rattraper l'écart avec une seule taille commerciale.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et vous devez arrêter la section des solives d'un plancher d'habitation. Votre travail consiste à mener le prédimensionnement en flexion, puis à vérifier la flèche, le cisaillement et le confort vibratoire — et à retenir la section la plus économique qui passe partout.

Le grand défi : Ne pas s'arrêter au module de flexion requis. La section qu'il désigne ne tient pas à l'ELS : elle dépasse le critère de flèche de plus de 30 %.
Votre rôle : Produire une note complète : charge de calcul, moment, section minimale en flexion, puis flèche instantanée et finale, cisaillement, fréquence propre, et un choix de section justifié.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — le prédimensionnement en flexion : les charges linéiques, la charge de calcul \( q_{\text{d}} \), le moment \( M_{\text{d}} \), la résistance \( f_{m,\text{d}} \) et le module de flexion requis.
Livrable 2 — les vérifications de service : la flèche instantanée et la flèche finale avec fluage, la hauteur minimale qu'elles imposent, puis le cisaillement, la fréquence propre et un choix de section justifié.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 avec les valeurs de l'annexe nationale française. Les caractéristiques du bois massif proviennent de la NF EN 338 et les combinaisons de la NF EN 1990. Le point central de cet exercice est le passage de l'ELU à l'ELS : à l'ELU on emploie des charges pondérées et des résistances minorées ; à l'ELS on emploie les charges caractéristiques non pondérées et le module moyen, corrigé du fluage par \( k_{\text{def}} \). Ce ne sont pas deux versions du même calcul, mais deux calculs distincts.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Charge linéique sur une solive \( g = G_{\text{k}} \times s \) · \( q = Q_{\text{k}} \times s \)
Combinaison fondamentale ELU — EN 1990 éq. (6.10) \( q_{\text{d}} = 1{,}35\,g + 1{,}50\,q \)
Moment maximal, charge uniformément répartie \( M_{\text{d}} = \dfrac{q_{\text{d}}\,L^{2}}{8} \)
Résistance de calcul — § 2.4.1 \( f_{m,\text{d}} = \dfrac{k_{\text{mod}}\,f_{m,\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \)
Module de flexion requis \( W_{\text{req}} = \dfrac{M_{\text{d}}}{f_{m,\text{d}}} \) · \( h = \sqrt{\dfrac{6\,W}{b}} \)
Flèche instantanée, charge répartie \( w_{\text{inst}} = \dfrac{5\,q\,L^{4}}{384\,E_{0,\text{mean}}\,I_{y}} \)
Flèche finale avec fluage — § 2.2.3 \( w_{\text{fin}} = w_{\text{inst},G}(1 + k_{\text{def}}) + w_{\text{inst},Q}(1 + \psi_{2}\,k_{\text{def}}) \)
Contrainte de cisaillement — § 6.1.7 \( \tau_{\text{d}} = \dfrac{3}{2}\;\dfrac{V_{\text{Ed}}}{k_{\text{cr}}\,b\,h} \)
Fréquence propre d'un plancher — § 7.3.3 \( f_{1} = \dfrac{\pi}{2\,L^{2}}\sqrt{\dfrac{(EI)_{\text{L}}}{m}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( L \)	Portée de la solive entre appuis	4 000	mm
\( s \)	Entraxe des solives — c'est la largeur d'influence	0,50	m
\( b \)	Largeur de section imposée par le projet — seule la hauteur est à choisir	75	mm
\( f_{m,\text{k}} \)	Résistance caractéristique en flexion du C24 NF EN 338 - Tableau 1	24	N/mm²
\( f_{\text{v},\text{k}} \)	Résistance caractéristique au cisaillement, version 2016 NF EN 338 - Tableau 1	4,0	N/mm²
\( E_{0,\text{mean}} \)	Module axial moyen — celui des flèches, l'instabilité n'étant pas en jeu NF EN 338 - Tableau 1	11 000	N/mm²
\( \rho_{\text{k}} \)	Masse volumique caractéristique, pour le poids propre des solives	350	kg/m³
\( \gamma_{\text{M}} \)	Coefficient partiel du bois massif EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,30	—
\( k_{\text{mod}} \)	Classe de service 1, action de moyen terme EN 1995-1-1 - Tableau 3.1	0,80	—
\( k_{\text{def}} \)	Coefficient de fluage, bois massif en classe de service 1 EN 1995-1-1 - Tableau 3.2	0,60	—
\( \psi_{2} \)	Coefficient quasi permanent, catégorie A — habitation EN 1990 - Tableau A1.1	0,3	—
\( k_{\text{cr}} \)	Coefficient de fissuration au cisaillement EN 1995-1-1 - § 6.1.7	0,67	—

Ce qui distingue l'ELU de l'ELS

A l ELU : \( \text{charges } \textbf{ponderees} \text{, resistances minorees par } k_{\text{mod}} \text{ et } \gamma_{\text{M}} \)
A l ELS : \( \text{charges } \textbf{caracteristiques} \text{, module moyen corrige par } k_{\text{def}} \)
Consequence : \( \text{deux calculs distincts, pas deux versions du meme calcul} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( G_{\text{k}} \)	Charge permanente surfacique : platelage, isolant, revêtement — hors poids propre des solives	1,00	kN/m²
\( Q_{\text{k}} \)	Charge d'exploitation d'habitation, catégorie A EN 1991-1-1 - Tableau 6.2	2,00	kN/m²
Critère de flèche	Flèche nette finale admissible retenue pour un plancher courant — à confirmer sur l'annexe nationale EN 1995-1-1 - Tableau 7.2	L/300	—
Fréquence minimale	Seuil de confort vibratoire pour un plancher d'habitation EN 1995-1-1 - § 7.3.3	8	Hz

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Deversement : \( \S\,6.3.3 \text{ — empeche par le platelage cloue sur les solives} \)
Compression transversale : \( \S\,6.1.5 \text{ — a verifier sur la longueur d appui reelle} \)
Assemblages : \( \S\,8 \text{ — sabots ou entailles sur la poutre porteuse} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Sections commerciales courantes pour \( b = 75 \) mm

Section	\( W_{y} \) (cm³)	\( I_{y} \) (10⁶ mm⁴)
75 × 150	281	21,09
75 × 175	383	33,50
75 × 200	500	50,00
75 × 225	633	71,19

Deux colonnes, deux lois de croissance. Le module de flexion varie en \( h^{2} \) : il augmente de 33 % entre 175 et 200 mm. Le moment quadratique, qui gouverne la flèche, varie en \( h^{3} \) : il augmente de 49 % sur le même écart. C'est pourquoi une seule taille commerciale suffit souvent à rattraper un écart important sur la flèche, alors qu'elle n'apporterait presque rien en résistance.

Coefficients de combinaison — EN 1990, tableau A1.1

Catégorie	\( \psi_{0} \)	\( \psi_{1} \)	\( \psi_{2} \)
A — habitation	0,7	0,5	0,3
B — bureaux	0,7	0,5	0,3
C — lieux de réunion	0,7	0,7	0,6
E — stockage	1,0	0,9	0,8

Le coefficient \( \psi_{2} \) désigne la part de charge d'exploitation qui est présente en permanence — celle qui a le temps de faire fluer le bois. Dans un logement, elle vaut 30 % : le mobilier reste, les occupants vont et viennent. Dans un entrepôt, elle atteint 80 %, ce qui change complètement le calcul de flèche à long terme.

Pourquoi la flèche gouverne presque toujours en bois

Le bois est souple : son module vaut 11 000 N/mm² contre 210 000 pour l'acier, soit dix-neuf fois moins
La flèche varie en \( L^{4} \) quand le moment ne varie qu'en \( L^{2} \) : l'écart se creuse avec la portée
Le fluage ajoute 60 % à la flèche des charges permanentes en classe de service 1, et jusqu'à 200 % en classe 3
Les critères de service sont sévères : quelques millimètres sur plusieurs mètres de portée

Rapporté à sa masse, le bois est pourtant un excellent matériau de structure : sa résistance spécifique dépasse celle de l'acier doux. C'est sa rigidité spécifique qui est modeste, et c'est elle qui décide sur un plancher. Un ingénieur qui dimensionne une solive commence donc par la flèche, et vérifie la résistance ensuite — l'ordre inverse de celui que suggère l'intuition.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

Ligne complète du C24 — NF EN 338, tableau 1, version 2016 pour \( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) N/mm²
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \), \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) et \( k_{\text{def}} = 0{,}60 \) — tableaux 2.3, 3.1 et 3.2
\( \psi_{2} = 0{,}3 \) pour la catégorie A — EN 1990, tableau A1.1 et son annexe nationale
Le critère de flèche retenu, \( L/300 \) sur la flèche nette finale : le tableau 7.2 propose une plage et l'annexe nationale fixe la valeur. Un plancher supportant des cloisons fragiles demanderait \( L/500 \)
Le seuil de 8 Hz du § 7.3.3 s'applique aux planchers d'habitation ; la formule de \( f_{1} \) suppose un plancher rectangulaire simplement appuyé sur ses quatre côtés

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Descente de charges et moment de calcul

Descente de charges 25 min | Accessible

But de l'étape : Passer de charges surfaciques à un moment fléchissant sur une solive. C'est la chaîne de base de tout dimensionnement de plancher.

Énoncé Q1 : À partir des charges surfaciques de l'énoncé :

calculer les charges linéiques permanente et d'exploitation reprises par une solive ;
écrire la combinaison ELU et en déduire \( q_{\text{d}} \) ;
calculer le moment maximal \( M_{\text{d}} \) à mi-portée.

Conservez séparément les charges permanente et d'exploitation : la vérification de flèche en aura besoin .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La largeur d'influence d'une solive est son entraxe : elle reprend la moitié de ce qui se trouve de chaque côté. Multiplier une charge en kN/m² par cet entraxe en mètres donne directement des kN/m.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( g = 1{,}00 \times 0{,}50 = 0{,}50 \) kN/m et \( q = 2{,}00 \times 0{,}50 = 1{,}00 \) kN/m, d'où \( q_{\text{d}} = 1{,}35 \times 0{,}50 + 1{,}50 \times 1{,}00 = 2{,}175 \) kN/m et \( M_{\text{d}} = \) 4,35 kN·m.

Question 2 : Prédimensionnement en flexion

Dimensionnement ELU 25 min | Standard

But de l'étape : Obtenir une première section, celle qu'impose la résistance. Le mot « prédimensionnement » n'est pas un ornement : ce résultat sera remis en cause à la question suivante.

Énoncé Q2 : En citant les clauses employées :

établir la résistance de calcul \( f_{m,\text{d}} \) du C24 ;
en déduire le module de flexion requis \( W_{\text{req}} \) ;
calculer la hauteur minimale pour \( b = 75 \) mm et retenir la section commerciale correspondante.

Notez le taux de travail obtenu : il servira de point de comparaison quand la flèche imposera sa propre section.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La condition de résistance s'écrit \( M_{\text{d}}/W \le f_{m,\text{d}} \). En isolant \( W \), on obtient le module minimal nécessaire ; en inversant \( W = bh^{2}/6 \) à largeur fixée, on remonte à la hauteur.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( f_{m,\text{d}} = 0{,}80 \times 24/1{,}30 = 14{,}77 \) N/mm², d'où \( W_{\text{req}} = 4{,}35 \times 10^{6}/14{,}77 \approx 295 \) cm³ et \( h = \sqrt{6 \times 294\,500/75} \approx 153 \) mm. La section commerciale immédiatement supérieure est 75 × 175.

Question 3 : Vérification de la flèche

État-limite de service 35 min | BOSS

But de l'étape : Vérifier la section de la question 2 sur le critère qui, en pratique, décide du dimensionnement d'un plancher bois. Le résultat va invalider le prédimensionnement.

Énoncé Q3 : Pour la section 75 × 175 mm retenue en flexion :

calculer le moment quadratique et les flèches instantanées sous charge permanente et sous charge d'exploitation ;
en déduire la flèche finale en tenant compte du fluage, et conclure sur les deux critères ;
déterminer la hauteur minimale qu'impose la flèche, et la comparer à celle de la question 2.

À l'ELS, les charges ne sont pas pondérées et c'est le module moyen qui s'emploie. Ce n'est pas le même calcul qu'à l'ELU .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le fluage ne s'applique pas de la même façon aux deux charges. La charge permanente flue en entier, d'où le facteur \( 1 + k_{\text{def}} \). La charge d'exploitation ne flue que par sa part quasi permanente, d'où le facteur \( 1 + \psi_{2}k_{\text{def}} \).

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( I_{y} = 75 \times 175^{3}/12 = 33{,}50 \times 10^{6} \) mm⁴. Les flèches instantanées valent 4,52 et 9,05 mm, et la flèche finale 17,91 mm — pour un critère de \( L/300 = 13{,}33 \) mm. La section est refusée.

Question 4 (Finale) : Section retenue et vérifications complémentaires

Synthèse et décision 35 min | Piège

But de l'étape : Arrêter la section et vérifier tout le reste : cisaillement, confort vibratoire, et l'effet du poids propre des solives que l'énoncé n'a pas compté dans la charge permanente.

Mention spéciale — la charge permanente est incomplète : L'énoncé annonce \( G_{\text{k}} = 1{,}00 \) kN/m² pour « platelage, isolant, revêtement » — le poids propre des solives n'y figure pas. Il ne peut d'ailleurs pas y figurer, puisqu'il dépend de la section qu'on cherche. C'est un cas classique de calcul itératif : on dimensionne, puis on vérifie.

Retenir la section commerciale imposée par la flèche et vérifier son taux de travail en flexion. Contrôler ensuite le cisaillement avec le coefficient de fissuration, puis la fréquence propre du plancher. Reprendre enfin le calcul de flèche en intégrant le poids propre des solives, et conclure par un avis sur la section.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La fréquence propre se calcule sur une bande d'un mètre de plancher : il faut donc multiplier la rigidité d'une solive par le nombre de solives au mètre, soit l'inverse de l'entraxe. La masse, elle, est celle des charges permanentes seules.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La flèche impose \( h \ge 193 \) mm, soit une section 75 × 200. Elle donne un taux de flexion de 59 %, un cisaillement de 26 % et une fréquence de 10,2 Hz. Le poids propre des solives représente 10 % de la charge permanente.

NOTE DE CALCULS

Dimensionnement d'une solive de plancher C24 : c'est la flèche qui décide

Question 1 : Descente de charges et moment de calcul

Dans la tête de l'ingénieur

"Une descente de charges de plancher est la plus simple qui soit : une charge surfacique, un entraxe, et le tour est joué. Mais je vais prendre une précaution qui paraît superflue à ce stade — garder séparées la charge permanente et la charge d'exploitation. À l'ELU je pourrais les additionner tout de suite, puisque je n'ai besoin que de leur combinaison. À l'ELS, en revanche, elles ne se traitent pas de la même façon : le fluage affecte entièrement la première et seulement 30 % de la seconde. Un étudiant qui les fusionne dès la question 1 devra tout reprendre à la question 3, et c'est exactement ce qui arrive dans la moitié des copies."

Observation : La charge d'exploitation vaut deux fois la permanente. Ce rapport est typique d'un plancher d'habitation à ossature bois, et il pèsera lourd sur le calcul de flèche.
Analyse du risque : Confondre l'entraxe avec la largeur d'un panneau ou la portée est l'erreur classique de descente de charges. Ici la donnée est explicite, mais elle ne l'est pas toujours.
Choix stratégique : Je conserve les deux charges séparées jusqu'au bout de la note. Cela ne coûte rien et évite de refaire le travail à l'ELS.
Alternative : J'aurais pu écrire directement \( q_{\text{d}} = (1{,}35 \times 1{,}0 + 1{,}5 \times 2{,}0) \times 0{,}5 \) en une ligne. Le résultat serait le même, mais je perdrais la décomposition dont j'aurai besoin trois questions plus loin.
Objectif visé : Sortir avec un moment de calcul et deux charges linéiques identifiées séparément.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( g = 0{,}50 \) kN/m · \( q = 1{,}00 \) kN/m · \( q_{\text{d}} = \) 2,175 kN/m · \( M_{\text{d}} = \) 4,35 kN·m à mi-portée

Rappel Théorique : la descente de charges d'un plancher

Une charge surfacique doit être transformée en charge linéique avant d'entrer dans une formule de poutre. L'opération est simple, mais elle repose sur une notion qu'il faut nommer correctement.

Principe 1 — la largeur d'influence est l'entraxe : Chaque solive reprend ce qui se trouve entre la mi-distance de sa voisine de gauche et la mi-distance de sa voisine de droite. Additionnées, ces deux demi-bandes font exactement un entraxe.
Principe 2 — le platelage ne porte pas les solives : Il transmet la charge du sol aux solives, qui la transmettent aux poutres, qui la transmettent aux murs. La largeur d'influence se lit toujours vers le bas de cette chaîne.
Principe 3 — deux coefficients pour deux incertitudes : 1,35 sur le permanent, dont on connaît bien la valeur, 1,50 sur l'exploitation, qui dépend d'un usage futur inconnu. L'écart mesure la différence entre une donnée mesurable et une donnée conventionnelle.
Principe 4 — les deux charges ne se comportent pas pareil dans le temps : Le permanent est là en permanence et flue entièrement. L'exploitation va et vient : seule sa part quasi permanente, 30 % en habitation, a le temps de faire fluer le bois.
Principe 5 — le moment varie en \( L^{2} \), la flèche en \( L^{4} \) : Cette différence d'exposant est la raison profonde pour laquelle la flèche finit toujours par gouverner quand la portée augmente. Elle sera au cœur des questions 3 et 4.

Équations Fondamentales

Trois relations élémentaires : la conversion surfacique-linéique, la combinaison ELU, et le moment d'une poutre isostatique.

Charge linéique reprise par une solive :

Elle s'obtient en multipliant la charge surfacique par l'entraxe.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le platelage se comporte comme une poutre continue sur ses appuis que sont les solives. Chacune reçoit la réaction correspondant à la moitié de la portée de part et d'autre, soit un entraxe complet. L'approximation est excellente dès que le platelage est régulier, et elle est universellement admise en dimensionnement de plancher.

Contexte de validité : Solives régulièrement espacées et charge uniforme. Une solive de rive ne reprendrait qu'une demi-bande.
Avantage : Une seule multiplication ramène un problème de plaque à un problème de poutre, pour lequel toutes les formules classiques sont disponibles.
Paramètre clé : L'entraxe, seul levier de conception à ce stade. Le resserrer allège chaque solive proportionnellement.
Vérification : Une charge en kN/m² multipliée par des mètres donne bien des kN/m. Le contrôle dimensionnel est immédiat.
Limite : Elle suppose que le platelage ne participe pas à la flexion des solives. Un platelage collé formerait une section composite, bien plus raide.

\[ \begin{aligned} g = G_{\text{k}} \times s \quad \text{et} \quad q = Q_{\text{k}} \times s \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : chaque solive porte la bande de plancher qui lui revient, ni plus ni moins. Resserrer les solives ne réduit pas la charge totale du plancher : cela la répartit sur davantage de pièces, chacune moins chargée. C'est le levier de conception le plus direct sur un plancher bois.

Décomposition des termes :

\( g \), \( q \) : charges linéiques sur une solive, unité : kN/m
\( G_{\text{k}} \), \( Q_{\text{k}} \) : charges surfaciques caractéristiques du plancher, unité : kN/m²
\( s \) : entraxe des solives, soit leur largeur d'influence, unité : m
Solive de rive : elle ne reprend que \( s/2 \), unité : m
Absent ici : le poids propre de la solive, examiné à la question 4, unité : kN/m

Combinaison fondamentale à l'ELU — EN 1990 équation (6.10) :

Elle majore différemment les deux natures de charge.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux charges ne présentent pas la même incertitude. Le poids d'un platelage et d'un isolant se pèse : son coefficient de 1,35 couvre surtout les tolérances d'exécution. La charge d'exploitation, elle, est une valeur conventionnelle censée représenter un usage futur que personne ne connaît : son coefficient de 1,50 est plus sévère. C'est une hiérarchie d'incertitude, pas une hiérarchie d'importance.

Contexte de validité : Situation durable, une seule action variable. Avec plusieurs actions variables, il faudrait introduire les coefficients \( \psi_{0} \).
Avantage : Elle donne en une ligne la charge qui entrera dans toutes les vérifications ELU — moment, effort tranchant, réactions d'appui.
Paramètre clé : Le rapport entre les deux charges. Ici l'exploitation domine, ce qui rendra la combinaison permanente seule sans objet.
Vérification : La charge de calcul doit valoir entre 1,35 et 1,50 fois la somme caractéristique. Ici le rapport vaut 1,45.
Limite : Cette charge ne sert qu'à l'ELU. Les flèches se calculent avec les charges caractéristiques, sans aucune pondération.

\[ \begin{aligned} q_{\text{d}} = 1{,}35\,g + 1{,}50\,q \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : on se protège davantage de ce qu'on ne sait pas peser. Le platelage, on le connaît ; les meubles et les occupants d'un logement sur cinquante ans, non. Les coefficients 1,35 et 1,50 traduisent cette asymétrie de connaissance, et non une différence de nature physique entre les charges.

Décomposition des termes :

\( q_{\text{d}} \) : charge de calcul à l'ELU, unité : kN/m
1,35 : coefficient partiel des actions permanentes défavorables, unité : sans dimension
1,50 : coefficient partiel de l'action variable dominante, unité : sans dimension
À l'ELS : ces coefficients valent 1,0, unité : —
Combinaison alternative : \( 1{,}35\,g \) seule, ici sans objet car \( q \) domine, unité : —

Moment maximal, charge uniformément répartie :

Il est atteint à mi-portée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le moment est la primitive de l'effort tranchant, qui varie linéairement sous charge répartie. Le diagramme des moments est donc une parabole, dont le sommet se trouve là où l'effort tranchant s'annule — au milieu, par symétrie. C'est de très loin la formule la plus utilisée du dimensionnement de bâtiment.

Contexte de validité : Poutre isostatique sur deux appuis simples. Une solive continue sur trois appuis donnerait un moment bien plus faible.
Avantage : L'hypothèse isostatique est sécuritaire : tout encastrement réel aux appuis ne peut que réduire le moment en travée.
Paramètre clé : La portée, au carré. Elle interviendra à la puissance quatre dans le calcul de flèche.
Vérification : L'effort tranchant aux appuis vaut \( q_{\text{d}}L/2 \), et le moment doit égaler ce tranchant multiplié par \( L/4 \).
Limite : Ce moment sert à l'ELU seulement. La flèche ne se déduit pas du moment mais d'une formule propre, où figurent \( E \) et \( I \).

\[ \begin{aligned} M_{\text{d}} = \frac{q_{\text{d}}\,L^{2}}{8} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce qui coûte cher sur un plancher, c'est la portée. Doubler la charge double le moment ; doubler la portée le quadruple — et multiplie la flèche par seize. C'est pourquoi un plancher bois se conçoit d'abord en réduisant les portées, et seulement ensuite en grossissant les sections.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{d}} \) : moment fléchissant de calcul, à mi-portée, unité : kN·m
\( q_{\text{d}} \) : charge de calcul répartie, unité : kN/m
\( L \) : portée entre appuis, unité : m
Diviseur 8 : propre aux deux appuis simples sous charge uniforme, unité : —
Conversion : 1 kN·m vaut \( 10^{6} \) N·mm, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de fusionner les deux charges dès la première ligne..."

L'approche d'ingénieur : À l'ELU, additionner tout de suite ne pose aucun problème. Le piège se referme deux questions plus loin.

L'erreur : Écrire \( q_{\text{d}} = 4{,}35 \times 0{,}5 = 2{,}175 \) kN/m en une ligne et poursuivre. À la question 3, il faudra revenir en arrière pour séparer les deux flèches.
La bonne méthode : Tenir un tableau à deux colonnes, permanent et exploitation, jusqu'au bout de la note. Chaque ligne de calcul s'écrit alors deux fois, ce qui coûte trente secondes.
L'astuce de pro : La règle générale : ne jamais additionner deux charges qui ne se comportent pas pareil dans le temps. Le fluage les distingue, le \( k_{\text{mod}} \) aussi.
Le moyen mnémotechnique : « Ce que le temps distingue, le calcul doit le séparer ».
L'impact direct : Traiter la charge d'exploitation comme permanente dans le calcul de flèche majorerait celle-ci de 21 % — assez pour refuser une section qui convenait.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( G_{\text{k}} \) et \( Q_{\text{k}} \) : exprimées en kN/m²
\( s \) : exprimé en m , et non en cm
\( g \) et \( q \) : kN/m² × m donne des kN/m
\( L \) : en m pour le moment, en mm pour la flèche
\( M_{\text{d}} \) : obtenu en kN·m , à convertir en N·mm

Cette question mêle deux systèmes d'unités, et c'est voulu. La descente de charges se mène naturellement en kN et mètres, tandis que les contraintes et les flèches exigent des newtons et millimètres. Le passage de l'un à l'autre se fait une seule fois, sur le moment, avec un facteur \( 10^{6} \). Le poser explicitement plutôt que de le faire de tête est ce qui distingue une note relisible d'une note à refaire.

1. Résolution Numérique Charge permanente linéique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la charge qui fluera entièrement, et qu'il faut l'identifier séparément dès maintenant.

Méthodologie du calcul :

Multiplication de la charge surfacique permanente par l'entraxe des solives.

Substitution : \( G_{\text{k}} = 1{,}00 \) kN/m² et \( s = 0{,}50 \) m.
Piège évité : Ne pas confondre l'entraxe avec la portée. L'un est transversal aux solives, l'autre longitudinal.
Hypothèse validée : Solive courante et non de rive : elle reprend un entraxe complet.
Vérification croisée : Le poids propre de la solive n'y figure pas, l'énoncé ne mentionnant que platelage, isolant et revêtement. Il sera chiffré à la question 4.
Finalité : Cette charge servira à la combinaison ELU, puis à la flèche affectée du coefficient de fluage complet.

\[ \begin{aligned} g &= G_{\text{k}} \times s = 1{,}00 \times 0{,}50 \\ &= \mathbf{0{,}50} \text{ kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,50 kN/m, soit environ 51 kg par mètre de solive. Voyons ce que cela représente.

Ordre de grandeur : Une charge permanente de 1,00 kN/m² correspond à un plancher bois classique : platelage de 22 mm, isolant, chape sèche et revêtement.
Impact sur la suite : C'est la charge dont le fluage sera complet. Elle pèsera donc davantage sur la flèche finale que sur le moment.
Cohérence : Elle vaut la moitié de la charge d'exploitation, rapport typique d'une construction bois — le contraire d'un plancher béton, où le permanent domine largement.
Attention : Le poids propre des solives n'y est pas compté. Il représentera 10 % de cette valeur, ce qui n'est pas négligeable.
Comparaison : Avec une chape béton de 5 cm, la charge permanente atteindrait 2,2 kN/m² et le calcul basculerait complètement.

Remarque pédagogique : Faites détailler la composition des 1,00 kN/m² : platelage, isolant, chape, revêtement. Un étudiant qui a une fois construit cette valeur ligne par ligne ne la prendra plus jamais pour un nombre donné. C'est aussi l'occasion de constater que le revêtement de sol pèse souvent plus que la structure elle-même.

Charge d'exploitation linéique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la charge dominante de ce plancher, et celle dont le fluage sera partiel.

Méthodologie du calcul :

Même opération, appliquée à la charge d'exploitation de la catégorie A.

Substitution : \( Q_{\text{k}} = 2{,}00 \) kN/m², valeur de la catégorie A de l'EN 1991-1-1, et \( s = 0{,}50 \) m.
Piège évité : Ne pas appliquer dès maintenant le coefficient \( \psi_{2} \). Cette charge est caractéristique ; la réduction quasi permanente n'intervient qu'à l'ELS de long terme.
Hypothèse validée : Catégorie A — habitation. Un bureau donnerait 2,5 kN/m² et un lieu de réunion 4,0 kN/m².
Vérification croisée : La somme caractéristique vaut \( 0{,}50 + 1{,}00 = 1{,}50 \) kN/m, valeur à laquelle comparer la charge de calcul.
Finalité : Cette charge entrera dans la combinaison ELU, puis dans la flèche avec le facteur \( 1 + \psi_{2}k_{\text{def}} \).

\[ \begin{aligned} q &= Q_{\text{k}} \times s = 2{,}00 \times 0{,}50 \\ &= \mathbf{1{,}00} \text{ kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,00 kN/m, soit le double du permanent. Voyons les conséquences de ce rapport.

Ordre de grandeur : Deux tiers de la charge totale caractéristique. La variable domine, ce qui est propre à la construction bois.
Impact sur la suite : Elle produira les deux tiers de la flèche instantanée, mais seulement 60 % de la flèche finale — le fluage rééquilibre.
Cohérence : Le rapport \( G_{\text{k}}/Q_{\text{k}} = 0{,}5 \) est très inférieur au seuil de 2,22 au-delà duquel la combinaison permanente seule deviendrait dimensionnante. Elle peut être écartée.
Attention : Les 2,00 kN/m² d'habitation sont une valeur conventionnelle. Elle n'est jamais atteinte en usage courant, mais couvre les situations exceptionnelles — une réception, un déménagement.
Comparaison : En catégorie C, lieu de réunion, on passerait à 4,00 kN/m² et \( \psi_{2} = 0{,}6 \) : la flèche finale doublerait presque.

Remarque pédagogique : Insistez sur le caractère conventionnel de la charge d'exploitation. Deux kilonewtons par mètre carré représentent environ 200 kg/m², soit trois personnes serrées sur un mètre carré. Cela n'arrive jamais dans un salon — et c'est bien le but : la valeur couvre une situation rare mais possible, sur une durée de vie de cinquante ans.

Charge de calcul à l'ELU

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la charge qui entrera dans toutes les vérifications de résistance : moment, effort tranchant, réactions.

Méthodologie du calcul :

Application de la combinaison fondamentale aux deux charges linéiques.

Substitution : \( g = 0{,}50 \) et \( q = 1{,}00 \) kN/m, avec les coefficients 1,35 et 1,50.
Piège évité : Ne pas employer cette charge pour la flèche. À l'ELS, les coefficients partiels valent 1,0 et la charge redevient caractéristique.
Hypothèse validée : Une seule action variable, la charge d'exploitation. Aucun coefficient \( \psi_{0} \) d'accompagnement n'intervient.
Vérification croisée : Le rapport à la somme caractéristique vaut \( 2{,}175/1{,}50 = 1{,}45 \), bien compris entre 1,35 et 1,50.
Finalité : Cette charge donnera le moment de calcul, base du prédimensionnement.

\[ \begin{aligned} q_{\text{d}} &= 1{,}35 \times 0{,}50 + 1{,}50 \times 1{,}00 \\ &= 0{,}675 + 1{,}500 = \mathbf{2{,}175} \text{ kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,175 kN/m à l'ELU, contre 1,50 en caractéristique. Voyons la structure de cette charge.

Ordre de grandeur : Un peu plus de deux kilonewtons par mètre, soit 220 kg/m de solive. Valeur courante pour un plancher d'habitation à entraxe de 50 cm.
Impact sur la suite : La part variable représente 69 % de la charge de calcul, contre 67 % en caractéristique. La pondération accentue légèrement sa domination.
Cohérence : Le rapport de 1,45 à la charge caractéristique est cohérent avec un mélange où la variable domine. Il tendrait vers 1,35 si le permanent dominait.
Attention : Cette charge ne sert jamais à calculer une flèche. C'est l'erreur la plus fréquente sur cette famille d'exercices, et elle majore la flèche de 45 %.
Comparaison : Avec un entraxe de 0,40 m au lieu de 0,50, cette charge tomberait à 1,74 kN/m — 20 % de moins sur chaque solive.

Remarque pédagogique : Faites écrire côte à côte la charge caractéristique de 1,50 kN/m et la charge de calcul de 2,175 kN/m, avec leur usage respectif : ELS pour la première, ELU pour la seconde. Cette double écriture, posée dès la question 1, évite l'erreur la plus coûteuse de la question 3.

Moment fléchissant de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la sollicitation qui déterminera le module de flexion requis, et donc la première section candidate.

Méthodologie du calcul :

Application de la formule de la poutre isostatique sous charge uniformément répartie.

Substitution : \( q_{\text{d}} = 2{,}175 \) kN/m et \( L = 4{,}00 \) m, dont le carré vaut 16 m².
Piège évité : Ne pas diviser par 4. Le diviseur 8 correspond à une charge répartie ; 4 vaudrait pour une charge ponctuelle centrée.
Hypothèse validée : Solive isostatique sur deux appuis simples, hypothèse sécuritaire.
Vérification croisée : L'effort tranchant aux appuis vaut \( 2{,}175 \times 4/2 = 4{,}35 \) kN, et \( V \times L/4 = 4{,}35 \) kN·m. Les deux voies concordent.
Finalité : Ce moment donnera le module de flexion requis à la question 2.

\[ \begin{aligned} M_{\text{d}} &= \frac{q_{\text{d}}\,L^{2}}{8} = \frac{2{,}175 \times 4{,}00^{2}}{8} \\ &= \frac{34{,}80}{8} = \mathbf{4{,}35} \text{ kN}\cdot\text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

4,35 kN·m à mi-portée. Voyons ce que ce moment annonce.

Ordre de grandeur : Moins d'une demi-tonne-mètre. C'est modeste, et cela laisse présager que la résistance ne sera pas le critère limitant.
Impact sur la suite : Il donnera un module de flexion requis d'environ 295 cm³, correspondant à une hauteur d'à peine 153 mm.
Cohérence : Le coefficient numérique est immédiat : \( M_{\text{d}} = 2 q_{\text{d}} \) puisque \( L^{2}/8 = 2 \) pour une portée de 4,00 m.
Attention : Ce moment ne dit rien de la flèche. Celle-ci fait intervenir \( L^{4} \), \( E \) et \( I \), et se calcule sur d'autres charges.
Comparaison : À portée de 5,00 m, ce moment passerait à 6,80 kN·m — mais la flèche, elle, serait multipliée par 2,4.

Remarque pédagogique : Profitez de ce calcul pour poser la question qui structure tout l'exercice : le moment suffit-il à dimensionner ? La réponse, sur un plancher bois, est presque toujours non. Un étudiant qui pose cette question avant de calculer le module requis abordera la question 3 avec la bonne attente — celle d'une remise en cause.

RÉSULTAT FINAL

Moment de calcul à mi-portée = 4,35 kN·m — pour \( q_{\text{d}} = 2{,}175 \) kN/m, dont 69 % de charge variable

"Ce que le temps distingue, le calcul doit le séparer : gardez g et q à part !"

Question 2 : Prédimensionnement en flexion

Dans la tête de l'ingénieur

"Le dimensionnement à proprement parler tient en deux divisions. Je connais le moment, je connais la résistance : le rapport des deux me donne le module de flexion dont j'ai besoin, et l'inversion de \( W = bh^{2}/6 \) me donne la hauteur. Mais le mot que l'énoncé emploie est prédimensionnement, et ce n'est pas un ornement. Sur un plancher bois, cette hauteur-là n'est presque jamais la bonne : c'est un plancher minimal, pas une réponse. Je vais quand même la calculer proprement, parce qu'elle me donne le point de départ et surtout parce qu'elle me permettra, tout à l'heure, de mesurer l'écart avec la vraie contrainte de conception."

Observation : La largeur est imposée à 75 mm par le projet. Seule la hauteur est libre, ce qui simplifie l'inversion mais limite les leviers d'action.
Analyse du risque : Conclure ici que le dimensionnement est terminé est l'erreur centrale de cet exercice. La section obtenue échouera de 34 % sur le critère de flèche.
Choix stratégique : Je retiens la section commerciale immédiatement supérieure, sans anticiper sur la flèche. Il faut que le lecteur voie la section que la flexion seule aurait désignée.
Alternative : J'aurais pu commencer par la flèche, comme le fait tout bureau d'études expérimenté. Mais l'ordre inverse est plus instructif : il montre pourquoi les praticiens ont pris cette habitude.
Objectif visé : Sortir avec une première section candidate et son taux de travail en flexion, à confronter au critère de service.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f_{m,\text{d}} = \) 14,77 N/mm² · \( W_{\text{req}} = \) 295 cm³ · \( h \ge 153{,}5 \) mm, soit une section commerciale 75 × 175 travaillant à 77 % en flexion

Rappel Théorique : dimensionner, c'est inverser une vérification

Une vérification part d'une section et conclut par un verdict. Un dimensionnement fait le chemin inverse : il part d'un critère et en déduit la section. La différence est de méthode, pas de formule.

Principe 1 — la condition de résistance s'inverse : De \( M_{\text{d}}/W \le f_{m,\text{d}} \) on tire \( W \ge M_{\text{d}}/f_{m,\text{d}} \). Le module requis est le minimum qui satisfasse la condition.
Principe 2 — le module de flexion est une propriété géométrique : \( W = I/v \), moment quadratique divisé par la distance à la fibre extrême. Pour un rectangle plein, il vaut \( bh^{2}/6 \) et croît donc en \( h^{2} \).
Principe 3 — le produit \( W f_{m,\text{d}} \) est un moment résistant : La condition peut se lire dans l'autre sens : \( M_{\text{d}} \le W f_{m,\text{d}} \). C'est parfois plus parlant, et cela évite de manipuler des modules requis.
Principe 4 — les sections sont normalisées : On ne commande pas n'importe quelle hauteur. La NF B 52-001 fixe les dimensions de sciage courantes, et l'on retient toujours la section immédiatement supérieure au besoin.
Principe 5 — un prédimensionnement n'est pas un dimensionnement : Il faut encore vérifier le cisaillement, la flèche, les vibrations et la compression d'appui. Sur un plancher bois, l'un d'eux gouvernera presque certainement.

Équations Fondamentales

Deux relations : la résistance de calcul du § 2.4.1, puis l'inversion de la condition de résistance.

Résistance de calcul en flexion — EN 1995-1-1 § 2.4.1 :

Elle transforme la valeur caractéristique du C24 en valeur utilisable.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la résistance de 24 N/mm² est obtenue sur des éprouvettes sèches, chargées quelques minutes en laboratoire. Un plancher porte sa charge pendant des mois, dans une ambiance qui n'est pas celle d'un laboratoire : \( k_{\text{mod}} \) corrige cet écart. Le coefficient partiel \( \gamma_{\text{M}} \) couvre en outre la dispersion du bois massif d'une pièce à l'autre.

Contexte de validité : Situations durables et transitoires, et flexion simple avec déversement empêché par le platelage.
Avantage : Une formule unique pour toutes les résistances. Seuls les deux coefficients demandent une décision.
Paramètre clé : \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \), au croisement de la classe de service 1 et du moyen terme — la classe de durée des charges d'exploitation courantes.
Vérification : Le résultat vaut \( 0{,}80/1{,}30 = 62 \) % de la caractéristique. Le même rapport s'appliquerait au cisaillement ou à la compression.
Limite : Le coefficient de hauteur \( k_{\text{h}} \) du § 3.2 pourrait majorer cette résistance si la hauteur descendait sous 150 mm. Ce ne sera pas le cas ici.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}}\;f_{m,\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : sur les 24 N/mm² annoncés, il en reste moins de quinze une fois le temps et l'incertitude payés. Ce n'est pas une perte : c'est le prix explicite d'une sécurité qu'un calcul aux contraintes admissibles enfouissait dans un coefficient unique. L'Eurocode a le mérite de dire d'où vient chaque réduction.

Décomposition des termes :

\( f_{m,\text{d}} \) : résistance de calcul en flexion, unité : N/mm²
\( f_{m,\text{k}} \) : résistance caractéristique du C24, fractile 5 %, unité : N/mm²
\( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) : classe de service 1, moyen terme, unité : sans dimension
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) : coefficient partiel du bois massif, unité : sans dimension
Sans objet ici : \( k_{\text{h}} \), réservé aux hauteurs inférieures à 150 mm, unité : —

Module de flexion requis et hauteur correspondante :

C'est l'inversion de la condition de résistance.

Pourquoi cette formule ?

Parce que dimensionner, c'est répondre à la question inverse de celle d'une vérification. Plutôt que de partir d'une section pour conclure sur un taux de travail, on part du taux de travail maximal admissible — l'unité — et l'on en déduit la géométrie minimale. La seconde inversion, celle de \( W = bh^{2}/6 \), n'est possible qu'à largeur fixée : à deux inconnues, le problème serait indéterminé.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine et largeur imposée. Un profil composé demanderait une autre expression du module.
Avantage : Elle donne directement une hauteur, grandeur qu'on peut comparer à un catalogue de sections commerciales.
Paramètre clé : La racine carrée. Doubler le module requis ne demande que 41 % de hauteur en plus — la flexion est peu sensible à la hauteur, comparée à la flèche.
Vérification : En reprenant la section retenue, le taux de travail doit être inférieur à 1 et proche de \( W_{\text{req}}/W \).
Limite : Cette hauteur ne satisfait que la résistance. Elle ne dit rien de la flèche, du cisaillement ni des vibrations.

\[ \begin{aligned} W_{\text{req}} = \frac{M_{\text{d}}}{f_{m,\text{d}}} \quad \text{puis} \quad h = \sqrt{\frac{6\,W_{\text{req}}}{b}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici la plus petite poutre qui ne cassera pas. Ni la plus petite qui ne fléchira pas trop, ni la plus petite qui ne vibrera pas — seulement celle qui ne cassera pas. Sur un plancher bois, ces trois poutres ne sont jamais la même, et c'est la plus grande des trois qu'il faudra retenir.

Décomposition des termes :

\( W_{\text{req}} \) : module de flexion minimal nécessaire, unité : mm³
\( M_{\text{d}} \) : moment de calcul, converti en N·mm, unité : N·mm
\( f_{m,\text{d}} \) : résistance de calcul en flexion, unité : N/mm²
\( b \) : largeur imposée par le projet, unité : mm
Conversion : 1 cm³ vaut 1 000 mm³, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de conclure le dimensionnement ici, la résistance étant vérifiée..."

L'approche d'ingénieur : La question posée est bien celle du module requis, et la réponse est juste. Mais une section n'est retenue qu'après tous les critères.

L'erreur : Annoncer « la section 75 × 175 convient ». Elle convient en flexion. Sa flèche finale atteindra 134 % du critère admissible.
La bonne méthode : Tenir la liste des critères — flexion, flèche, cisaillement, vibrations, compression d'appui — et ne conclure qu'une fois toutes les cases remplies.
L'astuce de pro : Sur un plancher bois, commencer par la flèche : elle gouverne neuf fois sur dix et donne directement la bonne section. La flexion se vérifie ensuite en trois lignes.
Le moyen mnémotechnique : « En bois, on ne casse pas — on plie ».
L'impact direct : Un plancher dimensionné sur la seule flexion serait inconfortable et fissurant : cloisons qui craquent, portes qui coincent, sensation de rebond au passage.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( M_{\text{d}} \) : à convertir en N·mm , facteur 10⁶ depuis les kN·m
\( f_{m,\text{d}} \) : exprimée en N/mm² , identique aux MPa
\( W_{\text{req}} \) : N·mm / (N/mm²) donne des mm³
Conversion en cm³ : division par 1 000 , et non par 100
\( h \) : obtenue en mm , à arrondir à la section commerciale

Deux conversions se succèdent ici, et toutes deux sont des sources d'erreur classiques. Le passage des kN·m aux N·mm vaut un facteur un million ; celui des mm³ aux cm³ vaut mille, et non cent — un centimètre cube contient dix millimètres au cube dans chaque direction. Poser les deux explicitement coûte deux lignes et évite une erreur de trois ordres de grandeur.

1. Résolution Numérique Résistance de calcul en flexion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la capacité à laquelle confronter la sollicitation, et le dénominateur du module requis.

Méthodologie du calcul :

Application de la relation du § 2.4.1 aux valeurs du C24 en classe de service 1.

Substitution : \( f_{m,\text{k}} = 24 \) N/mm², \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \).
Piège évité : Ne pas prendre \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \), qui est la valeur du lamellé-collé. Il s'agit ici de bois massif.
Hypothèse validée : Local chauffé, donc classe de service 1, et charge d'exploitation d'habitation, donc moyen terme.
Vérification croisée : Le rapport \( 0{,}80/1{,}30 = 0{,}615 \) appliqué à 24 donne bien 14,77 N/mm².
Finalité : Cette résistance donnera le module de flexion requis.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d}} &= \frac{k_{\text{mod}}\,f_{m,\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} = \frac{0{,}80 \times 24}{1{,}30} \\ &= \mathbf{14{,}77} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

14,77 N/mm² pour un bois annoncé à 24. Voyons ce qu'il en reste.

Ordre de grandeur : 62 % de la résistance caractéristique. C'est la valeur de référence de tout plancher bois en C24, et elle mérite d'être connue de mémoire.
Impact sur la suite : Elle donnera un module requis d'environ 295 cm³, correspondant à une hauteur inférieure à 155 mm.
Cohérence : En classe de service 2, la valeur serait identique : les colonnes 1 et 2 du tableau 3.1 ne diffèrent pas pour le bois massif.
Attention : Cette résistance ne joue aucun rôle dans le calcul de flèche. À l'ELS, c'est le module d'élasticité qui gouverne, et il ne dépend ni de \( k_{\text{mod}} \) ni de \( \gamma_{\text{M}} \).
Comparaison : Passer au C30 porterait cette résistance à 18,46 N/mm², soit 25 % de plus — mais n'améliorerait la rigidité que de 9 %.

Remarque pédagogique : Faites relever dès maintenant que passer du C24 au C30 gagne 25 % en résistance mais seulement 9 % en rigidité. C'est une observation décisive pour la suite : quand la flèche gouverne, monter en classe de bois ne sert presque à rien. Il faut monter en section, ou réduire la portée.

Module de flexion requis

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la traduction géométrique du besoin : un nombre qu'on peut chercher dans un catalogue.

Méthodologie du calcul :

Division du moment de calcul, converti en N·mm, par la résistance de calcul.

Substitution : \( M_{\text{d}} = 4{,}35 \times 10^{6} \) N·mm et \( f_{m,\text{d}} = 14{,}77 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas oublier la conversion en N·mm. Un module de 0,29 mm³ au lieu de 294 500 signalerait un facteur million manquant.
Hypothèse validée : Taux de travail égal à 1 : c'est le module strictement nécessaire, sans aucune marge.
Vérification croisée : En cm³, le résultat vaut 295, valeur directement comparable aux catalogues de sections.
Finalité : Ce module permettra de remonter à la hauteur minimale, la largeur étant imposée.

\[ \begin{aligned} W_{\text{req}} &= \frac{M_{\text{d}}}{f_{m,\text{d}}} = \frac{4{,}35 \times 10^{6}}{14{,}77} \\ &= \mathbf{294\,500} \text{ mm}^{3} = 295 \text{ cm}^{3} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

295 cm³. Voyons à quelle section cela correspond.

Ordre de grandeur : Quelques centaines de cm³, valeur courante pour une solive de plancher d'habitation.
Impact sur la suite : Comparé au catalogue, il se situe entre la 75 × 150, qui offre 281 cm³ et ne suffit pas, et la 75 × 175, qui en offre 383.
Cohérence : C'est un module requis, non un module de section. Il ne correspond à aucune pièce réelle et ne doit jamais être reporté comme tel.
Attention : Ce module ne prend en compte que la flexion. Le critère de flèche, lui, s'exprimera en moment quadratique et non en module.
Comparaison : Avec un entraxe de 0,40 m, ce module requis tomberait à 236 cm³ — et la 75 × 150 suffirait en flexion.

Remarque pédagogique : Faites bien distinguer le module requis du module disponible. Le premier est un besoin abstrait, le second une propriété de pièce réelle. Un étudiant qui écrit « \( W = 295 \) cm³ » sans préciser lequel des deux entretient une confusion qui se paiera au moment de choisir dans le catalogue.

Hauteur minimale et section retenue

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la réponse concrète à la question du prédimensionnement : une dimension qu'on peut commander.

Méthodologie du calcul :

Inversion de \( W = bh^{2}/6 \) à largeur fixée, puis arrondi à la section commerciale supérieure.

Substitution : \( W_{\text{req}} = 294\,500 \) mm³ et \( b = 75 \) mm imposée par le projet.
Piège évité : Ne pas oublier la racine carrée. Le module varie en \( h^{2} \), donc la hauteur varie en racine du module.
Hypothèse validée : Largeur imposée à 75 mm. À largeur libre, le problème admettrait une infinité de solutions.
Vérification croisée : La 75 × 175 offre \( 75 \times 175^{2}/6 = 382\,800 \) mm³, soit 30 % de plus que le besoin. Le taux de travail vaut 77 %.
Finalité : Cette section sera soumise au critère de flèche à la question suivante.

\[ \begin{aligned} h &= \sqrt{\frac{6\,W_{\text{req}}}{b}} = \sqrt{\frac{6 \times 294\,500}{75}} \\ &= \sqrt{23\,560} = \mathbf{153{,}5} \text{ mm} \quad \Longrightarrow \quad 75 \times 175 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

153,5 mm requis, section commerciale 75 × 175. Voyons ce que cela vaut.

Ordre de grandeur : La hauteur requise vaut L/26. C'est très élancé pour un plancher bois, où l'on retient plutôt L/18 à L/20.
Impact sur la suite : Cet élancement inhabituel est le premier signal que la flexion n'est pas le bon critère. Un praticien s'en apercevrait immédiatement.
Cohérence : La 75 × 150 offrirait 281 cm³, insuffisant face aux 295 requis. La 75 × 175 est bien la première section admissible.
Attention : Le taux de travail de 77 % paraît satisfaisant. Il donne une fausse impression d'optimisation, alors que la section sera bientôt refusée.
Comparaison : Une règle de prédimensionnement usuelle donne \( h \approx L/20 = 200 \) mm pour un plancher d'habitation — soit exactement la section que la flèche imposera.

Remarque pédagogique : Faites comparer la hauteur calculée, L/26, à la règle de prédimensionnement que tout charpentier connaît : L/20 environ pour un plancher d'habitation. L'écart entre les deux n'est pas un hasard : la règle empirique intègre implicitement le critère de flèche, que le calcul de flexion ignore. Les praticiens avaient trouvé la bonne réponse avant que la norme ne l'écrive.

RÉSULTAT FINAL

Section imposée par la flexion seule = 75 × 175 mm — taux de travail 77 %, pour une hauteur minimale calculée de 153,5 mm

"Voici la plus petite poutre qui ne cassera pas — ce n'est pas la même que celle qui ne fléchira pas trop !"

Question 3 : Vérification de la flèche

Dans la tête de l'ingénieur

"Je change complètement de registre. À l'ELU je comparais des contraintes ; ici je compare des déplacements, et rien de ce que j'ai calculé jusqu'à présent ne me sert. Les charges redeviennent caractéristiques — plus de 1,35 ni de 1,50. La résistance disparaît au profit du module d'élasticité. Et un phénomène nouveau apparaît : le fluage, qui fait continuer la déformation pendant des années sous charge constante. Le bois n'est pas seul dans ce cas — le béton flue aussi — mais il flue beaucoup, et l'Eurocode l'exprime par un coefficient qui ajoute 60 % à la flèche des charges permanentes."

Observation : La flèche varie en \( L^{4} \) et en \( 1/h^{3} \). Ces deux exposants la rendent bien plus sensible à la géométrie que ne l'est la résistance.
Analyse du risque : Employer la charge de calcul \( q_{\text{d}} \) au lieu des charges caractéristiques majorerait la flèche de 45 %. C'est l'erreur la plus fréquente du passage ELU-ELS.
Choix stratégique : Je calcule les deux flèches instantanées séparément, puis je les recombine avec leurs coefficients de fluage respectifs. C'est la seule façon d'appliquer correctement \( \psi_{2} \).
Alternative : J'aurais pu retenir le critère plus sévère de \( L/500 \), applicable dès qu'un plancher supporte des cloisons fragiles. L'énoncé ne le précise pas ; je retiens \( L/300 \) et je signale la réserve.
Objectif visé : Sortir avec un verdict sur la section de la question 2 et, s'il est négatif, avec la hauteur que la flèche impose réellement.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( I_{y} = 33{,}50 \times 10^{6} \) mm⁴ · \( w_{\text{inst}} = 13{,}57 \) mm soit 102 % · \( w_{\text{net,fin}} = \) 17,91 mm soit 134 % — section refusée · la flèche impose \( h \ge 193 \) mm

Rappel Théorique : la flèche et le fluage du bois

La flèche d'une poutre en bois n'est pas une grandeur figée : elle croît pendant des années sous charge constante. Ce phénomène, le fluage, est ce qui distingue le plus nettement le calcul ELS du bois de celui de l'acier.

Principe 1 — l'ELS emploie les charges caractéristiques : Aucune pondération. On ne cherche pas la ruine mais le comportement en service, sous les charges qui se produiront réellement.
Principe 2 — c'est le module moyen qui s'emploie : \( E_{0,\text{mean}} \), et non le fractile 5 %. Un plancher comporte des dizaines de solives solidarisées par le platelage : leurs écarts individuels se compensent.
Principe 3 — le fluage dépend de la durée de la charge : Le permanent flue en entier, d'où le facteur \( 1 + k_{\text{def}} \). L'exploitation ne flue que par sa part quasi permanente, d'où \( 1 + \psi_{2}k_{\text{def}} \).
Principe 4 — l'humidité gouverne l'ampleur du fluage : \( k_{\text{def}} \) vaut 0,60 en classe de service 1, 0,80 en classe 2 et 2,00 en classe 3. Une poutre exposée aux intempéries triple presque sa flèche.
Principe 5 — deux critères coexistent : La flèche instantanée gouverne le confort immédiat, la flèche nette finale l'aspect à long terme et l'intégrité des cloisons. Les deux se vérifient.

Équations Fondamentales

Trois relations : la flèche instantanée d'une poutre isostatique, la combinaison de fluage, et les critères admissibles.

Flèche instantanée sous charge uniformément répartie :

Elle est maximale à mi-portée, comme le moment.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la flèche est obtenue par double intégration de la courbure, elle-même proportionnelle au moment. Chaque intégration ajoute une puissance à la longueur : le moment varie en \( L^{2} \), la flèche en \( L^{4} \). C'est cette différence d'exposant qui explique pourquoi la flèche finit toujours par gouverner quand la portée augmente — et pourquoi elle est si sensible à la hauteur, qui intervient au cube dans le moment quadratique.

Contexte de validité : Poutre isostatique sur deux appuis simples, charge uniforme, matériau élastique linéaire.
Avantage : Elle est linéaire en la charge : on peut calculer séparément la flèche de chaque charge et les additionner ensuite avec leurs coefficients propres.
Paramètre clé : Le produit \( E\,I \), la rigidité de flexion. C'est lui qui gouverne, et non la résistance du bois.
Vérification : Toutes les longueurs doivent être en millimètres et les charges en N/mm. Une charge en kN/m vaut numériquement la même chose en N/mm.
Limite : Elle donne la flèche instantanée, celle du premier jour. Le fluage l'augmentera d'un tiers à un facteur trois selon la classe de service.

\[ \begin{aligned} w_{\text{inst}} = \frac{5\,q\,L^{4}}{384\,E_{0,\text{mean}}\,I_{y}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une poutre deux fois plus longue fléchit seize fois plus. Et une poutre deux fois plus haute fléchit huit fois moins. Ces deux exposants font de la flèche le critère le plus sensible à la géométrie de tout le dimensionnement — bien plus que la résistance, qui n'en manipule que des carrés.

Décomposition des termes :

\( w_{\text{inst}} \) : flèche instantanée à mi-portée, unité : mm
\( q \) : charge caractéristique non pondérée, unité : N/mm
\( L \) : portée, à la puissance quatre, unité : mm
\( E_{0,\text{mean}} \) : module axial moyen, jamais le fractile, unité : N/mm²
\( I_{y} = bh^{3}/12 \) : moment quadratique, en \( h^{3} \), unité : mm⁴

Flèche finale avec fluage — EN 1995-1-1 § 2.2.3 :

Elle traite différemment les charges permanentes et variables.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le fluage demande du temps. Une charge présente en permanence a tout le temps de faire fluer le bois ; une charge qui va et vient n'en a qu'une part. Le coefficient \( \psi_{2} \) désigne précisément la fraction de la charge d'exploitation qui reste en place — 30 % dans un logement, où le mobilier demeure et les occupants circulent. C'est cette fraction, et elle seule, qui participe au fluage.

Contexte de validité : Structure à comportement linéaire et matériau unique. Une structure mixte demanderait de traiter chaque matériau avec son propre \( k_{\text{def}} \).
Avantage : Elle ramène un phénomène évolutif à une simple pondération des flèches instantanées, sans aucune intégration dans le temps.
Paramètre clé : \( k_{\text{def}} = 0{,}60 \) en classe de service 1. Il monterait à 2,00 en classe 3, où la flèche finale triplerait.
Vérification : La flèche finale doit valoir entre 1,2 et 1,6 fois l'instantanée en classe de service 1, selon la part du permanent.
Limite : En l'absence de contreflèche, la flèche nette finale est égale à la flèche finale. Une contreflèche à la fabrication viendrait s'en retrancher.

\[ \begin{aligned} w_{\text{net,fin}} = w_{\text{inst},G}\,(1 + k_{\text{def}}) + w_{\text{inst},Q}\,(1 + \psi_{2}\,k_{\text{def}}) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce qui reste en place fait fluer, ce qui va et vient beaucoup moins. Un plancher qui fléchit de 13 mm le jour de la réception en fléchira 18 dans vingt ans, sans que rien n'ait changé dans son chargement. Le maître d'ouvrage qui le constate n'observe pas un défaut : il observe un phénomène prévu par la norme, et qui aurait dû lui être annoncé.

Décomposition des termes :

\( w_{\text{net,fin}} \) : flèche nette finale, contreflèche déduite, unité : mm
\( 1 + k_{\text{def}} = 1{,}60 \) : amplification du permanent en classe de service 1, unité : sans dimension
\( 1 + \psi_{2}k_{\text{def}} = 1{,}18 \) : amplification de l'exploitation, catégorie A, unité : sans dimension
\( \psi_{2} = 0{,}3 \) : part quasi permanente de la charge d'exploitation, unité : sans dimension
Contreflèche : nulle ici, la solive étant droite, unité : mm

Critères de flèche admissible — EN 1995-1-1 tableau 7.2 :

Ils sont fixés par l'annexe nationale et dépendent de l'usage.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une flèche n'a pas de valeur admissible absolue : dix millimètres sont invisibles sur douze mètres et scandaleux sur deux. Le critère s'exprime donc en fraction de la portée. Sa valeur ne relève pas de la mécanique mais de l'usage : confort perçu, intégrité des cloisons, aspect. C'est pourquoi l'Eurocode propose une plage et laisse l'annexe nationale trancher.

Contexte de validité : Poutres sur deux appuis. Une console admettrait des critères deux fois moins sévères, rapportés à son porte-à-faux.
Avantage : Un critère relatif s'applique à toutes les portées sans qu'il faille le retabuler.
Paramètre clé : La nature des cloisons portées. Des cloisons fragiles — plâtre, carrelage mural — imposent \( L/500 \) au lieu de \( L/300 \).
Vérification : Pour une portée de 4,00 m, \( L/300 \) vaut 13,3 mm et \( L/500 \) vaut 8,0 mm. L'écart entre les deux exigences est considérable.
Limite : La valeur retenue relève de l'annexe nationale et doit être confirmée. Elle peut aussi être imposée par le maître d'ouvrage, plus sévèrement que la norme.

\[ \begin{aligned} w_{\text{inst}} \le \frac{L}{300} \quad \text{et} \quad w_{\text{net,fin}} \le \frac{L}{300} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : un plancher ne doit pas seulement tenir, il doit être habitable. Treize millimètres sur quatre mètres, c'est la limite au-delà de laquelle l'œil détecte la déformation, les cloisons fissurent et les portes coincent. Ce critère n'a rien de mécanique : il est humain, et c'est pourtant lui qui décide de la section.

Décomposition des termes :

\( L/300 \) : critère courant pour un plancher d'habitation, unité : mm
\( L/500 \) : critère renforcé si cloisons fragiles, unité : mm
\( w_{\text{inst}} \) : gouverne le confort immédiat, unité : mm
\( w_{\text{net,fin}} \) : gouverne l'aspect à long terme, unité : mm
Pour \( L = 4\,000 \) mm : critère de 13,33 mm, unité : mm

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'employer la charge de calcul \( q_{\text{d}} \) dans la formule de la flèche..."

L'approche d'ingénieur : L'automatisme est compréhensible : on vient de calculer \( q_{\text{d}} \), elle est sous la main. Mais elle appartient à un autre état-limite.

L'erreur : Employer 2,175 kN/m au lieu de 1,50. La flèche serait majorée de 45 %, et une section parfaitement acceptable serait refusée.
La bonne méthode : Retenir la répartition : ELU d'où charges pondérées et résistances, ELS d'où charges caractéristiques et rigidités. Aucun croisement.
L'astuce de pro : Les coefficients partiels servent à couvrir un risque de ruine. Une flèche excessive n'est pas une ruine : elle ne met personne en danger, elle rend le plancher désagréable. Le niveau de sécurité n'a pas à être le même.
Le moyen mnémotechnique : « On ne pondère pas ce qui ne tue pas ».
L'impact direct : L'erreur inverse — vérifier la résistance avec les charges caractéristiques — serait beaucoup plus grave : elle conduirait à sous-dimensionner de 45 % une pièce dont la ruine est en jeu.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( q \) : en N/mm , numériquement égale aux kN/m
\( L \) : impérativement en mm , à la puissance quatre
\( E_{0,\text{mean}} \) : en N/mm² , valeur moyenne et non fractile
\( I_{y} \) : en mm⁴ , une puissance de plus que le module
\( w \) : le résultat sort directement en mm

Le seul piège d'unité de cette question tient à la puissance quatre de la portée. Exprimée en mètres au lieu de millimètres, elle donnerait une flèche \( 10^{12} \) fois trop faible — erreur si grossière qu'elle se repère aussitôt. L'astuce qui sécurise tout le calcul : 1 kN/m vaut exactement 1 N/mm, ce qui permet de travailler en newtons et millimètres du début à la fin sans aucune conversion de charge.

1. Résolution Numérique Moment quadratique de la section 75 × 175

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur qui gouverne la rigidité, et non le module de flexion employé à la question 2.

Méthodologie du calcul :

Expression classique du moment quadratique d'une section rectangulaire autour de son axe fort.

Substitution : \( b = 75 \) mm et \( h^{3} = 175^{3} = 5\,359\,375 \) mm³.
Piège évité : Ne pas diviser par 6. Le diviseur 12 est celui du moment quadratique ; 6 vaut pour le module de flexion.
Hypothèse validée : Section brute. Aucune réduction ne s'applique à la rigidité, le platelage n'étant pas supposé collaborer.
Vérification croisée : Le rapport \( I_{y}/W_{y} = 33{,}50 \times 10^{6}/382\,800 = 87{,}5 \) mm doit valoir \( h/2 \). C'est bien le cas.
Finalité : Ce moment quadratique figure au dénominateur des deux flèches instantanées.

\[ \begin{aligned} I_{y} &= \frac{b\,h^{3}}{12} = \frac{75 \times 175^{3}}{12} \\ &= \frac{75 \times 5\,359\,375}{12} = \mathbf{33{,}50 \times 10^{6}} \text{ mm}^{4} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

33,50 × 10⁶ mm⁴. Voyons comment cette grandeur se compare aux sections voisines.

Ordre de grandeur : Quelques dizaines de millions de mm⁴, typique d'une solive de plancher.
Impact sur la suite : Il figure au dénominateur de la flèche : le doubler diviserait par deux toutes les flèches de cet exercice.
Cohérence : La 75 × 200 offre 50,00 × 10⁶ mm⁴, soit 49 % de plus pour 14 % de hauteur en plus. La loi en \( h^{3} \) est très favorable.
Attention : C'est cette grandeur, et non le module \( W_{y} \), qui gouverne la flèche. Les confondre est l'erreur de calcul la plus fréquente à ce stade.
Comparaison : Entre 175 et 200 mm, le module gagne 31 % et le moment quadratique 49 %. La hauteur est plus efficace sur la flèche que sur la résistance.

Remarque pédagogique : Faites comparer, sur le tableau des sections commerciales, les deux colonnes \( W_{y} \) et \( I_{y} \). Entre deux tailles consécutives, la première gagne environ 30 % et la seconde 50 %. C'est la conséquence directe des exposants 2 et 3, et c'est ce qui permettra de rattraper l'écart de flèche avec une seule taille commerciale.

Flèche instantanée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le premier critère de service, celui du confort immédiat après mise en charge.

Méthodologie du calcul :

Application de la formule à chaque charge séparément, puis addition.

Substitution : \( g = 0{,}50 \) et \( q = 1{,}00 \) N/mm, \( L = 4\,000 \) mm, \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas employer \( q_{\text{d}} = 2{,}175 \) kN/m. À l'ELS, les charges sont caractéristiques et leur somme vaut 1,50 kN/m.
Hypothèse validée : Combinaison caractéristique, la plus sévère des combinaisons ELS pour le critère instantané.
Vérification croisée : Le coefficient \( 5L^{4}/(384\,E\,I) \) vaut 9,047 mm par N/mm de charge. Il suffit de le multiplier par chaque charge.
Finalité : Ces deux flèches seront recombinées avec leurs coefficients de fluage respectifs.

\[ \begin{aligned} w_{\text{inst},G} &= 0{,}50 \times \frac{5 \times 4\,000^{4}}{384 \times 11\,000 \times 33{,}50 \times 10^{6}} = 4{,}52 \text{ mm} \\ w_{\text{inst},Q} &= 1{,}00 \times 9{,}047 = 9{,}05 \text{ mm} \\ w_{\text{inst}} &= \mathbf{13{,}57} \text{ mm} \quad \text{pour } L/300 = 13{,}33 \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

13,57 mm pour un critère de 13,33 : le premier critère est déjà dépassé, de 2 %.

Ordre de grandeur : 102 % du critère instantané. Le dépassement est faible, mais il existe — et la flèche finale sera bien pire.
Impact sur la suite : La section de la question 2 est déjà refusée avant même de prendre le fluage en compte.
Cohérence : La charge d'exploitation produit deux tiers de cette flèche, exactement sa part dans la charge caractéristique. La formule est linéaire.
Attention : Ces 13,57 mm sur 4 mètres représentent une pente de 1/300 — assez pour qu'une bille roule et qu'un occupant perçoive le creux.
Comparaison : Avec le critère renforcé de \( L/500 = 8{,}0 \) mm, applicable si le plancher porte des cloisons fragiles, on serait à 170 %.

Remarque pédagogique : Faites poser le coefficient de flèche unitaire — ici 9,047 mm par N/mm — une fois pour toutes. Il ne dépend que de la géométrie et du matériau, et permet ensuite d'obtenir n'importe quelle flèche par une simple multiplication. C'est la méthode qu'emploie tout praticien, et elle rend les erreurs immédiatement visibles.

Flèche nette finale avec fluage

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le critère qui décide : celui qui traduit l'état du plancher dans vingt ans, et non le jour de la réception.

Méthodologie du calcul :

Recombinaison des deux flèches instantanées avec leurs coefficients d'amplification respectifs.

Substitution : \( 1 + k_{\text{def}} = 1{,}60 \) pour le permanent, \( 1 + \psi_{2}k_{\text{def}} = 1 + 0{,}3 \times 0{,}6 = 1{,}18 \) pour l'exploitation.
Piège évité : Ne pas appliquer 1,60 aux deux charges. L'exploitation ne flue que par sa part quasi permanente, et l'erreur majorerait la flèche de 21 %.
Hypothèse validée : Aucune contreflèche : la solive est livrée droite, donc la flèche nette est égale à la flèche finale.
Vérification croisée : Le rapport à la flèche instantanée vaut \( 17{,}91/13{,}57 = 1{,}32 \), bien compris dans la plage attendue de 1,2 à 1,6.
Finalité : Conclure sur la section de la question 2 et mesurer l'ampleur du dépassement.

\[ \begin{aligned} w_{\text{net,fin}} &= 4{,}52 \times 1{,}60 + 9{,}05 \times 1{,}18 \\ &= \mathbf{17{,}91} \text{ mm} \\ \frac{w_{\text{net,fin}}}{L/300} &= \frac{17{,}91}{13{,}33} = 134\ \% \quad \text{non vérifié} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

134 % : la section 75 × 175 est refusée. Voyons l'ampleur du problème.

Ordre de grandeur : Un dépassement de 34 %, alors que le taux de travail en flexion n'était que de 77 %. Les deux critères sont très loin de coïncider.
Impact sur la suite : La section doit être augmentée. Il reste à déterminer de combien exactement.
Cohérence : Le fluage a ajouté 32 % à la flèche instantanée. C'est lui qui fait passer un dépassement marginal de 2 % à un dépassement franc de 34 %.
Attention : Vérifier la seule flèche instantanée aurait donné 102 % — un dépassement qu'on pourrait être tenté de négliger. Le fluage rend le refus indiscutable.
Comparaison : En classe de service 3, avec \( k_{\text{def}} = 2{,}00 \), cette flèche atteindrait 28,0 mm — plus du double du critère.

Remarque pédagogique : Voilà le résultat central de l'exercice : 77 % en flexion, 134 % en flèche. Un étudiant qui s'était arrêté à la question 2 aurait rendu un travail juste sur une solive inconfortable. Faites-lui écrire les deux nombres côte à côte : ils résument à eux seuls pourquoi un plancher bois ne se dimensionne jamais sur la résistance.

Hauteur minimale imposée par la flèche

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut maintenant inverser le critère de service, comme on avait inversé celui de résistance à la question 2.

Méthodologie du calcul :

Résolution en \( I_{y} \) de la condition \( w_{\text{net,fin}} \le L/300 \), puis inversion de \( I_{y} = bh^{3}/12 \).

Substitution : Charge équivalente \( 0{,}50 \times 1{,}60 + 1{,}00 \times 1{,}18 = 1{,}98 \) N/mm, et critère de 13,33 mm.
Piège évité : Ne pas oublier la racine cubique. Le moment quadratique varie en \( h^{3} \), non en \( h^{2} \).
Hypothèse validée : Largeur maintenue à 75 mm, comme à la question 2, pour que la comparaison soit directe.
Vérification croisée : Le moment quadratique requis vaut 45,0 × 10⁶ mm⁴, à comparer aux 33,5 de la 75 × 175 et aux 50,0 de la 75 × 200.
Finalité : Désigner la section commerciale que la flèche impose réellement.

\[ \begin{aligned} I_{\text{req}} &= \frac{1{,}98 \times 5 \times 4\,000^{4}}{384 \times 11\,000 \times 13{,}33} = 45{,}0 \times 10^{6} \text{ mm}^{4} \\ h &= \sqrt[3]{\frac{12 \times 45{,}0 \times 10^{6}}{75}} = \mathbf{193} \text{ mm} \quad \Longrightarrow \quad 75 \times 200 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

193 mm contre 153,5 mm en flexion, soit 26 % de hauteur en plus. Voyons ce que cela signifie.

Ordre de grandeur : La hauteur imposée par la flèche vaut L/21, très proche de la règle empirique L/20 que connaissent les charpentiers.
Impact sur la suite : La section commerciale retenue sera la 75 × 200, et non la 75 × 175 désignée par la flexion.
Cohérence : Les 26 % d'écart en hauteur correspondent à 34 % de dépassement en flèche, puisque celle-ci varie en \( 1/h^{3} \).
Attention : Ce calcul ne tient pas compte du poids propre des solives, absent de la charge permanente. La question 4 en mesurera l'effet.
Comparaison : Avec le critère renforcé de \( L/500 \), la hauteur requise monterait à 229 mm, soit une section 75 × 250.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que la hauteur imposée par la flèche, L/21, coïncide presque exactement avec la règle de prédimensionnement traditionnelle L/20. Ce n'est pas une coïncidence : la règle empirique a été calibrée sur des planchers jugés confortables, donc sur le critère de flèche. Les praticiens avaient la bonne réponse bien avant que la norme ne fournisse la formule.

RÉSULTAT FINAL

Flèche nette finale de la 75 × 175 = 17,91 mm soit 134 % du critère — section refusée, la flèche impose h ≥ 193 mm

"77 % en flexion, 134 % en flèche : un plancher bois ne se dimensionne jamais sur la résistance !"

Question 4 : Section retenue et vérifications complémentaires

Dans la tête de l'ingénieur

"La flèche a désigné la 75 × 200. Avant de clore, je dois faire deux choses. D'abord vérifier que cette section passe partout — cisaillement et vibrations n'ont pas encore été regardés, et sur un plancher d'habitation la fréquence propre est un critère réglementaire à part entière. Ensuite, revenir sur une hypothèse que j'ai laissée passer depuis la question 1 : la charge permanente annoncée couvre « platelage, isolant, revêtement » et pas le poids propre des solives. Elle ne pouvait pas le couvrir, puisqu'il dépend de la section cherchée. C'est un calcul itératif classique, et il faut boucler la boucle."

Observation : La 75 × 200 sera surdimensionnée en flexion — 59 % seulement. C'est le signe normal d'une section décidée par un autre critère.
Analyse du risque : Oublier le poids propre des solives sous-estime la charge permanente de 10 %. Sur une flèche déjà à 90 % du critère, la marge devient étroite.
Choix stratégique : Je vérifie tous les critères sur la section retenue, y compris ceux dont je pressens qu'ils passeront. Une case non remplie est une case qui manquera au bureau de contrôle.
Alternative : J'aurais pu retenir la 75 × 225 pour disposer d'une marge confortable. Elle coûte 13 % de bois en plus pour un besoin qui n'existe pas : la 75 × 200 satisfait tous les critères.
Objectif visé : Sortir avec une section arrêtée et un tableau de vérifications complet, poids propre inclus.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Section retenue 75 × 200 : flexion 59 %, flèche 90 %, cisaillement 26 %, fréquence 10,2 Hz · avec le poids propre des solives, la flèche monte à 94 %

Rappel Théorique : les critères qu'on oublie

Un plancher bois se vérifie sur cinq critères, et le dimensionnement s'arrête au plus contraignant. Deux d'entre eux sont régulièrement omis, alors qu'ils sont réglementaires.

Principe 1 — le cisaillement se vérifie aux appuis : Là où l'effort tranchant est maximal et le moment nul. Il faut y appliquer le coefficient de fissuration \( k_{\text{cr}} \), qui retire un tiers de la largeur.
Principe 2 — les vibrations sont un critère normatif : Le § 7.3.3 impose une fréquence propre supérieure à 8 Hz pour un plancher d'habitation. En dessous, la marche d'un occupant excite le plancher en résonance.
Principe 3 — la fréquence se calcule sur une bande d'un mètre : Il faut donc multiplier la rigidité d'une solive par le nombre de solives au mètre, soit l'inverse de l'entraxe. La masse, elle, est celle des charges permanentes.
Principe 4 — le poids propre relève d'une itération : Il dépend de la section, qui dépend de la charge, qui dépend du poids propre. On dimensionne d'abord, puis on vérifie — et l'on recommence si l'écart est important.
Principe 5 — la compression d'appui reste à voir : Le § 6.1.5 vérifie que la solive ne s'écrase pas sur son appui. Elle dépend de la longueur d'appui réelle, donnée d'exécution qui n'est pas dans cet énoncé.

Équations Fondamentales

Deux relations : la contrainte de cisaillement avec fissuration, et la fréquence propre d'un plancher.

Contrainte de cisaillement — EN 1995-1-1 § 6.1.7 :

Elle s'évalue sur la largeur efficace, réduite par la fissuration.

Pourquoi cette formule ?

Parce que deux corrections d'origines différentes s'y superposent. Le facteur 3/2 vient de la théorie des poutres : la contrainte de cisaillement est parabolique, nulle aux fibres extrêmes et maximale sur l'axe neutre. Le coefficient \( k_{\text{cr}} \) vient du comportement du bois dans le temps : il se fend en séchant, et une fente ne transmet aucun effort de glissement. L'une est mécanique, l'autre est normative.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine, sans entaille d'appui. Un about entaillé relèverait du § 6.5.2.
Avantage : Le calcul tient en une ligne et emploie l'effort tranchant déjà connu.
Paramètre clé : \( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \). L'oublier surestimerait la capacité de 49 %, dans le sens du danger.
Vérification : Sur une solive de plancher, le taux de cisaillement reste toujours très faible : le rapport portée sur hauteur est élevé.
Limite : Elle emploie l'effort tranchant à l'ELU, contrairement aux flèches. Ne pas mélanger les deux jeux de charges.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{d}} = \frac{3}{2}\;\frac{V_{\text{Ed}}}{k_{\text{cr}}\,b\,h} \le f_{\text{v},\text{d}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : comptez sur deux tiers de la largeur, et souvenez-vous que le cisaillement se concentre au centre. Sur une solive élancée, ce critère passe toujours largement — mais il ne se saute pas pour autant, car la rupture par cisaillement est fragile et ne prévient pas.

Décomposition des termes :

\( \tau_{\text{d}} \) : contrainte de cisaillement de calcul, unité : N/mm²
\( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant à l'ELU, maximal aux appuis, unité : N
\( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \) : coefficient de fissuration appliqué à la largeur, unité : sans dimension
Facteur 3/2 : forme parabolique de la distribution, unité : sans dimension
\( f_{\text{v},\text{d}} \) : \( 0{,}80 \times 4{,}0/1{,}30 = 2{,}46 \) N/mm², unité : N/mm²

Fréquence propre d'un plancher — EN 1995-1-1 § 7.3.3 :

Elle doit rester supérieure à 8 Hz pour un plancher d'habitation.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la marche humaine excite un plancher à une fréquence d'environ 2 Hz, avec des harmoniques à 4, 6 et 8 Hz. Si la fréquence propre du plancher tombe dans cette plage, la marche entre en résonance et l'amplitude s'amplifie à chaque pas. Le seuil de 8 Hz écarte le plancher de la quatrième harmonique, la dernière qui porte encore assez d'énergie pour être perceptible. Ce n'est pas un critère de résistance mais de confort, et il est réglementaire.

Contexte de validité : Plancher rectangulaire simplement appuyé sur ses quatre côtés. Une géométrie irrégulière demanderait un calcul aux éléments finis.
Avantage : Une seule formule permet d'écarter le risque vibratoire, sans modélisation dynamique.
Paramètre clé : La rigidité par mètre de largeur, obtenue en divisant celle d'une solive par l'entraxe.
Vérification : La masse à retenir est celle des charges permanentes seules. La charge d'exploitation n'est pas présente lors du passage d'un occupant.
Limite : Franchir 8 Hz ne suffit pas toujours : le § 7.3.3 impose aussi des critères sur la raideur ponctuelle et la vitesse d'impulsion, non traités ici.

\[ \begin{aligned} f_{1} = \frac{\pi}{2\,L^{2}}\sqrt{\frac{(EI)_{\text{L}}}{m}} \ge 8 \text{ Hz} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : un plancher trop souple entre en résonance sous les pas de ses occupants. Ce n'est pas dangereux — le plancher ne s'effondrera pas — mais c'est franchement désagréable, et c'est la première plainte des habitants d'un bâtiment à ossature bois mal dimensionné. La norme a mis un chiffre sur une sensation.

Décomposition des termes :

\( f_{1} \) : fréquence propre fondamentale du plancher, unité : Hz
\( (EI)_{\text{L}} \) : rigidité de flexion par mètre de largeur, unité : N·m²/m
\( m \) : masse surfacique des charges permanentes, unité : kg/m²
\( L \) : portée, au carré au dénominateur, unité : m
Seuil : 8 Hz pour l'habitation, unité : Hz

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'oublier le poids propre de la pièce qu'ils dimensionnent..."

L'approche d'ingénieur : L'oubli est presque inévitable, puisque le poids propre dépend de la section cherchée. Ce n'est pas une raison pour ne jamais y revenir.

L'erreur : Clore le dimensionnement sans reprendre la charge permanente. Ici, l'oubli représente 10 % de \( G_{\text{k}} \) et porte la flèche de 90 à 94 % du critère.
La bonne méthode : Un calcul itératif en deux passes : dimensionner sans le poids propre, puis vérifier avec. Une troisième passe n'est nécessaire que si la section change.
L'astuce de pro : Estimer le poids propre dès le départ à partir d'une hauteur supposée de L/20. L'erreur sur cette estimation est de second ordre.
Le moyen mnémotechnique : « Une poutre porte d'abord elle-même ».
L'impact direct : Sur une solive, l'oubli coûte 4 points de flèche. Sur une poutre maîtresse de forte section, il peut atteindre 30 % de la charge permanente et changer la conclusion.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( V_{\text{Ed}} \) : en N pour la contrainte de cisaillement
\( (EI)_{\text{L}} \) : en N·m² par mètre de largeur, non en N·mm²
\( m \) : en kg/m² , obtenue en divisant les kN/m² par 9,81
\( L \) : en m dans la formule de fréquence
\( f_{1} \) : le résultat sort en Hz

La formule de fréquence propre est la plus délicate de tout l'exercice sur le plan des unités. Elle mélange des mètres pour la portée, des kilogrammes pour la masse et des newtons pour la rigidité, et le passage des kN/m² aux kg/m² exige de diviser par la pesanteur. Le contrôle le plus sûr est celui de l'ordre de grandeur : un plancher de bâtiment vibre entre 5 et 20 Hz. Un résultat en dehors de cette plage signale une erreur de conversion.

1. Résolution Numérique Taux de travail en flexion de la 75 × 200

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la section a changé depuis la question 2 : il faut reprendre la vérification de résistance sur la section réellement retenue.

Méthodologie du calcul :

Contrainte de flexion sur le module de la nouvelle section, comparée à la résistance de calcul.

Substitution : \( M_{\text{d}} = 4{,}35 \times 10^{6} \) N·mm et \( W_{y} = 75 \times 200^{2}/6 = 500\,000 \) mm³.
Piège évité : Ne pas conserver le taux de 77 % de la question 2. Il correspondait à la 75 × 175, section abandonnée.
Hypothèse validée : Moment inchangé, le poids propre n'étant pas encore intégré. Il le sera au dernier calcul.
Vérification croisée : Le rapport des modules, \( 500\,000/382\,800 = 1{,}31 \), doit se retrouver dans le rapport des taux : \( 77/59 = 1{,}31 \).
Finalité : Confirmer que la résistance reste largement satisfaite sur la section imposée par la flèche.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{d}} &= \frac{4{,}35 \times 10^{6}}{500\,000} = 8{,}70 \text{ N/mm}^{2} \\ \frac{\sigma_{m,\text{d}}}{f_{m,\text{d}}} &= \frac{8{,}70}{14{,}77} = \mathbf{59\ \%} \quad \text{vérifié} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

59 % en flexion, contre 90 % en flèche. Voyons ce que cet écart traduit.

Ordre de grandeur : Un peu plus de la moitié de la capacité. La section est surdimensionnée en résistance de 70 %.
Impact sur la suite : C'est le signe normal d'une section décidée par un critère de service. Sur un plancher bois, on ne consomme jamais toute la résistance.
Cohérence : Le rapport au taux de la 75 × 175 vaut exactement celui des modules de flexion, 1,31. Le moment n'a pas changé.
Attention : Un taux faible ne signifie pas qu'on peut réduire la section : c'est la flèche qui commande, et elle est à 90 %.
Comparaison : Passer au C18, moins résistant, donnerait un taux de flexion de 79 % — encore acceptable, mais la rigidité chuterait de 18 % et la flèche deviendrait critique.

Remarque pédagogique : Faites poser la question inverse : peut-on descendre en classe de bois puisque la résistance est largement satisfaite ? La réponse est non, et pour une raison instructive : le C18 offre 25 % de résistance en moins mais aussi 18 % de rigidité en moins. Quand la flèche gouverne, la classe de bois se choisit sur son module, pas sur sa résistance.

Flèche nette finale de la 75 × 200

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le critère dimensionnant, et qu'il faut vérifier que la section retenue le satisfait effectivement.

Méthodologie du calcul :

Même chaîne qu'à la question 3, avec le moment quadratique de la nouvelle section.

Substitution : \( I_{y} = 75 \times 200^{3}/12 = 50{,}0 \times 10^{6} \) mm⁴, charges caractéristiques inchangées.
Piège évité : Ne pas appliquer 1,60 aux deux charges. L'exploitation garde son coefficient de 1,18.
Hypothèse validée : Critère de L/300, soit 13,33 mm, en l'absence de cloisons fragiles annoncées.
Vérification croisée : Le rapport à la flèche de la 75 × 175 doit valoir \( 33{,}50/50{,}00 = 0{,}67 \) : \( 12{,}00/17{,}91 = 0{,}67 \). Concordance.
Finalité : Confirmer la section, ou la remettre en cause une seconde fois.

\[ \begin{aligned} w_{\text{net,fin}} &= 3{,}03 \times 1{,}60 + 6{,}06 \times 1{,}18 \\ &= 4{,}85 + 7{,}15 = \mathbf{12{,}00} \text{ mm} \\ \frac{w_{\text{net,fin}}}{L/300} &= \frac{12{,}00}{13{,}33} = 90\ \% \quad \text{vérifié} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

90 % : la section convient, avec une marge de 10 %. Voyons si elle est confortable.

Ordre de grandeur : Douze millimètres sur quatre mètres. La marge de 10 % est réelle mais mince — et le poids propre n'est pas encore compté.
Impact sur la suite : Le poids propre des solives va consommer une partie de cette marge. Il faudra vérifier ce qu'il en reste.
Cohérence : Le passage de 175 à 200 mm a réduit la flèche de 33 %, exactement le rapport inverse des moments quadratiques.
Attention : La flèche instantanée vaut 9,09 mm, soit 68 % du critère. C'est bien la flèche finale qui gouverne, comme prévu.
Comparaison : Avec le critère renforcé de \( L/500 \), on serait à 150 % : des cloisons fragiles imposeraient de passer à la 75 × 250.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que la marge de 10 % est mince, et que le poids propre n'a pas encore été compté. C'est exactement le moment où un ingénieur expérimenté ralentit : une marge inférieure à 15 % sur un critère dimensionnant appelle une vérification des hypothèses avant de signer.

Vérification au cisaillement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est un critère réglementaire, même quand on pressent qu'il passera largement.

Méthodologie du calcul :

Contrainte de cisaillement sur la largeur efficace, comparée à la résistance de calcul au cisaillement.

Substitution : \( V_{\text{Ed}} = q_{\text{d}}L/2 = 4\,350 \) N, \( b_{\text{ef}} = 0{,}67 \times 75 = 50{,}25 \) mm et \( h = 200 \) mm.
Piège évité : Ne pas employer les charges caractéristiques. Le cisaillement est une vérification ELU, contrairement à la flèche.
Hypothèse validée : Appui sans entaille. Une solive entaillée pour rattraper un niveau relèverait du § 6.5.2 et changerait tout.
Vérification croisée : \( f_{\text{v},\text{d}} = 0{,}80 \times 4{,}0/1{,}30 = 2{,}46 \) N/mm², soit exactement le sixième de \( f_{m,\text{d}} \).
Finalité : Cocher la case du cisaillement dans le tableau des vérifications.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{d}} &= \frac{3}{2} \times \frac{4\,350}{50{,}25 \times 200} = 0{,}65 \text{ N/mm}^{2} \\ \frac{\tau_{\text{d}}}{f_{\text{v},\text{d}}} &= \frac{0{,}65}{2{,}46} = \mathbf{26\ \%} \quad \text{vérifié} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

26 % : le cisaillement est très loin de gouverner. Voyons pourquoi c'était prévisible.

Ordre de grandeur : Le quart de la capacité. C'est le cas habituel sur une solive de plancher, dont l'élancement est élevé.
Impact sur la suite : Aucun. Ce critère ne limitera jamais une solive de plancher sans entaille d'appui.
Cohérence : Le rapport portée sur hauteur vaut 20 : c'est une poutre élancée, où le moment domine largement l'effort tranchant.
Attention : Une entaille d'appui, courante pour rattraper un niveau, ferait intervenir le coefficient \( k_{\text{v}} \) du § 6.5.2 et pourrait faire échouer ce critère.
Comparaison : Sans le coefficient \( k_{\text{cr}} \), on aurait annoncé 18 %. L'écart de huit points est entièrement dû à une seule clause.

Remarque pédagogique : Un critère qui passe à 26 % mérite d'être calculé quand même, et il faut le dire explicitement aux étudiants. Une case vide dans un tableau de vérifications n'est pas une case satisfaite : c'est une case dont personne ne sait rien. Et le jour où une entaille d'appui apparaîtra sur le plan d'exécution, c'est ce critère-là qui basculera.

Fréquence propre du plancher

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le § 7.3.3 l'impose pour un plancher d'habitation, et parce que c'est la première plainte des occupants d'un plancher bois trop souple.

Méthodologie du calcul :

Rigidité rapportée au mètre de largeur, masse surfacique des charges permanentes, puis application de la formule.

Substitution : \( (EI)_{\text{L}} = (1/0{,}50) \times 11\,000 \times 50{,}0 \times 10^{6} = 1{,}10 \times 10^{6} \) N·m²/m et \( m = 1\,000/9{,}81 = 102 \) kg/m².
Piège évité : Ne pas inclure la charge d'exploitation dans la masse. Elle n'est pas présente au moment où un occupant marche.
Hypothèse validée : Plancher rectangulaire simplement appuyé, hypothèse de la formule du § 7.3.3.
Vérification croisée : La rigidité par mètre vaut deux fois celle d'une solive, puisqu'il y a deux solives par mètre à entraxe de 0,50 m.
Finalité : Vérifier le confort vibratoire et clore le tableau des critères.

\[ \begin{aligned} f_{1} &= \frac{\pi}{2 \times 4{,}00^{2}}\sqrt{\frac{1{,}10 \times 10^{6}}{102}} \\ &= 0{,}0982 \times 103{,}9 = \mathbf{10{,}2} \text{ Hz} \ge 8 \text{ Hz} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

10,2 Hz pour un seuil de 8 Hz. Voyons de quelle marge on dispose.

Ordre de grandeur : 27 % au-dessus du seuil. Le plancher est bien à l'écart des harmoniques de la marche.
Impact sur la suite : Le critère vibratoire ne remet pas en cause la section. Il devient toutefois dimensionnant au-delà de 5 m de portée sur ce type de plancher.
Cohérence : La fréquence varie en \( 1/L^{2} \) : à 5,00 m de portée, elle tomberait à 6,5 Hz et le critère serait dépassé.
Attention : La section 75 × 175, refusée en flèche, donnait pourtant 8,3 Hz — elle satisfaisait le critère vibratoire. Les deux critères ne se recouvrent pas.
Comparaison : Le § 7.3.3 impose aussi des critères de raideur ponctuelle et de vitesse d'impulsion, non traités ici mais qui peuvent être plus contraignants.

Remarque pédagogique : Faites relever que la 75 × 175, refusée en flèche, satisfaisait le critère vibratoire à 8,3 Hz. Les critères de service ne se recouvrent pas : chacun mesure un aspect différent du confort. C'est pourquoi la norme les impose tous, et pourquoi un plancher dimensionné sur un seul d'entre eux peut se révéler désagréable pour une autre raison.

Effet du poids propre des solives

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la charge permanente de l'énoncé ne le comprend pas, et qu'il faut boucler l'itération avant de signer.

Méthodologie du calcul :

Poids propre de la section retenue, ajouté à la charge permanente, puis reprise du calcul de flèche.

Substitution : \( 0{,}075 \times 0{,}200 \times 350 \times 9{,}81 = 51{,}5 \) N/m, soit 0,0515 kN/m à ajouter aux 0,50.
Piège évité : Ne pas multiplier par l'entraxe. Le poids propre est déjà linéique : il s'applique à la solive, pas au plancher.
Hypothèse validée : Masse volumique caractéristique de 350 kg/m³, valeur retenue pour une charge permanente défavorable.
Vérification croisée : Le poids propre représente 10,3 % de la charge permanente linéique. C'est trop pour être négligé sans le dire.
Finalité : Vérifier que la section retenue tient encore une fois l'itération bouclée.

\[ \begin{aligned} g_{\text{total}} &= 0{,}500 + 0{,}0515 = 0{,}5515 \text{ kN/m} \\ w_{\text{net,fin}} &= 3{,}34 \times 1{,}60 + 6{,}06 \times 1{,}18 = \mathbf{12{,}50} \text{ mm} \\ \frac{w_{\text{net,fin}}}{L/300} &= \frac{12{,}50}{13{,}33} = 94\ \% \quad \text{vérifié} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

94 % au lieu de 90 : le poids propre consomme quatre points de marge. Voyons si cela reste acceptable.

Ordre de grandeur : Le critère reste satisfait, mais la marge tombe à 6 %. C'est peu, et cela doit être signalé dans la note.
Impact sur la suite : La section 75 × 200 est confirmée. Une troisième itération serait inutile, la section n'ayant pas changé.
Cohérence : Le taux de flexion passerait de 59 à 61 % : le poids propre pèse bien moins sur la résistance que sur la flèche, puisqu'il flue entièrement.
Attention : Une marge de 6 % sur le critère dimensionnant justifie de vérifier les hypothèses : si les cloisons s'avéraient fragiles, la section devrait être revue.
Comparaison : Sur une poutre maîtresse de forte section, le poids propre peut atteindre 30 % de la charge permanente — et l'itération devient alors indispensable.

Remarque pédagogique : Faites nommer explicitement le caractère itératif de ce dimensionnement. Le poids propre dépend de la section, qui dépend de la charge, qui dépend du poids propre : c'est un cercle qu'on ne résout pas d'un coup mais par approximations successives. Deux passes suffisent presque toujours, et savoir quand s'arrêter — quand la section ne change plus — fait partie du métier.

RÉSULTAT FINAL

Section retenue = 75 × 200 mm — flexion 59 %, flèche 94 % poids propre inclus, cisaillement 26 %, 10,2 Hz

"Une case vide dans un tableau de vérifications n'est pas une case satisfaite !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — les deux hauteurs candidates et celle qui est retenue

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai gardé séparées la charge permanente et la charge d'exploitation jusqu'au bout. J'ai employé les charges caractéristiques pour la flèche, et les charges pondérées pour la résistance. J'ai employé \( E_{0,\text{mean}} \) pour la flèche, aucune instabilité n'étant en jeu. J'ai appliqué \( 1 + k_{\text{def}} \) au permanent et \( 1 + \psi_{2}k_{\text{def}} \) à l'exploitation. J'ai distingué le module de flexion en \( h^{2} \) du moment quadratique en \( h^{3} \). J'ai vérifié le cisaillement et la fréquence propre , et pas seulement flexion et flèche. J'ai bouclé l'itération en intégrant le poids propre de la solive retenue.

Avis technique — section retenue 75 × 200 mm en C24, imposée par la flèche et non par la résistance. La descente de charges donne \( g = 0{,}50 \) et \( q = 1{,}00 \) kN/m sur une largeur d'influence de 0,50 m, soit \( q_{\text{d}} = 2{,}175 \) kN/m et un moment de 4,35 kN·m. Le prédimensionnement en flexion réclame un module de 295 cm³, soit une hauteur de 153,5 mm et une section commerciale 75 × 175. Mais cette section donne une flèche nette finale de 17,91 mm pour un critère de \( L/300 = 13{,}33 \) mm, soit 134 % : elle est refusée. La flèche impose une hauteur d'au moins 193 mm, donc une section 75 × 200. Celle-ci travaille à 59 % en flexion, 26 % au cisaillement, atteint 10,2 Hz de fréquence propre et 94 % du critère de flèche une fois le poids propre des solives intégré. Tous les critères sont satisfaits.

Sur la même solive 75 × 175 : 77 % en flexion et 134 % en flèche. S'arrêter au module de flexion requis aurait produit un travail arithmétiquement juste sur un plancher inutilisable. La hauteur imposée par la flèche, L/21, coïncide d'ailleurs presque exactement avec la règle empirique L/20 des charpentiers — calibrée, sans le dire, sur ce même critère. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle ne livre pas seulement une section : elle dit quel critère l'a décidée, de combien les autres sont en retrait, et ce qui la ferait basculer.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{\text{def}} \) — Tableau 3.2 : 0,60 en classe de service 1, 0,80 en classe 2 et 2,00 en classe 3 pour le bois massif.
\( k_{h} \) du bois massif — § 3.2 : hauteur de référence 150 mm, exposant 0,2, plafond 1,3.
\( k_{\text{cr}} \) — § 6.1.7 : valeur 0,67 retenue ici ; l'atelier JRC Bruxelles 2008 évoque par ailleurs des \( f_{v,\text{k}} \) de 2,0 et 2,5 N/mm² relevant d'une autre édition.
\( k_{\text{c},90} \) — § 6.1.5 : 1,25 et 1,50 pour le bois massif selon l'appui, 1,50 et 1,75 pour le lamellé-collé, et l'extension fixe de 30 mm.
\( \psi_{2} \) — EN 1990, Tableau A1.1 : 0,3 pour les catégories A et B.
NF EN 338 — classes de résistance : les valeurs principales des classes C24 et C30 sont celles du tableau 1 — \( f_{m,\text{k}} \), \( f_{\text{c},0,\text{k}} \), \( f_{v,\text{k}} \), \( E_{0,\text{mean}} \) et \( \rho_{\text{k}} \). La classe D40 relève du tableau des feuillus, et le \( f_{t,0,\text{k}} \) du C24 : la valeur de 14,5 retenue ici suit l'édition 2016 de la norme, quand l'édition 2003 donne 14,0.

Section structure en bois

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Le premier mois à 1 €

Dimensionnement d'une solive de plancher C24 : c'est la flèche qui décide

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Descente de charges et moment de calcul

Question 2 : Prédimensionnement en flexion

Question 3 : Vérification de la flèche

Question 4 (Finale) : Section retenue et vérifications complémentaires

Dimensionnement d'une solive de plancher C24 : c'est la flèche qui décide

Exécution de la Note de Calculs

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BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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