Résonance d'une Poutre en Bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une structure peut être parfaitement vérifiée en résistance et en flèche, et rester inutilisable. Le bois est léger et souple : deux qualités qui deviennent des faiblesses dès qu'on quitte la statique pour la dynamique. Une passerelle piétonne dont la fréquence propre tombe dans la plage de la marche entre en résonance — l'énergie apportée par chaque pas s'accumule au lieu de se dissiper, et l'ouvrage devient inconfortable, voire impraticable, sans qu'aucune contrainte n'ait dépassé sa limite. Cet exercice porte sur une passerelle en C24, deux poutres de 120 × 400 mm sur 8,00 m de portée. Il s'agit de calculer sa fréquence propre fondamentale et de la confronter aux fréquences produites par les piétons.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Une passerelle piétonne portée par deux poutres en bois massif C24, section 120 × 400 mm, portée 8,00 m sur deux appuis simples. Il s'agit de dire si le confort vibratoire est assuré, et non si la structure résiste : c'est une vérification d'une nature entièrement différente.
Environnement : Franchissement piéton en site propre. La masse vibrante comprend le poids propre des poutres et tout ce qu'elles portent en permanence — platelage, garde-corps, revêtement — soit une masse rapportée de 30 kg par mètre et par poutre, donnée dans l'énoncé.
L'objectif final : Produire une fréquence propre et la confronter au seuil réglementaire. Le risque n'est pas l'effondrement mais l'inaptitude au service : une passerelle qui oscille sous les pas est un ouvrage neuf que le public refuse d'emprunter.
L'astuce de l'ingénieur : Tout se joue sur le rapport rigidité sur masse. Avant de calculer, demandez-vous lequel des deux termes vous connaissez le moins bien : ce sera presque toujours la masse, parce qu'on oublie systématiquement ce que la structure porte en plus d'elle-même.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et la maîtrise d'ouvrage vous demande de justifier le confort vibratoire de la passerelle avant validation du projet. Votre travail consiste à établir, dans l'ordre, les deux grandeurs qui gouvernent une fréquence propre : la masse vibrante et la rigidité de flexion. Vous en déduirez la fréquence fondamentale, que vous confronterez au seuil de l'EN 1990 annexe A2 ainsi qu'aux fréquences réellement produites par les piétons.

Le grand défi : Ne pas se contenter du poids propre de la poutre. C'est le point où bascule le résultat de l'exercice : la masse rapportée du tablier représente ici 60 % de la masse vibrante, et l'ignorer surestime la fréquence de 73 %.
Votre rôle : Produire une note traçable : chaque grandeur rattachée à sa source, une vérification croisée de la fréquence par un second modèle, et un avis disant si une étude dynamique complémentaire est nécessaire.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — les deux grandeurs dynamiques : l'aire de section, la masse linéique vibrante incluant la masse rapportée, le moment quadratique, la rigidité de flexion \( E\,I \) et la raideur équivalente \( k \) de la poutre.
Livrable 2 — la vérification vibratoire : la fréquence propre fondamentale \( f_{1} \) par le modèle continu, sa vérification croisée par le modèle masse-ressort, la comparaison au seuil de 5 Hz et aux harmoniques de la marche, et un avis technique.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul s'appuie sur la NF EN 1995-1-1 § 7.3, qui donne la formule de la fréquence fondamentale et le critère de confort des planchers, et sur la NF EN 1990 annexe A2, qui fixe le seuil au-delà duquel une étude dynamique devient inutile pour une passerelle. Les caractéristiques du bois massif proviennent de la NF EN 338. Un point mérite une attention particulière : pour une vérification vibratoire, c'est la masse volumique moyenne \( \rho_{\text{mean}} \) qu'il faut employer, et non la valeur caractéristique \( \rho_{\text{k}} \) — sous-estimer la masse surestime la fréquence, dans le sens non conservatif.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Aire d'une section rectangulaire \( A = b\,h \)
Masse linéique propre de la poutre \( m'_{\text{p}} = \rho_{\text{mean}}\,A \)
Masse linéique vibrante totale \( m' = m'_{\text{p}} + m'_{\text{rap}} \)
Moment quadratique \( I = \dfrac{b\,h^{3}}{12} \)
Raideur équivalente à mi-portée \( k = \dfrac{48\,E\,I}{L^{3}} \)
Fréquence fondamentale, modèle continu — EN 1995-1-1 § 7.3.3 \( f_{1} = \dfrac{\pi}{2\,L^{2}}\sqrt{\dfrac{E\,I}{m'}} \)
Fréquence d'un oscillateur masse-ressort \( f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m_{\text{eq}}}} \)
Masse équivalente du premier mode \( m_{\text{eq}} \approx 0{,}5\,m'\,L \)
Critère de confort d'une passerelle — EN 1990 annexe A2 \( f_{1} \ge 5 \) Hz (vibrations verticales)
Harmoniques de la marche \( f_{n} = n\,f_{\text{pas}} \), avec \( n = 1, 2, 3, 4 \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( b \times h \)	Section de chaque poutre porteuse, bois massif	120 × 400	mm
\( L \)	Portée entre appuis, poutre isostatique	8,00	m
\( E_{0,\text{mean}} \)	Module moyen axial du C24, valeur à employer en dynamique NF EN 338 - Tableau 1	11 000	N/mm²
\( \rho_{\text{mean}} \)	Masse volumique moyenne du C24 — et non \( \rho_{\text{k}} = 350 \) kg/m³ NF EN 338 - Tableau 1	420	kg/m³
\( m'_{\text{rap}} \)	Masse rapportée permanente par poutre : platelage, garde-corps, revêtement	30,0	kg/m
\( f_{\text{lim}} \)	Seuil au-delà duquel aucune étude dynamique n'est requise, vibrations verticales EN 1990 - Annexe A2	5,00	Hz

Les deux grandeurs qui gouvernent une fréquence

Inertie : \( m' \text{ — plus la structure est lourde, plus elle vibre lentement} \)
Rappel elastique : \( E\,I \text{ — plus la structure est rigide, plus elle vibre vite} \)
Portee : \( f_{1} \propto 1/L^{2} \text{ — le parametre le plus sensible du calcul} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( f_{\text{marche}} \)	Plage de cadence de la marche humaine, fréquence des pas	1,6 à 2,4	Hz
\( f_{\text{course}} \)	Plage de cadence de la course	2,0 à 3,5	Hz
Harmoniques	Multiples entiers de la cadence, à considérer jusqu'à l'ordre 4	n = 1 à 4	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Resistance et fleche a l ELU et a l ELS : \( \text{EN 1995-1-1 } \S\,6 \text{ et } \S\,7.2 \text{ — supposees verifiees} \)
Vibrations laterales et torsion : \( \text{EN 1990 annexe A2 — seuil de 2,5 Hz, non demande ici} \)
Calcul d acceleration et amortissement : \( \text{etude dynamique complete — requise seulement si } f_{1} < 5 \text{ Hz} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Extrait de la NF EN 338 — deux masses volumiques pour un même bois

Classe / Grandeur	Valeur
C24 — masse volumique caractéristique \( \rho_{\text{k}} \)	350 kg/m³
C24 — masse volumique moyenne \( \rho_{\text{mean}} \)	420 kg/m³
C24 — module axial moyen \( E_{0,\text{mean}} \)	11 000 N/mm²
C24 — module axial au fractile 5 % \( E_{0,05} \)	7 400 N/mm²

Le choix entre les deux masses volumiques n'est pas indifférent : \( \rho_{\text{k}} \) est un fractile à 5 %, employé lorsqu'un poids faible est défavorable — soulèvement au vent, stabilité au renversement. Pour une vérification vibratoire, la masse réelle est celle qui participe à l'inertie : c'est \( \rho_{\text{mean}} \) qu'il faut retenir. Prendre \( \rho_{\text{k}} \) allège fictivement la structure et surestime sa fréquence.

Seuils de confort vibratoire selon l'ouvrage

Ouvrage et direction	Seuil
Passerelle, vibrations verticales — EN 1990 annexe A2	\( f_{1} \ge \mathbf{5} \) Hz
Passerelle, vibrations latérales et de torsion — EN 1990 annexe A2	\( f_{1} \ge 2{,}5 \) Hz
Plancher résidentiel — EN 1995-1-1 § 7.3.3	\( f_{1} \ge 8 \) Hz

Ces seuils ne sont pas des critères de sécurité mais des seuils de dispense : au-dessus, on considère que la résonance est impossible et qu'aucune étude complémentaire n'est nécessaire. En dessous, il faut calculer les accélérations et les comparer à des limites de confort, ce qui suppose de connaître l'amortissement de l'ouvrage.

Les harmoniques de la marche — la clause que l'on oublie

Ordre 1 — la cadence elle-même : 1,6 à 2,4 Hz, énergie maximale
Ordre 2 — 3,2 à 4,8 Hz, énergie encore notable
Ordre 3 — 4,8 à 7,2 Hz, énergie faible
Ordre 4 — 6,4 à 9,6 Hz, énergie très faible mais non nulle

La marche n'est pas une sinusoïde : c'est un signal périodique dont la décomposition en série de Fourier fait apparaître la cadence et ses multiples entiers. Une passerelle peut donc entrer en résonance avec une harmonique, même si sa fréquence propre est bien au-dessus de la cadence. L'énergie décroît rapidement avec l'ordre, mais l'ordre 2 reste régulièrement dimensionnant.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1 et l'EN 1990. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées aux normes et aux paramètres nationaux qui les fixent :

\( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm² et \( \rho_{\text{mean}} = 420 \) kg/m³ pour le C24 — NF EN 338, tableau 1
Formule \( f_{1} = \dfrac{\pi}{2L^{2}}\sqrt{EI/m'} \) — EN 1995-1-1 § 7.3.3, expression (7.5)
Seuil de 5 Hz en vertical et 2,5 Hz en latéral — EN 1990 annexe A2, § A2.4.3.2
Seuil de 8 Hz pour les planchers résidentiels — EN 1995-1-1 § 7.3.3(2) et annexe nationale
Plages de cadence de la marche et de la course — guides de conception de passerelles, à confirmer selon le référentiel du projet

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Masse linéique vibrante

Inertie 20 min | Piège

But de l'étape : Établir la masse qui vibre. C'est l'un des deux termes de la fréquence propre, et c'est celui que l'on estime le plus mal — parce qu'on oublie ce que la structure porte, et parce qu'on se trompe de masse volumique.

Énoncé Q1 : En justifiant le choix de la masse volumique :

calculer l'aire \( A \) de la section, en unités du Système International ;
en déduire la masse linéique propre \( m'_{\text{p}} \) de la poutre ;
établir la masse linéique vibrante totale \( m' \), et donner la part de la masse rapportée.

Deux masses volumiques figurent au tableau de la NF EN 338 pour le C24 : celle que vous retenez change le résultat .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Demandez-vous ce que la masse fait dans ce calcul : elle représente l'inertie, donc la quantité de matière réellement mise en mouvement. Ce n'est pas une résistance dont on cherche une borne basse, c'est une quantité physique dont on veut la valeur la plus probable. Et souvenez-vous que la poutre ne vibre pas seule : elle emporte tout ce qu'elle porte.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( A = 0{,}120 \times 0{,}400 = 0{,}0480 \) m², puis \( m'_{\text{p}} = 420 \times 0{,}0480 \) avec la masse volumique moyenne. Ajoutez enfin les 30 kg/m rapportés : vous devez trouver une masse vibrante d'environ 50 kg/m.

Question 2 : Rigidité de flexion et raideur équivalente

Rappel élastique 25 min | Accessible

But de l'étape : Établir le second terme de la fréquence propre : la force de rappel qui ramène la poutre vers sa position d'équilibre. Deux grandeurs sont à distinguer — la rigidité de flexion \( E\,I \), propriété de la section, et la raideur \( k \), propriété de la poutre entière.

Énoncé Q2 : En travaillant intégralement en unités SI :

calculer le moment quadratique \( I \) de la section, en m⁴ ;
en déduire la rigidité de flexion \( E\,I \), en N·m² ;
calculer la raideur équivalente \( k \) à mi-portée, et expliquer ce qu'elle représente physiquement.

La conversion des MPa en Pa et des mm en m est ici obligatoire : un oubli fausse le résultat d'un facteur qui se compte en puissances de dix.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La raideur \( k \) est la force qu'il faudrait appliquer au milieu de la poutre pour la faire fléchir d'un mètre. Elle se déduit directement de la formule de la flèche sous charge ponctuelle centrale, en l'inversant. Vérifiez bien l'exposant sur la portée : ce n'est pas le même que pour une charge répartie.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( I = 0{,}120 \times 0{,}400^{3}/12 = 6{,}400 \times 10^{-4} \) m⁴, puis \( E\,I = 11 \times 10^{9} \times 6{,}400 \times 10^{-4} \). La raideur vaut \( k = 48\,E\,I/L^{3} \) avec \( L = 8{,}00 \) m : vous devez trouver 660 000 N/m.

Question 3 : Fréquence propre fondamentale

Dynamique 25 min | Accessible

But de l'étape : Combiner les deux grandeurs précédentes en une fréquence. Deux modèles y conduisent — le modèle continu de l'Eurocode et le modèle masse-ressort — et les confronter est le meilleur contrôle possible du résultat.

Énoncé Q3 : À partir des résultats des questions 1 et 2 :

calculer le rapport \( E\,I/m' \) et vérifier son homogénéité dimensionnelle ;
en déduire la fréquence propre fondamentale \( f_{1} \) par la formule du § 7.3.3 ;
recouper ce résultat par le modèle masse-ressort, et commenter l'écart entre les deux.

Si les deux modèles s'écartent de plus de 5 %, c'est qu'une erreur s'est glissée quelque part .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le modèle continu traite la poutre comme un système à une infinité de degrés de liberté et donne directement le premier mode. Le modèle masse-ressort la ramène à un seul degré de liberté, avec une masse équivalente valant environ la moitié de la masse totale. Les deux doivent converger : c'est le signe que la simplification est légitime.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( E\,I/m' = 7{,}040 \times 10^{6}/50{,}16 \), dont la racine vaut environ 375 m²/s. Puis \( f_{1} = \pi/(2 \times 8{,}00^{2}) \times 375 \). Vous devez trouver une fréquence proche de 9,2 Hz, que le modèle masse-ressort doit confirmer à moins de 1 % près.

Question 4 (Finale) : Risque de résonance et avis technique

Synthèse et décision 30 min | BOSS

But de l'étape : Transformer une fréquence en décision. Il ne suffit pas de comparer au seuil réglementaire : il faut aussi vérifier les harmoniques de la marche, et mesurer ce qu'aurait donné un calcul mené sans les corrections des questions précédentes.

Mention spéciale — un seuil de dispense n'est pas un critère de sécurité : Les 5 Hz de l'EN 1990 annexe A2 ne signifient pas qu'en dessous l'ouvrage est dangereux, ni qu'au-dessus il est confortable. Ils délimitent le domaine où l'on peut se dispenser d'une étude dynamique complète — calcul des accélérations, prise en compte de l'amortissement, éventuellement essais de réception. En dessous, on ne conclut pas : on calcule davantage.

Comparer \( f_{1} \) au seuil de 5 Hz et donner la marge. Établir les harmoniques de la marche jusqu'à l'ordre 4 et dire si l'une d'elles approche la fréquence propre. Enfin, quantifier l'écart avec le calcul simplifié — poutre seule, masse volumique caractéristique — et rédiger un avis technique : une étude dynamique est-elle nécessaire ? Que recommandez-vous ?

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Une passerelle ne subit pas seulement la cadence des pas : elle subit aussi ses multiples entiers. Multipliez les bornes de la plage de marche par 2, 3 puis 4, et regardez où tombe votre fréquence propre. Puis refaites le calcul de la question 3 avec la masse de la poutre seule et \( \rho_{\text{k}} \) : l'écart mesure exactement ce que valent les deux corrections apportées.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La marge sur le seuil vaut \( f_{1}/5{,}00 \). L'harmonique d'ordre 4 couvre 6,4 à 9,6 Hz : votre fréquence propre y tombe, mais son énergie est très faible. Le calcul simplifié donnerait 15,89 Hz au lieu de 9,19 : retenez cet écart, c'est le résultat le plus instructif de l'exercice.

NOTE DE CALCULS

Fréquence propre et confort vibratoire d'une passerelle piétonne en bois

Question 1 : Masse linéique vibrante

Dans la tête de l'ingénieur

"Une fréquence propre est le rapport de deux choses : ce qui rappelle et ce qui résiste au mouvement. La rigidité, je la connais bien — elle se calcule et ne réserve aucune surprise. La masse, en revanche, est le terme que l'on estime systématiquement mal, et toujours dans le même sens : par défaut. Deux réflexes de calcul statique se retournent ici contre moi. D'abord, l'habitude de prendre les valeurs caractéristiques : en résistance, une valeur basse est prudente ; en dynamique, une masse basse donne une fréquence haute, donc rassurante à tort. Ensuite, l'habitude de raisonner sur l'élément plutôt que sur l'ouvrage : la poutre ne vibre pas seule, elle emporte le platelage, les garde-corps et le revêtement. Ici, cette masse rapportée pèse plus lourd que la poutre elle-même."

Observation : Le tableau de la NF EN 338 donne deux masses volumiques pour le C24 : \( \rho_{\text{k}} = 350 \) et \( \rho_{\text{mean}} = 420 \) kg/m³. L'énoncé fournit la seconde, et ce choix n'est pas anodin — il vaut 20 % de masse.
Analyse du risque : Prendre \( \rho_{\text{k}} \) et négliger la masse rapportée conduit à une masse vibrante de 16,8 kg/m au lieu de 50,16, soit trois fois moins. L'erreur est non conservative : elle surestime la fréquence de 73 % et peut faire conclure à tort qu'aucune étude n'est nécessaire.
Choix stratégique : Je retiens la masse volumique moyenne, parce que la grandeur cherchée est une quantité physique réelle et non une borne de sécurité, et j'y ajoute la masse permanente rapportée donnée par l'énoncé.
Alternative : J'aurais pu ajouter une fraction de la charge d'exploitation — les piétons présents participent à l'inertie. Je m'en abstiens : pour une passerelle, la vérification se mène sur la structure déchargée, cas le plus défavorable puisqu'il donne la fréquence la plus haute mais aussi la moins amortie.
Objectif visé : Sortir avec une masse défendable, dont chaque terme est rattaché à sa source. Une fréquence propre ne vaut jamais mieux que la masse sur laquelle elle repose.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( A = 0{,}0480 \) m² · \( m'_{\text{p}} = 20{,}16 \) kg/m · \( m' = \mathbf{50{,}16} \) kg/m

Rappel Théorique : pourquoi la masse change de statut en dynamique

En statique, la masse est une charge : elle sollicite la structure et on cherche à l'encadrer par des valeurs prudentes. En dynamique, elle devient une propriété du système : elle décide de la façon dont il vibre. Ce changement de statut renverse les réflexes.

Principe 1 — la masse est l'inertie du système : Elle mesure la résistance au changement de vitesse. Plus un système est lourd, plus il met de temps à inverser son mouvement, et plus sa fréquence propre est basse. C'est la loi fondamentale de la dynamique appliquée à une structure.
Principe 2 — sous-estimer la masse est dangereux : La fréquence variant comme \( 1/\sqrt{m'} \), une masse divisée par trois donne une fréquence multipliée par 1,73. Un calcul « prudent » au sens statique devient un calcul optimiste au sens dynamique.
Principe 3 — la masse vibrante n'est pas la masse de l'élément : Tout ce qui est solidaire de la structure participe : platelage, revêtement, garde-corps, équipements. Sur une passerelle légère, ces éléments rapportés dépassent couramment le poids des poutres — c'est le cas ici, avec 60 % de la masse totale.
Principe 4 — \( \rho_{\text{k}} \) et \( \rho_{\text{mean}} \) ne servent pas au même usage : \( \rho_{\text{k}} \) est un fractile à 5 %, employé lorsqu'un poids faible est défavorable : soulèvement au vent, stabilité au renversement, ancrages. \( \rho_{\text{mean}} \) décrit la masse réellement présente, et c'est elle qu'il faut en dynamique.
Principe 5 — la charge d'exploitation est un cas à part : Les piétons ajoutent de la masse et de l'amortissement. Pour les planchers, l'Eurocode 5 demande de considérer la structure non chargée ; pour les passerelles, les guides distinguent plusieurs scénarios de densité de foule, chacun avec sa propre fréquence.

Équations Fondamentales

Trois relations d'une arithmétique élémentaire. Leur difficulté n'est pas dans le calcul mais dans le choix des grandeurs que l'on y injecte — et c'est là que se joue toute la question.

Aire d'une section rectangulaire :

Elle donne la quantité de matière par unité de longueur de poutre, une fois multipliée par la masse volumique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la masse d'un solide vaut le produit de sa masse volumique par son volume, et que le volume d'un tronçon de poutre de longueur unitaire se réduit à l'aire de sa section. C'est la voie la plus directe vers une masse linéique.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine et constante sur toute la portée. Une poutre à inertie variable exigerait une intégration le long de l'axe.
Avantage : Calcul immédiat, et surtout indépendant du matériau : la même aire vaut pour un calcul de masse, de compression ou de cisaillement.
Paramètre clé : L'unité retenue. En dynamique, tout le calcul se mène en unités SI : il faut donc convertir les millimètres en mètres avant de multiplier, pas après.
Vérification : Le résultat s'exprime en m² et vaut quelques centièmes pour une poutre de charpente. Un résultat en dizaines de milliers signale des millimètres oubliés.
Limite : Elle suppose la section pleine. Pour une poutre en I ou en caisson, il faudrait sommer les aires des composants, et la masse ne serait plus proportionnelle à l'encombrement.

\[ \begin{aligned} A = b\,h \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici la surface de bois que l'on rencontre en coupant la poutre en travers. Multipliée par un mètre de longueur, elle donne le volume d'un tronçon ; multipliée ensuite par la masse volumique, elle donne ce que pèse ce mètre de poutre — la grandeur qui va gouverner l'inertie du système.

Décomposition des termes :

\( A \) : aire de la section transversale, unité : m²
\( b \) : largeur de la section, 0,120 m ici, unité : m
\( h \) : hauteur de la section, 0,400 m ici, unité : m
Conversion : 1 m² vaut 10⁶ mm² — l'erreur d'unité la plus fréquente du calcul dynamique, unité : sans objet
Hypothèse : section constante sur toute la portée, unité : sans objet

Masse linéique propre de la poutre :

Elle donne ce que pèse un mètre de poutre, indépendamment de ce qu'elle porte.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la masse linéique est la grandeur naturelle du modèle continu : la formule de la fréquence fondamentale y fait appel directement, sans passer par une masse totale ni par une masse équivalente. Elle évite ainsi toute hypothèse sur la répartition du mouvement le long de la poutre.

Contexte de validité : Matériau homogène à l'échelle de la pièce et section constante. Les deux hypothèses sont admises pour du bois massif de charpente.
Avantage : Elle s'additionne directement avec les autres masses linéiques rapportées, sans conversion ni pondération. C'est la forme la plus commode pour cumuler des contributions d'origines différentes.
Paramètre clé : Le choix de la masse volumique. C'est le seul terme de la formule qui demande un raisonnement plutôt qu'une lecture, et il vaut 20 % d'écart.
Vérification : Le résultat s'exprime en kg/m et se compte en dizaines pour une poutre de charpente courante. Un résultat en tonnes par mètre signale une erreur d'unité de volume.
Limite : Elle ne couvre que le bois. Les assemblages métalliques, les platines et les boulons ajoutent une masse ponctuelle que ce calcul ignore.

\[ \begin{aligned} m'_{\text{p}} = \rho_{\text{mean}}\,A \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici la masse que le premier mètre de poutre oppose à toute tentative de le mettre en mouvement. C'est l'inertie répartie du système, celle qui décide — avec la rigidité — du rythme auquel l'ouvrage oscille naturellement.

Décomposition des termes :

\( m'_{\text{p}} \) : masse linéique propre de la poutre, unité : kg/m
\( \rho_{\text{mean}} \) : masse volumique moyenne du C24, 420 kg/m³, unité : kg/m³
\( A \) : aire de la section, issue du calcul précédent, unité : m²
Indice « p » : propre, désigne la seule poutre à l'exclusion de ce qu'elle porte, unité : sans objet
À ne pas employer : \( \rho_{\text{k}} = 350 \) kg/m³, réservé aux vérifications où un poids faible est défavorable, unité : kg/m³

Masse linéique vibrante totale :

Elle ajoute à la poutre tout ce qui vibre avec elle : platelage, garde-corps, revêtement.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la structure ne se déplace pas seule : tout élément solidaire d'elle subit la même accélération et oppose donc sa propre inertie. Additionner les masses linéiques revient à dire que ces éléments participent au mouvement sans participer à la rigidité — hypothèse prudente, et généralement juste pour un platelage rapporté.

Contexte de validité : Éléments répartis uniformément et solidaires de la poutre. Une masse ponctuelle importante — un lampadaire, un local technique — demanderait un traitement spécifique.
Avantage : Elle reste dans le modèle continu : une simple addition suffit, sans coefficient de participation ni pondération selon la position.
Paramètre clé : La masse rapportée, qui pèse ici 60 % du total. C'est le terme dont l'oubli fausse le plus lourdement le résultat.
Vérification : La masse totale doit toujours être supérieure à la masse propre. Si les deux sont égales, c'est que le tablier a été oublié.
Limite : Elle suppose que le platelage n'apporte aucune rigidité. Un platelage collé ou une dalle collaborante augmenteraient \( E\,I \) et relèveraient la fréquence : l'hypothèse retenue est donc du côté sécuritaire.

\[ \begin{aligned} m' = m'_{\text{p}} + m'_{\text{rap}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : quand la passerelle oscille, elle emporte le platelage et les garde-corps avec elle. Ces éléments ne raidissent rien, mais ils pèsent — et en dynamique, peser sans raidir est exactement ce qui fait baisser une fréquence propre.

Décomposition des termes :

\( m' \) : masse linéique vibrante totale par poutre, unité : kg/m
\( m'_{\text{p}} \) : masse propre de la poutre, issue du calcul précédent, unité : kg/m
\( m'_{\text{rap}} \) : masse rapportée permanente, 30,0 kg/m par l'énoncé, unité : kg/m
Indice « rap » : rapportée, désigne les éléments non structuraux solidaires, unité : sans objet
Exclusion : la charge d'exploitation, absente du modèle pour une passerelle déchargée, unité : sans objet

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de calculer la masse de la seule poutre avec \( \rho_{\text{k}} = 350 \) kg/m³, par pur réflexe de calcul statique où l'on prend toujours les valeurs caractéristiques..."

L'approche d'ingénieur : Le réflexe est excellent en résistance — une valeur basse y est prudente — et il s'inverse complètement en dynamique. C'est ce renversement qui rend l'erreur si difficile à débusquer.

L'erreur : Retenir 16,8 kg/m au lieu de 50,16 donne une masse trois fois plus faible. La fréquence variant en \( 1/\sqrt{m'} \), elle serait surestimée de 73 % : 15,89 Hz au lieu de 9,19.
La bonne méthode : Se demander, pour chaque valeur caractéristique, dans quel sens elle est prudente. En dynamique, une masse basse et une rigidité haute sont l'une et l'autre optimistes.
L'astuce de pro : Dressez la liste de tout ce qui est vissé, cloué ou posé sur la structure avant de calculer une fréquence. Sur un ouvrage léger, le non-structurel dépasse souvent le structurel.
Le moyen mnémotechnique : « En dynamique, le léger est dangereux » — cinq mots qui rappellent que l'allègement fictif remonte la fréquence.
L'impact direct : Une passerelle annoncée à 15,9 Hz est réputée hors de tout risque et ne fait l'objet d'aucune étude complémentaire. À 9,19 Hz, elle reste conforme mais la marge se réduit — et sur un ouvrage un peu plus long, le verdict basculerait.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( b \) et \( h \) : convertis de mm en m — division par 1 000 avant toute multiplication
\( A \) : obtenue en m² — et non en mm², sous peine d'un facteur 10⁶
\( \rho_{\text{mean}} \) : exprimée en kg/m³ — cohérente avec une aire en m²
\( m'_{\text{p}} \) et \( m'_{\text{rap}} \) : toutes deux en kg/m — l'addition est donc immédiate
Aucun newton n'apparaît : on manipule des masses, pas des poids

Toute cette question se mène en unités du Système International. C'est une rupture avec les questions de résistance, où l'on travaille en newtons et millimètres : en dynamique, le mètre, le kilogramme et la seconde sont obligatoires pour que la fréquence sorte en hertz. Le passage par le poids en newtons n'a ici aucun intérêt — g n'intervient pas dans une fréquence propre.

1. Résolution Numérique Aire de la section transversale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le passage obligé entre les dimensions de la poutre et sa masse. C'est aussi la première occasion de basculer dans les unités SI, qui gouverneront tout l'exercice.

Méthodologie du calcul :

Conversion des dimensions en mètres d'abord, produit ensuite. L'ordre compte : convertir après avoir multiplié oblige à diviser par 10⁶, opération que l'on rate une fois sur trois.

Substitution : \( b = 120 \) mm soit 0,120 m, et \( h = 400 \) mm soit 0,400 m.
Piège évité : Ne pas garder les millimètres. Une aire de 48 000 mm² multipliée par 420 kg/m³ donnerait 20 millions — résultat absurde, mais dont l'absurdité n'apparaît qu'à qui écrit les unités.
Hypothèse validée : Section rectangulaire pleine et constante sur toute la portée, conformément au plan de repérage.
Vérification croisée : 48 000 mm² divisés par 10⁶ donnent bien 0,048 m². Les deux chemins concordent.
Finalité : Cette aire sera multipliée par la masse volumique pour obtenir la masse linéique propre.

\[ \begin{aligned} A &= b\,h = 0{,}120 \times 0{,}400 \\ &= \mathbf{0{,}0480} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,0480 m², soit 480 cm². Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Quelques centièmes de m² pour une poutre de charpente : la valeur est parfaitement usuelle, comparable à une feuille A4 dans sa demi-largeur.
Impact sur la suite : Elle intervient linéairement dans la masse propre. Elle n'intervient pas dans la rigidité, qui dépend du moment quadratique et non de l'aire.
Cohérence : Une section deux fois plus haute doublerait l'aire — donc la masse — mais multiplierait la rigidité par huit. C'est pourquoi grossir en hauteur relève toujours la fréquence.
Attention : Cette aire ne sert qu'à la masse dans cet exercice. La confondre avec le moment quadratique dans la formule de la fréquence donnerait un résultat sans aucun sens dimensionnel.
Comparaison : La section 120 × 400 est haute et étroite, rapport 3,3 : une géométrie qui maximise la rigidité pour une masse donnée. C'est exactement ce que l'on recherche en dynamique.

Remarque pédagogique : Imposez la conversion en mètres dès la première ligne et interdisez les millimètres pour tout l'exercice. C'est une contrainte artificielle, mais elle supprime d'un coup la principale source d'erreur du calcul dynamique — et elle fait comprendre qu'un système d'unités n'est pas une convention arbitraire : il garantit que les formules restent vraies sans facteur correctif.

Masse linéique propre de la poutre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la première contribution à l'inertie du système. C'est aussi la seule que l'on calcule ; les autres sont données.

Méthodologie du calcul :

Produit direct de l'aire par la masse volumique moyenne, choix qui doit apparaître explicitement dans la note.

Substitution : \( A = 0{,}0480 \) m² du calcul précédent et \( \rho_{\text{mean}} = 420 \) kg/m³ pour le C24.
Piège évité : Ne pas prendre \( \rho_{\text{k}} = 350 \) kg/m³. Le fractile 5 % est réservé aux cas où un poids faible est défavorable ; ici, un poids faible est favorable au résultat, donc à proscrire.
Hypothèse validée : Bois homogène à l'échelle de la poutre et à taux d'humidité d'équilibre. La masse volumique tabulée correspond à 12 % d'humidité.
Vérification croisée : \( 420 \times 0{,}05 = 21 \), très proche du résultat : la masse linéique doit être un peu inférieure à 21 kg/m. Le calcul mental confirme.
Finalité : Cette masse sera additionnée à la masse rapportée pour donner l'inertie totale du système.

\[ \begin{aligned} m'_{\text{p}} &= \rho_{\text{mean}}\,A = 420 \times 0{,}0480 \\ &= \mathbf{20{,}16} \text{ kg/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

20,16 kg/m, soit 161 kg pour les 8,00 m de portée. Voyons ce que ce chiffre représente.

Ordre de grandeur : Une vingtaine de kilos par mètre : deux personnes peuvent porter cette poutre. C'est toute la légèreté du bois, et c'est aussi ce qui le rend sensible aux vibrations.
Impact sur la suite : Elle ne représentera que 40 % de la masse vibrante totale. La poutre est plus légère que ce qu'elle porte.
Cohérence : Avec \( \rho_{\text{k}} = 350 \) kg/m³, on trouverait 16,8 kg/m, soit 17 % de moins. L'écart est de l'ordre de celui qui sépare les deux masses volumiques.
Attention : Une poutre en chêne, à 700 kg/m³, pèserait 33,6 kg/m pour la même section. L'essence change davantage la masse que la rigidité, qui varie peu d'un résineux à l'autre.
Comparaison : Un profilé acier de rigidité équivalente pèserait environ trois fois plus. Sa fréquence propre serait donc plus basse, ce qui explique que l'acier soit moins sensible aux vibrations des piétons à géométrie donnée.

Remarque pédagogique : Faites lire les deux lignes du tableau de la NF EN 338 avant de choisir. La question « laquelle prendre ? » n'a pas de réponse dans l'absolu : elle dépend du sens dans lequel la grandeur est défavorable. C'est une compétence transposable à tout l'Eurocode, bien au-delà de la dynamique.

Masse linéique vibrante totale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la masse réellement mise en mouvement, et donc la seule qui entre dans le calcul de la fréquence propre.

Méthodologie du calcul :

Simple addition, mais qui doit apparaître explicitement dans la note. Un contrôleur qui ne voit pas cette ligne suppose immédiatement que le tablier a été oublié.

Substitution : \( m'_{\text{p}} = 20{,}16 \) kg/m du calcul précédent et \( m'_{\text{rap}} = 30{,}0 \) kg/m donnés par l'énoncé.
Piège évité : Ne pas ajouter la charge d'exploitation. Pour une passerelle, la vérification se mène sur l'ouvrage déchargé : les piétons apportent de la masse mais aussi de l'amortissement, et leur prise en compte relève d'une étude complète.
Hypothèse validée : Le platelage est solidaire de la poutre mais ne lui apporte aucune rigidité. Hypothèse prudente : toute collaboration relèverait la fréquence.
Vérification croisée : La masse rapportée représente \( 30{,}0/50{,}16 = 60 \) % du total. Ce ratio, supérieur à la moitié, est courant sur un ouvrage léger.
Finalité : Cette masse constituera le dénominateur du rapport rigidité sur masse, à la question 3.

\[ \begin{aligned} m' &= m'_{\text{p}} + m'_{\text{rap}} = 20{,}16 + 30{,}00 \\ &= \mathbf{50{,}16} \text{ kg/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

50,16 kg/m, soit 401 kg de masse vibrante par poutre sur les 8,00 m. Voyons ce que ce chiffre représente.

Ordre de grandeur : Environ 2,5 fois la masse propre de la poutre. Sur un ouvrage léger, ce rapport est la règle plutôt que l'exception.
Impact sur la suite : La fréquence variant en \( 1/\sqrt{m'} \), cette masse va diviser par 1,58 la fréquence qu'aurait la poutre nue avec la même masse volumique.
Cohérence : La masse rapportée pèse 60 % du total. C'est le terme dominant, et pourtant celui que l'on estime le plus vite — souvent à partir d'un simple ratio surfacique.
Attention : Cette valeur suppose la masse uniformément répartie. Un équipement lourd concentré à mi-portée aurait un effet bien supérieur à sa part de masse, car il se situe au ventre du mode.
Comparaison : Le calcul simplifié de l'énoncé — poutre seule avec \( \rho_{\text{k}} \) — donnait 16,8 kg/m, soit trois fois moins. Tout l'écart de fréquence vient de là.

Remarque pédagogique : Faites établir la masse vibrante avant toute formule de fréquence, comme un poste à part entière du dossier. En bureau d'études, c'est ainsi qu'on procède : un tableau de descente de masses, ligne par ligne, que l'on peut relire et contester. Une masse glissée au milieu d'un calcul est une masse que personne ne vérifie.

RÉSULTAT FINAL

\( m' \) = 50,16 kg/m — dont 60 % de masse rapportée

"L'inertie est établie : reste à mesurer la force de rappel !"

Question 2 : Rigidité de flexion et raideur équivalente

Dans la tête de l'ingénieur

"Le second terme de la fréquence, et celui qui ne réserve aucune surprise conceptuelle — mais toutes les surprises numériques. Ici, je manipule un module en gigapascals, un moment quadratique en dix-millièmes de m⁴ et une portée au cube : trois occasions de perdre trois puissances de dix chacune. Un seul garde-fou tient : travailler intégralement en unités SI et écrire l'unité à chaque ligne. Sur le fond, je dois aussi distinguer deux grandeurs que le langage courant confond. La rigidité de flexion \( E\,I \) est une propriété de la section : elle ne dit rien de la longueur. La raideur \( k \) est une propriété de la poutre entière : c'est la force qu'il faut pour l'enfoncer d'un mètre en son milieu. La première sert au modèle continu, la seconde au modèle masse-ressort."

Observation : La portée intervient au cube dans la raideur. Doubler la longueur d'une poutre la rend huit fois plus souple : aucun autre paramètre du calcul n'a une telle sensibilité, hormis la hauteur de section.
Analyse du risque : Garder les MPa et les millimètres donne une raideur en N/mm et non en N/m, soit un facteur 1 000 sur la fréquence — erreur si grossière qu'elle se repère, mais seulement si l'on prend la peine de situer le résultat.
Choix stratégique : Je calcule les deux grandeurs — \( E\,I \) et \( k \) — bien que le modèle continu n'ait besoin que de la première. La seconde me permettra une vérification croisée indépendante à la question 3.
Alternative : J'aurais pu employer le module au fractile 5 %, \( E_{0,05} = 7\,400 \) N/mm². Je l'écarte : ce module sert aux vérifications de stabilité, où une rigidité faible est défavorable. Pour une fréquence propre, c'est le comportement moyen de l'ouvrage qui nous intéresse.
Objectif visé : Disposer d'une rigidité en unités SI vérifiées. En dynamique, l'homogénéité dimensionnelle n'est pas une élégance : c'est le seul contrôle disponible avant d'obtenir un nombre qu'on ne sait pas juger.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( I = 6{,}400 \times 10^{-4} \) m⁴ · \( E\,I = 7{,}040 \times 10^{6} \) N·m² · \( k = \mathbf{660\,000} \) N/m

Rappel Théorique : rigidité de section et raideur de structure

Le mot « rigidité » recouvre deux notions distinctes que le calcul dynamique oblige à séparer. L'une caractérise une section, l'autre un ouvrage — et elles n'ont ni la même unité, ni le même usage.

Principe 1 — \( E\,I \) est une propriété de section : Elle combine la rigidité du matériau, par \( E \), et celle de la forme, par \( I \). Son unité, le N·m², ne fait apparaître aucune longueur de poutre : elle vaut la même chose sur une travée de 2 m et sur une travée de 20 m.
Principe 2 — \( k \) est une propriété de structure : C'est la force nécessaire pour produire un déplacement unitaire, en N/m. Elle dépend de \( E\,I \) mais aussi de la portée et des conditions d'appui : elle décrit la poutre entière, pas sa section.
Principe 3 — la raideur dérive de la flèche : La flèche sous charge ponctuelle centrale vaut \( F L^{3}/(48 E I) \) ; inverser cette relation donne directement \( k = 48 E I / L^{3} \). Le coefficient 48 est propre au cas « deux appuis simples, force au milieu ».
Principe 4 — le moment quadratique varie comme \( h^{3} \) : C'est le levier de conception le plus puissant. Passer de 400 à 450 mm de hauteur augmente \( I \) de 42 %, alors qu'élargir de 120 à 135 mm ne l'augmente que de 12,5 % — pour la même quantité de bois ajoutée.
Principe 5 — en dynamique, on emploie le module moyen : \( E_{0,\text{mean}} \) décrit le comportement attendu de l'ouvrage. Le module au fractile 5 %, \( E_{0,05} \), est réservé aux vérifications de stabilité où une souplesse excessive est défavorable — flambement, déversement.

Équations Fondamentales

Trois relations enchaînées : une géométrique, une mixte qui introduit le matériau, et une structurelle qui fait intervenir la portée. Chacune ajoute une information que la précédente ne contenait pas.

Moment quadratique d'une section rectangulaire :

Il traduit la rigidité de la forme vis-à-vis de la flexion, indépendamment du matériau.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la résistance à la courbure dépend non pas de la quantité de matière mais de sa distance à l'axe neutre. Chaque fibre contribue proportionnellement au carré de cette distance, et l'intégration sur toute la hauteur fait apparaître le cube.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine, flexion autour de l'axe fort, axe neutre au centre de la hauteur.
Avantage : Purement géométrique : indépendant du matériau, de l'humidité et de la durée de charge. La même valeur sert au calcul de flèche, de flambement et de fréquence propre.
Paramètre clé : La hauteur au cube. C'est ce qui explique la silhouette haute et étroite des poutres de plancher, et pourquoi une passerelle bois se dimensionne d'abord en hauteur.
Vérification : En unités SI, le résultat s'exprime en m⁴ et vaut quelques dix-millièmes pour une poutre de charpente. Un résultat proche de l'unité signale des millimètres oubliés.
Limite : Elle ne vaut que pour l'axe fort. Autour de l'axe faible, \( I_{z} = h\,b^{3}/12 \) serait onze fois plus petit : c'est cette valeur qui gouvernerait un éventuel déversement.

\[ \begin{aligned} I = \frac{b\,h^{3}}{12} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici combien cette forme résiste à être courbée. Le cube sur la hauteur vient de ce que chaque fibre contribue proportionnellement au carré de sa distance à l'axe neutre, et que le nombre de fibres croît lui-même avec la hauteur. C'est la raison mécanique pour laquelle une poutre se pose sur chant.

Décomposition des termes :

\( I \) : moment quadratique autour de l'axe fort, unité : m⁴
\( b \) : largeur de la section, 0,120 m ici, unité : m
\( h \) : hauteur de la section, 0,400 m ici, unité : m
\( h^{3} \) : terme dominant, vaut 0,0640 m³ ici, unité : m³
\( 12 \) : constante propre à la section rectangulaire pleine, unité : sans dimension

Rigidité de flexion de la section :

Elle combine la rigidité du matériau et celle de la forme en une seule grandeur, celle qui entre dans la formule de la fréquence.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la courbure d'une poutre ne dépend jamais de \( E \) ni de \( I \) séparément, mais toujours de leur produit. L'équation de la déformée, \( M = E\,I\,y'' \), le montre directement : c'est \( E\,I \) qui apparaît, et c'est donc lui qu'il faut calculer une fois pour toutes.

Contexte de validité : Comportement élastique linéaire et matériau homogène. Le bois vérifie bien ces hypothèses aux amplitudes de vibration en service.
Avantage : Une grandeur unique qui résume tout le comportement en flexion. Elle se compare directement d'un matériau à l'autre, ce qu'aucun des deux facteurs ne permet séparément.
Paramètre clé : La conversion du module. Le passage de 11 000 N/mm² à 11 × 10⁹ N/m² est l'étape la plus fautive du calcul, parce qu'elle porte sur neuf ordres de grandeur.
Vérification : Des N/m² multipliés par des m⁴ donnent des N·m². Le résultat se compte en millions pour une poutre de charpente courante.
Limite : Elle néglige la déformation d'effort tranchant, acceptable pour un élancement courant. Sur une poutre très trapue, la rigidité réelle serait inférieure et la fréquence plus basse.

\[ \begin{aligned} (E\,I) = E_{0,\text{mean}}\;I \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici tout ce qui s'oppose à la courbure, matériau et forme confondus. Deux poutres de rigidités \( E\,I \) identiques se déforment exactement de la même façon, quelles que soient leur essence et leur section — l'une peut être en bois haute et étroite, l'autre en acier plate et large.

Décomposition des termes :

\( (E\,I) \) : rigidité de flexion de la section, unité : N·m²
\( E_{0,\text{mean}} \) : module axial moyen du C24, 11 × 10⁹ N/m², unité : N/m²
\( I \) : moment quadratique, issu du calcul précédent, unité : m⁴
Conversion : 1 N/mm² vaut 10⁶ N/m² — soit 1 MPa égal 10⁶ Pa, unité : sans objet
À ne pas employer : \( E_{0,05} = 7\,400 \) N/mm², réservé aux vérifications de stabilité, unité : N/mm²

Raideur équivalente à mi-portée :

Elle donne la force nécessaire pour enfoncer la poutre d'un mètre en son milieu — la constante de rappel du ressort équivalent.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle permet de ramener la poutre — système à une infinité de degrés de liberté — à un oscillateur simple masse-ressort. Cette réduction est le fondement de toute la dynamique élémentaire, et elle fournit ici un moyen de contrôler le résultat du modèle continu.

Contexte de validité : Poutre sur deux appuis simples, force appliquée à mi-portée. Le coefficient 48 est propre à ce cas : il vaut 192 pour une poutre bi-encastrée.
Avantage : Elle donne une grandeur intuitive — une force par unité de déplacement — que l'on peut comparer à l'expérience : appuyer sur une passerelle et estimer son enfoncement.
Paramètre clé : La portée au cube. C'est le terme le plus sensible : doubler la portée divise la raideur par huit, et la fréquence par quatre.
Vérification : Des N·m² divisés par des m³ donnent des N/m. Le résultat se compte en centaines de milliers pour une poutre de charpente.
Limite : C'est une raideur équivalente, valable pour une force au centre. La raideur locale varie le long de la poutre : minimale au milieu, infinie sur appuis.

\[ \begin{aligned} k = \frac{48\,E\,I}{L^{3}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici avec quelle force la passerelle repousse quand on la déforme. C'est cette force de rappel qui, mise en regard de l'inertie, décide du rythme de l'oscillation — exactement comme la tension d'une corde de guitare décide de la hauteur de la note.

Décomposition des termes :

\( k \) : raideur équivalente à mi-portée, unité : N/m
\( E\,I \) : rigidité de flexion, issue du calcul précédent, unité : N·m²
\( L \) : portée entre appuis, 8,00 m ici, unité : m
\( L^{3} \) : terme dominant, vaut 512 m³ ici, unité : m³
\( 48 \) : constante propre au cas « deux appuis simples, force à mi-portée », unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de conserver les millimètres et les MPa, comme dans tous les calculs de résistance qu'ils ont menés jusque-là..."

L'approche d'ingénieur : Le réflexe N-mm est excellent en statique, où il évite justement les conversions. Il devient ingérable en dynamique, dès qu'apparaissent des kilogrammes et des secondes.

L'erreur : Une raideur calculée en N/mm vaut 660 au lieu de 660 000 : un facteur 1 000. Rapportée à une masse en kg, elle donnerait une fréquence 31,6 fois trop faible — la racine de 1 000.
La bonne méthode : Convertir tout en mètres, kilogrammes, secondes et newtons dès la première ligne, puis ne plus jamais y revenir. En dynamique, le système SI n'est pas une option.
L'astuce de pro : Retenez que 1 MPa = 10⁶ Pa et que le module du bois vaut donc environ 11 GPa. Raisonner en gigapascals évite de compter les zéros à la main.
Le moyen mnémotechnique : « La fréquence est en hertz, donc tout est en SI » — le hertz étant l'inverse de la seconde, il impose le système entier.
L'impact direct : Une fréquence annoncée à 0,29 Hz au lieu de 9,19 conduirait à déclarer la passerelle inutilisable et à la redimensionner lourdement. L'erreur d'unité coûte ici bien plus cher qu'une erreur de modèle.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( b \) et \( h \) : exprimés en m — le moment quadratique sort alors en m⁴
\( E_{0,\text{mean}} \) : converti de N/mm² en N/m² — multiplication par 10⁶
\( E\,I \) : obtenu en N·m² — produit d'une pression par un moment quadratique
\( L \) : conservée en m — à élever au cube pour la raideur
\( k \) : obtenue en N/m — une force par unité de déplacement

Toute cette question se mène en unités du Système International. La conversion la plus périlleuse est celle du module : 11 000 N/mm² deviennent 11 × 10⁹ N/m², soit neuf ordres de grandeur. Écrire le module en gigapascals — 11 GPa — est le meilleur moyen de ne pas se tromper dans le compte des zéros.

1. Résolution Numérique Moment quadratique de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule caractéristique géométrique qui intervienne dans la rigidité. Elle est indépendante du matériau et ne sera pas à refaire si l'on change d'essence.

Méthodologie du calcul :

Application directe de la formule géométrique, en mètres pour rester cohérent avec le reste du calcul dynamique.

Substitution : \( b = 0{,}120 \) m et \( h = 0{,}400 \) m, la poutre étant posée sur chant.
Piège évité : \( I \) fait intervenir \( h^{3} \) et non \( h^{2} \) : c'est un moment quadratique et non un module de flexion. La confusion donnerait une unité en m³ et une rigidité fausse d'un facteur 0,2 m.
Hypothèse validée : Section pleine et homogène, axe neutre au centre de la hauteur, flexion autour de l'axe fort.
Vérification croisée : En millimètres, \( 120 \times 400^{3}/12 = 640 \times 10^{6} \) mm⁴, soit 6,4 × 10⁻⁴ m⁴ après division par 10¹². Les deux chemins concordent.
Finalité : Ce moment quadratique sera multiplié par le module pour donner la rigidité de flexion.

\[ \begin{aligned} I &= \frac{b\,h^{3}}{12} = \frac{0{,}120 \times 0{,}400^{3}}{12} \\ &= \frac{0{,}120 \times 0{,}0640}{12} = \frac{0{,}00768}{12} \\ &= \mathbf{6{,}400 \times 10^{-4}} \text{ m}^{4} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

6,400 × 10⁻⁴ m⁴, soit 64 000 cm⁴. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Quelques dix-millièmes de m⁴ pour une poutre de charpente : la valeur est parfaitement usuelle. Un résultat proche de l'unité signalerait une erreur d'unité.
Impact sur la suite : Elle intervient linéairement dans la rigidité, donc en racine carrée dans la fréquence. Doubler \( I \) ne relève la fréquence que de 41 %.
Cohérence : Autour de l'axe faible, \( I_{z} = 0{,}400 \times 0{,}120^{3}/12 = 5{,}76 \times 10^{-5} \) m⁴, soit onze fois moins. C'est cette valeur qui gouvernerait le déversement.
Attention : Ce moment quadratique ne doit pas être confondu avec le module de flexion \( W = b\,h^{2}/6 \), qui sert aux contraintes. Les deux diffèrent par un facteur \( h/2 \).
Comparaison : Une hauteur de 450 mm porterait \( I \) à 9,11 × 10⁻⁴ m⁴, soit +42 % pour 12,5 % de hauteur en plus. Le cube récompense généreusement la hauteur.

Remarque pédagogique : Faites calculer \( I_{y} \) et \( I_{z} \) côte à côte, et comparer. Le rapport de onze entre les deux frappe les esprits et explique d'un coup deux choses : pourquoi on pose une poutre sur chant, et pourquoi il faut ensuite l'empêcher de basculer. La géométrie qui maximise la rigidité utile est aussi celle qui minimise la stabilité latérale.

Rigidité de flexion de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur qui entre directement dans la formule de la fréquence fondamentale. Elle réunit en un seul nombre tout ce qui s'oppose à la courbure.

Méthodologie du calcul :

Conversion du module en pascals d'abord, produit ensuite. C'est l'étape la plus fautive du calcul : neuf ordres de grandeur s'y jouent.

Substitution : \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm², soit \( 11 \times 10^{9} \) N/m², et \( I = 6{,}400 \times 10^{-4} \) m⁴.
Piège évité : Ne pas oublier le facteur 10⁶ entre N/mm² et N/m². Le module vaut 11 GPa : écrire cette valeur en gigapascals rend l'erreur presque impossible.
Hypothèse validée : Module moyen et non au fractile 5 % : on cherche le comportement attendu de l'ouvrage, pas une borne défavorable.
Vérification croisée : \( 11 \times 6{,}4 = 70{,}4 \), et les exposants donnent \( 10^{9} \times 10^{-4} = 10^{5} \). Le résultat vaut donc 70,4 × 10⁵, soit 7,040 × 10⁶ N·m².
Finalité : Cette rigidité alimentera à la fois le calcul de la raideur et, à la question 3, la formule de la fréquence propre.

\[ \begin{aligned} (E\,I) &= E_{0,\text{mean}}\;I = 11 \times 10^{9} \times 6{,}400 \times 10^{-4} \\ &= \mathbf{7{,}040 \times 10^{6}} \text{ N} \cdot \text{m}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,040 × 10⁶ N·m², soit un peu plus de sept millions. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Quelques millions de N·m² pour une poutre de charpente : la valeur est usuelle. Un résultat en milliers signalerait un module resté en N/mm².
Impact sur la suite : Elle intervient au numérateur de la fréquence, sous une racine carrée. Elle décide donc du résultat en concurrence directe avec la masse.
Cohérence : Le rapport \( E\,I/m' \) vaut environ 140 000 en unités SI. Sa racine, de l'ordre de 375 m²/s, est la grandeur qui apparaîtra dans la formule de la fréquence.
Attention : Cette rigidité ne dépend pas de la portée. C'est une propriété de section : la même poutre aurait la même \( E\,I \) sur une travée de 4 m ou de 20 m.
Comparaison : Avec \( E_{0,05} = 7\,400 \) N/mm², on trouverait 4,74 × 10⁶ N·m², soit −33 %. Le choix du module compte presque autant que celui de la masse volumique.

Remarque pédagogique : Faites systématiquement écrire les puissances de dix séparément des mantisses : \( 11 \times 6{,}4 = 70{,}4 \) d'un côté, \( 10^{9} \times 10^{-4} = 10^{5} \) de l'autre. Cette discipline supprime la quasi-totalité des erreurs d'ordre de grandeur, et elle prépare au calcul mental d'ingénieur — celui qui permet de contester un résultat de logiciel en trois secondes.

Raideur équivalente de la poutre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle permettra de recouper la fréquence obtenue par le modèle continu. Deux modèles indépendants qui convergent valent mieux qu'un seul résultat, aussi soigné soit-il.

Méthodologie du calcul :

Application directe de la formule issue de la flèche sous charge ponctuelle, avec la portée au cube.

Substitution : \( E\,I = 7{,}040 \times 10^{6} \) N·m² du calcul précédent et \( L = 8{,}00 \) m, soit \( L^{3} = 512 \) m³.
Piège évité : Élever la portée au cube et non à la puissance 4. L'exposant 4 correspond à la flèche sous charge répartie ; ici la raideur se définit sous charge ponctuelle centrale.
Hypothèse validée : Appuis simples aux deux extrémités : le coefficient 48 en découle directement. Des encastrements donneraient 192, soit quatre fois plus.
Vérification croisée : \( 48 \times 7{,}04 \times 10^{6} = 337{,}9 \times 10^{6} \), divisé par 512 donne environ 0,66 × 10⁶. Le calcul mental confirme.
Finalité : Cette raideur servira au modèle masse-ressort, en vérification croisée du modèle continu.

\[ \begin{aligned} k &= \frac{48\,E\,I}{L^{3}} = \frac{48 \times 7{,}040 \times 10^{6}}{8{,}00^{3}} \\ &= \frac{337{,}92 \times 10^{6}}{512} \\ &= \mathbf{660\,000} \text{ N/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

660 000 N/m, soit 660 kN/m. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Il faudrait 67 tonnes au milieu pour enfoncer la passerelle d'un mètre. Autrement dit, une personne de 80 kg l'enfonce de 1,2 mm — un ordre de grandeur qui parle immédiatement.
Impact sur la suite : Rapportée à la masse équivalente, elle donnera une fréquence qui doit confirmer celle du modèle continu à quelques pour cent près.
Cohérence : La raideur variant en \( 1/L^{3} \), une portée de 10 m au lieu de 8 la ferait tomber à 338 kN/m, soit près de moitié moins pour 25 % de longueur en plus.
Attention : Cette raideur vaut pour une force au centre. Elle ne décrit pas le comportement sous charge répartie, où la flèche fait intervenir \( 5/384 \) et non \( 1/48 \).
Comparaison : Une poutre bi-encastrée de mêmes dimensions aurait une raideur de 2 640 kN/m, soit quatre fois plus, et une fréquence propre doublée. Les conditions d'appui pèsent lourd en dynamique.

Remarque pédagogique : Traduisez la raideur en enfoncement sous une personne : 800 N divisés par 660 000 N/m donnent 1,2 mm. Ce chiffre, que les étudiants peuvent confronter à leur expérience d'une passerelle, rend tangible une grandeur qui reste sinon abstraite. Et il prépare la suite : c'est précisément cet enfoncement, répété au rythme des pas, qui peut entrer en résonance.

RÉSULTAT FINAL

\( E\,I \) = 7,040 × 10⁶ N·m² · \( k \) = 660 000 N/m

"Inertie et rappel élastique sont posés : place à la fréquence !"

Question 3 : Fréquence propre fondamentale

Dans la tête de l'ingénieur

"Les deux ingrédients sont sur la table : une inertie et un rappel élastique. Les combiner ne demande qu'une racine carrée — mais je vais obtenir un nombre que je suis incapable de juger à vue. Neuf hertz, est-ce beaucoup ? Peu ? Contrairement à une contrainte, que je sais situer par rapport à une résistance connue, une fréquence propre n'a pas de repère intuitif. C'est exactement pour cela que je vais la calculer deux fois, par deux chemins indépendants. Le modèle continu de l'Eurocode traite la poutre comme un milieu à une infinité de degrés de liberté. Le modèle masse-ressort la réduit brutalement à un seul, avec une masse équivalente valant la moitié du total. Que ces deux visions du même objet donnent le même nombre à moins de 1 % près n'a rien d'évident, et c'est le meilleur contrôle dont je dispose."

Observation : La portée intervient au carré au dénominateur, alors qu'elle intervenait au cube dans la raideur. Ce n'est pas une contradiction : la masse mobilisée croît elle aussi avec la longueur, et les deux effets se composent.
Analyse du risque : Confondre la pulsation \( \omega \) en rad/s et la fréquence \( f \) en Hz est l'erreur la plus fréquente de la dynamique élémentaire. Elle porte sur un facteur \( 2\pi \), soit 6,28 — assez pour faire basculer un verdict dans un sens comme dans l'autre.
Choix stratégique : Je retiens le modèle continu comme résultat de référence, parce que c'est celui qu'énonce l'EN 1995-1-1 au § 7.3.3, et je réserve le modèle masse-ressort à la vérification.
Alternative : J'aurais pu passer par un calcul aux éléments finis, qui donnerait aussi les modes supérieurs. Je m'en dispense : sur une poutre isostatique à section constante, la solution analytique est exacte, et un logiciel n'apporterait qu'une source d'erreur de saisie supplémentaire.
Objectif visé : Obtenir une fréquence doublement établie. Sur une grandeur qu'on ne sait pas juger d'instinct, la convergence de deux modèles vaut mieux que la précision d'un seul.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( E\,I/m' = 140\,351 \) m⁴/s² · \( f_{1} = \mathbf{9{,}19} \) Hz · modèle masse-ressort : 9,13 Hz, écart 0,73 %

Rappel Théorique : deux modèles pour une même poutre

Une poutre est un système continu : chaque tranche possède sa masse et sa rigidité, et le système admet une infinité de fréquences propres. La ramener à un oscillateur simple est une approximation — mais une approximation remarquablement bonne pour le premier mode.

Principe 1 — le modèle continu donne la solution exacte : La formule \( f_{1} = \dfrac{\pi}{2L^{2}}\sqrt{E I/m'} \) est la solution analytique de l'équation des vibrations d'une poutre sur appuis simples. Elle ne comporte aucune approximation pour ce cas de figure.
Principe 2 — le modèle masse-ressort réduit à un degré de liberté : On concentre toute la masse en un point et toute la rigidité dans un ressort. La masse équivalente vaut environ la moitié de la masse totale, parce que les tranches proches des appuis se déplacent peu et participent donc peu à l'inertie.
Principe 3 — les deux convergent parce que le mode est simple : Le premier mode d'une poutre sur appuis simples est une demi-sinusoïde, très proche de la déformée sous charge ponctuelle centrale. Les deux modèles décrivent donc presque la même forme, d'où un écart inférieur à 1 %.
Principe 4 — pulsation et fréquence ne sont pas la même chose : La pulsation \( \omega \) se mesure en rad/s et décrit la vitesse angulaire du mouvement circulaire associé. La fréquence \( f = \omega/2\pi \) se mesure en hertz et compte les cycles par seconde. C'est la seconde que les normes emploient.
Principe 5 — l'amortissement ne change pas la fréquence : Il réduit l'amplitude des vibrations, pas leur rythme. Pour les taux d'amortissement des structures — de 1 à 3 % du critique — l'écart entre fréquence propre amortie et non amortie est inférieur à 0,05 % : parfaitement négligeable.

Équations Fondamentales

Deux relations qui décrivent le même phénomène par deux voies différentes. La première est la solution exacte du problème continu, la seconde une réduction à un degré de liberté — et leur confrontation est tout l'intérêt de la question.

Fréquence fondamentale, modèle continu — EN 1995-1-1 § 7.3.3 :

Elle donne directement la première fréquence propre d'une poutre sur appuis simples, sans hypothèse simplificatrice.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est la solution analytique de l'équation des vibrations transversales, pour laquelle le premier mode d'une poutre bi-appuyée est une demi-sinusoïde. Le facteur \( \pi/2 \) provient directement de cette forme modale, et non d'un ajustement empirique.

Contexte de validité : Poutre isostatique à section et masse constantes, appuis simples. Une masse ponctuelle ou une inertie variable invalideraient la forme modale supposée.
Avantage : Elle ne demande aucune hypothèse sur la répartition de la masse en mouvement : la masse linéique y entre telle quelle, sans coefficient de participation.
Paramètre clé : La portée au carré, au dénominateur. Allonger la travée de 25 % abaisse la fréquence de 36 % : c'est le paramètre le plus sensible du calcul.
Vérification : Le rapport \( E\,I/m' \) s'exprime en m⁴/s² : sa racine est en m²/s, et la division par une longueur au carré donne bien des s⁻¹, c'est-à-dire des hertz.
Limite : Elle ne donne que le premier mode. Les modes supérieurs valent \( n^{2} f_{1} \) : le deuxième est à 36,8 Hz, très au-delà de toute excitation piétonne.

\[ \begin{aligned} f_{1} = \frac{\pi}{2\,L^{2}}\sqrt{\frac{E\,I}{m'}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici à quel rythme la passerelle oscille naturellement quand on la lâche après l'avoir déformée. Le rapport sous la racine oppose ce qui rappelle à ce qui résiste au mouvement — c'est le même rapport qui décide de la hauteur d'une note sur une corde de guitare, où la tension joue le rôle de la rigidité et la masse linéique celui de l'inertie.

Décomposition des termes :

\( f_{1} \) : première fréquence propre de flexion verticale, unité : Hz
\( E\,I \) : rigidité de flexion, issue de la question 2, unité : N·m²
\( m' \) : masse linéique vibrante, issue de la question 1, unité : kg/m
\( L \) : portée entre appuis, 8,00 m ici, unité : m
\( \pi/2 \) : constante issue de la forme modale en demi-sinusoïde, unité : sans dimension

Fréquence d'un oscillateur masse-ressort :

Elle ramène la poutre à un système à un degré de liberté : une masse concentrée sur un ressort.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est la solution de l'équation du mouvement \( m\,\ddot{x} + k\,x = 0 \), le modèle le plus élémentaire de la dynamique. Elle fournit ici une voie indépendante vers le même résultat, en utilisant la raideur au lieu de la rigidité de section.

Contexte de validité : Système à un degré de liberté, non amorti. La réduction n'est légitime que si l'on s'intéresse au premier mode et si la forme modale est bien approchée par la déformée statique.
Avantage : Elle est universelle : elle s'applique à un plancher, un réservoir sur poteaux, un bâtiment entier, dès lors qu'on sait estimer une raideur et une masse équivalentes.
Paramètre clé : La masse équivalente, prise à 0,5 fois la masse totale. Ce coefficient traduit le fait que les tranches proches des appuis bougent peu et participent donc peu à l'inertie.
Vérification : Des N/m divisés par des kg donnent des s⁻² : la racine est en s⁻¹, et la division par \( 2\pi \) laisse des hertz. L'homogénéité est vérifiée.
Limite : Elle ne donne qu'un seul mode, et son exactitude dépend entièrement du coefficient 0,5 retenu pour la masse équivalente. C'est un modèle de contrôle, pas de référence.

\[ \begin{aligned} f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_{\text{eq}}}} \quad \text{avec} \quad m_{\text{eq}} \approx 0{,}5\,m'\,L \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : tout se passe comme si la moitié de la passerelle était concentrée en son milieu, sur un ressort de 660 kN/m. Le facteur \( 2\pi \) convertit une vitesse angulaire en cycles par seconde : c'est lui qui distingue la pulsation, grandeur de calcul, de la fréquence, grandeur mesurable.

Décomposition des termes :

\( f \) : fréquence propre du modèle réduit, unité : Hz
\( k \) : raideur équivalente à mi-portée, issue de la question 2, unité : N/m
\( m_{\text{eq}} \) : masse équivalente concentrée, environ la moitié de la masse totale, unité : kg
\( 2\pi \) : facteur de conversion entre pulsation et fréquence, unité : sans dimension
\( 0{,}5 \) : coefficient de participation modale du premier mode, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'annoncer la pulsation \( \omega \) en croyant donner la fréquence, parce que les deux grandeurs se ressemblent et que seule l'unité les distingue..."

L'approche d'ingénieur : Les deux grandeurs décrivent bien le même mouvement, et c'est ce qui rend la confusion tenace : rien dans le calcul ne signale l'oubli du facteur \( 2\pi \).

L'erreur : Annoncer 57,8 au lieu de 9,19 revient à confondre rad/s et Hz. Le résultat paraît d'autant plus crédible qu'il conforte la conclusion : « très loin des fréquences de marche ».
La bonne méthode : Écrire l'unité à chaque ligne, et se souvenir que les normes s'expriment toujours en hertz. Un seuil de 5 Hz ne se compare jamais à une pulsation.
L'astuce de pro : Vérifiez par la période : \( T = 1/f_{1} = 0{,}109 \) s. Une passerelle qui oscille neuf fois par seconde est plausible ; une passerelle qui oscillerait 58 fois par seconde ne le serait pas.
Le moyen mnémotechnique : « Oméga tourne, f compte » — la pulsation décrit un angle qui tourne, la fréquence compte des cycles achevés.
L'impact direct : Dans l'autre sens, un étudiant qui diviserait deux fois par \( 2\pi \) trouverait 1,46 Hz et conclurait à un risque de résonance majeur avec la marche — déclenchant une étude dynamique complète parfaitement inutile.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( E\,I \) : exprimée en N·m² , avec N = kg·m/s²
\( m' \) : exprimée en kg/m — le rapport \( E\,I/m' \) sort donc en m⁴/s²
Racine du rapport : obtenue en m²/s — homogène à une surface par seconde
\( L^{2} \) : exprimée en m² — la division laisse des s⁻¹, soit des hertz
\( 2\pi \) et \( \pi/2 \) : grandeurs sans unité , issues de la forme modale

L'analyse dimensionnelle est ici le seul contrôle disponible avant d'obtenir le résultat. En développant le newton en kg·m/s², le rapport \( E\,I/m' \) se réduit à des m⁴/s² : sa racine vaut des m²/s, et la division par une longueur au carré laisse bien des s⁻¹. Si l'homogénéité ne tombe pas juste, inutile de poursuivre — le résultat sera faux quoi qu'il arrive.

1. Résolution Numérique Rapport rigidité sur masse

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le cœur physique de la fréquence propre : tout le reste n'est que géométrie de la travée. Isoler ce rapport permet aussi de vérifier l'homogénéité avant d'aller plus loin.

Méthodologie du calcul :

Division directe, suivie de la vérification dimensionnelle en développant le newton. C'est cette vérification, plus que le nombre lui-même, qui justifie de traiter ce rapport à part.

Substitution : \( E\,I = 7{,}040 \times 10^{6} \) N·m² de la question 2 et \( m' = 50{,}16 \) kg/m de la question 1.
Piège évité : Ne pas employer la masse totale de 401 kg. La formule continue demande une masse linéique : mélanger les deux donnerait un rapport faux d'un facteur égal à la portée.
Hypothèse validée : Masse et rigidité constantes sur toute la portée, condition d'application de la solution analytique.
Vérification croisée : En développant, \( \text{N} \cdot \text{m}^{2}/(\text{kg/m}) = (\text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}^{2}) \cdot \text{m}^{3}/\text{kg} = \text{m}^{4}/\text{s}^{2} \). L'homogénéité est confirmée.
Finalité : La racine de ce rapport sera divisée par la portée au carré pour obtenir la fréquence.

\[ \begin{aligned} \frac{E\,I}{m'} &= \frac{7{,}040 \times 10^{6}}{50{,}16} \\ &= \mathbf{140\,351} \text{ m}^{4}/\text{s}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

140 351 m⁴/s², dont la racine vaut 374,6 m²/s. Voyons ce que ce chiffre représente.

Ordre de grandeur : Quelques centaines de milliers en unités SI : la valeur n'a pas d'interprétation physique directe, mais son unité confirme que le calcul est sur la bonne voie.
Impact sur la suite : C'est sa racine carrée qui entre dans la fréquence. Doubler ce rapport ne relèverait la fréquence que de 41 %.
Cohérence : Le rapport ne dépend ni de la portée, ni des appuis : c'est une propriété du profil de poutre, chargé de sa masse rapportée. La géométrie de la travée n'intervient qu'ensuite.
Attention : Avec la masse simplifiée de 16,8 kg/m, ce rapport vaudrait 419 048, soit trois fois plus. Toute l'erreur du calcul simplifié se concentre ici.
Comparaison : Sa racine, 374,6 m²/s, est homogène à une surface balayée par unité de temps — une grandeur peu intuitive, mais parfaitement définie.

Remarque pédagogique : Faites conduire l'analyse dimensionnelle en développant le newton avant de poser le moindre chiffre. C'est un exercice que les étudiants trouvent fastidieux et qui leur sauve la mise : sur une grandeur qu'on ne sait pas juger d'instinct, l'homogénéité est le seul garde-fou avant le résultat. Et elle se vérifie en trente secondes.

Fréquence propre par le modèle continu

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat de référence de l'exercice, celui qu'énonce l'EN 1995-1-1 et qui sera confronté au seuil réglementaire.

Méthodologie du calcul :

Application directe de la formule du § 7.3.3, en conservant la racine du rapport précédent et en divisant par la portée au carré.

Substitution : Racine du rapport égale à 374,634 m²/s, et \( L = 8{,}00 \) m, soit \( L^{2} = 64{,}0 \) m².
Piège évité : Ne pas oublier de diviser par 2 en plus du \( L^{2} \). Le facteur complet est \( \pi/(2L^{2}) \) et vaut ici 0,024544 — l'omettre doublerait la fréquence.
Hypothèse validée : Poutre bi-appuyée à section constante : le facteur \( \pi/2 \) découle de la forme modale en demi-sinusoïde, propre à ce cas.
Vérification croisée : \( 0{,}0245 \times 375 \approx 9{,}2 \). Le calcul mental encadre immédiatement le résultat exact.
Finalité : Cette fréquence sera recoupée par le modèle masse-ressort, puis confrontée au seuil de 5 Hz.

\[ \begin{aligned} f_{1} &= \frac{\pi}{2\,L^{2}}\sqrt{\frac{E\,I}{m'}} = \frac{\pi}{2 \times 8{,}00^{2}} \times 374{,}634 \\ &= 0{,}0245437 \times 374{,}634 \\ &= \mathbf{9{,}19} \text{ Hz} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

9,19 Hz, soit une période de 0,109 s. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Neuf oscillations par seconde : c'est rapide pour une structure, et cela caractérise un ouvrage plutôt rigide au regard de sa masse.
Impact sur la suite : La valeur dépasse le seuil de 5 Hz, mais pas de beaucoup : la marge sera à quantifier avant de conclure.
Cohérence : La pulsation correspondante vaut \( \omega_{1} = 2\pi f_{1} = 57{,}8 \) rad/s. Confondre les deux nombres est l'erreur type de cette question.
Attention : Le calcul simplifié — poutre nue avec \( \rho_{\text{k}} \) — donnerait 15,89 Hz, soit 73 % de plus. L'écart tient entièrement à la masse retenue.
Comparaison : Une portée de 12,00 m abaisserait la fréquence à 4,09 Hz, sous le seuil réglementaire. Le passage de 8 à 12 m fait basculer le verdict à lui seul.

Remarque pédagogique : Faites convertir la fréquence en période : 0,109 s. Puis demandez aux étudiants de taper ce rythme du doigt. Neuf fois par seconde est à la limite de ce qu'une main peut faire — et cela rend soudain concret un nombre qui, en hertz, ne dit rien à personne. La comparaison avec le rythme de la marche, deux pas par seconde, devient alors immédiate.

Vérification croisée par le modèle masse-ressort

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une fréquence propre est une grandeur que l'on ne sait pas juger d'instinct. Deux modèles indépendants qui convergent valent mieux qu'un résultat unique, si soigné soit-il.

Méthodologie du calcul :

On concentre la moitié de la masse totale en un point et l'on applique la formule de l'oscillateur simple, avec la raideur établie à la question 2.

Substitution : \( k = 660\,000 \) N/m de la question 2 et \( m_{\text{eq}} = 0{,}5 \times 50{,}16 \times 8{,}00 = 200{,}64 \) kg.
Piège évité : Ne pas employer la masse totale de 401,28 kg. Les tranches proches des appuis se déplacent peu et ne participent que partiellement à l'inertie du mode.
Hypothèse validée : Le premier mode est proche de la déformée statique sous charge centrale, ce qui légitime la réduction à un degré de liberté.
Vérification croisée : L'écart avec le modèle continu vaut \( (9{,}19 - 9{,}13)/9{,}19 = 0{,}73 \) %. Les deux modèles concordent, ce qui valide l'ensemble de la chaîne de calcul.
Finalité : Confirmer le résultat de référence avant de le confronter au seuil réglementaire.

\[ \begin{aligned} f &= \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_{\text{eq}}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{660\,000}{200{,}64}} \\ &= \frac{57{,}354}{6{,}2832} \\ &= \mathbf{9{,}13} \text{ Hz} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

9,13 Hz contre 9,19 par le modèle continu : un écart de 0,73 %. Voyons ce que cette convergence signifie.

Ordre de grandeur : Moins de 1 % d'écart entre deux modèles conceptuellement très différents. Ce n'était pas garanti d'avance, et c'est un résultat en soi.
Impact sur la suite : La convergence valide toute la chaîne : masse, rigidité, unités. Le résultat de référence peut être confronté au seuil sans réserve.
Cohérence : L'écart vient du coefficient 0,5 sur la masse équivalente : la valeur exacte pour une demi-sinusoïde vaut 0,493, ce qui explique très précisément les 0,73 % observés.
Attention : Cette concordance ne vaut que pour le premier mode. Le modèle masse-ressort est incapable de décrire les modes supérieurs, qui exigent un modèle continu ou des éléments finis.
Comparaison : Sur une poutre à masse ponctuelle importante — un lampadaire à mi-portée — les deux modèles divergeraient, et seul le modèle continu enrichi resterait valable.

Remarque pédagogique : Faites de cette vérification croisée une habitude, pas un supplément. En dynamique plus qu'ailleurs, l'ingénieur travaille sur des grandeurs dont il ne peut pas contester le résultat par l'intuition. Recouper par un second modèle est alors la seule façon de signer un chiffre — et c'est exactement ce que fait un bureau de contrôle.

RÉSULTAT FINAL

\( f_{1} \) = 9,19 Hz — confirmé à 0,73 % par le modèle masse-ressort

"La fréquence est établie et recoupée : reste à la confronter aux piétons !"

Question 4 : Risque de résonance et avis technique

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai 9,19 Hz et un seuil à 5 Hz : la conclusion paraît écrite. Elle ne l'est pas tout à fait. D'abord parce qu'un seuil réglementaire est un seuil de dispense et non un brevet de confort : au-dessus, je peux m'abstenir de calculer les accélérations, ce qui n'est pas la même chose que garantir que personne ne sentira rien. Ensuite parce que la marche n'est pas une sinusoïde : c'est un signal périodique qui excite la cadence et tous ses multiples entiers. Un piéton à 2,3 pas par seconde produit une composante à 9,2 Hz — précisément ma fréquence propre. L'énergie de cette quatrième harmonique est très faible, mais je dois l'avoir regardée avant de signer. Enfin, je veux mesurer ce qu'auraient donné les deux raccourcis que j'ai refusés : c'est le seul moyen de justifier le temps que j'y ai passé."

Observation : Le seuil de 5 Hz vaut pour les vibrations verticales d'une passerelle. Un plancher résidentiel relèverait de l'EN 1995-1-1 et de son seuil de 8 Hz : deux ouvrages, deux référentiels, deux valeurs.
Analyse du risque : Conclure sur la seule cadence des pas, sans regarder les harmoniques, laisse passer les cas où la fréquence propre coïncide avec un multiple. L'oubli est sans conséquence ici, mais il l'est rarement autour de 4 Hz.
Choix stratégique : Je compare au seuil puis aux quatre premières harmoniques, et je quantifie enfin l'écart avec le calcul simplifié. Trois lectures du même nombre, chacune répondant à une question différente.
Alternative : J'aurais pu mener directement l'étude dynamique complète — calcul des accélérations sous flux piéton, prise en compte de l'amortissement. Je l'écarte : la fréquence dépassant le seuil, l'EN 1990 m'en dispense explicitement, et l'étude coûterait plusieurs jours pour confirmer une conclusion déjà acquise.
Objectif visé : Sortir avec un avis motivé, et non un simple « ça passe ». Le maître d'ouvrage doit savoir de quelle marge il dispose, et ce qui la ferait disparaître.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

marge \( = 1{,}84 \) · 4ᵉ harmonique : 6,4 à 9,6 Hz · calcul simplifié : 15,89 Hz, soit +73 % — critère VÉRIFIÉ

Rappel Théorique : la marche est un signal, pas une sinusoïde

Un piéton ne produit pas une force sinusoïdale mais une succession d'impulsions. La décomposition en série de Fourier de ce signal périodique fait apparaître la cadence et tous ses multiples entiers — d'où un risque de résonance bien plus étendu qu'il n'y paraît.

Principe 1 — la résonance amplifie sans ajouter de force : Quand l'excitation coïncide avec la fréquence propre, chaque impulsion arrive en phase avec le mouvement en cours et s'y additionne. L'amplitude croît jusqu'à ce que l'amortissement dissipe autant d'énergie que le piéton en apporte.
Principe 2 — les harmoniques portent une énergie décroissante : L'ordre 1 concentre l'essentiel de l'énergie ; l'ordre 2 en garde une part notable ; au-delà, elle devient marginale. Un ouvrage à 4 Hz est bien plus exposé qu'un ouvrage à 9 Hz, même si les deux tombent sur une harmonique.
Principe 3 — un seuil réglementaire est un seuil de dispense : Les 5 Hz de l'EN 1990 annexe A2 délimitent le domaine où l'on peut se passer d'une étude dynamique. En dessous, on ne conclut pas à l'inconfort : on calcule les accélérations et on les compare à des limites.
Principe 4 — l'amortissement décide de l'amplitude, pas de la fréquence : Une passerelle bois amortit typiquement 1 à 2 % du critique. C'est peu : à la résonance, le facteur d'amplification atteindrait 25 à 50. D'où l'importance d'éviter la coïncidence plutôt que de compter sur la dissipation.
Principe 5 — la synchronisation des piétons aggrave tout : Sur une passerelle qui bouge, les piétons ajustent inconsciemment leur pas au mouvement, ce qui renforce l'excitation. Ce phénomène de rétroaction, révélé par un cas célèbre en 2000, a conduit à durcir les référentiels de passerelles.

Équations Fondamentales

Deux relations, dont aucune n'est un calcul de mécanique. La première est un critère réglementaire, la seconde une propriété des signaux périodiques — mais l'une et l'autre décident de la conclusion.

Critère de dispense d'étude dynamique — EN 1990 annexe A2 :

Il fixe le seuil au-delà duquel la résonance est réputée impossible et l'étude dynamique inutile.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les fréquences produites par les piétons sont bornées : la cadence dépasse rarement 2,4 Hz en marche et 3,5 Hz en course. Au-delà d'un certain seuil, seules des harmoniques d'ordre élevé — donc de très faible énergie — peuvent encore exciter l'ouvrage.

Contexte de validité : Passerelle piétonne, vibrations verticales. Le seuil tombe à 2,5 Hz pour les vibrations latérales, et monte à 8 Hz pour un plancher de bâtiment.
Avantage : Il transforme une question complexe — l'ouvrage sera-t-il confortable ? — en une comparaison de deux nombres, accessible dès l'avant-projet et sans donnée d'amortissement.
Paramètre clé : La destination de l'ouvrage, qui fixe le référentiel applicable. Confondre le seuil des passerelles et celui des planchers conduit à des conclusions opposées.
Vérification : Les deux membres doivent être en hertz. Comparer une pulsation en rad/s à un seuil en Hz donnerait un rapport faux d'un facteur \( 2\pi \).
Limite : Ce n'est pas un critère de confort. Le franchir dispense d'étude, mais ne garantit pas l'absence totale de perception : une passerelle très peu amortie peut rester légèrement ressentie.

\[ \begin{aligned} \frac{f_{1}}{f_{\text{lim}}} \ge 1{,}0 \quad \text{avec} \quad f_{\text{lim}} = 5{,}00 \text{ Hz} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la passerelle vibre trop vite pour qu'un piéton puisse la mettre en résonance directement. Aucun humain ne marche à neuf pas par seconde ; l'excitation fondamentale ne peut donc pas coïncider avec le mode propre, et seule une harmonique d'ordre élevé reste théoriquement en cause.

Décomposition des termes :

\( f_{1} \) : fréquence propre fondamentale, issue de la question 3, unité : Hz
\( f_{\text{lim}} \) : seuil de dispense pour les vibrations verticales, 5,00 Hz, unité : Hz
Le rapport : marge sur le seuil, à exprimer en multiple ou en pourcentage, unité : sans dimension
Seuil latéral : 2,50 Hz, applicable aux vibrations horizontales et de torsion, unité : Hz
Seuil plancher : 8,00 Hz selon l'EN 1995-1-1 § 7.3.3, référentiel distinct, unité : Hz

Harmoniques d'un signal de marche :

Elles donnent les fréquences réellement produites par un piéton, au-delà de la seule cadence de ses pas.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un signal périodique mais non sinusoïdal se décompose, selon Fourier, en une somme de sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale. La force exercée par un pied au sol est très éloignée d'une sinusoïde : ses harmoniques sont donc bien réelles.

Contexte de validité : Marche régulière à cadence constante. Une allure irrégulière étale le spectre et réduit d'autant le risque de résonance sur une fréquence précise.
Avantage : Un calcul immédiat qui étend la zone de vigilance bien au-delà de la cadence des pas : quatre plages à examiner au lieu d'une.
Paramètre clé : L'ordre \( n \) considéré. Au-delà de 4, l'énergie devient si faible que les guides de conception cessent d'en tenir compte.
Vérification : Les plages harmoniques se chevauchent à partir de l'ordre 3 : de 4,8 à 7,2 Hz pour l'ordre 3, de 6,4 à 9,6 pour l'ordre 4. Le spectre devient continu au-delà de 6,4 Hz.
Limite : Elle ne dit rien de l'amplitude de chaque harmonique. Un ouvrage peut coïncider avec l'ordre 4 sans conséquence pratique, alors qu'une coïncidence à l'ordre 1 serait rédhibitoire.

\[ \begin{aligned} f_{n} = n\,f_{\text{pas}} \quad \text{avec} \quad n = 1,\,2,\,3,\,4 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : un piéton n'appuie pas de façon régulière, il frappe. Chaque impact contient des composantes bien plus rapides que la cadence elle-même — comme un coup sur une table produit un son aigu alors que la main descend lentement. Ce sont ces composantes rapides qui peuvent exciter un ouvrage rigide.

Décomposition des termes :

\( f_{n} \) : fréquence de l'harmonique d'ordre n, unité : Hz
\( f_{\text{pas}} \) : cadence de la marche, de 1,6 à 2,4 Hz, unité : Hz
\( n \) : ordre de l'harmonique, entier de 1 à 4, unité : sans dimension
Ordre 1 : la cadence elle-même, énergie maximale, unité : Hz
Ordre 4 : énergie très faible, plage 6,4 à 9,6 Hz, unité : Hz

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de comparer la fréquence propre à la seule plage de la marche, 1,6 à 2,4 Hz, et de conclure au premier coup d'œil que tout va bien..."

L'approche d'ingénieur : La comparaison est juste et la conclusion souvent correcte — mais le raisonnement est incomplet, et il échoue précisément dans la plage où la plupart des ouvrages se situent.

L'erreur : Une passerelle à 4,0 Hz serait déclarée sûre, alors qu'elle tombe en plein dans la deuxième harmonique d'une marche à 2,0 Hz — celle qui porte encore une énergie notable.
La bonne méthode : Dresser le tableau des quatre premières harmoniques avant de conclure, et vérifier où tombe la fréquence propre. L'opération prend une minute.
L'astuce de pro : Divisez la fréquence propre par 2, 3 puis 4 : si l'un des quotients tombe dans la plage 1,6 à 2,4 Hz, il existe une cadence de marche qui excite l'ouvrage. Ici, 9,19/4 = 2,30 Hz — une cadence tout à fait plausible.
Le moyen mnémotechnique : « Un pas contient plusieurs notes » — l'impact du pied est riche en harmoniques, comme le son d'un instrument.
L'impact direct : Ici la coïncidence est sans conséquence, l'ordre 4 portant très peu d'énergie. Sur un ouvrage à 4 Hz, en revanche, ignorer l'ordre 2 revient à passer à côté du mécanisme dimensionnant.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( f_{1} \) et \( f_{\text{lim}} \) : toutes deux en Hz — le rapport est donc sans dimension
\( f_{\text{pas}} \) : exprimée en Hz , soit des pas par seconde
\( n \) : entier sans unité — l'ordre de l'harmonique
La marge : grandeur sans dimension , à exprimer en multiple du seuil
Aucune conversion : tout est déjà en hertz depuis la question 3

Cette question ne comporte aucune conversion d'unité. Toutes les grandeurs sont des fréquences, exprimées en hertz, et les rapports que l'on en tire sont sans dimension. La seule vigilance porte sur la nature de ce que l'on compare : une fréquence propre se compare à une fréquence d'excitation, jamais à une pulsation.

1. Résolution Numérique Marge sur le seuil réglementaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'étape qui délivre le verdict réglementaire et qui dit si une étude dynamique complète est nécessaire. C'est la réponse attendue par la maîtrise d'ouvrage.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport de la fréquence propre au seuil, et on l'exprime en multiple. Un rapport supérieur à 1 dispense d'étude complémentaire.

Substitution : \( f_{1} = 9{,}19 \) Hz de la question 3 et \( f_{\text{lim}} = 5{,}00 \) Hz de l'EN 1990 annexe A2.
Piège évité : Ne pas employer le seuil de 8 Hz de l'EN 1995-1-1, qui concerne les planchers de bâtiment. L'ouvrage est une passerelle : c'est l'EN 1990 annexe A2 qui s'applique.
Hypothèse validée : Vibrations verticales, seul mode étudié ici. Le mode latéral, régi par un seuil de 2,5 Hz, relèverait d'un calcul distinct sur l'axe faible.
Vérification croisée : \( 5{,}00 \times 1{,}84 = 9{,}20 \), très proche de 9,19. La marge est bien de l'ordre de 84 %.
Finalité : Établir que l'étude dynamique complète n'est pas requise, avant d'examiner les harmoniques par acquit de conscience.

\[ \begin{aligned} \frac{f_{1}}{f_{\text{lim}}} &= \frac{9{,}19}{5{,}00} = \mathbf{1{,}84} \\ &\ge 1{,}0 \\ &\Rightarrow \text{CRITERE VERIFIE} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,84 fois le seuil, soit 84 % de marge. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Près du double du seuil : la marge est confortable sans être écrasante. Elle autorise à conclure sans étude complémentaire.
Impact sur la suite : Aucune étude dynamique n'est requise : ni calcul d'accélérations, ni détermination de l'amortissement, ni essai de réception.
Cohérence : La fréquence dépasse aussi le seuil de 8 Hz applicable aux planchers, avec 15 % de marge. L'ouvrage satisferait donc les deux référentiels.
Attention : La marge s'évapore vite avec la portée : à 12,00 m, la fréquence tomberait à 4,09 Hz et le critère ne serait plus satisfait. Le résultat est propre à cette travée.
Comparaison : Avec une hauteur de section de 300 mm au lieu de 400, la fréquence tomberait à 6,30 Hz : conforme encore, mais avec une marge réduite de moitié.

Remarque pédagogique : Insistez sur la nature du seuil : c'est une dispense, pas un critère de confort. Beaucoup d'étudiants — et d'ingénieurs — lisent « 5 Hz » comme une frontière entre le confortable et l'inconfortable. Elle sépare en réalité ce qui se justifie par une comparaison de ce qui exige un calcul d'accélérations. Nuance essentielle dès qu'on descend sous le seuil.

Harmoniques de la marche

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la conformité au seuil ne dit rien des multiples de la cadence. C'est la vérification que l'on saute le plus souvent, et celle qui rattrape les ouvrages situés autour de 4 Hz.

Méthodologie du calcul :

On multiplie les deux bornes de la plage de marche par les ordres 1 à 4, et l'on regarde dans quelle plage tombe la fréquence propre.

Substitution : Plage de marche de 1,6 à 2,4 Hz, multipliée successivement par 1, 2, 3 et 4.
Piège évité : Ne pas s'arrêter à l'ordre 2. Les plages se chevauchent à partir de l'ordre 3, et le spectre devient continu au-delà de 6,4 Hz.
Hypothèse validée : Marche régulière. Une allure variable étalerait le spectre et diluerait l'énergie sur une bande plus large.
Vérification croisée : \( 9{,}19/4 = 2{,}30 \) Hz : une cadence plausible. La coïncidence avec l'ordre 4 est donc réelle, et non théorique.
Finalité : Documenter la situation vis-à-vis des harmoniques, et pouvoir la commenter dans l'avis technique.

\[ \begin{aligned} f_{1} &\rightarrow 1{,}6 \text{ a } 2{,}4 \text{ Hz} \\ f_{2} &\rightarrow 3{,}2 \text{ a } 4{,}8 \text{ Hz} \\ f_{3} &\rightarrow 4{,}8 \text{ a } 7{,}2 \text{ Hz} \\ f_{4} &\rightarrow \mathbf{6{,}4 \text{ a } 9{,}6} \text{ Hz} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La fréquence propre de 9,19 Hz tombe dans la plage de la quatrième harmonique. Voyons ce que cela implique réellement.

Ordre de grandeur : La cadence correspondante vaut 2,30 Hz, soit une marche rapide mais parfaitement courante. La coïncidence n'a rien de théorique.
Impact sur la suite : L'énergie de l'ordre 4 est très faible — de l'ordre de quelques pour cent de celle de la cadence fondamentale. L'effet reste marginal.
Cohérence : Au-delà de 6,4 Hz, aucune fréquence propre ne peut échapper aux harmoniques : les plages se recouvrent. Le critère réglementaire tient compte de cette réalité en s'appuyant sur l'énergie et non sur la seule coïncidence.
Attention : Une passerelle à 4,0 Hz tomberait sur l'ordre 2, bien plus énergétique. C'est cette zone, entre 3 et 5 Hz, qui exige le plus de vigilance.
Comparaison : La course, de 2,0 à 3,5 Hz, produirait un ordre 3 couvrant 6,0 à 10,5 Hz — la fréquence propre y tombe également, avec la même conclusion.

Remarque pédagogique : Faites tracer le spectre des harmoniques sur un axe de fréquences, avec des barres d'autant plus basses que l'ordre est élevé. Le dessin montre d'un coup deux choses : que le spectre devient continu au-delà de 6 Hz, et que l'énergie s'effondre avec l'ordre. C'est ce qui justifie qu'un seuil unique en hertz puisse suffire, alors que la coïncidence est en réalité inévitable.

Écart avec le calcul simplifié

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour mesurer ce que valent les deux corrections apportées à la question 1. Sans ce chiffre, le soin apporté à la masse resterait un principe sans démonstration.

Méthodologie du calcul :

On refait le calcul de la question 3 avec la masse simplifiée — poutre seule et masse volumique caractéristique — puis on compare les deux fréquences.

Substitution : Masse simplifiée \( m' = 350 \times 0{,}0480 = 16{,}8 \) kg/m, sans masse rapportée, rigidité inchangée.
Piège évité : Ne pas croire que l'écart soit proportionnel à celui des masses. La fréquence variant en \( 1/\sqrt{m'} \), un rapport de masses de 2,99 donne un rapport de fréquences de 1,73.
Hypothèse validée : Seule la masse change entre les deux calculs. La rigidité, la portée et la formule restent strictement identiques.
Vérification croisée : \( \sqrt{50{,}16/16{,}8} = \sqrt{2{,}986} = 1{,}728 \), et \( 9{,}19 \times 1{,}728 = 15{,}88 \). Les deux voies concordent.
Finalité : Fournir l'argument chiffré qui justifie la démarche, et alimenter l'avis technique.

\[ \begin{aligned} \frac{f_{1,\text{simplifie}}}{f_{1}} &= \frac{15{,}89}{9{,}19} = 1{,}73 \\ &= \mathbf{+73\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

+73 % : c'est ce qu'aurait surestimé un calcul mené sans les deux corrections. Voyons ce que cela signifie.

Ordre de grandeur : Près des trois quarts d'erreur, dans le sens non conservatif. Ce n'est pas un ajustement de précision, c'est un changement de nature du résultat.
Impact sur la suite : Le verdict reste favorable dans les deux cas, mais la marge annoncée passerait de 84 % à 218 %. La différence compte dès qu'on modifie le projet.
Cohérence : L'écart se décompose : la masse volumique apporte un facteur \( \sqrt{420/350} = 1{,}095 \), la masse rapportée un facteur \( \sqrt{50{,}16/20{,}16} = 1{,}577 \). Leur produit vaut bien 1,73.
Attention : Sur une passerelle de 12,00 m, le calcul simplifié donnerait 7,06 Hz — conforme — alors que le calcul correct donne 4,09 Hz, sous le seuil. Le raccourci y ferait basculer le verdict.
Comparaison : La masse rapportée pèse à elle seule pour un facteur 1,58 sur les 1,73. C'est de loin la plus importante des deux corrections.

Remarque pédagogique : Terminez l'exercice sur cette comparaison plutôt que sur le verdict. Les étudiants retiennent mieux l'écart entre deux méthodes que le résultat d'une seule, et ils comprennent alors ce qu'ils gagnent à ne pas prendre de raccourci. Faites-leur chercher la portée à partir de laquelle le raccourci ferait basculer la conclusion : c'est un excellent exercice de sensibilité.

RÉSULTAT FINAL

\( f_{1} \) = 9,19 Hz · marge = 1,84 fois le seuil — CRITÈRE VÉRIFIÉ

"Aucune étude dynamique requise — mais la marge tient à la portée !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — où se place la passerelle vis-à-vis du seuil

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai travaillé intégralement en unités SI — mètres, kilogrammes, secondes, newtons — dès la première ligne. J'ai employé la masse volumique moyenne \( \rho_{\text{mean}} \) et non la valeur caractéristique. J'ai ajouté la masse rapportée du tablier à la masse propre de la poutre. J'ai converti le module de N/mm² en N/m² , soit un facteur 10⁶. J'ai distingué la pulsation \( \omega \) en rad/s de la fréquence \( f \) en Hz, séparées par un facteur \( 2\pi \). J'ai recoupé la fréquence par un second modèle, et vérifié la convergence. J'ai examiné les harmoniques de la marche et pas seulement la cadence des pas.

Avis technique — confort vibratoire VÉRIFIÉ, aucune étude dynamique complémentaire requise. La passerelle présente une masse vibrante de 50,16 kg/m par poutre, dont 60 % proviennent des éléments rapportés, et une rigidité de flexion de 7,040 × 10⁶ N·m². Il en résulte une fréquence propre fondamentale de 9,19 Hz, confirmée à 0,73 % près par un modèle masse-ressort indépendant. Cette valeur représente 1,84 fois le seuil de 5 Hz fixé par l'EN 1990 annexe A2 pour les vibrations verticales des passerelles, et dépasse également de 15 % le seuil de 8 Hz applicable aux planchers de bâtiment. L'ouvrage peut être validé en l'état sur ce critère.

Un calcul mené sur la seule poutre, avec la masse volumique caractéristique, aurait annoncé 15,89 Hz — 73 % de plus. C'est le tablier oublié qui pèse le plus lourd, et l'erreur est non conservative : elle allège fictivement la structure et rassure à tort. Sur 8,00 m le verdict tient dans les deux cas ; sur 12,00 m, le raccourci donnerait 7,06 Hz au lieu de 4,09 et dispenserait à tort d'une étude dynamique. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle distingue une conformité solidement établie d'une conformité obtenue par une masse sous-estimée.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

NF EN 338 — classes de résistance : les valeurs principales des classes C24 et C30 sont celles du tableau 1 — \( f_{m,\text{k}} \), \( f_{\text{c},0,\text{k}} \), \( f_{v,\text{k}} \), \( E_{0,\text{mean}} \) et \( \rho_{\text{k}} \). La classe D40 relève du tableau des feuillus, et le \( f_{t,0,\text{k}} \) du C24 : la valeur de 14,5 retenue ici suit l'édition 2016 de la norme, quand l'édition 2003 donne 14,0.

Résonance d'une Poutre en Bois

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Le premier mois à 1 €

Fréquence propre et confort vibratoire d'une passerelle piétonne en bois

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Masse linéique vibrante

Question 2 : Rigidité de flexion et raideur équivalente

Question 3 : Fréquence propre fondamentale

Question 4 (Finale) : Risque de résonance et avis technique

Fréquence propre et confort vibratoire d'une passerelle piétonne en bois

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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