Résistance au feu d'un élément de structure en bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Le bois brûle, mais il brûle lentement et régulièrement — et la couche de charbon qu'il forme protège le cœur de la section. C'est ce qui rend sa tenue au feu calculable, là où l'acier non protégé s'effondre sans prévenir. La méthode de la section efficace consiste à retrancher ce que le feu a consommé, puis à vérifier ce qui reste. Cet exercice traite une solive de plancher en GL24h, 120 × 320 mm sur 5,00 m de portée, exposée au feu sur trois faces pendant 60 minutes. Le point décisif est le choix de la vitesse de carbonisation : la norme en donne deux, et elles ne s'emploient pas dans le même calcul.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Une solive de plancher 120 × 320 mm en GL24h, 5,00 m de portée, à justifier R60 sous exposition sur trois faces.
Environnement : Face supérieure protégée par le plancher ; les deux faces latérales et la sous-face carbonisent. Bâtiment de bureaux ou d'habitation.
L'objectif final : Établir la section efficace après 60 minutes, les actions de la combinaison accidentelle, puis vérifier la flexion et le cisaillement.
L'astuce de l'ingénieur : En situation d'incendie, la résistance se calcule sur le fractile à 20 %, non sur le fractile à 5 % habituel : le coefficient \( k_{\text{fi}} \) majore la résistance.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et vous reprenez une note de résistance au feu qui conclut à un taux de 84 %. Votre travail consiste à refaire la vérification avec la bonne vitesse de carbonisation et la bonne résistance de calcul, puis à traiter le cisaillement — que la note annonce sans jamais le faire.

Le grand défi : Deux erreurs de sens contraire : une vitesse de carbonisation sous-évaluée, et une résistance sous-évaluée. Elles se compensent presque.
Votre rôle : Produire une note traçable : la section efficace exacte, les deux vérifications promises, et une marge exprimée en minutes de feu.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — la géométrie brûlée : la profondeur de carbonisation avec la vitesse applicable, l'épaisseur efficace perdue, et les dimensions de la section efficace.
Livrable 2 — les vérifications : les actions de la combinaison accidentelle, la résistance de calcul au feu, puis la flexion et le cisaillement, avec la marge exprimée en minutes.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-2, partie « feu » de l'Eurocode 5, avec les actions de la NF EN 1990 et les caractéristiques du GL24h de la NF EN 14080. Deux points appellent une vigilance particulière : la norme donne deux vitesses de carbonisation, \( \beta_{0} \) et \( \beta_{\text{n}} \), et la méthode de la section efficace impose la seconde ; et la résistance en situation d'incendie se calcule sur le fractile à 20 %, ce qui introduit le coefficient \( k_{\text{fi}} \).

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Profondeur de carbonisation nominale — § 3.4.2 \( d_{\text{char,n}} = \beta_{\text{n}}\,t \)
Épaisseur efficace perdue — § 4.2.2 \( d_{\text{ef}} = d_{\text{char,n}} + k_{0}\,d_{0} \)
Section efficace, feu sur trois faces \( b_{\text{ef}} = b - 2\,d_{\text{ef}} \) · \( h_{\text{ef}} = h - d_{\text{ef}} \)
Combinaison accidentelle — EN 1990 \( q_{\text{d,fi}} = G + \psi_{2,1}\,Q \)
Résistance de calcul au feu — § 2.3 \( f_{\text{d,fi}} = k_{\text{mod,fi}}\,\dfrac{k_{\text{fi}}\,f_{\text{k}}}{\gamma_{\text{M,fi}}} \)
Module de flexion efficace \( W_{\text{ef}} = \dfrac{b_{\text{ef}}\,h_{\text{ef}}^{2}}{6} \)
Critère de flexion \( \sigma_{\text{m,d,fi}} = \dfrac{M_{\text{d,fi}}}{W_{\text{ef}}} \le f_{\text{m,d,fi}} \)
Critère de cisaillement \( \tau_{\text{d,fi}} = \dfrac{1{,}5\,V_{\text{d,fi}}}{k_{\text{cr}}\,b_{\text{ef}}\,h_{\text{ef}}} \le f_{\text{v,d,fi}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( b \times h \)	Section initiale de la solive, avant incendie	120 × 320	mm
\( L \)	Portée entre appuis simples	5,00	m
\( \beta_{\text{n}} \)	Vitesse de carbonisation nominale du lamellé-collé résineux — celle qu'impose la méthode de la section efficace EN 1995-1-2 - Tableau 3.1	0,70	mm/min
\( \beta_{0} \)	Vitesse unidimensionnelle — réservée aux grandes surfaces planes, pas à cette méthode EN 1995-1-2 - Tableau 3.1	0,65	mm/min
\( d_{0} \) et \( k_{0} \)	Épaisseur de bois échauffé retranchée en plus du charbon ; \( k_{0} = 1 \) au-delà de 20 min EN 1995-1-2 - § 4.2.2	7 et 1,0	mm et —
\( f_{m,\text{k}} \) et \( f_{v,\text{k}} \)	Flexion et cisaillement caractéristiques du GL24h NF EN 14080	24 et 3,5	N/mm²
\( k_{\text{fi}} \)	Passage du fractile 5 % au fractile 20 %, pour le lamellé-collé EN 1995-1-2 - Tableau 2.1	1,15	—
\( k_{\text{mod,fi}} \) et \( \gamma_{\text{M,fi}} \)	Tous deux égaux à 1,0 dans la méthode de la section efficace EN 1995-1-2 - § 2.3 et § 4.2.2	1,00	—

Les trois lectures qui décident, et leurs pièges

La vitesse : \( \beta_{\text{n}} = 0{,}70 \text{ et non } \beta_{0} = 0{,}65 \text{ pour cette methode} \)
Le fractile : \( k_{\text{fi}} = 1{,}15 \text{ majore la resistance en situation d incendie} \)
Les faces : \( \text{trois exposees : } -2\,d_{\text{ef}} \text{ en largeur, } -1\,d_{\text{ef}} \text{ en hauteur} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( G \)	Charge permanente linéique, valeur caractéristique	1,5	kN/m
\( Q \)	Charge d'exploitation linéique, valeur caractéristique	2,5	kN/m
\( \psi_{2,1} \)	Coefficient quasi-permanent, catégories A et B — paramètre national EN 1990 - Tableau A1.1	0,3	—
\( k_{\text{cr}} \)	Coefficient de fissuration pour le cisaillement du lamellé-collé EN 1995-1-1 - § 6.1.7	0,67	—
Déversement	Supposé empêché : la fibre comprimée est la face supérieure, tenue par le plancher	Empêché	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Les appuis : \( \text{compression transversale sur une section deja reduite par le feu} \)
Le plancher : \( \text{sa propre tenue au feu conditionne l hypothese de face protegee} \)
Les assemblages : \( \S\,6 \text{ de l EN 1995-1-2 — les organes metalliques conduisent la chaleur} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Les deux vitesses de carbonisation — Tableau 3.1

Produit	\( \beta_{0} \) — unidimensionnelle	\( \beta_{\text{n}} \) — nominale
Bois massif résineux, \( \rho_{\text{k}} \ge 290 \) kg/m³	0,65	0,80
Lamellé-collé résineux, \( \rho_{\text{k}} \ge 290 \) kg/m³	0,65	0,70
Feuillus, \( \rho_{\text{k}} \ge 450 \) kg/m³	0,50	0,55

Les deux colonnes ne sont pas interchangeables. La vitesse \( \beta_{0} \) décrit une carbonisation strictement unidimensionnelle, celle d'une grande surface plane où le front avance parallèlement à lui-même. La vitesse nominale \( \beta_{\text{n}} \) est plus grande parce qu'elle intègre forfaitairement deux effets absents du cas plan : l'arrondissement des angles, où le feu attaque par deux directions à la fois, et les fissures qui ouvrent des chemins à la chaleur. C'est elle, et elle seule, qu'emploie la méthode de la section efficace sur une section rectangulaire. Noter l'écart considérable en bois massif — 0,65 contre 0,80 — où la confusion coûterait bien plus cher qu'ici.

Le coefficient \( k_{\text{fi}} \) — Tableau 2.1

Matériau ou assemblage	\( k_{\text{fi}} \)
Bois massif	1,25
Lamellé-collé	1,15
Panneaux à base de bois	1,15
Bois lamellé LVL	1,1

En situation d'incendie, l'Eurocode ne raisonne plus sur le fractile à 5 % de la résistance, comme à froid, mais sur le fractile à 20 %. La justification est probabiliste : l'incendie est une situation accidentelle, dont la probabilité d'occurrence est déjà très faible, et il serait excessivement pénalisant d'y superposer le fractile le plus défavorable du matériau. Le coefficient \( k_{\text{fi}} \) opère ce changement de fractile. Combiné à \( \gamma_{\text{M,fi}} = 1{,}0 \) et à \( k_{\text{mod,fi}} = 1{,}0 \), il donne une résistance de calcul au feu nettement supérieure à celle du calcul à froid — pour le GL24h, 27,6 contre 15,36 N/mm².

Nombre de faces exposées et section efficace

Situation	Largeur efficace	Hauteur efficace
Poteau isolé — 4 faces	\( b - 2\,d_{\text{ef}} \)	\( h - 2\,d_{\text{ef}} \)
Solive sous plancher — 3 faces	\( b - 2\,d_{\text{ef}} \)	\( h - d_{\text{ef}} \)
Poutre encastrée dans un mur — 1 face	\( b \)	\( h - d_{\text{ef}} \)

Le nombre de faces exposées est le paramètre le plus brutal de tout le calcul, parce qu'il agit sur la largeur — dont dépend linéairement le module de flexion — et non seulement sur la hauteur. Une solive perd deux fois \( d_{\text{ef}} \) sur sa largeur, soit près de 100 mm après une heure de feu : sur une section de 120 mm au départ, il ne reste presque rien. C'est pourquoi les solives de plancher exposées sont soit surdimensionnées en largeur, soit protégées par un plafond coupe-feu.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle sur l'EN 1995-1-2. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

\( \beta_{0} = 0{,}65 \) et \( \beta_{\text{n}} = 0{,}70 \) mm/min pour le lamellé-collé résineux — tableau 3.1
\( k_{\text{fi}} = 1{,}15 \) pour le lamellé-collé — tableau 2.1
\( d_{0} = 7 \) mm et \( k_{0} = 1 \) pour \( t \ge 20 \) min — § 4.2.2
\( \gamma_{\text{M,fi}} = 1{,}0 \) et \( k_{\text{mod,fi}} = 1{,}0 \) dans la méthode de la section efficace — § 2.3
\( f_{m,\text{k}} = 24 \) et \( f_{v,\text{k}} = 3{,}5 \) N/mm² pour le GL24h — NF EN 14080
\( \psi_{2,1} = 0{,}3 \) pour les catégories A et B — EN 1990 tableau A1.1 et annexe nationale
\( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \) — EN 1995-1-1 § 6.1.7 et annexe nationale

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Profondeur de carbonisation

Le choix de la vitesse 20 min | Accessible

But de l'étape : Choisir la bonne vitesse avant de multiplier par le temps.

Énoncé Q1 : Pour une exigence R60 sur du lamellé-collé résineux :

identifier laquelle des deux vitesses du tableau 3.1 s'applique à la méthode de la section efficace ;
calculer la profondeur de carbonisation avec chacune des deux, et mesurer l'écart ;
établir la profondeur pour R30, R90 et R120.

La vitesse nominale intègre l'arrondissement des angles et les fissures : c'est elle qu'il faut ici .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le tableau 3.1 donne deux colonnes pour chaque produit. La colonne \( \beta_{0} \) vaut pour une carbonisation unidimensionnelle — une grande surface plane. Dès qu'il y a des angles, c'est la colonne \( \beta_{\text{n}} \) qui s'applique, et une solive rectangulaire en a quatre.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( d_{\text{char,n}} = 0{,}70 \times 60 = \) 42 mm, et non 39 mm comme le donnerait \( \beta_{0} \). L'écart est de 7,7 %.

Question 2 : Section efficace après 60 minutes

Géométrie 25 min | Accessible

But de l'étape : Mesurer ce qu'il reste de la solive après une heure de feu.

Énoncé Q2 : Pour une exposition sur trois faces :

calculer l'épaisseur efficace perdue \( d_{\text{ef}} \), charbon et bois échauffé compris ;
en déduire la largeur et la hauteur efficaces ;
chiffrer l'élancement de la section restante et la part du module de flexion conservée.

La largeur perd deux fois \( d_{\text{ef}} \), la hauteur une seule : c'est là que tout se joue.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

N'oubliez pas l'épaisseur de bois échauffé \( d_{0} = 7 \) mm, qui s'ajoute au charbon. Ce bois n'est pas brûlé, mais sa température l'a affaibli au point qu'on le retire du calcul.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( d_{\text{ef}} = 42 + 7 = \) 49 mm, d'où \( b_{\text{ef}} = \) 22 mm et \( h_{\text{ef}} = \) 271 mm. Il ne reste que 13 % du module de flexion initial.

Question 3 : Actions en situation d'incendie

Combinaison accidentelle 20 min | Accessible

But de l'étape : Établir les sollicitations avec les bonnes charges — celles d'une situation accidentelle.

Énoncé Q3 : Pour un bâtiment de bureaux ou d'habitation :

écrire la combinaison accidentelle et calculer la charge répartie ;
en déduire le moment et l'effort tranchant de calcul ;
comparer au moment de la combinaison à froid.

Un incendie ne se superpose pas à la charge d'exploitation maximale : c'est tout le sens de \( \psi_{2,1} \).

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

En situation accidentelle, les charges sont prises à leur valeur caractéristique, sans coefficient partiel : ni 1,35 sur le permanent, ni 1,5 sur l'exploitation. Seule la charge variable est réduite par \( \psi_{2,1} \).

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( q_{\text{d,fi}} = \) 2,25 kN/m, d'où \( M_{\text{d,fi}} = \) 7,03 kN·m et \( V_{\text{d,fi}} = \) 5,63 kN. C'est 61 % de moins que le moment à froid.

Question 4 (Finale) : Flexion, cisaillement et marge réelle

Le cœur du sujet 45 min | BOSS

But de l'étape : Conclure sur les deux critères promis, et exprimer la marge en minutes de feu.

Mention spéciale — la note reprise contient deux erreurs de sens contraire : Elle emploie \( \beta_{0} \) au lieu de \( \beta_{\text{n}} \), ce qui surestime la section restante ; et elle omet \( k_{\text{fi}} \), ce qui sous-estime la résistance. Prises séparément, chacune change la conclusion.

Établir la résistance de calcul au feu avec le fractile à 20 %, calculer le module efficace et la contrainte, conclure sur la flexion. Vérifier ensuite le cisaillement, que la note annonce dans ses objectifs sans jamais le traiter. Décomposer enfin l'effet des deux erreurs, et traduire la marge en durée de feu supplémentaire.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La résistance au feu n'est pas la résistance à froid : \( \gamma_{\text{M,fi}} = 1{,}0 \), \( k_{\text{mod,fi}} = 1{,}0 \), et le fractile passe de 5 % à 20 % via \( k_{\text{fi}} = 1{,}15 \). La résistance de calcul est donc supérieure à celle du calcul à froid, ce qui surprend souvent.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( f_{m,\text{d,fi}} = \) 27,6 N/mm² et \( \sigma_{m,\text{d,fi}} = \) 26,11 N/mm², soit un taux de 94,6 %. Le cisaillement ne travaille qu'à 52 %. Mais la marge ne représente que 47 secondes de feu supplémentaire.

NOTE DE CALCULS

Solive au feu : deux erreurs qui se compensent et 47 secondes de marge

Question 1 : Profondeur de carbonisation

Dans la tête de l'ingénieur

"Le calcul tient en une multiplication, et c'est justement pour cela qu'on ne s'y attarde pas — à tort. Le tableau 3.1 de la NF EN 1995-1-2 donne deux vitesses pour le lamellé-collé résineux : \( \beta_{0} = 0{,}65 \) et \( \beta_{\text{n}} = 0{,}70 \) mm/min. La note reprise prend la première. Or la méthode de la section efficace impose la seconde : la vitesse dite nominale, qui intègre forfaitairement l'arrondissement des angles et les fissures. Sur une section rectangulaire, il y a quatre angles, donc quatre endroits où le feu attaque par deux directions à la fois. L'écart n'est que de 3 mm sur la profondeur — mais il sera doublé sur la largeur, et c'est la largeur qui commande."

Observation : La vitesse retenue est la unidimensionnelle, réservée aux grandes surfaces planes.
Analyse du risque : L'erreur est non sécuritaire : elle laisse croire à plus de bois qu'il n'en reste.
Choix stratégique : Retenir \( \beta_{\text{n}} \), et le justifier par la présence d'angles.
Point de méthode : Chiffrer les deux valeurs, pour montrer ce que coûte la confusion.
Objectif visé : Une profondeur de carbonisation justifiée, et un repère par durée de feu.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( d_{\text{char,n}} = \) 42 mm avec \( \beta_{\text{n}} = 0{,}70 \) · contre 39 mm avec \( \beta_{0} \) · écart 7,7 %

Rappel Théorique : pourquoi le bois brûle de façon calculable

Le bois ne s'effondre pas : il se consume à vitesse constante, et la couche de charbon qu'il forme protège ce qui reste.

Principe 1 — la pyrolyse à 300 °C : Au-delà de cette température, le bois se transforme en charbon, qui n'a plus aucune résistance.
Principe 2 — le charbon isole : Sa conductivité très faible ralentit la progression du front, d'où une vitesse quasi constante.
Principe 3 — le cœur reste froid : À quelques millimètres sous le front, le bois est déjà revenu près de la température ambiante.
Principe 4 — deux vitesses normatives : \( \beta_{0} \) pour le cas plan, \( \beta_{\text{n}} \) dès qu'il y a des angles.
Principe 5 — la densité gouverne : Un feuillu dense carbonise à 0,55 mm/min, un résineux à 0,70 ou 0,80.

Équations Fondamentales

Le choix de la vitesse applicable, puis la profondeur qui en découle.

Choix de la vitesse de carbonisation :

NF EN 1995-1-2 § 3.4.2, tableau 3.1.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la carbonisation d'une pièce rectangulaire n'est pas celle d'une paroi plane. Sur une grande surface, le front de charbon avance parallèlement à lui-même, et sa vitesse est \( \beta_{0} \). Sur une poutre, deux phénomènes s'ajoutent : aux angles, la chaleur arrive de deux directions et le front y progresse plus vite, ce qui arrondit progressivement les arêtes ; et le retrait du bois échauffé ouvre des fissures qui laissent la chaleur pénétrer plus profondément. Plutôt que de modéliser ces effets, la norme les intègre forfaitairement dans une vitesse nominale \( \beta_{\text{n}} \), plus grande, et autorise en contrepartie à conserver une section rectangulaire aux angles vifs.

Contexte de validité : \( \beta_{\text{n}} \) va de pair avec la section rectangulaire équivalente : on ne peut pas prendre l'un sans l'autre.
Avantage : Le calcul reste rectangulaire, donc élémentaire, malgré une géométrie réelle arrondie.
Paramètre clé : Le produit : lamellé-collé 0,70, bois massif 0,80, feuillu dense 0,55.
Vérification : \( \beta_{\text{n}} \) est toujours supérieure ou égale à \( \beta_{0} \) pour un même produit.
Limite : Ces vitesses valent pour la courbe normalisée ISO 834, pas pour un feu naturel.

\[ \begin{aligned} \text{section rectangulaire} \ \Rightarrow \ \beta_{\text{n}} = 0{,}70 \ \text{mm/min} \quad ; \quad \text{surface plane} \ \Rightarrow \ \beta_{0} = 0{,}65 \ \text{mm/min} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une poutre brûle plus vite qu'un mur. Non pas parce que le bois diffère, mais parce que sa forme offre au feu des angles où attaquer par deux côtés, et des arêtes qui fissurent. La géométrie accélère la ruine autant que le matériau la retarde.

Décomposition des termes :

\( \beta_{0} = 0{,}65 \) : vitesse unidimensionnelle, front plan, unité : mm/min
\( \beta_{\text{n}} = 0{,}70 \) : vitesse nominale, angles et fissures inclus, unité : mm/min
Écart 7,7 % : le prix forfaitaire des effets de bord, unité : %
Bois massif : \( \beta_{\text{n}} = 0{,}80 \) — l'écart y atteint 23 %, unité : mm/min
Courbe ISO 834 : feu normalisé qui sous-tend toutes ces valeurs, unité : —

Profondeur de carbonisation :

NF EN 1995-1-2 § 3.4.2, expression (3.2).

Pourquoi cette formule ?

Parce que la vitesse de carbonisation est, à un remarquable degré d'approximation, constante dans le temps. Ce n'est pas évident a priori : on pourrait s'attendre à ce que le feu s'accélère à mesure que la pièce s'échauffe. C'est l'inverse qui se produit, et la raison en est le charbon lui-même — sa conductivité thermique est environ cinq fois plus faible que celle du bois sain, et l'épaisseur qui s'accumule freine d'autant l'arrivée de chaleur au front. Les deux effets se compensent presque exactement, ce qui donne une progression linéaire et rend le calcul possible d'une simple multiplication.

Contexte de validité : Exposition à la courbe normalisée, sans protection rapportée.
Avantage : Une multiplication suffit — c'est ce qui rend le bois calculable au feu.
Paramètre clé : Le temps en minutes, pour rester cohérent avec la vitesse.
Vérification : Repère utile : environ 4 cm par heure pour un résineux.
Limite : Une protection — plaque de plâtre — retarde le début de la carbonisation et change le calcul.

\[ \begin{aligned} d_{\text{char,n}} = \beta_{\text{n}}\,t \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : le feu avance à vitesse constante, comme une aiguille sur un cadran. C'est la propriété la plus précieuse du bois en sécurité incendie : on sait, à la minute près, quelle épaisseur aura disparu — ce qu'aucun autre matériau de structure ne permet aussi simplement.

Décomposition des termes :

\( t = 60 \) : durée exigée, ici R60, unité : min
\( d_{\text{char,n}} \) : épaisseur carbonisée, sans résistance résiduelle, unité : mm
Front à 300 °C : la limite conventionnelle entre charbon et bois, unité : °C
Linéarité : conséquence de l'effet isolant du charbon accumulé, unité : —
Indice n : rappelle qu'il s'agit de la profondeur nominale, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de lire la première colonne du tableau 3.1..."

L'approche d'ingénieur : On regarde la forme de la pièce avant de choisir la colonne.

L'erreur : Prendre \( \beta_{0} = 0{,}65 \) mm/min sur une section rectangulaire.
La bonne méthode : Dès qu'il y a des angles, c'est \( \beta_{\text{n}} \) — et une poutre en a quatre.
L'astuce de pro : Retenir que \( \beta_{\text{n}} \) va avec la section rectangulaire à angles vifs : les deux forment un couple indissociable.
Le moyen mnémotechnique : « Des angles, donc du nominal ».
L'impact direct : Ici 3 mm de profondeur, mais 6 mm sur la largeur — soit 21 % de la largeur efficace.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Vitesse : en mm/min
Temps : en minutes , jamais en secondes ni en heures
Produit : mm/min × min = mm
Section : en mm , cohérence immédiate
Écart relatif : sans unité

Le seul risque d'unité est le temps : les durées réglementaires s'expriment en minutes — R30, R60, R90 — et les vitesses aussi. Convertir en heures donnerait une profondeur soixante fois trop faible, et une solive intacte après l'incendie. L'ordre de grandeur à retenir est simple : environ 4 cm par heure pour un résineux, ce qui permet de contrôler tout résultat d'un coup d'œil.

1. Résolution Numérique Profondeur avec la vitesse de la note

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer du terme de comparaison.

Méthodologie du calcul :

Application de la formule avec la vitesse unidimensionnelle, telle que la note la retient.

Substitution : \( \beta_{0} = 0{,}65 \) mm/min et \( t = 60 \) min.
Piège évité : Considérer ce résultat comme la réponse : c'est celle d'une paroi, pas d'une solive.
Hypothèse reprise : Celle de la note, à titre de comparaison uniquement.
Vérification croisée : 39 mm, soit presque 4 cm : l'ordre de grandeur annoncé.
Finalité : Isoler l'effet du seul choix de vitesse dans la suite.

\[ \begin{aligned} d_{\text{char},0} &= 0{,}65 \times 60 \\ &= \mathbf{39 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

39 mm — la valeur de la note, exacte dans son calcul mais fausse dans son hypothèse.

Ordre de grandeur : Près de 4 cm de bois disparus en une heure.
Impact sur la suite : Cette valeur conduira à une largeur efficace surestimée de 6 mm.
Cohérence : Le calcul est juste : c'est la donnée d'entrée qui ne l'est pas.
Attention : Une valeur exacte tirée du mauvais tableau ne se détecte pas à la relecture du calcul.
Comparaison : C'est la profondeur qui vaudrait pour un panneau de grande surface.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que ce calcul est arithmétiquement irréprochable. C'est précisément ce qui rend l'erreur difficile à repérer : rien ne cloche dans la ligne de calcul, tout se joue dans le choix de la valeur d'entrée, une colonne plus à gauche dans le tableau. Une relecture qui vérifie les opérations sans remonter aux données ne trouvera jamais ce type de défaut.

Profondeur avec la vitesse nominale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est celle qu'impose la méthode employée.

Méthodologie du calcul :

Même formule, avec la vitesse nominale du lamellé-collé résineux.

Substitution : \( \beta_{\text{n}} = 0{,}70 \) mm/min et \( t = 60 \) min.
Piège évité : Prendre 0,80, valeur du bois massif — la solive est en lamellé-collé.
Hypothèse validée : Section rectangulaire conservée aux angles vifs, comme l'autorise la méthode.
Vérification croisée : 42 mm, soit 35 % de la largeur initiale de 120 mm — et cela par face.
Finalité : Alimenter le calcul de la section efficace de la question 2.

\[ \begin{aligned} d_{\text{char,n}} &= 0{,}70 \times 60 \\ &= \mathbf{42 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

42 mm — la valeur réglementaire pour cette méthode et ce produit.

Ordre de grandeur : Un peu plus de 4 cm par heure, conforme au repère.
Impact sur la suite : Sur la largeur, la perte sera de 84 mm avant même d'ajouter le bois échauffé.
Cohérence : \( \beta_{\text{n}} > \beta_{0} \), comme le veut la définition de la vitesse nominale.
Attention : En bois massif, la même solive perdrait 48 mm : 14 % de plus.
Comparaison : Le lamellé-collé carbonise moins vite que le massif, ses joints de colle limitant les fissures.

Remarque pédagogique : Faites relever un avantage méconnu du lamellé-collé : sa vitesse nominale est de 0,70 mm/min contre 0,80 pour le bois massif de même densité, soit 14 % de moins. La raison tient aux joints de colle et à l'homogénéité du produit, qui limitent l'ouverture des fissures de retrait. Sur une exigence R90, cet écart représente déjà 9 mm par face — de quoi changer une section commerciale.

Écart entre les deux vitesses

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'écart va être amplifié par la géométrie.

Méthodologie du calcul :

Différence absolue et relative entre les deux profondeurs.

Substitution : \( 42 - 39 = 3 \) mm, soit \( 0{,}70/0{,}65 - 1 \).
Piège évité : Juger 3 mm négligeable : sur une largeur, l'écart se double.
Hypothèse validée : Même durée, même produit : seule la colonne du tableau change.
Vérification croisée : L'écart relatif sur la profondeur est de 7,7 %, celui sur la largeur efficace sera de 21 %.
Finalité : Anticiper l'amplification géométrique de la question suivante.

\[ \begin{aligned} \Delta d &= 42 - 39 = 3 \ \text{mm} \\ \frac{0{,}70}{0{,}65} - 1 &= \mathbf{7{,}7 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,7 % sur la profondeur — mais l'effet ne s'arrête pas là.

Ordre de grandeur : 3 mm paraissent dérisoires sur une section de 120 mm.
Impact sur la suite : Sur la largeur, ce sont 6 mm — et il n'en restera que 22.
Cohérence : L'amplification vient de ce que le résidu est petit : 6 mm sur 28 font 21 %.
Mécanisme : Une erreur absolue constante devient relativement énorme sur une différence.
Comparaison : Sur une poutre de 200 mm de large, le même écart ne pèserait que 6 %.

Remarque pédagogique : Faites comprendre le mécanisme d'amplification par soustraction. Quand un résultat s'obtient comme une différence entre deux grandeurs voisines, l'erreur relative explose : ici 7,7 % sur la profondeur deviennent 21 % sur la largeur restante. C'est un phénomène général du calcul, et il justifie de soigner particulièrement les données d'entrée de tout calcul au feu, où la section finale est toujours un reste.

Profondeurs pour les autres durées réglementaires

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il constitue un abaque de poche.

Méthodologie du calcul :

Même vitesse nominale, appliquée aux durées R30, R90 et R120.

Substitution : \( 0{,}70 \times 30 \), \( \times 90 \) et \( \times 120 \).
Piège évité : Croire que la vitesse change avec la durée : elle est constante.
Hypothèse validée : Exposition non protégée dès la première minute.
Vérification croisée : Les profondeurs sont proportionnelles aux durées, ce qui se contrôle d'un regard.
Finalité : Permettre un pré-dimensionnement immédiat pour toute exigence.

\[ \begin{aligned} \text{R30} &: 21 \ \text{mm} \quad ; \quad \text{R60} : \mathbf{42 \ \text{mm}} \\ \text{R90} &: 63 \ \text{mm} \quad ; \quad \text{R120} : 84 \ \text{mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

21 mm par demi-heure — un repère qui se retient sans effort.

Ordre de grandeur : Environ 4 cm par heure pour un lamellé-collé résineux.
Impact sur la suite : En R120, la largeur perdue atteindrait 168 mm : plus que la section elle-même.
Cohérence : La proportionnalité stricte découle de la constance de la vitesse.
Attention : Au-delà de R90, une solive nue n'est plus envisageable : il faut la protéger.
Comparaison : Une plaque de plâtre retarde le début de carbonisation de plusieurs dizaines de minutes.

Remarque pédagogique : Faites tirer de cet abaque la conséquence de conception : puisque la perte est proportionnelle au temps et qu'elle s'applique deux fois sur la largeur, une exigence R120 consomme 168 mm de largeur. Toute solive de moins de 200 mm de large est donc hors jeu sans protection rapportée. C'est la raison pour laquelle les planchers bois de forte exigence coupe-feu sont systématiquement doublés d'un plafond en plaques de plâtre.

RÉSULTAT FINAL

Profondeur de carbonisation = 42 mm — avec la vitesse nominale \( \beta_{\text{n}} = 0{,}70 \) mm/min ; la note en annonçait 39 avec la vitesse unidimensionnelle

"Des angles, donc du nominal !"

Question 2 : Section efficace après 60 minutes

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est ici que l'écart de 3 mm de la question précédente se paie. La largeur perd deux fois l'épaisseur efficace, la hauteur une seule — et sur une section de 120 mm au départ, deux fois 49 mm ne laissent que 22 mm. La note reprise en annonçait 28 : elle surestime de 21 % la seule dimension qui compte vraiment. Ce qui reste après une heure de feu, c'est une lame de 22 mm sur 271 : un élancement de 12, contre 2,7 au départ. La solive n'a plus la même forme, elle n'a plus le même comportement, et elle ne conserve que 13 % de son module de flexion initial."

Observation : L'écart de vitesse se double sur la largeur, la seule dimension attaquée deux fois.
Analyse du risque : La largeur efficace passe de 28 à 22 mm : 21 % de moins.
Choix stratégique : Ne pas oublier l'épaisseur de bois échauffé, qui s'ajoute au charbon.
Point de méthode : Chiffrer l'élancement résiduel : la section n'a plus rien d'une poutre ordinaire.
Objectif visé : Une section efficace exacte, et la mesure de ce qui a été perdu.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( d_{\text{ef}} = \) 49 mm · \( b_{\text{ef}} = \) 22 mm · \( h_{\text{ef}} = \) 271 mm · élancement 12,3 · module restant 13,1 %

Rappel Théorique : charbon, bois échauffé et section efficace

On retire deux épaisseurs, pas une : ce qui a brûlé, et ce qui a chauffé sans brûler.

Principe 1 — le charbon ne porte rien : Au-delà du front à 300 °C, la matière n'a aucune résistance résiduelle.
Principe 2 — le bois chaud porte mal : Sous le front, une zone de gradient thermique voit sa résistance fortement réduite.
Principe 3 — la simplification forfaitaire : Plutôt que d'intégrer ce gradient, on retire 7 mm et l'on suppose le reste intact.
Principe 4 — le nombre de faces : C'est lui qui décide combien de fois \( d_{\text{ef}} \) est retranché de chaque dimension.
Principe 5 — la largeur commande : Le module de flexion est linéaire en largeur mais quadratique en hauteur.

Équations Fondamentales

L'épaisseur totale retranchée, puis les dimensions qui en résultent.

Épaisseur efficace perdue :

NF EN 1995-1-2 § 4.2.2, expression (4.1).

Pourquoi cette formule ?

Parce que la frontière entre bois « perdu » et bois « intact » n'existe pas dans la réalité. Sous la couche de charbon, la température décroît très vite — elle est déjà proche de l'ambiante à quelques centimètres — mais elle passe par toutes les valeurs intermédiaires, et la résistance du bois avec elle. Modéliser ce gradient exigerait un calcul thermomécanique complet. La méthode de la section efficace le remplace par une convention brutale mais calibrée : on retranche une épaisseur supplémentaire \( d_{0} = 7 \) mm, et l'on considère que tout ce qui reste au-delà travaille à pleine résistance. Le coefficient \( k_{0} \) vaut 1 dès 20 minutes de feu, le temps que le régime thermique s'établisse.

Contexte de validité : \( k_{0} = 1 \) pour \( t \ge 20 \) min ; en deçà, il croît linéairement depuis zéro.
Avantage : Une addition remplace un calcul thermique complet.
Paramètre clé : \( d_{0} = 7 \) mm, valeur forfaitaire indépendante de l'essence et de la durée.
Vérification : La section résiduelle — charbon retiré seul — est toujours plus grande que l'efficace.
Limite : Omettre \( d_{0} \) est non réglementaire et surestime dangereusement la section.

\[ \begin{aligned} d_{\text{ef}} = d_{\text{char,n}} + k_{0}\,d_{0} \quad \text{avec} \quad k_{0} = 1 \ \text{pour} \ t \ge 20 \ \text{min} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : on sacrifie 7 mm de bois sain pour pouvoir ignorer la thermique. C'est un marché avantageux : quelques millimètres en échange d'un calcul qui tient sur une ligne, au lieu d'une simulation de transfert de chaleur couplée à des lois de comportement variables.

Décomposition des termes :

\( d_{\text{char,n}} = 42 \) : épaisseur carbonisée, calculée en question 1, unité : mm
\( d_{0} = 7 \) : épaisseur de bois échauffé, retirée forfaitairement, unité : mm
\( k_{0} = 1 \) : régime thermique établi au-delà de 20 minutes, unité : —
\( d_{\text{ef}} \) : épaisseur totale à retrancher par face exposée, unité : mm
Section résiduelle : notion distincte — charbon retiré, bois échauffé conservé, unité : —

Dimensions efficaces pour trois faces exposées :

NF EN 1995-1-2 § 4.2.2, selon la configuration d'exposition.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le feu n'attaque que les faces qu'il touche. Une solive sous plancher présente ses deux flancs et sa sous-face : la largeur est donc entamée des deux côtés, la hauteur d'un seul. Cette dissymétrie est fondamentale et souvent mal comprise : elle signifie que la largeur se consomme deux fois plus vite que la hauteur, alors même que c'est la dimension la plus faible au départ. Une section 120 × 320 se transforme ainsi en 22 × 271 — le rapport de forme est bouleversé, et la pièce qui était une poutre trapue devient une lame très élancée.

Contexte de validité : Face supérieure effectivement protégée par un plancher qui tient lui-même au feu.
Avantage : Conserver la hauteur est précieux : le module varie comme son carré.
Paramètre clé : Le nombre de faces, qui est une donnée de conception, pas de calcul.
Vérification : Un poteau isolé perdrait 2 \( d_{\text{ef}} \) dans les deux directions.
Limite : Si le plancher cède avant l'échéance, la solive passe à quatre faces et le calcul s'effondre.

\[ \begin{aligned} b_{\text{ef}} = b - 2\,d_{\text{ef}} \quad ; \quad h_{\text{ef}} = h - d_{\text{ef}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : c'est la largeur qui décide de la tenue au feu d'une solive. Elle est attaquée deux fois, elle est la plus petite au départ, et le module de flexion lui est directement proportionnel. Élargir une solive de 20 mm fait bien plus pour sa tenue au feu que la surélever de 40.

Décomposition des termes :

\( b = 120 \) : largeur initiale, attaquée sur deux faces, unité : mm
\( h = 320 \) : hauteur initiale, attaquée sur une face, unité : mm
Facteur 2 : les deux flancs de la solive brûlent simultanément, unité : —
Face supérieure : protégée par le plancher, elle ne carbonise pas, unité : —
Angles vifs : conservés, en contrepartie de l'emploi de \( \beta_{\text{n}} \), unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'oublier l'épaisseur de bois échauffé..."

L'approche d'ingénieur : On retire deux épaisseurs : le charbon, puis les 7 mm forfaitaires.

L'erreur : Retenir la section résiduelle — 36 × 278 ici — au lieu de la section efficace.
La bonne méthode : \( d_{\text{ef}} = d_{\text{char,n}} + k_{0}d_{0} \), soit 49 mm et non 42.
L'astuce de pro : Retenir que pour un feu de 60 minutes en lamellé-collé, \( d_{\text{ef}} = \) 49 mm tout rond.
Le moyen mnémotechnique : « Ce qui a brûlé, plus ce qui a chauffé ».
L'impact direct : Oublier \( d_{0} \) donnerait 36 mm de large au lieu de 22, soit 72 % de module en trop.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Toutes les longueurs : en mm
\( k_{0} \) : sans unité
Module de flexion : en mm³
Élancement : rapport de longueurs, sans unité
Parts conservées : en %

Aucun piège d'unité ici, mais un piège de vocabulaire : la norme distingue la section résiduelle — ce qui n'a pas brûlé — de la section efficace — ce qui travaille encore. Les deux diffèrent de 7 mm par face, et seule la seconde entre dans les vérifications. Employer l'une pour l'autre est l'erreur la plus fréquente de tout le calcul au feu, et elle est systématiquement du mauvais côté.

1. Résolution Numérique Épaisseur efficace perdue par face

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est ce qu'il faut retrancher par face exposée.

Méthodologie du calcul :

Somme du charbon et de l'épaisseur de bois échauffé.

Substitution : \( 42 + 1 \times 7 \), avec la profondeur nominale de la question 1.
Piège évité : Employer les 39 mm de la note, qui donneraient 46 mm.
Hypothèse validée : \( t = 60 \ge 20 \) min, donc \( k_{0} = 1 \) sans interpolation.
Vérification croisée : Le bois échauffé représente 14 % de l'épaisseur totale retranchée.
Finalité : Disposer de la seule grandeur à soustraire des dimensions.

\[ \begin{aligned} d_{\text{ef}} &= 42 + 1 \times 7 \\ &= \mathbf{49 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

49 mm par face, contre 46 dans la note reprise.

Ordre de grandeur : Près de 5 cm de section perdue de chaque côté exposé.
Impact sur la suite : Sur la largeur, ce sont 98 mm qui disparaissent sur 120.
Cohérence : L'écart avec la note est de 3 mm, exactement celui de la question 1.
Attention : La section résiduelle serait de 36 × 278 : ce n'est pas celle qui se vérifie.
Comparaison : Un repère utile : 49 mm pour R60 en lamellé-collé, quelle que soit la section.

Remarque pédagogique : Faites retenir ce nombre : 49 mm pour R60 en lamellé-collé résineux. Il ne dépend ni de la section, ni de la portée, ni des charges — seulement du produit et de la durée. Le mémoriser permet de juger en quelques secondes si une section proposée a la moindre chance de tenir : une solive de 100 mm de large, par exemple, ne conserverait que 2 mm après une heure de feu, autant dire rien.

Largeur efficace

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la dimension critique.

Méthodologie du calcul :

Retrait de \( d_{\text{ef}} \) sur chacun des deux flancs.

Substitution : \( 120 - 2 \times 49 = 120 - 98 \).
Piège évité : Ne retrancher qu'une fois \( d_{\text{ef}} \), erreur qui doublerait la largeur restante.
Hypothèse validée : Les deux flancs sont également exposés, sans écran d'un côté.
Vérification croisée : Il ne reste que 18 % de la largeur initiale.
Finalité : Fournir le facteur linéaire du module de flexion.

\[ \begin{aligned} b_{\text{ef}} &= 120 - 2 \times 49 \\ &= \mathbf{22 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

22 mm — contre 28 dans la note, soit 21 % de moins.

Ordre de grandeur : L'épaisseur d'un tasseau : il ne reste qu'une lame de bois.
Impact sur la suite : Le module de flexion étant linéaire en largeur, ces 21 % se répercutent intégralement.
Cohérence : 3 mm d'écart sur \( d_{\text{ef}} \) donnent 6 mm sur la largeur : le facteur 2 des deux faces.
Amplification : 7,7 % d'écart sur la vitesse deviennent 21 % sur la largeur restante.
Comparaison : Sur une poutre de 200 mm de large, le même écart ne pèserait que 6 %.

Remarque pédagogique : Faites mesurer ce que signifie 22 mm. C'est l'épaisseur d'un tasseau de bricolage, et c'est tout ce qui reste d'une solive de 120 mm après une heure de feu. Le résultat frappe les étudiants, et c'est tant mieux : il ancre l'idée que la tenue au feu d'une poutre bois se joue sur sa largeur, dimension qu'on a spontanément tendance à minimiser puisqu'elle ne sert à rien en flexion à froid.

Hauteur efficace

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la hauteur, elle, est presque préservée.

Méthodologie du calcul :

Retrait de \( d_{\text{ef}} \) sur la seule sous-face.

Substitution : \( 320 - 49 \), la face supérieure étant protégée.
Piège évité : Retrancher deux fois, ce qui reviendrait à traiter la solive comme un poteau.
Hypothèse validée : Le plancher protège effectivement la face supérieure pendant les 60 minutes.
Vérification croisée : La hauteur conserve 85 % de sa valeur, contre 18 % pour la largeur.
Finalité : Fournir le facteur quadratique du module de flexion.

\[ \begin{aligned} h_{\text{ef}} &= 320 - 49 \\ &= \mathbf{271 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

271 mm — la hauteur ne perd que 15 %, contre 82 % pour la largeur.

Ordre de grandeur : La protection de la face supérieure sauve l'essentiel de la hauteur.
Impact sur la suite : Le module variant comme \( h^{2} \), conserver la hauteur est doublement précieux.
Cohérence : Sans plancher protecteur, il ne resterait que 222 mm de hauteur.
Attention : Toute l'hypothèse repose sur la tenue au feu du plancher lui-même.
Comparaison : En quatre faces, le module chuterait de 33 % supplémentaires.

Remarque pédagogique : Faites relever que toute la vérification repose sur une hypothèse qui n'est pas celle de la solive : la tenue au feu du plancher. Si le platelage cède à 40 minutes, la solive passe à quatre faces exposées et le calcul entier s'effondre. C'est un cas typique où la performance d'un élément dépend de celle d'un autre — et où la note de calculs doit renvoyer explicitement au justificatif du plancher.

Élancement de la section restante

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la section a changé de nature.

Méthodologie du calcul :

Rapport de la hauteur efficace à la largeur efficace, comparé au rapport initial.

Substitution : \( 271 / 22 \), contre \( 320 / 120 \) au départ.
Piège évité : Poursuivre le calcul sans se demander si le déversement reste négligeable.
Hypothèse validée : Déversement empêché : la fibre comprimée est en haut, tenue par le plancher.
Vérification croisée : L'élancement est multiplié par 4,6 au cours de l'incendie.
Finalité : Justifier explicitement une hypothèse qui devient critique.

\[ \begin{aligned} \frac{h_{\text{ef}}}{b_{\text{ef}}} &= \frac{271}{22} = \mathbf{12{,}3} \\ \frac{h}{b} &= \frac{320}{120} = 2{,}7 \ \text{au depart} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

12,3 contre 2,7 — la poutre est devenue une lame.

Ordre de grandeur : Un rapport de 12 place la section très au-delà des proportions courantes.
Impact sur la suite : Le déversement deviendrait dimensionnant si la fibre comprimée n'était pas tenue.
Cohérence : En flexion positive, la fibre comprimée est en haut : le plancher la maintient.
Hypothèse sauvée : C'est le même plancher qui protège du feu et qui empêche le déversement.
Comparaison : Sur une poutre en console, la fibre comprimée serait en bas — et libre.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que l'hypothèse « déversement empêché », banale à froid, devient déterminante au feu. Avec un élancement de 12, une lame de bois non tenue latéralement se coucherait bien avant d'atteindre sa résistance en flexion. Ici le plancher joue un double rôle — écran thermique et maintien latéral — et l'on comprend pourquoi une poutre en console, dont la fibre comprimée est en sous-face, est bien plus délicate à justifier au feu.

Part du module de flexion conservée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il résume à lui seul l'effet de l'incendie.

Méthodologie du calcul :

Rapport du module efficace au module initial de la section intacte.

Substitution : \( 22 \times 271^{2} \) rapporté à \( 120 \times 320^{2} \).
Piège évité : Comparer les aires plutôt que les modules : ce n'est pas la même chose.
Hypothèse validée : Section rectangulaire aux deux états, conformément à la méthode.
Vérification croisée : L'aire conservée est de 15,5 %, le module de 13,1 % : le module chute plus vite.
Finalité : Donner l'ordre de grandeur de la perte de capacité portante.

\[ \begin{aligned} \frac{W_{\text{ef}}}{W} &= \frac{22 \times 271^{2}}{120 \times 320^{2}} = \frac{269\,284}{2\,048\,000} \\ &= \mathbf{13{,}1 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

13,1 % — la solive a perdu près de sept huitièmes de sa capacité en flexion.

Ordre de grandeur : Une heure de feu retire 87 % du module de flexion.
Impact sur la suite : Si les charges ne diminuaient pas, la vérification serait impossible.
Cohérence : La note reprise conservait 17,1 %, avec sa largeur surestimée.
Mécanisme : Le module chute plus vite que l'aire, la largeur étant plus attaquée que la hauteur.
Comparaison : C'est la réduction des charges de la question 3 qui rendra la vérification possible.

Remarque pédagogique : Faites énoncer l'équilibre qui rend le calcul au feu possible : la structure perd 87 % de sa capacité, mais les charges à reprendre diminuent de 61 %. Sans cette seconde réduction, aucune structure bois nue ne passerait une exigence R60. C'est la rencontre de deux effets — l'un mécanique, l'autre probabiliste — et comprendre qu'ils sont indépendants évite de croire que le bois « résiste bien au feu » par une propriété magique.

RÉSULTAT FINAL

Section efficace = 22 × 271 mm — contre 28 × 274 dans la note reprise ; il ne reste que 13,1 % du module de flexion initial

"Ce qui a brûlé, plus ce qui a chauffé !"

Section efficace après 60 minutes de feu

Question 3 : Actions en situation d'incendie

Dans la tête de l'ingénieur

"La note reprise traite correctement cette question, et il faut le dire. La combinaison accidentelle est bien écrite, le coefficient \( \psi_{2,1} \) est bien choisi, le moment est juste. Je vais donc surtout compléter : elle calcule le moment et s'arrête là, alors que ses propres objectifs annoncent une vérification au cisaillement. Or il faut l'effort tranchant pour cela, et personne ne le calcule. Je vais aussi chiffrer explicitement l'écart avec la combinaison à froid — 61 % de moins — parce que c'est cette réduction, et elle seule, qui rend la vérification possible après la perte de 87 % du module."

Observation : La combinaison accidentelle est correctement établie dans la note reprise.
Manque : L'effort tranchant n'est jamais calculé, alors qu'une vérification le réclame.
Choix stratégique : Établir les deux sollicitations en une fois, moment et tranchant.
Point de méthode : Chiffrer l'écart avec le calcul à froid, pour comprendre d'où vient la marge.
Objectif visé : Des actions complètes, prêtes pour les deux vérifications de la question 4.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( q_{\text{d,fi}} = \) 2,25 kN/m · \( M_{\text{d,fi}} = \) 7,03 kN·m · \( V_{\text{d,fi}} = \) 5,63 kN · soit 61 % de moins qu'à froid

Rappel Théorique : les actions d'une situation accidentelle

Un incendie est un événement rare. Lui superposer les charges maximales serait déraisonnable, et l'Eurocode l'admet explicitement.

Principe 1 — pas de coefficient partiel : Les charges sont prises à leur valeur caractéristique, sans 1,35 ni 1,5.
Principe 2 — la variable est réduite : Seule la fraction quasi-permanente \( \psi_{2,1}Q \) est retenue.
Principe 3 — la justification est probabiliste : La probabilité conjointe d'un incendie et d'une charge maximale est négligeable.
Principe 4 — l'objectif change : On ne cherche plus la pérennité mais la stabilité le temps d'évacuer.
Principe 5 — \( \psi_{2} \) dépend de l'usage : 0,3 en habitation et bureaux, 0,8 en stockage, 0 pour la neige sous 1 000 m.

Équations Fondamentales

La combinaison propre à l'incendie, puis les sollicitations qu'elle engendre.

Combinaison accidentelle :

NF EN 1990 § 6.4.3.3, expression (6.11b).

Pourquoi cette formule ?

Parce que dimensionner une structure pour résister simultanément à un incendie et à sa charge d'exploitation maximale reviendrait à cumuler deux événements dont la conjonction est extraordinairement improbable. L'Eurocode traite l'incendie comme une action accidentelle, au même titre qu'un choc ou une explosion, et adapte la combinaison en conséquence : plus de coefficient partiel sur les charges — on prend leurs valeurs caractéristiques — et la charge variable réduite à sa fraction quasi-permanente, celle qui est effectivement présente en moyenne. Pour un plancher de bureaux, cette fraction est estimée à 30 % : le mobilier et les occupants habituels, non la salle comble.

Contexte de validité : Situation accidentelle ; l'action du feu elle-même ne s'ajoute pas comme une charge.
Avantage : Une réduction considérable des sollicitations, qui compense la perte de section.
Paramètre clé : \( \psi_{2,1} \), qui dépend de l'usage du bâtiment et de l'annexe nationale.
Vérification : La charge d'incendie est toujours inférieure à la charge de service non pondérée.
Limite : En stockage, \( \psi_{2} = 0{,}8 \) : la réduction est bien plus faible.

\[ \begin{aligned} q_{\text{d,fi}} = G + \psi_{2,1}\,Q \quad \text{sans coefficient partiel sur } G \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : on ne cumule pas les catastrophes. Un incendie est déjà un événement rare ; exiger qu'il survienne au moment précis où le plancher supporte sa charge maximale reviendrait à dimensionner pour une improbabilité au carré, à un coût que personne ne paierait.

Décomposition des termes :

\( G = 1{,}5 \) : charge permanente, valeur caractéristique, unité : kN/m
\( Q = 2{,}5 \) : charge d'exploitation, valeur caractéristique, unité : kN/m
\( \psi_{2,1} = 0{,}3 \) : fraction quasi-permanente, catégories A et B, unité : —
Absence de 1,35 : caractéristique des combinaisons accidentelles, unité : —
Stockage : \( \psi_{2} = 0{,}8 \) — la réduction y serait bien moindre, unité : —

Sollicitations d'une poutre isostatique :

Résultats classiques pour une charge uniformément répartie.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le schéma statique ne change pas en situation d'incendie : la solive reste sur deux appuis simples, et la charge reste uniformément répartie. Seules les valeurs changent. Le moment maximal est à mi-portée, l'effort tranchant maximal aux appuis, et les deux se calculent comme à froid. Il faut cependant les établir tous les deux : le moment pour la flexion, le tranchant pour le cisaillement — et c'est précisément ce second calcul que la note reprise omet, alors qu'elle annonce la vérification correspondante dans ses objectifs.

Contexte de validité : Appuis simples ; une poutre continue verrait ses moments redistribués.
Avantage : Deux formules immédiates, indépendantes de l'état de la section.
Paramètre clé : La portée au carré pour le moment, linéaire pour le tranchant.
Vérification : Le rapport \( M/V = L/4 \) vaut 1,25 m : un contrôle immédiat.
Limite : Les appuis voient aussi une compression transversale, non traitée ici.

\[ \begin{aligned} M_{\text{d,fi}} = \frac{q_{\text{d,fi}}\,L^{2}}{8} \quad ; \quad V_{\text{d,fi}} = \frac{q_{\text{d,fi}}\,L}{2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : le feu ne change pas la statique, seulement les chiffres. C'est ce qui rend le calcul au feu accessible : on refait exactement le même calcul qu'à froid, avec une section plus petite et des charges plus faibles.

Décomposition des termes :

\( L = 5{,}00 \) : portée entre appuis simples, unité : m
\( M_{\text{d,fi}} \) : moment maximal, à mi-portée, unité : kN·m
\( V_{\text{d,fi}} \) : effort tranchant maximal, aux appuis, unité : kN
Facteur 8 : propre à la poutre isostatique sous charge répartie, unité : —
Conversion : \( 1 \) kN·m \( = 10^{6} \) N·mm pour la suite, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'employer la combinaison à froid pour la vérification au feu..."

L'approche d'ingénieur : On change de combinaison en même temps que de situation de projet.

L'erreur : Reprendre \( 1{,}35G + 1{,}5Q \) et conclure que la solive est très largement insuffisante.
La bonne méthode : Situation accidentelle : \( G + \psi_{2,1}Q \), sans coefficient partiel.
L'astuce de pro : Retenir l'ordre de grandeur : la charge d'incendie vaut environ 40 % de la charge ELU à froid.
Le moyen mnémotechnique : « Situation accidentelle, coefficients à l'unité ».
L'impact direct : Le moment passerait de 7,03 à 18,05 kN·m : aucune solive bois nue ne tiendrait.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Charges linéiques : en kN/m
Portée : en m
Moment : kN/m × m² = kN·m
Effort tranchant : kN/m × m = kN
Pour la contrainte : 1 kN·m = 10⁶ N·mm

Le calcul se mène commodément en kilonewtons et mètres, puis se convertit au moment de confronter à une résistance en N/mm². Le facteur de conversion du moment est de 10⁶, et c'est celui qu'on oublie le plus souvent : un moment de 7,03 kN·m laissé tel quel donnerait une contrainte de 0,00002 MPa, résultat absurde mais qui passe inaperçu si l'on ne surveille pas les ordres de grandeur.

1. Résolution Numérique Charge répartie en situation d'incendie

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule charge à considérer pendant l'incendie.

Méthodologie du calcul :

Somme du permanent entier et de la fraction quasi-permanente de l'exploitation.

Substitution : \( 1{,}5 + 0{,}3 \times 2{,}5 = 1{,}5 + 0{,}75 \).
Piège évité : Appliquer 1,35 au permanent, réflexe du calcul à froid.
Hypothèse validée : Bâtiment de catégorie A ou B, d'où \( \psi_{2,1} = 0{,}3 \).
Vérification croisée : 2,25 contre 4,00 kN/m en service non pondéré : on retient 56 %.
Finalité : Alimenter le calcul des deux sollicitations.

\[ \begin{aligned} q_{\text{d,fi}} &= 1{,}5 + 0{,}3 \times 2{,}5 \\ &= \mathbf{2{,}25 \ \text{kN/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,25 kN/m — un peu plus de la moitié de la charge de service.

Ordre de grandeur : Le permanent domine largement : 67 % de la charge d'incendie.
Impact sur la suite : C'est cette réduction qui rendra la vérification possible.
Cohérence : Sur 2,5 kN/m d'exploitation, seuls 0,75 sont retenus.
Attention : En stockage, la charge d'incendie atteindrait 3,50 kN/m — 56 % de plus.
Comparaison : La note reprise trouve la même valeur : ce poste est correct.

Remarque pédagogique : Faites relever que le permanent pèse les deux tiers de la charge d'incendie, alors qu'il ne pèse qu'un tiers de la charge ELU à froid. La réduction de la charge variable rebat complètement les cartes : en situation d'incendie, alléger la structure elle-même — un platelage plus léger, un complexe de sol moins épais — devient un levier bien plus efficace qu'à froid.

Moment de flexion de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la sollicitation principale d'une solive.

Méthodologie du calcul :

Formule isostatique classique, avec la charge réduite.

Substitution : \( 2{,}25 \times 5{,}00^{2}/8 = 2{,}25 \times 25/8 \).
Piège évité : Oublier le carré de la portée, erreur d'un facteur cinq ici.
Hypothèse validée : Deux appuis simples, sans continuité ni encastrement.
Vérification croisée : \( 2{,}25 \times 25 = 56{,}25 \), divisé par 8 : le calcul se fait de tête.
Finalité : Fournir le numérateur de la contrainte de flexion.

\[ \begin{aligned} M_{\text{d,fi}} &= \frac{2{,}25 \times 5{,}00^{2}}{8} \\ &= \mathbf{7{,}03 \ \text{kN}\cdot\text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,03 kN·m, soit 7,03 × 10⁶ N·mm pour la suite.

Ordre de grandeur : Un moment modeste, comparable à celui d'une solive de plancher courante.
Impact sur la suite : À rapporter à un module de 269 284 mm³ seulement.
Cohérence : La note reprise trouve la même valeur : ce calcul est juste.
Conversion : Ne pas oublier le facteur 10⁶ avant de diviser par un module en mm³.
Comparaison : À froid, le même schéma donnerait 18,05 kN·m.

Remarque pédagogique : Faites noter que ce poste de la note reprise est exact. Une reprise de note n'est pas un exercice à charge, et signaler ce qui est juste a une valeur propre : cela indique où le rédacteur maîtrisait son sujet, et concentre l'attention du lecteur sur les points qui méritent vraiment d'être revus.

Effort tranchant de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la note l'annonce et ne le fait jamais.

Méthodologie du calcul :

Réaction d'appui d'une poutre isostatique symétrique : la moitié de la charge totale.

Substitution : \( 2{,}25 \times 5{,}00/2 \).
Piège évité : Négliger le cisaillement sur une section devenue très étroite.
Hypothèse validée : Charge symétrique, donc réactions égales.
Vérification croisée : \( M/V = L/4 = 1{,}25 \) m : le contrôle est immédiat.
Finalité : Rendre possible la vérification promise au cisaillement.

\[ \begin{aligned} V_{\text{d,fi}} &= \frac{2{,}25 \times 5{,}00}{2} \\ &= \mathbf{5{,}63 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

5,63 kN à chaque appui — la donnée qui manquait à la note.

Ordre de grandeur : Environ 570 kg par appui, charge modeste en soi.
Impact sur la suite : À reprendre sur une section de 22 × 271 seulement.
Cohérence : Le rapport \( M/V \) vaut bien 1,25 m, soit le quart de la portée.
Attention : Le cisaillement est inversement proportionnel à la largeur : la section réduite le pénalise.
Comparaison : Cette même zone d'appui subit aussi une compression transversale, hors périmètre.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que le cisaillement, souvent anodin à froid sur une solive, mérite un second regard au feu : la contrainte y est inversement proportionnelle à la largeur, et la largeur vient d'être divisée par cinq. Ce n'est pas toujours suffisant pour qu'il gouverne, mais c'est suffisant pour qu'on ne puisse plus l'écarter d'un revers de main comme on le fait ordinairement.

Comparaison avec la combinaison à froid

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il montre d'où vient la marge de la vérification.

Méthodologie du calcul :

Reprise du moment avec la combinaison fondamentale à l'état limite ultime.

Substitution : \( 1{,}35 \times 1{,}5 + 1{,}5 \times 2{,}5 = 5{,}775 \) kN/m.
Piège évité : Confondre les deux combinaisons, ce qui rendrait la vérification au feu impossible.
Hypothèse validée : Même schéma statique, seule la combinaison d'actions change.
Vérification croisée : Le rapport des moments vaut 2,57.
Finalité : Mettre en regard les deux effets qui rendent le calcul au feu possible.

\[ \begin{aligned} M_{\text{ELU}} &= \frac{5{,}775 \times 25}{8} = 18{,}05 \ \text{kN}\cdot\text{m} \\ \frac{M_{\text{d,fi}}}{M_{\text{ELU}}} &= \mathbf{39 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

61 % de moins qu'à froid — c'est ce qui compense la perte de section.

Ordre de grandeur : La sollicitation est divisée par 2,6.
Impact sur la suite : Le module perd 87 %, la charge perd 61 % : c'est leur rencontre qui décide.
Cohérence : Sans cette réduction, la contrainte atteindrait 67 N/mm² : bien au-delà de toute résistance.
Mécanisme : Deux effets indépendants — l'un mécanique, l'autre probabiliste.
Comparaison : En stockage, avec \( \psi_{2} = 0{,}8 \), la réduction ne serait plus que de 39 %.

Remarque pédagogique : Faites énoncer la conséquence pratique la plus utile : en bâtiment de stockage, où \( \psi_{2} = 0{,}8 \), la charge d'incendie atteindrait 3,50 kN/m et le moment 10,94 kN·m — la solive serait alors très largement refusée. Une même section, une même durée de feu, une même essence : c'est l'usage du bâtiment qui décide. Vérifier la catégorie avant de choisir \( \psi_{2} \) n'est donc pas un détail administratif.

RÉSULTAT FINAL

Sollicitations d'incendie : 7,03 kN·m et 5,63 kN — soit 61 % de moins qu'à froid ; l'effort tranchant, absent de la note, rend possible la vérification au cisaillement

"Situation accidentelle, coefficients à l'unité !"

Question 4 : Flexion, cisaillement et marge réelle

Dans la tête de l'ingénieur

"Deux erreurs, deux sens opposés, et une conclusion qui tombe presque juste — c'est le cas le plus traître qui soit. La note emploie \( \beta_{0} \) au lieu de \( \beta_{\text{n}} \), ce qui lui donne trop de section ; et elle omet \( k_{\text{fi}} \), ce qui lui donne trop peu de résistance. Prise seule, la première correction fait passer le taux à 108,8 % — refusé. Prise seule, la seconde le fait tomber à 72,7 %. Ensemble, elles donnent 94,6 %, à comparer aux 84 % annoncés. La solive tient, mais je vais traduire cette marge en minutes de feu — et le résultat est de nature à changer l'avis qu'on porte sur cette conception."

Observation : Deux erreurs de sens contraire, dont chacune isolément change la conclusion.
Analyse du risque : Une compensation fortuite est indétectable au vu du seul résultat final.
Choix stratégique : Décomposer l'effet de chaque correction séparément.
Point de méthode : Traiter le cisaillement, promis par les objectifs et jamais abordé.
Objectif visé : Une marge exprimée en durée de feu, seule grandeur qui parle en sécurité incendie.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f_{m,\text{d,fi}} = \) 27,6 N/mm² · \( \sigma_{m,\text{d,fi}} = \) 26,11 N/mm² · flexion 94,6 % · cisaillement 52,5 % · marge : 47 secondes

Rappel Théorique : la résistance du bois en situation d'incendie

Contre toute intuition, la résistance de calcul augmente au feu par rapport au calcul à froid. Trois coefficients l'expliquent.

Principe 1 — le coefficient partiel disparaît : \( \gamma_{\text{M,fi}} = 1{,}0 \), contre 1,25 en lamellé-collé à froid.
Principe 2 — la durée n'est plus pénalisée : \( k_{\text{mod,fi}} = 1{,}0 \) : un incendie ne dure qu'une heure.
Principe 3 — le fractile change : On passe du fractile à 5 % à celui à 20 %, via \( k_{\text{fi}} \).
Principe 4 — la justification est probabiliste : L'incendie étant déjà rare, y superposer le pire bois serait excessif.
Principe 5 — l'affaiblissement thermique est déjà compté : Il l'est géométriquement, par les 7 mm retranchés — pas une seconde fois par un coefficient.

Équations Fondamentales

La résistance propre à l'incendie, puis les deux critères à vérifier.

Résistance de calcul en situation d'incendie :

NF EN 1995-1-2 § 2.3, expression (2.1).

Pourquoi cette formule ?

Parce que le niveau de fiabilité exigé n'est pas le même selon la situation de projet. À froid, on dimensionne pour cinquante ans de service, et l'on retient le fractile à 5 % de la résistance : le bois le plus faible qu'on puisse raisonnablement recevoir. En situation d'incendie — événement accidentel, dont la probabilité d'occurrence est déjà très faible — exiger en plus le plus mauvais bois du lot reviendrait à multiplier deux improbabilités. L'Eurocode retient donc le fractile à 20 %, et le coefficient \( k_{\text{fi}} \) opère ce changement : 1,15 pour le lamellé-collé, 1,25 pour le bois massif dont la dispersion est plus grande.

Contexte de validité : \( k_{\text{mod,fi}} = 1{,}0 \) uniquement dans la méthode de la section efficace.
Avantage : La résistance de calcul au feu dépasse de 80 % celle du calcul à froid.
Paramètre clé : \( k_{\text{fi}} \), qui dépend du produit et de sa dispersion.
Vérification : Le bois massif, plus dispersé, a un \( k_{\text{fi}} \) plus grand : 1,25.
Limite : L'omettre est conservatif, donc sans danger — mais fausse toute comparaison.

\[ \begin{aligned} f_{\text{d,fi}} = k_{\text{mod,fi}}\,\frac{k_{\text{fi}}\,f_{\text{k}}}{\gamma_{\text{M,fi}}} \quad \text{avec} \quad k_{\text{mod,fi}} = \gamma_{\text{M,fi}} = 1{,}0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : le bois qui reste après le feu travaille à pleine capacité. Tout l'affaiblissement thermique a déjà été payé géométriquement, par les 7 mm retranchés. Le compter une seconde fois par un coefficient réducteur serait une double peine — c'est pourquoi \( k_{\text{mod,fi}} \) vaut 1.

Décomposition des termes :

\( f_{m,\text{k}} = 24 \) : flexion caractéristique du GL24h, fractile 5 %, unité : N/mm²
\( k_{\text{fi}} = 1{,}15 \) : passage au fractile 20 %, lamellé-collé, unité : —
\( \gamma_{\text{M,fi}} = 1{,}0 \) : pas de coefficient partiel en situation accidentelle, unité : —
\( k_{\text{mod,fi}} = 1{,}0 \) : l'affaiblissement est déjà compté géométriquement, unité : —
À froid : \( 0{,}8 \times 24/1{,}25 = 15{,}36 \) N/mm² — bien moins, unité : N/mm²

Les deux critères de vérification :

NF EN 1995-1-2 § 4.2.2, appliqué à la section efficace.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une fois la section efficace établie, la vérification au feu redevient une vérification ordinaire : même critère de flexion, même critère de cisaillement qu'à froid, appliqués à une section plus petite avec des charges plus faibles et une résistance plus élevée. C'est là toute l'élégance de la méthode. Mais les deux critères doivent être écrits : le module de flexion varie comme \( b\,h^{2} \), tandis que la contrainte de cisaillement varie comme \( 1/(b\,h) \). La perte de largeur pénalise donc les deux, mais pas dans les mêmes proportions — et rien ne garantit a priori lequel gouvernera.

Contexte de validité : Déversement empêché ; sinon un troisième critère s'ajouterait.
Avantage : On réutilise les mêmes formules qu'à froid, sur une section réduite.
Paramètre clé : \( k_{\text{cr}} \), qui réduit encore la largeur utile au cisaillement.
Vérification : Le facteur 1,5 traduit la distribution parabolique du cisaillement.
Limite : La compression transversale aux appuis est un troisième critère, hors périmètre.

\[ \begin{aligned} \frac{M_{\text{d,fi}}}{W_{\text{ef}}} \le f_{m,\text{d,fi}} \quad ; \quad \frac{1{,}5\,V_{\text{d,fi}}}{k_{\text{cr}}\,b_{\text{ef}}\,h_{\text{ef}}} \le f_{v,\text{d,fi}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la largeur perdue pénalise les deux critères, mais différemment. Le module de flexion lui est proportionnel ; la contrainte de cisaillement lui est inversement proportionnelle. Diviser la largeur par cinq multiplie donc la contrainte de flexion par cinq — et celle de cisaillement par cinq également.

Décomposition des termes :

\( W_{\text{ef}} = b_{\text{ef}}h_{\text{ef}}^{2}/6 \) : module de flexion de la section efficace, unité : mm³
Facteur 1,5 : rapport du cisaillement maximal au moyen, section rectangulaire, unité : —
\( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \) : prise en compte des fissures de retrait, unité : —
\( f_{v,\text{k}} = 3{,}5 \) : cisaillement caractéristique du GL24h, unité : N/mm²
Taux de travail : rapport contrainte / résistance, sans unité, unité : %

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de reprendre la résistance de calcul à froid..."

L'approche d'ingénieur : On change tous les coefficients en même temps que de situation de projet.

L'erreur : Employer \( f_{m,\text{k}} \) brut — soit 24 N/mm² — en oubliant \( k_{\text{fi}} \).
La bonne méthode : \( f_{m,\text{d,fi}} = 1{,}15 \times 24 = \) 27,6 N/mm², fractile à 20 %.
L'astuce de pro : Retenir que la résistance au feu dépasse celle à froid — 27,6 contre 15,36 pour le GL24h.
Le moyen mnémotechnique : « Au feu, le bois est jugé sur sa moyenne, pas sur son pire ».
L'impact direct : L'omission est conservative — mais combinée à la mauvaise vitesse, elle masque une insuffisance.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Moment : converti en N·mm
Module : en mm³
N·mm / mm³ = N/mm² , soit des MPa
Effort tranchant : converti en N
Taux de travail : sans unité

Tout se joue sur la conversion du moment : 7,03 kN·m devient 7,03 × 10⁶ N·mm. Une fois cette étape franchie, la division par un module en mm³ donne directement des N/mm², directement comparables à la résistance. L'ordre de grandeur attendu pour une solive travaillant près de sa limite est de 20 à 30 N/mm² ; tout résultat en dehors de cette plage signale une erreur de conversion.

1. Résolution Numérique Résistance de calcul en flexion au feu

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est ici que la note reprise oublie un coefficient.

Méthodologie du calcul :

Application du fractile à 20 %, avec les coefficients propres à l'incendie.

Substitution : \( 1{,}0 \times 1{,}15 \times 24 / 1{,}0 \).
Piège évité : Prendre 1,25, valeur du bois massif — la solive est en lamellé-collé.
Hypothèse validée : Méthode de la section efficace, d'où \( k_{\text{mod,fi}} = 1{,}0 \).
Vérification croisée : 27,6 contre 15,36 à froid : la résistance au feu est 80 % plus élevée.
Finalité : Fournir la borne à laquelle comparer la contrainte.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d,fi}} &= 1{,}0 \times \frac{1{,}15 \times 24}{1{,}0} \\ &= \mathbf{27{,}6 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

27,6 N/mm², contre 24 dans la note reprise — 15 % de plus.

Ordre de grandeur : Supérieure à la résistance caractéristique elle-même, ce qui surprend toujours.
Impact sur la suite : Cette correction compense en partie l'erreur de vitesse de carbonisation.
Cohérence : À froid, la même solive n'aurait que 15,36 N/mm² : rapport de 1,80.
Justification : Fractile 20 % au lieu de 5 %, coefficients partiels à l'unité.
Comparaison : En bois massif, \( k_{\text{fi}} = 1{,}25 \) donnerait un gain encore plus net.

Remarque pédagogique : Faites accepter ce résultat contre-intuitif : la résistance de calcul au feu dépasse de 80 % celle du calcul à froid. Rien de magique — le bois ne devient pas plus fort en brûlant. C'est le niveau de fiabilité exigé qui change : une situation accidentelle, brève et rare, ne justifie pas les mêmes marges qu'une durée de service de cinquante ans. Toute la « performance au feu » du bois tient à cet arbitrage probabiliste autant qu'à la physique du charbon.

Module de flexion efficace

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le dénominateur de la contrainte.

Méthodologie du calcul :

Formule du rectangle, appliquée aux dimensions efficaces de la question 2.

Substitution : \( 22 \times 271^{2}/6 \), soit \( 22 \times 73\,441/6 \).
Piège évité : Employer les dimensions résiduelles — 36 × 278 — au lieu des efficaces.
Hypothèse validée : Section rectangulaire à angles vifs, comme l'autorise l'emploi de \( \beta_{\text{n}} \).
Vérification croisée : La note reprise trouvait 350 355 mm³, soit 30 % de plus.
Finalité : Obtenir la contrainte de flexion réelle.

\[ \begin{aligned} W_{\text{ef}} &= \frac{22 \times 271^{2}}{6} \\ &= \mathbf{269\,284 \ \text{mm}^{3}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

269 284 mm³, contre 350 355 dans la note — 23 % de moins.

Ordre de grandeur : Le module a été divisé par 7,6 depuis l'état initial.
Impact sur la suite : La contrainte sera 30 % plus élevée que celle annoncée par la note.
Cohérence : L'écart de 23 % correspond exactement à celui de la largeur, le module lui étant proportionnel.
Mécanisme : La hauteur n'a presque pas bougé : c'est la largeur qui porte tout l'écart.
Comparaison : Avec les dimensions résiduelles, on trouverait 463 704 mm³ : 72 % de trop.

Remarque pédagogique : Faites vérifier que l'écart relatif sur le module égale exactement celui sur la largeur — 21 % dans un sens, 23 % dans l'autre selon le sens du rapport. Ce n'est pas une coïncidence : le module est linéaire en largeur, et la hauteur n'a pratiquement pas changé entre les deux calculs. Ce genre de contrôle croisé permet de localiser d'où vient un écart sans refaire tout le calcul.

Contrainte de flexion et taux de travail

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conclusion attendue de l'étude.

Méthodologie du calcul :

Moment converti en N·mm, divisé par le module efficace, rapporté à la résistance.

Substitution : \( 7{,}03 \times 10^{6} / 269\,284 \), puis division par 27,6.
Piège évité : Oublier le facteur 10⁶ de conversion du moment.
Hypothèse validée : Déversement empêché par le plancher, malgré un élancement de 12,3.
Vérification croisée : 26,11 N/mm² : bien dans la plage de 20 à 30 attendue.
Finalité : Prononcer la vérification de flexion.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{d,fi}} &= \frac{7{,}03 \times 10^{6}}{269\,284} = 26{,}11 \ \text{N/mm}^{2} \\ \frac{26{,}11}{27{,}6} &= \mathbf{94{,}6 \ \%} \le 100 \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

94,6 % — vérifié, mais il ne reste que 5,4 points de marge.

Ordre de grandeur : La note annonçait 84 % : la marge réelle est trois fois plus faible.
Impact sur la suite : Une marge de 5 % en contrainte ne représente presque rien en durée de feu.
Cohérence : La contrainte est 30 % plus élevée que celle de la note, la résistance 15 % seulement.
Conclusion : La solive est justifiée R60 — mais de justesse.
Comparaison : À froid, la même solive travaillerait à 57 % avec sa section intacte.

Remarque pédagogique : Faites signaler explicitement une marge de 5,4 points dans la note de calculs. C'est réglementairement suffisant, mais c'est une information de conduite de projet : la moindre révision — une charge permanente revue à la hausse, un platelage plus lourd, une portée allongée de 10 cm — fait basculer la vérification. Écrire « 94,6 %, sans marge pour une évolution du projet » est infiniment plus utile qu'un simple « vérifié ».

Décomposition des deux erreurs

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la compensation est le vrai enseignement de l'exercice.

Méthodologie du calcul :

Les quatre combinaisons possibles des deux corrections.

Substitution : Contraintes de 20,07 ou 26,11, résistances de 24 ou 27,6.
Piège évité : Conclure que « les erreurs s'annulent, donc tout va bien ».
Hypothèse validée : Les deux corrections sont indépendantes l'une de l'autre.
Vérification croisée : La correction de vitesse seule fait basculer au-delà de 100 %.
Finalité : Montrer qu'une conclusion juste peut reposer sur deux calculs faux.

\[ \begin{aligned} \text{note} &: \ 83{,}6 \ \% \quad ; \quad \beta_{\text{n}} \ \text{seul} : \mathbf{108{,}8 \ \%} \ \text{refuse} \\ k_{\text{fi}} \ \text{seul} &: \ 72{,}7 \ \% \quad ; \quad \text{les deux} : \mathbf{94{,}6 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Chaque correction seule change la conclusion ; ensemble, elles la préservent.

Ordre de grandeur : La bonne vitesse seule ferait refuser la solive à 108,8 %.
Impact sur la suite : La note tombe juste par compensation, non par exactitude.
Cohérence : L'écart entre 83,6 et 94,6 est de 11 points : c'est le résidu non compensé.
Cas d'école : Une note fausse dont la conclusion est juste ne déclenche aucune alerte.
Comparaison : Sur le projet suivant, avec d'autres données, la compensation ne jouerait plus.

Remarque pédagogique : Faites retenir ce cas comme l'archétype du danger : deux erreurs de sens contraire produisent une conclusion plausible. Aucune relecture du résultat final ne peut les détecter — seul un contrôle poste par poste y parvient. Et le pire reste à venir : cette note sera archivée comme référence, réutilisée sur un autre projet où les données diffèrent, et là, la compensation ne jouera plus. C'est ainsi que les erreurs se propagent en bureau d'études.

Vérification au cisaillement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la note l'annonce dans ses objectifs et ne le fait jamais.

Méthodologie du calcul :

Contrainte de cisaillement maximale sur la section efficace, largeur réduite par \( k_{\text{cr}} \).

Substitution : \( 1{,}5 \times 5\,625 / (0{,}67 \times 22 \times 271) \).
Piège évité : Négliger \( k_{\text{cr}} \), ce qui donnerait un taux de 35 % au lieu de 52.
Hypothèse retenue : \( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \) maintenu au feu — choix conservatif, à discuter.
Vérification croisée : \( f_{v,\text{d,fi}} = 1{,}15 \times 3{,}5 = 4{,}03 \) N/mm², même logique de fractile.
Finalité : Compléter la vérification promise et confirmer que la flexion gouverne.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{d,fi}} &= \frac{1{,}5 \times 5\,625}{0{,}67 \times 22 \times 271} = 2{,}11 \ \text{N/mm}^{2} \\ \frac{2{,}11}{4{,}03} &= \mathbf{52{,}5 \ \%} \le 100 \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

52,5 % — vérifié, et la flexion reste bien le critère gouvernant.

Ordre de grandeur : Un peu plus de la moitié : confortable au regard des 94,6 % en flexion.
Impact sur la suite : La conclusion de l'étude repose donc bien sur la flexion.
Cohérence : Sur la section intacte, la même sollicitation ne donnerait que 8 % : la perte de largeur multiplie la contrainte par 6,4.
Attention : Sur une portée plus courte, le cisaillement pourrait devenir gouvernant.
Comparaison : Le fait qu'il ne gouverne pas ne dispensait pas de le calculer.

Remarque pédagogique : Faites relever que ce critère ne gouverne pas — et que cela ne justifie en rien de l'avoir omis. Une vérification annoncée dans les objectifs d'une note doit y figurer, ne serait-ce que pour prouver qu'elle a été examinée. Sur une portée de 3 m au lieu de 5, avec la même section brûlée, le rapport entre les deux critères s'inverserait : le tranchant croît quand la portée diminue, le moment décroît en carré.

Marge exprimée en durée de feu

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'en sécurité incendie, la minute est l'unité qui parle.

Méthodologie du calcul :

Recherche de la durée à laquelle le module efficace rejoint le module requis.

Substitution : Module requis \( = 7{,}03 \times 10^{6}/27{,}6 = 254\,755 \) mm³.
Piège évité : Croire qu'une marge de 5 % en contrainte donne 5 % de temps en plus.
Hypothèse validée : Carbonisation qui se poursuit au même rythme au-delà de 60 minutes.
Vérification croisée : Le module perd 6,9 % par minute à ce stade.
Finalité : Traduire un taux de travail en une grandeur physiquement parlante.

\[ \begin{aligned} W_{\text{ef}}(t) = W_{\text{requis}} \ \Rightarrow \ t = 60{,}8 \ \text{min} \quad \text{soit une marge de} \ \mathbf{47 \ \text{secondes}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

47 secondes — voilà ce que valent réellement 5,4 points de marge.

Ordre de grandeur : Moins d'une minute au-delà de l'exigence réglementaire.
Impact sur la suite : La section perd 6,9 % de module par minute : la marge s'évapore vite.
Cohérence : 5,4 points divisés par 6,9 points par minute donnent bien 0,8 minute.
Lecture correcte : R60 est satisfait : la marge n'a pas à être grande, elle doit exister.
Comparaison : Avec les chiffres de la note, on aurait cru disposer de 3,2 minutes.

Remarque pédagogique : Faites traduire systématiquement un taux de travail au feu en durée. C'est la conversion la plus éclairante de tout le calcul incendie : parce que la section décroît vite et que le module varie comme \( b\,h^{2} \), quelques points de taux ne valent que quelques dizaines de secondes. Un maître d'ouvrage comprend « quarante-sept secondes de plus que l'exigence » bien mieux que « 94,6 % » — et cela pose correctement la question du niveau de sécurité qu'il souhaite réellement.

RÉSULTAT FINAL

Flexion = 94,6 % — R60 satisfait, cisaillement à 52,5 % ; mais la marge ne représente que 47 secondes de feu, et la note annonçait 84 %

"Au feu, le bois est jugé sur sa moyenne, pas sur son pire !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — la section efficace après soixante minutes

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de vérification :

J'ai choisi la vitesse nominale \( \beta_{\text{n}} \), parce que la section a des angles. J'ai retranché le charbon et les 7 mm de bois échauffé. J'ai compté deux fois \( d_{\text{ef}} \) sur la largeur et une seule sur la hauteur. J'ai employé la combinaison accidentelle , sans coefficient partiel. J'ai appliqué \( k_{\text{fi}} \) pour passer au fractile à 20 %. J'ai vérifié le cisaillement , et pas seulement la flexion. J'ai traduit ma marge en minutes de feu , seule unité qui parle ici.

Avis technique — la solive est justifiée R60, mais à 94,6 % et non à 84 %, et sa marge ne représente que 47 secondes de feu. Avec la vitesse nominale \( \beta_{\text{n}} = 0{,}70 \) mm/min, la profondeur de carbonisation atteint 42 mm et l'épaisseur efficace perdue 49 mm par face exposée. La section efficace n'est plus que de 22 × 271 mm — contre 28 × 274 dans la note reprise — soit un élancement porté de 2,7 à 12,3 et seulement 13,1 % du module de flexion initial. Les actions de la combinaison accidentelle valent 2,25 kN/m, d'où \( M_{\text{d,fi}} = \) 7,03 kN·m et \( V_{\text{d,fi}} = \) 5,63 kN, soit 61 % de moins qu'à froid. Avec la résistance au feu correcte, \( f_{m,\text{d,fi}} = \) 27,6 N/mm², la flexion travaille à 94,6 % et le cisaillement à 52,5 %.

Le défaut central de la note reprise est de contenir deux erreurs de sens contraire qui se compensent presque : la vitesse \( \beta_{0} \) retenue au lieu de \( \beta_{\text{n}} \), et le coefficient \( k_{\text{fi}} \) omis. Prise seule, la première refuse la solive à 108,8 % ; prise seule, la seconde la valide à 72,7 %. Le taux réel, 94,6 %, ne laisse d'ailleurs que 47 secondes de feu au-delà des soixante exigées. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle corrige un procédé : seul un contrôle poste par poste détecte une compensation fortuite.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{\text{cr}} \) — § 6.1.7 : valeur 0,67 retenue ici ; l'atelier JRC Bruxelles 2008 évoque par ailleurs des \( f_{v,\text{k}} \) de 2,0 et 2,5 N/mm² relevant d'une autre édition.
\( \psi_{2} \) — EN 1990, Tableau A1.1 : 0,3 pour les catégories A et B.
NF EN 14080 — bois lamellé-collé : les valeurs caractéristiques du GL24h employées ici.

Résistance au feu d'un élément de structure en bois

Résistance au feu d'un élément de structure en bois

Le premier mois à 1 €

Solive au feu : deux erreurs qui se compensent et 47 secondes de marge

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Profondeur de carbonisation

Question 2 : Section efficace après 60 minutes

Question 3 : Actions en situation d'incendie

Question 4 (Finale) : Flexion, cisaillement et marge réelle

Solive au feu : deux erreurs qui se compensent et 47 secondes de marge

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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