Exercice corrigé

Réseau de distribution d'eau pour un village

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 25 mars 2026• 78 min de lecture• 6 vues

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Étude de cas · Note de calculs Réf. EP-15-VIL

Réseau de distribution d'eau pour un village

Conception hydraulique d'un réseau ramifié desservant mille deux cents habitants, depuis l'estimation des besoins jusqu'à la vérification de la pression résiduelle au point le plus défavorisé.

NiveauLicence / Master Génie Civil — Hydraulique urbaine

DomaineEau potable — réseaux de distribution

ThèmeDébit de pointe, diamètres & Hazen-Williams

PrérequisDotation journalière · Coefficient de pointe horaire · Équation de continuité · Vitesse admissible · Formule de Hazen-Williams · Ligne piézométrique · Pression résiduelle

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un village de mille deux cents habitants doit être alimenté depuis un château d'eau. Le réseau est ramifié : une conduite principale part du réservoir jusqu'à un nœud de partage, d'où deux antennes desservent le quartier résidentiel et l'école. La démarche descend une chaîne complète — d'une population à un volume, d'un volume à un débit, d'un débit à un diamètre, d'un diamètre à une perte de charge, et d'une perte de charge à une pression au robinet. Chaque maillon transporte les approximations du précédent.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent la démarche. Le premier relève de l'estimation des besoins, les trois autres du dimensionnement hydraulique :

Enjeu Principal : Un réseau de distribution ne se dimensionne pas sur la consommation moyenne mais sur le débit de pointe horaire, celui de l'heure de plus forte demande du jour de plus forte consommation. C'est la situation la plus défavorable pour la pression.
Le point le plus défavorisé : Ce n'est pas nécessairement le plus éloigné ni le plus haut. Il faut vérifier les deux antennes, car la longueur, le diamètre et l'altitude se combinent différemment sur chacune.
Le coefficient de matériau : Le coefficient de Hazen-Williams n'est pas une constante du PVC mais une plage. Retenir sa borne haute produit les pertes de charge les plus faibles, donc le dimensionnement le plus optimiste.
L'astuce de l'ingénieur : Ne pas se contenter du diamètre théorique : le diamètre commercial retenu impose de recalculer la vitesse réelle, qui ne coïncide jamais avec celle qui a servi au pré-dimensionnement.

Votre Mission :

Concevoir le réseau ramifié du village. Vous établirez d'abord le besoin journalier à partir de la population et de la dotation, puis le débit de pointe horaire à la sortie du château d'eau. Vous répartirez ensuite les débits dans les trois tronçons par l'équation de continuité, vous pré-dimensionnerez les diamètres pour respecter une plage de vitesse, et vous vérifierez enfin par la formule de Hazen-Williams que la pression résiduelle reste supérieure à l'exigence en chacun des deux points de livraison.

Le grand défi : Enchaîner cinq étapes sans perdre la trace des hypothèses. Chacune repose sur un coefficient — dotation, pointe, vitesse, matériau — dont la valeur retenue conditionne tout l'aval.
Votre rôle : Livrer un réseau défendable : les diamètres retenus, les vitesses réelles associées, les pressions obtenues et la marge dont elles disposent face aux hypothèses les plus défavorables.

PLAN DE REPÉRAGE — TRACÉ COTÉ DU RÉSEAU RAMIFIÉ

Livrables Attendus (Checklist) :

Le besoin journalier total du village, exprimé en mètres cubes par jour.
Le débit de pointe en sortie du château d'eau et sa répartition dans les trois tronçons.
Les diamètres commerciaux retenus et les vitesses réelles qui en découlent.
Les pertes de charge par tronçon et la pression résiduelle aux deux points de livraison.

2. Données Techniques & Normes

Les données de cette étude se répartissent en trois ensembles. Le premier décrit la demande : une population, une dotation, un coefficient de pointe. Le deuxième donne la géométrie du réseau : trois longueurs et quatre cotes. Le troisième énonce les exigences et paramètres de calcul : une pression minimale, une plage de vitesse et un coefficient de matériau. Trois de ces valeurs sont des coefficients dont le référentiel donne des plages, non des valeurs uniques : leur choix engage tout le dimensionnement.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Les deux premières relations estiment la demande, les deux suivantes dimensionnent les conduites, les deux dernières donnent les pertes de charge et la pression résiduelle.

Besoin journalier total \( V_j = N \times d \)
Débit de pointe horaire \( Q_p = k_2 \times \dfrac{V_j}{86\,400} \)
Diamètre pour une vitesse imposée \( D = \sqrt{\dfrac{4 Q}{\pi V}} \)
Vitesse réelle dans le diamètre commercial \( V = \dfrac{4 Q}{\pi D^2} \)
Perte de charge unitaire de Hazen-Williams \( J = 10{,}68 \times \dfrac{Q^{1{,}852}}{C_{wh}^{1{,}852} \, D^{4{,}871}} \)
Pression résiduelle à un point de livraison \( \dfrac{P}{\rho g} = H_A - \sum \Delta H - Z \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

ESTIMATION DE LA DEMANDE

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( N \)	Population totale à desservir, dont 800 habitants au point C et 400 au point D	1200	hab.
\( d \)	Dotation journalière par habitant, tous usages domestiques confondus — hypothèse de projet, l'évaluation des besoins faisant l'objet d'une étude locale Fascicule 4.2.3 FAT1 — § 7.1	150	L/j/hab
\( k_2 \)	Coefficient de pointe horaire. Le fascicule indique qu'il peut varier de moins de 2 pour des villes de plus de 10 000 habitants à plus de 3 pour une population inférieure à 2000 habitants Fascicule 4.2.3 FAT1 — § 7.5	3,0	—

GÉOMÉTRIE DU RÉSEAU RAMIFIÉ

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( H_A \)	Charge disponible en A : altitude du plan d'eau du château au-dessus du point A	35	m
\( L_{AB} \)	Longueur de la conduite principale, du château d'eau au nœud de partage	400	m
\( L_{BC} \)	Longueur de l'antenne desservant le quartier résidentiel	350	m
\( L_{BD} \)	Longueur de l'antenne desservant l'école et les habitations voisines	280	m
\( Z_B, Z_C, Z_D \)	Cotes du nœud de partage, du quartier résidentiel et de l'école, rapportées au point A	−2 / +1 / −5	m

EXIGENCES ET PARAMÈTRES DE CALCUL

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( P_{\text{min}} \)	Pression minimale exigée aux robinets par le cahier des charges. Le fascicule impose 1 bar minimum à l'heure de pointe pour les systèmes ruraux et 2 bars en zone urbaine Fascicule 4.2.3 FAT1 — § 5	2,0	bars
\( V_{\text{proj}} \)	Plage de vitesse imposée par le cahier des charges pour le pré-dimensionnement. Le fascicule retient 0,25 à 1 m/s pour les conduites principales de distribution et 0,5 à 1,5 m/s pour celles d'adduction Fascicule 4.2.3 FAT1 — § 6	0,8 à 1,5	m/s
\( C_{wh} \)	Coefficient de Hazen-Williams retenu pour le PVC. Le fascicule indique une plage de 140 à 150 pour ce matériau : la valeur retenue est la borne la plus favorable Fascicule 4.2.3 FAT1 — § 10.2	150	—

Hypothèses simplificatrices assumées

Consommation ponctuelle : les débits sont supposés entièrement prélevés aux points C et D, sans distribution en route le long des tronçons
Répartition des débits : proportionnelle à la population desservie par chaque antenne, la dotation étant identique pour tous
Pertes de charge : seules les pertes linéaires sont calculées ; les pertes singulières aux coudes, tés et vannes sont négligées
Niveau du réservoir : le plan d'eau est supposé constant, alors qu'en pratique il varie entre les niveaux haut et bas de la cuve

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Trois extraits sont mobilisés : les coefficients de pointe, les vitesses admissibles selon la fonction de la conduite, et le coefficient de Hazen-Williams avec sa correspondance en rugosité. Le dernier est déterminant : il révèle que la valeur retenue par le cahier des charges est la plus optimiste de la plage.

Coefficients de pointe (fascicule 4.2.3 FAT1, § 7.3 et § 7.5)

Coefficient	Indication du fascicule
Coefficient de pointe journalier	varie de 1,2 à 1,5 pour les grandes villes ; il diminue lorsque le nombre d'habitants augmente
Coefficient de pointe horaire	de moins de 2 pour des villes de plus de 10 000 habitants à plus de 3 pour une population inférieure à 2000 habitants
Débit à retenir pour l'adduction	débit moyen journalier affecté du coefficient de maximum journalier, compris entre 1,2 et 1,5
Débit à retenir pour les conduites de distribution	celui du maximum horaire, coefficient compris entre 1,8 et 4 en général ; pour les systèmes moyens on choisit 2

Vitesses considérées comme convenables (fascicule 4.2.3 FAT1, § 6)

Type de conduite	Plage admissible
Conduites principales du réseau d'adduction	0,5 m/s ≤ V ≤ 1,5 m/s
Conduites principales du réseau de distribution	0,25 m/s ≤ V ≤ 1 m/s

Coefficient de Hazen-Williams et correspondance en rugosité (fascicule 4.2.3 FAT1, § 10.2)

Matériau ou rugosité	Coefficient de Hazen-Williams
PVC	140 à 150
Béton, amiante-ciment, acier revêtu	130 à 150
Fonte revêtue	135 à 150
Correspondance — rugosité de 0,025 mm	145
Correspondance — rugosité de 0,05 mm	141
Correspondance — rugosité de 0,1 mm	136

Ce que révèle la table de correspondance : le fascicule associe un coefficient de Hazen-Williams de 136 à une rugosité de 0,1 mm, qui est précisément la borne basse de la rugosité de projet retenue pour les conduites d'adduction et conduites principales. Le coefficient de 150 imposé par le cahier des charges se situe donc au-dessus de toute la table de correspondance, et à la borne supérieure de la plage annoncée pour le PVC. C'est l'hypothèse la plus favorable possible : elle minimise les pertes de charge et maximise les pressions calculées. La note conduira donc le calcul demandé, puis vérifiera si les pressions restent conformes avec un coefficient de 136, plus représentatif d'une conduite en service.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche descend une chaîne à cinq maillons : d'une population à un volume, d'un volume à un débit, d'un débit à un diamètre, d'un diamètre à une perte de charge, et d'une perte de charge à une pression. Chaque maillon repose sur un coefficient dont le référentiel donne une plage, et l'étape finale est la seule qui permette de savoir si l'ensemble tient. C'est pourquoi la vérification des pressions ne se traite jamais comme une formalité de clôture.

Question 1 : Besoin journalier du village

Estimation des besoins 15 min | Accessible

But de l'étape : Transformer une donnée démographique en une donnée technique : le volume que le système devra fournir chaque jour.

Énoncé Q1 : Calculez le besoin journalier total du village en mètres cubes. Précisez le statut de la dotation retenue et ce dont elle dépend .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La dotation est une consommation par personne et par jour : elle se multiplie simplement par l'effectif desservi.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le résultat est demandé en mètres cubes : n'oubliez pas qu'un mètre cube vaut mille litres.

Question 2 : Débit de pointe en sortie du château d'eau

Coefficient de pointe 25 min | Accessible

But de l'étape : Passer d'un volume journalier à un débit instantané de dimensionnement, celui de l'heure la plus chargée.

Énoncé Q2 : Déterminez le débit de pointe à la sortie du château d'eau, en litres par seconde. Situez le coefficient retenu par rapport aux plages du référentiel et examinez ce que donnerait un cumul avec le coefficient de pointe journalier .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le débit moyen s'obtient en répartissant le volume journalier sur les 86 400 secondes d'une journée.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le coefficient de pointe est un multiplicateur sans dimension : il s'applique au débit moyen, pas au volume.

Question 3 : Répartition des débits dans les tronçons

Continuité 20 min | Accessible

But de l'étape : Appliquer la conservation du débit au nœud de partage et attribuer à chaque antenne la part qui lui revient.

Énoncé Q3 : Répartissez le débit de pointe entre les trois tronçons du réseau. Justifiez la clé de répartition retenue et vérifiez la conservation au nœud .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

En un nœud, tout ce qui entre ressort : la somme des débits des deux antennes vaut celui de la conduite principale.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La dotation étant identique pour tous, la répartition se fait au prorata des populations desservies.

Question 4 : Pré-dimensionnement des diamètres

Diamètres commerciaux 35 min | Confirmé

But de l'étape : Convertir chaque débit en une plage de diamètres admissibles, puis choisir dans la gamme commerciale et recalculer la vitesse réelle.

Énoncé Q4 : Pré-dimensionnez les diamètres des trois tronçons pour respecter la plage de vitesse imposée, retenez les diamètres commerciaux correspondants et vérifiez les vitesses réelles obtenues .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'équation de continuité s'inverse : à débit imposé et vitesse choisie correspond un diamètre unique.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les deux bornes de la plage de vitesse donnent deux diamètres : le diamètre commercial doit se situer entre les deux.

Question 5 (Finale) : Pertes de charge et pressions résiduelles

Hazen-Williams & vérification 45 min | BOSS

But de l'étape : Vérifier que le réseau tient sa promesse : une pression suffisante en chacun des deux points de livraison, à l'heure la plus défavorable.

Le moment de vérité : les débits sont répartis et les diamètres choisis. Reste à savoir si l'eau arrivera avec assez de pression — et avec quelle marge.

Calculez les pertes de charge de chaque tronçon par la formule de Hazen-Williams, déduisez-en les pressions résiduelles aux points C et D, vérifiez leur conformité, puis reprenez la vérification avec le coefficient de matériau correspondant à une rugosité de projet.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La pression en un point vaut la charge disponible en amont, diminuée des pertes accumulées et de l'altitude du point.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Chaque point de livraison cumule les pertes de deux tronçons : la conduite principale et son antenne.

NOTE DE CALCULS

Réseau de distribution d'eau pour un village

Question 1 : Besoin journalier du village

Dans la tête de l'ingénieur

« Une multiplication, et le projet commence. Mais je dois rester lucide sur ce que je manipule : la dotation n'est pas une constante physique, c'est une hypothèse sociologique. Elle dépend du niveau de vie, du climat, du type d'habitat, de la présence de jardins ou de piscines. Cent cinquante litres par jour et par habitant décrivent un mode de vie précis ; le référentiel rappelle d'ailleurs que l'évaluation des besoins doit faire l'objet d'une étude locale. Ce nombre est donc le premier maillon — et le plus fragile — de toute la chaîne de dimensionnement. »

Observation : la dotation est une donnée d'entrée du projet, pas un résultat de calcul. Tout ce qui suit en dépend proportionnellement.
Analyse du risque : une dotation sous-estimée conduirait à un réseau sous-dimensionné dès sa mise en service, avec des pressions insuffisantes aux heures de pointe.
Choix stratégique : retenir la valeur du cahier des charges, en la documentant comme une hypothèse et non comme une prescription réglementaire.
Alternative : majorer la population d'un taux de croissance à l'horizon du projet. Écartée : l'énoncé ne fournit ni horizon ni taux, et inventer l'un ou l'autre fausserait le résultat.
Objectif visé : obtenir le volume journalier, socle de tous les débits qui seront calculés ensuite.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

V_j = 180 m³/j · soit 65 700 m³ sur une année complète

Rappel Théorique : la dotation et l'estimation des besoins

La définition des besoins en eau est primordiale dans le dimensionnement des ouvrages de distribution. Elle constitue l'entrée de toute la chaîne de calcul et détermine, de proche en proche, les diamètres, les pressions et les coûts.

Une donnée très locale : le fascicule technique souligne que les besoins sont très dépendants des circonstances locales — type de consommateur, données climatiques, zones rurales ou urbaines, type d'habitat, niveau de vie.
Trois débits à connaître : pour la conception des réseaux, l'estimation des besoins nécessite de connaître le débit moyen journalier, le débit journalier de pointe et le débit de pointe horaire.
Une étude particulière : le référentiel précise que l'évaluation de ces données doit faire l'objet d'une étude particulière locale. Aucune valeur générique ne peut s'y substituer.
La taille du foyer : un foyer regroupe en moyenne cinq personnes en zone urbaine et six en zone rurale, avec de fortes variations selon les zones. Certains branchements peuvent en regrouper bien davantage.
Le poids de cette hypothèse : la dotation intervient linéairement dans le volume, donc dans le débit, mais les pertes de charge varient ensuite comme la puissance 1,852 du débit : l'erreur s'y amplifie.

Équations Fondamentales

La première relation donne le besoin journalier, base de tout le dimensionnement hydraulique. La seconde l'étend à l'année, échelle sur laquelle se raisonnent la ressource et l'exploitation.

Besoin journalier total :

Convertit une population et une dotation en un volume à fournir chaque jour.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la dotation est définie par personne et par jour : la multiplier par l'effectif desservi donne directement le volume quotidien, sans autre hypothèse.

Contexte de validité : elle suppose la dotation uniforme sur l'ensemble de la population desservie.
Avantage : elle transforme une donnée démographique en une grandeur technique immédiatement exploitable.
Paramètre clé : la dotation, hypothèse la plus incertaine du projet et celle qui gouverne tout l'aval.
Vérification : des litres par habitant et par jour multipliés par un nombre d'habitants donnent bien des litres par jour.
Limite : elle ne couvre que les usages domestiques : besoins industriels, artisanaux et de service ne sont pas comptés.

\[ V_j = N \times d \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle chiffre le volume que le réservoir doit restituer chaque jour pour satisfaire l'ensemble des usages domestiques du village.

Décomposition des termes :

\( V_j \) : besoin journalier total du village, unité : m³/j
\( N \) : population desservie par le réseau, unité : habitants
\( d \) : dotation journalière par habitant, unité : L/j/hab

Besoin annuel :

Étend le besoin journalier à l'échelle de l'exploitation et de la ressource.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le dimensionnement hydraulique raisonne à l'échelle de la seconde et de la journée, alors que la ressource, les autorisations de prélèvement et le budget d'exploitation se raisonnent à l'année.

Contexte de validité : elle suppose la consommation constante tout au long de l'année, hypothèse simplificatrice.
Avantage : elle donne l'ordre de grandeur du prélèvement annuel sur la ressource, donnée attendue dans tout dossier d'autorisation.
Paramètre clé : le besoin journalier, dont dépend directement le volume annuel.
Vérification : des mètres cubes par jour multipliés par des jours donnent bien des mètres cubes.
Limite : elle ignore la saisonnalité, pourtant marquée dans les villages à activité agricole ou touristique.

\[ V_{\text{an}} = V_j \times 365 \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle chiffre le prélèvement annuel sur la ressource, grandeur qui conditionne la disponibilité de l'eau et les autorisations administratives.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{an}} \) : besoin annuel du village, unité : m³/an
\( V_j \) : besoin journalier total, unité : m³/j
365 : nombre de jours de l'année, unité : j/an

L'Erreur Classique (Le Piège)

« La dotation de 150 litres par jour et par habitant est la valeur réglementaire : elle s'applique donc à tous les projets d'alimentation en eau potable. »

L'approche d'ingénieur : Il n'existe pas de dotation réglementaire universelle. Le fascicule technique énonce au contraire que les besoins sont très dépendants des circonstances locales et que leur évaluation doit faire l'objet d'une étude particulière.

L'erreur : transformer une hypothèse de projet en prescription normative, et l'appliquer sans examen à un autre contexte.
La bonne méthode : documenter la dotation comme une hypothèse, en indiquant sa source et le contexte auquel elle s'applique.
L'astuce de pro : vérifier la cohérence avec la consommation réellement facturée sur des réseaux comparables, lorsque cette donnée est disponible.
Le moyen mnémotechnique : « la dotation décrit un mode de vie, pas une norme ».
L'impact direct : la dotation intervient linéairement dans le débit, mais les pertes de charge varient comme la puissance 1,852 de ce débit : une erreur de 20 % sur la dotation en produit 40 % sur les pertes.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( N = 1200 \ \text{hab} \) : effectif desservi, sans dimension physique
\( d = 150 \ \text{L/j/hab} \) : dotation journalière individuelle
Produit obtenu en L/j, à convertir en m³/j
Conversion : 1 m³ = 1000 L
\( V_{\text{an}} \) : obtenu en m³/an

La seule difficulté de cette étape est la conversion finale : le produit sort naturellement en litres par jour, alors que les volumes de réseau se raisonnent en mètres cubes. Un facteur mille sépare les deux.

1. Besoin Journalier Volume à fournir chaque jour

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir le volume quotidien que le système devra produire et distribuer, socle de tous les débits de dimensionnement.

Méthodologie du calcul :

L'effectif est multiplié par la dotation individuelle, puis le résultat est converti en mètres cubes.

Substitution : on injecte \( N = 1200 \ \text{hab} \) et \( d = 150 \ \text{L/j/hab} \).
Piège évité : ne pas oublier la conversion finale : 180 000 litres ne sont pas 180 000 mètres cubes.
Hypothèse validée : la dotation est supposée uniforme et couvre les seuls usages domestiques.
Vérification croisée : 1200 multipliés par 150 valent 180 000 ; divisés par mille, cela donne 180 m³.
Finalité : disposer du volume journalier pour en déduire le débit de pointe.

\[ \begin{aligned} V_j &= N \times d \\ &= 1200 \ \text{hab} \times 150 \ \frac{\text{L}}{\text{j} \cdot \text{hab}} \\ &= 180\,000 \ \text{L/j} \\ &= \mathbf{180} \ \text{m}^3\text{/j} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

180 m³ par jour : c'est le volume que le réservoir doit restituer quotidiennement. Rapporté aux 1200 habitants, il correspond bien à la dotation retenue, et permet déjà de situer l'ordre de grandeur de l'ouvrage de stockage.

Ordre de grandeur : moins de deux cents mètres cubes par jour, échelle caractéristique d'un petit système villageois.
Impact sur la suite : ce volume sera converti en débit moyen, puis affecté du coefficient de pointe.
Cohérence : la conversion des litres en mètres cubes est bien opérée : le résultat est mille fois plus petit que le produit brut.
Attention : ce volume ne couvre que les usages domestiques et n'inclut ni la défense incendie ni les besoins de service du réseau.
Comparaison : une dotation de 100 L/j/hab ramènerait ce besoin à 120 m³/j, soit un tiers de moins.

Remarque pédagogique : la première étape d'un projet d'alimentation en eau consiste toujours à traduire une réalité sociale — une population et ses usages — en une grandeur physique. C'est aussi l'étape où se logent les incertitudes les plus fortes.

2. Prélèvement Annuel Volume mobilisé sur une année

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour situer le projet à l'échelle de la ressource, seule pertinente pour apprécier la disponibilité de l'eau et instruire les autorisations.

Méthodologie du calcul :

Le besoin journalier est multiplié par le nombre de jours de l'année, la consommation étant supposée régulière.

Substitution : on injecte \( V_j = 180 \ \text{m}^3\text{/j} \) et 365 jours.
Piège évité : ce volume annuel ne sert pas au dimensionnement hydraulique, qui raisonne toujours sur le débit de pointe.
Hypothèse validée : la consommation est supposée constante toute l'année, sans variation saisonnière.
Vérification croisée : 180 multipliés par 365 : environ 66 000 m³.
Finalité : fournir l'ordre de grandeur du prélèvement sur la ressource.

\[ \begin{aligned} V_{\text{an}} &= V_j \times 365 \\ &= 180 \ \frac{\text{m}^3}{\text{j}} \times 365 \ \text{j} \\ &= \mathbf{65\,700} \ \text{m}^3\text{/an} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

65 700 m³ par an : c'est le volume à mobiliser sur la ressource, hors pertes du réseau. Ce chiffre situe le projet à une échelle très différente de celle du dimensionnement hydraulique, qui raisonne en litres par seconde.

Ordre de grandeur : de l'ordre de soixante-cinq mille mètres cubes, prélèvement modeste à l'échelle d'une ressource.
Usage : cette valeur alimente le dossier de ressource et le budget d'exploitation, non le calcul des diamètres.
Cohérence : des mètres cubes par jour multipliés par des jours donnent bien des mètres cubes.
Attention : ce volume correspond à la consommation ; le volume à produire sera supérieur, du fait des pertes en distribution.
Comparaison : avec un rendement de réseau de 80 %, il faudrait produire 82 125 m³ par an pour distribuer ce volume.

Remarque pédagogique : un même projet se décrit à trois échelles de temps — la seconde pour les conduites, la journée pour le réservoir, l'année pour la ressource. Savoir passer de l'une à l'autre fait partie du métier.

RÉSULTAT FINAL

V_j = 180 m³/j soit un prélèvement annuel de 65 700 m³ sur la ressource

« La dotation décrit un mode de vie, pas une norme. C'est l'hypothèse la plus fragile de la chaîne. »

Question 2 : Débit de pointe en sortie du château d'eau

Dans la tête de l'ingénieur

« Un village ne consomme pas régulièrement. Le matin avant le départ au travail, le soir au retour, la demande se concentre sur quelques heures, tandis que la nuit le réseau est presque à l'arrêt. Dimensionner sur la moyenne reviendrait à garantir une pression correcte à trois heures du matin et à laisser les robinets faiblir au moment où tout le monde s'en sert. Le coefficient de pointe horaire corrige cela. Reste à savoir si la valeur de trois qu'on me donne est prudente : le référentiel annonce plus de trois pour une population inférieure à deux mille habitants. Je suis donc à la borne inférieure de ce qui est attendu. »

Observation : le coefficient de pointe diminue lorsque la population augmente : les usages se lissent statistiquement à mesure que le nombre d'abonnés croît.
Analyse du risque : un coefficient sous-estimé produit un réseau qui fonctionne bien en moyenne et défaille aux heures de pointe — précisément lorsque les usagers le sollicitent.
Choix stratégique : appliquer le coefficient du cahier des charges, puis vérifier ce que donnerait le cumul avec le coefficient de pointe journalier, conformément à la définition stricte des deux notions.
Alternative : retenir un coefficient de 4, borne haute des valeurs usuelles en distribution. Écartée : elle conduirait à surdimensionner sensiblement un réseau villageois.
Objectif visé : obtenir le débit de dimensionnement et mesurer la marge dont il dispose face à une hypothèse plus sévère.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Q_p = 6,25 L/s · 7,50 L/s en cumulant avec le coefficient de pointe journalier minimal

Rappel Théorique : les coefficients de pointe et le débit de dimensionnement

La consommation d'eau n'est régulière ni dans l'année, ni dans la semaine, ni dans la journée. Deux coefficients traduisent ces variations, et il importe de savoir lequel s'applique à quel ouvrage.

Le coefficient de pointe journalier : rapport du débit de pointe journalier au débit moyen journalier. Il diminue lorsque le nombre d'habitants augmente et varie de 1,2 à 1,5 pour les grandes villes.
Le coefficient de pointe horaire : rapport du débit de pointe horaire du jour de pointe au débit moyen horaire de ce même jour. Il peut varier de moins de 2 pour des villes de plus de 10 000 habitants à plus de 3 pour une population inférieure à 2000 habitants.
Le débit à retenir pour l'adduction : c'est le maximum journalier, obtenu en affectant la consommation journalière moyenne d'un coefficient compris entre 1,2 et 1,5.
Le débit à retenir pour la distribution : c'est celui du maximum horaire, correspondant aux consommations aux heures de pointe. Le fascicule indique un coefficient généralement compris entre 1,8 et 4, et retient 2 pour les systèmes moyens.
Pourquoi la pointe est plus marquée en village : avec peu d'abonnés, les usages se synchronisent — mêmes horaires de lever, de repas, de retour. La compensation statistique qui lisse la demande des grandes villes n'y opère pas.

Équations Fondamentales

La première relation ramène le volume journalier à un débit continu ; la seconde y applique le coefficient de pointe pour obtenir le débit qui dimensionne réellement les conduites.

Débit moyen journalier :

Convertit le besoin journalier en un débit continu équivalent.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les conduites se dimensionnent en débit, non en volume. Répartir le volume journalier sur les 86 400 secondes de la journée donne le débit continu fictif qui produirait le même volume.

Contexte de validité : ce débit est une moyenne et ne correspond à aucun instant réel de fonctionnement.
Avantage : il fournit la base de référence à laquelle tous les coefficients de pointe se rapportent.
Paramètre clé : le nombre de secondes dans une journée, soit 86 400, qu'il faut retenir.
Vérification : des mètres cubes par jour divisés par des secondes par jour donnent bien des mètres cubes par seconde.
Limite : ce débit ne doit jamais servir directement au dimensionnement d'une conduite de distribution.

\[ Q_{\text{moy}} = \frac{V_j}{86\,400} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle donne le débit qu'il faudrait maintenir en permanence pour délivrer le volume journalier, si la consommation était parfaitement régulière.

Décomposition des termes :

\( Q_{\text{moy}} \) : débit moyen journalier, unité : m³/s
\( V_j \) : besoin journalier total, unité : m³/j
86 400 : nombre de secondes dans une journée, unité : s/j

Débit de pointe horaire :

Donne le débit de dimensionnement des conduites de distribution.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un réseau doit satisfaire la demande à l'instant le plus chargé, non en moyenne. Le coefficient de pointe traduit la concentration des usages sur quelques heures de la journée.

Contexte de validité : le coefficient dépend de la taille de la population desservie et diminue quand celle-ci augmente.
Avantage : il ramène en un seul nombre toute la structure temporelle de la demande, inconnue en phase de conception.
Paramètre clé : le coefficient lui-même : passer de 3 à 4 majore le débit de dimensionnement d'un tiers.
Vérification : le coefficient étant sans dimension, le résultat conserve l'unité d'un débit.
Limite : appliqué au débit moyen journalier, il ne prend pas en compte la pointe du jour de plus forte consommation.

\[ Q_p = k_2 \times Q_{\text{moy}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle chiffre le débit que le réseau doit être capable de délivrer à l'heure de plus forte demande, situation qui commande tout le dimensionnement.

Décomposition des termes :

\( Q_p \) : débit de pointe de dimensionnement, unité : L/s
\( k_2 \) : coefficient de pointe horaire, unité : sans dimension
\( Q_{\text{moy}} \) : débit moyen journalier, unité : L/s

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le village consomme 180 m³ par jour, soit 2,08 L/s. On dimensionne donc les conduites pour ce débit, qui correspond exactement au besoin. »

L'approche d'ingénieur : Le débit moyen est une fiction commode qui ne correspond à aucun instant réel. Le fascicule impose de retenir, pour les conduites de distribution, le débit du maximum horaire — soit ici trois fois davantage.

L'erreur : confondre le débit moyen avec le débit de dimensionnement. Le premier sert à la ressource, le second aux conduites.
La bonne méthode : appliquer le coefficient de pointe adapté à la fonction de l'ouvrage : maximum journalier pour l'adduction, maximum horaire pour la distribution.
L'astuce de pro : se rappeler que le coefficient de pointe est d'autant plus élevé que la population est faible : un village n'a pas le lissage statistique d'une ville.
Le moyen mnémotechnique : « un réseau se dimensionne sur l'heure de pointe, jamais sur la moyenne ».
L'impact direct : dimensionner sur 2,08 L/s au lieu de 6,25 L/s conduirait à des diamètres très insuffisants et à un effondrement de la pression aux heures de forte demande.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( V_j = 180 \ \text{m}^3\text{/j} \) : besoin journalier établi à la question précédente
86 400 s/j : nombre de secondes dans une journée
\( Q_{\text{moy}} \) : obtenu en m³/s, converti en L/s par multiplication par 1000
\( k_2 = 3{,}0 \) : coefficient sans dimension
\( Q_p \) : obtenu en L/s, unité usuelle des réseaux

Le litre par seconde est l'unité de travail des réseaux d'eau potable, alors que les formules hydrauliques exigent des mètres cubes par seconde. Les deux conversions successives — du jour à la seconde, puis du mètre cube au litre — doivent être menées séparément pour rester contrôlables.

1. Débit Moyen Journalier Répartition du volume sur la journée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir la base de référence à laquelle le coefficient de pointe sera appliqué.

Méthodologie du calcul :

Le volume journalier est divisé par le nombre de secondes de la journée, puis le résultat est converti en litres par seconde.

Substitution : on injecte \( V_j = 180 \ \text{m}^3\text{/j} \) et 86 400 s/j.
Piège évité : diviser par 86 400 et non par 24 : le débit se mesure à la seconde, non à l'heure.
Hypothèse validée : la consommation est momentanément supposée uniforme sur les vingt-quatre heures — hypothèse que le coefficient de pointe corrigera aussitôt.
Vérification croisée : 180 divisés par 86 400 valent environ deux millièmes : le résultat avoisine 2 L/s.
Finalité : disposer du débit de référence pour appliquer le coefficient de pointe.

\[ \begin{aligned} Q_{\text{moy}} &= \frac{V_j}{86\,400} \\ &= \frac{180 \ \text{m}^3\text{/j}}{86\,400 \ \text{s/j}} \\ &= 2{,}083 \times 10^{-3} \ \text{m}^3\text{/s} \\ &= \mathbf{2{,}083} \ \text{L/s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,083 L/s : c'est le débit continu fictif équivalent à la consommation journalière. Il ne correspond à aucun instant réel de fonctionnement et ne peut en aucun cas servir au dimensionnement des conduites.

Ordre de grandeur : environ deux litres par seconde pour mille deux cents habitants, soit 1,7 millilitre par seconde et par habitant.
Impact sur la suite : ce débit sera multiplié par le coefficient de pointe pour obtenir le débit de dimensionnement.
Cohérence : des mètres cubes par jour divisés par des secondes par jour donnent bien des mètres cubes par seconde.
Attention : cette valeur ne caractérise que la ressource à mobiliser en continu, pas le réseau à construire.
Comparaison : ce débit correspond au remplissage d'un seau de dix litres en moins de cinq secondes.

Remarque pédagogique : le débit moyen est une construction intermédiaire, indispensable au calcul mais dépourvue de réalité physique. Le confondre avec un débit de service est l'erreur la plus lourde de conséquences de tout le dimensionnement.

2. Débit de Pointe Application du coefficient de pointe horaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir le débit que le réseau devra effectivement délivrer à l'heure de plus forte demande, seul débit de dimensionnement légitime.

Méthodologie du calcul :

Le débit moyen est multiplié par le coefficient de pointe horaire retenu, conformément à la règle applicable aux conduites de distribution.

Substitution : on injecte \( Q_{\text{moy}} = 2{,}083 \ \text{L/s} \) et \( k_2 = 3{,}0 \).
Piège évité : le coefficient de pointe s'applique au débit, jamais au volume journalier.
Hypothèse validée : la valeur de 3,0 correspond à la borne inférieure de ce que le référentiel annonce pour une population inférieure à 2000 habitants.
Vérification croisée : tripler un peu plus de deux litres par seconde donne un peu plus de six litres par seconde.
Finalité : fournir le débit à répartir dans les tronçons et à convertir en diamètres.

\[ \begin{aligned} Q_p &= k_2 \times Q_{\text{moy}} \\ &= 3{,}0 \times 2{,}083 \ \text{L/s} \\ &= \mathbf{6{,}25} \ \text{L/s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

6,25 L/s : c'est le débit de dimensionnement du réseau. Il représente trois fois la consommation moyenne, ce qui traduit la forte concentration des usages sur quelques heures dans un village de cette taille.

Ordre de grandeur : un peu plus de six litres par seconde, soit 22,5 m³ par heure.
Impact sur la suite : ce débit sera réparti entre les deux antennes puis converti en diamètres.
Cohérence : le coefficient étant sans dimension, le résultat conserve bien l'unité d'un débit.
Position dans la plage : la valeur de 3,0 est la borne basse annoncée pour une population inférieure à 2000 habitants : l'hypothèse n'est pas conservatrice.
Comparaison : un coefficient de 4, borne haute des valeurs usuelles en distribution, porterait ce débit à 8,33 L/s.

Remarque pédagogique : le coefficient de pointe est l'endroit où se joue l'essentiel du dimensionnement. Il concentre en un seul nombre toute la structure temporelle de la demande, que le concepteur ne connaît pas encore.

3. Contrôle par la Définition Stricte Cumul avec le coefficient de pointe journalier

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le coefficient de pointe horaire est défini par rapport au jour de pointe, et non par rapport à la journée moyenne : les deux coefficients se cumulent en toute rigueur.

Méthodologie du calcul :

Le débit moyen journalier est d'abord affecté du coefficient de pointe journalier, puis du coefficient de pointe horaire. La borne basse de 1,2 est retenue pour le premier.

Substitution : on injecte \( C_{pj} = 1{,}2 \), \( k_2 = 3{,}0 \) et \( Q_{\text{moy}} = 2{,}083 \ \text{L/s} \).
Piège évité : les deux coefficients se multiplient, ils ne s'additionnent pas.
Hypothèse validée : la borne basse du coefficient journalier est retenue, ce qui constitue l'hypothèse la plus favorable.
Vérification croisée : majorer 6,25 de 20 % donne 7,50 L/s.
Finalité : mesurer la marge dont dispose le dimensionnement face à une lecture plus stricte des définitions.

\[ \begin{aligned} Q_{p,\text{strict}} &= C_{pj} \times k_2 \times Q_{\text{moy}} \\ &= 1{,}2 \times 3{,}0 \times 2{,}083 \ \text{L/s} \\ &= \mathbf{7{,}50} \ \text{L/s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,50 L/s contre 6,25 L/s : la lecture stricte des définitions majore le débit de dimensionnement de 20 %. Ce débit servira de test de robustesse au réseau conçu, une fois les diamètres retenus.

Écart : un cinquième de débit supplémentaire, obtenu avec l'hypothèse la plus favorable du coefficient journalier.
Usage : ce débit servira à éprouver les diamètres retenus, sans se substituer au débit du cahier des charges.
Cohérence : le produit de deux coefficients sans dimension conserve l'unité du débit.
Effet sur les pertes : les pertes de charge variant comme la puissance 1,852 du débit, elles seraient majorées de 40 %.
Comparaison : avec un coefficient journalier de 1,5, borne haute, le débit atteindrait 9,37 L/s.

Remarque pédagogique : deux coefficients définis sur des bases différentes — la journée moyenne et le jour de pointe — ne se manipulent pas indifféremment. Vérifier la base de référence de chaque coefficient avant de l'appliquer évite des écarts de plusieurs dizaines de pour cent.

RÉSULTAT FINAL

Q_p = 6,25 L/s soit trois fois le débit moyen — 7,50 L/s en cumulant avec le coefficient de pointe journalier

« Un réseau se dimensionne sur l'heure de pointe, jamais sur la moyenne. »

Question 3 : Répartition des débits dans les tronçons

Dans la tête de l'ingénieur

« Le réseau est ramifié, et c'est une chance : chaque point n'est desservi que par un seul chemin, si bien que les débits se déduisent sans calcul itératif. Dans un réseau maillé, il faudrait résoudre un système d'équations pour savoir par où l'eau passe. Ici, la conservation au nœud suffit : ce qui entre en B se partage entre les deux antennes, au prorata des populations desservies. Une seule vigilance : la conduite principale doit porter le débit total, celui de la pointe simultanée sur les deux antennes. »

Observation : dans un réseau ramifié, chaque point est atteint par un chemin unique : la répartition des débits est déterminée sans ambiguïté.
Analyse du risque : supposer que les pointes des deux antennes ne coïncident pas conduirait à sous-dimensionner la conduite principale. Sur un même village, les usages sont au contraire synchronisés.
Choix stratégique : répartir au prorata des populations, la dotation étant identique pour tous les habitants desservis.
Alternative : majorer la part de l'école pour tenir compte d'usages spécifiques. Écartée : l'énoncé ne fournit aucune donnée permettant de chiffrer une telle majoration.
Objectif visé : attribuer à chaque tronçon le débit qui servira à en déterminer le diamètre.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Q_AB = 6,25 L/s · Q_BC = 4,167 L/s · Q_BD = 2,083 L/s

Rappel Théorique : réseau ramifié et conservation au nœud

Un réseau de distribution peut être ramifié ou maillé. Cette distinction structurelle commande la méthode de calcul des débits et détermine aussi la qualité du service rendu.

Le réseau ramifié : il se développe en arborescence, chaque point n'étant desservi que par un chemin unique. Les débits s'y déterminent de proche en proche, en partant des extrémités.
La conservation au nœud : en tout point de jonction, la somme des débits entrants égale la somme des débits sortants. C'est l'équation de continuité appliquée à un carrefour.
La faiblesse du ramifié : une rupture sur la conduite principale prive tout l'aval de son alimentation. Le réseau maillé, lui, offre des chemins de secours.
La vanne de sectionnement : elle joue un rôle important sur ce type de réseau : elle permet d'isoler les tronçons pour les interventions de réparation sans priver l'ensemble du village.
La simultanéité des pointes : sur un même village, les usages se produisent aux mêmes heures. La conduite principale doit donc porter la somme des débits de pointe des deux antennes, sans coefficient de non-simultanéité.

Équations Fondamentales

La première relation exprime la conservation au nœud de partage ; la seconde fournit la clé de répartition entre les deux antennes.

Conservation du débit au nœud :

Exprime que le débit entrant se retrouve intégralement dans les débits sortants.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un nœud ne stocke rien. En régime permanent, tout volume qui y parvient en repart immédiatement par l'une ou l'autre des antennes.

Contexte de validité : elle suppose le régime permanent et l'absence de consommation en route sur les tronçons.
Avantage : sur un réseau ramifié, elle suffit à déterminer tous les débits sans résolution de système.
Paramètre clé : la simultanéité des pointes : sans elle, le débit de la conduite principale serait inférieur à la somme.
Vérification : la somme des débits des antennes doit redonner exactement celui de la conduite principale.
Limite : elle ne s'applique telle quelle qu'aux réseaux ramifiés ; un réseau maillé exige une résolution itérative.

\[ Q_{AB} = Q_{BC} + Q_{BD} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle traduit que la conduite principale doit porter, à elle seule, la totalité de ce que les deux antennes distribueront simultanément.

Décomposition des termes :

\( Q_{AB} \) : débit dans la conduite principale, unité : L/s
\( Q_{BC} \) : débit dans l'antenne desservant le quartier résidentiel, unité : L/s
\( Q_{BD} \) : débit dans l'antenne desservant l'école, unité : L/s

Répartition au prorata des populations :

Attribue à chaque antenne la part du débit correspondant à sa population desservie.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la dotation est identique pour tous les habitants : le débit qu'une antenne doit délivrer est donc exactement proportionnel au nombre de personnes qu'elle alimente.

Contexte de validité : elle exige une dotation uniforme et l'absence d'usages spécifiques différenciés.
Avantage : elle ne demande aucune donnée supplémentaire : la répartition démographique suffit.
Paramètre clé : la population desservie par chaque antenne, donnée à établir avec soin sur le terrain.
Vérification : la somme des parts doit valoir l'unité : deux tiers et un tiers dans le cas présent.
Limite : elle ne rend pas compte d'usages non domestiques concentrés sur une antenne, comme une activité artisanale.

\[ Q_i = Q_p \times \frac{N_i}{N} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle répartit le débit total au prorata des besoins, chaque antenne recevant la fraction correspondant à sa part de population.

Décomposition des termes :

\( Q_i \) : débit de l'antenne considérée, unité : L/s
\( Q_p \) : débit de pointe total du village, unité : L/s
\( N_i \) : population desservie par l'antenne, unité : habitants
\( N \) : population totale du village, unité : habitants

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Les deux antennes n'atteignent pas leur pointe au même instant. On peut donc dimensionner la conduite principale sur un débit inférieur à la somme, par exemple 5 L/s au lieu de 6,25. »

L'approche d'ingénieur : Le raisonnement transpose à tort un principe valable entre villes distinctes. Sur un même village, les usages sont synchronisés par les rythmes de vie communs : lever, repas, retour du travail. La pointe est simultanée.

L'erreur : introduire un coefficient de non-simultanéité là où les usages sont commandés par les mêmes horaires.
La bonne méthode : appliquer la conservation stricte au nœud : le débit principal vaut la somme des débits des antennes.
L'astuce de pro : se rappeler que le coefficient de pointe horaire intègre déjà la variabilité temporelle : la réintroduire une seconde fois reviendrait à la compter deux fois en sens inverse.
Le moyen mnémotechnique : « dans un village, tout le monde se lève à la même heure ».
L'impact direct : sous-dimensionner la conduite principale pénaliserait les deux antennes à la fois, puisque toutes deux en dépendent.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( Q_p = 6{,}25 \ \text{L/s} \) : débit de pointe total établi à la question précédente
\( N_C = 800 \ \text{hab} \) et \( N_D = 400 \ \text{hab} \) : populations desservies
Le rapport des populations est sans dimension
Les débits des antennes s'obtiennent en L/s
Contrôle : la somme des deux doit redonner exactement 6,25 L/s

Le contrôle de cette étape est immédiat et gratuit : la somme des débits attribués aux antennes doit redonner celui de la conduite principale. Toute autre valeur signale une erreur de répartition.

1. Répartition des Débits Débits des trois tronçons au prorata des populations

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour attribuer à chaque tronçon le débit qui servira à en déterminer le diamètre puis les pertes de charge.

Méthodologie du calcul :

La conduite principale reçoit le débit total. Chaque antenne reçoit la fraction correspondant à sa part de population, et la somme est vérifiée.

Substitution : on injecte \( Q_p = 6{,}25 \ \text{L/s} \), \( N_C/N = 800/1200 \) et \( N_D/N = 400/1200 \).
Piège évité : la conduite principale porte le total : elle ne se répartit pas, elle cumule.
Hypothèse validée : la dotation est identique pour les deux zones desservies, ce qui légitime la répartition démographique.
Vérification croisée : les fractions valent deux tiers et un tiers : les débits doivent être dans un rapport de deux.
Finalité : disposer des trois débits pour engager le dimensionnement des conduites.

a. Débit de la conduite principale AB

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la conduite principale achemine la totalité du débit de pointe avant toute division : elle ne se répartit pas, elle cumule les besoins des deux antennes situées à l'aval du nœud B.

\[ Q_{AB} = Q_p = \mathbf{6{,}250} \ \text{L/s} \]

Le débit de la conduite de tête est donc égal au débit de pointe du village : aucune consommation n'est prélevée entre le réservoir et le nœud de dérivation.

b. Débit de l'antenne BC desservant le quartier résidentiel

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la dotation étant identique dans les deux zones, le débit se partage au prorata des populations desservies : le quartier résidentiel compte 800 habitants sur les 1200 du village.

\[ \begin{aligned} Q_{BC} &= Q_p \times \frac{N_C}{N} \\ &= 6{,}250 \ \text{L/s} \times \frac{800}{1200} \\ &= \mathbf{4{,}167} \ \text{L/s} \end{aligned} \]

L'antenne résidentielle porte les deux tiers du débit de pointe, ce qui correspond exactement à sa part de population.

c. Débit de l'antenne BD desservant l'école

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la seconde antenne dessert les 400 habitants restants et reçoit donc la fraction complémentaire du débit de pointe.

\[ \begin{aligned} Q_{BD} &= Q_p \times \frac{N_D}{N} \\ &= 6{,}250 \ \text{L/s} \times \frac{400}{1200} \\ &= \mathbf{2{,}083} \ \text{L/s} \end{aligned} \]

L'antenne de l'école porte le tiers du débit de pointe, soit la moitié de ce que transporte l'antenne résidentielle.

d. Vérification de la continuité au nœud B

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la conservation de la masse impose que ce qui entre au nœud en ressorte intégralement. Ce contrôle valide la répartition avant d'engager le dimensionnement des conduites.

\[ \begin{aligned} Q_{BC} + Q_{BD} &= 4{,}167 + 2{,}083 \\ &= \mathbf{6{,}250} \ \text{L/s} = Q_{AB} \end{aligned} \]

La somme des deux antennes redonne exactement le débit de la conduite principale : la continuité au nœud est satisfaite.

Analyse intermédiaire du chiffre :

6,250 / 4,167 / 2,083 L/s : la conservation au nœud est vérifiée exactement. L'antenne du quartier résidentiel porte deux fois le débit de celle de l'école, conformément au rapport des populations.

Continuité vérifiée : la somme des deux antennes redonne exactement le débit de la conduite principale.
Hiérarchie des tronçons : AB porte 100 % du débit, BC en porte 66,7 % et BD 33,3 %.
Cohérence : le débit de l'antenne BD égale par coïncidence le débit moyen journalier du village entier.
Conséquence sur les diamètres : trois débits différents appelleront trois diamètres différents, décroissants de l'amont vers l'aval.
Comparaison : une répartition démographique inversée porterait le débit de l'antenne BD à 4,167 L/s.

Remarque pédagogique : sur un réseau ramifié, les débits se déterminent sans calcul itératif : c'est le principal avantage de cette structure. Un réseau maillé, en revanche, exige de résoudre un système d'équations pour connaître la répartition des écoulements.

2. Débits sous l'Hypothèse Stricte Répartition au débit majoré du coefficient journalier

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer du jeu de débits qui servira à éprouver la robustesse des diamètres retenus.

Méthodologie du calcul :

La même clé de répartition est appliquée au débit majoré de 7,50 L/s établi à la question précédente.

Substitution : on injecte \( Q_{p,\text{strict}} = 7{,}50 \ \text{L/s} \) et les mêmes fractions démographiques.
Piège évité : la clé de répartition ne change pas : seule l'amplitude du débit total est modifiée.
Hypothèse validée : ces débits constituent un scénario de contrôle et ne se substituent pas à ceux du cahier des charges.
Vérification croisée : chaque débit doit être 20 % supérieur à celui du cas de base.
Finalité : préparer le contrôle des vitesses et des pressions en situation majorée.

a. Débit majoré de la conduite principale AB

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le scénario de contrôle repart du débit de pointe majoré établi précédemment, que la conduite de tête achemine en totalité.

\[ Q_{AB}' = Q_{p,\text{strict}} = \mathbf{7{,}500} \ \text{L/s} \]

La conduite principale doit donc transiter 1,25 L/s de plus que dans le cas de base, sans changement de la clé de répartition à l'aval.

b. Débit majoré de l'antenne BC

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la fraction démographique reste inchangée : seule l'amplitude du débit total est modifiée par le scénario de contrôle.

\[ \begin{aligned} Q_{BC}' &= Q_{p,\text{strict}} \times \frac{N_C}{N} \\ &= 7{,}500 \ \text{L/s} \times \frac{800}{1200} \\ &= \mathbf{5{,}000} \ \text{L/s} \end{aligned} \]

Le débit de l'antenne résidentielle passe de 4,167 à 5,000 L/s, soit une majoration de 20 % comme attendu.

c. Débit majoré de l'antenne BD

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la vérification des vitesses et des pressions doit porter sur tous les tronçons, y compris la plus petite antenne.

\[ \begin{aligned} Q_{BD}' &= Q_{p,\text{strict}} \times \frac{N_D}{N} \\ &= 7{,}500 \ \text{L/s} \times \frac{400}{1200} \\ &= \mathbf{2{,}500} \ \text{L/s} \end{aligned} \]

Le débit de l'antenne de l'école passe de 2,083 à 2,500 L/s, et la somme des deux antennes redonne bien les 7,500 L/s de la conduite principale.

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,50 / 5,00 / 2,50 L/s : chaque tronçon voit son débit majoré d'un cinquième. Ces valeurs serviront à vérifier que les diamètres retenus conservent des vitesses admissibles et des pressions conformes en situation plus sévère.

Cohérence : chaque débit est bien 20 % supérieur à celui du cas de base.
Usage : ce jeu de débits constitue le scénario de contrôle des questions suivantes.
Continuité : 5,00 plus 2,50 redonnent bien 7,50 L/s.
Effet attendu : les pertes de charge, variant comme la puissance 1,852 du débit, seront majorées de 40 %.
Comparaison : les vitesses, elles, ne croîtront que de 20 %, proportionnellement au débit.

Remarque pédagogique : préparer un scénario de contrôle dès l'amont, plutôt que de le reconstruire à la fin, permet de mener les vérifications de robustesse sans refaire toute la chaîne de calcul.

RÉSULTAT FINAL

Q_AB / Q_BC / Q_BD = 6,250 / 4,167 / 2,083 L/s conservation vérifiée au nœud — scénario de contrôle : 7,50 / 5,00 / 2,50 L/s

« Dans un village, tout le monde se lève à la même heure : la pointe est simultanée. »

Question 4 : Pré-dimensionnement des diamètres

Dans la tête de l'ingénieur

« Le diamètre n'est pas une inconnue à résoudre mais un choix à faire, et ce choix est doublement contraint. D'un côté la plage de vitesse imposée me donne un intervalle de diamètres acceptables ; de l'autre, la gamme commerciale ne m'offre que quelques valeurs discrètes. Je dois donc trouver, pour chaque tronçon, le diamètre du commerce qui tombe dans l'intervalle — puis recalculer la vitesse réelle qui en découle, car elle ne sera ni celle de la borne haute ni celle de la borne basse. Et je garde un œil sur le référentiel : pour une conduite de distribution, la plage admissible s'arrête à un mètre par seconde. »

Observation : à débit imposé, la vitesse et le diamètre sont liés : fixer l'une revient à imposer l'autre. La plage de vitesse se traduit donc en plage de diamètres.
Analyse du risque : retenir le diamètre théorique sans le ramener à la gamme commerciale produirait un projet irréalisable, et la vitesse réelle resterait inconnue.
Choix stratégique : calculer les deux bornes de l'intervalle pour chaque tronçon, choisir le diamètre commercial qui s'y inscrit, puis vérifier la vitesse réelle obtenue.
Alternative : adopter un diamètre unique pour tout le réseau. Écartée : elle surdimensionnerait les antennes et renchérirait inutilement la pose.
Objectif visé : retenir trois diamètres réalisables, en vérifiant que les vitesses réelles restent dans les plages — celle du cahier des charges comme celle du référentiel.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

DN 90 (0,982 m/s) · DN 75 (0,943 m/s) · DN 50 (1,061 m/s)

Rappel Théorique : du débit au diamètre commercial

Le pré-dimensionnement consiste à convertir un débit en un diamètre, en s'imposant une vitesse de référence. C'est l'opération inverse de l'équation de continuité, et elle ne fournit qu'un point de départ : la gamme commerciale impose ensuite un arbitrage.

Les plages selon la fonction : le fascicule technique juge convenables des vitesses de 0,5 à 1,5 m/s dans les conduites principales d'adduction, et de 0,25 à 1 m/s dans celles du réseau de distribution.
Pourquoi une borne basse : des vitesses trop faibles favorisent l'accumulation des dépôts, acheminent mal l'air vers les ventouses et augmentent le temps de séjour de l'eau, facteur de dégradation de sa qualité.
Pourquoi une borne haute : des vitesses trop élevées induisent des pertes de charge excessives et augmentent les risques de cavitation ainsi que les effets de coup de bélier.
L'effet du diamètre : la section varie comme le carré du diamètre. Passer d'un diamètre nominal au suivant dans la gamme modifie donc fortement la vitesse.
La gamme commerciale : les conduites ne sont disponibles qu'en diamètres normalisés. Le diamètre théorique n'est jamais retenu tel quel : il sert à désigner celui du commerce qui convient.

Équations Fondamentales

La première relation donne le diamètre correspondant à une vitesse imposée ; la seconde, une fois le diamètre commercial retenu, redonne la vitesse réelle.

Diamètre pour une vitesse imposée :

Inverse l'équation de continuité pour obtenir le diamètre à partir du débit et de la vitesse.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le débit est une donnée du problème et la vitesse une contrainte de conception : le diamètre est la seule inconnue. Il suffit d'isoler celui-ci dans l'équation de continuité.

Contexte de validité : elle donne un diamètre théorique qui ne correspond en général à aucun produit du commerce.
Avantage : appliquée aux deux bornes de la plage de vitesse, elle délimite l'intervalle dans lequel chercher le diamètre commercial.
Paramètre clé : la vitesse imposée : la borne haute donne le plus petit diamètre, la borne basse le plus grand.
Vérification : la racine carrée d'un rapport entre m³/s et m/s donne bien un résultat en mètres.
Limite : elle ignore le coût : entre deux diamètres admissibles, l'arbitrage économique reste à faire.

\[ D = \sqrt{\frac{4 Q}{\pi V}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle donne la taille du passage qu'il faut offrir au débit pour que l'eau y circule à la vitesse voulue.

Décomposition des termes :

\( D \) : diamètre théorique de la conduite, unité : m
\( Q \) : débit à véhiculer dans le tronçon, unité : m³/s
\( V \) : vitesse imposée par la contrainte de conception, unité : m/s

Vitesse réelle dans le diamètre retenu :

Redonne la vitesse effective une fois le diamètre commercial choisi.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le diamètre retenu diffère toujours du diamètre théorique. La vitesse qui en résulte n'est donc ni celle qui a servi au pré-dimensionnement, ni une valeur qu'on puisse deviner.

Contexte de validité : elle exige le diamètre intérieur réel de la conduite retenue.
Avantage : elle permet de vérifier que le choix commercial respecte effectivement les plages de vitesse.
Paramètre clé : le diamètre au carré : un écart de dix pour cent sur le diamètre en produit vingt et un sur la vitesse.
Vérification : la vitesse obtenue doit se situer entre les deux vitesses de bornes ayant servi au pré-dimensionnement.
Limite : c'est la vitesse au débit de pointe ; aux heures creuses, elle sera bien plus faible.

\[ V = \frac{4 Q}{\pi D^2} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle donne la vitesse à laquelle l'eau circulera effectivement dans la conduite posée, celle qui gouvernera les pertes de charge.

Décomposition des termes :

\( V \) : vitesse réelle au débit de pointe, unité : m/s
\( Q \) : débit du tronçon, unité : m³/s
\( D \) : diamètre intérieur de la conduite retenue, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le diamètre théorique du tronçon AB vaut 72,8 mm pour une vitesse de 1,5 m/s. On retient donc une conduite de 73 mm et le dimensionnement est terminé. »

L'approche d'ingénieur : Aucune conduite de 73 mm n'existe au catalogue. Le diamètre théorique sert uniquement à délimiter l'intervalle dans lequel chercher un diamètre normalisé, dont la vitesse réelle doit ensuite être vérifiée.

L'erreur : confondre un résultat de calcul avec un produit disponible, et s'arrêter avant la vérification.
La bonne méthode : calculer les deux bornes de l'intervalle, choisir dans la gamme normalisée, puis recalculer la vitesse réelle.
L'astuce de pro : la borne haute de vitesse donne le plus petit diamètre acceptable, la borne basse le plus grand : l'intervalle est toujours dans cet ordre.
Le moyen mnémotechnique : « le calcul propose, le catalogue dispose ».
L'impact direct : la vitesse réelle dans le DN 90 retenu vaut 0,982 m/s et non 1,5 : les pertes de charge en seront très différentes.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Débits convertis en m³/s : 6,250 × 10⁻³, 4,167 × 10⁻³ et 2,083 × 10⁻³
Vitesses de bornes : 0,8 et 1,5 m/s, selon le cahier des charges
Diamètres théoriques obtenus en m, exprimés ensuite en mm
Diamètres commerciaux retenus en mm, reconvertis en m pour la vitesse
Vitesses réelles obtenues en m/s

Les allers-retours entre millimètres et mètres sont ici nombreux, et le diamètre intervient au carré dans le calcul de la vitesse. Chaque conversion doit donc être posée explicitement plutôt que menée de tête.

1. Intervalles de Diamètres Admissibles Bornes issues des deux vitesses limites

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour délimiter, tronçon par tronçon, l'intervalle dans lequel un diamètre commercial pourra être choisi.

Méthodologie du calcul :

La relation inverse de la continuité est appliquée deux fois par tronçon, avec la vitesse maximale puis la vitesse minimale de la plage imposée.

Substitution : on injecte les trois débits et les vitesses de 1,5 puis 0,8 m/s.
Piège évité : la vitesse maximale donne le diamètre minimal : les deux grandeurs varient en sens inverse.
Hypothèse validée : la plage de 0,8 à 1,5 m/s est celle du cahier des charges ; le référentiel retient 0,25 à 1 m/s en distribution.
Vérification croisée : le rapport des deux bornes vaut la racine du rapport des vitesses, soit environ 1,37 pour tous les tronçons.
Finalité : disposer des trois intervalles où chercher les diamètres normalisés.

\[ \begin{aligned} D_{AB} &: \sqrt{\frac{4 \times 6{,}250 \times 10^{-3}}{\pi \times 1{,}5}} = 72{,}8 \ \text{mm} \ \ \text{à} \ \ \sqrt{\frac{4 \times 6{,}250 \times 10^{-3}}{\pi \times 0{,}8}} = 99{,}7 \ \text{mm} \\ D_{BC} &: \sqrt{\frac{4 \times 4{,}167 \times 10^{-3}}{\pi \times 1{,}5}} = 59{,}5 \ \text{mm} \ \ \text{à} \ \ \sqrt{\frac{4 \times 4{,}167 \times 10^{-3}}{\pi \times 0{,}8}} = 81{,}4 \ \text{mm} \\ D_{BD} &: \sqrt{\frac{4 \times 2{,}083 \times 10^{-3}}{\pi \times 1{,}5}} = 42{,}0 \ \text{mm} \ \ \text{à} \ \ \sqrt{\frac{4 \times 2{,}083 \times 10^{-3}}{\pi \times 0{,}8}} = 57{,}6 \ \text{mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trois intervalles nettement séparés : 72,8 à 99,7 mm pour la conduite principale, 59,5 à 81,4 mm pour l'antenne du quartier et 42,0 à 57,6 mm pour celle de l'école. Chacun contient au moins un diamètre normalisé.

Largeur des intervalles : le rapport entre bornes vaut 1,37 dans les trois cas, puisqu'il ne dépend que du rapport des vitesses.
Décroissance vers l'aval : les diamètres décroissent naturellement de la conduite principale vers les antennes, à mesure que le débit se partage.
Cohérence : le débit de BD valant la moitié de celui de BC, son diamètre théorique en vaut la racine carrée, soit environ 71 %.
Marge de choix : chaque intervalle contient un ou deux diamètres normalisés, ce qui laisse peu de liberté.
Comparaison : avec la plage du référentiel en distribution, 0,25 à 1 m/s, l'intervalle du tronçon AB s'étendrait de 89,2 à 178,4 mm.

Remarque pédagogique : le rapport entre les deux bornes d'un intervalle ne dépend que du rapport des vitesses, jamais du débit. Une plage de vitesse plus large donne donc plus de liberté sur tous les tronçons à la fois.

2. Choix Commerciaux et Vitesses Réelles Diamètres normalisés retenus et vitesses correspondantes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la vitesse réelle dans le diamètre posé diffère toujours de celle qui a servi au pré-dimensionnement, et que c'est elle qui gouvernera les pertes de charge.

Méthodologie du calcul :

Un diamètre normalisé est retenu dans chaque intervalle, puis la relation de continuité est appliquée en sens direct pour obtenir la vitesse effective.

Substitution : on retient DN 90 pour AB, DN 75 pour BC et DN 50 pour BD.
Piège évité : pour le tronçon BD, le DN 63 donnerait une vitesse de 0,668 m/s, en deçà de la borne basse du cahier des charges.
Hypothèse validée : les diamètres nominaux sont assimilés aux diamètres intérieurs pour la conduite du calcul.
Vérification croisée : chaque vitesse obtenue doit tomber entre 0,8 et 1,5 m/s.
Finalité : figer les diamètres du projet et disposer des vitesses réelles pour la suite.

a. Vitesse dans la conduite principale AB en DN 90

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la conduite de tête transporte le débit le plus élevé : c'est sur elle que se juge d'abord le respect de la plage de vitesse admissible.

\[ \begin{aligned} V_{AB} &= \frac{4 \, Q_{AB}}{\pi \, D_{AB}^2} \\ &= \frac{4 \times 6{,}250 \times 10^{-3} \ \text{m}^3\text{/s}}{\pi \times (0{,}090 \ \text{m})^2} \\ &= \mathbf{0{,}982} \ \text{m/s} \end{aligned} \]

La vitesse s'établit juste sous le mètre par seconde : le DN 90 convient pour la conduite principale.

b. Vitesse dans l'antenne BC en DN 75

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le diamètre décroît en même temps que le débit : il faut vérifier que la réduction de section ne fait pas sortir la vitesse de la plage admissible.

\[ \begin{aligned} V_{BC} &= \frac{4 \, Q_{BC}}{\pi \, D_{BC}^2} \\ &= \frac{4 \times 4{,}167 \times 10^{-3} \ \text{m}^3\text{/s}}{\pi \times (0{,}075 \ \text{m})^2} \\ &= \mathbf{0{,}943} \ \text{m/s} \end{aligned} \]

Le DN 75 conduit à une vitesse légèrement inférieure à celle de la conduite principale, ce qui reste parfaitement admissible.

c. Vitesse dans l'antenne BD en DN 50

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le tronçon le plus étroit : le débit y est le plus faible, mais la section décroît plus vite que le débit, ce qui peut faire remonter la vitesse.

\[ \begin{aligned} V_{BD} &= \frac{4 \, Q_{BD}}{\pi \, D_{BD}^2} \\ &= \frac{4 \times 2{,}083 \times 10^{-3} \ \text{m}^3\text{/s}}{\pi \times (0{,}050 \ \text{m})^2} \\ &= \mathbf{1{,}061} \ \text{m/s} \end{aligned} \]

C'est bien sur l'antenne la moins chargée que la vitesse est la plus élevée : le débit a été divisé par trois mais la section par 3,24.

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,982 / 0,943 / 1,061 m/s : les trois vitesses respectent la plage imposée par le cahier des charges. Rapportées à la plage de 0,25 à 1 m/s que le fascicule retient pour les conduites de distribution, seule celle du tronçon BD la dépasse légèrement.

Conformité au cahier des charges : les trois vitesses sont comprises entre 0,8 et 1,5 m/s.
Écart au référentiel : la vitesse du tronçon BD, 1,061 m/s, dépasse de 6 % la borne de 1 m/s applicable aux conduites principales de distribution.
Arbitrage : le diamètre immédiatement supérieur, DN 63, ramènerait cette vitesse à 0,668 m/s — conforme au référentiel mais hors de la plage du cahier des charges.
Cohérence : chaque vitesse tombe bien entre les deux bornes ayant délimité son intervalle.
Comparaison : au débit majoré du scénario de contrôle, ces vitesses deviendraient 1,179 / 1,132 / 1,273 m/s, toutes encore inférieures à 1,5 m/s.

Remarque pédagogique : lorsqu'une plage imposée par le cahier des charges et une plage issue du référentiel ne se recouvrent qu'en partie, le concepteur doit signaler l'écart et documenter son arbitrage. Le taire reviendrait à laisser croire à une conformité complète.

RÉSULTAT FINAL

DN retenus : 90 / 75 / 50 vitesses réelles 0,982 / 0,943 / 1,061 m/s, toutes dans la plage du cahier des charges

« Le calcul propose, le catalogue dispose. La vitesse réelle se recalcule toujours après le choix. »

Question 5 : Pertes de charge et pressions résiduelles

Dans la tête de l'ingénieur

« L'étape décisive. Tout ce qui précède n'était qu'une préparation : c'est ici que le projet est validé ou renvoyé à la planche à dessin. Deux points à vérifier, et je me méfie de mon intuition sur lequel sera le plus critique. L'école est cinq mètres plus bas, ce qui lui offre cinq mètres de charge supplémentaire ; mais son antenne est en diamètre cinquante, où l'eau perd beaucoup plus vite son énergie. Le quartier résidentiel, lui, est un mètre plus haut, avec une antenne plus longue mais plus large. Les deux effets se compensent partiellement, et seul le calcul tranchera. Ensuite, je referai le tout avec un coefficient de matériau réaliste. »

Observation : chaque point de livraison cumule les pertes de deux tronçons : la conduite principale, commune aux deux, puis son antenne propre.
Analyse du risque : se contenter de vérifier le point le plus éloigné laisserait passer une insuffisance sur l'autre branche. Les deux doivent être calculées.
Choix stratégique : vérifier les deux points avec les données du cahier des charges, puis reprendre le calcul avec un coefficient de matériau correspondant à une rugosité de projet.
Alternative : majorer les pertes d'un pourcentage forfaitaire au titre des pertes singulières. Écartée : l'énoncé ne fournit ni le nombre ni la nature des accessoires.
Objectif visé : prononcer la conformité du réseau et quantifier la marge dont elle dispose face aux hypothèses défavorables.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

P_C = 2,53 bars · P_D = 2,88 bars · conforme, mais 1,99 bar en C dans le cas cumulé défavorable

Rappel Théorique : Hazen-Williams et la ligne piézométrique

La formule de Hazen-Williams est une formule empirique très utilisée pour les réseaux d'eau potable. Elle exprime la perte de charge en fonction du débit, du diamètre et d'un coefficient caractérisant l'état de la surface intérieure de la conduite.

Son domaine d'emploi : le fascicule technique précise qu'elle s'applique lorsque le régime est turbulent, ce qui est le cas de toutes les conduites de distribution aux vitesses usuelles.
Le coefficient de matériau : il varie selon le matériau et surtout selon la rugosité, c'est-à-dire l'état de la surface intérieure. Pour le PVC, le fascicule indique une plage de 140 à 150.
La correspondance avec la rugosité : la table du fascicule associe un coefficient de 136 à une rugosité de 0,1 mm, de 141 à 0,05 mm et de 145 à 0,025 mm. Le coefficient de 150 se situe donc au-delà de toute la table.
La ligne piézométrique : elle représente en chaque point la charge disponible, décroissante de l'amont vers l'aval. La pression en un point s'obtient en retranchant l'altitude de ce point à la charge qui y règne.
Le rôle des vannes de sectionnement : elles permettent d'isoler les tronçons pour les interventions de réparation. Leur position conditionne l'étendue des coupures d'eau lors des travaux.

Équations Fondamentales

La première relation donne la dissipation le long de chaque tronçon ; la seconde en déduit la pression disponible au point de livraison, seule grandeur que l'usager perçoit.

Perte de charge de Hazen-Williams :

Donne la perte de charge unitaire en fonction du débit, du diamètre et du coefficient de matériau.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est explicite : contrairement à la formule de Colebrook, elle donne directement la perte de charge sans itération. C'est ce qui explique son usage courant pour les réseaux comportant de nombreux tronçons.

Contexte de validité : elle s'applique en régime turbulent et suppose le débit exprimé en mètres cubes par seconde, le diamètre en mètres.
Avantage : son caractère explicite la rend immédiatement calculable, y compris à la main, sur un grand nombre de tronçons.
Paramètre clé : le diamètre, élevé à la puissance 4,87 : le réduire de moitié multiplie la perte de charge par près de trente.
Vérification : le résultat est une perte de charge par mètre de conduite, à multiplier ensuite par la longueur.
Limite : étant empirique, elle est calée sur l'eau et sur une plage de conditions ; elle n'a pas la généralité de la formule de Darcy.

\[ J = 10{,}68 \times \frac{Q^{1{,}852}}{C_{wh}^{1{,}852} \times D^{4{,}87}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle chiffre la hauteur d'eau perdue par mètre de conduite parcouru, sous l'effet des frottements sur la paroi.

Décomposition des termes :

\( J \) : perte de charge unitaire, unité : m/m
\( Q \) : débit véhiculé par le tronçon, unité : m³/s
\( C_{wh} \) : coefficient de Hazen-Williams du matériau, unité : sans dimension
\( D \) : diamètre intérieur de la conduite, unité : m

Pression résiduelle au point de livraison :

Donne la charge de pression disponible en un point du réseau.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la charge disponible en amont se consomme de deux façons : en frottements le long du parcours, et en altitude lorsque le point est situé plus haut. Ce qui reste est la pression.

Contexte de validité : les cotes doivent être exprimées dans le même repère que la charge amont.
Avantage : elle donne directement la grandeur que l'usager perçoit à son robinet et que la réglementation encadre.
Paramètre clé : la somme des pertes accumulées sur le chemin, qui dépend du parcours suivi et non de la distance à vol d'oiseau.
Vérification : un point plus bas que la référence gagne de la pression : son altitude négative s'ajoute.
Limite : elle donne la pression au débit de pointe ; aux heures creuses, la pression sera nettement supérieure.

\[ \frac{P}{\rho g} = H_A - \sum \Delta H - Z \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle chiffre ce qu'il reste de la charge du château d'eau une fois les frottements payés et la remontée éventuelle effectuée.

Décomposition des termes :

\( P/\rho g \) : charge de pression disponible au point considéré, unité : m
\( H_A \) : charge disponible au départ, altitude du plan d'eau, unité : m
\( \sum \Delta H \) : somme des pertes de charge sur le chemin parcouru, unité : m
\( Z \) : cote du point de livraison, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Les deux points affichent plus de 2,5 bars, largement au-dessus de l'exigence. Le réseau est donc conforme avec une marge confortable et le dossier peut être clos. »

L'approche d'ingénieur : La conformité est réelle, la marge ne l'est pas. Elle repose sur deux hypothèses favorables cumulées : un coefficient de pointe pris à sa borne basse et un coefficient de matériau pris au-delà de toute la table de correspondance du référentiel.

L'erreur : apprécier une marge sans examiner la sensibilité du résultat aux hypothèses qui l'ont produit.
La bonne méthode : reprendre le calcul avec les hypothèses défavorables mais plausibles, et vérifier si la conformité résiste.
L'astuce de pro : cumuler les deux écarts : un débit majoré de 20 % et un coefficient ramené à 136 multiplient les pertes par 1,68.
Le moyen mnémotechnique : « une marge n'existe que si elle survit aux hypothèses ».
L'impact direct : dans ce scénario cumulé, la pression au quartier résidentiel tombe à 1,99 bar : l'exigence n'est plus satisfaite.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Débits en m³/s : 6,250 × 10⁻³, 4,167 × 10⁻³ et 2,083 × 10⁻³
Diamètres en m : 0,090, 0,075 et 0,050
\( C_{wh} = 150 \) : coefficient sans dimension
\( J \) obtenu en m/m, à multiplier par la longueur en m
Conversion finale : 1 bar ≈ 10,20 mCE

Deux vigilances s'imposent. Le débit doit être introduit en mètres cubes par seconde : l'usage des litres par seconde fausserait le résultat d'un facteur considérable, la puissance étant proche de deux. Et le diamètre doit être en mètres, avec un exposant de 4,87 qui amplifie toute erreur d'unité.

1. Pertes de Charge par Tronçon Application de la formule de Hazen-Williams

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour quantifier l'énergie dissipée sur chaque tronçon, seule inconnue restante avant le calcul des pressions.

Méthodologie du calcul :

La perte unitaire est calculée pour chaque tronçon avec son débit et son diamètre propres, puis multipliée par la longueur du tronçon.

Substitution : on injecte les trois couples débit-diamètre et \( C_{wh} = 150 \).
Piège évité : ne pas oublier d'élever le coefficient de matériau à la puissance 1,852 : il figure au dénominateur avec le même exposant que le débit.
Hypothèse validée : seules les pertes linéaires sont comptées ; le régime est turbulent, condition d'emploi de la formule.
Vérification croisée : le tronçon BD porte le plus petit débit mais dans le plus petit diamètre : sa perte unitaire doit être la plus forte.
Finalité : disposer des trois pertes de charge pour établir les pressions résiduelles.

a. Perte de charge unitaire sur la conduite principale AB

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir l'énergie dissipée par mètre de conduite sur le tronçon qui transporte la totalité du débit de pointe.

\[ \begin{aligned} J_{AB} &= 10{,}68 \times \frac{Q_{AB}^{1{,}852}}{C_{wh}^{1{,}852} \times D_{AB}^{4{,}87}} \\ &= 10{,}68 \times \frac{(6{,}250 \times 10^{-3})^{1{,}852}}{150^{1{,}852} \times (0{,}090)^{4{,}87}} \\ &= \mathbf{0{,}010215} \ \text{m/m} \end{aligned} \]

La conduite principale dissipe environ 10,2 mm par mètre de longueur, soit un gradient hydraulique de 1,02 %.

b. Perte de charge totale sur la conduite principale AB

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la perte cumulée sur toute la longueur qui se retranche de la charge disponible au départ du château d'eau.

\[ \begin{aligned} \Delta H_{AB} &= J_{AB} \times L_{AB} \\ &= 0{,}010215 \ \text{m/m} \times 400 \ \text{m} \\ &= \mathbf{4{,}09} \ \text{m} \end{aligned} \]

Plus de quatre mètres de charge sont consommés avant même d'atteindre le nœud de partage.

c. Perte de charge unitaire sur l'antenne BC

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le débit et le diamètre changent tous deux à l'aval du nœud : le gradient doit être recalculé avec les grandeurs propres à ce tronçon.

\[ \begin{aligned} J_{BC} &= 10{,}68 \times \frac{Q_{BC}^{1{,}852}}{C_{wh}^{1{,}852} \times D_{BC}^{4{,}87}} \\ &= 10{,}68 \times \frac{(4{,}167 \times 10^{-3})^{1{,}852}}{150^{1{,}852} \times (0{,}075)^{4{,}87}} \\ &= \mathbf{0{,}011715} \ \text{m/m} \end{aligned} \]

Bien que le débit ait chuté d'un tiers, le gradient augmente : la réduction de diamètre l'emporte, car elle intervient à la puissance 4,87.

d. Perte de charge totale sur l'antenne BC

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la charge dissipée entre le nœud de partage et le point de livraison du quartier résidentiel.

\[ \begin{aligned} \Delta H_{BC} &= J_{BC} \times L_{BC} \\ &= 0{,}011715 \ \text{m/m} \times 350 \ \text{m} \\ &= \mathbf{4{,}10} \ \text{m} \end{aligned} \]

L'antenne résidentielle consomme autant de charge que la conduite principale, alors qu'elle est plus courte de cinquante mètres.

e. Perte de charge unitaire sur l'antenne BD

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce tronçon associe le plus petit débit au plus petit diamètre : c'est là que le gradient hydraulique atteint sa valeur maximale.

\[ \begin{aligned} J_{BD} &= 10{,}68 \times \frac{Q_{BD}^{1{,}852}}{C_{wh}^{1{,}852} \times D_{BD}^{4{,}87}} \\ &= 10{,}68 \times \frac{(2{,}083 \times 10^{-3})^{1{,}852}}{150^{1{,}852} \times (0{,}050)^{4{,}87}} \\ &= \mathbf{0{,}023373} \ \text{m/m} \end{aligned} \]

Le gradient est plus du double de celui de la conduite principale, pour un débit trois fois plus faible.

f. Perte de charge totale sur l'antenne BD

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour identifier le point le plus défavorisé du réseau, celui sur lequel se jugera la conformité de la pression de service.

\[ \begin{aligned} \Delta H_{BD} &= J_{BD} \times L_{BD} \\ &= 0{,}023373 \ \text{m/m} \times 280 \ \text{m} \\ &= \mathbf{6{,}54} \ \text{m} \end{aligned} \]

C'est la perte la plus forte du réseau, alors que ce tronçon est à la fois le plus court et le moins chargé.

Analyse intermédiaire du chiffre :

4,09 / 4,10 / 6,54 m : l'antenne de l'école dissipe à elle seule plus que la conduite principale, alors qu'elle est plus courte et véhicule trois fois moins de débit. Son petit diamètre en est la cause : la perte unitaire y est plus du double de celle du tronçon AB.

Ordre de grandeur : des pertes de quatre à sept mètres, sur une charge disponible de trente-cinq.
Poids du diamètre : la perte unitaire du DN 50 vaut 2,3 fois celle du DN 90, malgré un débit trois fois plus faible.
Chemins comparés : le trajet vers C dissipe 8,19 m au total, celui vers D 10,63 m.
Cohérence : une perte unitaire en m/m multipliée par une longueur en m donne bien une hauteur.
Comparaison : un DN 63 sur l'antenne BD ramènerait sa perte à environ 2,1 m, mais au prix d'une vitesse de 0,668 m/s.

Remarque pédagogique : le diamètre intervient à la puissance 4,87 : c'est de très loin le paramètre le plus influent de la formule. Un tronçon court en petit diamètre peut dissiper davantage qu'un tronçon long en grand diamètre.

2. Pressions Résiduelles Charge disponible aux deux points de livraison

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour prononcer la conformité du réseau au regard de l'exigence de pression minimale.

Méthodologie du calcul :

De la charge amont sont retranchées les pertes cumulées sur le chemin, puis l'altitude du point. Le résultat est converti en bars pour être comparé à l'exigence.

Substitution : on injecte \( H_A = 35 \ \text{m} \), les pertes établies et les cotes \( Z_C = +1 \ \text{m} \), \( Z_D = -5 \ \text{m} \).
Piège évité : l'altitude de D étant négative, sa soustraction revient à une addition : le point gagne cinq mètres de pression.
Hypothèse validée : la charge amont est celle du plan d'eau, supposé constant, et non celle du radier du réservoir.
Vérification croisée : les deux résultats doivent dépasser 20,4 mCE, équivalent des 2 bars exigés.
Finalité : prononcer la conformité et identifier le point le plus défavorisé.

\[ \begin{aligned} \frac{P_C}{\rho g} &= 35 - (4{,}09 + 4{,}10) - 1 = 25{,}81 \ \text{mCE} = \mathbf{2{,}53} \ \text{bars} \\ \frac{P_D}{\rho g} &= 35 - (4{,}09 + 6{,}54) - (-5) = 29{,}37 \ \text{mCE} = \mathbf{2{,}88} \ \text{bars} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,53 et 2,88 bars : les deux points sont conformes. Contre l'intuition, le point le plus défavorisé est le quartier résidentiel et non l'école, pourtant desservie par l'antenne la plus dissipative : les cinq mètres de dénivelé favorable de cette dernière compensent largement ses pertes supplémentaires.

Conformité : les deux pressions dépassent l'exigence de 2 bars, avec des marges de 0,53 et 0,88 bar.
Point le plus défavorisé : le quartier résidentiel, dont la marge est la plus faible malgré une antenne moins dissipative.
Rôle de la topographie : l'école dissipe 2,44 m de plus que le quartier, mais gagne six mètres de dénivelé relatif.
Position dans la plage de confort : les deux valeurs se situent dans la plage de 3 à 5 bars… en dessous de sa borne basse, mais au-dessus du minimum réglementaire.
Comparaison : aux heures creuses, les pertes devenant négligeables, la pression avoisinerait 3,3 bars en C.

Remarque pédagogique : le point le plus défavorisé d'un réseau n'est ni le plus éloigné ni le plus haut par principe : il résulte de la combinaison des pertes et de l'altitude. Il faut calculer chaque branche pour le désigner.

3. Contrôle avec un Coefficient de Matériau Réaliste Reprise du calcul avec le coefficient correspondant à une rugosité de 0,1 mm

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le coefficient de 150 se situe au-delà de toute la table de correspondance du fascicule, et qu'une conduite en service ne conserve pas indéfiniment l'état de surface d'un tube neuf.

Méthodologie du calcul :

Les pertes étant inversement proportionnelles au coefficient élevé à la puissance 1,852, un simple facteur multiplicatif suffit à toutes les recalculer.

Substitution : on remplace \( C_{wh} = 150 \) par 136, valeur associée par le fascicule à une rugosité de 0,1 mm.
Piège évité : le facteur n'est pas le rapport des coefficients mais ce rapport élevé à la puissance 1,852.
Hypothèse validée : les débits et diamètres sont inchangés : seul l'état de surface est modifié.
Vérification croisée : un rapport de coefficients de 1,10 élevé à la puissance 1,852 donne environ 1,20.
Finalité : vérifier si la conformité résiste à une hypothèse de matériau plus réaliste.

\[ \begin{aligned} f &= \left( \frac{150}{136} \right)^{1{,}852} = 1{,}199 \\ \Delta H_{AB}' &= 4{,}90 \ \text{m} \ ; \ \Delta H_{BC}' = 4{,}92 \ \text{m} \ ; \ \Delta H_{BD}' = 7{,}85 \ \text{m} \\ \frac{P_C'}{\rho g} &= 35 - 9{,}82 - 1 = 24{,}18 \ \text{mCE} = \mathbf{2{,}37} \ \text{bars} \\ \frac{P_D'}{\rho g} &= 35 - 12{,}75 + 5 = 27{,}25 \ \text{mCE} = \mathbf{2{,}67} \ \text{bars} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,37 et 2,67 bars : la conformité est maintenue, mais la marge du quartier résidentiel passe de 0,53 à 0,37 bar. Un simple changement de coefficient, du reste parfaitement justifié par le référentiel, a consommé près du tiers de la marge disponible.

Conformité maintenue : les deux points restent au-dessus de 2 bars.
Marge consommée : la marge en C perd 0,16 bar, soit 30 % de sa valeur initiale.
Ampleur du facteur : les pertes augmentent de 20 % pour un coefficient réduit de moins de 10 %.
Cohérence : le rapport des pressions n'est pas celui des pertes, la charge amont et l'altitude restant inchangées.
Comparaison : avec un coefficient de 140, borne basse de la plage PVC, le facteur ne serait que de 1,14.

Remarque pédagogique : un exposant de 1,852 amplifie tout écart sur le coefficient. Une variation apparemment modeste de l'hypothèse produit un effet nettement plus marqué sur le résultat.

4. Scénario Cumulé Défavorable Débit majoré et coefficient de matériau réaliste

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour éprouver la conception face au cumul des deux hypothèses défavorables, chacune prise dans sa version la plus modérée.

Méthodologie du calcul :

Les deux facteurs multiplicatifs sont combinés : celui du débit majoré de 20 % et celui du coefficient ramené à 136.

Substitution : on applique le facteur \( 1{,}2^{1{,}852} = 1{,}402 \) puis le facteur 1,199 établi précédemment.
Piège évité : les deux facteurs se multiplient : les traiter séparément sous-estimerait l'effet cumulé.
Hypothèse validée : les deux hypothèses sont prises dans leur version la plus modérée : coefficient journalier de 1,2 et coefficient de matériau de 136.
Vérification croisée : 1,402 multiplié par 1,199 donne 1,68 : les pertes augmentent des deux tiers.
Finalité : identifier le point de rupture de la conception et le documenter.

\[ \begin{aligned} f_{\text{cumulé}} &= 1{,}402 \times 1{,}199 = 1{,}681 \\ \Delta H_{AB}'' &= 6{,}87 \ \text{m} \ ; \ \Delta H_{BC}'' = 6{,}89 \ \text{m} \ ; \ \Delta H_{BD}'' = 11{,}00 \ \text{m} \\ \frac{P_C''}{\rho g} &= 35 - 13{,}76 - 1 = 20{,}24 \ \text{mCE} = \mathbf{1{,}99} \ \text{bar} \\ \frac{P_D''}{\rho g} &= 35 - 17{,}87 + 5 = 22{,}13 \ \text{mCE} = \mathbf{2{,}17} \ \text{bars} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,99 bar au quartier résidentiel : l'exigence de 2 bars n'est plus satisfaite, de très peu. Le cumul de deux hypothèses défavorables — pourtant prises chacune dans leur version la plus modérée — suffit à faire basculer le point le plus défavorisé sous le seuil.

Non-conformité : 1,99 bar en C, soit 0,01 bar en deçà de l'exigence : la marge est épuisée.
Point D préservé : l'école conserve 2,17 bars, grâce à son dénivelé favorable de cinq mètres.
Correction possible : passer l'antenne BC au diamètre normalisé supérieur restaurerait la marge sans toucher au reste du réseau.
Cohérence : le facteur cumulé de 1,681 correspond bien au produit des deux facteurs partiels.
Comparaison : avec un coefficient de pointe journalier de 1,5, borne haute, la pression en C tomberait à 1,30 bar.

Remarque pédagogique : une conception qui n'est conforme qu'avec les hypothèses les plus favorables n'a aucune marge réelle. Le rôle de l'ingénieur est de dire précisément où se situe le point de rupture, et non de se contenter du résultat le plus flatteur.

RÉSULTAT FINAL

P_C / P_D = 2,53 / 2,88 bars conforme — mais 1,99 bar en C dans le scénario cumulé défavorable

« Une marge n'existe que si elle survit aux hypothèses. Ici, elle n'y survit pas tout à fait. »

SCHÉMA BILAN — PROFIL EN LONG COTÉ DES DEUX BRANCHES ET LIGNES PIÉZOMÉTRIQUES

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous maîtrisez la chaîne de conception d'un réseau, et non la seule suite des formules :

Je présente la dotation comme une hypothèse de projet, dépendante des circonstances locales, et non comme une prescription réglementaire. Je dimensionne les conduites de distribution sur le débit de pointe horaire, jamais sur le débit moyen journalier. Je vérifie la base de référence de chaque coefficient de pointe : la journée moyenne ou le jour de pointe. J'applique la conservation stricte au nœud, sans coefficient de non-simultanéité entre antennes d'un même village. Je ramène tout diamètre théorique à la gamme commerciale et je recalcule la vitesse réelle qui en découle. Je vérifie la pression en chaque point de livraison, sans présumer lequel sera le plus défavorisé. Je teste la conformité sous les hypothèses défavorables et je dis où se situe le point de rupture de la conception.

L'étude livre la conception hydraulique complète du réseau villageois. Les 1200 habitants et la dotation de 150 L/j/hab conduisent à un besoin de 180 m³ par jour, soit un prélèvement annuel de 65 700 m³. Ramené à la seconde, ce besoin correspond à un débit moyen de 2,083 L/s, porté à 6,25 L/s par le coefficient de pointe horaire — seul débit légitime pour dimensionner des conduites de distribution. La conservation au nœud répartit ce débit en 6,250 L/s sur la conduite principale, 4,167 L/s vers le quartier résidentiel et 2,083 L/s vers l'école, au prorata des populations desservies. Le pré-dimensionnement délimite trois intervalles de diamètres et conduit à retenir les diamètres nominaux 90, 75 et 50, pour des vitesses réelles de 0,982, 0,943 et 1,061 m/s. La formule de Hazen-Williams donne enfin des pertes de 4,09, 4,10 et 6,54 m, et des pressions résiduelles de 2,53 bars au quartier résidentiel et 2,88 bars à l'école. Les deux points sont conformes à l'exigence de 2 bars.

La plus-value technique de cette note tient à quatre points de méthode. Le premier est l'identification du point réellement défavorisé : contre l'intuition, ce n'est pas l'école, pourtant desservie par l'antenne la plus dissipative avec 6,54 m de pertes contre 4,10, mais le quartier résidentiel. Les cinq mètres de dénivelé favorable de l'école compensent largement ses pertes supplémentaires, et seul le calcul des deux branches permettait de le savoir. Le deuxième point concerne le statut des coefficients : la dotation est une hypothèse locale et non une norme ; le coefficient de pointe horaire de 3,0 est la borne inférieure de ce que le fascicule annonce pour une population de moins de 2000 habitants ; le coefficient de Hazen-Williams de 150 se situe à la borne supérieure de la plage du PVC et au-delà de toute la table de correspondance, qui associe 136 à une rugosité de 0,1 mm. Aucune de ces trois valeurs n'est fausse, mais toutes trois sont favorables. Le troisième point est le poids du diamètre : élevé à la puissance 4,87 dans la formule de Hazen-Williams, il fait de l'antenne la plus courte et la moins chargée la plus dissipative du réseau. Le quatrième point est le test de robustesse, et c'est le résultat majeur de cette note : en cumulant un débit majoré du coefficient de pointe journalier minimal et un coefficient de matériau ramené à 136, les pertes sont multipliées par 1,68 et la pression au quartier résidentiel tombe à 1,99 bar — juste en dessous de l'exigence. Au-delà du cas traité, cette étude établit qu'une conformité obtenue avec les hypothèses les plus favorables n'est pas une marge : le rôle de l'ingénieur est de désigner le point de rupture et de proposer la correction, ici un diamètre normalisé supérieur sur la seule antenne du quartier résidentiel.

Exercices eau potableÉtape 21 sur 21

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