Remblais et Déblais pour une Route
Cubatures par profils en travers : sections trapézoïdales, profil de passage, moyenne des aires et bilan des terres
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : Un tronçon de route rectiligne de 50 mètres doit être terrassé. La ligne de projet est maintenue à une altitude constante alors que le terrain naturel monte régulièrement : la route commence donc en remblai et finit en déblai. Trois profils en travers, espacés de 25 mètres, décrivent cette transformation. Le projeteur doit en tirer les cubatures — combien de terre enlever, combien en rapporter — et le bilan du mouvement des terres, qui décidera si le chantier évacue ou s'approvisionne.
Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :
-
Une méthode par tranches Le corps de la route est un volume complexe. On le découpe en tranches délimitées par les profils en travers, dont on sait calculer la section, puis on cube tranche par tranche.
-
Une frontière invisible entre deux profils Quand le terrain traverse la ligne de projet entre deux profils, la section s'annule en un point qui ne figure sur aucun relevé. Ce profil de passage doit être calculé avant tout cubage.
-
Des pentes de talus qui ne viennent pas d'une norme Aucun texte du corpus ne tabule de pente de talus admissible. Elles sont fixées par l'étude géotechnique, et le CCTG prévoit expressément que l'entrepreneur prévienne le maître d'œuvre si elles doivent être modifiées pour raison de stabilité.
-
Un bilan qui ne se lit pas sur les cubatures brutes Le déblai se mesure avant extraction, le remblai après compactage. Comparer les deux directement revient à soustraire des grandeurs qui ne décrivent pas le même état du matériau.
Établir la note de cubatures du tronçon : nature et section de chaque profil, position du profil de passage, volumes de chaque tranche, et bilan du mouvement des terres.
- Qualifier chaque profil Déterminer, à partir des altitudes, si chaque profil est en déblai ou en remblai, et calculer sa section.
- Localiser le profil de passage Situer le point où la section s'annule entre deux profils de nature opposée, et cuber séparément de part et d'autre.
- Cuber chaque tranche Appliquer la moyenne des aires sur chaque tranche homogène, et contrôler le résultat par la formule prismoïdale.
- Établir le bilan des terres Totaliser les cubatures, ramener déblai et remblai à un état commun et conclure sur l'excédent à évacuer.
- La nature et la section de chacun des trois profils en travers.
- La position du profil de passage entre P1 et P2, et les volumes de la première tranche.
- Les volumes de la seconde tranche, avec le contrôle par la formule prismoïdale.
- Le bilan des terres du tronçon, exprimé en volume géométrique, en volume en place et en volume foisonné.
Les données de géométrie proviennent du dossier de projet et du relevé topographique. Les pentes de talus et les coefficients de mouvement des terres sont d'une autre nature : ce sont des valeurs issues de l'étude géotechnique du marché, qu'aucun texte normatif ne tabule. Chacune porte donc, à côté de sa valeur, la condition dans laquelle elle a été établie et le fait qu'elle reste révisable en cours de travaux.
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !
- Hauteur de terrassement au profil \( h = Z_{\text{P}} - Z_{\text{TN}} \)
- Section trapézoïdale \( S = (L_p + p \, |h|) \, |h| \)
- Position du profil de passage \( d = D \times \dfrac{h_1}{h_1 + |h_2|} \)
- Volume par la moyenne des aires \( V = \dfrac{S_1 + S_2}{2} \times D \)
- Contrôle prismoïdal \( V = \dfrac{D}{6}\,(S_1 + 4 S_m + S_2) \)
- Déblai à prélever pour un remblai \( V_{\text{prel}} = \dfrac{V_{\text{R}}}{C_c} \)
- Volume foisonné à charger \( V_{\text{f}} = V_{\text{exc}} \times C_f \)
La géométrie du tronçon et les altitudes relevées
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( D \) | Distance entre deux profils en travers consécutifs. Condition de validité : le terrain et le projet sont assimilés à des surfaces réglées entre deux profils voisins, ce qui suppose un espacement assez serré pour que la topographie ne présente pas d'accident entre eux | 25 | \( \text{m} \) |
| \( L_p \) | Largeur de la plateforme routière, mesurée au niveau du projet. Elle constitue le petit côté du trapèze en déblai et le grand côté en remblai | 8,0 | \( \text{m} \) |
| \( Z_{\text{P}} \) | Altitude de la ligne de projet, identique aux trois profils : le tronçon étudié est en palier. C'est la référence contractuelle, l'entrepreneur exécutant les terrassements conformément aux profils théoriques résultant du projet, dans les tolérances prescrites CCTG fasc. 2 (2003), art. 5.4.1 | 103,00 | \( \text{m} \) |
| \( Z_{\text{TN},1} \) | Altitude du terrain naturel relevée au profil P1, à l'origine du tronçon | 101,50 | \( \text{m} \) |
| \( Z_{\text{TN},2} \) | Altitude du terrain naturel relevée au profil P2, à 25 m de l'origine | 103,20 | \( \text{m} \) |
| \( Z_{\text{TN},3} \) | Altitude du terrain naturel relevée au profil P3, à 50 m de l'origine | 105,00 | \( \text{m} \) |
- Au profil P1 : \( Z_{\text{P}} > Z_{\text{TN}} \)
- Aux profils P2 et P3 : \( Z_{\text{P}} < Z_{\text{TN}} \)
- Entre P1 et P2 : \( h \ \text{change de signe} \)
Les pentes de talus et les coefficients de mouvement des terres
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( p_r \) | Pente des talus de remblai, exprimée en horizontal pour vertical : trois mètres à l'horizontale pour deux mètres de hauteur. Condition de validité : valeur fixée par l'étude géotechnique du projet — aucun texte du corpus ne tabule de pente de talus admissible — et révisable en cours de travaux, le CCTG imposant que l'entrepreneur prévienne le maître d'œuvre si les pentes doivent être modifiées pour raison de stabilité CCTG fasc. 2 (2003), art. 5.4.1 | 3/2 = 1,5 | \( \text{H/V} \) |
| \( p_d \) | Pente des talus de déblai, plus raide que celle des remblais parce que le sol y est resté dans son arrangement d'origine. Même condition de validité que ci-dessus : donnée de l'étude géotechnique, révisable pour raison de stabilité CCTG fasc. 2 (2003), art. 5.4.1 | 2/3 ≈ 0,67 | \( \text{H/V} \) |
| \( C_f \) | Coefficient de foisonnement, rapporté au volume en place : un mètre cube extrait en occupe 1,25 une fois disloqué. Condition de validité : donnée du dossier géotechnique du marché, propre à ce sol et à ce mode d'extraction CCTG fasc. 2 (2003), art. 6.5 — commentaire | 1,25 | \( \text{(sans unite)} \) |
| \( C_c \) | Coefficient de contre-foisonnement : volume obtenu en œuvre, après compactage, par mètre cube prélevé en place. Condition de validité : même dossier géotechnique, et compactage conduit jusqu'aux exigences fixées par le marché CCTG fasc. 2 (2003), art. 6.5 — commentaire | 0,90 | \( \text{(sans unite)} \) |
- Ecriture retenue : \( p = \text{H} / \text{V} \)
- Talus de remblai : \( 3 \ \text{horizontal pour} \ 2 \ \text{vertical} \)
- Ouverture par metre de hauteur : \( p \times |h| \)
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.
Ce que le corpus dit — et ne dit pas — des pentes de talus| Question posée | Réponse des textes disponibles |
|---|---|
| Existe-t-il une pente de talus tabulée ? | aucun texte du corpus n'en prescrit |
| Qui fixe la pente de talus ? | l'étude géotechnique du projet |
| La pente est-elle définitive ? | non : révisable en cours de travaux pour raison de stabilité |
| Que doit faire l'entrepreneur ? | prévenir le maître d'œuvre avant toute modification |
| Comment se note une pente de talus ? | en horizontal pour vertical, par exemple 3 pour 2 |
| Qu'impose le marché sur la géométrie ? | exécution conforme aux profils théoriques, dans les tolérances |
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
On qualifie d'abord chaque profil et l'on calcule sa section. On examine ensuite chaque tranche : si les deux profils qui l'encadrent sont de même nature, la moyenne des aires s'applique directement ; s'ils sont de natures opposées, il faut d'abord localiser le profil de passage. Le bilan clôt l'étude, après conversion des deux cubatures dans un état commun.
Question 1 : Nature et section des trois profils
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
La hauteur de terrassement est la différence entre l'altitude du projet et celle du terrain. Son signe suffit à qualifier le profil.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
La section est un trapèze de hauteur \( |h| \), dont un côté vaut la largeur de plateforme et l'autre s'ouvre de \( p \, |h| \) de chaque côté. Attention à employer la pente correspondant à la nature du profil.
Question 2 : Profil de passage et cubatures de la tranche P1-P2
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Entre P1 et P2, la hauteur de terrassement change de signe : elle passe donc par zéro en un point que l'on peut situer par proportion.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Une fois ce point trouvé, chaque volume se calcule entre une section pleine et une section nulle, sur la longueur qui lui revient — et non sur les 25 m de la tranche entière.
Question 3 : Cubatures de la tranche P2-P3
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Les deux profils étant du même côté de la ligne de projet, aucun profil de passage ne coupe cette tranche : la moyenne des aires s'applique directement.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Pour le contrôle, calculez d'abord la section au milieu de la tranche, à partir de la hauteur de terrassement interpolée à cet endroit.
Question 4 (Finale) : Bilan des terres du tronçon
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Additionnez tranche par tranche, en séparant soigneusement déblai et remblai.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Le remblai est mesuré après compactage : pour savoir combien de déblai il consomme, divisez son volume par le coefficient de contre-foisonnement.
Remblais et Déblais pour une Route
"Trois altitudes de terrain, une seule altitude de projet : la différence me dit immédiatement si je creuse ou si je rapporte. Ensuite, la section n'est qu'un trapèze — à condition de ne pas me tromper de pente de talus, car elles ne sont pas les mêmes en déblai et en remblai."
- Le signe avant le chiffre On qualifie d'abord le profil par le signe de la hauteur de terrassement, on calcule la section ensuite. L'ordre inverse conduit à choisir la mauvaise pente de talus.
- Une section, deux formes possibles En remblai, la plateforme est en haut du trapèze et les talus descendent ; en déblai, elle est en bas et les talus remontent. La formule de l'aire est la même, la pente ne l'est pas.
- Anticiper le changement de nature P1 est en remblai et P2 en déblai : quelque part entre les deux, la route passe au niveau du terrain. Ce point devra être localisé avant tout cubage.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Un profil en travers est une coupe perpendiculaire à l'axe de la route, en un point donné. Il superpose deux lignes : celle du terrain naturel relevé et celle du projet. L'écart vertical entre les deux, mesuré à l'axe, donne la hauteur de terrassement ; la surface comprise entre elles donne la section à terrasser. C'est cette surface, multipliée par une longueur, qui produira un volume.
Deux relations : l'une qualifie le profil, l'autre en calcule la section.
Hauteur de terrassement au profil :Elle mesure l'écart vertical entre la ligne de projet et le terrain naturel, à l'axe de la route.
Parce que c'est cet écart, et lui seul, qui détermine à la fois la nature du profil et la dimension verticale de sa section.
- \( h \) : hauteur de terrassement, positive en remblai, unité : \( \text{m} \)
- \( Z_{\text{P}} \) : altitude de la ligne de projet au profil, unité : \( \text{m} \)
- \( Z_{\text{TN}} \) : altitude du terrain naturel au profil, unité : \( \text{m} \)
Elle donne l'aire comprise entre le terrain et le projet, c'est-à-dire la surface de la tranche à terrasser en ce point de l'axe.
Parce que les talus s'ouvrent linéairement de part et d'autre de la plateforme : la section est un trapèze, dont l'aire est le produit de la demi-somme des bases par la hauteur.
- \( S \) : section de terrassement au profil, unité : \( \text{m}^2 \)
- \( L_p \) : largeur de la plateforme, unité : \( \text{m} \)
- \( p \) : pente de talus correspondant à la nature du profil, unité : \( \text{H/V} \)
- \( |h| \) : hauteur de terrassement en valeur absolue, unité : \( \text{m} \)
"La section est un trapèze de hauteur \( |h| \) : son aire vaut donc la largeur de plateforme multipliée par la hauteur, soit \( L_p \times |h| \)."
- L'erreur au profil P2, peu profond \( 8{,}0 \times 0{,}20 = 1{,}60 \ \text{m}^2 \) contre 1,63 m² : l'écart reste inférieur à 2 %, et passerait inaperçu.
- L'erreur au profil P3, profond \( 8{,}0 \times 2{,}00 = 16{,}00 \ \text{m}^2 \) contre 18,67 m² : l'écart atteint 14,3 %, soit 2,67 m² de section oubliée.
- L'effet sur le volume de la tranche Reporté sur la tranche P2-P3, l'oubli des talus ramènerait le volume de 253,75 à 220,00 m³, soit 33,75 m³ de déblai non prévus — plus de deux bennes de terrassement.
- Le réflexe qui l'écarte On vérifie que le terme correctif \( p \, |h| \) figure bien dans la parenthèse, et qu'il grandit avec la hauteur. Sur un profil profond, la part des talus dans la section devient vite comparable à celle de la plateforme.
Exécution de la Note de Calculs
- La différence de deux altitudes exprimées en mètres est une hauteur en mètres.
- La pente de talus est un rapport de deux longueurs : elle est sans dimension.
- \( (\text{m} + \text{m}) \times \text{m} = \text{m}^2 \) : la section est bien une surface.
- Le signe de la hauteur n'entre pas dans le calcul de l'aire, qui emploie sa valeur absolue.
On calcule successivement les trois hauteurs de terrassement, puis les trois sections en employant à chaque fois la pente de talus qui correspond à la nature du profil.
1. Résolution Numérique Hauteurs de terrassement aux trois profilsPourquoi fait-on ce calcul ? Pour qualifier chaque profil et disposer de la dimension verticale de sa section.
On retranche, profil par profil, l'altitude du terrain naturel de celle de la ligne de projet, en conservant le signe obtenu.
- Employer la même altitude de projet Le tronçon est en palier : \( Z_{\text{P}} = 103{,}00 \ \text{m} \) aux trois profils.
- Lire le signe Positif, la route est au-dessus du terrain, donc en remblai. Négatif, elle est en dessous, donc en déblai.
Le profil P1 est en remblai d'un mètre cinquante : la plateforme projetée s'y trouve au-dessus du terrain naturel. C'est le seul profil du tronçon dans cette situation, et le signe positif le signale sans ambiguïté.
- Un signe qui porte l'information Positif, la plateforme domine le terrain : il faut apporter de la terre. La convention de signe doit être posée avant le premier calcul et tenue jusqu'au bout.
- Une hauteur mesurée à l'axe Sur un profil en travers réel, où le terrain est lui-même incliné transversalement, la section ne se déduit plus d'une seule hauteur.
Remarque pédagogique : Cette hauteur commandera la section de remblai au profil P1. Reste à établir les deux autres, dont le signe va changer.
Hauteur de terrassement au profil P2Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour situer la plateforme par rapport au terrain au profil médian, celui qui va révéler le changement de nature du terrassement.
On applique la même différence d'altitudes, en conservant la convention de signe.
- Reprendre les deux cotes Plateforme à 103,00 m NGF, terrain naturel à 103,20 m NGF.
- Surveiller le signe Le terrain passe au-dessus de la plateforme : la différence devient négative.
Le profil P2 est en déblai, mais de vingt centimètres seulement. Le changement de signe entre P1 et P2 est l'information la plus lourde de conséquences de toute l'étude : il annonce que la route traverse le terrain naturel à l'intérieur de la première tranche, en un point qu'aucun relevé ne donne.
- Un profil presque à niveau Avec 20 cm de déblai seulement, P2 est très proche du point d'équilibre. C'est un indice supplémentaire que le passage se situe peu avant lui.
- Un signe qui interdit le calcul direct Deux profils de signes opposés ne se cubent pas d'un bloc : il faudra localiser le point de passage avant tout calcul de volume.
Remarque pédagogique : C'est ce changement de signe, et lui seul, qui impose la recherche du profil de passage à la question suivante.
Hauteur de terrassement au profil P3Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter la description du tronçon par le profil le plus profondément décaissé.
On applique la même différence d'altitudes, toujours dans le même sens.
- Reprendre les deux cotes Plateforme à 103,00 m NGF, terrain naturel à 105,00 m NGF.
- Un signe confirmé Le déblai s'accentue : la route s'enfonce dans le versant.
Le profil P3 est en déblai de deux mètres, dix fois plus que P2. Le tronçon se décrit donc ainsi : un remblai au premier profil, puis un déblai qui s'approfondit régulièrement — avec un passage du remblai au déblai situé quelque part dans la première tranche.
- Une progression régulière du terrain Le terrain monte de 1,70 m puis de 1,80 m sur deux longueurs de 25 m, soit des pentes de 6,8 % et 7,2 % : la progression est assez régulière pour que l'hypothèse de surface réglée entre profils tienne.
- Une seconde tranche homogène Entre P2 et P3, les deux hauteurs sont de même signe : cette tranche pourra être cubée directement, sans découpage.
Remarque pédagogique : Ces hauteurs sont mesurées à l'axe de la plateforme. Sur un profil en travers réel, où le terrain naturel est lui-même incliné transversalement, la section ne se déduit plus d'une seule hauteur : il faut la planimétrer sur le dessin ou la calculer par décomposition en triangles.
Section du profil P1, en remblaiPourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer de la surface du remblai à l'origine du tronçon, qui commandera le volume de la première tranche.
On applique la formule du trapèze avec la pente de talus de remblai, la hauteur étant prise en valeur absolue.
- Choisir la pente de remblai \( p_r = 1{,}5 \), soit trois mètres à l'horizontale pour deux de hauteur.
- Reporter la hauteur \( |h_1| = 1{,}50 \ \text{m} \).
La section de remblai atteint 15,38 m². La plateforme n'y contribue que pour \( 8{,}0 \times 1{,}50 = 12{,}00 \ \text{m}^2 \) : les deux talus apportent à eux seuls 3,38 m², soit 22 % de la section. Sur un remblai de cette hauteur, l'emprise au sol atteint \( 8{,}0 + 2 \times 1{,}5 \times 1{,}50 = 12{,}50 \ \text{m} \), soit plus de quatre mètres de plus que la plateforme.
- L'emprise, une donnée de projet à part entière Les 12,50 m d'emprise conditionnent la largeur des acquisitions foncières et la position des clôtures : ce n'est pas une conséquence secondaire du calcul de section.
- Une part de talus qui croît vite À hauteur double, la part des talus dans la section passerait de 22 à 36 % : c'est la traduction du fait qu'elle croît comme le carré de la hauteur.
Remarque pédagogique : Un talus de remblai plus doux, par exemple 2 pour 1, porterait la section à \( (8{,}0 + 2{,}0 \times 1{,}50) \times 1{,}50 = 16{,}50 \ \text{m}^2 \) et l'emprise à 14,00 m. Le choix de la pente, qui relève de l'étude géotechnique, a donc un effet direct sur les quantités et sur le foncier.
Sections des profils P2 et P3, en déblaiPourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer des surfaces de déblai aux deux profils qui encadrent la seconde tranche.
Même formule, avec cette fois la pente de talus de déblai, plus raide que celle des remblais.
- Changer de pente \( p_d = 2/3 \approx 0{,}67 \), soit deux mètres à l'horizontale pour trois de hauteur.
- Reporter les hauteurs en valeur absolue \( |h_2| = 0{,}20 \ \text{m} \) et \( |h_3| = 2{,}00 \ \text{m} \).
La section de déblai au profil P2 ne vaut que 1,63 m². Les talus n'y apportent que 0,03 m², soit moins de 2 % de la section : à cette profondeur, le déblai se réduit pratiquement à la largeur de la plateforme multipliée par la hauteur.
- Une section presque rectangulaire Sur vingt centimètres de profondeur, l'ouverture des talus est négligeable devant les huit mètres de plateforme.
- Une pente plus raide qu'en remblai À hauteur égale, un déblai à 2 pour 3 présente une section plus faible qu'un remblai à 3 pour 2, parce que ses talus s'ouvrent moins.
Remarque pédagogique : Cette section très faible confirme que le profil P2 est proche du point d'équilibre, ce que le signe de sa hauteur avait déjà signalé.
Section de déblai au profil P3Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir la section du profil le plus profondément décaissé, celui qui portera l'essentiel du volume de déblai.
On applique la même relation à la hauteur de deux mètres.
- Reprendre la hauteur en valeur absolue \( |h_3| = 2{,}00 \ \text{m} \), le signe ayant déjà servi à identifier la nature du terrassement.
- Des talus qui pèsent davantage Leur ouverture croît avec la hauteur : leur contribution à la section aussi.
Les deux sections diffèrent d'un facteur onze et demi, alors que les hauteurs ne diffèrent que d'un facteur dix. Cet écart supplémentaire vient des talus : au profil P2, ils n'apportent que 0,03 m² sur 1,63 ; ici, ils en apportent 2,67 sur 18,67, soit 14 % de la section. Plus la tranchée est profonde, plus le déblai est dominé par ses talus.
- Une croissance plus que proportionnelle La section est un polynôme du second degré en hauteur. Doubler la profondeur d'une tranchée fait plus que doubler le volume à extraire.
- Une comparaison à hauteur égale À 1,50 m, la section de déblai vaudrait 13,50 m² contre 15,38 m² en remblai : les talus de déblai s'ouvrent moins.
Remarque pédagogique : Le rapport 2/3 est exprimé à deux décimales dans le calcul. Conserver la fraction exacte donnerait 1,6267 et 18,6667 m², soit un écart de moins de trois millièmes sur les sections : l'arrondi à deux décimales est ici sans conséquence, mais il doit être fait une fois et non répété à chaque étape.
"P1 est en remblai, P2 en déblai : entre les deux, la route croise le terrain. Si je cube cette tranche comme si elle était homogène, je compterai du remblai là où il n'y en a pas, et du déblai là où il n'y en a pas non plus. Il me faut d'abord le point de croisement."
- Chercher où la section s'annule La hauteur de terrassement passe de +1,50 m à −0,20 m : elle s'annule nécessairement en un point de la tranche, et la section avec elle.
- Ne pas cuber sur toute la tranche Chaque volume ne s'étend que sur la portion où sa nature existe. Employer les 25 m entiers pour l'un comme pour l'autre revient à compter deux fois la même longueur.
- Une donnée d'implantation Ce point est aussi celui où le conducteur d'engin cesse de remblayer et commence à décaisser : il doit être piqueté sur le terrain.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
La méthode des aires moyennes cube une tranche en supposant que la section varie linéairement d'un profil au suivant. Cette hypothèse n'a de sens que si la section garde la même nature sur toute la tranche. Dès que la route passe du remblai au déblai, deux sections coexistent et chacune s'annule quelque part : il faut alors introduire un profil supplémentaire, dit profil de passage, à l'endroit où la hauteur de terrassement s'annule.
Deux relations : la première localise le profil de passage, la seconde cube chacune des deux portions.
Position du profil de passage :Elle donne la distance, mesurée depuis le premier profil, à laquelle la hauteur de terrassement s'annule.
Parce que la hauteur varie linéairement entre les deux profils : la position du zéro se déduit d'une proportion entre les deux hauteurs et la distance qui les sépare.
- \( d \) : distance du profil de passage au premier profil, unité : \( \text{m} \)
- \( D \) : distance entre les deux profils, unité : \( \text{m} \)
- \( h_1 \) : hauteur de terrassement au premier profil, unité : \( \text{m} \)
- \( h_2 \) : hauteur de terrassement au second profil, unité : \( \text{m} \)
Elle cube une portion homogène de tronçon comprise entre deux sections connues.
Parce qu'elle assimile le volume à un prisme dont la section serait la moyenne des deux sections extrêmes, ce qui est exact si la section varie linéairement et approché sinon.
- \( V \) : volume de la portion considérée, unité : \( \text{m}^3 \)
- \( S_1, S_2 \) : sections aux deux extrémités de la portion, unité : \( \text{m}^2 \)
- \( D \) : longueur de la portion, unité : \( \text{m} \)
"La tranche P1-P2 mesure 25 m : le volume de remblai vaut donc \( \tfrac{15{,}38 + 0}{2} \times 25 \) et celui de déblai \( \tfrac{0 + 1{,}63}{2} \times 25 \)."
- L'erreur sur le remblai \( 7{,}69 \times 25 = 192{,}25 \ \text{m}^3 \) au lieu de 169,64 m³, soit 22,61 m³ de trop — une surestimation de 13,3 %.
- L'erreur sur le déblai \( 0{,}815 \times 25 = 20{,}38 \ \text{m}^3 \) au lieu de 2,40 m³, soit huit fois et demie le volume réel. La portion en déblai ne mesure que 2,94 m, et non 25.
- Pourquoi l'erreur est si forte sur le déblai Le profil de passage se situe tout près de P2, à 2,94 m seulement. Étendre le déblai sur 25 m revient à multiplier sa longueur réelle par 8,5. Plus le passage est proche d'un profil, plus l'erreur commise sur le volume de ce côté est grande.
- Le contrôle qui l'écarte La somme des longueurs employées doit égaler la longueur de la tranche : \( 22{,}06 + 2{,}94 = 25{,}00 \ \text{m} \). Si elle vaut 50 m, chaque volume a été cubé sur la tranche entière.
Exécution de la Note de Calculs
- Le rapport de deux hauteurs exprimées en mètres est sans dimension : multiplié par une distance en mètres, il donne bien une distance.
- \( \text{m}^2 \times \text{m} = \text{m}^3 \) : la moyenne des aires multipliée par une longueur donne un volume.
- Les deux longueurs employées doivent se sommer à la distance entre profils, ce qui constitue un contrôle immédiat.
On localise d'abord le profil de passage, puis on cube séparément la portion en remblai et la portion en déblai, chacune sur sa propre longueur.
1. Résolution Numérique Position du profil de passagePourquoi fait-on ce calcul ? Pour connaître le point où la route quitte le remblai pour entrer en déblai, borne commune des deux volumes de la tranche.
On répartit la distance entre profils proportionnellement aux deux hauteurs de terrassement, prises en valeur absolue.
- Établir l'amplitude De \( +1{,}50 \) à \( -0{,}20 \ \text{m} \), la hauteur varie de 1,70 m sur les 25 m de la tranche.
- Chercher la fraction du zéro Il faut descendre de 1,50 m sur 1,70 m d'amplitude, soit un peu plus de huit dixièmes de la tranche.
La route croise le terrain naturel à 22,06 m du profil P1, soit à seulement 2,94 m du profil P2. Ce déséquilibre est la conséquence directe des hauteurs : le remblai de 1,50 m au départ est bien plus important que le déblai de 0,20 m à l'arrivée, si bien que la transition s'opère tard dans la tranche.
- Un contrôle de partage \( 22{,}06 + 2{,}94 = 25{,}00 \ \text{m} \) : les deux portions se partagent exactement la tranche.
- Une abscisse à porter au piquetage Exprimée depuis l'origine du tronçon, cette position vaut 22,06 m. C'est la valeur que le géomètre reportera sur le terrain.
Remarque pédagogique : Le calcul suppose que le terrain naturel varie linéairement entre les deux profils. C'est l'hypothèse même de la méthode des profils en travers, et elle justifie qu'ils soient suffisamment rapprochés : un accident de terrain entre P1 et P2 déplacerait le point de passage sans qu'aucun calcul ne puisse le détecter.
Volume de remblai de la tranchePourquoi fait-on ce calcul ? Pour cuber la portion de tronçon comprise entre le profil P1 et le profil de passage, seule partie de la tranche réellement en remblai.
On applique la moyenne des aires entre la section de P1 et la section nulle du profil de passage, sur la longueur qui les sépare.
- Employer la longueur du remblai 22,06 m, et non les 25 m de la tranche.
- La section du profil de passage est nulle La moyenne se réduit donc à la moitié de la section de P1.
Le remblai de la première tranche représente 169,64 m³, mesurés en œuvre puisque c'est le volume géométrique de l'ouvrage fini. Il s'étend sur les 22,06 premiers mètres du tronçon, avec une section qui décroît régulièrement de 15,38 m² à zéro.
- Un volume en forme de coin La section décroissant linéairement jusqu'à zéro, le remblai a la forme d'un coin couché : sa section moyenne est la moitié de sa section maximale.
- Le poste le plus lourd du tronçon 169,64 m³ de remblai contre 256,15 m³ de déblai au total : le remblai concentre l'essentiel du travail de mise en œuvre, arrosage et compactage compris.
Remarque pédagogique : La section décroît en réalité comme un polynôme du second degré en hauteur, non linéairement. La moyenne des aires introduit donc ici aussi un léger écart, du même ordre que celui quantifié à la question suivante sur la tranche P2-P3.
Volume de déblai de la tranchePourquoi fait-on ce calcul ? Pour cuber la portion comprise entre le profil de passage et le profil P2, seule partie de la tranche réellement en déblai.
Même méthode, appliquée cette fois entre la section nulle du profil de passage et la section de P2, sur la longueur restante.
- Employer la longueur du déblai \( 25{,}00 - 22{,}06 = 2{,}94 \ \text{m} \).
- Une portion très courte C'est cette brièveté qui rend l'erreur si spectaculaire lorsqu'on cube sur la tranche entière.
Le déblai de la première tranche ne représente que 2,40 m³ : moins d'un dixième de benne. C'est un volume négligeable en pratique, mais il ne l'est pas dans le raisonnement, puisque c'est précisément lui que le cubage sur la tranche entière multiplierait par huit et demi.
- Un volume que le chantier ne distinguera pas Sur le terrain, ces 2,40 m³ seront extraits par la pelle en même temps que le déblai de la tranche suivante. Leur intérêt est comptable, non opérationnel.
- Une leçon sur la position du passage Plus le profil de passage est proche d'un profil relevé, plus le volume de ce côté est faible — et plus l'erreur relative commise en l'ignorant est grande.
Remarque pédagogique : Additionner les deux longueurs employées, 22,06 et 2,94 m, redonne les 25 m de la tranche : c'est le contrôle qui garantit qu'aucune portion n'a été comptée deux fois ni oubliée.
"Cette tranche-ci est plus simple : les deux profils sont en déblai, donc pas de profil de passage à chercher. Mais la section varie beaucoup entre les deux, et je sais que la moyenne des aires suppose une variation linéaire. Je vais mesurer ce que cette hypothèse me coûte."
- Vérifier l'homogénéité avant de cuber Les hauteurs sont toutes deux négatives : aucun changement de nature, la moyenne des aires s'applique directement sur les 25 m.
- Se souvenir de la forme de la section La section est un polynôme du second degré en hauteur. Elle ne varie donc pas linéairement le long de la tranche, même si la hauteur, elle, varie linéairement.
- Prévoir un contrôle La formule prismoïdale, qui utilise une section intermédiaire, donne le volume exact lorsque la section est un polynôme du second degré. Elle fournit donc ici la référence.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Cuber un tronçon revient à intégrer sa section le long de l'axe. Deux formules d'intégration approchée sont employées en terrassement. La moyenne des aires n'utilise que les deux sections extrêmes et suppose une variation linéaire. La formule prismoïdale ajoute une section intermédiaire et devient exacte dès que la section varie comme un polynôme du second degré, ce qui est précisément le cas d'une section trapézoïdale à hauteur variant linéairement.
Deux relations : la méthode de projet et sa vérification.
Volume par la moyenne des aires :Elle cube la tranche à partir des seules sections relevées aux deux profils.
Parce qu'elle assimile le volume à un prisme de section constante égale à la moyenne des deux sections extrêmes, ce qui est la façon la plus économique de cuber à partir d'un dossier de projet.
- \( V \) : volume de la tranche, unité : \( \text{m}^3 \)
- \( S_1, S_2 \) : sections aux deux profils encadrant la tranche, unité : \( \text{m}^2 \)
- \( D \) : distance entre les deux profils, unité : \( \text{m} \)
Elle donne le volume exact d'un solide dont la section varie comme un polynôme du second degré le long de l'axe.
Parce que la section trapézoïdale s'écrit \( L_p |h| + p h^2 \) : c'est un polynôme du second degré en hauteur, et la hauteur variant linéairement, la section varie bien du second degré le long de la tranche.
- \( V \) : volume exact de la tranche, unité : \( \text{m}^3 \)
- \( S_m \) : section au milieu de la tranche, unité : \( \text{m}^2 \)
- \( S_1, S_2 \) : sections aux deux profils, unité : \( \text{m}^2 \)
- \( D \) : distance entre les deux profils, unité : \( \text{m} \)
"La section médiane vaut la moyenne des deux sections extrêmes, soit \( \tfrac{1{,}63 + 18{,}67}{2} = 10{,}15 \ \text{m}^2 \)."
- La section médiane erronée 10,15 m² au lieu de 9,61 m². L'écart de 0,54 m² vient de la convexité de la section : la moyenne des sections est toujours supérieure à la section de la hauteur moyenne.
- Le contrôle deviendrait aveugle Avec cette valeur, la formule prismoïdale donnerait \( \tfrac{25}{6}(1{,}63 + 40{,}60 + 18{,}67) = 253{,}75 \ \text{m}^3 \), soit exactement le résultat de la moyenne des aires. Le contrôle ne détecterait plus aucun écart, alors qu'un écart existe.
- La bonne façon de procéder On interpole d'abord la hauteur au milieu de la tranche — \( (0{,}20 + 2{,}00)/2 = 1{,}10 \ \text{m} \) — puis on applique la formule de la section à cette hauteur.
- Une règle générale Une moyenne ne traverse une fonction que si celle-ci est affine. Dès qu'une relation est courbe, moyenner les entrées et moyenner les sorties ne donnent pas le même résultat.
Exécution de la Note de Calculs
- \( \text{m}^2 \times \text{m} = \text{m}^3 \) : les deux formules donnent bien un volume.
- Les coefficients 1, 4, 1 et le diviseur 6 de la formule prismoïdale sont sans dimension.
- L'écart entre les deux méthodes s'exprime en mètres cubes, et se rapporte utilement en pourcentage.
On cube d'abord la tranche par la moyenne des aires, puis on calcule la section médiane pour appliquer la formule prismoïdale et mesurer l'écart entre les deux méthodes.
1. Résolution Numérique Volume par la moyenne des airesPourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer du volume de déblai de la seconde tranche par la méthode couramment employée en cubature de projet.
On moyenne les deux sections et l'on multiplie par la distance entre profils, la tranche étant homogène en déblai.
- Vérifier l'homogénéité \( h_2 = -0{,}20 \ \text{m} \) et \( h_3 = -2{,}00 \ \text{m} \) : mêmes signes, donc aucun profil de passage dans cette tranche.
- Appliquer la moyenne des aires Sur la totalité des 25 m, cette fois légitimement.
La seconde tranche fournit 253,75 m³ de déblai, soit à elle seule plus de 99 % du déblai du tronçon. Le contraste avec la première tranche, qui n'en produisait que 2,40 m³, illustre la vitesse à laquelle une tranchée se creuse dès que la ligne de projet s'enfonce sous le terrain.
- Une progression très rapide La hauteur passe de 0,20 à 2,00 m sur 25 m, mais la section passe de 1,63 à 18,67 m² : le volume croît beaucoup plus vite que la profondeur.
- Le poste dominant du tronçon C'est cette tranche qui mobilisera l'essentiel de l'atelier d'extraction et qui fournira la terre destinée au remblai de la première tranche.
Remarque pédagogique : Ce volume est mesuré en place, avant extraction : c'est l'unité de mesurage que le fascicule 2 du CCTG retient en règle générale pour le prix de déblai, parce qu'elle se constate par comparaison des profils avant et après travaux.
Section au milieu de la tranchePourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer de la troisième section qu'exige la formule prismoïdale, et qui porte l'information de courbure absente de la moyenne des aires.
On interpole la hauteur de terrassement au milieu de la tranche, puis on applique la formule de la section à cette hauteur.
- Interpoler la hauteur, pas la section C'est la hauteur qui varie linéairement : \( (0{,}20 + 2{,}00)/2 = 1{,}10 \ \text{m} \).
- Appliquer la formule de la section Avec la pente de talus de déblai, comme aux deux profils encadrants.
La section médiane vaut 9,61 m², contre 10,15 m² que donnerait la moyenne des deux sections extrêmes. L'écart de 0,54 m² est la mesure directe de la courbure : la section réelle au milieu de la tranche est plus faible que ne le laisse croire une interpolation sur les sections.
- L'origine de l'écart La section s'écrit \( 8{,}0 |h| + 0{,}67 h^2 \). Le terme quadratique croît plus vite que linéairement, ce qui place la courbe sous la corde entre les deux extrémités.
- Une valeur cohérente 9,61 m² se situe bien entre 1,63 et 18,67 m², et plus près du milieu géométrique que de l'une des extrémités : le résultat est plausible.
Remarque pédagogique : Sur un profil en travers réel, cette section médiane serait relevée sur le terrain plutôt que calculée : c'est l'intérêt de resserrer les profils dans les zones où la géométrie varie vite.
Contrôle prismoïdal et écart entre méthodesPourquoi fait-on ce calcul ? Pour mesurer l'écart que la moyenne des aires introduit sur cette tranche, et savoir dans quel sens l'estimation est biaisée.
On applique la formule prismoïdale avec les trois sections, puis on compare au résultat de la moyenne des aires.
- Pondérer la section médiane par quatre \( S_1 + 4 S_m + S_2 = 1{,}63 + 38{,}44 + 18{,}67 \).
- Diviser par six et multiplier par la longueur Le facteur \( D/6 \) vaut ici \( 25/6 \).
La formule prismoïdale donne 244,75 m³, contre 253,75 m³ par la moyenne des aires : un écart de 9,00 m³, soit 3,5 %. La moyenne des aires surestime, comme attendu d'une section convexe. L'écart reste modéré et va dans le sens de la sécurité pour un devis de déblai, mais il devrait être signalé si le décompte final se faisait sur cette base.
- Un biais systématique, non aléatoire Sur toutes les tranches en déblai ou en remblai, la moyenne des aires surestimera. Les écarts ne se compensent donc pas d'une tranche à l'autre : ils s'additionnent.
- Le remède pratique Resserrer les profils réduit l'écart, puisque la corde s'écarte d'autant moins de la courbe que les deux sections sont proches. Doubler le nombre de profils diviserait l'écart par quatre environ.
- Quelle valeur retenir La note de cubatures conserve le résultat de la méthode annoncée au marché, ici la moyenne des aires, et signale l'écart. Changer de méthode en cours d'étude rendrait les tranches incomparables entre elles.
Remarque pédagogique : L'écart de 3,5 % est propre à cette tranche, où les sections diffèrent d'un facteur onze. Sur la tranche P1-P2, où la section décroît jusqu'à zéro, le mécanisme est le même mais les volumes en jeu sont beaucoup plus faibles.
"J'ai trois volumes à totaliser, mais je ne peux pas me contenter de soustraire : le déblai est mesuré avant extraction et le remblai après compactage. Je dois d'abord savoir combien de déblai le remblai consomme réellement, et seulement ensuite conclure sur ce qui sort du site."
- Totaliser en séparant les natures Le déblai vient de deux tranches, le remblai d'une seule. Additionner tranche par tranche, en séparant les natures, évite les compensations abusives.
- Un écart géométrique n'est pas un bilan de matière Soustraire un volume en œuvre d'un volume en place produit un nombre sans signification physique directe : il faut d'abord ramener les deux à un état commun.
- Trois chiffres, trois usages L'écart de cubatures sert au projeteur, le volume en place au décompte, le volume foisonné au transport. Aucun ne remplace les deux autres.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Le bilan des terres répond à une question opérationnelle : le chantier doit-il évacuer ou s'approvisionner ? Y répondre demande de ne pas confondre trois grandeurs qui portent toutes le nom de volume. Le volume en place mesure le sol avant extraction ; le volume en œuvre mesure l'ouvrage fini, après compactage ; le volume foisonné mesure l'encombrement du matériau en vrac.
Trois relations : la totalisation, la conversion du remblai en déblai à prélever, et le passage de l'excédent à l'état foisonné.
Totalisation des cubatures :Elle rassemble les volumes tranche par tranche pour donner les cubatures d'ensemble du tronçon, séparément en déblai et en remblai.
Parce que le mouvement des terres se raisonne à l'échelle du tronçon, et non tranche par tranche : la terre extraite d'une tranche peut alimenter le remblai d'une autre.
- \( V_{\text{tot}} \) : cubature totale d'une nature donnée, unité : \( \text{m}^3 \)
- \( V_i \) : volume de la tranche i, de la même nature, unité : \( \text{m}^3 \)
Elle convertit le volume de remblai fini en volume de déblai à extraire pour l'alimenter.
Parce que le compactage ne restitue pas le volume prélevé : pour obtenir un volume en œuvre donné, il faut prélever davantage, dans le rapport inverse du contre-foisonnement.
- \( V_{\text{prel}} \) : déblai à prélever, mesuré en place, unité : \( \text{m}^3 \)
- \( V_{\text{R}} \) : remblai à réaliser, mesuré en œuvre, unité : \( \text{m}^3 \)
- \( C_c \) : coefficient de contre-foisonnement, unité : \( \text{sans unite} \)
Elle donne l'encombrement du matériau excédentaire une fois chargé, grandeur qui commande le nombre de rotations de camions.
Parce que les bennes se remplissent en volume, et que ce volume est celui du matériau en vrac, non celui qu'il occupait dans le terrain.
- \( V_{\text{f}} \) : volume foisonné à charger, unité : \( \text{m}^3 \)
- \( V_{\text{exc}} \) : excédent mesuré en place, unité : \( \text{m}^3 \)
- \( C_f \) : coefficient de foisonnement, unité : \( \text{sans unite} \)
"Le tronçon produit 256,15 m³ de déblai et demande 169,64 m³ de remblai : il reste donc 86,51 m³ de terre à évacuer."
- Ce que la soustraction directe oublie Pour réaliser 169,64 m³ de remblai compacté, il faut prélever \( 169{,}64 / 0{,}90 = 188{,}49 \ \text{m}^3 \) en place, soit 18,85 m³ de plus que le volume du remblai lui-même.
- L'écart sur l'excédent L'excédent réel vaut \( 256{,}15 - 188{,}49 = 67{,}66 \ \text{m}^3 \) en place, et non 86,51. La soustraction directe le surestime de 27,9 %.
- L'effet sur le transport Traduit en volume foisonné, l'écart porte sur \( 86{,}51 \times 1{,}25 = 108{,}14 \ \text{m}^3 \) au lieu de 84,58 : près de deux rotations de benne prévues pour rien.
- Le bon usage de chaque chiffre Les 86,51 m³ restent la bonne réponse à la question « de combien les cubatures se déséquilibrent-elles ? ». Ils ne répondent pas à la question « combien de terre sort du site ? », qui exige de passer par un état commun.
Exécution de la Note de Calculs
- La somme de volumes exprimés en mètres cubes reste un volume en mètres cubes.
- \( \text{m}^3 \div \text{(sans unite)} = \text{m}^3 \) et \( \text{m}^3 \times \text{(sans unite)} = \text{m}^3 \) : les deux conversions conservent l'unité, mais changent l'état décrit.
- Une soustraction n'est légitime qu'entre volumes exprimés dans le même état du matériau.
On totalise d'abord les cubatures, on établit l'écart géométrique, puis on convertit le remblai en déblai à prélever pour obtenir l'excédent réel, enfin exprimé à l'état foisonné.
1. Résolution Numérique Cubatures totales du tronçonPourquoi fait-on ce calcul ? Pour rassembler, en deux nombres, les volumes de déblai et de remblai des deux tranches.
On additionne les volumes de même nature obtenus aux questions précédentes.
- Le remblai ne vient que d'une tranche 169,64 m³ sur la première tranche, rien sur la seconde.
- Une somme réduite à un seul terme Le remblai s'éteint au profil de passage : la seconde tranche n'en produit aucun.
Le tronçon de 50 m demande 169,64 m³ de remblai, tous situés entre le premier profil et le point de passage. Au-delà, la route est entièrement en déblai : aucune terre n'y est apportée.
- Un remblai concentré sur 22,06 m C'est la longueur qui sépare le profil P1 du point de passage, soit 44 % du tronçon.
- Une quantité mesurée en œuvre Le remblai se mesure au mètre cube en œuvre, tel qu'il figure dans l'ouvrage fini.
Remarque pédagogique : Ce volume est celui de l'ouvrage à construire. Le terrain qu'il consomme sera établi plus loin, le compactage serrant le sol au-delà de son état naturel.
Cubature totale de déblai du tronçonPourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir la ressource du tronçon, en additionnant les parts que fournissent les deux tranches.
On additionne les volumes de déblai des deux tranches, la première n'en fournissant qu'un résidu au-delà du point de passage.
- Le déblai vient des deux tranches 2,40 m³ sur la première tranche et 253,75 m³ sur la seconde.
- Un déséquilibre attendu La seconde tranche fournit à elle seule 99 % du déblai.
Le tronçon produit 256,15 m³ de déblai contre 169,64 m³ de remblai demandés. Le déblai domine largement, ce qui était prévisible : la ligne de projet reste horizontale alors que le terrain monte de 3,50 m sur la longueur du tronçon.
- Un contrôle par les longueurs Le remblai occupe 22,06 m, le déblai \( 2{,}94 + 25{,}00 = 27{,}94 \ \text{m} \) : la somme vaut bien les 50 m du tronçon.
- Une répartition très inégale Le déblai occupe 56 % de la longueur mais fournit 60 % du volume manipulé, parce que sa section moyenne est plus forte que celle du remblai.
Remarque pédagogique : Ces cubatures sont celles du corps de la route. Elles n'incluent ni le décapage de la terre végétale, qui fait l'objet d'un poste distinct, ni les purges éventuelles sous les remblais, qui dépendent de la portance du sol support.
Écart géométrique des cubaturesPourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer de l'indicateur que le projeteur emploie pour juger de l'équilibre d'un tracé, et qui figure sur tout profil en long de projet.
On retranche la cubature de remblai de la cubature de déblai.
- Une différence de cubatures Les deux nombres sont des volumes géométriques lus sur les profils.
- Une portée limitée Cet écart mesure un déséquilibre de tracé, non une quantité de matière à évacuer.
L'écart des cubatures atteint 86,51 m³ en faveur du déblai. C'est l'indicateur que le projeteur lit pour ajuster son tracé : relever la ligne de projet de quelques centimètres réduirait le déblai et augmenterait le remblai, rapprochant l'écart de zéro. Sur un tracé long, cet ajustement se conduit tronçon par tronçon.
- L'outil du calage altimétrique C'est cet écart, calculé sur l'ensemble du tracé, qui guide le choix de la ligne rouge du projet. Un tracé bien calé le maintient proche de zéro.
- Ce qu'il ne dit pas encore Il ne tient compte ni du foisonnement, ni du contre-foisonnement : il compare des géométries, pas des quantités de sol.
Remarque pédagogique : Cet écart est calculé avec les volumes obtenus par la moyenne des aires. Employer les valeurs prismoïdales le ramènerait à 77,51 m³, soit 10 % de moins : la méthode de cubage retenue influe donc directement sur le diagnostic d'équilibre du tracé.
Déblai à prélever pour réaliser le remblaiPourquoi fait-on ce calcul ? Pour connaître la part du déblai que le remblai consomme réellement, et donc ce qui restera disponible.
On divise le volume de remblai, mesuré en œuvre, par le coefficient de contre-foisonnement.
- Employer le volume en œuvre \( V_{R,\text{tot}} = 169{,}64 \ \text{m}^3 \), volume géométrique du remblai fini.
- Diviser par le contre-foisonnement \( C_c = 0{,}90 \) : un mètre cube prélevé donne 0,90 m³ de remblai compacté.
Le remblai consomme 188,49 m³ de déblai mesuré en place, soit 18,85 m³ de plus que son propre volume. Ces dix-huit mètres cubes ne disparaissent pas : ils correspondent au volume que le compactage referme, le sol remis en œuvre restant un peu moins dense que dans son arrangement d'origine.
- Un contrôle de sens Le volume prélevé doit dépasser le volume obtenu. S'il lui était inférieur, la division aurait été remplacée par une multiplication.
- Un transport interne au chantier Ces 188,49 m³ ne quittent pas le site : ils descendent de la zone de déblai vers la zone de remblai, sur quelques dizaines de mètres.
Remarque pédagogique : Le coefficient de contre-foisonnement dépend de l'objectif de densification retenu au marché. Un compactage plus poussé rapprocherait le matériau de sa densité d'origine et réduirait le volume à prélever, au prix de passes de compacteur supplémentaires.
Excédent en place et volume foisonné à chargerPourquoi fait-on ce calcul ? Pour conclure sur ce qui sort réellement du site, dans l'unité du décompte puis dans celle qui commande le transport.
On retranche le prélèvement du déblai total, puis on applique le coefficient de foisonnement au reste.
- Former l'excédent en place Les deux quantités sont mesurées en place et donc directement soustractibles.
- Appliquer le foisonnement Seul l'excédent est concerné : la terre réemployée sur place ne passe pas par une benne de transport routier.
Soixante-sept mètres cubes en place quitteront le site. L'écart avec les 86,51 m³ du bilan géométrique est de 18,85 m³, exactement le supplément que le contre-foisonnement fait consommer au remblai : le bilan des cubatures surestimait donc l'excédent réel de 28 %.
- La quantité du décompte 67,66 m³ en place : c'est la valeur qui se constate par comparaison des profils avant et après travaux, et celle que retient le fascicule 2 du CCTG pour le transport de déblais.
- Un écart qui n'est pas une erreur Les 86,51 m³ mesurent un déséquilibre de tracé, les 67,66 m³ une quantité de matière à évacuer. Les deux chiffres sont justes, chacun dans son usage.
Remarque pédagogique : Cet excédent est exprimé en place. Le volume qu'il occupera dans les bennes est plus important, ce que le calcul suivant établit.
Volume foisonné à chargerPourquoi fait-on ce calcul ? Pour connaître l'encombrement réel de l'excédent une fois extrait, seule grandeur qui permette de compter les rotations et de dimensionner l'aire de dépôt.
On applique le coefficient de foisonnement à l'excédent mesuré en place.
- Une multiplication directe Le coefficient est rapporté au volume en place.
- Vérifier le sens Le résultat doit dépasser l'excédent mesuré dans le terrain.
L'excédent occupera 84,58 m³ dans les bennes. Rapporté à une benne de terrassement de 16 m³, il représente un peu plus de cinq rotations — quantité modeste, mais qui suppose tout de même d'avoir identifié un lieu de dépôt et ouvert le prix correspondant.
- La quantité du transporteur 84,58 m³ foisonnés : c'est ce qui occupe les bennes et l'aire de stockage provisoire, jamais une unité de mesurage.
- Une piste d'optimisation du tracé Relever la ligne de projet d'une douzaine de centimètres suffirait à annuler cet excédent : le remblai augmenterait, le déblai diminuerait, et le chantier deviendrait autonome en matériaux.
Remarque pédagogique : Le tronçon étudié ne fait que 50 m. Sur un tracé de plusieurs kilomètres, le même raisonnement s'applique tronçon par tronçon, et le mouvement des terres consiste à faire correspondre les excédents des uns aux déficits des autres, en minimisant les distances de transport.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :
Le tronçon commence en remblai de 1,50 m au profil P1, avec une section de 15,38 m², et finit en déblai de 2,00 m au profil P3, avec une section de 18,67 m². Le profil P2, en déblai de 0,20 m seulement, est presque à niveau. La route traverse le terrain naturel à 22,06 m de P1 : ce profil de passage partage la première tranche en 169,64 m³ de remblai sur 22,06 m et 2,40 m³ de déblai sur les 2,94 m restants. La seconde tranche, entièrement en déblai, fournit 253,75 m³ par la moyenne des aires — la formule prismoïdale donnant 244,75 m³, soit 3,5 % de moins. Le tronçon totalise ainsi 256,15 m³ de déblai et 169,64 m³ de remblai, soit un écart de cubatures de 86,51 m³. Le remblai consommant 188,49 m³ de déblai en place, l'excédent réel s'établit à 67,66 m³ en place, soit 84,58 m³ une fois chargés.
Trois enseignements ressortent de cette étude, et chacun se chiffre. Le premier tient au profil de passage : cuber la première tranche comme si elle était homogène donnerait 192,25 m³ de remblai au lieu de 169,64, soit 13,3 % de trop, et surtout 20,38 m³ de déblai au lieu de 2,40 — huit fois et demie le volume réel, parce que la portion en déblai ne mesure que 2,94 m et non 25. Plus le passage est proche d'un profil relevé, plus l'erreur commise de ce côté est spectaculaire. Le deuxième tient aux talus : réduire la section au seul rectangle de plateforme ne coûte que 1,7 % au profil P2, peu profond, mais 14,3 % au profil P3, soit 33,75 m³ de déblai non prévus sur la seconde tranche. La part des talus croît comme le carré de la hauteur, si bien qu'une approximation acceptable sur un profil superficiel devient une erreur grossière sur un profil profond. Le troisième tient à l'état du matériau : soustraire directement 169,64 de 256,15 donne 86,51 m³, ce qui répond à la question du déséquilibre de tracé mais pas à celle du volume évacué ; le remblai consomme 188,49 m³ de déblai et non 169,64, et l'excédent réel n'est que de 67,66 m³ — la soustraction directe le surestimait de 27,9 %, soit près de deux rotations de benne prévues pour rien. Ces trois écarts ont en commun de ne produire aucun résultat invraisemblable : seuls le contrôle des longueurs, celui de la composition de la section et l'écriture systématique de l'état de chaque volume permettent de les détecter.
