Piquetage d'une courbe

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Deux routes ne se rencontrent jamais à angle vif : on les raccorde par un arc de cercle. Le projeteur trace les deux alignements droits, choisit un rayon, et le géomètre doit en déduire tout le reste — où commence la courbe, où elle finit, où se trouve son centre, et quels points jalonner sur l'arc. C'est le piquetage d'une courbe, l'opération la plus courante du tracé routier.

Les Points Clés du Projet

Avant tout calcul, mesurez ce qui distingue ce problème d'un simple rayonnement. Quatre éléments le gouvernent :

Enjeu Principal : Ne pas confondre l'angle au sommet et l'angle au centre. Ce sont deux angles supplémentaires l'un de l'autre, et les intervertir fausse la tangente, le développement et toutes les coordonnées.
Environnement : Un rayon de 50 m, imposé par le projet. C'est un rayon très serré : il faudra le confronter aux seuils de conception routière plutôt que l'accepter sans commentaire.
L'objectif final : Une fiche de piquetage complète : les deux points de tangence, le centre du cercle et le milieu de l'arc, tous au millimètre.
L'astuce de l'ingénieur : Le sens du virage décide de quel côté se trouve le centre. Le signe de la déviation le donne sans ambiguïté — et c'est la première chose à écrire, avant toute perpendiculaire.

Votre Mission :

Vous êtes géomètre-projeteur. Le plan vous donne deux alignements droits définis par trois points, et un rayon de raccordement. Votre travail consiste à établir la fiche de piquetage complète de la courbe, puis à dire si le rayon retenu tient devant les seuils de conception.

Le grand défi : passer des deux gisements aux éléments de la courbe sans intervertir les deux angles du quadrilatère sommet-tangence-centre-tangence.
Votre rôle : calculer, contrôler depuis les données brutes et non depuis vos propres résultats, puis qualifier le rayon au regard des textes.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Les gisements des deux alignements, leurs longueurs, et le sens du virage déduit du signe de la déviation.
Les éléments de la courbe : angle au centre, angle au sommet, tangente, développement, corde, bissectrice et flèche — en distinguant clairement ces deux dernières.
Les coordonnées de T1, T2, du centre C et du milieu de l'arc, au millimètre.
Quatre contrôles dont un repartant des seules données brutes, et la confrontation du rayon aux seuils Sétra.

2. Données Techniques & Normes

Le piquetage d'une courbe est un problème de géométrie pure : trois points et un rayon suffisent à tout déterminer. Mais le rayon, lui, n'est pas libre — il est encadré par les seuils de la conception routière, qui relient vitesse, dévers et stabilité des véhicules. Le dossier de normes fournit ces seuils. S'y ajoutent l'obligation de rattachement géodésique et le dispositif de contrôle de précision, qui s'appliquent dès que le piquetage est exécuté pour une personne publique.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer ! La relation à retenir avant toutes les autres est celle qui lie l'angle au sommet et l'angle au centre : leur somme vaut 200 gon, et les confondre fausse tout le reste.

Gisement entre deux points connus \( G_{\text{A-B}} = \arctan\left(\dfrac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + k \cdot 200^{\text{gon}} \)
Déviation du tracé \( \gamma = G_{\text{sortant}} - G_{\text{entrant}} \)
Angle au centre et angle au sommet \( \theta = \left| \gamma \right| \) et \( \Omega = 200^{\text{gon}} - \theta \)
Longueur de la tangente \( ST = R \cdot \tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \)
Développement de l'arc \( L = R \cdot \dfrac{\pi \cdot \theta}{200} \)
Corde entre les deux tangences \( c = 2 R \cdot \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \)
Bissectrice — du sommet au milieu de l'arc \( b = R \left( \dfrac{1}{\cos(\theta/2)} - 1 \right) \)
Flèche — de la corde à l'arc \( f = R \left( 1 - \cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \right) \)
Rayonnement — abscisse \( X_{\text{P}} = X_{\text{O}} + D \sin G_{\text{O-P}} \)
Rayonnement — ordonnée \( Y_{\text{P}} = Y_{\text{O}} + D \cos G_{\text{O-P}} \)
Règle des quadrants \( k = 0 \) si \( \Delta X \geq 0, \Delta Y > 0 \) · \( k = 1 \) si \( \Delta Y < 0 \) · \( k = 2 \) si \( \Delta X < 0, \Delta Y > 0 \)
Surlargeur de virage — rayon inférieur à 200 m \( s = \dfrac{50}{R} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
A	Point d'origine de l'alignement entrant. Coordonnées exprimées dans le système du chantier, à rattacher au système légal pour tout travail public Décret 2000-1276 du 26 déc. 2000 modifié par décret 2006-272, art. 1^er	1000,00 / 1500,00	m
S	Sommet : intersection théorique des deux alignements. Il n'est jamais construit — la courbe le contourne	1130,00 / 1350,00	m
B	Point définissant l'alignement sortant. Sans lui, la direction de la seconde droite serait inconnue	1260,00 / 1400,00	m
R	Rayon du raccordement, imposé par le projet. C'est la seule grandeur de longueur du problème qui ne provienne pas des coordonnées	50,00	m

Référentiel de travail

Planimétrie : système local de chantier, à rattacher au \( \text{RGF93} \) — projection \( \text{Lambert-93} \) — pour tout travail exécuté pour une personne publique
Unité angulaire : le \( \text{grade} \), soit 400 par tour et 200 pour un angle plat

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
d_max	Dévers plafond : au-delà, la contribution à l'équilibre dynamique cesse d'être utile et des difficultés constructives apparaissent Sétra DT4044, janv. 2006 — Le profil en travers, § 4	7	%
R_séc	Rayon au seuil de sécurité pour 50 km/h avec le dévers plafond de 7 %. C'est le plus petit rayon du tableau Sétra, toutes vitesses et tous dévers confondus	54	m
R_conf	Rayon au seuil de confort dans les mêmes conditions. Les guides de conception retiennent des valeurs généralement supérieures	73	m
R_lim	Seuil en dessous duquel une surlargeur de virage devient nécessaire lorsque le trafic poids lourds est important	200	m

Ce que l'énoncé ne donne pas

Vitesse de référence : non précisée — la confrontation aux seuils se fera donc au cas le plus favorable du tableau, 50 km/h avec 7 % de dévers
Raccordement progressif : aucune clothoïde n'est demandée — sa longueur sera néanmoins calculée, car elle change la position réelle des points de tangence

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution. Le premier fixe les rayons minimaux par couple vitesse-dévers, le deuxième les corrections à apporter aux petits rayons, le troisième le dispositif de contrôle de précision. Le dernier encart précise ce que ces textes ne disent pas.

Extrait — Sétra DT4044 (janvier 2006), Le tracé en plan § 1 : rayons par couple vitesse-dévers

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
Seuil de sécurité	2/3 du seuil de stabilité physique
Seuil de confort	1/2 du seuil de stabilité physique
50 km/h — dévers 0 % · 5 % · 7 %	98 / 66 · 78 / 57 · 73 / 54 m (confort / sécurité)
70 km/h — dévers 0 % · 5 % · 7 %	242 / 162 · 184 / 134 · 168 / 125 m
90 km/h — dévers 0 % · 5 % · 7 %	473 / 318 · 345 / 254 · 311 / 235 m

Extrait — Sétra DT4044, cas des virages de faible rayon (lacets, îlots de carrefours) et raccordements progressifs

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
Surlargeur de virage, rayon < 200 m	50 / R
Giration réglementaire des véhicules	entre deux cercles concentriques de 5,30 m et 12,50 m
Clothoïde — route à 2 voies	Inf (6 R^0,4 ; 67 m)
Clothoïde — route à 3 voies	Inf (9 R^0,4 ; 100 m)

Extrait — Arrêté du 16 septembre 2003, art. 5 : critères de conformité

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
Coefficient de fiabilité k — planimétrie (n = 2)	2,42
Critère de moyenne	E_moy < [xx] × (1 + 1/8)
Tolérance individuelle	T = k × [xx] × (1 + 1/(2C²)), avec C ≥ 2
Critère maximal — planimétrie	4,08 × [xx]

Ce que disent ces textes, et ce qu'ils laissent au projeteur

Quatre enseignements pour cet exercice :

Le rayon n'est pas un paramètre libre. Il est lié à la vitesse pratiquée et au dévers. Le tableau Sétra donne deux seuils : celui de sécurité, fixé aux deux tiers de la stabilité physique, et celui de confort, fixé à la moitié.
Un petit rayon a des conséquences constructives. En dessous de 200 m, une surlargeur devient nécessaire pour que les semi-remorques ne débordent pas de leur voie ; le guide donne la valeur 50/R.
Un raccordement circulaire pur est une simplification. En pratique, on introduit une clothoïde de part et d'autre, ce qui déplace les points de tangence. Le calcul mené ici reste le socle de tout tracé, mais il n'est pas le tracé définitif.
Ce que le dossier ne contient pas. Le DT4044 renvoie lui-même à l'ARP et à l'ICTAAL pour le réseau national ; aucun des deux n'est présent dans le dossier de normes, et les seuils cités ici sont donc ceux du DT4044. L'ICTAAL ne s'appliquerait de toute façon pas, son champ étant l'autoroute interurbaine.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous. La particularité de cet exercice tient à sa deuxième question : c'est là que se joue la distinction entre l'angle au sommet et l'angle au centre, et c'est là que l'on se trompe le plus souvent — en intervertissant les deux.

Question 1 : Les gisements et le sens du virage

Calcul de gisements 20 min | Facile

But de l'étape : Transformer trois points en deux directions, puis lire dans leur différence le sens du virage. Ce signe décidera plus tard de quel côté se trouve le centre du cercle.

Énoncé Q1 : Calculer les gisements G(A-S) et G(S-B) ainsi que les longueurs des deux alignements, puis en déduire la déviation et le sens du virage. Vous justifierez chaque quadrant et conserverez quatre décimales de gon.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le premier alignement descend vers le sud-est : \( \Delta X \) positif et \( \Delta Y \) négatif, donc deuxième quadrant et correction de +200 gon. Le second remonte vers le nord-est : les deux écarts sont positifs, donc aucune correction.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Attendez-vous à un premier gisement voisin de 155 gon et à un second voisin de 77 gon. Le signe de leur différence donne le sens : négatif, le virage tourne à gauche.

Question 2 : Les éléments de la courbe

Géométrie du raccordement 30 min | Moyen

But de l'étape : Passer de la déviation à toutes les longueurs de la courbe. Tout dépend d'un seul angle — encore faut-il prendre le bon.

Énoncé Q2 : Calculer l'angle au centre θ et l'angle au sommet Ω, puis la tangente ST, le développement L, la corde, la bissectrice et la flèche. Vous distinguerez explicitement ces deux dernières.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Regardez le quadrilatère formé par le sommet, les deux points de tangence et le centre. Les angles aux deux tangences valent 100 gon chacun, puisque le rayon est perpendiculaire à la tangente. Que reste-t-il pour les deux autres ?

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'angle au centre est égal à la déviation, pas à son complément. Attendez-vous à θ voisin de 78 gon, à une tangente voisine de 35 m et à un développement voisin de 61 m. Si vous trouvez 66 et 99 m, vous avez interverti les deux angles.

Question 3 : Les coordonnées des quatre points

Rayonnement polaire 30 min | Moyen

But de l'étape : Convertir les longueurs en positions. Quatre rayonnements successifs suffisent — mais chacun exige de choisir le bon gisement.

Énoncé Q3 : Calculer les coordonnées de T1, T2, du centre C et du milieu de l'arc Pmilieu, au millimètre. Vous justifierez le côté choisi pour la perpendiculaire menant au centre.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les deux points de tangence se rayonnent depuis le sommet, à la distance ST : T1 dans la direction du sommet vers A, T2 dans la direction du sommet vers B. Attention au gisement inverse pour le premier.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le centre se rayonne depuis T1, à la distance R, sur la perpendiculaire à l'alignement entrant. Le virage tournant à gauche, il faut retrancher 100 gon au gisement de l'alignement, et non les ajouter. Le milieu de l'arc, lui, se rayonne depuis le centre en direction du sommet.

Question 4 : Contrôles et confrontation aux seuils

Vérifications et normes 30 min | Difficile

But de l'étape : Démontrer que la courbe calculée est bien tangente aux deux alignements, puis dire si le rayon retenu tient devant les seuils du guide.

Énoncé Q4 : Mener quatre contrôles, dont un repartant des seules coordonnées de A, S et B, puis confronter R = 50 m au tableau Sétra et calculer la surlargeur et la clothoïde correspondantes.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le centre peut être atteint par deux chemins : depuis T1 et depuis T2. Leur écart mesure la cohérence entre la tangente, l'angle au centre et les deux gisements.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le contrôle vraiment indépendant est la distance du centre aux deux droites A-S et S-B, calculée par le produit vectoriel. Elle doit valoir R sans utiliser aucun résultat intermédiaire. Pour les normes, comparez 50 m au plus petit rayon du tableau, qui vaut 54 m.

NOTE DE CALCULS

Piquetage d'une courbe

Question 1 : Les gisements et le sens du virage

Dans la tête de l'ingénieur

"Tout le raccordement découle de deux nombres : les gisements des deux alignements. Je les calcule donc avec le plus grand soin, en écrivant chaque rapport de coordonnées partielles avant de toucher à l'arctangente. Puis je fais quelque chose que l'énoncé ne demande pas : je regarde le signe de leur différence. Ce signe me dit si la route tourne à droite ou à gauche — et c'est cette information, qu'aucune formule ne produira plus tard, qui décidera de quel côté placer le centre du cercle."

Observation : le premier alignement descend vers le sud-est, le second remonte vers le nord-est. Les deux quadrants sont différents, donc les corrections aussi.
Analyse du risque : l'oubli de la correction de quadrant sur le premier alignement. L'arctangente ne rend que des valeurs comprises entre −100 et +100 gon ; elle ne sait rien du quadrant réel.
Choix stratégique : je calcule aussi les longueurs des deux alignements, bien qu'elles ne servent pas au raccordement. Elles diront si la tangente trouvée tient dans les alignements disponibles.
Alternative : lire les directions sur le plan au rapporteur. Écartée : la précision au dixième de grade est hors de portée d'une lecture graphique.
Objectif visé : deux gisements à quatre décimales, deux longueurs au millimètre, et le sens du virage énoncé sans ambiguïté.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

G(A-S) = 154,5396 gon · G(S-B) = 76,6250 gon · déviation = −77,9146 gon, virage à gauche

Rappel Théorique : le gisement et la déviation

Le gisement est l'angle que fait une direction avec le nord du quadrillage, compté dans le sens des aiguilles d'une montre, de 0 à 400 gon. Sa tangente vaut le rapport des coordonnées partielles, mais ce rapport ne suffit pas : deux directions opposées ont la même tangente. C'est le couple de signes de ΔX et ΔY qui lève l'ambiguïté.

Principe 1 — l'arctangente ne connaît pas le quadrant : elle rend une valeur entre −100 et +100 gon, qu'il faut ensuite corriger de 0, 200 ou 400 gon.
Principe 2 — la règle des signes : ΔY négatif impose +200 gon ; ΔX négatif avec ΔY positif impose +400 gon ; les deux positifs n'exigent rien.
Principe 3 — la déviation est la différence des gisements : elle mesure de combien la route change de direction au passage du sommet.
Principe 4 — son signe donne le sens du virage : négatif, la route tourne à gauche ; positif, à droite. C'est une information de terrain autant que de calcul.
Principe 5 — la longueur des alignements est une contrainte physique : la tangente calculée devra tenir dans chacun d'eux, faute de quoi la courbe empiéterait sur le raccordement voisin.

Équations Fondamentales

Trois relations : le gisement, la distance, et la déviation qui les relie.

Gisement d'un alignement :

Donne la direction d'une droite définie par deux points.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le raccordement ne dépend pas de la position des alignements mais uniquement de leurs directions. Le gisement est la façon topographique d'exprimer une direction.

Contexte de validité : suppose un repère plan, avec le nord porté par l'axe des Y.
Avantage : elle transforme deux paires de coordonnées en une direction unique, immédiatement utilisable.
Paramètre clé : l'entier k, qui vaut 0, 1 ou 2 selon le quadrant.
Vérification : le gisement doit désigner le même quadrant que celui lu sur le croquis.
Limite : quand ΔY tend vers zéro, le rapport diverge : il faut alors raisonner directement sur les signes.

\[ G = \arctan\left( \frac{\Delta X}{\Delta Y} \right) + k \cdot 200^{\text{gon}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « vers où pointe cette route ? » Réponse exprimée en grades depuis le nord, dans le sens horaire.

Décomposition des termes :

\( G \) : gisement de l'alignement, unité : gon
\( \Delta X \) : coordonnée partielle en abscisse, unité : m
\( \Delta Y \) : coordonnée partielle en ordonnée, unité : m
\( k \) : correction de quadrant, 0, 1 ou 2, unité : sans dimension
Le rapport : tangente du gisement, insuffisante à elle seule, unité : sans dimension

Longueur d'un alignement :

Distance horizontale entre les deux points qui le définissent.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la tangente calculée plus loin devra tenir dans l'alignement : si elle le dépasse, le point de tangence tomberait en amont du point A, ce qui est géométriquement impossible sur le terrain.

Contexte de validité : distances horizontales ; le tracé en plan ignore les altitudes.
Avantage : elle donne immédiatement la marge disponible de part et d'autre du sommet.
Paramètre clé : les mêmes coordonnées partielles que le gisement — d'où l'intérêt de les écrire une seule fois.
Vérification : la longueur doit être supérieure au plus grand des deux écarts.
Limite : elle ne dit rien de ce qui se trouve au-delà de A ou de B : l'alignement réel peut être plus long.

\[ D = \sqrt{ \Delta X^{2} + \Delta Y^{2} } \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « quelle longueur de route ai-je devant moi avant le sommet ? » C'est la place disponible pour y loger la courbe.

Décomposition des termes :

\( D \) : longueur de l'alignement, unité : m
\( \Delta X^{2} \) : carré de la coordonnée partielle en abscisse, unité : m²
\( \Delta Y^{2} \) : carré de la coordonnée partielle en ordonnée, unité : m²
La somme : carré de l'hypoténuse, unité : m²
La racine : distance horizontale cherchée, unité : m

Déviation du tracé :

Mesure le changement de direction au passage du sommet.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la grandeur qui commande le raccordement : elle est exactement l'angle au centre de l'arc. Et son signe donne le sens du virage, information que rien d'autre ne fournira.

Contexte de validité : les deux gisements doivent être orientés dans le sens de parcours du projet, d'amont vers aval.
Avantage : une seule soustraction livre l'angle au centre et le sens du virage.
Paramètre clé : l'ordre de la soustraction : sortant moins entrant, jamais l'inverse.
Vérification : la valeur absolue obtenue doit rester inférieure à 200 gon ; sinon, il faut ramener le résultat dans l'intervalle.
Limite : inverser l'ordre change le signe, donc le sens du virage, et place le centre du mauvais côté.

\[ \gamma = G_{\text{sortant}} - G_{\text{entrant}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « de combien, et dans quel sens, le volant tourne-t-il ? » Le signe est la réponse au « dans quel sens ».

Décomposition des termes :

\( \gamma \) : déviation du tracé au sommet, unité : gon
\( G_{\text{entrant}} \) : gisement de l'alignement parcouru avant la courbe, unité : gon
\( G_{\text{sortant}} \) : gisement de l'alignement parcouru après la courbe, unité : gon
Le signe du résultat : négatif à gauche, positif à droite, unité : sans dimension
La valeur absolue : angle au centre de l'arc de raccordement, unité : gon

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants tapent le rapport dans la calculatrice et recopient l'arctangente sans se demander dans quel quadrant ils se trouvent. Ici, le premier alignement descend vers le sud-est : l'arctangente rend −45,4604 gon, valeur qui n'est pas un gisement. Il manque les 200 gon du deuxième quadrant..."

L'approche d'ingénieur : On écrit les signes de ΔX et ΔY avant tout calcul, et on en déduit k avant même de toucher à la calculatrice.

L'erreur : croire que l'arctangente rend un gisement. Elle rend un angle entre −100 et +100 gon, rien de plus.
La bonne méthode : poser le tableau des signes, en déduire le quadrant, puis appliquer la correction. Trois lignes de note de calculs qui rendent l'erreur impossible.
L'astuce de pro : vérifier le résultat sur le croquis : un gisement entre 100 et 200 gon doit pointer vers le sud-est, ce qui est bien le cas ici.
Le moyen mnémotechnique : « Y négatif, +200 ; X négatif seul, +400 ».
L'impact direct : la version précédente de cet exercice annonçait 152,2388 et 78,4349 gon. Ces deux valeurs ne correspondent à aucun rapport de coordonnées partielles de l'énoncé, et l'erreur se propage à absolument tous les résultats suivants.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Coordonnées : en mètres , au centimètre tel que donné.
Rapports de coordonnées partielles : sans dimension , sept décimales.
Gisements : en grades , quatre décimales.
Longueurs : en mètres horizontaux , au millimètre.
Calculatrice impérativement en mode GRAD , jamais en degrés.

Nous traitons d'abord l'alignement entrant , puis le sortant, puis leur différence.

1. Résolution Numérique Étape 1 : l'alignement entrant A-S

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la direction que suit la route avant la courbe, et l'origine de tous les reports d'angle qui suivront.

\[ \Delta X = 1130{,}00 - 1000{,}00 = \mathbf{+130{,}00} \text{ m} \]

\[ \Delta Y = 1350{,}00 - 1500{,}00 = \mathbf{-150{,}00} \text{ m} \]

Le quadrant. ΔX est positif et ΔY négatif : la direction plonge vers le sud-est, donc le deuxième quadrant, et k vaut 1.

\[ \frac{\Delta X}{\Delta Y} = \frac{130{,}00}{-150{,}00} = \mathbf{-0{,}8666667} \]

\[ \arctan\left( -0{,}8666667 \right) = \mathbf{-45{,}4604} \text{ gon} \]

\[ \begin{aligned} G_{\text{A-S}} &= -45{,}4604 + 200 \\ &= \mathbf{154{,}5396} \text{ gon} \end{aligned} \]

La longueur de cet alignement.

\[ \begin{aligned} D_{\text{A-S}} &= \sqrt{ 130{,}00^{2} + 150{,}00^{2} } \\ &= \sqrt{ 39400{,}00 } \\ &= \mathbf{198{,}494} \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : l'alignement sortant S-B

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la direction que la route doit retrouver après la courbe. L'écart entre les deux est tout le problème.

\[ \Delta X = 1260{,}00 - 1130{,}00 = \mathbf{+130{,}00} \text{ m} \]

\[ \Delta Y = 1400{,}00 - 1350{,}00 = \mathbf{+50{,}00} \text{ m} \]

Le quadrant. Les deux écarts sont positifs : direction nord-est, premier quadrant, k vaut 0 et aucune correction n'est nécessaire.

\[ \frac{\Delta X}{\Delta Y} = \frac{130{,}00}{50{,}00} = \mathbf{+2{,}6000000} \]

\[ G_{\text{S-B}} = \arctan\left( 2{,}6000000 \right) = \mathbf{76{,}6250} \text{ gon} \]

La longueur de cet alignement.

\[ \begin{aligned} D_{\text{S-B}} &= \sqrt{ 130{,}00^{2} + 50{,}00^{2} } \\ &= \sqrt{ 19400{,}00 } \\ &= \mathbf{139{,}284} \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 3 : la déviation et le sens du virage

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette différence est, à son signe près, l'angle au centre de l'arc. Et son signe est la seule information qui dira de quel côté placer le centre.

\[ \begin{aligned} \gamma &= 76{,}6250 - 154{,}5396 \\ &= \mathbf{-77{,}9146} \text{ gon} \end{aligned} \]

Le résultat étant négatif, le gisement diminue au passage du sommet : la route tourne dans le sens trigonométrique, c'est-à-dire à gauche. Le centre du cercle se trouve donc à gauche de la direction de marche.

Analyse intermédiaire du chiffre :

La route braque de près de 78 grades vers la gauche, soit plus de 70 degrés. Ce n'est pas une inflexion, c'est un virage serré : la valeur annonce d'emblée que le rayon retenu devra être examiné de près.

Ordre de grandeur : les deux gisements pointent bien dans les quadrants lus sur le croquis, l'un vers le sud-est, l'autre vers le nord-est
Impact sur la suite : cette valeur est directement l'angle au centre de la question 2. Le signe, lui, servira à la question 3 pour orienter la perpendiculaire.
Cohérence : les deux alignements mesurent 198 et 139 m ; la tangente devra tenir dans le plus court des deux, ce qui sera vérifié à la question 2.
Attention : ne jamais prendre la valeur absolue trop tôt. Le signe est une donnée de projet, pas un artefact de calcul.
Comparaison : la version précédente annonçait une déviation de 73,8039 gon. L'écart de 4,1 gon vient des deux gisements erronés, et il se répercute sur tout l'exercice.

Remarque pédagogique : Écrire « virage à gauche » en toutes lettres dans la note de calculs vaut mieux qu'un signe isolé au milieu d'une ligne : c'est cette phrase que l'on relira au moment de choisir le côté de la perpendiculaire.

LECTURE DU RÉSULTAT

Le schéma ci-dessous porte les deux gisements calculés, les deux longueurs, et la déviation mesurée entre le prolongement de l'alignement entrant et l'alignement sortant.

Une lecture utile pour le terrain : le prolongement de l'alignement entrant, tracé en pointillé, montre où la route irait sans la courbe. L'angle entre ce prolongement et l'alignement sortant est la déviation — et c'est exactement ce que l'arc devra absorber.

RÉSULTAT FINAL

G · γ = 154,5396 · 76,6250 · −77,9146 gon

"Deux directions, une différence négative : la route tourne à gauche !"

Question 2 : Les éléments de la courbe

Dans la tête de l'ingénieur

"Toute la courbe tient dans un seul angle. Encore faut-il prendre le bon. Le quadrilatère sommet-tangence-centre-tangence a deux angles droits — les rayons sont perpendiculaires aux tangentes — donc les deux autres se partagent 200 gon. L'angle au centre est la déviation ; l'angle au sommet en est le complément. Les intervertir, c'est calculer la tangente d'un virage qui n'existe pas. Je vérifie donc, avant tout, laquelle des deux valeurs je mets dans la tangente."

Observation : l'angle au centre est ici inférieur à 100 gon, donc la demi-tangente est plus courte que le rayon. Un premier repère mental utile.
Analyse du risque : l'interversion des deux angles. Elle ne provoque aucune absurdité visible : les longueurs restent plausibles, seulement fausses de près du double.
Choix stratégique : je calcule six grandeurs et non deux : tangente, développement, corde, bissectrice et flèche serviront toutes, soit au piquetage, soit au contrôle.
Alternative : passer par le triangle rectangle S-T1-C sans nommer les angles. Écartée : c'est justement là que naît la confusion.
Objectif visé : une fiche d'éléments complète, avec la distinction explicite entre la flèche et la bissectrice.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

θ = 77,9146 gon · Ω = 122,0854 gon · ST = 35,091 m · L = 61,194 m · corde = 57,446 m · bissectrice = 11,085 m · flèche = 9,073 m

Rappel Théorique : la géométrie du raccordement circulaire

Un arc tangent à deux droites est entièrement déterminé par son rayon et par l'angle entre les deux droites. Toutes les autres grandeurs — tangente, développement, corde, flèche — s'en déduisent par la trigonométrie du triangle rectangle formé par le sommet, un point de tangence et le centre.

Principe 1 — le rayon est perpendiculaire à la tangente : c'est la propriété fondatrice, et elle place deux angles droits dans le quadrilatère.
Principe 2 — angle au centre et angle au sommet sont supplémentaires : leur somme vaut 200 gon, conséquence directe des deux angles droits.
Principe 3 — la bissectrice de l'angle au sommet passe par le centre : la figure est symétrique, donc les deux tangentes sont égales.
Principe 4 — le développement est proportionnel à l'angle au centre : c'est la longueur réellement parcourue par un véhicule, celle qui sert aux métrés.
Principe 5 — flèche et bissectrice ne se confondent pas : la première va de la corde à l'arc, la seconde du sommet à l'arc. Elles diffèrent ici de deux mètres.

Équations Fondamentales

Quatre relations : le partage des 200 gon, la tangente, le développement et la corde.

Angle au sommet et angle au centre :

Relie les deux angles du quadrilatère de raccordement.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la somme des angles d'un quadrilatère vaut 400 gon et que deux d'entre eux sont droits. Il ne reste donc que 200 gon à partager entre le sommet et le centre.

Contexte de validité : exige que l'arc soit tangent aux deux alignements, ce qui est la définition même du raccordement.
Avantage : elle donne l'angle au centre sans aucun calcul : il est déjà là, c'est la déviation.
Paramètre clé : savoir lequel des deux entre dans les formules suivantes : c'est toujours l'angle au centre.
Vérification : la somme des deux angles obtenus doit faire exactement 200 gon.
Limite : les deux angles étant tous deux plausibles, aucune formule ultérieure ne signalera qu'on a pris le mauvais.

\[ \theta + \Omega = 200^{\text{gon}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « plus le virage est ouvert, moins la route dévie » Les deux angles varient en sens inverse.

Décomposition des termes :

\( \theta \) : angle au centre, égal à la valeur absolue de la déviation, unité : gon
\( \Omega \) : angle au sommet, entre les deux tangentes, unité : gon
Les deux angles droits : aux points de tangence, 100 gon chacun, unité : gon
La somme du quadrilatère : 400 gon, unité : gon
La demi-somme : θ/2, seul angle qui entrera dans les formules suivantes, unité : gon

Longueur de la tangente :

Distance du sommet à chacun des deux points de tangence.

Pourquoi cette formule ?

Parce que dans le triangle rectangle S-T1-C, le rayon est le côté opposé à la demi-ouverture au centre, et la tangente le côté adjacent. Leur rapport est donc une tangente trigonométrique.

Contexte de validité : exige la demi-ouverture au centre, jamais l'angle au centre entier.
Avantage : elle donne directement la distance à mesurer depuis le sommet pour jalonner l'entrée et la sortie de la courbe.
Paramètre clé : le rayon, seul facteur d'échelle : doubler R double la tangente.
Vérification : la tangente doit tenir dans chacun des deux alignements disponibles.
Limite : quand l'angle au centre approche 200 gon, la tangente diverge : le raccordement devient impossible.

\[ ST = R \cdot \tan\left( \frac{\theta}{2} \right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « combien de mètres avant le sommet dois-je commencer à tourner ? » C'est la grandeur que l'on mesure au décamètre sur le terrain.

Décomposition des termes :

\( ST \) : longueur de la tangente, identique des deux côtés, unité : m
\( R \) : rayon du raccordement, imposé par le projet, unité : m
\( \theta / 2 \) : demi-angle au centre, unité : gon
La tangente trigonométrique : rapport du rayon à la demi-corde du triangle rectangle, unité : sans dimension
L'égalité des deux tangentes : conséquence de la symétrie de la figure, unité : m

Développement de l'arc :

Longueur réellement parcourue sur la courbe.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la longueur d'un arc est proportionnelle à l'angle qui le sous-tend. En grades, le facteur de conversion est π/200, l'angle plat valant 200 gon.

Contexte de validité : suppose un arc de cercle pur, sans clothoïde d'introduction.
Avantage : c'est la longueur qui sert aux métrés : enrobés, bordures, marquage.
Paramètre clé : le facteur π/200, propre aux grades ; en degrés il vaudrait π/180.
Vérification : le développement doit être supérieur à la corde et inférieur à la somme des deux tangentes.
Limite : elle ne vaut que pour l'axe ; les bords de chaussée ont un développement différent, plus court à l'intérieur.

\[ L = R \cdot \frac{\pi \cdot \theta}{200} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « combien de mètres de route vais-je construire dans le virage ? » C'est la ligne qui apparaît au métré.

Décomposition des termes :

\( L \) : développement de l'arc, unité : m
\( R \) : rayon du raccordement, unité : m
\( \theta \) : angle au centre entier, et non sa moitié, unité : gon
\( \pi / 200 \) : passage du grade au radian, unité : rad par gon
Le rapport à la corde : indicateur de la courbure, toujours supérieur à 1, unité : sans dimension

Corde entre les deux tangences :

Distance en ligne droite de l'entrée à la sortie de la courbe.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la corde est la base d'un triangle isocèle de côtés R, dont l'angle au sommet est l'angle au centre. Sa moitié vaut donc R sin(θ/2).

Contexte de validité : s'applique à tout arc, quel que soit son angle au centre.
Avantage : elle offre un contrôle direct au ruban entre les deux points de tangence implantés.
Paramètre clé : le sinus de la demi-ouverture, à ne pas confondre avec sa tangente.
Vérification : la corde doit être inférieure au développement, et le rapport des deux proche de 1 pour un arc court.
Limite : elle ne renseigne pas sur la position de l'arc, seulement sur son ouverture.

\[ c = 2 R \cdot \sin\left( \frac{\theta}{2} \right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « quelle distance sépare l'entrée de la sortie du virage, à vol d'oiseau ? » C'est la mesure que l'on peut refaire au ruban pour contrôler.

Décomposition des termes :

\( c \) : corde joignant les deux points de tangence, unité : m
\( 2R \) : diamètre du cercle de raccordement, unité : m
\( \sin(\theta/2) \) : demi-ouverture vue du centre, unité : sans dimension
La flèche associée : \( R(1 - \cos(\theta/2)) \), distance de la corde à l'arc, unité : m
La bissectrice : \( R(1/\cos(\theta/2) - 1) \), distance du sommet à l'arc, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants — et beaucoup de corrigés — appellent « angle au sommet » la différence des gisements, puis prennent son complément pour l'angle au centre. C'est exactement l'inverse. La différence des gisements est la déviation, donc l'angle au centre ; l'angle au sommet est ce qui reste des 200 gon..."

L'approche d'ingénieur : On dessine le quadrilatère et on y place les deux angles droits avant d'écrire quoi que ce soit.

L'erreur : confondre l'angle entre les deux routes et l'angle dont la route tourne. Ce sont deux angles supplémentaires.
La bonne méthode : se souvenir qu'un virage à angle droit dévie de 100 gon : l'angle au sommet vaut alors 100 gon et l'angle au centre aussi. C'est le seul cas où les deux coïncident.
L'astuce de pro : raisonner par cas limite. Deux alignements presque parallèles donnent une déviation quasi nulle et un angle au sommet proche de 200 gon : l'arc devient minuscule.
Le moyen mnémotechnique : « le volant tourne de l'angle au centre ».
L'impact direct : la version précédente annonçait ST = 66,86 m et L = 99,11 m, soit près du double des valeurs exactes. Les points de tangence sortaient de plus de trente mètres.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Angles : en grades , repris sans arrondi depuis la question 1.
Lignes trigonométriques : sans dimension , sept décimales.
Rayon et longueurs : en mètres , au millimètre.
Facteur de conversion : π / 200, en radian par grade .
Calculatrice toujours en mode GRAD .

Nous partageons d'abord les 200 gon , puis nous en déduisons les cinq longueurs de la courbe.

1. Résolution Numérique Étape 1 : les deux angles du quadrilatère

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le point de bascule de tout l'exercice : le reste n'est que trigonométrie appliquée à l'angle retenu.

\[ \theta = \left| -77{,}9146 \right| = \mathbf{77{,}9146} \text{ gon} \]

\[ \begin{aligned} \Omega &= 200 - 77{,}9146 \\ &= \mathbf{122{,}0854} \text{ gon} \end{aligned} \]

La demi-ouverture au centre. C'est elle, et non l'angle entier, qui entre dans la tangente, la corde et la flèche.

\[ \frac{\theta}{2} = \frac{77{,}9146}{2} = \mathbf{38{,}9573} \text{ gon} \]

Étape 2 : la tangente et le développement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ces deux longueurs sont celles que le chantier utilise : la première pour jalonner, la seconde pour métrer.

\[ \tan\left( 38{,}9573 \text{ gon} \right) = \mathbf{0{,}7018102} \]

\[ \begin{aligned} ST &= 50{,}00 \times 0{,}7018102 \\ &= \mathbf{35{,}091} \text{ m} \end{aligned} \]

Cette tangente doit tenir dans chacun des deux alignements. Elle vaut 35,091 m contre 198,494 m disponibles avant le sommet et 139,284 m après : la marge est confortable des deux côtés.

\[ \pi \times 77{,}9146 = \mathbf{244{,}77593} \]

\[ \begin{aligned} L &= 50{,}00 \times \frac{244{,}77593}{200} \\ &= 50{,}00 \times 1{,}2238797 \\ &= \mathbf{61{,}194} \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 3 : la corde, la flèche et la bissectrice

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ces trois grandeurs servent aux contrôles de terrain — et parce que les deux dernières sont régulièrement confondues.

\[ \sin\left( 38{,}9573 \text{ gon} \right) = \mathbf{0{,}5744564} \]

\[ \begin{aligned} c &= 2 \times 50{,}00 \times 0{,}5744564 \\ &= \mathbf{57{,}446} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \cos\left( 38{,}9573 \text{ gon} \right) = \mathbf{0{,}8185352} \]

La flèche — distance de la corde à l'arc, mesurée en leur milieu commun :

\[ \begin{aligned} f &= 50{,}00 \times \left( 1 - 0{,}8185352 \right) \\ &= 50{,}00 \times 0{,}1814648 \\ &= \mathbf{9{,}073} \text{ m} \end{aligned} \]

La bissectrice — distance du sommet au milieu de l'arc, sur la bissectrice de l'angle au sommet :

\[ \frac{50{,}00}{0{,}8185352} = \mathbf{61{,}08473} \text{ m} \]

\[ \begin{aligned} b &= 61{,}08473 - 50{,}00 \\ &= \mathbf{11{,}085} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Une courbe de 61 m de long, entrant 35 m avant le sommet. Le développement dépasse la corde de 3,7 m, soit un rapport de 1,065 : l'arc est nettement courbé, ce qui confirme le caractère serré du virage annoncé à la question 1.

Ordre de grandeur : la somme des deux tangentes vaut 70,182 m, supérieure au développement de 61,194 m, lui-même supérieur à la corde de 57,446 m. L'encadrement attendu est respecté
Impact sur la suite : la tangente donnera les deux points de tangence, la bissectrice servira de contrôle sur le milieu de l'arc.
Cohérence : flèche et bissectrice diffèrent de 2,012 m. Les confondre déplacerait le point milieu de deux mètres — visible à l'œil nu sur le terrain.
Attention : la version précédente donnait la formule de la bissectrice en l'appelant flèche. La confusion est fréquente et elle a un coût métrique.
Comparaison : avec les valeurs erronées de la version précédente — 66,86 et 99,11 m —, la tangente aurait dépassé de trente mètres sa valeur réelle, sans pour autant sortir des alignements disponibles : rien n'aurait alerté.

Remarque pédagogique : L'encadrement corde < développement < somme des tangentes est un contrôle gratuit, valable pour tout raccordement circulaire. Il ne coûte que deux comparaisons et attrape l'interversion des angles dans la plupart des cas.

LECTURE DU RÉSULTAT

Le schéma ci-dessous porte tous les éléments calculés sur la figure du raccordement, avec les deux angles droits aux points de tangence.

Une lecture utile pour le terrain : la bissectrice part du sommet et rejoint l'arc en son milieu ; la flèche part de la corde et rejoint le même point. Les deux se terminent au même endroit mais ne commencent pas au même : d'où les 2,012 m d'écart entre elles.

RÉSULTAT FINAL

θ · ST · L = 77,9146 · 35,091 · 61,194 gon · m · m

"L'angle au centre est la déviation : tout le reste en découle !"

Question 3 : Les coordonnées des quatre points

Dans la tête de l'ingénieur

"Quatre rayonnements, et c'est fini. Mais chacun exige de choisir le bon gisement, et le troisième exige de choisir le bon côté. Pour aller du sommet vers T1, je remonte l'alignement entrant : il me faut donc le gisement inverse. Pour aller de T1 vers le centre, je tourne de 100 gon — mais dans quel sens ? La question 1 a déjà répondu : le virage tourne à gauche, donc le centre est à gauche, donc je retranche. Cette phrase vaut mieux qu'une formule apprise par cœur."

Observation : les deux points de tangence se rayonnent depuis le même point, le sommet, à la même distance. Seuls les gisements diffèrent.
Analyse du risque : oublier le gisement inverse pour T1. On obtiendrait un point situé au-delà du sommet, sur le prolongement de la route, au lieu d'être en amont.
Choix stratégique : je calcule le centre depuis T1, et je réserve le chemin par T2 pour la question 4 : il servira de contrôle de fermeture.
Alternative : calculer le centre depuis le sommet, sur la bissectrice, à la distance déjà connue. Écartée : elle exigerait le gisement de la bissectrice, une grandeur supplémentaire à établir.
Objectif visé : quatre points au millimètre — dont le milieu de l'arc, que la version précédente annonçait sans jamais le calculer.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

T1 (1107,018 ; 1376,518) · T2 (1162,752 ; 1362,597) · C (1144,802 ; 1409,264) · Pmilieu (1132,686 ; 1360,755)

Rappel Théorique : le rayonnement et le choix du côté

Le rayonnement polaire est l'opération la plus simple de la topographie : depuis un point connu, une direction et une longueur donnent un nouveau point. Toute la difficulté du piquetage d'une courbe tient à l'enchaînement de ces rayonnements, et au fait que l'un d'eux exige une information qui ne vient d'aucun calcul : le côté du virage.

Principe 1 — sinus sur les X, cosinus sur les Y : règle sans exception, le gisement étant compté depuis l'axe des ordonnées.
Principe 2 — le gisement inverse s'obtient à 200 gon près : aller de S vers A n'est pas aller de A vers S.
Principe 3 — une perpendiculaire vaut 100 gon : reste à savoir s'il faut les ajouter ou les retrancher.
Principe 4 — le sens du virage tranche : virage à gauche, on retranche ; virage à droite, on ajoute. Aucune formule ne le dira à votre place.
Principe 5 — le milieu de l'arc se rayonne depuis le centre : dans la direction du sommet, à la distance R. C'est le point le plus utile du piquetage après les tangences.

Équations Fondamentales

Quatre relations : le gisement inverse, les deux projections du rayonnement, et la perpendiculaire menant au centre.

Gisement inverse :

Retourne une direction pour remonter l'alignement.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le premier point de tangence se trouve en amont du sommet. Le rayonnement partant du sommet, il faut donc la direction qui remonte vers A, et non celle qui descend de A vers S.

Contexte de validité : toujours vraie en topographie plane : deux directions opposées diffèrent exactement de 200 gon.
Avantage : elle évite de recalculer un gisement à partir des coordonnées, donc évite une source d'erreur.
Paramètre clé : le modulo 400 : si le résultat dépasse 400 gon, il faut retrancher un tour.
Vérification : le gisement inverse doit désigner le quadrant diamétralement opposé.
Limite : l'oublier ne provoque aucune erreur de calcul, seulement un point placé du mauvais côté du sommet.

\[ G_{\text{S-A}} = G_{\text{A-S}} + 200^{\text{gon}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « je fais demi-tour » Le géomètre se retourne et vise dans l'autre sens, sur la même droite.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{S-A}} \) : gisement du sommet vers le point A, unité : gon
\( G_{\text{A-S}} \) : gisement de l'alignement entrant, calculé à la question 1, unité : gon
Les 200 gon : demi-tour complet, unité : gon
Le modulo 400 : à appliquer si la somme dépasse un tour, unité : gon
La distance associée : la tangente ST, identique dans les deux sens, unité : m

Rayonnement — abscisse :

Position en X d'un point rayonné.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une direction et une longueur se projettent sur les deux axes. Le gisement étant compté depuis l'axe des Y, c'est le sinus qui porte l'abscisse.

Contexte de validité : exige une distance horizontale et un gisement rapporté au nord du quadrillage.
Avantage : elle s'applique identiquement aux quatre points à calculer : une seule formule à maîtriser.
Paramètre clé : le signe du sinus, qui change selon le quadrant du gisement.
Vérification : la somme des carrés du sinus et du cosinus doit valoir 1.
Limite : intervertie avec l'ordonnée, elle donne un point plausible et faux, à la bonne distance du point de départ.

\[ X_{\text{P}} = X_{\text{O}} + D \cdot \sin\left( G_{\text{O-P}} \right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « de combien ce point est-il à l'est de mon origine ? » Positif vers l'est, négatif vers l'ouest.

Décomposition des termes :

\( X_{\text{P}} \) : abscisse du point rayonné, unité : m
\( X_{\text{O}} \) : abscisse du point d'origine du rayonnement, unité : m
\( D \) : longueur rayonnée — la tangente, puis le rayon, unité : m
\( \sin(G_{\text{O-P}}) \) : projection de la direction sur l'axe des X, unité : sans dimension
Le produit : coordonnée partielle en abscisse, unité : m

Rayonnement — ordonnée :

Position en Y d'un point rayonné.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'axe des Y est la direction de référence du gisement : la projection sur cet axe fait donc intervenir le cosinus, qui devient négatif au-delà de 100 gon.

Contexte de validité : mêmes hypothèses que pour l'abscisse ; les deux formules vont toujours par paire.
Avantage : couplée à la précédente, elle achève la détermination d'un point en deux lignes.
Paramètre clé : le signe du cosinus : positif vers le nord, négatif vers le sud.
Vérification : le rapport des deux coordonnées partielles doit redonner la tangente du gisement.
Limite : elle propage intégralement l'erreur du gisement, amplifiée par la longueur rayonnée.

\[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{O}} + D \cdot \cos\left( G_{\text{O-P}} \right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « de combien ce point est-il au nord de mon origine ? » Le signe donne le sens.

Décomposition des termes :

\( Y_{\text{P}} \) : ordonnée du point rayonné, unité : m
\( Y_{\text{O}} \) : ordonnée du point d'origine, unité : m
\( \cos(G_{\text{O-P}}) \) : projection de la direction sur l'axe des Y, unité : sans dimension
Le produit : coordonnée partielle en ordonnée, unité : m
L'arrondi final : au millimètre, une seule fois, en fin de chaîne, unité : m

Perpendiculaire menant au centre :

Oriente la visée du point de tangence vers le centre du cercle.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le rayon est perpendiculaire à la tangente au point de contact. Il suffit donc de tourner de 100 gon — du côté indiqué par le sens du virage.

Contexte de validité : le signe dépend du sens du virage : moins à gauche, plus à droite.
Avantage : elle donne le centre sans passer par la bissectrice, donc sans grandeur intermédiaire supplémentaire.
Paramètre clé : le signe, seule information de l'exercice qui ne provienne pas d'un calcul mais d'une lecture.
Vérification : le centre obtenu doit se trouver du côté intérieur du virage, jamais à l'extérieur.
Limite : avec le mauvais signe, le centre bascule symétriquement par rapport à l'alignement : la courbe tournerait dans l'autre sens.

\[ G_{\text{T1-C}} = G_{\text{A-S}} - 100^{\text{gon}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « je me place à l'entrée du virage et je regarde vers l'intérieur » À gauche, puisque la route tourne à gauche.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{T1-C}} \) : gisement du premier point de tangence vers le centre, unité : gon
\( G_{\text{A-S}} \) : gisement de l'alignement entrant, unité : gon
Les 100 gon : angle droit entre la tangente et le rayon, unité : gon
Le signe moins : imposé par le virage à gauche, unité : sans dimension
La distance associée : le rayon R, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants ajoutent systématiquement 100 gon pour trouver le centre, parce que c'est ce qu'ils ont vu dans un exemple. Le calcul se déroule sans anomalie, la distance au point de tangence vaut bien R — mais le centre est de l'autre côté de la route, et la courbe tourne dans le mauvais sens..."

L'approche d'ingénieur : On relit la phrase écrite à la question 1 — « virage à gauche » — et on en déduit le signe.

L'erreur : croire qu'il existe un signe universel. Il dépend entièrement du sens du virage, qui change d'un raccordement à l'autre sur un même tracé.
La bonne méthode : écrire le signe de la déviation dès la question 1, en toutes lettres, et s'y référer ici.
L'astuce de pro : vérifier que le centre obtenu est bien du côté intérieur du virage — c'est immédiat sur un croquis, même grossier.
Le moyen mnémotechnique : « on tourne le regard du côté où l'on tourne le volant ».
L'impact direct : la version précédente écrivait G(A-S) + 100, ce qui plaçait le centre du mauvais côté — et le calculait de surcroît en degrés au lieu de grades.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Gisements : en grades , quatre décimales.
Sinus et cosinus : sans dimension , sept décimales, signes explicites.
Coordonnées partielles : en mètres , quatre décimales pour ne rien perdre en chaîne.
Coordonnées finales : en mètres , arrondies au millimètre en fin de calcul seulement.
Calculatrice en mode GRAD — l'erreur la plus coûteuse de cet exercice.

Nous rayonnons successivement T1, T2, le centre puis le milieu de l'arc .

1. Résolution Numérique Étape 1 : le point de tangence d'entrée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que T1 est le point où la route cesse d'être droite. C'est le premier piquet à planter.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S-A}} &= 154{,}5396 + 200 \\ &= \mathbf{354{,}5396} \text{ gon} \end{aligned} \]

Ce gisement se situe dans le quatrième quadrant : la direction pointe vers le nord-ouest, donc sinus négatif et cosinus positif.

\[ \sin\left( 354{,}5396 \text{ gon} \right) = \mathbf{-0{,}6549302} \]

\[ \cos\left( 354{,}5396 \text{ gon} \right) = \mathbf{+0{,}7556893} \]

\[ \begin{aligned} \Delta X &= 35{,}091 \times \left( -0{,}6549302 \right) \\ &= \mathbf{-22{,}9822} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \Delta Y &= 35{,}091 \times 0{,}7556893 \\ &= \mathbf{+26{,}5179} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} X_{\text{T1}} &= 1130{,}00 - 22{,}9822 \\ &= 1107{,}0178 \\ &= \mathbf{1107{,}018} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} Y_{\text{T1}} &= 1350{,}00 + 26{,}5179 \\ &= 1376{,}5179 \\ &= \mathbf{1376{,}518} \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : le point de tangence de sortie

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que T2 est le point où la route redevient droite. Ici, aucun gisement inverse : on descend l'alignement sortant dans son sens naturel.

\[ \sin\left( 76{,}6250 \text{ gon} \right) = \mathbf{+0{,}9333457} \]

\[ \cos\left( 76{,}6250 \text{ gon} \right) = \mathbf{+0{,}3589789} \]

\[ \begin{aligned} \Delta X &= 35{,}091 \times 0{,}9333457 \\ &= \mathbf{+32{,}7520} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \Delta Y &= 35{,}091 \times 0{,}3589789 \\ &= \mathbf{+12{,}5969} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} X_{\text{T2}} &= 1130{,}00 + 32{,}7520 \\ &= \mathbf{1162{,}752} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} Y_{\text{T2}} &= 1350{,}00 + 12{,}5969 \\ &= \mathbf{1362{,}597} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux tangences encadrent le sommet, l'une au nord-ouest, l'autre au nord-est. La distance qui les sépare doit valoir la corde calculée à la question 2 : ce sera vérifié à la question 4.

Ordre de grandeur : les quatre coordonnées partielles restent inférieures à 35,091 m en valeur absolue, comme l'exige la longueur rayonnée
Impact sur la suite : T1 servira d'origine au rayonnement du centre ; T2 servira de chemin de contrôle à la question 4.
Cohérence : les deux points se trouvent bien sur leurs alignements respectifs, du bon côté du sommet.
Attention : les quatre décimales conservées ici ne sont pas de la coquetterie : elles évitent que l'arrondi ne s'accumule sur les deux rayonnements suivants.
Comparaison : la version précédente annonçait T1 (1076,62 ; 1424,96), avec des coordonnées partielles de −53,38 et +74,96 m — dont le module vaut 92,03 m alors que la distance rayonnée annoncée était 66,86 m. Ces chiffres n'ont jamais été calculés.

Remarque pédagogique : Un contrôle immédiat et gratuit : la racine de la somme des carrés des deux coordonnées partielles doit redonner la distance rayonnée. Il suffit de le faire une fois pour attraper une faute de sinus.

Étape 3 : le centre du cercle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le centre est le point depuis lequel tous les points de l'arc se piquettent. C'est ici qu'intervient le sens du virage.

\[ \begin{aligned} G_{\text{T1-C}} &= 154{,}5396 - 100 \\ &= \mathbf{54{,}5396} \text{ gon} \end{aligned} \]

Ce gisement pointe vers le nord-est, c'est-à-dire vers l'intérieur du virage : les deux lignes trigonométriques sont positives.

\[ \sin\left( 54{,}5396 \text{ gon} \right) = \mathbf{+0{,}7556893} \]

\[ \cos\left( 54{,}5396 \text{ gon} \right) = \mathbf{+0{,}6549302} \]

\[ \begin{aligned} \Delta X &= 50{,}00 \times 0{,}7556893 \\ &= \mathbf{+37{,}7845} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \Delta Y &= 50{,}00 \times 0{,}6549302 \\ &= \mathbf{+32{,}7465} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} X_{\text{C}} &= 1107{,}0178 + 37{,}7845 \\ &= 1144{,}8023 \\ &= \mathbf{1144{,}802} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} Y_{\text{C}} &= 1376{,}5179 + 32{,}7465 \\ &= 1409{,}2644 \\ &= \mathbf{1409{,}264} \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 4 : le milieu de l'arc

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce point, annoncé par l'énoncé, n'avait jamais été calculé. Il se rayonne depuis le centre, à la distance R, en direction du sommet.

\[ \Delta X = 1130{,}00 - 1144{,}8023 = \mathbf{-14{,}8023} \text{ m} \]

\[ \Delta Y = 1350{,}00 - 1409{,}2644 = \mathbf{-59{,}2644} \text{ m} \]

Les deux écarts sont négatifs : la direction plonge vers le sud-ouest, troisième quadrant, donc k vaut 1.

\[ \frac{\Delta X}{\Delta Y} = \frac{-14{,}8023}{-59{,}2644} = \mathbf{+0{,}2497673} \]

\[ \arctan\left( 0{,}2497673 \right) = \mathbf{15{,}5819} \text{ gon} \]

\[ \begin{aligned} G_{\text{C-S}} &= 15{,}5819 + 200 \\ &= \mathbf{215{,}5819} \text{ gon} \end{aligned} \]

\[ \sin\left( 215{,}5819 \text{ gon} \right) = \mathbf{-0{,}2423231} \]

\[ \cos\left( 215{,}5819 \text{ gon} \right) = \mathbf{-0{,}9701956} \]

\[ \begin{aligned} \Delta X &= 50{,}00 \times \left( -0{,}2423231 \right) \\ &= \mathbf{-12{,}1162} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \Delta Y &= 50{,}00 \times \left( -0{,}9701956 \right) \\ &= \mathbf{-48{,}5098} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} X_{\text{Pm}} &= 1144{,}8023 - 12{,}1162 \\ &= 1132{,}6861 \\ &= \mathbf{1132{,}686} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} Y_{\text{Pm}} &= 1409{,}2644 - 48{,}5098 \\ &= 1360{,}7546 \\ &= \mathbf{1360{,}755} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La fiche de piquetage est complète : quatre points, tous au millimètre. Le milieu de l'arc se trouve à quelques mètres au nord du sommet, ce qui correspond bien à la bissectrice de 11,085 m calculée à la question 2.

Ordre de grandeur : le centre est à 59 m au nord et 15 m à l'est du sommet, soit une distance voisine de 61 m — cohérent avec les 61,085 m du segment sommet-centre
Impact sur la suite : ces quatre points sont le livrable. Il reste à démontrer que la courbe qu'ils définissent est réellement tangente aux deux alignements.
Cohérence : le centre se trouve bien à l'intérieur du virage, au nord de la ligne des deux alignements, comme l'exigeait le sens de rotation.
Attention : sur le terrain, le centre est souvent inaccessible — dans un talus, un bâtiment ou une parcelle privée. Le piquetage se fait alors depuis les tangences, par abscisses et ordonnées.
Comparaison : la version précédente donnait C (1028,86 ; 1410,18), soit 116 m à l'ouest du centre réel — conséquence directe d'un calcul mené en degrés et d'une perpendiculaire prise du mauvais côté.

Remarque pédagogique : Le milieu de l'arc est le point de contrôle privilégié d'un raccordement : il est le plus éloigné des deux tangences, donc le plus sensible à une erreur sur le rayon ou sur l'angle au centre.

LECTURE DU RÉSULTAT

Le schéma ci-dessous porte les coordonnées des quatre points calculés ainsi que les gisements de rayonnement employés.

Une lecture utile pour le terrain : le centre est du côté nord, à l'intérieur du virage. Si le calcul l'avait placé au sud, la courbe se serait éloignée du sommet au lieu de le contourner — anomalie immédiatement visible sur le croquis, et c'est bien pour cela qu'on le dessine.

RÉSULTAT FINAL

C = 1144,802 · 1409,264 m

"Quatre points, dont celui que la version précédente avait promis sans jamais le calculer !"

Question 4 : Les contrôles et la confrontation aux seuils

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai quatre points. Rien ne prouve encore que le cercle qu'ils définissent soit réellement tangent aux deux alignements. Je vais donc mesurer la distance du centre aux deux droites — pas aux points de tangence que j'ai moi-même calculés, mais aux droites définies par A, S et B. Ce contrôle-là ne réutilise aucun de mes résultats intermédiaires : ni la tangente, ni l'angle au centre, ni les gisements. Si le centre est bien à 50 m de chacune des deux droites, la courbe est tangente. Et enfin, je regarde ce rayon en face : cinquante mètres, est-ce raisonnable ?"

Observation : le centre peut être atteint par deux chemins, depuis T1 ou depuis T2. Leur écart mesure la cohérence de la chaîne.
Analyse du risque : se contenter de ce double chemin. Il teste la cohérence interne, mais il repose encore sur ma tangente et mon angle au centre.
Choix stratégique : un contrôle qui repart des trois points de l'énoncé et de rien d'autre : la distance du centre aux deux droites.
Le devoir de conseil : un rayon de 50 m n'est pas neutre. Le tableau du guide le situe sous le plus petit seuil qu'il propose, et cela doit figurer dans la note.
Objectif visé : une courbe démontrée tangente, et un rayon dont les conséquences sont chiffrées.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Fermeture sur C : 0,8 mm · Distances aux droites : 50,0000 et 50,0005 m · θ restitué à 0,8 mgon · R = 50 m sous le seuil de 54 m

Rappel Théorique : contrôler une tangence, et lire un tableau de conception

Un raccordement est correct si le cercle est tangent aux deux alignements, c'est-à-dire si son centre est exactement à la distance R de chacune des deux droites. Cette propriété se vérifie directement, sans passer par aucun des résultats intermédiaires. Quant au rayon lui-même, il n'est pas un choix libre : il découle de la vitesse pratiquée et du dévers admissible.

Principe 1 — un contrôle n'a de valeur que s'il est indépendant : refaire le calcul autrement à partir des mêmes grandeurs ne vérifie que l'arithmétique.
Principe 2 — la distance d'un point à une droite se calcule sans projection : le produit vectoriel des deux vecteurs, divisé par la longueur du segment, la donne directement.
Principe 3 — le rayon minimal dépend du couple vitesse-dévers : le guide donne deux seuils, sécurité et confort, aux deux tiers et à la moitié de la stabilité physique.
Principe 4 — un petit rayon appelle une surlargeur : en dessous de 200 m, les semi-remorques débordent de leur voie si l'on ne l'élargit pas.
Principe 5 — un arc de cercle pur n'est pas un tracé définitif : l'introduction d'une clothoïde déplace les points de tangence et rallonge le raccordement.

Équations Fondamentales

Trois relations : la distance d'un point à une droite, la restitution de l'angle au centre, et la surlargeur de virage.

Distance d'un point à une droite :

Contrôle direct de la tangence, à partir des seules données de l'énoncé.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle n'utilise que les coordonnées du centre et celles des points qui définissent la droite. Ni la tangente, ni l'angle au centre, ni les gisements n'y interviennent : c'est un contrôle véritablement indépendant.

Contexte de validité : s'applique à toute droite définie par deux points distincts.
Avantage : elle démontre la tangence elle-même, et non la cohérence d'un enchaînement de calculs.
Paramètre clé : le numérateur, produit vectoriel des deux vecteurs, dont le signe indique le côté de la droite.
Vérification : les deux distances obtenues doivent valoir R, et être toutes deux du même côté.
Limite : elle mesure la distance à la droite entière, pas au segment : le pied de la perpendiculaire pourrait tomber hors de l'alignement.

\[ d = \frac{ \left| \Delta X_{\text{d}} \left( Y_{\text{C}} - Y_{\text{A}} \right) - \Delta Y_{\text{d}} \left( X_{\text{C}} - X_{\text{A}} \right) \right| }{ \sqrt{ \Delta X_{\text{d}}^{2} + \Delta Y_{\text{d}}^{2} } } \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « à quelle distance le centre est-il du bord de la route ? » Si la réponse est R, l'arc effleure exactement l'alignement.

Décomposition des termes :

\( d \) : distance du centre à la droite, unité : m
\( \Delta X_{\text{d}} \text{ , } \Delta Y_{\text{d}} \) : coordonnées partielles de la droite, unité : m
Le numérateur : double de l'aire du triangle formé par la droite et le centre, unité : m²
Le dénominateur : longueur du segment servant de base, unité : m
L'écart à R : résidu du contrôle, unité : mm

Restitution de l'angle au centre :

Recalcule, depuis les coordonnées trouvées, l'angle qui commande la courbe.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle referme la boucle : l'angle sous lequel le centre voit les deux tangences doit être exactement l'angle au centre calculé à la question 2.

Contexte de validité : exige les coordonnées du centre et des deux points de tangence.
Avantage : elle valide simultanément les deux rayonnements de tangence et celui du centre.
Paramètre clé : l'ordre de la soustraction, qui doit suivre le sens de parcours de l'arc.
Vérification : l'écart résiduel ne doit provenir que des arrondis des coordonnées partielles.
Limite : ce contrôle reste partiellement dépendant : le centre a été calculé depuis T1, donc les deux ne sont pas parfaitement indépendants.

\[ \theta_{\text{ctrl}} = G_{\text{C-T1}} - G_{\text{C-T2}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « vu du centre, de combien s'ouvre la courbe ? » C'est l'angle que balaierait un théodolite posé au centre.

Décomposition des termes :

\( \theta_{\text{ctrl}} \) : angle au centre restitué, unité : gon
\( G_{\text{C-T1}} \) : gisement du centre vers la tangence d'entrée, unité : gon
\( G_{\text{C-T2}} \) : gisement du centre vers la tangence de sortie, unité : gon
L'écart au calculé : résidu du contrôle, unité : mgon
Les deux rayons : longueurs associées, qui doivent valoir R, unité : m

Surlargeur de virage :

Élargissement nécessaire pour que les poids lourds ne débordent pas de leur voie.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un semi-remorque en virage ne suit pas la trajectoire de son tracteur : ses roues arrière coupent la courbe. Plus le rayon est faible, plus l'écart est grand.

Contexte de validité : s'applique aux rayons inférieurs à 200 m, lorsque le trafic poids lourds est significatif.
Avantage : une règle simple, immédiatement chiffrable dès que le rayon est connu.
Paramètre clé : le rayon, au dénominateur : diviser R par deux double la surlargeur.
Vérification : pour R = 200 m, la formule doit rendre 0,25 m, valeur négligeable — d'où le seuil.
Limite : c'est une valeur générale ; pour les rayons très faibles, le guide recommande une étude de giration spécifique.

\[ s = \frac{50}{R} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « de combien dois-je élargir la chaussée pour que le camion reste chez lui ? » La réponse se compte en dizaines de centimètres.

Décomposition des termes :

\( s \) : surlargeur à prévoir dans le virage, unité : m
\( R \) : rayon du raccordement, unité : m
Le seuil de 200 m : au-delà, la surlargeur devient négligeable, unité : m
La giration réglementaire : entre deux cercles de 5,30 et 12,50 m, unité : m
La clothoïde associée : Inf(6 R^0,4 ; 67 m) pour une route à deux voies, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants livrent la fiche de piquetage sans aucun contrôle, ou se contentent de recalculer le centre par l'autre tangence. Ce second chemin réutilise la même tangente et le même angle au centre : il ne peut pas révéler qu'ils étaient faux..."

L'approche d'ingénieur : On construit un contrôle qui repart des données de l'énoncé, et de rien d'autre.

L'erreur : confondre cohérence interne et vérification. Le double chemin vers le centre est un contrôle d'arithmétique.
La bonne méthode : mesurer la distance du centre aux deux droites A-S et S-B. Aucun résultat intermédiaire n'y entre.
L'astuce de pro : ce contrôle est celui que fait un logiciel de conception : il vérifie la tangence, pas la suite d'opérations.
Le moyen mnémotechnique : « on contrôle avec ce qu'on n'a pas encore utilisé ».
L'impact direct : appliqué au centre publié par la version précédente, ce contrôle aurait rendu une distance de plusieurs dizaines de mètres au lieu de 50 : l'erreur sautait aux yeux en une ligne.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Coordonnées : en mètres , quatre décimales pour les contrôles.
Écarts métriques : en millimètres .
Écarts angulaires : en milligrades .
Surlargeur et clothoïde : en mètres .
Rayons de référence : en mètres , tels que lus dans le tableau du guide.

Nous menons les quatre contrôles , puis nous confrontons le rayon aux seuils du guide.

1. Résolution Numérique Étape 1 : premier contrôle — la fermeture sur le centre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il teste la cohérence entre la tangente, l'angle au centre et les deux gisements. Le virage tournant à gauche, on retranche à nouveau 100 gon.

\[ \begin{aligned} G_{\text{T2-C}} &= 76{,}6250 - 100 + 400 \\ &= \mathbf{376{,}6250} \text{ gon} \end{aligned} \]

\[ \sin\left( 376{,}6250 \text{ gon} \right) = \mathbf{-0{,}3589789} \]

\[ \cos\left( 376{,}6250 \text{ gon} \right) = \mathbf{+0{,}9333457} \]

\[ \begin{aligned} X_{\text{C}} &= 1162{,}7520 - 17{,}9489 \\ &= \mathbf{1144{,}8031} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} Y_{\text{C}} &= 1362{,}5969 + 46{,}6673 \\ &= \mathbf{1409{,}2642} \text{ m} \end{aligned} \]

À comparer au centre obtenu depuis T1 à la question 3 :

\[ \sqrt{ 0{,}0008^{2} + 0{,}0002^{2} } = \mathbf{0{,}8} \text{ mm} \]

Étape 2 : deuxième contrôle — la tangence aux deux droites

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le seul contrôle réellement indépendant : il n'utilise que le centre et les trois points de l'énoncé.

\[ \begin{aligned} N_{\text{A-S}} &= 130 \times \left( 1409{,}2644 - 1500 \right) + 150 \times \left( 1144{,}8023 - 1000 \right) \\ &= \mathbf{9924{,}7170} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} d_{\text{A-S}} &= \frac{9924{,}7170}{198{,}494} \\ &= \mathbf{50{,}0000} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} N_{\text{S-B}} &= 130 \times \left( 1409{,}2644 - 1350 \right) - 50 \times \left( 1144{,}8023 - 1130 \right) \\ &= \mathbf{6964{,}2570} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} d_{\text{S-B}} &= \frac{6964{,}2570}{139{,}284} \\ &= \mathbf{50{,}0005} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le centre est à 50,0000 m d'une droite et à 50,0005 m de l'autre. La tangence est donc démontrée, à un demi-millimètre près, sans avoir réutilisé la tangente ni l'angle au centre. C'est le contrôle qui compte.

Ordre de grandeur : les 0,5 mm résiduels correspondent exactement à l'arrondi de la tangente au millimètre
Pouvoir de détection : avec l'angle au sommet à la place de l'angle au centre, ce contrôle aurait rendu des distances très éloignées de 50 m : il condamne immédiatement l'interversion.
Cohérence : les deux numérateurs sont positifs, donc le centre est du même côté des deux droites — condition nécessaire d'un raccordement.
Attention : la formule mesure la distance à la droite, non au segment. Ici les deux pieds de perpendiculaire tombent bien à l'intérieur des alignements, ce qui a été vérifié à la question 2.
Comparaison : c'est exactement le contrôle qu'effectue un logiciel de conception routière quand il refuse un raccordement mal défini.

Remarque pédagogique : Le signe du numérateur est une information à part entière : il dit de quel côté de la droite se trouve le point. Deux signes identiques confirment que le centre est bien à l'intérieur du virage.

Étape 3 : troisième contrôle — l'angle au centre restitué

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il referme la boucle sur l'angle qui commande toute la courbe. On calcule les gisements du centre vers les deux tangences.

\[ G_{\text{C-T1}} = \mathbf{254{,}5396} \text{ gon} \]

\[ G_{\text{C-T2}} = \mathbf{176{,}6242} \text{ gon} \]

\[ \begin{aligned} \theta_{\text{ctrl}} &= 254{,}5396 - 176{,}6242 \\ &= \mathbf{77{,}9154} \text{ gon} \end{aligned} \]

\[ 77{,}9154 - 77{,}9146 = \mathbf{+0{,}8} \text{ mgon} \]

Étape 4 : quatrième contrôle — la corde et la bissectrice restituées

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ces deux longueurs ont été obtenues à la question 2 par la trigonométrie, et qu'on les recalcule ici depuis les coordonnées.

\[ \begin{aligned} c_{\text{ctrl}} &= \sqrt{ 55{,}7342^{2} + 13{,}9210^{2} } \\ &= \mathbf{57{,}4465} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ 57{,}4465 - 57{,}446 = \mathbf{+0{,}5} \text{ mm} \]

\[ \begin{aligned} b_{\text{ctrl}} &= \sqrt{ 2{,}6861^{2} + 10{,}7546^{2} } \\ &= \mathbf{11{,}0850} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ 11{,}0850 - 11{,}0847 = \mathbf{+0{,}3} \text{ mm} \]

2. Confrontation Normative Étape 5 : le rayon face au tableau du guide

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que livrer une fiche de piquetage sans dire un mot du rayon reviendrait à exécuter sans conseiller. Le tableau du Sétra DT4044 donne, pour 50 km/h et un dévers plafond de 7 %, un seuil de sécurité de 54 m et un seuil de confort de 73 m.

\[ \frac{50{,}00}{54} = \mathbf{0{,}9259} \]

Le rayon du projet est donc inférieur de 4 m au plus petit rayon du tableau, alors même que ce seuil correspond déjà au cas le plus favorable : la vitesse la plus basse et le dévers maximal. Il relève de ce que le guide appelle le cas des virages de faible rayon — lacets, îlots de carrefours.

La surlargeur nécessaire. Le rayon étant très inférieur à 200 m :

\[ s = \frac{50}{50{,}00} = \mathbf{1{,}00} \text{ m} \]

La clothoïde d'introduction. Pour une route à deux voies :

\[ 50^{0{,}4} = \mathbf{4{,}78176} \]

\[ \begin{aligned} L_{\text{cloth}} &= 6 \times 4{,}78176 \\ &= \mathbf{28{,}691} \text{ m} \end{aligned} \]

Cette valeur étant inférieure au plafond de 67 m, c'est elle qui s'appliquerait. Introduire deux clothoïdes de près de 29 m de part et d'autre déplacerait les points de tangence et allongerait sensiblement le raccordement : la fiche calculée ici resterait le socle géométrique, mais ne serait plus le tracé définitif.

Analyse intermédiaire du chiffre :

Cinquante mètres, contre cinquante-quatre au minimum. Le rayon ne satisfait aucun couple vitesse-dévers du tableau. Ce n'est pas une faute de calcul, c'est une donnée du projet — mais elle appelle une mention explicite dans la note.

Lecture du tableau : les 54 m correspondent à 50 km/h avec 7 % de dévers, c'est-à-dire à la ligne la plus permissive du guide. À dévers nul, le seuil monterait à 66 m.
Conséquence : un tel rayon n'est acceptable qu'en voirie à vitesse réduite — lacet, giratoire, îlot de carrefour — avec une signalisation adaptée.
Impact constructif : une surlargeur de 1,00 m est à prévoir si le trafic poids lourds est significatif. Ce n'est pas un détail : c'est un mètre de chaussée supplémentaire sur tout le développement.
Ordre de grandeur : la clothoïde de 28,691 m est du même ordre que la tangente de 35,091 m : elle occuperait donc l'essentiel de l'alignement disponible avant la courbe
Ce qui n'est pas dit : le DT4044 renvoie à l'ARP pour le réseau routier national ; ce guide n'étant pas au dossier, les seuils cités sont ceux du DT4044 lui-même, qui précise que les guides de conception retiennent des valeurs généralement supérieures.

Remarque pédagogique : Un géomètre n'a pas à choisir le rayon — mais il a le devoir de signaler qu'il sort des seuils usuels. Une ligne dans la note de calculs suffit, et elle engage la responsabilité de celui qui l'a écrite comme de celui qui l'a lue.

3. Rattachement Normatif

Les coordonnées sont exprimées dans le système du chantier. Dès lors que le piquetage est exécuté pour l'État, une collectivité ou une entreprise chargée d'une mission de service public, il doit être rattaché au RGF93 / Lambert-93 au titre du décret n° 2000-1276 du 26 décembre 2000 modifié par le décret n° 2006-272, pris en application de l'article 53 de la loi n° 95-115 du 4 février 1995.

Le contrôle de la précision relève de l'arrêté du 16 septembre 2003. En planimétrie, le coefficient de fiabilité vaut 2,42, l'écart moyen doit rester inférieur à 1,125 fois la classe visée, et aucun écart individuel ne doit dépasser 4,08 fois cette classe. Les quatre points piquetés ne forment pas à eux seuls un échantillon de contrôle au sens de l'article 5 : le raccordement doit être rattaché à un canevas déjà classé, et la fiche porter les quatre contrôles ci-dessus.

LECTURE DU RÉSULTAT

Le graphique ci-dessous situe le rayon du projet par rapport aux seuils du guide, lus dans la ligne la plus permissive du tableau : 50 km/h avec un dévers de 7 %.

Une lecture utile pour le terrain : le trait rouge marque la position du rayon retenu. Il tombe à gauche des deux seuils de conception et très loin du seuil de surlargeur. Le raccordement est géométriquement correct — les quatre contrôles le démontrent — mais il appartient à la catégorie des virages de faible rayon, et cela doit être écrit noir sur blanc.

RÉSULTAT FINAL

Contrôles = 0,8 · 50,0005 · 0,8 mm · m · mgon

"La tangence se démontre depuis les données, pas depuis ses propres résultats !"

SCHÉMA BILAN — LE RACCORDEMENT ENTIÈREMENT COTÉ

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai justifié la correction de quadrant de chaque gisement à partir des signes de ΔX et ΔY, avant tout calcul. J'ai écrit le sens du virage en toutes lettres dès la question 1, et je m'y suis référé pour orienter la perpendiculaire. J'ai distingué l' angle au centre de l' angle au sommet , sachant que leur somme vaut 200 gon et que seul le premier entre dans les formules. J'ai distingué la flèche de la bissectrice , qui diffèrent ici de deux mètres. J'ai contrôlé la tangence par la distance du centre aux deux droites , et confronté le rayon aux seuils du guide.

Les deux alignements donnent des gisements de 154,5396 et 76,6250 gon, d'où un angle au centre de 77,9146 gon et un virage à gauche. La tangente vaut 35,091 m et le développement 61,194 m. Le centre se place en (1144,802 ; 1409,264), et les quatre points de la courbe s'en déduisent chacun directement.

L'angle au sommet et l'angle au centre sont supplémentaires, jamais égaux : les intervertir fausse à la fois la tangente et le développement. Calculer chaque point depuis le centre évite toute accumulation d'erreur, et les contrôles restent ici sous le millimètre. Un piquetage exact ne rend cependant pas le rayon conforme : à 50 m, il reste sous les seuils de sécurité et de confort d'un virage à 50 km/h, ce qui relève du dimensionnement et non du terrain.

Piquetage d'une courbe

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Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Les gisements et le sens du virage

Question 2 : Les éléments de la courbe

Question 3 : Les coordonnées des quatre points

Question 4 : Contrôles et confrontation aux seuils

Piquetage d'une courbe

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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