Exercice corrigé NF EN ISO 17892 NF EN 1997-1 NF EN 1997-2 NF P94-281 Eurocode 7

Modélisation Contrainte-Déformation d’un Sol Sableux

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 2 juillet 2026• 100 min de lecture

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Étude de cas · Note de calculs Réf. EGC-MDS-TRIAX-01

Modélisation Contrainte-Déformation d'un Sol Sableux

Interprétation d'un essai triaxial consolidé drainé (CD) sur un sable de Fontainebleau : de la mesure de laboratoire au paramètre de calcul géotechnique conforme à l'Eurocode 7.

NiveauBTS · BUT · Licence Génie Civil

DomaineMécanique des sols

ThèmeEssai triaxial CD — résistance et déformabilité

PrérequisPrincipe des contraintes effectives (Terzaghi) · Cercle de Mohr · Critère de rupture de Mohr-Coulomb · Notion de module sécant · Valeurs caractéristiques et facteurs partiels de la NF EN 1997-1

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un maître d'ouvrage projette la construction d'un bâtiment de logements R+4 fondé sur des semelles superficielles, sur un terrain constitué d'un sable propre de type sable de Fontainebleau sur plus de huit mètres d'épaisseur. Avant tout dimensionnement, le bureau d'études géotechnique doit répondre à deux questions que rien d'autre qu'un essai de laboratoire ne peut trancher : ce sable est-il assez résistant pour supporter les charges sans se rompre, et est-il assez rigide pour que les tassements restent admissibles ? Vous recevez le procès-verbal d'un essai triaxial consolidé drainé (CD) réalisé sur une éprouvette prélevée à la profondeur des futures semelles. Votre travail consiste à transformer ce procès-verbal brut en paramètres de calcul exploitables.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : L'essai triaxial est le seul essai de laboratoire qui contrôle simultanément les trois contraintes principales et le drainage de l'éprouvette. Il donne donc à la fois la résistance au cisaillement et la déformabilité du sol, sur un chemin de contraintes maîtrisé.
Environnement : L'essai est mené drainé : le robinet de drainage reste ouvert, l'eau interstitielle peut s'évacuer librement et la surpression interstitielle reste nulle pendant tout le cisaillement. Les contraintes lues sur la machine sont donc directement des contraintes effectives.
L'objectif final : Produire un angle de frottement et un module de déformation utilisables dans une note de calcul. Sous-estimer l'un conduit à un surcoût de fondation ; le surestimer conduit à un risque de rupture ou de tassement excessif. La justesse de l'interprétation engage donc directement la sécurité de l'ouvrage.
L'astuce de l'ingénieur : Dessinez systématiquement le cercle de Mohr avant de sortir la calculatrice. Un cercle tracé même grossièrement à main levée vous dit immédiatement si votre angle de frottement est plausible : pour un sable, la droite de rupture part de l'origine et rase le cercle avec une pente comprise entre 30° et 40°.

Votre Mission :

Le laboratoire vous transmet un seul point de mesure : l'état de contrainte atteint à la rupture, plus un point intermédiaire de la courbe effort-déformation. À partir de ces quelques chiffres, vous devez reconstruire l'état de contrainte complet, en déduire la résistance au cisaillement du sable, en mesurer la rigidité, puis convertir ces valeurs mesurées en valeurs de calcul au sens de l'Eurocode 7. C'est exactement le trajet que parcourt un paramètre géotechnique entre la cellule d'essai et la note de calcul de fondation.

Le grand défi : Passer d'un point de mesure isolé à des paramètres de résistance et de déformabilité fiables, sans jamais confondre contrainte totale et contrainte effective, ni valeur mesurée et valeur de calcul.
Votre rôle : Reconstruire l'état de contrainte à la rupture, tracer le cercle de Mohr, en extraire l'angle de frottement interne, calculer le module sécant, puis appliquer le facteur partiel réglementaire.
Le fil rouge : Chaque chiffre produit doit être traçable : d'où vient-il, sous quelle hypothèse, et quelle clause normative en encadre l'usage ?

PLAN DE REPÉRAGE — CELLULE TRIAXIALE

Livrables Attendus (Checklist) :

L'état de contrainte complet à la rupture : la contrainte principale majeure effective reconstituée à partir du déviateur mesuré, accompagnée de la force axiale réellement appliquée par le piston, calculée sur la section corrigée de l'éprouvette.
Le cercle de Mohr à la rupture et l'angle de frottement interne : construction graphique correctement positionnée (le point de tangence n'est pas le sommet du cercle), puis confirmation analytique par la trigonométrie, avec vérification croisée par le rapport des contraintes principales.
Le module de déformation sécant défini à la moitié du déviateur de rupture, exprimé en mégapascals, et comparé au module sécant mobilisé à la rupture afin de mettre en évidence la dégradation de rigidité du sable.
La valeur de calcul de l'angle de frottement conforme à la NF EN 1997-1 : passage de la valeur mesurée à la valeur caractéristique, puis application du facteur partiel sur la tangente de l'angle, avec mesure de l'impact sur un coefficient de poussée.

2. Données Techniques & Normes

L'essai a été conduit sur une éprouvette cylindrique taillée dans un échantillon de sable propre, d'abord consolidée de façon isotrope sous une pression de cellule constante, puis cisaillée par accroissement progressif de la charge axiale jusqu'à la rupture, robinet de drainage ouvert. Le procès-verbal fournit la géométrie initiale de l'éprouvette, la pression de confinement appliquée, et deux points caractéristiques de la courbe effort-déformation : le point de rupture et le point à mi-charge. Toutes les contraintes sont exprimées en kilopascals ; les déformations sont données en pourcentage et devront impérativement être converties en valeurs décimales sans dimension avant tout calcul de module.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Contrainte effective (Terzaghi) \( \sigma' = \sigma - u \)
Déviateur de contrainte \( q = \sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}} \)
Critère de Mohr-Coulomb \( \tau_{\text{f}} = c' + \sigma'_{\text{f}} \tan \varphi' \)
Centre du cercle de Mohr \( s' = \dfrac{\sigma'_{\text{1}} + \sigma'_{\text{3}}}{2} \)
Rayon du cercle de Mohr \( t = \dfrac{\sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}}}{2} \)
Frottement mobilisé (sable, \( c' = 0 \)) \( \sin \varphi' = \dfrac{\sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}}}{\sigma'_{\text{1}} + \sigma'_{\text{3}}} \)
Module sécant \( E_{\text{50}} = \dfrac{\text{0,5}\,q_{\text{rup}}}{\varepsilon_{\text{a,50}}} \)
Valeur de calcul de l'angle de frottement \( \varphi'_{\text{d}} = \arctan\!\left( \dfrac{\tan \varphi'_{\text{k}}}{\gamma_{\varphi'}} \right) \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

GÉOMÉTRIE DE L'ÉPROUVETTE ET CONDITIONS D'ESSAI

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( D_{\text{0}} \)	Diamètre initial de l'éprouvette cylindrique NF EN 1997-2 § 5.8	50	mm
\( H_{\text{0}} \)	Hauteur initiale de l'éprouvette (élancement 2 : 1)	100	mm
\( \sigma'_{\text{3}} \)	Pression de consolidation isotrope, maintenue constante pendant le cisaillement	100	kPa
\( u \)	Pression interstitielle — nulle en permanence, drainage ouvert (essai CD)	0	kPa
\( c' \)	Cohésion effective, supposée nulle (sable propre non cimenté)	0	kPa

Section initiale de l'éprouvette

Aire du disque : \( A_{\text{0}} = \dfrac{\pi D_{\text{0}}^2}{4} = \mathbf{\text{1963,5}} \text{ mm}^2 \)
Élancement : \( H_{\text{0}} / D_{\text{0}} = \mathbf{2} \text{ (sans unite)} \)

RÉSULTATS BRUTS DE L'ESSAI

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( q_{\text{rup}} \)	Déviateur de contrainte à la rupture, \( (\sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}})_{\text{rup}} \)	255	kPa
\( \varepsilon_{a,\text{rup}} \)	Déformation axiale mesurée au pic de déviateur	4,5	%
\( \varepsilon_{\text{a,50}} \)	Déformation axiale relevée lorsque le déviateur atteint la moitié de sa valeur de rupture	0,8	%

Facteur partiel réglementaire à appliquer en question 4

Résistance au cisaillement : \( \gamma_{\varphi'} = \mathbf{\text{1,25}} \text{ (jeu M2, sans unite)} \)
Poids volumique : \( \gamma_{\gamma} = \mathbf{\text{1,0}} \text{ (sans unite)} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution. Les valeurs de facteurs partiels reproduites ici sont celles diffusées par la Commission européenne dans les supports de l'atelier Eurocodes de Dublin (2013), commentant le tableau A.4 de la NF EN 1997-1. Reportez-vous toujours à l'annexe nationale française pour l'application d'un projet réel.

Facteurs partiels sur les paramètres de résistance du terrain — NF EN 1997-1, annexe A, tableau A.4

Paramètre de terrain	Symbole	Jeu M1	Jeu M2
Tangente de l'angle de frottement effectif	\( \gamma_{\varphi'} \)	1,0	1,25
Cohésion effective	\( \gamma_{\text{c'}} \)	1,0	1,25
Résistance au cisaillement non drainée	\( \gamma_{c_{\text{u}}} \)	1,0	1,4
Poids volumique	\( \gamma_{\gamma} \)	1,0	1,0

Références normatives mobilisées dans cet exercice

Référence	Objet et emploi dans l'exercice
NF EN 1997-2 § 5.8	Essais de résistance du sol en laboratoire — cadre normatif de l'essai triaxial exploité ici.
NF EN 1997-2 § 5.9	Essais de compressibilité et de déformation — cadre du module sécant déterminé en question 3.
NF EN 1997-2, annexe P (informative)	Essais de compression triaxiale : nombre minimal d'essais recommandé pour une même couche de sol. Sert à justifier qu'un essai unique ne suffit pas à fixer une valeur caractéristique.
NF EN 1997-2, annexe D.1 (informative)	Corrélation entre résistance de pointe au pénétromètre statique et angle de frottement effectif \( \varphi' \) puis module drainé \( E' \), valable pour les sables. Sert de contrôle d'ordre de grandeur.
NF EN 1997-1 § 2.4.5.2	Valeurs caractéristiques des propriétés géotechniques : estimation prudente de la valeur qui gouverne l'état-limite considéré.
NF EN 1997-1, annexe A, tableau A.4	Facteurs partiels sur les paramètres de terrain (jeux M1 et M2), appliqués en question 4.

Les essais triaxiaux consolidés sur sol saturé relèvent de la série NF EN ISO 17892, qui a remplacé les spécifications techniques CEN ISO/TS 17892 parties 1 à 12 citées par la NF EN 1997-2. Le texte de cette série n'est pas reproduit ici : il est protégé par le droit d'auteur du CEN et de l'AFNOR.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous. Chaque question prépare la suivante : l'état de contrainte reconstruit alimente le cercle de Mohr, le cercle de Mohr fournit l'angle de frottement, et cet angle ne devient exploitable en note de calcul qu'après affectation du facteur partiel réglementaire.

Question 1 : Reconstruire l'état de contrainte à la rupture

Lecture d'un PV d'essai 15 min | Accessible

But de l'étape : Le procès-verbal ne donne jamais directement la contrainte principale majeure : il donne le déviateur, c'est-à-dire le supplément de contrainte apporté par le piston. Cette première étape apprend à ne pas confondre les deux, faute de quoi tout le reste de l'analyse est décalé.

Énoncé Q1 : Calculer la contrainte axiale effective \( \sigma'_{1,\text{rup}} \) régnant dans l'éprouvette au moment de la rupture. En déduire la force axiale qu'a dû développer le piston à cet instant, en tenant compte de la correction de section due au raccourcissement de l'éprouvette (hypothèse de déformation à volume constant).

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le déviateur est par définition une différence de contraintes. Si vous connaissez la différence et l'une des deux contraintes, l'autre s'obtient par une simple addition. Vérifiez ensuite que la contrainte trouvée est bien supérieure à la pression de cellule.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Partez de \( q = \sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}} \) et isolez \( \sigma'_{\text{1}} \). Pour la force, la section corrigée à volume constant vaut \( A_{\text{c}} = A_{\text{0}} / (1 - \varepsilon_{\text{a}}) \), et le déviateur s'exerce sur cette section : \( F = q \cdot A_{\text{c}} \).

Question 2 : Cercle de Mohr et angle de frottement interne

Critère de rupture 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : L'angle de frottement interne est le paramètre le plus influent de toute la géotechnique des sols granulaires : il gouverne la portance des semelles, la stabilité des talus et la poussée sur les soutènements. Cette étape apprend à l'extraire proprement d'un état de contrainte, par le dessin puis par le calcul.

Énoncé Q2 : Déterminer le centre et le rayon du cercle de Mohr à la rupture, puis en déduire l'angle de frottement interne \( \varphi' \) du sable en supposant la cohésion effective nulle. Décrire la construction graphique correspondante, en identifiant précisément la position du point de tangence, puis confirmer par le calcul. Vérifier enfin la cohérence du résultat à l'aide du rapport des contraintes principales à la rupture.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le cercle de Mohr coupe l'axe des contraintes normales exactement en \( \sigma'_{\text{3}} \) et en \( \sigma'_{\text{1}} \). Son centre est donc le milieu de ces deux abscisses et son rayon la demi-distance qui les sépare. La droite de rupture d'un sable passe par l'origine.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Dans le triangle rectangle formé par l'origine, le centre du cercle et le point de tangence, l'hypoténuse vaut \( s' \) et le côté opposé à l'angle \( \varphi' \) vaut \( t \). D'où \( \sin \varphi' = t / s' \). Attention : le point de tangence n'est pas le sommet du cercle.

Question 3 : Module de déformation sécant \( E_{\text{50}} \)

Déformabilité 20 min | Intermédiaire

But de l'étape : La résistance dit si l'ouvrage tient ; la rigidité dit de combien il s'enfonce. Un sol peut parfaitement satisfaire l'état-limite ultime et être inutilisable en service à cause de tassements excessifs. Cette étape produit le paramètre qui alimentera plus tard le calcul de tassement.

Énoncé Q3 : Calculer le module de Young sécant \( E_{\text{50}} \), défini comme la pente de la droite joignant l'origine au point de la courbe effort-déformation où le déviateur atteint la moitié de sa valeur de rupture. Exprimer le résultat en mégapascals, puis calculer le module sécant mobilisé à la rupture et commenter l'écart obtenu.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un module est une contrainte divisée par une déformation. La déformation étant un nombre sans dimension, le module sort dans la même unité que la contrainte. Un pourcentage n'est pas un nombre sans dimension tant qu'on ne l'a pas divisé par cent.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Commencez par calculer \( \text{0,5} \times q_{\text{rup}} \), convertissez ensuite \( \text{0,8}\,\% \) en \( \text{0,008} \), puis divisez. Enfin, souvenez-vous que \( \text{1} \text{ MPa} = \text{1000} \text{ kPa} \).

Question 4 (Finale) : De la valeur mesurée à la valeur de calcul

Application de l'Eurocode 7 25 min | BOSS

But de l'étape : C'est l'étape que les étudiants oublient, et celle qui sépare un compte rendu de laboratoire d'une note de calcul réglementaire. Une valeur mesurée sur une éprouvette ne s'introduit jamais telle quelle dans une vérification d'état-limite ultime.

Le point dur : Trois notions se ressemblent et se confondent facilement : la valeur mesurée (le résultat brut de l'essai), la valeur caractéristique \( \varphi'_{\text{k}} \) (estimation prudente au sens de la NF EN 1997-1 § 2.4.5.2) et la valeur de calcul \( \varphi'_{\text{d}} \) (obtenue après division par le facteur partiel). Le facteur partiel s'applique de plus à la tangente de l'angle, jamais à l'angle lui-même.

Justifier le choix d'une valeur caractéristique \( \varphi'_{\text{k}} \) à partir de l'unique essai disponible, puis calculer la valeur de calcul \( \varphi'_{\text{d}} \) avec le facteur partiel du jeu M2. Quantifier enfin l'effet de cette minoration sur le coefficient de poussée active de Rankine, afin de mesurer concrètement ce que coûte la sécurité réglementaire.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un seul essai ne permet aucune analyse statistique. La NF EN 1997-1 demande alors une estimation prudente : on retient une valeur légèrement inférieure à la valeur mesurée, et l'on documente ce choix.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La relation est \( \tan \varphi'_{\text{d}} = \tan \varphi'_{\text{k}} / \gamma_{\varphi'} \) avec \( \gamma_{\varphi'} = \text{1,25} \). Pour la poussée, utilisez \( K_{\text{a}} = \tan^2 (\text{45}^\circ - \varphi' / 2) \) et comparez les deux valeurs obtenues.

NOTE DE CALCULS

Modélisation Contrainte-Déformation d'un Sol Sableux

Question 1 : Reconstruire l'état de contrainte à la rupture

Dans la tête de l'ingénieur

"Je reçois un procès-verbal d'essai triaxial. La première chose que je fais, avant tout calcul, c'est de vérifier ce que la machine a réellement mesuré. Une cellule triaxiale impose une pression de fluide tout autour de l'éprouvette : c'est ma contrainte radiale, et elle est connue et constante. Le piston, lui, ajoute une charge verticale par-dessus. Ce que le capteur enregistre, ce n'est donc pas la contrainte axiale totale, c'est le supplément apporté par le piston. Confondre les deux revient à oublier 100 kPa, soit près de 30 % de la contrainte réelle : l'angle de frottement que j'en déduirais serait complètement faux."

Observation : Le procès-verbal annonce un déviateur de 255 kPa, pas une contrainte axiale. Le mot « déviateur » signale une différence, donc une grandeur relative qui doit être remise dans son référentiel.
Analyse du risque : Prendre \( \sigma'_{\text{1}} = \text{255} \text{ kPa} \) conduirait à un cercle de Mohr trop petit et mal placé, donc à un angle de frottement sous-estimé d'environ six degrés. Sur une semelle, six degrés de frottement en moins, c'est une portance amputée de près de moitié et un surdimensionnement coûteux.
Choix stratégique : Je repars de la définition du déviateur et j'ajoute la pression de cellule. C'est une addition triviale, mais elle doit être écrite explicitement dans la note de calcul pour que le contrôleur puisse la vérifier sans reconstituer mon raisonnement.
Alternative : J'aurais pu remonter à la force lue sur l'anneau dynamométrique et la diviser par la section. Je l'écarte comme point de départ car cela impose de connaître la correction d'aire ; je garde en revanche ce calcul comme contrôle croisé en fin de question.
Objectif visé : Disposer du couple complet \( (\sigma'_{\text{3}}\,;\,\sigma'_{\text{1}}) \) à la rupture. C'est la seule donnée dont le cercle de Mohr a besoin, et donc le verrou de toute la question 2.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

σ'₁,rup = 355 kPa · F ≈ 524 N

Rappel Théorique : contraintes totales, effectives et déviateur

Toute la mécanique des sols repose sur une idée que l'on doit à Karl von Terzaghi : un sol est un milieu à deux phases, un squelette de grains et un fluide interstitiel. L'eau, incapable de reprendre du cisaillement, ne participe pas à la résistance ; elle ne fait que desserrer les contacts entre grains. Seule la fraction de contrainte transmise de grain à grain gouverne la déformation et la rupture. Les cinq points ci-dessous fixent le vocabulaire de cette première question.

Contrainte totale \( \sigma \) : c'est la contrainte que l'on applique de l'extérieur, tous milieux confondus. Dans la cellule triaxiale, c'est la pression du fluide pour la direction radiale, et la pression du fluide augmentée de l'effet du piston pour la direction axiale.
Pression interstitielle \( u \) : c'est la pression de l'eau contenue dans les pores du sol. Dans un essai drainé mené assez lentement, l'eau s'évacue au rythme du chargement et cette pression reste nulle du début à la fin.
Contrainte effective \( \sigma' \) : c'est la différence entre les deux précédentes. C'est elle, et elle seule, qui commande la résistance au cisaillement. Ici, comme \( u = 0 \), contraintes totales et effectives se confondent — d'où l'intérêt de l'essai CD, qui donne directement les paramètres effectifs.
Contraintes principales \( \sigma'_{\text{1}} \) et \( \sigma'_{\text{3}} \) : ce sont les contraintes normales agissant sur les facettes où le cisaillement est nul. Dans un essai triaxial de révolution, la symétrie impose \( \sigma'_{\text{2}} = \sigma'_{\text{3}} \) : la contrainte principale majeure est verticale, les deux mineures sont horizontales et égales.
Déviateur \( q \) : c'est la part de l'état de contrainte qui déforme sans comprimer. Un chargement purement isotrope ne fait que tasser l'éprouvette sans jamais la rompre ; c'est l'écart entre contrainte axiale et contrainte radiale qui mobilise le cisaillement et finit par provoquer la rupture.

Équations Fondamentales

Quatre relations suffisent à traiter cette question. Les deux premières fixent le cadre en contraintes, les deux suivantes permettent le contrôle croisé par la force du piston. Elles sont présentées séparément parce qu'elles répondent chacune à une question distincte : ce que je mesure, ce que je cherche, sur quelle surface, et avec quelle force.

Principe des contraintes effectives de Terzaghi :

Elle justifie que les contraintes lues sur la machine puissent être employées telles quelles comme contraintes effectives.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est le passage obligé entre ce que mesure une machine et ce que « ressent » le squelette granulaire. Sans elle, on ne saurait pas si un résultat d'essai est directement exploitable ou s'il doit être corrigé de la pression d'eau. Elle vaut ici comme une autorisation d'écrire l'apostrophe sur les symboles de contrainte.

Contexte de validité : sol saturé ou sec, grains supposés incompressibles devant le squelette. En sol non saturé, la formule doit être remplacée par une expression à succion.
Avantage : elle transforme un essai drainé en lecture directe des paramètres effectifs, sans aucune correction ni instrumentation supplémentaire.
Paramètre clé : la pression interstitielle \( u \). C'est le seul terme susceptible de faire diverger totale et effective, et c'est celui que le drainage annule.
Vérification : sur le procès-verbal, contrôler que le robinet de drainage est resté ouvert et que la vitesse de cisaillement était compatible avec la perméabilité du sable.
Limite : dans un essai non drainé sur sable lâche saturé, \( u \) peut croître jusqu'à annuler \( \sigma' \) : c'est le mécanisme de la liquéfaction, et la formule cesse alors d'être une simple formalité.

\[ \begin{aligned} \sigma' = \sigma - u \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que l'eau porte une partie de la charge à la place des grains. Imaginez un matelas à ressorts recouvert d'eau : si l'on gonfle la pression d'eau, les ressorts se détendent d'autant. Ici l'eau peut s'échapper librement, la pression d'eau reste nulle, et les grains encaissent la totalité de ce qu'on applique.

Décomposition des termes :

\( \sigma' \) : contrainte effective, celle qui est transmise par les contacts entre grains, unité : kPa
\( \sigma \) : contrainte totale appliquée par la machine sur la facette considérée, unité : kPa
\( u \) : pression de l'eau interstitielle, nulle ici du fait du drainage, unité : kPa

Définition du déviateur de contrainte :

Elle relie la grandeur effectivement enregistrée par la machine à la contrainte principale majeure recherchée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le déviateur est la grandeur motrice du cisaillement. Une compression isotrope, aussi forte soit-elle, ne rompt jamais un sol : elle le densifie. C'est l'écart entre les contraintes principales qui incline les facettes vers la rupture, et c'est précisément cet écart que le piston fabrique.

Contexte de validité : essai triaxial de révolution, où les deux contraintes principales mineures sont égales. La définition générale du déviateur en mécanique des milieux continus est plus riche, mais se réduit à celle-ci dans ce cas.
Avantage : elle donne accès à \( \sigma'_{\text{1}} \) par une simple addition, sans aucune hypothèse supplémentaire sur le comportement du sol.
Paramètre clé : la pression de cellule \( \sigma'_{\text{3}} \), constante durant tout le cisaillement dans un essai classique. Si elle variait, l'addition ne serait plus valable telle quelle.
Vérification : le résultat doit impérativement être supérieur à \( \sigma'_{\text{3}} \) en compression. Une contrainte majeure inférieure à la mineure signalerait une erreur de signe ou un essai d'extension.
Limite : en essai non drainé, le déviateur mesuré est un déviateur total ; il faut retrancher la surpression interstitielle pour revenir aux contraintes effectives.

\[ \begin{aligned} q = \sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle sépare le chargement en deux effets distincts : une part isotrope, qui serre l'éprouvette de tous les côtés à la fois, et une part déviatorique, qui la comprime dans un sens tout en la laissant s'épanouir dans l'autre. Seule la seconde fait travailler le frottement entre grains.

Décomposition des termes :

\( q \) : déviateur de contrainte, grandeur lue au capteur de force du piston, unité : kPa
\( \sigma'_{\text{1}} \) : contrainte principale majeure effective, verticale, inconnue de la question, unité : kPa
\( \sigma'_{\text{3}} \) : contrainte principale mineure effective, horizontale, égale à la pression de cellule, unité : kPa

Section corrigée de l'éprouvette :

Elle corrige l'aire de la section droite du fait du raccourcissement subi par l'éprouvette au cours du cisaillement.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une éprouvette qui se raccourcit de 4,5 % grossit en diamètre. La force du piston se répartit donc sur une surface plus grande que la surface initiale. Négliger cette correction revient à surestimer le déviateur d'environ 5 %, ce qui se répercute directement sur l'angle de frottement.

Contexte de validité : hypothèse de déformation à volume constant et de déformation homogène en tonneau régulier. C'est la correction usuelle dite « d'aire moyenne ».
Avantage : elle ne demande aucune mesure supplémentaire : la déformation axiale suffit, et celle-ci est lue en continu par le comparateur.
Paramètre clé : la déformation axiale \( \varepsilon_{\text{a}} \), qui doit impérativement être introduite sous forme décimale et non en pourcentage.
Vérification : la section corrigée est toujours supérieure à la section initiale en compression. Un résultat inférieur trahit une erreur de signe sur la déformation.
Limite : pour un sable dilatant, le volume augmente réellement pendant le cisaillement ; la correction à volume constant devient approchée et l'on doit, en toute rigueur, utiliser la variation de volume mesurée.

\[ \begin{aligned} A_{\text{c}} = \frac{A_{\text{0}}}{1 - \varepsilon_{\text{a}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle traduit la conservation du volume : si la hauteur diminue d'un certain pourcentage, la section doit augmenter dans la même proportion pour que le produit hauteur × section reste constant. C'est exactement ce qui arrive à une pâte à modeler que l'on écrase entre deux plaques.

Décomposition des termes :

\( A_{\text{c}} \) : section corrigée, celle qui reprend réellement la force à l'instant considéré, unité : mm²
\( A_{\text{0}} \) : section initiale du cylindre avant cisaillement, unité : mm²
\( \varepsilon_{\text{a}} \) : déformation axiale de raccourcissement, exprimée en valeur décimale, unité : sans dimension

Force axiale développée par le piston :

Elle referme la boucle en reliant la contrainte déviatorique à la force que l'anneau dynamométrique a réellement mesurée.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle permet un contrôle croisé par une grandeur d'une nature totalement différente. Si la force recalculée s'écarte fortement de celle lue sur la machine, c'est qu'une erreur d'unité ou de section s'est glissée quelque part. C'est le réflexe qui sauve une note de calcul.

Contexte de validité : le piston n'applique que le supplément de contrainte axiale ; la pression de cellule, elle, agit déjà sur toute la surface de l'éprouvette. C'est donc bien \( q \), et non \( \sigma'_{\text{1}} \), qui intervient.
Avantage : elle donne un ordre de grandeur physique immédiat. Quelques centaines de newtons sur une éprouvette de cinq centimètres de diamètre : la valeur est parlante et immédiatement critiquable.
Paramètre clé : la cohérence des unités entre kilopascals et millimètres carrés, qui est la source d'erreur numéro un de ce calcul.
Vérification : un kilopascal appliqué sur un millimètre carré vaut exactement un millinewton. Ce repère mental évite de tâtonner avec les puissances de dix.
Limite : sur les machines anciennes, la force lue inclut parfois le frottement du piston dans son passage étanche ; une correction de tare est alors nécessaire.

\[ \begin{aligned} F = q \cdot A_{\text{c}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? C'est la définition même d'une contrainte, lue à l'envers : une contrainte multipliée par une surface redonne une force. Elle permet de repasser du monde abstrait des kilopascals à celui, très concret, de l'aiguille qui bouge sur le cadran de la presse.

Décomposition des termes :

\( F \) : force axiale supplémentaire apportée par le piston, unité : N
\( q \) : déviateur de contrainte à l'instant considéré, unité : kPa
\( A_{\text{c}} \) : section corrigée de l'éprouvette au même instant, unité : mm²

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de recopier le déviateur du procès-verbal directement dans la case « contrainte axiale », et écrivent \( \sigma'_{\text{1}} = \text{255} \text{ kPa} \) au lieu de 355 kPa..."

L'approche d'ingénieur : Cette confusion vient d'une lecture trop rapide des en-têtes de colonnes d'un procès-verbal. Le réflexe correct consiste à toujours identifier la nature de chaque grandeur avant de l'utiliser : est-ce une valeur absolue ou un écart ? Voici comment ne plus jamais se tromper.

L'erreur : confondre un accroissement de contrainte, mesuré par le piston, avec une contrainte absolue. Le piston n'ajoute que ce qui dépasse la pression de cellule déjà présente partout.
La bonne méthode : partir systématiquement de la définition écrite \( q = \sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}} \), puis isoler l'inconnue. Une définition écrite est une définition qu'on n'inverse pas de travers.
L'astuce de pro : se demander « que lit la machine si je ne touche pas au piston ? ». Elle lit un déviateur nul, alors que \( \sigma'_{\text{1}} \) vaut déjà 100 kPa. La preuve que les deux grandeurs sont différentes.
Le moyen mnémotechnique : « la cellule serre, le piston pousse en plus ». Le mot « en plus » impose l'addition.
L'impact direct : avec 255 kPa au lieu de 355, l'angle de frottement tomberait à environ 26° au lieu de 34°. Sur une semelle filante, cela reviendrait à doubler la largeur nécessaire, donc le coût du gros œuvre de fondation.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( \sigma'_{\text{3}} \) : déjà en kPa , aucune conversion nécessaire
\( q_{\text{rup}} \) : déjà en kPa , homogène avec la précédente
\( \varepsilon_{a,\text{rup}} \) : conversion de 4,5 % vers 0,045 sans dimension
\( A_{\text{0}} \) : conservée en mm² pour rester cohérente avec les cotes de l'éprouvette
\( F \) : produit kPa × mm² converti en N , sachant que \( \text{1} \text{ kPa} \times \text{1} \text{ mm}^2 = 10^{-3} \text{ N} \)

Le calcul se déroule en trois temps nettement séparés : on reconstitue d'abord la contrainte principale majeure, on corrige ensuite la section de l'éprouvette pour tenir compte de son raccourcissement, et l'on en déduit enfin la force qu'a dû développer le piston. Chaque étape est écrite en toutes lettres avant substitution, puis avec les valeurs numériques, de façon qu'un contrôleur puisse suivre le raisonnement sans avoir à le refaire.

1. Résolution Numérique Contrainte principale majeure effective à la rupture

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le cercle de Mohr de la question 2 ne peut être tracé qu'à partir des deux abscisses \( \sigma'_{\text{3}} \) et \( \sigma'_{\text{1}} \). Sans cette valeur, toute la suite de l'étude est bloquée.

Méthodologie du calcul :

On part de la définition du déviateur, on isole la contrainte principale majeure, puis on substitue les deux valeurs du procès-verbal. Le calcul tient en une addition, mais son écriture doit rester traçable.

Substitution : on injecte \( q_{\text{rup}} = \text{255} \text{ kPa} \) et \( \sigma'_{\text{3}} = \text{100} \text{ kPa} \), deux valeurs directement lues sur le procès-verbal d'essai.
Piège évité : ne pas confondre l'addition avec une soustraction. La contrainte majeure est plus grande que la mineure : le signe doit conduire à une augmentation.
Hypothèse validée : l'essai étant drainé, \( u = 0 \) et l'on peut écrire l'apostrophe sur les deux contraintes sans correction.
Vérification croisée : le rapport \( \sigma'_{\text{1}} / \sigma'_{\text{3}} \) doit tomber entre 2 et 5 pour un sable courant. On le contrôlera en question 2.
Finalité : fournir l'abscisse droite du cercle de Mohr, celle qui fixe le rayon et donc l'angle de frottement.

\[ \begin{aligned} \sigma'_{1,\text{rup}} &= q_{\text{rup}} + \sigma'_{\text{3}} \\ &= \text{255} \text{ kPa} + \text{100} \text{ kPa} \\ &= \mathbf{355} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

À la rupture, l'éprouvette subissait 355 kPa verticalement et 100 kPa horizontalement. Cet écart de 255 kPa est exactement ce que le squelette granulaire a pu encaisser avant de céder.

Ordre de grandeur : 355 kPa, c'est l'équivalent d'une colonne de sol d'environ vingt mètres de haut. Un ordre de grandeur parfaitement représentatif d'une fondation d'ouvrage courant.
Impact sur la suite : cette valeur fixe l'abscisse du point droit du cercle de Mohr ; elle commande à la fois le centre et le rayon calculés en question 2.
Cohérence : le rapport vaut 3,55, soit un sable qui résiste 3,55 fois plus verticalement qu'horizontalement. C'est typique d'un matériau granulaire moyennement dense.
Attention : cette valeur n'est valable que pour cette pression de confinement. À 200 kPa de cellule, le déviateur de rupture serait pratiquement doublé.
Comparaison : un même sable testé à 50 kPa de confinement romprait vers 130 kPa de déviateur, ce qui confirme la proportionnalité approximative entre résistance et confinement propre aux sols pulvérulents.

Remarque pédagogique : Prenez l'habitude d'écrire la formule littérale, puis la substitution, puis le résultat, sur trois lignes distinctes. C'est ce que fait la note de calcul ci-dessus, et c'est ce que réclame tout contrôleur technique.

Section corrigée de l'éprouvette à la rupture

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la force du piston ne s'applique pas sur la section initiale mais sur la section déformée. C'est la section corrigée qui permet de remonter à la force réellement lue par l'anneau dynamométrique.

Méthodologie du calcul :

On applique la correction à volume constant en introduisant la déformation axiale de rupture, préalablement convertie en valeur décimale. Le résultat doit rester proche de la section initiale, l'écart n'excédant que quelques pour cent.

Substitution : on injecte \( A_{\text{0}} = \text{1963,5} \text{ mm}^2 \) et \( \varepsilon_{a,\text{rup}} = \text{0,045} \), soit les 4,5 % du procès-verbal divisés par cent.
Piège évité : écrire \( 1 - \text{4,5} \) au lieu de \( 1 - \text{0,045} \) donnerait un dénominateur négatif et une section absurde. Le contrôle de signe est immédiat.
Hypothèse validée : on suppose la déformation homogène et le volume conservé. Pour un sable moyennement dense cisaillé jusqu'à 4,5 %, l'approximation reste acceptable.
Vérification croisée : l'augmentation relative de section doit valoir environ ε / (1 − ε), soit près de 4,7 % ici. L'ordre de grandeur se contrôle mentalement.
Finalité : disposer de la surface sur laquelle appliquer le déviateur pour obtenir la force du piston.

\[ \begin{aligned} A_{\text{c}} &= \frac{A_{\text{0}}}{1 - \varepsilon_{a,\text{rup}}} \\ &= \frac{\text{1963,5} \text{ mm}^2}{1 - \text{0,045}} \\ &= \frac{\text{1963,5} \text{ mm}^2}{\text{0,955}} \\ &= \mathbf{\text{2056,0}} \text{ mm}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La section a gagné environ 93 mm², soit 4,7 % de sa valeur initiale. L'éprouvette, en se raccourcissant de 4,5 mm, s'est effectivement renflée en tonneau.

Ordre de grandeur : une correction de quelques pour cent est exactement ce qu'on attend à ce niveau de déformation. Une correction de 30 % signalerait une erreur.
Impact sur la suite : elle ne modifie pas les contraintes, qui sont des données du procès-verbal ; elle n'intervient que pour retrouver la force.
Cohérence : le diamètre équivalent passe de 50 mm à environ 51,2 mm, un renflement à peine visible à l'œil nu mais parfaitement mesurable.
Attention : sur un sable fortement dilatant, le volume augmente et la correction à volume constant sous-estime légèrement la section réelle.
Comparaison : à 15 % de déformation, cas fréquent des argiles molles, la correction atteindrait près de 18 % : elle devient alors franchement déterminante.

Remarque pédagogique : Les logiciels d'acquisition appliquent cette correction automatiquement. Savoir la refaire à la main reste indispensable pour comprendre un procès-verbal ancien ou détecter un paramétrage erroné.

Force axiale développée par le piston à la rupture

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il constitue le contrôle croisé de toute la question : il repasse des contraintes à une grandeur mécanique tangible, directement comparable à la lecture de la presse.

Méthodologie du calcul :

On multiplie le déviateur par la section corrigée en veillant à l'homogénéité des unités. Le passage kPa × mm² vers newton se fait par un facteur mille : un kilopascal sur un millimètre carré vaut un millinewton.

Substitution : on injecte \( q_{\text{rup}} = \text{255} \text{ kPa} \) et la section corrigée calculée juste avant, et non la section initiale.
Piège évité : utiliser \( \sigma'_{\text{1}} \) au lieu de \( q \) donnerait 730 N, valeur qui inclut à tort l'effet de la pression de cellule déjà présente.
Hypothèse validée : on néglige le frottement du piston dans son passage étanche, ce qui est légitime sur un appareillage moderne correctement taré.
Vérification croisée : en calculant grossièrement 255 × 2000 = 510 000 millinewtons, soit environ 510 N, on retrouve l'ordre de grandeur en une seconde.
Finalité : valider que l'ensemble des données du procès-verbal sont mutuellement cohérentes avant d'engager l'interprétation.

\[ \begin{aligned} F &= q_{\text{rup}} \cdot A_{\text{c}} \\ &= \text{255} \text{ kPa} \times \text{2056,0} \text{ mm}^2 \\ &= \text{255} \times \text{10}^{3} \text{ Pa} \times \text{2056,0} \times \text{10}^{-6} \text{ m}^2 \\ &= \mathbf{\text{524,3}} \text{ N} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un peu plus de cinquante kilogrammes-force suffisent à rompre cette éprouvette. La valeur est parfaitement compatible avec les presses de laboratoire courantes, dont la capacité se compte en dizaines de kilonewtons.

Ordre de grandeur : environ 0,52 kN, soit le poids d'un adulte. Une valeur immédiatement représentable, donc immédiatement critiquable.
Impact sur la suite : aucun sur le calcul des paramètres, mais un impact fort sur la confiance que l'on peut accorder au procès-verbal.
Cohérence : sans la correction de section, on aurait trouvé 500,7 N. L'écart de 4,7 % est exactement celui attendu, ce qui valide la chaîne de calcul.
Attention : cette force est celle du seul piston. La force totale transmise à l'embase inclut en plus l'effet de la pression de cellule sur la section.
Comparaison : la même éprouvette testée sous 400 kPa de cellule romprait sous une force de plus de deux kilonewtons, ce qui illustre la dépendance de la résistance au confinement.

Remarque pédagogique : Retenez le repère d'unité : 1 kPa × 1 mm² = 1 mN. Il évite à lui seul l'immense majorité des erreurs de puissance de dix sur ce type de calcul.

ÉTAT DE CONTRAINTE À LA RUPTURE — RÉSULTATS Q1

RÉSULTAT FINAL

σ'₁,rup = 355 kPa

"Contrainte principale majeure effective à la rupture, obtenue par addition du déviateur mesuré et de la pression de cellule. Force du piston associée : 524,3 N. Ce couple de contraintes est la donnée d'entrée du cercle de Mohr."

Question 2 : Cercle de Mohr et angle de frottement interne

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai maintenant un état de contrainte complet, mais un état de contrainte ne dit rien par lui-même : il faut le confronter à un critère de rupture. Le cercle de Mohr est l'outil qui me permet de faire cette confrontation d'un seul coup d'œil, parce qu'il représente toutes les facettes possibles passant par un même point du sol. Sur le cercle, chaque point correspond à une orientation de facette et donne le couple contrainte normale et contrainte de cisaillement qui s'y exerce. La rupture survient quand une seule de ces facettes atteint le critère : celle qui touche la droite de Mohr-Coulomb. Et cette facette-là, attention, ce n'est pas celle du sommet du cercle."

Observation : L'énoncé impose \( c' = 0 \). La droite de rupture passe donc par l'origine, ce qui simplifie considérablement la géométrie : un seul cercle suffit à déterminer l'angle, là où deux essais seraient nécessaires si la cohésion était inconnue.
Analyse du risque : La tentation est grande de croire que la tangente touche le cercle en son point le plus haut. C'est géométriquement faux dès que la droite n'est pas horizontale, et cela conduit à confondre le cisaillement maximal avec le cisaillement de rupture, deux grandeurs distinctes.
Choix stratégique : Je traite la question par la trigonométrie plutôt que par la mesure au rapporteur. Le triangle rectangle origine-centre-tangence donne une relation exacte, alors qu'une lecture graphique dépasse rarement le demi-degré de précision.
Alternative : J'aurais pu passer par le rapport des contraintes principales et la relation de Rankine. Je l'écarte comme méthode principale — elle masque la géométrie — mais je la conserve comme vérification indépendante en fin de question.
Objectif visé : Obtenir l'angle de frottement interne, le paramètre qui commande à lui seul la portance des semelles, la stabilité des talus et la poussée sur les écrans de soutènement.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

φ' ≈ 34,1° · s' = 227,5 kPa · t = 127,5 kPa

Rappel Théorique : cercle de Mohr et critère de Mohr-Coulomb

Le cercle de Mohr est une représentation graphique de l'état de contrainte en un point. Il répond à une question simple mais fondamentale : si je fais tourner une facette autour d'un point du sol, comment évoluent la contrainte normale et la contrainte de cisaillement qui s'y exercent ? La réponse est que le couple de valeurs décrit exactement un cercle, dont les intersections avec l'axe horizontal sont les deux contraintes principales. Les cinq points ci-dessous constituent le socle indispensable de cette question.

Construction du cercle : il coupe l'axe des contraintes normales exactement en \( \sigma'_{\text{3}} \) et en \( \sigma'_{\text{1}} \). Son centre \( s' \) est le milieu de ce segment, son rayon \( t \) en est la demi-longueur. Toute l'information sur l'état de contrainte tient dans ces deux nombres.
Signification d'un point du cercle : à chaque point correspond une orientation de facette. Son abscisse donne la contrainte normale sur cette facette, son ordonnée le cisaillement. Le cercle balaie donc l'ensemble des facettes possibles en un même point du massif.
Droite de rupture : le critère de Mohr-Coulomb s'écrit comme une droite dans ce plan, d'ordonnée à l'origine \( c' \) et de pente \( \tan \varphi' \). Elle constitue une frontière infranchissable : aucun état de contrainte ne peut la dépasser, tout cercle qui la couperait décrirait un état physiquement impossible.
Condition de rupture : la rupture est atteinte lorsque le cercle devient tangent à la droite. Tant qu'il reste strictement en dessous, le sol est stable avec une marge ; la tangence signifie qu'une facette et une seule a atteint sa capacité.
Position du point de tangence : le rayon qui aboutit au point de tangence est perpendiculaire à la droite de rupture. Ce point se situe donc en amont du sommet du cercle, sur la facette inclinée de \( \text{45}^\circ + \varphi'/2 \) par rapport au plan principal majeur. Le sommet du cercle, lui, correspond au cisaillement maximal, qui n'est pas le cisaillement de rupture.

Équations Fondamentales

Quatre relations structurent cette question : le critère de rupture lui-même, les deux caractéristiques géométriques du cercle, puis la relation trigonométrique qui les relie à l'angle recherché. Chacune est présentée séparément car elle répond à une question différente.

Critère de rupture de Mohr-Coulomb :

Il exprime la résistance au cisaillement disponible sur une facette en fonction de la contrainte normale qui la comprime.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle traduit une évidence physique : plus on serre des grains les uns contre les autres, plus il faut d'effort pour les faire glisser. C'est la loi de Coulomb du frottement solide, transposée à un empilement de grains. Sa simplicité et sa robustesse expliquent qu'elle reste, deux siècles après, le critère de référence de la géotechnique.

Contexte de validité : il s'écrit en contraintes effectives. Appliqué à des contraintes totales sur un sol saturé chargé rapidement, il conduit à des résultats faux et dangereusement optimistes.
Avantage : il ne demande que deux paramètres, tous deux mesurables en laboratoire, et se prête directement au format des facteurs partiels de l'Eurocode 7.
Paramètre clé : l'angle \( \varphi' \). Une variation de deux degrés seulement modifie la portance d'une semelle de plus de vingt pour cent.
Vérification : pour un sable propre, \( \varphi' \) doit tomber entre 28° et 45°. Hors de cette fourchette, il faut suspecter une erreur d'interprétation ou un matériau atypique.
Limite : le critère est linéaire, alors que l'enveloppe réelle d'un sable dense est légèrement incurvée : l'angle décroît quand le confinement augmente. Extrapoler loin du domaine testé est risqué.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{f}} = c' + \sigma'_{\text{f}} \tan \varphi' \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que la résistance au glissement se compose de deux termes : une part de « colle » indépendante de la compression, la cohésion, et une part de frottement proportionnelle à la force qui plaque les grains les uns contre les autres. Pour un sable propre, la colle n'existe pas : tout est frottement.

Décomposition des termes :

\( \tau_{\text{f}} \) : contrainte de cisaillement mobilisable sur la facette de rupture, unité : kPa
\( c' \) : cohésion effective, nulle pour un sable propre non cimenté, unité : kPa
\( \sigma'_{\text{f}} \) : contrainte normale effective agissant sur cette même facette, unité : kPa
\( \varphi' \) : angle de frottement interne effectif, inconnue de la question, unité : degré

Centre du cercle de Mohr :

Il localise le cercle sur l'axe des contraintes normales et mesure le niveau moyen de compression subi par l'éprouvette.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le centre représente la contrainte normale moyenne dans le plan de l'essai. C'est la part du chargement qui comprime sans cisailler, et c'est elle qui fixe le niveau de résistance que le sable pourra mobiliser.

Contexte de validité : valable pour tout état de contrainte plan exprimé à partir des deux contraintes principales extrêmes.
Avantage : une simple moyenne arithmétique, immédiate à calculer et à contrôler mentalement.
Paramètre clé : la pression de confinement, qui déplace le cercle vers la droite et augmente donc la résistance disponible.
Vérification : le centre doit toujours se situer entre les deux contraintes principales, et à égale distance de chacune.
Limite : cette moyenne à deux termes ignore la contrainte principale intermédiaire. Elle diffère de la contrainte moyenne à trois dimensions utilisée dans les modèles de type Cam-Clay.

\[ \begin{aligned} s' = \frac{\sigma'_{\text{1}} + \sigma'_{\text{3}}}{2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure à quel point l'éprouvette est serrée en moyenne, indépendamment de la manière dont on la cisaille. Deux essais menés à des confinements différents produisent des cercles de même forme mais décalés le long de l'axe.

Décomposition des termes :

\( s' \) : abscisse du centre du cercle, contrainte normale moyenne effective, unité : kPa
\( \sigma'_{\text{1}} \) : contrainte principale majeure effective, issue de la question 1, unité : kPa
\( \sigma'_{\text{3}} \) : contrainte principale mineure effective, pression de cellule, unité : kPa

Rayon du cercle de Mohr :

Il mesure l'intensité du cisaillement mobilisé, c'est-à-dire l'ampleur de la sollicitation qui tend à rompre le sol.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le rayon vaut exactement la moitié du déviateur : il quantifie l'écart entre les deux contraintes principales, donc l'effort de distorsion appliqué. C'est la grandeur que l'on compare à la résistance disponible.

Contexte de validité : identique à celui du centre : état de contrainte défini par ses deux contraintes principales extrêmes.
Avantage : il donne directement le cisaillement maximal atteint dans le massif, qui est la valeur au sommet du cercle.
Paramètre clé : le déviateur \( q \), puisque \( t = q/2 \). Toute erreur sur le déviateur se répercute intégralement sur le rayon.
Vérification : le rayon doit être strictement positif et inférieur au centre lorsque la cohésion est nulle, sans quoi le cercle couperait l'axe des ordonnées.
Limite : le rayon n'est pas la contrainte de cisaillement sur le plan de rupture ; il en est le majorant. Cette distinction est précisément la source du piège classique de cette question.

\[ \begin{aligned} t = \frac{\sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}}}{2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit à quel point l'éprouvette est tordue, par opposition au centre qui dit à quel point elle est serrée. Un cercle très plat correspond à un chargement presque isotrope ; un cercle très large correspond à un cisaillement intense.

Décomposition des termes :

\( t \) : rayon du cercle, égal au cisaillement maximal dans le massif, unité : kPa
\( \sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}} \) : déviateur de contrainte, mesuré directement par la machine, unité : kPa
2 : facteur géométrique traduisant que le rayon est la demi-distance entre les deux contraintes principales, unité : sans dimension

Relation de tangence pour un sol pulvérulent :

Elle relie directement l'angle de frottement aux deux caractéristiques géométriques du cercle, lorsque la cohésion est nulle.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est la traduction algébrique de la tangence. Comme la droite passe par l'origine, le triangle formé par l'origine, le centre du cercle et le point de tangence est rectangle en ce point. Le sinus de l'angle en l'origine vaut alors le côté opposé sur l'hypoténuse, c'est-à-dire le rayon sur la distance au centre.

Contexte de validité : elle suppose impérativement \( c' = 0 \). Avec une cohésion non nulle, la droite ne passe plus par l'origine et la relation devient beaucoup plus lourde.
Avantage : elle permet de conclure avec un seul essai, alors qu'il en faudrait au moins deux pour séparer cohésion et frottement.
Paramètre clé : le rapport \( t/s' \), c'est-à-dire le rapport de forme du cercle. Il ne dépend pas de l'échelle des contraintes, seulement de la géométrie.
Vérification : le rapport doit rester strictement inférieur à 1. Un rapport supérieur signifierait un cercle coupant l'axe des ordonnées, ce qui est impossible en compression.
Limite : elle fournit un angle de frottement sécant, valable au niveau de contrainte testé. Pour un sable dense fortement dilatant, l'angle mesuré à faible confinement surestime celui mobilisable sous forte charge.

\[ \begin{aligned} \sin \varphi' = \frac{t}{s'} = \frac{\sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}}}{\sigma'_{\text{1}} + \sigma'_{\text{3}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que ce qui compte n'est pas la valeur absolue des contraintes, mais le rapport entre l'effort de distorsion et le niveau moyen de compression. Un sable soumis à des contraintes dix fois plus fortes rompra sous un déviateur dix fois plus grand : l'angle, lui, ne change pas.

Décomposition des termes :

\( \sin \varphi' \) : sinus de l'angle de frottement interne effectif, unité : sans dimension
\( t \) : rayon du cercle, côté opposé à l'angle dans le triangle rectangle, unité : kPa
\( s' \) : distance de l'origine au centre, hypoténuse du même triangle, unité : kPa
\( \varphi' \) : angle recherché, obtenu par la fonction arc sinus, unité : degré

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de tracer la tangente en visant le sommet du cercle, et lisent alors un cisaillement de rupture de 127,5 kPa au lieu de 105,6 kPa..."

L'approche d'ingénieur : Cette erreur vient d'une confusion entre deux points remarquables du cercle qui n'ont ni la même position, ni la même signification physique. Voici comment les distinguer une fois pour toutes.

L'erreur : croire que la droite de rupture touche le cercle en son point le plus haut. Ce ne serait vrai que si la droite était horizontale, c'est-à-dire si l'angle de frottement était nul, cas d'une argile purement cohérente.
La bonne méthode : se rappeler qu'une tangente est toujours perpendiculaire au rayon au point de contact. Comme la droite monte d'un angle \( \varphi' \), le rayon de tangence est incliné de \( \text{90}^\circ + \varphi' \) par rapport à l'axe : le point de contact se trouve donc à gauche du sommet.
L'astuce de pro : tracer d'abord la droite depuis l'origine, puis abaisser la perpendiculaire depuis le centre du cercle. Le pied de cette perpendiculaire est le point de tangence, sans aucune ambiguïté possible.
Le moyen mnémotechnique : « le sommet, c'est le maximum ; la tangence, c'est la rupture ». Deux points différents, deux idées différentes.
L'impact direct : le plan de rupture réel est incliné de 62° environ sur l'horizontale, et non de 45° comme le suggérerait le sommet. C'est cette inclinaison que l'on observe effectivement sur une éprouvette rompue, et sur un talus qui glisse.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( \sigma'_{\text{1}} \) : issue de la question 1, en kPa
\( \sigma'_{\text{3}} \) : donnée d'essai, en kPa , homogène avec la précédente
\( s' \) et \( t \) : sommes et différences de kilopascals, donc en kPa
\( \sin \varphi' \) : rapport de deux contraintes, donc sans dimension
\( \varphi' \) : calculatrice impérativement réglée en degrés et non en radians

Le calcul progresse en cinq temps. On établit d'abord les deux caractéristiques géométriques du cercle, on en déduit l'angle par la relation de tangence, on localise ensuite le point de tangence pour lever définitivement l'ambiguïté avec le sommet, et l'on termine par une vérification indépendante fondée sur le rapport des contraintes principales.

1. Résolution Numérique Abscisse du centre du cercle de Mohr

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le centre est l'hypoténuse du triangle rectangle qui donnera l'angle. C'est aussi lui qui positionne le cercle sur l'axe et permet de le tracer.

Méthodologie du calcul :

On applique la moyenne arithmétique des deux contraintes principales. Le résultat doit tomber exactement au milieu de l'intervalle, ce qui se contrôle en une seconde.

Substitution : on injecte \( \sigma'_{\text{1}} = \text{355} \text{ kPa} \), issue de la question 1, et \( \sigma'_{\text{3}} = \text{100} \text{ kPa} \).
Piège évité : ne pas utiliser le déviateur à la place de \( \sigma'_{\text{1}} \) : le centre serait alors placé à 177,5 kPa et tout le cercle décalé.
Hypothèse validée : les deux contraintes sont effectives, l'essai étant drainé. La formule s'applique donc directement au plan des contraintes effectives.
Vérification croisée : le centre doit être équidistant des deux contraintes principales : 227,5 − 100 = 127,5 et 355 − 227,5 = 127,5. L'égalité confirme le calcul.
Finalité : fournir le dénominateur de la relation de tangence, et le point d'appui du compas pour la construction graphique.

\[ \begin{aligned} s' &= \frac{\sigma'_{\text{1}} + \sigma'_{\text{3}}}{2} \\ &= \frac{\text{355} \text{ kPa} + \text{100} \text{ kPa}}{2} \\ &= \frac{\text{455} \text{ kPa}}{2} \\ &= \mathbf{\text{227,5}} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le sable subissait en moyenne 227,5 kPa de compression normale au moment de la rupture. C'est le niveau de serrage sous lequel les paramètres mesurés sont valables.

Ordre de grandeur : environ deux fois la pression de cellule, ce qui est habituel pour un sable cisaillé jusqu'à la rupture.
Impact sur la suite : c'est l'hypoténuse du triangle de tangence ; elle apparaîtra au dénominateur du sinus.
Cohérence : le centre est bien situé entre 100 et 355 kPa, et à égale distance de chacun. La géométrie est confirmée.
Attention : cette moyenne à deux termes ne doit pas être confondue avec la contrainte moyenne à trois dimensions, qui vaudrait ici 185 kPa.
Comparaison : un essai mené sous 200 kPa de cellule donnerait un centre à environ 455 kPa, avec un cercle homothétique du premier.

Remarque pédagogique : Le couple \( (s'\,;\,t) \) est souvent noté \( (p'\,;\,q) \) dans les diagrammes de chemins de contraintes. Les définitions diffèrent d'un facteur deux : soyez attentif aux conventions du document que vous lisez.

Rayon du cercle de Mohr

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le rayon constitue le côté opposé à l'angle recherché dans le triangle de tangence, et qu'il donne au passage le cisaillement maximal atteint dans l'éprouvette.

Méthodologie du calcul :

On prend la demi-différence des contraintes principales, ce qui revient exactement à prendre la moitié du déviateur déjà connu. Les deux chemins doivent donner le même nombre.

Substitution : on injecte les mêmes deux contraintes principales, cette fois en soustraction.
Piège évité : oublier de diviser par deux. Le rayon n'est pas le déviateur, il en est la moitié.
Hypothèse validée : on se place bien à l'instant de la rupture, celui où le déviateur atteint son maximum.
Vérification croisée : \( q_{\text{rup}} / 2 = 255 / 2 = \text{127,5} \). Le contrôle est immédiat et sans calcul intermédiaire.
Finalité : fournir le numérateur de la relation de tangence, et l'ouverture du compas pour tracer le cercle.

\[ \begin{aligned} t &= \frac{\sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}}}{2} \\ &= \frac{\text{355} \text{ kPa} - \text{100} \text{ kPa}}{2} \\ &= \frac{\text{255} \text{ kPa}}{2} \\ &= \mathbf{\text{127,5}} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le cisaillement maximal régnant dans l'éprouvette valait 127,5 kPa. Attention : ce n'est pas le cisaillement qui a provoqué la rupture, comme le calcul suivant va le montrer.

Ordre de grandeur : la moitié exacte du déviateur, comme attendu. Le contrôle est immédiat.
Impact sur la suite : il constitue le numérateur du sinus recherché, et fixe l'ouverture du cercle.
Cohérence : le rapport \( t / s' = \text{127,5} / \text{227,5} \) vaut environ 0,56, valeur bien inférieure à 1 : le cercle ne coupe pas l'axe des ordonnées.
Attention : le sommet du cercle, situé à l'abscisse 227,5 kPa, correspond à une facette inclinée de 45°, laquelle n'est pas la facette de rupture.
Comparaison : pour un sable de même angle testé sous 200 kPa, le rayon vaudrait environ 255 kPa, soit le double, tout comme le centre.

Remarque pédagogique : Le rapport \( t/s' \) est parfois appelé degré de mobilisation du frottement. Il vaut 1 seulement pour un matériau sans résistance à la traction sollicité jusqu'à l'extrême.

Angle de frottement interne effectif

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le livrable central de tout l'essai. Cet angle sera repris tel quel dans les calculs de portance, de poussée et de stabilité de pente.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport du rayon sur le centre, ce qui donne le sinus de l'angle, puis on applique la fonction arc sinus. Les deux étapes sont conduites dans un seul enchaînement d'égalités, la seconde dans un calcul distinct pour la lisibilité.

Substitution : on injecte \( t = \text{127,5} \text{ kPa} \) et \( s' = \text{227,5} \text{ kPa} \), ou de façon équivalente le déviateur sur la somme des contraintes principales.
Piège évité : utiliser une tangente au lieu d'un sinus. La tangente donnerait ici 29,3°, soit près de cinq degrés d'écart et une erreur grossière.
Hypothèse validée : la cohésion effective est nulle ; la droite de rupture passe donc bien par l'origine, condition sans laquelle la relation ne tiendrait pas.
Vérification croisée : la calculatrice doit être en degrés. Un résultat proche de 0,595 signalerait un affichage en radians.
Finalité : produire le paramètre de résistance qui sera converti en valeur de calcul à la question 4.

\[ \begin{aligned} \sin \varphi' &= \frac{\sigma'_{\text{1}} - \sigma'_{\text{3}}}{\sigma'_{\text{1}} + \sigma'_{\text{3}}} \\ &= \frac{\text{355} \text{ kPa} - \text{100} \text{ kPa}}{\text{355} \text{ kPa} + \text{100} \text{ kPa}} \\ &= \frac{255}{455} \\ &= \mathbf{\text{0,5604}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le sinus vaut 0,5604, valeur sans dimension comprise entre 0 et 1 comme il se doit. Elle correspond à un angle voisin de trente-quatre degrés, ce qui est immédiatement plausible pour un sable.

Ordre de grandeur : un sinus de 0,5 correspondrait exactement à 30°. Une valeur légèrement supérieure annonce donc un angle un peu au-dessus de 30°.
Impact sur la suite : c'est ce sinus qui alimente l'arc sinus du calcul suivant, puis la position du point de tangence.
Cohérence : la valeur est strictement inférieure à 1, condition nécessaire pour que le cercle reste dans le demi-plan des compressions.
Attention : ce rapport est adimensionnel : les kilopascals se simplifient. Écrire un sinus en kPa serait une faute d'homogénéité.
Comparaison : un sable très dense donnerait un sinus voisin de 0,64, soit environ 40° ; un sable très lâche descendrait vers 0,47, soit 28°.

Remarque pédagogique : Conservez quatre décimales sur le sinus avant d'appliquer l'arc sinus. Un arrondi prématuré à deux décimales décalerait l'angle de près d'un demi-degré.

Conversion du sinus en angle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les formules de portance et de poussée s'expriment en degrés, et que c'est sous cette forme que le paramètre est transmis au projeteur.

Méthodologie du calcul :

On applique la fonction arc sinus au rapport obtenu, calculatrice réglée en degrés, puis on arrondit à un dixième de degré, précision cohérente avec l'incertitude réelle d'un essai triaxial.

Substitution : on injecte le sinus non arrondi issu du calcul précédent, soit 0,560440.
Piège évité : un affichage en radians donnerait 0,595, valeur qu'un étudiant pressé pourrait prendre pour un sinus.
Hypothèse validée : l'angle obtenu est un angle sécant, représentatif du niveau de contrainte de l'essai et non d'un comportement universel du matériau.
Vérification croisée : recalculer \( \sin(\text{34,09}^\circ) \) doit redonner 0,5604. Le retour en arrière valide l'opération.
Finalité : livrer l'angle exploitable, base de la valeur caractéristique de la question 4.

\[ \begin{aligned} \varphi' &= \arcsin(\text{0,560440}) \\ &= \text{34,09}^\circ \\ &\approx \mathbf{\text{34,1}}^\circ \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un angle de 34,1° caractérise un sable moyennement dense, à grains subarrondis. C'est une valeur courante, ni suspecte par excès ni décevante par défaut, ce qui est plutôt rassurant sur la qualité de l'essai.

Ordre de grandeur : la fourchette usuelle des sables propres s'étend de 28° à 45°. La valeur trouvée se situe confortablement au centre de cette plage.
Impact sur la suite : cet angle sera minoré à la question 4 par le facteur partiel réglementaire avant tout usage en état-limite ultime.
Cohérence : il correspond à peu près à l'angle de talus naturel d'un tas de sable sec, repère physique que chacun peut vérifier à la main.
Attention : cet angle provient d'un seul essai. La NF EN 1997-2, dans son annexe P, précise le nombre minimal d'essais triaxiaux recommandé pour caractériser une couche : un essai isolé ne suffit pas à fonder une valeur caractéristique.
Comparaison : la NF EN 1997-2, annexe D.1, propose une corrélation informative entre résistance de pointe au pénétromètre statique et angle de frottement pour les sables : elle permet de recouper ce résultat par une méthode in situ indépendante.

Remarque pédagogique : Annoncer 34,086° serait une fausse précision : l'incertitude d'un essai triaxial sur l'angle de frottement se compte en degrés entiers, pas en millièmes de degré.

Contrainte normale effective au point de tangence

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il lève l'ambiguïté entre le sommet du cercle et le point de rupture, et parce qu'il fournit une vérification totalement indépendante de l'angle trouvé.

Méthodologie du calcul :

On projette le rayon de tangence, incliné de \( \text{90}^\circ + \varphi' \) sur l'axe, pour obtenir les coordonnées du point de contact. On contrôle ensuite que ce point vérifie bien le critère de Mohr-Coulomb, puis on recoupe l'angle par la relation de Rankine.

Substitution : on injecte \( s' = \text{227,5} \), \( t = \text{127,5} \) et \( \varphi' = \text{34,09}^\circ \) dans les projections trigonométriques.
Piège évité : prendre \( \tau_{\text{f}} = t = \text{127,5} \text{ kPa} \). Le cisaillement de rupture est plus faible que le cisaillement maximal : 105,6 kPa contre 127,5 kPa.
Hypothèse validée : la tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact, propriété géométrique qui fonde toute la construction.
Vérification croisée : le produit \( \sigma'_{\text{f}} \tan \varphi' \) doit redonner \( \tau_{\text{f}} \), et \( \tan^2(\text{45}^\circ + \varphi'/2) \) doit redonner le rapport \( \sigma'_{\text{1}}/\sigma'_{\text{3}} \).
Finalité : valider l'angle par deux chemins indépendants et fournir l'inclinaison réelle du plan de rupture.

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{f}} &= s' - t \sin \varphi' \\ &= \text{227,5} - \text{127,5} \times \sin(\text{34,09}^\circ) \\ &= \text{227,5} - \text{127,5} \times \text{0,5604} \\ &= \text{227,5} - \text{71,5} \\ &= \mathbf{\text{156,0}} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le plan de rupture supportait 156,0 kPa de contrainte normale et 105,6 kPa de cisaillement. Le rapport des deux redonne exactement la tangente de l'angle de frottement, ce qui boucle la démonstration.

Ordre de grandeur : le cisaillement de rupture représente 83 % du cisaillement maximal. L'écart est loin d'être négligeable.
Impact sur la suite : l'inclinaison du plan de rupture, \( \text{45}^\circ + \varphi'/2 \approx \mathbf{62^\circ} \), est celle qu'on observe réellement sur une éprouvette rompue et sur les surfaces de glissement des talus.
Cohérence : les deux contrôles indépendants tombent juste à l'arrondi près. La probabilité d'une erreur non détectée devient très faible.
Attention : le rapport \( \sigma'_{\text{1}}/\sigma'_{\text{3}} \) à la rupture est numériquement égal au coefficient de butée de Rankine, et non au coefficient de poussée. En français, « poussée » désigne l'état actif et « butée » l'état passif.
Comparaison : le sommet du cercle, à l'abscisse 227,5 kPa, correspondrait à une facette inclinée de 45° : ce n'est ni l'orientation observée, ni celle qui rompt.

Remarque pédagogique : Écrivez la soustraction en deux temps : le rayon projeté d'abord, la différence ensuite. Voir apparaître les 71,5 kPa retranchés rend immédiatement visible toute erreur sur le sinus.

Contrainte de cisaillement au point de tangence

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il complète les coordonnées du point de rupture, et qu'il ouvre un contrôle indépendant : ce cisaillement doit aussi valoir la contrainte normale multipliée par la tangente de l'angle.

Méthodologie du calcul :

On projette le rayon du cercle sur l'axe des cisaillements, ce qui fait apparaître le cosinus de l'angle de frottement là où l'abscisse faisait apparaître le sinus.

Substitution : on injecte le rayon \( t = \text{127,5} \text{ kPa} \) et \( \varphi' = \text{34,09}^\circ \).
Piège évité : réutiliser le sinus employé pour l'abscisse. La projection sur l'axe vertical fait intervenir le cosinus, et l'écart entre les deux dépasse ici quarante pour cent.
Hypothèse validée : le point de tangence est bien le point de rupture : c'est le seul point du cercle qui touche l'enveloppe.
Vérification croisée : le résultat doit être inférieur au rayon du cercle, la projection ne pouvant excéder la longueur projetée.
Finalité : disposer de l'ordonnée du point de rupture, et pouvoir la confronter au critère de Mohr-Coulomb.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{f}} &= t \cos \varphi' \\ &= \text{127,5} \times \cos(\text{34,09}^\circ) \\ &= \text{127,5} \times \text{0,8282} \\ &= \mathbf{\text{105,6}} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le point de rupture a pour coordonnées (156,0 ; 105,6) kPa. Le contrôle par le critère de Mohr-Coulomb tombe juste : \( \text{156,0} \times \tan(\text{34,09}^\circ) = \text{156,0} \times \text{0,6774} = \text{105,7} \text{ kPa} \).

Ordre de grandeur : l'écart entre les deux voies vaut 0,1 kPa, soit moins d'un millième : il ne provient que des arrondis intermédiaires.
Impact sur la suite : ce couple de coordonnées est le point que l'on reporte sur le cercle de Mohr, et qui matérialise la facette de rupture.
Cohérence : le cisaillement, 105,6 kPa, est bien inférieur au rayon du cercle, 127,5 kPa : la projection est cohérente.
Attention : ce n'est pas le cisaillement maximal du cercle, qui vaut 127,5 kPa au sommet. La rupture ne se produit pas là où le cisaillement est le plus fort, mais là où le rapport au serrage est le plus défavorable.
Comparaison : le sommet du cercle, à l'abscisse 227,5 kPa, correspondrait à une facette inclinée de 45° : ce n'est ni l'orientation observée, ni celle qui rompt.

Remarque pédagogique : Retenez que la tangente touche le cercle en deçà de son sommet. C'est cette dissymétrie qui produit l'inclinaison caractéristique du plan de rupture, et elle disparaîtrait si l'angle de frottement était nul.

Contrôle par le rapport des contraintes principales

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il valide l'angle de frottement par une voie entièrement indépendante de la construction géométrique : la relation de Rankine, qui ne fait intervenir que les deux contraintes principales.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport des deux contraintes principales effectives, puis on vérifie qu'il coïncide avec l'expression de Rankine évaluée à l'angle trouvé.

Substitution : on injecte \( \sigma'_{\text{1}} = \text{355} \text{ kPa} \), \( \sigma'_{\text{3}} = \text{100} \text{ kPa} \) et \( \varphi' = \text{34,09}^\circ \).
Piège évité : écrire \( \text{45}^\circ - \varphi'/2 \) au lieu de \( \text{45}^\circ + \varphi'/2 \). Le signe distingue la butée de la poussée, et l'inverser donne 0,282 au lieu de 3,55.
Hypothèse validée : la cohésion effective est nulle, sans quoi la relation comporterait un terme supplémentaire et le rapport ne suffirait plus.
Vérification croisée : les deux membres doivent coïncider à l'arrondi près, faute de quoi l'angle déduit du cercle serait faux.
Finalité : confirmer l'angle de frottement sans recourir à la construction graphique.

\[ \begin{aligned} K_{\text{p}} &= \frac{\sigma'_{\text{1}}}{\sigma'_{\text{3}}} \\ &= \frac{\text{355}}{\text{100}} \\ &= \text{3,55} \\ &= \tan^2\!\left( \text{45}^\circ + \frac{\text{34,09}^\circ}{2} \right) = \mathbf{\text{3,55}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le rapport mesuré, 3,55, coïncide exactement avec l'expression de Rankine évaluée à 34,09°. L'angle de frottement est donc confirmé par une voie qui n'emprunte rien à la construction du cercle.

Ordre de grandeur : un rapport de 3,55 signifie qu'à la rupture, la contrainte axiale vaut trois fois et demie la pression de confinement.
Impact sur la suite : ce coefficient est celui de la butée : c'est lui qui interviendrait dans le calcul de la résistance mobilisable devant un écran.
Cohérence : c'est le deuxième contrôle réussi de cette question, après celui du critère de Mohr-Coulomb au point de tangence.
Attention : ce rapport ne vaut que pour un sol sans cohésion. Dès qu'une cohésion apparaît, il cesse d'être constant d'un essai à l'autre.
Comparaison : l'inverse, 0,282, est le coefficient de poussée active du même sol : le rapport entre les deux atteint un facteur douze.

Remarque pédagogique : Ce contrôle par deux voies distinctes — projection trigonométrique et relation de Rankine — est la bonne pratique de toute note de calcul géotechnique : un résultat validé par un seul chemin n'est jamais qu'une hypothèse.

CERCLE DE MOHR À LA RUPTURE — RÉSULTATS Q2

RÉSULTAT FINAL

φ' = 34,1 degrés

"Angle de frottement interne effectif mesuré, obtenu par tangence du cercle de Mohr et confirmé par le rapport des contraintes principales. Le plan de rupture est incliné de 62,0° sur le plan principal majeur. Cette valeur est une valeur mesurée : elle devra être minorée avant tout usage réglementaire."

Question 3 : Module de déformation sécant E₅₀

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai la résistance, il me manque la rigidité. Ce sont deux propriétés indépendantes : un sol peut être très résistant et très déformable, et l'inverse est vrai aussi. La difficulté, c'est qu'un sol n'a pas de module unique. Sa courbe effort-déformation est franchement courbe, donc la pente dépend entièrement de l'endroit où je la mesure. Si je prends la pente au tout début, j'obtiens un module énorme qui ne correspond à rien de ce que subira l'ouvrage ; si je la prends près de la rupture, j'obtiens un module ridicule qui me ferait condamner un terrain parfaitement constructible. La convention du module sécant à mi-charge tranche ce débat : elle vise le niveau de sollicitation réellement atteint en service."

Observation : Il faut 0,8 % de déformation pour atteindre la moitié du déviateur, mais 4,5 % pour atteindre la rupture. La seconde moitié de la charge coûte donc presque cinq fois plus de déformation que la première : la courbe s'aplatit fortement.
Analyse du risque : Un module annoncé sans préciser à quel niveau de charge il a été mesuré n'a aucune valeur. Transmis tel quel au projeteur, il conduit à des calculs de tassement pouvant être faux d'un facteur trois.
Choix stratégique : Je retiens la définition sécante à cinquante pour cent du déviateur de rupture. Elle est conventionnelle, reproductible, et correspond au taux de mobilisation courant d'une fondation en service.
Alternative : J'aurais pu déterminer un module tangent initial, plus représentatif des très petites déformations. Je l'écarte : il exigerait des capteurs de déformation locaux montés sur l'éprouvette, dont l'essai ne dispose pas.
Objectif visé : Fournir le paramètre qui alimentera le calcul de tassement de la semelle, c'est-à-dire la vérification de l'état-limite de service.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

E₅₀ ≈ 15,9 MPa · E_rup ≈ 5,7 MPa

Rappel Théorique : rigidité non linéaire des sols

Un sol n'est pas un matériau élastique linéaire. Contrairement à l'acier, dont le module de Young est une constante physique tabulée une fois pour toutes, la rigidité d'un sol dépend du niveau de déformation, du niveau de contrainte, de l'histoire du chargement et même du sens dans lequel on charge. Parler du module d'un sol sans préciser les conditions revient à parler d'une vitesse sans préciser le référentiel. Les cinq points ci-dessous fixent les distinctions indispensables.

Module tangent : c'est la pente locale de la courbe en un point donné. Il décrit la rigidité instantanée du sol pour un petit accroissement de charge à partir de l'état actuel. Il décroît continûment à mesure qu'on approche de la rupture.
Module sécant : c'est la pente de la corde joignant l'origine au point considéré. Il intègre toute l'histoire du chargement depuis l'état initial, ce qui en fait le module directement utilisable pour un calcul de tassement sous charge totale.
Convention \( E_{\text{50}} \) : on convient de mesurer la sécante au point où le déviateur atteint la moitié de sa valeur de rupture. Ce choix vise le domaine de sollicitation d'une fondation correctement dimensionnée, qui travaille rarement au-delà de la moitié de sa capacité.
Dépendance au confinement : la rigidité d'un sol granulaire croît avec la pression de confinement. Le module mesuré ici n'est donc valable qu'au voisinage de 100 kPa ; à deux mètres de profondeur supplémentaires, le même sable serait sensiblement plus rigide.
Charge et décharge : le module de déchargement-rechargement est nettement supérieur au module de premier chargement, car il ne mobilise plus les réarrangements irréversibles du squelette granulaire. C'est pourquoi une excavation puis un rechargement produisent moins de tassement qu'un chargement direct.

Équations Fondamentales

Trois relations suffisent : la définition générale d'un module sécant, sa particularisation à mi-charge, et la même définition appliquée à la rupture qui servira à quantifier la perte de rigidité. Elles sont séparées parce qu'elles se rapportent à trois points distincts de la même courbe.

Définition générale du module sécant :

Elle établit qu'un module est le quotient d'une contrainte par la déformation qu'elle engendre, mesurées depuis l'état initial.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle donne la rigidité moyenne mobilisée sur l'ensemble du parcours de chargement, et non la rigidité en un instant particulier. C'est exactement ce dont on a besoin pour prédire un tassement total sous une charge appliquée en une fois.

Contexte de validité : chargement monotone croissant depuis l'état de consolidation. La formule perd son sens s'il y a eu des cycles de charge et décharge.
Avantage : elle ne nécessite que deux points : l'origine et le point courant. Aucune dérivation, aucun lissage de courbe.
Paramètre clé : la déformation, qui doit impérativement être introduite sans dimension. C'est le point de chute le plus fréquent de tout le calcul.
Vérification : le module sort dans la même unité que la contrainte. Un module en pourcentage ou sans unité trahit une erreur de conversion.
Limite : le module sécant diminue quand le point de mesure s'éloigne de l'origine. Une valeur communiquée sans son niveau de référence est inexploitable.

\[ \begin{aligned} E_{\text{sec}} = \frac{\Delta \sigma}{\Delta \varepsilon} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit combien de contrainte il faut dépenser pour obtenir un pour cent de déformation. Un module élevé signifie un sol raide, qui bouge peu sous la charge ; un module faible signifie un sol mou, qui s'enfonce beaucoup.

Décomposition des termes :

\( E_{\text{sec}} \) : module de déformation sécant, pente de la corde depuis l'origine, unité : kPa ou MPa
\( \Delta \sigma \) : accroissement de contrainte déviatorique depuis l'état initial, unité : kPa
\( \Delta \varepsilon \) : déformation axiale correspondante, exprimée en valeur décimale, unité : sans dimension

Module sécant conventionnel à mi-charge :

Elle fixe la convention de mesure retenue en géotechnique pour disposer d'un module reproductible d'un laboratoire à l'autre.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'il faut une convention commune pour que deux laboratoires produisent des chiffres comparables. Le choix de la mi-charge n'est pas arbitraire : il correspond au taux de mobilisation typique d'une fondation dimensionnée avec les coefficients de sécurité usuels.

Contexte de validité : il faut connaître le déviateur de rupture, donc avoir mené l'essai jusqu'au bout. Sur un essai interrompu, la définition est inapplicable.
Avantage : la valeur obtenue est directement comparable d'un essai à l'autre et alimente sans retraitement les modèles de comportement courants.
Paramètre clé : la déformation \( \varepsilon_{\text{a,50}} \) relevée à mi-charge. Une lecture imprécise sur la courbe se répercute proportionnellement sur le module.
Vérification : pour un sable moyennement dense sous une centaine de kilopascals de confinement, le résultat doit tomber dans une fourchette de 10 à 50 MPa.
Limite : ce module est lié à la pression de confinement de l'essai. Le transposer à une autre profondeur exige une loi de dépendance au confinement.

\[ \begin{aligned} E_{\text{50}} = \frac{\text{0,5} \, q_{\text{rup}}}{\varepsilon_{\text{a,50}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure la pente de la corde qui relie le point de départ de l'essai au point où le sol a encaissé la moitié de ce qu'il pouvait encaisser. C'est la rigidité utile, celle qui vaut dans le domaine où l'ouvrage travaille réellement.

Décomposition des termes :

\( E_{\text{50}} \) : module de Young sécant conventionnel à mi-charge, unité : kPa puis MPa
\( q_{\text{rup}} \) : déviateur de contrainte à la rupture, donnée du procès-verbal, unité : kPa
0,5 : coefficient conventionnel fixant le niveau de mobilisation retenu, unité : sans dimension
\( \varepsilon_{\text{a,50}} \) : déformation axiale relevée à ce niveau de charge, unité : sans dimension

Module sécant mobilisé à la rupture :

Elle applique la même définition au point de rupture, afin de quantifier la perte de rigidité subie entre mi-charge et rupture.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle exploite la déformation de rupture, donnée du procès-verbal souvent laissée de côté, et qu'elle donne une mesure directe de la non-linéarité du sable. Le rapport entre les deux modules est un indicateur de la marge à conserver.

Contexte de validité : la définition reste celle d'une sécante depuis l'origine ; seul le point d'arrivée change.
Avantage : elle ne coûte aucun essai supplémentaire et transforme une donnée dormante du procès-verbal en information exploitable.
Paramètre clé : la déformation de rupture \( \varepsilon_{a,\text{rup}} \), qui vaut ici plus de cinq fois celle relevée à mi-charge.
Vérification : le module à la rupture doit toujours être inférieur au module à mi-charge, la courbe étant concave.
Limite : ce module ne doit jamais servir à un calcul de tassement en service : il correspond à un état de sol au bord de la ruine.

\[ \begin{aligned} E_{\text{rup}} = \frac{q_{\text{rup}}}{\varepsilon_{a,\text{rup}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure la rigidité moyenne sur la totalité du parcours, jusqu'à l'effondrement. Comparée à la précédente, elle montre à quel point le sol se ramollit quand on le pousse dans ses retranchements.

Décomposition des termes :

\( E_{\text{rup}} \) : module sécant mobilisé au pic de déviateur, unité : kPa puis MPa
\( q_{\text{rup}} \) : déviateur de contrainte à la rupture, unité : kPa
\( \varepsilon_{a,\text{rup}} \) : déformation axiale au pic, soit 4,5 % converti en 0,045, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de diviser par 0,8 au lieu de 0,008, et annoncent fièrement un module de 159 kPa au lieu de 15 937 kPa..."

L'approche d'ingénieur : L'erreur est banale mais ses conséquences sont spectaculaires : un facteur cent sur un module de déformation, c'est un tassement calculé cent fois trop grand, et un terrain déclaré inconstructible à tort. Voici comment l'éliminer définitivement.

L'erreur : traiter le symbole pourcent comme une simple décoration alors qu'il signifie littéralement « divisé par cent ». Une déformation de 0,8 % vaut 0,008, pas 0,8.
La bonne méthode : convertir avant de substituer, sur une ligne dédiée de la note de calcul. Une conversion écrite est une conversion qu'on ne refait pas de tête au mauvais moment.
L'astuce de pro : contrôler l'ordre de grandeur du résultat. Un module de sable de 159 kPa voudrait dire un matériau plus mou qu'un flan : c'est physiquement absurde et le signal d'alarme est immédiat.
Le moyen mnémotechnique : « un pour cent, c'est un centième ». Le mot le dit, encore faut-il l'écrire.
L'impact direct : sur un bâtiment R+4, un module cent fois trop faible transformerait un tassement calculé de deux centimètres en deux mètres, conduisant à prescrire des fondations profondes parfaitement inutiles.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( q_{\text{rup}} \) : déjà en kPa , aucune conversion
\( \varepsilon_{\text{a,50}} \) : conversion de 0,8 % vers 0,008 sans dimension
\( \varepsilon_{a,\text{rup}} \) : conversion de 4,5 % vers 0,045 sans dimension
\( E_{\text{50}} \) : obtenu en kPa, converti vers MPa par division par mille
Rapport des modules : quotient de deux modules, donc sans dimension

Le calcul se déroule en quatre temps : on détermine d'abord le niveau de déviateur correspondant à la mi-charge, on en déduit le module conventionnel, on calcule ensuite le module mobilisé à la rupture pour exploiter la déformation de pic, et l'on termine par le rapport des deux, qui chiffre la non-linéarité du sable.

1. Résolution Numérique Déviateur correspondant à la mi-charge

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la définition du module conventionnel se réfère à un niveau de charge précis, qu'il faut chiffrer avant de pouvoir l'associer à sa déformation.

Méthodologie du calcul :

On prend simplement la moitié du déviateur de rupture. Ce nombre est l'ordonnée du point de mesure sur la courbe effort-déformation.

Substitution : on injecte \( q_{\text{rup}} = \text{255} \text{ kPa} \), valeur lue directement sur le procès-verbal.
Piège évité : ne pas prendre la moitié de \( \sigma'_{\text{1}} \) : ce serait 177,5 kPa, valeur sans aucun sens dans cette définition qui porte sur le déviateur.
Hypothèse validée : la courbe est croissante et monotone jusqu'au pic, ce qui garantit qu'un seul point correspond à cette mi-charge.
Vérification croisée : 127,5 est bien la moitié de 255, et coïncide avec le rayon du cercle de Mohr calculé en question 2. La coïncidence est logique puisque le rayon vaut aussi la moitié du déviateur.
Finalité : fournir le numérateur du module conventionnel.

\[ \begin{aligned} \text{0,5} \, q_{\text{rup}} &= \text{0,5} \times \text{255} \text{ kPa} \\ &= \mathbf{\text{127,5}} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Ce niveau de 127,5 kPa de déviateur correspond au point de la courbe où le sable a mobilisé la moitié de sa capacité. C'est aussi, numériquement, le rayon du cercle de Mohr à la rupture.

Ordre de grandeur : la moitié exacte de 255, contrôle immédiat et sans ambiguïté.
Impact sur la suite : c'est le numérateur du module conventionnel calculé juste après.
Cohérence : une fondation dimensionnée avec une sécurité de deux travaille précisément à ce taux de mobilisation. La convention est donc bien choisie.
Attention : ce chiffre est un déviateur, pas une contrainte axiale. La contrainte axiale correspondante vaudrait 227,5 kPa.
Comparaison : certains référentiels définissent aussi un module à un tiers de la charge de rupture, qui serait ici de 85 kPa et donnerait un module plus élevé.

Remarque pédagogique : Le fait que ce nombre coïncide avec le rayon du cercle de Mohr n'est pas un hasard : rayon et mi-déviateur sont la même quantité. Repérer ces coïncidences aide à mémoriser les définitions.

Module de déformation sécant à mi-charge

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le livrable de la question et le paramètre qui alimentera directement le calcul de tassement de la semelle à l'état-limite de service.

Méthodologie du calcul :

On divise le déviateur de mi-charge par la déformation correspondante, préalablement convertie en valeur décimale, puis on exprime le résultat en mégapascals pour la lisibilité.

Substitution : on injecte 127,5 kPa et \( \varepsilon_{\text{a,50}} = \text{0,008} \), soit les 0,8 % du procès-verbal divisés par cent.
Piège évité : diviser par 0,8 au lieu de 0,008. Le résultat serait cent fois trop faible et manifestement absurde.
Hypothèse validée : la déformation est mesurée depuis l'état consolidé, l'origine de la courbe étant prise après la phase de consolidation isotrope.
Vérification croisée : diviser 127,5 par 0,008 revient à multiplier par 125. Le calcul mental confirme un ordre de grandeur voisin de 16 000 kPa.
Finalité : produire le module utilisable pour la vérification des déplacements de la fondation.

\[ \begin{aligned} E_{\text{50}} &= \frac{\text{0,5} \, q_{\text{rup}}}{\varepsilon_{\text{a,50}}} \\ &= \frac{\text{127,5} \text{ kPa}}{\text{0,008}} \\ &= \text{15}\,\text{937,5} \text{ kPa} \\ &= \mathbf{\text{15,94}} \text{ MPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un module de 15,9 MPa sous 100 kPa de confinement traduit un sable modérément rigide. La valeur est cohérente avec l'angle de frottement de 34° trouvé précédemment : le matériau n'est ni lâche ni très dense.

Ordre de grandeur : quelques dizaines de mégapascals, soit environ deux mille fois moins que le module de l'acier. L'écart illustre la souplesse intrinsèque des sols.
Impact sur la suite : ce module conditionne directement le tassement immédiat de la semelle, calculé par les formules d'élasticité.
Cohérence : la NF EN 1997-2, annexe D.1, propose une corrélation informative donnant le module drainé \( E' \) à partir de la résistance de pointe au pénétromètre statique pour les sables. Elle permet un recoupement in situ de cet ordre de grandeur.
Attention : le module \( E_{\text{50}} \) issu d'un essai triaxial et le module \( E' \) de l'annexe D.1 ne sont pas la même grandeur : le second est un module sécant à long terme calé sur dix ans de tassement. Ils se recoupent en ordre de grandeur, pas à la décimale.
Comparaison : sous 400 kPa de confinement, le même sable présenterait un module nettement supérieur, la rigidité des sols granulaires croissant avec le serrage.

Remarque pédagogique : Notez systématiquement le module avec son niveau de référence : écrire « E = 16 MPa » sans préciser qu'il s'agit d'un module sécant à mi-charge sous 100 kPa de confinement revient à livrer un chiffre inexploitable.

Module sécant mobilisé à la rupture

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il exploite la déformation de rupture, donnée du procès-verbal restée jusqu'ici inutilisée, et qu'il met en évidence la non-linéarité du comportement.

Méthodologie du calcul :

On applique la même définition sécante, mais au point de rupture. La conversion du pourcentage suit exactement la même règle que précédemment.

Substitution : on injecte \( q_{\text{rup}} = \text{255} \text{ kPa} \) et \( \varepsilon_{a,\text{rup}} = \text{0,045} \).
Piège évité : ne pas réutiliser par distraction la déformation de mi-charge : les deux valeurs diffèrent d'un facteur cinq et demi.
Hypothèse validée : la courbe est concave, donc le module sécant décroît quand la charge augmente. Le résultat doit être inférieur au précédent.
Vérification croisée : 255 divisé par 0,045 revient à multiplier par 22,2, ce qui donne mentalement un ordre de grandeur voisin de 5 700 kPa.
Finalité : disposer du second terme du rapport qui quantifie la dégradation de rigidité.

\[ \begin{aligned} E_{\text{rup}} &= \frac{q_{\text{rup}}}{\varepsilon_{a,\text{rup}}} \\ &= \frac{\text{255} \text{ kPa}}{\text{0,045}} \\ &= 5\,\text{666,7} \text{ kPa} \\ &= \mathbf{\text{5,67}} \text{ MPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

À la rupture, la rigidité moyenne mobilisée n'est plus que de 5,7 MPa. Le sable est devenu près de trois fois plus souple qu'à mi-charge : c'est la signature d'un comportement franchement non linéaire.

Ordre de grandeur : quelques mégapascals seulement, valeur typique d'un sol proche de la ruine et totalement inadaptée à un calcul de service.
Impact sur la suite : il ne sert pas au dimensionnement, mais il justifie de ne jamais laisser une fondation travailler près de sa charge de rupture.
Cohérence : il est bien inférieur au module à mi-charge, comme l'exige la concavité de la courbe. Le contrôle qualitatif est satisfait.
Attention : ce module n'a aucune valeur de dimensionnement. Le confondre avec le module de service conduirait à surestimer massivement les tassements.
Comparaison : le module de déchargement-rechargement se situerait, lui, bien au-dessus du module à mi-charge, les réarrangements de grains n'étant plus mobilisés.

Remarque pédagogique : Ce calcul montre concrètement pourquoi la question « quel est le module de ce sol ? » n'a pas de réponse unique. Il faut toujours préciser à quel niveau de sollicitation on se place.

Rapport de dégradation de la rigidité

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il fournit un indicateur adimensionnel de la non-linéarité du sable, directement comparable d'un sol à l'autre.

Méthodologie du calcul :

On divise le module de mi-charge par le module de rupture. Le résultat, sans dimension, mesure combien de fois le sol s'est ramolli entre ces deux états.

Substitution : on injecte les deux modules exprimés dans la même unité, ici en kilopascals pour éviter toute erreur.
Piège évité : diviser un module en MPa par un module en kPa donnerait un rapport mille fois faux.
Hypothèse validée : les deux modules proviennent du même essai et de la même origine de courbe : ils sont donc directement comparables.
Vérification croisée : le rapport doit aussi valoir \( \varepsilon_{a,\text{rup}} / (2\,\varepsilon_{\text{a,50}}) = \text{0,045} / \text{0,016} \), soit la même valeur.
Finalité : conclure quantitativement sur le caractère non linéaire du comportement du sable.

\[ \begin{aligned} \frac{E_{\text{50}}}{E_{\text{rup}}} &= \frac{\text{15}\,\text{937,5} \text{ kPa}}{5\,\text{666,7} \text{ kPa}} \\ &= \mathbf{\text{2,81}} \text{ (sans unite)} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le sable est 2,81 fois plus raide à mi-charge qu'à la rupture. Autrement dit, la seconde moitié du chargement coûte près de trois fois plus de déformation que la première.

Ordre de grandeur : un rapport compris entre 2 et 4 est classique pour un sable moyennement dense. La valeur est donc plausible.
Impact sur la suite : il justifie de limiter le taux de mobilisation en service, faute de quoi les tassements deviennent rapidement incontrôlables.
Cohérence : un rapport supérieur à 1 est obligatoire pour une courbe concave. Une valeur inférieure signalerait une erreur de lecture.
Attention : ce rapport dépend fortement de la densité relative du sable : un sable très dense présente un pic marqué et un rapport plus élevé.
Comparaison : pour une argile molle normalement consolidée, ce rapport peut dépasser cinq, la courbe étant encore plus arrondie.

Remarque pédagogique : Cet indicateur, très simple à calculer, permet de détecter un procès-verbal incohérent : un rapport inférieur à 1 ou supérieur à 10 doit immédiatement faire suspecter une erreur de saisie.

COURBE EFFORT-DÉFORMATION ET MODULES SÉCANTS — RÉSULTATS Q3

RÉSULTAT FINAL

E₅₀ = 15,9 MPa

"Module de Young sécant à mi-charge, mesuré sous 100 kPa de pression de confinement. Le module mobilisé à la rupture n'est plus que de 5,67 MPa, soit une rigidité 2,81 fois plus faible : le comportement du sable est nettement non linéaire."

Question 4 : De la valeur mesurée à la valeur de calcul

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai un angle de 34,1° mesuré sur une seule éprouvette, prélevée à un seul endroit, cisaillée sous une seule pression de confinement. Je m'apprête à dimensionner les fondations d'un immeuble avec ce chiffre. Est-ce que je peux honnêtement affirmer que tout le terrain présente cet angle ? Évidemment non. Entre l'éprouvette et le massif réel s'interposent la variabilité naturelle du sol, l'effet du prélèvement, la reconstitution de l'échantillon et l'incertitude de l'appareillage. L'Eurocode 7 organise cette prudence en deux temps : d'abord je choisis une valeur caractéristique, estimation prudente de ce qui gouverne réellement l'état-limite ; ensuite je la divise par un facteur partiel. Sauter l'une de ces deux étapes, c'est sortir du domaine réglementaire."

Observation : La NF EN 1997-2 consacre son annexe P au nombre minimal d'essais triaxiaux recommandé pour caractériser une couche. Le seul fait que cette annexe existe indique qu'un essai isolé n'est pas suffisant pour fonder une valeur caractéristique.
Analyse du risque : Introduire directement 34,1° dans une vérification de portance revient à supposer que le sol le plus faible du site vaut exactement l'éprouvette testée. C'est l'hypothèse la plus optimiste possible, et donc la plus dangereuse.
Choix stratégique : Je retiens une valeur caractéristique légèrement inférieure à la valeur mesurée, arrondie au demi-degré par le bas, et je documente ce choix ainsi que la nécessité de campagnes complémentaires.
Alternative : Avec cinq à dix essais, j'aurais pu conduire une analyse statistique et retenir un fractile. Je l'écarte faute de données, mais je le signale explicitement comme réserve de la note de calcul.
Objectif visé : Produire un angle directement injectable dans une vérification d'état-limite ultime, et mesurer ce que cette prudence réglementaire coûte réellement en termes de sollicitations.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

φ'k = 34,0° · φ'd ≈ 28,4° · Ka passe de 0,283 à 0,356

Rappel Théorique : les trois natures de valeur en Eurocode 7

Le vocabulaire de l'Eurocode 7 distingue soigneusement des grandeurs que le langage courant confond. Un même angle de frottement peut apparaître sous trois formes numériquement différentes dans un même dossier, et employer l'une à la place de l'autre est l'une des non-conformités les plus fréquemment relevées en contrôle technique. Les cinq points ci-dessous clarifient définitivement cette hiérarchie.

Valeur mesurée : c'est le résultat brut de l'essai, tel qu'il figure au procès-verbal du laboratoire. Elle est attachée à une éprouvette, une profondeur, une pression de confinement. Elle n'a par elle-même aucune valeur réglementaire.
Valeur dérivée : c'est la valeur du paramètre déduite du résultat d'essai par une théorie, une corrélation ou une loi empirique. L'angle de 34,1° obtenu par la relation de tangence du cercle de Mohr en est un exemple : il n'a pas été lu, il a été calculé.
Valeur caractéristique \( X_{\text{k}} \) : c'est une estimation prudente de la valeur qui gouverne l'état-limite considéré, au sens de la NF EN 1997-1 § 2.4.5.2. Elle tient compte de la variabilité du terrain, du volume de sol réellement mobilisé et du nombre d'essais disponibles. C'est un choix d'ingénieur, motivé et écrit, jamais une simple recopie.
Valeur de calcul \( X_{\text{d}} \) : c'est la valeur caractéristique divisée par un facteur partiel. C'est elle, et elle seule, qui entre dans les vérifications d'état-limite ultime. Les facteurs partiels sont donnés à l'annexe A de la NF EN 1997-1, organisés en jeux M1 et M2.
Point de vigilance sur l'application du facteur : pour l'angle de frottement, le facteur partiel s'applique à la tangente de l'angle, et non à l'angle lui-même. Diviser 34° par 1,25 donnerait 27,2° au lieu de 28,4° : l'écart n'est pas énorme, mais la méthode serait fausse, et un contrôleur la relèverait.

Équations Fondamentales

Trois relations organisent cette dernière question : la forme générale du passage caractéristique vers calcul, sa déclinaison particulière pour l'angle de frottement, et enfin le coefficient de poussée de Rankine qui servira à mesurer concrètement l'effet de la minoration.

Forme générale de la valeur de calcul d'un paramètre de terrain :

Elle exprime le principe même de la méthode des facteurs partiels appliquée aux propriétés du sol.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle place la sécurité là où se trouve l'incertitude. Plutôt que d'appliquer un coefficient global unique en fin de calcul, l'Eurocode affecte un facteur à chaque source d'incertitude : les actions, les propriétés du terrain, les résistances. Le résultat est un dimensionnement plus homogène et mieux justifié.

Contexte de validité : vérifications d'état-limite ultime. À l'état-limite de service, les facteurs partiels valent généralement l'unité et l'on travaille sur les valeurs caractéristiques.
Avantage : elle rend la sécurité traçable et modulable : on sait exactement quelle marge a été prise, et sur quelle grandeur.
Paramètre clé : le jeu de facteurs retenu, M1 ou M2, qui dépend de l'approche de calcul adoptée et donc de l'annexe nationale applicable.
Vérification : la valeur de calcul doit toujours être défavorable par rapport à la caractéristique : plus faible pour une résistance, plus forte pour une action.
Limite : les valeurs numériques des facteurs sont susceptibles d'être modifiées par l'annexe nationale de chaque pays. Celles employées ici sont les valeurs recommandées, commentées par les documents de la Commission européenne.

\[ \begin{aligned} X_{\text{d}} = \frac{X_{\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « je ne compte pas sur toute la résistance que j'ai mesurée ». On volontairement affaiblit le sol sur le papier, de façon que l'ouvrage reste sûr même si le terrain réel se révèle moins bon que l'échantillon testé.

Décomposition des termes :

\( X_{\text{d}} \) : valeur de calcul du paramètre, celle qui entre dans la vérification, unité : celle du paramètre
\( X_{\text{k}} \) : valeur caractéristique, estimation prudente choisie par l'ingénieur, unité : celle du paramètre
\( \gamma_{\text{M}} \) : facteur partiel affecté à ce paramètre, issu du tableau A.4, unité : sans dimension

Valeur de calcul de l'angle de frottement effectif :

Elle précise que la minoration porte sur la tangente de l'angle, c'est-à-dire sur le coefficient de frottement lui-même.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la grandeur qui a un sens mécanique n'est pas l'angle mais sa tangente : c'est elle qui apparaît dans le critère de Mohr-Coulomb comme coefficient de frottement. Minorer un coefficient de frottement de vingt-cinq pour cent a un sens physique clair ; minorer un angle de vingt-cinq pour cent n'en a aucun.

Contexte de validité : s'applique à l'angle de frottement effectif, dans les vérifications menées en contraintes effectives, à long terme.
Avantage : elle conserve la cohérence physique du critère de rupture : la droite de Mohr-Coulomb minorée reste une droite passant par l'origine.
Paramètre clé : le facteur \( \gamma_{\varphi'} = \text{1,25} \) du jeu M2, qui correspond aux approches de calcul faisant porter la sécurité sur les propriétés du terrain.
Vérification : l'angle de calcul est toujours inférieur à l'angle caractéristique, mais la réduction en degrés est moindre que vingt-cinq pour cent.
Limite : appliquer le facteur directement à l'angle est une erreur fréquente qui donnerait ici 27,2° au lieu de 28,4°, avec un dimensionnement inutilement pénalisant et une méthode non conforme.

\[ \begin{aligned} \varphi'_{\text{d}} = \arctan\!\left( \frac{\tan \varphi'_{\text{k}}}{\gamma_{\varphi'}} \right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit qu'on rend les grains plus glissants qu'ils ne le sont, d'un quart exactement. On refait ensuite le chemin inverse pour retrouver l'angle correspondant à ce frottement affaibli.

Décomposition des termes :

\( \varphi'_{\text{d}} \) : angle de frottement de calcul, utilisé en état-limite ultime, unité : degré
\( \varphi'_{\text{k}} \) : angle de frottement caractéristique, estimation prudente retenue, unité : degré
\( \tan \varphi'_{\text{k}} \) : coefficient de frottement caractéristique, grandeur réellement minorée, unité : sans dimension
\( \gamma_{\varphi'} \) : facteur partiel valant 1,25 pour le jeu M2, unité : sans dimension

Coefficient de poussée active de Rankine :

Il permet de traduire l'écart entre angle caractéristique et angle de calcul en un effet mécanique directement mesurable sur un ouvrage.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un écart de six degrés sur un angle reste une abstraction tant qu'on ne l'a pas converti en effort. Le coefficient de poussée transforme cet écart en augmentation de la charge appliquée à un mur de soutènement : c'est là que la sécurité réglementaire devient tangible.

Contexte de validité : mur vertical, terre-plein horizontal, frottement sol-écran négligé. C'est le cas d'école de Rankine, suffisant ici pour un ordre de grandeur.
Avantage : une formule d'une seule ligne qui rend immédiatement lisible l'effet économique d'un choix de paramètre.
Paramètre clé : l'angle de frottement, qui intervient au carré d'une tangente : la sensibilité du résultat est donc forte.
Vérification : le coefficient de poussée doit toujours être inférieur à 1 et diminuer quand l'angle augmente. Le contrôle qualitatif est immédiat.
Limite : cette formule ne vaut que pour la poussée active sur un écran simple. Un calcul réglementaire de mur de soutènement suit la NF P94-281 et intègre bien d'autres effets.

\[ \begin{aligned} K_{\text{a}} = \tan^2\!\left( \text{45}^\circ - \frac{\varphi'}{2} \right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle donne la fraction du poids des terres qui se transforme en poussée horizontale sur un écran. Plus le sol frotte, plus il se tient tout seul et moins il pousse ; plus il glisse, plus il se comporte comme un liquide et plus il pousse.

Décomposition des termes :

\( K_{\text{a}} \) : coefficient de poussée active des terres, unité : sans dimension
\( \varphi' \) : angle de frottement interne effectif employé, caractéristique ou de calcul, unité : degré
45° : constante géométrique traduisant l'inclinaison du plan de rupture actif, unité : degré

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de diviser l'angle par 1,25 et écrivent φ'd = 34 / 1,25 = 27,2°, au lieu de minorer la tangente..."

L'approche d'ingénieur : Cette confusion vient de l'habitude prise avec les résistances de matériaux, où le facteur partiel s'applique bien directement à la grandeur. Ici, la grandeur physique n'est pas l'angle mais son frottement. Voici comment lever le doute.

L'erreur : appliquer le facteur partiel à un angle, alors que le texte de la norme vise explicitement la tangente de l'angle de frottement, notée \( \tan \varphi' \) dans le tableau A.4.
La bonne méthode : calculer d'abord la tangente, la diviser, puis revenir à l'angle par l'arc tangente. Trois opérations, trois lignes de note de calcul.
L'astuce de pro : se souvenir que dans le critère de rupture, c'est bien \( \tan \varphi' \) qui multiplie la contrainte normale. On minore ce qu'on multiplie, pas ce qu'on mesure au rapporteur.
Le moyen mnémotechnique : « le gamma mord la tangente ». Le facteur partiel s'attaque au coefficient de frottement, pas à l'angle.
L'impact direct : la méthode fausse donne 27,2° au lieu de 28,4°, soit un coefficient de poussée surestimé de plus de quatre pour cent. Un mur légèrement surdimensionné, mais surtout une méthode non conforme qui sera relevée en contrôle.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( \varphi' \) mesuré : en degrés , issu de la question 2
\( \tan \varphi' \) : rapport de deux longueurs, donc sans dimension
\( \gamma_{\varphi'} \) : facteur partiel, également sans dimension
\( \varphi'_{\text{d}} \) : retour en degrés par arc tangente, calculatrice en mode degré
\( K_{\text{a}} \) : carré d'une tangente, donc sans dimension

Le calcul progresse en quatre temps : on arrête d'abord la valeur caractéristique en motivant le choix, on applique ensuite le facteur partiel à la tangente, puis on calcule les deux coefficients de poussée correspondants pour enfin chiffrer l'écart introduit par la sécurité réglementaire.

1. Résolution Numérique Choix de la valeur caractéristique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la NF EN 1997-1 § 2.4.5.2 impose une estimation prudente et non la recopie du résultat d'essai. Ce choix doit être écrit et motivé dans la note de calcul.

Méthodologie du calcul :

Un essai unique interdit toute approche statistique. On retient donc la valeur mesurée arrondie par le bas au dixième de degré inférieur, choix modeste mais explicitement défavorable, en assortissant la note d'une réserve sur le nombre d'essais.

Substitution : on part de la valeur dérivée \( \varphi' = \text{34,09}^\circ \) obtenue à la question 2 par la relation de tangence.
Piège évité : arrondir vers le haut à 34,1°. Une valeur caractéristique doit toujours aller dans le sens défavorable pour la sécurité.
Hypothèse validée : la couche est supposée homogène sur la zone d'influence des semelles. Cette hypothèse devra être confirmée par des sondages complémentaires.
Vérification croisée : la NF EN 1997-2, annexe D.1, permettrait de recouper cet angle par une corrélation au pénétromètre statique, méthode entièrement indépendante de l'essai de laboratoire.
Finalité : disposer d'une valeur opposable, motivée et documentée, sur laquelle appliquer le facteur partiel.

\[ \begin{aligned} \varphi'_{\text{k}} &= \text{estimation prudente de } \varphi'_{\text{mesure}} \\ &\leq \text{34,09}^\circ \\ &= \mathbf{\text{34,0}}^\circ \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La minoration retenue est volontairement faible, un dixième de degré seulement. Elle traduit un contexte pédagogique ; sur un projet réel, un essai unique justifierait une prudence nettement plus marquée.

Ordre de grandeur : 34,0° reste dans la fourchette 28° à 45° attendue pour un sable propre. La valeur est plausible.
Impact sur la suite : c'est cette valeur, et non la valeur mesurée, qui subira la division par le facteur partiel.
Cohérence : la valeur caractéristique est bien inférieure ou égale à la valeur mesurée, comme l'exige le principe d'estimation prudente.
Attention : la NF EN 1997-2, annexe P, fixe un nombre minimal d'essais triaxiaux recommandé par couche. Avec un seul essai, la note de calcul doit porter une réserve explicite et prévoir une campagne complémentaire.
Comparaison : avec une série d'essais et une dispersion mesurée, on retiendrait un fractile de la distribution, souvent nettement plus bas que la moyenne des mesures.

Remarque pédagogique : Le choix de la valeur caractéristique est l'acte d'ingénierie le plus important de toute la chaîne. Il n'est ni automatique ni normalisé : il engage la responsabilité du géotechnicien et doit donc être argumenté par écrit.

Application du facteur partiel à la tangente de l'angle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'opération réglementaire proprement dite, celle qui produit le paramètre injectable dans une vérification d'état-limite ultime.

Méthodologie du calcul :

On calcule la tangente de l'angle caractéristique, on la divise par 1,25, puis on revient à l'angle par la fonction arc tangente. Les trois opérations sont enchaînées dans un même bloc d'égalités successives.

Substitution : on injecte \( \varphi'_{\text{k}} = \text{34,0}^\circ \) et \( \gamma_{\varphi'} = \text{1,25} \), facteur du jeu M2 du tableau A.4.
Piège évité : diviser l'angle plutôt que sa tangente, ce qui donnerait 27,2° et constituerait une non-conformité méthodologique.
Hypothèse validée : on se place dans une approche de calcul faisant porter la sécurité sur les propriétés du terrain, ce qui justifie le jeu M2 plutôt que M1.
Vérification croisée : la réduction en degrés doit être inférieure à vingt-cinq pour cent : on perd 5,6° sur 34°, soit environ 16,5 %. La cohérence est confirmée.
Finalité : produire l'angle de calcul qui alimentera les vérifications de portance, de glissement et de poussée.

\[ \begin{aligned} \varphi'_{\text{d}} &= \arctan\!\left( \frac{\tan \varphi'_{\text{k}}}{\gamma_{\varphi'}} \right) \\ &= \arctan\!\left( \frac{\tan(\text{34,0}^\circ)}{\text{1,25}} \right) \\ &= \arctan\!\left( \frac{\text{0,6745}}{\text{1,25}} \right) \\ &= \arctan(\text{0,5396}) \\ &= \text{28,35}^\circ \approx \mathbf{\text{28,4}}^\circ \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'angle de calcul vaut 28,4°. On a donc perdu 5,6 degrés par rapport à la valeur caractéristique, alors que le coefficient de frottement, lui, a bien été réduit d'exactement un quart.

Ordre de grandeur : 28,4° reste un angle réaliste, situé en bas de la fourchette des sables. Le sol n'a pas été rendu absurde par la minoration.
Impact sur la suite : c'est cette valeur qui entrera dans les facteurs de portance et dans les coefficients de poussée du dimensionnement.
Cohérence : la réduction en degrés est bien plus faible que la réduction en tangente, ce qui est la conséquence directe de la non-linéarité de la fonction tangente.
Attention : ce facteur de 1,25 est la valeur recommandée du tableau A.4. L'annexe nationale applicable au projet peut retenir une autre valeur : il faut toujours la vérifier.
Comparaison : avec le jeu M1, où le facteur vaut 1,0, l'angle de calcul resterait égal à 34,0° ; la sécurité serait alors reportée sur les actions ou sur les résistances.

Remarque pédagogique : Retenez le repère numérique : pour les sables courants, minorer la tangente par 1,25 fait perdre environ cinq à six degrés. Ce repère permet de détecter instantanément une erreur de méthode.

Coefficient de poussée active sur la valeur caractéristique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il traduit l'écart d'angle en un effet mécanique concret : de combien augmente la poussée sur un mur lorsqu'on passe de la valeur caractéristique à la valeur de calcul.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de Rankine successivement aux deux angles, puis on compare les deux coefficients obtenus. L'écart relatif chiffre le coût réel de la sécurité réglementaire.

Substitution : on injecte successivement \( \varphi'_{\text{k}} = \text{34,0}^\circ \) puis \( \varphi'_{\text{d}} = \text{28,35}^\circ \) dans la formule du coefficient de poussée.
Piège évité : ne pas oublier de diviser l'angle par deux avant de le soustraire à 45 degrés. L'oubli conduirait à des coefficients aberrants.
Hypothèse validée : configuration de Rankine : mur vertical, terre-plein horizontal, frottement sol-écran négligé. C'est un cadre simplifié destiné à la comparaison.
Vérification croisée : les deux coefficients doivent rester compris entre 0,2 et 0,4 pour des sables courants. Les valeurs obtenues respectent cette plage.
Finalité : conclure sur l'ampleur réelle de la marge de sécurité introduite par le facteur partiel.

\[ \begin{aligned} K_{\text{a,k}} &= \tan^2\!\left( \text{45}^\circ - \frac{\varphi'_{\text{k}}}{2} \right) \\ &= \tan^2\!\left( \text{45}^\circ - \frac{\text{34,0}^\circ}{2} \right) \\ &= \tan^2(\text{28,00}^\circ) \\ &= \mathbf{\text{0,283}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le passage à la valeur de calcul augmente la poussée sur un écran de près de vingt-six pour cent. Voilà ce que représente concrètement, en efforts, le facteur partiel de 1,25 appliqué à la tangente.

Ordre de grandeur : environ un quart d'effort en plus sur le mur, ce qui se traduit directement en épaisseur de voile et en section d'armatures.
Impact sur la suite : la sécurité n'est pas gratuite : elle a un coût de construction, ce qui justifie de ne pas être inutilement pessimiste sur la valeur caractéristique.
Cohérence : le coefficient de poussée augmente quand l'angle diminue, ce qui est bien le comportement attendu : un sol qui frotte moins pousse davantage.
Attention : cette comparaison relève de Rankine. Un calcul réglementaire de mur de soutènement relève de la NF P94-281 et fait intervenir bien d'autres paramètres.
Comparaison : sur la portance d'une semelle, la sensibilité serait encore plus forte : les facteurs de portance varient de façon exponentielle avec l'angle de frottement.

Remarque pédagogique : Écrivez le coefficient de poussée avant de substituer l'angle. La forme littérale rappelle que l'angle intervient par sa moitié, ce qui explique qu'un écart de six degrés sur l'angle n'en produise que trois sur l'argument de la tangente.

Coefficient de poussée active sur la valeur de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que sa comparaison avec le précédent traduit l'écart d'angle en un effet mécanique concret : de combien augmente la poussée sur un mur lorsqu'on passe de la valeur caractéristique à la valeur de calcul.

Méthodologie du calcul :

Même relation, appliquée cette fois à l'angle minoré par le facteur partiel, en conservant sa valeur non arrondie.

Substitution : on injecte \( \varphi'_{\text{d}} = \text{28,35}^\circ \), valeur non arrondie issue du calcul précédent.
Piège évité : reprendre l'angle arrondi à 28,4°. L'écart sur le coefficient serait faible, mais le rapport final s'en trouverait faussé au dernier chiffre.
Hypothèse validée : la relation de Rankine reste applicable : mur vertical, terre-plein horizontal, pas de frottement sol-mur.
Vérification croisée : le coefficient doit augmenter par rapport au précédent : un sol moins résistant pousse davantage.
Finalité : chiffrer le surcoût mécanique réel du facteur partiel, seule grandeur que le projeteur ressent.

\[ \begin{aligned} K_{\text{a,d}} &= \tan^2\!\left( \text{45}^\circ - \frac{\varphi'_{\text{d}}}{2} \right) \\ &= \tan^2\!\left( \text{45}^\circ - \frac{\text{28,35}^\circ}{2} \right) \\ &= \tan^2(\text{30,82}^\circ) \\ &= \mathbf{\text{0,356}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le coefficient passe de 0,283 à 0,356, soit une poussée majorée de 25,9 %. Le facteur partiel de 1,25 sur la tangente coûte donc, en poussée, davantage que les 25 % qu'il semblait annoncer.

Ordre de grandeur : \( \text{0,356}/\text{0,283} - 1 = \mathbf{+\text{25,9}}\ \% \) : la poussée croît d'un quart pour une perte d'angle de cinq degrés et demi.
Impact sur la suite : sur un mur, cela se traduit par un effort d'un quart supérieur, donc par des sections et des ancrages majorés dans la même proportion.
Cohérence : le coefficient a bien augmenté, conformément à l'intuition : un sol supposé moins résistant exerce une poussée plus forte.
Attention : le facteur partiel ne s'applique jamais deux fois. Si l'on a minoré l'angle, on ne majore pas ensuite la poussée obtenue.
Comparaison : en butée, le même écart d'angle jouerait en sens inverse et bien plus fort : le coefficient de butée chuterait de 3,55 à 2,81, soit une perte de 21 %.

Remarque pédagogique : Ce dernier calcul illustre pourquoi investir dans la reconnaissance géotechnique est rentable : quelques essais supplémentaires permettent de retenir une valeur caractéristique mieux étayée, donc moins pénalisante, et d'économiser sur l'ouvrage bien davantage que le coût des essais.

EFFET DU FACTEUR PARTIEL SUR LA DROITE DE RUPTURE — RÉSULTATS Q4

RÉSULTAT FINAL

φ'd = 28,4 degrés

"Valeur de calcul de l'angle de frottement effectif, obtenue en divisant la tangente de l'angle caractéristique par le facteur partiel 1,25 du jeu M2. C'est la seule valeur admissible dans une vérification d'état-limite ultime. Le coefficient de poussée passe de 0,283 à 0,356, soit une majoration de 25,9 % des efforts sur un écran."

SCHÉMA BILAN — ENCHAÎNEMENT COMPLET DES CALCULS

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai systématiquement vérifié les unités , et notamment converti chaque déformation exprimée en pourcentage en valeur décimale avant tout calcul de module. Je ne confonds plus le déviateur mesuré par le piston avec la contrainte axiale totale qui règne dans l'éprouvette. Je sais placer le point de tangence du cercle de Mohr, et j'ai compris qu'il ne se confond pas avec le sommet du cercle où règne le cisaillement maximal. J'ai bien distingué les vérifications à l' ELU , qui emploient l'angle de calcul minoré, et à l' ELS , qui emploient le module de déformation sans facteur partiel. Je sais que le facteur partiel s'applique à la tangente de l'angle de frottement et non à l'angle lui-même, et je comprends pourquoi . J'ai compris qu'une valeur mesurée , une valeur caractéristique et une valeur de calcul sont trois grandeurs différentes, et je sais laquelle utiliser à quel moment.

La mission est remplie : le procès-verbal brut a été transformé en paramètres de calcul exploitables et traçables. Le sable de Fontainebleau présente un angle de frottement interne effectif mesuré de 34,1° et un module de déformation sécant à mi-charge de 15,9 MPa sous une pression de confinement de 100 kPa. Après estimation prudente et application du facteur partiel du jeu M2, la valeur de calcul retenue pour les vérifications d'état-limite ultime est φ'd = 28,4°. Le contrôle croisé par la force du piston, la vérification du point de tangence et le recoupement par le rapport des contraintes principales concordent tous : la note de calcul est cohérente.

La plus-value technique de ce travail tient à ce qu'il sépare résistance et rigidité : l'angle de frottement gouverne la portance à l'état-limite ultime, le module sécant gouverne les tassements en service. Deux propriétés, deux vérifications, deux jeux de valeurs à ne jamais confondre. Il chiffre en outre le prix de la prudence réglementaire : passer de 34,1° à 28,4° majore de 25,9 % la poussée à retenir sur un écran. Une réserve accompagne la remise : ces paramètres reposent sur un essai unique, et une campagne complémentaire s'impose avant de figer le dimensionnement.

Mécanique des SolsÉtape 14 sur 60

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