Méthode de triangulation en topographie
Détermination des coordonnées d'un point inaccessible par intersection de deux visées angulaires : orientation et longueur de la base, résolution du triangle par la loi des sinus, rayonnement depuis chaque station et examen critique de ce que le double calcul démontre réellement
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : Un clocher domine le bourg. Il figurera sur le plan, et il doit donc recevoir des coordonnées comme n'importe quel autre point du levé. Mais on ne pose pas un prisme sur une flèche d'église : le point est visible sans être accessible. Le topographe procède alors autrement. Il stationne successivement sur deux bornes dont les coordonnées sont connues, vise le clocher depuis chacune d'elles, et note l'angle que fait chaque visée avec la droite qui joint les deux bornes. Deux angles, et rien d'autre.
Cette opération porte un nom : l'intersection. Deux droites issues de deux points connus se coupent en un point et un seul ; ce point est le clocher. Le principe est d'une simplicité désarmante, et c'est sur lui qu'a été bâtie, au dix-huitième siècle, la première carte générale d'un royaume : des chaînes de triangles reliant les clochers de proche en proche, sans qu'aucune longueur ne soit mesurée hors de quelques bases de contrôle.
Le calcul se déroule en deux temps. D'abord faire parler la base : deux points connus par leurs coordonnées déterminent une longueur et une orientation, qu'aucun instrument n'a mesurées et que le calcul inverse restitue. Ensuite résoudre le triangle : un côté et les deux angles qui l'encadrent suffisent à le déterminer entièrement, ce qui livre les deux distances vers le point inaccessible. Il ne reste qu'à rayonner.
Une pratique s'est imposée dans la profession : refaire le rayonnement depuis la seconde borne et comparer. Retomber sur les mêmes coordonnées rassure. Mais rassure de quoi, exactement ? Cette question, qui semble accessoire, est en réalité celle qui décide de la valeur du travail livré — et l'étude montrera qu'elle appelle une réponse beaucoup moins confortable qu'il n'y paraît.
Quatre idées portent l'étude. Les trois premières construisent le résultat, la quatrième en mesure la portée :
-
Deux points connus contiennent déjà une mesure : leur écartement et leur orientation se déduisent de leurs seules coordonnées, par le calcul inverse. Aucun ruban n'a été déroulé entre les deux bornes.
-
L'arc tangente n'est pas toujours applicable : lorsque les deux bornes ont la même ordonnée, le quotient qui définit le gisement n'existe pas. Le cas se traite par lecture directe de la direction, et non en forçant la formule.
-
Un gisement se compose, il ne se devine pas : l'orientation d'une visée s'obtient en ajoutant ou retranchant l'angle mesuré au gisement de la base. Le choix entre les deux ne relève d'aucune règle automatique : il se lit sur le croquis.
-
Deux calculs ne font pas deux mesures : refaire le rayonnement depuis la seconde borne vérifie l'arithmétique. Il reste à établir, chiffres à l'appui, ce que cette vérification laisse entièrement hors de portée.
Déterminer les coordonnées du point inaccessible à partir des deux bornes connues et des deux angles mesurés : orientation et longueur de la base, résolution du triangle, puis rayonnement.
Conduire ensuite le rayonnement depuis la seconde borne, et établir précisément ce que la concordance des deux résultats démontre — et ce qu'elle ne démontre pas.
- Le grand défi : composer correctement les gisements des visées à partir de celui de la base — l'erreur de signe y est la plus fréquente et la plus silencieuse de toute la topographie.
- Votre rôle : celui du topographe qui livre un point et doit annoncer, avec ses coordonnées, la confiance qu'on peut leur accorder.
- La contrainte : chaque valeur trigonométrique doit être évaluée en grades, et chaque étape confrontée au croquis avant d'être retenue.
- L'orientation et la longueur de la base, obtenues par calcul inverse à partir des seules coordonnées des deux bornes.
- La résolution du triangle : angle au sommet inaccessible, puis les deux distances qui relient ce point à chacune des bornes.
- Les coordonnées du point inaccessible, calculées depuis la première borne puis recalculées depuis la seconde.
- L'analyse de la portée du double calcul : sensibilité aux angles mesurés, surabondance du canevas et position au regard des seuils réglementaires.
Le dispositif repose sur deux mesures : deux angles horizontaux, et rien d'autre. Les quatre coordonnées des bornes ne sont pas des mesures de cette opération : ce sont des points d'appui, données d'entrée héritées d'un travail antérieur. Cette distinction n'est pas formelle — elle décide de ce que l'étude pourra conclure. À ces éléments s'ajoutent les paramètres qui fixent le cadre du levé, chacun donné ci-dessous avec la condition sous laquelle il est utilisable.
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !
- Distance par calcul inverse \( D = \sqrt{\Delta X^{\,2} + \Delta Y^{\,2}} \)
- Gisement par calcul inverse \( G = \arctan \dfrac{\Delta X}{\Delta Y} + C \)
- Somme des angles d'un triangle \( \alpha + \beta + \gamma = 200 \)
- Loi des sinus \( \dfrac{D_{\text{AB}}}{\sin \gamma} = \dfrac{D_{\text{AP}}}{\sin \beta} = \dfrac{D_{\text{BP}}}{\sin \alpha} \)
- Gisement inverse \( G_{\text{BA}} = G_{\text{AB}} + 200 \)
- Rayonnement en abscisse \( X_P = X_S + D \sin G \)
- Rayonnement en ordonnée \( Y_P = Y_S + D \cos G \)
- Surabondance d'un canevas \( \tau = \dfrac{n_{\text{obs}}}{n_{\text{min}}} \)
POINTS D'APPUI ET MESURES DE L'OPÉRATION
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( X_A \) ; \( Y_A \) | Coordonnées de la première borne, point d'appui connu avant l'opération. Ce n'est pas une mesure du présent levé. | 1 000,00 ; 1 000,00 | m |
| \( X_B \) ; \( Y_B \) | Coordonnées de la seconde borne, également point d'appui. Son ordonnée est identique à celle de la première : la base est parallèle à l'axe des abscisses. | 1 500,00 ; 1 000,00 | m |
| \( \alpha \) | Angle horizontal mesuré à la première borne, entre la direction de la base et la direction du point inaccessible. | 66,6667 | gon |
| \( \beta \) | Angle horizontal mesuré à la seconde borne, entre la direction de la base et la direction du même point. | 66,6667 | gon |
- Nature du repère : les coordonnées sont exprimées dans un système de projection plan, l'axe des ordonnées orienté vers le Nord et les gisements comptés dans le sens des aiguilles d'une montre. Sans cette convention, l'association du sinus à l'abscisse et du cosinus à l'ordonnée serait inversée.
- Nature des angles : il s'agit d'angles horizontaux, mesurés dans le plan de projection. Les trois points sont supposés ramenés à ce plan, hypothèse de topographie plane justifiée par l'étendue du dispositif.
- Position du point visé : le point inaccessible se trouve d'un seul côté de la base. C'est cette disposition, purement géométrique, qui décide du sens de composition des gisements — et elle ne figure dans aucune colonne du carnet.
- Statut des coordonnées d'appui : elles sont traitées comme exactes dans le calcul. Cette hypothèse est de commodité : l'étude en chiffrera l'effet, car un point d'appui n'est jamais connu sans erreur.
CADRE DE RÉFÉRENCE ET PORTÉE DU RÉSULTAT
| Symbole | Description et condition de validité | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( n_{\text{obs}} \) | Nombre de mesures indépendantes observées sur le canevas : les deux angles horizontaux. Les coordonnées des bornes ne sont pas comptées, n'étant pas des observations de cette opération. Arrêté 16 sept. 2003 — art. 6 | 2 | — |
| \( n_{\text{min}} \) | Nombre minimal de mesures permettant de déterminer le canevas : le point inaccessible est déterminé par deux coordonnées planimétriques. Le rapport de ces deux nombres définit la surabondance, seule grandeur permettant d'individualiser les erreurs d'un canevas. Arrêté 16 sept. 2003 — art. 6 | 2 | — |
| \( C \) | Coefficient de sécurité du dispositif de contrôle. Une mesure n'est reconnue comme mesure de contrôle que si elle emploie un procédé plus précis que la classe recherchée, avec \( C \geq 2 \). Ce paramètre délimite ce que l'étude pourra conclure : le carnet ne comporte aucune détermination de contrôle. Arrêté 16 sept. 2003 — art. 2 | ≥ 2 | — |
| — | Système national de référence : pour la France métropolitaine, le système géodésique RGF93 avec la projection Lambert 93 ou les coniques conformes 9 zones. L'obligation de fournir les informations localisées dans ce système ne vise que les levés couvrant une superficie supérieure à \( 10\,000 \text{ m}^2 \) ou dont la plus grande longueur est supérieure à \( 500 \text{ m} \) — deux critères alternatifs, énoncés par des inégalités strictes, qui devront être vérifiés tous les deux. Décret 2006-272 — art. 1er A et art. 3 | à vérifier | — |
| \( R \) | Rayon terrestre conventionnel de la sphère approchée, employé pour la réduction d'une distance à la surface de référence. La fiche précise que hauteur ellipsoïdale et altitude peuvent généralement être confondues en France, sauf pour de très grandes distances. Fiche Certu T9 | 6 378 000 | m |
| \( h_{\text{moy}} \) | Altitude moyenne du chantier, paramètre dont dépend la réduction des longueurs à la surface de référence. Le carnet ne la fournit pas : elle est portée ici comme paramètre à renseigner au dossier plutôt que choisie en silence, et l'étude en chiffrera l'effet pour deux valeurs encadrantes. Fiche Certu T9 | non fournie | m |
| \( \sigma_{\text{appui}} \) | Précision des points d'appui, dont dépend la part d'erreur héritée du canevas antérieur. Le dossier ne la fournit pas ; elle est portée ici comme paramètre à renseigner, et l'étude chiffre l'effet d'un écart d'un centimètre sur l'une des bornes. Arrêté 16 sept. 2003 — art. 6 | non fournie | m |
- Unité angulaire : le grade, avec \( 400 \text{ gon} \) pour un tour complet, \( 200 \text{ gon} \) pour un angle plat et \( 100 \text{ gon} \) pour un angle droit. La conversion vers le radian s'écrit \( \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{gon}} \times \pi / 200 \).
- Gisement : angle compté depuis l'axe des ordonnées, dans le sens des aiguilles d'une montre, et ramené à l'intervalle de \( 0 \) à \( 400 \text{ gon} \).
- Décimales conservées : les angles du carnet ne diffèrent entre eux que de \( 0{,}0001 \text{ gon} \) ; leurs sinus sont donc conservés à sept décimales, faute de quoi les rapports deviendraient indiscernables.
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.
Décret n° 2006-272 du 3 mars 2006, art. 1er A — systèmes de référence| Zone | Système géodésique et projection |
|---|---|
| France métropolitaine | RGF93 · ellipsoïde IAG GRS 1980 · Lambert 93 ou coniques conformes 9 zones |
| Guadeloupe, Martinique | WGS84 · ellipsoïde IAG GRS 1980 · UTM Nord fuseau 20 |
| Guyane | RGFG95 · ellipsoïde IAG GRS 1980 · UTM Nord fuseau 22 |
| Réunion | RGR92 · ellipsoïde IAG GRS 1980 · UTM Sud fuseau 40 |
| Mayotte | RGM04 · ellipsoïde IAG GRS 1980 · UTM Sud fuseau 38 |
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
La première étape fait parler la base : deux points connus par leurs coordonnées recèlent une longueur et une orientation que le calcul inverse restitue. La deuxième résout le triangle et livre les deux distances vers le point inaccessible. La troisième rayonne depuis chacune des bornes. La quatrième examine ce que la concordance des deux rayonnements établit réellement.
Question 1 : Orientation et longueur de la base
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Commencez par comparer les deux ordonnées. Si elles sont égales, la direction est parallèle à l'axe des abscisses et la question du quadrant se règle avant même d'ouvrir la calculatrice.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
L'arc tangente d'un gisement porte sur le rapport de l'accroissement d'abscisse à celui d'ordonnée, et non l'inverse : le gisement se compte depuis l'axe des ordonnées.
Question 2 : Résolution du triangle d'intersection
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Dans un triangle, la somme des angles vaut 200 gon et non 180 : le grade divise l'angle plat en deux cents parts, non le tour en trois cent soixante degrés.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Les trois angles ne diffèrent ici qu'au dix-millième de grade. Conservez sept décimales sur les sinus : avec quatre, les trois rapports deviendraient rigoureusement identiques et l'exercice perdrait toute signification numérique.
Question 3 : Coordonnées du point inaccessible, par les deux bornes
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Le gisement se comptant depuis l'axe des ordonnées, c'est le sinus qui donne l'accroissement en abscisse et le cosinus celui en ordonnée — à l'inverse de la convention des mathématiques.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Placez-vous à la borne, tournez-vous vers l'autre borne, puis vers le point visé : si vous avez tourné dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, l'angle se retranche du gisement de la base ; dans le sens horaire, il s'y ajoute.
Question 4 (Finale) : Ce que le double calcul démontre, et ce qu'il ne démontre pas
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Le point cherché est l'intersection de deux droites. Demandez-vous si le calcul mené depuis la seconde borne peut, géométriquement, aboutir ailleurs que sur cette intersection.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Les deux seuils du texte réglementaire sont énoncés par des inégalités strictes et reliés par « ou ». Vérifiez-les tous les deux, et regardez de près la valeur exacte de la plus grande longueur du dispositif.
Méthode de triangulation en topographie
"Mes deux bornes ne me donnent que quatre nombres. Pourtant, ces quatre nombres contiennent déjà tout ce dont j'ai besoin pour commencer : la longueur qui sépare les bornes et la direction qui mène de l'une à l'autre. Personne ne les a mesurées — elles se déduisent. C'est le calcul inverse, l'opération qui remonte des coordonnées vers les grandeurs de terrain, à l'exact opposé du rayonnement. Et je vois tout de suite quelque chose : les deux ordonnées sont identiques. Ma base est parallèle à l'axe des abscisses, et la formule habituelle du gisement va me demander une division par zéro."
- Observation : l'accroissement d'ordonnée est rigoureusement nul et l'accroissement d'abscisse est positif. La direction est donc plein Est, sans ambiguïté possible, et cela se lit avant tout calcul.
- Analyse du risque : la formule de l'arc tangente est ici inapplicable, son quotient n'étant pas défini. Une calculatrice renverra une erreur, un tableur pourra renvoyer une valeur — et c'est le second cas qui est dangereux, car il produit un nombre sans avertissement.
- Choix stratégique : passer par les sinus et cosinus directeurs plutôt que par l'arc tangente. Le couple formé par l'accroissement d'abscisse et celui d'ordonnée, rapportés à la distance, détermine le gisement sans exception, cas limites compris, et sans aucune constante de quadrant à ajouter.
- Alternative : certaines bibliothèques de calcul offrent une arc tangente à deux arguments, qui traite d'elle-même les quatre quadrants et les cas limites. Le résultat est le même ; mais l'outil masque le raisonnement, et l'opérateur ne saura pas dire pourquoi il obtient 100 plutôt que 300.
- Objectif visé : disposer d'une base orientée et mesurée, c'est-à-dire du seul côté connu du triangle et de la référence à partir de laquelle tous les gisements de visée seront composés.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Deux points connus par leurs coordonnées déterminent entièrement le segment qui les joint. Retrouver la longueur et la direction de ce segment s'appelle le calcul inverse : il parcourt en sens contraire le chemin du rayonnement, qui part d'une direction et d'une distance pour arriver à des coordonnées.
Cinq relations conduisent cette étape : les deux accroissements, la distance, la forme classique du gisement et la forme par cosinus directeurs qui la remplace dans les cas limites.
Accroissement d'abscisse :Il mesure le déplacement vers l'Est en allant de la première borne à la seconde.
Parce qu'une coordonnée n'a de sens que rapportée à une origine lointaine et conventionnelle, alors qu'un accroissement décrit un déplacement réel sur le terrain. Retrancher les deux abscisses supprime l'origine et ne laisse subsister que ce qui sépare physiquement les deux bornes selon cet axe.
- \( \Delta X \) : accroissement d'abscisse de la base, grandeur algébrique, unité : m
- \( X_A \) : abscisse de la première borne, unité : m
- \( X_B \) : abscisse de la seconde borne, unité : m
Il mesure le déplacement vers le Nord entre les deux mêmes bornes.
Pour la même raison que la précédente, mais selon l'autre axe. Ces deux accroissements forment ensemble le vecteur qui joint les deux bornes, et c'est ce vecteur — non les coordonnées elles-mêmes — qui porte toute l'information géométrique utile à la suite du calcul.
- \( \Delta Y \) : accroissement d'ordonnée de la base, grandeur algébrique, unité : m
- \( Y_A \) : ordonnée de la première borne, unité : m
- \( Y_B \) : ordonnée de la seconde borne, unité : m
Elle donne la longueur du segment joignant les deux bornes, à partir de leurs seules coordonnées.
Parce que les deux accroissements sont perpendiculaires : ils forment les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont le segment cherché est l'hypoténuse. Le théorème de Pythagore s'applique donc sans aucune condition supplémentaire, la perpendicularité des axes étant garantie par la définition même du repère.
- \( D_{\text{AB}} \) : longueur de la base, toujours positive, unité : m
- \( \Delta X \) : accroissement d'abscisse, unité : m
- \( \Delta Y \) : accroissement d'ordonnée, unité : m
Forme classique du calcul inverse angulaire, valable lorsque l'accroissement d'ordonnée n'est pas nul.
Parce que dans le triangle rectangle formé par les deux accroissements, le rapport du côté opposé au gisement au côté adjacent est par définition la tangente de cet angle. La fonction réciproque restitue donc l'angle — mais seulement à un demi-tour près, d'où la constante qui l'accompagne.
- \( G_{\text{AB}} \) : gisement de la base, compté depuis l'axe des ordonnées dans le sens horaire, unité : gon
- \( C \) : constante de quadrant, valant 0, 200 ou 400 selon les signes des accroissements, unité : gon
Forme sans exception, qui détermine le gisement par le couple de ses valeurs trigonométriques.
Parce que rapporter chaque accroissement à la distance revient à ramener le vecteur à une longueur unité : le premier rapport devient exactement le sinus du gisement, le second son cosinus. Or un angle n'est jamais déterminé par son seul sinus ni par son seul cosinus, mais il l'est toujours par le couple des deux — y compris lorsque l'un d'eux s'annule, ce qui est précisément le cas ici.
- \( \sin G_{\text{AB}} \) : part du trajet dirigée vers l'Est, grandeur sans unité
- \( \cos G_{\text{AB}} \) : part du trajet dirigée vers le Nord, grandeur sans unité
- \( D_{\text{AB}} \) : longueur de la base, unité : m
"La division par l'accroissement d'ordonnée est impossible, alors j'inverse le quotient : l'arc tangente du rapport de l'accroissement d'ordonnée à celui d'abscisse vaut zéro, donc le gisement de la base est nul."
- L'erreur : confondre le gisement, compté depuis l'axe des ordonnées, avec l'angle polaire des mathématiques, compté depuis l'axe des abscisses. Les deux sont complémentaires : ce que l'inversion produit est \( 100 \text{ gon} \) de moins que le gisement cherché.
- La bonne méthode : abandonner l'arc tangente et employer le couple sinus-cosinus, qui vaut ici \( 1{,}000000 \) et \( 0{,}000000 \). Un seul angle du tour complet possède ce couple : 100,0000 gon, direction de l'Est.
- L'impact chiffré : avec un gisement de base nul, tous les gisements de visée sont décalés de \( 100 \text{ gon} \) et la figure entière pivote d'un quart de tour autour de la première borne. Le point cherché se retrouverait en \( (566{,}987 \, ; \, 1\,250{,}000) \) au lieu de \( (1\,250{,}000 \, ; \, 1\,433{,}013) \), soit un déplacement de 707,107 m.
- Pourquoi l'erreur passe inaperçue : la figure obtenue est géométriquement irréprochable : mêmes longueurs, mêmes angles, mêmes contrôles internes satisfaits. Seule son orientation absolue est fausse, et rien dans le calcul ne peut le révéler.
- L'impact direct : le clocher serait porté au plan à sept cents mètres de sa position réelle, dans une direction perpendiculaire à la bonne. Aucun contrôle interne ne le signalerait ; seule une confrontation au terrain ou à un fond de plan existant le ferait apparaître.
Exécution de la Note de Calculs
- Machine à calculer : réglée sur le mode GRA pour l'ensemble de l'étude
- Coordonnées : exprimées en mètres , dans un même système de projection plan
- Accroissements : grandeurs algébriques , leur signe portant l'information de direction
- Cosinus directeurs : grandeurs sans unité , comprises entre −1 et +1
Le calcul inverse suit quatre temps : les deux accroissements, la longueur de la base, puis le couple de valeurs trigonométriques qui en fixe l'orientation sans recourir à l'arc tangente.
1. Résolution Numérique Accroissement d'abscisse de la basePourquoi fait-on ce calcul ? Pour convertir deux abscisses rapportées à une origine conventionnelle en un déplacement réel, seule grandeur exploitable géométriquement.
On retranche l'abscisse du point de départ à celle du point d'arrivée. L'ordre est imposé par le sens dans lequel la base sera parcourue, c'est-à-dire de la première borne vers la seconde.
- Substitution : \( X_B = 1\,500{,}00 \text{ m} \) et \( X_A = 1\,000{,}00 \text{ m} \).
- Piège évité : inverser l'ordre des deux points. Le signe changerait, et le gisement obtenu serait celui de la direction opposée.
- Hypothèse validée : les deux abscisses appartiennent au même système de projection plan.
- Vérification croisée : la seconde borne ayant l'abscisse la plus grande, le résultat doit être positif.
- Finalité : fournir la première composante du vecteur qui joint les deux bornes.
La seconde borne se trouve cinq cents mètres à l'Est de la première. Le signe positif est cohérent avec la lecture du croquis, et il annonce déjà que le gisement appartiendra à la moitié orientale du cercle.
- Ordre de grandeur : 500,00 m, valeur d'une base de canevas courante.
- Impact sur la suite : cet accroissement fournira à lui seul la longueur de la base, l'autre étant nul.
- Cohérence : le gisement sera compris entre \( 0 \) et \( 200 \text{ gon} \), intervalle où le sinus est positif.
- Attention : ce nombre décrit un déplacement dans le plan de projection : la distance réellement parcourue sur le terrain serait un peu plus grande si le sol était en pente.
- Comparaison : un accroissement négatif de même valeur absolue aurait placé la seconde borne à l'Ouest, et le gisement dans la moitié occidentale du cercle.
Remarque pédagogique : lire les signes des accroissements avant tout calcul angulaire est le meilleur garde-fou contre les erreurs de quadrant : ils annoncent l'intervalle dans lequel le résultat doit tomber.
Accroissement d'ordonnée de la basePourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter le vecteur de la base, et surtout pour établir si la formule classique du gisement est applicable — ce que seule cette valeur permet de trancher.
Même soustraction, sur les ordonnées cette fois. Le résultat doit être examiné pour lui-même : sa nullité éventuelle décide de la méthode à retenir pour l'orientation.
- Substitution : \( Y_B = 1\,000{,}00 \text{ m} \) et \( Y_A = 1\,000{,}00 \text{ m} \).
- Piège évité : considérer un résultat nul comme une anomalie et le remplacer par une valeur arbitrairement petite pour « faire fonctionner » la formule. La nullité est une donnée géométrique, pas un accident numérique.
- Hypothèse validée : les deux ordonnées proviennent bien de la même colonne du carnet et se rapportent au même axe.
- Vérification croisée : les deux ordonnées étant identiques au centimètre affiché, le résultat doit être exactement nul.
- Finalité : établir que la base est parallèle à l'axe des abscisses et que l'arc tangente est inapplicable.
Le résultat est rigoureusement nul : la base ne progresse pas d'un millimètre vers le Nord. On se trouve donc dans l'un des quatre cas limites, celui où le quotient de l'arc tangente n'est pas défini.
- Ordre de grandeur : zéro exact, et non une valeur négligeable.
- Impact sur la suite : l'orientation devra être établie par le couple sinus-cosinus, la forme classique étant écartée.
- Cohérence : deux points de même ordonnée sont bien sur une parallèle à l'axe des abscisses, ce que le croquis confirme.
- Attention : cette configuration n'a rien d'exceptionnel sur le terrain, mais elle est rarissime en coordonnées réelles : elle traduit ici un jeu de données construit, et non un canevas rattaché au système national, où l'égalité exacte de deux ordonnées serait un hasard improbable.
- Comparaison : une différence d'un seul centimètre sur l'une des ordonnées suffirait à sortir du cas limite : le gisement vaudrait alors \( 99{,}9987 \) ou \( 100{,}0013 \text{ gon} \), et l'arc tangente redeviendrait applicable.
Remarque pédagogique : un zéro n'est pas un petit nombre : c'est une information géométrique. Le traiter comme une valeur négligeable revient à masquer la particularité de la configuration au lieu de l'exploiter.
Longueur de la basePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la base est le seul côté connu du triangle, et que sans elle la loi des sinus ne pourrait fixer aucune longueur : les angles seuls ne déterminent qu'une forme, jamais une taille.
On applique le théorème de Pythagore aux deux accroissements. L'un étant nul, la racine se réduit à la valeur absolue de l'autre — le calcul est conduit intégralement pour documenter la démarche, non pour la complexifier.
- Substitution : \( \Delta X = +500{,}00 \text{ m} \) et \( \Delta Y = 0{,}00 \text{ m} \).
- Piège évité : oublier la racine carrée. Le résultat sortirait en mètres carrés et vaudrait 250 000, ordre de grandeur si aberrant que l'erreur se repère immédiatement — à condition de regarder l'unité.
- Hypothèse validée : les axes sont perpendiculaires et de même échelle, ce que garantit la définition d'un repère de projection.
- Vérification croisée : l'un des accroissements étant nul, la distance doit être exactement égale à la valeur absolue de l'autre.
- Finalité : fournir le côté connu du triangle et le dénominateur des cosinus directeurs.
La base mesure exactement cinq cents mètres. Cette valeur sera à retenir : elle se trouve précisément sur le seuil réglementaire de la plus grande longueur, ce que la dernière question examinera de près.
- Ordre de grandeur : 500,000 m, égale à la valeur absolue de l'accroissement d'abscisse, comme attendu.
- Impact sur la suite : c'est cette longueur qui donnera son échelle à tout le triangle, et donc au point cherché.
- Cohérence : une base de cinq cents mètres pour viser un clocher à quatre cents mètres de la rive est une configuration saine : la base n'est ni dérisoire ni disproportionnée devant les visées.
- Attention : cette longueur n'a pas été mesurée : elle est héritée des coordonnées des deux bornes. Son exactitude est donc celle du canevas antérieur, et non celle d'un ruban.
- Comparaison : mesurée directement au ruban, une telle longueur demanderait plusieurs portées et cumulerait autant d'erreurs de report ; le calcul inverse s'en affranchit entièrement.
Remarque pédagogique : conduire le calcul jusqu'au bout même lorsqu'un terme est nul n'est pas une perte de temps : c'est ce qui distingue une note de calculs vérifiable par un tiers d'une suite de résultats affirmés.
Sinus directeur de la basePourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir l'orientation de la base sans passer par une formule inapplicable. Le rapport de l'accroissement d'abscisse à la distance est, par construction, le sinus du gisement.
On divise l'accroissement d'abscisse par la longueur de la base. Le résultat, compris entre −1 et +1, est la part du trajet effectuée vers l'Est.
- Substitution : \( \Delta X = 500{,}00 \text{ m} \) et \( D_{\text{AB}} = 500{,}000 \text{ m} \).
- Piège évité : associer le sinus à l'ordonnée par réflexe scolaire. En topographie, le gisement partant de l'axe des ordonnées, c'est l'abscisse qui reçoit le sinus.
- Hypothèse validée : la distance employée est celle qui vient d'être calculée à partir des mêmes accroissements.
- Vérification croisée : le résultat ne peut excéder l'unité en valeur absolue, une composante ne pouvant dépasser la résultante.
- Finalité : fournir la première des deux valeurs qui déterminent le gisement.
Le sinus atteint sa valeur maximale. La totalité du trajet s'effectue vers l'Est : aucune fraction n'est allée vers le Nord ou le Sud. Un seul gisement du tour complet possède un sinus égal à l'unité.
- Ordre de grandeur : 1,000000, borne supérieure de la fonction.
- Impact sur la suite : conjugué au cosinus, il fixera le gisement sans aucune ambiguïté de quadrant.
- Cohérence : une valeur unité correspond à une direction perpendiculaire à l'axe des ordonnées, ce qui est bien la configuration lue sur le croquis.
- Attention : au voisinage de sa valeur maximale, le sinus est plat : il varie très peu pour une forte variation d'angle. Employé seul, il déterminerait donc très mal le gisement — d'où la nécessité du cosinus, qui varie au contraire très vite dans cette zone.
- Comparaison : un sinus de \( 0{,}999999 \) correspondrait à un gisement écarté de \( 0{,}09 \text{ gon} \) de l'Est : à elle seule, la sixième décimale ne suffirait pas à trancher.
Remarque pédagogique : un angle ne se détermine jamais par une seule de ses fonctions trigonométriques : c'est le couple qui l'identifie sur le tour complet.
Cosinus directeur de la basePourquoi fait-on ce calcul ? Pour lever la dernière ambiguïté. Deux gisements distincts partagent le même sinus ; seul le cosinus permet de choisir entre eux.
On divise l'accroissement d'ordonnée par la longueur de la base. Le résultat est la part du trajet effectuée vers le Nord ; son signe distingue la moitié septentrionale du cercle de la moitié méridionale.
- Substitution : \( \Delta Y = 0{,}00 \text{ m} \) et \( D_{\text{AB}} = 500{,}000 \text{ m} \).
- Piège évité : négliger ce calcul au motif que le numérateur est nul. C'est précisément ce zéro qui, joint au sinus unité, identifie le gisement.
- Hypothèse validée : la même distance est employée qu'au calcul précédent, condition sans laquelle le couple ne décrirait pas un même angle.
- Vérification croisée : la somme des carrés des deux valeurs obtenues doit valoir l'unité : \( 1{,}000000^2 + 0{,}000000^2 = 1 \).
- Finalité : achever la détermination du gisement de la base.
Le couple obtenu, sinus égal à l'unité et cosinus nul, correspond à un seul gisement sur les quatre cents grades du tour : \( 100{,}0000 \text{ gon} \), c'est-à-dire la direction de l'Est. Aucune constante de quadrant n'a été nécessaire.
- Ordre de grandeur : 0,000000, valeur du cosinus pour un angle droit.
- Impact sur la suite : les gisements des deux visées se composeront à partir de \( 100{,}0000 \text{ gon} \), et le gisement inverse vaudra \( 300{,}0000 \text{ gon} \).
- Cohérence : le contrôle par la somme des carrés est satisfait, ce qui valide simultanément la distance et les deux accroissements.
- Attention : un cosinus nul ne suffirait pas seul : il est également nul pour un gisement de \( 300 \text{ gon} \), direction de l'Ouest. C'est le signe positif du sinus qui écarte cette seconde possibilité.
- Comparaison : la forme classique aurait exigé de traiter séparément le cas limite ; la forme retenue livre le résultat par le même chemin que dans le cas général.
| Grandeur du calcul inverse | Expression employée | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Accroissement d'abscisse | différence des abscisses | + 500,00 | m |
| Accroissement d'ordonnée | différence des ordonnées | 0,00 | m |
| Longueur de la base | théorème de Pythagore | 500,000 | m |
| Gisement de la base | couple sinus 1,000000 et cosinus 0,000000 | 100,0000 | gon |
Remarque pédagogique : la dernière ligne du tableau n'est pas issue d'une formule mais d'une identification : on reconnaît l'angle à son couple de valeurs. C'est la démarche la plus robuste, et la seule qui ne comporte aucun cas particulier.
"Ma base est orientée et mesurée : j'ai un côté. Mes deux angles encadrent ce côté : j'ai la forme. Le triangle est donc entièrement déterminé, et les deux longueurs qui mènent au clocher vont sortir du calcul. Une chose me saute aux yeux : mes deux angles sont égaux. Le triangle est isocèle, et les deux visées auront donc rigoureusement la même longueur. Ce n'est pas un résultat que je vais vérifier — c'est une conséquence que les données m'imposent."
- Observation : les deux angles mesurés valent \( 66{,}6667 \text{ gon} \) et leur somme, \( 133{,}3334 \), laisse \( 66{,}6666 \text{ gon} \) au sommet. Les trois angles ne diffèrent que d'un dix-millième de grade : la figure est presque équilatérale.
- Analyse du risque : avec des angles aussi voisins, la moindre troncature les rendrait indiscernables. Quatre décimales sur les sinus suffiraient à faire disparaître toute différence, et le calcul perdrait la trace de la seule dissymétrie réelle de la figure.
- Choix stratégique : conserver sept décimales sur les valeurs trigonométriques et calculer une seule fois le rapport constant. Chaque visée s'en déduit ensuite par une multiplication, sans division ni produit en croix.
- Alternative : l'égalité des deux angles autorise un raccourci : la hauteur issue du sommet coupe la base en son milieu, et une simple tangente donnerait la distance. Le raccourci est exact, mais il ne vaut que pour cette figure : la méthode générale est préférable, car elle s'appliquera aussi le jour où les angles différeront.
- Objectif visé : disposer des deux longueurs de visée qui, associées à leurs gisements, permettront de rayonner le point depuis chacune des bornes.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Un triangle possède six éléments, et trois bien choisis suffisent à fixer les six. La combinaison employée ici — un côté et les deux angles qui l'encadrent — est celle de l'intersection topographique : elle correspond exactement à ce que le terrain permet, mesurer des angles vers un point qu'on ne peut pas atteindre.
Quatre relations conduisent l'étape : la somme des angles, le rapport constant, la longueur d'une visée et la hauteur du point au-dessus de la base.
Angle au sommet inaccessible :Il fournit l'angle du triangle au point visé, où aucun instrument n'a été posé.
Parce que l'angle au sommet du clocher est impossible à mesurer : il faudrait y monter un théodolite. La géométrie plane le donne gratuitement, la somme des trois angles d'un triangle étant une constante. C'est le mécanisme même de la triangulation : remplacer une mesure interdite par une conséquence géométrique.
- \( \gamma \) : angle du triangle au point inaccessible, unité : gon
- \( \alpha \) : angle mesuré à la première borne, unité : gon
- \( \beta \) : angle mesuré à la seconde borne, unité : gon
Il caractérise l'échelle du triangle, à partir du seul couple côté-angle opposé entièrement connu.
Parce qu'écrire la loi des sinus sous forme de proportion invite à une multiplication en croix, où l'on se trompe volontiers de terme. En calculant d'abord le rapport, on obtient une grandeur homogène à une longueur, dont l'ordre de grandeur se contrôle à part, et chaque côté ne coûte ensuite qu'une multiplication par un nombre sans dimension.
- \( k \) : rapport constant du triangle, diamètre du cercle circonscrit, unité : m
- \( D_{\text{AB}} \) : longueur de la base, unité : m
- \( \gamma \) : angle opposé à la base, unité : gon
Elle donne la distance d'une borne au point inaccessible, à partir du rapport constant et de l'angle opposé.
Parce qu'un côté n'est déterminé ni par sa position ni par les angles qui le bordent, mais par l'ouverture sous laquelle il est vu depuis le sommet qui lui est étranger. La visée issue de la première borne a pour extrémités cette borne et le point visé : le sommet restant est la seconde borne, et c'est donc l'angle mesuré là-bas qui la détermine.
- \( D_{\text{AP}} \) : distance de la première borne au point inaccessible, unité : m
- \( k \) : rapport constant du triangle, unité : m
- \( \beta \) : angle mesuré à la seconde borne, opposé à cette visée, unité : gon
Elle mesure l'éloignement perpendiculaire du point inaccessible par rapport à la droite des deux bornes.
Parce que la visée et sa projection sur la base forment un triangle rectangle dont la hauteur est le côté opposé à l'angle mesuré. Cette grandeur n'est pas un détour : elle donne directement l'écart en ordonnée entre le point et la base, et elle fournira la surface couverte par le dispositif, nécessaire à la vérification réglementaire.
- \( h_P \) : distance du point inaccessible à la droite des deux bornes, unité : m
- \( D_{\text{AP}} \) : longueur de la visée issue de la première borne, unité : m
- \( \alpha \) : angle mesuré à cette borne, entre la base et la visée, unité : gon
"La somme des angles d'un triangle vaut 180 : c'est la première chose qu'on apprend en géométrie. Le troisième angle vaut donc 180 moins 133,3334, soit 46,6666."
- L'erreur : confondre une propriété géométrique — la somme des angles vaut deux angles droits — avec le nombre qui la traduit dans une unité donnée. Ce nombre vaut 180 en degrés, 200 en grades et \( \pi \) en radians ; la propriété, elle, ne change pas.
- La bonne méthode : lire l'unité inscrite au carnet avant d'écrire la constante. Les angles sont donnés en gon : l'angle plat vaut \( 200 \text{ gon} \), et le troisième angle du triangle vaut \( 200 - 133{,}3334 = 66{,}6666 \text{ gon} \).
- L'impact chiffré : avec \( 46{,}6666 \text{ gon} \) au lieu de \( 66{,}6666 \), le sinus tombe de \( 0{,}8660249 \) à \( 0{,}6691298 \), le rapport constant monte de \( 577{,}3506 \) à \( 747{,}239 \text{ m} \), et chaque visée ressort à \( 647{,}128 \text{ m} \) au lieu de \( 500{,}000 \) : 147,128 m d'erreur, soit 29,4 %.
- Pourquoi l'erreur passe inaperçue : le triangle obtenu reste parfaitement cohérent : ses trois angles totalisent bien 180, la loi des sinus y est vérifiée, et les deux visées restent égales entre elles puisque le triangle demeure isocèle. Le contrôle de symétrie passerait sans réserve.
- L'impact direct : le clocher serait porté au plan à près de cent trente mètres de sa position réelle, dans la bonne direction mais beaucoup trop loin. Le plan resterait vraisemblable et serait pourtant inutilisable.
Exécution de la Note de Calculs
- Machine à calculer : maintenue en mode GRA pour l'ensemble de l'étude
- Sinus : conservés à sept décimales , les trois angles ne différant que d'un dix-millième de grade
- Rapport constant : exprimé en mètres , grandeur homogène à une longueur
- Longueurs calculées : arrondies au millimètre , résolution utile pour une base de 500 m
La résolution suit quatre temps : compléter le triangle par son angle au sommet, établir le rapport constant, en déduire les visées, puis chiffrer la hauteur du point au-dessus de la base.
1. Résolution Numérique Angle du triangle au point inaccessiblePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce sommet est un clocher : aucun instrument n'y a été posé et son angle ne figure dans aucune ligne du carnet. La géométrie du triangle le fournit à partir des deux angles mesurés.
On retranche à la somme des angles du triangle, exprimée en grades, les deux angles observés aux extrémités de la base. Le résultat est l'ouverture sous laquelle la base est vue depuis le point visé.
- Substitution : \( \alpha = 66{,}6667 \text{ gon} \) et \( \beta = 66{,}6667 \text{ gon} \), lus au carnet.
- Piège évité : écrire 180 à la place de 200. L'unité du carnet est le grade, et l'angle plat y vaut deux cents parts.
- Hypothèse validée : les deux angles sont comptés depuis la base, chacun vers le même point visé, condition sans laquelle ils n'appartiendraient pas au même triangle.
- Vérification croisée : leur somme vaut \( 133{,}3334 \text{ gon} \), inférieure à \( 200 \) : le triangle se referme et le résultat sera positif.
- Finalité : fournir l'angle opposé à la base, seul couple entièrement connu du triangle.
L'angle au sommet vaut \( 66{,}6666 \text{ gon} \), soit un dix-millième de grade de moins que chacun des deux angles mesurés. Le triangle est donc isocèle, et à très peu près équilatéral — mais pas exactement, et cette nuance a une traduction en millimètres.
- Ordre de grandeur : 66,6666 gon, soit 60 degrés — les deux tiers d'un angle droit.
- Impact sur la suite : son sinus, \( 0{,}8660249 \), servira de dénominateur au rapport constant : il est loin de zéro, donc le calcul est numériquement stable.
- Cohérence : c'est le plus petit des trois angles, de très peu : la base sera donc le plus court des trois côtés, et les deux visées légèrement plus longues qu'elle.
- Attention : affirmer que le triangle est équilatéral serait inexact. Il l'est à un dix-millième de grade près, ce qui se traduira par un écart de l'ordre du demi-millimètre entre la base et les visées.
- Comparaison : cette valeur est la plus favorable qu'on puisse rencontrer en intersection : les trois angles sont voisins, la figure est ramassée, et aucune direction n'y est privilégiée.
Remarque pédagogique : l'angle au sommet est le meilleur indicateur de la qualité d'une intersection. Proche de \( 100 \text{ gon} \), la détermination est excellente ; proche de zéro, elle devient inexploitable quelle que soit la précision des lectures.
Rapport constant du trianglePourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer d'une grandeur unique, caractéristique du triangle entier, qui donnera chacune des deux visées par une seule multiplication.
On divise la base par le sinus de l'angle qui lui fait face. Le résultat est homogène à une longueur, ce qui permet d'en contrôler l'ordre de grandeur avant de poursuivre.
- Substitution : \( D_{\text{AB}} = 500{,}000 \text{ m} \) et \( \gamma = 66{,}6666 \text{ gon} \), dont le sinus vaut \( 0{,}8660249 \).
- Piège évité : employer le sinus de \( 66{,}6667 \text{ gon} \), valeur des angles mesurés. Il vaut \( 0{,}8660257 \) : la différence porte sur la septième décimale, mais elle est la seule chose qui distingue les côtés de ce triangle.
- Hypothèse validée : la machine est en mode GRA. En mode degré, \( \sin 66{,}6666^{\circ} = 0{,}9182161 \), soit une erreur de 6 % sur ce seul terme.
- Vérification croisée : le sinus étant inférieur à 1, le rapport doit dépasser la base : un résultat inférieur à 500 m signalerait une erreur.
- Finalité : fournir le facteur d'échelle du triangle, qui est aussi le diamètre de son cercle circonscrit.
Le rapport dépasse la base de 15,5 %. Aucun côté du triangle ne pourra excéder 577,3506 m, puisque le sinus d'un angle ne dépasse jamais l'unité — les trois côtés seront donc nettement en deçà de cette borne.
- Ordre de grandeur : 577,3506 m pour une base de 500,000 m — le rapport est bien supérieur à la base.
- Impact sur la suite : cette valeur unique commande les deux visées, qui s'en déduiront par multiplication par \( 0{,}8660257 \).
- Cohérence : géométriquement, c'est le diamètre du cercle circonscrit. Un cercle de 289 m de rayon contenant les trois sommets est compatible avec une figure de cinq cents mètres de base.
- Attention : une erreur sur cette seule valeur dilate ou contracte tout le triangle sans en changer la forme : les deux visées seraient fausses du même pourcentage, et le rayonnement depuis l'une ou l'autre borne donnerait le même point erroné.
- Comparaison : pour un angle au sommet de \( 100 \text{ gon} \), le sinus vaudrait exactement 1 et le rapport se confondrait avec la base : c'est la configuration la plus compacte possible.
Remarque pédagogique : calculer le rapport constant avant les côtés n'est pas une élégance : c'est un point de contrôle supplémentaire, cette grandeur possédant un sens géométrique propre et un ordre de grandeur prévisible.
Longueur de la visée issue de la première bornePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la distance qui, associée au gisement de la visée, permettra de rayonner le point. Elle traverse un espace inaccessible sans qu'aucun ruban n'ait été déroulé.
On multiplie le rapport constant par le sinus de l'angle opposé à cette visée. La visée joint la première borne au point visé : le sommet qui ne lui appartient pas est la seconde borne, et c'est donc l'angle mesuré là-bas qui intervient.
- Substitution : \( k = 577{,}3506 \text{ m} \) et \( \beta = 66{,}6667 \text{ gon} \), dont le sinus vaut \( 0{,}8660257 \).
- Piège évité : employer l'angle mesuré à la borne d'où part la visée. La loi des sinus ne connaît que l'angle opposé. Ici les deux valeurs coïncident, ce qui rend l'erreur invisible — raison de plus pour poser la règle explicitement.
- Hypothèse validée : le rapport constant employé est celui du triangle contenant le point visé, établi au calcul précédent.
- Vérification croisée : l'angle opposé étant très légèrement supérieur à celui du sommet, la visée doit dépasser la base d'une fraction de millimètre.
- Finalité : fournir la distance nécessaire au rayonnement depuis la première borne.
La visée mesure 500,000 m au millimètre affiché, soit la même valeur que la base. Sans arrondi, elle vaut 500,0005 m : elle dépasse la base de 0,5 mm, écart exactement imputable au dix-millième de grade qui sépare l'angle au sommet des deux angles mesurés.
- Ordre de grandeur : 500,000 m, valeur comprise entre la base et le rapport constant, comme la théorie l'impose.
- Impact sur la suite : la seconde visée vaut exactement la même chose, les deux angles mesurés étant égaux. Ce n'est pas un contrôle : c'est une conséquence des données.
- Cohérence : la figure est donc équilatérale à un demi-millimètre près, ce qui correspond bien à trois angles égaux à un dix-millième de grade près.
- Attention : cette longueur n'a jamais été mesurée et ne le sera pas : le point est inaccessible. Aucune vérification directe n'est possible sur le terrain.
- Comparaison : un angle mesuré de \( 100 \text{ gon} \) à la seconde borne aurait porté cette visée à \( 577{,}3506 \text{ m} \), son maximum possible pour ce triangle.
Remarque pédagogique : retenir la règle sous forme d'image : on vise un côté depuis le sommet opposé. L'angle qui « voit » le côté en entier est celui qui le détermine.
Hauteur du point au-dessus de la basePourquoi fait-on ce calcul ? Pour savoir de combien le point visé s'écarte de la droite des deux bornes. Cette grandeur donne la profondeur de l'intersection et fournira la surface couverte par le dispositif.
On projette la visée perpendiculairement à la base. Le triangle rectangle ainsi formé donne la hauteur comme le produit de la visée par le sinus de l'angle mesuré à la borne de départ.
- Substitution : \( D_{\text{AP}} = 500{,}000 \text{ m} \) et \( \alpha = 66{,}6667 \text{ gon} \), dont le sinus vaut \( 0{,}8660257 \).
- Piège évité : employer le cosinus. Ici l'angle est compté depuis la base, et la hauteur est le côté opposé : c'est le sinus qui la donne.
- Hypothèse validée : l'angle employé est bien celui mesuré à la borne d'où part la visée retenue.
- Vérification croisée : le même calcul conduit depuis la seconde borne donne la même hauteur, les deux visées et les deux angles étant égaux.
- Finalité : fournir la profondeur de l'intersection et préparer le calcul de la surface couverte.
Le point visé se tient à 433,013 m de la droite des deux bornes, soit 87 % de la longueur de la base. L'intersection est donc profonde : le clocher n'est pas rasant, et sa position est géométriquement bien contrainte.
- Ordre de grandeur : 433,013 m, valeur inférieure à la visée de 500,000 m, comme l'impose le sinus.
- Impact sur la suite : la base étant parallèle à l'axe des abscisses, cette hauteur donnera directement l'écart en ordonnée entre le point et les bornes.
- Cohérence : pour un triangle équilatéral de 500 m de côté, la hauteur vaut la moitié du côté multipliée par la racine de trois, soit \( 433{,}013 \text{ m} \) : la valeur obtenue est exactement celle-là.
- Attention : cette hauteur est une distance horizontale dans le plan de projection. Elle ne dit rien de la hauteur du clocher au-dessus du sol, qui relève de l'altimétrie et n'est pas l'objet de ce levé.
- Comparaison : si les deux angles mesurés n'avaient valu que \( 20 \text{ gon} \), la hauteur serait tombée à \( 81 \text{ m} \) environ pour la même base : l'intersection serait devenue rasante et le point mal défini.
| Élément du triangle | Angle opposé (gon) | Sinus | Longueur (m) |
|---|---|---|---|
| Base AB (calcul inverse) | 66,6666 · sommet P · calculé | 0,8660249 | 500,000 |
| Visée AP (calculée) | 66,6667 · sommet B · mesuré | 0,8660257 | 500,000 |
| Visée BP (calculée) | 66,6667 · sommet A · mesuré | 0,8660257 | 500,000 |
Remarque pédagogique : les deux dernières lignes du tableau sont identiques parce que les deux angles mesurés le sont. Leur égalité ne prouve rien : elle découle des données, et elle disparaîtrait aussitôt que les deux angles différeraient.
"J'ai une distance et un angle. Il me manque encore l'essentiel : l'angle que j'ai mesuré est relatif à ma base, alors que pour projeter sur les axes il me faut une direction absolue. Le passage de l'un à l'autre est une addition ou une soustraction, et c'est tout le problème : rien dans le carnet ne me dit laquelle. Seul le croquis le dit. Je me place à la borne, je regarde vers l'autre borne, puis je pivote vers le clocher : si j'ai tourné vers la gauche, l'angle se retranche."
- Observation : depuis la première borne, la base part vers l'Est et le clocher se trouve au Nord-Est : le pivotement se fait donc dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, et l'angle mesuré se retranche du gisement de la base.
- Analyse du risque : depuis la seconde borne, le sens est inversé : la base y pointe vers l'Ouest et le clocher est toujours au Nord. L'angle s'y ajoute donc. Appliquer machinalement la même opération aux deux stations est l'erreur la plus répandue de la triangulation.
- Choix stratégique : passer explicitement par le gisement inverse avant de composer à la seconde borne. Cette étape intermédiaire, qui coûte une addition de deux cents grades, rend le sens de rotation évident et supprime l'hésitation.
- Alternative : on pourrait résoudre le système des deux droites par leurs équations. La méthode est équivalente et se prête bien au calcul automatique, mais elle fait disparaître les gisements — et avec eux la lecture géométrique qui permet de repérer une aberration sur le croquis.
- Objectif visé : livrer un couple de coordonnées exploitable par un tiers, indépendamment de la station depuis laquelle il a été obtenu.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Un angle mesuré au théodolite n'est jamais une direction absolue : c'est un écart par rapport à une autre direction, celle vers laquelle l'appareil a été pointé en premier. Le rayonnement exige au contraire des directions absolues, comptées depuis le Nord. Entre les deux, il y a une composition — et un sens de rotation à établir.
Quatre relations conduisent le rayonnement : la composition d'un gisement, le gisement inverse, et les deux projections sur les axes.
Composition d'un gisement de visée :Elle transforme un angle mesuré par rapport à la base en une direction absolue.
Parce qu'un théodolite ne connaît que des écarts angulaires : il mesure de combien il a fallu pivoter pour passer d'une visée à l'autre. Ajouter cet écart au gisement de la direction de départ revient à reporter ce pivotement sur le cercle des directions absolues, et rend la visée comparable à toutes les autres du chantier.
- \( G_{\text{AP}} \) : gisement de la visée vers le point inaccessible, unité : gon
- \( G_{\text{AB}} \) : gisement de la base, direction de départ du pivotement, unité : gon
- \( \alpha \) : angle mesuré entre la base et la visée, unité : gon
Il donne l'orientation de la base parcourue en sens contraire, depuis la seconde borne vers la première.
Parce que la composition à la seconde borne doit partir de la direction que l'opérateur y a réellement visée : non pas la base « vers l'avant », mais la base vers l'arrière, c'est-à-dire vers la première borne. Ces deux directions sont opposées, et deux directions opposées diffèrent exactement d'un demi-tour.
- \( G_{\text{BA}} \) : gisement de la seconde borne vers la première, unité : gon
- \( G_{\text{AB}} \) : gisement de la première borne vers la seconde, unité : gon
Elle situe le point sur l'axe des abscisses, à partir de celle de la station.
Parce que la visée, une fois orientée, forme avec les deux axes un triangle rectangle dont elle est l'hypoténuse. Le gisement étant compté depuis l'axe des ordonnées, la composante sur l'axe des abscisses est le côté opposé à cet angle : c'est le sinus qui la donne.
- \( X_P \) : abscisse du point inaccessible, unité : m
- \( X_S \) : abscisse connue de la station, unité : m
- \( D \) : longueur de la visée, unité : m
- \( G \) : gisement de la visée, unité : gon
Elle situe le point sur l'axe des ordonnées, à partir de celle de la station.
Parce que l'axe des ordonnées est celui depuis lequel le gisement est compté. La composante sur cet axe est donc le côté adjacent à l'angle, et le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse est le cosinus. Cette formule et la précédente proviennent du même triangle : elles ne se retiennent pas séparément, elles se lisent ensemble.
- \( Y_P \) : ordonnée du point inaccessible, unité : m
- \( Y_S \) : ordonnée connue de la station, unité : m
- \( D \) : longueur de la visée, unité : m
- \( G \) : gisement de la visée, unité : gon
"Un angle mesuré s'ajoute toujours au gisement de la direction de départ : c'est la règle de composition. Le gisement de la visée vaut donc 100,0000 plus 66,6667, soit 166,6667 gon."
- L'erreur : traiter une composition de gisements comme une opération arithmétique automatique. Ajouter revient à tourner dans le sens des aiguilles d'une montre ; ici, depuis la première borne, le point visé se trouve à gauche de la base, et l'angle doit donc se retrancher.
- La bonne méthode : se placer mentalement à la station, viser l'autre borne, puis pivoter vers le point. Le sens du pivotement se lit alors sans hésitation, et le gisement vaut \( 100{,}0000 - 66{,}6667 = 33{,}3333 \text{ gon} \).
- L'impact chiffré : avec \( 166{,}6667 \text{ gon} \), le cosinus devient négatif et vaut \( -0{,}8660257 \). L'ordonnée ressort à \( 566{,}987 \text{ m} \) au lieu de \( 1\,433{,}013 \text{ m} \) : le point est rabattu de 866,026 m, symétriquement de l'autre côté de la base.
- Pourquoi l'erreur passe inaperçue : c'est ici que le piège devient redoutable : l'abscisse est rigoureusement inchangée, \( 1\,250{,}000 \text{ m} \) dans les deux cas, le sinus valant \( 0{,}5 \) pour les deux gisements. La moitié du résultat est donc juste, et un contrôle qui ne porterait que sur l'abscisse validerait un point situé à plus de huit cents mètres de sa position réelle.
- L'impact direct : le clocher serait porté au plan du mauvais côté de la ligne des bornes. Toutes les distances calculées depuis ce point seraient fausses, et le plan décrirait une configuration inversée par rapport au terrain.
Exécution de la Note de Calculs
- Machine à calculer : toujours en mode GRA pour les sinus et cosinus
- Gisements : exprimés en gon et ramenés à l'intervalle de 0 à 400
- Accroissements : grandeurs algébriques , leur signe étant produit par la fonction
- Coordonnées : exprimées en mètres, arrondies au millimètre
Le rayonnement se conduit deux fois. Depuis la première borne : gisement de la visée, puis les deux coordonnées. Depuis la seconde : gisement inverse, composition en sens contraire, puis les deux mêmes coordonnées obtenues par un autre chemin.
1. Résolution Numérique Gisement de la visée depuis la première bornePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'angle du carnet est un écart à la base, alors que la projection sur les axes exige une direction absolue. C'est l'étape qui rend la visée comparable à toute autre du chantier.
On retranche l'angle mesuré au gisement de la base. Le sens est établi par le croquis : depuis la première borne, la base pointe vers l'Est et le point visé se trouve au Nord-Est, donc à gauche de la base.
- Substitution : \( G_{\text{AB}} = 100{,}0000 \text{ gon} \) et \( \alpha = 66{,}6667 \text{ gon} \).
- Piège évité : ajouter l'angle par automatisme. L'addition enverrait la visée vers le Sud-Est, du mauvais côté de la base.
- Hypothèse validée : le point visé est du côté des ordonnées croissantes, ce que le croquis du dispositif établit.
- Vérification croisée : le résultat doit tomber dans le premier quadrant, entre 0 et 100 gon, ce qui correspond à une direction Nord-Est.
- Finalité : fournir la direction absolue nécessaire à la projection sur les deux axes.
Le gisement tombe dans le premier quadrant, entre le Nord et l'Est. Les deux accroissements seront donc positifs, et le point visé se trouvera au Nord-Est de la première borne — exactement ce que montre le croquis.
- Ordre de grandeur : 33,3333 gon, soit 30 degrés — direction franchement Nord-Nord-Est.
- Impact sur la suite : son sinus vaut \( 0{,}4999995 \) et son cosinus \( 0{,}8660257 \) : le déplacement vers le Nord sera près de deux fois plus grand que celui vers l'Est.
- Cohérence : le sinus valant pratiquement un demi, la visée s'écarte de la direction du Nord d'un tiers d'angle droit, ce qui est bien la valeur obtenue.
- Attention : ce gisement dépend entièrement de celui de la base. Une erreur d'orientation de la base pivoterait toute la figure sans en déformer la géométrie interne, et aucun contrôle du calcul ne pourrait le détecter.
- Comparaison : l'addition, au lieu de la soustraction, aurait donné \( 166{,}6667 \text{ gon} \), soit une direction Sud-Est : le même sinus, mais un cosinus opposé.
Remarque pédagogique : annoncer le quadrant attendu avant de calculer les accroissements est le contrôle le plus efficace du rayonnement : il coûte une seconde et intercepte l'erreur de signe avant qu'elle ne se dissolve dans un nombre à sept chiffres.
Abscisse du point, depuis la première bornePourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir de combien la visée déplace vers l'Est, et ajouter ce déplacement à l'abscisse connue de la station.
On évalue le sinus du gisement en grades, on le multiplie par la longueur de la visée, puis on ajoute le résultat à l'abscisse de la station. Le gisement étant dans le premier quadrant, le sinus est positif.
- Substitution : \( X_A = 1\,000{,}000 \text{ m} \), \( D_{\text{AP}} = 500{,}000 \text{ m} \) et \( G_{\text{AP}} = 33{,}3333 \text{ gon} \), dont le sinus vaut \( 0{,}4999995 \).
- Piège évité : employer le cosinus. Le gisement partant de l'axe des ordonnées, c'est le sinus qui donne la composante en abscisse.
- Hypothèse validée : la longueur employée est celle de la visée issue de cette borne, et non celle issue de l'autre.
- Vérification croisée : le sinus valant pratiquement un demi, l'accroissement doit être voisin de la moitié de la visée, soit 250 m.
- Finalité : fournir la première coordonnée du point inaccessible.
Le point se trouve exactement au milieu des deux bornes en abscisse, à 250 m de chacune. C'est la conséquence directe de l'égalité des deux angles mesurés : le triangle étant isocèle, son sommet est sur la médiatrice de la base.
- Ordre de grandeur : 1 250,000 m, valeur strictement intermédiaire entre 1 000,00 et 1 500,00 m.
- Impact sur la suite : le rayonnement depuis la seconde borne devra retrouver cette même abscisse, mais par une soustraction au lieu d'une addition.
- Cohérence : la position centrale confirme la symétrie annoncée par les données ; elle n'apporte donc aucune information nouvelle sur la qualité des mesures.
- Attention : cette abscisse est la même que celle qu'aurait donnée une composition de gisement fautive : elle ne peut donc en aucun cas servir à valider le sens de composition.
- Comparaison : si l'angle mesuré à la première borne avait été plus petit que celui mesuré à la seconde, le point se serait décalé vers cette seconde borne.
Remarque pédagogique : une coordonnée qui tombe sur une valeur « ronde » n'est jamais une preuve d'exactitude : ici, elle ne fait que traduire une symétrie déjà contenue dans les données.
Ordonnée du point, depuis la première bornePourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter la position du point en établissant son déplacement vers le Nord, seconde composante de la visée.
Même opération avec le cosinus du gisement, composante sur l'axe depuis lequel l'angle est compté. Le gisement appartenant au premier quadrant, le cosinus est positif.
- Substitution : \( Y_A = 1\,000{,}000 \text{ m} \), \( D_{\text{AP}} = 500{,}000 \text{ m} \) et \( \cos(33{,}3333 \text{ gon}) = 0{,}8660257 \).
- Piège évité : corriger « à la main » le signe de l'accroissement. La fonction le produit déjà, et un second traitement l'inverserait.
- Hypothèse validée : l'axe des ordonnées est orienté vers le Nord, condition posée aux données.
- Vérification croisée : cet accroissement doit être égal à la hauteur du point au-dessus de la base calculée à l'étape précédente, la base étant parallèle à l'axe des abscisses.
- Finalité : achever la détermination du point depuis la première borne.
L'accroissement vaut 433,013 m, exactement la hauteur du point au-dessus de la base obtenue à la question précédente par un chemin entièrement différent. La concordance valide la cohérence interne du calcul du triangle.
- Ordre de grandeur : 1 433,013 m, soit 433 m au Nord de la ligne des bornes.
- Impact sur la suite : c'est cette coordonnée qui distingue le bon résultat de celui qu'aurait produit une composition de gisement en sens contraire.
- Cohérence : la hauteur calculée par la trigonométrie du triangle et l'accroissement calculé par le rayonnement coïncident au millimètre : deux voies indépendantes de calcul aboutissent au même nombre.
- Attention : cette coïncidence n'est possible que parce que la base est parallèle à l'axe des abscisses. Dans le cas général, hauteur et accroissement d'ordonnée sont deux grandeurs différentes, et le rapprochement n'aurait plus de sens.
- Comparaison : une composition fautive aurait donné \( 566{,}987 \text{ m} \), soit 866 m plus au Sud, tout en laissant l'abscisse rigoureusement inchangée.
Remarque pédagogique : lorsqu'une même grandeur peut être obtenue par deux chemins de calcul, il faut le faire : c'est gratuit, et cela intercepte les fautes d'exécution — sans rien dire, pour autant, de la justesse des mesures.
Gisement de la visée depuis la seconde bornePourquoi fait-on ce calcul ? Pour ouvrir le second chemin. L'opérateur stationné à la seconde borne a visé la première, non la direction de la base « vers l'avant » : la composition doit donc partir du gisement inverse.
On ajoute d'abord un demi-tour au gisement de la base pour obtenir le gisement inverse, puis on ajoute l'angle mesuré. Depuis cette borne, le point visé se trouve à droite de la direction visée : le pivotement est horaire, et l'angle s'ajoute.
- Substitution : \( G_{\text{AB}} = 100{,}0000 \text{ gon} \), le demi-tour de \( 200 \text{ gon} \) et \( \beta = 66{,}6667 \text{ gon} \).
- Piège évité : reprendre la soustraction employée à la première borne. Le sens de pivotement est inversé ici, parce que la direction de départ l'est aussi.
- Hypothèse validée : l'angle mesuré à cette borne est bien compté depuis la direction de la première borne, comme l'indique le carnet.
- Vérification croisée : le résultat dépasse \( 300 \text{ gon} \) : il désigne le quatrième quadrant, Nord-Ouest, ce qui est bien la direction du point vu depuis la seconde borne.
- Finalité : fournir la direction absolue de la seconde visée.
Le gisement tombe dans le quatrième quadrant, entre l'Ouest et le Nord. Vu depuis la seconde borne, le point est en effet au Nord-Ouest : l'accroissement d'abscisse sera négatif et celui d'ordonnée positif.
- Ordre de grandeur : 366,6667 gon, valeur inférieure au tour complet : aucune remise en forme n'est nécessaire.
- Impact sur la suite : son sinus vaut \( -0{,}4999995 \) et son cosinus \( 0{,}8660257 \) : le second chemin retranchera en abscisse ce que le premier ajoutait.
- Cohérence : les deux gisements de visée, \( 33{,}3333 \) et \( 366{,}6667 \text{ gon} \), sont symétriques par rapport à la direction du Nord — ce qui traduit exactement la symétrie du triangle isocèle.
- Attention : les deux compositions se font en sens opposés alors que les deux angles mesurés sont égaux : c'est la disposition géométrique, non la valeur numérique, qui commande le signe.
- Comparaison : une soustraction à cette borne aurait donné \( 233{,}3333 \text{ gon} \), direction Sud-Ouest, envoyant le point à l'opposé de sa position réelle.
Remarque pédagogique : écrire le gisement inverse comme une étape séparée plutôt que de composer directement supprime la principale source d'erreur de signe : on ne compose jamais un angle mesuré avec une direction que l'opérateur n'a pas visée.
Abscisse du point, depuis la seconde bornePourquoi fait-on ce calcul ? Pour refaire la détermination par un chemin arithmétiquement différent : une station différente, une visée différente, un gisement différent.
Même formule, appliquée à la seconde station. Le gisement dépassant \( 300 \text{ gon} \), le sinus est négatif : le déplacement se fait vers l'Ouest, et l'accroissement se retranche de l'abscisse de départ.
- Substitution : \( X_B = 1\,500{,}000 \text{ m} \), \( D_{\text{BP}} = 500{,}000 \text{ m} \) et \( \sin(366{,}6667 \text{ gon}) = -0{,}4999995 \).
- Piège évité : prendre la valeur absolue du sinus puis « corriger le sens » à la main. La fonction produit déjà le signe négatif ; un second traitement le supprimerait.
- Hypothèse validée : la station de départ est bien la seconde borne, et son abscisse vaut 1 500,000 m.
- Vérification croisée : le résultat doit retomber sur l'abscisse obtenue depuis la première borne, soit 1 250,000 m.
- Finalité : produire la première coordonnée par le second chemin.
Le second chemin retombe sur la même abscisse, obtenue cette fois par soustraction et non par addition. Les opérations diffèrent, le résultat est identique.
- Ordre de grandeur : 1 250,000 m, identique au premier chemin au millimètre affiché.
- Impact sur la suite : la concordance sera examinée pour ce qu'elle vaut réellement à la question suivante.
- Cohérence : les deux accroissements, \( +249{,}99975 \) et \( -249{,}99975 \text{ m} \), sont opposés : c'est la traduction directe de la symétrie de la figure.
- Attention : cette symétrie découle de l'égalité des deux angles mesurés. Elle serait tout aussi parfaite si les deux angles étaient égaux et faux.
- Comparaison : si les deux angles avaient différé, les deux accroissements auraient été de valeurs absolues différentes, et le point ne serait plus à mi-distance des bornes.
Remarque pédagogique : un même nombre obtenu par une addition puis par une soustraction n'est pas une coïncidence : c'est une conséquence géométrique, et il faut savoir dire laquelle.
Ordonnée du point, depuis la seconde bornePourquoi fait-on ce calcul ? Pour achever la seconde détermination et disposer d'un couple complet de coordonnées obtenu depuis l'autre station.
Le gisement dépassant \( 300 \text{ gon} \), le cosinus est positif : le point est au Nord de la station, comme depuis la première borne. L'accroissement s'ajoute donc à l'ordonnée de départ.
- Substitution : \( Y_B = 1\,000{,}000 \text{ m} \), \( D_{\text{BP}} = 500{,}000 \text{ m} \) et \( \cos(366{,}6667 \text{ gon}) = 0{,}8660257 \).
- Piège évité : supposer que le cosinus change de signe parce que le sinus l'a fait. Dans le quatrième quadrant, le sinus est négatif et le cosinus positif.
- Hypothèse validée : les deux bornes ont la même ordonnée, ce qui fait partir les deux rayonnements de la même valeur.
- Vérification croisée : le résultat doit retomber sur l'ordonnée obtenue depuis la première borne, soit 1 433,013 m.
- Finalité : achever la seconde détermination du point.
Les deux ordonnées sont rigoureusement identiques, jusqu'au dernier chiffre affiché — et pour cause : les deux calculs emploient la même ordonnée de départ, la même longueur de visée et le même cosinus. Ce n'est pas une concordance, c'est la même opération écrite deux fois.
- Ordre de grandeur : 1 433,013 m, identique au premier chemin.
- Impact sur la suite : ce constat oriente directement l'analyse de la question suivante : la valeur du contrôle mérite d'être examinée de près.
- Cohérence : les deux gisements de visée étant symétriques par rapport au Nord, leurs cosinus sont égaux : la coïncidence des ordonnées était donc prévisible sans calcul.
- Attention : présenter cette égalité comme une vérification serait trompeur. Une opération répétée à l'identique ne vérifie rien, quel que soit le nombre de fois qu'on la répète.
- Comparaison : dans une configuration non symétrique, les deux ordonnées proviendraient de longueurs et de cosinus différents, et leur concordance aurait alors une portée réelle — quoique limitée au seul calcul.
| Chemin de rayonnement | Gisement de visée (gon) | Accroissements (m) | Coordonnées (m) |
|---|---|---|---|
| Depuis la borne A | 33,3333 · Nord-Est | ΔX = + 249,99975 · ΔY = + 433,013 | 1 250,000 · 1 433,013 |
| Depuis la borne B | 366,6667 · Nord-Ouest | ΔX = − 249,99975 · ΔY = + 433,013 | 1 250,000 · 1 433,013 |
Remarque pédagogique : les deux lignes du tableau ne diffèrent que par le signe d'un accroissement. Cette pauvreté du recoupement est le véritable enseignement de l'exercice, et la question suivante en tire les conséquences chiffrées.
"Mes deux chemins donnent le même point, au millimètre. Je pourrais m'en tenir là et écrire au rapport que le résultat est vérifié. Mais une chose me gêne : j'ai mesuré deux angles et je cherche deux coordonnées. Le compte est exactement équilibré. Alors je pose la seule question qui vaille : si l'un de mes deux angles était faux d'un centigrade, mon second calcul me le dirait-il ? Je ne vais pas en discuter — je vais refaire la chaîne avec l'angle faussé et regarder ce que les deux chemins donnent."
- Observation : le point cherché est l'intersection de deux droites. Or deux droites ne se coupent qu'en un seul point : que le calcul parte de l'une ou de l'autre, il ne peut pas aboutir ailleurs.
- Analyse du risque : le risque n'est plus une faute de calcul, écartée par les contrôles précédents, mais une confiance mal placée : annoncer une vérification là où il n'y a qu'une répétition, et livrer un point avec une assurance que rien ne fonde.
- Choix stratégique : reconduire intégralement les deux chemins avec un angle modifié d'un centigrade, et comparer trois nombres : le déplacement du point, et l'écart entre les deux chemins. Le premier dira ce qu'on risque, le second ce que le contrôle voit.
- Alternative : on pourrait raisonner en algèbre et démontrer l'identité des deux chemins. La démonstration serait plus générale, mais un écart chiffré à zéro face à un déplacement de neuf centimètres est plus parlant sur un rapport de chantier.
- Objectif visé : livrer le point accompagné de ce qui lui donne sa valeur d'usage : les coefficients de sensibilité, le taux de surabondance, et la position du levé au regard des seuils réglementaires.
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Un calcul ne crée aucune information : il redistribue celle des mesures. Refaire ce calcul par un autre chemin détecte les fautes d'exécution — recopie, signe, appariement. Cela ne peut rien dire des observations elles-mêmes, qui entrent inchangées dans les deux chemins.
Quatre relations structurent l'analyse : le déplacement induit par une variation de mesure, le taux de surabondance, la superficie couverte et la réduction d'une longueur à la surface de référence.
Déplacement induit par une variation de mesure :Il chiffre de combien le point calculé se déplace lorsqu'une seule des mesures est modifiée.
Parce que l'effet d'un angle sur le résultat passe par une chaîne trop enchevêtrée pour être devinée : l'angle agit sur le troisième angle du triangle, donc sur le rapport constant, donc sur les deux visées, et aussi sur le gisement de sa propre visée. La seule façon sûre de connaître son influence est de rejouer la chaîne entière et de mesurer le déplacement du point obtenu.
- \( \Delta_{\theta} \) : déplacement planimétrique du point calculé, unité : m
- \( X'_P \) ; \( Y'_P \) : coordonnées obtenues avec la mesure modifiée, unité : m
- \( X_P \) ; \( Y_P \) : coordonnées de référence, unité : m
Il rapporte le nombre de mesures indépendantes observées au nombre minimal nécessaire pour déterminer le canevas.
Parce qu'une erreur ne se manifeste que par une incompatibilité. Deux droites se coupent toujours, quelles que soient leurs directions : aucune valeur d'angle ne peut rendre l'intersection impossible, donc aucune ne peut se dénoncer. Il faudrait une troisième visée pour que trois droites cessent de concourir et qu'une erreur devienne visible.
- \( \tau \) : taux de surabondance du canevas, grandeur sans unité
- \( n_{\text{obs}} \) : nombre de mesures indépendantes observées, grandeur sans unité
- \( n_{\text{min}} \) : nombre minimal de mesures déterminant le canevas, grandeur sans unité
Elle donne l'aire du triangle formé par les deux bornes et le point déterminé.
Parce que l'obligation de fournir les informations localisées dans le système national dépend de deux seuils, dont l'un porte sur une superficie. Cette superficie ne se devine pas : elle se calcule. Le triangle étant l'enveloppe des trois points du canevas, son aire est celle que le levé couvre effectivement, et la moitié du produit de la base par la hauteur la donne sans détour.
- \( S \) : superficie couverte par le canevas, unité : m²
- \( D_{\text{AB}} \) : longueur de la base, unité : m
- \( h_P \) : hauteur du point au-dessus de la base, unité : m
Elle chiffre l'écart entre une distance à l'altitude du chantier et la même distance ramenée à la surface de référence.
Parce qu'une distance mesurée en altitude est une corde tracée sur une sphère plus grande que la surface de référence. Ramener cette corde vers le centre de la Terre la raccourcit, dans le rapport de l'altitude au rayon terrestre. L'effet est infime mais systématique : il va toujours dans le même sens et s'accumule sur toutes les longueurs du chantier.
- \( D_h \) : distance horizontale à l'altitude du chantier, unité : m
- \( D_0 \) : même distance ramenée à la surface de référence, unité : m
- \( h_{\text{moy}} \) : altitude moyenne du chantier, unité : m
- \( R \) : rayon terrestre conventionnel, unité : m
"Obtenir les mêmes coordonnées par deux chemins de calcul indépendants est la meilleure vérification possible de l'exactitude des mesures et des calculs : le point est donc validé."
- L'erreur : confondre l'indépendance des opérations avec l'indépendance des observations. Les deux calculs emploient des gisements, des signes et des stations différents, mais ils reposent sur les mêmes deux lectures : aucune information nouvelle n'entre dans le second.
- La bonne méthode : mettre le contrôle à l'épreuve. On fausse volontairement l'un des deux angles d'un centigrade et l'on refait les deux chemins : si le contrôle avait la moindre valeur, un écart apparaîtrait entre eux.
- L'impact chiffré : avec l'angle de la première borne porté à \( 66{,}6767 \text{ gon} \), les deux chemins donnent tous deux \( (1\,249{,}95465 \, ; \, 1\,433{,}09177) \). L'écart entre eux vaut rigoureusement zéro, alors que le point est déplacé de 90,69 mm par rapport à sa position exacte. Le contrôle ne voit rien de ce qu'il est censé détecter.
- Pourquoi l'erreur passe inaperçue : la concordance est parfaite en toutes circonstances. Elle le serait encore si les deux angles étaient faux de dix grades chacun : le point calculé serait à des dizaines de mètres de sa position réelle, et les deux chemins continueraient de coïncider au millimètre.
- L'impact direct : présenter cette concordance comme une validation revient à annoncer au client une qualité que le dispositif ne garantit pas. Le seul contrôle réel serait une troisième visée depuis un point supplémentaire, qui ferait passer la surabondance au-dessus de l'unité.
Exécution de la Note de Calculs
- Coordonnées de référence : conservées sans arrondi , soit 1 250,00000 et 1 433,01323 m
- Variations imposées : un centigrade sur un angle, un centimètre sur une borne d'appui
- Déplacements : exprimés en millimètres
- Superficie : exprimée en mètres carrés , pour confrontation directe au seuil réglementaire
L'analyse procède en quatre volets : la sensibilité aux mesures et aux points d'appui, le taux de surabondance du canevas, la superficie couverte, et la réduction des longueurs à la surface de référence.
1. Résolution Numérique Déplacement du point pour un centigrade sur un angle mesuréPourquoi fait-on ce calcul ? Pour connaître le poids réel d'une lecture dans le résultat, et pour mettre à l'épreuve le contrôle par double rayonnement en observant si un écart apparaît entre les deux chemins.
On reprend l'intégralité de la chaîne — angle au sommet, rapport constant, deux visées, deux gisements, deux rayonnements — en portant l'angle de la première borne à \( 66{,}6767 \text{ gon} \). Les deux chemins livrent alors \( (1\,249{,}95465 \, ; \, 1\,433{,}09177) \), et l'on mesure l'écart de ce point à sa position exacte.
- Substitution : écarts en coordonnées de \( 0{,}04535 \text{ m} \) en abscisse et \( 0{,}07854 \text{ m} \) en ordonnée.
- Piège évité : ne modifier l'angle que dans le triangle sans le reporter sur le gisement de sa visée. Cette lecture intervient deux fois : elle fixe le troisième angle et elle oriente la visée.
- Hypothèse validée : la seconde lecture et les coordonnées d'appui sont maintenues à leur valeur du carnet : le déplacement obtenu est bien imputable à cette seule mesure.
- Vérification croisée : le point doit glisser le long de la visée issue de la seconde borne, qui n'a pas bougé — ce que confirment les signes obtenus.
- Finalité : établir le coefficient de sensibilité angulaire du dispositif et éprouver la valeur du contrôle.
Un centigrade — le centième de grade, résolution courante d'un théodolite de chantier — déplace le point de 90,69 mm. Et pendant ce temps, les deux chemins de rayonnement donnent exactement le même point faux : leur écart reste nul jusqu'à la cinquième décimale du millimètre.
- Ordre de grandeur : 90,69 mm par centigrade, soit 9,07 m par grade.
- Impact sur la suite : c'est cet ordre de grandeur — le décimètre — qui doit accompagner le point livré, et non la résolution millimétrique de l'affichage.
- Cohérence : le déplacement est bien dirigé le long de la visée issue de la seconde borne : ouvrir l'angle à la première borne fait glisser le point sur cette droite restée fixe.
- Attention : la seconde lecture produit exactement le même déplacement de 90,69 mm, mais dirigé de l'autre côté : la figure étant symétrique, les deux mesures pèsent d'un poids rigoureusement identique.
- Comparaison : ce déplacement de 90,69 mm est à mettre en face d'un écart entre chemins de zéro : le contrôle ne détecte pas un dixième de millimètre de ce qu'il devrait signaler.
Remarque pédagogique : éprouver un contrôle en faussant volontairement une donnée est la seule manière d'en connaître la portée. Un contrôle qui ne bronche jamais n'est pas un bon contrôle : c'est un contrôle aveugle.
Déplacement du point pour un centimètre sur une borne d'appuiPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les coordonnées des bornes ont été traitées comme exactes, ce qu'elles ne sont jamais. Elles proviennent d'un canevas antérieur, dont l'erreur propre se transmet intégralement au point nouveau.
On déplace la seconde borne d'un centimètre en abscisse et l'on refait toute la chaîne, calcul inverse compris — car la base change à la fois de longueur et d'orientation. Le point obtenu est \( (1\,250{,}00500 \, ; \, 1\,433{,}02189) \).
- Substitution : écarts en coordonnées de \( 0{,}00500 \text{ m} \) en abscisse et \( 0{,}00866 \text{ m} \) en ordonnée.
- Piège évité : ne modifier que la longueur de la base. Déplacer une borne change aussi le gisement, donc l'orientation de toute la figure.
- Hypothèse validée : les deux angles mesurés restent inchangés : l'écart porte uniquement sur la donnée d'appui.
- Vérification croisée : le déplacement doit être de l'ordre du centimètre lui-même, l'erreur d'un point d'appui se transmettant sans amplification notable dans une figure aussi ramassée.
- Finalité : situer la part d'erreur héritée du canevas d'appui par rapport à celle des observations.
Un centimètre sur une borne d'appui déplace le point calculé d'exactement un centimètre. La transmission se fait sans amplification, ce qui est la signature d'une figure bien conditionnée — mais aussi sans atténuation : l'erreur du canevas antérieur est intégralement héritée.
- Ordre de grandeur : 10,00 mm, à comparer aux 90,69 mm dus à un centigrade de lecture.
- Impact sur la suite : la précision des points d'appui doit figurer au dossier : sans elle, aucune incertitude ne peut être annoncée sur le point livré.
- Cohérence : le facteur de transmission valant l'unité, la figure ne dégrade pas la qualité de son appui : les angles y sont suffisamment ouverts pour cela.
- Attention : cette erreur est indétectable depuis l'intérieur du chantier : elle relève de l'erreur propre au réseau de référence, spécifiée par le gestionnaire de ce réseau, et aucun contrôle interne ne peut la révéler.
- Comparaison : pour que l'appui pèse autant qu'un centigrade de lecture, il faudrait une erreur de neuf centimètres sur la borne : dans cette configuration, ce sont bien les angles qui dominent le bilan.
Remarque pédagogique : un point n'est jamais mieux connu que les points sur lesquels il s'appuie. Traiter les coordonnées d'appui comme exactes est une commodité de calcul, jamais une propriété du terrain.
Taux de surabondance du canevasPourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir si une erreur de mesure pourrait, en principe, être détectée. C'est la question préalable à toute affirmation sur la qualité d'un levé.
Le canevas comporte un seul point nouveau, déterminé par deux coordonnées planimétriques ; les deux bornes sont des points d'appui, donnés. Deux angles ont été observés, et rien d'autre : le rapport se lit immédiatement.
- Substitution : \( n_{\text{obs}} = 2 \) mesures angulaires ; \( n_{\text{min}} = 2 \) coordonnées à déterminer. Arrêté 16 sept. 2003 — art. 6
- Piège évité : compter les deux rayonnements comme deux déterminations distinctes. Ils procèdent des mêmes deux mesures : aucune observation nouvelle n'y est introduite.
- Hypothèse validée : les coordonnées des bornes sont des données d'appui et non des observations de la présente opération.
- Vérification croisée : le canevas est effectivement déterminable, ce qui impose un taux au moins égal à l'unité.
- Finalité : établir si les erreurs du canevas peuvent être individualisées.
Le taux vaut exactement l'unité : le dispositif comporte le strict minimum de mesures. Ce nombre explique rétrospectivement tout ce que la sensibilité vient de montrer — les deux chemins devaient concorder, ils ne pouvaient pas faire autrement.
- Ordre de grandeur : 1,00 — la valeur plancher, celle d'un canevas juste déterminé.
- Impact sur la suite : aucune classe de précision ne peut être établie à partir des seules observations du carnet, faute de mesures de contrôle.
- Cohérence : deux droites se coupent toujours, quelles que soient leurs directions : aucune valeur d'angle ne peut rendre la figure impossible, donc aucune ne peut se dénoncer.
- Attention : une mesure de contrôle exige un procédé plus précis que la classe recherchée, avec un coefficient de sécurité au moins égal à deux. Refaire la même visée avec le même appareil ne remplirait pas cette condition. Arrêté 16 sept. 2003 — art. 2
- Comparaison : une troisième visée, depuis une borne supplémentaire, porterait le taux à 1,50 et ferait apparaître un triangle d'erreur : les trois droites cesseraient de concourir, et l'écart deviendrait enfin visible.
Remarque pédagogique : la surabondance se décide au moment de la conception du dispositif, jamais au bureau. Aucun calcul ne fabrique après coup une mesure qui n'a pas été faite.
Superficie couverte par le levéPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'obligation de fournir les informations localisées dans le système national de référence est soumise à deux seuils alternatifs : une superficie et une plus grande longueur. Il faut donc examiner les deux.
L'emprise du canevas est le triangle des trois points. Son aire vaut la moitié du produit de la base par la hauteur, deux grandeurs déjà établies.
- Substitution : \( D_{\text{AB}} = 500{,}000 \text{ m} \) et \( h_P = 433{,}013 \text{ m} \).
- Piège évité : ne vérifier que le seuil de longueur. Les deux critères sont alternatifs : le franchissement d'un seul suffit à rendre le texte applicable. Décret 2006-272 — art. 3
- Hypothèse validée : la hauteur employée est bien perpendiculaire à la base, la figure ayant été résolue en topographie plane.
- Vérification croisée : l'aire doit être inférieure à la moitié du produit des deux visées, soit \( 125\,000 \text{ m}^2 \).
- Finalité : situer l'opération au regard des seuils réglementaires.
La superficie couverte atteint 108 253 m², soit près de onze hectares : elle dépasse le seuil de \( 10\,000 \text{ m}^2 \) d'un facteur 10,8. Le levé relève donc du texte, sans discussion possible.
- Ordre de grandeur : 108 253 m² contre un seuil de 10 000 m².
- Impact sur la suite : si l'opération est entreprise par un service public, les informations localisées doivent être fournies en RGF93, avec la projection Lambert 93 ou les coniques conformes 9 zones pour la métropole. Décret 2006-272 — art. 1er A
- Cohérence : le résultat est bien inférieur aux \( 125\,000 \text{ m}^2 \) qu'aurait donnés un angle droit au sommet, ce que le contrôle annoncé prévoyait.
- Attention : le second critère mérite un examen serré. La base mesure exactement \( 500{,}000 \text{ m} \), et le texte vise les levés dont la plus grande longueur est supérieure à \( 500 \text{ m} \) : la base seule ne franchirait donc pas le seuil. Mais les deux visées valent \( 500{,}0005 \text{ m} \) sans arrondi, et elles le franchissent — d'un demi-millimètre.
- Comparaison : le texte prévoit en outre que ces seuils peuvent être abaissés ou supprimés par des dispositions résultant d'accords internationaux ou locaux, tels que contrats, conventions ou commandes publiques.
Remarque pédagogique : un seuil énoncé par une inégalité stricte se joue au dernier chiffre. Ici, s'en tenir à la base arrondie aurait conduit à écarter le critère de longueur pour un demi-millimètre — d'où l'intérêt de disposer d'un second critère et de les examiner tous les deux.
Réduction de la plus grande longueur à la surface de référencePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que fournir des coordonnées dans le système national suppose de ramener les longueurs à la surface de référence, et que cette correction dépend d'un paramètre absent du carnet : l'altitude moyenne du chantier.
On applique la réduction à la base, plus grande longueur mesurée du dispositif, pour une altitude de chantier de 100 m prise comme première hypothèse de travail. Le résultat sera repris pour une altitude dix fois supérieure afin d'encadrer l'effet.
- Substitution : \( D_h = 500{,}000 \text{ m} \), \( h_{\text{moy}} = 100 \text{ m} \) et \( R = 6\,378\,000 \text{ m} \). Fiche Certu T9
- Piège évité : appliquer la réduction sans disposer de l'altitude. En l'absence de cette donnée, la correction n'est pas calculable : elle doit être demandée, non supposée.
- Hypothèse validée : hauteur ellipsoïdale et altitude sont confondues, ce qui est admis en France pour des distances de cet ordre.
- Vérification croisée : rapportée au kilomètre, la correction doit valoir environ \( 1{,}6 \text{ cm} \) pour une altitude de 100 m.
- Finalité : situer cette correction par rapport aux sensibilités calculées plus haut.
À 100 m d'altitude, la correction ne vaut que 7,8 mm sur la base — douze fois moins que l'effet d'un centigrade de lecture. À 1 000 m, elle atteindrait 78,4 mm et deviendrait du même ordre que la sensibilité angulaire.
- Ordre de grandeur : 7,8 mm à 100 m d'altitude, 78,4 mm à 1 000 m.
- Impact sur la suite : l'altitude moyenne doit figurer au dossier, le seuil de superficie étant franchi et la fourniture dans le système national devenant obligatoire.
- Cohérence : rapportée au kilomètre, la correction vaut 1,6 cm pour une altitude de 100 m, conformément à la table de la fiche employée.
- Attention : cette correction est systématique : elle ne se compense pas et va toujours dans le même sens, contrairement aux écarts de pointé qui se répartissent au hasard.
- Comparaison : en site de plaine, cette correction reste secondaire devant la sensibilité angulaire ; en montagne, elle devient un terme de premier ordre du bilan.
| Donnée modifiée | Variation imposée | Point obtenu par les deux chemins (m) | Déplacement · écart entre chemins |
|---|---|---|---|
| Aucune (référence) | — | 1 250,00000 · 1 433,01323 | — · 0,00000 m |
| Angle mesuré en A | + 0,01 gon | 1 249,95465 · 1 433,09177 | 90,69 mm · 0,00000 m |
| Angle mesuré en B | + 0,01 gon | 1 250,04535 · 1 433,09177 | 90,69 mm · 0,00000 m |
| Abscisse de la borne B | + 0,01 m | 1 250,00500 · 1 433,02189 | 10,00 mm · 0,00000 m |
Remarque pédagogique : la dernière colonne est le cœur de l'exercice. Le déplacement varie de dix à quatre-vingt-onze millimètres selon la donnée faussée, tandis que l'écart entre les deux chemins reste nul dans tous les cas : le contrôle est structurellement aveugle.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche complète de l'intersection et de son analyse :
La mission produit le livrable attendu. Le point inaccessible est déterminé en (1 250,000 ; 1 433,013), obtenu sans qu'aucun opérateur ne l'ait approché. Le chemin est entièrement documenté : le calcul inverse restitue d'abord une base de \( 500{,}000 \text{ m} \) orientée à \( 100{,}0000 \text{ gon} \), le triangle est ensuite résolu — angle au sommet de \( 66{,}6666 \text{ gon} \), rapport constant de \( 577{,}3506 \text{ m} \), deux visées de \( 500{,}000 \text{ m} \) —, puis chaque visée est rayonnée depuis sa borne. Deux angles mesurés, et deux seulement, ont produit ces deux coordonnées.
Deux points de méthode méritent d'être signalés au dossier. Le premier concerne l'orientation de la base : les deux bornes ayant la même ordonnée, le quotient de l'arc tangente n'est pas défini, et la formule classique du gisement est inapplicable. L'orientation a donc été établie par les cosinus directeurs : le couple \( (1{,}000000 \, ; \, 0{,}000000) \) ne correspond qu'à un seul gisement du tour complet, et la somme de leurs carrés vaut exactement l'unité, ce qui valide au passage la distance calculée. Le second concerne le sens de composition des gisements de visée, qui est opposé d'une station à l'autre : soustraction à la première borne, addition à la seconde après passage par le gisement inverse. Une composition uniforme aurait rabattu le point de \( 866{,}026 \text{ m} \) du mauvais côté de la base, en laissant son abscisse rigoureusement inchangée — la moitié du résultat serait restée juste.
Reste la question qui décide de la valeur du travail livré : que prouve la concordance des deux rayonnements ? Le canevas comporte un seul point nouveau, déterminé par deux coordonnées, pour deux angles observés : le taux de surabondance vaut exactement 1,00. Or les erreurs affectant un canevas ne peuvent être individualisées que lorsque les mesures présentent une surabondance suffisante. La démonstration a été conduite numériquement : en portant l'angle de la première borne à \( 66{,}6767 \text{ gon} \), les deux chemins livrent tous deux \( (1\,249{,}95465 \, ; \, 1\,433{,}09177) \) — écart nul entre eux, alors que le point est déplacé de 90,69 mm. Le double rayonnement contrôle donc les gisements, les signes et l'arithmétique ; il ne voit rien des observations. Une détermination de contrôle au sens réglementaire supposerait un procédé plus précis que la classe recherchée, affecté d'un coefficient de sécurité au moins égal à 2 : le présent carnet n'en comporte aucune. La seule information disponible sur la qualité du point est donc la sensibilité calculée : \( 90{,}69 \text{ mm} \) par centigrade sur chacun des deux angles — la symétrie de la figure leur donnant un poids identique — et \( 10{,}00 \text{ mm} \) par centimètre d'erreur sur une borne d'appui, cette dernière étant indétectable depuis l'intérieur du chantier puisqu'elle relève de l'erreur propre au réseau de référence. Une troisième visée, depuis une borne supplémentaire, porterait la surabondance à 1,50 et ferait apparaître un triangle d'erreur : c'est le seul dispositif qui rendrait une faute d'observation visible.
Deux réserves accompagnent cette conclusion et doivent figurer au rapport. La première tient au régime réglementaire. Le levé couvre une superficie de \( 108\,253 \text{ m}^2 \), soit 10,8 fois le seuil de \( 10\,000 \text{ m}^2 \) : le texte s'applique sans discussion possible si l'opération est entreprise par un service public, et les informations localisées doivent alors être fournies en RGF93, avec la projection Lambert 93 ou les coniques conformes 9 zones pour la métropole. Le second critère mérite une lecture attentive : le seuil porte sur une plus grande longueur supérieure à \( 500 \text{ m} \), et la base mesure exactement \( 500{,}000 \text{ m} \) — elle ne le franchirait donc pas. Les deux visées, en revanche, valent \( 500{,}0005 \text{ m} \) sans arrondi et le franchissent d'un demi-millimètre. S'en tenir à la base arrondie aurait conduit à écarter ce critère pour cette seule fraction de millimètre : les deux seuils étant alternatifs, il faut les examiner tous les deux, et le premier suffisait ici à trancher. Ces seuils peuvent en outre être abaissés ou supprimés par contrat, convention ou commande publique. La seconde réserve tient à une donnée manquante : la réduction des longueurs à la surface de référence dépend de l'altitude moyenne du chantier, que le carnet ne fournit pas. Portée aux données comme paramètre à renseigner, elle produit \( 7{,}8 \text{ mm} \) sur la base pour une altitude de 100 m et \( 78{,}4 \text{ mm} \) pour 1 000 m — secondaire en plaine devant la sensibilité angulaire, du même ordre en montagne. La précision des points d'appui, également absente du dossier, doit y être ajoutée avant qu'une quelconque incertitude puisse être annoncée sur le point livré.
