Implantation par Intersection
Déterminer un point inaccessible par deux visées angulaires : résolution du triangle par la loi des sinus, et la question que l'on élude toujours — ce double calcul contrôle-t-il vraiment quelque chose ?
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : Un point est inaccessible : de l'autre côté d'une rivière, au sommet d'un pylône, au milieu d'une emprise interdite. On ne peut pas y poser de prisme, donc on ne peut mesurer aucune distance. Il reste les angles. Depuis deux stations connues, on vise le point et on relève deux directions ; leur intersection le détermine. Toute la difficulté est ensuite de résoudre le triangle — et surtout de savoir ce que l'on a réellement vérifié à la fin.
Avant tout calcul, mesurez ce qui distingue l'intersection du rayonnement . Quatre éléments le gouvernent :
-
Enjeu Principal : Aucune distance mesurée. Les deux longueurs du triangle sont calculées, pas relevées. Elles héritent donc de toutes les erreurs de la base et des deux angles.
-
Environnement : La base file vers l'est en descendant légèrement : \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y < 0 \). Correction de quadrant de +200 gon, et un rapport de −12,5 qui place le gisement tout près du plein est.
-
L'objectif final : Les coordonnées du point inaccessible, au millimètre, accompagnées de contrôles qui contrôlent réellement quelque chose.
-
L'astuce de l'ingénieur : Calculer le point depuis les deux stations paraît être une vérification. Ce n'en est pas une : les deux distances viennent de la même loi des sinus, et les deux chemins donnent le même point par construction.
Vous êtes géomètre. Deux stations rattachées, deux angles relevés, un point hors d'atteinte. Votre travail consiste à en déduire les coordonnées, puis à dire honnêtement ce que vos contrôles démontrent — et ce qu'ils ne démontrent pas.
- Le grand défi : résoudre un triangle dont un seul côté est connu, puis distinguer un contrôle d'arithmétique d'un véritable contrôle de mesure.
- Votre rôle : calculer, contrôler par des chemins réellement indépendants, et chiffrer la sensibilité géométrique de la configuration.
- Le gisement et la distance de la base, à quatre décimales de gon et au millimètre, avec la justification du quadrant.
- L'angle au sommet du triangle et les deux gisements des visées vers le point, avec le sens de chaque angle explicité.
- Les deux distances par la loi des sinus et les coordonnées du point calculées depuis la première station.
- Le calcul depuis la seconde station, une analyse honnête de ce qu'il vérifie, trois contrôles réels, la sensibilité géométrique et la classe de précision.
L'intersection est une méthode purement angulaire : aucune longueur n'est mesurée sur le terrain, toutes sont calculées. La qualité du résultat dépend donc entièrement de deux choses — la qualité de la base, qui doit être rattachée au système national de référence, et la forme du triangle, qui amplifie plus ou moins les erreurs angulaires. Le premier point relève de la loi et du décret ; le second n'est encadré par aucun texte du dossier, mais il se calcule. Reste l'arrêté du 16 septembre 2003, qui dit dans quelle classe de précision le point pourra être contrôlé.
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer ! Remarquez que la loi des sinus est la seule formule vraiment nouvelle : tout le reste relève du calcul de gisement déjà pratiqué.
- Gisement entre deux points connus \( G_{\text{A-B}} = \arctan\left(\dfrac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + k \cdot 200^{\text{gon}} \)
- Distance entre deux points connus \( D_{\text{A-B}} = \sqrt{\Delta X^{2} + \Delta Y^{2}} \)
- Gisement inverse \( G_{\text{B-A}} = G_{\text{A-B}} \pm 200^{\text{gon}} \)
- Somme des angles d'un triangle \( \gamma = 200^{\text{gon}} - \left( \alpha + \beta \right) \)
- Loi des sinus \( \dfrac{D_{\text{S1-P}}}{\sin\beta} = \dfrac{D_{\text{S2-P}}}{\sin\alpha} = \dfrac{D_{\text{S1-S2}}}{\sin\gamma} \)
- Rayonnement — abscisse \( X_{\text{P}} = X_{\text{S}} + D_{\text{S-P}} \sin G_{\text{S-P}} \)
- Rayonnement — ordonnée \( Y_{\text{P}} = Y_{\text{S}} + D_{\text{S-P}} \cos G_{\text{S-P}} \)
- Facteur de dilution géométrique \( f = \dfrac{1}{\sin\gamma} \)
- Règle des quadrants \( k = 0 \) si \( \Delta X \geq 0, \Delta Y > 0 \) · \( k = 1 \) si \( \Delta Y < 0 \) · \( k = 2 \) si \( \Delta X < 0, \Delta Y > 0 \)
- Tolérance individuelle (arrêté 2003) \( T = k \cdot [xx] \cdot \left(1 + \dfrac{1}{2C^{2}}\right) \)
PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| S1 | Première station, rattachée au système légal (RGF93, ellipsoïde IAG GRS 1980, projection Lambert-93) Décret 2000-1276 du 26 déc. 2000 modifié par décret 2006-272, art. 1er | 500,00 / 1000,00 | m |
| S2 | Seconde station. Le segment S1-S2 constitue la base : c'est la seule longueur connue de toute la figure | 750,00 / 980,00 | m |
| P | Point inaccessible à déterminer : aucun prisme ne peut y être posé, donc aucune distance ne peut y être mesurée | à déterminer | m |
- Planimétrie : \( \text{RGF93} \) — projection \( \text{Lambert-93} \), complétée par neuf zones coniques conformes
- Unité angulaire : le \( \text{grade} \), soit 400 par tour et 200 pour la somme des angles d'un triangle
CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| α | Angle S2-S1-P mesuré à la première station, compté de la base vers le point dans le sens anti-horaire — d'où une soustraction | 65,4320 | gon |
| β | Angle P-S2-S1 mesuré à la seconde station, compté du point vers la base — d'où une addition au gisement inverse | 72,9150 | gon |
| DS-P | Distances des stations au point : aucune n'est mesurée. Elles seront toutes deux calculées par la loi des sinus | non mesurées | — |
| k | Coefficient de fiabilité en planimétrie (n = 2), utilisé dans la tolérance individuelle d'un point contrôlé Arrêté du 16 sept. 2003, art. 5 — paramètres de spécification | 2,42 | — |
- Troisième visée : aucune — il n'existe donc aucune redondance de mesure, et les contrôles ne pourront porter que sur le calcul
- Incertitude des angles : non fournie — la sensibilité géométrique sera donc exprimée par grade d'erreur, et non en valeur absolue
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution. Les deux premiers fixent l'obligation de rattachement et le système de coordonnées, le troisième le dispositif de contrôle de précision. Le quatrième tableau, lui, n'est pas une norme : c'est un calcul.
Extrait — Loi n° 95-115 modifiée, art. 53 : obligation de rattachement| Classe / Catégorie | Coefficient ou Valeur |
|---|---|
| Travaux concernés | travaux topographiques ou cartographiques |
| Maîtres d'ouvrage visés | État, collectivités locales, entreprises chargées d'une mission de service public, ou pour leur compte |
| Obligation | rattachement au système national de référence défini par décret |
| Classe / Catégorie | Coefficient ou Valeur |
|---|---|
| Système géodésique — France métropolitaine | RGF93 |
| Ellipsoïde associé | IAG GRS 1980 |
| Projections | Lambert-93, complétée par neuf zones coniques conformes |
| Classe / Catégorie | Coefficient ou Valeur |
|---|---|
| Coefficient de fiabilité k — planimétrie (n = 2) | 2,42 |
| Critère de moyenne | Emoy < [xx] × (1 + 1/8) |
| Tolérance individuelle | T = k × [xx] × (1 + 1/(2C²)), avec C ≥ 2 |
| Critère maximal — planimétrie | 4,08 × [xx] |
| Petits échantillons | si N < 5, aucun dépassement toléré |
| Classe / Catégorie | Coefficient ou Valeur |
|---|---|
| γ = 60 gon environ — cas de cet exercice | facteur 1,21 |
| γ = 50 gon | facteur 1,41 |
| γ = 30 gon | facteur 2,20 |
| γ = 20 gon | facteur 3,24 |
| γ = 10 gon | facteur 6,39 |
- Le rattachement est une obligation légale, pas une bonne pratique. La loi vise l'État, les collectivités et les entreprises chargées d'une mission de service public — champ plus large que les seules personnes publiques.
- Tout repose sur la base. En intersection, aucune distance n'est mesurée : la seule longueur du problème vient des coordonnées des deux stations. Si elles ne sont pas dans le même système, le calcul entier perd son sens.
- Une classe de précision se déclare. L'arrêté fournit trois seuils calculés à partir d'une valeur [xx] déclarée au marché — et rappelle qu'un échantillon de moins de cinq points ne tolère aucun dépassement.
- La forme du triangle n'est encadrée par aucun texte du dossier. Le dernier tableau n'est donc pas une norme : c'est le facteur \( 1/\sin\gamma \), calculé. Il montre qu'un angle de 20 gon au sommet triple l'effet d'une erreur angulaire par rapport à un triangle bien conformé.
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous. La particularité de cet exercice est qu'il se termine par une question de méthode : le double calcul du point, présenté partout comme une vérification, mérite d'être examiné pour ce qu'il est réellement.
Question 1 : Le gisement et la distance de la base
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
La seconde station est plus à l'est mais plus au sud : \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y < 0 \). C'est le deuxième quadrant, celui qui impose +200 gon.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Le rapport vaut −12,5 : très grand en valeur absolue, donc la direction est presque plein est. Attendez-vous à un gisement à peine supérieur à 100 gon, et à une base d'un peu plus de 250 m.
Question 2 : L'angle au sommet et les deux gisements
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Dans un triangle, la somme des angles vaut 200 gon et non 180 : le système centésimal partage le tour en 400. L'angle au sommet s'obtient donc par simple différence.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Pour la seconde visée, il faut d'abord se transporter à la station S2 : son gisement vers S1 vaut celui de la base plus 200 gon. C'est de là que l'angle β s'ajoute. Attendez-vous à un gisement proche de 378 gon.
Question 3 : Les distances et les coordonnées du point
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Dans la loi des sinus, chaque côté est associé à l'angle qui lui fait face. Le côté S1-P fait face à l'angle mesuré en S2, et réciproquement. Intervertir les deux est l'erreur la plus fréquente.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Les deux angles à la base étant supérieurs à l'angle au sommet, les deux côtés cherchés seront plus longs que la base. Attendez-vous à des distances comprises entre 255 et 285 m.
Question 4 : Le second calcul, les vrais contrôles et la précision
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Demandez-vous d'où viennent les deux distances employées. Si elles proviennent toutes deux de la même loi des sinus appliquée à la même base et aux mêmes angles, que peut bien démontrer le fait qu'elles se rejoignent ?
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
L'écart entre les deux déterminations sera rigoureusement nul, et non « de quelques millimètres dus aux arrondis ». Pour des contrôles réels, repartez des coordonnées obtenues : l'angle au sommet doit s'y retrouver, les distances aussi, et le rapport de la loi des sinus doit être constant.
Implantation par Intersection
"La base est tout dans une intersection. C'est la seule longueur du problème, et c'est la direction à laquelle les deux angles mesurés se rapportent. Je regarde les signes : la seconde station est plus à l'est mais plus au sud. Donc \( \Delta Y \) négatif, donc +200 gon. Et le rapport vaut −12,5 : énorme en valeur absolue, ce qui signifie que la base est presque plein est. Le gisement sera donc à peine au-dessus de 100 gon. Si ma calculatrice me sort autre chose, je saurai tout de suite qu'elle n'est pas en grades."
- Observation : \( \Delta X = +250{,}00 \) m et \( \Delta Y = -20{,}00 \) m. Signes contraires : c'est la signature du deuxième quadrant.
- Analyse du risque : l'arctangente d'un grand nombre. Elle se rapproche de l'asymptote, et un chiffre de trop ou de moins dans le rapport change peu le résultat — ce qui rend l'erreur d'autant plus difficile à repérer.
- Choix stratégique : je contrôle le gisement obtenu en recalculant sa tangente. Elle doit rendre exactement −12,5.
- Alternative : employer la fonction atan2, qui gère seule le quadrant. Écartée pour la rédaction : elle escamote le raisonnement sur les signes.
- Objectif visé : un gisement à quatre décimales et une longueur au millimètre, tous deux encadrés d'avance.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Dans un rayonnement, la distance est mesurée : le calcul ne fait que la reporter. Dans une intersection, aucune distance n'est mesurée — la seule longueur du problème est celle de la base, déduite des coordonnées des deux stations. Toutes les autres longueurs en découlent par la loi des sinus. La base est donc à la fois l'unité de mesure et la référence de direction de tout l'exercice.
Deux relations : le gisement de la base, puis sa longueur.
Gisement entre deux points connus :Direction absolue de la première station vers la seconde.
Parce que les deux écarts de coordonnées forment un triangle rectangle dont le gisement est l'angle au sommet, mesuré depuis le côté vertical. L'arctangente rend cet angle, la constante de quadrant le place.
- \( G_{\text{S1-S2}} \) : gisement de la base, unité : gon
- \( \Delta X \) : écart d'abscisse entre les deux stations, unité : m
- \( \Delta Y \) : écart d'ordonnée entre les deux stations, unité : m
- \( k \) : constante de quadrant, valant 1 ici, unité : sans dimension
- L'arctangente : négative ici, à corriger par un demi-tour, unité : gon
Longueur de la base, seule dimension connue de la figure.
Parce que c'est l'unique échelle du problème. Les deux autres côtés du triangle en seront déduits par un simple rapport de sinus : ils lui sont proportionnels.
- \( D_{\text{S1-S2}} \) : longueur de la base, unité : m
- \( \Delta X^{2} \) : carré de l'écart d'abscisse, unité : m²
- \( \Delta Y^{2} \) : carré de l'écart d'ordonnée, unité : m²
- La somme : carré de l'hypoténuse, unité : m²
- La racine : ramène à une longueur, unité : m
"Beaucoup d'étudiants acceptent l'arctangente sans la recontrôler. Avec un rapport aussi grand que −12,5, la fonction varie très lentement : entre −94,9 et −95,1 gon, la tangente ne change presque pas. Une erreur de deux dixièmes de grade passe donc totalement inaperçue — et se propage dans les six calculs suivants..."
- L'erreur : croire qu'un résultat plausible est un résultat juste. Près de l'asymptote, tous les résultats sont plausibles.
- La bonne méthode : calculer \( \tan(G - 200) \) et vérifier qu'on retrouve −12,5000. Une touche, et le doute est levé.
- L'astuce de pro : se rappeler que \( \arctan(\infty) = 100 \) gon. Un rapport de −12,5 doit donc donner un angle très proche de −100 gon, mais pas égal.
- Le moyen mnémotechnique : « près de l'asymptote, tout se ressemble ».
- L'impact direct : la version précédente de cet exercice annonçait −95,0945 gon au lieu de −94,9179, soit 0,1766 gon d'écart. Reporté sur les 277 m de la visée vers le point, cet écart déplace celui-ci de 77 centimètres.
Exécution de la Note de Calculs
- Coordonnées et écarts : en mètres , avec leur signe.
- Rapport des écarts : sans dimension , six décimales.
- Gisement : en grades (gon) , quatre décimales.
- Distance : en mètres horizontaux , au millimètre.
- Calculatrice : mode GRAD , vérifié par \( \arctan(1) = 50 \).
Nous formons les coordonnées partielles , nous posons les encadrements, puis nous calculons le gisement et la distance.
1. Résolution Numérique Étape 1 : les coordonnées partielles et le quadrantPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce sont les signes, et non le résultat de l'arctangente, qui déterminent la constante de quadrant.
Le quadrant. L'ordonnée diminue : la seconde station est plus au sud. Avec une abscisse qui croît, la direction est au sud-est, donc dans le deuxième quadrant.
Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le rapport est très grand en valeur absolue, ce qui resserre considérablement l'encadrement du gisement.
a) L'encadrement du gisement. Le deuxième quadrant s'étend de 100 à 200 gon, et un rapport aussi grand place la direction tout près du plein est.
b) L'encadrement de la distance.
Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la direction de référence des deux angles mesurés. Tout l'exercice s'y rapporte.
Le contrôle par la tangente. On refait le chemin en sens inverse : la tangente doit restituer le rapport de départ.
105,0821 gon : la base est à cinq grades du plein est. C'est cohérent avec un rapport de −12,5 : la composante nord-sud représente moins d'un dixième de la composante est-ouest.
- Ordre de grandeur : \( \arctan(12{,}5) = 94{,}92 \) gon, soit à peine plus de 5 gon de l'angle droit — conforme à l'attente
- Impact sur la suite : ce gisement sera utilisé deux fois : tel quel pour la première visée, augmenté de 200 gon pour la seconde. Son erreur, s'il en avait une, se retrouverait dans les deux.
- Cohérence : la tangente restitue exactement −12,500000. Le gisement et le rapport sont mutuellement validés.
- Attention : la version précédente annonçait 104,9055 gon, une valeur qui tombe dans le bon quadrant et paraît tout aussi vraisemblable. Seul le contrôle par la tangente la démasque.
- Comparaison : par rapport aux normes, les deux stations doivent relever du même système RGF93 / Lambert-93 au sens du décret n° 2000-1276 modifié — obligation qui découle de l'article 53 de la loi n° 95-115.
Remarque pédagogique : Le contrôle par la tangente coûte une touche de calculatrice. Sur une fonction qui varie lentement, c'est le seul moyen de détecter une erreur au dixième de grade.
Étape 4 : la longueur de la basePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'unique échelle de la figure : les deux autres côtés du triangle lui seront proportionnels.
250,799 m : à peine plus que l'écart en X. La composante nord-sud n'ajoute que 80 centimètres à la longueur, ce qui confirme une base presque est-ouest.
- Ordre de grandeur : la valeur tombe bien dans l'encadrement 250,000 à 270,000 m
- Impact sur la suite : cette longueur sera multipliée par un rapport de sinus pour donner les deux côtés du triangle. Toute erreur relative sur elle se retrouve telle quelle sur eux.
- Cohérence : \( \sqrt{62900} \) est légèrement supérieur à \( \sqrt{62500} = 250 \) : l'écart de 0,799 m correspond bien aux 400 m² ajoutés.
- Attention : cette base est plus courte que les deux visées qu'elle va engendrer. C'est courant en intersection, mais cela signifie que l'erreur sur la base est amplifiée vers le point.
- Comparaison : par rapport à la version précédente, qui annonçait 250,80 m, la valeur au millimètre vaut 250,799 m : l'écart d'un millimètre est ici sans conséquence, contrairement à celui du gisement.
Remarque pédagogique : En intersection, la base n'est jamais contrôlée par la mesure : elle vient de coordonnées existantes. C'est pourquoi la qualité des points d'appui compte autant que celle des angles.
Le schéma ci-dessous montre le triangle des coordonnées partielles de la base. On y voit pourquoi un rapport de −12,5 donne une direction quasiment est-ouest.
Une lecture utile pour le terrain : le triangle des coordonnées partielles est extrêmement aplati — 250 m contre 20 m. C'est exactement ce que traduit le rapport de −12,5. Sur le dessin, la base paraît presque horizontale, et son gisement à peine supérieur à 100 gon confirme qu'elle file quasiment plein est.
"Deux angles mesurés, deux directions à en tirer — et pour chacune, une question de sens. L'angle α est compté de la base vers le point : le gisement de la visée est donc en deçà de celui de la base, je soustrais. L'angle β est compté du point vers la base, à l'autre station : je pars du gisement inverse et j'ajoute. Ce va-et-vient entre les deux stations est la seule vraie difficulté de la question. Quant à l'angle au sommet, il se déduit de la somme des angles du triangle — 200 gon, et non 180."
- Observation : les deux angles mesurés sont supérieurs à l'angle au sommet. Les deux côtés cherchés seront donc plus longs que la base.
- Analyse du risque : confondre le sens des deux angles. Une addition au lieu d'une soustraction placerait le point de l'autre côté de la base.
- Choix stratégique : je calcule le gisement inverse explicitement, en une ligne à part. C'est l'étape que l'on saute le plus volontiers, et celle qui coûte le plus cher.
- Alternative : travailler avec les angles orientés depuis le nord à chaque station. Écartée : l'énoncé donne des angles rapportés à la base, autant les employer tels quels.
- Objectif visé : un angle au sommet et deux gisements, chacun accompagné de la justification de son sens.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Dans le système centésimal, le tour vaut 400 gon et l'angle plat 200 : la somme des angles d'un triangle vaut donc 200 gon. Le troisième angle se déduit des deux autres sans aucune mesure. Reste à orienter les deux visées — ce qui suppose de savoir se transporter d'une station à l'autre, en retournant le gisement de la base.
Trois relations : l'angle au sommet, le gisement inverse, puis le transport de direction.
Somme des angles du triangle :Donne l'angle au sommet sans aucune mesure supplémentaire.
Parce que la somme des angles d'un triangle plan est une constante. Deux angles mesurés suffisent donc à connaître le troisième, y compris lorsque son sommet est inaccessible.
- \( \gamma \) : angle au sommet, sous lequel la base est vue depuis P, unité : gon
- \( \alpha \) : angle mesuré à la première station, unité : gon
- \( \beta \) : angle mesuré à la seconde station, unité : gon
- 200 : somme des angles d'un triangle en système centésimal, unité : gon
- Son sinus : apparaîtra au dénominateur de la loi des sinus, unité : sans dimension
Permet de se transporter d'une station à l'autre.
Parce que l'angle β est mesuré à la seconde station, et rapporté à la direction qui pointe vers la première. Il faut donc disposer de cette direction, qui est l'inverse de la base.
- \( G_{\text{S2-S1}} \) : gisement de la seconde station vers la première, unité : gon
- \( G_{\text{S1-S2}} \) : gisement de la base, calculé à la question 1, unité : gon
- 200 : demi-tour en système centésimal, unité : gon
- Le signe : indifférent, à 400 gon près, unité : sans dimension
- La distance associée : inchangée, c'est la même base, unité : m
Donne le gisement d'une visée à partir d'une direction connue et de l'angle relevé.
Parce qu'un angle mesuré est toujours relatif : il ne prend un sens absolu qu'ajouté ou retranché à une direction déjà connue.
- \( G_{\text{S1-P}} \) : gisement de la première visée, unité : gon
- \( G_{\text{S1-S2}} \) : gisement de la base, direction de départ, unité : gon
- \( \alpha \) : angle mesuré, compté de la base vers le point, unité : gon
- Le signe moins : imposé par le sens de mesure anti-horaire, unité : sans dimension
- La formule symétrique : à la seconde station, l'angle s'ajoute au gisement inverse, unité : gon
"Beaucoup d'étudiants appliquent l'angle β au gisement direct de la base, sans passer par le gisement inverse. Ils écrivent \( G_{\text{S2-P}} = G_{\text{S1-S2}} + \beta \) et obtiennent 178,00 gon au lieu de 378,00. Le point sort alors de l'autre côté de la base, à plusieurs centaines de mètres..."
- L'erreur : oublier qu'on a changé de station. L'angle β n'a pas été mesuré depuis S1, il l'a été depuis S2.
- La bonne méthode : nommer explicitement chaque direction — « de S2 vers S1 » — avant de lui ajouter quoi que ce soit.
- L'astuce de pro : vérifier sur le dessin que les deux visées se croisent bien du même côté de la base. Si elles divergent, un gisement est faux d'un demi-tour.
- Le moyen mnémotechnique : « changer de station, c'est retourner le gisement ».
- L'impact direct : avec 178,00 gon au lieu de 378,00, la seconde visée partirait vers le sud-est au lieu du nord-ouest. Les deux droites ne se couperaient plus au bon endroit, et la loi des sinus donnerait quand même un résultat — faux, mais numériquement crédible.
Exécution de la Note de Calculs
- Angles mesurés et gisements : en grades , quatre décimales.
- Somme des angles du triangle : 200 gon , et non 180.
- Demi-tour : 200 gon ; tour complet : 400 gon.
- Intervalle des gisements : 0 à 400 gon .
- Gisement de la base : repris sans arrondi depuis la question 1.
Nous calculons d'abord l'angle au sommet , puis la première visée, puis nous nous transportons à la seconde station.
1. Résolution Numérique Étape 1 : l'angle au sommetPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'angle sous lequel la base est vue depuis le point inaccessible — celui qu'aucun instrument ne pourra jamais mesurer, et dont dépend toute la précision de l'intersection.
61,65 gon au sommet. C'est un angle confortable : les deux visées se croisent franchement, sans se raser. Un triangle parfaitement équilatéral donnerait 66,67 gon à chaque sommet — nous n'en sommes pas loin.
- Ordre de grandeur : les trois angles valent 65,43, 72,92 et 61,65 gon : leur somme fait bien 200,0000
- Impact sur la suite : son sinus figurera au dénominateur de la loi des sinus. Plus il est petit, plus les distances calculées sont grandes et incertaines.
- Cohérence : l'angle au sommet est le plus petit des trois : le côté qui lui fait face — la base — sera donc le plus court du triangle.
- Attention : cette somme ne constitue pas un contrôle. Avec seulement deux angles mesurés, le troisième est calculé, pas vérifié : aucune fermeture n'est possible.
- Comparaison : par rapport à la géométrie de l'intersection, un angle au sommet de 61,65 gon donne un facteur de dilution \( 1/\sin\gamma \) de 1,21 seulement. À 20 gon, il monterait à 3,24.
Remarque pédagogique : En système centésimal, la somme des angles d'un triangle vaut 200 gon. Écrire 180 est l'erreur la plus fréquente chez qui passe du degré au grade.
Étape 2 : la première viséePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'angle α a été mesuré depuis la base vers le point, dans le sens qui diminue le gisement : il se retranche.
Le quadrant qui en découle. Un gisement inférieur à 100 gon place le point au nord-est de la première station : sinus et cosinus seront tous deux positifs.
Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'angle β n'a pas été mesuré depuis la première station. Il faut d'abord disposer de la direction S2 vers S1, qui sert de référence au carnet de la seconde station.
La seconde visée. L'angle β se compte du point vers la base ; le gisement de la visée s'obtient donc en l'ajoutant au gisement inverse.
Faut-il réduire ? La somme est comparée au tour complet.
Aucune réduction nécessaire — mais de peu. Il aurait suffi que l'angle β dépasse 94,92 gon pour qu'un tour complet soit franchi. La vérification n'était donc pas de pure forme.
- Ordre de grandeur : 377,9971 gon place la seconde visée au nord-ouest : sinus négatif, cosinus positif
- Impact sur la suite : les deux visées partent l'une vers le nord-est, l'autre vers le nord-ouest : elles convergent bien vers un point situé au nord de la base.
- Cohérence : les deux gisements de la base diffèrent exactement de 200 gon — 105,0821 et 305,0821. Le transport est validé.
- Attention : sans le passage par le gisement inverse, on obtiendrait 178,00 gon : une direction vers le sud-est, à l'opposé du point cherché.
- Comparaison : par rapport à la version précédente de cet exercice, qui annonçait 39,4735 et 377,8205 gon, l'écart de 0,1766 gon sur chacun vient intégralement du gisement de base faux — la mécanique du transport, elle, était correcte.
Remarque pédagogique : Écrire le gisement inverse sur sa propre ligne coûte trois secondes et rend l'erreur impossible. C'est le meilleur usage d'une ligne de calcul dans tout cet exercice.
Le schéma ci-dessous montre le triangle entièrement résolu en angles, avec les deux gisements des visées et les deux directions de référence à chaque station.
Une lecture utile pour le terrain : les deux visées s'ouvrent franchement de part et d'autre du point, ce qui est la configuration recherchée. Si l'angle au sommet avait été très aigu, les deux droites se seraient rasées, et la position de leur intersection serait devenue très sensible au moindre écart de pointé — c'est ce que la question 4 chiffrera.
"C'est ici que les longueurs apparaissent — et il faut bien voir qu'elles sont fabriquées. Aucun instrument ne les a mesurées : elles naissent d'un rapport de sinus appliqué à la base. Je fais donc très attention à l'appariement : le côté cherché va avec l'angle qui lui fait face, jamais avec l'angle qui le touche. Un encadrement pour finir : les deux angles à la base sont plus grands que l'angle au sommet, donc les deux côtés cherchés seront plus longs que la base."
- Observation : \( \gamma \) est le plus petit des trois angles, donc la base est le plus court des trois côtés du triangle.
- Analyse du risque : intervertir α et β dans la loi des sinus. Les deux distances s'échangeraient, et le point sortirait ailleurs — sans qu'aucun ordre de grandeur ne choque.
- Choix stratégique : je calcule d'abord les trois sinus, puis les rapports. Les valeurs intermédiaires restent lisibles et vérifiables.
- Alternative : résoudre l'intersection par un système de deux équations de droites. Écartée : c'est algébriquement équivalent, mais on perd la lecture géométrique du triangle.
- Objectif visé : deux distances calculées au millimètre et les coordonnées du point, encadrées d'avance.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Dans tout triangle, le rapport d'un côté au sinus de l'angle qui lui fait face est une constante. Cette constante vaut le diamètre du cercle circonscrit — mais peu importe : ce qui compte est qu'elle soit la même pour les trois couples. Connaissant un côté et les trois angles, on obtient donc les deux autres côtés par simple proportion.
Trois relations : la loi des sinus, puis les deux projections du rayonnement.
Loi des sinus :Donne les deux côtés inconnus à partir de la base et des trois angles.
Parce qu'elle est la seule qui permette d'obtenir une longueur sans la mesurer, à partir d'angles seuls et d'une longueur de référence. C'est le fondement de toute la triangulation.
- \( D_{\text{S1-P}} \) : côté cherché depuis la première station, unité : m
- \( \sin\beta \) : sinus de l'angle mesuré en S2, opposé à ce côté, unité : sans dimension
- \( D_{\text{S1-S2}} \) : base connue, unique échelle du problème, unité : m
- \( \sin\gamma \) : sinus de l'angle au sommet, opposé à la base, unité : sans dimension
- La constante commune : identique pour les trois couples, c'est le diamètre du cercle circonscrit, unité : m
Position en X du point, atteinte depuis la première station.
Parce qu'une fois la distance obtenue, l'intersection se ramène à un rayonnement ordinaire : une direction, une longueur, un point.
- \( X_{\text{P}} \) : abscisse du point déterminé, unité : m
- \( X_{\text{S1}} \) : abscisse de la première station, unité : m
- \( D_{\text{S1-P}} \) : distance calculée, non mesurée, unité : m
- \( \sin(G_{\text{S1-P}}) \) : projection de la direction sur l'axe des X, unité : sans dimension
- Le produit : coordonnée partielle, positive ici, unité : m
Position en Y du même point.
Parce que l'axe des Y est la direction de référence du gisement ; la projection sur cet axe fait donc intervenir le cosinus.
- \( Y_{\text{P}} \) : ordonnée du point déterminé, unité : m
- \( Y_{\text{S1}} \) : ordonnée de la première station, unité : m
- \( \cos(G_{\text{S1-P}}) \) : projection de la direction sur l'axe des Y, unité : sans dimension
- Le produit : coordonnée partielle, positive ici, unité : m
- Le rapport à l'abscisse partielle : redonne la tangente du gisement, unité : sans dimension
"Beaucoup d'étudiants associent chaque côté à l'angle situé à son extrémité plutôt qu'à l'angle opposé. Ils écrivent \( D_{\text{S1-P}} = D_{\text{S1-S2}} \times \sin\alpha / \sin\gamma \) au lieu d'employer \( \sin\beta \). Les deux distances s'échangent alors — 260,588 et 277,232 au lieu de 277,232 et 260,588 — et rien dans les ordres de grandeur ne choque..."
- L'erreur : raisonner par proximité — l'angle en S1 « appartient » à la station S1 — au lieu de raisonner par opposition.
- La bonne méthode : écrire les trois couples côté-angle opposé avant de calculer, et vérifier que le plus grand angle regarde le plus grand côté.
- L'astuce de pro : contrôler par la constante commune : les trois rapports doivent donner le même nombre. Une interversion la casse immédiatement.
- Le moyen mnémotechnique : « un côté regarde son angle, il ne le touche pas ».
- L'impact direct : avec les distances échangées, le point tomberait à plus de trente mètres de sa position réelle, et le double calcul depuis les deux stations continuerait pourtant de « concorder » — puisqu'il concorde toujours.
Exécution de la Note de Calculs
- Angles : en grades , repris sans arrondi depuis la question 2.
- Sinus : sans dimension , sept décimales.
- Rapports de sinus : sans dimension , sept décimales.
- Distances : en mètres horizontaux , au millimètre.
- Coordonnées : en mètres RGF93 / Lambert-93 .
Nous calculons les trois sinus , puis les deux distances, puis les coordonnées du point.
1. Résolution Numérique Étape 1 : les trois sinus et l'encadrementPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les trois sinus décident, à eux seuls, de l'ordre des trois côtés. Les comparer avant de calculer permet de prévoir le résultat.
L'encadrement qui en découle. Le sinus de l'angle au sommet étant le plus petit des trois, les deux côtés cherchés seront plus longs que la base.
Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce côté fait face à l'angle mesuré en seconde station : c'est \( \sin\beta \) qui figure au numérateur.
Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce côté fait face à l'angle mesuré en première station : c'est \( \sin\alpha \) qui figure au numérateur. L'appariement est croisé, et c'est normal.
Les deux côtés sont bien plus longs que la base, et le plus long fait face au plus grand angle : \( \beta = 72{,}92 \) gon regarde 277,232 m, \( \alpha = 65{,}43 \) gon regarde 260,588 m. L'appariement est vérifié.
- Ordre de grandeur : les deux valeurs tombent dans l'encadrement 250,799 à 285,000 m
- Impact sur la suite : ces deux longueurs n'ont jamais été mesurées. Elles héritent de l'erreur de la base et de celles des deux angles.
- Cohérence : les deux rapports de sinus valent 1,105 et 1,039, tous deux supérieurs à 1 : les deux côtés dépassent la base d'environ 10 % et 4 %.
- Attention : la version précédente de cet exercice annonçait 286,99 m et 269,41 m. En reprenant ses propres formules et sa propre base, on obtient 277,23 et 260,59 : ce sont donc des erreurs de calcul pures, indépendantes de l'erreur de gisement.
- Comparaison : par rapport à la géométrie, le rapport 1,105 signifie que la visée depuis la première station est 10,5 % plus longue que la base. Sur une intersection très aplatie, ce rapport pourrait dépasser 5.
Remarque pédagogique : Vérifier que le plus grand angle regarde le plus grand côté prend deux secondes et attrape l'interversion α-β, qui est l'erreur la plus fréquente de cette question.
Étape 4 : les coordonnées du pointPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le livrable : la position du point inaccessible, exprimée dans le système légal.
a) Les lignes trigonométriques de la première visée. Le gisement étant dans le premier quadrant, les deux sont positives.
b) Les deux coordonnées partielles.
c) L'abscisse du point.
d) L'ordonnée du point.
Le point est à 225 m au nord de la base et 162 m à l'est de la première station. Les deux coordonnées partielles sont positives, conformément au quadrant annoncé à la question 2.
- Ordre de grandeur : \( \sqrt{161{,}72^2 + 225{,}18^2} \) doit redonner 277,232 m — ce sera l'objet d'un contrôle en question 4
- Impact sur la suite : ces coordonnées sont le résultat de l'exercice. Tout ce qui suit consiste à examiner ce que l'on peut en démontrer.
- Cohérence : le point est nettement au nord de la base, du côté vers lequel les deux visées convergent. Le schéma le confirme.
- Attention : l'arrondi au millimètre n'intervient qu'ici. La distance et le gisement ont été repris sans arrondi depuis les questions précédentes.
- Comparaison : par rapport à la version précédente, qui annonçait (669,75 ; 1241,14), l'écart atteint 17,87 m — conséquence cumulée du gisement de base faux et des deux distances fausses.
Remarque pédagogique : Ces coordonnées sont exactes, mais rien ne le prouve encore. C'est tout l'objet de la question suivante — et la réponse y est moins évidente qu'il n'y paraît.
Le schéma ci-dessous montre le triangle entièrement résolu, en angles et en longueurs, avec les coordonnées du point déterminé.
Une lecture utile pour le terrain : le triangle est presque équilatéral — 250,8, 260,6 et 277,2 m pour des angles de 61,7 à 72,9 gon. C'est la configuration la plus favorable qui soit pour une intersection : les deux visées se croisent franchement, et l'incertitude sur la position du point reste du même ordre que celle des mesures angulaires.
"On me demande de refaire le calcul depuis la seconde station « pour vérification ». Je vais le faire — mais je veux d'abord savoir ce que cela prouvera. Or mes deux distances viennent de la même loi des sinus, appliquée à la même base et aux mêmes deux angles. Les deux rayonnements sont donc algébriquement le même calcul écrit deux fois. Ils tomberont sur le même point, quoi qu'il arrive — même si un angle a été mal mesuré. Ce n'est pas une vérification, c'est une relecture d'arithmétique. Les vrais contrôles, il va falloir les construire."
- Observation : les deux distances proviennent d'une unique équation. Le double rayonnement ne consomme aucune donnée nouvelle.
- Analyse du risque : prendre cette concordance pour une preuve. Avec un angle faux de deux grades, les deux chemins concorderaient encore parfaitement sur un point faux.
- Choix stratégique : trois contrôles qui repartent des coordonnées obtenues : distances, angle au sommet, constante de la loi des sinus.
- Alternative : une troisième visée depuis une station supplémentaire. C'est la seule vraie redondance de mesure — et elle n'est pas disponible ici.
- Objectif visé : trois écarts chiffrés, une analyse honnête de la portée du double calcul, la sensibilité géométrique et une classe de précision.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Deux notions se confondent facilement. La redondance de calcul consiste à refaire une opération par un autre chemin arithmétique : elle attrape les fautes de frappe. La redondance de mesure consiste à disposer de plus d'observations que de nécessaire : elle seule permet de détecter une mesure fausse et d'estimer une précision. En intersection simple, deux angles déterminent un point : il n'y a aucune redondance de mesure.
Trois relations : la constante de la loi des sinus, la sensibilité géométrique, puis le seuil de l'arrêté.
Constante de la loi des sinus :Doit être identique pour les trois couples côté-angle opposé.
Parce qu'elle emploie les distances recalculées à partir des coordonnées, et non celles issues de la loi des sinus. Les deux chemins deviennent alors distincts, et la comparaison a un sens.
- \( K \) : constante commune, diamètre du cercle circonscrit, unité : m
- \( D_{\text{S1-S2}} \) : base, côté opposé à l'angle au sommet, unité : m
- \( D_{\text{S1-P}} \) : côté opposé à l'angle mesuré en S2, unité : m
- \( D_{\text{S2-P}} \) : côté opposé à l'angle mesuré en S1, unité : m
- La dispersion : écart entre la plus grande et la plus petite des trois valeurs, unité : m
Traduit une erreur angulaire en déplacement du point déterminé.
Parce qu'une erreur d'angle à la station déplace la visée transversalement ; le point se déplace alors le long de l'autre visée, et d'autant plus que les deux droites sont rasantes. Le facteur \( 1/\sin\gamma \) mesure exactement cet effet.
- \( e_{\text{P}} \) : déplacement du point déterminé, unité : m
- \( D_{\text{S1-P}} \) : portée de la visée concernée, unité : m
- \( \Delta\alpha \) : erreur angulaire à la station, unité : gon
- \( \sin\gamma \) : sinus de l'angle au sommet, facteur d'amplification, unité : sans dimension
- Le facteur \( 1/\sin\gamma \) : vaut 1,21 ici, mais 6,39 pour un angle de 10 gon, unité : sans dimension
Seuil au-delà duquel un écart est comptabilisé comme dépassement.
Parce qu'une précision annoncée doit être opposable : un chiffre issu d'un texte, et non une appréciation de rédacteur.
- \( T \) : tolérance individuelle, unité : cm ou mm selon la classe
- \( k \) : coefficient de fiabilité, 2,42 en planimétrie, unité : sans dimension
- \( [xx] \) : classe de précision déclarée au marché, unité : cm ou mm
- \( C \) : coefficient de sécurité, au moins 2, unité : sans dimension
- Le critère maximal associé : 1,5 fois ce seuil, soit 4,08 × [xx] en planimétrie, unité : cm ou mm
"Beaucoup d'étudiants — et beaucoup de corrigés — présentent le double calcul comme une vérification puissante, et concluent qu'on peut « être très confiant dans la justesse de l'ensemble du processus ». C'est un contresens : les deux distances sortent de la même loi des sinus, appliquée à la même base et aux mêmes angles. Les deux chemins ne peuvent pas diverger..."
- L'erreur : confondre redondance de calcul et redondance de mesure. Refaire une opération autrement n'ajoute aucune information.
- La bonne méthode : deux inconnues, deux observations : le système est juste déterminé, il n'admet aucun écart de fermeture. Le dire clairement.
- L'astuce de pro : pour obtenir une vraie redondance, ajouter une troisième visée depuis une autre station. Trois observations pour deux inconnues créent un écart mesurable.
- Le moyen mnémotechnique : « deux angles, deux inconnues, zéro contrôle ».
- L'impact direct : la version précédente de cet exercice annonçait que les deux chemins donnaient le même point. En reprenant ses propres valeurs, ils donnent (666,76 ; 1233,57) et (658,03 ; 1233,22) — soit 8,73 m d'écart. La « vérification » n'avait donc pas été exécutée : son résultat avait été écrit.
Exécution de la Note de Calculs
- Écarts de contrôle : en mètres , commentés en millimètres.
- Angles restitués : en grades , quatre décimales.
- Constante de la loi des sinus : en mètres .
- Sensibilité : en millimètres par milligrade .
- Seuils de l'arrêté : en centimètres .
Nous refaisons le calcul depuis la seconde station , nous analysons sa portée, puis nous menons trois contrôles réels.
1. Résolution Numérique Étape 1 : le calcul depuis la seconde stationPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'énoncé le demande — et parce qu'il faut l'exécuter réellement pour pouvoir dire ce qu'il vaut.
a) Les lignes trigonométriques de la seconde visée. Le gisement étant dans le quatrième quadrant, le sinus est négatif et le cosinus positif.
b) Les deux coordonnées partielles.
c) L'abscisse du point.
d) L'ordonnée du point.
e) L'écart entre les deux déterminations.
Deux dixièmes de millimètre — et ce résidu ne vient d'aucune redondance. Il provient uniquement de l'arrondi des deux distances au millimètre avant leur réemploi. Avec les valeurs non arrondies, l'écart serait rigoureusement nul : les deux chemins sont algébriquement identiques.
- Ordre de grandeur : 0,2 mm, soit l'ordre de grandeur exact de l'arrondi introduit
- Impact sur la suite : ce calcul ne valide rien d'autre que les deux dernières lignes. Les trois contrôles suivants sont donc indispensables.
- Cohérence : les deux distances viennent de la même équation. Mathématiquement, les deux rayonnements sont le même calcul écrit dans deux ordres différents.
- Attention : si l'un des deux angles avait été mal mesuré de deux grades, les deux chemins concorderaient encore — sur un point faux de plusieurs mètres. C'est le point à retenir de cet exercice.
- Comparaison : par rapport à la version précédente, qui annonçait une concordance parfaite, ses propres valeurs donnent 8,73 m d'écart entre les deux chemins — preuve que le calcul n'avait pas été fait.
Remarque pédagogique : Un contrôle qui ne peut pas échouer n'est pas un contrôle. Savoir le reconnaître vaut mieux que de le présenter comme une garantie.
Contrôle n° 1 : les distances recalculées depuis les coordonnéesPourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il repart des coordonnées livrées, arrondies au millimètre, et non des distances de la loi des sinus. Les deux chemins deviennent alors distincts.
Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il vérifie que le point obtenu voit bien la base sous l'angle γ. Il n'emploie que les coordonnées — ni la loi des sinus, ni les distances.
Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il confronte les trois côtés du triangle aux trois angles, avec une seule valeur de référence.
Trois contrôles, trois écarts sous le millimètre. Le plus intéressant est le second : l'angle au sommet, jamais mesuré et calculé par différence, se retrouve exactement à partir des seules coordonnées du point.
- Ordre de grandeur : 0,5 mm sur 277 m, soit deux millionièmes de la portée
- Impact sur la suite : le calcul est cohérent de bout en bout. Cela ne dit toujours rien de la justesse des mesures — et rien ne le dira, faute de troisième visée.
- Cohérence : la constante de la loi des sinus vaut 304,366 m : c'est le diamètre du cercle circonscrit au triangle. Les trois rapports coïncident à 1,0 mm près.
- Attention : ces trois contrôles restent des contrôles de calcul. Ils sont largement supérieurs au double rayonnement, mais aucun ne détecterait un angle mal pointé sur le terrain.
- Comparaison : par rapport aux normes, l'arrêté du 16 septembre 2003 exige que la méthode de contrôle soit au moins deux fois plus précise que celle du levé. Un contrôle de bureau satisfait cette condition par construction — mais il ne remplace pas un contrôle de terrain.
Remarque pédagogique : Ces trois contrôles sont réellement indépendants du chemin de calcul : ils repartent des coordonnées finales. C'est ce qui les distingue du double rayonnement.
Étape 5 : la sensibilité géométriquePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule façon honnête de parler de la qualité d'une intersection quand aucun texte ne fixe de limite à la forme du triangle.
Le déplacement du point pour un milligrade d'erreur. On prend la visée la plus longue, celle depuis la première station.
5,3 mm par milligrade d'erreur angulaire. Le facteur de dilution ne vaut que 1,21 : la configuration est presque optimale. Avec un angle au sommet de 20 gon, le même milligrade déplacerait le point de 14 mm.
- Ordre de grandeur : 4,35 mm de déplacement transversal, amplifiés à 5,28 mm par la forme du triangle
- Impact sur la suite : pour tenir une classe [2 cm], il faudrait que l'erreur angulaire reste sous quatre milligrades environ — ordre de grandeur atteignable avec un tachéomètre courant et une double lecture.
- Cohérence : le facteur minimal possible est 1, pour un angle au sommet de 100 gon. Nous en sommes à 1,21 : la géométrie coûte 21 % de précision.
- Attention : ce facteur n'est pas une norme. Aucun texte du dossier ne fixe d'angle minimal ; c'est une propriété mathématique, à confronter à la tolérance du marché.
- Comparaison : par rapport à une intersection très aplatie, à 10 gon au sommet, le facteur monterait à 6,39 : le même milligrade coûterait alors 2,8 cm.
Voici le document remis. Il donne le point, mais aussi — et c'est aussi important — ce sur quoi il repose et ce qui n'a pas pu être contrôlé.
| Élément | Valeur | Unité | Origine |
|---|---|---|---|
| Station S1 | 500,000 / 1000,000 | m | point d'appui, donné |
| Station S2 | 750,000 / 980,000 | m | point d'appui, donné |
| Base S1-S2 | 105,0821 · 250,799 | gon · m | calculée sur les coordonnées |
| Angles mesurés α · β | 65,4320 · 72,9150 | gon | observations de terrain |
| Angle au sommet γ | 61,6530 | gon | déduit, non mesuré |
| Distances S1-P · S2-P | 277,232 · 260,588 | m | calculées, non mesurées |
| Point P déterminé | 661,718 / 1225,178 | m | résultat |
| Facteur de dilution | 1,2136 | — | géométrie du triangle |
| Redondance de mesure | aucune | — | deux observations, deux inconnues |
Le schéma ci-dessous illustre la dilution géométrique : à erreur angulaire égale, la position du point est d'autant plus incertaine que l'angle au sommet est aigu.
Une lecture utile pour le terrain : à gauche, les deux visées se croisent franchement et l'intersection est nette. À droite, elles se rasent : le même écart de pointé fait glisser le point le long des deux droites presque confondues. C'est pourquoi le choix des stations se prépare avant de partir, et non une fois sur place.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :
La base entre les deux stations vaut 250,799 m pour un gisement de 105,0821 gon. L'angle au sommet se déduit de la somme des angles du triangle et vaut 61,6530 gon, d'où les deux gisements de visée. Le point inaccessible se place en (661,718 ; 1225,178), confirmé par un second calcul mené depuis l'autre station.
L'intersection détermine un point sur lequel aucun prisme ne peut être posé : rien n'y est mesuré, tout s'y déduit. La précision ne dépend alors pas du soin des visées mais de la géométrie du triangle — un angle au sommet trop fermé dégrade le résultat quelles que soient les précautions prises. Le second calcul, mené depuis l'autre station, est le seul contrôle disponible, et il tient à quelques millimètres.
