Exercice corrigé

Implantation d'une canalisation

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 4 juillet 2026• 77 min de lecture

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Étude de cas · Note de calculs Réf. TOPO-IMP-04

Implantation d'une canalisation

Un ouvrage qui coule par gravité : piquetage de l'axe en plan, altitudes de fil d'eau à pente constante, et exigences de récolement en classe A

NiveauBTS / BUT Génie civil

DomaineTopographie de chantier · VRD

ThèmeImplantation planimétrique et altimétrique d'un réseau

PrérequisGisement et quadrants · Rayonnement polaire · Abscisse curviligne · Pente en pourcentage · RGF93 / Lambert-93 et NGF-IGN 1969

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une collectivité fait poser une canalisation d'eaux pluviales entre deux regards, A et B. Contrairement à un mur ou à un bâtiment, cet ouvrage ne se contente pas d'occuper une position : il doit fonctionner. Et il fonctionne par gravité — l'eau ne circulera que si le fond du tuyau descend régulièrement, sans le moindre contre-pente. L'implantation devient donc tridimensionnelle : il faut calculer où passe l'axe, mais aussi à quelle altitude le fil d'eau doit se trouver à chaque piquet. Une erreur de quelques centimètres en altitude ne se voit pas — elle se découvre le jour où l'eau stagne.

Les Points Clés du Projet

Avant tout calcul, mesurez ce qui distingue cet exercice des implantations purement planimétriques . Quatre éléments le gouvernent :

Enjeu Principal : Un ouvrage gravitaire. La pente de 2,5 % n'est pas une préférence esthétique : c'est la condition de fonctionnement. La respecter est l'objet même du travail.
Environnement : L'axe file vers le sud-est : \( \Delta X \) positif, \( \Delta Y \) négatif. Correction de quadrant de +200 gon — et une erreur ici décale les piquets d'autant plus qu'ils sont loin de l'origine.
L'objectif final : Une fiche de piquetage à trois colonnes — X, Y et Z du fil d'eau — utilisable directement par l'équipe de terrassement pour régler le fond de fouille.
L'astuce de l'ingénieur : Les altitudes ne dépendent que de l'abscisse curviligne et de la pente, jamais du gisement. Elles sont donc immunisées contre une erreur de direction — ce qui en fait un contrôle indépendant précieux.

Votre Mission :

Vous êtes géomètre de chantier. Le terrassier attaque la tranchée la semaine prochaine et attend ses piquets avec leurs cotes de fil d'eau. Vous disposez des coordonnées des deux regards, de l'altitude du terrain naturel au départ, de la profondeur de pose et de la pente imposée. Votre travail consiste à transformer ces données en un tableau X, Y, Z pour chaque piquet — et à savoir dire ce que ce tableau ne contient pas.

Le grand défi : mener deux calculs indépendants en parallèle — la planimétrie par rayonnement, l'altimétrie par la pente — et comprendre qu'ils ne partagent qu'une seule grandeur : l'abscisse curviligne.
Votre rôle : calculer l'axe, découper le piquetage, établir les altitudes de fil d'eau, puis contrôler la pente restituée avant de livrer la fiche.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

La caractérisation de l'axe : gisement à quatre décimales de gon avec sa justification de quadrant, et longueur horizontale au millimètre.
Le découpage du piquetage — nombre de piquets et abscisses curvilignes — puis les coordonnées de chacun, obtenues par rayonnement depuis le regard A.
Les altitudes de fil d'eau de chaque piquet, exprimées dans le système NGF-IGN 1969, au centimètre.
Trois contrôles calculés — coïncidence du dernier piquet avec le regard B, pente restituée depuis les altitudes finales, dénivelée totale — et une fiche de piquetage X, Y, Z assortie de la classe de précision exigible.

2. Données Techniques & Normes

Cet exercice mobilise deux systèmes de référence à la fois, ce qui est la règle dès qu'un ouvrage a une altitude : les coordonnées planimétriques en RGF93 / Lambert-93, les altitudes en NGF-IGN 1969. Les deux sont désignés par le même texte, et le rattachement est imposé par la loi pour tout travail réalisé pour une personne publique. S'y ajoute une exigence propre aux réseaux enterrés : ce tronçon étant neuf, son récolement devra être fourni en classe de précision A, ce qui fixe la précision exigible de l'implantation bien plus sûrement qu'une consigne générale.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer ! Remarquez surtout que les formules planimétriques et altimétriques ne partagent qu'une seule grandeur : l'abscisse curviligne.

Gisement d'une direction \( G_{\text{A-B}} = \arctan\left(\dfrac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + k \cdot 200^{\text{gon}} \)
Distance horizontale \( D_{\text{A-B}} = \sqrt{\Delta X^{2} + \Delta Y^{2}} \)
Rayonnement — abscisse \( X_{i} = X_{\text{A}} + s_{i} \sin G_{\text{A-B}} \)
Rayonnement — ordonnée \( Y_{i} = Y_{\text{A}} + s_{i} \cos G_{\text{A-B}} \)
Fil d'eau au départ \( Z_{\text{FE}}(\text{A}) = Z_{\text{TN}}(\text{A}) - h \)
Dénivelée due à la pente \( \Delta Z_{i} = s_{i} \times p \)
Fil d'eau à l'abscisse s \( Z_{\text{FE}}(s_{i}) = Z_{\text{FE}}(\text{A}) - \Delta Z_{i} \)
Pente restituée (contrôle) \( p = \dfrac{Z_{\text{FE}}(\text{A}) - Z_{\text{FE}}(\text{B})}{D_{\text{A-B}}} \)
Règle des quadrants \( k = 0 \) si \( \Delta X \geq 0, \Delta Y > 0 \) · \( k = 1 \) si \( \Delta Y < 0 \) · \( k = 2 \) si \( \Delta X < 0, \Delta Y > 0 \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
A	Regard de départ. Coordonnées planimétriques dans le système légal (RGF93, ellipsoïde IAG GRS 1980, projection Lambert-93) Décret 2000-1276 modifié par décret 2006-272, art. 1^er A	350,10 / 842,60	m
Z_TN(A)	Altitude du terrain naturel au regard A, dans le système altimétrique légal de France métropolitaine hors Corse Décret 2000-1276 modifié, art. 1^er B — NGF-IGN 1969	105,45	m
B	Regard d'arrivée — c'est le couple (A, B) qui définit la direction et la longueur de l'ouvrage	435,80 / 810,20	m
h	Profondeur du fil d'eau sous le terrain naturel, au regard de départ	1,50	m

Double référentiel de travail

Planimétrie : \( \text{RGF93} \) — projection \( \text{Lambert-93} \)
Altimétrie : \( \text{NGF} \text{-} \text{IGN 1969} \) — indispensable ici, l'ouvrage étant gravitaire

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
p	Pente du fil d'eau, descendante de A vers B. Très supérieure au seuil de 0,5 % évoqué pour les ouvrages de transport : l'auto-curage n'est pas la contrainte dimensionnante Mémento technique ASTEE 2017	2,5	%
e	Intervalle de piquetage imposé le long de l'axe — le dernier tronçon sera plus court	20,00	m
Classe A	Classe de précision exigible pour le récolement d'un réseau neuf : écart moyen inférieur à 11,25 cm, 99 % des écarts dans ±27 cm, 100 % dans ±40 cm Guide DT-DICT fasc. 2 v3, § 4.3.1 — tableau 1	10	cm
k	Coefficient de fiabilité : 2,42 en planimétrie, 3,23 en altimétrie seule — les deux interviennent ici Arrêté du 16 sept. 2003, annexe — table 1	2,42 / 3,23	—

Ce que l'énoncé ne donne pas

Terrain naturel : connu au seul point A — la cote rouge n'est donc pas calculable ailleurs
Diamètre de la canalisation : non fourni — le calcul d'auto-curage au sens de l'ASTEE reste hors de portée

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution. Trois textes gouvernent cet exercice : celui qui fixe les systèmes de référence, celui qui fixe la précision exigible d'un réseau neuf, et celui qui encadre la pente d'un ouvrage gravitaire.

Extrait — Décret n° 2000-1276 modifié (décret n° 2006-272 du 3 mars 2006), art. 1^er

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
A — France métropolitaine, système géodésique	RGF93, ellipsoïde IAG GRS 1980, projection Lambert-93
B — France métropolitaine hors Corse, altimétrie	NGF-IGN 1969
B — Corse, altimétrie	NGF-IGN 1978

Extrait — Guide d'application DT-DICT, fascicule 2 v3, § 4.3.1, tableau 1 (réseau neuf posé en fouille ouverte)

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
Précision des moyens de mesure — planimétrie	10 cm
Écart moyen admissible — planimétrie	inférieur à 11,25 cm
Premier seuil — au moins 99 % des écarts	entre 0 et ±27 cm
Second seuil — 100 % des écarts	entre 0 et ±40 cm
Moyens de contrôle en fouille ouverte	au moins deux fois plus précis

Ce que disent ces textes, et ce qu'ils laissent au projeteur

Trois enseignements pour cet exercice :

La précision d'implantation est encadrée par l'usage futur. Depuis le 1^er juillet 2012, le récolement d'un réseau neuf doit être rendu en classe A. C'est cette exigence — et non une consigne de chantier — qui fixe le niveau de soin attendu.
La pente de 2,5 % est confortable. Le mémento ASTEE indique qu'« une pente minimale de 0,5 % est souhaitable, en particulier pour les ouvrages de transport ». Nous sommes cinq fois au-dessus : l'auto-curage n'est pas le sujet, la profondeur de tranchée le devient.
Ce que l'énoncé ne permet pas. Le mémento renvoie, pour la pente minimale d'une canalisation, à des formules d'auto-curage fonction du diamètre (Schütz 1985, Sander 1994). Le diamètre n'étant pas donné, ce calcul reste hors de portée — et il faut savoir le dire plutôt que d'inventer une valeur.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous. La particularité de cet exercice est qu'il mène deux calculs en parallèle — l'un en plan, l'autre en altitude — qui ne se rejoignent que par l'abscisse curviligne. Cette indépendance est une chance : elle offre des contrôles croisés que les exercices purement planimétriques n'ont pas.

Question 1 : Caractériser l'axe en plan

Gisement et distance 15 min | Moyen

But de l'étape : Établir la direction et la longueur horizontale de l'ouvrage. La longueur servira deux fois : à découper le piquetage, et à calculer la dénivelée totale du fil d'eau. C'est la grandeur la plus réutilisée de l'exercice.

Énoncé Q1 : Calculer le gisement \( G_{\text{A-B}} \) et la distance horizontale \( D_{\text{A-B}} \) de l'axe. Vous préciserez les coordonnées partielles avec leur signe, le quadrant qui en découle, et vous poserez un encadrement de contrôle sur la distance.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le regard B est plus à l'est mais plus au sud que A : \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y < 0 \). C'est le quadrant Sud-Est, celui qui impose +200 gon. Posez cet encadrement avant de calculer : le gisement sera entre 100 et 200 gon.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le rapport \( \Delta X / \Delta Y \) vaut environ −2,645. L'arctangente sortira négative, aux alentours de −77 gon ; ajoutez 200. Attendez-vous à un gisement proche de 123 gon et à une longueur voisine de 92 m.

Question 2 : Découper le piquetage et calculer les coordonnées

Rayonnement 20 min | Moyen

But de l'étape : Placer les piquets. Contrairement à l'exercice de l'alignement où le pas se déduisait de la longueur, l'intervalle est ici imposé — c'est le nombre de piquets qui en découle, et le dernier tronçon sera plus court que les autres.

Énoncé Q2 : Déterminer le nombre de piquets à implanter et leurs abscisses curvilignes, puis calculer les coordonnées de chacun par rayonnement depuis le regard A. Vous traiterez explicitement le cas du dernier tronçon incomplet.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Divisez la longueur par l'intervalle : vous n'obtiendrez pas un nombre entier. C'est normal, et c'est le cas général sur un chantier. La partie entière donne le nombre de tronçons complets ; le reste forme un dernier tronçon plus court qui se termine sur le regard B.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le quotient vaut environ 4,58 : quatre tronçons de 20 m, puis un dernier d'environ 11,6 m. Cela fait six points au total — le regard A, quatre piquets intermédiaires, et le regard B. Rayonnez chacun depuis A, jamais de proche en proche.

Question 3 : Les altitudes du fil d'eau

Altimétrie de projet 18 min | Moyen

But de l'étape : Donner à l'ouvrage sa troisième dimension. C'est la partie qui conditionne le fonctionnement hydraulique : sans altitudes justes, la canalisation ne coule pas, quelles que soient la qualité de son tracé en plan.

Énoncé Q3 : Calculer l'altitude du fil d'eau au regard A, puis à chacun des piquets et au regard B. Vous exprimerez ces altitudes dans le système NGF-IGN 1969 et vous expliquerez pourquoi la cote rouge n'est pas calculable ici.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Une pente de 2,5 % signifie 2,5 m de chute pour 100 m parcourus. Convertissez-la en décimal — 0,025 — et multipliez par l'abscisse curviligne. La pente étant descendante, la dénivelée se retranche.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Chaque tronçon de 20 m fait descendre le fil d'eau de exactement 50 cm. Les quatre premiers piquets se déduisent donc de tête. Quant à la cote rouge : elle vaut \( Z_{\text{TN}} - Z_{\text{FE}} \) et exige donc le terrain naturel à chaque piquet — que l'énoncé ne fournit qu'au point A.

Question 4 (Finale) : Contrôles et fiche de piquetage

Contrôles et livrable 22 min | BOSS

But de l'étape : Prouver avant de livrer. Cet exercice offre une situation rare : les deux calculs, planimétrique et altimétrique, étant indépendants, chacun peut servir de témoin à l'autre.

Mention spéciale — l'indépendance des deux chaînes : Une erreur de gisement fausse toutes les coordonnées sans toucher aux altitudes. Inversement, une erreur de pente fausse toutes les altitudes sans déplacer un seul piquet en plan. Les deux familles de contrôles ne sont donc pas interchangeables.

Mener trois contrôles calculés — coïncidence du dernier point avec le regard B, pente restituée depuis les altitudes finales, dénivelée totale — puis dresser la fiche de piquetage à trois colonnes (X, Y, Z du fil d'eau), en y portant la classe de précision exigible pour le récolement.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le contrôle de pente restituée consiste à repartir des altitudes obtenues et à recalculer la pente : \( (Z_{\text{FE}}(A) - Z_{\text{FE}}(B)) / D_{\text{A-B}} \). Elle doit redonner exactement 0,025. C'est un contrôle qui ne réemprunte aucun chemin de calcul.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La dénivelée totale vaut 2,29 m environ sur 91,62 m. Et pour la fiche : n'oubliez pas que ce réseau est neuf, donc son récolement devra être rendu en classe A au sens du guide DT-DICT — mention à porter au document.

NOTE DE CALCULS

Implantation d'une canalisation

Question 1 : Caractériser l'axe en plan

Dans la tête de l'ingénieur

"Je commence par la planimétrie, mais je garde en tête que la longueur que je vais calculer servira deux fois : pour découper le piquetage, et pour la dénivelée totale du fil d'eau. C'est la grandeur la plus réutilisée de l'exercice — donc celle qu'il faut le plus soigner. Quant à la direction : le regard B est plus à l'est mais plus au sud. \( \Delta Y \) est négatif, donc quadrant Sud-Est, donc +200 gon. Je pose l'encadrement avant de calculer : le gisement sera entre 100 et 200."

Observation : \( \Delta X = +85{,}70 \) m et \( \Delta Y = -32{,}40 \) m. Signes contraires : c'est la signature du deuxième quadrant.
Analyse du risque : une erreur de gisement ne déforme pas l'ouvrage, elle le fait pivoter autour du regard A. L'écart au terrain croît donc avec l'abscisse curviligne, et il est maximal au dernier piquet.
Choix stratégique : je conserve quatre décimales de gon et six sur les lignes trigonométriques. Sur 92 m, un centigon vaut déjà 1,4 cm — le dixième de la tolérance de classe A.
Alternative : calculer la distance en trois dimensions, en tenant compte de la pente. Écartée, et c'est important : la pente s'applique à la distance horizontale, pas à la distance suivant le fil d'eau. Confondre les deux fausserait toutes les altitudes.
Objectif visé : une direction justifiée et une longueur horizontale contrôlée, socle des trois questions suivantes.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( G_{\text{A-B}} = 123{,}0108 \) gon · \( D_{\text{A-B}} = 91{,}620 \) m

Rappel Théorique : pourquoi la distance doit être horizontale

Dans un projet gravitaire, la distinction entre distance horizontale et distance suivant la pente n'est pas une subtilité d'école : c'est ce qui décide de l'altitude du fil d'eau à l'arrivée. Une pente s'exprime toujours comme un rapport entre une dénivelée et une distance horizontale — c'est la définition même du pourcentage. Employer la longueur du tuyau plutôt que sa projection au sol conduirait à une chute légèrement trop forte, et donc à une profondeur de tranchée sous-estimée à l'arrivée.

Principe 1 — le gisement se compte depuis l'axe des Y : convention topographique, sens horaire. Nord = 0, Est = 100 gon, Sud = 200, Ouest = 300.
Principe 2 — le quadrant se lit sur les signes : \( \Delta Y < 0 \) impose +200 gon, quel que soit le signe de \( \Delta X \). Une seule règle, à relire pour chaque direction.
Principe 3 — la distance ignore les quadrants : les coordonnées partielles y sont élevées au carré. C'est ce qui en fait un témoin indépendant du gisement.
Principe 4 — une pente de 2,5 % se rapporte à l'horizontale : sur 91,62 m horizontaux, la chute vaut \( 91{,}62 \times 0{,}025 \). La longueur réelle du tuyau, elle, vaut \( 91{,}62 \times \sqrt{1 + 0{,}025^{2}} \) — soit 3 cm de plus, ce qui ne change rien aux altitudes mais compte au métré.
Principe 5 — deux systèmes de référence coexistent : RGF93 / Lambert-93 pour X et Y, NGF-IGN 1969 pour Z, tous deux désignés par le décret n° 2000-1276 modifié. Les mélanger n'a aucun sens physique.

Équations Fondamentales

Deux relations indépendantes : la première donne la direction et exige une correction de quadrant, la seconde donne la longueur et n'en exige aucune.

Gisement de l'axe :

Transforme les coordonnées partielles en une direction absolue exprimée en gon.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la seule passerelle entre les coordonnées des regards et la direction dans laquelle il faudra rayonner les piquets. Le terme \( k \cdot 200 \) répare l'amputation que l'arctangente inflige au cercle.

Contexte de validité : calcul plan, dans une projection conforme. L'altération linéaire du Lambert-93 est ici sans effet mesurable.
Avantage : ce gisement servira cinq fois en question 2, à l'identique — l'axe étant rectiligne.
Paramètre clé : le signe de \( \Delta Y \), qui décide seul de la correction.
Vérification : \( \tan(G) \) doit restituer le rapport de départ. Contrôle en cinq secondes.
Limite : elle explose si \( \Delta Y = 0 \) : on conclut alors directement, 100 gon vers l'est ou 300 vers l'ouest.

\[ G_{\text{A-B}} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + k \cdot 200^{\text{gon}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « dans quelle direction part la canalisation depuis le regard A ? » Le signe négatif du rapport signale qu'on descend vers le sud tout en avançant vers l'est — et c'est bien l'allure du tracé sur le plan.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{A-B}} \) : gisement de l'axe de la canalisation, unité : gon
\( \Delta X \) : coordonnée partielle en X, positive vers l'est, unité : m
\( \Delta Y \) : coordonnée partielle en Y, négative ici, unité : m
\( k \) : entier de correction de quadrant, valant 1, unité : sans dimension
\( 200^{\text{gon}} \) : demi-tour centésimal, unité : gon

Distance horizontale de l'axe :

Fournit la longueur en projection, base du piquetage et de la dénivelée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la grandeur charnière de l'exercice : elle découpe le piquetage et elle fixe la chute totale du fil d'eau. Une erreur ici se paie deux fois.

Contexte de validité : distance horizontale, celle à laquelle se rapporte une pente en pourcentage.
Avantage : invariante : ni l'ordre des points, ni le quadrant, ni l'unité angulaire ne peuvent l'altérer.
Paramètre clé : aucun terme dominant — les deux coordonnées partielles sont traitées symétriquement.
Vérification : encadrement obligatoire : supérieure au plus grand côté, inférieure à leur somme.
Limite : ce n'est pas la longueur du tuyau. Celle-ci, suivant la pente, vaut 3 cm de plus — négligeable pour les altitudes, pas pour le métré.

\[ D_{\text{A-B}} = \sqrt{\Delta X^{2} + \Delta Y^{2}} \]

Que dit cette équation physiquement ? C'est Pythagore vu du ciel : la canalisation, projetée au sol, est l'hypoténuse d'un triangle dont les côtés sont le déplacement vers l'est et le déplacement vers le sud.

Décomposition des termes :

\( D_{\text{A-B}} \) : longueur horizontale de l'ouvrage, unité : m
\( \Delta X^{2} \) : carré de la coordonnée partielle en X, unité : m²
\( \Delta Y^{2} \) : carré de la coordonnée partielle en Y, positif malgré le signe, unité : m²
La somme des carrés : carré de l'hypoténuse du triangle en plan, unité : m²
La racine carrée : retour à une longueur physique, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants oublient la correction de quadrant et gardent −76,9892 gon, ou bien ajoutent 400 au lieu de 200 et obtiennent 323,01 gon. Dans ce dernier cas, la canalisation partirait exactement dans la direction opposée, remontant vers le nord-ouest au lieu de descendre vers le sud-est..."

L'approche d'ingénieur : La correction se déduit des signes, jamais de l'habitude. Et l'encadrement posé avant le calcul la rend impossible à manquer.

L'erreur : traiter l'arctangente comme un résultat final. Elle n'est qu'un résultat partiel, valable dans une moitié du cercle seulement.
La bonne méthode : écrire les deux signes, en déduire le quadrant par la règle, puis seulement poser le calcul angulaire.
L'astuce de pro : s'imposer un encadrement. « B est au sud-est de A, donc G est entre 100 et 200 gon » : ni −76,99 ni 323,01 ne le satisfont.
Le moyen mnémotechnique : « ΔY négatif, demi-tour ».
L'impact direct : avec 323,01 gon, la tranchée serait ouverte à 180 gon de la bonne direction, hors de l'emprise du chantier — et, s'il y a des réseaux existants à proximité, en dehors du fuseau balisé lors du marquage-piquetage.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Mode de la calculatrice : GRAD (gon) — à tester par \( \sin(100) = 1 \).
Coordonnées planimétriques : en mètres , système RGF93 / Lambert-93.
Altitudes : en mètres NGF-IGN 1969 — elles n'interviennent pas dans cette question.
Correction de quadrant : 200 gon et non 400.
Distance : racine d'une somme de m², donc des mètres , et horizontale.

Nous procédons en quatre temps : les deux coordonnées partielles, la déduction du quadrant, le gisement, puis la distance horizontale.

1. Résolution Numérique Coordonnées partielles et identification du quadrant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le quadrant se décide avant l'arctangente. Poser les signes en premier, c'est s'interdire l'erreur la plus fréquente du métier.

Méthodologie du calcul :

On soustrait l'origine à l'extrémité : le regard d'arrivée moins le regard de départ. L'ordre suit le sens d'écoulement, ce qui n'est pas indifférent pour un ouvrage gravitaire.

Substitution : \( X_{\text{B}} = 435{,}80 \) et \( X_{\text{A}} = 350{,}10 \) ; \( Y_{\text{B}} = 810{,}20 \) et \( Y_{\text{A}} = 842{,}60 \).
Piège évité : ne pas intervertir A et B. L'eau va de A vers B : A est l'origine, en plan comme en altitude.
Hypothèse validée : les deux regards sont dans le même système de coordonnées.
Vérification croisée : sur le plan, B est bien en bas à droite de A.
Finalité : alimenter le gisement et la distance.

a) La coordonnée partielle en X. La canalisation avance de plus de quatre-vingt-cinq mètres vers l'est. Valeur positive.

\[ \begin{aligned} \Delta X &= X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \\ &= 435{,}80 - 350{,}10 \\ &= \mathbf{+85{,}70} \text{ m} \end{aligned} \]

b) La coordonnée partielle en Y. Négative : le tracé descend vers le sud de trente-deux mètres. C'est ce signe qui commande la correction de quadrant.

\[ \begin{aligned} \Delta Y &= Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} \\ &= 810{,}20 - 842{,}60 \\ &= \mathbf{-32{,}40} \text{ m} \end{aligned} \]

c) La déduction du quadrant. Vers l'est et vers le sud : quadrant Sud-Est, gisements compris entre 100 et 200 gon, correction d'un demi-tour. Cette conclusion s'écrit avant le calcul angulaire.

\[ \Delta X > 0 \; \text{ et } \; \Delta Y < 0 \;\; \Longrightarrow \;\; \text{quadrant Sud-Est} \;\; \Longrightarrow \;\; k = \mathbf{1} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le quadrant est tranché avant tout calcul angulaire. C'est la meilleure habitude que puisse prendre un étudiant.

Ordre de grandeur : un tronçon d'assainissement d'environ 90 m entre deux regards — dimension parfaitement courante en réseau urbain.
Impact sur la suite : \( k = 1 \) impose d'ajouter 200 gon au résultat brut de l'arctangente.
Cohérence : \( |\Delta X| \) vaut environ 2,6 fois \( |\Delta Y| \) : la direction est bien plus « est » que « sud », donc un gisement plus proche de 100 que de 200 gon.
Attention : ce \( \Delta Y \) négatif est une information de tracé, pas de pente. La canalisation descend vers le sud en plan ; sa descente en altitude est un tout autre calcul.
Comparaison : par rapport aux normes, ces coordonnées doivent être exprimées en RGF93 / Lambert-93 selon le décret n° 2000-1276 modifié — condition de validité de tout le calcul plan.

Remarque pédagogique : Ne confondez jamais le \( \Delta Y \) planimétrique, qui dit vers où va le tuyau, et le \( \Delta Z \) altimétrique, qui dit de combien il descend. Ce sont deux dimensions différentes du même ouvrage.

Calcul du gisement de l'axe

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la direction unique de tous les rayonnements de la question 2 — et la seule grandeur dont une erreur ferait pivoter l'ouvrage entier.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport, on prend l'arctangente en mode GRAD, puis on ajoute la correction établie. Résultat conservé à quatre décimales.

Substitution : \( \Delta X = +85{,}70 \) m et \( \Delta Y = -32{,}40 \) m, soit un rapport de −2,645062.
Piège évité : le mode angulaire. En degrés, la même arctangente donnerait −69,29°.
Hypothèse validée : \( \Delta Y \neq 0 \), la division est licite.
Vérification croisée : \( \tan(123{,}0108 \text{ gon}) = -2{,}645 \) — le contrôle inverse détecte à la fois l'erreur de mode et celle de quadrant.
Finalité : fournir la direction commune aux cinq rayonnements de la question 2.

\[ \begin{aligned} G_{\text{A-B}} &= \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + k \cdot 200 \\ &= \arctan\left(\frac{+85{,}70}{-32{,}40}\right) + 200 \\ &= \arctan(-2{,}645062) + 200 \\ &= -76{,}9892 + 200 \\ &= \mathbf{123{,}0108} \text{ gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

123,01 gon : une direction qui vient de dépasser l'Est et commence à descendre vers le sud. Exactement ce qu'annonçait l'encadrement.

Ordre de grandeur : la valeur tombe bien dans \( ]100 ; 200[ \) gon
Impact sur la suite : ce gisement servira cinq fois. Une erreur ici déplacerait les cinq points ensemble, sans rompre leur alignement — donc sans qu'aucun contrôle interne ne la voie.
Cohérence : l'écart à 100 gon vaut 23,01 gon, soit un quart de quadrant au sud de l'Est — cohérent avec un rapport de 2,6 entre les coordonnées partielles.
Attention : quatre décimales ne sont pas de la coquetterie. À l'abscisse 80 m, un centigon déplace le piquet de 1,3 cm — un dixième de la tolérance de classe A.
Comparaison : par rapport aux normes, le récolement de ce réseau neuf devra être rendu en classe A au sens du guide DT-DICT fascicule 2, § 4.3.1 : écart moyen inférieur à 11,25 cm. Le calcul doit rester très en deçà.

Remarque pédagogique : Vérifiez toujours par la tangente inverse. C'est le seul contrôle qui détecte d'un coup une calculatrice en degrés et une correction de quadrant manquée.

Calcul de la distance horizontale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur charnière : elle découpe le piquetage et fixe la chute totale du fil d'eau.

Méthodologie du calcul :

Pythagore sur les deux coordonnées partielles. Aucune donnée nouvelle, aucune correction de quadrant, et surtout : le résultat est une distance horizontale.

Substitution : \( 85{,}70^{2} = 7344{,}4900 \) m² et \( 32{,}40^{2} = 1049{,}7600 \) m².
Piège évité : le signe négatif de \( \Delta Y \) disparaît au carré.
Hypothèse validée : calcul plan — c'est bien la distance à laquelle se rapporte la pente en pourcentage.
Vérification croisée : encadrement \( 85{,}70 < D < 118{,}10 \).
Finalité : fournir le découpage du piquetage et la dénivelée totale.

\[ \begin{aligned} D_{\text{A-B}} &= \sqrt{(\Delta X)^{2} + (\Delta Y)^{2}} \\ &= \sqrt{(+85{,}70)^{2} + (-32{,}40)^{2}} \\ &= \sqrt{7344{,}4900 + 1049{,}7600} \\ &= \sqrt{8394{,}2500} \\ &= \mathbf{91{,}620} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un peu plus de quatre-vingt-onze mètres entre deux regards : portée courante en assainissement, où l'on espace rarement les regards de plus de quatre-vingts mètres pour permettre le curage.

Ordre de grandeur : l'encadrement est vérifié : 85,70 < 91,620 < 118,10
Impact sur la suite : divisée par 20 m, elle donnera quatre tronçons complets et un reste ; multipliée par 0,025, elle donnera la chute totale du fil d'eau.
Cohérence : contrôle par une autre voie : \( \Delta X / \sin(123{,}0108) = 85{,}70 / 0{,}935384 = 91{,}620 \) m. Deux chemins, un résultat — le gisement est confirmé du même coup.
Attention : la longueur de tuyau à commander vaut \( 91{,}620 \times \sqrt{1 + 0{,}025^{2}} = 91{,}649 \) m, soit 2,9 cm de plus. Sans effet sur les altitudes, mais à ne pas oublier au métré.
Comparaison : par rapport aux normes, une distance de 92 m se mesure couramment au millimètre à la station totale — très largement dans la classe A exigée pour le récolement.

Remarque pédagogique : Le double calcul de la distance — Pythagore puis \( \Delta X / \sin G \) — est le contrôle le plus efficace d'un gisement. S'ils concordent, la direction est juste, correction de quadrant comprise.

LECTURE DU RÉSULTAT

L'axe est caractérisé en plan. L'arc du gisement, ouvert depuis le Nord Lambert dans le sens horaire, dépasse le quart de cadran : signature visuelle du deuxième quadrant, celui qui exige la correction de 200 gon.

Attention à ne pas surinterpréter ce dessin : il décrit la canalisation vue du ciel. La descente qu'on y voit est un déplacement vers le sud, pas une pente. La pente, elle, ne se lit que sur le profil en long — et c'est l'objet de la question 3.

RÉSULTAT FINAL

\( G_{\text{A-B}} \) = 123,0108 gon — D = 91,620 m

"Direction sud-est et longueur horizontale contrôlée : ce résultat sera crucial pour l'étape suivante !"

Question 2 : Découper le piquetage et calculer les coordonnées

Dans la tête de l'ingénieur

"Ici, ce n'est pas le pas que je cherche — il m'est imposé à 20 m. C'est le nombre de piquets qui en découle. Et je sais d'avance que la division ne tombera pas juste : c'est le cas général sur un chantier, où la longueur d'un tronçon n'est jamais un multiple rond de l'intervalle. Le dernier segment sera plus court, et ce n'est pas un défaut : ce qui compte, c'est que les deux regards soient matérialisés et que les points intermédiaires soient régulièrement espacés entre eux."

Observation : \( 91{,}6201 / 20 = 4{,}5810 \). La partie entière donne quatre tronçons complets ; le reste, environ 11,6 m, forme un dernier tronçon court.
Analyse du risque : arrondir le quotient à 5 et forcer un pas de 18,32 m serait une réinterprétation de l'énoncé. L'intervalle est une donnée, pas une variable d'ajustement.
Choix stratégique : je rayonne les six points depuis le regard A, chacun avec son abscisse curviligne propre. Aucun calcul de proche en proche : les erreurs d'arrondi ne doivent pas s'empiler le long de la tranchée.
Alternative : répartir uniformément cinq intervalles de 18,32 m pour éviter le tronçon court. Écartée : l'énoncé impose 20 m, et sur un chantier réel cet intervalle correspond souvent à une longueur de tuyau standard qu'on ne modifie pas.
Objectif visé : six points en plan, dont le dernier devra retomber exactement sur le regard B — ce sera le contrôle de la question 4.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

P1 ( 368,808 ; 835,527 ) · P2 ( 387,515 ; 828,455 ) · P3 ( 406,223 ; 821,382 ) · P4 ( 424,931 ; 814,309 )

Rappel Théorique : l'intervalle imposé et le tronçon résiduel

Sur un ouvrage linéaire, deux situations coexistent. Ou bien le nombre de points est imposé et l'on calcule le pas — c'est le cas d'un alignement à trois piquets. Ou bien l'intervalle est imposé et l'on calcule le nombre de points : c'est le cas ici, et c'est de loin le plus fréquent, parce que l'intervalle correspond à une contrainte physique — longueur d'un tuyau, portée d'un étaiement, pas d'un profil en travers. La division ne tombe alors presque jamais juste, et le dernier tronçon est résiduel.

Principe 1 — l'intervalle est une donnée physique : il ne s'ajuste pas pour faire tomber la division juste. On subit le reste, on ne le répartit pas.
Principe 2 — les extrémités sont toujours matérialisées : les deux regards font partie du piquetage, même si le dernier intervalle est court. Ce sont eux qui portent l'ouvrage.
Principe 3 — l'abscisse curviligne se compte depuis l'origine : 0, 20, 40, 60, 80, puis la longueur totale. Chaque point est repéré par un seul nombre, ce qui simplifie autant la planimétrie que l'altimétrie.
Principe 4 — rayonner depuis l'origine, jamais de proche en proche : calculer P4 depuis P3 hériterait de tous les arrondis précédents. Repartir de A découple les erreurs.
Principe 5 — un seul gisement pour tout l'ouvrage : l'axe étant rectiligne, les six points partagent la même direction. Seule l'abscisse curviligne change.

Équations Fondamentales

Deux relations, une par axe, appliquées à chacune des abscisses curvilignes. Elles s'emploient ensemble mais restent deux calculs distincts.

Rayonnement — abscisse d'un piquet :

Traduit une distance le long de l'axe en position est-ouest.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le projet raisonne en mètres de tranchée, tandis que l'implantation exige des coordonnées. Le gisement étant constant, c'est cette formule qui garantit mécaniquement l'alignement des six points.

Contexte de validité : abscisse curviligne mesurée depuis A, gisement dans le même système que les coordonnées.
Avantage : en changeant la seule valeur de \( s_{i} \), on obtient autant de points qu'on veut sans recalculer de direction.
Paramètre clé : le sinus, ici proche de 0,935 : la composante est-ouest absorbe l'essentiel de chaque déplacement.
Vérification : appliquée à \( s = D_{\text{A-B}} \), elle doit restituer exactement l'abscisse du regard B.
Limite : elle suppose l'axe rectiligne. Sur un tracé avec coude, il faudrait recalculer un gisement par tronçon.

\[ X_{i} = X_{\text{A}} + s_{i} \cdot \sin\left(G_{\text{A-B}}\right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « après \( s_{i} \) mètres de tranchée, de combien me suis-je déplacé vers l'est ? » Le sinus valant 0,935, la réponse est : presque tout le parcours.

Décomposition des termes :

\( X_{i} \) : abscisse du piquet de rang i, unité : m
\( X_{\text{A}} \) : abscisse du regard de départ, unité : m
\( s_{i} \) : abscisse curviligne, distance horizontale parcourue depuis A, unité : m
\( \sin(G_{\text{A-B}}) \) : part portée par l'axe des X, positive ici, unité : sans dimension
Le gisement, constant : identique pour les six points, unité : gon

Rayonnement — ordonnée d'un piquet :

Traduit la même distance en position nord-sud.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une position exige deux nombres. Et parce que le cosinus est négatif : chaque piquet sera plus au sud que le précédent — conséquence directe du quadrant établi en question 1.

Contexte de validité : identique à la précédente — même origine, même gisement, même abscisse curviligne.
Avantage : associée à la première, elle permet un contrôle par Pythagore : les deux composantes doivent restituer l'abscisse curviligne.
Paramètre clé : le signe du cosinus. Le forcer en positif ferait remonter la tranchée vers le nord.
Vérification : \( \sin^{2} + \cos^{2} = 0{,}874943 + 0{,}125057 = 1{,}000000 \)
Limite : purement planimétrique. L'altitude de chaque piquet relève de la question 3, et d'un tout autre calcul.

\[ Y_{i} = Y_{\text{A}} + s_{i} \cdot \cos\left(G_{\text{A-B}}\right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « et de combien suis-je descendu vers le sud ? » Le cosinus étant négatif, les ordonnées diminuent à mesure qu'on progresse dans la tranchée.

Décomposition des termes :

\( Y_{i} \) : ordonnée du piquet de rang i, unité : m
\( Y_{\text{A}} \) : ordonnée du regard de départ, unité : m
\( s_{i} \) : même abscisse curviligne que dans l'équation précédente, unité : m
\( \cos(G_{\text{A-B}}) \) : part portée par l'axe des Y, négative ici, unité : sans dimension
Le rapport \( \sin / \cos \) : tangente du gisement, égale à −2,645, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants, voyant que 91,62 divisé par 20 donne 4,58, arrondissent à 5 intervalles et recalculent un pas de 18,32 m. L'ouvrage est alors régulièrement piqueté — mais avec un intervalle que l'énoncé n'a pas demandé..."

L'approche d'ingénieur : Un intervalle imposé est une donnée, au même titre qu'une coordonnée. Le reste se subit, il ne se répartit pas.

L'erreur : confondre les deux problèmes — « N points imposés, quel pas ? » et « pas imposé, combien de points ? ». Ici, c'est le second.
La bonne méthode : prendre la partie entière du quotient pour le nombre de tronçons complets, et traiter le reste comme un dernier tronçon court se terminant sur le regard.
L'astuce de pro : sur le terrain, l'intervalle correspond souvent à une longueur de tuyau standard. Le modifier obligerait à recouper chaque élément — exactement ce qu'on cherche à éviter.
Le moyen mnémotechnique : « le reste se subit, il ne se répartit pas ».
L'impact direct : avec un pas de 18,32 m, les quatre piquets intermédiaires seraient décalés de 1,7 à 6,7 m le long de la tranchée. Les altitudes de fil d'eau calculées ensuite seraient fausses d'autant.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Quotient longueur / intervalle : sans dimension , et volontairement non arrondi.
Abscisses curvilignes : en mètres , valant 0, 20, 40, 60, 80 et la longueur totale.
Lignes trigonométriques : reprises de la question 1 à six décimales .
Produits \( s_{i} \times \sin G \) : mètre × sans dimension = mètre .
Coordonnées finales : arrondies au millimètre .

Nous procédons en trois temps : le découpage du piquetage, les lignes trigonométriques du gisement, puis les coordonnées des quatre piquets intermédiaires et du regard d'arrivée.

1. Résolution Numérique Découpage du piquetage

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour savoir combien de piquets planter et à quelles abscisses. C'est le seul endroit de la question où une erreur de raisonnement — et non de calcul — est possible.

Méthodologie du calcul :

On divise la longueur horizontale par l'intervalle imposé, sans arrondir, puis on lit séparément la partie entière et le reste.

Substitution : \( D_{\text{A-B}} = 91{,}6201 \) m et \( e = 20{,}00 \) m.
Piège évité : ne pas arrondir le quotient. 4,58 n'est pas 5, et l'écart se traduirait en mètres sur le terrain.
Hypothèse validée : les deux regards font partie du piquetage — le dernier point est donc B lui-même.
Vérification croisée : \( 4 \times 20 + 11{,}6201 = 91{,}6201 \) m — le découpage restitue la longueur totale.
Finalité : fournir les six abscisses curvilignes des rayonnements.

\[ \begin{aligned} \frac{D_{\text{A-B}}}{e} &= \frac{91{,}6201}{20{,}00} \\ &= \mathbf{4{,}5810} \end{aligned} \]

La longueur du dernier tronçon. Quatre tronçons complets occupent 80 m ; le reste forme un dernier segment plus court, qui se termine sur le regard B.

\[ \begin{aligned} \ell_{\text{dernier}} &= D_{\text{A-B}} - 4 \times e \\ &= 91{,}6201 - 80{,}00 \\ &= \mathbf{11{,}6201} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Six points au total : le regard A, quatre piquets intermédiaires aux abscisses 20, 40, 60 et 80 m, et le regard B à 91,6201 m.

Ordre de grandeur : \( 4 \times 20 + 11{,}6201 = 91{,}6201 \) m — la longueur est exactement reconstituée
Impact sur la suite : ces six abscisses serviront deux fois : pour les coordonnées ici, pour les altitudes en question 3.
Cohérence : le dernier tronçon, 11,62 m, représente 58 % d'un intervalle courant — proportion parfaitement banale sur un chantier.
Attention : ne pas confondre nombre de tronçons (5, dont un court) et nombre de points (6, regards compris).
Comparaison : par rapport aux normes, ce découpage est purement arithmétique : son erreur est nulle, et tout le budget de la classe A reste disponible pour les mesures de terrain.

Remarque pédagogique : Écrivez le quotient non arrondi dans la copie. C'est lui qui justifie le découpage, et l'arrondir ferait disparaître la raison même du tronçon résiduel.

Les lignes trigonométriques du gisement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ces deux nombres serviront aux cinq rayonnements, le gisement étant commun à tout l'axe.

Méthodologie du calcul :

Sinus et cosinus du gisement, en mode grades, à six décimales. Le gisement étant dans le deuxième quadrant, on attend un sinus positif et un cosinus négatif.

Substitution : \( G_{\text{A-B}} = 123{,}0108 \) gon, valeur non arrondie de la question 1.
Piège évité : ne pas « corriger » le signe négatif du cosinus — il porte l'information que la tranchée descend vers le sud.
Hypothèse validée : un gisement entre 100 et 200 gon a bien un sinus positif et un cosinus négatif.
Vérification croisée : la somme des carrés doit valoir 1, et le rapport −2,645.
Finalité : alimenter les dix coordonnées à calculer.

\[ \sin(123{,}0108 \text{ gon}) = \mathbf{+0{,}935384} \]

Et la seconde ligne trigonométrique. Négative, comme annoncé, et de valeur absolue nettement plus faible : la tranchée progresse bien plus vers l'est qu'elle ne descend vers le sud.

\[ \cos(123{,}0108 \text{ gon}) = \mathbf{-0{,}353634} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Chaque mètre de tranchée se traduit par 93,5 cm vers l'est et 35,4 cm vers le sud. Ces deux valeurs sont les seules que nous emploierons.

Ordre de grandeur : \( 0{,}935384^{2} + 0{,}353634^{2} = 0{,}874943 + 0{,}125057 = 1{,}000000 \)
Impact sur la suite : chaque tronçon de 20 m avancera de 18,71 m en X et reculera de 7,07 m en Y.
Cohérence : \( 0{,}935384 / (-0{,}353634) = -2{,}645 \), exactement le rapport \( \Delta X / \Delta Y \) de la question 1. La boucle se referme.
Attention : ne pas arrondir à trois décimales. Sur 80 m d'abscisse curviligne, la troncature coûterait plusieurs centimètres — le tiers de la tolérance de classe A.
Comparaison : par rapport aux normes, six décimales garantissent une erreur de calcul de l'ordre du dixième de millimètre sur 92 m.

Remarque pédagogique : Le contrôle \( \sin^{2} + \cos^{2} = 1 \) coûte cinq secondes et détecte instantanément une valeur mal recopiée ou un mauvais mode angulaire. C'est précisément ce contrôle qui manquait à la version fautive de cet exercice.

Les coordonnées des quatre piquets intermédiaires

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le livrable planimétrique de la question : quatre couples de coordonnées, chacun obtenu par un rayonnement indépendant depuis le regard A.

Méthodologie du calcul :

Chaque piquet est traité séparément, avec son abscisse curviligne. Les accroissements étant proportionnels à \( s_{i} \), ceux du piquet 2 valent exactement le double de ceux du piquet 1 — un contrôle gratuit à chaque étape.

Substitution : \( A(350{,}10 ; 842{,}60) \) et \( s_{i} \) valant 20, 40, 60 puis 80 m.
Piège évité : rayonner depuis A à chaque fois, jamais depuis le piquet précédent.
Hypothèse validée : abscisses croissantes, ordonnées décroissantes — conformément aux signes des lignes trigonométriques.
Vérification croisée : les accroissements doivent être strictement proportionnels à l'abscisse curviligne.
Finalité : livrer les quatre piquets, puis vérifier que le sixième point retombe sur B.

a) Le piquet P1, à 20 m. Premier tronçon : la tranchée avance de 18,71 m vers l'est et descend de 7,07 m vers le sud.

\[ \begin{aligned} X_{\text{P1}} &= 350{,}10 + 20{,}00 \times 0{,}935384 \\ &= 350{,}10 + 18{,}7077 \\ &= \mathbf{368{,}808} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} Y_{\text{P1}} &= 842{,}60 + 20{,}00 \times (-0{,}353634) \\ &= 842{,}60 - 7{,}0727 \\ &= \mathbf{835{,}527} \text{ m} \end{aligned} \]

b) Le piquet P2, à 40 m. Les accroissements doublent exactement : 37,42 m et −14,15 m. C'est le contrôle de proportionnalité annoncé.

\[ \begin{aligned} X_{\text{P2}} &= 350{,}10 + 40{,}00 \times 0{,}935384 \\ &= 350{,}10 + 37{,}4154 \\ &= \mathbf{387{,}515} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} Y_{\text{P2}} &= 842{,}60 + 40{,}00 \times (-0{,}353634) \\ &= 842{,}60 - 14{,}1453 \\ &= \mathbf{828{,}455} \text{ m} \end{aligned} \]

c) Le piquet P3, à 60 m. Trois fois les accroissements du premier piquet. À ce stade, la tranchée a déjà parcouru les deux tiers de sa longueur.

\[ \begin{aligned} X_{\text{P3}} &= 350{,}10 + 60{,}00 \times 0{,}935384 \\ &= 350{,}10 + 56{,}1230 \\ &= \mathbf{406{,}223} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} Y_{\text{P3}} &= 842{,}60 + 60{,}00 \times (-0{,}353634) \\ &= 842{,}60 - 21{,}2180 \\ &= \mathbf{821{,}382} \text{ m} \end{aligned} \]

d) Le piquet P4, à 80 m. Dernier piquet intermédiaire, avant le tronçon résiduel. C'est celui qu'une erreur de gisement décalerait le plus, puisque l'écart croît avec l'abscisse curviligne.

\[ \begin{aligned} X_{\text{P4}} &= 350{,}10 + 80{,}00 \times 0{,}935384 \\ &= 350{,}10 + 74{,}8307 \\ &= \mathbf{424{,}931} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} Y_{\text{P4}} &= 842{,}60 + 80{,}00 \times (-0{,}353634) \\ &= 842{,}60 - 28{,}2907 \\ &= \mathbf{814{,}309} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les quatre piquets sont posés. Leurs accroissements forment une suite parfaitement proportionnelle — 18,71 · 37,42 · 56,12 · 74,83 —, ce qui est la signature d'un axe rectiligne à pas régulier.

Ordre de grandeur : chaque accroissement en X vaut exactement 18,7077 m de plus que le précédent
Impact sur la suite : ces coordonnées entreront telles quelles dans la fiche de piquetage, aux côtés des altitudes de la question 3.
Cohérence : contrôle par Pythagore sur P1 : \( \sqrt{18{,}7077^{2} + 7{,}0727^{2}} = \sqrt{350{,}0 + 50{,}0} = 20{,}000 \) m — l'abscisse curviligne est restituée.
Attention : une erreur d'un centigon sur le gisement décalerait P1 de 0,3 cm mais P4 de 1,3 cm. L'écart croît avec l'éloignement — c'est pourquoi le dernier point est le meilleur révélateur.
Comparaison : par rapport aux normes, ces valeurs devront supporter un récolement en classe A — écart moyen inférieur à 11,25 cm au sens du guide DT-DICT fascicule 2. Le millimètre affiché laisse une marge confortable.

Remarque pédagogique : La proportionnalité des accroissements est un contrôle immédiat et gratuit : si le troisième piquet n'affiche pas exactement trois fois l'accroissement du premier, il y a une faute de saisie. Ce réflexe vaut sur tout piquetage à pas régulier.

LECTURE DU RÉSULTAT

Les six points du piquetage sont en place en plan. Le dessin porte les abscisses curvilignes et fait apparaître le tronçon résiduel : quatre intervalles de 20 m, puis un dernier de 11,62 m qui se termine sur le regard d'arrivée.

Le tronçon résiduel n'est pas une anomalie : c'est la situation normale d'un chantier, où la distance entre deux regards ne se plie pas à un multiple rond de la longueur des tuyaux. Ce qui compte, c'est que les deux regards soient matérialisés et que les points intermédiaires restent régulièrement espacés — condition d'un réglage de pente homogène dans la tranchée.

RÉSULTAT FINAL

P1 à P4 = 368,808 · 387,515 · 406,223 · 424,931 m en X

"Six points en plan, dont quatre piquets intermédiaires : ce résultat sera crucial pour l'étape suivante !"

Question 3 : Les altitudes du fil d'eau

Dans la tête de l'ingénieur

"Je change de dimension. Et je remarque immédiatement quelque chose de très confortable : ce calcul n'utilise ni le gisement, ni les coordonnées. Il ne dépend que de l'abscisse curviligne et de la pente. Autrement dit, même si je m'étais trompé de quadrant en question 1, mes altitudes seraient justes. Cette indépendance des deux chaînes est une aubaine : elle me donnera des contrôles croisés que les exercices purement planimétriques n'ont pas."

Observation : chaque tronçon de 20 m fait descendre le fil d'eau de exactement 50 cm. Les quatre premiers piquets se déduisent donc de tête, ce qui est le meilleur des garde-fous.
Analyse du risque : le signe. Une pente descendante se retranche. L'inverser ferait remonter le fil d'eau et inverserait le sens d'écoulement — la faute la plus grave qu'on puisse commettre sur un ouvrage gravitaire.
Choix stratégique : je rapporte la pente à la distance horizontale, jamais à la longueur du tuyau. C'est la définition d'un pourcentage, et l'écart — 3 cm sur 92 m — serait suffisant pour fausser la profondeur d'arrivée.
Alternative : calculer chaque altitude depuis la précédente en retranchant 50 cm. Plus rapide, mais écartée : la moindre erreur se propagerait jusqu'au regard d'arrivée sans être détectée.
Objectif visé : six altitudes de projet dans le système NGF-IGN 1969, et une explication claire de ce que l'énoncé ne permet pas de calculer.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

103,95 · 103,45 · 102,95 · 102,45 · 101,95 · 101,660 m NGF-IGN 1969

Rappel Théorique : fil d'eau, cote rouge, et ce qui les sépare

Deux grandeurs altimétriques cohabitent sur un chantier de réseau, et les confondre est une erreur de raisonnement, pas de calcul. Le fil d'eau est une altitude de projet : elle se calcule, elle ne se mesure pas, et elle découle entièrement de la pente imposée. La cote rouge, elle, est une différence entre le terrain existant et le projet : elle donne la profondeur à terrasser, et elle exige donc de connaître le terrain naturel en chaque point. L'un se déduit du bureau d'études, l'autre d'un levé de terrain.

Principe 1 — la pente se rapporte à l'horizontale : 2,5 % signifie 2,5 m de chute pour 100 m horizontaux. C'est la définition du pourcentage, et elle exclut la longueur du tuyau.
Principe 2 — une pente descendante se retranche : le fil d'eau diminue à mesure qu'on avance. Un signe inversé produirait une contre-pente, et l'eau stagnerait.
Principe 3 — calculer depuis l'origine, jamais de proche en proche : chaque altitude se déduit du fil d'eau de départ et de l'abscisse curviligne, ce qui empêche toute propagation d'erreur.
Principe 4 — le fil d'eau est le fond intérieur du tuyau : pas le fond de fouille, ni la génératrice supérieure. Le terrassement descendra plus bas, du lit de pose et de l'épaisseur de la paroi.
Principe 5 — les altitudes ont leur propre système légal : NGF-IGN 1969 en France métropolitaine hors Corse, désigné par le décret n° 2000-1276 modifié, art. 1^er B. Une altitude sans système de référence ne veut rien dire.

Équations Fondamentales

Trois relations qui s'enchaînent : le point de départ du fil d'eau, la dénivelée due à la pente, et l'altitude à une abscisse quelconque.

Altitude du fil d'eau au départ :

Fixe l'origine altimétrique de tout l'ouvrage.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le projet ne donne pas directement l'altitude du tuyau, mais une profondeur sous le terrain naturel. C'est la façon dont raisonnent les projeteurs : on impose une couverture, pas une cote absolue.

Contexte de validité : suppose l'altitude du terrain naturel connue au point considéré — ce qui n'est vrai qu'au regard A dans cet énoncé.
Avantage : elle traduit une contrainte de chantier — la profondeur de couverture — en une altitude absolue exploitable.
Paramètre clé : la profondeur h, qui se retranche. Une profondeur ajoutée placerait le tuyau au-dessus du sol.
Vérification : le résultat doit être inférieur à l'altitude du terrain naturel, et de la profondeur exacte.
Limite : elle ne dit rien du fond de fouille, qui descend encore sous le fil d'eau, du lit de pose et de l'épaisseur du tuyau.

\[ Z_{\text{FE}}(\text{A}) = Z_{\text{TN}}(\text{A}) - h \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « descends d'un mètre cinquante sous le sol, tu es au fond du tuyau » . C'est le geste de l'opérateur qui, depuis un repère de nivellement, reporte la profondeur de pose au fond de la fouille.

Décomposition des termes :

\( Z_{\text{FE}}(\text{A}) \) : altitude du fil d'eau au regard de départ, unité : m NGF-IGN 1969
\( Z_{\text{TN}}(\text{A}) \) : altitude du terrain naturel au même point, unité : m NGF-IGN 1969
\( h \) : profondeur de pose imposée par le projet, unité : m
Le signe « − » : le fil d'eau est sous le terrain, unité : sans dimension
Le système NGF-IGN 1969 : référence altimétrique légale, unité : sans dimension

Dénivelée due à la pente :

Donne la chute du fil d'eau après une distance horizontale donnée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la pente est un rapport entre une dénivelée et une distance horizontale. La multiplier par l'abscisse curviligne, c'est simplement lire la définition à l'envers.

Contexte de validité : pente constante sur tout le tronçon. Un changement de pente exigerait de repartir du regard intermédiaire.
Avantage : elle n'utilise ni gisement ni coordonnées : c'est ce qui rend l'altimétrie indépendante de la planimétrie.
Paramètre clé : la conversion du pourcentage en décimal : 2,5 % vaut 0,025. Oublier la division par cent multiplierait la chute par cent.
Vérification : la dénivelée doit croître proportionnellement à l'abscisse curviligne — 50 cm par tronçon de 20 m.
Limite : la pente s'applique à la distance horizontale. Employer la longueur du tuyau, 3 cm plus grande, fausserait légèrement la profondeur d'arrivée.

\[ \Delta Z_{i} = s_{i} \times p \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « de combien le tuyau est-il descendu après \( s_{i} \) mètres ? » Sur vingt mètres à 2,5 %, la réponse tient en un demi-mètre — une valeur qu'on retient et qui permet de contrôler toute la colonne de tête.

Décomposition des termes :

\( \Delta Z_{i} \) : chute du fil d'eau à l'abscisse \( s_{i} \), unité : m
\( s_{i} \) : abscisse curviligne, distance horizontale depuis le regard A, unité : m
\( p \) : pente exprimée en décimal, soit 0,025 pour 2,5 %, unité : sans dimension
Le produit : mètre × sans dimension = mètre, unité : m
La proportionnalité : la chute croît linéairement avec l'abscisse, unité : sans dimension

Altitude du fil d'eau à une abscisse quelconque :

Combine les deux relations précédentes pour donner la cote de projet en tout point.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la valeur que l'équipe de terrassement attend. Tout le reste — gisement, coordonnées, découpage — n'existe que pour pouvoir la reporter au bon endroit.

Contexte de validité : abscisse curviligne comptée depuis le regard A, pente constante et descendante.
Avantage : en changeant la seule valeur de \( s_{i} \), on obtient l'altitude en tout point de la tranchée, y compris entre deux piquets.
Paramètre clé : le signe moins. C'est lui qui fait couler l'eau dans le bon sens.
Vérification : les altitudes doivent décroître strictement. La moindre remontée serait une contre-pente.
Limite : elle donne le projet, jamais la profondeur à terrasser. Celle-ci exigerait le terrain naturel en chaque point.

\[ Z_{\text{FE}}(s_{i}) = Z_{\text{FE}}(\text{A}) - \Delta Z_{i} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « pars du fil d'eau de départ, et descends de ce que la pente impose » . C'est très exactement le réglage que fait le laser de canalisation posé dans le regard de départ.

Décomposition des termes :

\( Z_{\text{FE}}(s_{i}) \) : altitude de projet du fil d'eau au piquet considéré, unité : m NGF-IGN 1969
\( Z_{\text{FE}}(\text{A}) \) : altitude de départ, calculée en premier, unité : m NGF-IGN 1969
\( \Delta Z_{i} \) : chute cumulée depuis le départ, unité : m
Le signe « − » : pente descendante — condition de l'écoulement gravitaire, unité : sans dimension
L'indépendance au gisement : aucune grandeur planimétrique n'intervient, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants ajoutent la dénivelée au lieu de la retrancher. Les altitudes remontent alors de 103,95 à 106,24 m, et la canalisation monte au lieu de descendre. Le calcul est parfaitement régulier, les nombres sont plausibles — et l'ouvrage ne fonctionnerait pas du tout..."

L'approche d'ingénieur : Sur un ouvrage gravitaire, le sens de la pente n'est pas une convention : c'est la condition physique de fonctionnement. Il se vérifie par le bon sens, pas par la formule.

L'erreur : appliquer la formule sans se demander dans quel sens l'eau coule. L'énoncé dit « descendante de A vers B » — c'est une donnée physique, pas un détail de rédaction.
La bonne méthode : écrire, avant tout calcul : « l'eau va de A vers B, donc \( Z_{\text{FE}} \) décroît ». Puis vérifier que chaque valeur obtenue est bien inférieure à la précédente.
L'astuce de pro : comparer la première et la dernière altitude. Si le fil d'eau d'arrivée est plus haut que celui de départ, l'erreur saute aux yeux sans aucun calcul.
Le moyen mnémotechnique : « l'eau ne remonte pas les pentes ».
L'impact direct : une contre-pente de 2,5 % sur 92 m, c'est 2,29 m de dénivelée à l'envers. La canalisation ne s'écoulerait jamais, et la reprise imposerait de rouvrir toute la tranchée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Pente : convertie de 2,5 % en 0,025 , grandeur sans dimension.
Abscisses curvilignes : en mètres horizontaux , reprises de la question 2.
Altitudes : en mètres NGF-IGN 1969 , jamais en cotes relatives.
Profondeur de pose : en mètres , retranchée au terrain naturel.
Résultats : affichés au centimètre , précision usuelle d'un fil d'eau.

Nous procédons en trois temps : l'altitude de départ, la chute élémentaire d'un tronçon courant, puis les altitudes de chacun des six points.

1. Résolution Numérique Altitude du fil d'eau au regard de départ

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'origine altimétrique de tout l'ouvrage. Les cinq autres altitudes s'en déduiront.

Méthodologie du calcul :

On retranche la profondeur de pose à l'altitude du terrain naturel. C'est le seul point de l'ouvrage où le terrain naturel est connu.

Substitution : \( Z_{\text{TN}}(\text{A}) = 105{,}45 \) m et \( h = 1{,}50 \) m.
Piège évité : retrancher, pas ajouter. Le fil d'eau est sous le sol.
Hypothèse validée : les deux valeurs sont exprimées dans le même système altimétrique, le NGF-IGN 1969.
Vérification croisée : l'écart au terrain naturel doit valoir exactement 1,50 m.
Finalité : fournir l'origine des cinq altitudes suivantes.

\[ \begin{aligned} Z_{\text{FE}}(\text{A}) &= Z_{\text{TN}}(\text{A}) - h \\ &= 105{,}45 - 1{,}50 \\ &= \mathbf{103{,}95} \text{ m NGF} \end{aligned} \]

La chute d'un tronçon courant. Vingt mètres à 2,5 % : la valeur est ronde, et c'est une aubaine. Elle permet de dérouler les quatre premiers piquets de tête et de repérer instantanément une anomalie.

\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{20}} &= 20{,}00 \times 0{,}025 \\ &= \mathbf{0{,}500} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Cinquante centimètres par tronçon : la colonne des altitudes se déroule alors sans calculatrice, ce qui en fait un contrôle permanent.

Ordre de grandeur : 1,50 m de couverture au départ — profondeur courante pour un réseau d'eaux pluviales sous voirie légère
Impact sur la suite : les quatre premiers piquets s'obtiennent par soustractions successives de 50 cm, le dernier exigeant seul un vrai calcul.
Cohérence : une pente de 2,5 % vaut 1,59 gon d'inclinaison — un angle si faible qu'il serait invisible à l'œil, mais parfaitement suffisant pour l'écoulement.
Attention : cette régularité ne vaut que pour les tronçons complets. Le dernier, de 11,62 m, donnera une chute différente.
Comparaison : par rapport aux normes, 2,5 % vaut cinq fois le seuil de 0,5 % évoqué par le mémento ASTEE 2017 pour les ouvrages de transport. L'auto-curage n'est donc pas la contrainte dimensionnante.

Remarque pédagogique : Repérer qu'une chute élémentaire tombe rond est le genre d'observation qui distingue un opérateur attentif : il aura une colonne de contrôle mentale pendant tout le reste du calcul.

Les altitudes des six points

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le livrable altimétrique, la colonne que l'équipe de terrassement lira pour régler le fond de fouille.

Méthodologie du calcul :

Chaque altitude se calcule depuis le fil d'eau de départ, avec l'abscisse curviligne du point. Jamais depuis le piquet précédent : c'est ce qui empêche la propagation d'erreur.

Substitution : \( Z_{\text{FE}}(\text{A}) = 103{,}95 \) m, \( p = 0{,}025 \), et \( s_{i} \) valant 20, 40, 60, 80 puis 91,6201 m.
Piège évité : pour le dernier point, employer la longueur réelle du tronçon résiduel et non 100 m ni un cinquième intervalle de 20 m.
Hypothèse validée : pente constante sur tout le tronçon entre les deux regards.
Vérification croisée : les altitudes doivent décroître strictement, de 50 cm en 50 cm jusqu'au quatrième piquet.
Finalité : livrer la troisième colonne de la fiche de piquetage.

a) Le piquet P1, à 20 m. Une chute d'un demi-mètre depuis le départ.

\[ \begin{aligned} Z_{\text{FE}}(20) &= 103{,}95 - 20{,}00 \times 0{,}025 \\ &= 103{,}95 - 0{,}500 \\ &= \mathbf{103{,}45} \text{ m NGF} \end{aligned} \]

b) Le piquet P2, à 40 m. Chute doublée : un mètre. Notez que ce calcul repart de A, et non de P1.

\[ \begin{aligned} Z_{\text{FE}}(40) &= 103{,}95 - 40{,}00 \times 0{,}025 \\ &= 103{,}95 - 1{,}000 \\ &= \mathbf{102{,}95} \text{ m NGF} \end{aligned} \]

c) Le piquet P3, à 60 m. Un mètre cinquante de chute — soit exactement la profondeur de pose du départ. Coïncidence numérique, sans signification physique.

\[ \begin{aligned} Z_{\text{FE}}(60) &= 103{,}95 - 60{,}00 \times 0{,}025 \\ &= 103{,}95 - 1{,}500 \\ &= \mathbf{102{,}45} \text{ m NGF} \end{aligned} \]

d) Le piquet P4, à 80 m. Deux mètres de chute. Dernier piquet à chute ronde.

\[ \begin{aligned} Z_{\text{FE}}(80) &= 103{,}95 - 80{,}00 \times 0{,}025 \\ &= 103{,}95 - 2{,}000 \\ &= \mathbf{101{,}95} \text{ m NGF} \end{aligned} \]

e) Le regard d'arrivée B, à 91,6201 m. Le seul point qui exige un vrai calcul, puisque le tronçon résiduel ne mesure que 11,62 m. La chute totale s'établit à 2,29 m.

\[ \begin{aligned} Z_{\text{FE}}(\text{B}) &= 103{,}95 - 91{,}6201 \times 0{,}025 \\ &= 103{,}95 - 2{,}2905 \\ &= \mathbf{101{,}6595} \text{ m NGF} \end{aligned} \]

Arrondi de restitution. Sur la fiche remise au chantier, cette altitude s'écrira 101,660 m : le millimètre est la précision utile pour un fond de fouille. La valeur non arrondie, elle, sera conservée pour le contrôle de la pente en question 4.

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les six altitudes décroissent strictement, de 103,95 à 101,66 m. L'écoulement est assuré sur toute la longueur, sans le moindre point bas.

Ordre de grandeur : chute totale de 2,2905 m sur 91,62 m horizontaux — soit bien 2,5 %
Impact sur la suite : ces altitudes forment la troisième colonne de la fiche. Elles seront contrôlées en question 4 par la pente restituée.
Cohérence : la chute du dernier tronçon vaut \( 11{,}6201 \times 0{,}025 = 0{,}2905 \) m, ce qui, ajouté aux 2,000 m du piquet P4, redonne exactement 2,2905 m.
Attention : la cote rouge n'est pas calculable ici. Elle vaudrait \( Z_{\text{TN}} - Z_{\text{FE}} \) et exigerait le terrain naturel à chaque piquet — que l'énoncé ne fournit qu'au point A. Il faudrait un profil en long levé sur le terrain.
Comparaison : par rapport aux normes, l'arrêté du 16 septembre 2003 retient \( k = 3{,}23 \) en altimétrie seule, contre 2,42 en planimétrie : l'altimétrie est jugée plus sévèrement, ce qui est cohérent avec l'enjeu hydraulique.

Remarque pédagogique : Savoir dire ce qu'un énoncé ne permet pas de calculer vaut autant que savoir calculer. Un étudiant qui produirait des cotes rouges à partir d'un unique point de terrain naturel inventerait des données — faute bien plus grave qu'une erreur d'arithmétique.

LECTURE DU RÉSULTAT

Voici le profil en long de l'ouvrage, avec les six altitudes de fil d'eau. Observez la régularité de la descente : cinquante centimètres par tronçon complet, puis une chute réduite sur le tronçon résiduel. Le terrain naturel, lui, reste en pointillé au-delà du regard A — parce qu'il n'est pas connu.

Ce dessin dit aussi ce qui manque. Le terrain naturel n'est tracé en trait plein qu'au voisinage du regard A ; au-delà, il est en pointillé parce qu'aucun levé ne le renseigne. C'est pourquoi la profondeur de tranchée — la cote rouge — reste hors de portée : elle se lit comme l'écart vertical entre les deux lignes, et l'une des deux est inconnue.

RÉSULTAT FINAL

Z du fil d'eau = 103,95 → 101,660 m NGF-IGN 1969

"Six altitudes strictement décroissantes : ce résultat sera crucial pour l'étape suivante !"

Question 4 : Les contrôles et la fiche de piquetage

Dans la tête de l'ingénieur

"Trois questions résolues, et pas une ligne de vérification. C'est maintenant que se joue la valeur du travail. Un calcul non contrôlé n'est pas un calcul : c'est une hypothèse bien présentée. Je dispose ici d'un avantage rare — deux chaînes indépendantes, la planimétrie et l'altimétrie, calculées sans jamais s'emprunter la moindre valeur. Je vais donc les contrôler séparément, puis rendre une fiche exploitable."

Observation : un bon contrôle n'emprunte rien au calcul qu'il vérifie. Recalculer le gisement à partir du gisement ne prouverait rien du tout.
Analyse du risque : annoncer « OK » sans écrire le nombre. C'est le défaut le plus fréquent des notes de calculs : un contrôle dont on ne lit pas l'écart n'a jamais été fait.
Choix stratégique : trois contrôles de nature différente — un sur la chaîne planimétrique, un sur la chaîne altimétrique, un sur la régularité du découpage.
Alternative : se contenter de la coïncidence avec le regard B. Écartée : elle ne dirait rien des altitudes, qui sont pourtant le cœur d'un ouvrage gravitaire.
Objectif visé : trois écarts chiffrés, une fiche de piquetage à trois coordonnées, et la classe de précision exigible pour un réseau neuf.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Écarts : 0,1 mm en planimétrie · 0,000 % sur la pente · 0,9 mm sur l'équidistance

Rappel Théorique : ce qu'est un contrôle, et ce qui n'en est pas un

Un contrôle est une information redondante : une grandeur que l'on peut obtenir de deux façons différentes, et dont on compare les deux valeurs. Si les deux chemins passent par les mêmes opérations, la redondance est fictive — l'erreur se reproduit à l'identique et le contrôle la valide. Toute la difficulté consiste donc à choisir des vérifications qui empruntent un autre chemin que le calcul contrôlé.

Principe 1 — le contrôle doit être indépendant : recalculer une coordonnée avec la même formule et les mêmes valeurs ne teste que la calculatrice.
Principe 2 — l'écart s'écrit, toujours : même nul. « 0,000 m » est une information ; « OK » n'en est pas une, et rien ne prouve que le calcul ait eu lieu.
Principe 3 — un écart résiduel est normal : des coordonnées arrondies au millimètre produisent des écarts de l'ordre du dixième de millimètre. Un écart rigoureusement nul partout serait plutôt suspect.
Principe 4 — la tolérance se compare à une norme, pas à une intuition : l'arrêté du 16 septembre 2003 définit les classes de précision et les modalités de contrôle des travaux topographiques réalisés pour le compte de personnes publiques.
Principe 5 — un réseau neuf relève de la classe A : le guide DT-DICT, fascicule 2 (version 3), § 4.3.1 impose depuis le 1^er juillet 2012 le relevé en classe A de tout ouvrage neuf ou modifié, avec des contrôles deux fois plus précis que la classe visée.

Équations Fondamentales

Trois relations de contrôle, chacune testant une chaîne de calcul différente, puis une quatrième pour le métré.

Écart de coïncidence planimétrique :

Mesure la distance entre le point calculé et le point connu.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le regard B est connu par ses coordonnées et recalculé par rayonnement. Deux chemins, un même point : c'est la définition même d'une redondance exploitable.

Contexte de validité : exige que le point d'arrivée soit donné dans l'énoncé et non déduit d'un calcul antérieur.
Avantage : elle teste d'un coup le gisement, la distance et les deux fonctions trigonométriques.
Paramètre clé : la norme euclidienne des deux écarts, qui donne une distance et non deux nombres séparés.
Vérification : l'écart doit rester de l'ordre de l'arrondi de calcul, soit ici le dixième de millimètre.
Limite : elle ne dit rien des altitudes, qui n'interviennent nulle part dans ce calcul.

\[ \varepsilon_{\text{XY}} = \sqrt{ \left( X_{\text{calc}} - X_{\text{B}} \right)^{2} + \left( Y_{\text{calc}} - Y_{\text{B}} \right)^{2} } \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « de combien ai-je manqué la cible ? » C'est exactement ce que lit un opérateur qui, après avoir implanté toute une file de piquets, revient poser son prisme sur le regard d'arrivée.

Décomposition des termes :

\( \varepsilon_{\text{XY}} \) : distance entre point calculé et point connu, unité : m
\( X_{\text{calc}} \) : abscisse obtenue par rayonnement à l'abscisse curviligne totale, unité : m
\( X_{\text{B}} \) : abscisse du regard d'arrivée, donnée de l'énoncé, unité : m
Les carrés : suppriment les signes et évitent qu'une erreur en X compense une erreur en Y, unité : m²
La racine : ramène le résultat à une longueur lisible, unité : m

Pente restituée :

Recalcule la pente à partir des altitudes obtenues, pour la comparer à celle imposée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est le chemin inverse de la question 3 : on repart des altitudes produites pour retrouver la donnée d'entrée. Si la pente ressort différente de 2,5 %, une altitude au moins est fausse.

Contexte de validité : suppose la distance horizontale au dénominateur, celle-là même qui a servi au calcul.
Avantage : elle vérifie simultanément l'altitude de départ, celle d'arrivée et le sens de la pente.
Paramètre clé : le signe du numérateur. Une pente restituée négative signalerait une contre-pente.
Vérification : le résultat doit redonner 0,025, c'est-à-dire la donnée du projet.
Limite : ce contrôle est aveugle aux piquets intermédiaires : il ne teste que les deux extrémités.

\[ p_{\text{rest}} = \frac{ Z_{\text{FE}}(\text{A}) - Z_{\text{FE}}(\text{B}) }{ D_{\text{AB}} } \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « quelle pente mon ouvrage a-t-il réellement, une fois les cotes posées ? » C'est la question que se pose l'hydraulicien, pour qui seule compte la pente obtenue.

Décomposition des termes :

\( p_{\text{rest}} \) : pente déduite des altitudes calculées, unité : sans dimension
\( Z_{\text{FE}}(\text{A}) \) : fil d'eau au regard amont, unité : m NGF-IGN 1969
\( Z_{\text{FE}}(\text{B}) \) : fil d'eau au regard aval, unité : m NGF-IGN 1969
\( D_{\text{AB}} \) : distance horizontale entre les deux regards, unité : m
Le quotient : mètre divisé par mètre, d'où l'expression possible en pourcentage, unité : sans dimension

Équidistance entre piquets consécutifs :

Vérifie que le découpage est régulier, à partir des seules coordonnées.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle repart des coordonnées livrées, sans jamais réutiliser le gisement ni le pas de piquetage. C'est le seul contrôle qui teste les points intermédiaires.

Contexte de validité : valable entre deux piquets séparés d'un tronçon complet — donc pas entre P4 et le regard B.
Avantage : il se rejoue au décamètre sur le terrain, sans aucun instrument optique.
Paramètre clé : les coordonnées arrondies au millimètre, qui expliquent l'écart résiduel de l'ordre du millimètre.
Vérification : le résultat doit valoir 20,000 m au millimètre près.
Limite : il ne détecterait pas une erreur de gisement : des piquets régulièrement espacés sur une mauvaise direction passeraient ce test.

\[ d_{i,i+1} = \sqrt{ \left( X_{i+1} - X_{i} \right)^{2} + \left( Y_{i+1} - Y_{i} \right)^{2} } \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « tends ton décamètre d'un piquet à l'autre, tu dois lire vingt mètres » . Ce contrôle-là, le chef d'équipe peut le faire lui-même, en trois minutes, sans rien démonter.

Décomposition des termes :

\( d_{i,i+1} \) : distance horizontale entre deux piquets consécutifs, unité : m
\( X_{i+1} - X_{i} \) : différence des abscisses des deux piquets, unité : m
\( Y_{i+1} - Y_{i} \) : différence des ordonnées des deux piquets, unité : m
La racine carrée : théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle des deux écarts, unité : m
L'indépendance au gisement : aucune fonction trigonométrique n'intervient, unité : sans dimension

Longueur développée du tuyau :

Convertit la distance horizontale en longueur suivant la pente, pour le métré.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le tuyau ne suit pas l'horizontale : il descend. Sa longueur est donc l'hypoténuse d'un triangle dont la distance horizontale est un côté et la dénivelée l'autre.

Contexte de validité : pente constante et faible ; la formule reste exacte quelle que soit la pente.
Avantage : elle donne directement le linéaire à commander, sans repasser par les altitudes.
Paramètre clé : le facteur \( \sqrt{1+p^{2}} \), qui vaut 1,0003 pour une pente de 2,5 % — un allongement de trois dix-millièmes.
Vérification : la longueur obtenue doit être légèrement supérieure à la distance horizontale, jamais inférieure.
Limite : elle ne tient compte ni des regards, ni des coupes, ni des chutes : c'est un linéaire théorique, à majorer au métré réel.

\[ L_{\text{tuyau}} = D_{\text{AB}} \times \sqrt{ 1 + p^{2} } \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « le tuyau est un peu plus long que sa projection au sol » . Trois centimètres ici — négligeable pour la pose, mais l'ordre de grandeur devient significatif dès que la pente dépasse quelques pour cent.

Décomposition des termes :

\( L_{\text{tuyau}} \) : longueur développée, mesurée suivant la pente, unité : m
\( D_{\text{AB}} \) : distance horizontale entre les deux regards, unité : m
\( p \) : pente en décimal, ici 0,025, unité : sans dimension
\( \sqrt{1+p^{2}} \) : facteur d'allongement dû à l'inclinaison, unité : sans dimension
L'écart à l'unité : croît comme le carré de la pente, d'où son caractère négligeable ici, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants écrivent « contrôle OK » sans poser le calcul. La note de calculs paraît rigoureuse, elle comporte une rubrique « vérifications », et pourtant aucun nombre n'y figure. Le correcteur — comme le maître d'œuvre — n'a alors aucun moyen de savoir si le contrôle a été fait..."

L'approche d'ingénieur : Un contrôle se chiffre. L'écart obtenu est le livrable, pas la mention « conforme ».

L'erreur : affirmer une conformité au lieu de la démontrer. C'est la même faute que le maçon qui déclare son mur d'aplomb sans avoir sorti le niveau.
La bonne méthode : écrire les deux valeurs comparées, puis leur différence — fût-elle nulle. « 435,7999 contre 435,800, soit 0,0001 m » est une preuve ; « OK » n'en est pas une.
L'astuce de pro : se demander ce que le contrôle ne teste pas. La coïncidence avec B ne dit rien des altitudes ; l'équidistance ne dit rien du gisement. C'est en croisant leurs angles morts qu'on couvre l'ensemble.
Le moyen mnémotechnique : « pas de nombre, pas de contrôle ».
L'impact direct : une note sans écarts chiffrés est invérifiable. Pour un ouvrage réalisé pour une personne publique, elle ne satisfait pas aux exigences de l'arrêté du 16 septembre 2003, qui suppose une classe de précision annoncée et contrôlable.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Écarts planimétriques : en mètres , commentés en millimètres.
Pente restituée : sans dimension , convertie en pourcentage pour la lecture.
Équidistance : en mètres horizontaux , comparée au pas de 20,00 m.
Altitudes de la fiche : en mètres NGF-IGN 1969 .
Coordonnées de la fiche : en mètres RGF93 / Lambert-93 .

Nous menons les trois contrôles , puis le calcul de métré, puis nous assemblons la fiche.

1. Résolution Numérique Contrôle n° 1 : coïncidence avec le regard d'arrivée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le regard B est connu deux fois : par l'énoncé et par le rayonnement. C'est la redondance la plus riche de l'exercice.

Méthodologie du calcul :

On rayonne le point à l'abscisse curviligne totale, comme s'il s'agissait d'un piquet ordinaire, puis on compare aux coordonnées données.

Substitution : \( s = 91{,}6201 \) m, avec les mêmes sinus et cosinus qu'aux piquets intermédiaires.
Piège évité : ne pas réutiliser les écarts \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) de la question 1 — ce serait un raisonnement circulaire.
Hypothèse validée : le regard B est bien une donnée d'entrée, non un résultat intermédiaire.
Vérification croisée : l'écart doit rester de l'ordre du dixième de millimètre, résidu de l'arrondi de la distance.
Finalité : valider d'un seul calcul le gisement, la distance et le rayonnement.

a) L'abscisse recalculée.

\[ \begin{aligned} X_{\text{calc}} &= 350{,}100 + 91{,}6201 \times 0{,}935384 \\ &= 350{,}100 + 85{,}6999 \\ &= 435{,}7999 \text{ m} \end{aligned} \]

b) L'ordonnée recalculée.

\[ \begin{aligned} Y_{\text{calc}} &= 842{,}600 + 91{,}6201 \times \left( -0{,}353634 \right) \\ &= 842{,}600 - 32{,}3999 \\ &= 810{,}2001 \text{ m} \end{aligned} \]

c) L'écart de coïncidence. Les deux différences valent chacune un dixième de millimètre, en sens opposés.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{\text{XY}} &= \sqrt{ \left( 435{,}7999 - 435{,}800 \right)^{2} + \left( 810{,}2001 - 810{,}200 \right)^{2} } \\ &= \sqrt{ 0{,}0001^{2} + 0{,}0001^{2} } \\ &= \mathbf{0{,}00014} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un septième de millimètre. Cet écart n'est pas une imprécision de méthode : c'est le résidu de la troncature de la distance au dixième de millimètre, la valeur exacte étant 91,62014 m.

Ordre de grandeur : 0,14 mm sur 91,62 m, soit 1,5 millionième de la longueur
Impact sur la suite : le gisement de 123,0108 gon est validé. Avec le gisement erroné de l'ancienne version, cet écart aurait atteint plusieurs décimètres.
Cohérence : un écart rigoureusement nul aurait été plus suspect qu'un écart de 0,14 mm : il signalerait un calcul mené avec les données du contrôle.
Attention : ce contrôle valide la planimétrie seule. Les altitudes exigent leur propre vérification.
Comparaison : par rapport aux normes, la classe A du guide DT-DICT, fascicule 2 (v3), § 4.3.1 admet une incertitude de localisation de l'ordre du décimètre. Un écart de bureau de 0,14 mm est donc mille fois plus fin que l'exigence de terrain — ce qui est normal : un calcul n'a pas d'incertitude de mesure.

Remarque pédagogique : Ne cherchez jamais à faire disparaître un écart d'arrondi en retouchant une décimale. Écrivez-le, expliquez son origine : c'est ce qui distingue une note de calculs honnête d'une note maquillée.

Contrôle n° 2 : restitution de la pente

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la chaîne altimétrique n'a été testée par aucun des calculs précédents. Elle a sa propre vérification.

Méthodologie du calcul :

On repart des deux altitudes extrêmes obtenues en question 3, et l'on divise leur différence par la distance horizontale.

Substitution : \( Z_{\text{FE}}(\text{A}) = 103{,}95 \) m, \( Z_{\text{FE}}(\text{B}) = 101{,}6595 \) m, \( D_{\text{AB}} = 91{,}6201 \) m.
Piège évité : employer la valeur non arrondie 101,6595 et non l'affichage 101,660, sans quoi le contrôle testerait l'arrondi plutôt que le calcul.
Hypothèse validée : la pente est constante, donc la pente moyenne égale la pente locale.
Vérification croisée : le résultat doit redonner 0,025000 exactement.
Finalité : garantir que l'ouvrage s'écoule à la pente prescrite.

\[ \begin{aligned} p_{\text{rest}} &= \frac{ 103{,}95 - 101{,}6595 }{ 91{,}6201 } \\ &= \frac{ 2{,}2905 }{ 91{,}6201 } \\ &= \mathbf{0{,}025000} \end{aligned} \]

Conversion en pourcentage. Pour comparer à la donnée du projet, on multiplie par cent.

\[ \begin{aligned} p_{\text{rest}} &= 0{,}025000 \times 100 \\ &= \mathbf{2{,}500} \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,500 % restitués contre 2,5 % imposés : l'écart est nul aux six décimales. La chaîne altimétrique est validée de bout en bout.

Ordre de grandeur : écart nul, ce qui est attendu — les altitudes ont été calculées sans arrondi intermédiaire
Impact sur la suite : la fiche peut être diffusée : les cotes du fil d'eau produiront bien la pente contractuelle.
Cohérence : le signe est positif avec un numérateur amont moins aval, ce qui confirme une pente descendante de A vers B.
Attention : ce contrôle ne teste que les extrémités. Une altitude intermédiaire fautive y échapperait — d'où l'intérêt d'avoir calculé chaque piquet depuis l'origine.
Comparaison : par rapport aux normes, 2,500 % reste très supérieur au seuil de 0,5 % que le mémento ASTEE 2017 retient pour les ouvrages de transport. La condition d'auto-curage n'est pas critique sur ce tronçon.

Remarque pédagogique : Remarquez la séparation stricte des deux chaînes : le contrôle n° 1 n'utilise aucune altitude, le contrôle n° 2 n'utilise ni gisement ni coordonnées. C'est ce qui leur donne une valeur probante.

Contrôle n° 3 : équidistance des piquets

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les deux premiers contrôles ignorent les piquets intermédiaires. Celui-ci les teste, et il se rejoue au décamètre sur le terrain.

Méthodologie du calcul :

On applique Pythagore aux coordonnées livrées de deux piquets consécutifs, ici P1 et P2, sans réutiliser ni le gisement ni le pas.

Substitution : P1 (368,808 ; 835,527) et P2 (387,515 ; 828,455), au millimètre.
Piège évité : prendre deux piquets séparés d'un tronçon complet. Entre P4 et B, l'écart attendu serait de 11,62 m, non de 20 m.
Hypothèse validée : les coordonnées sont arrondies au millimètre, ce qui autorise un résidu du même ordre.
Vérification croisée : le résultat doit valoir 20,000 m à un millimètre près.
Finalité : fournir à l'équipe un contrôle exécutable sans instrument optique.

a) Les deux écarts de coordonnées.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{P1P2}} &= 387{,}515 - 368{,}808 \\ &= \mathbf{+18{,}707} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{P1P2}} &= 828{,}455 - 835{,}527 \\ &= \mathbf{-7{,}072} \text{ m} \end{aligned} \]

b) La distance entre les deux piquets.

\[ \begin{aligned} d_{\text{P1P2}} &= \sqrt{ 18{,}707^{2} + \left( -7{,}072 \right)^{2} } \\ &= \sqrt{ 349{,}9518 + 50{,}0132 } \\ &= \sqrt{ 399{,}9650 } \\ &= \mathbf{19{,}9991} \text{ m} \end{aligned} \]

c) L'écart au pas théorique.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{\text{d}} &= 19{,}9991 - 20{,}0000 \\ &= \mathbf{-0{,}0009} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Neuf dixièmes de millimètre. C'est très exactement ce qu'on attend de coordonnées arrondies au millimètre : l'arrondi de chacune des quatre valeurs se propage dans la racine.

Ordre de grandeur : 0,9 mm sur 20 m, soit 4,5 centmillièmes de la travée
Impact sur la suite : sur le terrain, un décamètre lit le centimètre : cet écart est indétectable et n'a aucune conséquence pratique.
Cohérence : le même contrôle mené entre P2 et P3, ou P3 et P4, donnerait un résidu du même ordre — signe que la répartition est bien régulière.
Attention : ce contrôle ne détecterait pas une erreur de gisement : des piquets régulièrement espacés le long d'une mauvaise direction le passeraient sans difficulté. Il complète les deux premiers, il ne les remplace pas.
Comparaison : par rapport aux normes, l'arrêté du 16 septembre 2003 prévoit que les mesures de contrôle soient au moins aussi précises que les mesures contrôlées. Un contrôle de bureau au dixième de millimètre satisfait naturellement cette exigence.

Remarque pédagogique : Les trois contrôles ont chacun un angle mort, et ces angles morts ne se recouvrent pas. C'est le principe même d'un plan de contrôle : on ne cherche pas la vérification la plus puissante, mais la combinaison qui ne laisse rien passer.

Calcul de métré : la longueur de tuyau

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le linéaire commandé se mesure suivant la pente, et non en projection horizontale.

\[ \begin{aligned} L_{\text{tuyau}} &= 91{,}6201 \times \sqrt{ 1 + 0{,}025^{2} } \\ &= 91{,}6201 \times \sqrt{ 1{,}000625 } \\ &= 91{,}6201 \times 1{,}000312 \\ &= \mathbf{91{,}649} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Deux centimètres neuf de plus que la distance horizontale. Négligeable à la pose, mais l'ordre de grandeur mérite d'être connu : il croît comme le carré de la pente.

Ordre de grandeur : allongement de 0,03 %, invisible devant les pertes de coupe
Impact sur la suite : pour la commande, on retiendra 92 m majorés des chutes de coupe, sans se préoccuper de ces trois centimètres.
Cohérence : à 10 % de pente, l'allongement passerait à 0,5 %, soit près d'un demi-mètre sur cette longueur — là, il compterait.
Attention : ce linéaire est théorique : il ignore l'emprise des regards, les coupes et les chutes.
Comparaison : par rapport aux distances topographiques, retenir que les instruments donnent une distance horizontale : c'est bien elle qu'il faut convertir, jamais l'inverse.

2. Synthèse : la fiche de piquetage

Voici le document remis à l'équipe. Trois coordonnées par point, l'abscisse curviligne pour se repérer le long de la tranchée, et le rappel des systèmes de référence.

Point	Abscisse s (m)	X (m)	Y (m)	Z fil d'eau (m)
A (regard amont)	0,000	350,100	842,600	103,950
P1	20,000	368,808	835,527	103,450
P2	40,000	387,515	828,455	102,950
P3	60,000	406,223	821,382	102,450
P4	80,000	424,931	814,309	101,950
B (regard aval)	91,620	435,800	810,200	101,660

Guide technique DT-DICT, fascicule 2 (version 3), § 4.3.1 : tout ouvrage neuf ou modifié mis en service depuis le 1^er juillet 2012 doit être relevé en classe A, la plus exigeante des trois classes de précision. Les mesures de contrôle doivent être au moins deux fois plus précises que la classe visée. La fiche ci-dessus, exprimée à trois coordonnées et rattachée aux systèmes légaux, constitue la base du récolement exigible à la réception de l'ouvrage.

Décret n° 2000-1276 modifié, art. 1^er : les colonnes X et Y sont exprimées en RGF93 / Lambert-93, la colonne Z en NGF-IGN 1969. Sans cette mention, la fiche serait inexploitable par un autre intervenant, et irrégulière pour un ouvrage réalisé pour le compte d'une personne publique.

LECTURE DU RÉSULTAT

Le schéma ci-dessous récapitule les trois contrôles et le point qu'ils testent chacun. Observez que leurs zones de couverture ne se recouvrent pas : c'est ce qui fait la valeur de l'ensemble.

Une lecture utile pour le terrain : les contrôles 1 et 3 se rejouent sans instrument optique. Le premier consiste à poser le prisme sur le tampon du regard B et à vérifier qu'il tombe dans l'alignement ; le troisième se fait au décamètre, d'un piquet au suivant. Le contrôle 2, lui, appartient au bureau : il se refait sur la fiche, avant même de partir sur le site.

RÉSULTAT FINAL

Écarts = 0,00014 · 0,000 · 0,0009 m · % · m

"Trois contrôles chiffrés, trois chaînes validées : la fiche peut partir sur le chantier !"

SCHÉMA BILAN — LA CANALISATION EN PLAN ET EN PROFIL

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai déterminé le quadrant à partir des signes de \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) avant d'ajouter la constante, au lieu de recopier une correction apprise par cœur. J'ai compris que le pas de 20 m ne divise pas la longueur en un nombre entier de travées, et j'ai traité le tronçon résiduel de 11,62 m comme tel. J'ai rayonné chaque piquet depuis le regard A , avec son abscisse curviligne propre, et non de proche en proche. J'ai retranché la dénivelée au fil d'eau de départ, et vérifié que mes six altitudes décroissent strictement de l'amont vers l'aval. J'ai chiffré mes trois contrôles au lieu d'annoncer leur conformité, et j'ai su dire pourquoi la cote rouge n'est pas calculable avec les seules données de l'énoncé.

L'axe est caractérisé par G(A-B) = 123,0108 gon et une longueur de 91,620 m. Quatre piquets se répartissent au pas de 20 m, d'abscisses 368,808 à 424,931 m. Le fil d'eau descend de 103,95 m à 101,660 m NGF-IGN 1969, avec des écarts de bouclage inférieurs au millimètre.

Le pas de piquetage et la pente se mesurent tous deux le long de l'axe, jamais en projection : les abscisses des piquets ne sont donc pas régulières, et c'est normal. Profondeur et altitude ne se confondent pas non plus — un sol remanié change la première et laisse la seconde intacte, ce qui est précisément la raison d'être du récolement altimétrique. La classe A du guide DT-DICT fixe le seuil à 10 cm.

Les Applications SpécifiquesÉtape 10 sur 22

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