Implantation d'un point par rayonnement

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un point existe sur un plan, il n'existe pas encore sur le terrain. L'implantation consiste à l'y faire apparaître — c'est l'opération inverse du levé. Le géomètre stationne sur un point connu, vise un second point connu pour orienter son instrument, puis tourne d'un angle donné et mesure une distance donnée. Le calcul préparatoire tient en trois étapes enchaînées, dont chacune consomme le résultat de la précédente : une erreur au premier maillon se retrouve, intacte, dans la position du piquet.

Les Points Clés du Projet

Avant tout calcul, mesurez ce qui distingue cet exercice d'un simple changement de repère . Quatre éléments le gouvernent :

Enjeu Principal : Une chaîne de trois calculs. Le gisement de la référence commande celui de l'implantation, qui commande les coordonnées. Aucune étape ne se contrôle toute seule.
Environnement : La référence part vers le nord-est, le point à implanter vers le nord-ouest. Deux quadrants différents, donc deux jeux de signes à ne pas confondre.
L'objectif final : Les coordonnées du point implanté, au millimètre, accompagnées de la classe de précision dans laquelle elles seront contrôlables.
L'astuce de l'ingénieur : L'angle de rayonnement de l'énoncé n'est utilisé qu'une seule fois. Il reste donc disponible comme donnée de contrôle : la règle d'Al-Kashi doit le restituer à partir du résultat final.

Votre Mission :

Vous êtes géomètre de chantier. Votre station est en place sur le point S1, orientée sur la borne S2. Le carnet indique l'angle à tourner et la distance à mesurer. Votre travail consiste à en déduire les coordonnées du point implanté, puis à démontrer qu'elles sont justes — car sur le terrain, personne ne pourra le vérifier à votre place.

Le grand défi : mener une chaîne de trois calculs sans qu'aucune étape ne dispose d'un contrôle propre, puis fermer la boucle par une vérification qui n'emprunte aucun des chemins parcourus.
Votre rôle : calculer, contrôler par retour inverse et par Al-Kashi, puis annoncer la classe de précision applicable.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Le gisement de la direction de référence, à quatre décimales de gon, avec la justification du quadrant et la longueur de la base.
Le gisement de la direction d'implantation, obtenu par le tour d'horizon, avec le quadrant qui en découle.
Les coordonnées du point P1, au millimètre, dans le système légal.
Trois contrôles calculés — retour inverse, règle d'Al-Kashi, cohérence de quadrant — et la classe de précision dans laquelle le point sera contrôlable.

2. Données Techniques & Normes

Cet exercice porte tout entier sur la précision d'implantation : c'est donc l'arrêté du 16 septembre 2003 qui le gouverne. Ce texte ne se contente pas d'évoquer une tolérance : il définit une classe de précision par cinq paramètres et trois critères de conformité, et il précise ce qu'il advient lorsque l'échantillon de contrôle est petit — cas exactement rencontré ici, puisqu'un seul point est implanté. S'y ajoute le décret qui fixe le système de coordonnées, sans lequel aucune des valeurs manipulées n'aurait de signification.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer ! Remarquez que les trois premières forment une chaîne — chacune consomme le résultat de la précédente — tandis que les deux dernières servent uniquement à fermer la boucle.

Gisement entre deux points connus \( G_{\text{A-B}} = \arctan\left(\dfrac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + k \cdot 200^{\text{gon}} \)
Tour d'horizon \( G_{\text{impl}} = G_{\text{ref}} + \alpha \)
Rayonnement — abscisse \( X_{\text{P}} = X_{\text{S1}} + D \sin G_{\text{impl}} \)
Rayonnement — ordonnée \( Y_{\text{P}} = Y_{\text{S1}} + D \cos G_{\text{impl}} \)
Distance entre deux points connus \( D_{\text{A-B}} = \sqrt{\Delta X^{2} + \Delta Y^{2}} \)
Règle d'Al-Kashi \( \cos\widehat{\text{S1}} = \dfrac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab} \)
Réduction d'un gisement retrancher \( 400^{\text{gon}} \) si le résultat dépasse un tour
Règle des quadrants \( k = 0 \) si \( \Delta X \geq 0, \Delta Y > 0 \) · \( k = 1 \) si \( \Delta Y < 0 \) · \( k = 2 \) si \( \Delta X < 0, \Delta Y > 0 \)
Tolérance individuelle (arrêté 2003) \( T = k \cdot [xx] \cdot \left(1 + \dfrac{1}{2C^{2}}\right) \)
Écart maximal absolu (arrêté 2003) \( 1{,}5 \cdot k \cdot [xx] \cdot \left(1 + \dfrac{1}{8}\right) \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
S1	Station : point de coordonnées connues sur lequel le tachéomètre est mis en place, dans le système légal (RGF93, ellipsoïde IAG GRS 1980, projection Lambert-93) Décret 2000-1276 modifié par décret 2006-272, art. 1^er A	520,45 / 842,60	m
S2	Référence d'orientation : point connu visé depuis la station. La direction S1-S2 sert de zéro aux lectures angulaires	610,80 / 890,25	m
P1	Point à implanter — inconnu : c'est le résultat attendu de l'exercice	à déterminer	m

Référentiel de travail

Planimétrie : \( \text{RGF93} \) — projection \( \text{Lambert-93} \)
Unité angulaire : le \( \text{grade} \), soit 400 par tour et 100 pour un angle droit

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
α	Angle de rayonnement S2-S1-P1, mesuré dans le sens horaire depuis la direction de référence. Il n'intervient qu'une fois : il restera donc disponible comme donnée de contrôle	250,25	gon
D	Distance horizontale de la station au point à implanter — et non distance suivant la pente	45,18	m
k	Coefficient de fiabilité en planimétrie (n = 2). Il vaudrait 3,23 en altimétrie seule et 2,11 en tridimensionnel Arrêté du 16 sept. 2003, art. 5 — paramètres de spécification	2,42	—
N	Taille de l'échantillon de contrôle : un seul point est implanté. Étant inférieure à 5, elle interdit tout dépassement de la tolérance Arrêté du 16 sept. 2003, art. 5 — si N < 5, alors N' = 0	1	—

Ce que l'énoncé ne donne pas

Classe de précision visée : non annoncée — elle relève du CCTP et conditionne pourtant la recevabilité du travail
Altitudes : aucune — l'exercice est purement planimétrique, ce qui fixe n = 2 et donc k = 2,42

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution. Le premier tableau donne les paramètres d'une classe de précision, le deuxième ses trois critères de conformité, le troisième le système de coordonnées obligatoire.

Extrait — Arrêté du 16 septembre 2003, art. 5 : les cinq paramètres de spécification

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
n — nombre de dimensions	1 altimétrie · 2 planimétrie · 3 tridimensionnel
k — coefficient de fiabilité	3,23 si n = 1 · 2,42 si n = 2 · 2,11 si n = 3
[xx] — classe de précision visée	notée entre crochets avec son unité : [12] cm, [5] mm
C — coefficient de sécurité	rapport de précision contrôle / levé, au moins 2
N — taille de l'échantillon	nombre de points de contrôle testés

Extrait — Arrêté du 16 septembre 2003, art. 5 : les trois critères de conformité

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
a) Critère de moyenne	E_moy < [xx] × (1 + 1/8)
b) Tolérance progressive	T = k × [xx] × (1 + 1/(2C²))
Nombre de dépassements admis N'	entier supérieur à 0,01 N + 0,232 √N
Cas des petits échantillons	si N < 5, alors N' = 0 : aucun dépassement toléré
c) Critère maximal — planimétrie	1,5 × k × [xx] × (1 + 1/8), soit 4,08 × [xx]

Extrait — Décret n° 2000-1276 modifié (décret n° 2006-272 du 3 mars 2006), art. 1^er

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
A — France métropolitaine, système géodésique	RGF93, ellipsoïde IAG GRS 1980, projection Lambert-93
Champ d'application	travaux de l'État, des collectivités et de leurs établissements publics

Ce que disent ces textes, et ce qu'ils laissent au projeteur

Quatre enseignements pour cet exercice :

Une tolérance ne se devine pas, elle se déclare. Dire qu'une implantation est précise « à quelques millimètres » n'a aucune portée. L'arrêté impose de nommer une classe [xx] et d'en déduire trois seuils calculés.
Un seul point implanté, aucune indulgence. Le nombre de dépassements admis vaut zéro dès que l'échantillon compte moins de cinq points. Ici N = 1 : le point est conforme ou il ne l'est pas.
Le contrôle doit être plus précis que le levé. Le coefficient de sécurité C ≥ 2 impose que la méthode de vérification soit au moins deux fois plus fine que celle qui a servi à implanter.
Sans système de référence, pas de coordonnées. Station, borne et point implanté doivent relever du même RGF93 / Lambert-93 au sens du décret n° 2000-1276 modifié, sans quoi les gisements calculés ne signifieraient rien.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous. La particularité de cet exercice est que les trois premières questions forment une chaîne sans redondance : aucune ne peut se contrôler seule. C'est la quatrième qui referme la boucle, en repartant du résultat pour retrouver une donnée d'entrée.

Question 1 : Le gisement de la référence

Calcul de gisement 15 min | Facile

But de l'étape : Établir la direction de calage de l'instrument. C'est le point de départ de toute la chaîne : une erreur ici se retrouve, inchangée, dans la position finale du piquet.

Énoncé Q1 : Calculer le gisement de la direction S1-S2. Vous préciserez les coordonnées partielles avec leur signe, le quadrant qui en découle, la longueur de la base, et vous poserez un encadrement de contrôle avant de lire l'arctangente.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La borne S2 est plus à l'est et plus au nord que la station : les deux coordonnées partielles sont positives, donc le gisement est dans le premier quadrant, entre 0 et 100 gon.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le rapport \( \Delta X / \Delta Y \) vaut environ 1,90, donc nettement supérieur à 1 : le gisement dépassera 50 gon sans atteindre 100. Attendez-vous à une valeur voisine de 69 gon.

Question 2 : Le gisement de la direction à implanter

Tour d'horizon 10 min | Facile

But de l'étape : Traduire une lecture d'appareil en direction absolue. L'instrument compte ses angles depuis la référence ; le calcul les ramène au nord du quadrillage.

Énoncé Q2 : En déduire le gisement de la direction S1-P1. Vous vérifierez s'il y a lieu de réduire le résultat d'un tour complet, et vous en déduirez le quadrant ainsi que les signes attendus des coordonnées partielles.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'angle de rayonnement est mesuré dans le sens horaire depuis la référence : il s'ajoute au gisement de celle-ci. S'il avait été compté dans l'autre sens, il faudrait le retrancher.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La somme reste inférieure à 400 gon : aucune réduction n'est nécessaire ici. En revanche, le résultat tombe dans le quatrième quadrant — sinus négatif, cosinus positif — donc le point sera au nord-ouest de la station.

Question 3 : Les coordonnées du point implanté

Rayonnement polaire 15 min | Moyen

But de l'étape : Passer du polaire au rectangulaire. C'est le cœur du métier : une direction et une longueur deviennent une position, exprimée dans le système légal.

Énoncé Q3 : Calculer les coordonnées X et Y du point P1. Vous poserez les lignes trigonométriques avec leur signe, vous les vérifierez par la somme de leurs carrés, et vous conclurez au millimètre.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Sinus sur les X, cosinus sur les Y — l'inverse de la convention mathématique, parce que le gisement se compte depuis l'axe des ordonnées et non depuis celui des abscisses.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le gisement étant proche de 319 gon, le sinus vaut environ −0,95 et le cosinus environ +0,30. L'abscisse va donc diminuer d'une quarantaine de mètres et l'ordonnée augmenter d'une quinzaine.

Question 4 : Les contrôles et la classe de précision

Vérifications chiffrées 25 min | Difficile

But de l'étape : Fermer la boucle. Les trois questions précédentes n'ont produit aucune redondance ; il faut donc en fabriquer une, en repartant du résultat pour retrouver une donnée d'entrée jamais réutilisée.

Énoncé Q4 : Mener trois contrôles chiffrés de natures différentes, puis présenter la fiche d'implantation et annoncer la classe de précision dans laquelle le point sera contrôlable, en tenant compte de la taille de l'échantillon.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le retour inverse est immédiat : à partir des coordonnées obtenues, recalculez gisement et distance depuis la station. Ils doivent redonner les valeurs de la question 2 et de l'énoncé.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le contrôle le plus fort est ailleurs : formez le triangle S1-S2-P1, calculez ses trois côtés à partir des coordonnées, et appliquez la règle d'Al-Kashi. L'angle obtenu en S1 doit restituer l'angle de rayonnement de l'énoncé — une donnée qui n'a servi qu'une seule fois.

NOTE DE CALCULS

Implantation d'un point par rayonnement

Question 1 : Le gisement de la référence

Dans la tête de l'ingénieur

"Tout part de cette direction. C'est elle que l'instrument prendra pour zéro, et c'est elle qui, additionnée à l'angle lu, donnera la direction du piquet. Une erreur ici ne se voit nulle part : elle ne déforme rien, elle fait pivoter tout le chantier autour de la station. Alors je pose un encadrement avant de toucher à la calculatrice. Le rapport des coordonnées partielles vaut à peu près 1,9 : il est supérieur à 1, donc le gisement dépasse 50 gon ; les deux écarts sont positifs, donc il reste sous 100. Entre 50 et 100 : si la machine me sort autre chose, c'est qu'elle n'est pas dans la bonne unité."

Observation : \( \Delta X = +90{,}35 \) m et \( \Delta Y = +47{,}65 \) m. Deux écarts positifs : c'est la signature du premier quadrant.
Analyse du risque : l'unité angulaire. En mode degré, l'arctangente de 1,896 sortirait à 62,19 au lieu de 69,10 — un nombre parfaitement plausible, et faux de sept grades.
Choix stratégique : je conserve quatre décimales de gon. Sur les 45 m du rayonnement, un centigrade vaut déjà 7 millimètres : arrondir au centigrade contredirait l'exigence de précision annoncée.
Alternative : employer la fonction atan2, qui rend directement le gisement dans le bon quadrant. Écartée pour la rédaction : elle escamote le raisonnement sur les signes.
Objectif visé : un gisement à quatre décimales, encadré avant d'être lu, et la longueur de la base.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

G(S1-S2) = 69,1035 gon · D(S1-S2) = 102,145 m

Rappel Théorique : le gisement, et pourquoi le quadrant est décisif

Le gisement est un angle absolu, compté depuis le nord du quadrillage, dans le sens horaire, de 0 à 400 gon. Il se déduit des coordonnées de deux points par une arctangente — mais celle-ci ne rend qu'une valeur entre −100 et +100 gon : elle ne peut pas distinguer une direction de son opposée. Ce sont les signes des deux écarts qui lèvent l'ambiguïté.

Principe 1 — le rapport se pose \( \Delta X \) sur \( \Delta Y \) : dans cet ordre, parce que le gisement se compte depuis l'axe des ordonnées.
Principe 2 — la constante de quadrant vaut 0, 200 ou 400 gon : elle se lit sur les signes, et non sur le résultat de l'arctangente.
Principe 3 — un rapport supérieur à 1 place le gisement au-delà de la bissectrice : au-delà de 50 gon dans le premier quadrant. C'est un encadrement gratuit.
Principe 4 — la distance est indépendante du quadrant : les carrés effacent les signes. Elle reste juste même si le gisement est faux.
Principe 5 — la précision du gisement se traduit en millimètres : un centigrade vaut \( D \times 1{,}57 \times 10^{-4} \) mètre. À 45 m, cela fait 7 mm ; à 500 m, 8 cm.

Équations Fondamentales

Trois relations : la règle des quadrants, le gisement, puis la distance.

Règle des quadrants :

Détermine la constante à ajouter à l'arctangente.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la fonction arctangente est périodique de 200 gon : elle rend la même valeur pour une direction et pour son opposée. Seuls les signes des écarts permettent de choisir.

Contexte de validité : s'applique dès que \( \Delta Y \neq 0 \) ; les cas \( \Delta Y = 0 \) se traitent directement par la géométrie.
Avantage : elle se vérifie sur le dessin : il suffit de regarder de quel côté se trouve le point visé.
Paramètre clé : le signe de \( \Delta Y \), qui décide à lui seul entre \( k = 1 \) et les deux autres cas.
Vérification : le gisement obtenu doit tomber dans le quadrant annoncé — ici entre 0 et 100 gon.
Limite : elle ne protège pas d'une erreur d'unité : un gisement en degrés tomberait dans le bon quadrant tout en étant faux.

\[ k = 0 \ \text{si} \ \Delta X \geq 0 \ \text{et} \ \Delta Y > 0 \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « le point visé est au nord-est, l'arctangente suffit » . C'est le seul des trois cas où aucune correction n'est nécessaire.

Décomposition des termes :

\( k \) : nombre de demi-tours à ajouter à l'arctangente, unité : sans dimension
\( \Delta X \geq 0 \) : le point visé est à l'est ou dans l'axe, unité : m
\( \Delta Y > 0 \) : le point visé est au nord, unité : m
Le cas \( k = 1 \) : dès que \( \Delta Y < 0 \), quel que soit le signe de \( \Delta X \), unité : sans dimension
Le cas \( k = 2 \) : lorsque \( \Delta X < 0 \) et \( \Delta Y > 0 \), unité : sans dimension

Gisement entre deux points connus :

Direction absolue de la station vers la borne de référence.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux écarts de coordonnées forment un triangle rectangle dont le gisement est l'angle au sommet, mesuré depuis le côté vertical — d'où le rapport \( \Delta X / \Delta Y \) et non l'inverse.

Contexte de validité : exige que les deux points soient dans le même système de coordonnées.
Avantage : elle transforme deux positions en une direction, ce qui est exactement ce dont l'instrument a besoin pour être orienté.
Paramètre clé : la constante \( k \), qui ne se lit pas dans le résultat mais dans les signes des données.
Vérification : un rapport supérieur à 1 impose un gisement au-delà de 50 gon dans le premier quadrant.
Limite : elle est indéfinie lorsque \( \Delta Y = 0 \) : la direction est alors plein est ou plein ouest, et se lit sans calcul.

\[ G_{\text{S1-S2}} = \arctan\left( \frac{\Delta X}{\Delta Y} \right) + k \cdot 200^{\text{gon}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « dans quelle direction, comptée depuis le nord, se trouve ma borne de référence ? » C'est le calage de tout le chantier sur le quadrillage national.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{S1-S2}} \) : gisement de la station vers la référence, unité : gon
\( \Delta X \) : écart d'abscisse entre la référence et la station, unité : m
\( \Delta Y \) : écart d'ordonnée entre la référence et la station, unité : m
\( k \) : constante de quadrant, nulle ici, unité : sans dimension
L'arctangente : à lire en grades, jamais en degrés ni en radians, unité : gon

Distance entre deux points connus :

Longueur de la base d'orientation.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle mesure la qualité de l'orientation : plus la base est longue, plus la visée sur la référence est stable, et moins l'erreur de pointé se répercute sur les angles.

Contexte de validité : donne une distance horizontale, cohérente avec les coordonnées planes.
Avantage : elle est insensible au quadrant : une erreur de signe ne la fausse pas.
Paramètre clé : le rapport entre la base d'orientation et la portée de rayonnement, qui conditionne la propagation de l'erreur angulaire.
Vérification : elle doit être supérieure au plus grand des deux écarts et inférieure à leur somme.
Limite : une base plus courte que la portée dégrade l'orientation : ici elle est deux fois plus longue, ce qui est favorable.

\[ D_{\text{S1-S2}} = \sqrt{ \Delta X^{2} + \Delta Y^{2} } \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « à quelle distance se trouve la borne sur laquelle je me cale ? » Une base longue est une bonne base : l'erreur de pointé y pèse moins.

Décomposition des termes :

\( D_{\text{S1-S2}} \) : longueur de la base d'orientation, unité : m
\( \Delta X^{2} \) : carré de l'écart d'abscisse, unité : m²
\( \Delta Y^{2} \) : carré de l'écart d'ordonnée, unité : m²
La somme : carré de l'hypoténuse, unité : m²
La racine : ramène à une longueur, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants lisent l'arctangente sans vérifier l'unité de leur machine. Le rapport 1,896118 donne 62,19 en degrés, 1,0855 en radians, 69,10 en grades. Les trois valeurs s'affichent sans erreur, et la première est même plausible pour un gisement — elle tombe dans le bon quadrant..."

L'approche d'ingénieur : On teste la machine avant de s'en servir, et on encadre le résultat avant de le lire.

L'erreur : croire qu'un résultat plausible est un résultat juste. Un gisement de 62,19 gon appartient au même quadrant que 69,10 : rien ne le dénonce.
La bonne méthode : taper \( \arctan(1) \) avant de commencer. En mode grade, la réponse doit être exactement 50. C'est un test d'unité qui prend trois secondes.
L'astuce de pro : convertir mentalement : un résultat en grades vaut 1,111 fois le même résultat en degrés. Si l'écart entre l'attendu et le lu tourne autour de ce facteur, l'unité est en cause.
Le moyen mnémotechnique : « arctangente de un font cinquante grades ».
L'impact direct : la version précédente de cet exercice annonçait 70,0448 gon, soit 0,9413 gon de trop. Reporté sur les 45,18 m du rayonnement, cet écart déplace le piquet de 67 centimètres — et il se propage tel quel dans les deux questions suivantes.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Coordonnées et écarts : en mètres , avec leur signe.
Rapport des écarts : sans dimension , six décimales.
Gisement : en grades (gon) , quatre décimales.
Distance : en mètres horizontaux , au millimètre.
Calculatrice : mode GRAD , vérifié par \( \arctan(1) = 50 \).

Nous formons d'abord les coordonnées partielles , puis nous posons les encadrements, puis nous lisons le gisement et la distance.

1. Résolution Numérique Étape 1 : les coordonnées partielles

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce sont elles, et elles seules, qui décident du quadrant. Le gisement viendra après.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{S1-S2}} &= 610{,}80 - 520{,}45 \\ &= \mathbf{+90{,}350} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{S1-S2}} &= 890{,}25 - 842{,}60 \\ &= \mathbf{+47{,}650} \text{ m} \end{aligned} \]

Le quadrant. Les deux écarts sont positifs : la borne est au nord-est de la station, donc dans le premier quadrant.

\[ k = \mathbf{0} \]

Étape 2 : les deux encadrements

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un résultat encadré avant d'être lu ne peut plus être accepté par inadvertance. Deux bornes suffisent ici.

a) Le rapport des écarts. Il est supérieur à 1, donc le gisement dépasse la bissectrice du quadrant.

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta X}{\Delta Y} &= \frac{90{,}350}{47{,}650} \\ &= \mathbf{1{,}896118} \end{aligned} \]

b) L'encadrement du gisement.

\[ 50 \text{ gon} < G_{\text{S1-S2}} < 100 \text{ gon} \]

c) L'encadrement de la distance. Elle est supérieure au plus grand écart et inférieure à leur somme.

\[ 90{,}350 \text{ m} < D_{\text{S1-S2}} < 138{,}000 \text{ m} \]

Étape 3 : le gisement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la direction de calage de l'instrument, celle à laquelle tous les angles du chantier se rapporteront.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-S2}} &= \arctan\left( 1{,}896118 \right) + 0 \\ &= \mathbf{69{,}1035} \text{ gon} \end{aligned} \]

Contrôle immédiat par la tangente. On refait le chemin en sens inverse : la tangente du gisement doit restituer le rapport.

\[ \begin{aligned} \tan\left( 69{,}1035 \text{ gon} \right) &= \mathbf{1{,}896119} \end{aligned} \]

Étape 4 : la longueur de la base

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle mesure la qualité de l'orientation : c'est sur cette longueur que se joue la stabilité du zéro de l'instrument.

\[ \begin{aligned} D_{\text{S1-S2}} &= \sqrt{ 90{,}350^{2} + 47{,}650^{2} } \\ &= \sqrt{ 8163{,}1225 + 2270{,}5225 } \\ &= \sqrt{ 10433{,}6450 } \\ &= \mathbf{102{,}145} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

69,1035 gon et 102,145 m. Le gisement tombe dans l'encadrement 50-100 gon, la distance dans l'encadrement 90,35-138,00 m, et la tangente restitue le rapport à la sixième décimale. Les trois vérifications concordent.

Ordre de grandeur : 69,10 gon vaut 62,19 degrés : la borne est vue vers l'est-nord-est, ce que le schéma confirme
Impact sur la suite : ce gisement sera additionné tel quel à l'angle de rayonnement. Son erreur, s'il en avait une, se retrouverait intacte dans la position du piquet.
Cohérence : la base de 102,145 m est plus de deux fois plus longue que la portée de rayonnement de 45,18 m. C'est une configuration favorable : l'erreur de pointé sur la référence pèse peu.
Attention : conserver quatre décimales. Arrondir au centigrade (69,10) introduirait déjà 2,5 mm d'erreur sur le piquet ; arrondir au grade (69) en introduirait 73.
Comparaison : par rapport aux normes, station et borne doivent relever du même système RGF93 / Lambert-93 au sens du décret n° 2000-1276 modifié, sans quoi ce gisement n'aurait aucune signification physique.

Remarque pédagogique : Le contrôle par la tangente ne coûte qu'une touche et détecte immédiatement une erreur d'unité ou de saisie. C'est le meilleur rapport entre l'effort et la sécurité de tout l'exercice.

LECTURE DU RÉSULTAT

Le schéma ci-dessous montre le triangle des coordonnées partielles dont le gisement est l'angle au sommet, mesuré depuis le nord. On y lit aussi pourquoi le rapport supérieur à 1 impose un gisement supérieur à 50 gon.

Une lecture utile pour le terrain : le côté horizontal du triangle est presque deux fois le côté vertical, et c'est exactement ce que dit le rapport de 1,896. Sur le dessin, la direction penche donc nettement vers l'est — le gisement est bien au-delà de la bissectrice à 50 gon, sans atteindre le plein est à 100 gon.

RÉSULTAT FINAL

G(S1-S2) = 69,1035 gon · base de 102,145 m

"L'instrument est calé sur le quadrillage national : le chantier peut commencer !"

Question 2 : Le gisement de la direction à implanter

Dans la tête de l'ingénieur

"Une addition. C'est tout — et c'est justement pour cela qu'il faut ralentir. Deux questions se posent avant d'écrire le résultat : la somme dépasse-t-elle un tour, et dans quel quadrant tombe-t-elle ? La première décide s'il faut retrancher 400 gon ; la seconde annonce les signes des coordonnées partielles de la question suivante. Autant les établir maintenant : si les signes obtenus plus tard ne correspondent pas, je saurai immédiatement où chercher."

Observation : l'angle de rayonnement est mesuré dans le sens horaire depuis la référence : il s'ajoute, il ne se retranche pas.
Analyse du risque : reporter une valeur arrondie du gisement de la question 1. L'erreur d'arrondi traverserait l'addition sans être détectée.
Choix stratégique : j'annonce le quadrant et les signes attendus avant de calculer les coordonnées. Cela transforme la question 3 en vérification.
Alternative : travailler directement en angles d'appareil, sans passer par les gisements. Écartée : les coordonnées se calculent dans le repère, pas dans le limbe.
Objectif visé : un gisement d'implantation à quatre décimales, son quadrant, et l'ordre de grandeur de la sensibilité angulaire.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

G(S1-P1) = 319,3535 gon — quatrième quadrant, aucune réduction nécessaire

Rappel Théorique : le tour d'horizon, ou comment un instrument devient orienté

Un tachéomètre ne connaît pas le nord. Posé sur sa station, il compte ses angles depuis la direction où l'opérateur a mis le zéro du limbe — ici la borne S2. Toute lecture est donc un angle relatif. Le calcul du tour d'horizon consiste à lui ajouter le gisement de la référence pour obtenir une direction absolue, seule utilisable pour calculer des coordonnées.

Principe 1 — l'angle lu s'ajoute au gisement de référence : à condition qu'il soit compté dans le sens horaire, ce qui est la convention topographique.
Principe 2 — un gisement vit entre 0 et 400 gon : toute somme dépassant un tour se réduit en retranchant 400.
Principe 3 — le quadrant se lit sur le gisement : 0 à 100 nord-est, 100 à 200 sud-est, 200 à 300 sud-ouest, 300 à 400 nord-ouest.
Principe 4 — le quadrant impose les signes : entre 300 et 400 gon, le sinus est négatif et le cosinus positif. Le point sera à l'ouest et au nord de la station.
Principe 5 — une erreur angulaire se paie en longueur : un écart \( \Delta \alpha \) déplace le point de \( D \times \Delta\alpha \times \pi/200 \). C'est ce qui fixe le nombre de décimales à conserver.

Équations Fondamentales

Trois relations : le tour d'horizon, la réduction d'un gisement, puis la sensibilité qui justifie la précision retenue.

Tour d'horizon :

Transforme une lecture d'appareil en direction absolue.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le zéro du limbe a été posé sur la référence : toute lecture est comptée depuis cette direction, et il suffit d'y ajouter le gisement de la référence pour revenir au nord.

Contexte de validité : suppose l'angle compté dans le sens horaire ; dans l'autre sens, il faudrait le retrancher.
Avantage : elle est additive : un tour d'horizon complet se traite en ajoutant le même gisement à toutes les lectures.
Paramètre clé : le gisement de référence, qui n'est pas une mesure mais un calcul — celui de la question 1.
Vérification : la différence entre deux gisements obtenus doit redonner la différence des lectures correspondantes.
Limite : elle propage intégralement l'erreur du gisement de référence, sans jamais l'atténuer.

\[ G_{\text{S1-P1}} = G_{\text{S1-S2}} + \alpha_{\text{S2-S1-P1}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « je pars de la borne et je tourne de l'angle lu » . C'est exactement le geste de l'opérateur, traduit en arithmétique.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{S1-P1}} \) : gisement de la direction à implanter, unité : gon
\( G_{\text{S1-S2}} \) : gisement de la référence, calculé à la question 1, unité : gon
\( \alpha \) : angle lu sur le limbe, compté depuis la référence, unité : gon
Le sens : horaire, convention topographique, unité : sans dimension
La somme : à réduire si elle dépasse un tour complet, unité : gon

Réduction d'un gisement :

Ramène le résultat dans l'intervalle des gisements.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un gisement est défini modulo un tour : 512 gon et 112 gon désignent la même direction. La forme réduite est la seule lisible.

Contexte de validité : ne s'applique que si la somme dépasse effectivement 400 gon.
Avantage : elle ne change ni le sinus ni le cosinus : le calcul serait juste même sans réduction.
Paramètre clé : le seuil de 400 gon, et non 360 : l'erreur est fréquente chez qui vient du système sexagésimal.
Vérification : le gisement final doit être positif et inférieur à 400.
Limite : elle est cosmétique : elle rend la fiche lisible sans rien changer à la géométrie.

\[ G_{\text{reduit}} = G - 400^{\text{gon}} \quad \text{si} \quad G > 400^{\text{gon}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « on a fait un tour de trop » . Ici, la somme reste sous 400 : aucune réduction n'est nécessaire, mais il fallait le vérifier.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{reduit}} \) : gisement ramené dans 0 à 400 gon, unité : gon
\( G \) : somme brute du tour d'horizon, unité : gon
400 : tour complet en système centésimal, unité : gon
Le cas d'un résultat négatif : on ajoute 400 au lieu de le retrancher, unité : gon
L'effet sur les lignes trigonométriques : nul, elles sont périodiques de 400 gon, unité : sans dimension

Sensibilité linéaire d'un écart angulaire :

Traduit une erreur d'angle en déplacement du point implanté.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle répond à la seule question qui vaille : combien de décimales faut-il conserver ? La réponse ne dépend pas du goût du rédacteur mais de la portée de visée.

Contexte de validité : valable pour de petits écarts, où l'arc se confond avec sa corde.
Avantage : elle donne une règle immédiate : un centigrade vaut environ 1,6 mm par 10 m de portée.
Paramètre clé : la distance : le même écart angulaire coûte dix fois plus cher à 450 m qu'à 45 m.
Vérification : l'écart obtenu doit rester très inférieur à la tolérance visée pour l'ouvrage.
Limite : elle ne traite que l'erreur angulaire ; l'erreur de distance s'y ajoute quadratiquement.

\[ e = D \times \Delta\alpha \times \frac{\pi}{200} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « de combien le piquet se déplace-t-il si je me trompe d'un poil d'angle ? » C'est la longueur de l'arc balayé par l'erreur.

Décomposition des termes :

\( e \) : déplacement du point implanté, unité : m
\( D \) : distance de rayonnement, unité : m
\( \Delta\alpha \) : écart angulaire, unité : gon
\( \pi/200 \) : conversion des grades vers les radians, unité : rad/gon
Le produit : longueur d'arc, assimilée à la corde pour un petit angle, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants reportent le gisement de la question 1 sous forme arrondie. Ils écrivent 70,04 au lieu de la valeur complète, additionnent proprement, et obtiennent un gisement d'implantation faux du même arrondi. L'addition est juste, la ligne est bien présentée — et le résultat est décalé..."

L'approche d'ingénieur : On ne réarrondit jamais une valeur intermédiaire avant de la réemployer.

L'erreur : traiter un résultat intermédiaire comme un résultat final. Un gisement de référence n'est pas destiné à être lu : il est destiné à être additionné.
La bonne méthode : conserver toutes les décimales jusqu'à la fin de la chaîne, et n'arrondir que le résultat livré — ici les coordonnées, au millimètre.
L'astuce de pro : chiffrer le coût de l'arrondi avant de le décider : à 45 m, un centigrade vaut 7 mm ; à 450 m, il en vaut 71.
Le moyen mnémotechnique : « on arrondit ce qu'on rend, pas ce qu'on réutilise ».
L'impact direct : ici, l'erreur cumulée de la version précédente — un gisement de référence faux de 0,9413 gon — déplace le piquet de 67 centimètres. Aucune des questions suivantes ne pouvait le révéler, faute de contrôle.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Gisements et angle lu : en grades , quatre décimales.
Sens de rotation : horaire , convention topographique.
Intervalle des gisements : 0 à 400 gon .
Sensibilité : en millimètres , pour être parlante.
Conversion : 1 gon = π/200 rad .

Nous posons l'addition , nous vérifions la nécessité d'une réduction, puis nous en déduisons le quadrant et la sensibilité.

1. Résolution Numérique Étape 1 : le tour d'horizon

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il transforme une lecture d'appareil — un angle relatif — en direction absolue, seule utilisable pour calculer des coordonnées.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-P1}} &= 69{,}1035 + 250{,}2500 \\ &= \mathbf{319{,}3535} \text{ gon} \end{aligned} \]

Faut-il réduire ? La somme est comparée au tour complet.

\[ 319{,}3535 \text{ gon} < 400{,}0000 \text{ gon} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Aucune réduction nécessaire. La somme reste sous le tour complet — mais de peu : il aurait suffi que l'angle lu dépasse 330,90 gon pour qu'une réduction s'impose. La vérification n'était donc pas superflue.

Ordre de grandeur : 319,3535 gon est bien dans l'intervalle 0 à 400 : le gisement est directement exploitable
Impact sur la suite : ce gisement entrera dans les deux formules de rayonnement de la question 3. Il n'y a pas d'autre chemin pour atteindre le point.
Cohérence : tourner de 250,25 gon depuis une direction à 69,10 gon, c'est dépasser le demi-tour : on repart donc vers l'arrière-gauche. Le schéma le confirme.
Attention : le seuil de réduction est 400 gon, pas 360. La confusion est fréquente chez qui a l'habitude du système sexagésimal.
Comparaison : par rapport à la version précédente de cet exercice, qui annonçait 320,29 gon, l'écart de 0,9365 gon vient intégralement du gisement de référence : l'addition, elle, était juste.

Remarque pédagogique : Vérifier explicitement s'il faut réduire, même quand la réponse est non, laisse une trace dans la note. Un relecteur sait alors que la question a été posée.

Étape 2 : le quadrant et les signes attendus

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il transforme la question suivante en vérification : si les coordonnées partielles ne sortent pas avec les signes annoncés, l'erreur sera immédiatement localisée.

\[ 300 \text{ gon} < 319{,}3535 \text{ gon} < 400 \text{ gon} \]

Ce que cela impose. Dans le quatrième quadrant, le sinus est négatif et le cosinus positif.

\[ \sin\left( G_{\text{S1-P1}} \right) < 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta X < 0 \]

\[ \cos\left( G_{\text{S1-P1}} \right) > 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta Y > 0 \]

Traduction géométrique. Le point à implanter sera donc à l'ouest et au nord de la station : au nord-ouest.

Étape 3 : la sensibilité angulaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il justifie le nombre de décimales conservé, au lieu de le choisir par habitude.

a) Le déplacement pour un centigrade d'écart.

\[ \begin{aligned} e_{0{,}01} &= 45{,}18 \times 0{,}0100 \times \frac{\pi}{200} \\ &= 45{,}18 \times 0{,}0001571 \\ &= \mathbf{0{,}0071} \text{ m} \end{aligned} \]

b) Le déplacement pour un dix-millième de grade. C'est la précision retenue dans cette note.

\[ \begin{aligned} e_{0{,}0001} &= 45{,}18 \times 0{,}0001 \times \frac{\pi}{200} \\ &= \mathbf{0{,}00007} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Sept millimètres par centigrade, sept centièmes de millimètre par dix-millième de grade. C'est ce rapport qui commande le choix : quatre décimales de gon placent l'erreur d'arrondi très en deçà de toute tolérance de chantier.

Ordre de grandeur : 0,07 mm à comparer au millimètre d'arrondi des coordonnées : l'arrondi angulaire n'est plus le facteur limitant
Impact sur la suite : les coordonnées pourront être livrées au millimètre sans que la précision angulaire ne soit en cause.
Cohérence : la règle pratique se retient : 1,6 mm par centigrade et par 10 m de portée. À 45 m, cela fait bien environ 7 mm.
Attention : cette sensibilité vaut pour la portée de cet exercice. Sur une visée de 450 m, un centigrade coûterait 7,1 cm — et quatre décimales deviendraient tout juste suffisantes.
Comparaison : par rapport aux normes, l'arrêté du 16 septembre 2003 exprime les classes de précision en centimètres ou en millimètres. Une erreur d'arrondi de 0,07 mm est donc sans effet sur la conformité ; une erreur de 67 cm la rend impossible.

Remarque pédagogique : Le nombre de décimales n'est pas une question de style : c'est un calcul. Le faire une fois, en début d'étude, dispense de se poser la question à chaque ligne.

LECTURE DU RÉSULTAT

Le schéma ci-dessous montre le limbe vu de dessus : le zéro sur la référence, la rotation de l'angle lu, et le gisement absolu qui en résulte. On y voit pourquoi le point tombe au nord-ouest.

Une lecture utile pour le terrain : l'opérateur qui affiche 250,25 gon fait plus d'un demi-tour depuis la borne de référence. Sur certains instruments, il est plus rapide de tourner dans l'autre sens de 149,75 gon — le complément à 400. Les deux gestes amènent la lunette au même endroit, et c'est une économie de temps réelle lorsque la fiche compte plusieurs dizaines de points.

RÉSULTAT FINAL

G(S1-P1) = 319,3535 gon · quatrième quadrant

"La direction absolue est établie, les signes sont annoncés : le point n'a plus qu'à venir !"

Question 3 : Les coordonnées du point implanté

Dans la tête de l'ingénieur

"Le passage du polaire au rectangulaire. Deux lignes, et la seule difficulté est de ne pas intervertir le sinus et le cosinus. En topographie, le gisement se compte depuis l'axe des Y : c'est donc le sinus qui projette sur les X, à rebours de ce qu'on apprend en mathématiques. J'ai annoncé les signes à la question précédente — sinus négatif, cosinus positif — et je vais vérifier qu'ils sortent bien ainsi. Si l'un des deux se présentait à l'envers, je saurais que l'erreur est dans le gisement, pas dans la projection."

Observation : le gisement est dans le quatrième quadrant : l'abscisse va diminuer, l'ordonnée augmenter. Le point sera au nord-ouest de la station.
Analyse du risque : intervertir sinus et cosinus. L'erreur produit un point parfaitement à la bonne distance, mais symétrique du bon par rapport à la bissectrice — donc parfaitement faux.
Choix stratégique : je pose la somme des carrés des deux lignes trigonométriques avant de m'en servir. Elle doit valoir un, et elle détecte toute faute de saisie.
Alternative : laisser l'instrument faire le calcul. Écartée ici : l'objet de l'exercice est précisément de savoir ce que l'instrument calcule.
Objectif visé : deux coordonnées au millimètre, avec les signes conformes à l'annonce de la question 2.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

P1 (477,342 ; 856,124)

Rappel Théorique : pourquoi le sinus va sur les X

En mathématiques, un angle se compte depuis l'axe des abscisses, dans le sens trigonométrique. En topographie, le gisement se compte depuis l'axe des ordonnées — la direction du nord — dans le sens horaire. Le repère topographique est donc le repère mathématique tourné d'un quart de tour et retourné : cette double transformation échange les rôles du sinus et du cosinus.

Principe 1 — sinus sur les X, cosinus sur les Y : règle sans exception en topographie, et contraire à l'habitude mathématique.
Principe 2 — la distance doit être horizontale : une distance suivant la pente donnerait un point trop éloigné, du bon côté mais à la mauvaise place.
Principe 3 — les signes viennent du quadrant : ils ne se devinent pas au moment du calcul, ils s'annoncent avant.
Principe 4 — la somme des carrés vaut un : contrôle immédiat de la saisie des deux lignes trigonométriques, avant qu'elles ne contaminent le résultat.
Principe 5 — le rayonnement propage l'erreur du point de départ : un point calculé depuis une station fausse est faux de la même quantité, sans atténuation.

Équations Fondamentales

Trois relations : les deux projections du rayonnement, puis l'identité qui contrôle leur saisie.

Rayonnement — abscisse :

Position en X du point implanté.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le gisement se compte depuis l'axe des Y : la projection du déplacement sur l'axe des X est le côté opposé à l'angle, donc le sinus.

Contexte de validité : exige une distance horizontale et un gisement rapporté au nord du quadrillage.
Avantage : elle est directe : aucune construction, aucun cas particulier, quelle que soit la direction.
Paramètre clé : le signe du sinus, qui place le point à l'est ou à l'ouest de la station.
Vérification : le signe obtenu doit être celui annoncé au quadrant de la question 2.
Limite : elle propage intégralement l'erreur de la station et celle du gisement : le rayonnement n'atténue rien.

\[ X_{\text{P1}} = X_{\text{S1}} + D \cdot \sin\left( G_{\text{S1-P1}} \right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « de combien le piquet est-il à l'est de la station ? » Ici la réponse est négative : il est à l'ouest, de plus de quarante mètres.

Décomposition des termes :

\( X_{\text{P1}} \) : abscisse du point implanté, unité : m
\( X_{\text{S1}} \) : abscisse de la station, unité : m
\( D \) : distance horizontale de rayonnement, unité : m
\( \sin(G) \) : projection de la direction sur l'axe des X, unité : sans dimension
Le produit : coordonnée partielle \( \Delta X \), négative ici, unité : m

Rayonnement — ordonnée :

Position en Y du même point.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'axe des Y est la direction de référence du gisement : la projection sur cet axe est le côté adjacent à l'angle, donc le cosinus.

Contexte de validité : mêmes hypothèses que pour l'abscisse ; les deux formules vont toujours par paire.
Avantage : couplée à la précédente, elle donne le point en une seule opération.
Paramètre clé : le signe du cosinus, positif ici : le point est au nord de la station.
Vérification : le rapport des deux coordonnées partielles doit redonner la tangente du gisement.
Limite : intervertie avec la précédente, elle donne un point plausible et faux, à la bonne distance.

\[ Y_{\text{P1}} = Y_{\text{S1}} + D \cdot \cos\left( G_{\text{S1-P1}} \right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « de combien le piquet est-il au nord de la station ? » Ici d'une quinzaine de mètres seulement : la direction est presque plein ouest.

Décomposition des termes :

\( Y_{\text{P1}} \) : ordonnée du point implanté, unité : m
\( Y_{\text{S1}} \) : ordonnée de la station, unité : m
\( \cos(G) \) : projection de la direction sur l'axe des Y, unité : sans dimension
Le produit : coordonnée partielle \( \Delta Y \), positive ici, unité : m
Le rapport à l'abscisse partielle : redonne la tangente du gisement, unité : sans dimension

Identité de contrôle des lignes trigonométriques :

Vérifie la saisie du sinus et du cosinus avant leur emploi.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est le seul contrôle qui détecte une faute de frappe avant qu'elle ne se propage dans les coordonnées.

Contexte de validité : universelle, quel que soit l'angle et son unité.
Avantage : elle ne coûte que deux multiplications et sécurise toute la suite du calcul.
Paramètre clé : le nombre de décimales : à sept chiffres, la somme doit rendre 1,0000000.
Vérification : tout écart à l'unité au-delà du dernier chiffre signale une erreur de saisie.
Limite : elle ne détecte pas une interversion : échanger sinus et cosinus laisse la somme des carrés inchangée.

\[ \sin^{2}\left( G \right) + \cos^{2}\left( G \right) = 1 \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « les deux projections d'un vecteur unitaire forment un triangle rectangle d'hypoténuse un » . C'est Pythagore, appliqué au cercle des directions.

Décomposition des termes :

\( \sin^{2}(G) \) : carré de la projection sur les X, unité : sans dimension
\( \cos^{2}(G) \) : carré de la projection sur les Y, unité : sans dimension
La somme : toujours égale à l'unité, unité : sans dimension
L'écart admissible : limité au dernier chiffre significatif conservé, unité : sans dimension
Ce qu'elle ne voit pas : l'interversion des deux valeurs, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants lisent les lignes trigonométriques d'un autre angle que celui qu'ils ont calculé. C'est exactement ce qui s'est produit dans la version précédente de cet exercice : le gisement annoncé était 320,29 gon, mais les valeurs employées — −0,922 et 0,387 — sont celles de 325 gon. Deux erreurs se superposent alors, et la seconde masque la première..."

L'approche d'ingénieur : On recopie l'angle dans la ligne de calcul, puis on contrôle la somme des carrés.

L'erreur : saisir un angle approché ou mémorisé au lieu de celui qui vient d'être calculé. Rien ne le signale : la valeur reste dans le bon quadrant.
La bonne méthode : écrire l'angle en toutes ses décimales dans la ligne trigonométrique, puis vérifier \( \sin^2 + \cos^2 = 1 \).
L'astuce de pro : recalculer la tangente à partir des deux coordonnées partielles obtenues. Elle doit redonner celle du gisement, ce qui teste les deux valeurs ensemble.
Le moyen mnémotechnique : « un sinus appartient à un angle, pas à un souvenir ».
L'impact direct : avec les lignes de 325 gon appliquées à un gisement déjà faux, le point publié tombait à 4,213 m de sa position réelle — soit cinquante fois le seuil maximal d'une classe de précision [2 cm].

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Gisement : en grades , quatre décimales, repris sans arrondi.
Lignes trigonométriques : sans dimension , sept décimales.
Distance : en mètres horizontaux .
Coordonnées partielles : en mètres , avec leur signe.
Coordonnées finales : en mètres RGF93 / Lambert-93 , au millimètre.

Nous lisons d'abord les lignes trigonométriques et nous les contrôlons, puis nous formons les deux coordonnées partielles, puis les coordonnées du point.

1. Résolution Numérique Étape 1 : les lignes trigonométriques et leur contrôle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une faute de saisie ici contaminerait les deux coordonnées sans laisser de trace. Le contrôle vient donc avant l'emploi.

\[ \sin\left( 319{,}3535 \text{ gon} \right) = \mathbf{-0{,}9541457} \]

\[ \cos\left( 319{,}3535 \text{ gon} \right) = \mathbf{+0{,}2993427} \]

Le contrôle des carrés.

\[ \begin{aligned} \sin^{2} + \cos^{2} &= 0{,}910394 + 0{,}089606 \\ &= \mathbf{1{,}000000} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Sinus négatif, cosinus positif : conforme à l'annonce. Les signes correspondent exactement au quadrant établi à la question 2, et la somme des carrés rend l'unité à la septième décimale.

Ordre de grandeur : \( |\sin| = 0{,}954 \) contre \( |\cos| = 0{,}299 \) : la direction est bien plus ouest que nord
Impact sur la suite : l'abscisse va donc reculer d'environ 43 m tandis que l'ordonnée n'avancera que d'environ 13 m.
Cohérence : 319,35 gon vaut 287,4 degrés, soit une direction proche de l'ouest-nord-ouest. Le schéma du limbe le confirme.
Attention : ce contrôle ne détecterait pas une interversion des deux valeurs : échanger sinus et cosinus laisse la somme des carrés inchangée. Seule la comparaison au quadrant l'attrape.
Comparaison : par rapport aux valeurs publiées dans la version précédente — −0,922 et 0,387 — l'écart sur le sinus atteint 0,032, soit près d'un mètre et demi une fois multiplié par la distance.

Remarque pédagogique : Deux contrôles complémentaires : la somme des carrés attrape les fautes de frappe, la comparaison au quadrant attrape les interversions. Aucun des deux ne remplace l'autre.

Étape 2 : les coordonnées partielles

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elles sont le déplacement proprement dit — ce que l'on ajoute à la station pour atteindre le point.

a) Le déplacement en X.

\[ \begin{aligned} \Delta X &= 45{,}18 \times \left( -0{,}9541457 \right) \\ &= \mathbf{-43{,}1083} \text{ m} \end{aligned} \]

b) Le déplacement en Y.

\[ \begin{aligned} \Delta Y &= 45{,}18 \times \left( +0{,}2993427 \right) \\ &= \mathbf{+13{,}5243} \text{ m} \end{aligned} \]

Contrôle par la tangente. Le rapport des deux déplacements doit redonner la tangente du gisement.

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta X}{\Delta Y} &= \frac{-43{,}1083}{+13{,}5243} \\ &= \mathbf{-3{,}18747} \end{aligned} \]

\[ \tan\left( 319{,}3535 \text{ gon} \right) = \mathbf{-3{,}18747} \]

Étape 3 : les coordonnées du point implanté

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le livrable : la position du piquet, exprimée dans le système légal, au millimètre.

a) L'abscisse.

\[ \begin{aligned} X_{\text{P1}} &= 520{,}45 - 43{,}1083 \\ &= 477{,}3417 \\ &= \mathbf{477{,}342} \text{ m} \end{aligned} \]

b) L'ordonnée.

\[ \begin{aligned} Y_{\text{P1}} &= 842{,}60 + 13{,}5243 \\ &= 856{,}1243 \\ &= \mathbf{856{,}124} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le point est bien au nord-ouest de la station, comme annoncé : l'abscisse a reculé de 43,11 m, l'ordonnée a avancé de 13,52 m. Les deux signes correspondent au quadrant établi avant tout calcul.

Ordre de grandeur : \( \sqrt{43{,}11^2 + 13{,}52^2} \) doit redonner 45,18 m — c'est l'objet du premier contrôle de la question 4
Impact sur la suite : ces deux coordonnées sont le livrable. Tout le reste de l'exercice consiste à démontrer qu'elles sont justes.
Cohérence : le rapport des coordonnées partielles restitue exactement la tangente du gisement, à la cinquième décimale. Les deux lignes trigonométriques sont donc cohérentes entre elles.
Attention : l'arrondi au millimètre n'intervient qu'ici, sur le résultat livré. Aucune valeur intermédiaire n'a été arrondie.
Comparaison : par rapport aux coordonnées publiées dans la version précédente — (478,79 ; 860,08) — l'écart atteint 4,213 m. Le point ne serait pas dans la même parcelle sur bien des chantiers urbains.

Remarque pédagogique : N'arrondir qu'à la toute dernière ligne est une règle simple et sûre. Elle évite de se demander, à chaque étape, si l'arrondi qu'on s'apprête à faire aura une conséquence.

LECTURE DU RÉSULTAT

Le schéma ci-dessous place le point implanté par rapport à la station et fait apparaître les deux coordonnées partielles avec leur signe. On y vérifie d'un coup d'œil que le point est bien au nord-ouest.

Une lecture utile pour le terrain : le déplacement est trois fois plus grand en X qu'en Y, ce qui traduit une direction presque plein ouest. Sur le chantier, cela signifie que le porte-prisme s'éloigne surtout latéralement par rapport à la ligne de visée de la référence — une configuration confortable, car le point à implanter ne risque pas d'être confondu avec la borne S2, qui se trouve à l'opposé.

RÉSULTAT FINAL

P1 = 477,342 · 856,124 m

"Le point du plan a maintenant une position sur le terrain : reste à le prouver !"

Question 4 : Les contrôles et la classe de précision

Dans la tête de l'ingénieur

"Trois questions, trois résultats, et aucune redondance : chaque étape a consommé la précédente sans jamais la tester. Si le gisement de référence était faux, rien dans les deux questions suivantes ne l'aurait révélé. Il me faut donc fabriquer une redondance — et j'en ai une sous la main. L'angle de rayonnement de l'énoncé n'a servi qu'une fois, à la question 2. Je peux repartir des coordonnées obtenues, former le triangle station-borne-point, et vérifier qu'Al-Kashi me le restitue. Si oui, toute la chaîne est validée d'un coup."

Observation : l'angle de 250,25 gon est une donnée d'entrée non réutilisée. C'est exactement ce qu'il faut pour construire un contrôle indépendant.
Analyse du risque : se contenter du retour inverse. Il refait le chemin en sens contraire et ne teste que l'arithmétique de la question 3, pas le gisement de référence.
Choix stratégique : trois contrôles de portées croissantes : la distance, le gisement, puis le triangle complet qui referme la boucle sur l'énoncé.
Alternative : implanter le point depuis une seconde station. Écartée ici — mais c'est ce que fait le terrain lorsque l'enjeu le justifie.
Objectif visé : trois écarts chiffrés, une fiche exploitable, et les trois seuils d'une classe de précision.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Écarts : 0,4 mm sur la distance · 0,0003 gon sur le gisement · 0,0000 gon sur l'angle restitué

Rappel Théorique : fabriquer une redondance, puis la comparer à une norme

Une chaîne de calculs sans redondance ne peut pas s'auto-vérifier : le retour inverse ne fait que défaire ce qui vient d'être fait. Le seul contrôle qui vaille repart du résultat pour retrouver une donnée d'entrée jamais réutilisée. Une fois le calcul validé, reste à dire dans quelle classe de précision le point sera contrôlable — car sur le terrain, l'écart entre le point calculé et le point matérialisé n'est jamais nul.

Principe 1 — le retour inverse teste l'arithmétique, pas la chaîne : il refait le chemin en sens contraire, avec les mêmes valeurs. Nécessaire, mais insuffisant.
Principe 2 — la règle d'Al-Kashi ferme le triangle : trois côtés calculés à partir de coordonnées donnent un angle, comparable à celui de l'énoncé.
Principe 3 — une classe de précision se déclare, elle ne se devine pas : elle s'écrit entre crochets avec son unité, et elle engendre trois seuils calculés.
Principe 4 — le contrôle doit être plus fin que le levé : le coefficient de sécurité C vaut au moins 2, ce qui allège la tolérance individuelle.
Principe 5 — un échantillon de moins de cinq points ne tolère aucun dépassement : avec un seul point implanté, le nombre de dépassements admis est zéro.

Équations Fondamentales

Trois relations : la fermeture du triangle, puis les deux seuils de l'arrêté.

Règle d'Al-Kashi :

Restitue un angle à partir des trois côtés d'un triangle.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les trois côtés du triangle station-borne-point se calculent tous à partir de coordonnées, alors que l'angle au sommet est une donnée de l'énoncé. Les deux chemins ne se croisent nulle part ailleurs.

Contexte de validité : exige un vrai triangle : les trois points ne doivent pas être alignés.
Avantage : c'est le seul contrôle qui teste toute la chaîne, gisement de référence compris.
Paramètre clé : elle rend l'angle géométrique, compris entre 0 et 200 gon — à convertir en angle horaire si celui-ci dépasse le demi-tour.
Vérification : le résultat doit restituer l'angle de rayonnement de l'énoncé, à l'arrondi près.
Limite : elle ne dit rien de l'exactitude des données d'entrée : une distance mal lue dans l'énoncé passerait le contrôle.

\[ \cos\widehat{\text{S1}} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « si je connais les trois côtés, je connais les trois angles » . C'est la généralisation de Pythagore à un triangle quelconque.

Décomposition des termes :

\( \widehat{\text{S1}} \) : angle géométrique au sommet de la station, unité : gon
\( a \) : côté station-borne, calculé à la question 1, unité : m
\( b \) : côté station-point, donné par l'énoncé, unité : m
\( c \) : côté borne-point, calculé à partir des coordonnées, unité : m
Le cas particulier : si l'angle vaut 100 gon, le cosinus s'annule et l'on retrouve Pythagore, unité : sans dimension

Tolérance individuelle d'un point contrôlé :

Seuil au-delà duquel un écart est comptabilisé comme dépassement.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un contrôle compare deux mesures, chacune entachée d'incertitude. Le coefficient C traduit le fait que la méthode de contrôle est plus fine que celle du levé, ce qui autorise un seuil légèrement supérieur.

Contexte de validité : s'applique aux travaux réalisés par ou pour les personnes publiques, au sens de l'article 2 de l'arrêté.
Avantage : elle rend la conformité opposable : un chiffre, et non une appréciation.
Paramètre clé : le coefficient de fiabilité \( k \), qui vaut 2,42 en planimétrie et 3,23 en altimétrie seule.
Vérification : avec \( C = 2 \), le facteur entre parenthèses vaut 1,125 — le même que celui du critère de moyenne.
Limite : elle ne suffit pas seule : les trois critères de l'arrêté doivent être satisfaits simultanément.

\[ T = k \times [xx] \times \left( 1 + \frac{1}{2C^{2}} \right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « au-delà de cet écart, le point est compté comme dépassant » . C'est le seuil que le contrôleur applique, point par point.

Décomposition des termes :

\( T \) : tolérance individuelle, unité : cm ou mm selon la classe
\( k \) : coefficient de fiabilité, 2,42 en planimétrie, unité : sans dimension
\( [xx] \) : classe de précision visée, déclarée par le marché, unité : cm ou mm
\( C \) : coefficient de sécurité, au moins 2, unité : sans dimension
Le facteur entre parenthèses : vaut 1,125 pour C = 2, unité : sans dimension

Critère maximal :

Écart individuel que rien ne peut justifier de dépasser.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la tolérance progressive admet un petit nombre de dépassements sur un grand échantillon. Le critère maximal, lui, ne souffre aucune exception : il borne l'écart le plus grand, quel que soit le nombre de points.

Contexte de validité : s'applique à chaque point individuellement, sans moyenne ni statistique.
Avantage : il se retient sous forme condensée : 4,08 fois la classe en planimétrie.
Paramètre clé : le facteur 1,5 appliqué au produit \( k \times [xx] \times 1{,}125 \).
Vérification : il est nécessairement supérieur à la tolérance individuelle, dont il vaut 1,5 fois la valeur pour C = 2.
Limite : le respecter ne suffit pas : les critères de moyenne et de tolérance progressive s'appliquent en même temps.

\[ E_{\max} = 1{,}5 \times k \times [xx] \times \left( 1 + \frac{1}{8} \right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « au-delà de cet écart, le point est refusé, sans discussion » . C'est le plafond absolu de la classe déclarée.

Décomposition des termes :

\( E_{\max} \) : écart individuel absolument prohibé au-delà, unité : cm ou mm
1,5 : facteur d'aggravation par rapport au critère de moyenne, unité : sans dimension
\( k \) : coefficient de fiabilité, unité : sans dimension
\( 1 + 1/8 \) : même facteur que dans le critère de moyenne, unité : sans dimension
Le raccourci : en planimétrie, l'ensemble se réduit à 4,08 × [xx], unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants contrôlent en refaisant le calcul à l'envers. Ils repartent des coordonnées, recalculent le gisement et la distance, retrouvent exactement leurs valeurs, et concluent que tout est juste. C'est une illusion : ce contrôle ne teste que les deux dernières lignes. Un gisement de référence faux les traverse sans laisser de trace..."

L'approche d'ingénieur : On cherche une donnée d'entrée non consommée et l'on s'arrange pour la retrouver.

L'erreur : confondre cohérence interne et justesse. Un calcul faux peut être parfaitement cohérent avec lui-même.
La bonne méthode : inventorier les données de l'énoncé et repérer celles qui n'ont servi qu'une fois. Ici, l'angle de rayonnement.
L'astuce de pro : fermer un triangle. Trois points, trois côtés calculables, un angle donné : Al-Kashi transforme cette configuration en contrôle absolu.
Le moyen mnémotechnique : « un contrôle qui refait le même chemin ne contrôle rien ».
L'impact direct : avec les valeurs de la version précédente, le retour inverse aurait été parfait — et Al-Kashi aurait rendu un angle de rayonnement faux de près d'un grade, révélant immédiatement l'erreur sur le gisement de référence.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Écarts de contrôle : en mètres , commentés en millimètres.
Angles du triangle : en grades , quatre décimales.
Côtés du triangle : en mètres horizontaux .
Seuils de l'arrêté : en centimètres , comme la classe déclarée.
Coordonnées : en mètres RGF93 / Lambert-93 .

Nous menons les trois contrôles , puis nous assemblons la fiche et nous annonçons la classe de précision.

1. Résolution Numérique Contrôle n° 1 : la distance, par retour inverse

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il repart des coordonnées arrondies au millimètre, celles qui seront livrées, et non des valeurs intermédiaires. Il teste donc l'arrondi autant que le calcul.

a) Les écarts recalculés.

\[ \begin{aligned} \Delta X &= 477{,}342 - 520{,}450 \\ &= \mathbf{-43{,}108} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \Delta Y &= 856{,}124 - 842{,}600 \\ &= \mathbf{+13{,}524} \text{ m} \end{aligned} \]

b) La distance retrouvée.

\[ \begin{aligned} D_{\text{S1-P1}} &= \sqrt{ 43{,}108^{2} + 13{,}524^{2} } \\ &= \sqrt{ 1858{,}2997 + 182{,}8986 } \\ &= \sqrt{ 2041{,}1983 } \\ &= \mathbf{45{,}1796} \text{ m} \end{aligned} \]

c) L'écart à la distance de l'énoncé.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{\text{D}} &= 45{,}1796 - 45{,}1800 \\ &= \mathbf{-0{,}0004} \text{ m} \end{aligned} \]

Contrôle n° 2 : le gisement, par retour inverse

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il vérifie que l'arrondi des coordonnées n'a pas dévié la direction. Comme le précédent, il ne teste que la dernière étape.

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta X}{\Delta Y} &= \frac{-43{,}108}{+13{,}524} \\ &= \mathbf{-3{,}18752} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-P1}} &= \arctan\left( -3{,}18752 \right) + 400 \\ &= \mathbf{319{,}3532} \text{ gon} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{\text{G}} &= 319{,}3532 - 319{,}3535 \\ &= \mathbf{-0{,}0003} \text{ gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Quatre dixièmes de millimètre et trois dix-millièmes de grade. Ces deux résidus proviennent uniquement de l'arrondi des coordonnées au millimètre — et ils sont cohérents entre eux : 0,0003 gon sur 45 m valent 0,2 mm.

Ordre de grandeur : 0,4 mm sur 45,18 m, soit neuf millionièmes de la portée
Impact sur la suite : l'arithmétique de la question 3 est validée. Mais rien n'est encore dit du gisement de référence.
Cohérence : les deux écarts sont négatifs, signe d'un arrondi qui a légèrement rapproché le point de la station — et non d'une dérive de méthode.
Attention : ces deux contrôles refont le chemin en sens inverse. Ils auraient été tout aussi parfaits avec un gisement de référence faux.
Comparaison : par rapport à la tolérance de la classe [2 cm], un résidu de 0,4 mm représente 2 % du seuil : totalement négligeable.

Remarque pédagogique : Ces deux contrôles sont nécessaires mais insuffisants. Les mener sans le troisième donnerait une fausse assurance — c'est exactement le piège de cet exercice.

Contrôle n° 3 : la fermeture du triangle par Al-Kashi

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le seul contrôle indépendant : il repart des coordonnées pour retrouver l'angle de rayonnement de l'énoncé, donnée qui n'a servi qu'une fois, à la question 2.

Méthodologie du calcul :

On calcule le troisième côté du triangle à partir des coordonnées de la borne et du point, puis on applique la règle d'Al-Kashi au sommet de la station.

Substitution : \( a = 102{,}145 \) m (question 1), \( b = 45{,}180 \) m (énoncé), \( c \) à calculer.
Piège évité : lire le cosinus en degrés. À 149,75, la différence entre les deux unités dépasserait cent mètres sur le côté restitué.
Hypothèse validée : les trois points ne sont pas alignés : le triangle existe.
Vérification croisée : l'angle géométrique obtenu, complété à 400 gon, doit rendre 250,2500 gon.
Finalité : valider toute la chaîne, gisement de référence compris.

a) Le troisième côté du triangle.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{S2-P1}} &= 477{,}342 - 610{,}800 \\ &= \mathbf{-133{,}458} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{S2-P1}} &= 856{,}124 - 890{,}250 \\ &= \mathbf{-34{,}126} \text{ m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} c &= \sqrt{ 133{,}458^{2} + 34{,}126^{2} } \\ &= \sqrt{ 17811{,}0378 + 1164{,}5839 } \\ &= \sqrt{ 18975{,}6217 } \\ &= \mathbf{137{,}752} \text{ m} \end{aligned} \]

b) Le cosinus de l'angle au sommet.

\[ \begin{aligned} a^{2} + b^{2} - c^{2} &= 10433{,}6010 + 2041{,}2324 - 18975{,}6216 \\ &= \mathbf{-6500{,}7882} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2ab &= 2 \times 102{,}145 \times 45{,}180 \\ &= \mathbf{9229{,}8222} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \cos\widehat{\text{S1}} &= \frac{-6500{,}7882}{9229{,}8222} \\ &= \mathbf{-0{,}704324} \end{aligned} \]

c) L'angle géométrique. Le cosinus étant négatif, l'angle dépasse 100 gon.

\[ \begin{aligned} \widehat{\text{S1}} &= \arccos\left( -0{,}704324 \right) \\ &= \mathbf{149{,}7500} \text{ gon} \end{aligned} \]

d) L'angle horaire correspondant. La règle d'Al-Kashi rend l'angle géométrique, compris entre 0 et 200 gon ; l'angle de rayonnement, lui, est compté dans le sens horaire et dépasse le demi-tour.

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{restitue}} &= 400{,}0000 - 149{,}7500 \\ &= \mathbf{250{,}2500} \text{ gon} \end{aligned} \]

e) L'écart avec l'angle de l'énoncé.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{\alpha} &= 250{,}2500 - 250{,}2500 \\ &= \mathbf{0{,}0000} \text{ gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Écart nul au dix-millième de grade. L'angle de rayonnement de l'énoncé est restitué exactement à partir des coordonnées calculées. Toute la chaîne — gisement de référence, tour d'horizon, rayonnement — est validée d'un seul calcul.

Ordre de grandeur : 250,2500 contre 250,2500 : les deux chemins convergent à la quatrième décimale
Impact sur la suite : la fiche peut être signée. C'est ce contrôle, et lui seul, qui autorise à le dire.
Cohérence : appliqué au point publié dans la version précédente — (478,79 ; 860,08) —, le même calcul rend 256,1875 gon au lieu de 250,2500, soit 5,9375 gon d'écart. L'erreur sautait aux yeux, et elle était la seule à pouvoir la révéler : le retour inverse, lui, restituait une distance de 45,179 m parfaitement rassurante.
Attention : Al-Kashi rend un angle géométrique, toujours entre 0 et 200 gon. Le complément à 400 est indispensable dès que l'angle de rayonnement dépasse le demi-tour.
Comparaison : par rapport aux normes, l'arrêté du 16 septembre 2003 exige que les mesures de contrôle soient plus précises que les mesures contrôlées, avec un coefficient de sécurité C d'au moins 2. Un contrôle de bureau, sans incertitude de mesure, satisfait cette exigence par construction.

Remarque pédagogique : Ce contrôle a une vertu rare : il ne refait pas le calcul, il l'attaque par un autre côté. C'est le seul type de vérification qui protège d'une erreur systématique.

Étape 4 : les trois seuils de la classe de précision

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le calcul de bureau est exact, mais que le piquet planté ne le sera jamais. Encore faut-il dire de combien il a le droit de s'en écarter — et ce n'est pas une appréciation, c'est un texte.

a) Le critère de moyenne, pour une classe [2 cm]. La classe est ici prise à titre d'exemple : elle relève des pièces du marché.

\[ \begin{aligned} 2{,}00 \times \left( 1 + \frac{1}{8} \right) &= 2{,}00 \times 1{,}125 \\ &= \mathbf{2{,}250} \text{ cm} \end{aligned} \]

L'écart moyen constaté sur l'échantillon doit donc rester strictement inférieur à cette valeur.

\[ E_{\text{moy}} < 2{,}250 \text{ cm} \]

b) La tolérance individuelle, avec C = 2.

\[ \begin{aligned} T &= 2{,}42 \times 2{,}00 \times \left( 1 + \frac{1}{8} \right) \\ &= \mathbf{5{,}445} \text{ cm} \end{aligned} \]

c) Le critère maximal.

\[ \begin{aligned} E_{\max} &= 1{,}5 \times 5{,}445 \\ &= \mathbf{8{,}168} \text{ cm} \end{aligned} \]

d) Le nombre de dépassements admis. Un seul point est implanté : l'échantillon compte moins de cinq points.

\[ N' = \mathbf{0} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trois seuils, et aucune indulgence. Avec un échantillon d'un seul point, le nombre de dépassements admis vaut zéro : le piquet est conforme ou il ne l'est pas. La tolérance individuelle de 5,445 cm est donc, en pratique, la limite à respecter.

Ordre de grandeur : 5,4 cm de tolérance sur une visée de 45 m, soit un peu plus d'un millième de la portée
Impact sur la suite : les résidus de calcul — 0,4 mm — sont cent fois inférieurs à ce seuil. Toute la marge est disponible pour les erreurs de terrain.
Cohérence : le critère maximal vaut exactement 4,08 × [xx], soit 8,16 cm — le raccourci du texte se vérifie.
Attention : la classe [2 cm] est ici un exemple. La classe réelle se lit dans le CCTP : elle ne s'invente pas, et elle change tous les seuils.
Comparaison : par rapport à la version précédente de cet exercice, dont le point tombait à 4,213 m de sa position réelle, l'écart dépasse le critère maximal d'un facteur 52. Aucune classe de précision n'aurait pu l'accueillir.

2. Synthèse : la fiche d'implantation

Voici le document remis à l'équipe. Station, référence d'orientation, angle à afficher, distance à mesurer, et coordonnées attendues du point une fois planté.

Élément	Valeur	Unité	Rôle
Station S1	520,450 / 842,600	m	mise en place de l'instrument
Référence S2	610,800 / 890,250	m	mise à zéro du limbe
Gisement S1-S2	69,1035	gon	orientation, calculé
Angle à afficher	250,2500	gon	rotation horaire depuis S2
Distance à mesurer	45,180	m	distance horizontale
Gisement S1-P1	319,3535	gon	direction absolue, calculée
Point P1 attendu	477,342 / 856,124	m	position à contrôler après pose

Décret n° 2000-1276 modifié, art. 1^er : les coordonnées de la station, de la référence et du point implanté sont exprimées en RGF93 / Lambert-93, système obligatoire pour les travaux réalisés par l'État, les collectivités locales et leurs établissements publics, ou pour leur compte. Sans cette mention, le gisement de 69,1035 gon n'aurait aucune signification physique.

Arrêté du 16 septembre 2003, art. 5 — classe de précision : une classe se déclare par une valeur \( [xx] \), un nombre de dimensions \( n \), un coefficient de fiabilité \( k \), un coefficient de sécurité \( C \) et une taille d'échantillon \( N \). Ici \( n = 2 \), \( k = 2{,}42 \) et \( N = 1 \). L'échantillon comptant moins de cinq points, le nombre de dépassements admis est nul : le point est conforme ou il est refusé. Pour la classe [2 cm] prise en exemple avec \( C = 2 \), les trois seuils valent 2,250 cm en moyenne, 5,445 cm en tolérance individuelle et 8,168 cm en écart maximal.

LECTURE DU RÉSULTAT

Le schéma ci-dessous montre le triangle refermé : trois côtés calculés à partir de coordonnées, un angle restitué et comparé à la donnée de l'énoncé.

Une lecture utile pour le terrain : le triangle est très aplati du côté du point implanté — 45 m contre 102 m et 138 m. C'est la configuration ordinaire d'une implantation : on vise loin pour s'orienter, on implante près. Cela tombe bien, car l'erreur d'orientation se répercute proportionnellement à la distance d'implantation, et non à celle de la référence : viser une borne lointaine pour planter un piquet proche est la meilleure façon de travailler.

RÉSULTAT FINAL

Écarts = 0,4 · 0,0003 · 0,0000 mm · gon · gon

"L'angle de l'énoncé est restitué à l'identique : toute la chaîne est validée !"

SCHÉMA BILAN — LA STATION, SA RÉFÉRENCE ET LE POINT IMPLANTÉ

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai encadré le gisement avant de lire l'arctangente, et j'ai testé l'unité de ma calculatrice par \( \arctan(1) = 50 \) gon. J'ai repris le gisement de référence sans l'arrondir dans le tour d'horizon, et j'ai vérifié s'il fallait réduire de 400 gon. J'ai annoncé les signes des coordonnées partielles à partir du quadrant, avant de les calculer, et j'ai contrôlé la somme des carrés des lignes trigonométriques. J'ai compris qu'un retour inverse ne contrôle rien de la chaîne amont, et j'ai fermé le triangle par Al-Kashi pour retrouver l'angle de l'énoncé. J'ai annoncé une classe de précision avec ses trois seuils, et j'ai su dire qu'un échantillon d'un seul point ne tolère aucun dépassement.

Le gisement de la référence vaut 69,1035 gon pour une base de 102,145 m. Le transport donne G(S1-P1) = 319,3535 gon, quatrième quadrant, d'où un point implanté en (477,342 ; 856,124). Le contrôle par retour restitue l'angle et la distance de départ à moins d'un millimètre près.

Un rayonnement est la méthode d'implantation la plus rapide et la moins protégée : deux observations pour deux inconnues, donc une redondance nulle. Le contrôle par retour valide l'arithmétique du calcul, jamais le pointé : un angle mal lu le traverserait sans être vu. C'est pourquoi le guide DT-DICT recommande de mesurer des points doubles et d'éviter les configurations en antenne, qui n'apportent aucun contrôle de fermeture.

Implantation d'un point par rayonnement

Implantation d'un point par rayonnement

Le premier mois à 1 €

Implantation d'un point par rayonnement

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Le gisement de la référence

Question 2 : Le gisement de la direction à implanter

Question 3 : Les coordonnées du point implanté

Question 4 : Les contrôles et la classe de précision

Implantation d'un point par rayonnement

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

Échangez & progressez ensemble

Questions sur cet exercice

Bloqué ? La communauté peut t'aider

Commentaires

Continuez votre progression

Analyse du déplacement d'un mur

Calcul de Vecteurs et Gisements

Contrôle de Planéité d'une Dalle Béton

Contrôle de Verticalité d'un Poteau en Béton

Contrôle de Récolement

Contrôle de Pente d'Assainissement

Un point pas clair dans cet exercice ?

Stage, alternance ou premier emploi ?

Explorez d'autres domaines