Implantation d'un alignement

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une collectivité fait poser une clôture rectiligne le long d'une limite de propriété définie par deux bornes, A et B. L'entreprise a besoin de trois piquets équidistants pour tendre ses cordeaux et guider la pose. L'opération paraît anodine — une ligne droite, trois points — mais elle concentre toutes les difficultés de l'implantation : il faut d'abord caractériser la droite par sa direction et sa longueur, puis répartir les points le long de cette droite, enfin traduire le tout en angles et distances depuis une station qui, elle, n'est pas sur l'alignement. Trois familles de calculs, trois occasions de se tromper.

Les Points Clés du Projet

Avant tout calcul, prenez la mesure de ce que l'énoncé donne et de ce qu'il laisse à déduire . Quatre éléments commandent l'exercice :

Enjeu Principal : Un alignement défini par deux bornes connues, sur lequel il faut répartir trois piquets équidistants, le premier étant confondu avec la borne A.
Environnement : La direction de l'axe pointe vers le sud-est : \( \Delta X \) positif mais \( \Delta Y \) négatif. C'est le cas où la correction de quadrant vaut +200 gon, et l'oublier est l'erreur la plus commune de tout le métier.
L'objectif final : Une fiche d'implantation à trois lignes, exploitable depuis la station S1 orientée sur S2 — sachant que la station n'est pas sur l'alignement, ce qui interdit tout report direct à la chaîne.
L'astuce de l'ingénieur : Cet énoncé cache un contrôle gratuit. Cherchez-le : il tient à une propriété évidente du dernier piquet, et il permet de valider d'un coup les questions 1 et 2.

Votre Mission :

Vous êtes géomètre de chantier. L'entreprise de clôture attend les piquets pour lundi. Vous disposez d'une station totale, d'un canevas à deux points et des coordonnées des deux bornes. Votre travail consiste à transformer quatre couples de coordonnées en trois lignes de fiche d'implantation — et à démontrer, avant de monter sur le terrain, que les trois piquets sont bien alignés et équidistants.

Le grand défi : caractériser l'axe dans le deuxième quadrant, y répartir les piquets, puis changer complètement de point de vue pour raisonner depuis la station.
Votre rôle : calculer le gisement et la longueur de l'axe, le pas d'implantation et les coordonnées des piquets, vérifier la rectitude et l'équidistance, puis produire la fiche.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

La caractérisation complète de l'axe : gisement à quatre décimales de gon avec sa justification de quadrant, et longueur au millimètre.
Les coordonnées des trois piquets, chacune obtenue par rayonnement depuis A — jamais de proche en proche — avec le pas d'implantation clairement établi.
Trois contrôles effectivement calculés : coïncidence du dernier piquet avec la borne B, égalité des deux intervalles, et restitution de la longueur totale. Un contrôle annoncé sans être calculé n'est pas un contrôle.
Une fiche d'implantation exploitable, station S1 orientée sur S2, donnant pour chaque piquet l'angle horizontal à afficher et la distance horizontale à mesurer.

2. Données Techniques & Normes

Toutes les coordonnées sont exprimées en mètres, dans le système légal RGF93 / projection Lambert-93, et tous les angles en grades (gon). Le rattachement à ce système n'est pas laissé au choix du prestataire : il est imposé par la loi dès lors que les travaux sont exécutés pour le compte d'une personne publique. Le premier tableau donne le canevas et les deux bornes de l'alignement, le second les contraintes de répartition et la classe de précision visée.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer ! La seule vraiment spécifique à cet exercice est celle du pas d'implantation : elle fait intervenir le nombre d'intervalles, et non le nombre de piquets.

Gisement d'une direction \( G_{1\text{-}2} = \arctan\left(\dfrac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + k \cdot 200^{\text{gon}} \)
Distance horizontale \( D_{1\text{-}2} = \sqrt{\Delta X^{2} + \Delta Y^{2}} \)
Pas d'implantation \( e = \dfrac{D_{\text{totale}}}{N - 1} \)
Abscisse curviligne du piquet n \( s_{n} = (n - 1) \cdot e \)
Rayonnement polaire — abscisse \( X_{n} = X_{\text{A}} + s_{n} \sin G_{\text{A-B}} \)
Rayonnement polaire — ordonnée \( Y_{n} = Y_{\text{A}} + s_{n} \cos G_{\text{A-B}} \)
Angle horizontal à implanter \( \alpha = G_{\text{S-P}} - G_{\text{S-Ref}} \quad (+\,400^{\text{gon}} \text{ si negatif}) \)
Règle des quadrants \( k = 0 \) si \( \Delta X \geq 0, \Delta Y > 0 \) · \( k = 1 \) si \( \Delta Y < 0 \) · \( k = 2 \) si \( \Delta X < 0, \Delta Y > 0 \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
S1	Station d'implantation, point du canevas de chantier. Coordonnées exprimées dans le système légal (RGF93, ellipsoïde IAG GRS 1980, projection Lambert-93) Décret 2000-1276 modifié par décret 2006-272, art. 1^er A	125,40 / 450,80	m
S2	Point de référence servant à orienter la station : c'est la direction S1 → S2 qui fixe le zéro du limbe	210,10 / 435,20	m
A	Borne d'origine de l'alignement — le premier piquet lui est confondu Loi n° 99-533 du 25 juin 1999, art. 53	150,20 / 610,50	m
B	Borne d'extrémité — c'est le couple (A, B) qui définit à la fois la direction et la longueur de l'axe	280,60 / 565,30	m

Référentiel de travail

Système altimétrique : \( \text{NGF} \text{-} \text{IGN 1969} \) — sans objet ici, l'exercice est purement planimétrique
Unité angulaire : \( 1 \text{ tour} = \mathbf{400} \text{ gon} \), le demi-tour valant \( \mathbf{200} \) gon

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
N	Nombre de piquets à implanter sur l'alignement, le premier étant confondu avec A	3	—
N − 1	Nombre d'intervalles entre les piquets — c'est ce diviseur, et non N, qui donne le pas	2	—
[xx]	Classe de précision planimétrique visée pour l'implantation — travaux réalisés pour une personne publique, donc soumis à l'arrêté sur les classes de précision Arrêté du 16 sept. 2003, art. 2 et 5	[2] cm	cm
k	Coefficient de fiabilité en planimétrie (\( n = 2 \) dimensions), utilisé pour le seuil de tolérance Arrêté du 16 sept. 2003, annexe — table 1	2,42	—

Difficulté propre à cet alignement

Quadrant de l'axe : \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y < 0 \) \( \Rightarrow \) correction de \( \mathbf{+200} \) gon
Station excentrée : S1 n'appartient pas à l'axe — aucun report direct à la chaîne n'est possible

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution. Deux textes gouvernent cet exercice : celui qui fixe le système de coordonnées, et celui qui fixe la précision exigible.

Extrait — Décret n° 2000-1276 modifié (décret n° 2006-272 du 3 mars 2006), art. 1^er

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
France métropolitaine — système géodésique	RGF93, ellipsoïde IAG GRS 1980
France métropolitaine — projection	Lambert-93 (ou coniques conformes 9 zones)
France métropolitaine hors Corse — altimétrie	NGF-IGN 1969

Extrait — Arrêté du 16 septembre 2003, critères de conformité à une classe [xx]

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
Coefficient de fiabilité k — planimétrie (n = 2)	2,42
Critère de moyenne	\( E_{\text{moy}} < [xx] \times (1 + 1/8) \)
Seuil de tolérance individuel T	\( T = k \times [xx] \times \left(1 + \dfrac{1}{2C^{2}}\right) \)
Coefficient de sécurité C (méthode de contrôle)	\( \geq 2 \) — contrôle au moins 2 fois plus précis que le levé

Le contrôle propre aux alignements — la vérification par superposition

Un contrôle de terrain qui ne coûte rien : une fois les piquets plantés, l'opérateur se place derrière le premier, vise le dernier, et vérifie que tous les piquets intermédiaires se superposent dans la lunette. La rectitude se lit alors à l'œil, sans aucun calcul.

Ce qu'il détecte : un piquet hors de l'alignement, même de quelques centimètres, saute aux yeux sur une visée de plus de cent mètres.
Ce qu'il ne détecte pas : une erreur d'espacement. Trois piquets mal répartis mais parfaitement alignés passeraient le test sans broncher.
Le complément indispensable : mesurer les intervalles au décamètre. Rectitude et équidistance sont deux propriétés distinctes, et il faut deux contrôles pour les couvrir.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous. La logique est celle d'un entonnoir : on caractérise d'abord la droite, puis on y place les points, puis on vérifie, et seulement alors on traduit le résultat en instructions de terrain.

Question 1 : Caractériser l'axe A-B

Gisement et distance 15 min | Moyen

But de l'étape : Transformer deux points en une droite. Le gisement donnera la direction de tous les rayonnements ultérieurs, la longueur servira à calculer le pas. Ces deux nombres conditionnent tout le reste de l'exercice.

Énoncé Q1 : Calculer le gisement \( G_{\text{A-B}} \) et la distance \( D_{\text{A-B}} \) de l'alignement. Vous préciserez :

les coordonnées partielles avec leur signe ;
le quadrant déduit de ces signes et la correction à appliquer ;
un contrôle d'encadrement de la distance obtenue.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Regardez les signes avant de toucher à l'arctangente. B est plus à l'est mais plus au sud que A : \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y < 0 \). C'est le deuxième quadrant, celui du sud-est, et la règle y impose +200 gon.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le rapport \( \Delta X / \Delta Y \) vaut environ −2,885. L'arctangente sortira négative, autour de −79 gon ; ajoutez-lui 200 pour obtenir un gisement compris entre 100 et 200 gon. Toute autre plage signale une erreur de quadrant.

Question 2 : Répartir les trois piquets

Rayonnement 18 min | Moyen

But de l'étape : Placer les points le long de la droite. C'est ici qu'intervient la notion d'abscisse curviligne — la distance parcourue depuis l'origine —, qui est la façon dont tous les projets linéaires, routes comprises, repèrent leurs points.

Énoncé Q2 : Calculer le pas d'implantation, puis les coordonnées des trois piquets P1, P2 et P3. Chaque piquet sera obtenu par rayonnement depuis A, avec son abscisse curviligne propre — et jamais de proche en proche, afin de ne pas cumuler les arrondis.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Trois piquets ne délimitent que deux intervalles. Le pas vaut donc la longueur totale divisée par 2, et non par 3. Dessinez trois points sur une ligne et comptez les segments : c'est le meilleur remède à cette confusion.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les abscisses curvilignes valent 0, un pas, puis deux pas. Le premier piquet est donc confondu avec A, et le troisième se trouve à la distance totale de A — autrement dit, exactement sur la borne B. Retenez cette conséquence : c'est le contrôle de la question 3.

Question 3 : Contrôler rectitude et équidistance

Contrôle 15 min | Moyen

But de l'étape : Prouver ce que la question 2 s'est contentée de produire. L'énoncé offre ici un contrôle exceptionnellement fort : le dernier piquet doit tomber sur une borne dont les coordonnées sont données. Ne pas s'en servir serait gâcher une vérification offerte.

Énoncé Q3 : Mener trois contrôles effectivement calculés :

la coïncidence de P3 avec la borne B, en calculant l'écart entre les coordonnées obtenues et celles de l'énoncé ;
l'égalité des deux intervalles P1-P2 et P2-P3, calculés depuis les coordonnées finales ;
la restitution de la longueur totale P1-P3, à comparer à \( D_{\text{A-B}} \).

Écrire « OK » sans avoir posé le calcul ne vaut rien.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Ces trois contrôles ne détectent pas les mêmes fautes. La coïncidence avec B teste le gisement et la distance de la question 1 ; l'égalité des intervalles teste la répartition ; la longueur totale referme la boucle. Il faut les trois.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Repartez uniquement des coordonnées calculées, jamais du gisement ni du pas : un contrôle qui réemprunte le chemin qu'il vérifie ne vérifie rien. Les distances entre piquets se calculent par Pythagore, comme n'importe quelle distance entre deux points.

Question 4 (Finale) : La fiche d'implantation depuis S1

Fiche d'implantation 25 min | BOSS

But de l'étape : Traduire trois couples de coordonnées en trois gestes d'opérateur. La station étant hors de l'alignement, chaque piquet se vise sous un angle différent : il n'y a aucun raccourci, chaque point demande son propre calcul complet.

Mention spéciale — le gisement de référence est lui aussi dans le deuxième quadrant : S2 est à l'est de S1 mais plus au sud. La correction de +200 gon s'applique donc une seconde fois — et cette fois sur la valeur qui commande les trois angles de la fiche.

Établir la fiche d'implantation des trois piquets depuis S1 orientée sur S2 : calculer d'abord \( G_{\text{S1-S2}} \), puis pour chaque piquet le gisement, la distance horizontale et l'angle à afficher. Vous présenterez un tableau exploitable tel quel et vérifierez la cohérence de l'ordre des angles avec le croquis.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les trois piquets sont au nord de la station et légèrement à l'est : \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y > 0 \), donc premier quadrant, aucune correction. La référence, elle, exige +200 gon : ne confondez pas les deux situations.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les trois gisements tomberont entre 9 et 60 gon, tandis que la référence dépasse 110 gon. Les soustractions donneront donc des résultats négatifs : il faudra ajouter 400 gon aux trois angles. Attendez-vous à des valeurs comprises entre 290 et 350 gon.

NOTE DE CALCULS

Implantation d'un alignement

Question 1 : Caractériser l'axe A-B

Dans la tête de l'ingénieur

"Je pose les deux différences avant tout. B est plus à l'est que A — bien —, mais il est aussi plus au sud. Donc \( \Delta Y \) est négatif, et je sais déjà que ma direction pointe vers le sud-est : mon gisement sera entre 100 et 200 gon. C'est un encadrement que je me donne avant de calculer, et qui vaut contrôle. Si la machine me sort 20 gon ou 300 gon, je saurai immédiatement que j'ai oublié la correction de quadrant — l'erreur numéro un de toute la topographie."

Observation : \( \Delta X = +130{,}40 \) m et \( \Delta Y = -45{,}20 \) m. Les signes sont contraires : c'est la signature du deuxième quadrant, celui où la correction vaut +200 gon.
Analyse du risque : l'arctangente d'une calculatrice ne rend qu'une valeur dans \( ]-100 ; +100[ \) gon. Elle est incapable de distinguer une direction de son opposée : c'est à l'opérateur, et à lui seul, de rétablir le quadrant.
Choix stratégique : je conserve quatre décimales de gon sur le gisement. Sur les 193 m de la plus longue visée, un centigon vaut déjà 3 cm — juste à la limite de la classe visée.
Alternative : employer la fonction \( \text{atan2}(\Delta X, \Delta Y) \) d'un tableur, qui gère seule le quadrant. Écartée en formation : savoir poser la correction à la main reste indispensable le jour où l'outil manque.
Objectif visé : deux nombres — une direction et une longueur — dont tout le reste de l'exercice dépendra.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( G_{\text{A-B}} = 121{,}2418 \) gon · \( D_{\text{A-B}} = 138{,}012 \) m

Rappel Théorique : le gisement dans le deuxième quadrant

Le gisement est l'angle, compté dans le sens horaire depuis l'axe des Y, sous lequel on voit une direction. Il varie de 0 à 400 gon et découpe le plan en quatre quadrants. Celui qui nous occupe ici — le deuxième, entre 100 et 200 gon — correspond aux directions sud-est : on avance vers l'est tout en descendant vers le sud. C'est aussi le premier quadrant où l'arctangente ment, et où il faut donc savoir la corriger.

Principe 1 — quatre quadrants, trois corrections : \( k = 0 \) au nord-est, \( k = 1 \) dès que \( \Delta Y \) est négatif, \( k = 2 \) au nord-ouest. Une seule règle à retenir : on regarde toujours \( \Delta Y \) en premier.
Principe 2 — pourquoi +200 et pas +400 : l'arctangente rend une valeur négative que l'on doit ramener dans la moitié « sud » du cercle. Ajouter un demi-tour suffit ; ajouter un tour complet renverrait dans la moitié nord, à l'opposé de la réalité.
Principe 3 — l'encadrement précède le calcul : savoir avant de calculer que le résultat sera entre 100 et 200 gon transforme le calcul en vérification. C'est le réflexe le moins coûteux et le plus efficace du métier.
Principe 4 — la distance ignore les quadrants : les coordonnées partielles y sont élevées au carré, leurs signes disparaissent. Aucune correction n'est jamais nécessaire sur une distance : c'est ce qui en fait un bon contrôle croisé.
Principe 5 — le rattachement conditionne tout : les quatre points doivent appartenir au même système, ici le RGF93 associé au Lambert-93 désigné par le décret n° 2000-1276 modifié. Sans ce rattachement commun, soustraire des coordonnées n'aurait aucun sens.

Équations Fondamentales

Deux relations, indépendantes l'une de l'autre : la première donne la direction et exige une correction de quadrant, la seconde donne la longueur et n'en exige aucune.

Gisement d'une direction définie par deux points :

Transforme un couple de coordonnées partielles en une direction absolue exprimée en gon.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est la seule passerelle entre le monde des coordonnées et celui des directions. Le terme \( k \cdot 200 \) n'est pas un artifice de présentation : il répare l'amputation que l'arctangente inflige au cercle en n'en restituant que la moitié.

Contexte de validité : calcul plan, dans une projection conforme. Sur 138 m, l'altération linéaire du Lambert-93 est sans effet mesurable.
Avantage : le gisement obtenu est indépendant de toute station. Il servira tel quel aux trois rayonnements de la question 2.
Paramètre clé : le signe de \( \Delta Y \). C'est lui, et lui seul, qui décide ici de la correction de +200 gon.
Vérification : \( \tan(G) \) doit restituer le rapport de départ. Contrôle en cinq secondes, qui détecte aussi bien une erreur de quadrant qu'un mauvais mode angulaire.
Limite : la formule explose si \( \Delta Y = 0 \). On conclut alors directement : 100 gon vers l'est, 300 gon vers l'ouest.

\[ G_{\text{A-B}} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + k \cdot 200^{\text{gon}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « de combien dois-je pivoter, en partant du Nord et en tournant comme les aiguilles d'une montre, pour regarder la borne B depuis la borne A ? » Le rapport \( \Delta X / \Delta Y \) est la pente de la visée dans le plan ; son signe négatif signale que l'on descend vers le sud tout en avançant vers l'est.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{A-B}} \) : gisement de l'alignement, compté depuis le Nord dans le sens horaire, unité : gon
\( \Delta X \) : coordonnée partielle en X, positive vers l'est, unité : m
\( \Delta Y \) : coordonnée partielle en Y, négative ici car B est au sud de A, unité : m
\( k \) : entier de correction de quadrant, valant 1 dans le cas présent, unité : sans dimension
\( 200^{\text{gon}} \) : demi-tour centésimal, équivalent de \( 180^{\circ} \), unité : gon

Distance horizontale entre deux points :

Fournit la longueur de l'alignement, dont dépendra tout le calcul du pas.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la répartition des piquets exige une longueur, pas seulement une direction. Et parce qu'une distance se vérifie à vue sur un plan, contrairement à un gisement : c'est le témoin de bon sens du calcul.

Contexte de validité : distance horizontale, dans le plan de projection. Elle ignore volontairement toute dénivelée entre les deux bornes.
Avantage : c'est un invariant : ni l'ordre des points, ni le quadrant, ni la convention angulaire ne peuvent l'altérer.
Paramètre clé : aucun terme dominant — les deux coordonnées partielles sont traitées symétriquement, et leurs signes disparaissent au carré.
Vérification : la distance doit être supérieure à la plus grande coordonnée partielle et inférieure à leur somme.
Limite : sur le terrain, l'instrument mesure une distance inclinée qu'il faut réduire à l'horizontale par l'angle zénithal avant toute comparaison.

\[ D_{\text{A-B}} = \sqrt{\Delta X^{2} + \Delta Y^{2}} \]

Que dit cette équation physiquement ? C'est Pythagore, tout simplement : l'alignement A-B est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont le déplacement vers l'est et le déplacement vers le sud.

Décomposition des termes :

\( D_{\text{A-B}} \) : longueur de l'alignement dans le plan de projection, unité : m
\( \Delta X^{2} \) : carré de la coordonnée partielle en X, toujours positif, unité : m²
\( \Delta Y^{2} \) : carré de la coordonnée partielle en Y, positif malgré le signe de \( \Delta Y \), unité : m²
La somme des carrés : carré de l'hypoténuse du triangle de visée, unité : m²
La racine carrée : retour à une longueur physique, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants oublient la correction de quadrant et retiennent la valeur brute de l'arctangente, soit −78,7582 gon. D'autres la corrigent mais ajoutent 400 au lieu de 200, et obtiennent 321,24 gon. Dans les deux cas, l'alignement part dans une direction totalement fausse..."

L'approche d'ingénieur : La correction ne se devine pas, elle se déduit des signes. Et l'encadrement posé avant le calcul la rend impossible à manquer.

L'erreur : traiter l'arctangente comme un résultat final. Elle n'est qu'un résultat partiel, valable seulement dans la moitié du cercle qu'elle sait décrire.
La bonne méthode : écrire les deux signes explicitement, en déduire le quadrant par la règle, puis seulement poser le calcul angulaire.
L'astuce de pro : s'imposer un encadrement préalable. Ici : « B est au sud-est de A, donc G est entre 100 et 200 gon ». Ni −78,76 ni 321,24 ne satisfont cet encadrement.
Le moyen mnémotechnique : « ΔY négatif, demi-tour ». Un seul signe à regarder, une seule correction à retenir.
L'impact direct : avec 321,24 gon au lieu de 121,24, les piquets partiraient exactement dans la direction opposée, du mauvais côté de la borne A — soit 138 m d'erreur sur le dernier point.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Mode de la calculatrice : impérativement GRAD (gon) — à tester par \( \sin(100) = 1 \).
Coordonnées : toutes en mètres , aucune conversion.
Rapport \( \Delta X / \Delta Y \) : quotient de deux mètres, donc sans dimension .
Correction de quadrant : en gon , valant ici 200 et non 400.
Distance : racine d'une somme de m², donc bien des mètres .

Nous procédons en quatre temps : les deux coordonnées partielles, la déduction du quadrant, le gisement, puis la distance. Chaque quantité occupe son propre bloc pour rester vérifiable isolément.

1. Résolution Numérique Coordonnées partielles et identification du quadrant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le quadrant se décide avant l'arctangente, jamais après. Poser les signes en premier, c'est s'interdire l'erreur la plus fréquente du métier.

Méthodologie du calcul :

On soustrait toujours l'origine à l'extrémité : la borne visée moins la borne de départ. L'ordre n'est pas indifférent — l'inverser calculerait le gisement opposé, décalé de 200 gon.

Substitution : \( X_{\text{B}} = 280{,}60 \) et \( X_{\text{A}} = 150{,}20 \) ; \( Y_{\text{B}} = 565{,}30 \) et \( Y_{\text{A}} = 610{,}50 \).
Piège évité : ne pas intervertir A et B. L'alignement se parcourt de A vers B, A est donc l'origine.
Hypothèse validée : les deux bornes appartiennent au même système de coordonnées, sans quoi la soustraction n'aurait pas de sens.
Vérification croisée : sur le croquis, B est bien en bas à droite de A — cohérent avec un \( \Delta X \) positif et un \( \Delta Y \) négatif.
Finalité : ces deux nombres alimentent à la fois le gisement et la distance.

a) La coordonnée partielle en X — le déplacement vers l'est. On avance de plus de cent trente mètres vers l'est. Le résultat est positif, ce qui élimine déjà la moitié ouest du cercle.

\[ \begin{aligned} \Delta X &= X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \\ &= 280{,}60 - 150{,}20 \\ &= \mathbf{+130{,}40} \text{ m} \end{aligned} \]

b) La coordonnée partielle en Y — le déplacement vers le nord. Ici le résultat est négatif : on ne monte pas vers le nord, on descend vers le sud de quarante-cinq mètres. C'est ce signe qui commande à lui seul la correction de quadrant.

\[ \begin{aligned} \Delta Y &= Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} \\ &= 565{,}30 - 610{,}50 \\ &= \mathbf{-45{,}20} \text{ m} \end{aligned} \]

c) La déduction du quadrant — la conclusion qui verrouille le calcul angulaire. Vers l'est et vers le sud : c'est le quadrant Sud-Est, celui des gisements compris entre 100 et 200 gon. La règle impose donc \( k = 1 \), soit une correction d'un demi-tour. Cette conclusion s'écrit avant le calcul, jamais après.

\[ \Delta X > 0 \; \text{ et } \; \Delta Y < 0 \;\; \Longrightarrow \;\; \text{quadrant Sud-Est} \;\; \Longrightarrow \;\; k = \mathbf{1} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le quadrant est tranché avant tout calcul angulaire. C'est la meilleure habitude que puisse prendre un étudiant en topographie.

Ordre de grandeur : une limite de propriété de l'ordre de 140 m — dimension parfaitement banale pour une clôture communale.
Impact sur la suite : avec \( k = 1 \), il faudra ajouter 200 gon au résultat brut de l'arctangente. C'est la seule opération de la question où l'on peut réellement se tromper.
Cohérence : \( |\Delta X| \) vaut environ 2,9 fois \( |\Delta Y| \) : la direction est bien plus « est » que « sud », ce qui annonce un gisement plus proche de 100 que de 200 gon.
Attention : notez le signe négatif explicitement. C'est en le laissant tomber qu'on aboutit à un gisement de 78,76 gon, plausible en apparence et faux de 42 gon.
Comparaison : par rapport aux normes, ces coordonnées doivent être exprimées en RGF93 / Lambert-93 conformément au décret n° 2000-1276 modifié — condition de validité de tout le calcul plan.

Remarque pédagogique : Écrire les signes avec leur « + » ou leur « − », même quand ils paraissent évidents, est une discipline d'écriture qui paraît excessive jusqu'au jour où un \( \Delta Y \) négatif passe inaperçu et fait basculer tout un cheminement.

Calcul du gisement de l'alignement

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le résultat central de la question : la direction qui servira aux trois rayonnements de la question 2 et à laquelle se rapportera tout contrôle de rectitude.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport, on en prend l'arctangente en mode GRAD, puis on ajoute la correction de quadrant établie ci-dessus. Le résultat est conservé à quatre décimales, précision usuelle des carnets de terrain.

Substitution : \( \Delta X = +130{,}40 \) m et \( \Delta Y = -45{,}20 \) m, soit un rapport de −2,884956.
Piège évité : le mode angulaire. En degrés, la même arctangente donnerait −70,88°, un nombre qui ressemble à un angle mais n'est pas un gisement.
Hypothèse validée : \( \Delta Y \neq 0 \), la division est licite et l'arctangente définie.
Vérification croisée : \( \tan(121{,}2418 \text{ gon}) \) doit redonner −2,885. Ce contrôle inverse détecte à la fois l'erreur de mode et l'erreur de quadrant.
Finalité : fournir la direction unique de tous les rayonnements de l'exercice.

\[ \begin{aligned} G_{\text{A-B}} &= \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + k \cdot 200 \\ &= \arctan\left(\frac{+130{,}40}{-45{,}20}\right) + 200 \\ &= \arctan(-2{,}884956) + 200 \\ &= -78{,}7582 + 200 \\ &= \mathbf{121{,}2418} \text{ gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

121,24 gon : une direction qui vient de dépasser l'Est et commence à descendre vers le sud. Exactement ce qu'annonçait l'encadrement.

Ordre de grandeur : la valeur tombe bien dans l'intervalle \( ]100 ; 200[ \) gon prédit à la lecture des signes
Impact sur la suite : ce gisement servira trois fois en question 2, à l'identique. Une erreur ici déplacerait les trois piquets ensemble, sans rompre leur alignement.
Cohérence : l'écart à 100 gon vaut 21,24 gon : la direction n'est qu'à un cinquième de quadrant au sud de l'Est, ce qui colle au rapport de 2,9 entre les deux coordonnées partielles.
Attention : conserver quatre décimales n'est pas de la coquetterie : arrondi au centigon, le gisement induirait déjà 3 cm d'écart sur la plus longue visée de la question 4.
Comparaison : par rapport aux normes, la classe [2] cm visée au titre de l'arrêté du 16 septembre 2003 autorise un écart moyen de \( 2 \times 1{,}125 = 2{,}25 \) cm. Une troncature du gisement en consommerait une part inutile.

Remarque pédagogique : Prenez l'habitude de vérifier par la tangente inverse. C'est le seul contrôle qui détecte à coup sûr, et en une seule opération, une calculatrice restée en degrés et une correction de quadrant manquée.

Calcul de la longueur de l'alignement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la répartition des piquets en dépend directement : le pas d'implantation est cette longueur divisée par le nombre d'intervalles.

Méthodologie du calcul :

Application directe de Pythagore sur les deux coordonnées partielles déjà établies. Aucune donnée nouvelle n'entre dans ce calcul, et aucune correction de quadrant ne s'y applique.

Substitution : \( 130{,}40^{2} = 17004{,}1600 \) m² et \( 45{,}20^{2} = 2043{,}0400 \) m².
Piège évité : le signe négatif de \( \Delta Y \) disparaît au carré. Le conserver dans la somme serait une faute grossière mais fréquente en saisie.
Hypothèse validée : calcul plan, donc distance horizontale — c'est bien celle que l'on reporte sur un plan et que l'instrument affiche après réduction.
Vérification croisée : encadrement \( 130{,}40 < D < 175{,}60 \) : la distance doit dépasser le plus grand côté sans atteindre la somme des deux.
Finalité : fournir le numérateur du pas d'implantation.

\[ \begin{aligned} D_{\text{A-B}} &= \sqrt{(\Delta X)^{2} + (\Delta Y)^{2}} \\ &= \sqrt{(+130{,}40)^{2} + (-45{,}20)^{2}} \\ &= \sqrt{17004{,}1600 + 2043{,}0400} \\ &= \sqrt{19047{,}2000} \\ &= \mathbf{138{,}012} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

138 mètres de clôture : une longueur tout à fait ordinaire pour une limite de terrain, et parfaitement compatible avec le croquis.

Ordre de grandeur : l'encadrement annoncé est vérifié : 130,40 < 138,012 < 175,60
Impact sur la suite : divisée par les deux intervalles, elle donnera un pas d'environ 69 m — soit un piquet tous les soixante-neuf mètres.
Cohérence : contrôle par une autre voie : \( \Delta X / \sin(121{,}2418) = 130{,}40 / 0{,}944848 = 138{,}01 \) m. Deux chemins, un seul résultat : le gisement est confirmé du même coup.
Attention : cette distance est horizontale. Si le terrain est en pente, la longueur de clôture réellement posée sera un peu supérieure — à ne pas oublier au métré.
Comparaison : par rapport aux normes, une distance de 138 m se mesure couramment au millimètre à la station totale : très largement dans la classe [2] cm visée.

Remarque pédagogique : Le double calcul de la distance — par Pythagore puis par \( \Delta X / \sin G \) — est le contrôle le plus efficace d'un gisement. Si les deux valeurs concordent, la direction est nécessairement juste, correction de quadrant comprise.

LECTURE DU RÉSULTAT

L'axe est caractérisé. Le dessin montre l'arc du gisement, ouvert depuis le Nord Lambert et refermé sur la direction de la clôture, dans le sens des aiguilles d'une montre. Observez qu'il dépasse le quart de cadran : c'est la signature visuelle du deuxième quadrant, celui qui exige la correction de 200 gon.

Deux choses se lisent directement sur ce dessin. D'abord, l'arc franchit l'horizontale passant par A : la direction est descendue sous le niveau de la borne de départ, ce qui est la traduction géométrique d'un \( \Delta Y \) négatif. Ensuite, l'alignement est bien l'hypoténuse du triangle formé par les deux cotes : c'est pourquoi il mesure 138,012 m, valeur nécessairement comprise entre 130,40 m et la somme 175,60 m.

RÉSULTAT FINAL

\( G_{\text{A-B}} \) = 121,2418 gon — D = 138,012 m

"Direction sud-est confirmée et longueur contrôlée : ce résultat sera crucial pour l'étape suivante !"

Question 2 : Répartir les trois piquets

Dans la tête de l'ingénieur

"Trois piquets, deux intervalles. Je dessine trois points sur une ligne et je compte les segments : deux. C'est le genre de vérification qui prend une seconde et évite une faute de 50 %. Ensuite, je me pose la vraie question de méthode : est-ce que je calcule P3 depuis P2, ou depuis A ? Depuis A, toujours. Calculer de proche en proche revient à empiler les arrondis, alors que repartir de l'origine avec la bonne abscisse curviligne les évite tous."

Observation : \( N = 3 \) piquets ne délimitent que \( N - 1 = \mathbf{2} \) intervalles. Le pas vaut donc la longueur totale divisée par deux, et non par trois.
Analyse du risque : diviser par \( N \) donnerait un pas de 46 m et placerait le dernier piquet bien avant la borne B. L'erreur se verrait sur le terrain — mais après avoir planté les piquets.
Choix stratégique : je rayonne les trois piquets depuis A, avec des abscisses curvilignes de 0, un pas et deux pas. Le gisement, lui, est le même pour les trois : c'est la définition même d'un alignement.
Alternative : calculer P2 comme milieu du segment A-B, par simple moyenne des coordonnées. Beaucoup plus rapide, et parfaitement juste ici — mais écartée, car elle ne fonctionnerait plus avec quatre piquets ou plus, et surtout elle court-circuite la notion d'abscisse curviligne qui est le vrai sujet de la question.
Objectif visé : trois points dont je puisse démontrer qu'ils sont alignés et équidistants — ce sera l'objet de la question suivante.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

P1 ( 150,200 ; 610,500 ) · P2 ( 215,400 ; 587,900 ) · P3 ( 280,600 ; 565,300 )

Rappel Théorique : l'abscisse curviligne, ou comment repérer un point sur une ligne

Sur un ouvrage linéaire — route, voie ferrée, canalisation, clôture —, on ne repère jamais un point par ses coordonnées mais par son abscisse curviligne : la distance parcourue depuis l'origine du projet, le long de l'axe. C'est la logique des points kilométriques que l'on voit sur les autoroutes. Un point du projet est ainsi défini par un seul nombre au lieu de deux, et le passage à ses coordonnées se fait par un rayonnement depuis l'origine, avec le gisement de l'axe.

Principe 1 — N piquets, N−1 intervalles : c'est le problème des poteaux et des barrières. Trois poteaux ne tiennent que deux travées. Comptez toujours les segments, jamais les points.
Principe 2 — un seul gisement pour tout l'alignement : tous les points d'une droite sont vus depuis l'origine sous la même direction. Seule l'abscisse curviligne change d'un piquet à l'autre.
Principe 3 — rayonner depuis l'origine, jamais de proche en proche : calculer P3 depuis P2 hériterait de l'arrondi de P2. Repartir de A à chaque fois découple les erreurs au lieu de les cumuler.
Principe 4 — le premier piquet a une abscisse nulle : \( s_{\text{1}} = 0 \), donc P1 est confondu avec l'origine. Ce n'est pas un cas particulier à traiter à part, c'est la formule générale appliquée à \( n = 1 \).
Principe 5 — le dernier piquet tombe sur la borne d'arrivée : \( s_{\text{3}} = 2e = D_{\text{A-B}} \), donc P3 coïncide avec B. Cette conséquence n'est pas une coïncidence heureuse : c'est un contrôle offert par l'énoncé, que la question 3 exploitera.

Équations Fondamentales

Trois relations : celle qui donne le pas, puis les deux composantes du rayonnement, appliquées à chaque abscisse curviligne.

Pas d'implantation :

Donne l'espacement constant entre deux piquets consécutifs.

Pourquoi cette formule ?

Parce que « équidistants » signifie intervalles égaux, et que ce sont les intervalles — pas les piquets — qui se partagent la longueur. Le dénominateur \( N - 1 \) n'est pas une subtilité : c'est le cœur de la formule.

Contexte de validité : valable quand le premier et le dernier piquet coïncident avec les extrémités de l'axe. Si l'on voulait des piquets en retrait, il faudrait retrancher les marges d'abord.
Avantage : elle ne dépend pas du gisement. Le pas peut donc être calculé indépendamment de toute erreur de direction.
Paramètre clé : le dénominateur. C'est le seul endroit de l'exercice où une erreur de raisonnement — et non de calcul — est réellement possible.
Vérification : \( (N-1) \times e \) doit restituer exactement la longueur totale de l'axe.
Limite : en projet routier, les points ne sont pas toujours équidistants : ils sont fixés par leur abscisse curviligne propre, et cette formule ne s'applique plus.

\[ e = \frac{D_{\text{A-B}}}{N - 1} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « partage la longueur en autant de morceaux qu'il y a d'intervalles » . C'est exactement le geste de celui qui pose une clôture : il ne compte pas ses poteaux, il compte les travées entre eux.

Décomposition des termes :

\( e \) : pas d'implantation, espacement constant entre deux piquets voisins, unité : m
\( D_{\text{A-B}} \) : longueur totale de l'alignement, calculée en question 1, unité : m
\( N \) : nombre de piquets à implanter, ici 3, unité : sans dimension
\( N - 1 \) : nombre d'intervalles, ici 2 — le diviseur qu'il faut employer, unité : sans dimension
Le produit \( (N-1) \cdot e \) : longueur totale reconstituée, contrôle immédiat de la formule, unité : m

Rayonnement — abscisse du piquet n :

Donne la position est-ouest d'un piquet à partir de son abscisse curviligne.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle traduit une distance le long de l'axe en une position dans le repère de projection. Le gisement y est constant : c'est ce qui garantit mécaniquement l'alignement des trois points.

Contexte de validité : abscisse curviligne mesurée depuis A, et gisement exprimé dans le même système que les coordonnées.
Avantage : en changeant la seule valeur de \( s_{n} \), on obtient autant de piquets qu'on veut sans jamais recalculer de direction.
Paramètre clé : le sinus du gisement, ici proche de 0,945. La composante est-ouest absorbera donc l'essentiel de chaque déplacement.
Vérification : appliquée à \( s = D_{\text{A-B}} \), la formule doit restituer exactement l'abscisse de B.
Limite : elle suppose l'axe rectiligne. Sur un tracé courbe, l'abscisse curviligne suit l'arc et le gisement varie en chaque point.

\[ X_{n} = X_{\text{A}} + s_{n} \cdot \sin\left(G_{\text{A-B}}\right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « après avoir parcouru \( s_{n} \) mètres le long de la clôture, de combien me suis-je déplacé vers l'est ? » Comme le sinus vaut ici 0,945, la réponse est : presque tout le parcours.

Décomposition des termes :

\( X_{n} \) : abscisse du piquet de rang n, unité : m
\( X_{\text{A}} \) : abscisse de l'origine de l'alignement, unité : m
\( s_{n} \) : abscisse curviligne du piquet, distance parcourue depuis A, unité : m
\( \sin(G_{\text{A-B}}) \) : part du déplacement portée par l'axe des X, positive ici, unité : sans dimension
Le gisement, constant : identique pour les trois piquets — c'est ce qui définit un alignement, unité : gon

Rayonnement — ordonnée du piquet n :

Donne la position nord-sud du même piquet.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une position exige deux nombres. Et parce que le cosinus est ici négatif : chaque piquet sera plus au sud que le précédent, ce qui est la conséquence directe du quadrant établi en question 1.

Contexte de validité : identique à la précédente — même origine, même gisement, même abscisse curviligne. Seul l'axe de projection change.
Avantage : associée à la première, elle permet un contrôle immédiat par Pythagore : les deux composantes doivent restituer l'abscisse curviligne.
Paramètre clé : le signe du cosinus. Le forcer en positif ferait remonter les piquets vers le nord et retournerait tout l'alignement.
Vérification : \( \sin^{2} + \cos^{2} = 0{,}892738 + 0{,}107262 = 1{,}000000 \)
Limite : purement planimétrique. L'altitude des piquets relèverait d'un nivellement distinct, non demandé ici.

\[ Y_{n} = Y_{\text{A}} + s_{n} \cdot \cos\left(G_{\text{A-B}}\right) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « et de combien suis-je descendu vers le sud ? » Le cosinus étant négatif, le terme ajouté est négatif : les ordonnées diminuent à mesure qu'on progresse le long de la clôture.

Décomposition des termes :

\( Y_{n} \) : ordonnée du piquet de rang n, unité : m
\( Y_{\text{A}} \) : ordonnée de l'origine de l'alignement, unité : m
\( s_{n} \) : même abscisse curviligne que dans l'équation précédente, unité : m
\( \cos(G_{\text{A-B}}) \) : part du déplacement portée par l'axe des Y, négative ici, unité : sans dimension
Le rapport \( \sin / \cos \) : tangente du gisement, égale à −2,885, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants divisent la longueur par le nombre de piquets au lieu du nombre d'intervalles, et obtiennent un pas de 46,00 m au lieu de 69,01 m. Le dernier piquet se retrouve alors à 92 m de A, soit 46 mètres avant la borne B..."

L'approche d'ingénieur : C'est le classique problème des poteaux et des barrières. Il ne se résout pas par une formule mais par un dessin — trois points, deux segments.

L'erreur : confondre les objets à placer et les espaces entre eux. Ce sont les espaces qui se partagent la longueur.
La bonne méthode : dessiner les piquets sur une ligne et compter les segments avant d'écrire quoi que ce soit. Trois piquets, deux intervalles ; dix piquets, neuf intervalles.
L'astuce de pro : vérifier par la réciproque : le pas multiplié par le nombre d'intervalles doit redonner la longueur totale. Ici \( 2 \times 69{,}0058 = 138{,}0116 \) m
Le moyen mnémotechnique : « on compte les travées, pas les poteaux ».
L'impact direct : le dernier piquet ne tomberait pas sur la borne B, et la clôture s'arrêterait 46 m avant la limite de propriété. L'erreur serait heureusement détectée par le contrôle de la question 3 — à condition de le mener.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Diviseur du pas : N − 1 = 2 , grandeur sans dimension.
Abscisses curvilignes : en mètres , valant 0, un pas et deux pas.
Lignes trigonométriques : reprises de la question 1 à six décimales .
Produits \( s_{n} \times \sin G \) : mètre × sans dimension = mètre .
Coordonnées finales : arrondies au millimètre , calculs menés sans arrondi intermédiaire.

Nous procédons en quatre temps : le pas d'implantation, les lignes trigonométriques du gisement, puis les coordonnées de P2 et celles de P3. Le piquet P1 ne demande aucun calcul, son abscisse curviligne étant nulle.

1. Résolution Numérique Le pas d'implantation et les abscisses curvilignes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le seul endroit de l'exercice où une erreur de raisonnement — et non de calcul — peut passer inaperçue jusqu'au terrain.

Méthodologie du calcul :

On divise la longueur totale par le nombre d'intervalles, puis on en déduit les trois abscisses curvilignes. Le pas est conservé à quatre décimales pour ne pas polluer les rayonnements.

Substitution : \( D_{\text{A-B}} = 138{,}0116 \) m et \( N - 1 = 2 \).
Piège évité : diviser par 2 et non par 3. Trois piquets, deux travées.
Hypothèse validée : le premier piquet est confondu avec A et le dernier avec B — c'est ce qui autorise à partager la totalité de la longueur.
Vérification croisée : \( 2 \times 69{,}0058 = 138{,}0116 \) m, soit exactement la longueur de départ.
Finalité : fournir les trois abscisses curvilignes des rayonnements qui suivent.

\[ \begin{aligned} e &= \frac{D_{\text{A-B}}}{N - 1} \\ &= \frac{138{,}0116}{3 - 1} \\ &= \frac{138{,}0116}{2} \\ &= \mathbf{69{,}0058} \text{ m} \end{aligned} \]

L'abscisse curviligne du premier piquet. Elle se déduit du pas par la relation \( s_{n} = (n-1) \cdot e \). Pour \( n = 1 \), le facteur est nul : le premier piquet reste à l'origine, donc confondu avec la borne A. Ce n'est pas un cas particulier, c'est la formule générale.

\[ \begin{aligned} s_{\text{1}} &= (1 - 1) \times e \\ &= 0 \times 69{,}0058 \\ &= \mathbf{0{,}0000} \text{ m} \end{aligned} \]

L'abscisse curviligne du deuxième piquet. Un pas parcouru depuis l'origine. C'est le seul des trois piquets qui soit réellement nouveau sur le terrain, les deux autres tombant sur des bornes existantes.

\[ \begin{aligned} s_{\text{2}} &= (2 - 1) \times e \\ &= 1 \times 69{,}0058 \\ &= \mathbf{69{,}0058} \text{ m} \end{aligned} \]

L'abscisse curviligne du troisième piquet. Deux pas, soit la longueur totale de l'axe. Retenez ce point : c'est lui qui fonde le contrôle de la question 3, puisque le piquet devra tomber sur la borne B.

\[ \begin{aligned} s_{\text{3}} &= (3 - 1) \times e \\ &= 2 \times 69{,}0058 \\ &= \mathbf{138{,}0116} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un piquet tous les 69 mètres : espacement large, cohérent avec un simple jalonnement de limite de propriété. Pour une clôture réelle, on densifierait bien davantage.

Ordre de grandeur : \( 2 \times 69{,}0058 = 138{,}0116 \) m — la longueur totale est exactement reconstituée
Impact sur la suite : \( s_{\text{3}} \) valant la longueur totale, le troisième piquet tombera nécessairement sur la borne B.
Cohérence : la formule appliquée à \( n = 1 \) donne bien \( s_{\text{1}} = 0 \) : P1 est confondu avec A sans qu'il faille traiter ce cas à part.
Attention : ne pas arrondir le pas à 69,01 m. L'écart de 4 dixièmes de millimètre, doublé, fausserait la coïncidence de P3 avec B et brouillerait le contrôle.
Comparaison : par rapport aux normes, ce calcul est purement arithmétique : son erreur est nulle, et tout le budget de la classe [2] cm reste disponible pour les mesures de terrain.

Remarque pédagogique : Traiter P1 par la formule générale plutôt que comme un cas particulier est une bonne habitude : elle évite les exceptions, et donc les oublis, quand le nombre de piquets augmente.

Les lignes trigonométriques de l'alignement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ces deux nombres serviront aux deux rayonnements, le gisement étant le même pour tout l'alignement. Les établir une fois évite de les recalculer et sécurise la cohérence des piquets entre eux.

Méthodologie du calcul :

On évalue sinus et cosinus du gisement en mode grades, à six décimales. Le gisement étant dans le deuxième quadrant, on attend un sinus positif et un cosinus négatif.

Substitution : \( G_{\text{A-B}} = 121{,}2418 \) gon, valeur non arrondie de la question 1.
Piège évité : ne pas « corriger » le signe négatif du cosinus. Il porte l'information que l'alignement descend vers le sud.
Hypothèse validée : un gisement entre 100 et 200 gon a bien un sinus positif et un cosinus négatif.
Vérification croisée : la somme des carrés doit valoir 1, et le rapport \( \sin / \cos \) doit redonner −2,885.
Finalité : alimenter les quatre coordonnées à calculer.

\[ \sin(121{,}2418 \text{ gon}) = \mathbf{+0{,}944848} \]

Et la seconde ligne trigonométrique. Négative, comme annoncé. Notez que sa valeur absolue est nettement plus petite que celle du sinus : la clôture progresse bien plus vers l'est qu'elle ne descend vers le sud.

\[ \cos(121{,}2418 \text{ gon}) = \mathbf{-0{,}327509} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Ces deux valeurs sont les seules que nous emploierons pour les deux rayonnements. Toute troisième valeur qui apparaîtrait signalerait une erreur.

Ordre de grandeur : \( 0{,}944848^{2} + 0{,}327509^{2} = 0{,}892738 + 0{,}107262 = 1{,}000000 \)
Impact sur la suite : chaque mètre parcouru le long de la clôture se traduira par 94 cm vers l'est et 33 cm vers le sud.
Cohérence : \( 0{,}944848 / (-0{,}327509) = -2{,}885 \), exactement le rapport \( \Delta X / \Delta Y \) de la question 1. La boucle se referme.
Attention : la version fautive de cet exercice annonçait 0,991 et −0,131. Ces valeurs ne correspondent à aucun gisement plausible ici, et leur somme des carrés ne vaut même pas 1.
Comparaison : par rapport aux normes, six décimales garantissent une erreur de calcul de l'ordre du micromètre sur 138 m — sans commune mesure avec la classe [2] cm visée.

Remarque pédagogique : Le contrôle \( \sin^{2} + \cos^{2} = 1 \) coûte cinq secondes et détecte instantanément une valeur mal recopiée ou une calculatrice restée en degrés. Il devrait accompagner toute évaluation de lignes trigonométriques.

Les coordonnées des trois piquets

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le livrable de la question : trois couples de coordonnées, obtenus chacun par un rayonnement indépendant depuis l'origine.

Méthodologie du calcul :

Chaque piquet est traité séparément, avec son abscisse curviligne propre et le gisement commun. P1 ne demande aucun calcul : son abscisse curviligne étant nulle, il est confondu avec A.

Substitution : \( A(150{,}20 ; 610{,}50) \), \( s_{\text{2}} = 69{,}0058 \) m et \( s_{\text{3}} = 138{,}0116 \) m.
Piège évité : rayonner P3 depuis A et non depuis P2. L'enchaînement de proche en proche cumulerait les arrondis.
Hypothèse validée : les deux composantes seront de signes contraires : abscisse croissante, ordonnée décroissante.
Vérification croisée : les accroissements de P3 doivent valoir exactement le double de ceux de P2.
Finalité : livrer les trois points aux contrôles de la question 3.

a) Le piquet P1. Son abscisse curviligne est nulle : les deux termes ajoutés sont donc nuls, et le piquet est confondu avec la borne A. Aucun calcul n'est nécessaire, mais la position doit figurer au tableau final.

\[ \begin{aligned} \text{P1} &= \text{A} + 0 \\ &= (\mathbf{150{,}200} \; ; \; \mathbf{610{,}500}) \text{ m} \end{aligned} \]

b) L'abscisse du piquet P2. Un pas parcouru, soit 69 m de clôture. Le sinus valant 0,945, la progression vers l'est atteint 65,20 m — l'essentiel du parcours.

\[ \begin{aligned} X_{\text{P2}} &= X_{\text{A}} + s_{\text{2}} \cdot \sin(G_{\text{A-B}}) \\ &= 150{,}20 + 69{,}0058 \times 0{,}944848 \\ &= 150{,}20 + 65{,}2000 \\ &= \mathbf{215{,}400} \text{ m} \end{aligned} \]

c) L'ordonnée du piquet P2. Le cosinus étant négatif, le terme ajouté l'est aussi : l'ordonnée diminue de 22,60 m. Le piquet est donc plus au sud que la borne A, conformément au quadrant.

\[ \begin{aligned} Y_{\text{P2}} &= Y_{\text{A}} + s_{\text{2}} \cdot \cos(G_{\text{A-B}}) \\ &= 610{,}50 + 69{,}0058 \times (-0{,}327509) \\ &= 610{,}50 - 22{,}6000 \\ &= \mathbf{587{,}900} \text{ m} \end{aligned} \]

d) L'abscisse du piquet P3. Deux pas parcourus, soit la longueur totale de l'axe. L'accroissement, 130,40 m, est exactement le double de celui de P2 — et exactement le \( \Delta X \) de la question 1.

\[ \begin{aligned} X_{\text{P3}} &= X_{\text{A}} + s_{\text{3}} \cdot \sin(G_{\text{A-B}}) \\ &= 150{,}20 + 138{,}0116 \times 0{,}944848 \\ &= 150{,}20 + 130{,}4000 \\ &= \mathbf{280{,}600} \text{ m} \end{aligned} \]

e) L'ordonnée du piquet P3. Même logique sur l'autre axe : l'accroissement vaut −45,20 m, là encore le double de celui de P2 et le \( \Delta Y \) exact de la question 1.

\[ \begin{aligned} Y_{\text{P3}} &= Y_{\text{A}} + s_{\text{3}} \cdot \cos(G_{\text{A-B}}) \\ &= 610{,}50 + 138{,}0116 \times (-0{,}327509) \\ &= 610{,}50 - 45{,}2000 \\ &= \mathbf{565{,}300} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les trois piquets sont posés. Le lecteur attentif aura remarqué que les coordonnées de P3 reproduisent celles de la borne B — c'est le contrôle que la question suivante va exploiter.

Ordre de grandeur : les accroissements de P3, \( +130{,}40 \) et \( -45{,}20 \) m, sont exactement le double de ceux de P2
Impact sur la suite : ces trois couples alimentent à la fois les contrôles de la question 3 et la fiche d'implantation de la question 4.
Cohérence : P2 se trouve être le milieu du segment A-B : \( (150{,}20 + 280{,}60)/2 = 215{,}40 \) et \( (610{,}50 + 565{,}30)/2 = 587{,}90 \). Voie de calcul entièrement différente, résultat identique.
Attention : cette égalité avec le milieu est propre au cas de trois piquets. Avec quatre piquets, aucun ne tomberait sur le milieu, et le contrôle disparaîtrait.
Comparaison : par rapport aux normes, les coordonnées restent exprimées en RGF93 / Lambert-93 conformément au décret n° 2000-1276 modifié : le rayonnement ne change pas de système de référence.

Remarque pédagogique : Le fait que P2 soit le milieu de A-B n'est pas un contrôle indépendant — c'est une conséquence arithmétique de la répartition. Un vrai contrôle emprunte un autre chemin : c'est ce que fait la question suivante en repartant des coordonnées finales.

LECTURE DU RÉSULTAT

Les trois piquets sont en place sur l'alignement. Le dessin porte les abscisses curvilignes sous l'axe et les coordonnées de chaque point. Observez que les deux intervalles sont dessinés à la même longueur : c'est la traduction visuelle de l'équidistance, que la question suivante va chiffrer.

Une remarque qui prépare la suite : le troisième piquet se trouve exactement à l'abscisse curviligne 138,0116 m, c'est-à-dire à la longueur totale de l'axe. Il tombe donc sur la borne B, dont les coordonnées sont données par l'énoncé. Nous disposons ainsi d'une valeur de référence extérieure au calcul — la matière première de tout contrôle sérieux.

RÉSULTAT FINAL

P2 = ( 215,400 ; 587,900 ) m — P3 = ( 280,600 ; 565,300 ) m

"Trois piquets répartis au pas de 69,0058 m : ce résultat sera crucial pour l'étape suivante !"

Question 3 : Contrôler rectitude et équidistance

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai trois points. Rien ne prouve encore qu'ils sont justes : ils sont cohérents avec ma méthode, ce qui est très différent. Mais cet énoncé me fait un cadeau que je serais fou de refuser : mon dernier piquet doit tomber sur une borne dont les coordonnées me sont données. C'est une valeur de référence qui n'est jamais entrée dans mes calculs — donc un juge parfaitement légitime. Je vais m'en servir, puis vérifier séparément l'espacement, parce que ces deux propriétés — être alignés et être équidistants — sont indépendantes."

Observation : les coordonnées de B n'ont servi qu'une fois, en question 1, pour calculer le gisement et la distance. Les retrouver en sortie de la question 2 valide donc toute la chaîne.
Analyse du risque : trois points parfaitement alignés peuvent être mal répartis, et trois points bien espacés peuvent ne pas être alignés. Un seul contrôle ne couvre jamais les deux défauts.
Choix stratégique : je calcule les distances à partir des coordonnées finales, jamais à partir du gisement ni du pas. Réutiliser le chemin que l'on vérifie rend le contrôle circulaire, donc muet.
Alternative : recalculer les gisements P1-P2 et P2-P3 et vérifier qu'ils sont égaux. Contrôle valable de la rectitude, mais aveugle à l'espacement — et plus long que trois distances.
Objectif visé : pouvoir écrire, chiffres à l'appui, que le dernier piquet tombe sur la borne au millimètre et que les deux intervalles sont rigoureusement égaux.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Écart P3 / B : 0,000 m · Intervalles : 69,0058 m et 69,0058 m · Total : 138,0116 m

Rappel Théorique : rectitude et équidistance, deux propriétés à contrôler séparément

Un alignement implanté doit satisfaire deux exigences distinctes. La première est la rectitude : tous les piquets appartiennent à une même droite. La seconde est l'équidistance : ils y sont régulièrement espacés. Ces deux propriétés sont logiquement indépendantes, et c'est la raison pour laquelle un contrôle unique ne suffit jamais. Sur le terrain, la première se vérifie à l'œil par superposition dans la lunette, la seconde au décamètre — deux gestes, deux outils, deux risques couverts.

Principe 1 — un contrôle doit être indépendant : il atteint la même grandeur par un autre chemin, ou la compare à une valeur connue d'avance. Tout le reste n'est que réécriture du calcul initial.
Principe 2 — la coïncidence avec la borne teste la chaîne entière : elle met en jeu le gisement et la distance de la question 1, ainsi que le pas de la question 2. Un écart non nul condamne l'ensemble.
Principe 3 — l'égalité des intervalles teste la répartition : elle est insensible à une erreur de gisement, qui déplacerait les trois piquets sans rompre leur régularité.
Principe 4 — la somme des intervalles referme la boucle : \( d_{\text{12}} + d_{\text{23}} \) doit restituer \( d_{\text{13}} \), ce qui n'est vrai que si les trois points sont effectivement alignés — pour trois points quelconques, l'inégalité triangulaire serait stricte.
Principe 5 — un contrôle non calculé n'existe pas : écrire « OK » à côté d'une valeur qu'on n'a pas produite est une faute professionnelle. Un procès-verbal d'implantation engage son signataire.

Équations Fondamentales

Deux relations, une par contrôle. La première compare une position calculée à une position donnée ; la seconde compare deux longueurs entre elles.

Écart de coïncidence entre le dernier piquet et la borne :

Mesure de combien le calcul manque le point de référence fourni par l'énoncé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'énoncé fournit une vérité extérieure : les coordonnées de B. Confronter le dernier piquet à cette vérité est le contrôle le plus puissant dont on dispose, puisqu'il met en cause tout ce qui a été calculé avant.

Contexte de validité : valable ici parce que le dernier piquet a une abscisse curviligne égale à la longueur totale. Avec un piquet en retrait, ce contrôle disparaîtrait.
Avantage : il teste d'un seul coup le gisement, la distance et le pas — trois résultats pour une seule vérification.
Paramètre clé : la valeur de référence, qui doit provenir de l'énoncé et non d'un calcul intermédiaire.
Vérification : l'écart doit rester inférieur au millimètre. Au-delà, il ne s'agit plus d'arrondis mais d'une erreur à localiser.
Limite : il ne dit rien de la répartition intermédiaire. P2 pourrait être n'importe où sur l'axe sans que ce contrôle bronche.

\[ \varepsilon = \sqrt{\left(X_{\text{P3}} - X_{\text{B}}\right)^{2} + \left(Y_{\text{P3}} - Y_{\text{B}}\right)^{2}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « à quelle distance de la borne mon dernier piquet est-il tombé ? » C'est exactement le geste de l'opérateur qui, après avoir implanté son dernier point, mesure l'écart au repère existant.

Décomposition des termes :

\( \varepsilon \) : écart de coïncidence entre le piquet calculé et la borne donnée, unité : m
\( X_{\text{P3}}, Y_{\text{P3}} \) : coordonnées issues du rayonnement de la question 2, unité : m
\( X_{\text{B}}, Y_{\text{B}} \) : coordonnées de la borne, données par l'énoncé — la référence, unité : m
Les deux différences : écarts partiels sur chaque axe, analysables séparément, unité : m
La racine carrée : combine les deux écarts en une distance unique, comparable à une tolérance, unité : m

Distance entre deux piquets consécutifs :

Permet de comparer les intervalles entre eux et à la valeur théorique du pas.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle repart uniquement des coordonnées finales, sans jamais réemployer le gisement ni le pas. C'est cette indépendance qui lui donne valeur de preuve, et non la formule elle-même, qui n'est que Pythagore.

Contexte de validité : applicable à n'importe quel couple de points, alignés ou non. C'est justement ce qui permet de tester l'alignement.
Avantage : elle est insensible aux quadrants et aux unités angulaires : aucune convention ne peut la fausser.
Paramètre clé : la provenance des coordonnées. Employer les valeurs arrondies au millimètre, comme le ferait un vérificateur extérieur, est ici la bonne pratique.
Vérification : la somme des deux intervalles doit égaler la distance des extrémités — propriété vraie uniquement si les trois points sont alignés.
Limite : deux intervalles égaux ne garantissent pas l'alignement : trois points formant un triangle isocèle les auraient aussi. D'où l'intérêt du troisième contrôle.

\[ d_{i,j} = \sqrt{\left(X_{j} - X_{i}\right)^{2} + \left(Y_{j} - Y_{i}\right)^{2}} \]

Que dit cette équation physiquement ? C'est le décamètre tendu entre deux piquets . Sur le terrain, le contrôle d'équidistance se fait exactement ainsi, sans instrument : on mesure les deux travées et l'on vérifie qu'elles donnent la même lecture.

Décomposition des termes :

\( d_{i,j} \) : distance entre les piquets de rangs i et j, unité : m
\( X_{j} - X_{i} \) : coordonnée partielle en X entre les deux piquets, unité : m
\( Y_{j} - Y_{i} \) : coordonnée partielle en Y, négative ici puisque l'axe descend, unité : m
La somme des carrés : carré de la longueur de l'intervalle, unité : m²
La valeur attendue : le pas \( e = 69{,}0058 \) m, calculé indépendamment en question 2, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants se contentent d'écrire : « les coordonnées de P3 sont identiques à celles de B, c'est un excellent moyen de vérifier », puis passent à la suite sans jamais poser le calcul de l'écart. La vérification est mentionnée, pas exécutée..."

L'approche d'ingénieur : Constater visuellement une égalité n'est pas la contrôler. Un écart s'écrit, se chiffre et se compare à une tolérance — même quand il vaut zéro.

L'erreur : confondre observer et vérifier. Lire deux nombres identiques dans un tableau ne prouve rien sur la façon dont ils ont été obtenus.
La bonne méthode : poser la soustraction sur chaque axe, puis la distance résultante, et écrire le résultat, fût-il nul.
L'astuce de pro : faire figurer l'écart en clair sur le procès-verbal, à côté de la tolérance admise. Le lecteur voit la marge disponible, pas seulement un verdict.
Le moyen mnémotechnique : « ce qui n'est pas écrit n'a pas été fait ». C'est la règle des marchés publics, elle vaut aussi pour les notes de calculs.
L'impact direct : une erreur de pas ou de gisement non détectée envoie l'équipe planter des piquets faux. Le contrôle, lui, prend trois lignes de calcul.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Coordonnées employées : les valeurs finales arrondies au millimètre , comme le ferait un vérificateur.
Écart de coïncidence : en mètres , affiché au millimètre.
Intervalles : en mètres , à comparer au pas de 69,0058 m.
Aucune grandeur angulaire n'intervient dans cette question — c'est ce qui fait l'indépendance des contrôles.
Valeur de référence : les coordonnées de B, données par l'énoncé .

Nous menons les trois contrôles l'un après l'autre : la coïncidence du dernier piquet avec la borne, l'égalité des deux intervalles, puis la restitution de la longueur totale.

1. Résolution Numérique Premier contrôle — coïncidence du piquet P3 avec la borne B

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le contrôle le plus fort de l'exercice : il confronte le résultat final à une donnée de l'énoncé qui n'a servi qu'en entrée.

Méthodologie du calcul :

On soustrait, axe par axe, les coordonnées de la borne à celles du piquet calculé, puis on combine les deux écarts. On pose le calcul même si l'on pressent que le résultat sera nul.

Substitution : P3 \( (280{,}600 ; 565{,}300) \) et B \( (280{,}60 ; 565{,}30) \).
Piège évité : ne pas déclarer l'égalité. La constater dans un tableau n'est pas la démontrer.
Hypothèse validée : l'abscisse curviligne de P3 vaut bien la longueur totale de l'axe — c'est ce qui rend la coïncidence attendue.
Vérification croisée : les deux écarts partiels doivent être nuls séparément, et pas seulement leur combinaison.
Finalité : valider d'un coup le gisement, la distance et le pas.

a) L'écart en abscisse. Le piquet calculé et la borne donnée partagent la même abscisse au millimètre. L'écart partiel est nul.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{\text{X}} &= X_{\text{P3}} - X_{\text{B}} \\ &= 280{,}600 - 280{,}600 \\ &= \mathbf{0{,}000} \text{ m} \end{aligned} \]

b) L'écart en ordonnée. Même constat sur l'autre axe. Les deux écarts partiels étant nuls séparément, aucune compensation fortuite n'a pu masquer une erreur.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{\text{Y}} &= Y_{\text{P3}} - Y_{\text{B}} \\ &= 565{,}300 - 565{,}300 \\ &= \mathbf{0{,}000} \text{ m} \end{aligned} \]

c) L'écart de coïncidence. La combinaison des deux écarts partiels donne l'écart de position. Il est nul — mais il fallait l'établir, pas le supposer.

\[ \begin{aligned} \varepsilon &= \sqrt{\varepsilon_{\text{X}}^{2} + \varepsilon_{\text{Y}}^{2}} \\ &= \sqrt{0{,}000^{2} + 0{,}000^{2}} \\ &= \mathbf{0{,}000} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le dernier piquet tombe exactement sur la borne. Ce résultat n'a rien de miraculeux : il découle du maintien de six décimales sur les lignes trigonométriques et de quatre sur le pas.

Ordre de grandeur : écart nul au millimètre affiché, très en deçà de ce qu'autoriserait un calcul de bureau
Impact sur la suite : le gisement, la distance et le pas sont simultanément validés. Reste à vérifier la répartition.
Cohérence : avec un pas arrondi à 69,01 m, l'écart aurait atteint 8 mm — assez pour signaler une troncature, trop peu pour révéler une vraie erreur de méthode.
Attention : ce contrôle est aveugle à la position de P2. Un piquet intermédiaire mal placé le franchirait sans encombre.
Comparaison : par rapport aux normes, l'arrêté du 16 septembre 2003 porte sur les écarts constatés au contrôle sur le terrain, pas sur les écarts de bureau. Ces derniers doivent être nuls, pour laisser tout le budget d'erreur aux mesures.

Remarque pédagogique : Écrivez l'écart même lorsqu'il vaut zéro. « \( \varepsilon = 0{,}000 \) m » est une information vérifiable ; « c'est un bon moyen de vérifier » n'en est pas une, et ne permet à aucun relecteur de juger du travail.

Second contrôle — égalité des deux intervalles

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le contrôle précédent ne dit rien de la répartition. Seule la mesure des deux travées peut établir l'équidistance.

Méthodologie du calcul :

On repart uniquement des coordonnées finales, comme le ferait un vérificateur extérieur, et l'on calcule les deux distances par Pythagore. La valeur attendue est le pas, obtenu par une voie entièrement différente.

Substitution : P1 \( (150{,}200 ; 610{,}500) \), P2 \( (215{,}400 ; 587{,}900) \), P3 \( (280{,}600 ; 565{,}300) \).
Piège évité : ne jamais réutiliser le gisement ni le pas. Le contrôle deviendrait circulaire et perdrait toute valeur.
Hypothèse validée : les coordonnées partielles des deux intervalles doivent être identiques entre elles, ce qui est le signe de l'équidistance.
Vérification croisée : la somme des deux intervalles doit égaler la distance P1-P3, ce qui n'est vrai que si les points sont alignés.
Finalité : signer l'implantation et autoriser la production de la fiche.

a) Le premier intervalle P1-P2. Les coordonnées partielles valent \( +65{,}200 \) et \( -22{,}600 \) m. Notez ces deux nombres : ils devront se répéter à l'identique sur le second intervalle.

\[ \begin{aligned} d_{1,2} &= \sqrt{(215{,}400 - 150{,}200)^{2} + (587{,}900 - 610{,}500)^{2}} \\ &= \sqrt{(+65{,}200)^{2} + (-22{,}600)^{2}} \\ &= \sqrt{4251{,}0400 + 510{,}7600} \\ &= \sqrt{4761{,}8000} \\ &= \mathbf{69{,}0058} \text{ m} \end{aligned} \]

b) Le second intervalle P2-P3. Les coordonnées partielles sont rigoureusement les mêmes que précédemment. C'est la signature de l'équidistance : deux déplacements identiques le long d'une même direction.

\[ \begin{aligned} d_{2,3} &= \sqrt{(280{,}600 - 215{,}400)^{2} + (565{,}300 - 587{,}900)^{2}} \\ &= \sqrt{(+65{,}200)^{2} + (-22{,}600)^{2}} \\ &= \sqrt{4251{,}0400 + 510{,}7600} \\ &= \sqrt{4761{,}8000} \\ &= \mathbf{69{,}0058} \text{ m} \end{aligned} \]

c) Troisième contrôle — la longueur totale P1-P3. Elle doit valoir la somme des deux intervalles, et la distance A-B calculée en question 1. Cette double égalité n'est possible que si les trois points sont effectivement alignés.

\[ \begin{aligned} d_{1,3} &= \sqrt{(280{,}600 - 150{,}200)^{2} + (565{,}300 - 610{,}500)^{2}} \\ &= \sqrt{(+130{,}400)^{2} + (-45{,}200)^{2}} \\ &= \sqrt{17004{,}1600 + 2043{,}0400} \\ &= \sqrt{19047{,}2000} \\ &= \mathbf{138{,}0116} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les trois contrôles passent. Les deux intervalles sont strictement égaux, et leur somme restitue exactement la longueur totale de l'axe.

Ordre de grandeur : \( 69{,}0058 + 69{,}0058 = 138{,}0116 \) m, soit exactement \( d_{1,3} \) et \( D_{\text{A-B}} \)
Impact sur la suite : les trois piquets sont certifiés alignés et équidistants. La fiche d'implantation peut être produite.
Cohérence : l'égalité \( d_{1,2} + d_{2,3} = d_{1,3} \) est le cas limite de l'inégalité triangulaire : elle n'est atteinte que lorsque les trois points sont sur une même droite. C'est donc bien un test de rectitude.
Attention : ce contrôle ne détecterait pas une erreur sur le gisement de départ : les trois piquets seraient alignés et équidistants, simplement dans la mauvaise direction. Seule la coïncidence avec la borne B, menée en premier, couvre ce risque.
Comparaison : par rapport aux normes, ce contrôle transpose au bureau la logique de l'arrêté du 16 septembre 2003 : comparer une grandeur obtenue à une référence indépendante, et conclure sur l'écart plutôt que sur une impression.

Remarque pédagogique : Sur le terrain, ces trois contrôles se rejouent sans instrument : décamètre entre les piquets pour les intervalles, et visée à l'œil depuis P1 vers P3 pour la rectitude. Un calcul de bureau qui ne peut pas être rejoué au décamètre est un calcul mal conçu.

LECTURE DU RÉSULTAT

L'alignement est certifié. Le dessin porte les trois contrôles : la coïncidence du dernier piquet avec la borne, les deux intervalles mesurés depuis les coordonnées finales, et la longueur totale qu'ils reconstituent.

Le troisième contrôle mérite qu'on s'y arrête. Que la somme des deux intervalles égale exactement la distance des extrémités est le cas limite de l'inégalité triangulaire : pour trois points quelconques, le chemin par P2 serait plus long que la ligne directe. L'égalité stricte ne s'obtient que si P2 est sur le segment — c'est donc bien une preuve de rectitude, et non une simple coïncidence arithmétique.

RÉSULTAT FINAL

ε = 0,000 m · d(1,2) = d(2,3) = 69,0058 m

"Rectitude et équidistance démontrées : la fiche d'implantation peut être produite !"

Question 4 : La fiche d'implantation depuis S1

Dans la tête de l'ingénieur

"Je change de point de vue : je ne raisonne plus le long de la clôture, mais depuis mon trépied. Et je remarque tout de suite une subtilité que beaucoup manquent : la référence S1-S2 part vers le sud-est, donc quadrant 2 et correction de +200 gon — mais les trois piquets, eux, sont au nord-est de la station, donc quadrant 1 et aucune correction. Deux situations opposées dans la même question. Appliquer machinalement la même règle partout serait l'erreur parfaite."

Observation : pour les trois piquets, \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y > 0 \) : premier quadrant, gisements inférieurs à 100 gon. La référence, elle, dépasse 110 gon.
Analyse du risque : le gisement de référence étant supérieur à ceux des piquets, les trois soustractions sortiront négatives. Il faudra ajouter 400 gon aux trois angles — et ne pas s'en étonner.
Choix stratégique : je traite le premier piquet intégralement pour poser la méthode, puis j'enchaîne les deux autres sur le même modèle. Chaque quantité conserve néanmoins son propre bloc de calcul.
Alternative : se déplacer sur l'alignement lui-même et jalonner à la chaîne, sans station. Impossible ici : la station est imposée hors de l'axe, et c'est précisément ce qui fait l'intérêt de l'exercice.
Objectif visé : un tableau de trois lignes utilisable tel quel, encadré par une visée de contrôle sur S2.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

P1 : 298,2125 gon / 161,614 m · P2 : 325,3859 gon / 164,001 m · P3 : 347,9399 gon / 192,866 m

Rappel Théorique : deux quadrants dans une même question

La difficulté de cette dernière question n'est pas calculatoire, elle est méthodologique : il faut appliquer la règle des quadrants quatre fois de suite, et elle ne donne pas le même résultat à chaque fois. La direction de référence descend vers le sud-est ; les trois piquets, eux, montent vers le nord-est. C'est une configuration fréquente sur le terrain — la station est rarement placée du côté commode — et c'est là que se perdent les opérateurs qui appliquent une correction « par habitude » plutôt que par lecture des signes.

Principe 1 — la règle se relit à chaque point : aucune correction n'est acquise. Les signes de \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) se relisent pour chacune des quatre directions de la question.
Principe 2 — l'angle est une différence, pas un gisement : l'instrument affiche zéro sur S2, pas sur le Nord. Reporter un gisement brut sur la fiche revient à supposer la station orientée au Nord — ce qu'elle n'est jamais.
Principe 3 — un angle négatif se ramène par +400 gon : un limbe ne se gradue que de 0 à 400 gon. La remise en forme est une congruence, à écrire séparément de la soustraction.
Principe 4 — les écarts entre angles sont invariants : retrancher une même constante aux trois gisements conserve leurs différences. C'est un contrôle immédiat de la cohérence de la fiche.
Principe 5 — la station hors alignement est la règle, pas l'exception : on implante depuis un point du canevas offrant une bonne visibilité, jamais depuis l'ouvrage lui-même. C'est ce qui rend le calcul par rayonnement indispensable.

Équations Fondamentales

Trois relations, appliquées quatre fois : une fois pour la direction de référence, puis une fois par piquet. Elles sont indépendantes les unes des autres.

Gisement de la station vers un point :

Donne la direction absolue sous laquelle le point est vu depuis la station.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est l'opération inverse du rayonnement. Les questions 1 et 2 allaient du polaire vers le cartésien pour construire l'ouvrage ; nous faisons ici le chemin retour, pour parler le langage de l'instrument.

Contexte de validité : station et points visés dans le même système de coordonnées, ici RGF93 / Lambert-93.
Avantage : elle s'applique à l'identique aux quatre directions à calculer, seule la correction de quadrant variant.
Paramètre clé : la correction de quadrant, qui vaut +200 gon pour la référence et zéro pour les trois piquets. C'est le piège de la question.
Vérification : les trois gisements de piquets doivent croître de P1 à P3, puisque l'alignement s'éloigne de la station en tournant vers l'est.
Limite : elle suppose la station parfaitement centrée sur S1. Un défaut de centrage introduit une erreur d'autant plus grande, en angle, que la visée est courte.

\[ G_{\text{S1-P}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{P}} - X_{\text{S1}}}{Y_{\text{P}} - Y_{\text{S1}}}\right) + k \cdot 200^{\text{gon}} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « depuis mon trépied, dans quelle direction se trouve ce piquet ? » La réponse est exprimée par rapport au Nord Lambert — un repère que l'instrument, lui, ne connaît pas encore.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{S1-P}} \) : gisement absolu de la station vers le piquet, unité : gon
\( X_{\text{P}} - X_{\text{S1}} \) : coordonnée partielle en X, positive pour les trois piquets, unité : m
\( Y_{\text{P}} - Y_{\text{S1}} \) : coordonnée partielle en Y, positive elle aussi, unité : m
\( k \) : entier de correction, valant 0 pour les piquets et 1 pour la référence, unité : sans dimension
\( k \cdot 200^{\text{gon}} \) : correction effective, nulle ou égale à un demi-tour, unité : gon

Distance horizontale de la station au point :

Donne la longueur à mesurer sur le terrain le long de la visée.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un angle seul ne place aucun point : il ne définit qu'une demi-droite. C'est la distance qui dit jusqu'où avancer le long de cette demi-droite.

Contexte de validité : distance horizontale, celle que l'instrument affiche après réduction par l'angle zénithal.
Avantage : totalement indépendante du gisement et du quadrant : c'est ce qui en fait un bon contrôle croisé.
Paramètre clé : aucun — les deux coordonnées partielles sont élevées au carré, leurs signes disparaissent.
Vérification : \( D \times \sin(G) \) doit restituer \( \Delta X \). Un seul calcul valide la distance, le gisement et la correction.
Limite : sur des portées kilométriques, la réduction à la projection deviendrait sensible. À moins de 200 m, elle reste bien sous le millimètre.

\[ D_{\text{S1-P}} = \sqrt{\left(X_{\text{P}} - X_{\text{S1}}\right)^{2} + \left(Y_{\text{P}} - Y_{\text{S1}}\right)^{2}} \]

Que dit cette équation physiquement ? C'est Pythagore entre le trépied et le piquet : la visée est l'hypoténuse d'un triangle dont les côtés sont les déplacements est-ouest et nord-sud.

Décomposition des termes :

\( D_{\text{S1-P}} \) : distance horizontale à mesurer, seconde colonne de la fiche, unité : m
\( (X_{\text{P}} - X_{\text{S1}})^{2} \) : carré de la coordonnée partielle en X, unité : m²
\( (Y_{\text{P}} - Y_{\text{S1}})^{2} \) : carré de la coordonnée partielle en Y, unité : m²
La somme des carrés : carré de la longueur de visée, unité : m²
La racine carrée : retour à une longueur mesurable au terrain, unité : m

Angle horizontal à afficher :

Traduit le gisement absolu en une valeur lisible sur le limbe de la station orientée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'instrument affiche zéro dans la direction de S2, et non dans celle du Nord. Tous les gisements doivent donc être ramenés à cette origine avant d'être transmis à l'opérateur.

Contexte de validité : suppose que l'opérateur a bien affiché 0,0000 gon en visant S2. Une autre convention d'orientation changerait toute la fiche.
Avantage : une seule soustraction transforme une liste de points en fiche exploitable, quel que soit leur nombre.
Paramètre clé : le gisement de référence, retranché à tous. Une erreur sur lui fait pivoter l'ouvrage entier sans le déformer.
Vérification : les écarts entre angles doivent reproduire exactement les écarts entre gisements.
Limite : la formule ne dit rien de la qualité de l'orientation. Seule la revisée de S2 en fin d'opération peut la contrôler.

\[ \alpha = G_{\text{S1-P}} - G_{\text{S1-S2}} \qquad (+\,400^{\text{gon}} \text{ si le resultat est negatif}) \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : « de combien dois-je tourner ma lunette depuis S2 pour viser ce piquet ? » Partir de la référence, tourner dans le sens horaire de la valeur indiquée, puis mesurer la distance annoncée.

Décomposition des termes :

\( \alpha \) : angle horizontal à afficher, première colonne de la fiche, unité : gon
\( G_{\text{S1-P}} \) : gisement absolu vers le piquet, compté depuis le Nord Lambert, unité : gon
\( G_{\text{S1-S2}} \) : gisement absolu de la direction de référence, unité : gon
\( 400^{\text{gon}} \) : tour complet, ajouté ici aux trois angles car la soustraction sort négative, unité : gon
Le sens horaire : sens de rotation imposé par la graduation du limbe, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants, ayant appliqué la correction de +200 gon à l'axe en question 1, la reconduisent aux trois piquets par automatisme. Or ceux-ci sont au nord-est de la station : leurs gisements ne demandent aucune correction, et les trois angles se retrouvent faux de 200 gon..."

L'approche d'ingénieur : La correction de quadrant n'est jamais acquise : elle se redéduit des signes à chaque nouvelle direction, sans exception.

L'erreur : traiter la correction comme une propriété de l'exercice plutôt que comme une propriété de chaque direction prise isolément.
La bonne méthode : écrire les deux signes avant chaque arctangente. Quatre directions dans cette question, donc quatre lectures de signes.
L'astuce de pro : s'imposer un encadrement pour chaque direction. Les piquets sont au nord-est : leurs gisements sont donc entre 0 et 100 gon, ce qu'aucune correction ne doit contredire.
Le moyen mnémotechnique : « chaque visée a son quadrant ».
L'impact direct : une erreur de 200 gon fait viser exactement à l'opposé : l'opérateur planterait les piquets de l'autre côté de la station, à plus de 300 m de leur position réelle.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Coordonnées des piquets : reprises de la question 2, au millimètre .
Gisements et angles : en gon , à quatre décimales.
Correction de quadrant : +200 gon pour la référence , zéro pour les trois piquets.
Remise en forme des angles : +400 gon , les trois soustractions sortant négatives.
Distances : en mètres , affichées au millimètre.

Nous procédons en trois temps : le gisement de la référence, le piquet P1 traité intégralement pour poser la méthode, puis les deux piquets restants menés sur le même modèle et rassemblés dans la fiche.

1. Résolution Numérique Le gisement de la direction de référence

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le zéro de tous les angles de la fiche. Et parce que c'est la seule des quatre directions de cette question qui exige une correction de quadrant.

Méthodologie du calcul :

Coordonnées partielles, lecture du quadrant, arctangente, correction. S2 est à l'est mais au sud de S1 : c'est la même configuration qu'en question 1, donc +200 gon.

Substitution : S1 \( (125{,}40 ; 450{,}80) \) et S2 \( (210{,}10 ; 435{,}20) \).
Piège évité : ne pas oublier la correction ici — c'est la seule des quatre directions à en réclamer une.
Hypothèse validée : \( \Delta Y \neq 0 \), la division est licite.
Vérification croisée : la distance S1-S2 doit correspondre à celle mesurée lors de l'orientation sur le terrain.
Finalité : fixer l'origine angulaire de toute la fiche.

a) Les coordonnées partielles de la référence. S2 est nettement à l'est de S1 : plus de quatre-vingt-quatre mètres. La valeur est positive.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{S1-S2}} &= X_{\text{S2}} - X_{\text{S1}} \\ &= 210{,}10 - 125{,}40 \\ &= \mathbf{+84{,}70} \text{ m} \end{aligned} \]

b) La composante en ordonnée. Négative : S2 est plus au sud que S1. Voilà le signe qui impose la correction de +200 gon, exactement comme pour l'axe de la clôture.

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{S1-S2}} &= Y_{\text{S2}} - Y_{\text{S1}} \\ &= 435{,}20 - 450{,}80 \\ &= \mathbf{-15{,}60} \text{ m} \end{aligned} \]

c) Le gisement de référence. Le rapport est fortement négatif — plus de cinq en valeur absolue — parce que la direction est presque plein est. L'arctangente sort donc proche de −88 gon, et la correction la ramène juste au-delà de 100.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-S2}} &= \arctan\left(\frac{+84{,}70}{-15{,}60}\right) + 200 \\ &= \arctan(-5{,}429487) + 200 \\ &= -88{,}4047 + 200 \\ &= \mathbf{111{,}5953} \text{ gon} \end{aligned} \]

d) La distance de contrôle S1-S2. Elle ne figure pas dans la fiche des piquets, mais elle valide les coordonnées de S2 : l'opérateur peut la comparer à la distance réellement mesurée lors de l'orientation.

\[ \begin{aligned} D_{\text{S1-S2}} &= \sqrt{84{,}70^{2} + 15{,}60^{2}} \\ &= \sqrt{7174{,}0900 + 243{,}3600} \\ &= \sqrt{7417{,}4500} \\ &= \mathbf{86{,}125} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

111,60 gon : une direction presque plein est, très légèrement inclinée vers le sud. Cohérent avec un \( \Delta X \) cinq fois plus grand que \( \Delta Y \).

Ordre de grandeur : la valeur tombe bien dans \( ]100 ; 200[ \) gon, comme l'imposait le signe de \( \Delta Y \)
Impact sur la suite : cette valeur sera retranchée aux trois gisements. Comme elle leur est supérieure, les trois soustractions sortiront négatives.
Cohérence : la base d'orientation mesure 86 m pour des visées de 160 à 193 m — rapport acceptable, bien meilleur que dans bien des configurations de chantier.
Attention : c'est la seule correction de quadrant de cette question. Les trois suivantes n'en auront pas.
Comparaison : par rapport aux normes, S1 et S2 sont des points du canevas rattachés au RGF93 conformément au décret n° 2000-1276 modifié — sans quoi l'orientation n'aurait aucune valeur opposable.

Remarque pédagogique : Comparer la distance calculée S1-S2 à la distance mesurée lors de l'orientation est le seul contrôle capable de détecter des coordonnées de référence erronées. Il prend dix secondes sur le terrain.

Le piquet P1 — méthode détaillée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour poser la méthode une fois pour toutes. Les deux piquets suivants suivront exactement la même séquence, et surtout le même quadrant.

Méthodologie du calcul :

Cinq étapes : les deux coordonnées partielles, le gisement, la distance, puis l'angle. Ici les deux différences sont positives : premier quadrant, aucune correction.

Substitution : P1 \( (150{,}200 ; 610{,}500) \) et S1 \( (125{,}400 ; 450{,}800) \).
Piège évité : ne pas reconduire le +200 gon de la référence. Ce piquet est au nord-est, pas au sud-est.
Hypothèse validée : \( \Delta X > 0 \) et \( \Delta Y > 0 \) : premier quadrant, donc \( k = 0 \).
Vérification croisée : \( D \times \sin(G) = 161{,}614 \times \sin(9{,}8078) = 24{,}80 \) m, soit exactement \( \Delta X \)
Finalité : produire la première ligne de la fiche et le modèle des deux suivantes.

a) Coordonnée partielle en X. Le piquet n'est qu'à vingt-cinq mètres à l'est de la station : la visée sera donc très proche du Nord.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{P1}} &= X_{\text{P1}} - X_{\text{S1}} \\ &= 150{,}200 - 125{,}400 \\ &= \mathbf{+24{,}800} \text{ m} \end{aligned} \]

b) Coordonnée partielle en Y. Ici l'écart est considérable : près de cent soixante mètres vers le nord. Le rapport des deux, environ 0,155, annonce un gisement très faible, à peine sorti du Nord.

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{P1}} &= Y_{\text{P1}} - Y_{\text{S1}} \\ &= 610{,}500 - 450{,}800 \\ &= \mathbf{+159{,}700} \text{ m} \end{aligned} \]

c) Le gisement absolu vers P1. Les deux composantes étant positives, l'arctangente donne directement le gisement. Aucune correction : c'est le premier quadrant.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-P1}} &= \arctan\left(\frac{+24{,}800}{+159{,}700}\right) + 0 \times 200 \\ &= \arctan(0{,}155291) \\ &= \mathbf{9{,}8078} \text{ gon} \end{aligned} \]

d) La distance horizontale. Un peu plus de cent soixante et un mètres. La composante nord domine si largement que la distance est presque égale à \( \Delta Y \).

\[ \begin{aligned} D_{\text{S1-P1}} &= \sqrt{(24{,}800)^{2} + (159{,}700)^{2}} \\ &= \sqrt{615{,}0400 + 25504{,}0900} \\ &= \sqrt{26119{,}1300} \\ &= \mathbf{161{,}614} \text{ m} \end{aligned} \]

e) L'angle à afficher. La soustraction sort négative, le gisement de référence étant supérieur à celui du piquet. On ajoute donc un tour complet pour obtenir une valeur affichable sur le limbe.

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{P1}} &= G_{\text{S1-P1}} - G_{\text{S1-S2}} \\ &= 9{,}8078 - 111{,}5953 \\ &= -101{,}7875 \\ &\equiv -101{,}7875 + 400 = \mathbf{298{,}2125} \text{ gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La méthode est posée. Les deux piquets restants suivront la même séquence, même quadrant, même absence de correction.

Ordre de grandeur : 9,81 gon place P1 presque plein Nord depuis la station — conforme à un \( \Delta Y \) six fois plus grand que \( \Delta X \)
Impact sur la suite : l'angle de 298,21 gon signifie que l'opérateur tournera de près des trois quarts d'un tour depuis S2.
Cohérence : la distance, 161,614 m, dépasse à peine \( \Delta Y = 159{,}700 \) m — écart de moins de 2 m, cohérent avec une visée quasi méridienne.
Attention : la congruence de la dernière ligne s'écrit avec le symbole \( \equiv \) et non « = » : \( -101{,}7875 \) et \( 298{,}2125 \) ne sont pas égaux, ils désignent la même direction.
Comparaison : par rapport aux normes, la classe [2] cm visée autorise, selon l'arrêté du 16 septembre 2003 avec \( k = 2{,}42 \) et \( C = 2 \), un seuil individuel \( T = 5{,}45 \) cm. Une station totale ordinaire tient largement cette exigence à 162 m.

Remarque pédagogique : Le contrôle \( D \sin G = \Delta X \) est le plus rentable de la question : une ligne de calcul valide simultanément le gisement, l'absence de correction et la distance.

Les piquets P2 et P3 — même séquence

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter la fiche. La méthode étant posée, seules les valeurs changent — mais chaque quantité conserve son propre bloc, car chacune peut être fausse indépendamment.

Méthodologie du calcul :

Séquence identique à celle de P1. Les trois gisements doivent croître régulièrement : l'alignement s'éloigne de la station en tournant progressivement vers l'est.

Substitution : P2 \( (215{,}400 ; 587{,}900) \) et P3 \( (280{,}600 ; 565{,}300) \).
Piège évité : ne pas supposer que les distances croissent régulièrement elles aussi. P2 est plus loin que P1 de 2 m seulement, alors que P3 est à près de 29 m de plus.
Hypothèse validée : les deux piquets sont dans le même quadrant que P1 : aucune correction.
Vérification croisée : les écarts entre angles doivent reproduire exactement les écarts entre gisements.
Finalité : remplir les deux dernières lignes de la fiche.

a) Le piquet P2 — gisement. Les coordonnées partielles valent \( +90{,}000 \) et \( +137{,}100 \) m. Le rapport a nettement augmenté par rapport à P1 : la visée s'est écartée du Nord.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-P2}} &= \arctan\left(\frac{+90{,}000}{+137{,}100}\right) \\ &= \arctan(0{,}656455) \\ &= \mathbf{36{,}9812} \text{ gon} \end{aligned} \]

b) Le piquet P2 — distance. À peine plus de deux mètres de plus que P1, alors que le piquet est à 69 m de lui sur l'alignement. C'est que la clôture s'éloigne peu de la station sur ce premier tronçon : elle tourne autour d'elle plus qu'elle ne s'en écarte.

\[ \begin{aligned} D_{\text{S1-P2}} &= \sqrt{8100{,}0000 + 18796{,}4100} \\ &= \sqrt{26896{,}4100} \\ &= \mathbf{164{,}001} \text{ m} \end{aligned} \]

c) Le piquet P2 — angle à afficher. Même remise en forme que pour P1 : la soustraction sort négative, on ajoute un tour complet.

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{P2}} &= 36{,}9812 - 111{,}5953 \\ &= -74{,}6141 \\ &\equiv -74{,}6141 + 400 = \mathbf{325{,}3859} \text{ gon} \end{aligned} \]

d) Le piquet P3 — gisement. Coordonnées partielles \( +155{,}200 \) et \( +114{,}500 \) m : cette fois la composante est dépasse la composante nord, et le gisement franchit les 50 gon.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-P3}} &= \arctan\left(\frac{+155{,}200}{+114{,}500}\right) \\ &= \arctan(1{,}355459) \\ &= \mathbf{59{,}5352} \text{ gon} \end{aligned} \]

e) Le piquet P3 — distance. Près de vingt-neuf mètres de plus que P2. Le second tronçon, lui, éloigne réellement la clôture de la station.

\[ \begin{aligned} D_{\text{S1-P3}} &= \sqrt{24087{,}0400 + 13110{,}2500} \\ &= \sqrt{37197{,}2900} \\ &= \mathbf{192{,}866} \text{ m} \end{aligned} \]

f) Le piquet P3 — angle à afficher. Dernière ligne de la note de calculs. Les trois angles s'étalent de 298,21 à 347,94 gon, soit une ouverture de 49,73 gon — près d'un demi-quadrant.

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{P3}} &= 59{,}5352 - 111{,}5953 \\ &= -52{,}0601 \\ &\equiv -52{,}0601 + 400 = \mathbf{347{,}9399} \text{ gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les trois angles sont établis, et ils croissent dans l'ordre des piquets — ce qui n'était nullement garanti, mais qui simplifie beaucoup le travail de terrain.

Ordre de grandeur : les écarts entre angles — 27,17 puis 22,55 gon — sont identiques aux écarts entre gisements, la soustraction d'une constante conservant les différences
Impact sur la suite : l'opérateur balaiera de P1 vers P3 dans le sens horaire, sans jamais revenir en arrière.
Cohérence : les écarts angulaires décroissent (27,17 puis 22,55 gon) alors que les intervalles sont égaux sur le terrain. C'est l'effet de perspective : plus un point s'éloigne, moins il se déplace angulairement.
Attention : les distances, elles, ne croissent pas régulièrement : +2,4 m puis +28,9 m. Ne jamais extrapoler une distance d'implantation à partir des précédentes.
Comparaison : par rapport aux normes, l'arrêté du 16 septembre 2003 impose de contrôler l'implantation avec une méthode au moins deux fois plus précise. Ici, le décamètre entre piquets remplit ce rôle, indépendamment de la station.

Remarque pédagogique : Que les écarts angulaires décroissent alors que les intervalles réels sont égaux est une observation à méditer : l'angle n'est pas proportionnel à la distance parcourue dès lors que l'on s'éloigne de la station. C'est pourquoi on ne peut jamais interpoler une fiche d'implantation.

Fiche d'implantation de terrain

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le livrable. Tout ce qui précède n'existe que pour produire ce tableau, encadré par ses contrôles.

Point	Angle à afficher (gon)	Distance horizontale (m)	Observation
S2	0,0000	86,125	Orientation — afficher le zéro sur cette visée
P1	298,2125	161,614	Confondu avec la borne A — contrôle possible sur repère existant
P2	325,3859	164,001	Piquet intermédiaire
P3	347,9399	192,866	Confondu avec la borne B — contrôle possible sur repère existant
S2	0,0000	86,125	Contrôle de fermeture — revisée en fin d'opération
P1-P2 / P2-P3	—	69,006	Contrôle au décamètre — classe visée [2] cm Arrêté du 16 sept. 2003, art. 5

Analyse intermédiaire du chiffre :

La fiche possède ici un atout rare : deux de ses trois points sont confondus avec des bornes existantes. L'opérateur peut donc contrôler son orientation avant même d'implanter le seul piquet réellement nouveau.

Ordre de grandeur : trois angles étalés sur près de 50 gon et trois distances entre 161 et 193 m — configuration confortable.
Impact sur la suite : viser P1 et P3 en premier : s'ils tombent sur les bornes existantes, l'orientation est validée et P2 peut être implanté en confiance.
Cohérence : la double visée sur S2, en ouverture et en fermeture, garantit que l'orientation n'a pas bougé pendant l'opération.
Attention : le contrôle au décamètre est indépendant de la station : c'est le seul qui détecterait une erreur d'orientation ayant survécu à tout le reste.
Comparaison : par rapport aux normes, la fiche mentionne la classe de précision visée, comme l'exige la logique de l'arrêté du 16 septembre 2003 : un travail topographique se spécifie avant de s'évaluer.

Remarque pédagogique : Quand une fiche contient des points déjà matérialisés, il faut toujours commencer par eux. Viser un repère connu avant d'implanter quoi que ce soit transforme l'orientation en hypothèse vérifiée plutôt qu'en pari.

LECTURE DU RÉSULTAT

Voici la scène telle que la voit l'opérateur depuis son trépied. Les trois visées s'écartent nettement les unes des autres — contrairement à ce qui se produit sur les ouvrages compacts vus de loin — parce que l'alignement se déploie latéralement devant la station.

Une observation utile pour le terrain : les trois visées s'ouvrent largement, ce qui est une configuration favorable — chaque piquet se distingue nettement des autres dans la lunette, contrairement aux cas où l'ouvrage est vu en enfilade. En revanche, les distances ne progressent pas régulièrement : P2 n'est qu'à 2,4 m de plus que P1, quand P3 est à 28,9 m de plus que P2. C'est une conséquence de la position de la station, presque en face du premier tronçon et en biais sur le second.

RÉSULTAT FINAL

α = 298,2125 · 325,3859 · 347,9399 gon

"Fiche complète, encadrée par deux visées de contrôle et un contrôle au décamètre : la mission est remplie !"

SCHÉMA BILAN — L'ALIGNEMENT ET SES TROIS PIQUETS

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai relu les signes de \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) pour chacune des quatre directions de l'exercice, sans jamais reconduire une correction de quadrant par habitude. J'ai divisé la longueur par le nombre d' intervalles et non par le nombre de piquets — trois piquets, deux travées. J'ai rayonné chaque piquet depuis l'origine , avec son abscisse curviligne propre, et non de proche en proche. J'ai réellement calculé mes trois contrôles au lieu d'annoncer leur résultat, et j'ai écrit l'écart obtenu même lorsqu'il valait zéro. J'ai compris pourquoi les coordonnées doivent être rattachées au RGF93 / Lambert-93 et pourquoi une classe de précision doit être annoncée, plutôt que d'appliquer les formules aveuglément.

L'axe est caractérisé par G(A-B) = 121,2418 gon et une longueur de 138,012 m. Les trois piquets se répartissent en deux intervalles égaux, plaçant P2 en (215,400 ; 587,900) et P3 en (280,600 ; 565,300). La rectitude est vérifiée à 0,000 m et l'équidistance à 69,0058 m par intervalle.

Aligné et réparti sont deux propriétés distinctes, et elles se contrôlent séparément : un piquet parfaitement sur l'axe peut être mal espacé, et le contrôle de rectitude ne le verrait pas. La division se fait par le nombre d'intervalles, jamais par celui des piquets. La fiche d'implantation livre enfin les angles à afficher depuis la station, seule forme exploitable sur le terrain.

Implantation d'un alignement

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Le premier mois à 1 €

Implantation d'un alignement

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Caractériser l'axe A-B

Question 2 : Répartir les trois piquets

Question 3 : Contrôler rectitude et équidistance

Question 4 (Finale) : La fiche d'implantation depuis S1

Implantation d'un alignement

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

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BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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