Gonflement volumétrique d'une poutre en bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Le bois est un matériau hygroscopique : il échange en permanence de l'humidité avec l'air ambiant, et ses dimensions suivent. Ce qui rend le phénomène redoutable en construction n'est pas son ampleur — quelques pour cent — mais son anisotropie : le bois ne gonfle pas de la même façon dans les trois directions, et le rapport entre la plus forte et la plus faible atteint un facteur cinquante. Une pièce qui change d'humidité ne grandit donc pas, elle se déforme. Cet exercice porte sur une poutre en Douglas, section 150 × 300 mm sur 5,00 m, dont le local passe de chauffé à non chauffé. Il s'agit de quantifier le mouvement dans les trois directions, puis d'en tirer ce qui intéresse vraiment le projeteur : le jeu à prévoir dans les assemblages.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Une poutre en Douglas, section 150 × 300 mm, longueur 5,00 m, débitée sur quartier : la largeur suit la direction radiale, la hauteur la direction tangentielle. Il s'agit de dire de combien elle bouge, et surtout ce que cela impose aux assemblages.
Environnement : État initial : local chauffé, humidité d'équilibre du bois de 12 %, classe de service 1. État final : local non chauffé, humidité d'équilibre de 22 %, classe de service 2. Les deux valeurs restent sous le point de saturation des fibres, condition de validité du modèle.
L'objectif final : Produire les trois variations dimensionnelles, le gonflement volumique, et surtout la contrainte transversale qui apparaîtrait si le mouvement était empêché. Le risque n'est pas la déformation elle-même : c'est la fissuration que provoque son blocage.
L'astuce de l'ingénieur : Avant tout calcul, repérez l'orientation des cernes sur la section. C'est elle, et elle seule, qui décide quel coefficient s'applique à quelle dimension. Se tromper de direction fausse le résultat de 62 % sur cette poutre.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et l'entreprise vous consulte avant de commander les sabots métalliques d'un plancher dont le local va changer d'affectation. Votre travail consiste à quantifier le mouvement dans les trois directions du bois, à en déduire le gonflement volumique, puis à évaluer la contrainte de gonflement empêché pour dire quel jeu prévoir. Chaque coefficient s'appuie sur une source : vous devrez la citer.

Le grand défi : Ne pas s'arrêter aux millimètres. Le calcul dimensionnel est immédiat ; c'est ce qu'on en fait qui compte. Bloquer un gonflement tangentiel de 2,6 % développerait une contrainte transversale vingt-quatre fois supérieure à la résistance du bois en traction perpendiculaire.
Votre rôle : Produire une note traçable : chaque coefficient rattaché à sa direction et à sa source, les dimensions finales, le gonflement volumique, et une prescription de jeu exploitable directement par l'entreprise.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — les variations dimensionnelles : la variation d'humidité et la vérification du PSF, les variations \( \Delta b \), \( \Delta h \) et \( \Delta L \) dans les trois directions, et les dimensions finales de la poutre.
Livrable 2 — les conséquences : le gonflement volumique exact et son approximation linéaire, la contrainte de gonflement empêché comparée à la résistance transversale du bois, et une prescription de jeu pour les assemblages.

2. Données Techniques & Normes

Le retrait-gonflement n'est pas traité par une clause de calcul de l'Eurocode 5 : la NF EN 1995-1-1 l'aborde par les classes de service du § 2.3.1.3 et impose au § 10.2 de tenir compte des variations dimensionnelles dans la conception des assemblages. Les coefficients de retrait proviennent des fiches d'essence, ici pour le Douglas. Les caractéristiques mécaniques transversales viennent de la NF EN 338. Un point mérite attention : ces coefficients sont des valeurs moyennes d'essence, dispersées d'une bille à l'autre — les résultats sont des ordres de grandeur, pas des valeurs garanties.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Variation d'humidité du bois \( \Delta H = H_{\text{f}} - H_{\text{i}} \), valable si \( H < H_{\text{psf}} \)
Variation dimensionnelle dans une direction \( \Delta d = d_{\text{i}}\;\alpha\;\Delta H \)
Dimension finale \( d_{\text{f}} = d_{\text{i}} + \Delta d = d_{\text{i}}\,(1 + \alpha\,\Delta H) \)
Déformation unitaire dans une direction \( \varepsilon = \alpha\;\Delta H \)
Gonflement volumique exact \( \dfrac{\Delta V}{V} = (1+\varepsilon_{\text{R}})(1+\varepsilon_{\text{T}})(1+\varepsilon_{\text{L}}) - 1 \)
Gonflement volumique approché \( \dfrac{\Delta V}{V} \approx \varepsilon_{\text{R}} + \varepsilon_{\text{T}} + \varepsilon_{\text{L}} \)
Contrainte de gonflement totalement empêché \( \sigma_{90} = E_{90,\text{mean}}\;\varepsilon \)
Jeu minimal à prévoir dans un assemblage \( j \ge \Delta d \) dans la direction concernée

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( b_{\text{i}} \)	Largeur initiale, suivant la direction radiale	150	mm
\( h_{\text{i}} \)	Hauteur initiale, suivant la direction tangentielle	300	mm
\( L_{\text{i}} \)	Longueur initiale, suivant la direction longitudinale	5 000	mm
\( \alpha_{\text{R}} \)	Coefficient de retrait-gonflement radial du Douglas Fiche essence	0,0016	par %
\( \alpha_{\text{T}} \)	Coefficient de retrait-gonflement tangentiel du Douglas Fiche essence	0,0026	par %
\( \alpha_{\text{L}} \)	Coefficient de retrait-gonflement longitudinal, environ 50 fois plus faible Fiche essence	0,00005	par %
\( E_{90,\text{mean}} \)	Module moyen perpendiculaire au fil, classe C24 NF EN 338 - Tableau 1	370	N/mm²
\( f_{\text{c},90,\text{k}} \)	Résistance caractéristique en compression transversale, C24 NF EN 338 - Tableau 1	2,5	N/mm²
\( f_{\text{t},90,\text{k}} \)	Résistance caractéristique en traction transversale, C24 NF EN 338 - Tableau 1	0,4	N/mm²

L'anisotropie en un coup d'œil

Tangentiel : \( \alpha_{\text{T}} = 0{,}0026 \text{ — le plus fort, aucune armature naturelle} \)
Radial : \( \alpha_{\text{R}} = 0{,}0016 \text{ — freine par les rayons ligneux} \)
Longitudinal : \( \alpha_{\text{L}} = 0{,}00005 \text{ — les fibres ne s allongent pas} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( H_{\text{i}} \)	Humidité d'équilibre initiale, local chauffé — classe de service 1	12	%
\( H_{\text{f}} \)	Humidité d'équilibre finale, local non chauffé — classe de service 2	22	%
\( H_{\text{psf}} \)	Point de saturation des fibres — limite de validité du modèle	30	%

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Fluage et effet mecano-sorptif : \( \text{EN 1995-1-1 } \S\,2.3.2.2 \text{ — relaxent les contraintes de bridage} \)
Tuilage et distorsion de section : \( \text{lie au debit — non traite ici} \)
Verification mecanique de l assemblage : \( \text{EN 1995-1-1 } \S\,8 \text{ — a traiter separement} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Ordres de grandeur des coefficients de retrait unitaires

Direction	Coefficient et rapport
Tangentielle — tangente aux cernes	\( \alpha_{\text{T}} \approx 0{,}0026 \) — référence
Radiale — perpendiculaire aux cernes	\( \alpha_{\text{R}} \approx 0{,}0016 \) — soit 1,6 fois moins
Longitudinale — le long des fibres	\( \alpha_{\text{L}} \approx 0{,}00005 \) — soit 52 fois moins

Le rapport \( \alpha_{\text{T}}/\alpha_{\text{R}} \) se situe couramment entre 1,5 et 2 selon les essences. Un jeu de coefficients dont le rapport sortirait de cette plage doit être vérifié : il traduit souvent une confusion entre les deux directions. Ces valeurs sont des moyennes d'essence, dispersées d'une bille à l'autre : les résultats obtenus sont des ordres de grandeur.

Pourquoi l'anisotropie — les trois raisons anatomiques

Longitudinal : les microfibrilles de cellulose sont orientées selon l'axe de la fibre. L'eau s'insère entre elles et les écarte, sans les allonger.
Radial : les rayons ligneux, cellules orientées du centre vers l'écorce, agissent comme des armatures qui bride le mouvement.
Tangentiel : aucune structure ne s'oppose au gonflement. C'est la direction la plus libre, donc la plus mobile.

C'est le rapport entre retraits tangentiel et radial qui provoque le tuilage des planches débitées sur dosse : la face proche de l'écorce, plus tangentielle, se rétracte davantage que la face proche du cœur. Un débit sur quartier, où les cernes sont perpendiculaires à la face, limite fortement ce défaut — c'est le débit retenu ici.

Le point de saturation des fibres — limite de validité

Sous le PSF : l'eau est liée aux parois cellulaires. Toute variation d'humidité modifie les dimensions, proportionnellement.
Au-dessus du PSF : l'eau est libre dans les cavités. Elle alourdit la pièce mais ne la fait plus gonfler.
Valeur usuelle : \( H_{\text{psf}} \approx 30 \) % pour la plupart des essences tempérées.

La formule linéaire ne vaut que sous le PSF, sur toute l'amplitude de la variation. Ici, 12 % et 22 % sont tous deux inférieurs à 30 % : le modèle s'applique intégralement. Si l'état final dépassait le PSF, il faudrait tronquer la variation à 30 % et le gonflement cesserait au-delà.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs suivantes sont rattachées à leur source :

\( \alpha_{\text{R}} \), \( \alpha_{\text{T}} \) et \( \alpha_{\text{L}} \) du Douglas — fiche d'essence CIRAD ou CTBA, valeurs moyennes dispersées
\( E_{90,\text{mean}} = 370 \) N/mm², \( f_{\text{c},90,\text{k}} = 2{,}5 \) et \( f_{\text{t},90,\text{k}} = 0{,}4 \) N/mm² — NF EN 338, tableau 1, classe C24
\( H_{\text{psf}} = 30 \) % — valeur conventionnelle, variable de 26 à 32 % selon l'essence
Humidités d'équilibre de 12 % et 22 % — correspondent aux classes de service 1 et 2 de l'EN 1995-1-1 § 2.3.1.3

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Variations dimensionnelles de la section

Anisotropie 20 min | Piège

But de l'étape : Établir de combien la section bouge. La difficulté n'est pas le calcul — un produit de trois nombres — mais l'affectation du bon coefficient à la bonne dimension, qui dépend de l'orientation des cernes.

Énoncé Q1 : En justifiant l'orientation retenue pour chaque dimension :

calculer la variation d'humidité \( \Delta H \) et vérifier que le modèle s'applique ;
calculer la variation de largeur \( \Delta b \), en précisant quelle direction du bois elle suit ;
calculer la variation de hauteur \( \Delta h \), et comparer les deux résultats.

Les deux variations ne sont pas proportionnelles aux dimensions : c'est le signe que quelque chose d'autre intervient .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Regardez le tracé des cernes sur la section du plan de repérage. Ils sont dessinés verticaux, donc parallèles à la hauteur : la hauteur est tangente aux cernes, la largeur leur est perpendiculaire. Vérifiez ensuite que les deux humidités sont bien inférieures au PSF, sans quoi la formule ne s'applique pas sur toute l'amplitude.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( \Delta H = 22 - 12 = 10 \) %, et 22 % reste sous le PSF de 30 % : le modèle s'applique. Puis \( \Delta b = 150 \times 0{,}0016 \times 10 \) avec le coefficient radial, et \( \Delta h = 300 \times 0{,}0026 \times 10 \) avec le coefficient tangentiel. Vous devez trouver 2,40 mm et 7,80 mm.

Question 2 : Variation longitudinale et dimensions finales

Troisième direction 20 min | Accessible

But de l'étape : Compléter le tableau des mouvements par la direction que tout le monde néglige — et découvrir qu'elle est négligeable en relatif mais pas en valeur absolue sur une poutre de 5 mètres.

Énoncé Q2 : À partir de la variation d'humidité établie en question 1 :

calculer la variation de longueur \( \Delta L \) de la poutre ;
en déduire les trois dimensions finales \( b_{\text{f}} \), \( h_{\text{f}} \) et \( L_{\text{f}} \) ;
commenter l'écart entre variation relative et variation absolue dans cette direction.

« Négligeable » est une affirmation qui se démontre : négligeable devant quoi ?

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le coefficient longitudinal est cinquante fois plus faible que le tangentiel — mais la longueur de la poutre est plus de seize fois sa hauteur. Faites le calcul avant de conclure : les deux effets se compensent partiellement, et le résultat en millimètres n'est pas celui qu'on attend.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( \Delta L = 5\,000 \times 0{,}00005 \times 10 = 2{,}50 \) mm. C'est 0,05 % de la longueur — négligeable en relatif — mais 2,5 mm en absolu, soit plus que la variation de largeur ne l'est en proportion d'un jeu d'assemblage courant.

Question 3 : Gonflement volumique

Synthèse géométrique 20 min | Accessible

But de l'étape : Réunir les trois directions en un indicateur unique, et mesurer l'écart entre le calcul exact et l'approximation linéaire couramment employée.

Énoncé Q3 : À partir des dimensions finales de la question 2 :

calculer les volumes initial et final de la poutre ;
en déduire le gonflement volumique exact, en pourcentage ;
comparer à l'approximation par somme des déformations, et quantifier l'écart.

L'approximation est-elle acceptable ? La réponse dépend de l'usage que l'on fait du résultat .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le volume est le produit des trois dimensions : son rapport final sur initial est donc le produit des trois rapports. Développez ce produit et regardez quels termes vous négligez en le remplaçant par une somme — ce sont les termes croisés, du second ordre en déformation.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( V_{\text{f}}/V_{\text{i}} = 1{,}016 \times 1{,}026 \times 1{,}0005 \), soit un gonflement exact de 4,29 %. L'approximation \( 1{,}60 + 2{,}60 + 0{,}05 \) donne 4,25 % : l'écart n'est que de 0,04 point, soit 1 % en relatif.

Question 4 (Finale) : Gonflement empêché et jeu à prévoir

Synthèse et décision 30 min | BOSS

But de l'étape : Passer des millimètres à la décision de projet. Un gonflement libre ne fait aucun dégât ; un gonflement bloqué fend le bois. Toute la question est de savoir ce qu'il faut prévoir pour qu'il reste libre.

Mention spéciale — pourquoi l'ordre de grandeur suffit : Le calcul de la contrainte de gonflement empêché suppose un bridage total et instantané, ce qui n'existe pas : le bois flue, et l'effet mécano-sorptif relaxe une part importante de la contrainte pendant que l'humidité varie. La valeur obtenue est donc une borne haute théorique. Elle ne sert pas à dimensionner — elle sert à établir que le bridage est hors de question, ce qu'un ordre de grandeur suffit à démontrer.

Calculer la contrainte transversale \( \sigma_{90} \) qu'un bridage total développerait dans la direction tangentielle, la comparer aux résistances \( f_{\text{c},90,\text{k}} \) et \( f_{\text{t},90,\text{k}} \) du C24, puis prescrire le jeu minimal à prévoir dans les sabots métalliques. Rédiger un avis technique à destination de l'entreprise.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Empêcher totalement une déformation revient à appliquer la déformation opposée par une contrainte. La loi de Hooke donne directement cette contrainte, à condition d'employer le module perpendiculaire au fil — bien plus faible que le module axial, mais la déformation imposée, elle, est bien plus grande qu'en flexion.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( \sigma_{90} = E_{90,\text{mean}} \times \varepsilon_{\text{T}} = 370 \times 0{,}026 \). Vous obtenez 9,62 N/mm², à comparer aux 2,5 N/mm² admissibles en compression transversale et surtout aux 0,4 N/mm² en traction transversale. Le jeu à prévoir vaut simplement \( \Delta h \), arrondi au millimètre supérieur.

NOTE DE CALCULS

Retrait-gonflement d'une poutre en Douglas et conséquences sur les assemblages

Question 1 : Variations dimensionnelles de la section

Dans la tête de l'ingénieur

"Le calcul lui-même est trivial : un produit de trois nombres. Ce qui n'est pas trivial, c'est de savoir quel nombre mettre où. Le bois n'a pas un coefficient de gonflement, il en a trois, et ils ne se rattachent pas aux dimensions de la pièce mais aux directions de l'arbre. Une poutre de 150 × 300 mm peut avoir sa largeur radiale et sa hauteur tangentielle, ou l'inverse : tout dépend de la façon dont elle a été sciée dans la grume. Rien dans les dimensions ne le dit ; seule l'observation des cernes sur la section le révèle. C'est la seule information de l'énoncé que je ne peux pas déduire et que je dois lire sur le plan. Et si je me trompe, l'erreur ne sera pas de quelques pour cent : elle sera de 62 % sur la largeur."

Observation : Le plan de repérage montre des cernes verticaux sur la section, donc parallèles à la hauteur. La hauteur est tangente aux cernes, la largeur leur est perpendiculaire : débit sur quartier.
Analyse du risque : Intervertir les deux coefficients donnerait 3,90 mm de variation en largeur au lieu de 2,40, soit 62 % de trop, et 4,80 mm en hauteur au lieu de 7,80, soit 38 % de moins. La seconde erreur est non conservative : elle sous-estime le jeu à prévoir.
Choix stratégique : Je vérifie d'abord le PSF, avant tout calcul. Si l'humidité finale le dépassait, la formule linéaire ne vaudrait que sur une partie de l'amplitude et il faudrait tronquer.
Alternative : J'aurais pu employer un coefficient volumique unique, souvent tabulé, pour estimer directement le gonflement global. Je l'écarte : il ne dirait rien de la répartition entre les directions, alors que c'est précisément elle qui décide du jeu à prévoir.
Objectif visé : Sortir avec deux variations rattachées à leur direction. Un millimètre sans sa direction ne sert à rien : c'est la direction qui dira dans quel plan prévoir le jeu.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( \Delta H = 10 \) % · \( \Delta b = \mathbf{2{,}40} \) mm (radial) · \( \Delta h = \mathbf{7{,}80} \) mm (tangentiel)

Rappel Théorique : pourquoi le bois bouge, et pourquoi pas dans toutes les directions

Le retrait-gonflement n'est pas un défaut du bois : c'est la conséquence directe de sa structure cellulaire. Comprendre d'où vient l'anisotropie, c'est cesser de la subir.

Principe 1 — seule l'eau liée fait gonfler : Sous le point de saturation des fibres, l'eau est fixée aux parois cellulaires et les écarte. Au-dessus, elle remplit les cavités : elle alourdit la pièce mais ne la déforme plus. Toute la mécanique du gonflement se joue donc entre 0 et 30 % d'humidité.
Principe 2 — les microfibrilles bloquent la direction longitudinale : Orientées selon l'axe de la fibre, elles sont écartées par l'eau mais pas allongées. D'où un coefficient longitudinal environ cinquante fois plus faible que le tangentiel.
Principe 3 — les rayons ligneux bride la direction radiale : Ces cellules orientées du cœur vers l'écorce agissent comme des armatures naturelles. Elles n'annulent pas le gonflement mais le réduisent d'environ 40 % par rapport au tangentiel.
Principe 4 — la direction tangentielle est la plus libre : Aucune structure ne s'y oppose. C'est donc la direction du mouvement maximal, et celle qui commande les jeux d'assemblage sur une poutre débitée sur quartier.
Principe 5 — la relation est linéaire sous le PSF : La variation dimensionnelle est proportionnelle à la variation d'humidité, ce qui rend le calcul immédiat. La contrepartie est que les coefficients sont des moyennes d'essence, dispersées d'une bille à l'autre : les résultats sont des ordres de grandeur.

Équations Fondamentales

Deux relations, dont la première n'est pas un calcul mais une condition de validité. Négliger cette vérification préalable est la faute de méthode la plus fréquente sur ce type d'exercice.

Variation d'humidité et condition de validité :

Elle donne l'amplitude du changement, et fixe en même temps le domaine où la formule de gonflement s'applique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le bois ne réagit qu'à l'eau liée aux parois cellulaires. Au-delà du point de saturation des fibres, l'eau supplémentaire remplit les cavités sans écarter quoi que ce soit : la pièce s'alourdit mais ne bouge plus. La variation utile est donc bornée par le PSF.

Contexte de validité : Les deux états doivent être sous le PSF. Si l'un dépasse 30 %, il faut tronquer l'amplitude à cette valeur et la partie au-delà ne produit aucun mouvement.
Avantage : Une simple soustraction, mais qui conditionne tout le reste. La vérification prend cinq secondes et évite d'appliquer un modèle hors de son domaine.
Paramètre clé : Le signe de \( \Delta H \). Positif, il y a gonflement ; négatif, retrait. La même formule couvre les deux cas, ce qui évite d'en mémoriser deux.
Vérification : Les humidités du bois s'expriment en pourcentage de la masse anhydre. Une humidité de 22 % ne signifie donc pas que 22 % de la masse est de l'eau, mais que l'eau pèse 22 % du bois sec.
Limite : Elle décrit un état d'équilibre à état d'équilibre. Le trajet réel prend des semaines, voire des mois pour une forte section, et la pièce reste entre-temps dans un état intermédiaire non uniforme.

\[ \begin{aligned} \Delta H = H_{\text{f}} - H_{\text{i}} \quad \text{avec} \quad H_{\text{i}},\,H_{\text{f}} < H_{\text{psf}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici la quantité d'eau que les parois cellulaires vont absorber en plus, rapportée à la masse de bois sec. C'est cette eau-là, et elle seule, qui écarte les fibres et fait grandir la pièce — celle qui s'ajouterait au-delà du PSF resterait dans les cavités sans rien déplacer.

Décomposition des termes :

\( \Delta H \) : variation d'humidité du bois, positive en gonflement, unité : %
\( H_{\text{i}} \) : humidité d'équilibre initiale, 12 % en local chauffé, unité : %
\( H_{\text{f}} \) : humidité d'équilibre finale, 22 % en local non chauffé, unité : %
\( H_{\text{psf}} \) : point de saturation des fibres, environ 30 %, unité : %
Référence : l'humidité du bois se rapporte à sa masse anhydre, et non à sa masse humide, unité : sans objet

Variation dimensionnelle dans une direction :

Elle donne le mouvement d'une dimension, à condition d'employer le coefficient de la direction du bois qu'elle suit.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le gonflement est un phénomène proportionnel sous le PSF : chaque point de pourcentage d'humidité produit toujours le même allongement relatif. Le coefficient \( \alpha \) n'est rien d'autre que cette proportion, mesurée expérimentalement pour chaque essence et chaque direction.

Contexte de validité : Variation entièrement sous le PSF, pièce libre de se déformer. Une pièce bridée développerait des contraintes au lieu de bouger — objet de la question 4.
Avantage : Une seule formule pour les trois directions et pour les deux sens : gonflement ou retrait. Seul le coefficient change, et le signe de \( \Delta H \) fait le reste.
Paramètre clé : Le choix du coefficient, qui dépend de l'orientation des cernes et non des dimensions. C'est le seul terme de la formule qui demande un raisonnement plutôt qu'une lecture.
Vérification : Le produit \( \alpha\,\Delta H \) est la déformation relative, sans dimension. Multiplié par une dimension en mm, il donne bien des mm.
Limite : Les coefficients sont des moyennes d'essence. La dispersion entre deux billes du même arbre peut atteindre 20 % : le résultat est un ordre de grandeur, à ne jamais présenter au centième de millimètre.

\[ \begin{aligned} \Delta d = d_{\text{i}}\;\alpha\;\Delta H \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : chaque point de pourcentage d'humidité gagné écarte les fibres d'une fraction fixe de la dimension. Une pièce deux fois plus large bouge deux fois plus, ce qui explique que les grandes sections posent des problèmes que les petites ignorent — et pourquoi les lames de parquet sont étroites.

Décomposition des termes :

\( \Delta d \) : variation de la dimension considérée, unité : mm
\( d_{\text{i}} \) : dimension initiale dans cette direction, unité : mm
\( \alpha \) : coefficient de retrait-gonflement de la direction du bois concernée, unité : par %
\( \Delta H \) : variation d'humidité, issue de la formule précédente, unité : %
\( \alpha\,\Delta H \) : déformation relative dans la direction, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'affecter le coefficient tangentiel à la plus grande dimension, en croyant que le plus grand coefficient va naturellement avec le plus grand côté..."

L'approche d'ingénieur : Ici le hasard leur donne raison — la hauteur est bien tangentielle — mais le raisonnement est faux, et il échouera une fois sur deux sur une pièce débitée autrement.

L'erreur : Intervertir les coefficients donne \( \Delta b = 3{,}90 \) mm au lieu de 2,40, soit 62 % de trop, et \( \Delta h = 4{,}80 \) mm au lieu de 7,80, soit 38 % de moins. La seconde erreur est la plus grave : elle sous-estime le jeu à prévoir.
La bonne méthode : Lire l'orientation des cernes sur la section avant tout calcul. Cernes parallèles à une face : cette face est tangentielle. Cernes perpendiculaires : elle est radiale.
L'astuce de pro : Sur un plan, notez les lettres R et T directement à côté des cotes de section. C'est une seconde d'écriture qui supprime toute ambiguïté pour tous ceux qui reprendront le dossier.
Le moyen mnémotechnique : « T comme tangent, donc le long du cerne » — et le mouvement maximal est toujours dans cette direction.
L'impact direct : Un jeu de sabot calculé à 4,8 mm au lieu de 7,8 serait insuffisant de 3 mm. Le gonflement viendrait buter sur l'acier, et la contrainte transversale ferait fendre la poutre au droit de l'assemblage.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( H_{\text{i}} \) et \( H_{\text{f}} \) : exprimées en % de la masse anhydre — leur différence est un nombre de points
\( \alpha \) : exprimé par point de % — 0,0026 signifie 0,26 % de gonflement par point d'humidité
\( \alpha\,\Delta H \) : grandeur sans dimension , la déformation relative
\( d_{\text{i}} \) : conservée en mm — la variation sort alors directement en mm
Le PSF : exprimé en % , à comparer aux deux humidités

Le piège d'unité de cette question est discret. Le coefficient \( \alpha \) s'exprime par point de pourcentage, et \( \Delta H \) se compte donc en points — soit 10, et non 0,10. Traiter \( \Delta H \) comme une fraction diviserait le résultat par cent, et donnerait des variations de quelques centièmes de millimètre, absurdes mais assez petites pour ne pas choquer.

1. Résolution Numérique Variation d'humidité et vérification du domaine

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le moteur de tout le phénomène, et parce que la vérification du PSF conditionne la validité de tout ce qui suit.

Méthodologie du calcul :

Soustraction directe, suivie de la vérification que les deux états restent sous le point de saturation des fibres.

Substitution : \( H_{\text{i}} = 12 \) % en local chauffé et \( H_{\text{f}} = 22 \) % en local non chauffé.
Piège évité : Exprimer \( \Delta H \) en points et non en fraction. Écrire 0,10 au lieu de 10 diviserait toutes les variations par cent.
Hypothèse validée : Les deux humidités sont inférieures au PSF de 30 % : la formule linéaire s'applique sur toute l'amplitude, sans troncature.
Vérification croisée : Les deux valeurs correspondent aux classes de service 1 et 2 de l'EN 1995-1-1 : le changement d'ambiance décrit est cohérent avec le référentiel.
Finalité : Cette amplitude sera multipliée par chacun des trois coefficients directionnels.

\[ \begin{aligned} \Delta H &= H_{\text{f}} - H_{\text{i}} = 22 - 12 \\ &= \mathbf{10} \text{ points de } \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

10 points d'humidité, entièrement sous le PSF. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Dix points, c'est le tiers de l'amplitude totale possible entre bois anhydre et PSF. Le changement d'ambiance est donc substantiel, pas marginal.
Impact sur la suite : Toutes les variations sont proportionnelles à cette amplitude. Une erreur ici se propage à l'identique dans les trois directions.
Cohérence : Les deux humidités correspondent aux classes de service 1 et 2. C'est le même changement d'ambiance qui, dans un calcul de résistance, ferait passer \( k_{\text{def}} \) de 0,60 à 0,80.
Attention : Si l'état final atteignait 35 %, la variation utile serait tronquée à 18 points seulement — de 12 à 30 % — car au-delà du PSF le bois ne bouge plus.
Comparaison : Un séchage de 12 à 8 % donnerait \( \Delta H = -4 \) points : la même formule décrirait alors un retrait, avec des variations négatives.

Remarque pédagogique : Faites toujours vérifier le PSF avant de calculer, comme un réflexe. C'est une condition de validité, pas une formalité : appliquer la formule linéaire au-delà du point de saturation revient à prédire un gonflement qui n'aura pas lieu. Et c'est l'occasion de rappeler qu'un modèle sans domaine de validité explicite n'est pas un modèle d'ingénieur.

Variation de largeur, direction radiale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la largeur suit la direction radiale du bois, celle que les rayons ligneux freinent. C'est la plus stable des deux dimensions de la section.

Méthodologie du calcul :

Application directe de la formule avec le coefficient radial, choix qui doit apparaître explicitement dans la note.

Substitution : \( b_{\text{i}} = 150 \) mm, \( \alpha_{\text{R}} = 0{,}0016 \) par % et \( \Delta H = 10 \) points.
Piège évité : Ne pas employer \( \alpha_{\text{T}} = 0{,}0026 \). Les cernes étant perpendiculaires à la largeur, c'est bien le coefficient radial qui s'applique.
Hypothèse validée : Débit sur quartier, lisible sur le plan de repérage : les cernes sont parallèles à la hauteur.
Vérification croisée : La déformation relative vaut \( 0{,}0016 \times 10 = 1{,}6 \) %, soit 1,6 % de 150 mm : 2,4 mm. Les deux chemins concordent.
Finalité : Cette variation donnera la largeur finale et entrera dans le gonflement volumique.

\[ \begin{aligned} \Delta b &= b_{\text{i}}\;\alpha_{\text{R}}\;\Delta H = 150 \times 0{,}0016 \times 10 \\ &= \mathbf{2{,}40} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,40 mm de plus sur 150, soit une déformation de 1,6 %. Voyons ce que ce chiffre représente.

Ordre de grandeur : Deux millimètres et demi : c'est visible à l'œil nu sur un joint, et très supérieur aux tolérances de fabrication d'un sabot métallique.
Impact sur la suite : Cette variation est la plus faible des deux de la section, alors qu'elle porte sur la dimension la plus petite. L'anisotropie renforce l'effet de taille.
Cohérence : La déformation de 1,6 % est cohérente avec un retrait radial total de l'ordre de 4,8 % entre l'état anhydre et le PSF, réparti sur 30 points d'humidité.
Attention : Avec le coefficient tangentiel par erreur, on trouverait 3,90 mm — soit 62 % de trop. L'erreur serait ici du côté sécuritaire, mais elle ne l'est pas sur la hauteur.
Comparaison : Une humidité finale de 15 % au lieu de 22 ne donnerait que 0,72 mm. La variation est strictement proportionnelle à l'amplitude d'humidité.

Remarque pédagogique : Faites exprimer le résultat en pourcentage autant qu'en millimètres. Le pourcentage est transposable à toute autre section, alors que le millimètre ne vaut que pour cette poutre. C'est la différence entre retenir un résultat et retenir une propriété du matériau — et cela évite de refaire le calcul à chaque changement de dimension.

Variation de hauteur, direction tangentielle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la hauteur suit la direction tangentielle, la plus mobile du bois. C'est cette variation qui commandera le jeu à prévoir dans les assemblages.

Méthodologie du calcul :

Même formule, avec le coefficient tangentiel et la dimension correspondante. Deux facteurs changent en même temps, ce qui amplifie l'écart avec la largeur.

Substitution : \( h_{\text{i}} = 300 \) mm, \( \alpha_{\text{T}} = 0{,}0026 \) par % et \( \Delta H = 10 \) points.
Piège évité : Ne pas employer \( \alpha_{\text{R}} \). Les cernes étant parallèles à la hauteur, c'est le coefficient tangentiel qui s'applique — et l'erreur inverse serait non conservative.
Hypothèse validée : Section supposée homogène en orientation sur toute la hauteur. Sur une pièce contenant le cœur, l'orientation varierait d'un point à l'autre.
Vérification croisée : Le rapport à la variation de largeur vaut \( 7{,}80/2{,}40 = 3{,}25 \), soit le produit du rapport des dimensions, 2, par celui des coefficients, 1,625. La décomposition est exacte.
Finalité : Cette variation donnera la hauteur finale et, surtout, le jeu minimal à prescrire en question 4.

\[ \begin{aligned} \Delta h &= h_{\text{i}}\;\alpha_{\text{T}}\;\Delta H = 300 \times 0{,}0026 \times 10 \\ &= \mathbf{7{,}80} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,80 mm de plus sur 300, soit une déformation de 2,6 % — plus de trois fois la variation de largeur. Voyons ce que ce chiffre implique.

Ordre de grandeur : Près de huit millimètres : c'est l'épaisseur d'un contreplaqué, et bien au-delà de ce qu'un assemblage rigide peut absorber.
Impact sur la suite : C'est la variation dimensionnante pour les assemblages. Le jeu à prévoir en découle directement.
Cohérence : Le rapport de 3,25 avec la largeur se décompose en deux fois pour la dimension et 1,625 fois pour le coefficient. Les deux effets se cumulent au lieu de se compenser.
Attention : Avec le coefficient radial par erreur, on trouverait 4,80 mm — soit 3 mm de moins que la réalité. Un jeu dimensionné sur cette valeur serait insuffisant.
Comparaison : En chêne, dont le coefficient tangentiel avoisine 0,0040, la même poutre gonflerait de 12,0 mm. L'essence pèse autant que la géométrie.

Remarque pédagogique : Faites décomposer le rapport 3,25 en ses deux facteurs — la dimension et le coefficient — plutôt que de le constater. Les étudiants découvrent alors que l'anisotropie amplifie l'effet de taille au lieu de le compenser, et comprennent pourquoi les pièces hautes débitées sur quartier sont les plus délicates à assembler.

RÉSULTAT FINAL

\( \Delta b \) = 2,40 mm (R) · \( \Delta h \) = 7,80 mm (T)

"La section bouge : reste la direction que tout le monde oublie !"

Variations de la section — radiale et tangentielle

Question 2 : Variation longitudinale et dimensions finales

Dans la tête de l'ingénieur

"On m'a appris que le gonflement longitudinal du bois est négligeable, et c'est vrai — en relatif. Le coefficient est cinquante fois plus faible que le tangentiel, et personne ne se soucie de 0,05 % de déformation. Mais la longueur, elle, n'est pas cinquante fois plus petite que la hauteur : elle est seize fois plus grande. Le produit d'un très petit coefficient par une très grande dimension n'est pas forcément petit. Avant d'écarter cette direction d'un revers de main, je veux le nombre en millimètres — parce que c'est en millimètres que se mesurent les jeux d'assemblage, pas en pourcentage. Et je soupçonne que le résultat va surprendre : négligeable devant quoi ? est la seule question qui vaille."

Observation : Le rapport \( \alpha_{\text{T}}/\alpha_{\text{L}} \) vaut 52, mais le rapport \( L/h \) vaut 16,7. Les deux effets se compensent partiellement : le mouvement longitudinal ne sera que trois fois plus petit que le mouvement tangentiel.
Analyse du risque : Écarter la direction longitudinale sans la calculer revient à ignorer 2,5 mm sur une poutre de 5 m. Sur un assemblage à broches en série, cet allongement suffit à faire porter la charge sur les seules broches d'extrémité.
Choix stratégique : Je calcule les trois directions et je présente les dimensions finales dans un tableau complet. Ce sont ces trois nombres, et non deux, que l'entreprise reportera sur ses plans d'exécution.
Alternative : J'aurais pu exprimer les résultats en déformations relatives uniquement, plus universelles. Je m'y refuse ici : l'entreprise commande des sabots en millimètres, et la conversion doit être faite par celui qui connaît le contexte.
Objectif visé : Obtenir les trois dimensions finales, et savoir laquelle des trois variations est réellement négligeable — en le démontrant plutôt qu'en l'affirmant.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( \Delta L = 2{,}50 \) mm · \( b_{\text{f}} = 152{,}40 \) mm · \( h_{\text{f}} = \mathbf{307{,}80} \) mm · \( L_{\text{f}} = 5\,002{,}50 \) mm

Rappel Théorique : « négligeable » est une affirmation relative

En génie civil, aucune grandeur n'est négligeable dans l'absolu. Elle l'est devant une autre grandeur, dans un contexte donné. Le gonflement longitudinal du bois en est l'illustration parfaite.

Principe 1 — négligeable en déformation relative : 0,05 % contre 2,6 % en tangentiel : le rapport est de 52. Sur un calcul de gonflement volumique, la contribution longitudinale ne pèse que 1,2 % du total. Elle est là parfaitement négligeable.
Principe 2 — non négligeable en valeur absolue : 2,5 mm sur une poutre de 5 m, c'est plus que la tolérance de fabrication d'un assemblage métallique et davantage que le jeu d'un trou de broche. Sur un critère dimensionnel, elle ne l'est plus.
Principe 3 — la longueur amplifie tout : Un coefficient cinquante fois plus faible appliqué à une dimension seize fois plus grande ne donne pas un mouvement cinquante fois plus faible, mais trois fois plus faible seulement. C'est l'arithmétique, pas l'intuition, qui tranche.
Principe 4 — les assemblages en série y sont sensibles : Sur une file de broches ou de boulons, un allongement différentiel entre le bois et l'acier fait que les fixations d'extrémité reprennent seules la charge. C'est le mécanisme qui limite l'efficacité des longues files.
Principe 5 — la dimension finale est une simple somme : \( d_{\text{f}} = d_{\text{i}} + \Delta d \), ou de façon équivalente \( d_{\text{i}}(1 + \alpha\,\Delta H) \). La seconde écriture est plus commode pour enchaîner les calculs, la première pour les lire.

Équations Fondamentales

Deux relations : la même que celle de la question 1, appliquée à la troisième direction, et une simple addition pour remonter aux dimensions finales. Aucune difficulté de calcul — toute la valeur est dans l'interprétation.

Variation longitudinale :

Elle donne le mouvement le long des fibres, celui que l'on écarte d'ordinaire sans le calculer.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est exactement la même loi que dans les deux autres directions : seul le coefficient change. Le bois n'a pas de comportement particulier le long des fibres, il y a simplement une rigidité structurelle — les microfibrilles de cellulose — qui limite fortement l'écartement.

Contexte de validité : Bois de fil droit. Une pièce à fil incliné ou contenant du bois de réaction peut présenter un retrait longitudinal dix fois supérieur, cause classique de déformation en service.
Avantage : Elle permet de quantifier ce que l'on s'apprête à négliger. Une négligence chiffrée est une décision d'ingénieur ; une négligence de principe est un pari.
Paramètre clé : La longueur de la pièce, qui peut être très grande. C'est elle, et non le coefficient, qui décide si le résultat est négligeable en millimètres.
Vérification : Le résultat doit rester très inférieur aux deux autres variations en déformation relative — 0,05 % contre 1,6 et 2,6 % — tout en pouvant les approcher en millimètres.
Limite : Le coefficient longitudinal est le plus dispersé des trois : il varie d'un facteur dix selon la qualité du fil. Le résultat est un ordre de grandeur, à traiter comme tel.

\[ \begin{aligned} \Delta L = L_{\text{i}}\;\alpha_{\text{L}}\;\Delta H \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : même le long des fibres, le bois bouge un peu. L'eau qui s'insère entre les microfibrilles ne les allonge presque pas, mais « presque pas » multiplié par cinq mètres finit par se voir — et un assemblage ne connaît que les millimètres.

Décomposition des termes :

\( \Delta L \) : variation de longueur de la poutre, unité : mm
\( L_{\text{i}} \) : longueur initiale, 5 000 mm ici, unité : mm
\( \alpha_{\text{L}} \) : coefficient longitudinal, 0,00005 par %, unité : par %
\( \Delta H \) : variation d'humidité, 10 points, unité : %
Rapport à \( \alpha_{\text{T}} \) : environ 52 fois plus faible, unité : sans dimension

Dimension finale après variation :

Elle donne la cote réelle de la pièce dans son nouvel état d'équilibre.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le gonflement est un phénomène additif à ce niveau de déformation : la pièce part de sa cote initiale et s'accroît de la variation calculée. L'écriture factorisée \( d_{\text{i}}(1 + \alpha\,\Delta H) \) est équivalente et plus commode pour enchaîner plusieurs états.

Contexte de validité : Pièce libre de se déformer. Si elle est bridée, la dimension finale sera plus faible et la différence se transformera en contrainte.
Avantage : Elle donne des cotes directement exploitables par l'entreprise : le menuisier ne raisonne pas en déformation relative mais en millimètres sur son plan.
Paramètre clé : Le signe de la variation. Un séchage donnerait des dimensions finales plus faibles, et poserait des problèmes d'ouverture de joints plutôt que de coincement.
Vérification : Le rapport \( d_{\text{f}}/d_{\text{i}} \) doit valoir exactement \( 1 + \alpha\,\Delta H \). C'est le contrôle le plus rapide de la cohérence entre les deux écritures.
Limite : Elle décrit un état d'équilibre final, atteint après plusieurs semaines à plusieurs mois selon l'épaisseur. Elle ne dit rien de l'état intermédiaire, où la pièce est humide en surface et sèche à cœur.

\[ \begin{aligned} d_{\text{f}} = d_{\text{i}} + \Delta d = d_{\text{i}}\,\bigl(1 + \alpha\,\Delta H\bigr) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : un bois de 300 n'est plus un bois de 300. La cote nominale portée au plan ne vaut que pour l'humidité de référence à laquelle la pièce a été usinée ; en service, dans une autre ambiance, la pièce a d'autres dimensions — et c'est celles-là qui rencontrent l'acier du sabot.

Décomposition des termes :

\( d_{\text{f}} \) : dimension finale à l'équilibre, unité : mm
\( d_{\text{i}} \) : dimension initiale, cote d'usinage, unité : mm
\( \Delta d \) : variation calculée dans la direction, unité : mm
\( 1 + \alpha\,\Delta H \) : facteur de gonflement de la direction, unité : sans dimension
Condition : pièce libre — sinon la variation se convertit en contrainte, unité : sans objet

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'écarter la direction longitudinale sans la calculer, parce qu'on leur a enseigné qu'elle est négligeable..."

L'approche d'ingénieur : L'enseignement est exact — en déformation relative. Il devient trompeur dès qu'on raisonne en millimètres sur une pièce longue, c'est-à-dire précisément dans le contexte des assemblages.

L'erreur : Ignorer 2,50 mm sur 5 m. C'est moins d'un tiers de la variation tangentielle, alors que le coefficient est 52 fois plus faible : la longueur a compensé l'essentiel de l'écart.
La bonne méthode : Calculer puis négliger, jamais l'inverse. Une négligence chiffrée est une décision documentée ; une négligence de principe est un pari sur la géométrie.
L'astuce de pro : Retenez le rapport 52 contre 16,7 : tant que la longueur ne dépasse pas cinquante fois la hauteur, le mouvement longitudinal reste le plus petit des trois. Au-delà, il peut devenir le plus grand.
Le moyen mnémotechnique : « Négligeable devant quoi ? » — la seule question à se poser avant d'écarter un terme.
L'impact direct : Sur une file de broches de 2 m, un allongement différentiel de 1 mm entre le bois et l'acier concentre la charge sur les fixations d'extrémité. C'est ce mécanisme qui limite l'efficacité des longues files et impose des règles d'espacement.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( L_{\text{i}} \) : conservée en mm — 5 000 et non 5, pour rester homogène avec la section
\( \alpha_{\text{L}} \) : exprimé par point de % , comme les deux autres coefficients
\( \Delta L \) : obtenue en mm — à comparer aux variations de section
Les trois dimensions finales : toutes en mm , directement reportables au plan
Les déformations relatives : grandeurs sans unité , à exprimer en pourcentage

Toute cette question se mène en millimètres. Le point de vigilance est la longueur en mètres qu'il serait tentant de conserver telle quelle : 5,00 m au lieu de 5 000 mm donnerait un allongement de 0,0025 m, exact mais impossible à comparer d'un coup d'œil aux 7,80 mm de la hauteur. Garder une unité unique est ce qui rend les trois résultats comparables.

1. Résolution Numérique Variation de longueur, direction longitudinale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer ce que l'on s'apprête à négliger. Sans ce nombre, l'affirmation « le gonflement longitudinal est négligeable » reste un principe non vérifié.

Méthodologie du calcul :

Même formule que pour la section, avec le coefficient longitudinal et la longueur exprimée en millimètres.

Substitution : \( L_{\text{i}} = 5\,000 \) mm, \( \alpha_{\text{L}} = 0{,}00005 \) par % et \( \Delta H = 10 \) points.
Piège évité : Ne pas conserver la longueur en mètres. Le résultat en mètres serait exact mais incomparable d'un coup d'œil aux variations de section.
Hypothèse validée : Bois de fil droit, sans bois de réaction. Une pièce à fil incliné pourrait présenter un retrait longitudinal dix fois supérieur.
Vérification croisée : La déformation relative vaut \( 0{,}00005 \times 10 = 0{,}05 \) %, soit 0,05 % de 5 000 mm : 2,5 mm. Les deux chemins concordent.
Finalité : Cette variation complètera le gonflement volumique et la longueur finale.

\[ \begin{aligned} \Delta L &= L_{\text{i}}\;\alpha_{\text{L}}\;\Delta H = 5\,000 \times 0{,}00005 \times 10 \\ &= \mathbf{2{,}50} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,50 mm sur 5 mètres, soit 0,05 %. Voyons ce que ce chiffre représente réellement.

Ordre de grandeur : Deux millimètres et demi, soit plus que la tolérance de fabrication d'un sabot métallique. Le résultat n'est pas négligeable en valeur absolue.
Impact sur la suite : Dans le gonflement volumique, cette direction ne pèsera que 1,2 % du total. Là, elle est parfaitement négligeable.
Cohérence : Le coefficient est 52 fois plus faible que le tangentiel, mais la longueur est 16,7 fois plus grande que la hauteur : le mouvement n'est donc que 3,1 fois plus petit.
Attention : Sur un assemblage à broches en série, cet allongement crée un décalage progressif entre bois et acier qui concentre la charge sur les fixations d'extrémité.
Comparaison : Sur une poutre de 15 m, l'allongement atteindrait 7,5 mm — soit autant que le gonflement tangentiel de la hauteur. Le classement des trois directions dépend de la géométrie.

Remarque pédagogique : Demandez aux étudiants, avant le calcul, si le mouvement longitudinal sera dix, cent ou mille fois plus petit que le tangentiel. La plupart répondront cinquante — le rapport des coefficients — et découvriront qu'il n'est que trois fois plus petit. C'est une leçon durable sur la différence entre un rapport de coefficients et un rapport de résultats.

Largeur finale de la poutre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la cote réelle que rencontrera l'assemblage. La cote nominale du plan ne vaut qu'à l'humidité d'usinage.

Méthodologie du calcul :

Simple addition de la dimension initiale et de sa variation, avec vérification par l'écriture factorisée.

Substitution : \( b_{\text{i}} = 150 \) mm et \( \Delta b = 2{,}40 \) mm de la question 1.
Piège évité : Ne pas arrondir avant d'avoir terminé. L'arrondi des dimensions finales fausserait le gonflement volumique de la question 3.
Hypothèse validée : Pièce libre de se déformer dans cette direction. Si elle était bridée latéralement, la cote resterait proche de 150 et une contrainte apparaîtrait.
Vérification croisée : \( 150 \times 1{,}016 = 152{,}40 \) mm par l'écriture factorisée. Les deux voies concordent exactement.
Finalité : Cette cote entrera dans le calcul du volume final.

\[ \begin{aligned} b_{\text{f}} &= b_{\text{i}} + \Delta b = 150 + 2{,}40 \\ &= \mathbf{152{,}40} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

152,40 mm au lieu de 150. Voyons ce que ce chiffre représente pour l'exécution.

Ordre de grandeur : Un gonflement de 1,6 %, à comparer aux tolérances d'usinage du bois qui sont de l'ordre de 1 mm. Le mouvement dépasse largement la tolérance.
Impact sur la suite : Dans un sabot dimensionné au nu de 150 mm, la poutre viendrait buter latéralement sur les deux ailes.
Cohérence : Le rapport \( b_{\text{f}}/b_{\text{i}} = 1{,}016 \) redonne exactement \( 1 + \alpha_{\text{R}}\,\Delta H \). Le contrôle est immédiat.
Attention : Cette cote est un état d'équilibre, atteint après plusieurs mois sur une section de 150 mm d'épaisseur. La pièce passera par des états intermédiaires non uniformes.
Comparaison : Un séchage vers 8 % donnerait 149,04 mm au lieu de 150, soit près d'un millimètre de moins. Le mouvement est réversible, dans les deux sens.

Remarque pédagogique : Insistez sur la phrase « un bois de 150 n'est plus un bois de 150 ». Elle heurte l'intuition acquise sur l'acier et le béton, dont les cotes sont stables. Elle explique pourtant l'essentiel des désordres en construction bois : des pièces conçues comme si leurs dimensions ne changeaient pas, dans un matériau dont c'est la propriété la plus constante.

Hauteur finale de la poutre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la cote dimensionnante pour les assemblages : c'est dans cette direction que le mouvement est maximal.

Méthodologie du calcul :

Même addition, avec la variation tangentielle établie en question 1.

Substitution : \( h_{\text{i}} = 300 \) mm et \( \Delta h = 7{,}80 \) mm de la question 1.
Piège évité : Ne pas confondre avec la largeur. Les deux dimensions ont des coefficients différents : leurs variations ne sont pas proportionnelles à leurs valeurs.
Hypothèse validée : Pièce libre en hauteur. C'est précisément cette liberté que la question 4 va interroger.
Vérification croisée : \( 300 \times 1{,}026 = 307{,}80 \) mm par l'écriture factorisée. Les deux voies concordent exactement.
Finalité : Cette cote donnera le jeu minimal à prescrire, et entrera dans le volume final.

\[ \begin{aligned} h_{\text{f}} &= h_{\text{i}} + \Delta h = 300 + 7{,}80 \\ &= \mathbf{307{,}80} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

307,80 mm au lieu de 300, soit près de huit millimètres de plus. Voyons ce que ce chiffre implique.

Ordre de grandeur : Un gonflement de 2,6 %. Sur une retombée visible, huit millimètres se voient à l'œil nu par comparaison avec une pièce voisine restée sèche.
Impact sur la suite : C'est la variation qui commande le jeu des assemblages. Elle sera reprise telle quelle en question 4.
Cohérence : Le rapport \( h_{\text{f}}/h_{\text{i}} = 1{,}026 \) redonne exactement \( 1 + \alpha_{\text{T}}\,\Delta H \). Le contrôle est immédiat.
Attention : Le gonflement se répartit de part et d'autre de l'axe si la pièce est libre. Posée sur un appui, elle monte de 7,80 mm en face supérieure.
Comparaison : En chêne, la même hauteur atteindrait 312,0 mm. En bois thermo-traité, dont les coefficients sont réduits de moitié ou plus, elle resterait sous 304 mm.

Remarque pédagogique : Faites comparer les deux gonflements de la section : 1,6 % et 2,6 %. Cet écart, apparemment modeste, est exactement ce qui provoque le tuilage des planches débitées sur dosse et la fente radiale des rondins. Un même phénomène explique deux désordres que les étudiants apprennent d'ordinaire séparément.

Longueur finale de la poutre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter le jeu de trois cotes que l'entreprise reportera sur ses plans, et pour disposer du volume final en question 3.

Méthodologie du calcul :

Même addition, avec la variation longitudinale établie juste avant.

Substitution : \( L_{\text{i}} = 5\,000 \) mm et \( \Delta L = 2{,}50 \) mm du premier calcul de cette question.
Piège évité : Ne pas arrondir à 5 000 mm en jugeant l'écart insignifiant. C'est précisément cet écart que la question 3 va peser dans le volume.
Hypothèse validée : Poutre libre en longueur, appuyée sans blocage axial. Un encastrement aux deux extrémités transformerait cet allongement en effort normal.
Vérification croisée : \( 5\,000 \times 1{,}0005 = 5\,002{,}50 \) mm par l'écriture factorisée. Les deux voies concordent exactement.
Finalité : Cette cote complétera le volume final et permettra de mesurer le poids réel de la direction longitudinale.

\[ \begin{aligned} L_{\text{f}} &= L_{\text{i}} + \Delta L = 5\,000 + 2{,}50 \\ &= \mathbf{5\,002{,}50} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

5 002,50 mm au lieu de 5 000, soit 0,05 %. Voyons ce que ce chiffre représente.

Ordre de grandeur : Deux millimètres et demi d'allongement. C'est peu en relatif mais du même ordre que le jeu d'un trou de broche surdimensionné.
Impact sur la suite : Dans le gonflement volumique, ce facteur 1,0005 pèsera 1,2 % du total. Sa contribution y est effectivement marginale.
Cohérence : Les trois facteurs de gonflement s'échelonnent en 1,0005 / 1,016 / 1,026. Cet étalement d'un facteur cinquante entre le premier et le dernier est la signature de l'anisotropie du bois.
Attention : Sur une poutre encastrée aux deux extrémités, cet allongement empêché produirait un effort normal de compression. Le module axial étant trente fois le module transversal, la contrainte serait considérable.
Comparaison : Un profilé acier de 5 m subissant une variation de 20 °C s'allongerait de 1,2 mm. La poutre bois bouge donc deux fois plus sous ce changement d'humidité que l'acier sous une variation thermique courante.

Remarque pédagogique : Terminez cette question par la comparaison avec la dilatation thermique de l'acier. Les étudiants ont intégré qu'il faut prévoir des joints de dilatation sur une charpente métallique ; ils découvrent que le bois bouge davantage, pour une cause différente, et que la même logique de liberté de mouvement s'y applique.

RÉSULTAT FINAL

Section finale = 152,40 × 307,80 mm — longueur 5 002,50 mm

"Les trois cotes ont changé : voyons ce que cela fait au volume !"

Question 3 : Gonflement volumique

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai trois mouvements ; je veux un chiffre. Le gonflement volumique est l'indicateur que l'on compare d'une essence à l'autre, celui que l'on trouve dans les fiches techniques et celui qui intervient dans les calculs de masse volumique. Deux voies y mènent : le produit exact des trois facteurs, et la somme des déformations, plus rapide. Je vais faire les deux — non par excès de zèle, mais parce que l'écart entre elles est instructif. La somme néglige les termes croisés, ces produits de deux déformations qui apparaissent quand on développe le produit. Ils sont du second ordre, donc petits, mais « petit » n'est pas « nul » : je veux savoir de combien, pour pouvoir dire dans quel contexte l'approximation reste acceptable."

Observation : Le volume est un produit de trois dimensions. Son rapport final sur initial est donc le produit des trois rapports — jamais leur somme, même si les deux se ressemblent beaucoup ici.
Analyse du risque : Additionner les variations en millimètres au lieu des déformations relatives est l'erreur d'homogénéité type. Elle donnerait un « gonflement » de 12,7, nombre sans unité ni signification.
Choix stratégique : Je calcule le produit exact comme résultat de référence, et l'approximation comme contrôle. Deux voies indépendantes qui convergent valent mieux qu'un résultat unique.
Alternative : J'aurais pu employer un coefficient de retrait volumique tabulé, de l'ordre de 0,45 % par point pour le Douglas. Je l'écarte : il donnerait un résultat voisin sans permettre de vérifier la cohérence avec les trois directions calculées.
Objectif visé : Sortir avec un gonflement volumique et une idée claire de la validité de l'approximation linéaire — parce que c'est elle que l'on emploiera en pratique, une fois qu'on saura ce qu'elle coûte.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( V_{\text{i}} = 2{,}2500 \times 10^{8} \) mm³ · \( V_{\text{f}} = 2{,}3466 \times 10^{8} \) mm³ · \( \Delta V/V = \mathbf{4{,}29} \) % — approximation : 4,25 %

Rappel Théorique : pourquoi la somme approche le produit

Remplacer un produit par une somme est l'une des approximations les plus employées en ingénierie. Elle repose sur un développement limité, et elle a un domaine de validité qu'il faut connaître pour l'utiliser sans risque.

Principe 1 — le volume est un produit, pas une somme : \( V = b\,h\,L \), donc \( V_{\text{f}}/V_{\text{i}} \) est le produit des trois rapports. C'est le point de départ exact, dont tout le reste dérive.
Principe 2 — développer le produit fait apparaître des termes croisés : \( (1+\varepsilon_1)(1+\varepsilon_2)(1+\varepsilon_3) = 1 + \sum \varepsilon_i + \sum \varepsilon_i\varepsilon_j + \varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_3 \). L'approximation consiste à ne garder que le premier ordre.
Principe 3 — les termes négligés sont du second ordre : Le plus grand vaut \( \varepsilon_{\text{R}}\,\varepsilon_{\text{T}} = 0{,}016 \times 0{,}026 \), soit 0,042 %. Il explique à lui seul la quasi-totalité de l'écart entre les deux voies.
Principe 4 — l'approximation se dégrade avec l'amplitude : L'erreur croît comme le carré des déformations. À 1 % d'écart ici, elle atteindrait 4 % pour des déformations deux fois plus grandes — cas d'un séchage complet depuis l'état saturé.
Principe 5 — le gonflement volumique se retrouve dans la masse volumique : La masse de bois sec ne change pas, mais le volume augmente : la masse volumique anhydre apparente diminue d'autant. C'est pourquoi toute valeur de masse volumique doit être assortie de son humidité de référence.

Équations Fondamentales

Deux relations qui décrivent la même grandeur : l'une exacte, l'autre approchée. Les confronter est tout l'intérêt de la question, et c'est ce qui permettra ensuite d'employer la seconde en connaissance de cause.

Gonflement volumique exact :

Il donne la variation relative de volume par le produit des trois facteurs directionnels.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le volume d'un parallélépipède est le produit de ses trois dimensions. Chacune étant multipliée par son propre facteur de gonflement, le volume est multiplié par le produit de ces facteurs. Aucune approximation n'intervient à ce stade : la relation est exacte.

Contexte de validité : Pièce restant parallélépipédique après déformation. Une pièce qui tuile ou vrille sortirait de ce cadre, et son volume devrait être calculé autrement.
Avantage : Le résultat est exact et indépendant de l'amplitude des déformations. Il reste valable pour un séchage complet, là où l'approximation linéaire fauterait nettement.
Paramètre clé : La déformation tangentielle, la plus grande des trois. Elle apporte à elle seule plus de la moitié du gonflement volumique.
Vérification : Le résultat doit être légèrement supérieur à la somme des trois déformations, jamais inférieur : les termes croisés sont tous positifs en gonflement.
Limite : Elle suppose les trois déformations indépendantes. En réalité, un bridage dans une direction modifie légèrement le gonflement dans les autres, effet ici négligé.

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta V}{V} = \bigl(1+\varepsilon_{\text{R}}\bigr)\bigl(1+\varepsilon_{\text{T}}\bigr)\bigl(1+\varepsilon_{\text{L}}\bigr) - 1 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : chaque direction étire la pièce d'un facteur, et le volume subit les trois à la fois. C'est la même logique qu'une hausse de prix appliquée trois fois de suite : on multiplie les facteurs, on ne les additionne pas — même si à faible amplitude les deux se ressemblent au point qu'on les confond.

Décomposition des termes :

\( \Delta V/V \) : gonflement volumique relatif, unité : sans dimension
\( \varepsilon_{\text{R}} \) : déformation radiale, 1,6 % ici, unité : sans dimension
\( \varepsilon_{\text{T}} \) : déformation tangentielle, 2,6 % ici, unité : sans dimension
\( \varepsilon_{\text{L}} \) : déformation longitudinale, 0,05 % ici, unité : sans dimension
Le « −1 » : retranche le volume initial pour ne garder que la variation, unité : sans dimension

Gonflement volumique approché :

Il remplace le produit par une somme, en ne gardant que les termes du premier ordre.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le développement du produit fait apparaître des termes croisés en \( \varepsilon_i\,\varepsilon_j \), du second ordre : pour des déformations de quelques pour cent, ils valent quelques dix-millièmes. Les négliger transforme un produit en somme, calculable de tête.

Contexte de validité : Déformations faibles, de l'ordre de quelques pour cent. Au-delà de 10 %, l'écart devient significatif et le produit exact s'impose.
Avantage : Un calcul mental : trois nombres à additionner. C'est la forme employée sur chantier et en avant-projet, quand on veut un ordre de grandeur immédiat.
Paramètre clé : L'amplitude des déformations. L'erreur croît comme leur carré : doubler les déformations quadruple l'écart relatif.
Vérification : La somme doit toujours être inférieure au produit exact en gonflement, et supérieure en retrait. Un écart de signe contraire signale une erreur.
Limite : Elle additionne des déformations relatives, jamais des millimètres. Sommer des variations dimensionnelles n'aurait aucun sens dimensionnel.

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta V}{V} \approx \varepsilon_{\text{R}} + \varepsilon_{\text{T}} + \varepsilon_{\text{L}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : tant que les mouvements restent petits, le volume grandit à peu près de la somme des trois allongements relatifs. Le « à peu près » se paie en termes croisés : ce sont les petits volumes de coin, ceux qu'on oublie en dessinant l'agrandissement direction par direction.

Décomposition des termes :

\( \varepsilon_{\text{R}} + \varepsilon_{\text{T}} + \varepsilon_{\text{L}} \) : somme des trois déformations relatives, unité : sans dimension
Termes négligés : les produits deux à deux, du second ordre, unité : sans dimension
Terme dominant négligé : \( \varepsilon_{\text{R}}\,\varepsilon_{\text{T}} \), soit 0,042 % ici, unité : sans dimension
Sens de l'erreur : la somme sous-estime toujours le gonflement, unité : sans objet
Domaine : acceptable tant que les déformations restent sous quelques pour cent, unité : sans objet

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'additionner les variations en millimètres — 2,40 + 7,80 + 2,50 — au lieu des déformations relatives..."

L'approche d'ingénieur : La confusion vient de ce que l'approximation est bien une somme : reste à savoir une somme de quoi. Additionner des millimètres produit un nombre en millimètres, qui ne peut pas être un pourcentage de volume.

L'erreur : La somme des millimètres vaut 12,70 — un nombre dont on ne sait que faire. Interprété comme un pourcentage, il donnerait un gonflement trois fois trop grand.
La bonne méthode : Ramener chaque variation à sa dimension d'origine avant de sommer : 2,40/150, 7,80/300 et 2,50/5 000. On additionne alors des grandeurs sans dimension, ce qui a un sens.
L'astuce de pro : Écrivez les trois déformations en pourcentage dès le départ : 1,60 %, 2,60 %, 0,05 %. La somme est alors immédiate et l'erreur d'homogénéité devient impossible.
Le moyen mnémotechnique : « On somme des pour cent, pas des millimètres » — l'unité du résultat dit toujours ce qu'il fallait sommer.
L'impact direct : Un gonflement volumique annoncé à 12,7 % au lieu de 4,29 % fausserait tout calcul de masse volumique à humidité donnée, et donc les charges permanentes dérivées.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( V_{\text{i}} \) et \( V_{\text{f}} \) : obtenus en mm³ — produit de trois longueurs en mm
Leur rapport : grandeur sans dimension , les mm³ se simplifient
Les déformations : grandeurs sans dimension , à exprimer en %
\( \Delta V/V \) : grandeur sans dimension , jamais en mm³
Conversion utile : 1 m³ vaut 10⁹ mm³ — la poutre fait 0,225 m³

Cette question ne comporte aucune conversion, mais elle comporte un piège d'homogénéité. Le gonflement volumique est un rapport : il n'a pas d'unité. Tout résultat exprimé en mm³ ou en millimètres signale qu'on a sommé ou soustrait au lieu de diviser. L'unité du résultat est ici le meilleur des contrôles.

1. Résolution Numérique Volume initial de la poutre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer d'une référence. Le gonflement volumique n'a de sens que rapporté au volume de départ.

Méthodologie du calcul :

Produit des trois dimensions nominales, celles de l'état initial à 12 % d'humidité.

Substitution : \( b_{\text{i}} = 150 \) mm, \( h_{\text{i}} = 300 \) mm et \( L_{\text{i}} = 5\,000 \) mm.
Piège évité : Conserver les millimètres pour les trois dimensions. Mélanger mm et m donnerait un volume faux d'un facteur mille ou un million.
Hypothèse validée : Section constante sur toute la longueur : la poutre est un parallélépipède droit.
Vérification croisée : \( 0{,}150 \times 0{,}300 \times 5{,}000 = 0{,}225 \) m³, soit 2,25 × 10⁸ mm³. Les deux systèmes d'unités concordent.
Finalité : Ce volume servira de dénominateur au gonflement volumique.

\[ \begin{aligned} V_{\text{i}} &= b_{\text{i}}\,h_{\text{i}}\,L_{\text{i}} = 150 \times 300 \times 5\,000 \\ &= \mathbf{2{,}2500 \times 10^{8}} \text{ mm}^{3} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,25 × 10⁸ mm³, soit 0,225 m³ de bois. Voyons ce que ce chiffre représente.

Ordre de grandeur : Un peu plus d'un cinquième de mètre cube : à 520 kg/m³ pour du Douglas à 12 %, la poutre pèse environ 117 kg.
Impact sur la suite : C'est l'étalon auquel sera rapporté le volume final. Il ne sert à rien d'autre dans le calcul.
Cohérence : Le mètre cube est l'unité de commande du bois de charpente. Exprimer le volume dans cette unité est ce qui permet de dialoguer avec le fournisseur.
Attention : Ce volume est celui de l'état initial à 12 %. Un volume de bois n'a de sens qu'assorti de son humidité de référence.
Comparaison : La section seule vaut 45 000 mm², soit 450 cm². C'est cette grandeur, et non le volume, qui interviendrait dans un calcul de compression.

Remarque pédagogique : Faites convertir le volume en mètres cubes et en déduire la masse. Un nombre en mm³ ne parle à personne ; 0,225 m³ et 117 kg se visualisent immédiatement. C'est aussi l'occasion de rappeler qu'une masse volumique de bois s'accompagne toujours d'une humidité — sans quoi elle ne veut rien dire.

Volume final de la poutre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le volume réel de la poutre dans son nouvel état d'équilibre, celui qu'elle occupera dans l'ouvrage.

Méthodologie du calcul :

Produit des trois dimensions finales établies à la question 2, sans arrondi intermédiaire.

Substitution : \( b_{\text{f}} = 152{,}40 \) mm, \( h_{\text{f}} = 307{,}80 \) mm et \( L_{\text{f}} = 5\,002{,}50 \) mm.
Piège évité : Ne pas arrondir les dimensions finales. Ramener 5 002,50 à 5 000 supprimerait la contribution longitudinale et fausserait le résultat de 0,05 point.
Hypothèse validée : La pièce reste parallélépipédique : les faces demeurent planes et les angles droits, ce qui suppose un débit sur quartier régulier.
Vérification croisée : La section finale vaut \( 152{,}40 \times 307{,}80 = 46\,908{,}72 \) mm², soit 4,24 % de plus que les 45 000 mm² initiaux. Cohérent avec la somme des deux déformations de section.
Finalité : Ce volume sera rapporté au volume initial pour donner le gonflement.

\[ \begin{aligned} V_{\text{f}} &= b_{\text{f}}\,h_{\text{f}}\,L_{\text{f}} = 152{,}40 \times 307{,}80 \times 5\,002{,}50 \\ &= 46\,908{,}72 \times 5\,002{,}50 \\ &= \mathbf{2{,}3466 \times 10^{8}} \text{ mm}^{3} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,3466 × 10⁸ mm³, soit près de 0,235 m³. Voyons ce que ce chiffre représente.

Ordre de grandeur : Près de dix litres de bois en plus, pour une pièce qui n'a pourtant pas gagné un gramme de matière ligneuse — seulement de l'eau.
Impact sur la suite : C'est le numérateur du rapport. Le gonflement volumique s'en déduit par une simple division.
Cohérence : La section à elle seule gonfle de 4,24 %, et la longueur ajoute 0,05 %. Le total de 4,29 % se retrouve bien.
Attention : La masse volumique ne suit pas la même loi : la masse augmente aussi, du fait de l'eau absorbée. Les deux effets se compensent partiellement.
Comparaison : La masse d'eau ajoutée vaut environ 46 kg par mètre cube de bois sec, soit près de 10 kg pour cette poutre. C'est autant de charge permanente supplémentaire.

Remarque pédagogique : Profitez de ce calcul pour poser la question de la masse : la poutre a-t-elle grossi sans changer de poids ? Non — elle a absorbé de l'eau, et gagné une dizaine de kilogrammes. C'est un effet que les calculs de charge permanente négligent souvent, et qui n'est pas anodin sur une charpente entière passant en classe de service 2.

Gonflement volumique exact

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'indicateur de synthèse : celui qui figure dans les fiches d'essence et permet de comparer un bois à un autre.

Méthodologie du calcul :

Rapport des deux volumes, diminué de 1, et exprimé en pourcentage.

Substitution : \( V_{\text{f}} = 2{,}3466 \times 10^{8} \) mm³ et \( V_{\text{i}} = 2{,}2500 \times 10^{8} \) mm³.
Piège évité : Ne pas oublier de retrancher 1. Le rapport brut vaut 1,0429 : l'annoncer tel quel donnerait un « gonflement de 104 % ».
Hypothèse validée : Les deux volumes portent sur la même pièce, dans deux états d'équilibre. Le rapport isole donc bien l'effet de l'humidité.
Vérification croisée : Le produit \( 1{,}016 \times 1{,}026 \times 1{,}0005 \) donne 1,0429 sans passer par les volumes. Les deux voies concordent.
Finalité : Fournir le résultat de référence, auquel sera comparée l'approximation linéaire.

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta V}{V} &= \frac{V_{\text{f}}}{V_{\text{i}}} - 1 = \frac{2{,}3466 \times 10^{8}}{2{,}2500 \times 10^{8}} - 1 \\ &= 1{,}0429 - 1 \\ &= \mathbf{4{,}29\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

4,29 % de gonflement volumique pour dix points d'humidité. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Soit environ 0,43 % par point d'humidité, valeur cohérente avec le coefficient de retrait volumique tabulé du Douglas.
Impact sur la suite : Cet indicateur sert à comparer les essences entre elles, mais il ne dit rien du jeu à prévoir : c'est la variation tangentielle qui commande.
Cohérence : La direction tangentielle apporte 2,60 points sur 4,29, la radiale 1,60 et la longitudinale 0,05. Le tangentiel pèse à lui seul plus de la moitié.
Attention : Ce gonflement modifie la masse volumique apparente : à masse de bois sec constante, un volume plus grand donne une masse volumique anhydre plus faible.
Comparaison : Le bois thermo-traité, dont les coefficients sont réduits de moitié à trois quarts, gonflerait de 1 à 2 % seulement dans les mêmes conditions.

Remarque pédagogique : Faites ramener le résultat à un point d'humidité : 0,43 % par point. Cette forme est directement comparable au coefficient de retrait volumique des fiches d'essence, et elle permet de vérifier la cohérence de l'ensemble sans refaire le calcul. C'est aussi sous cette forme que le résultat devient transposable à une autre amplitude.

Comparaison avec l'approximation linéaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour savoir ce que coûte l'approximation que l'on emploiera en pratique. Une approximation dont on a mesuré l'erreur devient un outil ; sans cela, c'est un pari.

Méthodologie du calcul :

Somme des trois déformations relatives, puis comparaison au résultat exact.

Substitution : \( \varepsilon_{\text{R}} = 1{,}60 \) %, \( \varepsilon_{\text{T}} = 2{,}60 \) % et \( \varepsilon_{\text{L}} = 0{,}05 \) %.
Piège évité : Sommer des pourcentages et non des millimètres. La somme des variations dimensionnelles vaudrait 12,70 mm, grandeur sans rapport avec un gonflement volumique.
Hypothèse validée : Déformations faibles, de quelques pour cent : le développement au premier ordre reste légitime.
Vérification croisée : Le terme croisé dominant vaut \( 0{,}016 \times 0{,}026 = 0{,}042 \) %, ce qui explique presque exactement l'écart de 0,04 point observé.
Finalité : Établir le domaine dans lequel l'approximation peut remplacer le calcul exact.

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta V}{V} &\approx \varepsilon_{\text{R}} + \varepsilon_{\text{T}} + \varepsilon_{\text{L}} = 1{,}60 + 2{,}60 + 0{,}05 \\ &= \mathbf{4{,}25\ \%} \\ \text{ecart} &= 4{,}29 - 4{,}25 = 0{,}04 \text{ point} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

4,25 % contre 4,29 % : un écart de 0,04 point, soit 1 % en relatif. Voyons ce que cela signifie.

Ordre de grandeur : Un écart très inférieur à la dispersion des coefficients eux-mêmes, qui atteint 20 % d'une bille à l'autre. L'approximation est donc largement acceptable.
Impact sur la suite : On peut employer la somme en avant-projet sans scrupule, et réserver le produit exact aux cas de fortes amplitudes.
Cohérence : L'écart est toujours du même signe : la somme sous-estime le gonflement, parce que tous les termes croisés négligés sont positifs.
Attention : L'erreur croît comme le carré des déformations. Pour un séchage complet depuis le PSF, avec des déformations trois fois plus grandes, elle atteindrait près de 10 % en relatif.
Comparaison : La direction longitudinale ne pèse que 0,05 sur 4,25, soit 1,2 % du total. Elle est ici pleinement négligeable — ce qui n'était pas le cas en millimètres.

Remarque pédagogique : Faites rapprocher ce résultat de celui de la question 2 : la direction longitudinale y était non négligeable en millimètres, elle est ici négligeable en contribution volumique. Même grandeur, même calcul, deux conclusions opposées selon le critère retenu. C'est la meilleure illustration possible de ce qu'une approximation n'a de sens que rapportée à un usage.

RÉSULTAT FINAL

\( \Delta V/V \) = 4,29 % — approximation linéaire : 4,25 %

"Le volume a bougé : que se passe-t-il si on l'en empêche ?"

Question 4 : Gonflement empêché et jeu à prévoir

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai trois nombres en millimètres. Seuls, ils n'intéressent personne : l'entreprise ne me demande pas de combien la poutre gonfle, elle me demande quel sabot commander. Or un gonflement libre ne fait aucun dégât — la poutre grandit, et voilà tout. Ce qui casse, c'est le gonflement empêché. Et là, le bois est dans la pire configuration possible : il est très mobile perpendiculairement au fil, et très faible dans cette même direction. Il pousse fort et il résiste peu. Je vais donc estimer la contrainte que développerait un bridage total, et la comparer aux résistances transversales. Je sais d'avance que le résultat sera écrasant — c'est justement pour cela qu'un ordre de grandeur suffit : je ne cherche pas à dimensionner un bridage, je cherche à établir qu'il est hors de question."

Observation : Le module perpendiculaire au fil vaut 370 N/mm², contre 11 000 dans le sens axial : le bois est trente fois plus souple en travers. Mais la déformation imposée par l'humidité y est, elle, cent fois plus grande qu'en flexion de service.
Analyse du risque : Un sabot dimensionné au nu de la cote nominale bloque le gonflement dès les premiers points d'humidité. La contrainte de traction transversale induite dépasse la résistance d'un facteur vingt-quatre : la poutre fend au droit de l'assemblage.
Choix stratégique : Je calcule la contrainte dans la direction tangentielle, la plus défavorable, et je la compare aux deux résistances transversales — compression et traction — parce que le mécanisme de ruine n'est pas le même selon la géométrie du bridage.
Alternative : J'aurais pu mener un calcul mécano-sorptif complet, tenant compte du fluage sous humidité variable qui relaxe une part importante de la contrainte. Je l'écarte : il donnerait une valeur plus faible, mais toujours très au-delà de la résistance. La conclusion ne changerait pas.
Objectif visé : Sortir avec une prescription, pas un constat. L'entreprise doit recevoir un nombre de millimètres à reporter sur sa commande, assorti de la raison qui le justifie.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( \sigma_{90} = 9{,}62 \) N/mm² · soit 3,85 fois \( f_{\text{c},90,\text{k}} \) et 24 fois \( f_{\text{t},90,\text{k}} \) · jeu prescrit : \( \mathbf{8} \) mm

Rappel Théorique : pourquoi c'est le bridage qui casse, jamais le gonflement

Un matériau qui se déforme librement ne développe aucune contrainte. Toute la pathologie du bois en service vient de ce que quelque chose s'oppose à un mouvement que rien ne peut arrêter.

Principe 1 — déformation libre, contrainte nulle : Une poutre qui gonfle sans obstacle ne subit aucune contrainte. Le gonflement n'est pas un chargement : c'est une déformation imposée, et elle n'est dangereuse que si on l'empêche.
Principe 2 — le bridage convertit la déformation en contrainte : Empêcher totalement un allongement \( \varepsilon \) revient à appliquer la contrainte \( E\,\varepsilon \) qui l'annulerait. C'est la loi de Hooke lue à l'envers, et elle donne directement l'ordre de grandeur.
Principe 3 — le bois est faible perpendiculairement au fil : \( f_{\text{t},90,\text{k}} = 0{,}4 \) N/mm² pour du C24, soit soixante fois moins qu'en flexion. C'est la direction dans laquelle il fend, et c'est précisément celle du gonflement maximal.
Principe 4 — le fluage relaxe une part de la contrainte : Sous humidité variable, l'effet mécano-sorptif amplifie le fluage et dissipe une partie de la contrainte de bridage. Le calcul élastique est donc une borne haute, pas une prédiction.
Principe 5 — la conception consiste à laisser bouger : L'EN 1995-1-1 impose au § 10.2 de tenir compte des variations dimensionnelles dans les assemblages. La solution n'est jamais de résister au mouvement, toujours de le permettre : trous oblongs, jeux, fixations glissantes.

Équations Fondamentales

Deux relations : une loi de comportement lue à l'envers, et un critère de conception qui n'a rien d'un calcul mais qui est le vrai livrable de l'étude.

Contrainte de gonflement totalement empêché :

Elle donne la contrainte qu'il faudrait appliquer pour annuler le gonflement — donc celle que développe un bridage parfait.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'empêcher une déformation revient à superposer la déformation opposée, et que la loi de Hooke donne la contrainte associée. Le raisonnement est le même que pour une dilatation thermique bridée : la cause diffère, la mécanique est identique.

Contexte de validité : Bridage total et instantané, comportement élastique. Deux hypothèses fortes, qui font de ce calcul une borne haute et non une valeur de dimensionnement.
Avantage : Un calcul immédiat qui suffit à trancher. Quand le résultat dépasse la résistance d'un facteur vingt, aucun raffinement ne peut renverser la conclusion.
Paramètre clé : Le module perpendiculaire au fil, \( E_{90} \), et non le module axial. L'employer par erreur donnerait une contrainte trente fois supérieure, encore plus absurde.
Vérification : Des N/mm² multipliés par une grandeur sans dimension donnent des N/mm². La déformation doit être en valeur décimale, 0,026 et non 2,6.
Limite : Elle ignore le fluage et l'effet mécano-sorptif, qui relaxent une part importante de la contrainte pendant que l'humidité varie sur plusieurs semaines.

\[ \begin{aligned} \sigma_{90} = E_{90,\text{mean}}\;\varepsilon \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici la force qu'il faudrait opposer, par unité de surface, pour convaincre le bois de ne pas gonfler. C'est le principe des coins de bois humidifiés que l'on enfonçait dans la roche pour la fendre : le gonflement contrarié développe des pressions que rien n'arrête, et surtout pas un sabot métallique.

Décomposition des termes :

\( \sigma_{90} \) : contrainte perpendiculaire au fil développée par le bridage, unité : N/mm²
\( E_{90,\text{mean}} \) : module moyen perpendiculaire au fil, 370 N/mm² pour le C24, unité : N/mm²
\( \varepsilon \) : déformation empêchée, ici la déformation tangentielle 0,026, unité : sans dimension
À ne pas employer : \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm², module axial, unité : N/mm²
Nature du résultat : borne haute élastique, non relaxée par le fluage, unité : sans objet

Critère de conception : laisser le mouvement libre :

Il traduit la seule stratégie viable : prévoir un jeu au moins égal au mouvement attendu.

Pourquoi cette formule ?

Parce que résister au gonflement est impossible : la contrainte développée dépasse de très loin la résistance transversale du bois, quelle que soit la robustesse de l'assemblage. La seule conception qui tient est celle qui accompagne le mouvement au lieu de s'y opposer.

Contexte de validité : Assemblage dont la géométrie autorise un jeu — sabot, étrier, trou oblong. Un assemblage collé ou une file de broches serrées ne le permettent pas.
Avantage : Un critère directement exploitable : un nombre de millimètres à porter sur un plan d'exécution. C'est la forme sous laquelle l'étude devient utile.
Paramètre clé : La direction du mouvement à libérer. Ce n'est pas la plus grande dimension qui commande, mais celle dont le coefficient est le plus élevé.
Vérification : Le jeu doit être arrondi au millimètre supérieur, jamais inférieur. Un arrondi vers le bas annulerait la marge que le calcul vient d'établir.
Limite : Un jeu excessif nuit à la tenue mécanique de l'assemblage. Le dimensionnement du jeu est un compromis, pas une maximisation.

\[ \begin{aligned} j \ge \Delta d \quad \text{dans la direction du mouvement} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : laissez-lui la place de bouger et il ne se passera rien. C'est le principe de tous les assemblages bois réussis, des charpentes traditionnelles aux ossatures contemporaines : on ne combat pas le retrait-gonflement, on l'accompagne. Les tenons-mortaises chevillés des charpentes anciennes ne font rien d'autre.

Décomposition des termes :

\( j \) : jeu à prévoir dans l'assemblage, unité : mm
\( \Delta d \) : variation dimensionnelle attendue dans la direction concernée, unité : mm
Direction critique : celle du plus grand coefficient, ici la tangentielle, unité : sans objet
Arrondi : toujours au millimètre supérieur, unité : mm
Référence normative : EN 1995-1-1 § 10.2, prise en compte des variations dimensionnelles, unité : sans objet

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de conclure que le gonflement est faible et donc sans conséquence, parce que quelques millimètres sur trente centimètres paraissent négligeables..."

L'approche d'ingénieur : Le raisonnement confond amplitude et conséquence. Ce n'est pas la taille du mouvement qui compte, c'est la contrainte qu'il développe s'il est empêché — et le bois est très raide comparé à sa résistance transversale.

L'erreur : Juger 7,80 mm sur 300 « négligeable » revient à ignorer une déformation de 2,6 %. C'est près de trente fois la déformation qu'une poutre subit en flexion sous charge de service.
La bonne méthode : Convertir systématiquement une déformation empêchée en contrainte, et la comparer à la résistance. C'est le seul raisonnement qui permet de trancher.
L'astuce de pro : Retenez que le bois est mobile et faible dans la même direction : il pousse fort perpendiculairement au fil, et c'est précisément là qu'il ne résiste à rien.
Le moyen mnémotechnique : « Le bois ne casse pas en bougeant, il casse en étant retenu ».
L'impact direct : Les fentes au droit des assemblages sont la pathologie la plus fréquente des charpentes bois. Elles ne viennent presque jamais d'un défaut de résistance mécanique, mais d'un mouvement hygroscopique bridé.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( E_{90,\text{mean}} \) : exprimé en N/mm² — identique au MPa, aucune conversion
\( \varepsilon \) : grandeur sans dimension — 0,026 et non 2,6
\( \sigma_{90} \) : obtenue en N/mm² — directement comparable aux résistances
\( f_{\text{c},90,\text{k}} \) et \( f_{\text{t},90,\text{k}} \) : en N/mm² , valeurs caractéristiques
Le jeu : en mm , arrondi au millimètre supérieur

Le seul piège d'unité de cette question porte sur la déformation. Elle vaut 0,026 en valeur décimale, et non 2,6 comme on l'écrit en pourcentage. Employer 2,6 donnerait une contrainte de 962 N/mm², cent fois trop grande — absurde, mais dans le même sens que le résultat correct, donc facile à ne pas voir.

1. Résolution Numérique Contrainte de gonflement empêché

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer le danger du bridage. Sans ce nombre, l'affirmation « il faut laisser bouger le bois » reste un principe que rien ne justifie.

Méthodologie du calcul :

Loi de Hooke appliquée à la déformation tangentielle, la plus grande des trois, avec le module perpendiculaire au fil.

Substitution : \( E_{90,\text{mean}} = 370 \) N/mm² pour le C24 et \( \varepsilon_{\text{T}} = 0{,}026 \) issue de la question 1.
Piège évité : Ne pas employer \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm². Le gonflement se produit perpendiculairement au fil : c'est le module transversal qui s'applique.
Hypothèse validée : Bridage total et comportement élastique. Deux hypothèses volontairement défavorables : le résultat est une borne haute.
Vérification croisée : \( 370 \times 0{,}026 \) revient à prendre 2,6 % de 370, soit environ 9,6. Le calcul mental confirme.
Finalité : Cette contrainte sera confrontée aux deux résistances transversales du bois.

\[ \begin{aligned} \sigma_{90} &= E_{90,\text{mean}}\;\varepsilon_{\text{T}} = 370 \times 0{,}026 \\ &= \mathbf{9{,}62} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

9,62 N/mm² perpendiculairement au fil. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Près de dix N/mm², soit 98 kg par centimètre carré de surface bridée. Le gonflement contrarié développe des pressions considérables.
Impact sur la suite : C'est le numérateur des deux comparaisons qui suivent. Le verdict est déjà lisible : cette valeur dépasse largement les résistances transversales.
Cohérence : C'est près des deux tiers de la contrainte de flexion admissible du C24 en service — obtenue sans aucune charge extérieure, par la seule variation d'humidité.
Attention : Cette valeur est une borne haute élastique. Le fluage mécano-sorptif en relaxerait une part importante — sans jamais ramener la contrainte sous la résistance.
Comparaison : Dans la direction radiale, avec \( \varepsilon_{\text{R}} = 0{,}016 \), la contrainte tomberait à 5,92 N/mm². Toujours bien au-delà du supportable.

Remarque pédagogique : Convertissez la contrainte en kilogrammes par centimètre carré : environ 98. Ce chiffre rend tangible ce qu'un N/mm² ne dit pas, et il rejoint une technique attestée — celle des coins de bois sec humidifiés que l'on employait pour fendre la pierre. Le calcul retrouve un procédé millénaire.

Comparaison aux résistances transversales

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une contrainte n'a de sens que rapportée à une résistance. Et le bois en possède deux, très différentes, selon que le bridage comprime ou tire.

Méthodologie du calcul :

Deux rapports, à la compression et à la traction transversales, parce que le mécanisme de ruine dépend de la géométrie du bridage.

Substitution : \( \sigma_{90} = 9{,}62 \) N/mm², \( f_{\text{c},90,\text{k}} = 2{,}5 \) et \( f_{\text{t},90,\text{k}} = 0{,}4 \) N/mm² pour le C24.
Piège évité : Ne pas comparer à \( f_{\text{m},\text{k}} = 24 \) N/mm². La résistance en flexion n'a rien à voir : elle s'exerce parallèlement au fil, pas en travers.
Hypothèse validée : Comparaison à des valeurs caractéristiques, sans coefficients partiels. L'objet est un ordre de grandeur, pas une vérification réglementaire.
Vérification croisée : Le rapport entre les deux résistances vaut \( 2{,}5/0{,}4 = 6{,}25 \) : le bois résiste six fois mieux à l'écrasement transversal qu'à la fente.
Finalité : Établir que le bridage est impraticable, quelle que soit la nature de l'effort qu'il induit.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{90}}{f_{\text{c},90,\text{k}}} &= \frac{9{,}62}{2{,}5} = \mathbf{3{,}85} \\ \frac{\sigma_{90}}{f_{\text{t},90,\text{k}}} &= \frac{9{,}62}{0{,}4} = \mathbf{24} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

3,85 fois la résistance en compression transversale, 24 fois celle en traction. Voyons ce que cela implique.

Ordre de grandeur : Un dépassement d'un facteur 4 à 24 : ce n'est pas un ajustement de conception, c'est l'impossibilité physique de brider.
Impact sur la suite : La seule stratégie viable est de libérer le mouvement. Le jeu à prévoir en découle immédiatement.
Cohérence : En compression, le bois s'écrase localement et absorbe une partie du mouvement sans rompre. En traction, il fend — et la fente ne se referme jamais.
Attention : Le mode traction transversale est le plus dangereux : ruine fragile, sans déformation annonciatrice, et irréversible. C'est le mécanisme des fentes au droit des assemblages.
Comparaison : Même en divisant la contrainte par trois pour tenir compte du fluage mécano-sorptif, le rapport resterait de 8 en traction. La conclusion ne dépend pas de l'hypothèse élastique.

Remarque pédagogique : Faites comparer aux deux résistances plutôt qu'à une seule. Les étudiants découvrent que le bois encaisse honorablement l'écrasement transversal — il se tasse — mais qu'il ne supporte quasiment rien en traction perpendiculaire. Cette dissymétrie explique pourquoi un assemblage qui serre est moins grave qu'un assemblage qui retient.

Jeu minimal à prescrire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le livrable de toute l'étude. L'entreprise attend un nombre de millimètres, pas un exposé sur l'anisotropie du bois.

Méthodologie du calcul :

Reprise de la variation tangentielle, la plus grande, et arrondi au millimètre supérieur.

Substitution : \( \Delta h = 7{,}80 \) mm, variation maximale, issue de la question 1.
Piège évité : Ne pas retenir la variation de largeur, plus faible. Le jeu doit couvrir le mouvement le plus grand, pas le plus commode.
Hypothèse validée : Assemblage dont la géométrie autorise un jeu : sabot, étrier ou trou oblong. Un assemblage collé exigerait une autre stratégie.
Vérification croisée : Le jeu retenu doit rester compatible avec la tenue mécanique de l'assemblage : 8 mm sur une hauteur de 300 représente 2,7 %, ce qui reste acceptable.
Finalité : Fournir la prescription à porter sur le plan d'exécution.

\[ \begin{aligned} j &\ge \Delta h = 7{,}80 \text{ mm} \\ &\Rightarrow j = \mathbf{8} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

8 mm de jeu à prévoir en hauteur. Voyons ce que cette prescription implique concrètement.

Ordre de grandeur : Huit millimètres, soit 2,7 % de la hauteur. C'est un jeu important, qui doit être annoncé explicitement pour ne pas être pris pour un défaut de fabrication.
Impact sur la suite : Le sabot doit être commandé pour une hauteur de 308 mm, ou muni de trous oblongs permettant ce déplacement.
Cohérence : En largeur, un jeu de 3 mm suffirait — 2,40 arrondi au supérieur. Les deux directions n'appellent pas la même prescription.
Attention : Le jeu doit être maintenu libre en service : ni cale, ni mousse expansive, ni scellement ne doivent venir le combler après coup.
Comparaison : Si le bois était posé à 17 % plutôt qu'à 12 — humidité intermédiaire — l'amplitude tomberait à 5 points et le jeu à 4 mm. Poser le bois à l'humidité d'équilibre du local divise le problème par deux.

Remarque pédagogique : Terminez sur la meilleure des solutions, qui n'est pas le jeu : c'est de poser le bois à une humidité proche de son équilibre en service. Un bois séché à 12 % puis installé dans un local à 22 % subira toute l'amplitude ; le même bois livré à 17 % n'en subira que la moitié, dans un sens puis dans l'autre. C'est une décision de chantier, pas de calcul — et c'est souvent la plus efficace.

RÉSULTAT FINAL

Jeu minimal en hauteur = 8 mm — bridage impossible, \( \sigma_{90} \) = 24 fois \( f_{\text{t},90,\text{k}} \)

"On ne combat pas le retrait-gonflement : on lui laisse la place !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — la section avant et après, et le jeu à ménager

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai vérifié que les deux humidités sont sous le point de saturation des fibres avant d'appliquer la formule. J'ai lu l' orientation des cernes pour affecter le bon coefficient à la bonne dimension. J'ai exprimé \( \Delta H \) en points de pourcentage , soit 10 et non 0,10. J'ai calculé la variation longitudinale avant de décider qu'elle était négligeable. J'ai sommé des déformations relatives et non des millimètres pour le gonflement volumique. J'ai employé le module perpendiculaire au fil \( E_{90} \) pour la contrainte de bridage. J'ai transformé les millimètres en prescription de jeu exploitable par l'entreprise.

Avis technique — jeu de 8 mm à prévoir en hauteur ; bridage à proscrire. Le passage de 12 à 22 % d'humidité fait gonfler la poutre de 2,40 mm en largeur, direction radiale, de 7,80 mm en hauteur, direction tangentielle, et de 2,50 mm en longueur. La section finale mesure 152,40 × 307,80 mm et le gonflement volumique atteint 4,29 %. Un bridage total de la hauteur développerait une contrainte transversale de 9,62 N/mm², soit 3,85 fois la résistance en compression perpendiculaire et 24 fois celle en traction perpendiculaire du C24. Les sabots doivent donc être commandés pour une hauteur de 308 mm, ou munis de trous oblongs autorisant ce déplacement.

Les trois directions s'échelonnent en 0,05 %, 1,60 % et 2,60 % — un rapport de 52. C'est cette anisotropie, et non l'amplitude du mouvement, qui fait toute la difficulté du bois : une pièce qui change d'humidité ne grandit pas, elle se déforme. Un gonflement libre ne cause d'ailleurs aucun dommage ; ce qui casse, c'est le gonflement empêché. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle passe de quelques millimètres jugés anodins à une prescription chiffrée.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{\text{def}} \) — Tableau 3.2 : 0,60 en classe de service 1, 0,80 en classe 2 et 2,00 en classe 3 pour le bois massif.
NF EN 338 — classes de résistance : les valeurs principales des classes C24 et C30 sont celles du tableau 1 — \( f_{m,\text{k}} \), \( f_{\text{c},0,\text{k}} \), \( f_{v,\text{k}} \), \( E_{0,\text{mean}} \) et \( \rho_{\text{k}} \). La classe D40 relève du tableau des feuillus, et le \( f_{t,0,\text{k}} \) du C24 : la valeur de 14,5 retenue ici suit l'édition 2016 de la norme, quand l'édition 2003 donne 14,0.

Gonflement volumétrique d'une poutre en bois

Gonflement volumétrique d'une poutre en bois

Le premier mois à 1 €

Retrait-gonflement d'une poutre en Douglas et conséquences sur les assemblages

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Variations dimensionnelles de la section

Question 2 : Variation longitudinale et dimensions finales

Question 3 : Gonflement volumique

Question 4 (Finale) : Gonflement empêché et jeu à prévoir

Retrait-gonflement d'une poutre en Douglas et conséquences sur les assemblages

Exécution de la Note de Calculs

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BILAN FINAL DE LA MISSION

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