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Exercice corrigé

Gestion Optimisée d'un Chantier

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 25 mars 2026• 81 min de lecture• 9 vues
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Étude de cas · Note de calculs Réf. GDP-PLA-01

Gestion Optimisée d'un Chantier

Établir le calendrier détaillé d'exécution d'une maison individuelle, en déduire le chemin critique et chiffrer, au titre du CCAG Travaux, ce que coûte un retard de livraison de la toiture.

NiveauBTS · BUT · Licence
DomaineGestion de projet et OPC
ThèmeOrdonnancement, chemin critique et pénalités de retard
PrérequisDécomposition d'un projet en tâches élémentaires · relations d'antériorité de type fin-à-début · lecture d'un diagramme de Gantt · règle de trois et pourcentages
1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES
Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une entreprise générale vient de se voir notifier un marché de travaux portant sur la construction d'une maison individuelle. Le marché est entré dans sa période de préparation : avant que le premier coup de pelle ne soit donné, l'entreprise doit remettre au maître d'œuvre son programme d'exécution et le calendrier d'exécution qui l'accompagne. Ce n'est pas une formalité administrative. Une fois accepté, ce calendrier devient une pièce contractuelle du marché, et c'est lui qui servira d'étalon pour mesurer les retards et, le cas échéant, pour appliquer des pénalités journalières. Vous êtes le conducteur de travaux chargé de l'établir, puis d'analyser ce qui se passe lorsqu'un fournisseur annonce du retard.

Les Points Clés du Projet

Avant de tracer la moindre barre de Gantt, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Ce sont eux qui donnent au calendrier sa portée contractuelle :

  • Enjeu Principal : L'ouvrage se décompose en six tâches élémentaires enchaînées par des relations d'antériorité. Tant que ces enchaînements ne sont pas posés, la durée du chantier reste inconnue : elle ne se lit dans aucune des durées prises isolément.
  • Environnement contractuel : Le marché est un marché public de travaux qui renvoie au CCAG Travaux. Ce document impose le contenu du calendrier, fixe le taux des pénalités de retard et prévoit aussi les cas où elles ne s'appliquent pas.
  • L'objectif final : Identifier les tâches sur lesquelles aucun retard n'est absorbable. Se tromper de tâche, c'est surveiller la mauvaise équipe et découvrir le retard quand il est trop tard pour le rattraper.
  • L'astuce de l'ingénieur : Dessinez le réseau des tâches avant de calculer quoi que ce soit. Un enchaînement mal lu se voit immédiatement sur un croquis, alors qu'il reste invisible dans un tableau de chiffres.
Votre Mission :

Le maître d'œuvre attend votre calendrier sous huitaine. Il ne veut pas seulement une date de fin : il veut savoir quelles tâches sont tendues, lesquelles disposent d'un matelas de sécurité, et ce que coûterait concrètement un dérapage. Votre note de calculs doit répondre à ces trois questions, puis chiffrer en euros l'incident qui vient de vous être annoncé.

  • Le grand défi : Un fournisseur annonce cinq jours de retard sur la livraison des tuiles. Faut-il s'alarmer, ou le planning peut-il l'encaisser sans bouger la date de livraison ?
  • Votre rôle : Établir le calendrier, en extraire le chemin critique et les marges, puis appliquer les clauses du CCAG pour dire si l'entreprise sera pénalisée, et de combien.
RÉSEAU LOGIQUE DES TÂCHES
Enchaînements imposés — aucune échelle de temps chaque flèche se lit « ne peut commencer qu'une fois la précédente terminée » A Fondations 10 jours B Murs 15 jours C Charpente 5 jours D Toiture 10 jours E Fenêtres 5 jours F Finitions 5 jours
Livrables Attendus (Checklist) :
  • Le tableau complet des dates : pour chacune des six tâches, ses dates de début et de fin au plus tôt et au plus tard. C'est la matière première de tout le reste ; les trois questions suivantes s'y ramènent.
  • Le chemin critique et la durée contractuelle : la séquence de tâches à marge nulle, et la durée d'exécution qui en découle, celle qui sera reportée dans le calendrier remis au maître d'œuvre.
  • Les deux marges de la pose des fenêtres : la marge totale et la marge libre, distinctes l'une de l'autre, avec ce que chacune autorise réellement sur le terrain.
  • Le chiffrage de l'incident : l'allongement du délai en jours, puis la pénalité en euros calculée selon le CCAG Travaux, en n'oubliant aucune des clauses qui l'encadrent.
2. Données Techniques & Normes

Toutes les données de l'étude tiennent en deux familles. La première décrit l'ouvrage : les six tâches, leur durée d'exécution et les liens d'antériorité qui les relient. La seconde décrit le contrat : le montant du marché, l'origine du délai et le régime des pénalités. La première famille donne la durée du chantier, la seconde donne le prix d'un jour perdu. Les deux sont nécessaires ; travailler sur la première seule revient à établir un planning qu'aucune conséquence ne sanctionne.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer ! Les quatre premières servent à remplir le tableau des dates, les deux suivantes à mesurer la souplesse du planning, la dernière à traduire un retard en jours de dérive.

  • Fin au plus tôt \( \text{DFPT}(i) = \text{DDPT}(i) + \text{D}(i) \)
  • Début au plus tôt \( \text{DDPT}(j) = \max_{i \in \text{Pred}(j)} \text{DFPT}(i) \)
  • Début au plus tard \( \text{DDPTa}(i) = \text{DFPTa}(i) - \text{D}(i) \)
  • Fin au plus tard \( \text{DFPTa}(i) = \min_{j \in \text{Succ}(i)} \text{DDPTa}(j) \)
  • Marge totale \( M_{\text{T}}(i) = \text{DDPTa}(i) - \text{DDPT}(i) \)
  • Marge libre \( M_{\text{L}}(i) = \min_{j \in \text{Succ}(i)} \text{DDPT}(j) - \text{DFPT}(i) \)
  • Dérive du projet \( \Delta = \max\bigl(0 \,;\, R - M_{\text{T}}\bigr) \)
  • Pénalité journalière \( p = \dfrac{M_{\text{HT}}}{3\,000} \)
Hypothèses et Paramètres de l'Étude
TÂCHES ÉLÉMENTAIRES, DURÉES ET ANTÉRIORITÉS
Tâche Désignation Durée Prédécesseurs
A Fondations Arrêté du 21/12/1993 10 —
B Élévation des murs 15 A
C Pose de la charpente 5 B
D Couverture de la toiture 10 C
E Pose des fenêtres 5 B
F Finitions intérieures 5 D, E
Convention de comptage des dates
  • Origine des délais : \( t_{0} = \mathbf{0} \text{ jour} \)
  • Type de liaison : fin-à-début, sans décalage
  • Unité de temps : le jour ouvré, durées fermes
CONTRAINTES CONTRACTUELLES ET RÉGIME DES PÉNALITÉS
Symbole Description Valeur Unité
\( M_{\text{HT}} \) Montant du marché hors taxes, assiette des pénalités CCAG Travaux, art. 19.2.3 240 000 €
\( \tau \) Taux de la pénalité journalière de retard CCAG Travaux, art. 19.2.3 1 / 3 000 par jour
\( S \) Seuil d'exonération, en deçà duquel aucune pénalité n'est due CCAG Travaux, art. 19.2.1 1 000 €
\( P_{\max} \) Plafond des pénalités de retard, en part du montant hors taxes CCAG Travaux, art. 19.2.2 10 %
\( R \) Retard annoncé par le fournisseur sur la livraison des tuiles 5 jours
Ce que le calcul ne prend pas en compte
  • Période de préparation : deux mois, incluse dans le délai d'exécution mais hors du présent calcul
  • Intempéries : aucune journée d'arrêt prévisible retenue
  • Action corrective : aucun renfort de moyens envisagé pour rattraper le retard
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution. Les quatre articles reproduits sont ceux du CCAG Travaux qui gouvernent le calendrier et les pénalités ; le cinquième est l'arrêté qui définit la mission d'ordonnancement, et qui nomme explicitement le chemin critique comme un livrable attendu.

Extrait du CCAG Travaux (arrêté du 30 mars 2021 modifié)
Article Stipulation retenue pour l'étude
Art. 4.1 Le calendrier détaillé d'exécution établi selon l'article 28.2 est une pièce contractuelle du marché, de rang supérieur au CCTP.
Art. 28.2.1 Le programme d'exécution précise les matériels et les méthodes ; le calendrier d'exécution précise la date de démarrage des travaux et leur durée d'exécution.
Art. 19.2.3 En cas de retard imputable au titulaire, il est appliqué une pénalité journalière de 1/3 000 du montant hors taxes de l'ensemble du marché.
Art. 19.2.1 Le titulaire est exonéré des pénalités dont le montant total ne dépasse pas 1 000 euros pour l'ensemble du marché.
Art. 19.2.2 Le montant total des pénalités de retard ne peut excéder 10 % du montant total hors taxes du marché.
Définition réglementaire de la mission d'ordonnancement
Arrêté du 21 décembre 1993 précisant les modalités techniques d'exécution des éléments de mission de maîtrise d'œuvre, repris par le modèle de contrat OPC de la MIQCP : l'ordonnancement consiste à « analyser les tâches élémentaires portant sur les études d'exécution et les travaux, de déterminer leurs enchaînements ainsi que leur chemin critique, par des documents graphiques, et de proposer des mesures visant au respect des délais d'exécution des travaux et une répartition appropriée des éventuelles pénalités ».

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Le calendrier ne se construit pas d'un bloc. On procède en quatre temps, et chacun s'appuie strictement sur le précédent : d'abord le squelette temporel du projet, ensuite les tâches tendues, puis la souplesse disponible là où il y en a, et enfin la traduction contractuelle de l'incident annoncé. Sauter une étape, c'est répondre à la quatrième question sans disposer de la marge calculée à la troisième.

1

Question 1 : Établir le tableau des dates au plus tôt et au plus tard

Ordonnancement 25 min | Fondamental
But de l'étape : Construire la base de données temporelle du projet. Sans ce tableau, ni le chemin critique ni les marges ne sont accessibles : les trois questions suivantes ne sont que des lectures de ces quatre colonnes.
Énoncé Q1 : En prenant l'origine des délais au jour 0 et des liaisons de type fin-à-début, calculez pour chacune des six tâches ses dates de début et de fin au plus tôt par une passe avant, puis ses dates de début et de fin au plus tard par une passe arrière. Présentez le résultat sous forme d'un tableau à quatre colonnes de dates.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Traitez les tâches dans l'ordre où elles deviennent calculables, pas dans l'ordre alphabétique. La tâche F attend deux prédécesseurs : elle ne peut être traitée qu'une fois D et E connues.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Passe avant : on prend le maximum des fins au plus tôt des prédécesseurs. Passe arrière : on prend le minimum des débuts au plus tard des successeurs. La passe arrière démarre sur la valeur trouvée en fin de passe avant.

2

Question 2 : Identifier le chemin critique et la durée d'exécution

Analyse de planning 15 min | Intermédiaire
But de l'étape : Désigner nommément les tâches qui n'admettent aucun retard. C'est le livrable que l'arrêté du 21 décembre 1993 attend de la mission d'ordonnancement, et c'est la durée issue de ce chemin qui sera portée au calendrier contractuel.
Énoncé Q2 : À partir du tableau de la question 1, calculez la marge totale de chacune des six tâches. Déduisez-en le chemin critique du projet, puis la durée totale d'exécution. Vérifiez enfin que la somme des durées du chemin critique redonne bien cette durée totale .
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Une tâche est critique lorsque sa fenêtre de tir est réduite à un point : elle ne peut commencer ni plus tôt, ni plus tard.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Comparez colonne à colonne la date de début au plus tard et la date de début au plus tôt. Là où l'écart est nul, la tâche est critique. Le chemin critique doit former une chaîne continue du début à la fin du projet.

3

Question 3 : Calculer les deux marges de la pose des fenêtres

Marges et flexibilité 20 min | Intermédiaire
But de l'étape : Mesurer la souplesse réellement disponible sur la seule tâche non critique du projet. Le conducteur de travaux s'en sert pour arbitrer l'affectation des équipes sans toucher à la date de livraison.
Énoncé Q3 : Pour la tâche E, pose des fenêtres, calculez la marge totale puis la marge libre. Expliquez ensuite, en une phrase pour chacune, ce que chaque marge autorise concrètement sur le chantier, et pourquoi les deux valeurs coïncident ici .
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les deux marges ne regardent pas le même horizon : l'une regarde la fin du projet, l'autre regarde seulement la tâche d'après.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La marge libre de E fait intervenir la date de début au plus tôt de F, pas sa date au plus tard. Repérez d'abord le seul successeur de E, puis appliquez la définition sans chercher plus loin.

4

Question 4 (Finale) : Chiffrer l'incident, du planning au bordereau de pénalités

Analyse d'impact et CCAG 30 min | BOSS
But de l'étape : Faire le pont entre le planning et le contrat. Un retard n'a d'existence juridique que rapporté au calendrier contractuel et au régime de pénalités du CCAG. C'est ici que le travail d'ordonnancement produit un chiffre opposable.
La situation : Le fournisseur de tuiles annonce cinq jours de retard sur sa livraison. La tâche D, couverture de la toiture, s'en trouve allongée d'autant. Le maître d'ouvrage demande immédiatement à connaître la nouvelle date de livraison et le montant des pénalités qu'il pourrait retenir.
Déterminez la dérive de la date de fin et la nouvelle durée d'exécution. Calculez ensuite la pénalité journalière puis la pénalité encourue au titre du CCAG Travaux. Concluez sur le montant réellement dû, en appliquant l'ensemble des clauses de l'article 19.2, et indiquez à partir de combien de jours de retard l'entreprise commencerait effectivement à payer.
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un retard ne se propage qu'au-delà de ce que la marge de la tâche peut absorber. Commencez par regarder si D dispose ou non d'une marge.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'article 19.2 ne se résume pas au taux de 1/3 000. Lisez-le jusqu'au bout : trois clauses y interviennent, et l'une d'elles peut annuler purement et simplement le montant que vous venez de calculer.

NOTE DE CALCULS

Gestion Optimisée d'un Chantier

1
Question 1 : Établir le tableau des dates au plus tôt et au plus tard
Dans la tête de l'ingénieur

« Six tâches, six durées. La tentation est d'additionner : 10 + 15 + 5 + 10 + 5 + 5 = 50 jours. Ce serait juste si les tâches se suivaient toutes à la queue leu leu — or elles ne se suivent pas toutes. La pose des fenêtres et la pose de la charpente partent toutes deux des murs : elles se déroulent en parallèle. Additionner reviendrait à faire payer deux fois la même semaine. Inversement, la tentation opposée — prendre la tâche la plus longue — donnerait 15 jours, ce qui est absurde. La durée réelle n'est ni la somme ni le maximum : c'est le plus long chemin dans le réseau. Et pour l'obtenir, je n'ai pas besoin d'énumérer les chemins un par un : deux balayages du réseau suffisent. »

  • Observation : Le réseau se dédouble après B et se referme sur F. Ces deux points de branchement sont les seuls endroits où un calcul demande un arbitrage ; partout ailleurs, on se contente d'ajouter une durée.
  • Analyse du risque : Au point de convergence F, prendre la moyenne ou la première des fins des prédécesseurs au lieu de la plus tardive ferait démarrer les finitions avant que la toiture ne soit posée. Le planning serait cohérent sur le papier et impossible sur le terrain.
  • Choix stratégique : Deux balayages complets plutôt qu'une énumération de chemins : une passe avant qui pousse les dates depuis l'origine, une passe arrière qui les tire depuis la fin. Le coût de calcul reste proportionnel au nombre de tâches, même sur un planning de plusieurs centaines de lignes.
  • Alternative : On pourrait lister les trois chemins possibles et retenir le plus long. C'est faisable ici, mais la méthode ne donnerait aucune des dates au plus tard, donc aucune marge — et elle explose combinatoirement dès qu'on dépasse la dizaine de tâches.
  • Objectif visé : Obtenir les quatre dates de chaque tâche. Tout le reste de l'étude — criticité, marges, impact d'un retard, montant des pénalités — n'est plus qu'une lecture ou une soustraction dans ce tableau.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Fin du projet au plus tôt = 45 jours — tâche A : 0 / 10 / 0 / 10 · tâche E : 25 / 30 / 35 / 40
Rappel Théorique : le double balayage d'un réseau de tâches

Un planning n'est pas une liste de durées, c'est un graphe orienté : les tâches en sont les nœuds, les relations d'antériorité les arcs. Dater ce graphe consiste à le parcourir deux fois, une fois dans chaque sens. Chaque parcours répond à une question différente, et c'est la confrontation des deux qui fait apparaître la souplesse du planning.

  • La passe avant : elle se lit « au plus tôt ». On part de l'origine des délais et l'on avance de proche en proche. Elle répond à : quand cette tâche peut-elle commencer si tout va bien ? Le résultat de la dernière tâche donne la durée minimale du projet.
  • La passe arrière : elle se lit « au plus tard ». On part de la date de fin trouvée et l'on recule. Elle répond à : quand cette tâche doit-elle impérativement commencer pour que la date de fin reste tenue ?
  • La règle du maximum : à un point de convergence, une tâche attend tous ses prédécesseurs. Sa date de début au plus tôt est donc la plus tardive des fins au plus tôt de ceux-ci — le dernier arrivé commande.
  • La règle du minimum : symétriquement, à un point de divergence, une tâche doit être finie avant que chacun de ses successeurs ne démarre. Sa date de fin au plus tard est donc le minimum des débuts au plus tard de ceux-ci — le plus pressé commande.
  • Le contrôle de bouclage : si le réseau est correctement daté, la passe arrière doit ramener la première tâche exactement à l'origine des délais. Retomber sur une valeur non nulle signale une erreur de parcours ; c'est une vérification gratuite qu'il faut systématiquement faire.
Équations Fondamentales

Quatre relations suffisent à dater n'importe quel réseau de tâches, quelle que soit sa taille. Les deux premières décrivent la passe avant, les deux suivantes la passe arrière. Elles fonctionnent par paires : une relation d'avancement le long d'une tâche, et une relation d'arbitrage à un point de branchement.

Formule 1 — Date de fin au plus tôt d'une tâche :

Elle traduit l'avancement le long d'une tâche : on part de son début au plus tôt et on ajoute sa durée.

Pourquoi cette formule ?

C'est la seule relation qui fasse intervenir la durée de la tâche dans la passe avant. Toutes les autres se contentent de propager des dates ; celle-ci consomme du temps. Sans elle, le réseau resterait un simple graphe de dépendances, sans échelle temporelle.

  • Contexte de validité : liaison fin-à-début sans décalage. Un décalage imposé, ou un recouvrement partiel, ajouterait un terme correctif à cette relation.
  • Avantage : elle s'applique sans condition à toutes les tâches, y compris celles qui n'ont ni prédécesseur ni successeur. C'est le point d'appui du calcul.
  • Paramètre clé : la durée. Toute imprécision sur elle se répercute intégralement en aval : c'est le paramètre à fiabiliser en priorité.
  • Vérification : l'écart entre les deux dates obtenues doit valoir exactement la durée annoncée au tableau des données.
  • Limite : elle suppose la durée ferme et connue. Sur un planning à durées probabilistes, il faut passer à une estimation à trois points, ce qui sort du cadre de cet exercice.
\[ \begin{aligned} \text{DFPT}(i) = \text{DDPT}(i) + \text{D}(i) \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Une équipe qui démarre un lundi et travaille dix jours termine dix jours plus tard. Rien de plus. L'équation dit simplement que le temps passe pendant qu'on travaille — mais c'est cette évidence qui, répétée le long du réseau, fait apparaître la date de livraison.
Décomposition des termes :
  • \( \text{DFPT}(i) \) : date de fin au plus tôt de la tâche \( i \), unité : jour
  • \( \text{DDPT}(i) \) : date de début au plus tôt de la tâche \( i \), unité : jour
  • \( \text{D}(i) \) : durée d'exécution de la tâche \( i \), unité : jour
Formule 2 — Date de début au plus tôt à un point de convergence :

Elle arbitre le cas où plusieurs tâches doivent être achevées avant qu'une autre ne puisse démarrer.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une tâche à plusieurs prédécesseurs ne démarre pas en moyenne : elle démarre quand le dernier prédécesseur a fini. C'est la relation qui traduit l'attente, et c'est aussi celle qui crée les marges — car tous les prédécesseurs sauf un finissent en avance.

  • Contexte de validité : toute tâche possédant au moins un prédécesseur. Pour une tâche initiale, la date de début au plus tôt vaut directement l'origine des délais.
  • Avantage : elle traite d'un seul coup n'importe quel nombre de prédécesseurs, sans qu'il faille distinguer les cas.
  • Paramètre clé : l'ensemble des prédécesseurs. En oublier un ne provoque aucune erreur visible : le calcul reste cohérent, mais le planning devient faux et optimiste.
  • Vérification : la date retenue doit être supérieure ou égale à chacune des fins au plus tôt des prédécesseurs, et égale à l'une d'elles.
  • Limite : elle ne vaut que pour un réseau sans circuit. Une dépendance circulaire rendrait le maximum indéfini et bloquerait le calcul.
\[ \begin{aligned} \text{DDPT}(j) = \max_{i \in \text{Pred}(j)} \text{DFPT}(i) \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? On attend le dernier. Les finitions ne peuvent commencer que lorsque la toiture et les fenêtres sont posées : si la toiture finit au jour 40 et les fenêtres au jour 30, on démarre au jour 40, pas au jour 35. Les dix jours d'avance des fenêtres ne se transforment pas en avance pour le projet — ils deviennent de la marge.
Décomposition des termes :
  • \( \text{DDPT}(j) \) : date de début au plus tôt de la tâche \( j \), unité : jour
  • \( \text{Pred}(j) \) : ensemble des tâches qui doivent être achevées avant \( j \), unité : sans
  • \( \text{DFPT}(i) \) : date de fin au plus tôt du prédécesseur \( i \), unité : jour
Formule 3 — Date de début au plus tard d'une tâche :

Symétrique de la formule 1, elle recule d'une durée depuis la date de fin au plus tard.

Pourquoi cette formule ?

Elle répond à la question que se pose réellement le conducteur de travaux : « jusqu'à quand puis-je attendre avant de lancer cette équipe ? » La date au plus tôt indique une possibilité, la date au plus tard indique une obligation.

  • Contexte de validité : la date de fin de projet doit être fixée au préalable. On prend ici celle issue de la passe avant, c'est-à-dire la durée minimale.
  • Avantage : elle rend la marge immédiatement lisible par simple différence avec la date au plus tôt, sans calcul supplémentaire.
  • Paramètre clé : la date de fin retenue. Si le marché impose une date plus tardive que la durée minimale, toutes les marges augmentent d'autant et le chemin critique peut disparaître.
  • Vérification : la date au plus tard est toujours supérieure ou égale à la date au plus tôt correspondante. Un écart négatif signale un planning infaisable.
  • Limite : elle ne dit rien du coût d'un démarrage tardif. Consommer toute la marge d'une tâche revient à la rendre critique et supprime toute capacité d'absorption ultérieure.
\[ \begin{aligned} \text{DDPTa}(i) = \text{DFPTa}(i) - \text{D}(i) \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? On remonte le temps. Si la toiture doit impérativement être terminée au jour 40 et qu'elle demande dix jours, il faut l'avoir commencée au jour 30 au plus tard. C'est le raisonnement que l'on tient spontanément pour arriver à l'heure à un rendez-vous.
Décomposition des termes :
  • \( \text{DDPTa}(i) \) : date de début au plus tard de la tâche \( i \), unité : jour
  • \( \text{DFPTa}(i) \) : date de fin au plus tard de la tâche \( i \), unité : jour
  • \( \text{D}(i) \) : durée d'exécution de la tâche \( i \), unité : jour
Formule 4 — Date de fin au plus tard à un point de divergence :

Elle arbitre le cas où une tâche conditionne le démarrage de plusieurs autres.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une tâche qui alimente plusieurs successeurs doit satisfaire le plus exigeant d'entre eux. C'est le pendant exact de la formule 2, mais le sens de l'arbitrage s'inverse : on prend le minimum, pas le maximum.

  • Contexte de validité : toute tâche possédant au moins un successeur. Pour une tâche terminale, la date de fin au plus tard vaut la date de fin de projet.
  • Avantage : elle garantit que toutes les contraintes aval sont respectées simultanément, sans avoir à les examiner une par une.
  • Paramètre clé : le successeur le plus contraignant. Ici, c'est la charpente qui commande les murs, et non la pose des fenêtres, pourtant issue du même point de branchement.
  • Vérification : la date retenue doit être inférieure ou égale à chacun des débuts au plus tard des successeurs, et égale à l'un d'eux.
  • Limite : comme la formule 2, elle exige un réseau acyclique et suppose que tous les successeurs ont déjà été traités par la passe arrière.
\[ \begin{aligned} \text{DFPTa}(i) = \min_{j \in \text{Succ}(i)} \text{DDPTa}(j) \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? On sert le plus pressé. Les murs conditionnent à la fois la charpente et les fenêtres. La charpente doit démarrer au jour 25, les fenêtres peuvent attendre le jour 35 : les murs doivent donc être terminés au jour 25. C'est le successeur le plus tendu qui fixe l'échéance, pas le plus souple.
Décomposition des termes :
  • \( \text{DFPTa}(i) \) : date de fin au plus tard de la tâche \( i \), unité : jour
  • \( \text{Succ}(i) \) : ensemble des tâches qui ne peuvent démarrer qu'après \( i \), unité : sans
  • \( \text{DDPTa}(j) \) : date de début au plus tard du successeur \( j \), unité : jour
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

« Beaucoup d'étudiants traitent les tâches dans l'ordre alphabétique et arrivent à la tâche F sans avoir encore daté la tâche D... alors ils prennent la seule valeur dont ils disposent, celle de E. »

L'approche d'ingénieur : L'ordre alphabétique est un ordre de nommage, pas un ordre de calcul. Une tâche n'est calculable que lorsque tous ses prédécesseurs le sont déjà.
  • L'erreur : dater F à partir de E seul donne \( 30 + 5 = 35 \) jours au lieu de 45. Le planning perd dix jours d'un coup et devient irréalisable, alors qu'aucune ligne du calcul ne paraît fausse.
  • La bonne méthode : classer les tâches par rang avant de calculer. Rang 0 : A. Rang 1 : B. Rang 2 : C et E. Rang 3 : D. Rang 4 : F. On calcule rang par rang, jamais lettre par lettre.
  • L'astuce de pro : barrer chaque flèche du réseau au fur et à mesure. Une tâche devient calculable quand toutes les flèches qui entrent dans elle sont barrées — un contrôle visuel qui ne trompe pas.
  • Le moyen mnémotechnique : « en avant, le dernier commande ; en arrière, le premier commande ». Maximum à l'aller, minimum au retour.
  • L'impact direct : sur le chantier, une date de fin sous-estimée de dix jours se traduit par des équipes du lot suivant convoquées pour rien, et par un calendrier contractuel intenable dès sa signature.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités (Optionnel)
  • Durées des tâches : fournies en jours ouvrés, aucune conversion nécessaire
  • Origine des délais : le jour 0 est un instant, pas une durée — il ne s'ajoute à rien
  • Dates calculées : homogènes aux durées, exprimées en jours depuis l'origine
  • Résultat de la passe avant : une date, qui devient la durée totale car l'origine est nulle
  • Marges à venir : différences de deux dates, donc des durées en jours

Le calcul se mène en deux temps, dans l'ordre des rangs établi plus haut. La passe avant part de l'origine et descend le réseau ; la passe arrière repart de la date de fin trouvée et le remonte. Les deux tâches à traiter avec attention sont F à l'aller, qui converge, et B au retour, qui diverge. Partout ailleurs, une simple addition ou soustraction suffit.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Passe avant : dates au plus tôt \( \text{DDPT} \) et \( \text{DFPT} \)

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la durée minimale du projet. C'est la seule grandeur que le maître d'ouvrage attend vraiment à ce stade, et elle n'apparaît qu'à la toute dernière ligne du calcul.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule 1 à chaque tâche, en déterminant au préalable sa date de début par la formule 2. L'enchaînement suit les rangs : A, puis B, puis C et E, puis D, puis F. Une seule ligne demande un arbitrage, celle de F.

  • Substitution : on injecte les six durées du tableau de données : 10, 15, 5, 10, 5 et 5 jours, chacune à sa place dans le réseau.
  • Piège évité : C et E démarrent toutes deux au jour 25. Ce n'est pas une erreur de recopie : elles partent du même prédécesseur B et se déroulent en parallèle.
  • Hypothèse validée : les liaisons étant fin-à-début sans décalage, la date de début d'une tâche est exactement la date de fin de son prédécesseur, sans jour tampon.
  • Vérification croisée : la durée obtenue doit être comprise entre 15 jours (la tâche la plus longue seule) et 50 jours (toutes les tâches en série). Tout résultat hors de cette fourchette est faux.
  • Finalité : la valeur de \( \text{DFPT}(F) \) servira de point de départ à la passe arrière et de durée contractuelle au calendrier d'exécution.
\[ \begin{aligned} \text{DFPT}(A) &= 0 + 10 = \mathbf{10} \text{ jours} \\[3pt] \text{DFPT}(B) &= 10 + 15 = \mathbf{25} \text{ jours} \\[3pt] \text{DFPT}(C) &= 25 + 5 = \mathbf{30} \text{ jours} \\[3pt] \text{DFPT}(E) &= 25 + 5 = \mathbf{30} \text{ jours} \\[3pt] \text{DFPT}(D) &= 30 + 10 = \mathbf{40} \text{ jours} \\[3pt] \text{DFPT}(F) &= \max(40 \,;\, 30) + 5 = 40 + 5 = \mathbf{45} \text{ jours} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

45 jours : le projet est donc plus court que la somme brute des durées (50 jours) sans être ramené à la tâche la plus longue. L'écart de 5 jours est exactement le temps que la pose des fenêtres passe à travailler pendant la charpente.

  • Ordre de grandeur : 45 jours ouvrés, soit environ neuf semaines de chantier. C'est cohérent pour le gros œuvre et le clos-couvert d'une maison individuelle.
  • Impact sur la suite : cette valeur devient la date de fin au plus tard de F et amorce la passe arrière. Toute erreur ici se propage à l'intégralité des marges.
  • Cohérence : le résultat tombe bien dans la fourchette 15 à 50 jours annoncée, et le maximum retenu pour F est effectivement l'une des deux fins proposées.
  • Attention : les dix jours d'avance de la tâche E ne raccourcissent en rien le projet. Ils ne disparaissent pas pour autant : ils vont réapparaître sous forme de marge à la question 3.
  • Comparaison : cette durée de 45 jours est celle qui sera portée au calendrier d'exécution exigé par l'article 28.2.1 du CCAG Travaux. Elle n'a plus rien d'indicatif à partir de là.

Remarque pédagogique : Notez que \( \text{DFPT}(F) \) est à la fois une date et une durée. Cette coïncidence n'existe que parce que l'origine des délais a été prise à zéro. Si le marché fixait un ordre de service au jour 12, la fin tomberait au jour 57 pour une durée d'exécution inchangée de 45 jours.

Calcul 2 — Passe arrière : dates au plus tard \( \text{DFPTa} \) et \( \text{DDPTa} \)

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour connaître la date limite de chaque tâche. C'est cette seconde série de dates qui, confrontée à la première, révélera où le planning est tendu et où il respire.

Méthodologie du calcul :

On pose \( \text{DFPTa}(F) = \text{DFPT}(F) = 45 \) jours, puis on remonte le réseau en appliquant la formule 3, la date de fin au plus tard étant fournie par la formule 4. L'ordre des rangs s'inverse : F, puis D et E, puis C, puis B, puis A.

  • Substitution : on réutilise les mêmes six durées, mais en soustraction cette fois, en partant de la valeur 45 jours obtenue au calcul précédent.
  • Piège évité : pour la tâche B, il faut prendre le minimum de 25 et 35, soit 25. Prendre le maximum, par symétrie mal comprise avec la passe avant, donnerait 35 et annulerait toutes les marges du projet.
  • Hypothèse validée : on retient comme échéance la durée minimale issue de la passe avant. Le marché ne fixe ici aucun délai plus long qui viendrait desserrer le planning.
  • Vérification croisée : la passe arrière doit ramener exactement \( \text{DDPTa}(A) = 0 \). C'est le contrôle de bouclage : il valide d'un coup les douze dates du tableau.
  • Finalité : disposer des quatre dates par tâche nécessaires au calcul des marges totales, objet de la question suivante.
\[ \begin{aligned} \text{DDPTa}(F) &= 45 - 5 = \mathbf{40} \text{ jours} \\[3pt] \text{DDPTa}(D) &= 40 - 10 = \mathbf{30} \text{ jours} \\[3pt] \text{DDPTa}(E) &= 40 - 5 = \mathbf{35} \text{ jours} \\[3pt] \text{DDPTa}(C) &= 30 - 5 = \mathbf{25} \text{ jours} \\[3pt] \text{DDPTa}(B) &= \min(25 \,;\, 35) - 15 = 25 - 15 = \mathbf{10} \text{ jours} \\[3pt] \text{DDPTa}(A) &= 10 - 10 = \mathbf{0} \text{ jour} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Le calcul reboucle exactement sur zéro. Ce n'est pas une coïncidence heureuse mais la preuve que le réseau a été parcouru sans faute : si une seule des douze dates était erronée, la dernière ligne ne retomberait pas sur l'origine.

  • Ordre de grandeur : toutes les dates au plus tard sont égales à leurs homologues au plus tôt, sauf pour la tâche E. Une seule tâche du projet dispose donc de souplesse.
  • Impact sur la suite : les marges de la question 2 se lisent désormais par simple soustraction ; plus aucun parcours de réseau n'est nécessaire.
  • Cohérence : aucune date au plus tard n'est inférieure à la date au plus tôt correspondante. Le planning est donc faisable en l'état.
  • Attention : la ligne de la tâche B est la seule qui exige un arbitrage. C'est la charpente, et non les fenêtres, qui impose aux murs d'être terminés au jour 25.
  • Comparaison : l'écart de 10 jours constaté sur la seule tâche E correspond très exactement à l'avance qu'elle prenait déjà à la passe avant. Les deux calculs se confirment mutuellement.

Remarque pédagogique : Le contrôle de bouclage sur zéro est la vérification la plus rentable de tout l'exercice : elle ne coûte rien et valide l'ensemble du parcours. Prenez l'habitude de la faire avant de recopier quoi que ce soit au propre.

Tableau récapitulatif des dates — livrable de la question 1

Les deux passes sont assemblées ci-dessous. La dernière colonne anticipe la question suivante : elle donne l'écart entre début au plus tard et début au plus tôt.

Tâche Durée DDPT DFPT DDPTa DFPTa Écart
A 10 0 10 0 10 0
B 15 10 25 10 25 0
C 5 25 30 25 30 0
D 10 30 40 30 40 0
E 5 25 30 35 40 10
F 5 40 45 40 45 0
RÉSEAU DATÉ — APRÈS CALCULS
Chaque tâche porte ses quatre dates calculées ligne haute : au plus tôt ligne basse : au plus tard A · 10 j 0 10 0 10 B · 15 j 10 25 10 25 C · 5 j 25 30 25 30 D · 10 j 30 40 30 40 E · 5 j 25 30 35 40 F · 5 j 40 45 40 45 seule la tâche E présente un écart entre ses deux lignes : 10 jours
RÉSULTAT FINAL
DFPT(F) = 45 jours
Les douze dates du tableau sont établies et le bouclage sur l'origine est vérifié : la question 2 n'est plus qu'une lecture de la dernière colonne.
2
Question 2 : Identifier le chemin critique et la durée d'exécution
Dans la tête de l'ingénieur

« Le tableau de la question 1 contient déjà la réponse ; il ne me reste qu'à la faire apparaître. Chaque tâche possède une fenêtre de tir : elle peut commencer entre sa date au plus tôt et sa date au plus tard. Quand cette fenêtre a une largeur nulle, la tâche n'a aucun jeu — elle est critique. Ce que je cherche n'est pas une curiosité théorique : c'est la liste nominative des tâches sur lesquelles je devrai être présent tous les matins. Sur un chantier, on ne surveille pas tout avec la même intensité ; on surveille ce qui, en dérivant d'un jour, fait dériver la livraison d'un jour. »

  • Observation : Dans le tableau récapitulatif, cinq tâches sur six affichent des dates au plus tôt et au plus tard identiques. L'exception saute aux yeux avant même tout calcul.
  • Analyse du risque : Un chemin critique qui présenterait un trou — une tâche non critique au milieu de tâches critiques — serait le signe d'une erreur de datation. La criticité se propage de proche en proche, elle ne saute pas.
  • Choix stratégique : Calculer les six marges, y compris celles que l'on devine nulles. Le coût est négligeable et le résultat sert de contrôle croisé : la continuité de la chaîne critique valide rétroactivement la question 1.
  • Alternative : On pourrait énumérer les chemins et retenir le plus long : A-B-C-D-F donne 45, A-B-E-F donne 35. Cela désigne bien le chemin critique, mais ne chiffre aucune marge et devient impraticable dès qu'un planning dépasse quelques dizaines de tâches.
  • Objectif visé : Produire le livrable que l'arrêté du 21 décembre 1993 attend explicitement de la mission d'ordonnancement : les enchaînements et leur chemin critique, sous forme de document graphique.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Chemin critique A → B → C → D → F — durée d'exécution = 45 jours
Rappel Théorique : criticité, marge nulle et durée contractuelle

Le chemin critique n'est pas une notion pédagogique : c'est un livrable réglementaire. L'arrêté du 21 décembre 1993, qui fixe les modalités techniques d'exécution des éléments de mission de maîtrise d'œuvre, décrit l'ordonnancement comme le fait d'analyser les tâches élémentaires, de déterminer leurs enchaînements ainsi que leur chemin critique, et d'en tirer des mesures visant au respect des délais.

  • La définition opératoire : une tâche est critique lorsque sa marge totale est nulle, c'est-à-dire lorsqu'elle ne peut ni démarrer plus tard, ni durer plus longtemps, sans repousser la fin du projet.
  • La continuité de la chaîne : les tâches critiques forment toujours un chemin continu de la première à la dernière tâche du réseau. Cette continuité est une propriété structurelle, donc un excellent contrôle.
  • La longueur du chemin : la somme des durées des tâches critiques est exactement la durée minimale du projet. C'est le second contrôle croisé, indépendant du premier.
  • La pluralité possible : un réseau peut comporter plusieurs chemins critiques parallèles. Le pilotage devient alors bien plus délicat : il n'existe plus aucune marge nulle part, et tout aléa se paie comptant.
  • Le caractère mouvant : le chemin critique n'est pas figé. Qu'une tâche non critique consomme plus que sa marge, et elle devient critique à son tour : le chemin se déplace, et la surveillance doit se déplacer avec lui.
Équations Fondamentales

Deux relations suffisent ici. La première mesure la souplesse d'une tâche, la seconde vérifie que le chemin identifié rend bien compte de la durée totale. La seconde n'apporte aucune information nouvelle : c'est un contrôle, et c'est précisément pour cela qu'elle a de la valeur.

Formule 1 — Marge totale d'une tâche :

Elle mesure la largeur de la fenêtre de tir, c'est-à-dire le retard maximal admissible sans repousser la fin du projet.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle transforme deux dates, qui ne se comparent pas spontanément, en une durée directement exploitable. Un conducteur de travaux ne raisonne pas en « jour 25 contre jour 35 » : il raisonne en « j'ai dix jours devant moi ».

  • Contexte de validité : elle suppose les deux passes achevées. Appliquée à un tableau incomplet, elle produit des marges fantaisistes sans qu'aucun signal d'erreur n'apparaisse.
  • Avantage : elle se calcule aussi bien sur les débuts que sur les fins : \( \text{DFPTa} - \text{DFPT} \) donne rigoureusement le même résultat, ce qui offre une vérification immédiate.
  • Paramètre clé : la date de fin de projet retenue pour amorcer la passe arrière. C'est elle qui fixe le niveau général de toutes les marges du réseau.
  • Vérification : une marge totale est toujours positive ou nulle. Une valeur négative signifie que le délai imposé est plus court que la durée minimale : le planning est infaisable.
  • Limite : la marge totale est une ressource partagée le long d'une branche. Deux tâches successives non critiques n'ont pas dix jours chacune : elles se partagent les dix jours de la branche.
\[ \begin{aligned} M_{\text{T}}(i) = \text{DDPTa}(i) - \text{DDPT}(i) \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? C'est la largeur de votre fenêtre de tir. Si la marge vaut zéro, il n'y a pas de fenêtre : un seul instant possible pour démarrer, et tout retard se transmet intégralement à la date de livraison. Si elle vaut dix jours, l'équipe peut arriver n'importe quand dans une plage de deux semaines sans que le client s'en aperçoive.
Décomposition des termes :
  • \( M_{\text{T}}(i) \) : marge totale de la tâche \( i \), unité : jour
  • \( \text{DDPTa}(i) \) : date de début au plus tard de la tâche \( i \), unité : jour
  • \( \text{DDPT}(i) \) : date de début au plus tôt de la tâche \( i \), unité : jour
Formule 2 — Durée du projet par sommation du chemin critique :

Elle recalcule la durée totale par une voie entièrement indépendante de la passe avant.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un résultat obtenu deux fois par deux chemins différents n'est pratiquement jamais faux. La passe avant procède par propagation de dates, cette formule par simple addition de durées : une erreur commune aux deux méthodes est très improbable.

  • Contexte de validité : elle exige que le chemin critique ait été correctement identifié et soit continu. Sur une chaîne interrompue, la somme n'a aucune signification.
  • Avantage : elle se vérifie de tête, sans revenir au tableau : c'est le contrôle que l'on refait en réunion de chantier quand un chiffre est contesté.
  • Paramètre clé : la composition exacte du chemin. Ajouter ou omettre une tâche fausse immédiatement la somme, ce qui rend l'erreur visible.
  • Vérification : le total doit coïncider au jour près avec la valeur de \( \text{DFPT} \) de la dernière tâche. Tout écart révèle une erreur dans l'une des deux démarches.
  • Limite : en présence de plusieurs chemins critiques, chacun donne la même somme ; la formule confirme la durée mais ne dit pas lequel surveiller en priorité.
\[ \begin{aligned} T = \sum_{i \in \text{Chemin critique}} \text{D}(i) \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Le projet ne va pas plus vite que sa plus longue file d'attente. Les tâches critiques se succèdent sans jamais se recouvrir : leurs durées s'additionnent donc bout à bout, et cette somme est la durée du chantier. Tout le reste du réseau se déroule à l'abri de cette file.
Décomposition des termes :
  • \( T \) : durée totale d'exécution du projet, unité : jour
  • \( \text{D}(i) \) : durée de la tâche critique \( i \), unité : jour
  • Chemin critique : suite continue des tâches à marge totale nulle, unité : sans
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

« Beaucoup d'étudiants désignent comme critique le chemin qui compte le plus de tâches, ou celui qui contient la tâche la plus longue. »

L'approche d'ingénieur : Le critère n'est ni le nombre de tâches, ni la durée d'une tâche prise isolément : c'est la somme des durées le long du chemin, et rien d'autre.
  • L'erreur : ici, les deux chemins comptent respectivement cinq et quatre tâches, et tous deux contiennent la tâche la plus longue, B. Aucun de ces deux indices ne permet de trancher.
  • La bonne méthode : additionner. A-B-C-D-F donne 45 jours, A-B-E-F donne 35 jours. C'est la comparaison de ces deux sommes qui désigne le chemin critique, sans ambiguïté.
  • L'astuce de pro : passer par les marges totales plutôt que par l'énumération des chemins. La méthode donne le même résultat, chiffre la souplesse au passage, et reste praticable sur un planning de trois cents lignes.
  • Le moyen mnémotechnique : « critique = zéro marge ». Pas « critique = important », pas « critique = long ». Zéro marge, c'est-à-dire aucune liberté de manœuvre.
  • L'impact direct : désigner A-B-E-F comme critique conduirait à renforcer les poseurs de fenêtres — l'unique équipe qui dispose déjà de dix jours d'avance — pendant que la charpente et la toiture, elles réellement tendues, resteraient sans surveillance.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités (Optionnel)
  • Dates d'entrée : issues du tableau de la question 1, toutes en jours
  • Marge totale : différence de deux dates, donc une durée en jours
  • Critère de criticité : comparaison à zéro jour, grandeur homogène
  • Durée du chemin : somme de durées, donc une durée en jours
  • Aucune conversion n'intervient dans cette question : toutes les grandeurs sont déjà homogènes

Le calcul se fait en deux temps. On établit d'abord la marge totale des six tâches, ce qui désigne mécaniquement les tâches critiques ; on contrôle ensuite la durée obtenue en additionnant les durées le long du chemin ainsi identifié. Le second calcul n'a d'autre objet que de valider le premier.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Marge totale \( M_{\text{T}} \) des six tâches

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour trier les tâches en deux catégories : celles qui commandent la date de livraison et celles qui disposent d'un jeu. Ce tri conditionne toute la stratégie de surveillance du chantier.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule 1 aux six lignes du tableau récapitulatif, dans l'ordre alphabétique cette fois — aucun enchaînement n'intervient plus, chaque marge se calcule indépendamment des autres. C'est la différence entre la quatrième et la troisième colonne du tableau.

  • Substitution : on injecte les couples \( (\text{DDPTa} \,;\, \text{DDPT}) \) de chaque tâche, soit douze valeurs lues directement dans le tableau.
  • Piège évité : on soustrait bien au plus tard moins au plus tôt. L'ordre inverse donnerait des marges négatives et laisserait croire à un planning infaisable.
  • Hypothèse validée : la passe arrière a été amorcée sur la durée minimale du projet ; les marges obtenues sont donc les marges intrinsèques au réseau, sans desserrement contractuel.
  • Vérification croisée : recalculer chaque marge sur les fins plutôt que sur les débuts, soit \( \text{DFPTa} - \text{DFPT} \), doit redonner les mêmes six valeurs.
  • Finalité : obtenir la marge de la tâche D, indispensable à la question 4, et celle de la tâche E, objet de la question 3.
\[ \begin{aligned} M_{\text{T}}(A) &= 0 - 0 = \mathbf{0} \text{ jour} &&\Rightarrow \text{critique} \\[3pt] M_{\text{T}}(B) &= 10 - 10 = \mathbf{0} \text{ jour} &&\Rightarrow \text{critique} \\[3pt] M_{\text{T}}(C) &= 25 - 25 = \mathbf{0} \text{ jour} &&\Rightarrow \text{critique} \\[3pt] M_{\text{T}}(D) &= 30 - 30 = \mathbf{0} \text{ jour} &&\Rightarrow \text{critique} \\[3pt] M_{\text{T}}(E) &= 35 - 25 = \mathbf{10} \text{ jours} &&\Rightarrow \text{non critique} \\[3pt] M_{\text{T}}(F) &= 40 - 40 = \mathbf{0} \text{ jour} &&\Rightarrow \text{critique} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Cinq tâches critiques sur six. Le planning est donc très tendu : 83 % des tâches ne tolèrent aucun retard. La seule respiration du projet se trouve sur la pose des fenêtres, et elle vaut dix jours.

  • Ordre de grandeur : toutes les marges sont positives ou nulles, comme attendu. Aucune valeur négative n'apparaît : le planning est faisable.
  • Impact sur la suite : la valeur \( M_{\text{T}}(D) = 0 \) est celle qui, à la question 4, fera passer intégralement le retard du fournisseur sur la date de livraison.
  • Cohérence : les tâches critiques A, B, C, D et F forment une chaîne continue du début à la fin du réseau, sans interruption. La structure du résultat est donc valide.
  • Attention : ces dix jours de marge ne sont pas transférables à une autre tâche. On ne peut pas les prêter à la toiture : ils n'existent que sur la branche des fenêtres.
  • Comparaison : un planning bien construit conserve en général de la marge sur les lots de second œuvre. Ici, la marge est concentrée sur une seule tâche, ce qui laisse peu de latitude au pilotage.

Remarque pédagogique : La colonne « Écart » du tableau de la question 1 contenait déjà ces six valeurs. Recalculer explicitement les marges n'est pas redondant : c'est ce qui permet de les nommer et de les interpréter, alors qu'une colonne de chiffres ne dit rien par elle-même.

Calcul 2 — Contrôle de la durée totale \( T \) par le chemin critique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour confirmer par une seconde voie la durée de 45 jours trouvée à la passe avant. C'est la durée qui figurera au calendrier contractuel : elle mérite une vérification indépendante.

Méthodologie du calcul :

On additionne les durées des cinq tâches à marge nulle, dans l'ordre du chemin : A, B, C, D puis F. On confronte ensuite le total à la valeur de \( \text{DFPT}(F) \), et l'on vérifie au passage que le chemin non critique est bien plus court.

  • Substitution : on injecte les durées 10, 15, 5, 10 et 5 jours, à l'exclusion de la tâche E qui n'appartient pas au chemin critique.
  • Piège évité : ne pas inclure la tâche E dans la somme. Elle est réelle et elle sera exécutée, mais elle ne consomme aucun jour du délai global : elle se déroule à couvert.
  • Hypothèse validée : les tâches critiques se succèdent sans recouvrement, ce qui autorise la simple addition de leurs durées.
  • Vérification croisée : le chemin concurrent A-B-E-F doit donner une somme strictement inférieure à 45 jours, faute de quoi le chemin critique aurait été mal identifié.
  • Finalité : valider la durée d'exécution à porter au calendrier exigé par l'article 28.2.1 du CCAG Travaux.
\[ \begin{aligned} T &= \text{D}(A) + \text{D}(B) + \text{D}(C) + \text{D}(D) + \text{D}(F) \\[3pt] &= 10 + 15 + 5 + 10 + 5 \\[3pt] &= \mathbf{45} \text{ jours} \quad = \; \text{DFPT}(F) \;\; \checkmark \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux méthodes concordent au jour près. Le chemin concurrent A-B-E-F totalise quant à lui \( 10 + 15 + 5 + 5 = 35 \) jours, soit dix jours de moins — écart qui est exactement la marge de la tâche E. Tout se recoupe.

  • Ordre de grandeur : 45 jours pour cinq tâches critiques, soit une moyenne de 9 jours par tâche surveillée. Le rythme est régulier, sans tâche écrasante.
  • Impact sur la suite : cette valeur de 45 jours devient la référence contractuelle à laquelle tout retard sera comparé pour le calcul des pénalités.
  • Cohérence : l'écart de 10 jours entre les deux chemins coïncide avec la marge totale de E. Ce n'est pas fortuit : la marge d'une branche est l'écart entre les deux chemins.
  • Attention : si la durée de E passait de 5 à 20 jours, le chemin A-B-E-F atteindrait 50 jours et deviendrait critique à son tour. Le chemin critique n'est jamais acquis définitivement.
  • Comparaison : la tâche B, avec ses 15 jours, représente à elle seule un tiers du délai. C'est sur elle que porterait en priorité toute recherche d'accélération.

Remarque pédagogique : Un contrôle croisé n'a de valeur que s'il emprunte un chemin logique différent du calcul initial. Refaire la passe avant une seconde fois ne prouverait rien : on reproduirait la même erreur. Ici, la première méthode propage des dates, la seconde additionne des durées.

DIAGRAMME DE GANTT — CHEMIN CRITIQUE
Échelle unique : 14 px par jour — origine au jour 0 A · Fondations B · Murs C · Charpente D · Toiture E · Fenêtres F · Finitions 10 j 15 j 5 j 10 j 5 j 5 j J0 J5 J10 J15 J20 J25 J30 J35 J40 J45 tâche critique, marge nulle tâche non critique, marge de 10 jours fin J45
RÉSULTAT FINAL
A → B → C → D → F · 45 jours
Cinq tâches sur six sont critiques. C'est cette durée de 45 jours qui sera portée au calendrier d'exécution remis au maître d'œuvre.
3
Question 3 : Calculer les deux marges de la pose des fenêtres
Dans la tête de l'ingénieur

« J'ai déjà la marge totale de E : dix jours, calculée à la question précédente. Pourquoi en calculer une seconde ? Parce que la marge totale répond à la question du maître d'ouvrage — « la livraison bougera-t-elle ? » — alors que la marge libre répond à celle du conducteur de travaux — « vais-je gêner l'équipe suivante ? ». Ce ne sont pas les mêmes préoccupations, et sur beaucoup de plannings les deux valeurs diffèrent. Consommer toute la marge totale d'une tâche est sans conséquence pour le client, mais peut décaler trois équipes en aval et déclencher des immobilisations que personne n'avait budgétées. »

  • Observation : La tâche E est la seule tâche non critique du réseau. C'est donc la seule sur laquelle la question des marges se pose réellement ; partout ailleurs, la réponse est zéro.
  • Analyse du risque : Confondre les deux marges conduit à des promesses intenables. Annoncer dix jours de souplesse à un sous-traitant alors que la marge libre n'en vaut que deux, c'est programmer un conflit de coactivité.
  • Choix stratégique : Calculer les deux séparément, puis expliquer leur égalité. Ici elles coïncident, mais cette coïncidence a une cause précise qu'il faut savoir énoncer, sinon la leçon ne se transpose pas.
  • Alternative : On pourrait se contenter de la marge totale, largement suffisante pour piloter ce petit chantier. Mais dès qu'une branche non critique compte plusieurs tâches, la distinction devient indispensable : la marge totale est alors partagée, la marge libre est propre.
  • Objectif visé : Savoir répondre précisément au poseur de fenêtres qui demande à décaler son intervention, en distinguant ce qui est possible sans risque de ce qui l'est au prix d'une contrainte reportée sur autrui.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Tâche E — marge totale = 10 jours · marge libre = 10 jours
Rappel Théorique : deux marges, deux horizons

Les deux marges mesurent la même chose — une latitude en jours — mais ne regardent pas jusqu'au même endroit. L'une regarde jusqu'à la fin du projet, l'autre s'arrête à la tâche suivante. De cette différence d'horizon découlent toutes leurs propriétés.

  • La marge totale : retard maximal admissible sans repousser la fin du projet. C'est la marge « vue du client » : tant qu'elle n'est pas dépassée, la date de livraison tient.
  • La marge libre : retard maximal admissible sans décaler le démarrage au plus tôt d'aucun successeur. C'est la marge « vue du chantier » : tant qu'elle n'est pas dépassée, personne d'autre n'est dérangé.
  • L'inégalité fondamentale : la marge libre est toujours inférieure ou égale à la marge totale. Ne pas gêner son successeur est une condition plus exigeante que ne pas retarder le projet entier.
  • Le partage de la marge totale : sur une branche non critique de plusieurs tâches, la marge totale est commune : la première qui la consomme la retire aux autres. La marge libre, elle, est propre à chaque tâche.
  • Le cas d'égalité : les deux marges coïncident lorsque le successeur est lui-même critique. Toute la souplesse de la branche doit alors être consommée avant d'atteindre ce successeur, puisqu'il ne peut, lui, absorber quoi que ce soit.
Équations Fondamentales

Les deux définitions se ressemblent au point qu'on les confond aisément. La différence tient en un mot : la marge totale compare une tâche à elle-même — ses deux dates de début —, la marge libre la compare à son successeur. Repérez sur quelle tâche porte chaque terme, et la confusion disparaît.

Formule 1 — Marge totale de la tâche étudiée :

Elle mesure l'écart entre les deux dates de début possibles d'une même tâche.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle donne la réponse à la seule question contractuelle qui vaille : la date de livraison est-elle menacée ? Tous les termes portent sur la tâche étudiée, aucun ne fait intervenir le voisinage.

  • Contexte de validité : les deux passes doivent être achevées, et la passe arrière amorcée sur la date de fin réellement retenue au marché.
  • Avantage : elle ne demande aucune connaissance du réseau : deux nombres lus sur une même ligne du tableau suffisent.
  • Paramètre clé : la date de début au plus tard, qui concentre à elle seule toute l'information issue de la passe arrière.
  • Vérification : le même écart doit se retrouver sur les dates de fin. Si \( \text{DFPTa} - \text{DFPT} \) donne autre chose, une des quatre dates est fausse.
  • Limite : elle ne dit rien des conséquences locales. Une tâche peut avoir dix jours de marge totale et gêner son successeur dès le premier jour de retard.
\[ \begin{aligned} M_{\text{T}}(E) = \text{DDPTa}(E) - \text{DDPT}(E) \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? De combien puis-je décaler mon équipe sans que le client s'en aperçoive ? L'équation compare la date à laquelle on peut commencer et celle à laquelle on doit commencer. Entre les deux se trouve la latitude réelle du conducteur de travaux.
Décomposition des termes :
  • \( M_{\text{T}}(E) \) : marge totale de la pose des fenêtres, unité : jour
  • \( \text{DDPTa}(E) \) : date de début au plus tard de la tâche E, unité : jour
  • \( \text{DDPT}(E) \) : date de début au plus tôt de la tâche E, unité : jour
Formule 2 — Marge libre de la tâche étudiée :

Elle mesure l'espace disponible entre la fin au plus tôt d'une tâche et le début au plus tôt de son successeur le plus précoce.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le conducteur de travaux a besoin de savoir ce qu'il peut décider seul. Tant qu'il reste dans la marge libre, il n'a personne à prévenir. Au-delà, il empiète sur le planning d'un autre et doit arbitrer.

  • Contexte de validité : elle exige d'avoir identifié tous les successeurs de la tâche. En oublier un conduit à surestimer la marge disponible.
  • Avantage : elle est consommable sans concertation : c'est la seule souplesse dont le responsable de la tâche dispose en propre.
  • Paramètre clé : la date de début au plus tôt du successeur — et non sa date au plus tard. C'est l'erreur de lecture la plus fréquente sur cette formule.
  • Vérification : le résultat doit rester inférieur ou égal à la marge totale. Une marge libre supérieure signale une erreur de lecture certaine.
  • Limite : pour une tâche terminale, la formule n'a pas de successeur à considérer : on prend alors la date de fin du projet comme borne.
\[ \begin{aligned} M_{\text{L}}(E) = \min_{j \in \text{Succ}(E)} \text{DDPT}(j) - \text{DFPT}(E) \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Quel est l'espace vide devant moi ? Sur le diagramme de Gantt, c'est littéralement le blanc qui sépare la fin de la barre E du début de la barre F. Tant que la barre E glisse dans ce blanc, elle ne touche personne.
Décomposition des termes :
  • \( M_{\text{L}}(E) \) : marge libre de la pose des fenêtres, unité : jour
  • \( \text{Succ}(E) \) : ensemble des successeurs de E, réduit ici à la seule tâche F, unité : sans
  • \( \text{DDPT}(j) \) : date de début au plus tôt du successeur \( j \), unité : jour
  • \( \text{DFPT}(E) \) : date de fin au plus tôt de la tâche E, unité : jour
!
L'Erreur Classique (Le Piège)

« Beaucoup d'étudiants calculent la marge libre avec la date au plus tard du successeur, parce que le mot “tard” leur paraît naturellement associé à l'idée de marge. »

L'approche d'ingénieur : La marge libre est une grandeur locale : elle ne connaît que des dates au plus tôt, celle de la tâche et celle de son successeur. Aucune date au plus tard n'y figure.
  • L'erreur : prendre \( \text{DDPTa}(F) = 40 \) au lieu de \( \text{DDPT}(F) = 40 \) donne ici le même résultat par hasard, F étant critique. Le calcul est faux et le chiffre est juste : c'est le pire des cas, car rien ne signale l'erreur.
  • La bonne méthode : se souvenir que la marge libre décrit un planning exécuté au plus tôt. Toutes les tâches y démarrent dès qu'elles le peuvent ; les dates au plus tard n'ont aucune raison d'y apparaître.
  • L'astuce de pro : tracer les deux barres sur le Gantt et mesurer le blanc entre elles. La marge libre est visible à l'œil nu ; aucune formule n'est nécessaire pour la contrôler.
  • Le moyen mnémotechnique : « libre = local ». La marge libre ne regarde que le voisin immédiat, jamais la fin du projet.
  • L'impact direct : sur un planning où F ne serait pas critique, l'erreur donnerait une marge libre surestimée. Le poseur décalerait son intervention en toute confiance et bloquerait l'équipe suivante, arrivée sur un chantier non prêt.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités (Optionnel)
  • Dates de la tâche E : DDPT = 25 j, DFPT = 30 j, DDPTa = 35 j, toutes en jours
  • Date du successeur F : DDPT = 40 j, lue au plus tôt, en jours
  • Marge totale : différence de deux dates de début, résultat en jours
  • Marge libre : différence entre une date de début et une date de fin, résultat en jours
  • Aucune conversion : toutes les grandeurs manipulées sont déjà des jours ouvrés

Les deux marges se calculent indépendamment l'une de l'autre, à partir du tableau de la question 1. La première ne mobilise que la ligne de la tâche E ; la seconde emprunte une valeur à la ligne de la tâche F. Le rapprochement des deux résultats sera fait ensuite, et c'est lui qui porte l'enseignement.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Marge totale \( M_{\text{T}}(E) \) de la pose des fenêtres

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour savoir de combien la pose des fenêtres peut glisser sans toucher à la date de livraison. C'est la réponse à donner au maître d'ouvrage si la question lui vient.

Méthodologie du calcul :

On lit sur la ligne E du tableau récapitulatif les deux dates de début, puis on les soustrait dans l'ordre au plus tard moins au plus tôt. Le résultat est ensuite recontrôlé sur les dates de fin.

  • Substitution : on injecte \( \text{DDPTa}(E) = 35 \) jours et \( \text{DDPT}(E) = 25 \) jours, tous deux lus sur la même ligne du tableau.
  • Piège évité : ne pas mélanger une date de début et une date de fin. Les deux termes doivent porter sur le même événement, ici le démarrage de la tâche.
  • Hypothèse validée : la date de fin de projet retenue est bien 45 jours, valeur sur laquelle la passe arrière a été amorcée. Sans cela, la marge n'aurait pas la même signification.
  • Vérification croisée : sur les fins, \( 40 - 30 = 10 \) jours. Les deux lectures concordent, les quatre dates de la ligne E sont donc cohérentes entre elles.
  • Finalité : disposer de la borne supérieure à laquelle la marge libre sera comparée au calcul suivant.
\[ \begin{aligned} M_{\text{T}}(E) &= \text{DDPTa}(E) - \text{DDPT}(E) \\[3pt] &= 35 - 25 \\[3pt] &= \mathbf{10} \text{ jours} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Dix jours, soit deux semaines ouvrées, sur une tâche qui n'en dure que cinq. La marge vaut ici deux fois la durée de la tâche : la pose des fenêtres est de très loin l'intervention la plus souple du chantier.

  • Ordre de grandeur : dix jours représentent 22 % de la durée totale du chantier. C'est une souplesse considérable, mais elle ne concerne qu'une seule tâche.
  • Impact sur la suite : cette valeur va être comparée à la marge libre. L'écart entre les deux, ou son absence, est le véritable enseignement de la question.
  • Cohérence : la valeur retrouve exactement celle de la question 2, où E était la seule tâche à marge non nulle. Les deux questions se recoupent.
  • Attention : consommer les dix jours rend la tâche E critique à son tour. Le chantier n'aurait alors plus aucune marge nulle part, et deux chemins critiques parallèles.
  • Comparaison : cette marge est l'unique amortisseur du planning. Une organisation prudente en conserverait une part, plutôt que de la dépenser dès le premier aléa.

Remarque pédagogique : Une marge supérieure à la durée de la tâche n'a rien d'anormal : elle indique simplement que la branche est largement plus courte que la branche critique parallèle. C'est même le cas le plus fréquent sur les lots de second œuvre.

Calcul 2 — Marge libre \( M_{\text{L}}(E) \) de la pose des fenêtres

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour savoir de combien la pose peut glisser sans gêner les finitions. C'est la seule marge que le conducteur de travaux peut engager sans consulter personne.

Méthodologie du calcul :

On repère d'abord les successeurs de E : il n'y en a qu'un, la tâche F. Le minimum de la formule porte donc sur un ensemble réduit à un élément et s'évalue immédiatement. On soustrait ensuite la fin au plus tôt de E.

  • Substitution : on injecte \( \text{DDPT}(F) = 40 \) jours et \( \text{DFPT}(E) = 30 \) jours — deux valeurs lues sur deux lignes différentes du tableau.
  • Piège évité : prendre la date de début au plus tôt de F, pas sa date au plus tard. Ici les deux valent 40 puisque F est critique, mais le raisonnement doit rester juste indépendamment du résultat.
  • Hypothèse validée : la tâche E n'a qu'un seul successeur, ce que confirme le réseau logique de l'énoncé. Le minimum est donc trivial à évaluer.
  • Vérification croisée : le résultat doit être inférieur ou égal à 10 jours, valeur de la marge totale trouvée au calcul précédent.
  • Finalité : pouvoir répondre au poseur de fenêtres avec un chiffre engageant, et non avec une approximation issue de la seule marge totale.
\[ \begin{aligned} M_{\text{L}}(E) &= \text{DDPT}(F) - \text{DFPT}(E) \\[3pt] &= 40 - 30 \\[3pt] &= \mathbf{10} \text{ jours} \quad \le \; M_{\text{T}}(E) = 10 \text{ jours} \;\; \checkmark \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux marges sont rigoureusement égales. Ce n'est pas une coïncidence : le successeur de E est la tâche F, qui est critique. F ne pouvant absorber aucun retard, toute la souplesse de la branche doit être consommée avant d'arriver sur elle.

  • Ordre de grandeur : l'inégalité \( M_{\text{L}} \le M_{\text{T}} \) est vérifiée, ici à l'égalité. Aucune incohérence entre les deux calculs.
  • Impact sur la suite : le conducteur de travaux peut engager les dix jours entiers sans consulter qui que ce soit. C'est une latitude rare et directement exploitable.
  • Cohérence : sur cette branche, la marge totale n'est partagée avec personne puisque E est la seule tâche non critique. Il est donc logique que sa marge propre soit la totalité de la marge de branche.
  • Attention : cette égalité ne se généralise pas. Si une tâche de finition intermédiaire non critique s'intercalait entre E et F, les deux marges divergeraient aussitôt.
  • Comparaison : pour les cinq autres tâches, marge totale et marge libre valent toutes deux zéro jour. E est la seule ligne du planning où ces deux colonnes ne sont pas vides.

Remarque pédagogique : Retenez la cause de l'égalité, pas l'égalité elle-même : elle tient au fait que le successeur est critique. C'est la règle qui se transpose à d'autres plannings, pas le chiffre de dix jours.

LA MARGE DE LA TÂCHE E, VUE SUR LE GANTT
Même échelle que le Gantt général : 14 px par jour E · Fenêtres F · Finitions 5 j position au plus tard marge = 10 jours 5 j tâche critique : ne bouge pas J25 J30 J35 J40 J45 la barre E peut glisser dans toute la zone hachurée avant de toucher le début de F : marge libre = marge totale
RÉSULTAT FINAL
MT(E) = ML(E) = 10 jours
Les deux marges coïncident parce que le successeur de E est critique. Ces dix jours sont la seule souplesse de tout le chantier.
4
Question 4 : Chiffrer l'incident, du planning au bordereau de pénalités
Dans la tête de l'ingénieur

« Le téléphone sonne : cinq jours de retard sur les tuiles. Mon premier réflexe n'est pas de calculer, c'est de regarder sur quelle tâche tombe le retard. Si c'était sur les fenêtres, je raccrochais sans rien changer au planning : dix jours de marge absorbent tout. Mais c'est sur la toiture, et la toiture est critique. Donc le retard passe intégralement dans la date de livraison. Reste la seconde question, celle que le maître d'ouvrage va poser dans l'heure : combien ça coûte ? Et là, attention — le taux de 1/3 000 n'est que la première ligne de l'article 19.2. Il y en a deux autres, et l'une d'elles change complètement la réponse. »

  • Observation : La tâche touchée est critique, marge nulle. Le résultat de la question 2 suffit à annoncer la conclusion sur les délais avant même d'écrire une ligne de calcul.
  • Analyse du risque : S'arrêter au taux de 1/3 000 conduit à annoncer une pénalité de plusieurs centaines d'euros qui, en réalité, ne sera pas due. Annoncer un montant faux au maître d'ouvrage engage la crédibilité de l'entreprise.
  • Choix stratégique : Traiter la question en trois temps distincts : la dérive en jours, la pénalité brute encourue, puis l'application complète de l'article 19.2. Chaque étape a sa propre conclusion.
  • Alternative : On pourrait chercher à rattraper le retard en renforçant l'équipe de couverture, ou en démarrant les finitions par les pièces non couvertes. Ces options sortent du cadre posé, qui exclut toute action corrective — mais elles doivent être mentionnées au maître d'ouvrage.
  • Objectif visé : Produire un chiffre opposable, c'est-à-dire un montant qui résiste à la lecture du CCAG par le comptable public. C'est la finalité de tout le travail d'ordonnancement.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Dérive = 5 jours · nouvelle durée = 50 jours · pénalité encourue = 400,00 € · pénalité réellement due = 0,00 €
Rappel Théorique : du jour de retard à l'euro retenu

Un retard de chantier n'a de portée contractuelle que lorsqu'il est rapporté au calendrier d'exécution, pièce contractuelle du marché au titre de l'article 4.1 du CCAG Travaux. Le passage du jour à l'euro obéit ensuite à l'article 19.2, dont il faut lire les trois alinéas et non le seul qui donne le taux.

  • La règle d'absorption : un retard n'est transmis au projet que pour sa part excédant la marge totale de la tâche touchée. Sur une tâche critique, la marge est nulle : la transmission est intégrale.
  • Le taux de base, art. 19.2.3 : en cas de retard imputable au titulaire, il est appliqué une pénalité journalière de 1/3 000 du montant hors taxes de l'ensemble du marché.
  • Le seuil d'exonération, art. 19.2.1 : le titulaire est exonéré des pénalités dont le montant total ne dépasse pas 1 000 euros pour l'ensemble du marché. Cet alinéa peut annuler purement et simplement le montant calculé.
  • Le plafond, art. 19.2.2 : le montant total des pénalités de retard ne peut excéder 10 % du montant total hors taxes du marché. Au-delà, le maître d'ouvrage ne dispose plus de ce levier.
  • Le décompte des jours, art. 19.1.1 : les samedis, dimanches et jours fériés ne sont pas déduits du calcul des pénalités. Un retard de cinq jours ouvrés peut donc représenter davantage de jours pénalisés selon la position dans la semaine.
Équations Fondamentales

Trois relations, appartenant à deux mondes différents. La première relève du planning : elle convertit un retard de tâche en dérive de projet. Les deux suivantes relèvent du contrat : elles convertissent des jours en euros. C'est l'articulation des deux qui fait l'ingénieur, et non l'une ou l'autre prise isolément.

Formule 1 — Dérive de la date de fin de projet :

Elle traduit le fait qu'une marge se comporte comme un amortisseur : elle absorbe le retard jusqu'à concurrence de sa valeur.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle évite de recalculer tout le réseau à chaque aléa. La marge totale ayant déjà été établie, l'impact d'un retard s'obtient par une simple soustraction bornée à zéro.

  • Contexte de validité : elle vaut pour un retard affectant une seule tâche. Deux aléas simultanés sur deux branches distinctes exigent de reprendre la passe avant.
  • Avantage : elle donne une réponse immédiate, exploitable en réunion de chantier, sans logiciel ni recalcul complet du planning.
  • Paramètre clé : la marge totale de la tâche touchée. C'est elle, et non la durée du retard, qui détermine si l'incident aura ou non des conséquences.
  • Vérification : la dérive obtenue est toujours comprise entre zéro et le retard annoncé. Une valeur en dehors de cet intervalle est nécessairement fausse.
  • Limite : après consommation de la marge, celle-ci n'existe plus. La formule ne vaut que pour le premier aléa ; le second se calcule sur un réseau remis à jour.
\[ \begin{aligned} \Delta = \max\bigl(0 \,;\, R - M_{\text{T}}(D)\bigr) \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? La marge est un matelas. Tant que le retard est plus petit que le matelas, la chute est amortie et le projet ne bouge pas. Dès que le retard dépasse l'épaisseur du matelas, on touche le sol — et l'excédent se répercute jour pour jour sur la livraison. Le \( \max \) avec zéro traduit qu'un retard ne peut pas faire gagner du temps.
Décomposition des termes :
  • \( \Delta \) : dérive de la date de fin de projet, unité : jour
  • \( R \) : retard annoncé sur la tâche touchée, unité : jour
  • \( M_{\text{T}}(D) \) : marge totale de la tâche touchée, unité : jour
Formule 2 — Pénalité journalière de retard, CCAG Travaux art. 19.2.3 :

Elle convertit le montant du marché en un prix de la journée de retard.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le CCAG a choisi d'indexer la pénalité sur la taille du marché plutôt que sur un forfait. Un jour de retard sur un chantier de dix millions n'a pas le même poids économique qu'un jour sur un pavillon ; le taux 1/3 000 rend la sanction proportionnée.

  • Contexte de validité : marché public renvoyant au CCAG Travaux. Les documents particuliers du marché peuvent déroger à ce taux : il faut toujours vérifier le CCAP avant de l'appliquer.
  • Avantage : elle est automatique et non discutable : ni le maître d'ouvrage ni l'entreprise n'ont à négocier le montant unitaire.
  • Paramètre clé : l'assiette. C'est le montant hors taxes de l'ensemble du marché, de la tranche ou du bon de commande concerné — pas le montant du lot en retard.
  • Vérification : le taux 1/3 000 correspond à environ 0,033 % par jour. Un ordre de grandeur utile pour repérer une erreur de virgule.
  • Limite : elle ne suffit pas à conclure. Prise seule, elle ignore le seuil d'exonération et le plafond, qui peuvent l'un et l'autre modifier le montant dû.
\[ \begin{aligned} p = \frac{M_{\text{HT}}}{3\,000} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Un jour de retard coûte un trois-millième du marché. Autrement dit, il faudrait 3 000 jours de retard pour consommer le marché entier — ce qui n'arrivera jamais, puisque le plafond de 10 % arrête le compteur bien avant. Le taux est délibérément modéré : la pénalité est un aiguillon, pas une confiscation.
Décomposition des termes :
  • \( p \) : pénalité journalière de retard, unité : € par jour
  • \( M_{\text{HT}} \) : montant hors taxes de l'ensemble du marché, unité : €
  • 3 000 : diviseur fixé par l'article 19.2.3 du CCAG Travaux, unité : jour
Formule 3 — Pénalité réellement due, après application des trois alinéas :

Elle combine le montant brut, le seuil d'exonération de l'article 19.2.1 et le plafond de l'article 19.2.2.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'article 19.2 forme un tout. Le taux donne un montant brut ; le seuil décide s'il est exigible ; le plafond le borne. Appliquer le premier alinéa sans les deux autres, c'est produire un chiffre qui ne résistera pas à la première contestation.

  • Contexte de validité : le seuil et le plafond s'apprécient sur l'ensemble du marché, non incident par incident. Un second retard viendrait s'ajouter au premier dans le décompte.
  • Avantage : elle donne le montant opposable, celui qui sera effectivement retenu sur le décompte, et non une estimation intermédiaire.
  • Paramètre clé : le seuil de 1 000 €, qui est un montant fixe et non un pourcentage. Sur un petit marché, il couvre un nombre de jours considérable.
  • Vérification : le résultat est soit nul, soit compris entre le seuil et le plafond. Aucune autre valeur n'est possible.
  • Limite : l'exonération est un effet de seuil brutal et non un abattement : dès que le total dépasse 1 000 €, c'est la totalité qui devient due, et non le seul excédent.
\[ \begin{aligned} P_{\text{due}} = \begin{cases} 0 & \text{si } p \times \Delta \le S \\[4pt] \min\bigl(p \times \Delta \,;\, 0{,}10 \times M_{\text{HT}}\bigr) & \text{sinon} \end{cases} \end{aligned} \]
Que dit cette équation physiquement ? Le CCAG ne poursuit pas les petits retards. En dessous de 1 000 €, le coût administratif du recouvrement dépasserait la somme recouvrée : le texte préfère y renoncer. Au-delà, la pénalité s'applique en totalité, mais sans jamais pouvoir dépasser un dixième du marché.
Décomposition des termes :
  • \( P_{\text{due}} \) : pénalité effectivement retenue sur le décompte, unité : €
  • \( p \times \Delta \) : pénalité brute encourue avant application des clauses, unité : €
  • \( S \) : seuil d'exonération de l'article 19.2.1, soit 1 000, unité : €
  • \( 0{,}10 \times M_{\text{HT}} \) : plafond de l'article 19.2.2, unité : €
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L'Erreur Classique (Le Piège)

« Beaucoup d'étudiants appliquent le taux de 1/3 000, trouvent 400 € et s'arrêtent là. Le chiffre est exact, la conclusion est fausse : rien ne sera retenu. »

L'approche d'ingénieur : Une clause de pénalité se lit en entier. L'article 19.2 comporte trois alinéas qui interviennent dans l'ordre : le taux, puis le seuil, puis le plafond.
  • L'erreur : annoncer 400 € de pénalité au maître d'ouvrage alors que l'article 19.2.1 exonère tout montant total inférieur ou égal à 1 000 €. L'entreprise se déclarerait débitrice d'une somme qu'elle ne doit pas.
  • La bonne méthode : calculer le montant brut, puis le confronter au seuil, puis au plafond. Trois lectures successives, dans cet ordre, avant toute annonce.
  • L'astuce de pro : calculer une fois pour toutes le nombre de jours à partir duquel les pénalités mordent sur ce marché. C'est un repère que le conducteur de travaux garde en tête pendant toute la durée du chantier.
  • Le moyen mnémotechnique : « taux, seuil, plafond » — trois mots, trois alinéas, toujours dans cet ordre. Un seul oublié et le montant est faux.
  • L'impact direct : au-delà de l'erreur comptable, annoncer une pénalité inexistante affaiblit la position de l'entreprise dans la négociation qui suivra, alors qu'elle n'a rien à concéder.
Exécution de la Note de Calculs
Check-up des Unités (Optionnel)
  • Retard annoncé : 5 jours, homogène aux marges du tableau
  • Montant du marché : 240 000 € hors taxes, à ne jamais confondre avec un montant TTC
  • Pénalité journalière : quotient d'un montant par un nombre de jours, donc en €/jour
  • Pénalité totale : produit d'un €/jour par des jours, donc en €
  • Seuil et plafond : deux montants en €, directement comparables au résultat précédent

Le calcul se déroule en trois temps, dont les deux premiers sont mécaniques et le troisième décisif. On établit d'abord la dérive en jours, puis la pénalité brute encourue, et l'on confronte enfin ce montant aux clauses de seuil et de plafond. C'est seulement à l'issue du troisième calcul qu'un chiffre peut être annoncé.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Dérive \( \Delta \) et nouvelle durée d'exécution

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule grandeur physique de la question : tout le volet financier n'en est que la traduction contractuelle. Sans le nombre de jours, aucun euro ne peut être calculé.

Méthodologie du calcul :

On récupère la marge totale de la tâche D, établie à la question 2, on la retranche du retard annoncé et l'on borne le résultat à zéro. La nouvelle durée s'obtient ensuite en ajoutant la dérive à la durée contractuelle de 45 jours.

  • Substitution : on injecte \( R = 5 \) jours et \( M_{\text{T}}(D) = 0 \) jour, cette dernière valeur provenant directement du calcul 1 de la question 2.
  • Piège évité : ne pas utiliser la marge de la tâche E. Le retard porte sur la toiture ; les dix jours de souplesse des fenêtres sont sur une autre branche et ne peuvent rien absorber ici.
  • Hypothèse validée : aucune action corrective n'est engagée, conformément au cadre posé dans les données. Un renfort d'équipe modifierait la durée de D et invaliderait ce calcul.
  • Vérification croisée : en refaisant la passe avant avec \( \text{D}(D) = 15 \) jours, on obtient \( \text{DFPT}(D) = 45 \) puis \( \text{DFPT}(F) = \max(45 \,;\, 30) + 5 = 50 \) jours. Les deux méthodes concordent.
  • Finalité : obtenir le nombre de jours pénalisables, seule entrée du calcul financier qui suit.
\[ \begin{aligned} \Delta &= \max\bigl(0 \,;\, R - M_{\text{T}}(D)\bigr) \\[3pt] &= \max(0 \,;\, 5 - 0) \\[3pt] &= \mathbf{5} \text{ jours} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

La transmission est intégrale : les cinq jours de retard du fournisseur deviennent cinq jours de retard de livraison. La durée d'exécution passe de 45 à 50 jours, soit un allongement de 11,1 %.

  • Ordre de grandeur : la dérive est comprise entre 0 et 5 jours, comme l'exige la formule. Elle atteint ici sa valeur maximale, ce qui est cohérent avec une marge nulle.
  • Impact sur la suite : ces cinq jours constituent l'assiette en jours de la pénalité. Toute erreur ici se répercute proportionnellement sur le montant en euros.
  • Cohérence : la vérification par recalcul complet de la passe avant donne bien 50 jours. Le raccourci par la marge est donc validé.
  • Attention : le même retard de cinq jours sur la pose des fenêtres aurait donné \( \max(0 \,;\, 5 - 10) = 0 \) jour de dérive, et aucune pénalité. La tâche touchée fait toute la différence.
  • Comparaison : après cet incident, la marge de la tâche E passe de 10 à 15 jours : le chemin critique s'allonge tandis que la branche des fenêtres, elle, ne bouge pas.

Remarque pédagogique : Un retard sur une tâche critique se transmet toujours intégralement : le \( \max \) et la soustraction sont formellement nécessaires, mais leur résultat était connu d'avance. La formule prend en revanche tout son sens sur une tâche à marge non nulle.

Calcul 2 — Pénalité journalière \( p \) et pénalité brute encourue

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour traduire les jours en euros selon l'article 19.2.3. C'est le montant que le maître d'ouvrage envisagera de retenir — sous réserve des deux alinéas suivants.

Méthodologie du calcul :

On divise le montant hors taxes du marché par 3 000 pour obtenir le prix d'une journée, puis on multiplie par le nombre de jours de dérive. Les deux opérations sont enchaînées sans arrondi intermédiaire, la division tombant ici sur un nombre entier.

  • Substitution : on injecte \( M_{\text{HT}} = 240\,000 \) € et \( \Delta = 5 \) jours, cette dernière valeur provenant du calcul précédent.
  • Piège évité : l'assiette est le montant hors taxes. Utiliser un montant TTC majorerait la pénalité de 20 % sans aucun fondement contractuel.
  • Hypothèse validée : le retard est réputé imputable au titulaire, comme l'exige l'article 19.2.3. Un retard de livraison relève en effet de la responsabilité de l'entreprise vis-à-vis du maître d'ouvrage.
  • Vérification croisée : en pourcentage, \( 400 / 240\,000 = 0{,}167 \% \) du marché, soit bien 5 fois 0,033 %. L'ordre de grandeur est confirmé.
  • Finalité : disposer du montant brut à confronter au seuil d'exonération et au plafond.
\[ \begin{aligned} p &= \frac{M_{\text{HT}}}{3\,000} = \frac{240\,000}{3\,000} = \mathbf{80{,}00} \text{ €/jour} \\[6pt] P_{\text{brute}} &= p \times \Delta = 80{,}00 \times 5 = \mathbf{400{,}00} \text{ €} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

80 € par jour sur un marché de 240 000 €. Rapporté au coût réel d'une journée de chantier — encadrement, immobilisation de matériel, location de grue —, ce montant est très inférieur à ce que le retard coûte effectivement à l'entreprise. La pénalité contractuelle n'est pas une réparation du préjudice.

  • Ordre de grandeur : 400 € représentent 0,167 % du marché. On est très loin du plafond de 10 %, qui correspondrait à 24 000 €.
  • Impact sur la suite : ce montant doit impérativement être confronté au seuil de 1 000 € avant toute annonce. Le calcul n'est pas terminé.
  • Cohérence : la division tombe juste, 240 000 étant un multiple de 3 000. Aucun arrondi n'intervient, donc aucune propagation d'erreur possible.
  • Attention : l'article 19.1.1 précise que les samedis, dimanches et jours fériés ne sont pas déduits. Cinq jours ouvrés de dérive peuvent donc représenter sept jours calendaires pénalisés selon leur position dans la semaine.
  • Comparaison : une immobilisation de grue se facture couramment plusieurs centaines d'euros par jour. Le coût interne du retard dépasse ici largement la pénalité contractuelle.

Remarque pédagogique : Le montant de 400 € est parfaitement exact — et il ne sera pourtant pas retenu. Un résultat juste au milieu d'un raisonnement ne dispense jamais d'aller au bout du texte applicable.

Calcul 3 — Pénalité réellement due \( P_{\text{due}} \) et seuil de déclenchement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour conclure. C'est le seul chiffre qui sera porté au décompte, et le seul qui puisse être annoncé au maître d'ouvrage sans risque d'être contredit.

Méthodologie du calcul :

On confronte le montant brut au seuil de l'article 19.2.1, puis au plafond de l'article 19.2.2. On détermine enfin, par division, le nombre de jours de retard à partir duquel les pénalités deviendraient effectivement exigibles sur ce marché.

  • Substitution : on injecte \( P_{\text{brute}} = 400{,}00 \) €, \( S = 1\,000 \) € et le plafond \( 0{,}10 \times 240\,000 = 24\,000 \) €.
  • Piège évité : le seuil n'est pas un abattement. On ne retient pas \( 400 - 1\,000 \) ni un quelconque excédent : en dessous du seuil, le montant dû est nul.
  • Hypothèse validée : il s'agit du seul et unique retard du marché. Le seuil s'appréciant sur l'ensemble du marché, un second incident s'ajouterait à celui-ci dans le décompte.
  • Vérification croisée : au seuil de déclenchement, la pénalité doit franchir 1 000 € : \( 13 \times 80 = 1\,040 \) € tandis que \( 12 \times 80 = 960 \) €. Le basculement se situe bien entre ces deux valeurs.
  • Finalité : donner au conducteur de travaux un repère opérationnel qu'il conservera pendant toute la durée du chantier.
\[ \begin{aligned} P_{\text{brute}} = 400{,}00 \text{ €} &\le S = 1\,000 \text{ €} \quad \Rightarrow \quad P_{\text{due}} = \mathbf{0{,}00} \text{ €} \\[6pt] n_{\min} &= \left\lceil \frac{S}{p} \right\rceil = \left\lceil \frac{1\,000}{80} \right\rceil = \lceil 12{,}5 \rceil = \mathbf{13} \text{ jours} \\[6pt] P_{\max} &= 0{,}10 \times 240\,000 = \mathbf{24\,000} \text{ €} \quad \equiv \quad 300 \text{ jours de retard} \end{aligned} \]
Analyse intermédiaire du chiffre :

Aucune pénalité ne sera retenue. Les 400 € encourus restent sous le seuil d'exonération. L'entreprise devrait accumuler treize jours de retard avant que le premier euro ne soit exigible — et, ce jour-là, ce sont 1 040 € d'un coup qui deviendraient dus, non 40 €.

  • Ordre de grandeur : le seuil de 13 jours représente 29 % de la durée contractuelle. Sur un marché de cette taille, la clause d'exonération couvre une part très large des aléas courants.
  • Impact sur la suite : le conducteur de travaux dispose désormais d'un seuil d'alerte chiffré : tant que le cumul reste sous 12 jours, aucune retenue n'est possible.
  • Cohérence : le plafond de 24 000 € correspondrait à 300 jours de retard, soit près de sept fois la durée du chantier. Il ne sera manifestement jamais atteint ici.
  • Attention : l'absence de pénalité ne signifie pas l'absence de conséquence. Le retard reste opposable, les coûts internes sont réels, et la réception est décalée d'autant.
  • Comparaison : sur un marché de 3 millions d'euros, la pénalité journalière atteindrait 1 000 € et le seuil serait franchi dès le second jour. Le même retard n'a pas du tout la même portée selon la taille du marché.

Remarque pédagogique : Retenez la mécanique du seuil, pas le chiffre de 13 jours : il dépend entièrement du montant du marché. Sur tout marché, le nombre de jours francs d'exonération vaut \( 3\,000 \times S / M_{\text{HT}} \) — c'est-à-dire qu'il décroît quand le marché grossit.

PLANNING RECALÉ APRÈS L'INCIDENT
Même échelle : 14 px par jour — la fin passe de J45 à J50 A · Fondations B · Murs C · Charpente D · Toiture E · Fenêtres F · Finitions +5 j 10 j 15 j 5 j 10 j 5 j 5 j position initiale J0 J10 J20 J30 J40 J50 fin initiale J45 J50 allongement de la toiture : 5 jours pénalité encourue 400,00 € — retenue effective 0,00 € (art. 19.2.1)
RÉSULTAT FINAL
Pdue = 0,00 € — durée portée à 50 jours
Les 400,00 € encourus restent sous le seuil d'exonération de 1 000 € : rien ne sera retenu avant treize jours de retard cumulé.
SCHÉMA BILAN DE LA NOTE DE CALCULS

LA CHAÎNE COMPLÈTE, D'UN COUP D'ŒIL

Enchaînement des quatre questions SYNOPTIQUE

Les quatre questions ne sont pas quatre exercices indépendants : elles forment une chaîne unique qui part de six durées et aboutit à un montant en euros. Chaque étage consomme la sortie du précédent. Le schéma ci-dessous reconstitue ce parcours et fait apparaître, à chaque niveau, la grandeur produite et la relation utilisée. Il montre aussi pourquoi une erreur commise en haut de la chaîne se paie tout en bas : la marge nulle de la toiture, établie à la question 2, est ce qui rend le retard intégralement transmissible à la question 4.

DES SIX DURÉES AU MONTANT RETENU
DONNÉES D'ENTRÉE 6 tâches · durées 10, 15, 5, 10, 5, 5 jours · antériorités fin-à-début · origine J0 Marché : 240 000 € HT — CCAG Travaux, article 19.2 1 Double balayage du réseau passe avant : DFPT = DDPT + D, avec max aux convergences passe arrière : DDPTa = DFPTa − D, avec min aux divergences contrôle : la passe arrière reboucle sur DDPTa(A) = 0 12 dates établies fin au plus tôt J45 2 Marges totales et criticité M_T(i) = DDPTa(i) − DDPT(i) — critique lorsque M_T = 0 contrôle par sommation : 10 + 15 + 5 + 10 + 5 = 45 jours livrable exigé par l'arrêté du 21 décembre 1993 chemin critique A→B→C→D→F 3 Les deux marges de la tâche E marge totale : 35 − 25 = 10 jours — horizon = fin du projet marge libre : 40 − 30 = 10 jours — horizon = tâche suivante égales parce que le successeur F est lui-même critique seule souplesse 10 jours 4 Du retard au montant retenu dérive Δ = 5 j → 50 j → art. 19.2.3 p = 80,00 €/j → brute encourue 400,00 € → art. 19.2.1 — seuil 1 000 € due : 0,00 € le premier euro ne devient exigible qu'au 13e jour de retard cumulé
Ce que le synoptique met en évidence
  • Une seule donnée fait basculer la question 4 : la marge nulle de la toiture, établie à la question 2. Si elle avait valu cinq jours, la dérive aurait été nulle et aucune des lignes financières n'aurait eu lieu d'être.
  • Deux contrôles indépendants jalonnent la chaîne : le bouclage sur zéro de la passe arrière, et la sommation du chemin critique. Chacun valide un étage entier sans rien coûter.
  • Le dernier étage change de nature : les trois premiers relèvent de la géométrie du planning, le quatrième du texte contractuel. C'est le seul où la bonne réponse ne s'obtient pas par le calcul, mais par la lecture complète d'un article.
  • La marge de dix jours n'a jamais servi : elle existe sur la branche des fenêtres, l'incident est tombé sur celle de la toiture. Une marge ne se transfère pas d'une branche à l'autre.
SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale d'ordonnancement :

La mission est remplie. Le calendrier d'exécution remis au maître d'œuvre annonce une durée de 45 jours, avec un chemin critique A → B → C → D → F nommément identifié et une unique réserve de dix jours située sur la pose des fenêtres. L'incident de livraison des tuiles reporte la réception au jour 50. La pénalité encourue s'élève à 400,00 €, mais l'article 19.2.1 du CCAG Travaux exonère l'entreprise de tout montant total inférieur ou égal à 1 000 € : aucune retenue ne sera opérée. Le maître d'ouvrage encaisse un décalage de calendrier, non une sanction financière.

La plus-value technique de l'étude ne tient pas au chiffre de 45 jours, qu'un logiciel produirait seul. Elle tient à trois choses qu'aucun logiciel ne dit. D'abord, que cinq tâches sur six sont critiques : ce chantier n'a presque aucune capacité d'absorption, et cela devait être signalé au maître d'ouvrage avant signature. Ensuite, que la seule marge disponible se trouve sur la mauvaise branche : elle n'a pas servi et ne servira jamais contre un aléa de couverture. Enfin, que le seuil d'exonération de 1 000 € couvre douze jours de retard sur ce marché : c'est un repère opérationnel que le conducteur de travaux gardera en tête, et qui aurait été totalement invisible en s'arrêtant au taux de 1/3 000. Sur un marché dix fois plus important, ce même seuil ne couvrirait plus qu'une seule journée.

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