Flambement d'un Poteau Métallique Bi-articulé

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un poteau élancé ne se rompt pas : il se dérobe. Passé une certaine charge, un état déformé devient énergétiquement plus avantageux que l'état droit, et le moindre défaut suffit à l'y faire basculer — brutalement, sans avertissement, sans déformation préalable. Le poteau de cet exercice perd ainsi 59 % de sa résistance plastique. La méthode réglementaire ne présente aucune difficulté, et le verdict s'obtient sans peine. Deux pièges y sont pourtant tendus, et ils se referment discrètement : un tableau de caractéristiques qui mélange deux profilés, et une courbe de flambement lue dans la mauvaise colonne. Jouant en sens opposés, ces deux écarts se compensent sur le coefficient de réduction — et plus du tout sur la résistance.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent cette étude. Les deux premiers faussent des données, le troisième une lecture, le dernier est un levier qu'on évoque sans le chiffrer.

Un tableau qui mélange deux profilés : L'aire est celle du HEB 200, les deux inerties celles du HEA 200. Le rayon de giration annoncé, recalculé sur ce mélange, n'appartient à aucun profilé réel.
Une courbe lue dans la mauvaise colonne : Énoncer correctement les deux critères du tableau 6.2 puis retenir la courbe b pour l'axe faible est l'erreur la plus fréquente : cette ligne donne b pour l'axe fort et c pour l'axe faible.
Deux erreurs qui ne se compensent qu'à moitié : Elles s'annulent sur \( \chi \) — à 0,040 près dans chaque sens — et laissent 24 % d'écart sur la résistance. Taux réel 0,605, et non 0,750.
Un levier évoqué et jamais chiffré : Un maintien à mi-hauteur ferait tomber le taux à 0,320 — mieux que deux crans de profilé, pour le prix d'une pièce secondaire.

Votre Mission :

Vous devez produire la note de vérification au flambement : longueur efficace, caractéristiques recoupées, charge critique, élancement réduit vérifié par deux voies, classe de section, courbe de flambement, coefficient de réduction — puis le verdict et les leviers d'action chiffrés.

Le grand défi : Recouper un tableau de catalogue par l'identité \( i = \sqrt{I/A} \) — et savoir que ce contrôle ne suffit pas seul, puisqu'un rayon recalculé sur des données fausses tombe toujours juste.
Votre rôle : Lire le tableau 6.2 en ligne et en colonne, établir la classe sous compression — où les limites d'âme sont deux fois plus sévères qu'en flexion — et vérifier les deux axes.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

La longueur de flambement et des caractéristiques de section recoupées par l'identité qui lie aire, inertie et rayon de giration.
La charge critique d'Euler dans le plan de plus faible inertie, et l'élancement réduit obtenu par deux voies indépendantes.
La classe de section établie sous compression pure, où l'âme est limitée à \( 33\varepsilon \) et non \( 72\varepsilon \).
Le choix de la courbe de flambement, justifié ligne et colonne, et le coefficient de réduction qui en découle.
Le verdict, la vérification de l'axe fort, et le chiffrage des trois leviers d'action — dont un vaut dix fois les autres.

2. Données Techniques & Normes

Toutes les grandeurs de l'étude sont rassemblées ci-dessous. Un point appelle votre attention immédiate : les tableaux de caractéristiques mélangent parfois deux profilés, et c'est la première chose à établir avant tout calcul.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Voici les outils de cet exercice, dans l'ordre où vous en aurez besoin. Le premier est un contrôle plutôt qu'une formule — et c'est lui qui démasque le tableau.

Contrôle interne d'un catalogue de profilés \( i = \sqrt{I/A} \ ; \ i_{\text{z}} \approx b/4 \ \text{sur un profilé en H} \)
Longueur de flambement selon les liaisons \( L_{\text{cr}} = k\,L \ ; \ k = 1{,}0 \ \text{(bi-articulé)} \ \cdot \ 0{,}7 \ \cdot \ 0{,}5 \ \cdot \ 2{,}0 \)
Charge critique d'Euler \( N_{\text{cr}} = \dfrac{\pi^2 E I}{L_{\text{cr}}^2} \)
Élancement réduit, deux expressions équivalentes \( \bar{\lambda} = \sqrt{\dfrac{A f_{\text{y}}}{N_{\text{cr}}}} = \dfrac{L_{\text{cr}}/i}{\lambda_1} \ \text{avec} \ \lambda_1 = 93{,}9\,\varepsilon \)
Classification sous compression pure \( c_{\text{f}}/t_{\text{f}} \le 9\varepsilon \ ; \ c_{\text{w}}/t_{\text{w}} \le \mathbf{33}\,\varepsilon \)
Choix de la courbe, tableau 6.2 — laminé \( h/b \le 1{,}2 \) \( \text{axe } y\text{-}y \rightarrow \text{b} \ ; \ \text{axe } z\text{-}z \rightarrow \textbf{c} \)
Terme intermédiaire d'Ayrton-Perry \( \Phi = 0{,}5\left[1 + \alpha(\bar{\lambda} - 0{,}2) + \bar{\lambda}^2\right] \)
Coefficient de réduction et résistance au flambement \( \chi = \dfrac{1}{\Phi + \sqrt{\Phi^2 - \bar{\lambda}^2}} \ ; \ N_{\text{b},\text{Rd}} = \dfrac{\chi A f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M1}}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

GÉOMÉTRIE, CHARGEMENT ET PROFILÉ

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( L \)	Hauteur du poteau entre articulations Énoncé	6,00	\( \text{m} \)
\( N_{\text{Ed}} \)	Effort normal de compression centré à l'ELU Énoncé	450	\( \text{kN} \)
Liaisons	Articulé en pied et en tête, dans les deux plans Énoncé	\( k = 1{,}0 \)	—
HEB 200	Profilé — \( h = b = 200 \), \( t_{\text{w}} = 9{,}0 \), \( t_{\text{f}} = 15{,}0 \), \( r = 18\ \text{mm} \) NF EN 10365	61,3	\( \text{kg}/\text{m} \)
\( A \)	Aire de la section brute NF EN 10365	78,08	\( \text{cm}^2 \)
\( I_{\text{y}} \)	Moment quadratique, axe fort — 3 692 annoncés, c'est le HEA 200 NF EN 10365	5 696	\( \text{cm}^4 \)
\( I_{\text{z}} \)	Moment quadratique, axe faible — 1 336 annoncés, idem NF EN 10365	2 003	\( \text{cm}^4 \)
\( i_{\text{z}} \)	Rayon de giration transversal — 4,14 annoncés, valeur inexistante NF EN 10365	5,07	\( \text{cm} \)
S235	Nuance d'acier du poteau NF EN 10025-2	—	—
\( f_{\text{y}} \)	Limite d'élasticité, \( t_{\text{f}} = 15\ \text{mm} \le 40 \) NF EN 10025-2	235	\( \text{MPa} \)

Repères de contrôle à garder en tête

Identite liant les trois colonnes d'un catalogue : \( i = \sqrt{I/A} \ \text{— exacte, sans exception} \)
Repere de forme d'un profile en H : \( i_{\text{z}}/b \approx \mathbf{0{,}25} \ \text{— un tableau melange en donne } 0{,}207 \)
Rapport des deux inerties d'un HEB : \( I_{\text{y}}/I_{\text{z}} = \mathbf{2{,}84} \ \text{— contre } 14 \ \text{sur un IPE} \)
Limite d'ame sous COMPRESSION pure : \( c_{\text{w}}/t_{\text{w}} \le \mathbf{33}\,\varepsilon \ \text{et non } 72\,\varepsilon \)

COEFFICIENTS ET PARAMÈTRES DE FLAMBEMENT

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( E \)	Module d'élasticité — identique pour toutes les nuances NF EN 1993-1-1, art. 3.2.6	210 000	\( \text{MPa} \)
\( \gamma_{\text{M1}} \)	Coefficient partiel de résistance vis-à-vis des instabilités NF EN 1993-1-1, art. 6.1	1,00	—
\( \varepsilon \)	Coefficient de nuance du S235, \( \sqrt{235/f_{\text{y}}} \) NF EN 1993-1-1, tableau 5.2	1,00	—
\( \lambda_1 \)	Élancement de référence, \( 93{,}9\,\varepsilon \) NF EN 1993-1-1, art. 6.3.1.3	93,9	—
\( \alpha \)	Facteur d'imperfection — courbe c pour l'axe z NF EN 1993-1-1, tableau 6.1	0,49	—
0,2	Palier en deçà duquel le flambement est sans objet NF EN 1993-1-1, art. 6.3.1.2	0,20	—

Hypothèses de modélisation à ne pas perdre de vue

Liaisons aux deux extremites : \( \text{articulations parfaites — hypothese conservative} \)
Position de l'effort normal : \( \text{parfaitement centre — sinon flexion composee} \)
Longueur de flambement dans les deux plans : \( L_{\text{cr},\text{y}} = L_{\text{cr},\text{z}} = 6\,000 \ \text{mm} \)
Modes de flambement examines : \( \text{flexion seule — ni torsion ni flexion-torsion} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le tableau ci-dessous confronte les valeurs d'un catalogue mélangé aux caractéristiques normalisées, et décompose l'effet de chacun des deux écarts sur la chaîne de calcul.

Caractéristiques et chaîne de flambement — catalogue mélangé contre recalcul

Grandeur ou étape	Valeur annoncée · valeur recalculée · verdict
Longueur de flambement — question 1	\( L_{\text{cr}} = k\,L = 1{,}0 \times 6{,}00 = 6\,000\ \text{mm} \) — exacte, et les quatre cas d'Euler sont correctement présentés
Aire de la section	78,1 cm² annoncés contre 78,08 réels — c'est bien celle du HEB 200
Moments quadratiques	3 692 et 1 336 cm⁴ annoncés — ce sont exactement ceux du HEA 200. Le HEB 200 donne 5 696 et 2 003
Rayon de giration transversal	4,14 cm annoncés — c'est \( \sqrt{1\,336/78{,}1} \), recalculé sur le mélange. Aucun profilé réel n'a cette valeur
Le repère qui tranche seul	\( i_{\text{z}}/b \) vaut 0,253 pour le HEB 200 et 0,249 pour le HEA 200 ; l'annonce en donne 0,207
Charge critique d'Euler	769 kN annoncés contre 1 153 réels — 50 % d'écart, soit exactement celui des deux inerties
Élancement réduit	1,545 annoncé contre 1,261 — vérifié par deux voies indépendantes, 1,2614 et 1,2603
Courbe de flambement, axe z-z	courbe b annoncée contre courbe c — le tableau 6.2 donne b pour l'axe fort et c pour l'axe faible
Coefficient de réduction	0,326 annoncé contre 0,406 — les deux erreurs s'y compensent presque, à 0,040 près dans chaque sens
Résistance et taux de travail	600 kN et 0,750 annoncés contre 744 kN et 0,605 — 24 % d'écart, la compensation ne tient plus

Quatre réserves à connaître avant de calculer

Le tableau de caractéristiques mélange deux profilés. L'aire annoncée, 78,1 cm², est bien celle du HEB 200. Mais les deux moments quadratiques — 3 692 et 1 336 cm⁴ — sont exactement ceux du HEA 200, dont l'aire ne vaut pourtant que 53,83 cm². Le HEB 200 donne 5 696 et 2 003. Quant au rayon de giration de 4,14 cm, il vaut précisément \( \sqrt{1\,336/78{,}1} \) : il a été recalculé sur le mélange, et n'appartient à aucun profilé existant. C'est ce qui rend le contrôle interne \( i = \sqrt{I/A} \) insuffisant à lui seul — il tombe juste sur un tableau ainsi mélangé. Il faut lui adjoindre un repère qui ne dépende d'aucune donnée fournie : sur un profilé en H, \( i_{\text{z}}/b \approx 0{,}25 \). Le HEB 200 donne 0,253, le HEA 200 0,249, et le mélange 0,207.

La courbe de flambement se lit facilement dans la mauvaise colonne. On écrit volontiers : « pour un HEB 200, h/b = 1 ≤ 1,2 et t_f = 15 mm ≤ 100 mm, donc la courbe pour l'axe z est la courbe b ». Les deux critères sont correctement énoncés et la ligne du tableau 6.2 est la bonne — mais cette ligne donne b pour l'axe y-y et c pour l'axe z-z. Le facteur d'imperfection vaut donc 0,49 et non 0,34. C'est une erreur de lecture, pas de raisonnement, et elle va dans le sens du danger : une courbe trop favorable surestime la résistance.

Les deux erreurs ne se compensent qu'à moitié. C'est le point le plus instructif de cet exercice. Sur le coefficient \( \chi \), elles s'annulent presque : l'inertie sous-estimée le fait chuter de 0,040, la courbe trop favorable le fait remonter de 0,040. On pourrait croire l'affaire sans conséquence. Mais \( \chi \) n'est pas le résultat — c'est \( N_{\text{b},\text{Rd}} \) qui l'est, et là l'écart atteint 24 % : 600 kN contre 744 réels. Vérifier une grandeur intermédiaire ne suffit donc pas ; il faut vérifier celle qui décide.

Trois absences. La classe de section n'est jamais établie ni même mentionnée — elle est ici de classe 1, mais sous compression pure la limite d'âme vaut 33ε et non 72ε, confusion qui peut faire passer une classe 4 pour une classe 1. L'axe fort s'écarte volontiers par une règle générale — « le flambement se produit toujours autour de l'axe le plus faible » — qui n'est vraie que si la longueur de flambement est identique dans les deux plans. Enfin le maintien intermédiaire s'évoque souvent sans jamais être chiffré : il ferait pourtant tomber le taux de 0,605 à 0,320, mieux que deux crans de profilé.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche suit la chaîne complète de la vérification au flambement. La première question porte le contrôle qui démasque le tableau ; la troisième celle qui rectifie la courbe ; la quatrième chiffre les leviers dont un concepteur dispose réellement.

Question 1 : Longueur de flambement et contrôle du catalogue

Eurocode 3 — géométrie 30 min | Accessible

But de l'étape : Fixer la longueur efficace et recouper le tableau de caractéristiques avant d'entamer le moindre calcul.

Énoncé Q1 : Déterminer la longueur de flambement d'un poteau bi-articulé. Puis vérifier les caractéristiques annoncées par l'identité \( i = \sqrt{I/A} \), et identifier le plan dans lequel le flambement se produira — en justifiant ce choix plutôt qu'en l'affirmant.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Aire, inertie et rayon de giration ne sont jamais indépendants. L'un des trois vérifie les deux autres — à condition de comparer au catalogue et non de recalculer.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Sur un profilé en H, \( i_{\text{z}} \approx b/4 \). Pour \( b = 200\ \text{mm} \), on attend 5 cm. Ce repère ne dépend d'aucune donnée fournie, c'est ce qui fait sa valeur.

Question 2 : Charge critique d'Euler et élancement réduit

Eurocode 3 — stabilité 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Situer le poteau sur l'échelle de l'élancement, et valider la chaîne par une seconde voie de calcul.

Énoncé Q2 : Calculer la charge critique dans le plan de plus faible inertie, puis l'élancement réduit. Refaire enfin ce dernier calcul par la voie géométrique, \( (L_{\text{cr}}/i)/\lambda_1 \), et vérifier que les deux concordent.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La charge critique ne dépend pas de la nuance d'acier : la formule d'Euler ne contient que \( E \) et la géométrie. Un poteau en S460 flambe exactement comme un poteau identique en S235.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( N_{\text{cr}} \) n'est jamais une résistance. Elle ne sert qu'à situer le poteau sur la courbe — la capacité réelle vaudra moins des deux tiers.

Question 3 : Classe de section, courbe de flambement et coefficient de réduction

Eurocode 3 — art. 6.3.1.2 40 min | Intermédiaire

But de l'étape : Établir la classe sous compression, puis choisir la courbe en lisant le tableau 6.2 ligne et colonne.

Énoncé Q3 : Classer la section sous compression pure — les limites y diffèrent de celles de la flexion. Identifier ensuite la courbe de flambement applicable à l'axe considéré, puis calculer \( \Phi \) et le coefficient de réduction.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Sous compression, l'âme est limitée à 33ε et non 72ε : elle travaille entièrement en compression, sans la moitié tendue qui la stabiliserait en flexion.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Chaque ligne du tableau 6.2 comporte deux courbes — une par axe. Sur un laminé en I ou H, l'axe faible relève toujours d'une courbe plus sévère d'un cran.

Question 4 (Finale) : Vérification de la stabilité et leviers d'action

Eurocode 3 — art. 6.3.1.1 35 min | BOSS

But de l'étape : Conclure sur la stabilité, vérifier l'axe fort, et chiffrer les trois leviers dont dispose un concepteur.

Énoncé Q4 : Calculer la résistance au flambement et le taux de travail. Vérifier ensuite l'axe fort, que l'on écarte d'ordinaire d'une règle générale. Chiffrer enfin l'effet d'un maintien à mi-hauteur, d'un changement de profilé et d'une montée en nuance — et les classer.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La charge critique varie en \( 1/L_{\text{cr}}^2 \). Un maintien à mi-hauteur la quadruple, pour le prix d'une pièce secondaire.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Monter en nuance n'augmente pas la charge critique et augmente l'élancement réduit. C'est le levier le plus faible des trois sur un élément élancé.

NOTE DE CALCULS

Flambement d'un poteau métallique bi-articulé

Question 1 : Longueur de flambement et contrôle du catalogue

Dans la tête de l'ingénieur

"La longueur de flambement d'un poteau bi-articulé ne pose aucune difficulté : c'est le cas de référence d'Euler, \( L_{\text{cr}} = L \). Tout l'intérêt de cette question est ailleurs, dans le tableau de caractéristiques que l'on recopie sans le recouper. Un tel tableau annonce un HEB 200 et donne une aire de 78,1 cm², qui est bien celle du HEB 200. Mais les deux inerties qui l'accompagnent — 3 692 et 1 336 cm⁴ — sont exactement celles du HEA 200. Deux profilés différents cohabitent alors dans le même tableau, et le rayon de giration qui en découle n'appartient à aucun profilé réel."

Observation : L'aire vient du HEB 200 (78,08 cm²), les deux inerties du HEA 200 (3 692 et 1 336 cm⁴). Le HEB 200 réel donne 5 696 et 2 003 cm⁴.
Analyse du risque : Une inertie sous-estimée de 33 % est conservative — elle ne met personne en danger. Mais elle fausse tout ce qui suit, et rien dans le résultat ne le signale.
Choix stratégique : Recouper le tableau par l'identité \( i = \sqrt{I/A} \), qui lie trois colonnes du même catalogue et ne pardonne pas un mélange de profilés.
Alternative : Un second repère, plus grossier mais instantané : sur un profilé en H, \( i_{\text{z}} \approx b/4 \). Pour \( b = 200\ \text{mm} \), on attend environ 5 cm ; le tableau mélangé en donne 4,14.
Objectif visé : Fixer la longueur de flambement et disposer de caractéristiques vérifiées, seule base acceptable pour la suite.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( L_{\text{cr}} = 6\,000\ \text{mm} \) — HEB 200 : \( A = 78{,}08\ \text{cm}^2 \), \( I_{\text{z}} = 2\,003\ \text{cm}^4 \)

Rappel Théorique : Longueur de flambement et lecture d'un catalogue

Deux données conditionnent tout calcul de flambement : la longueur efficace, qui dépend des liaisons, et les caractéristiques de section, qui viennent d'un catalogue. La première se raisonne, la seconde se recoupe.

Le cas bi-articulé est la référence d'Euler : La déformée est une demi-sinusoïde entre les deux articulations, et \( L_{\text{cr}} = L \). Tous les autres cas se ramènent à celui-ci par un coefficient \( k \).
Les autres liaisons modifient la longueur efficace : Encastré-encastré \( k = 0{,}5 \) · encastré-articulé \( k = 0{,}7 \) · encastré-libre \( k = 2{,}0 \). Le rapport entre les deux extrêmes est de quatre, et la charge critique varie comme \( 1/k^2 \) — soit un facteur seize.
Le flambement cherche le plan le plus souple : Il se produit autour de l'axe de plus faible inertie — à condition que la longueur de flambement soit la même dans les deux plans. Ce n'est pas toujours le cas.
Le rayon de giration lie l'aire et l'inertie : \( i = \sqrt{I/A} \), par définition. Trois colonnes d'un catalogue sont donc liées, et leur cohérence se vérifie sans aucune autre source.
Un H se reconnaît à son rayon de giration transversal : \( i_{\text{z}} \approx b/4 \) sur un profilé en H, les semelles concentrant l'essentiel de l'inertie transversale. C'est un repère grossier mais qui se retient.

Équations Fondamentales

Une relation de géométrie et une identité de définition. C'est la seconde qui fait le travail ici.

Longueur de flambement et rayon de giration :

Elles fixent la géométrie du problème et permettent d'en contrôler les données.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un poteau ne flambe pas sur sa longueur réelle mais sur une longueur efficace qui dépend de la manière dont ses extrémités sont tenues. Et parce que les trois caractéristiques employées — aire, inertie, rayon de giration — ne sont pas indépendantes.

Contexte de validité : Le coefficient \( k \) suppose des liaisons idéalisées : articulation parfaite ou encastrement parfait. Une liaison réelle se situe entre les deux, et le \( k \) réel aussi.
Avantage : L'identité \( i = \sqrt{I/A} \) n'exige aucune source extérieure : trois colonnes du même tableau suffisent à se contrôler mutuellement.
Paramètre clé : Le coefficient \( k \), qui intervient au carré dans la charge critique. Passer de 1,0 à 0,7 multiplie la charge critique par deux.
Vérification : Sur un profilé en H, \( i_{\text{z}}/b \) tombe vers 0,25. Le HEB 200 donne 0,253, le HEA 200 0,249 — et le tableau mélangé 0,207.
Limite : Le rayon de giration ne dit rien de la courbe de flambement, qui dépend du rapport \( h/b \), de l'épaisseur de semelle et du mode de fabrication.

\[ \begin{aligned} L_{\text{cr}} = k\,L \quad \text{avec} \quad k = 1{,}0 \ \text{(bi-articule)} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le coefficient \( k \) mesure la distance entre deux points d'inflexion de la déformée flambée. Sur un poteau bi-articulé, la déformée est une demi-sinusoïde dont les deux extrémités sont précisément les points d'inflexion : la longueur efficace vaut donc la longueur réelle. Sur un poteau bi-encastré, la déformée comporte deux points d'inflexion situés aux quarts de la hauteur, et \( k = 0{,}5 \). Sur un poteau encastré en pied et libre en tête — le mât de drapeau —, il faut imaginer le poteau prolongé par son symétrique sous le sol pour retrouver une demi-sinusoïde complète : \( k = 2{,}0 \). Le rayon de giration, lui, répond à une autre question : à quelle distance moyenne de l'axe la matière est-elle placée ? C'est la seule grandeur qui condense aire et inertie en une longueur, et c'est pourquoi l'élancement \( L_{\text{cr}}/i \) est sans dimension et compare directement des poteaux de tailles différentes.

Décomposition des termes :

\( L_{\text{cr}} \) : longueur de flambement, ou longueur efficace du poteau, unité : \( \text{mm} \)
\( k \) : coefficient de longueur de flambement, fonction des liaisons d'extrémité, unité : —
\( i \) : rayon de giration de la section selon l'axe considéré, unité : \( \text{mm} \)
\( I \) : moment quadratique de la section selon ce même axe, unité : \( \text{mm}^4 \)
\( A \) : aire de la section transversale du profilé, unité : \( \text{mm}^2 \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Le catalogue donne A, I et i pour le HEB 200, on les recopie…"

L'approche d'ingénieur : Recopier un catalogue est ce qu'on fait tous les jours. Ce qui ne va pas ici, c'est que les trois valeurs recopiées ne viennent pas du même profilé — et qu'une identité de définition permettait de s'en apercevoir.

L'erreur : Employer \( A = 78{,}1\ \text{cm}^2 \) avec \( I_{\text{z}} = 1\,336\ \text{cm}^4 \). La première valeur est celle du HEB 200, la seconde celle du HEA 200 — deux profilés dont l'aire diffère de 45 %.
La bonne méthode : Vérifier \( i = \sqrt{I/A} \). Le catalogue donne 5,07 cm pour le HEB 200 ; le mélange donne 4,14. Aucun profilé réel n'a ce rayon de giration.
L'astuce de pro : Le repère de forme : sur un H, \( i_{\text{z}} \approx b/4 \). Avec \( b = 200\ \text{mm} \), on attend 5 cm. Une valeur de 4,14 signale un problème avant même de calculer.
Le moyen mnémotechnique : « Trois colonnes, une identité. » Aire, inertie et rayon de giration ne sont jamais indépendants — l'un des trois vérifie les deux autres.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Longueur : convertie en \( \text{mm} \) dès le départ, puisque toutes les formules de flambement travaillent en newtons et millimètres.
Aire : catalogue en \( \text{cm}^2 \), convertie en \( \text{mm}^2 \) par \( 10^2 \) — 78,08 cm² valent 7 808 mm².
Moment quadratique : catalogue en \( \text{cm}^4 \), converti en \( \text{mm}^4 \) par \( 10^4 \) — 2 003 cm⁴ valent \( 2{,}003 \times 10^7 \).
Rayon de giration : catalogue en \( \text{cm} \), converti en millimètres par 10. Attention : \( \sqrt{\text{cm}^4/\text{cm}^2} \) donne bien des centimètres.
Coefficient \( k \) : sans dimension, il ne change jamais l'unité de la longueur qu'il multiplie.

Trois étapes : la longueur de flambement, le contrôle du tableau de caractéristiques — cœur de cette question —, puis les valeurs correctes à retenir pour la suite.

1. Résolution Numérique Le cas de référence d'Euler

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la donnée géométrique dont dépend toute la chaîne, et parce qu'elle intervient au carré dans la charge critique.

Méthodologie du calcul :

On identifie les conditions de liaison aux deux extrémités, on en déduit le coefficient \( k \), puis la longueur efficace.

Substitution : Poteau articulé en pied et en tête : \( k = 1{,}0 \) et \( L = 6{,}00\ \text{m} \).
Piège évité : Croire que la longueur de flambement vaut toujours la hauteur. Sur un poteau encastré-libre, elle vaut le double — et la charge critique tombe au quart.
Hypothèse validée : Les articulations sont supposées parfaites : rotation libre, aucun moment transmis. Une liaison réelle offre toujours un peu d'encastrement, ce qui rend l'hypothèse conservative.
Vérification croisée : La déformée d'un poteau bi-articulé est une demi-sinusoïde dont les points d'inflexion sont les articulations elles-mêmes. La longueur efficace vaut donc bien la longueur réelle.
Finalité : Fixer \( L_{\text{cr}} \), qui interviendra au carré au dénominateur de la charge critique.

\[ \begin{aligned} L_{\text{cr}} &= k \times L = 1{,}0 \times 6{,}00 \\ &= \mathbf{6\,000} \ \text{mm} \\ &\quad \text{encastre-articule} : \ k = 0{,}7 \ \Rightarrow \ 4\,200 \ \text{mm} \\ &\quad \text{encastre-libre} : \ k = 2{,}0 \ \Rightarrow \ 12\,000 \ \text{mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La longueur de flambement vaut 6 000 mm, égale à la hauteur. C'est le cas le plus simple — mais aussi celui où la charge critique est la plus faible parmi les liaisons courantes, hormis le poteau libre en tête.

Ordre de grandeur : Le rapport entre les cas extrêmes est de quatre sur la longueur et de seize sur la charge critique. Aucun autre paramètre du problème n'a une telle amplitude.
Impact sur la suite : \( L_{\text{cr}}^2 = 3{,}6 \times 10^7\ \text{mm}^2 \) sera le dénominateur de la charge critique d'Euler, calculée en question 2.
Cohérence : Le poteau bi-articulé est le cas de référence, celui sur lequel les trois autres se calibrent : \( k = 1{,}0 \) par définition. Aucun risque d'erreur ici — c'est le seul cas d'Euler qui ne demande rien.
Attention : La longueur de flambement peut différer selon le plan. Elle est ici la même dans les deux, ce qui simplifie — mais ce n'est pas une règle générale.
Comparaison : Un simple maintien à mi-hauteur dans le plan faible ferait tomber \( L_{\text{cr},\text{z}} \) à 3 000 mm et quadruplerait la charge critique correspondante.

Remarque pédagogique : Il vaut la peine de mesurer ce que la longueur de flambement pèse réellement, car aucun autre paramètre n'offre un tel levier. La charge critique varie comme \( 1/L_{\text{cr}}^2 \) : diviser la longueur efficace par deux la quadruple. Sur ce poteau, ajouter un simple maintien latéral à mi-hauteur dans le plan faible — une lisse de bardage, une poutre de plancher, un contreventement — ferait passer le taux de travail de 0,605 à 0,320, sans ajouter un gramme d'acier au poteau lui-même. Aucune montée en gamme de profilé n'approche ce rendement : passer du HEB 200 au HEB 220 coûte 10 kg par mètre et ne fait tomber le taux qu'à 0,456. La première question à se poser devant un poteau qui ne passe pas n'est donc jamais « quel profilé prendre ? » mais « puis-je le tenir quelque part ? ».

Les trois caractéristiques annoncées sont-elles cohérentes ?

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elles conditionnent toute la chaîne, et parce qu'une identité de définition permet de les contrôler sans aucune autre source.

Méthodologie du calcul :

On applique l'identité \( i = \sqrt{I/A} \) aux valeurs annoncées, puis on compare le résultat aux caractéristiques normalisées du HEB 200 et du HEA 200.

Substitution : Valeurs annoncées : \( A = 78{,}1\ \text{cm}^2 \), \( I_{\text{y}} = 3\,692 \), \( I_{\text{z}} = 1\,336\ \text{cm}^4 \), \( i_{\text{z}} = 4{,}14\ \text{cm} \).
Piège évité : Se contenter de vérifier que \( i = \sqrt{I/A} \) tombe juste. Ici elle tombe juste — parce que le rayon a été recalculé sur les données fausses. Il faut comparer au catalogue.
Hypothèse validée : Les caractéristiques de la NF EN 10365 servent de référence. HEB 200 : \( A = 78{,}08 \), \( I_{\text{z}} = 2\,003 \), \( i_{\text{z}} = 5{,}07 \). HEA 200 : \( 53{,}83 \), \( 1\,336 \), \( 4{,}98 \).
Vérification croisée : Le repère de forme tranche seul : \( i_{\text{z}}/b \) vaut 0,253 pour le HEB 200, 0,249 pour le HEA 200, et seulement 0,207 pour les valeurs annoncées.
Finalité : Établir quelles caractéristiques employer avant d'entamer le moindre calcul de stabilité.

\[ \begin{aligned} \text{HEB 200} &: \ \sqrt{\frac{2\,003}{78{,}08}} = 5{,}06 \ \text{cm} \ \approx \ 5{,}07 \ \text{tabule} \\ &\quad \text{HEA 200} : \ \sqrt{\frac{1\,336}{53{,}83}} = 4{,}98 \ \text{cm} \ \approx \ 4{,}98 \ \text{tabule} \\ &\quad \text{annonce} : \ \sqrt{\frac{1\,336}{78{,}1}} = \mathbf{4{,}14} \ \text{cm} \\ &\Rightarrow \ \text{aire du HEB, inerties du HEA} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le tableau mélange deux profilés : l'aire est celle du HEB 200, les deux inerties celles du HEA 200. Le rayon de giration annoncé a été recalculé sur ce mélange et n'appartient à aucun profilé réel.

Ordre de grandeur : L'inertie annoncée est inférieure de 33 % à celle du HEB 200. Ce n'est pas un arrondi : c'est un autre profilé.
Impact sur la suite : La charge critique tombera à 769 kN au lieu de 1 153, et l'élancement montera à 1,545 au lieu de 1,261. Toute la chaîne est décalée.
Cohérence : Les valeurs 3 692 et 1 336 sont celles du HEA 200 au centimètre près. La coïncidence exacte sur les deux inerties exclut l'erreur de frappe.
Attention : Cette erreur est conservative : elle sous-estime la rigidité, donc la résistance. Elle ne met personne en danger — mais elle fausse la marge annoncée, et rien dans le résultat ne la signale.
Comparaison : Un HEA 200 pèse 42,3 kg/m contre 61,3 pour un HEB 200. Les deux profilés ont la même largeur mais des épaisseurs très différentes — d'où l'écart de 45 % sur l'aire.

Remarque pédagogique : Le mélange de deux profilés dans un même tableau est une erreur qu'on rencontre plus souvent qu'on ne le croit, et elle est particulièrement difficile à voir parce que chaque valeur prise isolément est correcte. L'aire existe, les inerties existent, le rayon de giration est cohérent avec elles. Rien n'est inventé ; c'est l'assemblage qui est faux. La seule parade est de vérifier une relation qui lie plusieurs colonnes, et l'identité \( i = \sqrt{I/A} \) est faite pour cela — à condition de comparer le résultat au catalogue, et non de se contenter de le recalculer. Un \( i_{\text{z}} \) recalculé sur des données déjà mélangées reste parfaitement cohérent avec elles : la valeur de 4,14 cm en est l'exemple. C'est ce qui rend le contrôle interne insuffisant à lui seul, et pourquoi il faut lui adjoindre un repère de forme — \( i_{\text{z}} \approx b/4 \) sur un profilé en H — qui, lui, ne dépend d'aucune donnée fournie.

Les valeurs du HEB 200 et le plan de flambement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut fixer les données correctes avant de poursuivre, et parce que le choix du plan de flambement mérite d'être justifié plutôt qu'affirmé.

Méthodologie du calcul :

On retient les caractéristiques normalisées du HEB 200, on identifie l'axe le plus souple, et l'on vérifie que la longueur de flambement est bien la même dans les deux plans.

Substitution : HEB 200, NF EN 10365 : \( h = b = 200 \), \( t_{\text{w}} = 9{,}0 \), \( t_{\text{f}} = 15{,}0 \), \( r = 18\ \text{mm} \), \( A = 78{,}08\ \text{cm}^2 \), 61,3 kg/m.
Piège évité : Écrire que le flambement se produit « toujours » autour de l'axe faible. C'est vrai seulement si \( L_{\text{cr}} \) est identique dans les deux plans — ce qui est le cas ici, mais pas en général.
Hypothèse validée : Le poteau est articulé dans les deux plans, sans maintien intermédiaire. La longueur de flambement vaut donc 6 000 mm des deux côtés.
Vérification croisée : Le rapport \( I_{\text{y}}/I_{\text{z}} = 5\,696/2\,003 = \mathbf{2{,}84} \). Sur un HEB, où \( h = b \), ce rapport se tient entre 2,8 et 3,0 : cohérent.
Finalité : Disposer des données vérifiées et du plan à examiner en priorité.

\[ \begin{aligned} A &= 78{,}08 \ \text{cm}^2 = 7\,808 \ \text{mm}^2 \\ &\quad I_{\text{y}} = 5\,696 \ \text{cm}^4 \ ; \quad I_{\text{z}} = \mathbf{2\,003} \ \text{cm}^4 \\ &\quad i_{\text{y}} = 8{,}54 \ \text{cm} \ ; \quad i_{\text{z}} = \mathbf{5{,}07} \ \text{cm} \\ &\quad \frac{I_{\text{y}}}{I_{\text{z}}} = 2{,}84 \ \Rightarrow \ \text{le plan faible est celui de} \ z \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le HEB 200 offre 2 003 cm⁴ d'inertie transversale, soit 50 % de plus que la valeur annoncée. Le flambement s'examinera autour de l'axe z, le plus souple — les deux longueurs de flambement étant égales.

Ordre de grandeur : Un HEB est un profilé trapu : \( h = b \), et son inertie transversale ne vaut qu'un tiers de son inertie forte. Sur un IPE, le rapport atteint quatorze.
Impact sur la suite : C'est \( I_{\text{z}} = 2\,003\ \text{cm}^4 \) qui entrera dans la charge critique. L'écart avec la valeur annoncée y produira 50 % de différence.
Cohérence : « Le flambement se produit autour de l'axe le plus faible » est vrai ici, mais la raison mérite d'être dite : c'est parce que \( L_{\text{cr}} \) est identique dans les deux plans.
Attention : Sur un poteau maintenu latéralement dans un seul plan — cas très fréquent en façade —, l'axe fort peut devenir gouvernant malgré sa plus grande inertie.
Comparaison : C'est précisément parce qu'un HEB est trapu qu'on l'emploie en poteau. Un IPE de même hauteur offrirait \( I_{\text{z}} = 142\ \text{cm}^4 \) seulement — quatorze fois moins.

Remarque pédagogique : L'affirmation selon laquelle « le flambement se produit toujours autour de l'axe faible » mérite d'être nuancée, car elle repose sur une condition tacite : que la longueur de flambement soit la même dans les deux plans. Elle l'est ici, le poteau étant simplement articulé haut et bas sans maintien intermédiaire. Mais c'est loin d'être le cas général. Un poteau de façade tenu par les lisses de bardage tous les 1,50 m dans son plan faible, et libre sur toute sa hauteur dans son plan fort, flambera autour de l'axe fort — malgré une inertie trois fois supérieure — parce que sa longueur efficace y est quatre fois plus grande. Ce qui gouverne n'est jamais l'inertie seule mais l'élancement \( L_{\text{cr}}/i \), qui combine les deux. La règle correcte tient donc en une phrase : calculer les deux élancements, et retenir le plus grand.

RÉSULTAT FINAL

\( L_{\text{cr}} \ ; \ I_{\text{z}} \) = 6 000 ; 2 003 mm et cm⁴

"L'aire annoncée est celle du HEB 200, les deux inerties celles du HEA 200."

Question 2 : Charge critique d'Euler et élancement réduit

Dans la tête de l'ingénieur

"La formule d'Euler ne pose aucune difficulté : c'est une division. Tout dépend donc de l'inertie qu'on y injecte — et l'écart entre les deux valeurs en présence est de cinquante pour cent sur la charge critique. Appliquer la formule sans faute à une inertie qui n'est pas celle du profilé conduit à 769 kN là où le HEB 200 en donne 1 153. L'occasion est bonne de rappeler qu'il existe deux voies indépendantes pour obtenir l'élancement réduit — par la charge critique ou par la géométrie — et que leur concordance est le meilleur contrôle qui soit."

Observation : Avec l'inertie du HEA 200 : 769 kN. Avec celle du HEB 200 : 1 153 kN. Un écart de 50 %, pour une formule pourtant appliquée sans faute.
Analyse du risque : La charge critique n'est jamais une résistance : c'est une référence théorique. La confondre avec une capacité conduirait à surestimer la résistance réelle d'un facteur trois.
Choix stratégique : Calculer l'élancement par les deux voies — \( \sqrt{Af_{\text{y}}/N_{\text{cr}}} \) et \( (L_{\text{cr}}/i)/\lambda_1 \) — et vérifier qu'elles concordent.
Alternative : On peut se passer entièrement de \( N_{\text{cr}} \) : l'élancement réduit s'obtient directement par \( \lambda/\lambda_1 \), avec \( \lambda_1 = 93{,}9\,\varepsilon \). C'est plus rapide et moins sujet aux erreurs d'unité.
Objectif visé : Obtenir l'élancement réduit, seule grandeur qui compte pour la suite — la charge critique n'étant qu'un intermédiaire.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( N_{\text{cr},\text{z}} = 1\,153\ \text{kN} \) et \( \bar{\lambda}_{\text{z}} = \mathbf{1{,}261} \) — contre 769 kN et 1,545 sur l'inertie du HEA 200

Rappel Théorique : De la charge critique à l'élancement réduit

La charge critique d'Euler est une grandeur théorique : celle d'un poteau parfaitement droit, parfaitement centré, sans contrainte résiduelle. Elle ne sert qu'à une chose — situer le poteau réel sur l'échelle de l'élancement.

La charge critique ne dépend pas du matériau : Seulement de \( E \), identique pour tous les aciers, et de la géométrie. Un poteau en S460 a exactement la même charge critique qu'un poteau identique en S235.
Elle varie comme l'inverse du carré de la longueur : Doubler la longueur efficace divise la charge critique par quatre. C'est le paramètre le plus influent du problème.
L'élancement réduit compare résistance et stabilité : \( \bar{\lambda} = \sqrt{Af_{\text{y}}/N_{\text{cr}}} \). Au numérateur la résistance plastique, au dénominateur la charge d'instabilité — leur rapport dit laquelle des deux arrivera la première.
Une seconde voie évite la charge critique : \( \bar{\lambda} = \dfrac{L_{\text{cr}}/i}{\lambda_1} \) avec \( \lambda_1 = 93{,}9\,\varepsilon \). Les deux expressions sont algébriquement identiques et se contrôlent mutuellement.
Monter en nuance augmente l'élancement réduit : Le numérateur croît avec \( f_{\text{y}} \), le dénominateur non. Un poteau en S355 est donc plus élancé au sens réduit qu'un poteau identique en S235 — et perd davantage à l'instabilité.

Équations Fondamentales

Deux relations, et une troisième qui est la première déguisée. C'est cette redondance qui fournit le contrôle.

Charge critique d'Euler et élancement réduit :

Elles situent le poteau réel sur l'échelle de l'instabilité.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un poteau peut ruiner de deux manières — en s'écrasant ou en flambant — et qu'un seul nombre sans dimension suffit à dire laquelle des deux arrivera la première.

Contexte de validité : La formule d'Euler suppose un poteau parfaitement droit, une charge parfaitement centrée, un matériau élastique linéaire et des articulations parfaites. Aucune de ces conditions n'est réunie en pratique.
Avantage : L'élancement réduit est sans dimension, ce qui rend les courbes de flambement universelles : les mêmes valent pour tous les aciers et toutes les tailles de profilé.
Paramètre clé : L'inertie au numérateur de \( N_{\text{cr}} \). C'est sur elle que porte le mélange de catalogue, et l'écart de 33 % s'y transmet intégralement.
Vérification : La seconde voie : \( \lambda_{\text{z}} = L_{\text{cr}}/i_{\text{z}} = 118{,}3 \) et \( \lambda_1 = 93{,}9 \) en S235, d'où \( \bar{\lambda}_{\text{z}} = \mathbf{1{,}260} \). Concordance à 0,1 % près.
Limite : \( N_{\text{cr}} \) n'est jamais une résistance. La capacité réelle de ce poteau vaudra 744 kN — moins des deux tiers de la charge critique.

\[ \begin{aligned} N_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{L_{\text{cr}}^2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'indépendance de la charge critique vis-à-vis de la nuance d'acier est le point le plus contre-intuitif de tout le flambement, et il vaut la peine d'être compris plutôt que retenu. La formule d'Euler ne contient que \( E \), le module d'élasticité, et \( I \), la géométrie — nulle part la limite d'élasticité n'apparaît. C'est logique : l'instabilité est un phénomène de raideur, pas de résistance. Un poteau flambe quand un état déformé devient énergétiquement plus avantageux que l'état droit, et cela ne dépend que de sa rigidité de flexion. La conséquence est double. D'abord, un poteau élancé en S460 flambe exactement à la même charge qu'un poteau identique en S235 : la haute nuance ne sert à rien. Ensuite — et c'est plus subtil — l'élancement réduit d'un poteau augmente avec la nuance, puisque \( Af_{\text{y}} \) croît au numérateur pendant que \( N_{\text{cr}} \) reste fixe. Monter en nuance rend donc le poteau relativement plus sensible au flambement. Les hautes nuances ne paient que sur des poteaux courts et trapus.

Décomposition des termes :

\( N_{\text{cr}} \) : charge critique élastique de flambement, dite charge d'Euler, unité : \( \text{N} \)
\( E \) : module d'élasticité de l'acier, 210 000 MPa quelle que soit la nuance, unité : \( \text{MPa} \)
\( I \) : moment quadratique dans le plan de flambement considéré, unité : \( \text{mm}^4 \)
\( \bar{\lambda} \) : élancement réduit, sans dimension, unité : —
\( \lambda_1 \) : élancement de référence, égal à \( 93{,}9\,\varepsilon \), unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"La charge critique vaut 769 kN et la charge appliquée 450 : le poteau est stable…"

L'approche d'ingénieur : Le raisonnement est doublement faux. La charge critique n'est pas une résistance, et la valeur employée n'est pas celle du profilé annoncé.

L'erreur : Traiter \( N_{\text{cr}} \) comme une capacité. La résistance réelle de ce poteau vaut 744 kN, soit 65 % de sa charge critique — le reste étant confisqué par les imperfections.
La bonne méthode : \( N_{\text{cr}} \) n'est qu'un intermédiaire : elle sert à calculer l'élancement réduit, qui sert à lire une courbe, qui donne le coefficient de réduction.
L'astuce de pro : On peut se passer entièrement de \( N_{\text{cr}} \) : \( \bar{\lambda} = (L_{\text{cr}}/i)/\lambda_1 \), avec \( \lambda_1 = 93{,}9 \) en S235. Une division au lieu d'une chaîne de puissances.
Le moyen mnémotechnique : « Euler donne le repère, pas la réponse. » Le poteau parfait n'existe pas, et sa charge critique n'est jamais atteinte.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Module d'élasticité : en \( \text{N}/\text{mm}^2 \), soit 210 000 — jamais en GPa dans ce calcul.
Moment quadratique : converti en \( \text{mm}^4 \) par \( 10^4 \) — 2 003 cm⁴ valent \( 2{,}003 \times 10^7\ \text{mm}^4 \).
Longueur de flambement : en \( \text{mm} \), élevée au carré — \( 6\,000^2 = 3{,}6 \times 10^7 \).
Charge critique : obtenue en \( \text{N} \), convertie en \( \text{kN} \) par \( 10^3 \).
Élancements : sans dimension, qu'ils viennent du rapport de deux charges ou du rapport de deux longueurs.

Trois étapes : la charge critique sur l'inertie correcte, l'élancement réduit par la voie des charges, puis le même élancement par la voie géométrique — qui sert de contrôle.

1. Résolution Numérique Charge d'Euler dans le plan de plus faible inertie

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la référence à laquelle la résistance plastique sera comparée, et parce que l'inertie qu'on y injecte fait toute la différence.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule d'Euler avec l'inertie transversale du HEB 200, en convertissant toutes les grandeurs en newtons et millimètres.

Substitution : \( E = 210\,000\ \text{MPa} \), \( I_{\text{z}} = 2\,003 \times 10^4\ \text{mm}^4 \), \( L_{\text{cr}} = 6\,000\ \text{mm} \).
Piège évité : Employer \( I_{\text{y}} \) au lieu de \( I_{\text{z}} \). Le poteau flamberait alors dans le plan le plus rigide, et la charge critique serait surestimée d'un facteur 2,84.
Hypothèse validée : L'inertie retenue est celle du HEB 200 normalisé, établie en question 1 — et non celle du tableau mélangé, qui appartient au HEA 200.
Vérification croisée : Contrôle d'ordre de grandeur : \( \pi^2 E \approx 2{,}07 \times 10^6 \), multiplié par \( 2 \times 10^7 \) et divisé par \( 3{,}6 \times 10^7 \) donne environ 1,15 million de newtons.
Finalité : Disposer de la charge critique qui alimentera l'élancement réduit.

\[ \begin{aligned} N_{\text{cr},\text{z}} &= \frac{\pi^2 \times 210\,000 \times 2\,003 \times 10^4}{6\,000^2} \\ &= \frac{4{,}151 \times 10^{13}}{3{,}6 \times 10^7} \\ &= 1\,153\,200 \ \text{N} = \mathbf{1\,153} \ \text{kN} \\ &\quad \text{avec l'inertie annoncee} : \ 769 \ \text{kN} \ (-33 \ \%) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge critique vaut 1 153 kN, contre 769 annoncés. L'écart de 50 % est exactement celui des deux inerties — la formule d'Euler étant strictement proportionnelle à \( I \).

Ordre de grandeur : 1 153 kN contre une résistance plastique de 1 835 kN : le rapport vaut 0,63. Le poteau est franchement dans le domaine où l'instabilité gouverne.
Impact sur la suite : L'élancement réduit s'en déduit directement : \( \sqrt{1\,835/1\,153} = \mathbf{1{,}261} \), contre 1,545 avec l'inertie du HEA 200.
Cohérence : Avec l'inertie du HEA 200, la formule s'applique sans faute : \( 2{,}770 \times 10^{13}/3{,}6 \times 10^7 = 769\,480 \). Une opération impeccable sur une donnée erronée reste un résultat erroné.
Attention : Cette charge de 1 153 kN n'est pas une résistance. Elle sera réduite de 60 % par les imperfections, pour donner 744 kN de capacité réelle.
Comparaison : Dans le plan fort, \( N_{\text{cr},\text{y}} = \mathbf{3\,279\ \text{kN}} \), soit 2,84 fois plus. C'est l'exact rapport des deux inerties — la longueur de flambement étant identique.

Remarque pédagogique : L'écart de 33 % sur l'inertie se transmet intégralement à la charge critique, la formule d'Euler étant strictement proportionnelle à \( I \). C'est une propriété utile en contrôle : sur cette chaîne de calcul, aucune erreur ne s'amortit, mais aucune ne s'amplifie non plus — sauf au moment de la racine carrée qui donne l'élancement, où elle se réduit de moitié en proportion. Ainsi les 50 % d'écart sur \( N_{\text{cr}} \) ne produisent que 22 % d'écart sur \( \bar{\lambda} \), puis environ 10 % sur le coefficient \( \chi \). La chaîne du flambement est donc amortissante : elle atténue progressivement les erreurs de données. C'est rassurant sur la robustesse du résultat final — et inquiétant pour la détection, puisqu'une erreur importante en entrée ne produit qu'un écart modéré en sortie. Raison de plus pour contrôler les données à la source plutôt que de s'en remettre à la vraisemblance du résultat.

Position du poteau entre résistance et stabilité

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce nombre unique décide de tout ce qui suit : c'est l'abscisse à laquelle on lira la courbe de flambement.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport de la résistance plastique de la section à la charge critique, puis on en prend la racine carrée.

Substitution : \( A f_{\text{y}} = 7\,808 \times 235 = 1\,834\,880\ \text{N} \) et \( N_{\text{cr},\text{z}} = 1\,153\,200\ \text{N} \).
Piège évité : Oublier la racine carrée. Le rapport vaut 1,591, l'élancement 1,261 : confondre les deux placerait le poteau bien plus haut sur la courbe.
Hypothèse validée : L'aire brute est employée, ce qui suppose une section de classe 1, 2 ou 3. La classe sera établie en question 3, pas supposée.
Vérification croisée : Le carré de l'élancement doit redonner le rapport des deux charges : \( 1{,}261^2 = 1{,}590 \) contre \( 1\,834\,880/1\,153\,200 = 1{,}591 \). Cohérent.
Finalité : Obtenir l'abscisse à laquelle on lira la courbe de flambement en question 3.

\[ \begin{aligned} \bar{\lambda}_{\text{z}} &= \sqrt{\frac{7\,808 \times 235}{1\,153\,200}} \\ &= \sqrt{\frac{1\,834\,880}{1\,153\,200}} = \sqrt{1{,}5911} \\ &= \mathbf{1{,}2614} \\ &\quad \text{sur l'inertie du HEA 200} : \ 1{,}545 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'élancement réduit vaut 1,2614, contre 1,545 sur l'inertie du HEA 200. Le poteau reste dans le domaine où l'instabilité gouverne — mais nettement moins haut sur la courbe.

Ordre de grandeur : 1,26 est une valeur courante pour un poteau de bâtiment de 6 m. En dessous de 0,2, le flambement est sans objet ; au-delà de 2, le poteau perd plus des trois quarts de sa capacité.
Impact sur la suite : C'est l'abscisse sur la courbe c. Elle donnera \( \chi_{\text{z}} = \mathbf{0{,}406} \), alors que 1,545 en donnerait 0,300 sur la même courbe.
Cohérence : Le rapport des deux élancements vaut \( 1{,}545/1{,}261 = 1{,}225 \), soit exactement \( \sqrt{1{,}50} \) — la racine du rapport des deux inerties. La chaîne est cohérente.
Attention : L'élancement réduit augmente avec la nuance. Le même poteau en S355 donnerait 1,551 : plus résistant en section, mais relativement plus sensible au flambement.
Comparaison : Dans le plan fort, l'élancement tombe à 0,748 — le poteau y est bien moins sensible, ce qui confirme que c'est l'axe faible qui gouverne.

Remarque pédagogique : Que l'élancement réduit croisse avec la nuance d'acier est l'un des résultats les plus utiles à comprendre en stabilité, et l'un des moins intuitifs. La raison tient à ce que les deux termes du rapport ne réagissent pas de la même façon : le numérateur \( Af_{\text{y}} \) est proportionnel à la limite d'élasticité, tandis que le dénominateur \( N_{\text{cr}} \) n'en dépend pas du tout. Passer du S235 au S355 multiplie donc le rapport par 1,51 et l'élancement réduit par 1,23. Le poteau devient relativement plus élancé, et son coefficient de réduction chute — ici de 0,406 à environ 0,29. Le gain net existe malgré tout, puisque la résistance plastique a augmenté de 51 % : la capacité passerait de 744 à environ 800 kN. Mais le rendement de la haute nuance est très dégradé — 8 % de gain pour 51 % de limite d'élasticité en plus. C'est pourquoi les hautes nuances se rencontrent surtout sur des poteaux courts, des tirants et des assemblages, où l'instabilité ne vient pas confisquer le bénéfice.

Le même élancement par une voie indépendante

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une chaîne de calcul qui traverse des puissances de dix mérite d'être recoupée, et parce que la seconde voie est plus rapide que la première.

Méthodologie du calcul :

On calcule l'élancement géométrique \( L_{\text{cr}}/i_{\text{z}} \), puis on le divise par l'élancement de référence \( \lambda_1 \), qui ne dépend que de la nuance.

Substitution : \( L_{\text{cr}} = 6\,000\ \text{mm} \), \( i_{\text{z}} = 50{,}7\ \text{mm} \), et \( \lambda_1 = 93{,}9\,\varepsilon = 93{,}9 \) puisque \( \varepsilon = 1 \) en S235.
Piège évité : Employer le \( i_{\text{z}} \) du tableau mélangé. Avec 41,4 mm, l'élancement géométrique monterait à 144,9 et l'élancement réduit à 1,543 — cohérent avec cette chaîne-là, mais faux.
Hypothèse validée : \( \lambda_1 = \pi\sqrt{E/f_{\text{y}}} = 93{,}9\,\varepsilon \). Les deux écritures sont équivalentes : \( \pi\sqrt{210\,000/235} = 93{,}9 \).
Vérification croisée : La concordance des deux voies est le contrôle recherché : 1,2603 contre 1,2614, soit 0,1 % d'écart imputable aux arrondis du catalogue.
Finalité : Valider la chaîne de calcul avant de passer au coefficient de réduction.

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{z}} &= \frac{L_{\text{cr}}}{i_{\text{z}}} = \frac{6\,000}{50{,}7} = 118{,}3 \\ &\quad \lambda_1 = 93{,}9\,\varepsilon = 93{,}9 \quad (\varepsilon = 1 \ \text{en S235}) \\ &\quad \bar{\lambda}_{\text{z}} = \frac{118{,}3}{93{,}9} = \mathbf{1{,}2603} \\ &\quad \text{par la charge critique} : \ 1{,}2614 \ \Rightarrow \ \text{concordance} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux voies donnent 1,2603 et 1,2614 : l'écart de 0,1 % vient des arrondis du catalogue sur \( i_{\text{z}} \). La chaîne de calcul est validée.

Ordre de grandeur : Un élancement géométrique de 118 est élevé. En dessous de 50, un poteau est trapu ; au-delà de 150, il devient difficile à justifier en bâtiment courant.
Impact sur la suite : Aucun sur le résultat, et c'est tout l'intérêt : cette étape ne produit rien, elle valide.
Cohérence : \( \lambda_1 = 93{,}9 \) en S235, 76,4 en S355 et 71,0 en S460. Ce nombre décroît avec la nuance, ce qui explique que l'élancement réduit augmente.
Attention : Cette voie n'est un contrôle indépendant que si \( i_{\text{z}} \) vient du catalogue et non d'un recalcul. Avec un \( i_{\text{z}} \) recalculé sur des inerties fausses, les deux voies concordent — sur une valeur fausse.
Comparaison : La seconde voie est plus rapide : deux divisions au lieu d'une chaîne de puissances de dix. Beaucoup de bureaux d'études ne calculent jamais \( N_{\text{cr}} \) explicitement.

Remarque pédagogique : Il faut être précis sur ce que ce contrôle vérifie et ce qu'il ne vérifie pas. Les deux expressions de l'élancement réduit sont algébriquement identiques — en substituant \( N_{\text{cr}} = \pi^2EI/L_{\text{cr}}^2 \) et \( I = Ai^2 \) dans la première, on obtient la seconde. Leur concordance ne prouve donc rien sur la justesse des données : elle valide uniquement qu'aucune erreur de manipulation ou d'unité ne s'est glissée dans la chaîne. C'est précisément le cas ici : un \( i_{\text{z}} \) recalculé sur les inerties du tableau fait concorder les deux voies à la perfection. Le contrôle attrape les erreurs de calcul, pas les erreurs de saisie. Pour celles-là, il faut revenir au catalogue et au repère de forme — ce que la question 1 a fait. Deux contrôles de natures différentes, donc, et aucun des deux ne remplace l'autre.

LA CHARGE CRITIQUE SELON L'INERTIE RETENUE

RÉSULTAT FINAL

\( \bar{\lambda}_{\text{z}} \) = 1,261 — contre 1,545 sur l'inertie du HEA 200

"Les deux voies de calcul concordent à 0,1 % près : la chaîne est validée."

Question 3 : Classe de section, courbe de flambement et coefficient de réduction

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est ici que se referme le second piège, et il est d'un genre particulier : on énonce correctement les deux critères du tableau 6.2 — « h/b = 1 ≤ 1,2, t_f = 15 mm ≤ 100 mm » — puis on en tire la courbe b. Or cette ligne du tableau donne la courbe b pour l'axe fort et la courbe c pour l'axe faible. Bonne ligne, mauvaise colonne. L'écart n'est pas anodin : \( \alpha \) passe de 0,34 à 0,49, et le coefficient de réduction perd 10 %."

Observation : Le tableau 6.2 donne, pour une section laminée de \( h/b \le 1{,}2 \) et \( t_{\text{f}} \le 100\ \text{mm} \) : axe y-y courbe b, axe z-z courbe c.
Analyse du risque : Une courbe trop favorable surestime la résistance. Ici l'erreur est partiellement compensée par l'inertie sous-estimée — mais deux erreurs qui se compensent restent deux erreurs.
Choix stratégique : Lire le tableau ligne et colonne, puis établir la classe de section — étape qu'on saute presque toujours, alors que sous compression les limites d'âme sont bien plus sévères.
Alternative : Les tables de \( \chi \) évitent le calcul de \( \Phi \). Elles sont commodes, mais elles supposent qu'on ait choisi la bonne courbe — le vrai point de difficulté.
Objectif visé : Obtenir le coefficient de réduction qui, appliqué à la résistance plastique, donnera la capacité réelle du poteau.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Courbe c, \( \alpha = 0{,}49 \) — \( \chi_{\text{z}} = \mathbf{0{,}406} \), et non 0,326

Rappel Théorique : Choisir sa courbe avant de calculer son coefficient

Le calcul de \( \chi \) est mécanique : deux formules enchaînées. La difficulté est entièrement dans le choix de la courbe, qui dépend de trois critères — la forme, l'épaisseur de semelle et l'axe de flambement.

La classe se vérifie avant tout calcul de stabilité : Une section de classe 4 voile localement et exige une aire efficace réduite. Sous compression pure, les limites sont bien plus sévères qu'en flexion.
Sous compression, l'âme est limitée à 33ε : Et non 72ε comme en flexion : une âme entièrement comprimée voile bien plus tôt qu'une âme fléchie, dont la moitié travaille en traction.
Le tableau 6.2 se lit en deux dimensions : Une ligne selon la forme et l'épaisseur, une colonne selon l'axe de flambement. Pour un laminé \( h/b \le 1{,}2 \) : y-y courbe b, z-z courbe c.
Chaque courbe porte un facteur d'imperfection : \( \alpha \) vaut 0,21 · 0,34 · 0,49 · 0,76 pour les courbes a, b, c et d. Il mesure l'amplitude de l'imperfection conventionnelle.
La formule est celle d'Ayrton-Perry : Elle suppose un défaut de rectitude sinusoïdal et écrit que la plastification débute dans la fibre la plus sollicitée. Le palier à \( \bar{\lambda} = 0{,}2 \) dispense les poteaux trapus.

Équations Fondamentales

Deux formules enchaînées, et un tableau à lire correctement. C'est le tableau qui pose problème, pas les formules.

Coefficient de réduction pour le flambement par flexion :

Il traduit l'écart entre un poteau idéal et un poteau réel.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'aucun poteau n'est parfaitement droit ni exempt de contraintes résiduelles de laminage. La ruine réelle survient donc avant la charge critique théorique, d'autant plus tôt qu'on est près de la zone de transition.

Contexte de validité : Sections de classe 1, 2 ou 3, où l'aire brute est utilisable. Une classe 4 exigerait une aire efficace et un élancement recalculé.
Avantage : Le palier à \( \bar{\lambda} \le 0{,}2 \) dispense de vérification l'essentiel des poteaux trapus : en dessous, \( \chi = 1 \) et le flambement est sans objet.
Paramètre clé : Le facteur d'imperfection \( \alpha \), qui distingue les quatre courbes. Passer de la courbe b à la courbe c coûte ici 10 % de résistance.
Vérification : Le radicande \( \Phi^2 - \bar{\lambda}^2 \) doit rester positif. Il vaut ici 0,829 : la formule est bien dans son domaine.
Limite : Le choix de la courbe relève du tableau 6.2 et de l'annexe nationale. Il dépend de l'axe, de la forme, de l'épaisseur de semelle et du mode de fabrication — quatre critères, pas un.

\[ \begin{aligned} \Phi = 0{,}5\left[1 + \alpha(\bar{\lambda} - 0{,}2) + \bar{\lambda}^2\right] \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Cette expression est la formule d'Ayrton-Perry, et sa forme n'a rien d'arbitraire. On suppose que le poteau réel présente un défaut de rectitude initial de forme sinusoïdale, on écrit que la charge amplifie ce défaut — d'autant plus qu'on approche de la charge critique — et l'on décrète la ruine lorsque la contrainte totale, compression plus flexion parasite, atteint la limite d'élasticité dans la fibre la plus sollicitée. Le paramètre \( \alpha \) mesure l'amplitude de ce défaut conventionnel, et il englobe bien plus qu'un simple écart de rectitude : il couvre aussi les contraintes résiduelles de laminage, qui font plastifier certaines fibres avant même la mise en charge. C'est pourquoi l'axe faible d'un profilé en H relève d'une courbe plus sévère que son axe fort. Au laminage, les extrémités des semelles refroidissent les premières et se retrouvent en compression résiduelle ; or ce sont précisément les fibres les plus éloignées de l'axe z. Elles plastifient tôt, la section perd de sa rigidité transversale, et le flambement autour de l'axe faible s'en trouve pénalisé.

Décomposition des termes :

\( \chi \) : coefficient de réduction pour le flambement, compris entre 0 et 1, unité : —
\( \Phi \) : terme intermédiaire de la formule d'Ayrton-Perry, unité : —
\( \alpha \) : facteur d'imperfection de la courbe retenue, 0,49 pour la courbe c, unité : —
\( \bar{\lambda} \) : élancement réduit établi en question 2, unité : —
0,2 : palier en deçà duquel le flambement est sans objet, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Pour un HEB 200, h/b = 1 ≤ 1,2 et t_f = 15 mm ≤ 100 mm, donc courbe b…"

L'approche d'ingénieur : Les deux critères sont correctement énoncés, la ligne du tableau est la bonne — et la colonne ne l'est pas. C'est une erreur de lecture, pas de raisonnement, et elle est d'autant plus facile à commettre que tout le reste est juste.

L'erreur : Retenir la courbe b pour l'axe z. Cette ligne du tableau 6.2 donne b pour l'axe y et c pour l'axe z : \( \alpha = 0{,}49 \) et non 0,34.
La bonne méthode : Lire le tableau en deux dimensions : la ligne fixe la famille, la colonne fixe l'axe. Chaque ligne comporte toujours deux courbes différentes.
L'astuce de pro : Retenir la règle générale : sur un profilé en I ou H laminé, l'axe faible relève toujours d'une courbe plus sévère que l'axe fort — les contraintes résiduelles de laminage le pénalisent.
Le moyen mnémotechnique : « L'axe faible est doublement pénalisé. » Moins d'inertie, et une courbe plus basse.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Rapport \( h/b \) : sans dimension, hauteur totale sur largeur de semelle — 200/200 = 1,00 pour un HEB 200.
Épaisseur de semelle : en \( \text{mm} \), à comparer aux seuils de 40 et 100 mm du tableau 6.2.
Facteur d'imperfection \( \alpha \) : sans dimension, lu au tableau 6.1 selon la courbe désignée par le tableau 6.2.
Élancements de paroi : sans dimension, longueur droite sur épaisseur, les deux en millimètres.
Coefficient \( \chi \) : sans dimension, compris entre 0 et 1 — il s'applique directement à la résistance plastique.

Quatre étapes : la classe de section, trop souvent laissée de côté, le choix de la courbe — cœur de cette question —, le terme intermédiaire, puis le coefficient de réduction.

1. Résolution Numérique Classification sous compression pure, souvent laissée de côté

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une section de classe 4 exigerait une aire efficace réduite, et parce que sous compression les limites sont bien plus sévères qu'en flexion.

Méthodologie du calcul :

On calcule les deux longueurs droites de paroi — congés déduits — et on les confronte aux limites de la compression, qui diffèrent de celles de la flexion.

Substitution : HEB 200 : \( h = b = 200 \), \( t_{\text{w}} = 9{,}0 \), \( t_{\text{f}} = 15{,}0 \), \( r = 18\ \text{mm} \), et \( \varepsilon = 1{,}00 \) en S235.
Piège évité : Employer la limite d'âme de la flexion — 72ε. Sous compression pure, l'âme entière travaille en compression et la limite tombe à 33ε, soit deux fois moins.
Hypothèse validée : L'épaisseur de semelle — 15 mm — reste sous 40 mm : \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \) sans abattement de tranche, et \( \varepsilon = 1{,}00 \).
Vérification croisée : Un HEB est un profilé trapu : ses parois sont courtes et épaisses. On s'attend à une classe 1 confortable, et c'est ce qu'on obtient.
Finalité : Légitimer l'emploi de l'aire brute dans toute la suite du calcul.

\[ \begin{aligned} \frac{c_{\text{f}}}{t_{\text{f}}} &= \frac{(200 - 9 - 36)/2}{15} = \frac{77{,}5}{15} = 5{,}17 \ \le \ 9\,\varepsilon = 9{,}00 \\ &\quad \frac{c_{\text{w}}}{t_{\text{w}}} = \frac{200 - 30 - 36}{9{,}0} = \frac{134}{9{,}0} = 14{,}9 \ \le \ 33\,\varepsilon = 33{,}0 \\ &\Rightarrow \ \textbf{classe 1}, \ \text{aire brute utilisable} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La section est de classe 1, avec des marges confortables : 5,17 contre 9,00 pour la semelle, 14,9 contre 33,0 pour l'âme. L'aire brute est utilisable sans réduction.

Ordre de grandeur : L'âme dispose de 55 % de marge. Un HEB est conçu pour la compression : parois courtes et épaisses, c'est exactement ce qu'il faut pour ne pas voiler.
Impact sur la suite : L'aire brute de 7 808 mm² sera employée telle quelle. En classe 4, il faudrait une aire efficace et l'élancement serait à recalculer.
Cohérence : Un HEB est toujours de classe 1 ou 2 sous compression : ses parois sont épaisses par construction. Le contrôle passe ici largement — ce qui ne dispense pas de l'écrire.
Attention : Sous compression, la limite d'âme est 33ε et non 72ε. C'est l'une des confusions les plus fréquentes, et elle peut faire passer une classe 4 pour une classe 1.
Comparaison : Un profilé reconstitué soudé à âme mince — 400 mm de haut, 6 mm d'épaisseur — donnerait 62 sous compression : classe 4, et toute la démarche changerait.

Remarque pédagogique : La différence entre les limites d'âme en flexion et en compression mérite d'être comprise plutôt que retenue, car l'écart est considérable : 72ε contre 33ε, soit plus du double. La raison tient à ce que voile réellement. Une âme fléchie n'est comprimée que sur la moitié de sa hauteur ; l'autre moitié travaille en traction et stabilise la première, un peu comme un bord tenu. Une âme entièrement comprimée n'a aucun secours de ce genre : toute sa surface pousse dans le sens du voilement. La limite s'effondre donc, et c'est précisément pour cette raison que les poteaux se font en HEB — profilés trapus aux âmes courtes et épaisses — alors que les poutres se font en IPE, élancés et économes. Employer un IPE 600 en poteau comprimé conduirait à une classe 4 et à toute la machinerie de l'aire efficace.

Le tableau 6.2 se lit en ligne et en colonne

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est là que la lecture dérape le plus souvent, et parce que l'écart entre deux courbes voisines coûte 10 % de résistance.

Méthodologie du calcul :

On identifie la ligne du tableau par la forme et l'épaisseur de semelle, puis la colonne par l'axe de flambement, et l'on en déduit le facteur d'imperfection.

Substitution : HEB 200 laminé à chaud : \( h/b = 200/200 = 1{,}00 \le 1{,}2 \) et \( t_{\text{f}} = 15\ \text{mm} \le 100\ \text{mm} \).
Piège évité : S'arrêter à la ligne. Elle donne deux courbes : b pour l'axe y-y, c pour l'axe z-z. C'est l'axe faible qui nous intéresse ici.
Hypothèse validée : Le profilé est laminé à chaud, ce qui autorise cette ligne du tableau. Une section reconstituée soudée de même géométrie relèverait de courbes plus sévères.
Vérification croisée : La règle générale confirme : sur un profilé en I ou H laminé, l'axe faible relève toujours d'une courbe plus sévère d'un cran que l'axe fort.
Finalité : Fixer \( \alpha \), qui gouverne la sévérité de la réduction.

\[ \begin{aligned} \text{tableau 6.2, lamine} \ h/b \le 1{,}2 \ \text{et} \ t_{\text{f}} \le 100 &: \\ &\quad \text{axe } y\text{-}y \rightarrow \ \text{courbe b}, \ \alpha = 0{,}34 \\ &\quad \text{axe } z\text{-}z \rightarrow \ \textbf{courbe c}, \ \alpha = \mathbf{0{,}49} \\ &\quad \text{tableau 6.1} : \ \alpha = 0{,}21 \ ; \ 0{,}34 \ ; \ 0{,}49 \ ; \ 0{,}76 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le flambement s'examinant autour de l'axe z, c'est la courbe c qui s'applique, avec \( \alpha = 0{,}49 \). La courbe b, celle qu'on retient par erreur, est réservée à l'axe fort.

Ordre de grandeur : \( \alpha = 0{,}49 \) est la troisième des quatre valeurs : 0,21 · 0,34 · 0,49 · 0,76. Chaque cran coûte environ 10 % de coefficient de réduction dans la zone qui nous intéresse.
Impact sur la suite : \( \chi_{\text{z}} \) tombera de 0,446 à 0,406 à élancement égal, soit 9 % de résistance en moins. Ce n'est pas rien.
Cohérence : Énoncer correctement les deux critères — « h/b = 1 ≤ 1,2, t_f = 15 mm ≤ 100 mm » — et en tirer la mauvaise colonne : l'erreur est de lecture, pas de raisonnement, ce qui la rend d'autant plus tenace.
Attention : Cette erreur va dans le sens du danger : une courbe trop favorable surestime la résistance. Elle est ici masquée par l'inertie sous-estimée, qui joue en sens inverse.
Comparaison : Un profilé reconstitué soudé de même géométrie relèverait de la courbe c pour l'axe fort et de la courbe d pour l'axe faible — le soudage introduisant des contraintes résiduelles bien supérieures.

Remarque pédagogique : Que l'axe faible d'un profilé laminé relève d'une courbe plus sévère que son axe fort n'est pas une convention : c'est une conséquence du refroidissement au laminage. Quand un profilé en H sort du laminoir à près de mille degrés, ses extrémités de semelles — les parties les plus exposées — refroidissent les premières et se contractent. L'âme et les jonctions, encore chaudes, refroidissent ensuite et se contractent à leur tour, mais elles sont désormais bridées par la matière déjà solidifiée. Il en résulte un état de contraintes résiduelles auto-équilibré, avec des extrémités de semelles en compression et l'âme en traction. Or ces extrémités de semelles sont précisément les fibres les plus éloignées de l'axe faible : ce sont elles qui contribuent le plus à \( I_{\text{z}} \). Comme elles sont déjà pré-comprimées, elles plastifient tôt sous la charge appliquée, la section perd prématurément de sa rigidité transversale, et le flambement autour de z s'en trouve pénalisé. Le tableau 6.2 ne fait qu'enregistrer ce fait métallurgique.

Calcul de Φ par la formule d'Ayrton-Perry

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'étape où le facteur d'imperfection entre en jeu, et où l'écart entre les deux courbes se matérialise.

Méthodologie du calcul :

On applique l'expression de \( \Phi \) avec le facteur d'imperfection de la courbe c et l'élancement réduit établi en question 2.

Substitution : \( \alpha = 0{,}49 \) et \( \bar{\lambda}_{\text{z}} = 1{,}2614 \), avec le palier à 0,2.
Piège évité : Oublier le palier de 0,2, ou le confondre avec le 0,4 du déversement. En flambement par flexion, le palier vaut toujours 0,2.
Hypothèse validée : L'élancement employé est celui du HEB 200 réel, validé par deux voies indépendantes en question 2.
Vérification croisée : Le terme en \( \bar{\lambda}^2 \) pèse 51 % de \( \Phi \), le terme d'imperfection 17 % et la constante 32 %. C'est la répartition attendue à cet élancement.
Finalité : Obtenir le terme qui apparaîtra deux fois dans la formule du coefficient de réduction.

\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{z}} &= 0{,}5\left[1 + 0{,}49\,(1{,}2614 - 0{,}2) + 1{,}2614^2\right] \\ &= 0{,}5\left[1 + 0{,}5201 + 1{,}5911\right] \\ &= 0{,}5 \times 3{,}1112 = \mathbf{1{,}5556} \\ &\quad \text{avec la courbe b} : \ \Phi = 1{,}4760 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

\( \Phi_{\text{z}} \) vaut 1,5556. Avec la courbe b, il ne vaudrait que 1,4760 — l'écart de 5 % sur \( \Phi \) en produira 9 % sur le coefficient de réduction.

Ordre de grandeur : Dans le domaine élancé, \( \Phi \) est dominé par le terme en \( \bar{\lambda}^2 \). La règle approximative \( \Phi \approx 0{,}5 + 0{,}5\bar{\lambda}^2 \) donne 1,30 : du bon ordre.
Impact sur la suite : \( \Phi \) apparaît deux fois dans la formule de \( \chi \) — hors racine et sous racine. Sa précision conditionne directement celle du résultat.
Cohérence : Avec l'élancement de 1,545 et la courbe b, on obtiendrait 1,9205. L'arithmétique est irréprochable dans les deux cas ; ce sont les deux entrées qui diffèrent.
Attention : Le palier de 0,2 est celui du flambement par flexion. Le déversement emploie 0,2 dans le cas général et 0,4 dans la méthode des profilés laminés : ne pas les confondre.
Comparaison : Le terme d'imperfection \( \alpha(\bar{\lambda} - 0{,}2) \) vaut 0,520 en courbe c contre 0,361 en courbe b. C'est tout l'écart entre les deux.

Remarque pédagogique : Le palier à \( \bar{\lambda} = 0{,}2 \) mérite qu'on comprenne ce qu'il signifie, car c'est lui qui rend la méthode utilisable en pratique. En dessous de cette valeur, \( \chi = 1 \) : le flambement est déclaré sans objet et la section travaille à pleine résistance plastique. Ce n'est pas une approximation commode mais un constat expérimental — un poteau si trapu s'écrase avant d'avoir la moindre chance de flamber, et les imperfections n'y changent rien. Concrètement, \( \bar{\lambda} = 0{,}2 \) correspond à un élancement géométrique de 19 en S235, soit un poteau HEB 200 de moins d'un mètre. Autant dire que la dispense concerne les poteaux courts d'ossature, les tronçons entre planchers rapprochés et les pieds de portique — mais pratiquement jamais un poteau de bâtiment courant, qui se situe presque toujours entre 0,5 et 2,0.

Calcul de χ et mesure de ce que les deux erreurs changent

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat de la question, et parce qu'il permet de mesurer séparément l'effet de chacun des deux écarts.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule d'Ayrton-Perry, puis on refait le calcul avec chacune des hypothèses fautives pour isoler leur contribution respective.

Substitution : \( \Phi_{\text{z}} = 1{,}5556 \) et \( \bar{\lambda}_{\text{z}}^2 = 1{,}5911 \).
Piège évité : Oublier le plafond \( \chi \le 1{,}0 \). Il ne joue pas ici — l'élancement est bien au-delà du palier — mais il est obligatoire sur les poteaux trapus.
Hypothèse validée : Le radicande \( 2{,}4199 - 1{,}5911 = 0{,}8288 \) est positif : la formule est dans son domaine de validité.
Vérification croisée : Repère : à \( \bar{\lambda} = 1{,}26 \) sur la courbe c, les tables donnent \( \chi \approx 0{,}41 \). Le calcul tombe sur 0,4055.
Finalité : Obtenir le coefficient qui, appliqué à la résistance plastique, donnera la capacité réelle du poteau en question 4.

\[ \begin{aligned} \chi_{\text{z}} &= \frac{1}{1{,}5556 + \sqrt{1{,}5556^2 - 1{,}5911}} \\ &= \frac{1}{1{,}5556 + \sqrt{0{,}8288}} = \frac{1}{2{,}4660} \\ &= \mathbf{0{,}4055} \ \le \ 1{,}00 \\ &\quad \text{inertie HEA, courbe b} : \ 0{,}3263 \quad (\text{les deux ecarts}) \\ &\quad \text{HEB 200, courbe b} : \ 0{,}4459 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le coefficient de réduction vaut 0,4055 : le poteau perd 59 % de sa résistance plastique. Les deux écarts conjugués donneraient 0,326, soit 67 % de perte.

Ordre de grandeur : 0,406 pour un élancement de 1,26 sur la courbe c. Un poteau de bâtiment courant se situe généralement entre 0,35 et 0,70 : nous sommes dans le bas de la plage.
Impact sur la suite : Appliqué aux 1 835 kN de résistance plastique, ce coefficient donnera \( N_{\text{b},\text{Rd}} = \mathbf{744\ \text{kN}} \) — à comparer aux 450 kN appliqués.
Cohérence : Décomposition des deux erreurs : l'inertie fausse coûte −0,040 sur \( \chi \), la courbe fausse en rapporte +0,040. Elles se compensent presque exactement sur ce coefficient.
Attention : Cette compensation est fortuite. Sur un autre élancement ou un autre profilé, les deux erreurs pourraient s'ajouter au lieu de se retrancher.
Comparaison : Sur l'axe fort, \( \chi_{\text{y}} = \mathbf{0{,}756} \) — près du double. L'écart mesure exactement le double handicap de l'axe faible : moins d'inertie, et une courbe plus sévère.

Remarque pédagogique : La décomposition des deux erreurs est instructive, parce qu'elle montre à quel point une compensation peut être trompeuse. Sur le coefficient \( \chi \), elles s'annulent presque : l'inertie sous-estimée fait monter l'élancement et descendre \( \chi \) de 0,040 ; la courbe trop favorable le fait remonter de 0,040. On pourrait croire l'affaire sans conséquence. Mais \( \chi \) n'est pas le résultat — c'est \( N_{\text{b},\text{Rd}} \) qui l'est, et là les deux erreurs ne se compensent plus du tout : 600 kN annoncés contre 744 réels, soit 24 % d'écart. La raison est que l'erreur d'inertie n'affecte que \( \chi \), tandis que l'erreur de courbe l'affecte aussi — mais qu'aucune des deux ne touche à l'aire, qui reste correcte. C'est une illustration nette d'un principe de contrôle : vérifier une grandeur intermédiaire ne suffit pas, il faut vérifier celle qui décide.

COURBES DE FLAMBEMENT b ET c — LE POINT SE DÉPLACE DEUX FOIS

RÉSULTAT FINAL

\( \chi_{\text{z}} \) = 0,406 — courbe c, α = 0,49

"Le tableau 6.2 se lit en ligne ET en colonne : la bonne ligne ne suffit pas."

Question 4 : Vérification de la stabilité et leviers d'action

Dans la tête de l'ingénieur

"La vérification finale tient en une multiplication et une division, et le verdict — conforme — ne fait aucun doute. La marge, en revanche, se joue à un quart près : les deux écarts conjugués donneraient 75 % de taux de travail là où le poteau travaille à 60,5 %. Reste à vérifier l'axe fort, qu'on écarte d'ordinaire d'une règle générale trop rapide, et surtout à mesurer les leviers dont dispose un concepteur devant un poteau qui ne passerait pas — car ils ne se valent pas du tout."

Observation : \( N_{\text{b},\text{Rd}} = \mathbf{744\ \text{kN}} \) contre 600 avec les deux écarts. Le poteau travaille à 0,605 et non 0,750.
Analyse du risque : Les deux écarts se compensent sur \( \chi \) mais pas sur la résistance : 24 % d'écart au final. Une compensation intermédiaire ne garantit rien.
Choix stratégique : Vérifier les deux axes plutôt que d'invoquer une règle générale, et chiffrer les leviers d'action au lieu de les évoquer.
Alternative : Devant un poteau qui ne passe pas, trois leviers existent : maintenir, changer de profilé, ou monter en nuance. Leurs rendements diffèrent d'un ordre de grandeur.
Objectif visé : Conclure sur la stabilité, et savoir sur quoi agir si les charges augmentaient.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( N_{\text{b},\text{Rd}} = 744{,}1\ \text{kN} \) — taux 0,605, et non les 0,750 annoncés

Rappel Théorique : Conclure, puis savoir sur quoi agir

La vérification de stabilité est une comparaison simple. Ce qui distingue une note de calcul d'un exercice, c'est ce qu'on en tire : quel composant gouverne, et quel levier a le meilleur rendement si la marge devient insuffisante.

La résistance au flambement réduit la résistance plastique : \( N_{\text{b},\text{Rd}} = \chi A f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M1}} \). Elle ne s'ajoute pas à la vérification de section : elle s'y substitue comme critère gouvernant.
Le coefficient partiel des instabilités vaut 1,00 en France : \( \gamma_{\text{M1}} = 1{,}00 \), comme \( \gamma_{\text{M0}} \). C'est le \( \gamma_{\text{M2}} \) des assemblages qui vaut 1,25 — ne pas les confondre.
Les deux axes se vérifient, pas seulement le plus faible : L'axe faible ne gouverne que si la longueur de flambement est la même dans les deux plans. Ce qui décide est l'élancement, pas l'inertie.
Réduire la longueur de flambement est le levier le plus puissant : La charge critique varie en \( 1/L_{\text{cr}}^2 \) : un maintien à mi-hauteur la quadruple, pour le prix d'une pièce secondaire.
Monter en nuance est le levier le plus faible : La charge critique ne dépend pas de \( f_{\text{y}} \). Sur un poteau élancé, passer au S355 ne rapporte que quelques pourcents.

Équations Fondamentales

Une seule relation pour conclure. Les trois comparaisons qui suivent sont plus instructives que le verdict lui-même.

Résistance au flambement par flexion :

Elle donne la capacité réelle du poteau, instabilité comprise.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la résistance plastique d'une section suppose qu'elle reste droite, et que cette hypothèse est fausse dès qu'un poteau est un tant soit peu élancé.

Contexte de validité : Compression centrée. La moindre excentricité, ou un moment concomitant, exigerait la vérification en flexion composée des articles 6.3.3 ou 6.3.4 — nettement plus pénalisante.
Avantage : Elle reprend la résistance de section et lui applique un simple facteur, ce qui rend le coût de l'instabilité immédiatement lisible : ici, 59 % de la capacité.
Paramètre clé : \( \gamma_{\text{M1}} = 1{,}00 \) en France pour les bâtiments. Il vaut 1,10 dans certains pays : les tables étrangères ne sont pas transposables telles quelles.
Vérification : \( N_{\text{b},\text{Rd}} \) doit toujours rester inférieur à \( Af_{\text{y}} \), puisque \( \chi \le 1 \). Ici 744 contre 1 835 kN.
Limite : Elle ne couvre que le flambement par flexion. Un profilé à parois minces ou une section ouverte peu symétrique pourrait flamber par torsion ou flexion-torsion.

\[ \begin{aligned} N_{\text{b},\text{Rd}} = \frac{\chi \, A \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M1}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La structure de cette expression est celle de toutes les vérifications d'instabilité de l'Eurocode : une résistance de section, multipliée par un coefficient qui traduit la perte due à l'instabilité. Ce qu'il faut en retenir, c'est que le flambement est un phénomène de raideur et non de résistance. Un poteau ne flambe pas parce que l'acier cède — il flambe parce qu'au-delà d'une certaine charge, un état déformé devient énergétiquement plus avantageux que l'état droit, et que le moindre défaut suffit alors à l'y faire basculer. La ruine est brutale et sans avertissement : contrairement à une ruine plastique, qui s'annonce par des déformations croissantes et visibles, l'instabilité survient d'un coup, par grands déplacements latéraux. C'est ce caractère soudain qui justifie que les Eurocodes traitent les instabilités avec un formalisme séparé, et qu'ils ne laissent aucune place à l'appréciation.

Décomposition des termes :

\( N_{\text{b},\text{Rd}} \) : résistance de calcul au flambement du poteau, unité : \( \text{kN} \)
\( \chi \) : coefficient de réduction établi en question 3, unité : —
\( A \) : aire brute de la section, la classe 1 l'autorisant, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de l'acier, 235 MPa en S235, unité : \( \text{MPa} \)
\( \gamma_{\text{M1}} \) : coefficient partiel de résistance vis-à-vis des instabilités, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Le poteau travaille à 75 %, c'est un bon ratio d'ingénierie…"

L'approche d'ingénieur : Le commentaire serait juste si le chiffre l'était. Le poteau travaille en réalité à 60,5 %, et c'est une information différente : il resterait de la place pour un niveau supplémentaire.

L'erreur : Conclure sur un taux issu de deux données fausses. Les 600 kN annoncés sont inférieurs de 24 % à la capacité réelle de 744 kN.
La bonne méthode : Recouper les données à la source — catalogue et tableau de courbes — plutôt que de juger la vraisemblance du résultat final, qui est ici parfaitement plausible.
L'astuce de pro : Un taux de 0,60 sur un poteau signale une réserve exploitable. C'est le genre d'information qui décide d'une surélévation ou d'un changement d'usage.
Le moyen mnémotechnique : « Deux erreurs qui se compensent restent deux erreurs. » Elles s'annulaient sur \( \chi \) et ne s'annulent plus sur la résistance.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Coefficient \( \chi \) : sans dimension, il s'applique directement à la résistance plastique.
Aire : en \( \text{mm}^2 \) multipliée par une limite d'élasticité en MPa — le produit sort en newtons.
Résistance : obtenue en \( \text{N} \), convertie en \( \text{kN} \) par \( 10^3 \).
Coefficient partiel : sans dimension, égal à 1,00 — il ne change donc rien numériquement, mais il doit figurer au calcul.
Taux de travail : sans dimension, rapport de deux forces exprimées dans la même unité.

Trois étapes : la résistance au flambement et le verdict, la vérification de l'axe fort qu'on écarte d'ordinaire d'une règle générale, puis le chiffrage des trois leviers.

1. Résolution Numérique Résistance au flambement et taux de travail

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conclusion de l'exercice, et parce que les deux écarts de la chaîne y produisent 24 % de différence.

Méthodologie du calcul :

On applique le coefficient de réduction à la résistance plastique de la section, puis on confronte le résultat à l'effort de compression de calcul.

Substitution : \( \chi_{\text{z}} = 0{,}4055 \), \( A = 7\,808\ \text{mm}^2 \), \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \), \( \gamma_{\text{M1}} = 1{,}00 \).
Piège évité : Employer \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \). Ce coefficient est celui des assemblages ; les instabilités relèvent de \( \gamma_{\text{M1}} = 1{,}00 \).
Hypothèse validée : L'aire brute est employée, la classe 1 ayant été établie en question 3. Une classe 4 exigerait une aire efficace.
Vérification croisée : \( N_{\text{b},\text{Rd}} \) doit rester inférieur à la charge critique de 1 153 kN — la résistance d'un poteau réel ne peut dépasser celle du poteau parfait. Ici 744 < 1 153 : cohérent.
Finalité : Conclure sur la stabilité du poteau, et mesurer la réserve disponible.

\[ \begin{aligned} N_{\text{b},\text{Rd}} &= \frac{0{,}4055 \times 7\,808 \times 235}{1{,}00} \\ &= 744\,100 \ \text{N} = \mathbf{744{,}1} \ \text{kN} \\ &\quad \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{b},\text{Rd}}} = \frac{450}{744{,}1} = \mathbf{0{,}605} \ \le \ 1{,}00 \\ &\quad \text{avec les deux ecarts} : \ 600 \ \text{kN et} \ 0{,}750 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le poteau est conforme, avec un taux de 0,605. Il lui reste près de 40 % de réserve, et non 25 % comme le donnerait la chaîne fautive.

Ordre de grandeur : 0,605 est un taux confortable pour un poteau. Les bureaux d'études visent souvent 0,7 à 0,9 ; celui-ci pourrait accepter une charge supplémentaire de 290 kN.
Impact sur la suite : Cette réserve de 40 % est une information de projet : elle autorise l'ajout d'un niveau, ou un changement d'usage, sans toucher au poteau.
Cohérence : L'écart de 24 % se décompose : la courbe trop favorable surestime, l'inertie trop faible sous-estime, et la seconde l'emporte. La chaîne fautive reste donc conservative — par chance, non par construction.
Attention : Le poteau perd 59 % de sa résistance plastique au flambement. Vérifier la seule compression simple aurait donné 1 835 kN et un taux de 0,245 — quatre fois trop optimiste.
Comparaison : Le rapport entre résistance plastique et résistance au flambement vaut 2,47. C'est exactement l'inverse de \( \chi \), et cela mesure le coût de l'élancement.

Remarque pédagogique : L'écart de 24 % entre 600 et 744 kN mérite qu'on mesure ce qu'il représente en projet. Un poteau annoncé à 75 % de taux est un poteau plein : on ne lui confie rien de plus, et toute évolution du bâtiment passera par un renforcement. Un poteau à 60 % dispose de 290 kN de réserve, soit — sur une descente de charge courante — l'équivalent d'un niveau supplémentaire. Les deux chiffres décrivent le même poteau sous la même charge, mais ils n'autorisent pas les mêmes décisions. C'est la conséquence la plus concrète d'une erreur de données : elle ne provoque pas d'effondrement, elle ferme des possibilités qui étaient ouvertes — ou, dans le cas inverse, elle en ouvre qui ne le sont pas.

L'axe fort, qu'on écarte d'ordinaire d'une règle générale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une règle générale n'est pas une vérification, et parce que cette règle-là comporte une condition tacite.

Méthodologie du calcul :

On refait la chaîne complète autour de l'axe fort — charge critique, élancement, courbe, coefficient — et l'on compare les deux taux.

Substitution : \( I_{\text{y}} = 5\,696\ \text{cm}^4 \), même longueur de flambement de 6 000 mm, et courbe b pour l'axe fort d'un laminé \( h/b \le 1{,}2 \).
Piège évité : Invoquer « le flambement se produit toujours autour de l'axe faible ». Cette règle suppose que \( L_{\text{cr}} \) soit identique dans les deux plans — ce qui n'est vrai que sans maintien intermédiaire.
Hypothèse validée : Le poteau est articulé dans les deux plans, sans lisse ni contreventement intermédiaire. Les deux longueurs de flambement sont donc bien égales.
Vérification croisée : L'axe fort bénéficie doublement : plus d'inertie et une courbe moins sévère. Son coefficient de réduction est presque le double.
Finalité : Confirmer que l'axe faible gouverne, en le montrant plutôt qu'en l'affirmant.

\[ \begin{aligned} N_{\text{cr},\text{y}} &= \frac{\pi^2 E I_{\text{y}}}{L_{\text{cr}}^2} = 3\,279 \ \text{kN} \\ &\quad \bar{\lambda}_{\text{y}} = \sqrt{\frac{1\,834\,880}{3\,279\,300}} = 0{,}748 \\ &\quad \text{courbe b} : \ (\alpha = 0{,}34) \ \chi_{\text{y}} = 0{,}756 \\ &\quad N_{\text{b},\text{y},\text{Rd}} = 1\,387 \ \text{kN} \ \Rightarrow \ \text{taux} \ \mathbf{0{,}324} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'axe fort donne un taux de 0,324, contre 0,605 pour l'axe faible. Ce dernier gouverne bien — mais parce que les deux longueurs de flambement sont égales, non par une propriété universelle.

Ordre de grandeur : Le rapport entre les deux taux vaut 1,87. L'axe faible est pénalisé deux fois : par son inertie, 2,84 fois moindre, et par une courbe plus sévère.
Impact sur la suite : L'axe fort dispose de 68 % de réserve. C'est lui qui absorberait un maintien latéral dans le plan faible, si l'on décidait d'en ajouter un.
Cohérence : \( \chi_{\text{y}} = 0{,}756 \) contre \( \chi_{\text{z}} = 0{,}406 \) : le coefficient de l'axe fort est presque le double, alors que l'élancement n'est que 1,7 fois plus faible. La courbe y est pour beaucoup.
Attention : Ajouter un maintien à mi-hauteur dans le plan faible ferait passer l'axe z à 0,320 — et l'axe fort deviendrait alors gouvernant à 0,324. C'est le point d'équilibre exact.
Comparaison : Sur un poteau de façade tenu par des lisses tous les 1,50 m dans le plan faible, l'axe fort gouvernerait largement malgré son inertie trois fois supérieure.

Remarque pédagogique : La coïncidence est remarquable et vaut d'être soulignée : avec un maintien à mi-hauteur dans le plan faible, les deux axes arrivent à 0,320 et 0,324 — pratiquement à égalité. Ce n'est pas un hasard de l'exercice mais la signature d'un optimum. Un poteau est employé au mieux de sa matière lorsque ses deux élancements sont équilibrés, car toute inertie excédentaire dans un plan est de la matière qui ne sert à rien. C'est d'ailleurs le principe qui guide l'espacement des maintiens en pratique : on ne bride pas le plan faible plus qu'il ne faut pour l'amener au niveau du plan fort. Au-delà, chaque maintien supplémentaire est perdu — le poteau flambera de l'autre côté. Ici, un seul maintien suffit à atteindre ce point d'équilibre, et un second n'apporterait rien.

Trois façons d'augmenter la capacité, et leurs rendements

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la question qui se pose réellement en projet, et parce que les trois leviers disponibles ne se valent pas du tout.

Méthodologie du calcul :

On chiffre séparément l'effet d'un maintien intermédiaire, d'un changement de profilé et d'une montée en nuance, puis on rapporte chaque gain à son coût.

Substitution : Maintien à mi-hauteur : \( L_{\text{cr},\text{z}} = 3\,000\ \text{mm} \). Profilés : HEB 220 et HEB 240. Nuance : S355 sur le HEB 200.
Piège évité : Croire que monter en nuance résout un problème de flambement. La charge critique ne dépend pas de \( f_{\text{y}} \) — seule la résistance plastique augmente.
Hypothèse validée : Un maintien intermédiaire n'est efficace que s'il est lui-même tenu : une lisse doit s'appuyer sur un contreventement, faute de quoi elle se déplace avec le poteau.
Vérification croisée : Le maintien divise \( L_{\text{cr}} \) par deux, donc multiplie \( N_{\text{cr}} \) par quatre. L'élancement réduit est divisé par deux : 1,261 devient 0,631.
Finalité : Savoir sur quoi agir en priorité, si les charges venaient à augmenter.

\[ \begin{aligned} \text{maintien a mi-hauteur} &: \ \bar{\lambda}_{\text{z}} = 0{,}631 \ ; \ \chi = 0{,}767 \ ; \ \text{taux} \ \mathbf{0{,}320} \\ &\quad \text{HEB 220} : \ (+10{,}2 \ \text{kg/m}) \ N_{\text{b},\text{Rd}} = 988 \ \text{kN} \ ; \ \text{taux} \ 0{,}456 \\ &\quad \text{HEB 240} : \ (+21{,}9 \ \text{kg/m}) \ N_{\text{b},\text{Rd}} = 1\,274 \ \text{kN} \ ; \ \text{taux} \ 0{,}353 \\ &\quad \text{S355 sur HEB 200} : \ \text{gain de l'ordre de} \ 8 \ \% \ \text{seulement} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le maintien à mi-hauteur fait tomber le taux de 0,605 à 0,320 — presque le meilleur résultat possible — pour le prix d'une pièce secondaire. Le HEB 240 fait à peine mieux, pour 22 kg/m supplémentaires.

Ordre de grandeur : Le maintien apporte 89 % de capacité supplémentaire sans toucher au poteau. Le HEB 220, qui coûte 10 kg/m, n'en apporte que 33 %.
Impact sur la suite : Devant un poteau insuffisant, la première question est donc : puis-je le tenir quelque part ? Le changement de profilé ne vient qu'ensuite.
Cohérence : Le maintien amène l'axe faible à 0,320 et l'axe fort reste à 0,324 : les deux sont à égalité. Un second maintien n'apporterait rien.
Attention : La montée en nuance est le levier le plus faible : la charge critique ne dépend pas de \( f_{\text{y}} \), et l'élancement réduit augmente. Le gain net ne dépasse pas quelques pourcents.
Comparaison : « Si un poteau de 6 m est maintenu à mi-hauteur, sa longueur de flambement devient 3 m » : la remarque est juste et se cite souvent, mais elle ne vaut que chiffrée — c'est ce que fait cette étape.

Remarque pédagogique : La hiérarchie des trois leviers est l'enseignement le plus transposable de cet exercice, et elle se retrouve sur toutes les questions d'instabilité. Le premier, réduire la longueur de flambement, est de loin le plus puissant : elle intervient au carré dans la charge critique, si bien qu'un maintien intermédiaire quadruple celle-ci pour le prix d'une pièce de quelques kilogrammes. Le deuxième, changer de profilé, est efficace mais coûteux : le gain suit à peu près l'inertie, donc la masse, et l'on paie chaque pourcent. Le troisième, monter en nuance, est presque sans effet sur un élément élancé — la charge critique ignorant complètement la limite d'élasticité — et il peut même dégrader le rendement en augmentant l'élancement réduit. La bonne question devant un poteau qui ne passe pas n'est donc jamais « quel profilé prendre ? » ni « quelle nuance ? », mais « où puis-je le tenir ? ». Dans un bâtiment, la réponse est presque toujours quelque part — un plancher, une lisse, un contreventement.

RÉSULTAT FINAL

\( N_{\text{Ed}}/N_{\text{b},\text{Rd}} \) = 0,605 — conforme, 744,1 kN de capacité

"Un maintien à mi-hauteur ferait tomber ce taux à 0,320 — mieux que deux crans de profilé."

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

BILAN DES CALCULS

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous avez assimilé ce qui distingue une vérification de stabilité d'une vérification de résistance :

J'ai recoupé le tableau de caractéristiques par l'identité \( i = \sqrt{I/A} \), et par un repère de forme indépendant des données fournies. J'ai calculé l'élancement réduit par deux voies et vérifié qu'elles concordent. J'ai établi la classe sous compression pure, où l'âme est limitée à \( 33\varepsilon \) et non \( 72\varepsilon \). J'ai lu le tableau 6.2 en ligne et en colonne, sans confondre l'axe fort et l'axe faible. J'ai vérifié les deux axes et chiffré les leviers d'action, au lieu d'invoquer une règle générale.

Avis technique — poteau HEB 200 CONFORME. Bi-articulé sur 6,00 m, il reprend 450 kN de compression pour une résistance au flambement de 744,1 kN, soit un taux de 0,605. Le flambement se produit dans le plan faible, autour de l'axe \( z \) : avec \( i_{\text{z}} = 5{,}07\ \text{cm} \), l'élancement réduit vaut 1,260, et la courbe c — celle qu'impose l'axe faible d'un profilé laminé de rapport \( h/b \le 1{,}2 \) — donne \( \chi_{\text{z}} = 0{,}406 \). L'instabilité confisque ainsi 59 % de la résistance plastique de la section, qui atteindrait 1 835 kN sans elle. La section est de classe 1 en compression : l'aire brute est intégralement utilisable. Recommandation : un maintien latéral à mi-hauteur dans le plan faible ferait tomber le taux à 0,320 — mieux qu'un HEB 240, qui pèse 22 kg/m de plus et n'atteindrait que 0,353. Sur un poteau élancé, réduire la longueur d'épure est toujours plus rentable que grossir la section. Deux vérifications restent hors périmètre : le flambement par torsion, sans objet sur un profilé en I bi-symétrique courant, et les imperfections globales de l'ossature, qui relèvent de l'analyse d'ensemble.

La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas d'appliquer une formule de flambement, elle identifie l'axe qui gouverne, justifie la courbe employée, chiffre ce que l'instabilité coûte, et compare deux leviers d'amélioration.

Flambement d'un Poteau Métallique Bi-articulé

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Le premier mois à 1 €

Flambement d'un poteau métallique bi-articulé

Contexte de l'Étude & Enjeux

GÉOMÉTRIE, CHARGEMENT ET PROFILÉ

COEFFICIENTS ET PARAMÈTRES DE FLAMBEMENT

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Longueur de flambement et contrôle du catalogue

Question 2 : Charge critique d'Euler et élancement réduit

Question 3 : Classe de section, courbe de flambement et coefficient de réduction

Question 4 (Finale) : Vérification de la stabilité et leviers d'action

Flambement d'un poteau métallique bi-articulé

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

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BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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