Effets de l'humidité sur le bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Le bois est un matériau hygroscopique : il échange en permanence de l'humidité avec l'air ambiant, et son taux d'humidité interne suit celui de son environnement. Cette propriété n'est pas un détail de second ordre — elle conditionne directement deux comportements distincts que l'Eurocode 5 traite séparément. D'une part la résistance, corrigée par le coefficient \( k_{\text{mod}} \). D'autre part le fluage, cette déformation qui continue de croître sous charge constante, corrigé par le coefficient \( k_{\text{def}} \). Dans cet exercice, une solive de plancher parfaitement ordinaire change d'affectation : le local chauffé devient une buanderie non chauffée. Rien n'a bougé — ni la section, ni la portée, ni les charges — et pourtant la structure n'est plus la même.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Une solive de plancher en bois massif C24, section 80 × 240 mm, portée 4,50 m sur deux appuis simples. Elle reprend une charge permanente et une charge d'exploitation de longue durée. Toute la question est de savoir ce que le passage en classe de service 2 change réellement — et ce qu'il ne change pas.
Environnement : État initial : local chauffé, humidité du bois de l'ordre de 12 %, classe de service 1. État final : buanderie non chauffée, humidité du bois pouvant atteindre 20 %, classe de service 2. C'est cette bascule, et elle seule, qui fait l'objet de l'étude.
L'objectif final : Quantifier séparément l'effet sur la résistance et l'effet sur la déformation. Le risque n'est pas identique dans les deux cas : une insuffisance de résistance met en jeu la sécurité, une flèche excessive dégrade l'aptitude au service — fissuration des cloisons, portes qui coincent, plancher inconfortable.
L'astuce de l'ingénieur : Avant tout calcul, ouvrez deux tableaux côte à côte : le 3.1 pour \( k_{\text{mod}} \) et le 3.2 pour \( k_{\text{def}} \). Vous verrez immédiatement que le premier ne distingue pas les classes 1 et 2 pour le bois massif, alors que le second les distingue nettement. Tout l'exercice tient dans cette observation.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et le maître d'ouvrage vous consulte avant de transformer une pièce chauffée en buanderie. Votre travail consiste à mener les deux vérifications réglementaires dans leur ordre logique : d'abord l'ELU, en établissant la résistance de calcul avec le bon coefficient de durée de charge, puis l'ELS, en calculant la flèche finale qui intègre le fluage. Chaque étape s'appuie sur une clause précise de l'EN 1995-1-1 : vous devrez la citer.

Le grand défi : Choisir le bon \( k_{\text{mod}} \). C'est le point où se joue la conformité du calcul, et c'est aussi celui que l'on rate le plus souvent, parce que la règle de l'Eurocode 5 est contre-intuitive : ce n'est pas la charge la plus sévère qui impose son coefficient, mais la plus courte de la combinaison.
Votre rôle : Produire une note traçable : chaque valeur rattachée à son tableau, un taux de travail pour chacun des deux états limites, et un avis disant clairement si le changement d'affectation est acceptable.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — la vérification ELU : le module de flexion \( W_{\text{y}} \), la résistance de calcul \( f_{\text{m},\text{d}} \) avec le \( k_{\text{mod}} \) justifié par la règle de durée, le moment résistant \( M_{\text{Rd}} \), et le taux de travail face au moment de calcul.
Livrable 2 — la vérification ELS : les flèches instantanées sous G et sous Q, la flèche finale avec fluage dans les deux classes de service, la comparaison à L/250, et un avis technique distinguant clairement ce qui relève de la sécurité de ce qui relève du confort.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 (Eurocode 5, partie 1-1), avec les valeurs de l'annexe nationale française. Les caractéristiques mécaniques du bois massif proviennent de la NF EN 338, les combinaisons d'actions de la NF EN 1990. Deux tableaux de l'Eurocode 5 structurent tout l'exercice : le tableau 3.1 pour \( k_{\text{mod}} \) et le tableau 3.2 pour \( k_{\text{def}} \). Lisez-les attentivement : leur différence de structure est le sujet.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Module de flexion d'une section rectangulaire \( W_{\text{y}} = \dfrac{b\,h^{2}}{6} \)
Moment quadratique \( I_{\text{y}} = \dfrac{b\,h^{3}}{12} \)
Résistance de calcul — EN 1995-1-1 § 2.4.1 \( f_{\text{m},\text{d}} = \dfrac{k_{\text{mod}}\;f_{\text{m},\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \)
Moment résistant \( M_{\text{Rd}} = W_{\text{y}}\;f_{\text{m},\text{d}} \)
Combinaison fondamentale ELU — EN 1990 éq. (6.10) \( q_{\text{d}} = 1{,}35\,G_{\text{k}} + 1{,}50\,Q_{\text{k}} \)
Moment de calcul, charge répartie sur deux appuis \( M_{\text{Ed}} = \dfrac{q_{\text{d}}\,L^{2}}{8} \)
Flèche instantanée sous charge répartie \( u_{\text{inst}} = \dfrac{5\,q\,L^{4}}{384\,E_{0,\text{mean}}\,I_{\text{y}}} \)
Flèche finale avec fluage — EN 1995-1-1 § 2.2.3 \( u_{\text{fin}} = u_{\text{inst},G}\,(1 + k_{\text{def}}) + u_{\text{inst},Q}\,(1 + \psi_{2}\,k_{\text{def}}) \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( b \times h \)	Section rectangulaire de la solive, bois massif	80 × 240	mm
\( L \)	Portée entre appuis, solive isostatique	4,50	m
\( f_{\text{m},\text{k}} \)	Résistance caractéristique en flexion du C24 NF EN 338 - Tableau 1	24	N/mm²
\( E_{0,\text{mean}} \)	Module moyen axial du C24, utilisé pour les flèches NF EN 338 - Tableau 1	11 000	N/mm²
\( \gamma_{\text{M}} \)	Coefficient partiel de résistance, bois massif EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,30	—
\( k_{\text{mod}} \)	Coefficient de modification — classes de service 1 et 2, action de longue durée EN 1995-1-1 - Tableau 3.1	0,70	—
\( k_{\text{def}} \)	Coefficient de fluage — 0,60 en classe 1, 0,80 en classe 2 EN 1995-1-1 - Tableau 3.2	0,60 / 0,80	—
\( \psi_{2} \)	Coefficient de combinaison quasi-permanente, catégorie A (habitation) EN 1990 - Tableau A1.1	0,30	—

Les deux états de la solive

État initial : \( \text{local chauffe} \Rightarrow \text{classe de service } \mathbf{1} \;;\; k_{\text{def}} = \mathbf{0{,}60} \)
État final : \( \text{buanderie non chauffee} \Rightarrow \text{classe de service } \mathbf{2} \;;\; k_{\text{def}} = \mathbf{0{,}80} \)
Limite de flèche retenue : \( u_{\text{fin}} \le L/250 = \mathbf{18} \text{ mm} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( G_{\text{k}} \)	Charge permanente répartie reprise par la solive	1,50	kN/m
\( Q_{\text{k}} \)	Charge d'exploitation répartie, classe de durée longue	2,00	kN/m

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Cisaillement : \( \text{EN 1995-1-1 } \S\,6.1.7 \text{ — a traiter separement} \)
Deversement : \( \text{la solive est supposee maintenue lateralement par le plancher} \)
Compression transversale sur appuis : \( \text{EN 1995-1-1 } \S\,6.1.5 \text{ — non demandee ici} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Extrait du tableau 3.1 — \( k_{\text{mod}} \) pour le bois massif

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
Action permanente — classes de service 1 et 2	\( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \)
Action de longue durée — classes de service 1 et 2	\( k_{\text{mod}} = \mathbf{0{,}70} \)
Action de moyenne durée — classes de service 1 et 2	\( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \)
Action de courte durée — classes de service 1 et 2	\( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \)
Action instantanée — classes de service 1 et 2	\( k_{\text{mod}} = 1{,}10 \)

Extrait du tableau 3.2 — \( k_{\text{def}} \) pour le bois massif

Classe de service 1 — intérieur chauffé, humidité du bois de l'ordre de 12 % : \( k_{\text{def}} = \mathbf{0{,}60} \)
Classe de service 2 — abrité ou non chauffé, humidité du bois jusqu'à 20 % : \( k_{\text{def}} = \mathbf{0{,}80} \)
Classe de service 3 — exposé aux intempéries : \( k_{\text{def}} = \mathbf{2{,}00} \)

Comparez la structure des deux tableaux. Le tableau 3.1 donne la même colonne pour les classes 1 et 2 : la résistance ne change pas. Le tableau 3.2, lui, distingue les trois classes, et l'écart est considérable. C'est toute la clé de l'exercice.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées au tableau de la NF EN 1995-1-1 ou au paramètre national qui les fixe :

\( f_{\text{m},\text{k}} = 24 \) N/mm² et \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm² pour le C24 — NF EN 338, tableau 1
\( k_{\text{mod}} \) et \( k_{\text{def}} \) — tableaux 3.1 et 3.2, ligne « bois massif »
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) — tableau 2.3 et annexe nationale
\( \psi_{2} = 0{,}30 \) pour la catégorie A — EN 1990, tableau A1.1 et annexe nationale

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Résistance de calcul et moment résistant

Lecture normative 25 min | Accessible

But de l'étape : Établir ce que la solive peut encaisser. La difficulté n'est pas le calcul — deux produits — mais le choix de \( k_{\text{mod}} \), qui dépend de la combinaison d'actions et non du seul matériau. C'est le point où la conformité du calcul se joue, et celui où l'erreur est la plus fréquente.

Énoncé Q1 : Déterminer, en justifiant chaque terme par sa référence normative :

le module de flexion \( W_{\text{y}} \) de la section 80 × 240 mm ;
la valeur de \( k_{\text{mod}} \) applicable à la combinaison \( G + Q \), en énonçant la règle qui la détermine ;
la résistance de calcul \( f_{\text{m},\text{d}} \) puis le moment résistant \( M_{\text{Rd}} \) en kN·m.

Attention : la charge d'exploitation est de longue durée, pas permanente. Ce détail de l'énoncé change le résultat.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La combinaison comporte deux actions de classes de durée différentes : l'une permanente, l'autre de longue durée. L'Eurocode 5 tranche ce cas par une règle explicite au § 3.1.3. Cherchez-la avant de choisir votre valeur dans le tableau 3.1 — et méfiez-vous de l'intuition, qui pousse vers la mauvaise réponse.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La règle est : \( k_{\text{mod}} \) est celui de l'action de plus courte durée de la combinaison. Entre « permanente » et « longue durée », la plus courte est la longue durée, donc \( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \). Puis \( f_{\text{m},\text{d}} = 0{,}70 \times 24 / 1{,}30 \). Vous devez trouver un \( M_{\text{Rd}} \) proche de 9,9 kN·m.

Question 2 : Vérification à l'état limite ultime

Vérification ELU 20 min | Accessible

But de l'étape : Confronter la capacité établie en Q1 à la sollicitation réelle. C'est ici qu'apparaît le premier verdict, et il est sans appel : la solive telle qu'elle existe ne passe pas, indépendamment de toute question d'humidité. Ce constat doit être posé avant d'analyser le changement d'affectation.

Énoncé Q2 : À partir des charges caractéristiques de l'énoncé :

écrire la combinaison fondamentale ELU et calculer la charge de calcul \( q_{\text{d}} \) ;
en déduire le moment de calcul \( M_{\text{Ed}} \) à mi-portée ;
vérifier le critère \( M_{\text{Ed}} \le M_{\text{Rd}} \) et donner le taux de travail en pourcentage.

Si le critère n'est pas satisfait, quantifiez l'insuffisance plutôt que de vous arrêter au constat .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les coefficients partiels sur les actions ne sont pas les mêmes selon leur nature : 1,35 sur les permanentes, dont on connaît bien la valeur, et 1,50 sur les variables, plus incertaines. Une fois \( q_{\text{d}} \) obtenu, la formule du moment maximal d'une poutre isostatique sous charge uniformément répartie s'applique directement.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( q_{\text{d}} = 1{,}35 \times 1{,}5 + 1{,}5 \times 2{,}0 = 5{,}025 \) kN/m, puis \( M_{\text{Ed}} = q_{\text{d}} L^{2}/8 \) avec \( L = 4{,}50 \) m. N'oubliez pas d'élever la portée au carré : vous devez trouver 12,72 kN·m.

Question 3 : Le passage en classe de service 2 change-t-il la résistance ?

Lecture critique 15 min | Piège

But de l'étape : Cette question paraît anodine et ne l'est pas. Elle vérifie que vous lisez réellement le tableau 3.1 au lieu de supposer qu'un environnement plus humide affaiblit forcément le matériau. La réponse — contre-intuitive — délimite exactement ce que l'humidité pénalise et ce qu'elle ne pénalise pas.

Énoncé Q3 : En reprenant la démarche de la question 1, mais en classe de service 2 :

relever la valeur de \( k_{\text{mod}} \) applicable, même combinaison de charges ;
recalculer \( M_{\text{Rd}} \) et quantifier la perte de résistance en pourcentage ;
expliquer le résultat obtenu, et dire où se situera réellement la pénalité de la classe 2.

Si votre pourcentage vous surprend, ne le corrigez pas : c'est la bonne réponse .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Regardez attentivement la structure du tableau 3.1 pour le bois massif : combien de colonnes distinctes trouvez-vous pour les classes de service 1, 2 et 3 ? La réponse à cette seule question règle l'exercice, sans aucun calcul.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour le bois massif, les classes de service 1 et 2 partagent les mêmes valeurs de \( k_{\text{mod}} \). Seule la classe 3 est pénalisée. La perte de résistance est donc de 0 % — et la vraie pénalité de l'humidité se manifeste sur le fluage, objet de la question 4.

Question 4 (Finale) : Flèche finale avec fluage et avis technique

Synthèse et décision 35 min | BOSS

But de l'étape : C'est ici que l'humidité montre enfin son effet. Le fluage — cette déformation qui continue de croître des années sous charge constante — est fortement accéléré par un environnement humide. L'objectif est de calculer la flèche à long terme, la seule qui compte pour l'aptitude au service, et de mesurer l'écart entre les deux classes.

Mention spéciale — deux états limites, deux logiques : À l'ELU on travaille avec des charges pondérées et une résistance minorée. À l'ELS on travaille avec les charges caractéristiques non pondérées et le module moyen \( E_{0,\text{mean}} \). Mélanger les deux jeux de valeurs est l'erreur classique : ni \( \gamma_{\text{M}} \), ni \( k_{\text{mod}} \), ni 1,35 ni 1,50 n'interviennent dans un calcul de flèche.

Calculer les flèches instantanées \( u_{\text{inst},G} \) et \( u_{\text{inst},Q} \), puis la flèche finale \( u_{\text{fin}} \) dans les deux classes de service. Comparer à la limite L/250, donner les deux taux de travail, et rédiger un avis technique : le changement d'affectation est-il acceptable ? Que recommandez-vous au maître d'ouvrage ?

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les deux charges ne subissent pas le même traitement vis-à-vis du fluage. La charge permanente est présente en permanence : son fluage se développe intégralement. La charge d'exploitation, elle, n'est présente que partiellement dans le temps — d'où l'apparition du coefficient \( \psi_{2} \) devant \( k_{\text{def}} \) dans son terme seulement.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( I_{\text{y}} = 80 \times 240^{3}/12 = 92\,160\,000 \) mm⁴. Travaillez en N et mm : \( g_{\text{k}} = 1{,}5 \) kN/m vaut 1,5 N/mm. Vous devez trouver \( u_{\text{inst},G} \approx 7{,}9 \) mm et \( u_{\text{inst},Q} \approx 10{,}5 \) mm, puis une flèche finale de l'ordre de 25 mm en classe 1 et 27 mm en classe 2, pour une limite de 18 mm.

NOTE DE CALCULS

Effets de l'humidité sur une solive de plancher en bois

Question 1 : Résistance de calcul et moment résistant

Dans la tête de l'ingénieur

"La géométrie ne me pose aucun problème : une section rectangulaire, un module de flexion en \( b h^{2}/6 \), c'est de la résistance des matériaux de première année. Le vrai travail est ailleurs. Le bois n'a pas une résistance, il en a autant que de situations de charge : la même poutre encaisse davantage sous une rafale de vent que sous le poids permanent d'une chape, parce que le bois s'endommage avec la durée de la sollicitation. Ma question devient donc : dans ma combinaison, quelle action fixe le \( k_{\text{mod}} \) ? Et là, l'Eurocode 5 énonce une règle que l'intuition rejette — ce n'est pas l'action la plus sévère qui commande, mais la plus courte."

Observation : L'énoncé précise que la charge d'exploitation est de longue durée. Cette mention n'est pas décorative : elle est l'information dimensionnante de toute la question 1. Si elle avait dit « moyenne durée », le résultat changerait encore.
Analyse du risque : Retenir \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) parce qu'il y a une charge permanente est l'erreur classique. Elle est sécuritaire, donc elle ne provoquera pas de sinistre — mais elle est non conforme, et elle conduit à surdimensionner d'environ 17 %.
Choix stratégique : J'applique la règle du § 3.1.3 : dans une combinaison mêlant plusieurs classes de durée, \( k_{\text{mod}} \) est celui de l'action de plus courte durée. Ici : longue durée, donc \( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \).
Alternative : J'aurais pu vérifier séparément la combinaison « G seul » avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \). C'est même la démarche rigoureuse quand on ignore laquelle gouverne. Je l'écarte ici car \( G \) seul donne un moment de 2,53 kN·m à comparer à 8,51 kN·m : cette combinaison n'est manifestement pas dimensionnante.
Objectif visé : Obtenir un \( M_{\text{Rd}} \) défendable devant un contrôleur, c'est-à-dire assorti de la clause qui justifie le \( k_{\text{mod}} \) retenu. Un nombre sans sa justification n'a aucune valeur dans une note de calculs.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( W_{\text{y}} = 768\,000 \) mm³ · \( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \) · \( f_{\text{m},\text{d}} = 12{,}92 \) N/mm² · \( M_{\text{Rd}} = \mathbf{9{,}92} \) kN·m

Rappel Théorique : pourquoi la résistance du bois dépend du temps

Aucun autre matériau de structure courant ne présente une dépendance aussi marquée entre durée de charge et résistance. Comprendre l'origine de ce comportement, c'est comprendre pourquoi l'Eurocode 5 introduit un coefficient que ni l'EC2 ni l'EC3 ne connaissent.

Principe 1 — le bois s'endommage progressivement sous charge maintenue : À l'échelle microscopique, les liaisons entre fibres cèdent une à une sous contrainte prolongée. Une poutre chargée à 60 % de sa capacité instantanée peut rompre après plusieurs années, alors qu'elle tient sans dommage sous une charge brève de même intensité. C'est le phénomène de rupture différée.
Principe 2 — \( k_{\text{mod}} \) croise deux entrées, pas une : Il dépend à la fois de la classe de durée de l'action et de la classe de service. Sa plage est large : de 0,50 (permanent en classe 3) à 1,10 (instantané en classes 1 et 2), soit un facteur 2,2 entre les extrêmes. Aucun autre coefficient du calcul bois n'a une telle amplitude.
Principe 3 — la règle de la plus courte durée : Quand une combinaison mêle des actions de durées différentes, on retient le \( k_{\text{mod}} \) de l'action de plus courte durée. La logique est celle du pic : c'est le moment où la charge brève s'ajoute au fond permanent que la sollicitation est maximale, et à cet instant précis le bois n'a pas encore subi l'endommagement d'une charge longue.
Principe 4 — \( \gamma_{\text{M}} \) ne joue pas le même rôle : Il vaut 1,30 pour le bois massif et couvre la dispersion du matériau et l'incertitude du modèle. Il ne dépend ni du temps ni de l'humidité. Confondre \( k_{\text{mod}} \) et \( \gamma_{\text{M}} \) revient à confondre un comportement physique avec une convention de sécurité.
Principe 5 — le module de flexion est purement géométrique : \( W_{\text{y}} = b h^{2}/6 \) ne dépend ni du matériau ni de l'environnement. Le carré sur la hauteur est capital en conception : doubler \( h \) multiplie la capacité par quatre, alors que doubler \( b \) ne fait que la doubler. D'où les sections hautes et étroites en charpente.

Équations Fondamentales

Deux relations très simples, mais dont la seconde porte toute la subtilité normative de l'exercice. La première relève de la résistance des matériaux, la seconde de l'Eurocode 5.

Module de flexion d'une section rectangulaire :

Il traduit la capacité de la forme à résister à la flexion, indépendamment du matériau qui la constitue.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la contrainte de flexion maximale vaut \( M/W \) : le module de flexion est exactement le facteur qui convertit un moment en contrainte. Pour une section rectangulaire pleine, il se calcule directement, sans passer par le moment quadratique.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine, flexion selon l'axe fort, matériau supposé homogène — hypothèse admise pour le bois massif à l'échelle de la pièce.
Avantage : Calcul immédiat et purement géométrique. Il ne sera pas à refaire au changement de classe de service, contrairement à la résistance.
Paramètre clé : La hauteur \( h \), qui intervient au carré. C'est le levier de conception le plus efficace, et la raison pour laquelle une solive se pose sur chant.
Vérification : Le résultat s'exprime en mm³ et se compte en centaines de milliers pour une solive courante. Un résultat en milliers signale une confusion avec \( I_{\text{y}} \) ou une erreur d'unité.
Limite : Elle suppose la section intacte. Un entaillage, un perçage ou un assemblage réduisent la section utile et imposent de reprendre le calcul sur la section nette.

\[ \begin{aligned} W_{\text{y}} = \frac{b\,h^{2}}{6} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici combien de moment cette forme peut convertir en contrainte admissible. Le carré sur la hauteur traduit un fait mécanique simple : les fibres les plus éloignées de l'axe neutre travaillent le plus, et les éloigner davantage augmente à la fois leur bras de levier et la quantité de matière mobilisée.

Décomposition des termes :

\( W_{\text{y}} \) : module de flexion autour de l'axe fort, unité : mm³
\( b \) : largeur de la section, dimension horizontale, unité : mm
\( h \) : hauteur de la section, dimension verticale, unité : mm
\( h^{2} \) : terme dominant, vaut 57 600 mm² ici, unité : mm²
\( 6 \) : constante propre à la section rectangulaire pleine, unité : sans dimension

Résistance de calcul en flexion — EN 1995-1-1 § 2.4.1 :

Elle convertit la résistance caractéristique issue du classement du bois en résistance de calcul, en intégrant la durée de charge, l'humidité et la dispersion du matériau.

Pourquoi cette formule ?

Parce que \( f_{\text{m},\text{k}} \) est un fractile à 5 % mesuré sur éprouvettes en laboratoire, sous charge de courte durée et à humidité contrôlée. Aucune de ces conditions ne correspond à un plancher réel. Les deux coefficients corrigent chacun un écart distinct : \( k_{\text{mod}} \) l'écart de situation, \( \gamma_{\text{M}} \) l'écart de fiabilité.

Contexte de validité : Vérification à l'ELU. À l'ELS, ni \( k_{\text{mod}} \) ni \( \gamma_{\text{M}} \) n'interviennent — c'est \( k_{\text{def}} \) qui prend le relais.
Avantage : Format universel en calcul bois : la même écriture sert pour la flexion, la traction, la compression et le cisaillement. Seul l'indice de \( f \) change.
Paramètre clé : \( k_{\text{mod}} \), et plus précisément la classe de durée retenue. C'est le seul terme de la formule qui demande un raisonnement plutôt qu'une lecture.
Vérification : Le rapport \( k_{\text{mod}}/\gamma_{\text{M}} = 0{,}70/1{,}30 = 0{,}538 \) : la résistance de calcul vaut environ 54 % de la caractéristique. Repère utile pour contrôler un ordre de grandeur.
Limite : Si les deux pièces d'un assemblage ont des \( k_{\text{mod}} \) différents, l'Eurocode impose la moyenne géométrique \( \sqrt{k_{\text{mod},1}\,k_{\text{mod},2}} \). Sans objet ici, la solive étant une pièce unique.

\[ \begin{aligned} f_{\text{m},\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}}\;f_{\text{m},\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : je réduis d'abord la résistance parce que la charge va durer et que le bois s'endommage sous charge maintenue, puis je la réduis encore parce que le bois est un matériau naturel dispersé. Le résultat est la contrainte que l'on s'autorise réellement dans la fibre la plus sollicitée, dans la situation étudiée — et pas dans une autre.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{m},\text{d}} \) : résistance de calcul en flexion, la grandeur cherchée, unité : N/mm²
\( f_{\text{m},\text{k}} \) : résistance caractéristique en flexion, 24 N/mm² pour le C24, unité : N/mm²
\( k_{\text{mod}} \) : coefficient de durée de charge et d'humidité, tableau 3.1, unité : sans dimension
\( \gamma_{\text{M}} \) : coefficient partiel du bois massif, 1,30, unité : sans dimension
\( k_{\text{mod}}/\gamma_{\text{M}} \) : facteur global de passage, 0,538 ici, unité : sans dimension

Moment résistant de la section — EN 1995-1-1 § 6.1.6 :

Elle transforme une contrainte admissible en capacité portante : le moment maximal que la section peut encaisser sans dépasser cette contrainte.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la vérification de l'Eurocode se mène en contraintes — \( \sigma_{\text{m},\text{d}} \le f_{\text{m},\text{d}} \) — alors que la statique fournit un moment. Multiplier la résistance de calcul par le module de flexion ramène les deux grandeurs sur la même échelle, celle des moments, et rend la comparaison directement lisible.

Contexte de validité : Flexion simple autour de l'axe fort, sans effort normal concomitant. En flexion déviée ou en flexion composée, ce sont les critères d'interaction du § 6.2 qui s'appliquent.
Avantage : Elle sépare proprement ce qui vient de la géométrie — \( W_{\text{y}} \), déjà calculé — de ce qui vient du matériau et de la situation, \( f_{\text{m},\text{d}} \). Au changement de classe de service, un seul des deux facteurs bouge.
Paramètre clé : Le produit lui-même : la relation est strictement linéaire dans les deux facteurs. Une erreur de 10 % sur l'un se retrouve à l'identique sur le moment résistant.
Vérification : Le produit de mm³ par des N/mm² donne des N·mm. La conversion en kN·m suppose une division par 10⁶ : c'est l'étape où se glissent la plupart des erreurs de facteur mille.
Limite : Elle suppose la stabilité de la poutre assurée. Si le déversement n'est pas empêché, il faut y ajouter le coefficient \( k_{\text{crit}} \) du § 6.3.3. Ici, le platelage cloué bloque la membrure comprimée.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Rd}} = W_{\text{y}}\;f_{\text{m},\text{d}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici le moment maximal que cette section, dans ce matériau et dans cette situation, peut supporter. C'est la capacité de l'élément, à laquelle on confrontera en question 2 la sollicitation issue des charges. Tant qu'aucun chiffre de charge n'est entré dans le calcul, cette valeur reste une propriété de la solive seule.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{Rd}} \) : moment résistant de calcul de la section, unité : N·mm puis kN·m
\( W_{\text{y}} \) : module de flexion, 768 000 mm³ selon le calcul précédent, unité : mm³
\( f_{\text{m},\text{d}} \) : résistance de calcul en flexion, issue de la formule ci-dessus, unité : N/mm²
Indice « R » : resistance, capacité de la section — à distinguer de l'indice « E », unité : sans objet
Facteur 10⁶ : conversion des N·mm en kN·m à appliquer en fin de calcul, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de retenir \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) « parce qu'il y a une charge permanente », en croyant qu'il faut prendre la valeur la plus pénalisante de la combinaison..."

L'approche d'ingénieur : Le raisonnement « je prends le plus défavorable » est excellent dans la plupart des situations de calcul — et il est faux ici. C'est ce qui rend l'erreur si tenace.

L'erreur : Prendre 0,60 au lieu de 0,70 donne \( M_{\text{Rd}} = 8{,}51 \) au lieu de 9,92 kN·m, soit une capacité sous-estimée de 14 %. En conception neuve, cela conduit à prescrire une section plus haute que nécessaire.
La bonne méthode : Lister les actions de la combinaison avec leur classe de durée, puis retenir le \( k_{\text{mod}} \) de la plus courte. Ici : permanente et longue durée, la plus courte est la longue durée.
L'astuce de pro : Quand un doute subsiste sur la combinaison gouvernante, vérifiez-les toutes : « G seul » avec 0,60, puis « G + Q » avec 0,70. Le rapport \( M_{\text{Ed}}/M_{\text{Rd}} \) le plus élevé désigne la combinaison dimensionnante.
Le moyen mnémotechnique : « Le pic commande » : la vérification porte sur l'instant le plus sollicité, et à cet instant c'est l'action la plus brève qui vient de s'ajouter.
L'impact direct : Sur un plancher entier de vingt solives, 14 % de capacité ignorée se traduit par une section passée de 80 × 240 à 80 × 260 — du bois en plus, une retombée plus importante, et un surcoût que rien ne justifie.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( b \) et \( h \) : conservés en mm — le module sort alors directement en mm³
\( f_{\text{m},\text{k}} \) : exprimé en N/mm² — identique au MPa, aucune conversion
\( k_{\text{mod}} \) et \( \gamma_{\text{M}} \) : grandeurs sans unité
\( M_{\text{Rd}} \) : obtenu en N·mm — diviser par 10⁶ pour l'exprimer en kN·m
Portée : à convertir en mm uniquement pour les flèches, en m pour les moments

Toute la partie ELU se mène en newtons et millimètres. Les sections sont en mm, les résistances en N/mm², le moment sort donc naturellement en N·mm sans le moindre facteur de conversion. On ne repasse en kN·m qu'au moment d'annoncer le résultat, parce que c'est l'unité dans laquelle un ingénieur « sent » un ordre de grandeur.

1. Résolution Numérique Module de flexion de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule caractéristique géométrique nécessaire à la vérification en flexion. Elle est indépendante du matériau, de l'humidité et de la durée de charge : elle ne sera pas à refaire en question 3.

Méthodologie du calcul :

Application directe de la formule, en veillant à identifier correctement laquelle des deux dimensions est la hauteur. Pour une solive posée sur chant, la hauteur est la plus grande dimension.

Substitution : \( b = 80 \) mm et \( h = 240 \) mm, la solive étant posée sur chant comme il se doit.
Piège évité : Inverser \( b \) et \( h \) diviserait le module par trois : \( 240 \times 80^{2}/6 = 256\,000 \) mm³. Le contrôle est immédiat — le bon résultat est le plus grand des deux.
Hypothèse validée : Section pleine et intacte à mi-portée, là où le moment est maximal. Aucun affaiblissement n'y est prévu.
Vérification croisée : \( 80 \times 57\,600 = 4\,608\,000 \), divisé par 6 donne 768 000. Le calcul mental confirme.
Finalité : Ce module sera multiplié par la résistance de calcul pour obtenir le moment résistant.

\[ \begin{aligned} W_{\text{y}} &= \frac{b\,h^{2}}{6} = \frac{80 \times 240^{2}}{6} \\ &= \frac{80 \times 57\,600}{6} = \frac{4\,608\,000}{6} \\ &= \mathbf{768\,000} \text{ mm}^{3} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

768 000 mm³, soit 768 cm³. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Quelques centaines de milliers de mm³ pour une solive de plancher courante : la valeur est parfaitement usuelle.
Impact sur la suite : Ce module intervient linéairement dans le moment résistant. Toute erreur ici se propage à l'identique jusqu'à la conclusion.
Cohérence : À section constante, poser la solive à plat donnerait 256 000 mm³, soit trois fois moins. Cela illustre concrètement le rôle du carré sur la hauteur.
Attention : Si un plombier perce la solive à mi-portée, la section nette chute et ce module n'est plus valable. Les percements doivent être positionnés dans les zones peu sollicitées.
Comparaison : Passer en 80 × 260 porterait le module à 901 333 mm³, soit +17 % pour 2 cm de hauteur supplémentaire seulement.

Remarque pédagogique : Faites systématiquement calculer les deux orientations, sur chant et à plat, et comparer. Le rapport de 3 obtenu ici — qui vaut \( h/b \) — frappe les esprits bien mieux qu'un discours sur l'inertie. C'est aussi l'occasion de rappeler qu'une solive posée à plat n'est pas seulement moins résistante : elle est aussi beaucoup plus souple, la flèche variant en \( h^{3} \).

Résistance de calcul en flexion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour convertir la résistance caractéristique du C24 en la contrainte que l'on s'autorise réellement dans la situation étudiée. C'est ici, et nulle part ailleurs, que la durée de charge et l'humidité entrent dans la vérification à l'ELU.

Méthodologie du calcul :

On justifie d'abord le choix de \( k_{\text{mod}} \) par la règle de durée, puis seulement ensuite on applique la formule. L'ordre compte : écrire la justification avant le calcul rend la note vérifiable par un tiers.

Substitution : Combinaison \( G + Q \) avec \( Q \) de longue durée ; classe de service 1 ; bois massif. Tableau 3.1 : \( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \). Tableau 2.3 : \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \).
Piège évité : Ne pas prendre 0,60. La présence d'une charge permanente n'impose pas son coefficient : selon le § 3.1.3(2), c'est l'action de plus courte durée de la combinaison qui commande.
Hypothèse validée : La combinaison « G seul », avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \), donne \( M_{\text{Ed}} = 1{,}35 \times 1{,}5 \times 4{,}5^{2}/8 = 5{,}12 \) kN·m contre \( M_{\text{Rd}} = 8{,}51 \) kN·m : elle est vérifiée, donc non dimensionnante.
Vérification croisée : \( 0{,}70 \times 24 = 16{,}8 \), puis division par 1,3. Comme \( 1{,}3 \times 13 = 16{,}9 \), le résultat doit être très légèrement inférieur à 13 : 12,92 convient.
Finalité : Cette contrainte admissible sera multipliée par le module de flexion pour obtenir le moment résistant, objet du calcul suivant.

\[ \begin{aligned} f_{\text{m},\text{d}} &= \frac{k_{\text{mod}}\;f_{\text{m},\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} = \frac{0{,}70 \times 24}{1{,}30} \\ &= \frac{16{,}80}{1{,}30} \\ &= \mathbf{12{,}923} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

12,92 N/mm², à comparer aux 24 N/mm² de départ. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Entre 10 et 15 N/mm² pour un résineux courant en flexion : la valeur est parfaitement usuelle.
Impact sur la suite : Elle intervient linéairement dans le moment résistant. Toute erreur sur \( k_{\text{mod}} \) se propage donc à l'identique jusqu'au verdict.
Cohérence : La résistance de calcul représente 54 % de la caractéristique. C'est le prix cumulé du temps, via \( k_{\text{mod}} \), et de l'incertitude, via \( \gamma_{\text{M}} \).
Attention : Avec une charge de moyenne durée — de la neige plutôt qu'une exploitation permanente — \( k_{\text{mod}} \) passerait à 0,80 et \( f_{\text{m},\text{d}} \) à 14,77 N/mm². La nature de la charge compte autant que son intensité.
Comparaison : En C30 (\( f_{\text{m},\text{k}} = 30 \) N/mm²), on obtiendrait 16,15 N/mm², soit +25 % sans toucher à la section.

Remarque pédagogique : Faites poser la question à l'envers : « quelle serait la résistance de calcul si la charge était instantanée ? » Avec \( k_{\text{mod}} = 1{,}10 \), on trouverait 20,3 N/mm². L'écart entre 12,92 et 20,3 pour un même bois frappe durablement, et fait comprendre que \( k_{\text{mod}} \) n'est pas un coefficient de sécurité de plus mais la traduction d'un phénomène physique : le fluage-rupture.

Moment résistant de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la capacité réelle de la section dans la situation de charge étudiée. C'est la valeur que l'on confrontera au moment de calcul, et elle n'a de sens qu'accompagnée de la combinaison à laquelle elle se rapporte.

Méthodologie du calcul :

Produit direct des deux grandeurs déjà établies, puis conversion d'unité. Les deux facteurs viennent de mondes différents : l'un de la géométrie, l'autre du matériau et de la situation.

Substitution : \( W_{\text{y}} = 768\,000 \) mm³ du premier calcul et \( f_{\text{m},\text{d}} = 12{,}923 \) N/mm² du calcul précédent.
Piège évité : Le passage des N·mm aux kN·m demande une division par 10⁶, pas par 10³. Un facteur mille perdu ici donne un moment résistant de 9 920 kN·m, absurde mais que rien ne signale si l'unité n'est pas écrite.
Hypothèse validée : Déversement empêché par le platelage cloué sur la membrure comprimée : \( k_{\text{crit}} = 1 \), le § 6.3.3 n'a pas à intervenir.
Vérification croisée : \( 768\,000 \times 13 \approx 10 \times 10^{6} \) N·mm, soit environ 10 kN·m. Le calcul mental encadre le résultat exact.
Finalité : Disposer du \( M_{\text{Rd}} \) à confronter au moment de calcul en question 2.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Rd}} &= W_{\text{y}}\;f_{\text{m},\text{d}} = 768\,000 \times 12{,}923 \\ &= 9\,925\,000 \text{ N} \cdot \text{mm} \\ &= \mathbf{9{,}92} \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

9,92 kN·m : voilà ce que la solive peut encaisser sous la combinaison étudiée. Ce nombre n'a de sens que rattaché à cette combinaison précise.

Ordre de grandeur : Une dizaine de kN·m pour une solive 80 × 240 en C24 : la valeur est cohérente avec les abaques professionnels.
Impact sur la suite : C'est la borne à ne pas dépasser. Le moment de calcul de la question 2 lui sera directement comparé.
Cohérence : Une solive de plancher courante reprend quelques kN·m. Obtenir une capacité du même ordre, sans marge écrasante, est le signe d'un dimensionnement serré — ce que la suite confirmera.
Attention : Cette capacité vaut pour la section pleine à mi-portée. Un percement ou une entaille au même endroit la réduirait dans le rapport des modules de flexion.
Comparaison : En C30, on obtiendrait 12,40 kN·m, soit +25 % à géométrie identique. Monter en classe de bois est un levier efficace et sans surcoût de section.

Remarque pédagogique : Faites écrire systématiquement, à côté de chaque \( M_{\text{Rd}} \), la combinaison et la classe de durée auxquelles il correspond. Un étudiant qui note « \( M_{\text{Rd}} = 9{,}92 \) kN·m (G + Q longue durée, classe 1) » a compris que la résistance du bois est une propriété de situation, pas une constante du matériau. C'est la différence de fond avec l'acier, où \( f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \) ne dépend de rien d'autre que du matériau.

RÉSULTAT FINAL

\( M_{\text{Rd}} \) = 9,92 kN·m

"Cette capacité va maintenant être confrontée au moment réellement appliqué !"

Question 2 : Vérification à l'état limite ultime

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai la capacité, il me faut maintenant la demande. Et là, un principe qu'il ne faut jamais perdre de vue : je ne compare jamais une charge réelle à une résistance réelle. Le format semi-probabiliste des Eurocodes majore les actions d'un côté et minore les résistances de l'autre, de sorte que les deux « pires cas » se rencontrent avec une probabilité de ruine maîtrisée. Concrètement, je pondère : 1,35 sur le permanent, dont je connais bien la valeur, et 1,50 sur l'exploitation, beaucoup plus incertaine. Ensuite seulement je compare. Et je sens déjà que ça va être serré : une solive de 4,50 m qui porte 3,5 kN/m caractéristiques, c'est beaucoup."

Observation : La charge d'exploitation, 2,0 kN/m, dépasse la charge permanente de 1,5 kN/m. Comme elle est pondérée par 1,50, elle va dominer largement la combinaison — elle apportera près de 60 % du moment de calcul.
Analyse du risque : Une portée de 4,50 m avec ce niveau de charge relève d'un plancher de local d'activité plutôt que d'une chambre. Si le résultat est défavorable, il faudra examiner si l'entraxe des solives n'a pas été surestimé lors de la conception initiale.
Choix stratégique : J'applique la combinaison fondamentale de l'EN 1990, équation (6.10), avec une seule action variable — pas de coefficient \( \psi_{0} \) à introduire puisqu'il n'y a rien à accompagner.
Alternative : J'aurais pu utiliser les expressions (6.10a) et (6.10b), souvent un peu moins pénalisantes. Je les écarte : l'annexe nationale française retient (6.10) pour les bâtiments courants, et l'écart ne changerait pas la conclusion.
Objectif visé : Un taux de travail chiffré. Dire « ça ne passe pas » n'a aucune valeur opérationnelle ; dire « le taux est de 128 %, il manque 28 % de capacité » oriente immédiatement vers la solution.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( q_{\text{d}} = 5{,}025 \) kN/m · \( M_{\text{Ed}} = 12{,}72 \) kN·m · taux = 128 % · NON VÉRIFIÉ

Rappel Théorique : le format semi-probabiliste des Eurocodes

La vérification à l'ELU n'est pas une comparaison entre une charge et une résistance : c'est la confrontation de deux valeurs de calcul, construites chacune pour représenter une situation défavorable de probabilité maîtrisée.

Principe 1 — deux coefficients différents, deux niveaux d'incertitude : \( \gamma_{G} = 1{,}35 \) sur les charges permanentes, dont on connaît la valeur à quelques pour cent près, et \( \gamma_{Q} = 1{,}50 \) sur les charges d'exploitation, dont la valeur réelle peut s'écarter fortement de l'hypothèse. L'écart entre les deux traduit une différence de connaissance, pas d'importance.
Principe 2 — le moment maximal d'une poutre isostatique : Sous charge uniformément répartie, il vaut \( qL^{2}/8 \) et se situe à mi-portée. Le carré sur la portée est déterminant : allonger la solive de 10 % augmente le moment de 21 %, à charge inchangée.
Principe 3 — le taux de travail est plus informatif que le verdict : Un rapport \( M_{\text{Ed}}/M_{\text{Rd}} \) de 1,28 dit non seulement que la section est insuffisante, mais de combien. C'est ce chiffre qui permet de choisir entre changer de section, de classe de bois, ou réduire l'entraxe.
Principe 4 — la charge permanente n'est pas toujours défavorable : Quand elle stabilise — soulèvement au vent, basculement — l'EN 1990 impose \( \gamma_{G,\text{inf}} = 1{,}00 \). Appliquer 1,35 par automatisme conduirait alors à un calcul non sécuritaire. Ici, la charge permanente est bien défavorable.
Principe 5 — l'ELU ne dit rien du confort : Une solive peut satisfaire l'ELU et rester inutilisable parce qu'elle vibre ou fléchit trop. Les deux états limites sont indépendants et doivent être vérifiés tous les deux — c'est l'objet de la question 4.

Équations Fondamentales

Deux relations classiques, l'une réglementaire et l'autre issue de la statique. Leur enchaînement produit la sollicitation de calcul à comparer à la capacité établie en question 1.

Combinaison fondamentale à l'ELU — EN 1990 équation (6.10) :

Elle transforme les charges caractéristiques du cahier des charges en charge de calcul, seule admissible dans une vérification de sécurité.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les charges annoncées sont des valeurs caractéristiques, c'est-à-dire des fractiles qui peuvent être dépassés dans la vie de l'ouvrage. Les majorer couvre à la fois ces dépassements et les imperfections du modèle de calcul lui-même.

Contexte de validité : Situation de projet durable ou transitoire, bâtiment courant. En situation accidentelle — séisme, choc, incendie — les coefficients tombent à 1,00.
Avantage : Format commun à tous les Eurocodes : la même combinaison sert pour le béton, l'acier et le bois. Seul le traitement de la résistance diffère ensuite.
Paramètre clé : La charge d'exploitation, doublement pénalisée ici : elle est la plus grande des deux et porte le coefficient le plus élevé.
Vérification : La charge de calcul doit être comprise entre 1,35 et 1,50 fois la charge caractéristique totale. Ici : \( 5{,}025/3{,}50 = 1{,}436 \). Cohérent.
Limite : Avec plusieurs actions variables, il faudrait introduire les \( \psi_{0} \) sur les actions d'accompagnement. Une seule action variable ici : la formule reste simple.

\[ \begin{aligned} q_{\text{d}} = \gamma_{G}\,G_{\text{k}} + \gamma_{Q}\,Q_{\text{k}} = 1{,}35\,G_{\text{k}} + 1{,}50\,Q_{\text{k}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : je ne vérifie pas la structure sous les charges annoncées, mais sous des charges volontairement majorées. L'image du plancher est parlante : si l'on annonce 200 kg/m², on vérifie sous 300 kg/m², parce qu'un jour de déménagement ou de réunion, la charge réelle dépassera l'hypothèse.

Décomposition des termes :

\( q_{\text{d}} \) : charge répartie de calcul à l'ELU, unité : kN/m
\( G_{\text{k}} \) : charge permanente caractéristique — structure, revêtement, cloisons, unité : kN/m
\( Q_{\text{k}} \) : charge d'exploitation caractéristique, unité : kN/m
\( \gamma_{G} = 1{,}35 \) : coefficient partiel sur les actions permanentes défavorables, unité : sans dimension
\( \gamma_{Q} = 1{,}50 \) : coefficient partiel sur l'action variable dominante, unité : sans dimension

Moment fléchissant de calcul à mi-portée :

Le moment maximal d'une poutre isostatique sur deux appuis sous charge uniformément répartie.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une solive de plancher sur deux appuis se comporte comme une poutre isostatique : les efforts s'y déterminent par la seule statique, sans passer par la déformation. C'est le cas de figure le plus simple et le plus fréquent en construction bois.

Contexte de validité : Poutre sur deux appuis simples, charge uniformément répartie. Une continuité sur plusieurs travées réduirait le moment en travée et en créerait sur appuis.
Avantage : Le moment ne dépend que de la charge et de la portée — ni du matériau, ni de la section. Il se calcule avant tout choix de solive.
Paramètre clé : La portée au carré. C'est le paramètre le plus sensible du dimensionnement : réduire la portée est toujours plus efficace que grossir la section.
Vérification : Une charge en kN/m et une portée en m donnent directement des kN·m. Mélanger des mètres et des millimètres dans cette formule est l'erreur d'inattention la plus fréquente.
Limite : Elle donne le moment maximal, situé à mi-portée. Près des appuis, c'est l'effort tranchant qui gouverne, et il relève d'une vérification distincte.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} = \frac{q_{\text{d}}\,L^{2}}{8} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici le moment qui sollicite la section la plus chargée, à mi-portée. Le facteur 8 au dénominateur n'a rien d'arbitraire : il découle de l'intégration de la charge répartie entre les deux appuis. Et le carré sur la portée explique qu'allonger une travée de 10 % alourdit le moment de 21 %.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{Ed}} \) : moment fléchissant de calcul à mi-portée, unité : kN·m
\( q_{\text{d}} \) : charge linéique de calcul à l'ELU, issue de la combinaison, unité : kN/m
\( L \) : portée entre nus d'appuis, unité : m
\( L^{2} \) : terme dominant, vaut 20,25 m² ici, unité : m²
Indice « E » : effect of actions, effet des actions, unité : sans objet

Critère de vérification à l'ELU — EN 1990 § 6.4.2 :

L'inégalité fondamentale de tout dimensionnement : l'effet des actions ne doit pas dépasser la résistance.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la forme unique sous laquelle tout Eurocode exprime une vérification à l'ELU : \( E_{\text{d}} \le R_{\text{d}} \). L'écrire sous forme de rapport plutôt que d'inégalité ne change rien au fond, mais fournit un taux de travail : un pourcentage qui dit non seulement si ça passe, mais de combien.

Contexte de validité : État limite ultime uniquement. À l'ELS, la comparaison porte sur des flèches, avec une combinaison et des coefficients entièrement différents.
Avantage : Le résultat est sans dimension et se lit en pourcentage. Il se compare directement d'un élément à l'autre et permet de repérer d'un coup d'œil l'élément le plus sollicité d'un ouvrage.
Paramètre clé : Le numérateur, car il concentre toutes les incertitudes de charge. Le dénominateur, lui, a été établi en question 1 et ne bouge plus.
Vérification : Les deux membres doivent être dans la même unité. Comparer des kN·m à des N·mm produit un taux faux d'un facteur 10⁶ — et pourtant crédible si l'on ne regarde que le chiffre.
Limite : Ce critère ne couvre que la flexion. Le cisaillement près des appuis, § 6.1.7, et la compression transversale sur appuis, § 6.1.5, relèvent de vérifications distinctes.

\[ \begin{aligned} \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{Rd}}} \le 1{,}0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce que l'on demande à la section doit rester en deçà de ce qu'elle peut développer. Un rapport de 0,80 signifie que la solive travaille à 80 % de sa capacité et conserve 20 % de marge ; un rapport supérieur à 1 signifie que la vérification n'est pas satisfaite, quel que soit le confort apparent de l'ouvrage existant.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{Ed}} \) : moment sollicitant de calcul, numérateur, unité : kN·m
\( M_{\text{Rd}} \) : moment résistant de calcul, issu de la question 1, unité : kN·m
Le rapport : taux de travail, à exprimer en pourcentage, unité : sans dimension
Indice « E » : effect of actions, effet des actions, unité : sans objet
Indice « R » : resistance, résistance de la section, unité : sans objet

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'utiliser les charges caractéristiques dans la formule du moment, ou d'oublier d'élever la portée au carré..."

L'approche d'ingénieur : Ces deux erreurs se ressemblent par leur effet — un moment sous-estimé — mais elles n'ont pas la même gravité ni la même détectabilité.

L'erreur : Avec les charges caractéristiques, on obtiendrait \( M = 3{,}5 \times 20{,}25/8 = 8{,}86 \) kN·m, inférieur à \( M_{\text{Rd}} \). On conclurait à tort que la solive convient — erreur non sécuritaire.
La bonne méthode : Noter explicitement l'indice « d » sur toute grandeur pondérée. Une charge sans indice est caractéristique et n'a rien à faire dans une vérification ELU.
L'astuce de pro : Contrôlez le rapport charge de calcul sur charge caractéristique : il doit toujours tomber entre 1,35 et 1,50. Hors de cette fourchette, une pondération a été oubliée ou dupliquée.
Le moyen mnémotechnique : « d comme design, d comme dimensionnement » : à l'ELU, tout porte l'indice d, des deux côtés de l'inégalité.
L'impact direct : Un plancher validé avec des charges non pondérées présente un déficit de capacité de l'ordre de 40 %. Ce n'est pas une marge grignotée, c'est la marge de sécurité entièrement supprimée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( G_{\text{k}} \) et \( Q_{\text{k}} \) : exprimés en kN/m — charges linéiques reprises par une solive
\( L \) : conservé en m pour le moment — le résultat sort alors en kN·m
\( q_{\text{d}} \) : obtenu en kN/m , homogène aux charges d'entrée
\( M_{\text{Ed}} \) : obtenu en kN·m , directement comparable à \( M_{\text{Rd}} \)
Taux de travail : rapport sans unité , exprimé en pourcentage

Contrairement à la question 1, menée en N et mm, cette question se traite entièrement en kN et m. C'est légitime — chaque système d'unités a son domaine naturel — mais la jonction entre les deux doit être explicite : le \( M_{\text{Rd}} \) de la question 1 a été converti en kN·m précisément pour rendre la comparaison directe. Annoncez toujours ce changement de système dans la note, sinon un relecteur perd le fil.

1. Résolution Numérique Charge linéique de calcul à l'ELU

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir la charge pondérée à partir des charges caractéristiques. C'est le pendant exact de la question 1, côté actions : on majore ce qui sollicite avant de le comparer à ce qui résiste.

Méthodologie du calcul :

On pondère d'abord, on calculera le moment ensuite. Faire l'inverse — calculer deux moments puis les pondérer — donne le même résultat ici, mais devient source d'erreurs dès qu'apparaissent plusieurs actions variables.

Substitution : \( G_{\text{k}} = 1{,}5 \) kN/m et \( Q_{\text{k}} = 2{,}0 \) kN/m, valeurs caractéristiques issues de l'énoncé.
Piège évité : Ne pas appliquer 1,35 à l'ensemble des charges. Les deux coefficients sont distincts : 1,35 sur le permanent, 1,50 sur le variable, et les intervertir sous-estimerait la charge de 4 %.
Hypothèse validée : Une seule action variable : aucun coefficient \( \psi_{0} \) n'est requis. Charge permanente défavorable, donc \( \gamma_{G} = 1{,}35 \).
Vérification croisée : La charge caractéristique cumulée vaut 3,50 kN/m ; un coefficient moyen de l'ordre de 1,44 donne bien 5,04. Le calcul mental confirme.
Finalité : Cette charge linéique sera transformée en moment fléchissant au calcul suivant.

\[ \begin{aligned} q_{\text{d}} &= \gamma_{G}\,G_{\text{k}} + \gamma_{Q}\,Q_{\text{k}} \\ &= 1{,}35 \times 1{,}50 + 1{,}50 \times 2{,}00 \\ &= 2{,}025 + 3{,}000 \\ &= \mathbf{5{,}025} \text{ kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

5,025 kN/m de charge de calcul, contre 3,50 kN/m de charge caractéristique. La pondération majore l'ensemble de 44 %.

Ordre de grandeur : Le rapport \( 5{,}025/3{,}50 = 1{,}436 \) tombe bien entre 1,35 et 1,50, comme l'exige la cohérence de la pondération.
Impact sur la suite : La charge d'exploitation pondérée pèse 3,00 kN/m sur 5,025, soit 60 % du total : c'est sur elle qu'il faudra agir en priorité.
Cohérence : La charge variable étant supérieure à la permanente et plus lourdement pondérée, sa domination était prévisible dès la lecture des données.
Attention : Si la charge permanente avait été favorable — cas du soulèvement au vent — il aurait fallu retenir \( \gamma_{G} = 1{,}00 \) et non 1,35.
Comparaison : Sous la seule charge permanente, \( q_{\text{d}} \) tomberait à 2,025 kN/m — moins de la moitié. Cette combinaison ne peut donc pas être dimensionnante.

Remarque pédagogique : Faites systématiquement vérifier le rapport charge de calcul sur charge caractéristique. Il doit toujours tomber entre 1,35 et 1,50 lorsque les deux types de charges coexistent. Ce contrôle d'une seconde détecte immédiatement une pondération oubliée ou appliquée deux fois — l'une des erreurs les plus fréquentes et les plus silencieuses du calcul de structure.

Moment fléchissant de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le moment, et non la charge, qui se compare à la capacité de la section. La charge linéique doit d'abord être transformée en sollicitation de flexion.

Méthodologie du calcul :

Application directe de la formule du moment maximal d'une poutre isostatique, en veillant à conserver des mètres pour la portée et des kN/m pour la charge.

Substitution : \( q_{\text{d}} = 5{,}025 \) kN/m du calcul précédent et \( L = 4{,}50 \) m, portée entre nus d'appuis.
Piège évité : \( L^{2} = 20{,}25 \) m². Omettre le carré diviserait le moment par 4,5 et transformerait l'échec en réussite apparente.
Hypothèse validée : Poutre isostatique sur deux appuis simples : le moment maximal se situe bien à mi-portée et vaut \( qL^{2}/8 \).
Vérification croisée : \( 5 \times 20 = 100 \), divisé par 8 donne 12,5. Le résultat exact doit se tenir juste au-dessus : 12,72 convient.
Finalité : Ce moment sera rapporté au moment résistant de la question 1 pour former le taux de travail.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{q_{\text{d}}\,L^{2}}{8} = \frac{5{,}025 \times 4{,}50^{2}}{8} \\ &= \frac{5{,}025 \times 20{,}25}{8} = \frac{101{,}756}{8} \\ &= \mathbf{12{,}72} \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

12,72 kN·m de sollicitation à mi-portée. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Une douzaine de kN·m pour une portée de 4,50 m sous 5 kN/m : le résultat est conforme à l'attendu.
Impact sur la suite : C'est le numérateur du taux de travail. Il concentre toutes les hypothèses de charge, alors que le dénominateur est déjà figé depuis la question 1.
Cohérence : La charge d'exploitation pondérée apporte 3,00 kN/m sur 5,025, soit 60 % du total, donc environ 7,6 des 12,72 kN·m. C'est sur elle qu'il faudra agir en priorité.
Attention : Ce moment est indépendant de l'humidité et de la classe de service : la question 3 ne le modifiera pas. Seule la capacité peut évoluer.
Comparaison : Ramener la portée à 4,00 m donnerait 10,05 kN·m, soit −21 % pour 50 cm de moins. Le carré sur la portée joue ici en notre faveur.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que ce calcul n'a mobilisé ni le matériau, ni la section : uniquement la charge et la portée. C'est la marque des structures isostatiques, et c'est ce qui permet de calculer la sollicitation avant d'avoir choisi la solive. En hyperstatique — poutre continue sur trois appuis, par exemple — cette indépendance disparaît et le calcul devient itératif.

Taux de travail à l'ELU

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'étape qui délivre le verdict de sécurité. Un moment seul ne dit rien ; c'est sa confrontation à la capacité qui tranche.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport entre le moment de calcul et le moment résistant de la question 1, puis on l'exprime en pourcentage. Le nombre obtenu est l'information à transmettre au maître d'ouvrage.

Substitution : \( M_{\text{Ed}} = 12{,}72 \) kN·m du calcul précédent et \( M_{\text{Rd}} = 9{,}92 \) kN·m de la question 1.
Piège évité : Les deux termes doivent être dans la même unité. Diviser des kN·m par des N·mm donnerait un taux de 0,000128 — apparemment excellent, en réalité faux d'un facteur 10⁶.
Hypothèse validée : Les deux moments se rapportent à la même combinaison — \( G + Q \) de longue durée — et à la même section, celle de mi-portée. La comparaison est donc licite.
Vérification croisée : \( 9{,}92 \times 1{,}28 = 12{,}70 \), à comparer à 12,72. Le taux est bien de l'ordre de 128 %.
Finalité : Délivrer le verdict de l'ELU, qui orientera les recommandations de la conclusion.

\[ \begin{aligned} \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{Rd}}} &= \frac{12{,}72}{9{,}92} = 1{,}282 \\ &= \mathbf{128\ \%} \;>\; 100\ \% \\ &\Rightarrow \text{CRITERE NON VERIFIE} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

128 % : il manque 28 % de capacité. L'écart est net et ne relève pas de l'arrondi.

Ordre de grandeur : Un taux compris entre 80 et 100 % caractérise un dimensionnement bien optimisé. 128 % est un dépassement franc, pas une marge d'incertitude.
Impact sur la suite : Le verdict est défavorable dès l'état initial. La question 3 dira si la classe de service 2 aggrave encore la situation.
Cohérence : La solive était sous-dimensionnée dès l'origine, indépendamment de toute question d'humidité. Le changement d'affectation n'est pas la cause du problème.
Attention : Avec l'erreur classique \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \), on annoncerait un taux de 149 %. Le diagnostic « insuffisant » resterait juste, mais l'ampleur serait surestimée — et la solution prescrite surdimensionnée.
Comparaison : Une section 80 × 280 donnerait \( W_{\text{y}} = 1\,045\,333 \) mm³ et \( M_{\text{Rd}} = 13{,}51 \) kN·m, soit un taux de 94 %. Deux crans de hauteur suffisent à rétablir la conformité.

Remarque pédagogique : Ce résultat est pédagogiquement précieux : l'exercice porte sur l'humidité, et pourtant le premier problème découvert n'a rien à voir avec elle. C'est une situation d'expertise très réaliste — on vous appelle pour un changement d'affectation, et vous découvrez un défaut préexistant. Faites-en tirer la leçon aux étudiants : une étude ne se limite jamais à la question posée, elle vérifie d'abord que l'existant est conforme à son état initial.

RÉSULTAT FINAL

Taux de travail ELU = 128 % — NON VÉRIFIÉ

"La solive était déjà insuffisante avant même le changement d'affectation !"

Question 3 : La classe de service 2 change-t-elle la résistance ?

Dans la tête de l'ingénieur

"La question semble triviale : l'ambiance devient humide, donc le bois s'affaiblit, donc je recalcule et j'annonce une perte. C'est exactement le raisonnement qu'il ne faut pas tenir. Un ingénieur ne déduit pas une valeur normative d'une intuition physique : il ouvre le tableau. Et quand j'ouvre le tableau 3.1 à la ligne du bois massif, je constate que les colonnes des classes de service 1 et 2 sont identiques — c'est la classe 3 seule qui est pénalisée. Ma perte de résistance est donc nulle. Ce n'est pas une anomalie : la norme considère qu'entre un intérieur chauffé et un local abrité non chauffé, l'écart d'humidité du bois ne modifie pas significativement sa résistance. En revanche, elle modifie considérablement son fluage."

Observation : Le tableau 3.1 comporte pour le bois massif trois colonnes, mais les deux premières — classes de service 1 et 2 — portent les mêmes valeurs. Cette structure est un choix délibéré de la norme, pas un raccourci d'édition.
Analyse du risque : Le risque ici n'est pas l'erreur de calcul mais l'erreur de raisonnement : inventer une pénalité qui n'existe pas. Un étudiant qui « trouve » 10 % de perte a extrapolé au lieu de lire, et ce réflexe le trahira sur des sujets moins visibles.
Choix stratégique : Je refais le calcul malgré tout, en affichant chaque terme. Constater l'égalité par le calcul a une valeur pédagogique supérieure à la simple affirmation : l'étudiant voit que rien ne bouge.
Alternative : J'aurais pu conclure en une ligne « aucun changement, voir tableau ». Je l'écarte : la question suivante repose entièrement sur la compréhension du contraste entre les tableaux 3.1 et 3.2, et ce contraste doit être établi ici.
Objectif visé : Faire comprendre que l'humidité agit sur deux registres distincts, et que l'Eurocode 5 les traite par deux coefficients séparés. Confondre les deux est l'erreur conceptuelle majeure du calcul bois.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \) — inchangé · \( M_{\text{Rd}} = 9{,}92 \) kN·m · perte de résistance = 0 %

Rappel Théorique : ce que l'humidité pénalise, et ce qu'elle ne pénalise pas

L'Eurocode 5 traite l'humidité par deux mécanismes indépendants, portés par deux coefficients et deux tableaux distincts. Les confondre conduit soit à surdimensionner sans raison, soit à ignorer un problème réel.

Principe 1 — les classes de service décrivent une ambiance, pas un matériau : Classe 1, intérieur chauffé, humidité du bois de l'ordre de 12 %. Classe 2, abrité ou non chauffé, jusqu'à 20 %. Classe 3, exposé, au-delà. Le classement se fait sur l'environnement, indépendamment de l'essence.
Principe 2 — le tableau 3.1 ne sépare pas les classes 1 et 2 : Pour le bois massif, le lamellé-collé et le LVL, les valeurs de \( k_{\text{mod}} \) sont identiques en classes 1 et 2. Seule la classe 3 subit un abattement, de l'ordre de 15 à 20 % selon la durée de charge.
Principe 3 — le tableau 3.2 les sépare nettement : \( k_{\text{def}} \) passe de 0,60 en classe 1 à 0,80 en classe 2, puis bondit à 2,00 en classe 3. L'humidité agit donc massivement sur la déformation différée, pas sur la résistance.
Principe 4 — la justification physique du choix normatif : Entre 12 % et 20 % d'humidité, la perte de résistance instantanée du bois existe mais reste modérée et couverte par les coefficients partiels. En revanche, l'eau agit comme un plastifiant sur les parois cellulaires : le fluage, lui, s'accélère très nettement.
Principe 5 — conséquence de conception : Dans un local humide, ce n'est pas la résistance qui pilotera le dimensionnement mais la flèche. Un projeteur expérimenté vérifie l'ELS en premier sur ce type d'ouvrage, sachant que c'est lui qui gouvernera.

Équations Fondamentales

Aucune formule nouvelle dans cette question : ce sont les mêmes qu'en question 1. Toute la difficulté réside dans la lecture du tableau et dans l'interprétation du résultat.

Lecture du tableau 3.1 pour le bois massif :

Le coefficient dépend de deux entrées croisées : la classe de durée de l'action en ligne, la classe de service en colonne.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la seule façon correcte d'obtenir \( k_{\text{mod}} \) est de lire le tableau au croisement des deux entrées. Il n'existe ni formule analytique, ni interpolation, ni règle de trois : c'est une donnée normative tabulée, issue de campagnes d'essais.

Contexte de validité : Ligne « bois massif ». Les panneaux dérivés — contreplaqué, OSB, particules — ont leurs propres lignes, avec des valeurs sensiblement plus faibles.
Avantage : Aucune ambiguïté : à situation donnée, le coefficient est unique et vérifiable par n'importe quel contrôleur.
Paramètre clé : La classe de durée, qui fait varier le coefficient de 0,60 à 1,10 en classes 1 et 2 — bien davantage que la classe de service.
Vérification : Si votre valeur en classe 2 diffère de celle de la classe 1 pour un bois massif, vous avez changé de ligne par inadvertance.
Limite : Le tableau ne couvre pas les cas d'humidification accidentelle prolongée — dégât des eaux, défaut d'étanchéité. Ces situations relèvent d'une expertise, pas du calcul courant.

\[ \begin{aligned} k_{\text{mod}}\bigl(\text{classe 1, longue duree}\bigr) = k_{\text{mod}}\bigl(\text{classe 2, longue duree}\bigr) = 0{,}70 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : entre un salon chauffé et une buanderie non chauffée, la norme considère que la résistance du bois massif ne change pas. Ce serait faux pour un abri de jardin exposé à la pluie — la classe 3 — où l'abattement devient réel. La frontière normative se situe entre l'abrité et l'exposé, pas entre le chauffé et le non chauffé.

Décomposition des termes :

Classe de service 1 : intérieur chauffé, humidité du bois environ 12 %, unité : sans objet
Classe de service 2 : abrité ou non chauffé, humidité jusqu'à 20 %, unité : sans objet
Classe de service 3 : exposé aux intempéries, seule classe pénalisée sur \( k_{\text{mod}} \), unité : sans objet
Longue durée : classe de durée de l'action dominante de la combinaison, unité : sans objet
\( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \) : valeur lue au croisement des deux entrées, unité : sans dimension

Quantification de la perte de résistance :

Le rapport des deux moments résistants exprime directement l'effet du changement de classe.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la question demande une quantification, pas une appréciation. Répondre « la résistance ne change pas » est juste ; répondre « la perte est de 0,0 % » est démontré. Dans une note de calculs, la seconde formulation est seule recevable.

Contexte de validité : Comparaison à section, matériau et combinaison identiques. Seule la classe de service varie — c'est une comparaison toutes choses égales par ailleurs.
Avantage : Un pourcentage se communique immédiatement à un maître d'ouvrage, là où deux valeurs en kN·m demandent une interprétation.
Paramètre clé : Le rapport des \( k_{\text{mod}} \) — puisque \( W_{\text{y}} \), \( f_{\text{m},\text{k}} \) et \( \gamma_{\text{M}} \) sont strictement identiques dans les deux situations.
Vérification : La perte doit être nulle. Toute autre valeur signale une lecture erronée du tableau ou un changement involontaire d'hypothèse.
Limite : Ce résultat est propre au bois massif et au passage 1 vers 2. Le même raisonnement en classe 3 donnerait une perte réelle d'environ 21 %.

\[ \begin{aligned} \text{perte} = 1 - \frac{M_{\text{Rd},\text{cl.2}}}{M_{\text{Rd},\text{cl.1}}} = 1 - \frac{k_{\text{mod},\text{cl.2}}}{k_{\text{mod},\text{cl.1}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : puisque tout le reste est identique, la perte de capacité se réduit au rapport des deux coefficients de modification. Ce rapport valant exactement 1, la perte est nulle — et l'on peut l'affirmer sans même effectuer le second calcul. C'est un raisonnement d'ingénieur : identifier ce qui varie avant de calculer.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{Rd},\text{cl.1}} \) : moment résistant en classe de service 1, unité : kN·m
\( M_{\text{Rd},\text{cl.2}} \) : moment résistant en classe de service 2, unité : kN·m
\( W_{\text{y}} \) : module de flexion, identique dans les deux cas, unité : mm³
\( f_{\text{m},\text{k}} \) et \( \gamma_{\text{M}} \) : caractéristique du matériau et coefficient partiel, inchangés, unité : N/mm² et sans dimension
perte : réduction relative de capacité, unité : pourcentage

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'inventer une pénalité : puisque l'ambiance devient humide, ils appliquent d'autorité un abattement — souvent celui de la classe 3 — sans avoir ouvert le tableau..."

L'approche d'ingénieur : C'est une erreur de méthode et non de calcul, donc bien plus grave : elle révèle qu'on substitue son intuition à la norme.

L'erreur : Appliquer \( k_{\text{mod}} = 0{,}55 \) — la valeur de la classe 3 en longue durée — donnerait \( M_{\text{Rd}} = 7{,}80 \) kN·m et une perte fictive de 21 %, sur un local qui n'est pas exposé aux intempéries.
La bonne méthode : Toujours ouvrir le tableau, repérer la ligne du matériau, puis croiser durée et classe de service. Trois gestes, dans cet ordre, sans raccourci.
L'astuce de pro : Avant tout recalcul, demandez-vous quelles grandeurs ont réellement changé. Ici, une seule entrée du tableau bouge — et elle ne change pas la valeur lue. Le calcul devient superflu, seul le constat compte.
Le moyen mnémotechnique : « La résistance ignore la buanderie, le fluage non » — la frontière du \( k_{\text{mod}} \) se situe à l'exposition aux intempéries, celle du \( k_{\text{def}} \) beaucoup plus tôt.
L'impact direct : Un bureau d'études qui invente cette pénalité prescrit un renforcement inutile, avec le coût et les travaux associés — et il passe à côté du vrai problème, qui est la flèche.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( k_{\text{mod}} \) : grandeur sans unité , lue directement dans le tableau 3.1
\( W_{\text{y}} \) : repris en mm³ depuis la question 1, inchangé
\( f_{\text{m},\text{k}} \) : en N/mm² , propriété du C24 indépendante de l'ambiance
\( M_{\text{Rd}} \) : obtenu en N·mm puis converti en kN·m
Perte : rapport sans unité , exprimé en pourcentage

Cette question ne demande aucun calcul nouveau : tous les termes sont déjà connus. Le travail consiste à identifier ce qui change et à constater que rien ne change. C'est une compétence à part entière, et beaucoup plus utile en pratique que la capacité à enchaîner des opérations : un projeteur passe l'essentiel de son temps à déterminer quelles hypothèses sont affectées par une modification de projet.

1. Résolution Numérique Lecture du coefficient en classe de service 2

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir par la lecture, et non par supposition, la valeur applicable dans le nouvel environnement. C'est l'unique donnée susceptible d'avoir changé.

Méthodologie du calcul :

On reprend le tableau 3.1 en changeant uniquement la colonne, la ligne « bois massif » et la classe de durée « longue » restant identiques.

Substitution : Bois massif, action de longue durée, classe de service 2.
Piège évité : Ne pas glisser vers la colonne de la classe 3, qui donnerait 0,55. Le local est abrité, il relève bien de la classe 2.
Hypothèse validée : La combinaison de charges est inchangée : la règle de la plus courte durée donne toujours « longue durée ».
Vérification croisée : Les deux colonnes du tableau affichent la même valeur pour chacune des cinq classes de durée. La lecture est sans ambiguïté.
Finalité : Disposer de la valeur à injecter dans le recalcul du moment résistant.

\[ \begin{aligned} k_{\text{mod}}\bigl(\text{bois massif, classe 2, longue duree}\bigr) = \mathbf{0{,}70} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,70 — exactement la valeur retenue en question 1. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Les cinq classes de durée donnent 0,60 / 0,70 / 0,80 / 0,90 / 1,10 en classe de service 2, pour le bois massif.
Impact sur la suite : Cette valeur sera injectée telle quelle dans le recalcul du moment résistant. Le résultat est donc prévisible avant même de poser le calcul.
Cohérence : En classe 3, la même lecture donnerait 0,55 : là, l'écart serait réel et atteindrait 21 %. La frontière entre classe 2 et classe 3 est donc bien plus lourde de conséquences que celle entre 1 et 2.
Attention : Ce résultat vaut pour le bois massif. Certains panneaux dérivés voient au contraire leur \( k_{\text{mod}} \) chuter dès la classe 2 : la lecture de la bonne ligne est essentielle.
Comparaison : Un contreplaqué en classe 2 sous charge de longue durée descend nettement plus bas que le bois massif. Le matériau compte autant que l'ambiance.

Remarque pédagogique : Faites lire la valeur avant d'annoncer la conclusion. L'étudiant qui cherche lui-même la case du tableau retient la méthode ; celui à qui l'on donne le résultat retient un chiffre. La différence se voit à l'examen, où le tableau est fourni mais où la ligne à choisir ne l'est pas.

Écart entre les deux classes de service

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer ce que le changement d'ambiance modifie sur le coefficient, plutôt que de se contenter d'un constat qualitatif. Un écart nul, écrit noir sur blanc, est un résultat en soi.

Méthodologie du calcul :

Simple différence entre la valeur lue en question 1 et celle qui vient d'être lue. La démarche paraît triviale ; elle est pourtant ce qui distingue une note traçable d'une affirmation.

Substitution : \( k_{\text{mod},\text{cl.1}} = 0{,}70 \) de la question 1 et \( k_{\text{mod},\text{cl.2}} = 0{,}70 \) de la lecture précédente.
Piège évité : Ne pas conclure « il n'y a rien à calculer ». L'écart nul doit être établi, car c'est lui qui justifie de ne pas reprendre l'ELU.
Hypothèse validée : Les deux valeurs proviennent de la même ligne du tableau 3.1 et de la même classe de durée. La différence a donc un sens.
Vérification croisée : Le rapport \( 0{,}70/0{,}70 = 1{,}00 \) confirme l'écart nul par une seconde voie.
Finalité : Justifier que le moment résistant sera rigoureusement inchangé, ce que le calcul suivant confirmera par le chiffre.

\[ \begin{aligned} \Delta k_{\text{mod}} &= k_{\text{mod},\text{cl.2}} - k_{\text{mod},\text{cl.1}} \\ &= 0{,}70 - 0{,}70 \\ &= \mathbf{0} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Aucune variation. Ce résultat, qui surprend toujours, mérite d'être situé par rapport aux autres classes.

Ordre de grandeur : Un écart exactement nul, et non « négligeable » : les deux colonnes du tableau 3.1 sont identiques pour les cinq classes de durée.
Impact sur la suite : Le moment résistant sera rigoureusement inchangé. Toute la question de l'humidité se reporte donc sur l'ELS, objet de la question 4.
Cohérence : Le passage en classe 3 donnerait \( \Delta k_{\text{mod}} = -0{,}15 \), soit une perte de résistance de 21 %. L'Eurocode ne pénalise donc pas l'humidité de façon continue, mais par seuils.
Attention : Un écart nul sur \( k_{\text{mod}} \) n'autorise pas à conclure que l'humidité est sans effet : le coefficient de fluage \( k_{\text{def}} \), lui, passe de 0,60 à 0,80.
Comparaison : Sur le tableau 3.2, la même différence donnerait +0,20 sur \( k_{\text{def}} \), soit un tiers de plus. Les deux tableaux racontent des histoires opposées.

Remarque pédagogique : Faites projeter le tableau 3.1 en cours et demandez aux étudiants de surligner les deux premières colonnes. La découverte qu'elles sont identiques provoque systématiquement une réaction — et c'est précisément cette surprise qui ancre la notion. Enchaînez immédiatement sur le tableau 3.2, où la même comparaison donne un résultat opposé : le contraste des deux tableaux, vu côte à côte, vaut mieux qu'une heure d'explication.

Recalcul du moment résistant en classe de service 2

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour démontrer le résultat au lieu de l'affirmer. Une note de calculs qui écrit « inchangé » sans le montrer est une note que le contrôleur refera lui-même.

Méthodologie du calcul :

On reprend intégralement le calcul de la question 1 avec la valeur relevée en classe de service 2, sans sauter d'étape et sans invoquer le résultat précédent.

Substitution : \( W_{\text{y}} = 768\,000 \) mm³, \( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \), \( f_{\text{m},\text{k}} = 24 \) N/mm², \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \).
Piège évité : Ne pas modifier \( \gamma_{\text{M}} \) : le coefficient partiel ne dépend pas de la classe de service, seulement du type de produit bois.
Hypothèse validée : La section reste 80 × 240 mm : le changement d'affectation ne modifie évidemment pas la géométrie.
Vérification croisée : Tous les termes étant identiques à ceux de la question 1, le résultat doit être strictement égal à 9,92 kN·m.
Finalité : Disposer de la capacité en classe 2 pour la comparer à celle de la classe 1.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Rd},\text{cl.2}} &= W_{\text{y}}\;\frac{k_{\text{mod}}\;f_{\text{m},\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} = 768\,000 \times \frac{0{,}70 \times 24}{1{,}30} \\ &= 768\,000 \times 12{,}923 \\ &= \mathbf{9{,}92} \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

9,92 kN·m, soit très exactement la valeur de la question 1. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Identique au chiffre de la question 1, à la décimale près. Ce n'est pas une coïncidence mais une conséquence directe de la lecture du tableau.
Impact sur la suite : Le taux de travail ELU reste à 128 %. Le problème de résistance existait avant et persiste — il est indépendant du changement d'affectation.
Cohérence : Le résultat est conforme à la lecture du tableau et confirme l'analyse préalable. Aucune surprise, seulement une confirmation numérique.
Attention : La vérification à l'ELU est donc close : rien ne bouge de ce côté. Ce serait une erreur d'en conclure que l'exercice est terminé.
Comparaison : En classe 3, \( M_{\text{Rd}} \) tomberait à 7,80 kN·m et le taux ELU grimperait à 163 %. C'est là que la résistance devient réellement sensible à l'ambiance.

Remarque pédagogique : Exigez que le calcul soit réécrit en entier, même quand le résultat est connu d'avance. C'est une habitude de note de calculs : le lecteur doit pouvoir vérifier chaque ligne sans remonter trois pages plus haut. Un « idem question 1 » fait gagner trente secondes à l'étudiant et en coûte dix minutes au contrôleur.

Perte de résistance due au changement de classe

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour répondre à la question posée par le maître d'ouvrage sous la forme qu'il attend : un pourcentage. « Combien coûte le passage en buanderie ? » appelle un chiffre, pas un raisonnement.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport des deux capacités et on le retranche à 1. Le résultat se lit directement comme une perte relative.

Substitution : \( M_{\text{Rd},\text{cl.2}} = 9{,}92 \) kN·m du calcul précédent et \( M_{\text{Rd},\text{cl.1}} = 9{,}92 \) kN·m de la question 1.
Piège évité : Bien placer la classe 1 au dénominateur : c'est l'état de référence. L'inverser changerait le signe et le sens de la phrase.
Hypothèse validée : Les deux moments résistants portent sur la même section et la même combinaison. Seule l'ambiance diffère, donc le rapport isole bien son effet.
Vérification croisée : Le rapport valant exactement 1, la perte doit être nulle. Elle se retrouve aussi directement sur le rapport des \( k_{\text{mod}} \), tous les autres facteurs se simplifiant.
Finalité : Clore définitivement la question de la résistance, pour concentrer la question 4 sur la déformation.

\[ \begin{aligned} \text{perte} &= 1 - \frac{M_{\text{Rd},\text{cl.2}}}{M_{\text{Rd},\text{cl.1}}} = 1 - \frac{9{,}92}{9{,}92} \\ &= 1 - 1{,}00 \\ &= \mathbf{0{,}0\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,0 % de perte. Le passage en buanderie ne coûte rien en résistance. Reste à comprendre où il coûte réellement.

Ordre de grandeur : Zéro, exactement. Ce n'est pas un arrondi : les deux coefficients sont identiques par construction du tableau.
Impact sur la suite : C'est la réponse à la question 3. Elle autorise à ne pas reprendre la vérification de l'ELU et à passer directement à l'ELS.
Cohérence : Tous les facteurs autres que \( k_{\text{mod}} \) se simplifient dans le rapport : la perte se réduit à \( 1 - k_{\text{mod},\text{cl.2}}/k_{\text{mod},\text{cl.1}} \), ce qui confirme le zéro par une seconde voie.
Attention : Ne pas en conclure que l'humidité est sans effet. La question 4 va montrer une dégradation de 8,8 % sur la flèche finale — modeste en apparence, mais sur un critère déjà largement dépassé.
Comparaison : Le même calcul entre classe 1 et classe 3 donnerait une perte de 21 %. L'Eurocode traite donc l'humidité par seuils, et non de façon continue.

Remarque pédagogique : Cette question est l'occasion d'enseigner une posture professionnelle : une question dont la réponse est « rien ne change » est une vraie question, et sa réponse doit être justifiée avec la même rigueur qu'une autre. En expertise, démontrer qu'un facteur est sans effet a exactement la même valeur que démontrer qu'il en a un — cela évite des travaux inutiles, et cela s'écrit noir sur blanc dans le rapport.

RÉSULTAT FINAL

Perte de résistance = 0,0 % — \( M_{\text{Rd}} \) inchangé

"La pénalité de l'humidité se joue ailleurs : rendez-vous à la question 4 !"

Question 4 : Flèche finale avec fluage et avis technique

Dans la tête de l'ingénieur

"Nous y voilà : c'est ici que l'humidité montre enfin ce qu'elle coûte. Le bois flue — il continue de se déformer pendant des années sous une charge qui, elle, ne bouge pas. Un plancher qui affiche 10 mm à la mise en service peut en afficher 25 après quinze ans, sans qu'aucune charge n'ait été ajoutée. Et ce fluage est fortement accéléré par l'humidité. Deux précautions me guident. D'abord, je change complètement de jeu de valeurs : à l'ELS, plus aucune pondération, plus de \( \gamma_{\text{M}} \), plus de \( k_{\text{mod}} \) — on travaille avec les charges réelles et le module moyen. Ensuite, je traite les deux charges différemment : la permanente flue intégralement, l'exploitation seulement pour sa part quasi-permanente."

Observation : La portée intervient à la puissance 4 dans la flèche, contre une puissance 2 dans le moment. Une solive de 4,50 m est donc bien plus critique vis-à-vis de la déformation que de la résistance — et c'est presque toujours l'ELS qui gouverne en plancher bois.
Analyse du risque : Une flèche excessive ne provoque pas d'effondrement, mais elle rend l'ouvrage inutilisable : cloisons fissurées, carrelage désolidarisé, portes qui coincent, sensation de plancher « mou ». Ce sont des désordres qui se voient et déclenchent des litiges.
Choix stratégique : J'applique le § 2.2.3 de l'EN 1995-1-1 avec les deux termes distincts, et je calcule les deux classes de service pour isoler l'effet propre du changement d'affectation.
Alternative : J'aurais pu retenir une limite plus sévère, L/300 ou L/500, comme l'exigent certains maîtres d'ouvrage sous cloisons fragiles. Je conserve L/250, valeur de l'énoncé, en signalant que le choix relève du contrat et non de la norme seule.
Objectif visé : Produire un avis technique qui distingue nettement ce qui relève de la sécurité — l'ELU, déjà défaillant — de ce qui relève de l'aptitude au service, et qui hiérarchise les actions à mener.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( u_{\text{inst},G} = 7{,}90 \) mm · \( u_{\text{inst},Q} = 10{,}53 \) mm · \( u_{\text{fin}} \) = 25,07 mm en classe 1 et 27,28 mm en classe 2 · limite 18 mm · NON VÉRIFIÉ

Rappel Théorique : le fluage du bois et la flèche à long terme

Le fluage est le phénomène qui distingue le plus nettement le calcul bois de celui de l'acier. L'ignorer conduit à des planchers conformes sur le papier et inacceptables à l'usage après quelques années.

Principe 1 — le fluage est une déformation différée, pas un tassement : Sous charge constante, les chaînes de cellulose et la lignine se réorganisent lentement. La déformation croît d'abord vite, puis de plus en plus lentement, et se stabilise après plusieurs années. Elle est partiellement irréversible.
Principe 2 — l'eau agit comme un plastifiant : Les molécules d'eau s'insèrent entre les chaînes moléculaires et facilitent leur glissement. C'est pourquoi \( k_{\text{def}} \) passe de 0,60 à 0,80 entre classes 1 et 2, et bondit à 2,00 en classe 3 — le fluage y triple la flèche instantanée.
Principe 3 — les deux charges ne fluent pas de la même façon : La charge permanente est présente en permanence : son fluage se développe intégralement, d'où le terme \( (1 + k_{\text{def}}) \). La charge d'exploitation n'est présente qu'une fraction du temps, quantifiée par \( \psi_{2} \), d'où le terme \( (1 + \psi_{2}\,k_{\text{def}}) \).
Principe 4 — à l'ELS, aucune pondération : On utilise les charges caractéristiques et le module moyen \( E_{0,\text{mean}} \), et non le module caractéristique. La logique est différente de l'ELU : on ne cherche pas la sécurité mais le comportement probable de l'ouvrage.
Principe 5 — la limite de flèche est un choix, pas une loi : L'Eurocode 5 propose des plages indicatives, l'annexe nationale et le marché fixent la valeur. L/250 est courant pour un plancher sans cloison fragile ; on descend à L/500 sous carrelage ou cloison plâtre.

Équations Fondamentales

Une formule de résistance des matériaux, puis une formule propre à l'Eurocode 5 qui lui ajoute la dimension du temps. C'est l'articulation entre les deux qui fait la spécificité du calcul bois.

Moment quadratique d'une section rectangulaire :

Il traduit la rigidité de la forme vis-à-vis de la flexion — l'équivalent, pour la déformation, de ce que le module de flexion est pour la résistance.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la flèche fait intervenir la rigidité de flexion \( E\,I \), et non le module de flexion \( W \). Ce sont deux grandeurs géométriques distinctes : \( W_{\text{y}} \) fait apparaître \( h^{2} \), \( I_{\text{y}} \) fait apparaître \( h^{3} \). Les confondre est l'erreur de géométrie la plus fréquente en début d'apprentissage.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine, flexion autour de l'axe fort, matériau supposé homogène sur la hauteur.
Avantage : Purement géométrique : indépendant du matériau, de l'humidité et de la durée de charge. Il ne sera donc calculé qu'une seule fois pour les deux classes de service.
Paramètre clé : La hauteur au cube. C'est le levier le plus puissant de tout le dimensionnement bois : 10 % de hauteur en plus donnent 33 % de rigidité en plus.
Vérification : La relation \( I_{\text{y}} = W_{\text{y}} \times h/2 \) fournit un contrôle immédiat : \( 768\,000 \times 120 = 92\,160\,000 \) mm⁴.
Limite : Elle suppose la section pleine et homogène. Pour une poutre en I ou une section composite, il faut décomposer et appliquer le théorème de Huygens.

\[ \begin{aligned} I_{\text{y}} = \frac{b\,h^{3}}{12} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici combien cette forme résiste à être courbée. Le cube sur la hauteur vient de ce que chaque fibre contribue proportionnellement au carré de sa distance à l'axe neutre, et que le nombre de fibres croît lui-même avec la hauteur. C'est la raison mécanique pour laquelle une solive se pose sur chant.

Décomposition des termes :

\( I_{\text{y}} \) : moment quadratique autour de l'axe fort, unité : mm⁴
\( b \) : largeur de la section, 80 mm ici, unité : mm
\( h \) : hauteur de la section, 240 mm ici, unité : mm
\( h^{3} \) : terme dominant, vaut 13 824 000 mm³ ici, unité : mm³
\( 12 \) : constante propre à la section rectangulaire pleine, unité : sans dimension

Flèche instantanée sous charge uniformément répartie :

C'est la déformation immédiate, celle que l'on mesurerait au décintrement, avant tout effet du temps.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est la solution exacte de l'équation de la déformée pour une poutre isostatique sous charge répartie. Elle ne comporte aucune approximation, et le facteur \( 5/384 \) provient directement de la double intégration du moment.

Contexte de validité : Poutre isostatique, charge uniformément répartie, matériau élastique linéaire. Le bois vérifie bien cette dernière hypothèse aux niveaux de contrainte de service.
Avantage : On peut calculer séparément la flèche due à G et celle due à Q, ce qui est indispensable puisque le fluage les traite différemment.
Paramètre clé : La portée à la puissance 4. Allonger la solive de 10 % augmente la flèche de 46 % — c'est le paramètre le plus sensible de tout le calcul bois.
Vérification : Le rapport des deux flèches doit être égal au rapport des deux charges : \( 10{,}53/7{,}90 = 1{,}333 = 2{,}0/1{,}5 \). Contrôle immédiat.
Limite : Elle néglige la déformation d'effort tranchant, acceptable pour un élancement courant. Pour une poutre très courte et haute, il faudrait l'ajouter.

\[ \begin{aligned} u_{\text{inst}} = \frac{5\,q\,L^{4}}{384\,E_{0,\text{mean}}\,I_{\text{y}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la poutre s'affaisse d'autant plus que la charge est forte et la portée longue, et d'autant moins qu'elle est rigide. Le cube sur la hauteur contenu dans \( I_{\text{y}} \) explique pourquoi, en plancher bois, on gagne toujours plus à augmenter la hauteur qu'à changer d'essence : passer de C24 à C30 n'améliore le module que de 9 %, alors que 2 cm de hauteur en plus apportent 26 %.

Décomposition des termes :

\( u_{\text{inst}} \) : flèche instantanée à mi-portée, unité : mm
\( q \) : charge répartie caractéristique, non pondérée, unité : N/mm
\( L \) : portée entre appuis, à exprimer en mm, unité : mm
\( E_{0,\text{mean}} \) : module axial moyen, 11 000 N/mm² pour le C24, unité : N/mm²
\( I_{\text{y}} \) : moment quadratique de la section, issu de la formule ci-dessus, unité : mm⁴

Flèche finale avec fluage — EN 1995-1-1 § 2.2.3 :

Elle ajoute à la flèche instantanée la part différée, développée sur toute la durée de vie de l'ouvrage.

Pourquoi cette formule ?

Parce que vérifier la seule flèche instantanée n'aurait aucun sens pour du bois : le désordre apparaîtra des années après la réception. La formule majore chaque contribution par son propre facteur de fluage, en tenant compte de la durée de présence réelle de chaque charge.

Contexte de validité : Combinaison quasi-permanente, ossature dont les éléments partagent le même comportement différé. Pour un assemblage de matériaux différents, le calcul se complique.
Avantage : La séparation des deux termes rend visible la contribution de chaque charge, ce qui oriente immédiatement vers le levier d'action le plus efficace.
Paramètre clé : \( k_{\text{def}} \), qui dépend uniquement de la classe de service et du matériau. C'est le seul terme affecté par le changement d'affectation.
Vérification : La flèche finale doit être supérieure à la somme des flèches instantanées, d'un facteur compris entre 1,3 et 1,8 en classes 1 et 2. Ici : \( 27{,}28/18{,}43 = 1{,}48 \). Cohérent.
Limite : La formule suppose une humidité stable. Des cycles répétés d'humidification et de séchage produisent un fluage mécano-sorptif bien supérieur, non couvert par ce calcul simplifié.

\[ \begin{aligned} u_{\text{fin}} = u_{\text{inst},G}\,\bigl(1 + k_{\text{def}}\bigr) + u_{\text{inst},Q}\,\bigl(1 + \psi_{2}\,k_{\text{def}}\bigr) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la charge permanente est là depuis le premier jour et jusqu'au dernier, donc elle flue de tout son poids ; la charge d'exploitation va et vient, donc seule sa fraction quasi-permanente contribue au fluage. Le coefficient \( \psi_{2} = 0{,}3 \) traduit qu'en moyenne, sur la durée de vie, environ 30 % de la charge d'exploitation d'un logement est réellement présente.

Décomposition des termes :

\( u_{\text{fin}} \) : flèche finale à long terme, celle qui est comparée à la limite, unité : mm
\( u_{\text{inst},G} \) : flèche instantanée due à la seule charge permanente, unité : mm
\( u_{\text{inst},Q} \) : flèche instantanée due à la seule charge d'exploitation, unité : mm
\( k_{\text{def}} \) : coefficient de fluage, 0,60 en classe 1 et 0,80 en classe 2, unité : sans dimension
\( \psi_{2} \) : fraction quasi-permanente de la charge d'exploitation, 0,30 en catégorie A, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'utiliser les charges pondérées de l'ELU dans le calcul de flèche, ou d'appliquer \( (1 + k_{\text{def}}) \) aux deux termes en oubliant le \( \psi_{2} \)..."

L'approche d'ingénieur : Les deux erreurs vont dans le sens sécuritaire, ce qui les rend d'autant plus difficiles à détecter — un calcul faux qui « rassure » n'alerte personne.

L'erreur : Avec les charges pondérées, on trouverait une flèche finale de l'ordre de 39 mm au lieu de 27 — soit 43 % de trop. On prescrirait un renforcement bien supérieur au nécessaire.
La bonne méthode : Se rappeler que l'ELS décrit un comportement probable, pas une situation extrême. Aucune pondération, module moyen, et deux termes traités différemment.
L'astuce de pro : Écrivez toujours les deux termes sur deux lignes séparées, avec leur facteur respectif. L'oubli du \( \psi_{2} \) devient alors visible à l'œil.
Le moyen mnémotechnique : « Le permanent flue tout, l'exploitation flue un peu » — d'où \( (1+k_{\text{def}}) \) d'un côté et \( (1+\psi_{2}k_{\text{def}}) \) de l'autre.
L'impact direct : Sur un projet réel, une flèche surestimée de 43 % conduit à passer de solives 80 × 240 à 80 × 300, ou à doubler leur nombre. Le surcoût est immédiat et totalement injustifié.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( q \) : converti de kN/m en N/mm — 1,5 kN/m vaut exactement 1,5 N/mm
\( L \) : converti en mm — 4,50 m devient 4 500 mm, à élever à la puissance 4
\( E_{0,\text{mean}} \) : en N/mm² , valeur moyenne et non caractéristique
\( I_{\text{y}} \) : en mm⁴ — attention au cube sur la hauteur
\( u \) : résultat en mm , directement comparable à la limite L/250

Une conversion mérite d'être soulignée car elle est la source d'erreur la plus fréquente : 1 kN/m vaut exactement 1 N/mm. Ce n'est pas une coïncidence — 1 000 N divisés par 1 000 mm — mais beaucoup d'étudiants convertissent malgré tout et se trompent d'un facteur mille. Une fois cette conversion admise, tout le calcul se mène en N et mm, et la flèche sort naturellement en millimètres.

1. Résolution Numérique Moment quadratique de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la flèche fait intervenir la rigidité de flexion \( E\,I \), et non le module de flexion utilisé aux questions 1 et 2. C'est une grandeur géométrique nouvelle, à établir avant toute chose.

Méthodologie du calcul :

Application directe de la formule géométrique, en travaillant en millimètres pour rester cohérent avec le module d'élasticité exprimé en N/mm².

Substitution : \( b = 80 \) mm et \( h = 240 \) mm, la solive étant posée sur chant.
Piège évité : \( I_{\text{y}} \) fait intervenir \( h^{3} \) et non \( h^{2} \) : c'est 92 160 000 mm⁴, à ne pas confondre avec le module de flexion de 768 000 mm³.
Hypothèse validée : Section pleine et homogène sur toute la portée. Aucun percement ni entaille n'est prévu.
Vérification croisée : La relation \( I_{\text{y}} = W_{\text{y}} \times h/2 \) donne \( 768\,000 \times 120 = 92\,160\,000 \) mm⁴. Les deux voies concordent.
Finalité : Cette rigidité alimentera le dénominateur des deux calculs de flèche instantanée qui suivent.

\[ \begin{aligned} I_{\text{y}} &= \frac{b\,h^{3}}{12} = \frac{80 \times 240^{3}}{12} \\ &= \frac{80 \times 13\,824\,000}{12} \\ &= \mathbf{92\,160\,000} \text{ mm}^{4} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

92 160 000 mm⁴, soit 9 216 cm⁴. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Quelques milliers de cm⁴ pour une solive de plancher courante : la valeur est parfaitement usuelle.
Impact sur la suite : Elle intervient au dénominateur de la flèche : doubler la rigidité divise la flèche par deux, à charge et portée constantes.
Cohérence : Le rapport \( I_{\text{y}}/W_{\text{y}} \) vaut exactement 120 mm, soit la demi-hauteur. C'est la vérification la plus rapide de la cohérence entre les deux grandeurs géométriques.
Attention : Posée à plat, la même section donnerait 10 240 000 mm⁴, soit neuf fois moins. L'orientation compte encore plus pour la flèche que pour la résistance.
Comparaison : Une section 80 × 300 porterait \( I_{\text{y}} \) à 180 × 10⁶ mm⁴, soit +95 % pour 6 cm de hauteur supplémentaire.

Remarque pédagogique : Faites écrire \( W_{\text{y}} \) et \( I_{\text{y}} \) côte à côte avec leurs unités, mm³ et mm⁴. La différence d'exposant n'est pas une convention : elle traduit deux questions physiques distinctes — « quelle contrainte ? » d'un côté, « quelle courbure ? » de l'autre. Un étudiant qui confond les deux ne se trompe pas de formule, il se trompe de question.

Flèche instantanée sous la charge permanente

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le fluage amplifie une flèche instantanée : sans elle, rien à majorer. Et parce que la part permanente subira un traitement différent de la part variable dans la formule de la flèche finale.

Méthodologie du calcul :

On calcule d'abord le dénominateur commun \( 384\,E_{0,\text{mean}}\,I_{\text{y}} = 3{,}8928 \times 10^{14} \) et le terme \( L^{4} = 4\,500^{4} = 4{,}100625 \times 10^{14} \), puis on injecte la seule charge permanente.

Substitution : \( g_{\text{k}} = 1{,}5 \) N/mm, \( L = 4\,500 \) mm, \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm² et \( I_{\text{y}} = 92\,160\,000 \) mm⁴.
Piège évité : Charge caractéristique non pondérée : ni 1,35 ni 1,50 n'interviennent à l'ELS. Réutiliser \( q_{\text{d}} \) de la question 2 majorerait la flèche de 35 %.
Hypothèse validée : Module moyen \( E_{0,\text{mean}} \) et non module au fractile 5 % : c'est la règle pour un calcul de déformation d'élément isolé.
Vérification croisée : Le rapport \( L^{4} / (384\,E\,I) \approx 1{,}053 \), donc la flèche vaut approximativement \( 5 \times 1{,}5 \times 1{,}053 = 7{,}9 \) mm. Le calcul mental confirme.
Finalité : Cette flèche sera majorée par le facteur \( (1 + k_{\text{def}}) \), le plus pénalisant des deux.

\[ \begin{aligned} u_{\text{inst},G} &= \frac{5\,g_{\text{k}}\,L^{4}}{384\,E_{0,\text{mean}}\,I_{\text{y}}} = \frac{5 \times 1{,}5 \times 4{,}100625 \times 10^{14}}{3{,}8928 \times 10^{14}} \\ &= \frac{30{,}7547 \times 10^{14}}{3{,}8928 \times 10^{14}} \\ &= \mathbf{7{,}90} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,90 mm sous le seul poids propre et les charges permanentes, soit environ L/570. Voyons ce que ce chiffre représente.

Ordre de grandeur : Moins d'un centimètre sous charge permanente seule : plausible pour une portée de 4,50 m, et invisible à l'œil nu.
Impact sur la suite : C'est la part qui subira le fluage en totalité, sans coefficient réducteur. Elle sera donc multipliée par 1,60 en classe 1 et par 1,80 en classe 2.
Cohérence : La flèche est proportionnelle à la charge : 1,5 N/mm donne 7,90 mm, donc 1 N/mm donnerait 5,27 mm. Ce coefficient servira au contrôle du calcul suivant.
Attention : La portée à la puissance 4 est impitoyable : ramener la portée à 4,00 m ferait chuter cette flèche à 4,93 mm, soit −38 %.
Comparaison : Avec une section 80 × 300, cette même flèche tomberait à 4,05 mm. La rigidité est le seul levier réellement efficace à portée imposée.

Remarque pédagogique : Insistez sur le changement de jeu de règles entre l'ELU et l'ELS : charges non pondérées, module moyen, aucun \( k_{\text{mod}} \), aucun \( \gamma_{\text{M}} \). Beaucoup d'étudiants enchaînent les questions sans percevoir qu'ils viennent de changer d'univers de calcul, et réutilisent mécaniquement les valeurs pondérées de la question 2.

Flèche instantanée sous la charge d'exploitation

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la part variable ne flue pas de la même façon : seule la fraction quasi permanente de cette charge, donnée par \( \psi_{2} \), reste appliquée assez longtemps pour produire du fluage.

Méthodologie du calcul :

Le dénominateur ayant déjà été établi, le second résultat se déduit du premier par simple proportionnalité à la charge. On l'écrit néanmoins en entier pour que la note reste vérifiable ligne à ligne.

Substitution : \( q_{\text{k}} = 2{,}0 \) N/mm, les autres termes étant strictement identiques au calcul précédent.
Piège évité : Ne pas appliquer \( \psi_{2} \) ici : la flèche instantanée se calcule sous la charge entière. Le coefficient \( \psi_{2} \) n'intervient que dans le terme de fluage de la flèche finale.
Hypothèse validée : Comportement élastique linéaire : les deux flèches s'additionnent et sont proportionnelles à leur charge respective.
Vérification croisée : \( u_{\text{inst},Q}/u_{\text{inst},G} = 10{,}53/7{,}90 = 1{,}333 \), soit exactement \( 2{,}0/1{,}5 \). La proportionnalité est respectée.
Finalité : Disposer de la seconde flèche instantanée, à majorer par le facteur \( (1 + \psi_{2}\,k_{\text{def}}) \).

\[ \begin{aligned} u_{\text{inst},Q} &= \frac{5\,q_{\text{k}}\,L^{4}}{384\,E_{0,\text{mean}}\,I_{\text{y}}} = \frac{5 \times 2{,}0 \times 4{,}100625 \times 10^{14}}{3{,}8928 \times 10^{14}} \\ &= \frac{41{,}0063 \times 10^{14}}{3{,}8928 \times 10^{14}} \\ &= \mathbf{10{,}53} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

10,53 mm, soit 18,43 mm cumulés avec la part permanente — déjà au-dessus de la limite de 18 mm, avant même tout effet du fluage.

Ordre de grandeur : Une flèche instantanée cumulée de l'ordre de L/244 pour une solive de plancher : c'est déjà élevé, et cela confirme le diagnostic de sous-dimensionnement.
Impact sur la suite : Le fluage ne pourra qu'aggraver une situation déjà défavorable. Le verdict ELS est acquis avant même le calcul final.
Cohérence : La charge d'exploitation, plus élevée, produit logiquement la plus grande flèche. Le rapport exact de 4/3 valide la chaîne de calcul.
Attention : Cette part est moins pénalisée par le fluage que la part permanente, puisque \( \psi_{2} = 0{,}3 \) n'en retient que 30 % pour le calcul de la déformation différée.
Comparaison : Une section 80 × 300 ramènerait le cumul instantané à 9,45 mm, soit la moitié. C'est le levier le plus direct.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que la flèche instantanée cumulée, 18,43 mm, dépasse déjà la limite de 18 mm. Le fluage n'est donc pas la cause du problème, seulement son aggravation. C'est une distinction que les étudiants font rarement spontanément, et elle est décisive pour orienter le diagnostic : si la flèche instantanée passait largement, on pourrait discuter du fluage ; ici, c'est la rigidité même de la solive qui est insuffisante.

Flèche finale en classe de service 1

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir l'état de référence : la flèche à long terme du plancher tel qu'il existe aujourd'hui, dans le local chauffé. C'est à elle que l'on comparera l'état après transformation.

Méthodologie du calcul :

On majore séparément chacune des deux flèches instantanées par son propre facteur de fluage, puis on additionne. Afficher les deux termes rend visible la contribution de chaque charge au résultat.

Substitution : \( u_{\text{inst},G} = 7{,}90 \) mm, \( u_{\text{inst},Q} = 10{,}53 \) mm, \( \psi_{2} = 0{,}30 \) et \( k_{\text{def}} = 0{,}60 \), valeur du tableau 3.2 en classe de service 1.
Piège évité : Le \( \psi_{2} \) multiplie uniquement \( k_{\text{def}} \) dans le second terme, jamais la flèche elle-même. Écrire \( \psi_{2}\,u_{\text{inst},Q}(1+k_{\text{def}}) \) serait faux.
Hypothèse validée : \( \psi_{2} = 0{,}30 \) correspond à la catégorie A, habitation. Pour un local de stockage — catégorie E — il monterait à 0,80 et changerait sensiblement le résultat.
Vérification croisée : La flèche instantanée cumulée valant 18,43 mm, un facteur d'amplification moyen de 1,36 donne bien 25,07 mm.
Finalité : Fournir la référence à laquelle sera comparée la flèche en classe de service 2.

\[ \begin{aligned} u_{\text{fin},\text{cl.1}} &= u_{\text{inst},G}\,\bigl(1 + k_{\text{def}}\bigr) + u_{\text{inst},Q}\,\bigl(1 + \psi_{2}\,k_{\text{def}}\bigr) \\ &= 7{,}90 \times (1 + 0{,}60) + 10{,}53 \times (1 + 0{,}30 \times 0{,}60) \\ &= 7{,}90 \times 1{,}60 + 10{,}53 \times 1{,}18 \\ &= 12{,}64 + 12{,}43 \\ &= \mathbf{25{,}07} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

25,07 mm dans le local chauffé, soit environ L/180. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Le fluage majore la flèche instantanée d'un facteur 1,36. Cette valeur est conforme à l'attendu pour du bois massif en ambiance sèche.
Impact sur la suite : C'est l'état actuel du plancher. Toute la question est de savoir de combien le passage en buanderie l'aggrave.
Cohérence : Les deux termes se valent presque — 12,64 contre 12,43 mm — alors que les charges instantanées différaient de 33 %. Le \( \psi_{2} \) rééquilibre les contributions.
Attention : Cette flèche existe déjà aujourd'hui, sans aucun changement d'affectation. C'est un point à annoncer clairement au maître d'ouvrage.
Comparaison : Avec une catégorie E — stockage, \( \psi_{2} = 0{,}80 \) — la flèche finale monterait à 27,68 mm dès la classe 1. L'usage du local pèse autant que son ambiance.

Remarque pédagogique : Faites calculer l'état de référence avant l'état projeté, systématiquement. C'est la seule façon d'isoler l'effet de la modification étudiée. Un étudiant qui ne calcule que l'état final sait dire « ça ne passe pas », mais reste incapable de dire ce que la transformation y a changé — qui est précisément la question posée.

Flèche finale en classe de service 2

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la seule flèche qui compte réglementairement après transformation, et pour isoler l'effet propre du changement d'affectation, objet de tout l'exercice.

Méthodologie du calcul :

On reprend la formule à l'identique en ne changeant que \( k_{\text{def}} \). Tout le reste — flèches instantanées, \( \psi_{2} \), section, portée — demeure inchangé.

Substitution : Mêmes flèches instantanées et même \( \psi_{2} \), mais \( k_{\text{def}} = 0{,}80 \), valeur du tableau 3.2 en classe de service 2.
Piège évité : Ne pas recalculer les flèches instantanées : elles ne dépendent que de \( E_{0,\text{mean}} \) et de la géométrie, pas de la classe de service. Seule la part différée est affectée.
Hypothèse validée : Buanderie fermée et chauffée par intermittence : humidité du bois pouvant atteindre 20 %, ce qui relève bien de la classe 2 et non de la classe 3.
Vérification croisée : Le rapport des deux flèches finales, \( 27{,}28/25{,}07 = 1{,}088 \), quantifie exactement le coût du passage en classe 2 : +8,8 %.
Finalité : Disposer de la flèche à confronter à la limite réglementaire.

\[ \begin{aligned} u_{\text{fin},\text{cl.2}} &= u_{\text{inst},G}\,\bigl(1 + k_{\text{def}}\bigr) + u_{\text{inst},Q}\,\bigl(1 + \psi_{2}\,k_{\text{def}}\bigr) \\ &= 7{,}90 \times (1 + 0{,}80) + 10{,}53 \times (1 + 0{,}30 \times 0{,}80) \\ &= 7{,}90 \times 1{,}80 + 10{,}53 \times 1{,}24 \\ &= 14{,}22 + 13{,}06 \\ &= \mathbf{27{,}28} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

27,28 mm contre 25,07 mm en classe 1, soit +2,21 mm. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Le fluage majore désormais la flèche instantanée d'un facteur 1,48, contre 1,36 en classe 1. La progression suit celle de \( k_{\text{def}} \).
Impact sur la suite : La flèche finale atteint L/165. Un tel affaissement — près de 3 cm au milieu de la pièce — serait parfaitement visible à l'œil nu.
Cohérence : L'effet propre de l'humidité, +8,8 %, est réel mais modeste. C'est la réponse chiffrée à la question du maître d'ouvrage.
Attention : C'est bien ici, et non sur la résistance, que l'humidité se paie. Un étudiant qui aurait arrêté l'étude après la question 3 aurait conclu à tort que le changement d'affectation est sans conséquence.
Comparaison : En classe 3, avec \( k_{\text{def}} = 2{,}00 \), la flèche finale grimperait à 40,55 mm. C'est là que le fluage devient dévastateur.

Remarque pédagogique : Le contraste entre les tableaux 3.1 et 3.2 est le cœur de l'exercice : le premier ne bouge pas entre classes 1 et 2, le second augmente d'un tiers. Faites-les surligner côte à côte — l'Eurocode 5 dit que l'humidité, dans cette plage, ne fragilise pas le bois mais le rend plus déformable.

Limite réglementaire de flèche

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une flèche n'a de sens que rapportée à une limite. Et cette limite ne vient pas de la mécanique : elle vient de l'usage du plancher et de ce qu'il supporte.

Méthodologie du calcul :

On applique la valeur recommandée par l'annexe nationale pour un plancher courant, à savoir \( L/250 \) sur la flèche finale.

Substitution : \( L = 4\,500 \) mm, portée entre nus d'appuis, divisée par le critère 250.
Piège évité : Le tableau 7.2 de l'EN 1995-1-1 propose des plages de valeurs ; c'est l'annexe nationale qui tranche. Reprendre une borne du tableau sans vérifier l'annexe est une erreur fréquente.
Hypothèse validée : Plancher sans cloison fragile et sans revêtement rigide. C'est ce qui autorise le critère le moins sévère.
Vérification croisée : \( 4\,500/250 = 18 \) : le quart de 250 étant 62,5 et \( 4\,500/250 \) revenant à \( 45/2{,}5 \), le résultat de 18 mm se contrôle de tête.
Finalité : Fournir le dénominateur commun aux deux taux de travail à l'ELS.

\[ \begin{aligned} u_{\text{lim}} &= \frac{L}{250} = \frac{4\,500}{250} \\ &= \mathbf{18{,}0} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

18,0 mm de flèche admissible. Voyons ce que ce chiffre représente et comment le situer.

Ordre de grandeur : Moins de 2 cm sur 4,50 m de portée : c'est déjà un affaissement perceptible, et pourtant c'est la limite la plus permissive du tableau.
Impact sur la suite : Les deux flèches finales, 25,07 et 27,28 mm, lui sont supérieures. Le verdict est acquis avant même le calcul des taux.
Cohérence : La flèche instantanée cumulée valait déjà 18,43 mm : la limite était franchie avant tout fluage.
Attention : Sous cloison fragile, le critère passerait à L/500 = 9 mm. Le critère de flèche dépend entièrement de ce que le plancher supporte, pas de la solive elle-même.
Comparaison : À portée de 4,00 m, la limite tomberait à 16 mm mais la flèche à 15,4 mm : le critère passerait. Réduire la portée agit sur les deux membres, et bien plus vite sur le premier.

Remarque pédagogique : Faites chercher la valeur dans l'annexe nationale, pas dans le corps de la norme. C'est l'occasion d'expliquer pourquoi les Eurocodes comportent des paramètres déterminés nationalement : le niveau de confort attendu d'un plancher est un choix de société, pas une donnée mécanique, et il varie d'un pays à l'autre.

Taux de travail à l'ELS en classe de service 1

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour délivrer le verdict de l'état de référence : le plancher, tel qu'il est aujourd'hui, respecte-t-il le critère de flèche ?

Méthodologie du calcul :

Rapport de la flèche finale à la limite, exprimé en pourcentage, sur le même principe que le taux de travail de la question 2.

Substitution : \( u_{\text{fin},\text{cl.1}} = 25{,}07 \) mm et \( u_{\text{lim}} = 18{,}0 \) mm.
Piège évité : Comparer la flèche finale, et non l'instantanée. Utiliser 18,43 mm au numérateur donnerait 102 % et masquerait complètement l'ampleur du dépassement.
Hypothèse validée : Les deux termes sont en millimètres et se rapportent à la même section, à mi-portée.
Vérification croisée : \( 18 \times 1{,}4 = 25{,}2 \), à comparer à 25,07. Le taux est bien de l'ordre de 139 %.
Finalité : Établir que le dépassement préexiste au changement d'affectation.

\[ \begin{aligned} \frac{u_{\text{fin},\text{cl.1}}}{u_{\text{lim}}} &= \frac{25{,}07}{18{,}0} = 1{,}393 \\ &= \mathbf{139\ \%} \;>\; 100\ \% \\ &\Rightarrow \text{CRITERE NON VERIFIE} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

139 % dans le local chauffé, avant toute transformation. Voyons ce que ce chiffre représente.

Ordre de grandeur : Un dépassement de 39 %, soit 7,07 mm au-delà de la limite. Ce n'est pas une marge d'incertitude.
Impact sur la suite : Le plancher était déjà non conforme à l'ELS. Le changement d'affectation ne fait qu'aggraver un défaut existant.
Cohérence : Le taux ELU valait 128 %, le taux ELS vaut 139 % : c'est bien l'ELS qui gouverne, comme souvent en plancher bois.
Attention : Une non-conformité ELS ne met pas en cause la sécurité mais l'aptitude au service : fissuration des cloisons, portes qui coincent, sensation d'inconfort à la marche.
Comparaison : Une section 80 × 300 ramènerait ce taux à 71 %. Le critère serait alors largement satisfait, y compris après transformation.

Remarque pédagogique : Faites comparer les deux taux, ELU et ELS, sur le même graphique. Voir 139 % dépasser 128 % installe durablement l'idée qu'en construction bois, c'est très souvent la déformation qui dimensionne, et non la résistance. C'est l'inverse du réflexe acquis en béton armé.

Taux de travail à l'ELS en classe de service 2

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour conclure sur l'aptitude au service après transformation et alimenter l'avis technique demandé au maître d'ouvrage.

Méthodologie du calcul :

Même rapport que précédemment, avec la flèche finale en classe 2. La limite est inchangée : elle ne dépend que de la portée et de l'usage, pas de l'ambiance.

Substitution : \( u_{\text{fin},\text{cl.2}} = 27{,}28 \) mm et \( u_{\text{lim}} = 18{,}0 \) mm.
Piège évité : Ne pas modifier la limite : \( L/250 \) reste \( L/250 \). L'humidité agit sur la flèche, jamais sur le critère.
Hypothèse validée : L'usage du local reste celui d'un plancher sans cloison fragile : une buanderie ne modifie pas cette catégorie.
Vérification croisée : L'écart avec le taux en classe 1 doit valoir \( 139 \times 1{,}088 = 151{,}2 \), cohérent avec les 152 % obtenus.
Finalité : Conclure sur l'aptitude au service et formuler les recommandations de renforcement.

\[ \begin{aligned} \frac{u_{\text{fin},\text{cl.2}}}{u_{\text{lim}}} &= \frac{27{,}28}{18{,}0} = 1{,}516 \\ &= \mathbf{152\ \%} \;>\; 100\ \% \\ &\Rightarrow \text{CRITERE NON VERIFIE} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

152 % après transformation, contre 139 % avant. Le critère est dépassé dans les deux cas, et le changement d'affectation aggrave la situation de 8,8 %.

Ordre de grandeur : Un dépassement de 52 %, soit 9,28 mm au-delà de la limite. L'affaissement dépasse le centimètre d'excédent.
Impact sur la suite : Le renforcement est nécessaire dans tous les cas, transformation ou non. C'est le message principal de l'avis technique.
Cohérence : L'effet propre de l'humidité, 13 points de taux, est réel mais modeste comparé aux 39 points de dépassement préexistants. Le changement d'affectation n'est pas la cause principale.
Attention : Sous cloison fragile, la limite passerait à 9 mm et le taux atteindrait 303 %. Vérifiez toujours ce que le plancher supporte avant de retenir un critère.
Comparaison : En classe 3, le taux grimperait à 225 %. La marche entre classe 2 et classe 3 est bien plus lourde que celle entre 1 et 2, sur la flèche comme sur la résistance.

Remarque pédagogique : Le message central de l'exercice tient dans la comparaison des deux verdicts : le changement d'affectation coûte 0 % en résistance et +8,8 % en flèche. Faites formuler cette conclusion par les étudiants eux-mêmes — elle résume à elle seule la façon dont l'Eurocode 5 traite l'humidité, et elle explique pourquoi un projeteur expérimenté vérifie l'ELS en premier sur un plancher bois en ambiance humide.

RÉSULTAT FINAL

\( u_{\text{fin}} \) classe 2 = 27,28 mm — limite 18 mm, taux 152 %

"Les deux états limites sont dépassés : la solive doit être renforcée, indépendamment de l'humidité !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — ce que la classe de service change, et ce qu'elle ne change pas

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai systématiquement vérifié les unités (notamment MPa, kN, m) avant mes applications numériques. J'ai bien distingué les calculs à l' ELU (sécurité globale) et à l' ELS (déformations et confort). J'ai compris pourquoi j'ai utilisé cette formule précise de la norme, plutôt que de l'appliquer aveuglément. J'ai choisi \( k_{\text{mod}} \) d'après l'action de plus courte durée de la combinaison, et non d'après la plus sévère. J'ai vérifié dans le tableau 3.1 que les classes de service 1 et 2 donnent la même valeur pour le bois massif. J'ai calculé la flèche avec les charges non pondérées et appliqué \( \psi_{2} \) au seul terme d'exploitation.

Avis technique — solive NON CONFORME, indépendamment du changement d'affectation. La vérification met en évidence deux non-conformités qui préexistaient à la transformation du local. À l'ELU, le moment de calcul de 12,72 kN·m dépasse le moment résistant de 9,92 kN·m, soit un taux de travail de 128 %. À l'ELS, la flèche finale atteint 25,07 mm en classe de service 1 pour une limite de 18 mm, soit 139 %. La solive 80 × 240 en C24 sur 4,50 m de portée était donc déjà insuffisante dans son état d'origine, avant toute considération d'humidité.

Le changement d'affectation n'entraîne aucune perte de résistance : pour le bois massif, le tableau 3.1 donne les mêmes valeurs de \( k_{\text{mod}} \) en classes de service 1 et 2. Seul le fluage progresse, portant la flèche finale de 25,07 à 27,28 mm — 8,8 %. L'humidité aggrave donc un problème existant sans en être la cause. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle distingue ces 8,8 % d'un défaut préexistant que personne n'avait détecté.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{\text{def}} \) — Tableau 3.2 : 0,60 en classe de service 1, 0,80 en classe 2 et 2,00 en classe 3 pour le bois massif.
\( k_{\text{cr}} \) — § 6.1.7 : valeur 0,67 retenue ici ; l'atelier JRC Bruxelles 2008 évoque par ailleurs des \( f_{v,\text{k}} \) de 2,0 et 2,5 N/mm² relevant d'une autre édition.
\( k_{\text{c},90} \) — § 6.1.5 : 1,25 et 1,50 pour le bois massif selon l'appui, 1,50 et 1,75 pour le lamellé-collé, et l'extension fixe de 30 mm.
\( \psi_{2} \) — EN 1990, Tableau A1.1 : 0,3 pour les catégories A et B.
NF EN 338 — classes de résistance : les valeurs principales des classes C24 et C30 sont celles du tableau 1 — \( f_{m,\text{k}} \), \( f_{\text{c},0,\text{k}} \), \( f_{v,\text{k}} \), \( E_{0,\text{mean}} \) et \( \rho_{\text{k}} \). La classe D40 relève du tableau des feuillus, et le \( f_{t,0,\text{k}} \) du C24 : la valeur de 14,5 retenue ici suit l'édition 2016 de la norme, quand l'édition 2003 donne 14,0.

Effets de l'humidité sur le bois

Effets de l'humidité sur le bois

Le premier mois à 1 €

Effets de l'humidité sur une solive de plancher en bois

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Résistance de calcul et moment résistant

Question 2 : Vérification à l'état limite ultime

Question 3 : Le passage en classe de service 2 change-t-il la résistance ?

Question 4 (Finale) : Flèche finale avec fluage et avis technique

Effets de l'humidité sur une solive de plancher en bois

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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