Exercice corrigé

Distance entre Deux Collines en Géodésie

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 12 juillet 2026• 87 min de lecture

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Étude de cas · Note de calculs Réf. TOPO-PLA-20

Distance entre Deux Collines en Géodésie

Deux sommets inaccessibles, une base mesurée, quatre angles : de la résolution des triangles d'appui à la distance cherchée, avec son contrôle par une voie indépendante

NiveauBTS / BUT Génie civil

DomaineTopographie · Triangulation et intersection

ThèmeLoi des sinus, théorème d'Al-Kashi, contrôle par un second quadrilatère et sensibilité angulaire

PrérequisSomme des angles d'un triangle · Loi des sinus · Théorème d'Al-Kashi · Angle horizontal entre deux visées · Classes de précision

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Deux sommets de collines doivent être reliés par une distance horizontale, mais ni l'un ni l'autre n'est accessible : impossible d'y poser un réflecteur, impossible d'y tendre une chaîne. L'opérateur dispose en revanche d'un terrain praticable où il peut établir une base, c'est-à-dire un segment dont il mesure la longueur avec soin, et depuis les deux extrémités duquel il vise les deux sommets.

Le principe est celui de l'intersection. Chaque sommet, vu depuis les deux extrémités de la base, ferme un triangle dont un côté et deux angles sont connus : ce triangle se résout entièrement. En le résolvant pour chacun des deux sommets, on obtient les distances qui les séparent d'une même extrémité de la base, et la distance cherchée devient le troisième côté d'un triangle dont on connaît alors deux côtés et l'angle qu'ils forment.

Toute la construction repose sur une hypothèse géométrique qu'il faut énoncer et non supposer : les deux sommets se trouvent du même côté de la base. C'est cette configuration, et elle seule, qui fait de l'angle entre les deux visées une différence des deux lectures. La méconnaître ne produit pas une petite imprécision mais une erreur qui dépasse la distance cherchée elle-même.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent l'étude. Le deuxième est celui qu'on oublie le plus souvent d'énoncer :

Une seule longueur mesurée : la base. Toutes les autres distances en découlent par proportionnalité, ce qui fait de sa précision le facteur d'échelle de l'ensemble de la figure.
Une hypothèse de configuration : les deux sommets sont du même côté de la base. L'angle entre les deux visées est alors la différence des deux lectures ; s'ils étaient de part et d'autre, ce serait leur somme.
Deux outils, deux emplois : la loi des sinus résout un triangle dont on connaît un côté et deux angles ; le théorème d'Al-Kashi résout celui dont on connaît deux côtés et l'angle qu'ils encadrent. Chaque situation appelle son outil.
Un contrôle réellement indépendant : la distance cherchée s'obtient aussi bien depuis la première extrémité de la base que depuis la seconde. Les deux chemins n'emploient ni les mêmes longueurs ni le même angle : leur accord est une véritable vérification.

Votre Mission :

Résoudre le triangle d'appui de chacun des deux sommets, pour obtenir les distances qui les séparent des deux extrémités de la base.

Établir l'angle entre les deux visées à une extrémité de la base, en déduire la distance entre les deux sommets par le théorème d'Al-Kashi, puis contrôler ce résultat par le même calcul conduit depuis l'autre extrémité, chiffrer la sensibilité aux mesures angulaires et l'effet d'un changement de longueur de la base.

Le grand défi : n'employer, pour chaque triangle, que les angles qui lui appartiennent, et énoncer la configuration avant de composer les visées.
Votre rôle : celui du calculateur qui transforme une base et quatre angles en une distance inaccessible, et qui la contrôle avant de la livrer.
La contrainte : des distances au millimètre, un contrôle par une voie indépendante, et une conclusion chiffrée sur la sensibilité du résultat.

SCHÉMA DE LA SITUATION TOPOGRAPHIQUE

Livrables Attendus (Checklist) :

Les deux distances du premier sommet aux extrémités de la base, avec le contrôle du triangle par le théorème d'Al-Kashi.
Les deux distances du second sommet, établies de la même manière et contrôlées de même.
L'angle entre les deux visées à la première station, et la distance entre les deux sommets.
Le contrôle par la seconde station, conduit avec l'autre angle et les deux autres distances.
La sensibilité du résultat à la précision angulaire et à la longueur de la base, chiffrée dans les deux cas.

2. Données Techniques & Normes

Cinq données suffisent : une longueur et quatre angles. La longueur est celle de la base, mesurée entre deux points accessibles ; les angles sont ceux que forment, à chaque extrémité de la base, la direction de l'autre extrémité et la direction de chacun des deux sommets. Les angles sont exprimés en degrés dans cette étude, ce qui impose de régler l'appareil de calcul en conséquence.

Trois textes encadrent le travail. Le décret du 3 mars 2006 fixe le système géodésique et la projection auxquels la base et les points déterminés doivent être rattachés. L'arrêté du 16 septembre 2003 définit les classes de précision et les critères par lesquels la qualité d'un point déterminé s'apprécie. La fiche technique T9 du Certu distingue les notions de distance et fournit l'ordre de grandeur des corrections qui séparent une longueur de terrain d'une longueur en représentation plane, ce qui permet de justifier — et non de supposer — l'hypothèse de calcul plan retenue ici.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Six relations. Les trois premières résolvent un triangle d'appui, les deux suivantes produisent la distance cherchée, la dernière en chiffre la sensibilité.

Troisième angle d'un triangle \( \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \)
Loi des sinus \( \dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{c}{\sin \gamma} \)
Côté opposé à un angle connu \( a = c \cdot \dfrac{\sin \alpha}{\sin \gamma} \)
Angle entre deux visées d'une même station \( \widehat{ACB} = \widehat{DCB} - \widehat{DCA} \)
Théorème d'Al-Kashi \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \)
Sensibilité d'un côté à l'angle opposé \( \dfrac{\mathrm{d}a}{a} = - \cot(\gamma) \, \mathrm{d}\gamma \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

BASE MESURÉE ET ANGLES HORIZONTAUX RELEVÉS

Symbole	Description	Valeur	Unité
CD	Longueur de la base, mesurée entre les deux stations accessibles	500,00	m
α₁	Angle relevé à la station C, entre la direction de D et celle du sommet A	40	degré
α₂	Angle relevé à la station C, entre la direction de D et celle du sommet B	75	degré
β₁	Angle relevé à la station D, entre la direction de C et celle du sommet A	80	degré
β₂	Angle relevé à la station D, entre la direction de C et celle du sommet B	35	degré

Conventions de calcul

Unité angulaire : le degré sexagésimal, un tour complet valant \( 360^\circ \) ; l'appareil de calcul doit être réglé en mode degrés
Correspondance : l'angle de \( 40^\circ \) vaudrait 44,4444 gon dans l'unité usuelle des carnets topographiques
Configuration : les deux sommets sont situés du même côté de la base, ce que confirme le croquis de reconnaissance
Résolution retenue : le millimètre pour les distances, le degré entier étant la résolution des angles fournis

RÉFÉRENTIEL ET CRITÈRES DE PRÉCISION

Symbole	Description	Valeur	Unité
—	Système géodésique de la France métropolitaine et projection associée, auxquels la base et les points déterminés doivent être rattachés Décret 2006-272 · art. 1er A	RGF93 · Lambert-93	—
k	Coefficient de fiabilité associé à une spécification planimétrique, où le nombre de dimensions vaut deux Arrêté 16-09-2003	2,42	—
—	Réduction d'une distance horizontale à la surface de référence géodésique, à cent mètres de hauteur moyenne Certu · fiche T9	1,6	cm / 1000 m
k₀	Facteur d'échelle du Lambert-93 à son parallèle origine, d'où découle l'altération linéaire de la représentation plane Certu · fiche T9	0,99905103	—
—	Conduite du levé à la station totale : cheminement fermé ou encadré, points doubles, contrôle régulier de l'appareil Fascicule 2 · fiche OL-STT	recommandé	—

Hypothèses de calcul retenues

Calcul plan : les quatre points sont traités comme coplanaires dans un plan horizontal ; la portée de cette hypothèse est chiffrée à la dernière question
Angles relevés : ce sont des angles horizontaux, obtenus après réduction des visées au plan
Base : sa longueur est tenue pour exacte ; elle fixe l'échelle de toute la figure
Configuration : les deux sommets sont du même côté de la base, hypothèse sans laquelle l'angle entre les visées changerait de nature
Altération linéaire : non appliquée aux résultats, le calcul restant conduit sur le terrain ; sa portée est évaluée séparément

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Trois annexes. La première recense les cas de résolution d'un triangle et l'outil qui convient à chacun. La deuxième distingue les notions de distance que la fiche technique T9 du Certu établit. La troisième rassemble les dispositions applicables au référentiel et à l'appréciation de la précision.

Les cas de résolution d'un triangle et l'outil correspondant

Éléments connus	Outil	Emploi dans cette étude
Un côté et deux angles	somme des angles, puis loi des sinus	les deux triangles d'appui, où la base et deux angles sont connus
Deux côtés et l'angle compris	théorème d'Al-Kashi	le triangle final, où la distance cherchée est le côté opposé à l'angle connu
Trois côtés	théorème d'Al-Kashi inversé	le contrôle des triangles d'appui, où le troisième côté doit restituer la base
Deux côtés et un angle non compris	loi des sinus, avec deux solutions possibles	cas non rencontré ici, et à éviter en topographie pour son ambiguïté

Le tableau explique pourquoi la méthode d'intersection procède en deux temps. Les deux triangles d'appui relèvent du premier cas : la base est connue et les deux angles à ses extrémités sont mesurés, ce qui les rend entièrement déterminés. Le triangle final relève du deuxième cas, puisque les deux côtés issus d'une même station viennent d'être calculés et que l'angle qu'ils encadrent se déduit des lectures. Le troisième cas fournit le contrôle : dans un triangle dont les trois côtés sont connus, le théorème d'Al-Kashi inversé restitue chaque angle, et il suffit de vérifier que la base retrouvée vaut bien sa longueur mesurée. Le quatrième cas est celui qu'un topographe évite : il admet en général deux triangles solutions, et il faut une information extérieure pour trancher.

Notions de distance — Certu, Géoréférencement et RGF93, fiche T9, janvier 2010

Distance et définition	Portée sur la présente étude
Distance horizontale : mesurée sur la surface de niveau passant par la hauteur moyenne des points	c'est la nature de la base mesurée et de toutes les distances calculées ici
Distance sur l'ellipsoïde : plus court chemin en suivant la surface mathématique de référence	surface intermédiaire obligatoire avant tout passage à la représentation plane
Distance en représentation plane : distance cartésienne calculée entre deux couples de coordonnées projetées	ce que produirait un calcul mené sur les coordonnées Lambert-93 des quatre points

La même fiche énonce le principe qui gouverne ces conversions : les projections conformes conservent localement les angles, tandis qu'aucune projection ne conserve les distances. Cette asymétrie a une conséquence directe pour la méthode employée ici : les quatre angles relevés se transportent sans correction d'une surface à l'autre, alors que la base et les distances calculées doivent être corrigées avant d'être confrontées à des coordonnées projetées. La correction se compose de deux termes, la réduction du terrain à la surface de référence, qui atteint 1,6 cm par kilomètre à cent mètres de hauteur moyenne, et l'altération linéaire de la projection, qui vaut moins 0,95 mètre par kilomètre au parallèle origine du Lambert-93.

Référentiel et appréciation de la précision

Disposition	Source
Le système géodésique de référence de la France métropolitaine est le RGF93, appuyé sur l'ellipsoïde IAG GRS 1980 ; la projection associée est la projection conique conforme Lambert-93	décret n° 2006-272 du 3 mars 2006, article 1er, section A
Le coefficient de fiabilité vaut 2,42 pour une spécification à deux dimensions, et une classe de précision n'est respectée que si les trois critères de conformité sont satisfaits simultanément	arrêté du 16 septembre 2003, article 5
L'emploi de la station totale s'appuie sur un cheminement fermé ou encadré, complété par des points doubles et par un contrôle régulier de l'appareil	guide d'application DT-DICT, fascicule 2, fiche OL-STT, page 255

Statut exact des grandeurs manipulées

La base est la seule longueur mesurée : toutes les autres en sont déduites et lui sont proportionnelles
Les angles relevés sont des angles horizontaux entre deux visées d'une même station : ils ne deviennent des directions qu'appliqués à une orientation connue
L' angle entre les deux sommets est une différence de deux lectures, et cette différence n'a de sens que sous l'hypothèse de configuration retenue
Les distances calculées sont des distances horizontales de terrain, non des distances en représentation plane
Le contrôle par la seconde station n'emploie ni les mêmes longueurs ni le même angle : c'est une vérification, non une identité algébrique

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche procède par décomposition. Un problème qui semble mettre en jeu quatre points se ramène à trois triangles traités l'un après l'autre : deux triangles d'appui, qui partagent la base et se résolvent indépendamment, puis un triangle final qui les relie. Les deux premières questions traitent chacune un triangle d'appui, la troisième construit le triangle final, la quatrième le contrôle et le qualifie.

Chaque triangle d'appui est contrôlé sur place : ses deux côtés calculés, combinés à l'angle qui les sépare, doivent restituer la longueur de la base. Ce contrôle n'est pas une formalité, car il emprunte un chemin de calcul différent de celui qui a produit les côtés, et il détecte donc les fautes d'exécution.

Question 1 : Le triangle d'appui du premier sommet

Loi des sinus 25 min | Accessible

But de l'étape : Résoudre entièrement le triangle formé par la base et le premier sommet, pour obtenir les deux distances qui séparent ce sommet des stations.

Énoncé : Calculer le troisième angle du triangle d'appui du premier sommet, en déduire par la loi des sinus la distance à la première station puis la distance à la seconde, et contrôler l'ensemble en vérifiant que ces deux côtés restituent la longueur de la base.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un triangle dont on connaît un côté et deux angles est entièrement déterminé : le troisième angle se déduit de la somme, puis la loi des sinus donne les deux autres côtés.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Dans la loi des sinus, le côté cherché est associé au sinus de l'angle qui lui est opposé, et le côté connu au sinus de l'angle qui lui est opposé.

Question 2 : Le triangle d'appui du second sommet

Second triangle 25 min | Intermédiaire

But de l'étape : Répéter la résolution sur le second triangle d'appui, qui partage la même base mais met en jeu deux angles différents.

Énoncé : Calculer le troisième angle du triangle d'appui du second sommet, en déduire les deux distances qui le séparent des stations, et contrôler le triangle par la même vérification que précédemment.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Ce triangle partage la base avec le précédent, mais aucun de ses angles n'est commun : il faut repartir des deux lectures qui concernent le second sommet.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Avant de calculer, classez les trois angles du triangle : le plus grand est opposé au plus grand côté, ce qui annonce l'ordre des résultats attendus.

Question 3 : L'angle au sommet C et la distance cherchée

Théorème d'Al-Kashi 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Assembler les deux triangles d'appui en un triangle final dont la distance cherchée est le côté opposé à l'angle des deux visées.

Énoncé : Déterminer l'angle entre les deux visées à la première station en justifiant l'opération par la configuration des points, puis calculer la distance entre les deux sommets par le théorème d'Al-Kashi, en détaillant la somme des carrés et le double produit.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les deux visées partent de la même station et sont repérées par rapport à la même direction de référence : leur écart angulaire est la différence des deux lectures.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le théorème d'Al-Kashi donne le carré de la longueur cherchée : la racine carrée constitue une opération à part entière, qu'il ne faut pas omettre.

Question 4 (Finale) : Le contrôle indépendant et la sensibilité du résultat

Validation et qualification 35 min | BOSS

But de l'étape : Refaire le calcul depuis la seconde station, avec l'autre angle et les deux autres distances, puis qualifier le résultat en chiffrant sa sensibilité aux mesures.

La subtilité de l'étape : tous les contrôles ne se valent pas. Reprendre le même calcul avec les mêmes nombres ne vérifie que la frappe ; refaire la démonstration depuis l'autre extrémité de la base met en jeu deux longueurs différentes et un angle différent, tout en devant produire la même distance. C'est un contrôle qui teste réellement l'exécution, et sa concordance n'est acquise d'avance qu'à la condition que les quatre triangles soient géométriquement compatibles.

Déterminer l'angle entre les deux visées à la seconde station, recalculer la distance cherchée par le théorème d'Al-Kashi, chiffrer l'écart entre les deux voies. Établir ensuite la sensibilité d'un côté à l'angle qui lui est opposé, l'effet d'un changement de longueur de la base, et la portée de l'hypothèse de calcul plan.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

À la seconde station, les deux visées sont repérées par rapport à la direction de la première : leur écart se calcule de la même manière qu'à la première station.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour la sensibilité, dérivez la loi des sinus par rapport à l'angle opposé au côté cherché : l'erreur relative fait apparaître la cotangente de cet angle.

NOTE DE CALCULS DÉTAILLÉE (PAS-À-PAS)

Distance entre Deux Collines en Géodésie

Question 1 : Le triangle d'appui du premier sommet

Dans la tête de l'ingénieur

« Le croquis porte quatre points et six segments : de quoi se perdre. Je n'en retiens qu'un seul triangle, celui que forment la base et le premier sommet. À l'intérieur de ce triangle, je connais un côté et les deux angles adjacents : c'est exactement le cas où tout se déduit. Le reste du croquis attendra. »

Observation : dans ce triangle, l'angle relevé à la seconde station vaut 80 degrés, le plus grand des deux : le côté qui lui est opposé, celui qui joint la première station au sommet, sera donc le plus long.
Analyse du risque : associer le mauvais sinus au côté cherché. La loi des sinus se lit côté sur sinus de l'angle opposé, et intervertir les deux sinus n'est signalé par aucune impossibilité de calcul.
Choix stratégique : calculer les deux côtés du triangle, et non le seul qui sera employé ensuite. Le second servira au contrôle immédiat et à la vérification indépendante de la dernière question.
Contrôle prévu : le théorème d'Al-Kashi appliqué aux deux côtés calculés doit restituer la base, longueur mesurée et donc extérieure à ce calcul.
Objectif visé : deux distances au millimètre, validées par un retour exact sur la longueur de la base.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

∠CAD = 60° · AC = 568,579 m · AD = 371,114 m · contrôle : base restituée à 500,000 m

Rappel Théorique : pourquoi un côté et deux angles suffisent

Un triangle possède six éléments : trois côtés et trois angles. Trois d'entre eux, convenablement choisis, le déterminent entièrement. Le cas d'un côté et deux angles est le plus favorable de tous, parce qu'il ne comporte aucune ambiguïté : le troisième angle se déduit immédiatement, puis les deux côtés manquants s'obtiennent par proportionnalité.

La somme des angles : elle vaut cent quatre-vingts degrés dans tout triangle plan. Deux angles connus déterminent donc le troisième sans calcul trigonométrique.
La loi des sinus : dans un triangle, le rapport d'un côté au sinus de l'angle opposé est le même pour les trois côtés. Ce rapport commun est une constante propre au triangle.
L'ordre des grandeurs : le sinus étant croissant de zéro à quatre-vingt-dix degrés, le plus grand angle d'un triangle est opposé au plus grand côté. Cette règle fournit un contrôle de plausibilité immédiat.
L'absence d'ambiguïté : contrairement au cas de deux côtés et d'un angle non compris, celui-ci n'admet qu'une seule solution. Aucune information extérieure n'est nécessaire pour trancher.
Le contrôle par le troisième côté : une fois les deux côtés calculés, le théorème d'Al-Kashi appliqué à l'angle qu'ils encadrent doit restituer le côté connu. Le chemin de calcul est différent de celui qui les a produits, ce qui donne au contrôle sa valeur.

Équations Fondamentales

Une relation qui donne le troisième angle, une relation qui produit les côtés manquants, et une relation qui contrôle le triangle en restituant le côté connu.

Troisième angle d'un triangle :

Elle donne l'angle au sommet inaccessible, opposé à la base et indispensable à la loi des sinus.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la somme des angles intérieurs d'un triangle plan est une constante, indépendante de sa forme et de ses dimensions. Deux angles mesurés suffisent donc à connaître le troisième, y compris lorsque son sommet est inaccessible.

Contexte de validité : elle suppose un triangle plan ; sur une sphère, la somme des angles dépasserait cent quatre-vingts degrés d'une quantité proportionnelle à l'aire.
Avantage : elle livre l'angle du sommet sans qu'on puisse y accéder, ce qui est précisément l'objet de la méthode d'intersection.
Paramètre clé : les deux angles mesurés, dont toute erreur se reporte intégralement sur le troisième.
Vérification : le résultat doit être strictement positif ; une valeur nulle ou négative signalerait des angles incompatibles.
Limite : un troisième angle très faible rendrait la détermination du sommet imprécise, les deux visées devenant presque parallèles.

\[ \begin{aligned} \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure sous quel angle la base est vue depuis le sommet. Plus cet angle est ouvert, mieux le sommet est déterminé : deux visées qui se coupent franchement valent mieux que deux visées presque confondues.

Décomposition des termes :

\( \gamma \) : angle au sommet inaccessible, opposé à la base, unité : degré
\( \alpha \) : angle relevé à la première station, unité : degré
\( \beta \) : angle relevé à la seconde station, unité : degré

Loi des sinus appliquée à un côté cherché :

Elle donne la longueur d'un côté à partir du côté connu et des deux angles qui leur sont opposés.

Pourquoi cette formule ?

Parce que dans un triangle, le rapport d'un côté au sinus de l'angle qui lui fait face est identique pour les trois côtés. Ce rapport commun sert de pivot : le côté connu et son angle opposé l'établissent, l'angle opposé au côté cherché le convertit en longueur.

Contexte de validité : chaque sinus doit être celui de l'angle opposé au côté qu'il accompagne, jamais celui d'un angle adjacent.
Avantage : elle fournit une longueur inaccessible à partir d'une longueur accessible et de deux angles, ce qui est le principe même de la triangulation.
Paramètre clé : le sinus de l'angle opposé au côté connu, qui figure au dénominateur : plus il est petit, plus le résultat est amplifié.
Vérification : le rapport du côté cherché au côté connu doit avoir le même sens que le rapport de leurs angles opposés.
Limite : elle est proportionnelle au côté connu : toute erreur sur la base se transmet intégralement, sans atténuation.

\[ \begin{aligned} a = c \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle transporte une échelle. La base est la seule longueur que le terrain ait livrée ; la loi des sinus la propage à tous les côtés de la figure, en proportion des sinus des angles.

Décomposition des termes :

\( a \) : côté cherché, opposé à l'angle alpha, unité : mètre
\( c \) : côté connu, ici la base mesurée, unité : mètre
\( \sin \alpha / \sin \gamma \) : rapport des sinus des angles opposés aux deux côtés, unité : sans dimension

Contrôle du triangle par le théorème d'Al-Kashi :

Elle restitue le côté connu à partir des deux côtés calculés et de l'angle qu'ils encadrent.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle emprunte un chemin de calcul entièrement différent de celui de la loi des sinus : elle met en jeu des carrés et un cosinus là où la première n'employait que des sinus. Le résultat doit pourtant coïncider avec une longueur mesurée sur le terrain.

Contexte de validité : l'angle employé doit être celui compris entre les deux côtés, et non l'un des deux autres.
Avantage : le résultat se compare à une valeur mesurée, extérieure au calcul : le contrôle n'est donc pas une simple identité.
Paramètre clé : le cosinus de l'angle compris, qui devient négatif au-delà de l'angle droit et fait alors croître le côté opposé.
Vérification : pour un angle droit, le cosinus s'annule et la relation se réduit au théorème de Pythagore.
Limite : ce contrôle ne teste pas les angles mesurés : il ne détecte qu'une faute d'exécution dans la résolution du triangle.

\[ \begin{aligned} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle généralise le théorème de Pythagore aux triangles quelconques. Le terme en cosinus mesure exactement ce que l'écart à l'angle droit ajoute ou retranche au carré du côté opposé.

Décomposition des termes :

\( c \) : côté opposé à l'angle gamma, ici la base à restituer, unité : mètre
\( a \) et \( b \) : les deux côtés encadrant l'angle gamma, unité : mètre
\( \cos \gamma \) : cosinus de l'angle compris entre les deux côtés, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« La loi des sinus met en rapport un côté et un angle : je place au numérateur le sinus de l'angle du sommet cherché, puisque c'est vers lui que je vise, et au dénominateur celui de l'angle mesuré. »

L'approche d'ingénieur : La loi des sinus associe chaque côté à l'angle qui lui est opposé, jamais à un angle adjacent ni au sommet vers lequel on vise. Le côté cherché joint la première station au sommet ; l'angle qui lui fait face est celui relevé à la seconde station. Le côté connu est la base ; l'angle qui lui fait face est celui du sommet.

L'erreur : intervertir les deux sinus, c'est-à-dire appliquer le rapport inverse de celui qu'exige la loi.
L'ampleur chiffrée : le résultat vaudrait \( 500 \times \sin(60^\circ) / \sin(80^\circ) = 439{,}693 \ \text{m} \) au lieu de 568,579 m, soit 128,886 m d'erreur, ou 22,7 pour cent.
La conséquence sur l'étude : cette distance alimente le triangle final : l'erreur se propagerait jusqu'à la distance cherchée, qu'elle fausserait de plusieurs dizaines de mètres.
Pourquoi l'erreur passe inaperçue : le calcul aboutit sans difficulté et rend une longueur plausible, inférieure à la base mais du même ordre de grandeur. Aucun signal d'alerte n'apparaît.
Le contrôle qui la détecte : la règle des grandeurs et le contrôle par Al-Kashi. Le côté cherché fait face à un angle de 80 degrés, la base à un angle de 60 degrés : le premier doit donc être le plus long. Une valeur de 439,693 m contredit cette règle, et le contrôle par Al-Kashi, conduit avec cette longueur fausse et l'autre côté correct, restituerait 409,730 m au lieu de 500,000 m pour la base.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Angles : en degrés , appareil réglé sur le mode DEG
Somme des angles d'un triangle : 180 degrés
Base et distances : en mètres , arrondies au millimètre
Sinus et cosinus : sans dimension , conservés à sept décimales

Quatre calculs : l'angle au sommet, les deux côtés du triangle, puis le contrôle par restitution de la base.

1. Résolution Numérique Angle sous lequel la base est vue depuis le premier sommet

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir l'angle opposé à la base, seul angle du triangle qui n'ait pas été mesuré et sans lequel la loi des sinus reste inapplicable.

Méthodologie du calcul :

On retranche de cent quatre-vingts degrés les deux angles relevés aux extrémités de la base.

Substitution : \( \alpha_1 = 40^\circ \) relevé à la station C et \( \beta_1 = 80^\circ \) relevé à la station D.
Piège évité : ne pas employer les angles relevés vers le second sommet : ils appartiennent à l'autre triangle et n'ont rien à faire ici.
Hypothèse validée : le triangle est plan, ce qui fixe la somme de ses angles à cent quatre-vingts degrés.
Vérification croisée : le résultat doit être strictement positif et suffisamment ouvert pour que l'intersection soit franche.
Finalité : fournir le dénominateur commun aux deux applications de la loi des sinus.

\[ \begin{aligned} \widehat{CAD} &= 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ \\ &= \mathbf{60^\circ} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La base est vue depuis le premier sommet sous un angle de 60 degrés. L'intersection des deux visées est donc franche, ce qui est la condition d'une bonne détermination du point.

Ordre de grandeur : le tiers de la somme des angles : le triangle est bien proportionné, sans angle rasant.
Impact sur la suite : son sinus figurera au dénominateur des deux calculs de côté : c'est lui qui fixe l'échelle du triangle.
Cohérence : c'est le plus petit des trois angles, ce qui fait de la base le plus petit côté du triangle.
Attention : cet angle n'a pas été mesuré : il hérite des erreurs des deux angles relevés, dont il cumule les écarts.
Comparaison : un angle de dix degrés au sommet rendrait la détermination six fois plus sensible aux erreurs angulaires, comme la dernière question le chiffrera.

Remarque pédagogique : L'angle sous lequel la base est vue depuis le point cherché s'appelle l'angle d'intersection. C'est lui qui décide de la qualité de la détermination, et un topographe le vérifie avant même de choisir l'emplacement de sa base.

Distance de la première station au premier sommet

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir le premier côté du triangle final, celui qui joint la station de calcul au premier sommet.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la base par le rapport du sinus de l'angle opposé au côté cherché au sinus de l'angle opposé à la base.

Substitution : \( CD = 500{,}00 \ \text{m} \), \( \sin(80^\circ) = 0{,}9848078 \) et \( \sin(60^\circ) = 0{,}8660254 \).
Piège évité : ne pas intervertir les deux sinus. Le côté cherché fait face à l'angle de 80 degrés, la base à celui de 60 degrés.
Hypothèse validée : la base est une distance horizontale, homogène aux distances qui en découleront.
Vérification croisée : le rapport des sinus dépassant l'unité, le résultat doit dépasser la longueur de la base.
Finalité : fournir l'un des deux côtés qui encadreront l'angle du triangle final.

\[ \begin{aligned} AC &= 500{,}00 \times \frac{\sin(80^\circ)}{\sin(60^\circ)} \\ &= 500{,}00 \times \frac{0{,}9848078}{0{,}8660254} \\ &= \mathbf{568{,}579 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le premier sommet se trouve à 568,579 m de la première station. La valeur dépasse la base de 13,7 pour cent, conformément au rapport des sinus qui vaut 1,1372.

Ordre de grandeur : supérieure à la base, comme l'exige la règle du plus grand angle opposé au plus grand côté.
Impact sur la suite : c'est le plus long des deux côtés qui encadreront l'angle du triangle final.
Cohérence : le rapport de cette distance à la base, 1,1372, égale exactement le rapport des sinus employé.
Attention : cette longueur est proportionnelle à la base : elle hérite intégralement de sa précision, sans aucune atténuation.
Comparaison : le millimètre affiché n'a de sens que par cohérence de calcul : la résolution des angles fournis, le degré entier, ne le justifie pas.

Remarque pédagogique : Écrire le rapport des sinus comme un facteur explicite, plutôt que d'enchaîner les opérations, rend immédiatement visible s'il faut attendre une longueur plus grande ou plus petite que la base.

Distance de la seconde station au premier sommet

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter la résolution du triangle et disposer du côté qui servira au contrôle indépendant de la dernière question.

Méthodologie du calcul :

On applique la même relation, en employant cette fois le sinus de l'angle relevé à la première station.

Substitution : \( CD = 500{,}00 \ \text{m} \), \( \sin(40^\circ) = 0{,}6427876 \) et \( \sin(60^\circ) = 0{,}8660254 \).
Piège évité : ne pas réutiliser le sinus de 80 degrés. Chaque côté a son propre angle opposé, et seul le dénominateur reste commun.
Hypothèse validée : le triangle est le même que précédemment : le rapport commun de la loi des sinus n'a pas changé.
Vérification croisée : le rapport des sinus étant inférieur à l'unité, le résultat doit être plus court que la base.
Finalité : permettre le contrôle immédiat du triangle et préparer la vérification indépendante finale.

\[ \begin{aligned} AD &= 500{,}00 \times \frac{\sin(40^\circ)}{\sin(60^\circ)} \\ &= 500{,}00 \times \frac{0{,}6427876}{0{,}8660254} \\ &= \mathbf{371{,}114 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le premier sommet se trouve à 371,114 m de la seconde station. Il est donc nettement plus proche de celle-ci que de la première, ce que le croquis confirme.

Ordre de grandeur : inférieure à la base, comme l'exige un angle opposé de 40 degrés, le plus petit du triangle.
Impact sur la suite : ce côté n'interviendra pas dans le calcul principal, mais il fondera le contrôle indépendant de la distance cherchée.
Cohérence : les trois côtés se classent bien dans l'ordre des angles opposés : 371,114 m face à 40 degrés, 500,000 m face à 60 degrés, 568,579 m face à 80 degrés.
Attention : calculer ce côté n'est pas superflu : sans lui, aucun contrôle du triangle ne serait possible.
Comparaison : le rapport des deux côtés calculés, 1,532, égale exactement le rapport des sinus de 80 et de 40 degrés.

Remarque pédagogique : Résoudre entièrement un triangle, même lorsqu'un seul côté sera employé, coûte une ligne de calcul et ouvre deux contrôles. C'est l'un des meilleurs rapports entre effort et sécurité en topographie.

Contrôle du triangle par restitution de la base

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier les deux côtés obtenus en les confrontant à une longueur mesurée sur le terrain, par un chemin de calcul entièrement différent.

Méthodologie du calcul :

On applique le théorème d'Al-Kashi aux deux côtés calculés et à l'angle qu'ils encadrent, celui du sommet.

Substitution : \( AC = 568{,}579 \ \text{m} \), \( AD = 371{,}114 \ \text{m} \) et \( \cos(60^\circ) = 0{,}5000000 \).
Piège évité : ne pas employer l'un des angles mesurés. L'angle encadré par les deux côtés calculés est celui du sommet, soit 60 degrés.
Hypothèse validée : les deux côtés proviennent du même triangle et l'angle employé est bien celui qu'ils encadrent.
Vérification croisée : le résultat doit restituer 500,000 m, longueur mesurée sur le terrain et non calculée.
Finalité : clore le triangle sur un contrôle qui met en jeu une donnée d'entrée.

\[ \begin{aligned} CD &= \sqrt{568{,}579^2 + 371{,}114^2 - 2 \times 568{,}579 \times 371{,}114 \times 0{,}5} \\ &= \sqrt{323282{,}1 + 137725{,}6 - 211007{,}6} \\ &= \mathbf{500{,}000 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La base est restituée à 500,000 m, exactement sa longueur mesurée. Le triangle est donc résolu sans faute d'exécution, et ses deux côtés peuvent être employés sans réserve.

Ordre de grandeur : concordance au millimètre avec la longueur mesurée, sans reliquat perceptible.
Impact sur la suite : les deux distances établies peuvent alimenter le triangle final et le contrôle indépendant.
Cohérence : le contrôle emploie des carrés et un cosinus là où les côtés ont été produits par des sinus : les deux chemins sont bien distincts.
Attention : ce contrôle valide l'exécution, non les angles mesurés : des angles faux mais cohérents entre eux le satisferaient également.
Comparaison : conduit avec la longueur fausse de 439,693 m, le même contrôle aurait restitué 409,730 m au lieu de 500,000 m et signalé immédiatement l'erreur.

Remarque pédagogique : Un contrôle qui aboutit à une donnée d'entrée vaut toujours mieux qu'un contrôle qui aboutit à une valeur calculée : le point de comparaison vient alors du terrain, et non du bureau.

LE PREMIER TRIANGLE D'APPUI, ENTIÈREMENT RÉSOLU

RÉSULTAT FINAL

AC = 568,579 m

La base est vue depuis le premier sommet sous un angle de 60 degrés. La loi des sinus donne 568,579 m pour la distance à la première station et 371,114 m pour la distance à la seconde. Les trois côtés se classent bien dans l'ordre des angles opposés, et le théorème d'Al-Kashi restitue la base à 500,000 m : le triangle est résolu sans faute d'exécution.

Question 2 : Le triangle d'appui du second sommet

Dans la tête de l'ingénieur

« Le second triangle partage la base avec le premier, mais il ne partage aucun angle avec lui. Je repars donc de zéro, avec les deux lectures qui concernent le second sommet, et je me méfie tout particulièrement du risque de confondre les colonnes du carnet. Pour gagner du temps et sécuriser le calcul, j'établis d'abord le rapport commun de la loi des sinus : une seule division, puis deux multiplications. »

Observation : les deux angles relevés vers ce sommet valent 75 et 35 degrés. Le plus petit étant à la seconde station, le côté qui lui est opposé, celui qui joint la première station au sommet, sera le plus court des trois.
Analyse du risque : employer un angle du premier triangle. Rien dans le calcul ne signalerait l'erreur, et le résultat resterait une longueur plausible.
Choix stratégique : passer par le rapport commun de la loi des sinus. Il est propre au triangle, se calcule une fois, et sa valeur seule permet déjà de contrôler l'ordre de grandeur des trois côtés.
Contrôle prévu : le théorème d'Al-Kashi inversé : à partir des trois côtés, il doit restituer l'angle du sommet, valeur déduite et non mesurée.
Objectif visé : deux distances au millimètre et un angle restitué au millième de degré.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

∠CBD = 70° · rapport commun = 532,089 m · BC = 305,194 m · BD = 513,958 m

Rappel Théorique : le rapport commun et la lecture inverse d'Al-Kashi

La loi des sinus s'écrit le plus souvent comme une égalité de trois rapports. Cette écriture cache une propriété utile : ces trois rapports valent une même constante, propre au triangle. La calculer une fois évite de répéter une division pour chaque côté et fournit un repère d'ordre de grandeur immédiat.

Le rapport commun : c'est le quotient du côté connu par le sinus de l'angle qui lui fait face. Chaque côté du triangle s'obtient ensuite en le multipliant par le sinus de son propre angle opposé.
Sa signification géométrique : ce rapport est le diamètre du cercle circonscrit au triangle. Deux triangles construits sur la même base mais avec des angles différents ont donc des rapports communs différents.
Le contrôle d'ordre de grandeur : un sinus étant toujours compris entre zéro et un, aucun côté du triangle ne peut dépasser le rapport commun. C'est une borne supérieure gratuite.
La lecture inverse d'Al-Kashi : la même relation, résolue en cosinus au lieu de l'être en longueur, restitue un angle à partir des trois côtés. Elle transforme le théorème en outil de vérification.
Ce que ce contrôle apporte : l'angle restitué doit coïncider avec celui qui a été déduit de la somme des angles. Le chemin de calcul est différent, et le contrôle porte donc sur l'exécution des deux applications de la loi des sinus.

Équations Fondamentales

Une relation qui livre le rapport commun du triangle, et une relation qui restitue un angle à partir des trois côtés.

Rapport commun de la loi des sinus :

Il condense en une seule valeur l'échelle du triangle et permet d'en déduire chaque côté par une multiplication.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les trois rapports de la loi des sinus sont égaux entre eux : ils définissent donc une constante unique. Une fois cette constante établie à partir du côté connu, chaque autre côté s'obtient sans nouvelle division, ce qui réduit à la fois le travail et le risque d'erreur.

Contexte de validité : la constante est propre à un triangle : elle ne se transporte pas d'un triangle à l'autre, même s'ils partagent un côté.
Avantage : elle remplace deux divisions par une seule, suivie de multiplications, opérations moins sujettes aux erreurs d'inversion.
Paramètre clé : le sinus de l'angle opposé au côté connu, qui figure au dénominateur et fixe seul l'échelle du triangle.
Vérification : aucun côté du triangle ne peut dépasser cette constante, le sinus étant borné par l'unité.
Limite : plus l'angle opposé au côté connu est petit, plus la constante est grande et plus les longueurs déduites sont amplifiées, avec leurs erreurs.

\[ \begin{aligned} \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime que le triangle possède une échelle unique. Cette constante est le diamètre du cercle qui passe par les trois sommets : elle mesure la taille du triangle indépendamment de sa forme.

Décomposition des termes :

\( a, b, c \) : les trois côtés du triangle, unité : mètre
\( \alpha, \beta, \gamma \) : les angles respectivement opposés à ces côtés, unité : degré
rapport commun : diamètre du cercle circonscrit au triangle, unité : mètre

Théorème d'Al-Kashi résolu en cosinus :

Elle restitue un angle du triangle à partir de la connaissance de ses trois côtés.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le théorème d'Al-Kashi est une relation entre quatre grandeurs : trois côtés et un angle. Connaissant trois d'entre elles, la quatrième s'en déduit, quel que soit son rôle. Isoler le cosinus transforme donc un outil de calcul de longueur en outil de vérification d'angle.

Contexte de validité : l'angle restitué est celui opposé au côté qui figure avec le signe moins au numérateur.
Avantage : elle permet de contrôler un angle déduit par la somme des angles, en le recalculant depuis les longueurs.
Paramètre clé : le signe du numérateur, qui décide si l'angle est aigu ou obtus sans qu'aucun calcul supplémentaire soit nécessaire.
Vérification : le cosinus obtenu doit appartenir à l'intervalle allant de moins un à plus un, faute de quoi les trois longueurs ne formeraient aucun triangle.
Limite : elle emploie les deux côtés calculés : elle contrôle donc leur cohérence mutuelle avec la base, non la justesse des angles mesurés.

\[ \begin{aligned} \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle lit un angle dans trois longueurs. Un triangle dont les trois côtés sont connus est entièrement figé : ses angles n'ont plus aucune liberté, et cette relation les extrait un par un.

Décomposition des termes :

\( \gamma \) : angle restitué, opposé au côté c, unité : degré
\( a \) et \( b \) : les deux côtés encadrant l'angle recherché, unité : mètre
\( c \) : côté opposé à l'angle recherché, ici la base mesurée, unité : mètre

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Les deux triangles reposent sur la même base : je peux donc réutiliser l'angle de 80 degrés relevé à la seconde station, puisqu'il s'agit du même point de station. »

L'approche d'ingénieur : Un angle appartient à un couple de visées, non à une station. À la seconde station, l'angle de 80 degrés sépare la direction de la première station de celle du premier sommet ; celui de 35 degrés la sépare de la direction du second. Ces deux angles n'ont en commun que leur origine, et un seul appartient au triangle traité ici.

L'erreur : raisonner par station plutôt que par triangle. Chaque triangle emprunte une seule lecture à chaque station, celle qui vise son propre sommet.
L'ampleur chiffrée : l'angle au sommet vaudrait \( 180^\circ - 75^\circ - 80^\circ = 25^\circ \) au lieu de 70 degrés, et la distance cherchée \( 500 \times \sin(80^\circ) / \sin(25^\circ) = 1165{,}127 \ \text{m} \) au lieu de 305,194 m.
La conséquence sur l'étude : un facteur 3,8 sur une longueur qui alimente le triangle final. La distance entre les deux sommets en serait rendue absurde.
Pourquoi l'erreur passe inaperçue : tous les calculs aboutissent : la somme des angles reste inférieure à cent quatre-vingts degrés, le sinus est défini, et la longueur obtenue reste un nombre positif.
Le contrôle qui la détecte : le rapport commun. Avec un angle au sommet de 25 degrés, il vaudrait 1183,1 m au lieu de 532,089 m, soit plus du double de la base pour un triangle qui n'a rien d'exceptionnel. La disproportion saute aux yeux avant même de calculer les côtés.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Angles : en degrés , appareil réglé sur le mode DEG
Rapport commun : en mètres , homogène à une longueur
Distances : en mètres , arrondies au millimètre
Cosinus de contrôle : sans dimension , compris entre moins un et plus un

Cinq calculs : l'angle au sommet, le rapport commun, les deux côtés du triangle, puis le contrôle par restitution de l'angle.

1. Résolution Numérique Angle sous lequel la base est vue depuis le second sommet

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir l'angle opposé à la base dans ce second triangle, sans lequel le rapport commun ne peut être établi.

Méthodologie du calcul :

On retranche de cent quatre-vingts degrés les deux angles relevés vers le second sommet.

Substitution : \( \alpha_2 = 75^\circ \) relevé à la station C et \( \beta_2 = 35^\circ \) relevé à la station D.
Piège évité : ne pas employer les angles du premier triangle. Seules les deux lectures visant ce sommet appartiennent à ce calcul.
Hypothèse validée : ce triangle est plan comme le précédent, ce qui fixe la somme de ses angles.
Vérification croisée : le résultat doit différer de celui du premier triangle, les deux triangles n'ayant aucun angle commun.
Finalité : fournir le dénominateur du rapport commun.

\[ \begin{aligned} \widehat{CBD} &= 180^\circ - 75^\circ - 35^\circ \\ &= \mathbf{70^\circ} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La base est vue depuis le second sommet sous un angle de 70 degrés. L'intersection est franche, comme pour le premier sommet, et légèrement meilleure encore.

Ordre de grandeur : dix degrés de plus qu'au premier sommet, ce qui rendra ce triangle un peu moins sensible aux erreurs angulaires.
Impact sur la suite : son sinus, plus grand que celui de 60 degrés, donnera un rapport commun plus petit et donc des côtés plus courts.
Cohérence : c'est ici l'angle intermédiaire du triangle, ce qui fait de la base le côté de longueur intermédiaire.
Attention : cet angle n'a rien à voir avec celui du premier triangle : les deux figures ne partagent que la base.
Comparaison : le classement des trois angles, 35, 70 et 75 degrés, annonce déjà l'ordre des trois côtés.

Remarque pédagogique : Classer les trois angles avant de calculer les côtés fournit gratuitement l'ordre attendu des résultats : c'est un contrôle qui ne coûte pas une opération.

Rapport commun de la loi des sinus

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir en une seule division l'échelle du triangle, dont les deux côtés se déduiront par simple multiplication.

Méthodologie du calcul :

On divise la base par le sinus de l'angle qui lui fait face, c'est-à-dire l'angle au sommet.

Substitution : \( CD = 500{,}00 \ \text{m} \) et \( \sin(70^\circ) = 0{,}9396926 \).
Piège évité : ne pas employer le sinus d'un angle adjacent à la base : seul l'angle opposé définit le rapport commun.
Hypothèse validée : la base est le côté connu du triangle, et l'angle au sommet vient d'être déduit.
Vérification croisée : le sinus étant inférieur à l'unité, le rapport doit dépasser la longueur de la base.
Finalité : fournir le facteur unique qui produira les deux côtés du triangle.

\[ \begin{aligned} \frac{CD}{\sin(70^\circ)} &= \frac{500{,}00}{0{,}9396926} \\ &= \mathbf{532{,}089 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le rapport commun vaut 532,089 m : c'est le diamètre du cercle passant par les deux stations et le second sommet. Aucun côté de ce triangle ne peut le dépasser.

Ordre de grandeur : à peine 6,4 pour cent au-dessus de la base, ce qui traduit un angle au sommet proche de l'angle droit.
Impact sur la suite : les deux côtés s'obtiendront en le multipliant par les sinus de 35 et de 75 degrés.
Cohérence : le premier triangle avait un rapport commun de 577,350 m, plus grand parce que son angle au sommet était plus fermé.
Attention : cette constante est propre au triangle : elle ne se transporte pas à l'autre figure, bien qu'elles partagent la base.
Comparaison : avec un angle au sommet de 25 degrés, ce rapport atteindrait 1183,1 m, plus du double de la base : la disproportion signalerait immédiatement une erreur d'angle.

Remarque pédagogique : Le rapport commun est le meilleur indicateur de santé d'un triangle d'intersection : trop grand devant le côté connu, il signale un angle au sommet trop fermé et donc une détermination fragile.

Distance de la première station au second sommet

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir le second côté du triangle final, celui qui joint la station de calcul au second sommet.

Méthodologie du calcul :

On multiplie le rapport commun par le sinus de l'angle opposé au côté cherché, celui relevé à la seconde station.

Substitution : rapport commun de 532,089 m et \( \sin(35^\circ) = 0{,}5735764 \).
Piège évité : ne pas employer le sinus de l'angle relevé à la première station : il fait face à l'autre côté du triangle.
Hypothèse validée : le rapport commun est celui de ce triangle, établi à partir de sa propre configuration angulaire.
Vérification croisée : l'angle opposé étant le plus petit du triangle, le résultat doit être le plus court des trois côtés.
Finalité : fournir le second côté qui encadrera l'angle du triangle final.

\[ \begin{aligned} BC &= 532{,}089 \times 0{,}5735764 \\ &= \mathbf{305{,}194 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le second sommet se trouve à 305,194 m de la première station. C'est bien le plus court des trois côtés du triangle, comme l'annonçait son angle opposé de 35 degrés.

Ordre de grandeur : 61,0 pour cent de la base, valeur qui égale exactement le rapport des sinus de 35 et de 70 degrés.
Impact sur la suite : c'est le plus court des deux côtés qui encadreront l'angle du triangle final.
Cohérence : la valeur reste bien inférieure au rapport commun de 532,089 m, borne supérieure de tous les côtés.
Attention : ce sommet est nettement plus proche de la première station que le précédent, qui en était distant de 568,579 m.
Comparaison : le rapport des deux distances issues de la première station vaut 1,863 : les deux sommets ne sont pas à la même distance de l'observateur.

Remarque pédagogique : Multiplier une constante par un sinus est une opération moins risquée qu'une division par un sinus : le rapport commun élimine les inversions de numérateur et de dénominateur.

Distance de la seconde station au second sommet

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter le triangle et disposer du côté nécessaire au contrôle indépendant de la dernière question.

Méthodologie du calcul :

On multiplie le même rapport commun par le sinus de l'angle relevé à la première station.

Substitution : rapport commun de 532,089 m et \( \sin(75^\circ) = 0{,}9659258 \).
Piège évité : ne pas recalculer le rapport commun : il est identique pour les trois côtés du même triangle.
Hypothèse validée : l'angle de 75 degrés fait bien face au côté joignant la seconde station au second sommet.
Vérification croisée : l'angle opposé étant le plus grand du triangle, le résultat doit être le plus long des trois côtés.
Finalité : permettre le contrôle du triangle et préparer la vérification indépendante finale.

\[ \begin{aligned} BD &= 532{,}089 \times 0{,}9659258 \\ &= \mathbf{513{,}958 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le second sommet se trouve à 513,958 m de la seconde station. Les trois côtés se classent bien dans l'ordre des angles opposés : 305,194 m face à 35 degrés, 500,000 m face à 70 degrés, 513,958 m face à 75 degrés.

Ordre de grandeur : à peine plus long que la base, ce qui reflète la faible différence entre 75 et 70 degrés.
Impact sur la suite : ce côté fondera, avec celui du premier triangle, le contrôle indépendant de la distance cherchée.
Cohérence : la valeur reste inférieure au rapport commun de 532,089 m, comme l'impose la borne du sinus.
Attention : le second sommet est plus éloigné de la seconde station que le premier, qui n'en était distant que de 371,114 m : les deux sommets ne sont pas rangés dans le même ordre vu des deux stations.
Comparaison : ce classement croisé est la marque d'une configuration où les deux visées se coupent entre les stations et les sommets.

Remarque pédagogique : Comparer les quatre distances obtenues renseigne sur la géométrie réelle du levé, information qu'un tableau de résultats seul ne donne pas.

Contrôle par restitution de l'angle au sommet

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier les deux côtés en recalculant l'angle du sommet à partir des trois longueurs, par un chemin qui n'emploie aucun sinus.

Méthodologie du calcul :

On applique le théorème d'Al-Kashi résolu en cosinus aux deux côtés calculés et à la base.

Substitution : \( BC = 305{,}194 \ \text{m} \), \( BD = 513{,}958 \ \text{m} \) et \( CD = 500{,}00 \ \text{m} \).
Piège évité : placer au numérateur, avec le signe moins, le carré du côté opposé à l'angle cherché, c'est-à-dire la base.
Hypothèse validée : les trois longueurs appartiennent au même triangle, condition sans laquelle la relation n'aurait pas de sens.
Vérification croisée : le cosinus obtenu doit valoir celui de 70 degrés, soit 0,3420201.
Finalité : clore le triangle sur un contrôle qui restitue une valeur déduite indépendamment.

\[ \begin{aligned} \cos \widehat{CBD} &= \frac{305{,}194^2 + 513{,}958^2 - 500{,}000^2}{2 \times 305{,}194 \times 513{,}958} \\ &= \frac{107296{,}20}{313713{,}80} \\ &= \mathbf{0{,}3420194} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le cosinus restitué vaut 0,3420194 contre 0,3420201 pour l'angle de 70 degrés : l'accord porte sur six décimales, et l'angle correspondant vaut 70,0000 degrés. Le triangle est résolu sans faute d'exécution.

Ordre de grandeur : l'écart de sept unités sur la septième décimale provient du seul arrondi des deux côtés au millimètre.
Impact sur la suite : les deux distances peuvent être employées sans réserve dans le triangle final et dans son contrôle.
Cohérence : le numérateur est positif, ce qui annonce un angle aigu, conformément aux 70 degrés attendus.
Attention : ce contrôle emploie la base, longueur mesurée : c'est ce qui lui donne sa portée, au-delà d'une simple vérification d'arithmétique.
Comparaison : avec l'angle erroné de 25 degrés au sommet, le cosinus restitué aurait valu 0,9063 et l'angle 25 degrés : le contrôle aurait été satisfait, ce qui montre qu'il ne teste pas le choix des angles mesurés.

Remarque pédagogique : Un contrôle interne à un triangle vérifie sa cohérence, pas le choix des données qui l'ont construit. Il faut le savoir pour ne pas lui attribuer une portée qu'il n'a pas.

LE SECOND TRIANGLE D'APPUI, SUR LA MÊME BASE

RÉSULTAT FINAL

BC = 305,194 m

La base est vue depuis le second sommet sous un angle de 70 degrés, ce qui donne un rapport commun de 532,089 m. Les deux côtés valent 305,194 m vers la première station et 513,958 m vers la seconde, et se classent bien dans l'ordre des angles opposés. Le théorème d'Al-Kashi résolu en cosinus restitue 0,3420194 contre 0,3420201 pour 70 degrés : le triangle est cohérent au millimètre près.

Question 3 : L'angle au sommet C et la distance cherchée

Dans la tête de l'ingénieur

« Les deux triangles d'appui m'ont livré deux longueurs issues de la même station. Il me reste à connaître l'angle qu'elles forment, et le triangle final sera complet. Cet angle ne se calcule pas : il se lit dans le carnet, par différence de deux lectures. Encore faut-il que la différence soit la bonne opération, et cela dépend entièrement de la position des deux sommets par rapport à la base. »

Observation : les deux lectures faites à la première station sont repérées par rapport à la même direction de référence, celle de la seconde station : elles sont donc directement comparables.
Analyse du risque : additionner au lieu de retrancher. Cette opération serait la bonne si les deux sommets se trouvaient de part et d'autre de la base, configuration que le croquis de reconnaissance exclut ici.
Choix stratégique : détailler le calcul d'Al-Kashi en trois étapes séparées — somme des carrés, double produit, racine — plutôt qu'en une seule ligne, afin que chaque terme reste vérifiable.
Contrôle prévu : le résultat doit être inférieur à la somme des deux côtés et supérieur à leur différence, encadrement que l'inégalité triangulaire impose.
Objectif visé : la distance cherchée au millimètre, avec un angle justifié par la configuration et non par habitude.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

∠ACB = 35° · somme des carrés = 416 425,46 m² · double produit = 284 289,83 m² · AB = 363,505 m

Rappel Théorique : composer deux visées, puis fermer le triangle

Un angle horizontal relevé à une station est toujours défini par deux directions. Lorsque deux angles partagent une même direction de référence, l'angle qui sépare leurs deux autres directions se déduit d'eux par une opération élémentaire — mais cette opération dépend de la position relative des points visés.

La référence commune : les deux lectures faites à la première station se rapportent l'une et l'autre à la direction de la seconde station. C'est cette communauté qui rend leur comparaison légitime.
La différence : lorsque les deux points visés se trouvent du même côté de la direction de référence, l'angle qui les sépare est la différence des deux lectures.
La somme : lorsqu'ils se trouvent de part et d'autre, les deux angles se comptent dans des sens opposés et l'angle qui sépare les points est leur somme.
Le rôle du croquis : aucune des deux valeurs numériques ne permet de trancher : seul le croquis de reconnaissance établi sur le terrain fixe la configuration.
L'inégalité triangulaire : dans tout triangle, un côté est inférieur à la somme des deux autres et supérieur à leur différence. Cet encadrement fournit un contrôle immédiat du résultat d'Al-Kashi.

Équations Fondamentales

Une relation qui compose les deux visées d'une même station, et une relation qui livre la distance cherchée à partir des deux côtés et de l'angle qu'ils encadrent.

Angle entre deux visées d'une même station :

Elle donne l'écart angulaire entre les directions des deux sommets, vus depuis la première station.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux angles relevés partagent une direction de référence commune. Chacun mesure l'écart de son sommet à cette référence ; la différence des deux mesure donc l'écart des deux sommets entre eux, à condition qu'ils soient repérés dans le même sens.

Contexte de validité : elle exige que les deux sommets soient du même côté de la direction de référence, ce que seul le croquis de terrain établit.
Avantage : elle ne coûte aucun calcul trigonométrique : l'angle du triangle final se lit directement dans le carnet.
Paramètre clé : l'ordre de la soustraction, choisi pour que le résultat soit positif, un angle géométrique n'ayant pas de signe.
Vérification : le résultat doit être inférieur à la plus grande des deux lectures et cohérent avec l'écartement apparent des deux sommets sur le croquis.
Limite : elle est fausse si les deux sommets encadrent la direction de référence : il faudrait alors additionner les deux lectures.

\[ \begin{aligned} \widehat{ACB} = \widehat{DCB} - \widehat{DCA} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure de combien l'opérateur doit tourner sa lunette pour passer d'un sommet à l'autre. C'est un geste concret, et le croquis dit s'il faut tourner dans un sens ou traverser la direction de référence.

Décomposition des termes :

\( \widehat{ACB} \) : angle entre les deux sommets, vus depuis la première station, unité : degré
\( \widehat{DCB} \) : lecture vers le second sommet, rapportée à la direction de la seconde station, unité : degré
\( \widehat{DCA} \) : lecture vers le premier sommet, rapportée à la même direction, unité : degré

Distance cherchée par le théorème d'Al-Kashi :

Elle livre le côté opposé à l'angle connu, à partir des deux côtés qui l'encadrent.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la loi des sinus serait ici inapplicable : elle exigerait de connaître un angle du triangle final autre que celui du sommet, ce qui n'est pas le cas. Le théorème d'Al-Kashi, lui, s'accommode exactement des trois éléments disponibles : deux côtés et l'angle compris entre eux.

Contexte de validité : l'angle doit être celui compris entre les deux côtés employés, et non l'un des deux angles restants du triangle.
Avantage : elle donne le résultat en une seule étape, sans passer par les angles à la base du triangle final.
Paramètre clé : le cosinus de l'angle compris : positif pour un angle aigu, il retranche du carré ; négatif pour un angle obtus, il y ajoute.
Vérification : le résultat doit respecter l'inégalité triangulaire : compris entre la différence et la somme des deux côtés.
Limite : elle rend le carré de la longueur : l'extraction de la racine est une opération à part entière, dont l'oubli est une faute fréquente.

\[ \begin{aligned} AB = \sqrt{AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \widehat{ACB}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle referme la figure. Les deux sommets étaient jusqu'ici connus séparément, chacun par sa distance à la station ; l'angle qui les sépare permet enfin de les relier l'un à l'autre.

Décomposition des termes :

\( AB \) : distance horizontale cherchée entre les deux sommets, unité : mètre
\( AC \) et \( BC \) : distances de la première station à chacun des deux sommets, unité : mètre
\( \cos \widehat{ACB} \) : cosinus de l'angle entre les deux visées, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« L'angle entre les deux sommets est la somme des deux angles relevés, puisque chacun mesure l'écart de son sommet à la direction de référence et qu'il faut bien parcourir les deux pour aller de l'un à l'autre. »

L'approche d'ingénieur : Additionner ou retrancher n'est pas une question de préférence : c'est une question de configuration. Si les deux sommets sont du même côté de la direction de référence, les deux écarts se comptent dans le même sens et se chevauchent : l'angle qui les sépare est leur différence. S'ils l'encadrent, les écarts se comptent dans des sens opposés et s'ajoutent. Le croquis de reconnaissance établit ici la première configuration.

L'erreur : traiter les deux lectures comme des parcours successifs alors qu'elles sont deux écarts mesurés depuis une même origine.
L'ampleur chiffrée : l'angle vaudrait \( 40^\circ + 75^\circ = 115^\circ \) au lieu de 35 degrés, et son cosinus deviendrait négatif, ce qui ajouterait le double produit au lieu de le retrancher.
La conséquence sur l'étude : la distance cherchée ressortirait à 750,398 m au lieu de 363,505 m, soit 386,893 m d'erreur — davantage que la distance elle-même.
Pourquoi l'erreur passe inaperçue : le calcul aboutit parfaitement et le résultat respecte l'inégalité triangulaire, puisqu'il reste inférieur à la somme des deux côtés, qui vaut 873,773 m. Aucun contrôle numérique ne le rejette.
Le contrôle qui la détecte : le croquis, et lui seul. C'est un cas où la géométrie du terrain, et non l'arithmétique, tranche : d'où l'obligation de porter la configuration sur le dessin de reconnaissance avant de quitter le chantier.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Angles : en degrés , appareil réglé sur le mode DEG
Carrés et double produit : en mètres carrés
Distance finale : en mètres , après extraction de la racine
Cosinus : sans dimension , conservé à sept décimales

Quatre calculs : l'angle entre les deux visées, la somme des carrés, le double produit, puis la distance cherchée.

1. Résolution Numérique Angle entre les deux visées à la première station

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir le troisième élément du triangle final, celui qui manque encore après les deux longueurs.

Méthodologie du calcul :

On retranche la plus petite des deux lectures de la plus grande, les deux sommets étant du même côté de la direction de référence.

Substitution : \( \widehat{DCB} = 75^\circ \) et \( \widehat{DCA} = 40^\circ \), toutes deux relevées à la première station.
Piège évité : ne pas additionner. La somme vaudrait 115 degrés et supposerait les deux sommets de part et d'autre de la base.
Hypothèse validée : les deux sommets sont du même côté de la base, configuration établie par le croquis de reconnaissance.
Vérification croisée : le résultat doit être positif et inférieur à la plus grande des deux lectures.
Finalité : fournir l'angle compris entre les deux côtés du triangle final.

\[ \begin{aligned} \widehat{ACB} &= 75^\circ - 40^\circ \\ &= \mathbf{35^\circ} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux sommets sont séparés de 35 degrés vus depuis la première station. L'angle est aigu, donc son cosinus est positif et le double produit se retranchera de la somme des carrés.

Ordre de grandeur : moins de la moitié de la plus grande lecture, ce qui traduit deux sommets relativement rapprochés en direction.
Impact sur la suite : un angle aigu produira une distance plus courte que si les deux visées divergeaient davantage.
Cohérence : le croquis montre bien les deux sommets d'un même côté de la base, l'un plus à gauche que l'autre.
Attention : cette valeur n'est pas mesurée : elle résulte d'une composition, et sa justesse dépend autant des lectures que de l'hypothèse de configuration.
Comparaison : à la seconde station, la même composition donnerait un angle différent, ce que la dernière question exploitera pour contrôler le résultat.

Remarque pédagogique : Un angle obtenu par composition de deux lectures doit toujours être accompagné de la justification de l'opération choisie. Écrire la soustraction sans dire pourquoi revient à parier sur la configuration.

Somme des carrés des deux côtés

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir le premier terme du théorème d'Al-Kashi, celui qui correspondrait au théorème de Pythagore si l'angle était droit.

Méthodologie du calcul :

On élève au carré chacune des deux distances calculées, puis on les additionne.

Substitution : \( AC = 568{,}579 \ \text{m} \) et \( BC = 305{,}194 \ \text{m} \).
Piège évité : ne pas employer les distances relatives à la seconde station : le triangle final se construit sur les deux côtés issus d'un même sommet.
Hypothèse validée : les deux longueurs sont des distances horizontales, homogènes entre elles.
Vérification croisée : la somme doit dépasser le carré de la plus grande des deux distances.
Finalité : fournir le terme dont sera retranché le double produit.

\[ \begin{aligned} AC^2 + BC^2 &= 568{,}579^2 + 305{,}194^2 \\ &= 323282{,}08 + 93143{,}38 \\ &= \mathbf{416425{,}46 \ \text{m}^2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La somme des carrés vaut 416 425,46 m². Sa racine, 645,31 m, serait la distance cherchée si les deux visées formaient un angle droit à la station.

Ordre de grandeur : dominée par le carré de la plus longue des deux distances, qui en représente 77,6 pour cent.
Impact sur la suite : l'angle étant nettement aigu, le double produit va en retrancher une part importante.
Cohérence : cette valeur correspond au cas de l'angle droit, borne que la distance cherchée ne peut atteindre qu'en s'y ramenant exactement.
Attention : les mètres carrés ne sont ici qu'une étape : la grandeur cherchée est une longueur, et la racine reste à extraire.
Comparaison : conserver deux décimales sur ces carrés suffit largement, l'arrondi correspondant se situant bien en deçà du millimètre sur la racine.

Remarque pédagogique : Séparer la somme des carrés du double produit permet de situer le résultat avant de l'obtenir : la racine de la somme des carrés est la valeur qu'on aurait pour un angle droit.

Double produit affecté du cosinus

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir le terme correctif qui mesure exactement ce que l'écart à l'angle droit retranche au carré de la distance cherchée.

Méthodologie du calcul :

On multiplie les deux distances entre elles, par deux, puis par le cosinus de l'angle qu'elles encadrent.

Substitution : \( AC = 568{,}579 \ \text{m} \), \( BC = 305{,}194 \ \text{m} \) et \( \cos(35^\circ) = 0{,}8191520 \).
Piège évité : ne pas oublier le facteur deux, qui double la correction et dont l'omission fausserait le résultat de plusieurs dizaines de mètres.
Hypothèse validée : l'appareil de calcul est en mode degrés, condition sans laquelle le cosinus serait faux.
Vérification croisée : le cosinus étant positif, ce terme doit être positif et donc se retrancher de la somme des carrés.
Finalité : fournir la correction à appliquer au terme de Pythagore.

\[ \begin{aligned} 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(35^\circ) &= 2 \times 568{,}579 \times 305{,}194 \times 0{,}8191520 \\ &= \mathbf{284289{,}83 \ \text{m}^2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le double produit vaut 284 289,83 m², soit 68,3 pour cent de la somme des carrés. C'est dire l'importance de la correction que l'écart à l'angle droit introduit.

Ordre de grandeur : plus des deux tiers du premier terme : la distance cherchée sera nettement plus courte que la racine de la somme des carrés.
Impact sur la suite : le reste, une fois la soustraction faite, sera le carré de la distance cherchée.
Cohérence : le cosinus de 35 degrés valant 0,8192, le terme représente 81,9 pour cent de ce qu'il vaudrait pour deux visées confondues.
Attention : pour un angle obtus, le cosinus serait négatif et ce terme s'ajouterait au lieu de se retrancher : le signe est porté par le cosinus, jamais par la formule.
Comparaison : avec l'angle erroné de 115 degrés, ce terme vaudrait moins 146 671,27 m² et s'ajouterait à la somme des carrés.

Remarque pédagogique : Le théorème d'Al-Kashi se lit comme Pythagore corrigé : le premier terme donne le cas de l'angle droit, le second mesure l'écart à ce cas. Cette lecture rend le signe du cosinus intuitif.

Distance entre les deux sommets

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir enfin la grandeur cherchée, en extrayant la racine du carré que les deux termes précédents ont produit.

Méthodologie du calcul :

On retranche le double produit de la somme des carrés, puis on extrait la racine carrée du reste.

Substitution : somme des carrés de 416 425,46 m² et double produit de 284 289,83 m².
Piège évité : ne pas oublier la racine. Le théorème d'Al-Kashi rend un carré, et livrer 132 135,63 comme distance serait une faute grossière.
Hypothèse validée : le reste est positif, condition nécessaire pour que les trois longueurs forment un triangle.
Vérification croisée : le résultat doit être compris entre la différence des deux côtés, 263,385 m, et leur somme, 873,773 m.
Finalité : livrer la distance horizontale entre les deux sommets inaccessibles.

\[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{416425{,}46 - 284289{,}83} \\ &= \sqrt{132135{,}63} \\ &= \mathbf{363{,}505 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux sommets sont distants de 363,505 m. La valeur est bien comprise entre 263,385 m et 873,773 m, encadrement que l'inégalité triangulaire impose.

Ordre de grandeur : inférieure à la base et aux deux distances qui ont servi à l'établir : les deux sommets sont plus rapprochés entre eux que des stations.
Impact sur la suite : ce résultat sera confronté à celui qu'on obtiendra depuis la seconde station, par un calcul entièrement distinct.
Cohérence : la valeur est nettement inférieure à 645,31 m, racine de la somme des carrés : l'angle de 35 degrés est bien loin de l'angle droit.
Attention : cette distance est horizontale : elle ne tient aucun compte de la différence d'altitude entre les deux sommets, que le levé n'a pas déterminée.
Comparaison : le millimètre affiché résulte de la cohérence du calcul ; la résolution des angles fournis, le degré entier, ne le justifierait pas à elle seule.

Remarque pédagogique : Vérifier l'inégalité triangulaire coûte deux soustractions et écarte toute une classe d'erreurs : un résultat hors de cet encadrement est nécessairement faux.

LE TRIANGLE FINAL, VU DEPUIS LA PREMIÈRE STATION

RÉSULTAT FINAL

AB = 363,505 m

Les deux sommets sont séparés de 35 degrés vus depuis la première station, différence des deux lectures que la configuration du terrain justifie. La somme des carrés vaut 416 425,46 m², le double produit 284 289,83 m², et la racine du reste donne une distance de 363,505 m. Le résultat respecte l'inégalité triangulaire, encadré par 263,385 m et 873,773 m.

Question 4 (Finale) : Le contrôle indépendant et la sensibilité du résultat

Dans la tête de l'ingénieur

« J'ai une distance, mais je n'ai encore aucune raison d'y croire. Or la figure m'offre un cadeau : les deux sommets peuvent être reliés depuis la seconde station tout aussi bien que depuis la première, avec deux longueurs différentes et un angle différent. Si les deux chemins donnent le même nombre, ce n'est pas un hasard arithmétique : c'est que les quatre points forment bien une figure cohérente. »

Observation : à la seconde station, les deux lectures valent 80 et 35 degrés : leur différence, 45 degrés, n'a rien à voir avec les 35 degrés de la première station.
Analyse du risque : prendre ce contrôle pour une répétition. Il n'emploie ni les mêmes longueurs, ni le même angle, ni le même cosinus : son accord n'est acquis d'avance sous aucune forme.
Choix stratégique : chiffrer ensuite la sensibilité du résultat aux mesures, pour savoir ce que vaut réellement le millimètre affiché.
Contrôle prévu : l'écart entre les deux voies, qui doit rester au niveau des arrondis des longueurs intermédiaires.
Objectif visé : une distance validée, une sensibilité chiffrée, et la portée quantifiée des hypothèses retenues.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

∠ADB = 45° · AB par la seconde station = 363,505 m · écart 0,1 mm · sensibilité 15,9 mm pour 10 secondes · base de 600 m : AB = 436,206 m

Rappel Théorique : la valeur d'un contrôle et la propagation des erreurs

Un contrôle vaut par ce qu'il met en jeu. Refaire un calcul avec les mêmes nombres ne teste que la frappe ; l'obtenir par un chemin qui emploie d'autres grandeurs teste l'enchaînement tout entier. Ici, la distance cherchée se laisse atteindre depuis chacune des deux stations, et les deux voies ne partagent aucune valeur intermédiaire.

Les deux chemins : depuis la première station, la distance s'obtient à partir de deux côtés et d'un angle ; depuis la seconde, à partir de deux autres côtés et d'un autre angle. Seules les données d'entrée sont communes.
Ce que leur accord démontre : que les quatre triangles résolus sont géométriquement compatibles. Une erreur commise sur n'importe quelle longueur intermédiaire détruirait cet accord.
La sensibilité à un angle : dériver la loi des sinus par rapport à l'angle opposé au côté cherché fait apparaître sa cotangente. L'erreur relative sur la longueur est donc d'autant plus grande que cet angle est petit.
La proportionnalité à la base : si tous les angles restent inchangés, la figure entière est semblable à elle-même. Changer la longueur de la base revient à changer l'échelle, et toutes les distances suivent dans la même proportion.
Les hypothèses de calcul : le traitement plan et l'absence de correction d'altération ne se justifient pas par principe mais par ordre de grandeur : encore faut-il le chiffrer.

Équations Fondamentales

Une relation qui compose les visées à la seconde station, une relation qui chiffre la sensibilité angulaire, et une relation qui traduit la similitude de la figure.

Angle entre les deux visées à la seconde station :

Elle donne l'écart angulaire entre les directions des deux sommets, vus cette fois depuis l'autre extrémité de la base.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux lectures faites à la seconde station partagent elles aussi une référence commune, la direction de la première station. La même logique s'applique donc, et la même hypothèse de configuration la légitime.

Contexte de validité : les deux sommets doivent être du même côté de la base, condition déjà posée et vérifiée sur le croquis.
Avantage : elle ouvre un second chemin vers la distance cherchée, sans aucune mesure supplémentaire sur le terrain.
Paramètre clé : l'ordre de la soustraction, choisi pour que l'angle obtenu soit positif.
Vérification : le résultat n'a aucune raison d'égaler l'angle obtenu à la première station : les deux stations ne voient pas les sommets sous le même écartement.
Limite : elle repose sur la même hypothèse de configuration que la première composition : une erreur de configuration fausserait les deux voies simultanément.

\[ \begin{aligned} \widehat{ADB} = \widehat{CDA} - \widehat{CDB} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle décrit le même geste depuis l'autre bout de la base. Les deux sommets s'écartent davantage vus de la seconde station : c'est la perspective qui change, non la figure.

Décomposition des termes :

\( \widehat{ADB} \) : angle entre les deux sommets, vus depuis la seconde station, unité : degré
\( \widehat{CDA} \) : lecture vers le premier sommet, rapportée à la direction de la première station, unité : degré
\( \widehat{CDB} \) : lecture vers le second sommet, rapportée à la même direction, unité : degré

Sensibilité d'un côté à l'angle qui lui est opposé :

Elle chiffre l'erreur relative que produit sur une longueur une erreur donnée sur l'angle opposé au côté connu.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la longueur cherchée est inversement proportionnelle au sinus de l'angle opposé au côté connu. Dériver ce rapport fait apparaître le quotient du cosinus par le sinus, c'est-à-dire la cotangente, qui devient très grande pour les angles faibles.

Contexte de validité : l'erreur angulaire doit être exprimée en radians pour que le produit soit une erreur relative sans dimension.
Avantage : elle permet de choisir l'emplacement de la base avant d'aller sur le terrain, en écartant les configurations où l'angle d'intersection serait trop fermé.
Paramètre clé : la cotangente de l'angle d'intersection, qui vaut l'unité à quarante-cinq degrés et croît sans limite quand l'angle tend vers zéro.
Vérification : pour un angle d'intersection droit, la cotangente s'annule : la longueur devient insensible au premier ordre à l'erreur angulaire.
Limite : elle n'exprime qu'un effet du premier ordre : elle vaut pour de petites erreurs, non pour une faute de lecture.

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}a}{a} = - \cot(\gamma) \, \mathrm{d}\gamma \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle explique pourquoi deux visées doivent se couper franchement. Deux droites presque parallèles se coupent en un point que la moindre erreur angulaire déplace considérablement le long de leur direction commune.

Décomposition des termes :

\( \mathrm{d}a / a \) : erreur relative sur la longueur calculée, unité : sans dimension
\( \cot(\gamma) \) : cotangente de l'angle d'intersection, opposé au côté connu, unité : sans dimension
\( \mathrm{d}\gamma \) : erreur sur cet angle, unité : radian

Effet d'un changement de longueur de la base :

Elle traduit la similitude de la figure lorsque tous les angles restent inchangés.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la base est la seule longueur qui entre dans les calculs : toutes les autres en sont déduites par des rapports de sinus, qui ne dépendent que des angles. Multiplier la base par un facteur multiplie donc chaque longueur de la figure par ce même facteur.

Contexte de validité : elle exige que tous les angles restent rigoureusement identiques ; la modification d'un seul d'entre eux imposerait de tout recalculer.
Avantage : elle évite de reprendre l'ensemble des calculs pour évaluer l'effet d'un changement de base ou d'une erreur sur celle-ci.
Paramètre clé : le rapport des deux bases, facteur de similitude appliqué à toutes les longueurs sans exception.
Vérification : recalculer entièrement l'exercice avec la nouvelle base doit restituer exactement le résultat de la proportionnalité.
Limite : elle montre que l'erreur relative sur la base se transmet intégralement à la distance cherchée, sans aucune atténuation.

\[ \begin{aligned} AB' = AB \cdot \frac{CD'}{CD} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime que la triangulation ne fait que propager une échelle. Les angles donnent la forme de la figure, la base lui donne sa taille : c'est pourquoi la précision de la base commande celle de tout le levé.

Décomposition des termes :

\( AB' \) : distance entre les sommets pour la nouvelle base, unité : mètre
\( AB \) : distance obtenue avec la base initiale, unité : mètre
\( CD' / CD \) : rapport de similitude entre les deux configurations, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Les deux voies partent des mêmes données de départ : la base et les quatre angles. Leur accord est donc automatique, et ce contrôle ne prouve rien de plus qu'une simple relecture. »

L'approche d'ingénieur : Les deux voies partagent les données d'entrée, mais aucune valeur intermédiaire. La première emploie les distances aux sommets depuis la première station et l'angle de 35 degrés ; la seconde emploie les distances depuis la seconde station et l'angle de 45 degrés. Quatre longueurs distinctes, deux angles distincts, deux cosinus distincts : aucune identité algébrique ne garantit leur accord.

L'erreur : confondre mêmes données et mêmes calculs. Deux chemins issus des mêmes données peuvent parfaitement diverger si l'un d'eux comporte une faute.
L'ampleur chiffrée : supposons la première distance calculée de travers, à 439,693 m au lieu de 568,579 m, par interversion des sinus. La première voie donnerait alors 258,121 m, tandis que la seconde, qui n'emploie pas cette longueur, donnerait toujours 363,505 m.
La conséquence sur l'étude : l'écart entre les deux voies atteindrait 105,383 m, soit 29 pour cent du résultat correct. Le contrôle serait donc en défaut de manière éclatante, ce qui prouve qu'il détecte réellement quelque chose.
Pourquoi l'erreur passe inaperçue : les contrôles internes à chaque triangle, eux, restent satisfaits tant que la faute est commise de manière cohérente à l'intérieur d'un même triangle. Seule la confrontation des deux voies la révèle.
Le contrôle qui la détecte : celui-ci, précisément. Sa concordance à 0,1 mm près, niveau des arrondis des longueurs intermédiaires, est une véritable information sur la justesse de l'enchaînement.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Angles : en degrés pour la trigonométrie, en radians pour la sensibilité
Erreur angulaire de référence : 10 secondes sexagésimales, soit 4,8481 dix-millionièmes de radian
Distances : en mètres , arrondies au millimètre
Réduction à la surface de référence : en centimètres par kilomètre

Six calculs : l'angle à la seconde station, la distance par cette seconde voie, l'écart entre les deux voies, la sensibilité angulaire, l'effet d'un changement de base, puis la portée de l'hypothèse de calcul plan.

1. Résolution Numérique Angle entre les deux visées à la seconde station

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour ouvrir le second chemin vers la distance cherchée, en composant cette fois les deux lectures faites à l'autre extrémité de la base.

Méthodologie du calcul :

On retranche la plus petite des deux lectures de la seconde station de la plus grande.

Substitution : \( \widehat{CDA} = 80^\circ \) et \( \widehat{CDB} = 35^\circ \), toutes deux relevées à la seconde station.
Piège évité : ne pas réutiliser l'angle de 35 degrés obtenu à la première station : les deux stations ne voient pas les sommets sous le même écartement.
Hypothèse validée : les deux sommets sont du même côté de la base, hypothèse déjà retenue pour la première composition.
Vérification croisée : le résultat doit différer de celui de la première station, sans quoi la figure serait dégénérée.
Finalité : fournir l'angle compris entre les deux côtés issus de la seconde station.

\[ \begin{aligned} \widehat{ADB} &= 80^\circ - 35^\circ \\ &= \mathbf{45^\circ} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Depuis la seconde station, les deux sommets s'écartent de 45 degrés, soit dix degrés de plus que depuis la première. C'est bien une autre perspective sur la même figure.

Ordre de grandeur : la moitié d'un angle droit, valeur dont le cosinus est connu exactement.
Impact sur la suite : cet angle, plus ouvert, sera compensé par des côtés dont les longueurs diffèrent de celles de la première voie.
Cohérence : la seconde station est plus proche du premier sommet et plus éloignée du second : il est naturel qu'elle les voie plus écartés.
Attention : les deux angles obtenus, 35 et 45 degrés, ne sont pas les angles du triangle final pris ensemble : ce sont deux angles de deux triangles différents.
Comparaison : leur différence de dix degrés est le reflet direct de la différence de position des deux stations par rapport aux sommets.

Remarque pédagogique : Un contrôle qui exploite une autre perspective sur la même figure est le plus solide qui soit en topographie : il teste la géométrie, et non l'arithmétique.

Distance entre les sommets par la seconde station

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la distance cherchée par un chemin qui n'emploie aucune des valeurs ayant servi au premier calcul.

Méthodologie du calcul :

On applique le théorème d'Al-Kashi aux deux distances issues de la seconde station et à l'angle qu'elles encadrent.

Substitution : \( AD = 371{,}114 \ \text{m} \), \( BD = 513{,}958 \ \text{m} \) et \( \cos(45^\circ) = 0{,}7071068 \).
Piège évité : ne pas mélanger les côtés des deux voies. Les quatre distances calculées se répartissent en deux couples, un par station.
Hypothèse validée : les deux longueurs employées sont bien issues de la seconde station, et l'angle est celui qu'elles encadrent.
Vérification croisée : le résultat doit être compris entre 142,844 m et 885,072 m, encadrement propre à ce triangle.
Finalité : produire la valeur qui sera confrontée à celle de la première voie.

\[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{371{,}114^2 + 513{,}958^2 - 2 \times 371{,}114 \times 513{,}958 \times 0{,}7071068} \\ &= \sqrt{401878{,}43 - 269742{,}87} \\ &= \mathbf{363{,}505 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La seconde voie donne 363,505 m. Les deux termes intermédiaires n'ont pourtant rien de commun avec ceux de la première : 401 878,43 m² contre 416 425,46 m² pour la somme des carrés, 269 742,87 m² contre 284 289,83 m² pour le double produit.

Ordre de grandeur : les deux termes diffèrent de plus de quatorze mille mètres carrés, et pourtant leur différence coïncide.
Impact sur la suite : la distance cherchée peut désormais être livrée avec une réelle confiance dans son exécution.
Cohérence : le résultat respecte l'encadrement propre à ce triangle, entre 142,844 m et 885,072 m.
Attention : cette concordance valide l'enchaînement des calculs, non les angles mesurés sur le terrain : une erreur d'observation fausserait les deux voies de la même manière.
Comparaison : la première voie mettait en jeu un angle aigu de 35 degrés, celle-ci un angle de 45 degrés : les cosinus employés diffèrent de 0,112.

Remarque pédagogique : Comparer les termes intermédiaires des deux voies, et pas seulement leurs résultats, montre à quel point les chemins sont distincts et donne sa mesure à la concordance obtenue.

Écart entre les deux voies de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer la concordance plutôt que de la constater, et vérifier qu'elle se situe bien au niveau des arrondis.

Méthodologie du calcul :

On retranche l'une de l'autre les deux valeurs obtenues, exprimées avec toutes leurs décimales avant arrondi.

Substitution : 363,50465 m par la première voie et 363,50455 m par la seconde.
Piège évité : ne pas comparer les valeurs déjà arrondies au millimètre : l'écart serait masqué et le contrôle perdrait sa finesse.
Hypothèse validée : les longueurs intermédiaires ont été arrondies au millimètre avant d'entrer dans les deux calculs.
Vérification croisée : l'écart doit rester du même ordre que les arrondis introduits, soit quelques dixièmes de millimètre.
Finalité : prononcer la validation de l'enchaînement des calculs.

\[ \begin{aligned} \Delta &= 363{,}50465 - 363{,}50455 \\ &= \mathbf{0{,}1 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux voies concordent à un dixième de millimètre. Cet écart résiduel s'explique entièrement par l'arrondi au millimètre des quatre distances intermédiaires : il ne signale aucune faute.

Ordre de grandeur : un dixième de millimètre sur 363,505 m, soit trois dixièmes de millionième en valeur relative.
Impact sur la suite : la distance peut être livrée au millimètre, valeur commune aux deux voies.
Cohérence : conserver toutes les décimales dès le premier triangle ferait tomber cet écart à zéro exactement.
Attention : cette précision de calcul ne dit rien de la précision de mesure : les angles sont fournis au degré entier, ce que le calcul suivant va exploiter.
Comparaison : une faute d'interversion des sinus sur une seule distance aurait produit un écart de 105,383 m entre les deux voies.

Remarque pédagogique : Un écart de contrôle doit être expliqué, non seulement constaté : ici, il correspond exactement aux arrondis introduits, ce qui clôt la question.

Sensibilité de la distance à une erreur angulaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour savoir ce que vaut réellement le millimètre affiché, en chiffrant l'effet d'une erreur d'observation plausible.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la longueur par la cotangente de l'angle d'intersection et par l'erreur angulaire exprimée en radians.

Substitution : \( AC = 568{,}579 \ \text{m} \), \( \cot(60^\circ) = 0{,}5773503 \) et une erreur de dix secondes, soit 0,00004848 radian.
Piège évité : ne pas employer l'erreur angulaire en degrés : le produit ne serait pas une erreur relative et le résultat serait faux d'un facteur cinquante-sept.
Hypothèse validée : l'erreur est petite, ce qui autorise le développement au premier ordre.
Vérification croisée : l'erreur relative obtenue doit être de l'ordre de quelques dizaines de millionièmes.
Finalité : situer la précision réelle du résultat par rapport à la résolution d'écriture retenue.

\[ \begin{aligned} \mathrm{d}AC &= 568{,}579 \times 0{,}5773503 \times 0{,}00004848 \\ &= \mathbf{15{,}9 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Une erreur de dix secondes sur l'angle d'intersection déplace la distance de 15,9 mm, soit une erreur relative de 28 millionièmes. Le millimètre affiché relève donc de la cohérence de calcul, non de la précision de mesure.

Ordre de grandeur : un centimètre et demi pour une erreur angulaire faible : la triangulation est exigeante sur les angles.
Impact sur la suite : ce chiffre justifie de choisir la base de manière à obtenir des angles d'intersection ouverts.
Cohérence : avec un angle d'intersection de cinq degrés au lieu de soixante, la même erreur angulaire produirait une erreur relative 19,8 fois plus grande, soit 554 millionièmes.
Attention : les angles de cette étude sont fournis au degré entier : leur incertitude réelle dépasse largement les dix secondes prises ici comme référence de calcul.
Comparaison : la cotangente vaut l'unité à quarante-cinq degrés et s'annule à quatre-vingt-dix : l'angle d'intersection idéal est l'angle droit.

Remarque pédagogique : La cotangente de l'angle d'intersection est le nombre qui gouverne la qualité d'une triangulation. Le calculer avant de choisir l'emplacement de la base est une décision de projet, non un raffinement de bureau.

Effet d'un allongement de la base

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour évaluer, sans reprendre aucun calcul, ce que deviendrait la distance cherchée si la base mesurait 600 m au lieu de 500 m.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la distance obtenue par le rapport de la nouvelle base à l'ancienne, tous les angles restant inchangés.

Substitution : \( AB = 363{,}505 \ \text{m} \) et un rapport de similitude de 1,2.
Piège évité : ne pas appliquer ce raccourci si un angle change également : la figure ne serait alors plus semblable à elle-même.
Hypothèse validée : la base est la seule longueur qui entre dans les calculs : tout le reste ne dépend que des angles.
Vérification croisée : refaire l'ensemble des calculs avec la nouvelle base doit donner 682,295 m et 366,233 m pour les deux premières distances, puis le même résultat final.
Finalité : montrer que l'erreur relative sur la base se transmet intégralement au résultat.

\[ \begin{aligned} AB' &= 363{,}505 \times \frac{600}{500} \\ &= \mathbf{436{,}206 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Avec une base de 600 m, la distance cherchée vaudrait 436,206 m. Une augmentation de vingt pour cent de la base produit exactement vingt pour cent d'augmentation sur le résultat.

Ordre de grandeur : la proportionnalité est exacte, sans terme correctif d'aucune sorte.
Impact sur la suite : il en résulte qu'une erreur d'un millième sur la base produit une erreur d'un millième sur la distance, soit 36 cm ici.
Cohérence : le calcul complet avec la nouvelle base donnerait 682,295 m et 366,233 m pour les deux distances intermédiaires, et bien 436,206 m au terme.
Attention : la base est le seul lien à l'échelle réelle : sa mesure mérite tous les soins, car aucune redondance de la figure ne peut la contrôler.
Comparaison : les angles, eux, agissent sur la forme de la figure : leur effet passe par des cotangentes et n'est donc pas proportionnel.

Remarque pédagogique : Distinguer ce qui donne la forme d'une figure — les angles — de ce qui lui donne sa taille — la base — éclaire toute la triangulation et explique l'attention historique portée à la mesure des bases.

Portée de l'hypothèse de calcul plan

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour justifier le traitement plan par un ordre de grandeur, au lieu de l'admettre comme une convention.

Méthodologie du calcul :

On applique à la plus longue des distances calculées la réduction à la surface de référence, établie par la fiche technique T9 du Certu à cent mètres de hauteur moyenne.

Substitution : \( AC = 568{,}579 \ \text{m} \) et une réduction de 1,6 cm par 1000 m.
Piège évité : ne pas confondre cette réduction avec l'altération linéaire de la projection, qui est un second terme, distinct et nettement plus grand.
Hypothèse validée : les quatre points sont supposés à une hauteur moyenne de l'ordre de cent mètres, valeur de référence de la fiche technique.
Vérification croisée : le résultat doit rester très inférieur au centimètre pour que le traitement plan soit sans conséquence pratique.
Finalité : conclure sur la légitimité des hypothèses de calcul retenues.

\[ \begin{aligned} \delta &= 1{,}6 \times \frac{568{,}579}{1000} \\ &= \mathbf{0{,}91 \ \text{cm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La réduction à la surface de référence ne représente que 0,91 cm sur la plus longue des distances. Le traitement plan est donc pleinement légitime à cette échelle, comme le laissait attendre l'étendue du levé.

Ordre de grandeur : moins d'un centimètre, à comparer aux 15,9 mm que produit une erreur de dix secondes sur un angle.
Impact sur la suite : aucune correction n'est appliquée aux résultats, le calcul restant conduit dans le plan horizontal du terrain.
Cohérence : sur la distance cherchée elle-même, la réduction ne vaudrait que 0,58 cm.
Attention : l'altération linéaire du Lambert-93, elle, atteindrait 0,345 m sur la distance cherchée au parallèle origine : elle deviendrait indispensable dès qu'on confronterait ce résultat à des coordonnées projetées.
Comparaison : les deux corrections diffèrent d'un facteur soixante : négliger la première est légitime, négliger la seconde ne le serait pas.

Remarque pédagogique : Une hypothèse de calcul se justifie par un chiffre, jamais par l'usage. Les neuf millimètres calculés ici valident le traitement plan bien mieux que n'importe quelle affirmation de principe.

DEUX CHEMINS, UNE SEULE DISTANCE

RÉSULTAT FINAL

AB = 363,505 m

Depuis la seconde station, les deux sommets s'écartent de 45 degrés et les distances valent 371,114 m et 513,958 m : le théorème d'Al-Kashi restitue 363,505 m, avec des termes intermédiaires pourtant très différents de ceux de la première voie. L'écart entre les deux chemins n'atteint que 0,1 mm, niveau des arrondis. Une erreur de dix secondes sur l'angle d'intersection déplacerait la distance de 15,9 mm, et une base de 600 m porterait le résultat à 436,206 m. La réduction à la surface de référence ne représentant que 0,91 cm, le traitement plan est pleinement légitime.

SCHÉMA BILAN — DE LA BASE AUX DEUX SOMMETS

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez assimilé la démarche et pas seulement les formules :

J'isole un seul triangle à la fois et je n'y emploie que les angles qui lui appartiennent. J'associe chaque côté au sinus de l'angle qui lui est opposé, jamais à un angle adjacent. Je classe les angles d'un triangle avant de calculer ses côtés, pour connaître l'ordre attendu des résultats. Je justifie l'opération qui compose deux visées par la configuration du terrain, et non par habitude. Je vérifie l'inégalité triangulaire sur tout résultat obtenu par le théorème d'Al-Kashi. Je distingue un contrôle qui répète un calcul d'un contrôle qui emprunte des grandeurs différentes. Je chiffre la sensibilité du résultat aux mesures avant d'annoncer sa précision. Je justifie mes hypothèses de calcul par un ordre de grandeur chiffré, jamais par l'usage.

Le premier triangle d'appui, où la base est vue sous un angle de 60 degrés, donne 568,579 m vers la première station et 371,114 m vers la seconde. Le second, où la base est vue sous 70 degrés, donne 305,194 m et 513,958 m. Chacun a été contrôlé sur place : le théorème d'Al-Kashi restitue la base à 500,000 m pour le premier, et le même théorème résolu en cosinus restitue l'angle du sommet à 70,0000 degrés pour le second. Les deux sommets sont séparés de 35 degrés vus depuis la première station, ce qui conduit, par une somme de carrés de 416 425,46 m² et un double produit de 284 289,83 m², à une distance de 363,505 m.

Ce résultat n'a été livré qu'après un contrôle véritable. Refait depuis la seconde station, où les deux sommets s'écartent de 45 degrés et où les distances valent 371,114 m et 513,958 m, le calcul restitue 363,505 m — avec des termes intermédiaires pourtant éloignés de plus de quatorze mille mètres carrés de ceux de la première voie. L'écart entre les deux chemins n'atteint que 0,1 mm, exactement le niveau des arrondis introduits sur les quatre distances. Cette concordance n'était acquise sous aucune forme algébrique : une simple interversion des sinus sur la première distance, qui l'aurait portée à 439,693 m, aurait fait chuter la première voie à 258,121 m et creusé un écart de 105,383 m entre les deux résultats.

Trois enseignements dépassent le cas traité. Le premier concerne la configuration : l'angle entre deux visées d'une même station est la différence des lectures lorsque les points visés sont du même côté de la direction de référence, et leur somme lorsqu'ils l'encadrent. Aucune valeur numérique ne permet de trancher, seul le croquis de reconnaissance le fait, et l'enjeu est considérable — avec 115 degrés au lieu de 35, la distance ressortirait à 750,398 m, soit 386,893 m de plus que la valeur correcte, davantage que la distance elle-même. Le deuxième concerne la sensibilité : l'erreur relative sur une longueur calculée vaut la cotangente de l'angle d'intersection multipliée par l'erreur angulaire. Ici, dix secondes d'erreur déplacent la distance de 15,9 mm ; avec un angle d'intersection de cinq degrés au lieu de soixante, le même écart angulaire produirait un effet 19,8 fois plus grand. C'est ce chiffre qui commande le choix de l'emplacement de la base. Le troisième concerne le rôle de la base : elle est la seule longueur mesurée, et la figure entière lui est proportionnelle. Une base de 600 m au lieu de 500 m porterait la distance cherchée à 436,206 m, et une erreur d'un millième sur la base produirait une erreur de 36 cm sur le résultat, sans aucune atténuation.

Une dernière précision s'impose sur le statut des longueurs obtenues. Elles sont des distances horizontales de terrain, calculées dans un plan. Cette hypothèse a été justifiée par un chiffre : la réduction à la surface de référence géodésique, que la fiche technique T9 du Certu établit à 1,6 cm par kilomètre pour une hauteur moyenne de cent mètres, ne représente que 0,91 cm sur la plus longue des distances calculées. En revanche, l'altération linéaire du Lambert-93 atteindrait 0,345 m sur la distance cherchée au parallèle origine : elle deviendrait indispensable dès lors que ces longueurs seraient confrontées à des coordonnées projetées. La même fiche rappelle en effet que les projections conformes conservent localement les angles mais qu'aucune ne conserve les distances, ce qui explique pourquoi les quatre angles relevés se transportent sans correction alors que les longueurs, elles, en exigent une.

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