Dimensionnement d'une Panne de Toiture en Bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une panne n'est pas une solive. Elle repose sur un versant incliné, et les charges qu'elle reçoit sont verticales : elles se décomposent donc en deux composantes, l'une perpendiculaire au rampant, l'autre parallèle. La panne fléchit selon deux axes à la fois — et comme son axe faible est 2,75 fois moins raide que son axe fort, c'est souvent la flexion secondaire qui gouverne. Cet exercice vérifie une panne 80 × 220 mm en C24, portée 4,00 m, entraxe 0,60 m, sur un versant à 30° en région parisienne. Deux points y sont systématiquement escamotés : la projection de la charge de neige et la flexion déviée.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Une panne dévoyée — posée perpendiculairement au rampant — de section 80 × 220 mm en C24, portée 4,00 m, entraxe 0,60 m sur un versant à 30°.
Environnement : Classe de service 2, charpente sous abri non chauffé. La neige en région parisienne, sous 1 000 m d'altitude, est classée en court terme par l'annexe nationale.
L'objectif final : Vérifier la panne en flexion déviée selon le § 6.1.6, puis en flèche résultante, et dire si une lierne à mi-portée est nécessaire.
L'astuce de l'ingénieur : La charge de neige de l'EN 1991-1-3 est donnée par mètre carré de projection horizontale, jamais par mètre carré de rampant. La confondre majore la neige de 15 %.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et vous reprenez la note de calculs d'une charpente déjà commandée. Votre travail consiste à refaire les vérifications en tenant compte de l'inclinaison du versant, à mesurer l'écart, et à dire si la section tient réellement.

Le grand défi : La flexion déviée. La note reprise traite la panne comme une poutre horizontale, ce qui ignore complètement la composante parallèle au rampant — celle qui sollicite l'axe faible.
Votre rôle : Produire une note traçable : les charges correctement projetées, les deux moments, les deux critères du § 6.1.6, la flèche résultante avec fluage, et un avis sur la nécessité d'une lierne.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — les actions : les charges linéiques correctement projetées, poids propre compris, la charge de calcul à l'ELU et sa décomposition sur les deux axes de la panne.
Livrable 2 — les vérifications : les deux critères de flexion déviée du § 6.1.6, la flèche résultante avec fluage, les taux vis-à-vis de L/250 et L/300, et l'effet d'une lierne à mi-portée.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 avec les valeurs de l'annexe nationale française, la charge de neige provenant de l'EN 1991-1-3 et les caractéristiques du C24 de la NF EN 338. Trois points appellent une vigilance particulière : la charge de neige est donnée par mètre carré de projection horizontale ; la panne étant inclinée, elle travaille en flexion déviée selon le § 6.1.6 ; et la neige, sous 1 000 m d'altitude, relève du court terme avec un coefficient \( \psi_{2} \) nul.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Charge permanente linéique — donnée sur le rampant \( g_{\text{k}} = G_{\text{k}}\,e + \rho_{\text{mean}}\,g\,b\,h \)
Charge de neige linéique — donnée en projection \( s_{\text{k}} = S_{\text{k}}\,e\cos\alpha \)
Combinaison fondamentale — EN 1990 (6.10) \( p_{\text{d}} = 1{,}35\,g_{\text{k}} + 1{,}50\,s_{\text{k}} \)
Décomposition sur les axes de la panne \( p_{\perp} = p\cos\alpha \) · \( p_{\parallel} = p\sin\alpha \)
Modules de flexion des deux axes \( W_{y} = \dfrac{b\,h^{2}}{6} \) · \( W_{z} = \dfrac{h\,b^{2}}{6} \)
Flexion déviée — § 6.1.6, équations (6.11) et (6.12) \( \dfrac{\sigma_{m,y,\text{d}}}{f_{m,\text{d}}} + k_{m}\dfrac{\sigma_{m,z,\text{d}}}{f_{m,\text{d}}} \le 1 \)
Flèche résultante de deux composantes orthogonales \( w = \sqrt{w_{y}^{2} + w_{z}^{2}} \)
Flèche nette finale — § 2.2.3(5) \( w_{\text{net,fin}} = w_{\text{G}}(1 + k_{\text{def}}) + w_{\text{S}}(1 + \psi_{2}k_{\text{def}}) \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( b \times h \)	Section de la panne, posée dévoyée — hauteur perpendiculaire au rampant	80 × 220	mm
\( L \)	Portée entre fermes, deux appuis simples	4,00	m
\( e \)	Entraxe des pannes, mesuré sur le rampant	0,60	m
\( \alpha \)	Pente du versant — c'est elle qui provoque la flexion déviée	30	°
\( f_{m,\text{k}} \)	Résistance caractéristique en flexion du C24 NF EN 338	24	N/mm²
\( E_{0,\text{mean}} \)	Module axial moyen du C24 — employé pour les deux flèches NF EN 338	11 000	N/mm²
\( k_{m} \)	Coefficient de flexion déviée, section rectangulaire de bois massif EN 1995-1-1 - § 6.1.6(2)	0,7	—
\( k_{\text{mod}} \) et \( k_{\text{def}} \)	Classe de service 2, neige de court terme sous 1 000 m EN 1995-1-1 - Tableaux 3.1 et 3.2	0,90 et 0,80	—
\( \gamma_{\text{M}} \)	Coefficient partiel du bois massif EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,30	—

Les trois lectures qui décident, et leurs pièges

La neige : \( \text{donnee par m}^2 \text{ de } \textbf{projection horizontale} \text{, d ou le } \cos\alpha \)
L inclinaison : \( \text{deux composantes} \Rightarrow \textbf{flexion deviee} \text{, } \S\,6.1.6 \)
La duree : \( \text{neige sous 1 000 m} = \textbf{court terme} \text{, et } \psi_{2} = 0 \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( G_{\text{k}} \)	Couverture, liteaux et isolation — donnée par m² de rampant, hors poids propre des pannes	0,45	kN/m²
\( S_{\text{k}} \)	Charge de neige sur la toiture, donnée par m² de projection horizontale EN 1991-1-3 - § 5.2	0,65	kN/m²
\( \psi_{2} \)	Coefficient quasi-permanent de la neige, altitude inférieure à 1 000 m — la neige ne flue pas EN 1990 - Tableau A1.1	0	—
\( \rho_{\text{mean}} \)	Masse volumique moyenne du C24 — sert au poids propre de la panne	420	kg/m³
Maintien latéral	Chevrons et couverture cloués sur la face supérieure : déversement empêché, \( k_{\text{crit}} = 1 \) EN 1995-1-1 - § 6.3.3	Continu	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Vent : \( \text{EN 1991-1-4 — depression en toiture, combinaison a etudier separement} \)
Neige accumulee : \( \text{EN 1991-1-3 — cas de charge dissymetrique et congeres} \)
Compression transversale : \( \S\,6.1.5 \text{ — sur les echantignoles et les appuis de ferme} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Où se mesure chaque charge de toiture

Action	Surface de référence	Conversion en linéique
Couverture, isolation, poids propre	rampant	\( G_{\text{k}} \times e \)
Neige	projection horizontale	\( S_{\text{k}} \times e\cos\alpha \)
Vent	rampant, perpendiculairement	\( w \times e \), sans décomposition

La distinction est explicite dans l'EN 1991-1-3 : la charge de neige \( s \) s'applique « par mètre carré de projection horizontale » de la toiture, parce que c'est ainsi que la neige tombe. Le coefficient de forme \( \mu_{1} \) tient déjà compte de la pente. Multiplier \( S_{\text{k}} \) par l'entraxe mesuré sur le rampant, sans projeter, majore donc la neige de 15 % à 30° de pente — et de 41 % à 45°. L'erreur est sécuritaire, mais elle fausse la répartition entre permanent et variable.

Flexion déviée — § 6.1.6, équations (6.11) et (6.12)

Critère	Expression	Gouverne quand
(6.11)	\( \sigma_{y}/f + k_{m}\,\sigma_{z}/f \le 1 \)	\( \sigma_{y} > \sigma_{z} \)
(6.12)	\( k_{m}\,\sigma_{y}/f + \sigma_{z}/f \le 1 \)	\( \sigma_{z} > \sigma_{y} \)
\( k_{m} \) — bois massif rectangulaire	0,7	toujours
\( k_{m} \) — autres sections	1,0	sections non rectangulaires

Les deux critères doivent être écrits, et c'est le plus grand des deux qui gouverne. Le coefficient \( k_{m} = 0{,}7 \) réduit la contribution de la flexion secondaire dans chaque critère : il traduit le fait que les deux flexions ne mobilisent pas les mêmes fibres au même instant, la fibre la plus sollicitée étant un coin de la section. Employer un seul critère, ou omettre \( k_{m} \), fausse le résultat dans les deux sens selon lequel des deux moments domine.

Extrait du tableau 3.1 — coefficient \( k_{\text{mod}} \), bois massif

Classe de durée	Service 1	Service 2	Service 3
Permanente	0,60	0,60	0,50
Moyen terme	0,80	0,80	0,65
Court terme — neige sous 1 000 m	0,90	0,90	0,70
Instantanée — vent	1,10	1,10	0,90

L'annexe nationale française classe la charge de neige en court terme pour les sites situés à moins de 1 000 m d'altitude, et en moyen terme au-delà. La distinction n'est pas anodine : elle vaut 12,5 % de résistance de calcul. C'est la classe de durée la plus courte de la combinaison qui fixe le coefficient, appliqué ensuite à la combinaison entière — ici la neige, donc 0,90.

Pourquoi une panne dévoyée est un cas à part

Les charges restent verticales : la gravité ne s'incline pas avec le versant
Les axes de la panne sont inclinés : la décomposition est donc inévitable
L'axe faible est 2,75 fois moins raide en résistance et 7,6 fois moins en rigidité pour cette section
La composante parallèle est reprise par les liernes, quand il y en a

Une panne posée d'aplomb — verticalement, en biseautant les appuis — ne subit pas de flexion déviée : ses axes coïncident avec la verticale. C'est plus coûteux à mettre en œuvre, et donc réservé aux fortes pentes. La panne dévoyée, posée perpendiculairement au rampant, est la solution courante ; elle exige en contrepartie de vérifier la flexion selon les deux axes, et souvent de poser des liernes à mi-portée dans le plan du rampant.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur les Eurocodes. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

\( f_{m,\text{k}} = 24 \) et \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) N/mm² pour le C24 — NF EN 338
\( k_{m} = 0{,}7 \) pour les sections rectangulaires — § 6.1.6(2)
Le classement de la neige en court terme sous 1 000 m — annexe nationale à l'EN 1995-1-1
\( \psi_{2} = 0 \) pour la neige sous 1 000 m — EN 1990, tableau A1.1
La neige donnée en projection horizontale — EN 1991-1-3, § 5.2
Les limites de flèche, L/250 ou L/300 selon les ouvrages supportés — tableau 7.2 et annexe nationale

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Charges linéiques sur la panne

Actions 25 min | Piège

But de l'étape : Transformer deux charges surfaciques en charges linéiques — en sachant que chacune se mesure sur une surface différente.

Énoncé Q1 : Pour une panne d'entraxe 0,60 m sur un versant à 30° :

calculer le poids propre de la panne et l'ajouter à la charge permanente ;
établir la charge de neige linéique en tenant compte de la projection horizontale ;
mesurer l'écart avec la note reprise, qui n'a pas projeté.

La couverture se mesure sur le rampant, la neige en projection horizontale. Les deux entraxes ne sont pas les mêmes .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La neige tombe verticalement : ce qui se dépose sur une bande de toiture dépend de la largeur vue du dessus, pas de la longueur de rampant. La couverture, elle, est bien répartie sur le rampant, puisqu'elle en épouse la surface.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le poids propre vaut 0,073 kN/m, ce qui porte la charge permanente à 0,343 kN/m. La neige, projetée, ne vaut que 0,338 kN/m au lieu des 0,39 de la note reprise, soit 13 % de moins.

Question 2 : Charge de calcul et décomposition sur les axes

Statique 25 min | Piège

But de l'étape : Projeter la charge verticale sur les deux axes de la panne, et en déduire les deux moments.

Énoncé Q2 : À partir des charges linéiques de la question 1 :

appliquer la combinaison fondamentale pour obtenir la charge de calcul verticale ;
la décomposer en une composante perpendiculaire au rampant et une composante parallèle ;
en déduire les deux moments fléchissants à mi-portée.

La charge est verticale ; ce sont les axes de la panne qui sont inclinés. La décomposition est donc inévitable.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La composante perpendiculaire au rampant vaut \( p\cos\alpha \) et sollicite l'axe fort ; la composante parallèle vaut \( p\sin\alpha \) et sollicite l'axe faible. À 30°, la seconde vaut la moitié de la charge verticale — ce n'est pas un terme correctif.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( p_{\text{d}} = \) 0,969 kN/m, décomposée en 0,839 perpendiculairement et 0,485 parallèlement au rampant. Les moments valent 1,678 et 0,969 kN·m.

Question 3 : Vérification en flexion déviée

Le cœur du sujet 35 min | BOSS

But de l'étape : Découvrir que la contrainte selon l'axe faible dépasse celle selon l'axe fort, et appliquer les deux critères du § 6.1.6.

Énoncé Q3 : Pour la section 80 × 220 mm :

calculer les deux modules de flexion puis les deux contraintes ;
établir la résistance de calcul avec le bon coefficient de durée ;
écrire les deux critères (6.11) et (6.12) et retenir le plus défavorable.

Le module de flexion de l'axe faible est 2,75 fois plus petit : c'est là que se joue la question.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Comparez d'abord les deux modules : \( W_{y} = bh^{2}/6 \) et \( W_{z} = hb^{2}/6 \). Leur rapport vaut \( h/b \), soit 2,75. Le moment secondaire n'étant que 0,58 fois le principal, la contrainte secondaire sera donc plus grande que la principale.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( \sigma_{m,y,\text{d}} = \) 2,60 et \( \sigma_{m,z,\text{d}} = \) 4,13 N/mm², pour \( f_{m,\text{d}} = \) 16,62. Le critère (6.12) gouverne à 36 %, contre 20 % annoncés par la note reprise.

Question 4 (Finale) : Flèche résultante et nécessité d'une lierne

Synthèse et décision 35 min | BOSS

But de l'étape : Composer les deux flèches, y ajouter le fluage, et découvrir que c'est ce critère qui décide.

Mention spéciale — l'axe faible est 7,6 fois moins rigide : En résistance, le rapport entre les deux axes est de 2,75 ; en rigidité, il atteint 7,6, parce que le moment quadratique varie comme le cube de la dimension. La flèche parallèle au rampant est donc, et de loin, la composante dominante.

Calculer les deux moments quadratiques et les flèches instantanées selon chaque axe, puis la flèche résultante. Ajouter le fluage selon le § 2.2.3(5), en tenant compte de \( \psi_{2} = 0 \) pour la neige. Comparer aux critères L/250 et L/300, puis chiffrer l'effet d'une lierne à mi-portée dans le plan du rampant.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Une lierne à mi-portée divise par deux la portée de flexion dans le plan du rampant. Comme la flèche varie en \( L^{4} \), elle est divisée par seize — c'est le levier le plus puissant dont dispose le charpentier.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La flèche nette finale atteint 15,80 mm, soit 99 % du critère L/250 et 118 % de L/300. Avec une lierne, elle tombe à 3,66 mm, soit 23 %.

NOTE DE CALCULS

Panne dévoyée sur versant à 30° : c'est la flexion secondaire qui décide

Question 1 : Charges linéiques sur la panne

Dans la tête de l'ingénieur

"La note que je reprends multiplie les deux charges surfaciques par le même entraxe de 0,60 m. C'est juste pour la couverture, faux pour la neige. L'EN 1991-1-3 est explicite : la charge de neige s'applique par mètre carré de projection horizontale, parce que c'est ainsi que la neige tombe — verticalement. La bande de toiture que reprend une panne mesure bien 0,60 m sur le rampant, mais seulement 0,52 m vue du dessus. L'erreur majore la neige de 15 %, ce qui est sécuritaire mais fausse la répartition entre permanent et variable — et donc la combinaison. J'ajoute par ailleurs le poids propre de la panne, qui pèse 27 % de la charge permanente annoncée."

Observation : Deux charges surfaciques, deux surfaces de référence différentes. C'est la particularité des toitures inclinées.
Analyse du risque : À 30° de pente, l'écart est de 15 % sur la neige. À 45°, il atteindrait 41 %.
Choix stratégique : Je garde le permanent et la neige séparés, parce qu'ils suivront des chemins différents pour le fluage.
Alternative : Certains bureaux convertissent la neige en charge par m² de rampant dès le départ, en la multipliant par \( \cos\alpha \). C'est équivalent, à condition de le faire une seule fois.
Objectif visé : Disposer de deux charges linéiques verticales, prêtes à être combinées puis décomposées.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Poids propre 0,073 kN/m · \( g_{\text{k}} = \) 0,343 kN/m · entraxe projeté 0,520 m · \( s_{\text{k}} = \) 0,338 kN/m — contre 0,39 dans la note reprise, soit 13 % de moins

Rappel Théorique : les surfaces de référence en toiture

Sur une toiture inclinée, toutes les charges ne se rapportent pas à la même surface. C'est la source d'erreur la plus tenace du calcul de charpente.

Principe 1 — le poids suit la matière : Couverture, liteaux, isolation : ils recouvrent le rampant, et leur charge se rapporte donc au mètre carré de rampant.
Principe 2 — la neige tombe verticalement : Ce qui se dépose sur une bande de toiture dépend de sa largeur vue du dessus. L'EN 1991-1-3 la donne en projection horizontale.
Principe 3 — le coefficient de forme gère déjà la pente : Le \( \mu_{1} \) de l'EN 1991-1-3 diminue au-delà de 30° pour traduire le glissement de la neige. Il ne faut donc pas corriger deux fois.
Principe 4 — le vent est perpendiculaire au rampant : Troisième cas encore : la pression du vent s'exerce normalement à la surface, sans décomposition.
Principe 5 — le poids propre s'ajoute toujours : Il est permanent par nature et se rapporte au rampant, comme la couverture.

Équations Fondamentales

Deux conversions, deux surfaces de référence.

Charge permanente linéique — mesurée sur le rampant :

Le passage de la couverture à la panne.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la couverture, les liteaux et l'isolation épousent la surface du versant : leur poids est proportionnel à la surface de rampant qu'ils recouvrent. Une panne reprend une bande de rampant large d'un entraxe, jusqu'à mi-distance de chacune de ses voisines — exactement comme une solive dans un plancher. Le poids propre de la panne elle-même s'y ajoute directement en kilonewtons par mètre, sans passer par une surface : il est déjà linéique.

Contexte de validité : Pannes régulièrement espacées. Une panne de rive ne reprend qu'une demi-largeur d'influence.
Avantage : Aucune correction d'inclinaison : la surface de référence est celle sur laquelle la charge est donnée.
Paramètre clé : L'entraxe mesuré sur le rampant, qui est la donnée du plan de charpente.
Vérification : Une couverture en tuiles pèse 0,40 à 0,55 kN/m² de rampant, isolation et liteaux compris.
Limite : La charge obtenue est verticale. Elle devra être décomposée sur les axes de la panne à la question suivante.

\[ \begin{aligned} g_{\text{k}} = G_{\text{k}}\,e + \rho_{\text{mean}}\,g\,b\,h \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la panne porte la bande de couverture qui lui revient, plus elle-même. Le second terme paraît négligeable ; rapporté à l'entraxe, il pèse pourtant 0,12 kN/m², soit plus du quart de la couverture annoncée.

Décomposition des termes :

\( g_{\text{k}} \) : charge permanente linéique verticale, unité : kN/m
\( G_{\text{k}} = 0{,}45 \) : couverture et isolation, par m² de rampant, unité : kN/m²
\( e = 0{,}60 \) : entraxe des pannes sur le rampant, unité : m
\( \rho_{\text{mean}}\,g \) : poids volumique du C24, soit 4,12 kN/m³, unité : kN/m³
\( b\,h \) : aire de la section de la panne, unité : m²

Charge de neige linéique — EN 1991-1-3 § 5.2 :

Le passage de la projection horizontale à la panne.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la neige tombe verticalement : la quantité qui se dépose sur une bande de toiture ne dépend pas de la longueur de rampant que cette bande occupe, mais de sa largeur vue du dessus. Une toiture très pentue intercepte moins de neige par mètre carré de rampant qu'une toiture plate, et l'EN 1991-1-3 le traduit en définissant \( s \) sur la projection horizontale. Le coefficient de forme \( \mu_{1} \) ajoute par ailleurs l'effet du glissement au-delà de 30°, mais c'est un phénomène distinct.

Contexte de validité : Charge de neige uniformément répartie. Les accumulations en noue ou derrière un acrotère relèvent d'autres cas de charge.
Avantage : Une seule multiplication par \( \cos\alpha \) suffit à passer d'une surface de référence à l'autre.
Paramètre clé : L'angle \( \alpha \), dont le cosinus vaut 0,866 à 30°.
Vérification : La charge de neige projetée est toujours inférieure à la charge non projetée : le facteur est un cosinus.
Limite : Ne pas corriger deux fois : si \( S_{\text{k}} \) a déjà été converti en charge de rampant, la projection est faite.

\[ \begin{aligned} s_{\text{k}} = S_{\text{k}}\,e\cos\alpha \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce qui compte, c'est la surface que la toiture offre au ciel. Vue du dessus, la bande de 60 cm de rampant n'en mesure que 52. La neige ne sait pas que le toit est incliné : elle tombe droit.

Décomposition des termes :

\( s_{\text{k}} \) : charge de neige linéique verticale, unité : kN/m
\( S_{\text{k}} = 0{,}65 \) : charge de neige par m² de projection horizontale, unité : kN/m²
\( e\cos\alpha \) : entraxe projeté, soit 0,520 m, unité : m
\( \cos 30° = 0{,}866 \) : facteur de projection, unité : —
Nature : charge variable, de courte durée sous 1 000 m, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de multiplier toutes les charges par le même entraxe..."

L'approche d'ingénieur : Chaque action a sa surface de référence, définie par la norme qui la donne. Elle se lit avant toute multiplication.

L'erreur : Écrire \( s_{\text{k}} = 0{,}65 \times 0{,}60 = 0{,}39 \) kN/m. La neige est majorée de 15 %, et davantage encore sur les fortes pentes.
La bonne méthode : Vérifier dans quelle norme d'action la charge est définie, et sur quelle surface. L'EN 1991-1-3 le dit explicitement pour la neige.
L'astuce de pro : Retenir la règle par l'image : ce qui pèse suit le toit, ce qui tombe suit le ciel.
Le moyen mnémotechnique : « La neige ne sait pas que le toit est incliné ».
L'impact direct : Ici l'erreur est sécuritaire et compense presque exactement le poids propre oublié — mais deux erreurs qui se compensent restent deux erreurs.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( b \times h \) : converti en m² , soit 0,0176
\( \rho_{\text{mean}} \times g \) : donne un poids volumique en kN/m³
kN/m² × m : donne bien des kN/m
\( \cos\alpha \) : grandeur sans unité
\( g_{\text{k}} \) et \( s_{\text{k}} \) : en kN/m , et verticales

Aucune difficulté dimensionnelle ici, mais un piège de nature : les deux charges obtenues sont verticales, alors que la panne est inclinée. Elles ne sont donc pas encore utilisables telles quelles pour calculer un moment : la décomposition viendra à la question 2. L'ordre de grandeur attendu pour une panne de toiture courante est de 0,3 à 1,0 kN/m par action.

1. Résolution Numérique Poids propre de la panne

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la charge permanente annoncée ne le comprend pas, et qu'il pèse plus du quart de celle-ci.

Méthodologie du calcul :

Aire de la section multipliée par le poids volumique du C24.

Substitution : \( 0{,}080 \times 0{,}220 = 0{,}0176 \) m², multipliés par \( 420 \times 9{,}81 = 4{,}12 \) kN/m³.
Piège évité : Employer \( \rho_{\text{mean}} \) et non \( \rho_{\text{k}} \) : pour un poids propre, on cherche la valeur probable.
Hypothèse validée : La charge \( G_{\text{k}} \) couvre la couverture, les liteaux et l'isolation, hors ossature.
Vérification croisée : 0,073 kN/m sur 4 m fait 29 kg par panne : c'est l'ordre de grandeur d'un madrier de cette section.
Finalité : Compléter la charge permanente avant toute combinaison.

\[ \begin{aligned} g_{\text{propre}} &= 0{,}080 \times 0{,}220 \times 4{,}12 \\ &= \mathbf{0{,}073 \ \text{kN/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,073 kN/m, soit 0,121 kN/m² ramené à l'entraxe.

Ordre de grandeur : 27 % de la charge permanente annoncée. L'omettre n'est pas une approximation.
Impact sur la suite : Cette part est permanente : elle subira intégralement le fluage à la question 4.
Cohérence : La proportion est plus forte que sur un plancher, parce que la couverture est légère comparée à une chape.
Attention : Elle dépend de l'entraxe : à 0,90 m, le poids propre ne représenterait plus que 0,081 kN/m².
Comparaison : La note reprise affirme que ce poids est « inclus dans \( G_{\text{k}} \) » — mais 0,45 kN/m² correspond déjà à la seule couverture avec isolation.

Remarque pédagogique : Faites toujours décomposer une charge permanente annoncée en ses postes : couverture, liteaux, isolation, ossature. Un chiffre global de 0,45 kN/m² ne dit pas ce qu'il contient, et c'est précisément là que se cachent les oublis. Une descente de charges qui liste ses postes se vérifie ; une descente de charges forfaitaire se croit sur parole.

Charge permanente linéique totale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la charge qui subira le fluage complet, et l'une des deux entrées de la combinaison.

Méthodologie du calcul :

Charge de couverture ramenée à l'entraxe de rampant, plus le poids propre.

Substitution : \( 0{,}45 \times 0{,}60 = 0{,}270 \) kN/m, auxquels s'ajoutent 0,073.
Piège évité : Ne pas projeter cette charge : la couverture est bien donnée par m² de rampant.
Hypothèse validée : Pannes régulièrement espacées : chaque panne reprend un entraxe complet.
Vérification croisée : 0,343 kN/m sur 4 m représente 1,37 kN, soit 140 kg par panne.
Finalité : Alimenter la combinaison ELU et, séparément, le calcul de flèche.

\[ \begin{aligned} g_{\text{k}} &= 0{,}45 \times 0{,}60 + 0{,}073 \\ &= 0{,}270 + 0{,}073 = \mathbf{0{,}343 \ \text{kN/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,343 kN/m, contre 0,270 dans la note reprise.

Ordre de grandeur : 27 % de plus que la valeur retenue par la note reprise, du seul fait du poids propre.
Impact sur la suite : Cette part flue intégralement, contrairement à la neige : elle pèsera lourd dans la flèche finale.
Cohérence : Le permanent et la neige sont ici du même ordre : 0,343 contre 0,338 kN/m.
Attention : Cette charge est verticale, comme toutes les charges de gravité. Elle n'est pas encore projetée sur les axes de la panne.
Comparaison : Sur un plancher, le permanent dépasse largement le variable ; en toiture légère, les deux s'équilibrent.

Remarque pédagogique : Faites comparer le permanent et le variable dès la première question. Sur cette panne ils sont presque égaux, ce qui annonce déjà que la combinaison sera équilibrée et que le fluage — qui ne touche que le permanent — ne représentera qu'une partie de la déformation finale. Ce genre de lecture anticipée oriente le reste de la note.

Charge de neige linéique projetée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le point où la note reprise se trompe de surface de référence.

Méthodologie du calcul :

Entraxe projeté à l'horizontale, multiplié par la charge de neige.

Substitution : \( e\cos\alpha = 0{,}60 \times 0{,}866 = 0{,}520 \) m, multipliés par 0,65 kN/m².
Piège évité : Projeter l'entraxe, et non la charge obtenue : les deux reviennent au même, mais on ne le fait qu'une fois.
Hypothèse validée : Charge de neige uniformément répartie, coefficient de forme déjà intégré dans \( S_{\text{k}} \).
Vérification croisée : Le rapport à la valeur non projetée vaut exactement 0,866, soit le cosinus de la pente.
Finalité : Fournir la charge variable de la combinaison, correctement rapportée.

\[ \begin{aligned} s_{\text{k}} &= 0{,}65 \times 0{,}60 \times \cos 30° \\ &= 0{,}65 \times 0{,}520 = \mathbf{0{,}338 \ \text{kN/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,338 kN/m, contre 0,390 dans la note reprise : 13 % de moins.

Ordre de grandeur : L'écart correspond exactement à \( 1 - \cos 30° \), soit 13,4 %.
Impact sur la suite : La neige étant pondérée à 1,50, cet écart pèse davantage que sa valeur brute dans la combinaison.
Cohérence : La neige projetée est inférieure à la neige non projetée : c'est cohérent, un toit pentu offre moins de surface au ciel.
Attention : À 45° de pente, l'écart atteindrait 29 % : la correction croît vite avec la pente.
Comparaison : L'erreur de la note reprise majore la neige de 15 %, ce qui compense presque exactement son oubli du poids propre.

Remarque pédagogique : Faites énoncer, pour chaque action, la surface sur laquelle elle est définie, avant de la multiplier par quoi que ce soit. Trois actions, trois réponses différentes : le poids suit le rampant, la neige suit la projection horizontale, le vent est normal à la surface. C'est la seule question à se poser, et elle règle définitivement le problème.

Écart avec les charges de la note reprise

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les deux erreurs jouent en sens opposés, et qu'il faut savoir de combien.

Méthodologie du calcul :

Comparaison poste par poste, puis sur la charge de service totale.

Substitution : 0,343 contre 0,270 sur le permanent, 0,338 contre 0,390 sur la neige.
Piège évité : Ne pas conclure que « tout se compense » : les deux charges ont des coefficients partiels différents.
Hypothèse validée : Les deux notes portent sur la même configuration : même section, même entraxe, même portée.
Vérification croisée : La charge de service totale passe de 0,660 à 0,681 kN/m, soit 3 % de plus seulement.
Finalité : Montrer que la compensation est fortuite et ne survivra pas au calcul de flèche.

\[ \begin{aligned} g_{\text{k}} + s_{\text{k}} &= 0{,}343 + 0{,}338 \\ &= \mathbf{0{,}681 \ \text{kN/m}} \quad \text{contre } 0{,}660 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

3 % d'écart sur le total, alors que chaque poste s'écarte de plus de 13 %.

Ordre de grandeur : Les deux erreurs se compensent presque : +0,073 sur le permanent contre −0,052 sur la neige.
Impact sur la suite : La compensation ne tiendra pas pour la flèche finale, où le permanent flue et la neige non.
Cohérence : La répartition change complètement : le permanent passe de 41 à 50 % de la charge totale.
Attention : Deux erreurs de sens opposé ne s'annulent qu'à un endroit précis du calcul. Ailleurs, elles divergent.
Comparaison : Sur la charge de calcul à l'ELU, l'écart ne sera que de 2 % — encore une compensation.

Remarque pédagogique : Faites suivre la répartition entre permanent et variable autant que le total. Ici le total ne bouge que de 3 %, mais la part du permanent passe de 41 à 50 % : c'est cette répartition qui commandera le fluage, et donc la flèche finale. Un total juste ne garantit jamais une répartition juste.

RÉSULTAT FINAL

Charges linéiques verticales = 0,343 et 0,338 kN/m — permanent poids propre compris, neige projetée à l'horizontale

"La neige ne sait pas que le toit est incliné !"

Question 2 : Charge de calcul et décomposition sur les axes

Dans la tête de l'ingénieur

"Voici l'étape que la note reprise a purement et simplement sautée. Elle calcule une charge de calcul de 0,95 kN/m, puis en tire directement un moment \( pL^{2}/8 \) — comme si la panne était horizontale. Elle ne l'est pas. La charge est verticale, la panne est inclinée à 30°, et ses deux axes le sont avec elle. La charge se décompose donc nécessairement en une composante perpendiculaire au rampant, qui sollicite l'axe fort, et une composante parallèle, qui sollicite l'axe faible. À 30°, cette seconde composante vaut exactement la moitié de la charge verticale : ce n'est pas un terme correctif qu'on peut négliger."

Observation : À 30°, \( \sin\alpha = 0{,}5 \) exactement : la composante parallèle au rampant vaut la moitié de la charge.
Analyse du risque : Ignorer la décomposition revient à supposer que la panne est posée d'aplomb, ce qui n'est pas le cas ici.
Choix stratégique : Je combine puis je décompose : la décomposition étant linéaire, l'ordre n'importe pas, mais une seule décomposition suffit.
Alternative : Une panne posée d'aplomb — verticalement, avec des appuis biseautés — échapperait à la flexion déviée, au prix d'une mise en œuvre plus coûteuse.
Objectif visé : Sortir avec deux moments, un par axe, prêts pour la vérification en flexion déviée.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( p_{\text{d}} = \) 0,969 kN/m · composantes 0,839 perpendiculaire et 0,485 parallèle au rampant · moments \( M_{y} = \) 1,678 et \( M_{z} = \) 0,969 kN·m

Rappel Théorique : charge verticale, axes inclinés

La gravité ne s'incline pas avec le versant. C'est la section qui tourne, et la décomposition en découle.

Principe 1 — les coefficients partiels s'appliquent avant : On combine d'abord les actions verticales, puis on décompose. La linéarité autorise l'ordre inverse, mais une seule décomposition évite les doublons.
Principe 2 — deux composantes orthogonales : \( p\cos\alpha \) perpendiculairement au rampant, \( p\sin\alpha \) parallèlement.
Principe 3 — chaque composante a son axe : La perpendiculaire produit \( M_{y} \) et sollicite \( W_{y} \) ; la parallèle produit \( M_{z} \) et sollicite \( W_{z} \).
Principe 4 — le rapport des moments est la tangente : \( M_{z}/M_{y} = \tan\alpha \). À 30°, cela fait 0,577 : le moment secondaire n'est pas anecdotique.
Principe 5 — les deux moments sont maximaux au même endroit : À mi-portée, puisque les deux composantes sont uniformément réparties sur la même poutre.

Équations Fondamentales

La combinaison, puis la projection sur les axes de la section.

Combinaison fondamentale — EN 1990, expression (6.10) :

La pondération des actions verticales.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le poids d'une couverture se mesure une fois pour toutes, alors que la charge de neige dépend d'un hiver à l'autre. Le coefficient 1,50 couvre cette incertitude bien plus large que le 1,35 du permanent. Les deux valeurs sortent d'une calibration probabiliste et non d'une convention. Sur cette panne, le permanent et la neige sont presque égaux : la combinaison sera donc équilibrée, et la charge de calcul environ 42 % supérieure à la charge de service.

Contexte de validité : Situation de projet durable, la neige étant la seule action variable retenue.
Avantage : Une seule ligne couvre le cas de charge dimensionnant d'une charpente courante.
Paramètre clé : La séparation des deux actions, indispensable pour appliquer les bons coefficients.
Vérification : Le rapport à la charge de service tombe toujours entre 1,35 et 1,50.
Limite : Le vent n'est pas pris en compte ici : une dépression de toiture donnerait une autre combinaison, parfois plus défavorable.

\[ \begin{aligned} p_{\text{d}} = 1{,}35\,g_{\text{k}} + 1{,}50\,s_{\text{k}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : on majore davantage ce qu'on connaît moins bien. Le poids de la couverture est mesurable au kilo près ; l'épaisseur de neige d'un hiver exceptionnel ne l'est pas. L'écart entre 1,35 et 1,50 est le prix de cette incertitude.

Décomposition des termes :

\( p_{\text{d}} \) : charge de calcul verticale à l'ELU, unité : kN/m
\( g_{\text{k}} = 0{,}343 \) : permanent, poids propre compris, unité : kN/m
\( s_{\text{k}} = 0{,}338 \) : neige projetée à l'horizontale, unité : kN/m
1,35 : coefficient partiel du permanent défavorable, unité : —
1,50 : coefficient partiel de la neige, unité : —

Décomposition sur les axes de la panne :

Le passage de la verticale aux axes de la section.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une section ne sait fléchir que selon ses propres axes. Une panne dévoyée a sa hauteur perpendiculaire au rampant et sa largeur parallèle : la charge verticale ne coïncide donc avec aucun des deux. La projection est une simple décomposition vectorielle, mais elle a une conséquence lourde — la composante parallèle, qui vaut la moitié de la charge à 30°, s'applique à un module de flexion 2,75 fois plus petit. C'est de là que vient toute la difficulté du calcul des pannes.

Contexte de validité : Panne dévoyée, c'est-à-dire posée perpendiculairement au rampant. Une pose d'aplomb ne demande aucune décomposition.
Avantage : La décomposition est exacte : c'est de la trigonométrie, sans approximation.
Paramètre clé : La pente \( \alpha \). À 30°, on obtient 0,866 et 0,500 — des valeurs à retenir.
Vérification : La somme des carrés des deux composantes doit redonner le carré de la charge verticale.
Limite : Elle vaut pour les charges de gravité. Le vent, normal à la surface, ne se décompose pas de cette façon.

\[ \begin{aligned} p_{\perp} = p_{\text{d}}\cos\alpha \quad \text{et} \quad p_{\parallel} = p_{\text{d}}\sin\alpha \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une partie de la charge appuie sur la panne, l'autre tend à la faire glisser le long du versant. C'est cette seconde partie qui pose problème : elle sollicite la panne dans le sens où elle est mince, et c'est elle qui gouvernera la vérification.

Décomposition des termes :

\( p_{\perp} \) : composante perpendiculaire au rampant, sollicite l'axe fort, unité : kN/m
\( p_{\parallel} \) : composante parallèle au rampant, sollicite l'axe faible, unité : kN/m
\( \cos 30° = 0{,}866 \) : facteur de la composante principale, unité : —
\( \sin 30° = 0{,}500 \) : facteur de la composante secondaire, unité : —
Moments : chacun vaut \( pL^{2}/8 \) avec sa composante, unité : kN·m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de traiter une panne comme une poutre horizontale..."

L'approche d'ingénieur : Dès qu'une poutre est inclinée et que les charges sont verticales, il y a flexion déviée. C'est le cas de toutes les pannes dévoyées.

L'erreur : Écrire directement \( M = p_{\text{d}}L^{2}/8 \) et le diviser par \( W_{y} \). Toute la composante parallèle au rampant — la moitié de la charge — disparaît du calcul.
La bonne méthode : Dessiner la section dans sa position réelle, repérer ses deux axes, et projeter la charge sur chacun.
L'astuce de pro : Se demander si les axes de la section coïncident avec la verticale. Si non, il y a décomposition.
Le moyen mnémotechnique : « La gravité ne s'incline pas avec le toit ».
L'impact direct : Le taux de flexion passera de 20 à 36 %, et la flèche sera multipliée par quatre. L'omission n'est pas de second ordre.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( g_{\text{k}} \) et \( s_{\text{k}} \) : en kN/m , issues de la question 1
Coefficients partiels : grandeurs sans unité
\( \cos\alpha \) et \( \sin\alpha \) : sans unité
\( L \) : en m pour les moments, en mm pour les contraintes
Les moments : en kN·m , à convertir en N·mm ensuite

Aucune conversion délicate dans cette question, mais un piège de logique : la décomposition doit être faite une seule fois. Décomposer les charges caractéristiques puis les combiner donne rigoureusement le même résultat que combiner puis décomposer — mais faire les deux reviendrait à projeter deux fois. Le contrôle est immédiat : la somme des carrés des deux composantes doit redonner le carré de la charge verticale.

1. Résolution Numérique Charge de calcul verticale à l'ELU

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la charge pondérée dont découlent les deux moments.

Méthodologie du calcul :

Application de la combinaison (6.10) aux deux charges linéiques verticales.

Substitution : \( g_{\text{k}} = 0{,}343 \) et \( s_{\text{k}} = 0{,}338 \) kN/m.
Piège évité : Ne pas appliquer 1,35 à l'ensemble. Chaque action a son coefficient partiel.
Hypothèse validée : La neige est la seule action variable retenue : aucun coefficient \( \psi_{0} \) n'intervient.
Vérification croisée : Le rapport à la charge de service vaut \( 0{,}969/0{,}681 = 1{,}42 \), bien compris entre 1,35 et 1,50.
Finalité : Fournir la charge à décomposer sur les axes.

\[ \begin{aligned} p_{\text{d}} &= 1{,}35 \times 0{,}343 + 1{,}50 \times 0{,}338 \\ &= 0{,}462 + 0{,}507 = \mathbf{0{,}969 \ \text{kN/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,969 kN/m, contre 0,950 dans la note reprise : 2 % d'écart seulement.

Ordre de grandeur : Près de 100 kg par mètre de panne. La compensation entre les deux erreurs de la question 1 se poursuit ici.
Impact sur la suite : C'est le dernier point où les deux notes se ressemblent : la décomposition va les séparer définitivement.
Cohérence : Les deux termes sont presque égaux — 0,462 et 0,507 — ce qui reflète l'équilibre entre permanent et neige.
Attention : Cette charge est verticale. L'employer telle quelle dans \( pL^{2}/8 \) suppose une poutre horizontale.
Comparaison : Sans projeter la neige, la note reprise aurait dû trouver 1,047 kN/m si elle avait compté le poids propre.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que deux notes peuvent converger sur un chiffre intermédiaire et diverger complètement ensuite. Ici les charges de calcul ne diffèrent que de 2 %, ce qui pourrait laisser croire que tout va bien — et la question suivante multipliera l'écart par vingt. Un contrôle de cohérence à mi-parcours ne dit rien sur la suite.

Composante perpendiculaire au rampant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est elle qui sollicite l'axe fort de la panne.

Méthodologie du calcul :

Projection de la charge verticale sur la normale au rampant.

Substitution : \( 0{,}969 \times \cos 30° = 0{,}969 \times 0{,}866 \).
Piège évité : C'est le cosinus qui donne la composante perpendiculaire au rampant, et non le sinus.
Hypothèse validée : La panne est dévoyée : sa hauteur est perpendiculaire au rampant, donc alignée sur cette composante.
Vérification croisée : Cette composante représente 87 % de la charge verticale : la plus grande part, mais pas la totalité.
Finalité : Alimenter le moment principal \( M_{y} \).

\[ \begin{aligned} p_{\perp} &= 0{,}969 \times 0{,}866 \\ &= \mathbf{0{,}839 \ \text{kN/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,839 kN/m appuient perpendiculairement au versant.

Ordre de grandeur : 13 % de moins que la charge verticale. La note reprise employait cette dernière, donc majorait ce terme.
Impact sur la suite : Le moment principal sera donc plus faible que celui de la note reprise — mais un second moment va s'y ajouter.
Cohérence : Cette composante sollicite le module de flexion le plus grand : c'est la configuration favorable.
Attention : Ne pas s'arrêter là. Prendre cette seule composante serait moins sécuritaire encore que la note reprise.
Comparaison : À 45° de pente, elle ne représenterait plus que 71 % de la charge verticale.

Remarque pédagogique : Faites dessiner le triangle des forces avant de calculer. Une charge verticale, une composante le long du rampant, une composante perpendiculaire : le croquis règle instantanément la question de savoir laquelle prend le cosinus. Chercher à mémoriser la formule sans le dessin conduit une fois sur deux à intervertir les deux.

Composante parallèle au rampant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est elle qui sollicite l'axe faible, et qu'elle est absente de la note reprise.

Méthodologie du calcul :

Projection de la charge verticale sur la direction du rampant.

Substitution : \( 0{,}969 \times \sin 30° = 0{,}969 \times 0{,}500 \).
Piège évité : Cette composante n'est pas reprise par les chevrons : ceux-ci empêchent le déversement, pas la flexion latérale de la panne.
Hypothèse validée : Aucune lierne à mi-portée dans l'état initial : la panne fléchit sur toute sa portée dans ce plan.
Vérification croisée : \( 0{,}839^{2} + 0{,}485^{2} = 0{,}939 = 0{,}969^{2} \) : la décomposition est exacte.
Finalité : Alimenter le moment secondaire \( M_{z} \), celui qui va gouverner.

\[ \begin{aligned} p_{\parallel} &= 0{,}969 \times 0{,}500 \\ &= \mathbf{0{,}485 \ \text{kN/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,485 kN/m, soit exactement la moitié de la charge verticale.

Ordre de grandeur : La moitié de la charge s'applique dans le sens où la panne est mince. Ce n'est pas un terme correctif.
Impact sur la suite : Elle sollicite un module de flexion 2,75 fois plus petit : la contrainte qui en résultera sera la plus grande des deux.
Cohérence : Le contrôle par le théorème de Pythagore est vérifié : les deux composantes recomposent bien la charge verticale.
Cas d'école : C'est précisément cette composante que la note reprise a oubliée — la moitié de la charge, purement et simplement.
Comparaison : À 15° de pente, elle ne vaudrait que 26 % de la charge ; à 45°, elle en vaudrait 71 %.

Remarque pédagogique : Faites retenir que \( \sin 30° = 0{,}5 \) exactement. Sur une pente à 30° — la plus courante en couverture tuile — la moitié de la charge part dans le sens faible de la panne. Ce chiffre rond marque les esprits et rend impossible de traiter ensuite la flexion déviée comme un raffinement optionnel.

Moments fléchissants selon les deux axes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce sont les deux sollicitations à confronter à la section.

Méthodologie du calcul :

Formule statique appliquée séparément à chaque composante.

Substitution : \( L^{2}/8 = 16/8 = 2 \) m², multiplié par chacune des deux composantes.
Piège évité : La même portée s'applique aux deux moments : la panne repose sur les mêmes fermes dans les deux plans.
Hypothèse validée : Panne isostatique sur deux appuis simples, sans continuité sur les fermes.
Vérification croisée : Le rapport des deux moments vaut \( \tan 30° = 0{,}577 \), comme attendu.
Finalité : Fournir les deux entrées de la vérification en flexion déviée.

\[ \begin{aligned} M_{y} &= \frac{0{,}839 \times 4{,}00^{2}}{8} = \mathbf{1{,}678 \ \text{kN}\cdot\text{m}} \\ M_{z} &= \frac{0{,}485 \times 4{,}00^{2}}{8} = \mathbf{0{,}969 \ \text{kN}\cdot\text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,678 et 0,969 kN·m : le moment secondaire vaut 58 % du principal.

Ordre de grandeur : Le rapport est la tangente de la pente : 0,577 à 30°. Un contrôle immédiat.
Impact sur la suite : Rapportés à des modules de flexion dans un rapport de 2,75, ces moments donneront des contraintes inversées.
Cohérence : Les deux moments sont maximaux à mi-portée, au même endroit : ils s'ajoutent bien sur la même section.
Attention : Le moment principal, 1,678 kN·m, est inférieur aux 1,900 de la note reprise — mais celle-ci ignorait le second.
Comparaison : Une lierne à mi-portée diviserait \( M_{z} \) par quatre, le ramenant à 0,242 kN·m.

Remarque pédagogique : Faites contrôler que le rapport des deux moments vaut bien la tangente de la pente. Ce recoupement est gratuit et valide d'un coup la décomposition, les deux projections et les deux moments. Il rappelle aussi que la géométrie commande : à pente donnée, le rapport des sollicitations est fixé, quelles que soient les charges.

RÉSULTAT FINAL

Deux moments à mi-portée = 1,678 et 0,969 kN·m — pour une charge de calcul verticale de 0,969 kN/m décomposée à 30°

"La gravité ne s'incline pas avec le toit !"

Décomposition de la charge sur les axes de la panne

Question 3 : Vérification en flexion déviée

Dans la tête de l'ingénieur

"Le résultat de cette question m'a surpris la première fois que je l'ai rencontré : la contrainte selon l'axe faible dépasse celle selon l'axe fort. C'est arithmétique. Le moment secondaire ne vaut que 58 % du principal, mais il s'applique à un module de flexion 2,75 fois plus petit : le rapport final est donc de 1,59 en faveur de la flexion secondaire. Il faut ensuite écrire les deux critères du § 6.1.6 — pas un seul — et retenir le plus grand. Enfin, la note reprise emploie \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \), valeur du moyen terme, alors que l'annexe nationale classe la neige sous 1 000 m en court terme, soit 0,90. Cette dernière erreur joue en sa défaveur, pour une fois."

Observation : Le rapport des modules vaut \( h/b = 2{,}75 \) — c'est le seul paramètre géométrique qui compte ici.
Analyse du risque : Écrire un seul critère au lieu de deux conduit à sous-estimer le taux dès que la flexion secondaire domine.
Choix stratégique : Je calcule les deux critères et je retiens le plus grand, comme l'impose le § 6.1.6.
Alternative : Le déversement ne joue pas : les chevrons cloués sur la face supérieure maintiennent la panne, donc \( k_{\text{crit}} = 1 \).
Objectif visé : Un taux de travail défendable, obtenu avec le bon jeu de critères et le bon coefficient de durée.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( W_{y} = \) 645 333 et \( W_{z} = \) 234 667 mm³ · \( \sigma_{m,y,\text{d}} = \) 2,60 et \( \sigma_{m,z,\text{d}} = \) 4,13 N/mm² · \( f_{m,\text{d}} = \) 16,62 · critère (6.12) gouvernant à 36 %

Rappel Théorique : la flexion déviée

Quand une section fléchit selon ses deux axes à la fois, la fibre la plus sollicitée est un coin de la section — et les deux flexions n'y contribuent pas au même instant.

Principe 1 — deux modules très différents : \( W_{y} = bh^{2}/6 \) et \( W_{z} = hb^{2}/6 \). Leur rapport vaut \( h/b \), soit 2,75 pour cette section.
Principe 2 — la contrainte secondaire peut dominer : Il suffit que le rapport des moments dépasse l'inverse du rapport des modules. Ici 0,577 > 1/2,75.
Principe 3 — deux critères, pas un : Le § 6.1.6 en donne deux, symétriques par échange des indices. Le plus grand gouverne.
Principe 4 — le coefficient \( k_{m} \) atténue le second terme : Il vaut 0,7 pour les sections rectangulaires et traduit le fait que les deux maxima ne coïncident pas exactement.
Principe 5 — la même résistance sert aux deux axes : \( f_{m,y,\text{d}} = f_{m,z,\text{d}} \) : le bois ne distingue pas les deux directions de flexion, seule la géométrie les différencie.

Équations Fondamentales

Les deux contraintes, puis les deux critères qui les combinent.

Contraintes de flexion selon les deux axes :

Chaque moment sur son module de flexion.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une section rectangulaire n'oppose pas la même résistance géométrique dans les deux directions. Fléchie autour de son axe fort, elle mobilise sa hauteur au carré ; fléchie autour de son axe faible, elle ne mobilise que sa largeur. Pour une panne de 80 × 220 mm, le rapport est de 2,75 — et il suffit que le moment secondaire dépasse 36 % du principal pour que la contrainte secondaire devienne la plus grande. À 30° de pente, le rapport des moments vaut 58 % : le seuil est largement franchi.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine et comportement élastique linéaire.
Avantage : Les deux calculs sont indépendants : c'est la même formule appliquée deux fois.
Paramètre clé : Le rapport \( h/b \) de la section, qui fixe à lui seul l'écart entre les deux modules.
Vérification : Le rapport des contraintes vaut \( \tan\alpha \times h/b \). Ici 0,577 × 2,75 = 1,59.
Limite : Ces contraintes ne s'additionnent pas directement : leur combinaison passe par les critères du § 6.1.6.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,y,\text{d}} = \frac{M_{y}}{W_{y}} = \frac{6M_{y}}{b\,h^{2}} \quad \text{et} \quad \sigma_{m,z,\text{d}} = \frac{M_{z}}{W_{z}} = \frac{6M_{z}}{h\,b^{2}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une poutre haute et mince est très forte dans un sens et très faible dans l'autre. C'est ce qui la rend efficace en flexion simple — et vulnérable dès qu'une charge la sollicite de travers. Une panne sur versant est exactement dans ce cas.

Décomposition des termes :

\( W_{y} = bh^{2}/6 \) : module de l'axe fort, la hauteur au carré, unité : mm³
\( W_{z} = hb^{2}/6 \) : module de l'axe faible, la largeur au carré, unité : mm³
\( M_{y} = 1{,}678 \) : moment de la composante perpendiculaire, unité : kN·m
\( M_{z} = 0{,}969 \) : moment de la composante parallèle, unité : kN·m
Rapport des modules : \( W_{y}/W_{z} = h/b = 2{,}75 \), unité : —

Critères de flexion déviée — EN 1995-1-1 § 6.1.6 :

Les deux inégalités à écrire.

Pourquoi cette formule ?

Parce que sous flexion déviée, la fibre la plus sollicitée est un coin de la section, où les deux contraintes s'ajoutent. Une addition pure serait cependant trop pénalisante : les essais montrent que la ruine ne se produit pas exactement à la somme des deux, notamment parce que la plastification locale du bois redistribue les contraintes dans le coin. Le coefficient \( k_{m} = 0{,}7 \) traduit cette réserve. Les deux critères sont nécessaires parce qu'on ne sait pas a priori lequel des deux termes doit être atténué : la norme atténue tour à tour l'un puis l'autre, et retient le cas le plus défavorable.

Contexte de validité : Flexion déviée sans effort axial. Avec de la compression, il faudrait passer au § 6.2.4 ou 6.3.2.
Avantage : Deux inégalités linéaires, sans calcul de coin ni d'orientation d'axe neutre.
Paramètre clé : \( k_{m} = 0{,}7 \) pour les sections rectangulaires de bois massif, lamellé-collé et LVL ; 1,0 sinon.
Vérification : C'est le critère qui atténue la plus petite des deux contraintes qui gouverne.
Limite : Omettre \( k_{m} \) — en le prenant à 1 — majorerait le taux de 13 % ici : c'est sécuritaire mais faux.

\[ \begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{\sigma_{m,y,\text{d}}}{f_{m,\text{d}}} + k_{m}\dfrac{\sigma_{m,z,\text{d}}}{f_{m,\text{d}}} \le 1 & \text{(6.11)} \\ k_{m}\dfrac{\sigma_{m,y,\text{d}}}{f_{m,\text{d}}} + \dfrac{\sigma_{m,z,\text{d}}}{f_{m,\text{d}}} \le 1 & \text{(6.12)} \end{cases} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : les deux flexions s'ajoutent dans le coin de la section, mais pas tout à fait. Le coefficient 0,7 est la part de réserve que les essais autorisent. Écrire les deux critères revient à demander : et si c'était l'autre flexion qui bénéficiait de la réserve ?

Décomposition des termes :

\( \sigma_{m,y,\text{d}} \) : contrainte de flexion selon l'axe fort, unité : N/mm²
\( \sigma_{m,z,\text{d}} \) : contrainte de flexion selon l'axe faible, unité : N/mm²
\( f_{m,\text{d}} \) : résistance de calcul, identique pour les deux axes, unité : N/mm²
\( k_{m} = 0{,}7 \) : coefficient de flexion déviée, sections rectangulaires, unité : —
Verdict : le plus grand des deux rapports doit rester sous 1, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de n'écrire qu'un seul des deux critères..."

L'approche d'ingénieur : Les deux critères ne sont pas redondants : ils atténuent tour à tour l'une puis l'autre des deux contraintes.

L'erreur : N'écrire que le critère (6.11), le premier de la norme. Il donne ici 33 % au lieu des 36 % du critère (6.12).
La bonne méthode : Écrire les deux lignes systématiquement. C'est le critère qui atténue la plus petite contrainte qui gouverne.
L'astuce de pro : Si \( \sigma_{z} > \sigma_{y} \), c'est (6.12) qui gouverne. Le contrôle se fait d'un coup d'œil, sans calculer les deux.
Le moyen mnémotechnique : « La réserve va à la plus petite ».
L'impact direct : L'écart n'est ici que de 3 points, mais il croît avec le déséquilibre entre les deux contraintes.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( b \) et \( h \) : en mm , attention à l'ordre dans chaque module
\( W_{y} \) et \( W_{z} \) : en mm³
Les moments : convertis en N·mm , soit ×10⁶
Les contraintes : en N/mm²
Les deux critères : grandeurs sans unité

Le piège de cette question n'est pas dimensionnel mais tient à l'ordre des lettres : \( W_{y} = bh^{2}/6 \) mobilise la hauteur au carré, \( W_{z} = hb^{2}/6 \) la largeur. Les intervertir attribuerait le gros moment au petit module et donnerait 49 % au lieu de 36. Le contrôle : le module de l'axe fort est toujours le plus grand des deux.

1. Résolution Numérique Modules de flexion des deux axes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que leur rapport explique à lui seul le résultat de toute la question.

Méthodologie du calcul :

Formule du rectangle appliquée deux fois, en échangeant les rôles de \( b \) et \( h \).

Substitution : \( 80 \times 220^{2}/6 \) pour l'axe fort, \( 220 \times 80^{2}/6 \) pour l'axe faible.
Piège évité : La dimension au carré est celle qui est perpendiculaire à l'axe de flexion : la hauteur pour \( W_{y} \).
Hypothèse validée : Section pleine et constante, sans entaille au droit des échantignoles.
Vérification croisée : Le rapport des deux modules doit valoir exactement \( h/b = 2{,}75 \).
Finalité : Fournir les deux dénominateurs des contraintes.

\[ \begin{aligned} W_{y} &= \frac{80 \times 220^{2}}{6} = \mathbf{645\,333 \ \text{mm}^3} \\ W_{z} &= \frac{220 \times 80^{2}}{6} = \mathbf{234\,667 \ \text{mm}^3} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

645 333 contre 234 667 mm³ : un rapport de 2,75.

Ordre de grandeur : Le rapport vaut exactement \( h/b \). C'est le seul paramètre de forme qui intervienne.
Impact sur la suite : Il suffit que le moment secondaire dépasse 36 % du principal pour que la contrainte secondaire domine.
Cohérence : Ici le rapport des moments vaut 58 % : le seuil est largement franchi.
Attention : Une section plus élancée — 63 × 250 par exemple — aggraverait le déséquilibre, avec un rapport de 4.
Comparaison : Une section carrée donnerait deux modules égaux, et la flexion déviée serait bien moins pénalisante.

Remarque pédagogique : Faites calculer le rapport des modules avant les contraintes. Il vaut \( h/b \) et se lit directement sur la section : 2,75 ici. Comparé au rapport des moments — qui vaut \( \tan\alpha \) — il annonce immédiatement laquelle des deux contraintes va dominer, sans aucun calcul. Ce genre d'anticipation est ce qui distingue une note pensée d'une note exécutée.

Contrainte selon l'axe fort

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la contrainte que la note reprise croyait être la seule.

Méthodologie du calcul :

Moment de la composante perpendiculaire divisé par le module de l'axe fort.

Substitution : \( M_{y} = 1{,}678 \times 10^{6} \) N·mm et \( W_{y} = 645\,333 \) mm³.
Piège évité : Employer le moment de la composante projetée, et non la charge verticale entière.
Hypothèse validée : Déversement empêché par les chevrons : aucun coefficient \( k_{\text{crit}} \) n'intervient.
Vérification croisée : La note reprise trouvait 2,94 N/mm² : l'écart tient à la charge non projetée qu'elle employait.
Finalité : Fournir le premier terme des deux critères.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,y,\text{d}} &= \frac{1{,}678 \times 10^{6}}{645\,333} \\ &= \mathbf{2{,}60 \ \text{N/mm}^2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,60 N/mm², contre 2,94 dans la note reprise : 12 % de moins.

Ordre de grandeur : Faible en valeur absolue : à peine 11 % de la résistance caractéristique du C24.
Impact sur la suite : Prise seule, elle donnerait un taux de 16 % — encore plus favorable que les 20 % annoncés.
Cohérence : L'écart avec la note reprise vient du cosinus appliqué à la charge, plus l'effet des charges corrigées.
Attention : S'arrêter là serait moins sécuritaire que la note reprise : la seconde contrainte reste à venir.
Comparaison : Une panne posée d'aplomb n'aurait que cette contrainte, portée à 2,94 N/mm² par la charge verticale entière.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que la correction fait baisser cette contrainte. C'est déconcertant, et c'est instructif : une correction normative ne va pas toujours dans le sens de la sécurité, poste par poste. Ce qui compte est le résultat global, et il faut attendre la seconde contrainte pour juger.

Contrainte selon l'axe faible

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est elle qui va gouverner, et qu'elle est totalement absente de la note reprise.

Méthodologie du calcul :

Moment de la composante parallèle divisé par le module de l'axe faible.

Substitution : \( M_{z} = 0{,}969 \times 10^{6} \) N·mm et \( W_{z} = 234\,667 \) mm³.
Piège évité : Ne pas diviser par \( W_{y} \) : le moment secondaire fléchit la panne autour de son axe faible.
Hypothèse validée : Aucune lierne : la panne fléchit sur toute sa portée dans le plan du rampant.
Vérification croisée : Le rapport à la contrainte principale vaut \( \tan\alpha \times h/b = 0{,}577 \times 2{,}75 = 1{,}59 \).
Finalité : Fournir le terme qui domine les deux critères.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,z,\text{d}} &= \frac{0{,}969 \times 10^{6}}{234\,667} \\ &= \mathbf{4{,}13 \ \text{N/mm}^2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

4,13 N/mm² : 59 % de plus que la contrainte selon l'axe fort.

Ordre de grandeur : La contrainte secondaire dépasse la principale. C'est le résultat central de cette question.
Impact sur la suite : C'est donc le critère (6.12) qui va gouverner, celui qui atténue la contrainte principale.
Cohérence : Le rapport de 1,59 se retrouve exactement par le produit \( \tan\alpha \times h/b \).
Cas d'école : Une contrainte que la note reprise ne calcule pas du tout, et qui est pourtant la plus grande des deux.
Comparaison : Avec une lierne à mi-portée, elle tomberait à 1,03 N/mm² et redeviendrait secondaire.

Remarque pédagogique : Faites établir le critère de bascule : la contrainte secondaire dépasse la principale dès que \( \tan\alpha > b/h \). Pour une panne 80 × 220, cela correspond à une pente de 20° seulement. Autrement dit, sur presque toutes les toitures françaises, c'est la flexion secondaire d'une panne dévoyée qui domine — et non l'inverse.

Résistance de calcul en flexion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la classe de durée de la neige n'est pas celle qu'a retenue la note reprise.

Méthodologie du calcul :

Application du § 2.4.1 avec le coefficient de durée du court terme.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) — court terme, classe de service 2 — et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \).
Piège évité : L'annexe nationale française classe la neige sous 1 000 m en court terme, et non en moyen terme.
Hypothèse validée : Site en région parisienne, donc bien sous le seuil de 1 000 m d'altitude.
Vérification croisée : La classe la plus courte de la combinaison fixe le coefficient : ici la neige, donc 0,90.
Finalité : Fournir le dénominateur commun des deux critères.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d}} &= \frac{0{,}90 \times 24}{1{,}30} \\ &= \frac{21{,}60}{1{,}30} = \mathbf{16{,}62 \ \text{N/mm}^2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

16,62 N/mm², contre 14,77 dans la note reprise : 12,5 % de plus.

Ordre de grandeur : 69 % de la valeur caractéristique. Le court terme est nettement plus favorable que le moyen terme.
Impact sur la suite : Cette correction joue en faveur de la panne, et atténue partiellement l'effet de la flexion déviée.
Cohérence : Le rapport des deux résistances vaut exactement 0,90/0,80 = 1,125.
Attention : Au-delà de 1 000 m d'altitude, la neige redevient de moyen terme et le coefficient retombe à 0,80.
Comparaison : Avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \), le taux final atteindrait 40 % au lieu de 36.

Remarque pédagogique : Faites vérifier la classe de durée de la neige dans l'annexe nationale, et non dans le corps de l'Eurocode. C'est un paramètre déterminé au niveau national, précisément parce que le climat neigeux varie d'un pays à l'autre. Une note qui écrit « neige, moyen terme » sans citer l'annexe se trompe une fois sur deux — et de 12,5 %.

Vérification par les deux critères

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le verdict de la vérification en résistance.

Méthodologie du calcul :

Écriture des deux inégalités du § 6.1.6 et sélection du plus grand rapport.

Substitution : \( \sigma_{y}/f = 0{,}157 \) et \( \sigma_{z}/f = 0{,}249 \), combinés avec \( k_{m} = 0{,}7 \).
Piège évité : Ne pas se contenter du premier critère : c'est le second qui gouverne quand la contrainte secondaire domine.
Hypothèse validée : Section rectangulaire de bois massif : \( k_{m} = 0{,}7 \) est bien applicable.
Vérification croisée : Sans le coefficient \( k_{m} \), la somme brute des deux rapports vaudrait 41 %.
Finalité : Conclure sur l'état limite ultime.

\[ \begin{aligned} \text{(6.11)} &: 0{,}157 + 0{,}7 \times 0{,}249 = 0{,}330 \\ \text{(6.12)} &: 0{,}7 \times 0{,}157 + 0{,}249 = \mathbf{0{,}358} \ \Rightarrow \ \mathbf{36\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

36 % — vérifié, mais 1,8 fois le taux annoncé par la note reprise.

Ordre de grandeur : La marge reste confortable : 64 % de réserve en résistance.
Impact sur la suite : C'est la flèche qu'il faut maintenant vérifier — et l'axe faible y sera encore plus pénalisant.
Cohérence : Le critère (6.12) dépasse le (6.11) de 3 points, ce qui est cohérent avec \( \sigma_{z} > \sigma_{y} \).
Attention : Le taux a presque doublé par rapport à la note reprise, alors que la charge de calcul n'a bougé que de 2 %.
Comparaison : À 45° de pente, le taux atteindrait 44 % ; à 15°, il retomberait à 27 %.

Remarque pédagogique : Faites mesurer l'écart entre le 2 % de la charge et le 80 % du taux. Ce n'est pas la charge qui a changé, c'est la façon dont elle sollicite la section. Une même charge appliquée de travers sur une section élancée produit un tout autre effet — et c'est un raisonnement qui vaut bien au-delà des pannes de toiture.

RÉSULTAT FINAL

Taux de travail en flexion déviée = 36 % — VÉRIFIÉ — critère (6.12) gouvernant ; la contrainte selon l'axe faible dépasse de 59 % celle de l'axe fort

"La réserve va à la plus petite : deux critères, pas un !"

Question 4 : Flèche résultante et nécessité d'une lierne

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est ici que la note reprise s'effondre. En résistance, le rapport entre les deux axes était de 2,75 ; en rigidité, il atteint 7,56, parce que le moment quadratique varie comme le cube de la dimension. La flèche parallèle au rampant vaut donc 11,0 mm à elle seule, contre 2,5 mm pour la flèche principale. La résultante instantanée atteint 11,3 mm — quatre fois la valeur annoncée. Et il faut encore y ajouter le fluage : le permanent est majoré de 1,80 en classe de service 2, tandis que la neige, dont le \( \psi_{2} \) est nul sous 1 000 m, ne flue pas du tout. La flèche nette finale atteint 15,8 mm pour un critère de 16,0. La panne passe — à un cheveu."

Observation : Le rapport des moments quadratiques vaut \( (h/b)^{2} = 7{,}56 \) : bien plus sévère que celui des modules.
Analyse du risque : La flèche parallèle au rampant représente 97 % de la flèche résultante. Tout se joue sur cette composante.
Choix stratégique : Je compose les deux flèches par Pythagore, chacune étant perpendiculaire à l'autre.
Alternative : Une lierne à mi-portée divise la portée de flexion faible par deux — donc la flèche par seize.
Objectif visé : Un verdict sur le critère qui gouverne, et une recommandation constructive chiffrée.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( I_{y} = \) 70,99 × 10⁶ et \( I_{z} = \) 9,39 × 10⁶ mm⁴ · flèche instantanée résultante 11,26 mm · flèche nette finale 15,80 mm — soit 99 % de L/250 et 118 % de L/300 · avec une lierne : 3,66 mm

Rappel Théorique : composer deux flèches orthogonales

Une panne dévoyée fléchit dans deux plans perpendiculaires. Les deux déplacements se composent vectoriellement, et le résultat se compare au critère.

Principe 1 — la rigidité varie comme le cube : \( I_{y}/I_{z} = (h/b)^{3}/(h/b) = (h/b)^{2} \), soit 7,56 ici. L'écart entre les deux axes est bien plus grand qu'en résistance.
Principe 2 — les deux flèches sont perpendiculaires : Elles se composent par le théorème de Pythagore, jamais par simple addition.
Principe 3 — chaque charge flue différemment : Le permanent prend \( (1 + k_{\text{def}}) \), la neige prend \( (1 + \psi_{2}k_{\text{def}}) \) — et \( \psi_{2} \) est nul sous 1 000 m.
Principe 4 — la neige ne flue pas : Conséquence directe de \( \psi_{2} = 0 \) : la neige d'un hiver ne reste pas assez longtemps pour faire fluer le bois.
Principe 5 — une lierne divise la flèche par seize : La portée de flexion faible est divisée par deux, et la flèche varie en \( L^{4} \).

Équations Fondamentales

La flèche par axe, puis la composition et le fluage.

Flèche selon un axe de la panne :

La même formule, appliquée deux fois.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la flexion dans chaque plan est indépendante de l'autre : une section rectangulaire fléchie selon ses axes principaux ne couple pas les deux déformations. On calcule donc chaque flèche séparément, avec sa charge et son moment quadratique. La différence entre les deux tient uniquement à \( I \) : le moment quadratique varie comme le cube de la dimension perpendiculaire à l'axe de flexion, ce qui creuse l'écart bien davantage qu'en résistance, où la variation n'est qu'au carré.

Contexte de validité : Flexion selon les axes principaux de la section, ce qui est le cas d'un rectangle.
Avantage : Deux calculs indépendants, avec la même formule et le même module d'élasticité.
Paramètre clé : Le rapport \( I_{y}/I_{z} = (h/b)^{2} \), soit 7,56 pour cette section.
Vérification : La flèche parallèle au rampant est nécessairement la plus grande dès que \( \tan\alpha > (b/h)^{2} \).
Limite : Elle donne la flèche instantanée. Le fluage s'y ajoute ensuite, différemment selon les charges.

\[ \begin{aligned} w = \frac{5\,q\,L^{4}}{384\,E_{0,\text{mean}}\,I} \quad \text{avec} \quad I_{y} = \frac{b\,h^{3}}{12} \ ,\ I_{z} = \frac{h\,b^{3}}{12} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une poutre haute et mince est très raide dans un sens et très souple dans l'autre. Le rapport est de 7,56 pour cette section, contre 2,75 seulement en résistance : c'est pourquoi la flèche est un critère bien plus discriminant que la contrainte pour une panne dévoyée.

Décomposition des termes :

\( I_{y} = bh^{3}/12 \) : moment quadratique de l'axe fort, unité : mm⁴
\( I_{z} = hb^{3}/12 \) : moment quadratique de l'axe faible, unité : mm⁴
\( q \) : composante de charge de service dans le plan considéré, unité : N/mm
\( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) : module moyen, identique pour les deux axes, unité : N/mm²
Rapport : \( I_{y}/I_{z} = (h/b)^{2} = 7{,}56 \), unité : —

Flèche nette finale et composition — § 2.2.3(5) :

Le fluage, puis la résultante.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le fluage dépend de la durée pendant laquelle chaque charge reste en place. Le poids de la couverture ne s'en va jamais : sa flèche est intégralement amplifiée. La neige, elle, tombe quelques semaines par an au plus, et l'EN 1990 lui attribue un coefficient quasi-permanent nul sous 1 000 m d'altitude — elle ne fait donc pas fluer le bois. Les deux flèches ainsi obtenues, l'une perpendiculaire au rampant et l'autre parallèle, se composent enfin par le théorème de Pythagore : ce sont deux déplacements orthogonaux du même point.

Contexte de validité : Une action permanente et une action variable. Avec plusieurs variables, chacune prend son propre \( \psi_{2} \).
Avantage : Le fluage se traite par un simple facteur multiplicatif, sans calcul dans le temps.
Paramètre clé : \( \psi_{2} = 0 \) pour la neige sous 1 000 m : la neige ne flue pas.
Vérification : La composition par Pythagore donne toujours une résultante inférieure à la somme des deux flèches.
Limite : Elle suppose l'absence de contreflèche : sinon il faudrait la retrancher de la composante perpendiculaire.

\[ \begin{aligned} w_{\text{net,fin}} = \sqrt{w_{\perp}^{2} + w_{\parallel}^{2}} \quad \text{avec} \quad w = w_{\text{G}}(1 + k_{\text{def}}) + w_{\text{S}}(1 + \psi_{2}k_{\text{def}}) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la couverture fait fluer le bois pendant cinquante ans, la neige de trois semaines ne le fait pas du tout. Et le point le plus bas de la panne ne descend pas verticalement : il se déplace de biais, principalement le long du rampant.

Décomposition des termes :

\( w_{\perp} \) : flèche nette finale perpendiculaire au rampant, unité : mm
\( w_{\parallel} \) : flèche nette finale parallèle au rampant, unité : mm
\( 1 + k_{\text{def}} = 1{,}80 \) : facteur du permanent, classe de service 2, unité : —
\( 1 + \psi_{2}k_{\text{def}} = 1{,}00 \) : facteur de la neige, avec \( \psi_{2} = 0 \), unité : —
Critère : L/250 ou L/300 selon les ouvrages supportés, unité : mm

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de ne calculer que la flèche perpendiculaire au rampant..."

L'approche d'ingénieur : Le point bas d'une panne dévoyée ne descend pas verticalement : il glisse aussi le long du versant, et bien davantage.

L'erreur : Retenir 3,53 mm au lieu de 15,80. La flèche parallèle au rampant, quatre fois plus grande, disparaît du calcul.
La bonne méthode : Calculer les deux flèches et les composer par Pythagore. La plus grande est presque toujours la parallèle.
L'astuce de pro : Comparer d'abord \( \tan\alpha \) à \( (b/h)^{2} \) : ici 0,577 contre 0,132, donc la flèche parallèle domine largement.
Le moyen mnémotechnique : « La panne ne descend pas, elle glisse ».
L'impact direct : Ici, le taux passerait de 22 % à 99 % du critère L/250. C'est toute la différence entre une panne confortable et une panne limite.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Les charges de service : converties en N/mm — le facteur est 1 depuis les kN/m
\( L \) : en mm , à la puissance quatre
\( I_{y} \) et \( I_{z} \) : en mm⁴
Les flèches : en mm , directement comparables au critère
Les facteurs de fluage : grandeurs sans unité

Le piège dimensionnel est la portée à la puissance quatre : l'exprimer en mètres donnerait un résultat 10¹² fois trop petit. Mais le vrai risque de cette question est ailleurs, dans l'attribution : la composante perpendiculaire au rampant va avec \( I_{y} \), la parallèle avec \( I_{z} \). Employer \( I_{y} \) pour les deux donnerait une flèche nette finale de 4,07 mm au lieu de 15,80 — près de quatre fois trop faible.

1. Résolution Numérique Moments quadratiques des deux axes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que leur rapport de 7,56 explique à lui seul le résultat de la question.

Méthodologie du calcul :

Formule du rectangle, appliquée deux fois avec la dimension au cube échangée.

Substitution : \( 80 \times 220^{3}/12 \) et \( 220 \times 80^{3}/12 \).
Piège évité : C'est la dimension perpendiculaire à l'axe de flexion qui est élevée au cube.
Hypothèse validée : Section pleine et constante, sans entaille au droit des échantignoles.
Vérification croisée : Le rapport doit valoir exactement \( (h/b)^{2} = 2{,}75^{2} = 7{,}56 \).
Finalité : Fournir les deux dénominateurs des flèches.

\[ \begin{aligned} I_{y} &= \frac{80 \times 220^{3}}{12} = \mathbf{70{,}99 \times 10^{6} \ \text{mm}^4} \\ I_{z} &= \frac{220 \times 80^{3}}{12} = \mathbf{9{,}39 \times 10^{6} \ \text{mm}^4} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un rapport de 7,56, contre 2,75 seulement pour les modules de flexion.

Ordre de grandeur : L'écart entre les deux axes est 2,75 fois plus grand en rigidité qu'en résistance.
Impact sur la suite : La flèche parallèle au rampant sera bien plus pénalisante que ne l'était la contrainte correspondante.
Cohérence : Le rapport vaut \( (h/b)^{2} \) : la géométrie suffit à le prévoir, sans aucun calcul.
Cas d'école : C'est pourquoi la flèche est presque toujours le critère dimensionnant d'une panne dévoyée.
Comparaison : Une section 100 × 200, moins élancée, ramènerait le rapport à 4 — et la flèche parallèle avec.

Remarque pédagogique : Faites comparer les deux rapports : 2,75 en résistance, 7,56 en rigidité. Le premier est \( h/b \), le second son carré. Cette différence d'exposant explique pourquoi une section élancée, si efficace en flexion simple, devient si pénalisante dès qu'on la sollicite de travers — et pourquoi le charpentier pose des liernes plutôt que d'élargir ses pannes.

Flèches instantanées et résultante

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la valeur que la note reprise a calculée — mais sur un seul axe.

Méthodologie du calcul :

Charge de service décomposée, flèche calculée dans chaque plan, puis composition.

Substitution : \( q_{\text{ser}} = 0{,}681 \) N/mm, décomposée en 0,589 et 0,340 N/mm.
Piège évité : Employer les charges de service, non pondérées : la flèche relève des états limites de service.
Hypothèse validée : Module moyen pour les deux axes : le bois n'est pas plus rigide dans un sens de flexion que dans l'autre.
Vérification croisée : Le rapport des deux flèches vaut \( \tan\alpha \times (h/b)^{2} = 0{,}577 \times 7{,}56 = 4{,}37 \).
Finalité : Établir la déformation instantanée réelle, avant fluage.

\[ \begin{aligned} w_{\perp} = 2{,}51 \ ;\ w_{\parallel} = 10{,}98 \ \text{mm} \\ w_{\text{inst}} = \sqrt{2{,}51^{2} + 10{,}98^{2}} = \mathbf{11{,}26 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

11,26 mm, contre 2,82 dans la note reprise : quatre fois plus.

Ordre de grandeur : La flèche parallèle au rampant représente à elle seule 97 % de la résultante.
Impact sur la suite : Le fluage va encore s'y ajouter, et c'est ce critère qui décidera de la panne.
Cohérence : Le rapport des deux composantes vaut 4,37, soit exactement \( \tan\alpha \times (h/b)^{2} \).
Cas d'école : La composition par Pythagore ne change presque rien ici : la petite composante ne pèse que 3 % du résultat.
Comparaison : Rapportée à L/250, cette flèche instantanée représente déjà 70 % du critère.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que la composition par Pythagore est presque sans effet ici : 11,26 contre 10,98, soit 3 % de plus. Quand une composante domine à ce point, la résultante lui est pratiquement égale. C'est un cas où le calcul rigoureux confirme l'intuition — mais il fallait le faire pour le savoir.

Flèches nettes finales par axe

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le permanent flue et la neige non — et qu'il faut traiter chaque axe séparément.

Méthodologie du calcul :

Application du § 2.2.3(5) dans chaque plan, avec \( \psi_{2} = 0 \) pour la neige.

Substitution : Facteur 1,80 sur le permanent, 1,00 sur la neige.
Piège évité : Ne pas appliquer 1,80 à la charge totale : la neige ne flue pas sous 1 000 m d'altitude.
Hypothèse validée : Classe de service 2 : \( k_{\text{def}} = 0{,}80 \) et non 0,60.
Vérification croisée : Le permanent et la neige contribuent presque également aux flèches instantanées, puisque les charges sont voisines.
Finalité : Fournir les deux composantes de la flèche finale.

\[ \begin{aligned} w_{\perp} &= 1{,}27 \times 1{,}80 + 1{,}25 = \mathbf{3{,}53 \ \text{mm}} \\ w_{\parallel} &= 5{,}53 \times 1{,}80 + 5{,}45 = \mathbf{15{,}40 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

3,53 et 15,40 mm : le fluage majore chaque composante de 40 %.

Ordre de grandeur : Le fluage ajoute 40 % et non 80 : seule la moitié permanente de la charge est concernée.
Impact sur la suite : La composante parallèle atteint à elle seule 96 % du critère L/250.
Cohérence : Si la neige fluait comme le permanent, ces valeurs atteindraient 4,53 et 19,76 mm : le \( \psi_{2} \) nul est décisif.
Attention : En classe de service 1, le facteur ne serait que de 1,60 et les flèches de 3,27 et 14,30 mm.
Comparaison : La note reprise ne calcule aucune de ces deux valeurs : elle s'arrête à la flèche instantanée d'un seul axe.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que le \( \psi_{2} \) nul de la neige est un cadeau considérable : sans lui, la flèche finale dépasserait 19 mm et la panne serait refusée même avec le critère L/250. Ce coefficient, souvent recopié sans réfléchir, vaut ici la différence entre une panne acceptée et une panne à redimensionner.

Flèche résultante et taux de travail

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le verdict du critère qui gouverne cette panne.

Méthodologie du calcul :

Composition par Pythagore, puis comparaison aux deux critères envisageables.

Substitution : \( \sqrt{3{,}53^{2} + 15{,}40^{2}} \), comparé à L/250 = 16,00 mm et L/300 = 13,33 mm.
Piège évité : Ne pas additionner les deux flèches : elles sont orthogonales, donc elles se composent.
Hypothèse validée : Critère L/250 retenu, valeur courante pour une toiture sans plafond fragile — à confirmer.
Vérification croisée : La résultante ne dépasse la plus grande composante que de 2,6 %.
Finalité : Conclure sur l'état limite de service.

\[ \begin{aligned} w_{\text{net,fin}} &= \sqrt{3{,}53^{2} + 15{,}40^{2}} = 15{,}80 \ \text{mm} \\ \frac{15{,}80}{16{,}00} &= \mathbf{99\ \%} \quad \text{et} \quad \frac{15{,}80}{13{,}33} = \mathbf{118\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

99 % du critère L/250 — vérifié de justesse — et 118 % de L/300, refusé.

Ordre de grandeur : Il ne reste que 0,2 mm de marge. Autant dire aucune.
Impact sur la suite : Le choix du critère devient décisif : L/250 accepte, L/300 refuse. Il faut le faire trancher.
Cohérence : La note reprise annonçait 18 % du critère : l'écart réel est d'un facteur 5,6.
Cas d'école : C'est bien la flèche qui gouverne cette panne, et non la résistance qui ne travaille qu'à 36 %.
Comparaison : La flèche parallèle au rampant est visible : 15 mm de glissement latéral sur 4 m se remarquent à l'œil.

Remarque pédagogique : Faites présenter les deux taux quand un critère relève d'une plage. Ici L/250 accepte à 99 % et L/300 refuse à 118 % : le verdict dépend entièrement d'un choix que l'ingénieur ne fait pas seul. Une note qui n'affiche qu'un seul taux masque cette dépendance et engage son auteur sur une hypothèse qu'il n'a pas énoncée.

Effet d'une lierne à mi-portée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le remède traditionnel du charpentier, et qu'il est spectaculairement efficace.

Méthodologie du calcul :

Portée de flexion faible divisée par deux, la flèche variant en \( L^{4} \).

Substitution : La flèche parallèle est divisée par \( 2^{4} = 16 \), passant de 15,40 à 0,96 mm.
Piège évité : La lierne n'agit que dans le plan du rampant : la flèche perpendiculaire reste inchangée.
Hypothèse validée : Lierne efficacement ancrée, reportant l'effort jusqu'au faîtage ou à un contreventement.
Vérification croisée : La flèche perpendiculaire devient alors dominante : 3,53 contre 0,96 mm.
Finalité : Chiffrer la solution constructive à recommander.

\[ \begin{aligned} w_{\parallel} &= \frac{15{,}40}{16} = 0{,}96 \ \text{mm} \\ w_{\text{net,fin}} &= \sqrt{3{,}53^{2} + 0{,}96^{2}} = \mathbf{3{,}66 \ \text{mm}} \ \Rightarrow \ \mathbf{23\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

De 99 % à 23 % du critère, avec quelques mètres de bois.

Ordre de grandeur : La flèche est divisée par 4,3. Aucun changement de section ne serait aussi efficace.
Impact sur la suite : Le critère L/300 devient alors satisfait à 27 % : le choix du critère cesse d'importer.
Cohérence : La flèche perpendiculaire, inchangée à 3,53 mm, devient la composante dominante : l'ordre s'inverse.
Cas d'école : En flexion, la lierne ramènerait aussi le taux à 20 % — exactement la valeur que la note reprise annonçait, par coïncidence.
Comparaison : Pour obtenir le même effet en changeant la section, il faudrait porter la largeur à 200 mm environ — soit une panne presque carrée.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que les charpentiers posaient des liernes bien avant qu'on sache calculer la flexion déviée. L'expérience avait établi ce que le calcul confirme : une panne sur versant a besoin d'être tenue dans le plan du rampant. Le calcul n'invente pas la solution, il en quantifie l'effet — et permet de savoir quand elle est indispensable.

RÉSULTAT FINAL

Flèche nette finale = 15,80 mm — 99 % de L/250 — mais 118 % de L/300 ; une lierne à mi-portée la ramènerait à 3,66 mm, soit 23 %

"La panne ne descend pas, elle glisse !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — la charge décomposée sur les deux axes de la panne

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de vérification :

J'ai vérifié sur quelle surface de référence chaque charge est définie avant de la convertir. J'ai ajouté le poids propre de la panne à la charge permanente. J'ai décomposé la charge verticale sur les deux axes de la panne dévoyée. J'ai écrit les deux critères de flexion déviée et retenu le plus grand. J'ai classé la neige en court terme , conformément à l'annexe nationale sous 1 000 m. J'ai composé les deux flèches par Pythagore, et non par addition. J'ai appliqué \( \psi_{2} = 0 \) à la neige : elle ne fait pas fluer le bois.

Avis technique — la panne 80 × 220 en C24 est vérifiée à 99 % du critère L/250, mais refusée à 118 % si l'on retient L/300. Une lierne à mi-portée est vivement recommandée. Les charges linéiques verticales valent 0,343 kN/m en permanent, poids propre compris, et 0,338 kN/m en neige une fois projetée à l'horizontale. La charge de calcul atteint 0,969 kN/m, décomposée en 0,839 perpendiculairement au rampant et 0,485 parallèlement — cette seconde composante valant exactement la moitié de la charge à 30°. Les contraintes s'établissent à 2,60 et 4,13 N/mm² : la contrainte selon l'axe faible dépasse de 59 % celle de l'axe fort. Le critère (6.12) du § 6.1.6 gouverne à 36 %. Mais c'est la flèche qui décide : 15,80 mm de flèche nette finale, dont 15,40 mm dans le seul plan du rampant. Une lierne à mi-portée la ramènerait à 3,66 mm, soit 23 % du critère.

Le défaut central de la note reprise est d'avoir traité une panne comme une poutre horizontale. Dévoyée sur un versant à 30°, elle reçoit la moitié de la charge dans le plan du rampant, où elle ne présente que sa largeur : la flèche s'en trouve multipliée par 5,6. Le seuil est bas — la contrainte secondaire domine dès \( \tan\alpha > b/h \), soit 20° ici. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle corrige non un coefficient mais un modèle : une poutre inclinée ne se calcule pas comme une poutre horizontale.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{\text{def}} \) — Tableau 3.2 : 0,60 en classe de service 1, 0,80 en classe 2 et 2,00 en classe 3 pour le bois massif.
\( k_{\text{c},90} \) — § 6.1.5 : 1,25 et 1,50 pour le bois massif selon l'appui, 1,50 et 1,75 pour le lamellé-collé, et l'extension fixe de 30 mm.
\( \psi_{2} \) — EN 1990, Tableau A1.1 : 0,3 pour les catégories A et B.
NF EN 338 — classes de résistance : les valeurs principales des classes C24 et C30 sont celles du tableau 1 — \( f_{m,\text{k}} \), \( f_{\text{c},0,\text{k}} \), \( f_{v,\text{k}} \), \( E_{0,\text{mean}} \) et \( \rho_{\text{k}} \). La classe D40 relève du tableau des feuillus, et le \( f_{t,0,\text{k}} \) du C24 : la valeur de 14,5 retenue ici suit l'édition 2016 de la norme, quand l'édition 2003 donne 14,0.

Dimensionnement d'une Panne de Toiture en Bois

Dimensionnement d'une Panne de Toiture en Bois

Le premier mois à 1 €

Panne dévoyée sur versant à 30° : c'est la flexion secondaire qui décide

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Charges linéiques sur la panne

Question 2 : Charge de calcul et décomposition sur les axes

Question 3 : Vérification en flexion déviée

Question 4 (Finale) : Flèche résultante et nécessité d'une lierne

Panne dévoyée sur versant à 30° : c'est la flexion secondaire qui décide

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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