Dimensionnement d'un pied de poteau métallique

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un poteau métallique concentre sa charge sur quelques dizaines de centimètres carrés d'acier ; le béton qui le reçoit ne supporte qu'un vingtième de la pression que l'acier encaisse. Entre les deux, il faut une pièce qui étale — et c'est toute la fonction de la platine. Le point délicat, celui qu'on manque le plus souvent, est que la platine ne porte pas sur toute sa surface : elle fléchit, et la pression ne se développe que sur une bande courant le long du contour du profilé. L'aire efficace au sens de l'article 6.2.5 vaut ici 75 360 mm² quand la platine en mesure 90 000. Compter la seconde surestime l'appui de 19 %, et conduit à retenir une cote de platine qui échoue à 1,359.

Les Points Clés du Projet

Quatre points structurent cette étude. Le premier est une erreur de modèle, le deuxième sa conséquence pratique, le troisième une confusion de coefficients, le dernier une vérification manquante.

L'aire efficace n'est pas l'aire de la platine : L'article 6.2.5 ne compte que la bande de largeur \( c \) le long du profilé : \( 4c^2 + P_{\text{col}} c + A_{\text{col}} \). Compter toute la platine, c'est compter 19,4 % de trop.
L'astuce d'arrondi conduit à une platine refusée : Arrondir le minimum calculé à 270 mm paraît naturel. Cette platine offre 52 995 mm² pour 72 000 requis : taux 1,359, surcharge de 36 %.
Le coefficient 0,67 est mal identifié, deux fois : Ce n'est ni un facteur de durée ni \( \alpha_{\text{cc}} \), mais \( \beta_{\text{j}} = 2/3 \) — le coefficient du mortier de calage, que les données ne mentionnent jamais.
La solution finale est la bonne, et il faut le dire : La platine 300 × 300 × 20 mm convient, à 0,955. Mais la tôle de 18 mm, immédiatement inférieure, échouerait à 1,001.

Votre Mission :

Vous devez produire la note de dimensionnement d'un pied de poteau articulé : résistance du matériau de scellement, aire efficace requise, largeur de répartition, dimensions de la platine et épaisseur de la tôle — puis déclarer ce que la note ne couvre pas.

Le grand défi : Comprendre que la largeur \( c \) est l'inconnue du problème, et non une conséquence du choix de la platine. C'est l'inversion de démarche qui distingue vérifier de dimensionner.
Votre rôle : Mener la vérification dans les deux sens : l'épaisseur qu'exige une largeur, puis la largeur qu'autorise l'épaisseur retenue. Sans la seconde lecture, la note reste incomplète.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

La résistance de calcul du matériau de scellement, avec chaque coefficient nommé et l'article qui le fixe.
L'aire efficace requise et la largeur de répartition qui la procure, obtenue en résolvant l'équation de l'article 6.2.5.
Le contrôle de recouvrement, qui valide l'expression employée pour l'aire efficace.
Les dimensions de la platine, assorties du taux de travail de l'appui et non d'un simple verdict de conformité.
L'épaisseur de la tôle, vérifiée dans les deux sens, et le recensement explicite des vérifications hors périmètre.

2. Données Techniques & Normes

Toutes les grandeurs de l'étude sont rassemblées ci-dessous. Deux d'entre elles ne figurent dans aucun tableau de données courant et sont pourtant indispensables : le périmètre et l'aire du profilé, sans lesquels l'aire efficace ne peut pas être calculée.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Voici les outils de cet exercice, dans l'ordre où vous en aurez besoin. Les deux derniers sont la même relation lue dans deux sens opposés — et c'est précisément ce qui permet de boucler la vérification.

Résistance de calcul du béton \( f_{\text{cd}} = \dfrac{\alpha_{\text{cc}} \, f_{\text{ck}}}{\gamma_{\text{c}}} \)
Résistance du matériau de scellement \( f_{\text{jd}} = \beta_{\text{j}} \, \alpha \, f_{\text{cd}} \)
Aire efficace requise sous l'effort normal \( A_{\text{req}} = \dfrac{N_{\text{Ed}}}{f_{\text{jd}}} \)
Aire efficace d'une platine sous profilé en I \( A_{\text{eff}} = 4c^2 + P_{\text{col}} \, c + A_{\text{col}} \)
Seuil de recouvrement entre semelles \( c \le \dfrac{h - 2 \, t_{\text{f}}}{2} \)
Côté minimal de la platine \( L \ge h + 2 \, c \)
Résistance de calcul de l'appui \( N_{\text{Rd}} = A_{\text{eff}} \, f_{\text{jd}} \)
Épaisseur minimale de la platine \( t_{\text{p},\text{min}} = c \, \sqrt{\dfrac{3 \, f_{\text{jd}} \, \gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}}} \)
Largeur qu'une épaisseur autorise — la réciproque \( c_{\text{max}} = t_{\text{p}} \, \sqrt{\dfrac{f_{\text{y}}}{3 \, f_{\text{jd}} \, \gamma_{\text{M0}}}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

CHARGE, PROFILÉ ET MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( N_{\text{Ed}} \)	Effort normal de compression centré, à l'ELU Énoncé	800	\( \text{kN} \)
HEB 200	Profilé du poteau — 61,3 kg/m NF EN 10365	61,3	\( \text{kg}/\text{m} \)
\( h \), \( b \)	Hauteur et largeur du profilé — section sensiblement carrée NF EN 10365	200 · 200	\( \text{mm} \)
\( t_{\text{w}} \), \( t_{\text{f}} \)	Épaisseurs d'âme et de semelle NF EN 10365	9,0 · 15,0	\( \text{mm} \)
\( r \)	Rayon des congés de raccordement NF EN 10365	18	\( \text{mm} \)
\( A_{\text{col}} \)	Aire de la section — indispensable à l'aire efficace NF EN 10365	78,1	\( \text{cm}^2 \)
\( P_{\text{col}} \)	Périmètre développé — la donnée qu'on oublie de relever NF EN 10365	1 151	\( \text{mm} \)
S235	Nuance du poteau et de la platine NF EN 10025-2	—	—
\( f_{\text{y}} \)	Limite d'élasticité, pour une épaisseur inférieure à 40 mm NF EN 10025-2	235	\( \text{MPa} \)
C25/30	Classe de résistance du béton du massif Énoncé	—	—
\( f_{\text{ck}} \)	Résistance caractéristique sur cylindre Énoncé	25	\( \text{MPa} \)

Repères de contrôle à garder en tête

Perimetre recalcule : \( 4b + 2h - 2t_{\text{w}} - 4r(2 - \pi/2) = \mathbf{1\,151{,}1} \ \text{mm} \)
Aire recomposee : \( 2 b t_{\text{f}} + h_{\text{w}} t_{\text{w}} + (4-\pi) r^2 = \mathbf{7\,808} \ \text{mm}^2 \)
Masse deduite de l'aire : \( 7\,850 \times 0{,}007808 = \mathbf{61{,}29} \ \text{kg/m} \)
Rapport des resistances acier sur beton : \( 235/11{,}11 = \mathbf{21} \ \text{— d'ou la platine} \)
Epaisseur rapportee au debord : \( t_{\text{p}}/c \approx \mathbf{0{,}38} \ \text{en S235 sur C25/30} \)

COEFFICIENTS ET HYPOTHÈSES

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( \gamma_{\text{c}} \)	Coefficient partiel de sécurité du béton NF EN 1992-1-1	1,50	—
\( \gamma_{\text{M0}} \)	Coefficient partiel de résistance des sections d'acier NF EN 1993-1-1, art. 6.1	1,00	—
\( \alpha_{\text{cc}} \)	Coefficient de longue durée — paramètre national, hypothèse NF EN 1992-1-1	1,00	—
\( \beta_{\text{j}} \)	Coefficient du matériau de scellement — sous conditions NF EN 1993-1-8, art. 6.2.5(7)	2/3	—
\( \alpha \)	Coefficient de diffusion — écarté par prudence NF EN 1993-1-8, art. 6.2.5	1,00	—
\( t_{\text{p}} \)	Épaisseurs commerciales de tôle forte disponibles Pratique de tôlerie	15 à 30	\( \text{mm} \)

Hypothèses de modélisation à ne pas perdre de vue

Type de pied : \( \text{articule — aucun moment transmis, compression centree} \)
Mortier de calage : \( \text{jamais specifie par l'enonce, alors que} \ \beta_{\text{j}} \ \text{en depend} \)
Dimensions du massif : \( \text{non donnees — le credit de diffusion ne peut etre justifie} \)
Effort tranchant : \( \text{non donne — les soudures ne sont pas concluables} \)
Longueur du poteau : \( \text{non donnee — le flambement n'est pas calculable} \)
Valeur de alpha cc : \( \text{parametre national : P358 et P398 emploient} \ 0{,}85 \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le tableau ci-dessous confronte l'enchaînement courant à celui du calcul complet. La démarche générale est la bonne et le calcul d'épaisseur ne présente aucun piège. C'est au cœur du calcul, sur la nature de l'aire comptée, que la méthode dévie.

Chaîne de vérification — calcul courant contre calcul complet

Grandeur ou étape	Valeur annoncée · valeur recalculée · verdict
Identification du coefficient 0,67	attribué à la durée de charge puis à \( \alpha_{\text{cc}} \) — c'est \( \beta_{\text{j}} = 2/3 \), le coefficient du scellement, art. 6.2.5(7)
Résistance du scellement	11,17 MPa annoncés contre 11,11 — l'écart de 0,5 % vient de l'arrondi de 2/3 à 0,67
Crédit de diffusion	écarté « pour rester conservatif » — choix légitime, mais jamais chiffré : il vaut 50 % de capacité
Aire requise	71 620 mm² annoncés contre 72 000 — conséquence directe de l'arrondi précédent, sans autre écart
Nature de l'aire comptée	\( A_{\text{eff}} = L^2 \), l'aire totale de la platine — l'art. 6.2.5 ne compte que \( 4c^2 + P_{\text{col}} c + A_{\text{col}} \)
Périmètre et aire du profilé	jamais employés — ce sont pourtant les deux données qui commandent l'aire efficace
Côté minimal de platine	267,6 mm annoncés contre 295,6 — sous-estimation de 27,3 mm, soit 10,2 %
Astuce d'arrondi conseillée	« arrondissez à 270 mm » — cette platine donne un taux de 1,359 et n'est pas conforme
Aire efficace de la platine retenue	90 000 mm² comptés contre 75 360 réels — l'appui est surestimé de 19,4 %
Contrôle de recouvrement	absent — il vaut ici 85,0 mm contre 47,82, donc pas de recouvrement : la formule employée est la bonne
Largeur employée pour l'épaisseur	le débord géométrique de 50 mm au lieu des 47,82 requis — conservatif de 4,6 %, mais incohérent
Épaisseur de la platine	18,88 mm annoncés contre 18,01 — et la tôle de 18 mm, immédiatement inférieure, échoue à 1,001
Vérification réciproque	absente — la tôle de 20 mm autorise 53,1 mm de largeur pour 50 nécessaires, ce qui valide enfin le calcul de la résistance
Tiges d'ancrage, soudures, flambement	rarement abordés — les tiges figurent pourtant sur tout schéma de pied de poteau

Quatre réserves à connaître avant de calculer

L'aire efficace n'est pas l'aire de la platine. C'est l'erreur centrale, et elle vide de sa substance toute la méthode de l'article 6.2.5. Une platine n'est pas un bloc rigide : sous la réaction du béton, sa partie en débord fléchit comme une console et cesse de porter au-delà d'une certaine distance. La norme ne compte donc qu'une bande de largeur constante \( c \) courant le long du contour du profilé, soit \( A_{\text{eff}} = 4c^2 + P_{\text{col}} \, c + A_{\text{col}} \) — une expression où ne figurent que des caractéristiques du poteau. L'aire efficace a la forme d'un H élargi, pas celle du carré circonscrit. Sur la platine de 300 mm retenue, elle vaut 75 360 mm² et non 90 000 : l'appui est surestimé de 19,4 %.

L'astuce d'arrondi conduit à une platine refusée. Le conseil de méthode est classique : « après avoir calculé le côté minimal, arrondissez toujours à la dizaine ou cinquantaine supérieure — 270 mm ou 300 mm ». Le conseil serait bon si le minimum l'était. Vérifiée, la platine de 270 mm offre \( c = 35 \) mm et une aire efficace de 52 995 mm² pour 72 000 requis : le taux atteint 1,359, soit une surcharge de 36 %. Aucune épaisseur ne la sauverait, la largeur y étant plafonnée par la géométrie. Retenir finalement 300 mm tombe juste — mais c'est l'astuce, et non le résultat, qu'un lecteur pressé emportera.

Le coefficient 0,67 est mal identifié, et de deux façons. On le justifie tantôt par « la durée d'application de la charge », tantôt en affirmant que « la valeur exacte selon l'Eurocode 2 est \( \alpha_{\text{cc}} \), qui vaut généralement 0,85 ». Ces deux explications désignent deux coefficients différents, issus de deux Eurocodes différents, et aucune ne décrit celui qui est employé : le 0,67 est \( \beta_{\text{j}} = 2/3 \), le coefficient du matériau de scellement de l'EN 1993-1-8. Sa valeur numérique est défendable, mais son emploi est conditionné par l'article 6.2.5(7) à la résistance et à l'épaisseur d'un mortier de calage que les données ne mentionnent jamais.

La solution finale est la bonne, et il faut le dire. La platine 300 × 300 × 20 mm en S235 convient, à un taux de 0,955. La détermination de l'épaisseur par le modèle de la console est d'ailleurs exacte de bout en bout. Deux vérifications manquent seulement : que la tôle retenue autorise bien les 50 mm de largeur employés — elle en permet 53,1, donc oui — et que l'épaisseur immédiatement inférieure ne convienne pas. Celle-là échoue à 1,001, à un millième près, ce qui fait de la tôle de 20 mm le seul choix possible et non un simple arrondi de confort.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche suit les quatre contrôles de la méthode de l'aire efficace, dans l'ordre où SCI P358 les enchaîne : la résistance disponible, la surface nécessaire, les dimensions de la tôle, puis son épaisseur.

Question 1 : Résistance de calcul du matériau de scellement

Eurocode 3 — art. 6.2.5 et Eurocode 2 25 min | Accessible

But de l'étape : Établir la pression admissible sous la platine, en nommant chaque coefficient et l'article qui le fixe.

Énoncé Q1 : Calculer la résistance de calcul du béton en compression, puis celle du matériau de scellement sous la platine. Préciser l'origine et les conditions d'emploi de chaque coefficient, et chiffrer ce que le crédit de diffusion apporterait s'il était retenu.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Quatre coefficients interviennent, empruntés à deux Eurocodes différents. Deux réduisent la résistance, un l'augmente, et le quatrième dépend du pays.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le coefficient 0,67 n'est pas \( \alpha_{\text{cc}} \). Cherchez dans l'EN 1993-1-8 quel coefficient vaut exactement 2/3, et de quoi il dépend.

Question 2 : Aire requise et largeur de répartition c

Eurocode 3 — art. 6.2.5, méthode de l'aire efficace 40 min | Intermédiaire

But de l'étape : Obtenir la largeur de répartition requise, et le côté minimal de platine qui en découle.

Énoncé Q2 : Déterminer l'aire efficace minimale requise, puis la largeur de répartition qui la procure en résolvant l'équation de l'article 6.2.5. Contrôler l'absence de recouvrement entre les semelles, et en déduire le côté minimal de la platine.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'expression de l'aire efficace ne contient aucune dimension de la platine. Elle ne fait intervenir que le périmètre et l'aire du profilé — cherchez pourquoi.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'équation obtenue est du second degré en \( c \). Une seule de ses deux racines a un sens physique.

Question 3 : Choix de la platine et résistance de l'appui

Eurocode 3 — art. 6.2.5, vérification 35 min | Intermédiaire

But de l'étape : Retenir une cote constructible et donner le taux de travail de l'appui plutôt qu'un verdict binaire.

Énoncé Q3 : Examiner les deux cotes de platine envisageables — 270 et 300 mm — en calculant pour chacune l'aire efficace réelle, la résistance de l'appui et le taux de travail. Conclure sur la cote à retenir.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La largeur de répartition d'une platine donnée vaut \( (L-h)/2 \). Reportez-la dans l'expression de l'aire efficace : le résultat n'est pas \( L^2 \).

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Réduire le côté de 10 % ne fait pas perdre 10 % d'aire efficace, mais 30 %. Vérifiez-le avant de conclure sur l'arrondi.

Question 4 (Finale) : Épaisseur de la platine et bouclage

Eurocode 3 — art. 6.2.5, synthèse 40 min | BOSS

But de l'étape : Fixer l'épaisseur, vérifier la relation dans les deux sens, et déclarer le périmètre non couvert.

Énoncé Q4 : Calculer l'épaisseur minimale de la platine par le modèle de la console, retenir une épaisseur commerciale, puis vérifier que celle-ci autorise bien la largeur employée au calcul de la résistance. Examiner l'épaisseur immédiatement inférieure et recenser les vérifications hors périmètre.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le facteur 3 sous la racine n'a rien de mystérieux : c'est le produit du 6 du module élastique \( t^2/6 \) par le 1/2 du moment de console \( w c^2/2 \). Reconstituez-le.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La même relation, résolue en \( c \), donne la largeur qu'une épaisseur autorise. C'est cette seconde lecture qui manque d'ordinaire, et elle change le verdict sur la tôle de 18 mm.

NOTE DE CALCULS

Dimensionnement d'un pied de poteau métallique

Question 1 : Résistance de calcul du matériau de scellement f_jd

Dans la tête de l'ingénieur

"On pose couramment \( f_{\text{jd}} = 0{,}67 \, f_{\text{ck}}/\gamma_{\text{c}} \) en justifiant le coefficient 0,67 par la durée d'application de la charge, avant d'affirmer en FAQ que « la valeur exacte selon l'Eurocode 2 est \( \alpha_{\text{cc}} \), qui vaut généralement 0,85 ». Ces deux explications désignent deux coefficients différents, issus de deux Eurocodes différents, et aucune des deux ne décrit celui qui est réellement employé. Le 0,67 est \( \beta_{\text{j}} = 2/3 \), le coefficient du matériau de scellement de l'EN 1993-1-8, art. 6.2.5(7) — un mortier que les données ne mentionnent jamais."

Observation : Trois coefficients distincts interviennent dans cette seule valeur : \( \alpha_{\text{cc}} \) pour la durée de charge, \( \gamma_{\text{c}} \) pour la sécurité matériau, et \( \beta_{\text{j}} \) pour le scellement. On n'en nomme correctement aucun, tout en tombant sur un résultat défendable.
Analyse du risque : Employer un coefficient sans savoir ce qu'il représente, c'est ignorer les conditions qui l'autorisent. Le \( \beta_{\text{j}} = 2/3 \) n'est pas acquis : l'article 6.2.5(7) le subordonne à la résistance et à l'épaisseur du mortier de calage, deux points qu'aucune donnée n'aborde.
Choix stratégique : Reconstruire la chaîne complète \( f_{\text{ck}} \rightarrow f_{\text{cd}} \rightarrow f_{\text{jd}} \) en nommant chaque coefficient et en citant l'article qui le fixe. Le résultat de 0,67 sera conservé, mais il sera enfin justifié.
Alternative : La norme autorise un coefficient de diffusion \( \alpha \) allant jusqu'à 1,5, que l'on écarte ici pour rester conservatif. Le retenir ferait passer \( f_{\text{jd}} \) de 11,11 à 16,67 MPa, soit 50 % de capacité de plus.
Objectif visé : Obtenir la pression maximale que l'appui peut supporter sous la platine, et savoir exactement de quelles hypothèses ce chiffre dépend.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f_{\text{jd}} = 11{,}11\ \text{MPa} \) — et 16,67 si la diffusion est prise en compte

Rappel Théorique : Les trois coefficients qui séparent f_ck de f_jd

Entre la résistance mesurée en laboratoire sur une éprouvette et la pression admissible sous une platine, trois coefficients interviennent, empruntés à deux Eurocodes distincts. Les confondre est l'erreur la plus fréquente de cette vérification.

α_cc corrige les effets de longue durée : Il appartient à l'Eurocode 2 et traduit la perte de résistance du béton sous charge maintenue, ainsi que l'écart entre l'essai normalisé et la structure réelle. C'est un paramètre déterminé nationalement.
γ_c couvre la dispersion du matériau : Fixé à 1,50, il est nettement supérieur au 1,00 de l'acier parce que le béton est fabriqué sur chantier, dans des conditions bien moins maîtrisées qu'un laminoir.
β_j traduit la qualité du scellement : Il appartient à l'Eurocode 3, art. 6.2.5(7), et vaut 2/3. Il reconnaît que la charge ne transite pas directement de l'acier au béton, mais par un lit de mortier dont les performances sont incertaines.
α récompense le confinement du béton : Le béton comprimé localement est bridé latéralement par la masse qui l'entoure : il résiste davantage. Ce coefficient de diffusion peut atteindre 1,50, sous conditions de profondeur et de distance aux bords.
Le produit β_j × α vaut couramment 1 : Avec \( \beta_{\text{j}} = 2/3 \) et \( \alpha = 1{,}5 \), les deux coefficients s'annulent exactement et l'on retrouve \( f_{\text{jd}} = f_{\text{cd}} \). C'est l'hypothèse usuelle des recueils de calcul, à condition que la fondation soit ordinaire.

Équations Fondamentales

Deux formules enchaînées, chacune issue d'un Eurocode différent. La première descend de la résistance caractéristique à la résistance de calcul du béton ; la seconde corrige cette dernière pour tenir compte du joint de scellement et de la diffusion.

Résistance de calcul du béton en compression — EN 1992-1-1 :

Elle transforme la résistance caractéristique mesurée sur éprouvette en une valeur utilisable pour le dimensionnement.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une résistance caractéristique est une valeur statistique — le fractile à 5 % d'essais de laboratoire menés sur des éprouvettes parfaites, chargées rapidement jusqu'à rupture. La structure réelle ne ressemble à aucune de ces conditions : son béton a été coulé sur chantier, il portera sa charge pendant cinquante ans, et personne ne l'écrasera en quelques minutes. Les deux coefficients corrigent précisément cet écart entre l'essai et l'ouvrage.

Contexte de validité : La formule s'applique à la résistance cylindrique. Dans la désignation C25/30, le premier nombre est le cylindre et le second le cube : c'est le premier qui entre dans le calcul.
Avantage : Elle sépare proprement deux causes de réduction indépendantes — le comportement du matériau dans le temps d'une part, la dispersion de fabrication d'autre part — au lieu de les fondre dans un coefficient global opaque.
Paramètre clé : \( \alpha_{\text{cc}} \) est un paramètre déterminé nationalement. Les recueils britanniques SCI P358 et P398 emploient 0,85 ; cette valeur n'est pas nécessairement celle de l'annexe nationale française.
Vérification : Un repère fiable : pour un C25/30, \( f_{\text{cd}} \) tombe entre 14 et 17 MPa selon la valeur retenue pour \( \alpha_{\text{cc}} \). Toute valeur hors de cette fourchette signale une erreur.
Limite : Cette résistance vaut pour une compression uniformément répartie. Sous une platine, la charge est au contraire très localisée, et c'est exactement ce que la formule suivante corrigera.

\[ \begin{aligned} f_{\text{cd}} = \frac{\alpha_{\text{cc}} \, f_{\text{ck}}}{\gamma_{\text{c}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le coefficient \( \alpha_{\text{cc}} \) recouvre un phénomène bien réel, que l'on appelle l'effet Rüsch : un béton maintenu sous une contrainte élevée pendant des mois finit par rompre sous une charge qu'il aurait supportée sans dommage lors d'un essai rapide. La cause est la microfissuration progressive de la pâte de ciment, qui se propage lentement autour des granulats sous contrainte soutenue. Le coefficient \( \gamma_{\text{c}} \) traduit tout autre chose : non pas le comportement du matériau, mais notre ignorance de sa valeur réelle dans l'ouvrage. Un béton est dosé, malaxé, transporté, coulé et vibré sur chantier, avec une dispersion que rien ne rapproche de celle d'un acier laminé en usine. C'est pourquoi son coefficient partiel vaut 1,50 quand celui de l'acier vaut 1,00 : la différence ne dit pas que le béton est un mauvais matériau, elle dit qu'on le connaît moins bien.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{cd}} \) : résistance de calcul du béton en compression, unité : \( \text{MPa} \)
\( f_{\text{ck}} \) : résistance caractéristique sur cylindre, à 28 jours, unité : \( \text{MPa} \)
\( \alpha_{\text{cc}} \) : coefficient de longue durée, paramètre déterminé nationalement, unité : —
\( \gamma_{\text{c}} \) : coefficient partiel de sécurité du béton, égal à 1,50, unité : —

Résistance du matériau de scellement — EN 1993-1-8, art. 6.2.5 :

Elle corrige la résistance du béton pour tenir compte du lit de mortier et du confinement offert par le massif.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la platine ne repose jamais sur le béton lui-même. Entre les deux se trouve un lit de mortier de calage de quelques centimètres, coulé après le réglage du poteau, dont la mise en œuvre est délicate et le remplissage rarement parfait. Le coefficient \( \beta_{\text{j}} \) sanctionne cette incertitude. En sens inverse, le béton comprimé sur une petite surface est bridé par la masse qui l'entoure et résiste bien plus qu'un béton comprimé uniformément : c'est ce que récompense le coefficient \( \alpha \).

Contexte de validité : L'emploi de \( \beta_{\text{j}} = 2/3 \) est conditionnel. L'article 6.2.5(7) exige un mortier d'au moins \( 0{,}2 \, f_{\text{cd}} \), d'épaisseur inférieure à 50 mm et au cinquième des dimensions de la platine.
Avantage : Le produit \( \beta_{\text{j}} \, \alpha \) vaut exactement 1 pour une fondation ordinaire, ce qui donne \( f_{\text{jd}} = f_{\text{cd}} \) : une règle simple à retenir et vérifiée dans les recueils de calcul.
Paramètre clé : Le coefficient de diffusion \( \alpha \), plafonné à 1,50. Il dépend de la profondeur du massif et de la distance de la platine aux bords, deux données que l'étude ne fournit pas.
Vérification : SCI P358 et P398 posent tous deux : « il est raisonnable de prendre \( \alpha = 1{,}5 \), d'où \( f_{\text{jd}} = f_{\text{cd}} = 0{,}85 \, f_{\text{ck}}/\gamma_{\text{c}} \) ». Les deux recueils concordent mot pour mot.
Limite : Retenir \( \alpha = 1{,}5 \) impose un massif d'au moins la moitié de la plus grande dimension de la platine en profondeur, et un quart en distance aux bords. Hors de ces conditions, le crédit tombe.

\[ \begin{aligned} f_{\text{jd}} = \beta_{\text{j}} \, \alpha \, f_{\text{cd}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le coefficient de diffusion mérite qu'on s'y arrête, car il décrit un mécanisme que l'intuition saisit mal. Quand on comprime une petite surface au centre d'un gros bloc de béton, la matière située sous la zone chargée cherche à s'écarter latéralement ; mais elle ne le peut pas, parce que tout le béton qui l'entoure s'y oppose. Il naît donc un état de compression triaxiale, et un béton confiné dans les trois directions résiste bien davantage qu'un béton libre de gonfler. C'est le même phénomène qui explique la performance des poteaux frettés ou des tubes remplis de béton. L'Eurocode 2 quantifie ce gain par le rapport \( \sqrt{A_{\text{c1}}/A_{\text{c0}}} \) entre l'aire diffusée et l'aire chargée, et l'Eurocode 3 le plafonne à 1,5 pour les pieds de poteaux. La contrepartie est exigeante : le confinement n'existe que si la matière environnante est réellement présente — d'où les conditions de profondeur et de distance aux bords.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{jd}} \) : résistance de calcul du matériau de scellement sous la platine, unité : \( \text{MPa} \)
\( \beta_{\text{j}} \) : coefficient du matériau de scellement, égal à 2/3 sous conditions, unité : —
\( \alpha \) : coefficient de diffusion de la charge dans le massif, au plus 1,50, unité : —
\( f_{\text{cd}} \) : résistance de calcul du béton, issue de la formule précédente, unité : \( \text{MPa} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Le coefficient 0,67 vient de la durée d'application de la charge…"

L'approche d'ingénieur : C'est l'explication courante, et elle désigne le mauvais coefficient. Le 0,67 n'est pas \( \alpha_{\text{cc}} \) : c'est \( \beta_{\text{j}} = 2/3 \), le coefficient du matériau de scellement, qui appartient à l'Eurocode 3 et non à l'Eurocode 2.

L'erreur : Confondre deux coefficients numériquement voisins — 0,67 et 0,85 — mais de nature et d'origine entièrement différentes. L'explication courante va jusqu'à proposer de remplacer l'un par l'autre.
La bonne méthode : Écrire la chaîne complète en nommant chaque coefficient : \( f_{\text{jd}} = \beta_{\text{j}} \, \alpha \, \alpha_{\text{cc}} \, f_{\text{ck}}/\gamma_{\text{c}} \). Chacun a son article, son domaine et ses conditions d'emploi.
L'astuce de pro : Un moyen infaillible de les distinguer : \( \alpha_{\text{cc}} \) parle du béton et se retrouve dans tous les calculs de béton armé ; \( \beta_{\text{j}} \) parle du joint et n'apparaît que dans les pieds de poteaux.
Le moyen mnémotechnique : « Le j de \( \beta_{\text{j}} \), c'est le joint. » Si aucun mortier de calage n'est spécifié au projet, le droit d'employer 2/3 n'est pas acquis et doit être établi.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Résistances : toutes les grandeurs de cette question sont en MPa, c'est-à-dire en \( \text{N}/\text{mm}^2 \). C'est l'unité naturelle du calcul d'assemblage, où les efforts sont en newtons et les dimensions en millimètres.
Classe de béton : dans C25/30, les deux nombres sont des MPa. Le premier est la résistance sur cylindre, le second sur cube — et seul le premier entre dans les formules de l'Eurocode.
Coefficients : \( \alpha_{\text{cc}} \), \( \gamma_{\text{c}} \), \( \beta_{\text{j}} \) et \( \alpha \) sont tous sans dimension. Leur produit l'est aussi, ce qui garantit que \( f_{\text{jd}} \) reste homogène à une contrainte.
Contrôle d'homogénéité : \( f_{\text{jd}} \) doit rester du même ordre que \( f_{\text{ck}} \), inférieur à lui, et jamais négatif. Un résultat supérieur à \( f_{\text{ck}} \) signale un coefficient placé au numérateur au lieu du dénominateur.
Écriture des fractions : \( 2/3 \) vaut 0,6667 et non 0,67. L'écart est de 0,5 %, sans conséquence ici, mais l'habitude d'arrondir un coefficient exact est à éviter — elle masque son origine.

Trois calculs séparés, dans l'ordre de la chaîne normative : la résistance de calcul du béton, puis celle du matériau de scellement sous l'hypothèse conservative retenue, puis ce que la norme autoriserait si la diffusion était prise en compte.

1. Résolution Numérique De la résistance caractéristique à la résistance de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le socle de toute la chaîne : les deux coefficients suivants s'appliqueront à cette valeur, et une erreur ici se propage jusqu'à l'épaisseur de la platine.

Méthodologie du calcul :

On applique l'article 3.1.6 de l'EN 1992-1-1 en retenant \( \alpha_{\text{cc}} = 1{,}00 \), qui est la valeur implicite du 0,67 et la plus défavorable des deux hypothèses examinées.

Substitution : \( f_{\text{ck}} = 25\ \text{MPa} \) pour un béton C25/30, \( \gamma_{\text{c}} = 1{,}50 \), et \( \alpha_{\text{cc}} = 1{,}00 \) retenu ici.
Piège évité : Employer 30 MPa, la résistance sur cube de la désignation C25/30. Les formules de l'Eurocode sont toutes calées sur la résistance cylindrique, systématiquement plus faible.
Hypothèse validée : \( \alpha_{\text{cc}} \) est un paramètre national. L'étude ne contient pas l'annexe nationale française de l'EN 1992-1-1 : la valeur est retenue comme hypothèse et signalée comme telle.
Vérification croisée : Avec la valeur britannique de 0,85 employée par SCI P358 et P398, on obtiendrait 14,17 MPa. Les deux résultats encadrent bien la fourchette annoncée de 14 à 17 MPa.
Finalité : Disposer de la résistance de calcul du béton, à laquelle les coefficients de joint et de diffusion vont maintenant s'appliquer.

\[ \begin{aligned} f_{\text{cd}} &= \frac{\alpha_{\text{cc}} \, f_{\text{ck}}}{\gamma_{\text{c}}} \\ &= \frac{1{,}00 \times 25}{1{,}50} \\ &= \frac{25}{1{,}50} \\ &= \mathbf{16{,}67} \ \text{MPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La résistance de calcul du béton vaut 16,67 MPa, soit deux tiers de sa résistance caractéristique. Le tiers perdu est le prix de la sécurité matériau, et il est considérable au regard de l'acier, qui ne perd rien.

Ordre de grandeur : Le rapport \( f_{\text{cd}}/f_{\text{ck}} = 1/1{,}5 = 0{,}667 \) est un repère à mémoriser : avec \( \alpha_{\text{cc}} = 1 \), la résistance de calcul d'un béton vaut toujours les deux tiers de sa classe.
Impact sur la suite : C'est sur cette valeur que \( \beta_{\text{j}} \) va s'appliquer. Elle commande donc directement l'aire de la platine, puis son épaisseur — toute la chaîne en dépend.
Cohérence : L'acier de la platine, lui, conserve l'intégralité de ses 235 MPa puisque \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \). Le béton est quinze fois moins résistant que l'acier après pondération, contre dix fois avant.
Attention : Le choix de \( \alpha_{\text{cc}} \) n'est pas neutre : entre 0,85 et 1,00 l'écart atteint 18 % sur l'aire requise. Une note de calcul doit toujours citer l'annexe nationale appliquée.
Comparaison : Un béton C30/37, une classe au-dessus, donnerait \( f_{\text{cd}} = 20{,}0 \) MPa. Le gain de 20 % sur la résistance ne se traduit toutefois que par 10 % sur le côté de la platine, qui varie comme la racine.

Remarque pédagogique : Le contraste entre les deux coefficients partiels mérite d'être compris, car il est souvent mal interprété. On entend dire que « le béton est moins sûr que l'acier », ce qui est faux : les deux matériaux atteignent le même niveau de fiabilité une fois pondérés, et c'est précisément l'objet de la pondération. Ce que traduit l'écart entre 1,50 et 1,00, c'est la différence de dispersion entre les deux filières. Un acier de construction sort d'un laminoir où la composition chimique est contrôlée en continu et où chaque coulée est certifiée ; sa limite d'élasticité réelle dépasse presque toujours largement la valeur nominale, avec un écart-type faible. Un béton, à l'inverse, est fabriqué au plus près du chantier, subit les aléas du transport, de la température, de la teneur en eau des granulats et du soin apporté à la vibration. Sa résistance à 28 jours peut varier de plusieurs mégapascals d'une gâchée à l'autre. Le coefficient de 1,50 n'est donc pas une défiance envers le matériau, mais la traduction chiffrée d'une variabilité de fabrication — et c'est pourquoi un chantier bien contrôlé peut, dans certains cas, justifier de le réduire.

La résistance sous la platine, hypothèse conservative retenue

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est cette valeur, et non celle du béton nu, qui plafonne la pression admissible sous la platine et fixera donc son aire.

Méthodologie du calcul :

On applique l'article 6.2.5 de l'EN 1993-1-8 avec \( \beta_{\text{j}} = 2/3 \), en écartant le crédit de diffusion — c'est le choix retenu ici, et il va dans le sens de la sécurité.

Substitution : \( \beta_{\text{j}} = 2/3 \) selon l'art. 6.2.5(7), \( \alpha = 1{,}00 \) puisque la diffusion est écartée, et \( f_{\text{cd}} = 16{,}67\ \text{MPa} \) du calcul précédent.
Piège évité : Écrire 0,67 au lieu de 2/3. L'écart de 0,5 % est sans portée, mais il masque l'origine du coefficient : deux tiers est une fraction exacte de la norme, pas un arrondi.
Hypothèse validée : L'emploi de \( \beta_{\text{j}} = 2/3 \) suppose un mortier de calage conforme à l'art. 6.2.5(7). Les données ne mentionnent aucun mortier : l'hypothèse est retenue et explicitement signalée.
Vérification croisée : Avec 0,67 arrondi, on obtient 11,17 MPa ; avec 2/3 exact, 11,11. L'écart de 0,5 % confirme que la seule différence tient à l'arrondi du coefficient.
Finalité : Obtenir la pression maximale admissible sous la platine, qui servira directement à dimensionner son aire.

\[ \begin{aligned} f_{\text{jd}} &= \beta_{\text{j}} \, \alpha \, f_{\text{cd}} \\ &= \frac{2}{3} \times 1{,}00 \times 16{,}67 \\ &= 0{,}6667 \times 16{,}67 \\ &= \mathbf{11{,}11} \ \text{MPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La pression admissible sous la platine vaut 11,11 MPa. Avec 0,67 arrondi on obtient 11,17 : l'écart est de 0,5 %, et l'hypothèse conservative est parfaitement légitime — c'est son explication qui ne l'est pas.

Ordre de grandeur : Une pression de 11 MPa sous une platine, c'est 110 bars, ou environ 1 100 tonnes par mètre carré. Le béton, si médiocre qu'on le croie parfois, encaisse des pressions considérables.
Impact sur la suite : Cette valeur divise directement l'effort normal pour donner l'aire requise. Chaque pour cent d'erreur sur \( f_{\text{jd}} \) est un pour cent d'erreur sur l'aire.
Cohérence : \( f_{\text{jd}} \) vaut les deux tiers de \( f_{\text{cd}} \), lui-même les deux tiers de \( f_{\text{ck}} \). La chaîne complète conserve donc 44 % de la résistance caractéristique du béton.
Attention : Cette valeur est conservative, et non exacte. Elle écarte un crédit que la norme autorise, ce que le calcul suivant va chiffrer précisément.
Comparaison : Rapportée à l'acier de la platine, la pression admissible sous celle-ci ne représente que 4,7 % de la limite d'élasticité du S235. C'est l'écart qui justifie l'existence même d'une platine.

Remarque pédagogique : Il vaut la peine de préciser ce que recouvre concrètement le coefficient \( \beta_{\text{j}} \), car il est le seul des quatre à décrire un procédé de mise en œuvre plutôt qu'une propriété de matériau. Un pied de poteau ne se pose jamais directement sur le béton durci : le poteau est réglé en altitude et en aplomb sur des cales, puis l'espace de trois à cinq centimètres laissé sous la platine est rempli après coup par un mortier fluide coulé depuis un côté. L'opération est délicate : le mortier doit chasser tout l'air sans laisser de vide, sous une plaque d'acier qu'on ne peut pas voir à travers. Un remplissage incomplet crée des zones non portantes, et la pression se concentre alors sur ce qui reste. Le coefficient de 2/3 est la marge que la norme accorde à cette incertitude — et c'est pourquoi son emploi est conditionné à des exigences précises sur la résistance et l'épaisseur du mortier. Un projet qui ne spécifie aucun mortier de calage ne peut donc pas revendiquer ce coefficient de plein droit, ce qui est exactement la situation étudiée ici.

Ce que la diffusion aurait apporté

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une hypothèse conservative n'a de valeur que si l'on sait combien elle coûte, et parce qu'on l'adopte sans jamais le chiffrer.

Méthodologie du calcul :

On reprend la même formule avec le coefficient de diffusion usuel des recueils de calcul, \( \alpha = 1{,}50 \), applicable à une fondation de dimensions ordinaires.

Substitution : Seul \( \alpha \) change, passant de 1,00 à 1,50. Le coefficient de joint et la résistance du béton restent inchangés.
Piège évité : Croire que ce crédit est acquis d'office. Il exige un massif d'au moins 150 mm de profondeur par 300 mm de platine, et 75 mm de distance à chaque bord au minimum.
Hypothèse validée : SCI P358 comme SCI P398 posent que « lorsque les dimensions de la fondation sont inconnues mais ordinaires, il est raisonnable de prendre \( \alpha = 1{,}5 \) ». Les deux recueils concordent.
Vérification croisée : Le produit \( \beta_{\text{j}} \, \alpha = (2/3) \times 1{,}5 \) vaut exactement 1, ce qui redonne \( f_{\text{jd}} = f_{\text{cd}} \) — la règle simple annoncée dans le rappel théorique.
Finalité : Mesurer en pourcentage la réserve que l'hypothèse conservative laisse inexploitée.

\[ \begin{aligned} f_{\text{jd},\alpha=1{,}5} &= \beta_{\text{j}} \, \alpha \, f_{\text{cd}} \\ &= \frac{2}{3} \times 1{,}50 \times 16{,}67 \\ &= 1{,}00 \times 16{,}67 \\ &= \mathbf{16{,}67} \ \text{MPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le crédit de diffusion vaudrait 50 % de capacité supplémentaire. L'hypothèse conservative est donc coûteuse — légitime, mais coûteuse, et elle méritait d'être chiffrée.

Ordre de grandeur : Un coefficient de 1,5 sur la résistance, c'est un tiers de surface en moins pour la platine. Sur un projet comptant cinquante poteaux, l'économie de tôle épaisse devient significative.
Impact sur la suite : Toute la suite de l'exercice retient malgré tout la valeur conservative de 11,11 MPa, par fidélité à l'hypothèse posée et parce que les dimensions du massif ne sont pas données.
Cohérence : Le résultat \( f_{\text{jd}} = f_{\text{cd}} \) confirme la règle : pour une fondation ordinaire, la pression admissible sous la platine égale la résistance de calcul du béton, ni plus ni moins.
Attention : Le crédit disparaît si la platine approche le bord du massif — cas fréquent des poteaux de rive, où la semelle est souvent excentrée pour respecter la limite de propriété.
Comparaison : Avec \( \alpha_{\text{cc}} = 0{,}85 \) et \( \alpha = 1{,}5 \), soit la chaîne britannique complète, on obtiendrait 14,17 MPa — entre les deux valeurs examinées ici.

Remarque pédagogique : Cette question du crédit de diffusion illustre un arbitrage que l'ingénieur rencontre constamment, et qui n'a rien d'anecdotique. La norme offre ici une capacité supplémentaire de 50 %, mais elle la conditionne à des dimensions de massif que l'on ne connaît pas toujours au moment où l'on dimensionne la platine — le dessin de la fondation vient souvent après, et parfois d'un autre bureau d'études. Deux attitudes s'offrent alors. La première consiste à écarter le crédit, comme ici : on obtient une platine plus grande, et le calcul reste valable quelle que soit la fondation finalement retenue. La seconde consiste à retenir le crédit et à écrire l'exigence dans la note de calcul, sous forme d'une condition à respecter par le lot fondations. Aucune des deux n'est meilleure dans l'absolu ; ce qui serait fautif, c'est de retenir le crédit sans écrire la condition, car la platine serait alors dimensionnée sur une hypothèse que personne ne saurait devoir vérifier. La règle est simple : tout crédit pris sur une donnée extérieure doit ressortir de la note sous forme d'exigence explicite.

RÉSULTAT FINAL

\( f_{\text{jd}} \) = 11,11 MPa

"Le 0,67 n'est pas alpha_cc mais beta_j — le coefficient du joint, pas celui du beton."

Question 2 : Aire requise et largeur de répartition c — l'aire efficace n'est pas la platine

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est ici que se joue l'exercice. On pose volontiers \( A_{\text{eff}} = L^2 \), c'est-à-dire l'aire totale de la platine, et en déduit un côté minimal de 267,6 mm par simple racine carrée. Or l'article 6.2.5 ne compte jamais la platine entière : la pression ne se développe que sur une bande de largeur constante \( c \) courant le long du contour du profilé, parce qu'au-delà la tôle fléchit et cesse de porter. L'aire efficace a la forme du profilé, pas celle de la platine — et le côté minimal n'est pas 267,6 mais 295,6 mm."

Observation : L'aire efficace vaut \( 4c^2 + P_{\text{col}} \, c + A_{\text{col}} \), une expression où figurent le périmètre et l'aire du profilé. Aucune dimension de la platine n'y apparaît : c'est le poteau qui décide, pas la tôle.
Analyse du risque : L'erreur est du mauvais côté. Elle surestime l'aire porteuse, donc sous-estime la platine nécessaire. Une platine trop petite ne se signale par aucun symptôme avant l'écrasement local du béton sous la charge.
Choix stratégique : Poser l'équation \( A_{\text{eff}} = A_{\text{req}} \) et la résoudre en \( c \), au lieu de choisir un côté puis d'en déduire \( c \) par soustraction. C'est l'ordre qu'impose la méthode de l'aire efficace, et il n'est pas réversible.
Alternative : Lorsque \( c \) devient grand, les bandes situées entre les semelles finissent par se recouvrir et l'aire ne peut plus être comptée deux fois. La norme fournit alors une seconde expression, qu'il faut savoir quand employer.
Objectif visé : Obtenir la largeur de répartition strictement nécessaire, et le côté minimal de platine qui en découle.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( c = 47{,}8\ \text{mm} \) · côté minimal 295,6 mm et non 267,6

Rappel Théorique : La méthode de l'aire efficace

Une platine n'est pas un bloc rigide. Elle fléchit sous la réaction du béton, et cette flexion limite la surface sur laquelle la pression peut réellement se développer. Toute la méthode de l'article 6.2.5 découle de cette observation.

La pression ne s'étale pas indéfiniment : Loin du profilé, la tôle n'a plus la raideur nécessaire pour transmettre la charge au béton : elle se soulève. La zone porteuse se limite donc à une bande de largeur \( c \) autour du contour de l'acier.
L'aire efficace a la forme du profilé : Pour un profilé en I, elle dessine un H élargi : le profilé lui-même, augmenté d'une bande \( c \) de part et d'autre de chaque semelle et de l'âme. Sa surface vaut \( 4c^2 + P_{\text{col}} \, c + A_{\text{col}} \).
La largeur c est plafonnée par l'épaisseur : Une tôle mince fléchit tôt, donc porte étroit. La relation \( c \le t \sqrt{f_{\text{y}}/(3 f_{\text{jd}} \gamma_{\text{M0}})} \) lie directement la largeur portante à l'épaisseur, et sera exploitée à la question 4.
Le recouvrement doit être surveillé : Si \( c \) dépasse \( (h - 2t_{\text{f}})/2 \), les bandes issues des deux semelles se rejoignent entre elles. L'aire commune ne peut être comptée deux fois, et une seconde formule prend le relais.
La platine peut être plus grande que l'aire efficace : Rien n'interdit de la surdimensionner pour loger les tiges d'ancrage ou retrouver des cotes rondes. Mais la surface excédentaire ne porte pas : elle ne doit jamais entrer dans la vérification.

Équations Fondamentales

Deux formules indépendantes, qu'il s'agira d'égaler. La première donne la surface qu'il faut ; la seconde donne la surface qu'une platine offre réellement, en fonction de la seule inconnue du problème.

Aire requise sous l'effort normal :

Elle donne la surface minimale de contact nécessaire pour que la pression reste sous la résistance du scellement.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un poteau concentre sur quelques dizaines de centimètres carrés une charge que le béton ne peut pas encaisser sur une telle surface. Un HEB 200 présente 78 cm² de section : sous 800 kN, la pression atteindrait 102 MPa, soit neuf fois la résistance admissible. Toute la fonction de la platine est de répartir cette charge, et cette formule chiffre l'étalement minimal.

Contexte de validité : La formule suppose la charge centrée et la pression uniforme. En présence d'un moment, la répartition devient triangulaire ou trapézoïdale et relève d'une tout autre méthode.
Avantage : C'est l'application la plus directe qui soit de la définition d'une contrainte, \( \sigma = F/A \), inversée. Aucune hypothèse structurale n'y entre : seulement un effort, une surface et une résistance.
Paramètre clé : \( f_{\text{jd}} \), établi à la question précédente. L'aire requise lui est inversement proportionnelle : la retenir conservative revient à commander une platine plus grande.
Vérification : Un repère d'ordre de grandeur : sous 800 kN et 11 MPa, l'aire attendue est de l'ordre de 700 cm². Un résultat en cm² à trois chiffres signale une erreur de conversion d'un facteur mille.
Limite : Cette aire est efficace, pas géométrique. La confondre avec l'aire de la platine est précisément l'erreur à éviter, et elle coûte ici près de 30 mm sur le côté.

\[ \begin{aligned} A_{\text{req}} = \frac{N_{\text{Ed}}}{f_{\text{jd}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Cette formule dit une chose simple et fondamentale : un matériau ne connaît pas les forces, il ne connaît que les contraintes. Une charge de 800 kN n'a aucun sens pour le béton tant qu'on ne dit pas sur quelle surface elle s'applique — répartie sur un mètre carré elle est anodine, concentrée sur un timbre-poste elle perfore. C'est pour cette raison qu'un pied de poteau existe en tant que pièce à part entière : le poteau descend une force, la fondation accepte une pression, et il faut une pièce pour convertir l'une en l'autre. La platine est ce convertisseur, et son dimensionnement n'est rien d'autre que la résolution de l'équation \( \sigma = F/A \) en cherchant \( A \). Toute la subtilité de la suite consistera à établir quelle surface travaille réellement — car contrairement à ce que l'intuition suggère, ce n'est pas la totalité de la tôle.

Décomposition des termes :

\( A_{\text{req}} \) : aire efficace minimale requise sous la platine, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( N_{\text{Ed}} \) : effort normal de compression de calcul, à l'ELU, unité : \( \text{N} \)
\( f_{\text{jd}} \) : résistance de calcul du matériau de scellement, unité : \( \text{MPa} \)

Aire efficace d'une platine sous profilé en I — art. 6.2.5 :

Elle donne la surface qui porte réellement, en fonction de la largeur de répartition et des caractéristiques du profilé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la platine n'est pas infiniment raide. Sous la réaction du béton, la partie en débord se comporte comme une console encastrée sur le contour du profilé : elle fléchit, et au-delà d'une certaine distance elle ne transmet plus rien. La norme traduit ce comportement par une bande de largeur constante \( c \) courant le long du contour de l'acier, et ne compte que cette bande. La surface au-delà existe, mais elle ne porte pas.

Contexte de validité : L'expression vaut tant qu'il n'y a pas recouvrement, c'est-à-dire tant que \( c \le (h - 2t_{\text{f}})/2 \). Au-delà, les bandes issues des deux semelles se rejoignent et une autre formule s'applique.
Avantage : Ses trois termes ont une lecture géométrique immédiate : \( A_{\text{col}} \) est le profilé, \( P_{\text{col}} \, c \) la bande qui le longe, et \( 4c^2 \) les quatre carrés d'angle qui complètent le contour.
Paramètre clé : Le périmètre \( P_{\text{col}} \), directement lisible au catalogue sous l'intitulé de surface à peindre. Pour un HEB 200, \( A_{\text{L}} = 1{,}151\ \text{m}^2/\text{m} \), soit 1 151 mm.
Vérification : Le périmètre se recalcule par \( 4b + 2h - 2t_{\text{w}} - 4r(2 - \pi/2) \), le dernier terme retranchant ce que les congés font gagner. On obtient 1 151,1 mm : le catalogue est confirmé.
Limite : L'aire efficace doit tenir sur la platine. Il faut donc vérifier séparément que \( h + 2c \) et \( b + 2c \) ne dépassent pas ses dimensions, faute de quoi le \( c \) calculé n'est pas réalisable.

\[ \begin{aligned} A_{\text{eff}} = 4c^2 + P_{\text{col}} \, c + A_{\text{col}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La décomposition de cette formule en trois termes se lit directement sur le dessin, et c'est le meilleur moyen de ne jamais la confondre avec l'aire de la platine. Imaginez le profilé posé sur la tôle et tracez, à la distance \( c \), une ligne parallèle à chacune de ses faces. Le premier terme, \( A_{\text{col}} \), est la section d'acier elle-même, qui porte évidemment. Le deuxième, \( P_{\text{col}} \, c \), est le ruban de largeur \( c \) qui court tout le long du contour — sa surface est bien le produit de la longueur du contour par la largeur du ruban. Le troisième, \( 4c^2 \), complète les angles rentrants : là où deux faces perpendiculaires se rencontrent, le ruban laisse un petit carré de côté \( c \) que le simple produit périmètre × largeur ne compte pas. Un profilé en I présente quatre de ces angles extérieurs, d'où le facteur 4. La figure obtenue est un H aux contours épaissis, et l'on voit immédiatement qu'elle occupe bien moins que le rectangle circonscrit.

Décomposition des termes :

\( A_{\text{eff}} \) : aire efficace réellement portante sous la platine, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( c \) : largeur de répartition additionnelle autour du contour du profilé, unité : \( \text{mm} \)
\( P_{\text{col}} \) : périmètre développé du profilé, congés compris, unité : \( \text{mm} \)
\( A_{\text{col}} \) : aire de la section transversale du profilé, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( h \), \( t_{\text{f}} \) : hauteur du profilé et épaisseur de semelle, pour le contrôle de recouvrement, unité : \( \text{mm} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"L'aire efficace, c'est l'aire de la platine : \( A_{\text{eff}} = L \times B \)…"

L'approche d'ingénieur : C'est l'hypothèse la plus répandue, et elle vide la méthode de l'article 6.2.5 de sa substance. Si l'aire efficace était l'aire de la platine, la largeur \( c \) n'aurait aucune raison d'exister — or elle est le cœur de la méthode.

L'erreur : Poser \( L_{\text{min}} = \sqrt{A_{\text{req}}} \), ce qui donne 268,3 mm. La norme donne \( L_{\text{min}} = h + 2c = \mathbf{295{,}6} \) mm, soit 27 mm de plus.
La bonne méthode : Résoudre \( 4c^2 + P_{\text{col}} \, c + A_{\text{col}} = A_{\text{req}} \) en \( c \), vérifier l'absence de recouvrement, puis en déduire le côté par \( L \ge h + 2c \).
L'astuce de pro : Un contrôle immédiat : l'aire efficace est toujours inférieure à l'aire de la platine. Si votre calcul les rend égales, c'est que vous avez compté les coins, qui ne portent pas.
Le moyen mnémotechnique : « L'aire efficace a la forme du poteau, pas celle de la tôle. » Ses trois termes ne contiennent d'ailleurs que des caractéristiques du profilé.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Effort : le convertir en newtons avant toute chose. Les 800 kN de l'étude valent 800 000 N, et c'est la conversion la plus souvent oubliée de cette question — elle coûte un facteur mille sur l'aire.
Aire : le résultat sort en \( \text{mm}^2 \) puisque les newtons sont divisés par des \( \text{N}/\text{mm}^2 \). Pour le comparer à un ordre de grandeur familier, diviser par 100 donne des cm².
Périmètre : le catalogue le donne en \( \text{m}^2/\text{m} \) sous l'intitulé de surface à peindre, ce qui est numériquement un périmètre en mètres. Les 1,151 m²/m du HEB 200 valent donc 1 151 mm.
Résolution du trinôme : tous les termes doivent être dans la même unité avant de résoudre. Mélanger un périmètre en mm et une aire en \( \text{cm}^2 \) produit une racine sans aucun sens physique.
Contrôle final : la largeur \( c \) doit ressortir en quelques dizaines de millimètres. Une valeur négative signale une aire requise inférieure à celle du profilé, donc une platine inutile.

Quatre calculs enchaînés : la surface qu'il faut, la largeur de répartition qui la procure, le contrôle de recouvrement qui valide la formule employée, et enfin le côté minimal de platine — celui-là même qu'on sous-estime.

1. Résolution Numérique La surface de contact strictement nécessaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la cible que la géométrie de la platine devra atteindre, et parce qu'elle ne dépend que de deux nombres déjà connus.

Méthodologie du calcul :

On divise l'effort de calcul par la pression admissible établie à la question précédente, en prenant soin de convertir les kilonewtons en newtons.

Substitution : \( N_{\text{Ed}} = 800\ \text{kN} = 800\,000\ \text{N} \) et \( f_{\text{jd}} = 11{,}11\ \text{MPa} \), soit \( 11{,}11\ \text{N}/\text{mm}^2 \).
Piège évité : Diviser 800 par 11,11 et lire le résultat en \( \text{mm}^2 \). On obtiendrait 72 mm², soit une platine de 8,5 mm de côté — l'absurdité saute aux yeux, ce qui rend l'erreur détectable.
Hypothèse validée : La charge est centrée, comme le précisent les données, et le pied est articulé. La pression est donc uniforme sur toute l'aire efficace, ce qui autorise la division directe.
Vérification croisée : Avec \( f_{\text{jd}} = 11{,}17 \), on obtiendrait 71 620 mm². L'écart de 0,5 % se retrouve exactement, ce qui confirme que les deux chaînes sont par ailleurs identiques.
Finalité : Disposer de la surface efficace à atteindre, qui servira de second membre à l'équation de la largeur de répartition.

\[ \begin{aligned} A_{\text{req}} &= \frac{N_{\text{Ed}}}{f_{\text{jd}}} \\ &= \frac{800\,000}{11{,}11} \\ &= \mathbf{72\,000} \ \text{mm}^2 \ \ (720 \ \text{cm}^2) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Il faut 720 cm² de surface portante, quand le profilé n'en offre que 78. La platine doit donc multiplier par plus de neuf la surface de contact — c'est l'ampleur du service qu'elle rend.

Ordre de grandeur : 720 cm², c'est un carré de 27 cm de côté si toute la surface portait. Ce chiffre sert de point de départ, et l'on verra qu'il est trompeur.
Impact sur la suite : Cette valeur devient le second membre de l'équation en \( c \). Toute la géométrie de la platine en découle, puis son épaisseur.
Cohérence : Le rapport \( A_{\text{req}}/A_{\text{col}} = 72\,000/7\,810 = \mathbf{9{,}2} \) correspond exactement au rapport des résistances \( f_{\text{y}}/f_{\text{jd}} = 235/11{,}11 = 21 \) divisé par le taux d'emploi du poteau.
Attention : Cette aire est efficace. Elle ne dit pas encore quelle platine commander, et c'est précisément le pas qu'on franchit trop vite.
Comparaison : Avec le crédit de diffusion écarté à la question 1, l'aire requise tomberait à 480 cm². Un tiers de surface en moins, pour la même charge et le même béton.

Remarque pédagogique : Le rapport de neuf entre la section du poteau et la surface qu'il faut lui donner au sol résume à lui seul la raison d'être des pieds de poteaux, et il mérite d'être médité. L'acier et le béton ne jouent pas dans le même registre de contraintes : le premier travaille couramment à 200 ou 300 MPa, le second à 10 ou 15. Chaque fois que l'on passe de l'un à l'autre dans une structure, il faut donc un organe qui étale la charge d'un facteur dix à vingt — et cet organe existe partout où les deux matériaux se rencontrent. C'est la platine sous un poteau métallique, mais c'est aussi la plaque d'appui sous une poutre préfabriquée, le chapiteau d'un poteau béton dans une dalle-champignon, ou encore la semelle sous un mur porteur, qui joue exactement le même rôle entre le béton et le sol — avec cette fois un rapport de contraintes de l'ordre de mille. Reconnaître ce schéma récurrent aide à comprendre pourquoi un assemblage acier-béton est toujours une pièce épaisse et étalée : sa géométrie n'est pas décorative, elle est le rapport des deux résistances qu'elle réconcilie.

Résoudre l'équation de l'aire efficace en c

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que \( c \) est la seule inconnue du problème, et parce que c'est elle, et non le côté de la platine, que la méthode de l'article 6.2.5 détermine en premier.

Méthodologie du calcul :

On égale l'aire efficace à l'aire requise, ce qui donne une équation du second degré en \( c \), et l'on retient la racine positive.

Substitution : \( P_{\text{col}} = 1\,151\ \text{mm} \) et \( A_{\text{col}} = 7\,810\ \text{mm}^2 \) pour le HEB 200, contre une aire requise de \( 72\,000\ \text{mm}^2 \).
Piège évité : Retenir la racine négative du trinôme. Elle vaut ici −335 mm et n'a aucun sens physique : une largeur de répartition est nécessairement positive.
Hypothèse validée : On suppose d'abord l'absence de recouvrement pour choisir l'expression de \( A_{\text{eff}} \). Cette hypothèse sera vérifiée au calcul suivant, et non admise sans contrôle.
Vérification croisée : Report du résultat : \( 4 \times 47{,}82^2 + 1\,151 \times 47{,}82 + 7\,810 = 72\,000 \). L'équation est satisfaite exactement.
Finalité : Obtenir la largeur de répartition strictement nécessaire, dont dépendront à la fois le côté de la platine et son épaisseur.

\[ \begin{aligned} c &= \frac{-P_{\text{col}} + \sqrt{P_{\text{col}}^2 + 16 \, (A_{\text{req}} - A_{\text{col}})}}{8} \\ &= \frac{-1\,151 + \sqrt{1\,151^2 + 16 \, (72\,000 - 7\,810)}}{8} \\ &= \frac{-1\,151 + \sqrt{1\,324\,801 + 1\,027\,040}}{8} \\ &= \frac{-1\,151 + \sqrt{2\,351\,841}}{8} \\ &= \frac{-1\,151 + 1\,533{,}6}{8} \\ &= \mathbf{47{,}82} \ \text{mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La largeur de répartition strictement nécessaire vaut 47,8 mm. On aboutit à 50 mm par un tout autre chemin : on choisit d'abord la platine, puis en déduit \( c \) par soustraction. La coïncidence est heureuse et ne se reproduirait pas.

Ordre de grandeur : Une largeur de répartition de l'ordre de 2 à 3 fois l'épaisseur de semelle est typique d'un pied de poteau courant. Avec \( t_{\text{f}} = 15 \) mm, les 47,8 mm obtenus sont parfaitement plausibles.
Impact sur la suite : Ce \( c \) commande deux choses à la fois : le côté minimal de la platine par \( h + 2c \), et son épaisseur minimale par la formule de la console de la question 4.
Cohérence : Le terme dominant est \( P_{\text{col}} \, c = 55\,000\ \text{mm}^2 \), contre 9 150 pour \( 4c^2 \) et 7 810 pour le profilé. C'est bien le ruban périphérique qui porte l'essentiel.
Attention : Cette valeur suppose l'absence de recouvrement. Sur un profilé à âme courte — un HEB 100, par exemple — l'hypothèse tomberait et il faudrait changer de formule.
Comparaison : Si l'on avait bêtement pris \( A_{\text{eff}} = L^2 \), on aurait conclu à un côté de 268 mm, soit \( c = 34 \) mm seulement — 29 % de moins que le nécessaire.

Remarque pédagogique : L'ordre dans lequel se déroule ce calcul mérite qu'on s'y attarde, car il inverse l'intuition de conception. Spontanément, on choisirait d'abord une platine — disons 300 par 300, une cote ronde et rassurante — puis on vérifierait qu'elle convient. C'est exactement le chemin habituel, et c'est ce qui conduit à traiter \( c \) comme une conséquence géométrique de son choix. La méthode de l'article 6.2.5 procède dans l'autre sens : elle détermine d'abord la largeur portante nécessaire, puis en déduit la platine minimale qui permet de la loger. La différence n'est pas qu'une question de style. Dans le premier sens, on ne sait jamais si la platine choisie est la plus petite possible, ni de combien elle est en excès ou en défaut ; dans le second, on obtient le minimum strict et l'on connaît exactement sa marge. C'est la distinction générale entre vérifier et dimensionner, et elle traverse toute la pratique du calcul de structures : vérifier répond par oui ou non, dimensionner répond par un nombre.

L'expression employée est-elle la bonne ?

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la formule de l'aire efficace change lorsque les bandes issues des deux semelles se rejoignent, et parce que rien ne le signale dans le résultat.

Méthodologie du calcul :

On compare la largeur trouvée à la demi-distance libre entre les faces intérieures des semelles, seuil que la norme fixe à \( (h - 2t_{\text{f}})/2 \).

Substitution : \( h = 200\ \text{mm} \) et \( t_{\text{f}} = 15\ \text{mm} \) pour le HEB 200, à comparer à la largeur \( c = 47{,}82\ \text{mm} \) obtenue.
Piège évité : Comparer \( c \) à la demi-hauteur du profilé, soit 100 mm. Le seuil porte sur la distance libre entre semelles, pas sur la hauteur totale : c'est 85 mm et non 100.
Hypothèse validée : C'est ici que l'hypothèse posée au calcul précédent se trouve confirmée. Si elle avait échoué, il aurait fallu reprendre le calcul avec l'expression de recouvrement.
Vérification croisée : La marge est confortable : 47,8 contre 85, soit 56 % du seuil. Aucune ambiguïté sur la formule à retenir.
Finalité : Valider l'expression de l'aire efficace employée, et donc le \( c \) qui en découle.

\[ \begin{aligned} \frac{h - 2 \, t_{\text{f}}}{2} &= \frac{200 - 2 \times 15}{2} \\ &= \frac{170}{2} \\ &= \mathbf{85{,}0} \ \text{mm} \ \gt \ 47{,}82 \ \Rightarrow \ \text{pas de recouvrement} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les bandes de répartition ne se rejoignent pas : elles s'arrêtent à 47,8 mm de chaque semelle alors qu'elles disposent de 85 mm. L'expression employée est donc la bonne, et le résultat précédent est validé.

Ordre de grandeur : Le recouvrement apparaît surtout sur les profilés trapus ou très chargés. Sur un HEB, dont l'âme est haute au regard des semelles, il reste l'exception.
Impact sur la suite : Aucune reprise n'est nécessaire. Le \( c = 47{,}82 \) mm passe tel quel au calcul du côté de la platine puis à celui de l'épaisseur.
Cohérence : Une zone non portante de 74 mm de large subsiste au centre, entre les deux bandes intérieures. La platine y est en contact avec le mortier sans lui transmettre de charge.
Attention : Ce contrôle est systématiquement omis dans les corrigés rapides, alors qu'il conditionne le choix même de la formule. Un calcul qui ignore la méthode, ne peut évidemment pas le mener.
Comparaison : Sous 1 400 kN au lieu de 800, la largeur requise monterait à 87 mm et dépasserait le seuil : il faudrait alors basculer sur \( A_{\text{eff}} = 4c^2 + 2(h+b)c + hb \).

Remarque pédagogique : Ce contrôle en apparence secondaire touche à une propriété importante du modèle de l'aire efficace : il n'est pas monotone au sens naïf. Tant que les bandes restent séparées, agrandir \( c \) ajoute de la surface portante des deux côtés de chaque paroi ; mais dès qu'elles se rejoignent entre les semelles, l'espace intérieur est saturé et l'on ne gagne plus que sur l'extérieur. La seconde formule le traduit en remplaçant les termes intérieurs par le rectangle \( h \times b \) complet, c'est-à-dire en admettant que toute la surface comprise entre les semelles porte désormais. Le rendement marginal de l'épaisseur de platine chute donc à partir de ce seuil, ce qui a une conséquence pratique : sur un poteau très chargé, épaissir la tôle devient rapidement moins efficace que l'élargir. C'est une des rares situations où la géométrie de l'assemblage impose de changer de levier en cours de dimensionnement, et savoir repérer ce basculement fait partie du métier.

La plus petite platine qui puisse loger l'aire efficace

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat qu'on sous-estime de 27 mm, et parce que c'est lui qui décide de la tôle à commander.

Méthodologie du calcul :

L'aire efficace déborde du profilé de \( c \) sur chaque face : la platine doit donc mesurer au moins \( h + 2c \) dans un sens et \( b + 2c \) dans l'autre.

Substitution : \( h = b = 200\ \text{mm} \) pour le HEB 200, dont la section est sensiblement carrée, et \( c = 47{,}82\ \text{mm} \).
Piège évité : Prendre la racine carrée de l'aire requise, soit 268,3 mm. C'est l'erreur de modèle, et elle conduit à une platine trop petite de 27 mm sur chaque côté.
Hypothèse validée : Le profilé étant sensiblement carré, les deux conditions donnent la même valeur. Sur un IPE, nettement plus haut que large, elles différeraient et la platine serait rectangulaire.
Vérification croisée : Contrôle par l'aire : une platine de 296 mm de côté donne \( A_{\text{eff}} = 72\,274\ \text{mm}^2 \), tout juste supérieure aux 72 000 requis. Le taux vaut 0,996.
Finalité : Obtenir la dimension minimale théorique, avant de la porter à une cote constructible à la question suivante.

\[ \begin{aligned} L_{\text{min}} &= h + 2 \, c \\ &= 200 + 2 \times 47{,}82 \\ &= 200 + 95{,}64 \\ &= \mathbf{295{,}6} \ \text{mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le côté minimal vaut 295,6 mm, contre 267,6 annoncés par l'aire pleine. L'écart de 28 mm, soit 10 %, n'est pas une nuance : il fait basculer le choix de la tôle d'un cran entier.

Ordre de grandeur : Une platine de 300 mm sous un HEB 200 est une proportion courante en construction métallique. La règle empirique du côté valant 1,5 fois la hauteur du profilé est ici bien vérifiée.
Impact sur la suite : Aucune cote ronde ne se situe entre 295,6 et 300. La platine de 300 mm s'impose donc, et c'est bien celle qu'on retient — par chance plus que par méthode.
Cohérence : Le côté minimal dépasse la racine de l'aire requise de 10 %, ce qui traduit exactement le fait que l'aire efficace n'occupe pas tout le carré circonscrit.
Attention : L'« astuce » consiste à arrondir à 270 mm. Cette valeur, inférieure au minimum, sera examinée en détail à la question suivante — elle ne convient pas.
Comparaison : Sous un HEA 200, plus léger, l'aire du profilé tombe à 53,8 cm² et la largeur requise monterait à 56 mm : le côté minimal atteindrait 312 mm, et il faudrait passer à 320.

Remarque pédagogique : L'écart de 28 mm entre les deux méthodes appelle une observation sur la manière dont une erreur de modèle se propage. En apparence, l'aire pleine et le calcul normatif aboutissent au même résultat final : une platine de 300 mm de côté. On pourrait donc croire que la faute est sans conséquence, et c'est précisément ce qui la rend dangereuse. Ce que produit l'aire pleine, ce n'est pas une valeur fausse mais un minimum faux — et c'est le minimum qui sert de garde-fou. Tant que l'on arrondit généreusement, l'erreur reste invisible ; dès qu'on serre le dimensionnement, elle se matérialise. C'est exactement ce qui se produit avec l'astuce d'arrondi qu'on propose volontiers, et qui conduit à une platine non conforme. La leçon vaut au-delà de ce cas : une méthode fausse qui donne un résultat juste reste une méthode fausse, parce que rien ne garantit qu'elle donnera encore un résultat juste sur le cas suivant. Un vérificateur qui relit une note de calcul ne se contente jamais du résultat final ; il relit le chemin.

AIRE EFFICACE CONTRE AIRE DE LA PLATINE

RÉSULTAT FINAL

c = 47,8 mm, d'où un côté minimal de 295,6 mm

"L'aire efficace a la forme du poteau, jamais celle de la platine."

Question 3 : Choix de la platine — et l'arrondi qui ne convient pas

Dans la tête de l'ingénieur

"On donne volontiers en « astuce » ce conseil de méthode : « après avoir calculé le côté minimal (267,6 mm), arrondissez toujours à la dizaine ou cinquantaine supérieure (270 mm ou 300 mm) ». Le conseil serait excellent si le minimum était juste. Il ne l'est pas, et la platine de 270 mm qu'il propose en premier offre une aire efficace de 52 995 mm² pour 72 000 requis : elle est surchargée de 36 %. Retenir finalement 300 mm tombe juste — mais c'est l'astuce que le lecteur retiendra l'astuce."

Observation : L'aire efficace ne varie pas comme le carré du côté, mais comme \( 4c^2 + P_{\text{col}} \, c + A_{\text{col}} \) avec \( c = (L-h)/2 \). Réduire le côté de 10 % fait perdre 30 % d'aire efficace : la sensibilité est bien plus forte que l'intuition ne le suggère.
Analyse du risque : Une platine sous-dimensionnée n'émet aucun signal d'alerte. Le béton s'écrase localement sous le mortier, la platine s'enfonce de quelques millimètres, et le désordre n'apparaît qu'en tassement différentiel du poteau, des mois plus tard.
Choix stratégique : Vérifier chaque cote candidate par le calcul complet de l'aire efficace, plutôt que d'arrondir un minimum. C'est plus long de trois lignes, et cela transforme un pari en une vérification.
Alternative : Une platine rectangulaire, plus longue que large, permettrait de loger les tiges d'ancrage sans agrandir dans les deux sens. Le HEB 200 étant sensiblement carré, le carré reste ici le choix le plus économe en tôle.
Objectif visé : Retenir une cote constructible, et donner le taux de travail de l'appui plutôt qu'un simple verdict de conformité.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Platine 300 × 300 mm · \( N_{\text{Rd}} = 837{,}3\ \text{kN} \) · taux 0,955 — mais 270 mm échoue à 1,359

Rappel Théorique : Du minimum théorique à la cote commandée

Entre la dimension que le calcul exige et celle qui figurera sur le plan de fabrication, plusieurs contraintes s'ajoutent, dont aucune n'est structurale. Les connaître évite de croire qu'une platine surdimensionnée l'est par excès de prudence.

Le calcul donne un minimum, pas une cote : 295,6 mm n'est pas une dimension de plan : c'est un seuil. Toute cote supérieure convient structuralement, et le choix parmi elles relève d'autres considérations.
Les tiges d'ancrage réclament de la place : Quatre tiges disposées aux angles, avec une pince suffisante et un trou surdimensionné pour le réglage, imposent souvent un débord de 50 à 60 mm au-delà du profilé — parfois plus que le calcul.
Les cotes rondes réduisent les erreurs : Une platine de 300 mm se contrôle au mètre sur chantier ; une platine de 296 mm invite à la confusion. Le surcoût de tôle est négligeable devant le risque de non-conformité.
La surface excédentaire ne porte pas : Agrandir la platine au-delà de \( h + 2c \) n'augmente plus l'aire efficace si l'épaisseur ne suit pas : la largeur \( c \) reste plafonnée par la flexion de la tôle.
Le taux de travail vaut mieux qu'un verdict : « Conforme » ne dit pas s'il reste 5 % ou 40 % de réserve. Une note de calcul qui donne le taux permet de savoir, plus tard, si une charge supplémentaire est envisageable sans tout reprendre.

Équations Fondamentales

Deux formules seulement, mais elles doivent être employées dans le bon ordre : d'abord la largeur qu'une platine donnée procure, puis la résistance qui en découle.

Largeur de répartition offerte par une platine donnée :

Elle donne la largeur géométriquement disponible autour du profilé, pour une cote de platine choisie.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la largeur de répartition est soumise à deux plafonds indépendants. Le premier est physique : la bande ne peut pas déborder de la tôle, ce qui la limite à \( (L-h)/2 \). Le second est mécanique : la tôle doit être assez épaisse pour transmettre l'effort sur cette largeur sans plastifier, ce que la question 4 chiffrera. La largeur effective est la plus petite des deux, et il faut donc les calculer séparément.

Contexte de validité : La formule suppose la platine centrée sur le profilé. Une platine excentrée — pour dégager un bord de dalle, par exemple — donnerait deux largeurs différentes, et c'est la plus faible qui gouvernerait.
Avantage : Elle est purement géométrique et ne coûte rien à calculer. C'est le premier réflexe à avoir devant une platine imposée : lire immédiatement le débord disponible.
Paramètre clé : La différence \( L - h \). Comme elle est divisée par deux, chaque centimètre gagné sur le côté de la platine n'apporte que cinq millimètres de largeur portante.
Vérification : Contrôle immédiat : \( L = h + 2c \) doit se retrouver. Avec 300 mm de platine et 200 mm de profilé, on doit lire 50 mm de chaque côté, ce que confirme le dessin.
Limite : Sur un profilé rectangulaire, il y a deux largeurs différentes, l'une dans le sens de la hauteur et l'autre dans celui de la largeur. C'est la plus grande qui commande l'épaisseur de la tôle.

\[ \begin{aligned} c_{\text{geo}} = \frac{L - h}{2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Cette formule très simple cache une distinction qu'on ne fait jamais, et qui est pourtant au cœur de la méthode. Il existe deux grandeurs différentes désignées par la même lettre \( c \). La première est la largeur requise : celle qu'il faut atteindre pour que l'aire efficace couvre l'aire nécessaire, obtenue en résolvant l'équation de la question 2. La seconde est la largeur disponible : celle que la géométrie de la platine autorise, donnée par la présente formule, et celle que l'épaisseur de la tôle permet de mobiliser. Le dimensionnement consiste à s'assurer que la disponible dépasse la requise. Or on ne calcule presque jamais la requise : on calcule directement la disponible à partir d'une platine choisie au jugé, puis s'en sert pour l'épaisseur — ce qui revient à vérifier une hypothèse par elle-même. La coïncidence numérique fait qu'il tombe juste ; la démarche, elle, ne comporte aucune vérification.

Décomposition des termes :

\( c_{\text{geo}} \) : largeur de répartition géométriquement disponible, unité : \( \text{mm} \)
\( L \) : côté de la platine carrée retenue, unité : \( \text{mm} \)
\( h \) : hauteur du profilé, ou largeur selon le sens considéré, unité : \( \text{mm} \)

Résistance de calcul de l'appui en compression :

Elle donne la charge maximale que le pied de poteau peut transmettre à la fondation, pour une platine donnée.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un dimensionnement ne s'arrête pas à la conformité. Comparer l'effort à une résistance permet d'énoncer un taux de travail, seul chiffre qui dise s'il reste de la réserve. Cette information est décisive plus tard : quand on demandera si le bâtiment peut supporter un étage supplémentaire, un taux de 0,955 et un taux de 0,60 conduiront à des réponses opposées, alors que les deux étaient « conformes ».

Contexte de validité : La formule vaut pour une compression centrée. En présence d'un moment, la résistance se calcule par T-stubs, avec une zone comprimée et une zone tendue reprise par les tiges d'ancrage.
Avantage : Elle boucle la vérification sur la même grandeur que la donnée de départ — un effort en kilonewtons — ce qui rend le résultat immédiatement comparable à la descente de charges.
Paramètre clé : L'aire efficace, qui varie très vite avec le côté de la platine. Passer de 270 à 300 mm, soit 11 % de côté, fait gagner 42 % de résistance.
Vérification : L'ordre de grandeur se contrôle mentalement : 75 000 mm² à 11 MPa font environ 825 kN. Un résultat en mégannewtons signale une erreur de conversion.
Limite : Cette résistance est celle de l'appui, pas du poteau. Le flambement de celui-ci relève d'une tout autre vérification, que l'étude ne mène jamais.

\[ \begin{aligned} N_{\text{Rd}} = A_{\text{eff}} \, f_{\text{jd}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Écrire la vérification sous forme de résistance plutôt que de contrainte change peu de chose au calcul, mais beaucoup à sa lecture. Une contrainte admissible répond à la question « la pression est-elle acceptable ? » par oui ou par non ; une résistance répond à la question « jusqu'où peut-on aller ? » par un nombre. C'est cette seconde formulation que l'Eurocode généralise, et ce n'est pas un hasard : elle rend les vérifications comparables entre elles. Sur ce pied de poteau, on peut ainsi mettre côte à côte la résistance de l'appui, 837 kN, celle de la section du poteau, 1 835 kN, et celle des soudures ou des tiges d'ancrage. Le maillon faible apparaît immédiatement, ce qu'aucune comparaison de contraintes ne permettrait, puisqu'elles ne portent pas sur les mêmes surfaces. Savoir quel composant gouverne est le vrai résultat d'un calcul d'assemblage — et ici, c'est bien l'appui sur le béton, avec plus du double de marge sur l'acier.

Décomposition des termes :

\( N_{\text{Rd}} \) : résistance de calcul de l'appui en compression, unité : \( \text{N} \)
\( A_{\text{eff}} \) : aire efficace réellement portante sous la platine, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( f_{\text{jd}} \) : résistance de calcul du matériau de scellement, unité : \( \text{MPa} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Arrondissez le côté minimal à la dizaine supérieure : 267,6 devient 270…"

L'approche d'ingénieur : C'est le conseil qu'on donne explicitement en astuce, et il est doublement fautif : le minimum dont il part est faux, et la valeur qu'il propose en premier conduit à une platine non conforme.

L'erreur : La platine de 270 mm offre \( c = 35 \) mm, soit une aire efficace de 52 995 mm² pour 72 000 requis. Le taux atteint 1,359 : elle est surchargée de 36 %.
La bonne méthode : Arrondir le minimum normatif de 295,6 mm, et non la racine de l'aire. La première cote ronde au-dessus est 300 mm, et il faut la vérifier par le calcul complet de l'aire efficace.
L'astuce de pro : L'aire efficace croît très vite avec le côté : chaque tranche de 10 mm en apporte environ 7 500 mm² dans cette plage. Un seul cran d'arrondi change donc tout, dans un sens comme dans l'autre.
Le moyen mnémotechnique : « On arrondit une cote, jamais un minimum faux. » L'arrondi ne corrige aucune erreur de méthode : il la reporte simplement sur la cote suivante.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Longueurs : tout reste en millimètres, unité naturelle du dessin d'assemblage. Les cotes de tôlerie s'expriment toujours ainsi sur les plans de fabrication, jamais en centimètres.
Aires : le produit de deux millimètres donne des \( \text{mm}^2 \). Pour les rapprocher d'un ordre de grandeur familier, diviser par 100 donne des cm² — les 75 360 mm² valent 753,6 cm².
Résistance : le produit \( \text{mm}^2 \times \text{N}/\text{mm}^2 \) sort en newtons. Il faut diviser par 1 000 pour le comparer aux kilonewtons de la descente de charges.
Taux de travail : rapport de deux efforts, donc sans dimension. Il se lit directement comme une fraction de la capacité, et un taux supérieur à 1 signale la non-conformité.
Épaisseurs commerciales : les tôles fortes se livrent en 15, 16, 18, 20, 25 et 30 mm. Les cotes intermédiaires existent mais allongent les délais et renchérissent l'approvisionnement.

Quatre calculs séparés, qui confrontent les deux cotes envisageables. On commence par celle qu'il conseille en astuce, avant de vérifier celle qu'il retient finalement.

1. Résolution Numérique Ce que procure la platine conseillée en astuce

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la première valeur qui vient à l'esprit, et parce qu'un lecteur pressé la retiendra sans aller plus loin.

Méthodologie du calcul :

On calcule la largeur géométrique offerte par une platine de 270 mm, puis l'aire efficace correspondante par la formule de l'article 6.2.5.

Substitution : \( c_{\text{geo}} = (270 - 200)/2 = 35\ \text{mm} \), reporté dans \( 4c^2 + 1\,151 \, c + 7\,810 \).
Piège évité : Compter \( 270^2 = 72\,900\ \text{mm}^2 \) et conclure que la platine convient tout juste. C'est exactement le raisonnement de l'aire pleine, et il surestime l'appui de 38 %.
Hypothèse validée : Aucun recouvrement avec \( c = 35 \) mm, très inférieur au seuil de 85 mm. L'expression sans recouvrement s'applique donc bien.
Vérification croisée : Le terme dominant reste le ruban périphérique, avec 40 285 mm² sur un total de 52 995, soit 76 % de l'aire portante.
Finalité : Disposer de l'aire réellement portante de cette platine, pour la confronter aux 72 000 mm² requis.

\[ \begin{aligned} A_{\text{eff},270} &= 4 \, c^2 + P_{\text{col}} \, c + A_{\text{col}} \\ &= 4 \times 35^2 + 1\,151 \times 35 + 7\,810 \\ &= 4\,900 + 40\,285 + 7\,810 \\ &= \mathbf{52\,995} \ \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La platine de 270 mm n'offre que 52 995 mm² d'aire portante, quand il en faut 72 000. Il manque 26 % de surface, alors que son aire géométrique de 72 900 mm² paraissait suffisante.

Ordre de grandeur : L'aire efficace ne représente ici que 73 % de l'aire géométrique. Plus la platine est étroite, plus l'écart entre les deux se creuse en proportion.
Impact sur la suite : Cette platine est écartée. Il faut remonter d'un cran, et le calcul suivant chiffre l'ampleur exacte de son insuffisance.
Cohérence : Le rapport des aires efficaces entre 270 et 300 mm vaut 52 995/75 360, soit 0,70, pour un rapport de côtés de 0,90. La sensibilité est bien plus forte que linéaire.
Attention : Une platine géométriquement plus grande que l'aire requise peut donc être insuffisante. C'est contre-intuitif, et c'est précisément ce que la méthode de l'aire efficace enseigne.
Comparaison : Il faudrait une épaisseur infinie pour améliorer ce résultat : la largeur est ici plafonnée par la géométrie, pas par la flexion. Aucune tôle, si épaisse soit-elle, ne sauverait cette platine.

Remarque pédagogique : Le fait qu'aucune épaisseur ne puisse rattraper une platine trop étroite mérite d'être souligné, car il éclaire la nature des deux leviers dont dispose le concepteur. L'épaisseur et la largeur ne sont pas interchangeables : l'épaisseur autorise une largeur portante, la tôle la rend possible, et c'est toujours la plus petite des deux qui s'applique. Sur la platine de 270 mm, la géométrie plafonne la largeur à 35 mm ; une tôle de 40 mm d'épaisseur permettrait théoriquement 106 mm de largeur portante, mais ces millimètres n'existent pas physiquement — il n'y a pas de tôle au-delà de 35 mm. Doubler l'épaisseur reviendrait donc à doubler le poids et le prix de la pièce sans gagner un seul newton. À l'inverse, sur une platine très large et trop mince, c'est la flexion qui plafonne, et là c'est l'épaisseur qui débloque la situation. Savoir lequel des deux plafonds est actif est donc le préalable à toute optimisation, et c'est un réflexe qui s'acquiert vite une fois qu'on l'a formulé.

Le taux de travail de la platine conseillée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un écart de surface ne parle pas, alors qu'un taux de travail se compare immédiatement à l'unité.

Méthodologie du calcul :

On calcule la résistance de l'appui à partir de l'aire efficace, puis on la confronte à l'effort de calcul.

Substitution : \( A_{\text{eff},270} = 52\,995\ \text{mm}^2 \) et \( f_{\text{jd}} = 11{,}11\ \text{MPa} \), contre \( N_{\text{Ed}} = 800\ \text{kN} \).
Piège évité : Conclure « il manque 26 % de surface, donc le taux vaut 1,26 ». Le taux se calcule sur les efforts et vaut 1,359 : l'aire manquante et l'effort excédentaire ne se rapportent pas à la même base.
Hypothèse validée : L'épaisseur n'intervient pas ici, puisque la largeur est plafonnée par la géométrie. Le résultat est donc indépendant de la tôle retenue.
Vérification croisée : Contrôle inverse : \( 72\,000/52\,995 = 1{,}359 \). Le rapport des aires et celui des efforts coïncident exactement, comme il se doit puisque \( f_{\text{jd}} \) est commun.
Finalité : Prononcer un verdict chiffré sur la cote qu'on conseille en premier.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{270} &= \frac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{eff},270} \, f_{\text{jd}}} \\ &= \frac{800\,000}{52\,995 \times 11{,}11} \\ &= \frac{800\,000}{588\,800} \\ &= \mathbf{1{,}359} \ \gt \ 1{,}00 \ \Rightarrow \ \text{NON CONFORME} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La platine de 270 mm est surchargée de 36 %. Elle ne transmettrait que 589 kN au lieu des 800 demandés, et l'astuce qui la propose conduirait donc à un ouvrage non conforme.

Ordre de grandeur : Un dépassement de 36 % sur un appui en béton n'est pas une marge grignotée : c'est le tiers de la capacité qui manque, très au-delà de ce que les coefficients partiels absorbent.
Impact sur la suite : La cote est écartée, et l'on passe à 300 mm — la seconde valeur qu'on mentionne, et la seule des deux qui convienne.
Cohérence : On déclare volontiers valider la platine parce que \( 300^2 = 90\,000 \gt 71\,620 \). Avec 270 mm il aurait écrit \( 72\,900 \gt 71\,620 \) et conclu de la même façon.
Attention : C'est bien la méthode qui est en cause, pas l'arithmétique. Calculer juste à partir d'un modèle faux est le cas le plus difficile à détecter en relecture.
Comparaison : La plus petite cote ronde acceptable est 300 mm. Une platine de 290 mm échouerait encore, à 1,063 — l'intervalle de rattrapage est étroit.

Remarque pédagogique : Ce résultat mérite d'être rapproché de ce qu'on écrit juste avant : « on choisit une dimension pratique et supérieure. Prenons 300 mm. Cela donne une aire réelle de 90 000 mm², ce qui est bien supérieur à 71 620. C'est validé. » La conclusion est bonne, mais la justification ne l'est pas — et c'est la même justification qui, appliquée à 270 mm, aurait validé une platine insuffisante. On touche ici à quelque chose d'important sur la nature du contrôle en bureau d'études. Vérifier qu'un résultat est plausible ne suffit jamais : un modèle faux produit très souvent des résultats plausibles, et c'est même ce qui le rend durable. Ce qui doit être vérifié, c'est que chaque grandeur employée est bien celle que la norme définit — ici, que l'« aire » comparée à l'aire requise est bien l'aire efficace et non l'aire géométrique. La différence tient à un adjectif, et elle vaut 36 % de capacité.

Ce que procure la platine finalement retenue

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la cote qu'on retient et que le calcul normatif confirme, et qu'il faut établir sa marge réelle.

Méthodologie du calcul :

Même formule, avec la largeur géométrique offerte par une platine de 300 mm, soit exactement 50 mm de chaque côté.

Substitution : \( c_{\text{geo}} = (300 - 200)/2 = 50\ \text{mm} \), à comparer aux 47,82 mm strictement requis établis à la question 2.
Piège évité : Employer les 47,82 mm requis au lieu des 50 mm disponibles. La platine étant plus large que le strict minimum, elle offre davantage que nécessaire, et c'est ce qu'il faut compter.
Hypothèse validée : Il reste à confirmer que l'épaisseur permet de développer ces 50 mm. Ce sera l'objet de la question 4, et la réponse est oui avec une tôle de 20 mm.
Vérification croisée : L'aire efficace vaut 75 360 mm² pour une aire géométrique de 90 000 : le rapport de 0,837 se lit directement sur le schéma en plan.
Finalité : Obtenir l'aire portante réelle de la platine retenue, pour en déduire sa résistance et son taux.

\[ \begin{aligned} A_{\text{eff},300} &= 4 \, c^2 + P_{\text{col}} \, c + A_{\text{col}} \\ &= 4 \times 50^2 + 1\,151 \times 50 + 7\,810 \\ &= 10\,000 + 57\,550 + 7\,810 \\ &= \mathbf{75\,360} \ \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La platine de 300 mm offre 75 360 mm² d'aire portante, pour 72 000 requis. La marge est de 4,7 %, et non des 26 % que l'aire géométrique de 90 000 mm² laisserait croire.

Ordre de grandeur : L'aire efficace vaut 84 % de l'aire géométrique. La zone non porteuse, comprise entre les semelles de part et d'autre de l'âme, représente à elle seule 14 640 mm².
Impact sur la suite : Cette valeur donne directement la résistance de l'appui, calculée ci-après, puis servira de référence à la vérification d'épaisseur de la question 4.
Cohérence : Les 50 mm disponibles dépassent bien les 47,82 requis, de 4,6 %. Les deux chaînes de calcul — par l'aire et par la largeur — sont cohérentes.
Attention : Cette marge de 4,7 % est bien plus faible que ce que l'aire pleine annonce. Sa platine « bien supérieure » au requis ne l'est en réalité que d'un vingtième.
Comparaison : Une platine de 320 mm porterait le taux à 0,789 pour seulement 2,5 kg de tôle supplémentaire — un arbitrage que la note de calcul devrait au moins mentionner.

Remarque pédagogique : L'écart entre la marge affichée et la marge réelle illustre un phénomène répandu et rarement énoncé : les erreurs de modèle se traduisent presque toujours par une surestimation de la marge plutôt que par un renversement de conclusion. La raison en est arithmétique. Un modèle faux se trompe généralement d'un facteur modeste — ici 1,19 sur l'aire — et un tel facteur suffit rarement à faire basculer une vérification d'un côté à l'autre, surtout lorsque le concepteur a arrondi généreusement en cours de route. En revanche, il fausse complètement la lecture de ce qui reste. Un projet qui se croit à 26 % de marge acceptera sans hésiter un équipement supplémentaire en toiture ; le même projet informé de sa marge réelle de 4,7 % reprendra le calcul. C'est pourquoi la marge, et non le seul verdict, devrait figurer dans toute note de calcul : elle est ce qui sera consulté plus tard, quand la question ne sera plus « est-ce conforme ? » mais « peut-on encore ajouter quelque chose ? ».

La résistance de l'appui et son taux de travail

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conclusion de la question, et parce que le taux obtenu sera confronté à celui du poteau lui-même pour désigner le maillon faible.

Méthodologie du calcul :

On multiplie l'aire efficace par la résistance du scellement, puis on rapporte l'effort de calcul à cette résistance.

Substitution : \( A_{\text{eff},300} = 75\,360\ \text{mm}^2 \) et \( f_{\text{jd}} = 11{,}11\ \text{MPa} \), pour un effort de 800 kN.
Piège évité : Oublier de repasser en kilonewtons pour la comparaison. La résistance sort en newtons et vaut 837 300 : la lire telle quelle face à 800 donnerait un verdict absurde.
Hypothèse validée : La largeur de 50 mm suppose une tôle assez épaisse pour la développer. La question 4 le confirmera : une tôle de 20 mm autorise jusqu'à 53,1 mm.
Vérification croisée : Contrôle par les aires : \( 72\,000/75\,360 = 0{,}955 \). Identique au rapport des efforts, ce qui valide toute la chaîne.
Finalité : Conclure sur la platine et disposer d'un taux comparable à celui des autres composants de l'assemblage.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{300} &= \frac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{eff},300} \, f_{\text{jd}}} \\ &= \frac{800\,000}{75\,360 \times 11{,}11} \\ &= \frac{800\,000}{837\,300} \\ &= \mathbf{0{,}955} \ \le \ 1{,}00 \ \Rightarrow \ \text{CONFORME} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La platine de 300 × 300 mm convient, avec un taux de 0,955. Elle transmet 800 kN pour une capacité de 837 : il reste 37 kN de réserve, soit moins de 5 %.

Ordre de grandeur : Un taux de 0,955 sur un appui en béton est serré mais courant en construction métallique, où les cotes de tôlerie sont contraintes par les formats disponibles.
Impact sur la suite : Il reste à vérifier que la tôle est assez épaisse pour développer les 50 mm de largeur que ce calcul suppose. C'est l'objet de la question 4.
Cohérence : Le poteau lui-même travaille à 0,436 en section (\( N_{\text{pl},\text{Rd}} = 1\,835\ \text{kN} \)). C'est bien l'appui sur le béton qui gouverne, avec plus du double de sollicitation relative.
Attention : Ce taux repose sur l'hypothèse conservative de la question 1. Avec le crédit de diffusion, il tomberait à 0,637 — la marge réelle dépend donc d'une hypothèse, et la note doit le dire.
Comparaison : Passer à une platine de 320 mm ferait tomber le taux à 0,789 ; passer à 340 mm, à 0,667. Le coût est de 2,5 puis 5,4 kg de tôle par pied.

Remarque pédagogique : La comparaison entre le taux de l'appui, 0,955, et celui de la section du poteau, 0,436, dit quelque chose d'important sur l'économie générale de ce type d'assemblage. Le poteau n'est pas dimensionné par sa compression : il l'est par son flambement, qu'on ne calcule d'ailleurs jamais faute d'en donner la longueur. Sa section est donc largement excédentaire vis-à-vis de la simple résistance, et c'est très général en construction métallique. Le pied, lui, travaille au plus près de sa capacité, parce qu'il n'a aucune raison d'être surdimensionné : rien d'autre que la compression ne le sollicite. Il en résulte une règle empirique utile : dans une ossature métallique courante, ce sont les assemblages qui gouvernent, rarement les barres. L'inverse est vrai en béton armé, où la continuité des sections déplace le problème vers les zones courantes. Cette différence explique pourquoi une part considérable du temps d'étude d'une charpente métallique passe dans les assemblages, et pourquoi c'est là que se logent la plupart des désordres.

RÉSULTAT FINAL

\( N_{\text{Rd}} \) = 837,3 kN, soit un taux de 0,955

"300 mm convient, 270 mm non — et l'astuce de l'enonce conseille 270."

Question 4 : Épaisseur de la platine — et pourquoi 18 mm ne suffirait pas

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est la question la moins piégeuse : la formule est exacte, le raisonnement sur la console est juste, et le résultat de 18,88 mm est correct compte tenu de la largeur qu'il emploie. Deux points restent pourtant à établir. D'abord, la largeur à retenir est celle qui est requise — 47,82 mm — et non celle qu'offre la platine ; l'épaisseur minimale tombe alors à 18,01 mm. Ensuite, et surtout, on ne vérifie jamais que l'épaisseur commerciale retenue permet bien de développer les 50 mm que le calcul de la question 3 suppose. Elle le permet — mais il fallait le montrer."

Observation : La formule de l'épaisseur et celle de la largeur admissible sont la même relation, lue dans deux sens opposés. L'une donne l'épaisseur qu'exige une largeur, l'autre la largeur qu'autorise une épaisseur.
Analyse du risque : La tôle immédiatement inférieure au catalogue, 18 mm, ne développe que 47,8 mm de largeur portante et conduit à un taux de 1,001. L'écart au verdict tient à un millième : c'est le genre de valeur qu'un arrondi malheureux fait basculer.
Choix stratégique : Mener la vérification dans les deux sens : calculer l'épaisseur requise, retenir une tôle commerciale, puis revenir en arrière pour confirmer que cette tôle autorise la largeur employée à la question précédente.
Alternative : Passer la platine en S355 ferait tomber l'épaisseur requise à 14,7 mm, soit une tôle de 15. Le gain de 5 mm sur une pièce de 300 × 300 représente 3,5 kg par pied.
Objectif visé : Fixer l'épaisseur de la tôle, et boucler la vérification en confirmant la cohérence de l'ensemble du dimensionnement.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( t_{\text{p}} \ge 18{,}01\ \text{mm} \) — tôle de 20 mm · l'épaisseur de 18 échouerait à 1,001

Rappel Théorique : La platine en débord traitée comme une console

Toute la vérification d'épaisseur repose sur un modèle mécanique d'une grande simplicité, qu'il vaut mieux comprendre que retenir : une bande de tôle de largeur unitaire, encastrée au droit du profilé, chargée par en dessous.

Le débord fléchit vers le haut : La pression du béton s'exerce sous la platine, alors que le poteau la retient au centre. Le débord se soulève donc, exactement comme une console chargée à l'envers.
Le moment vaut w c² / 2 : C'est le moment d'encastrement d'une console de longueur \( c \) sous charge uniforme \( w = f_{\text{jd}} \). Il croît comme le carré de la largeur : doubler le débord quadruple la sollicitation.
La section résistante est un rectangle plein : Pour une bande de 1 mm de large et d'épaisseur \( t_{\text{p}} \), le module élastique vaut \( t_{\text{p}}^2/6 \). C'est la géométrie la plus simple qui soit, et elle rend la formule inversible à la main.
La relation est réversible : \( t_{\text{p}} \ge c \sqrt{3 f_{\text{jd}} \gamma_{\text{M0}}/f_{\text{y}}} \) et \( c \le t_{\text{p}} \sqrt{f_{\text{y}}/(3 f_{\text{jd}} \gamma_{\text{M0}})} \) sont la même inégalité. Savoir la lire dans les deux sens est le cœur du sujet.
Le calcul reste élastique : Le module employé est \( t_{\text{p}}^2/6 \) et non \( t_{\text{p}}^2/4 \) : la norme n'autorise pas la plastification de la platine, qui reste 13 % plus épaisse qu'un calcul plastique ne l'exigerait.

Équations Fondamentales

Une seule relation mécanique, mais deux formules — parce qu'on l'emploie dans les deux sens. La première dimensionne la tôle, la seconde vérifie ce que la tôle retenue permet.

Épaisseur minimale de la platine — art. 6.2.5 :

Elle donne l'épaisseur de tôle nécessaire pour qu'une largeur de répartition donnée puisse effectivement porter.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la partie de la platine en débord n'a rien qui la retienne. Le béton pousse dessus par en dessous, le poteau la tient par un seul bord, et elle fléchit — c'est le comportement d'une console. Si elle est trop mince, la contrainte de flexion dépasse la limite d'élasticité à l'encastrement, une rotule se forme, et le débord cesse de transmettre la charge au béton. La largeur portante s'effondre alors, et avec elle la résistance de tout l'appui.

Contexte de validité : La formule suppose la section critique au droit de la face du profilé. C'est une hypothèse raisonnable pour un laminé, dont les congés reportent en réalité l'encastrement légèrement vers l'extérieur.
Avantage : Elle est directement inversible : aucune itération n'est nécessaire, contrairement à beaucoup de vérifications d'assemblage où l'on doit essayer puis corriger.
Paramètre clé : La largeur \( c \), dont l'épaisseur dépend linéairement. Le rapport des résistances, lui, n'intervient que sous une racine carrée et pèse donc bien moins.
Vérification : Le coefficient \( \sqrt{3 f_{\text{jd}}/f_{\text{y}}} \) vaut 0,377 ici. Retenir qu'une platine en S235 sur un C25/30 fait environ 0,38 fois son débord donne un contrôle mental instantané.
Limite : La formule ne couvre que la compression centrée. Sous moment, la platine travaille en outre en traction du côté des tiges d'ancrage, et le modèle de T-stub s'y substitue.

\[ \begin{aligned} t_{\text{p},\text{min}} = c \, \sqrt{\frac{3 \, f_{\text{jd}} \, \gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La formule se démontre en trois lignes, et la démonstration vaut mieux que sa mémorisation. Considérons une bande de platine large de 1 mm, en débord sur une longueur \( c \), encastrée sur le contour du profilé. La pression du béton \( f_{\text{jd}} \) y produit un moment d'encastrement \( M = f_{\text{jd}} \, c^2/2 \). Cette bande résiste par son module de flexion élastique, qui pour un rectangle de hauteur \( t_{\text{p}} \) et de largeur unitaire vaut \( W = t_{\text{p}}^2/6 \). En écrivant que la contrainte \( M/W \) ne dépasse pas \( f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \), on obtient \( 3 f_{\text{jd}} c^2/t_{\text{p}}^2 \le f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \), d'où la formule en extrayant la racine. Le facteur 3 n'a donc rien de mystérieux : c'est le produit du 6 du module par le 1/2 du moment de console. Comprendre cette origine permet de reconstruire la relation en cas de doute, et surtout de repérer qu'elle reste élastique — un calcul plastique emploierait \( t_{\text{p}}^2/4 \) et donnerait un facteur 2 au lieu de 3, soit une platine 18 % plus mince.

Décomposition des termes :

\( t_{\text{p},\text{min}} \) : épaisseur minimale requise pour la platine, unité : \( \text{mm} \)
\( c \) : largeur de répartition à développer, requise et non géométrique, unité : \( \text{mm} \)
\( f_{\text{jd}} \) : pression exercée par le scellement sous la platine, unité : \( \text{MPa} \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de la tôle de platine, unité : \( \text{MPa} \)
\( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, égal à 1,00, unité : —

Largeur portante qu'une épaisseur donnée autorise :

Elle donne la largeur maximale que la tôle retenue peut effectivement faire travailler, indépendamment de la place disponible.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la vérification n'est complète que dans les deux sens. On a calculé l'épaisseur qu'exige une largeur, puis arrondi à une cote commerciale supérieure ; il reste à confirmer que cette cote permet bien de développer la largeur effectivement employée au calcul de la résistance — qui est ici de 50 mm, et non les 47,82 requis. Sans cette seconde lecture, on suppose sans démontrer que la platine mobilise toute la largeur qu'on lui a comptée.

Contexte de validité : C'est la même inégalité que la précédente, résolue en \( c \) au lieu de \( t_{\text{p}} \). Elle n'apporte aucune hypothèse nouvelle et ne peut donc pas contredire la première.
Avantage : Elle transforme un arrondi en gain mesuré. Passer de 18,01 à 20 mm ne se traduit pas par « un peu plus de sécurité », mais par 5,3 mm de largeur portante supplémentaire.
Paramètre clé : Le même coefficient qu'avant, employé en inverse : \( 1/0{,}377 = 2{,}655 \). Une platine en S235 sur C25/30 porte donc environ 2,65 fois son épaisseur en largeur.
Vérification : Contrôle croisé immédiat : reporter le \( c \) obtenu dans la formule d'épaisseur doit redonner exactement \( t_{\text{p}} \). Si ce n'est pas le cas, l'une des deux applications est fautive.
Limite : La largeur ainsi obtenue est un plafond mécanique. Elle ne dispense jamais de vérifier que la place existe physiquement sur la platine, qui est l'autre plafond.

\[ \begin{aligned} c_{\text{max}} = t_{\text{p}} \, \sqrt{\frac{f_{\text{y}}}{3 \, f_{\text{jd}} \, \gamma_{\text{M0}}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Cette lecture inverse éclaire ce que signifie réellement « épaissir une platine ». On imagine volontiers que l'épaisseur sert à « résister » à la charge, comme si la tôle risquait d'être écrasée. Il n'en est rien : une tôle de 20 mm sous 11 MPa de pression est très loin de sa capacité en compression. Ce que l'épaisseur achète, c'est de la portée en flexion, autrement dit la faculté d'aller chercher du béton plus loin du poteau. Une platine mince transmet la charge sur une bande étroite serrée contre le profilé ; une platine épaisse la transmet sur une bande large. L'épaisseur est donc un levier géométrique déguisé : elle agit sur la surface portante, pas sur la résistance du matériau. C'est pourquoi elle cesse d'être utile dès que la largeur devient limitée par les dimensions de la tôle — au-delà de 20 mm ici, épaissir n'apporte plus rien du tout.

Décomposition des termes :

\( c_{\text{max}} \) : largeur portante maximale qu'autorise l'épaisseur retenue, unité : \( \text{mm} \)
\( t_{\text{p}} \) : épaisseur commerciale effectivement retenue pour la tôle, unité : \( \text{mm} \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de la tôle de platine, unité : \( \text{MPa} \)
\( f_{\text{jd}} \) : pression exercée par le scellement sous la platine, unité : \( \text{MPa} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"L'épaisseur calculée vaut 18,88 mm : prenons la tôle de 18, elle est plus proche…"

L'approche d'ingénieur : L'arrondi doit toujours se faire vers le haut, et cette question en donne l'illustration la plus nette qui soit : la tôle de 18 mm échoue de justesse, à un millième près.

L'erreur : Arrondir une épaisseur minimale vers le bas. Une tôle de 18 mm ne développe que 47,8 mm de largeur portante, l'aire efficace tombe à 71 970 mm² et le taux atteint 1,001.
La bonne méthode : Retenir la première épaisseur commerciale supérieure ou égale au minimum, puis vérifier la largeur qu'elle autorise. Ici, 20 mm donne 53,1 mm de largeur possible pour 50 mm nécessaires.
L'astuce de pro : Le passage de 18 à 20 mm coûte 1,4 kg par platine et fait passer le taux de 1,001 à 0,955. C'est le meilleur rapport entre le gain de sécurité et le coût de tout l'exercice.
Le moyen mnémotechnique : « Un minimum s'arrondit vers le haut, toujours. » La règle vaut pour les épaisseurs comme pour les cotes de platine, et elle ne souffre aucune exception.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Rapport de résistances : \( f_{\text{jd}}/f_{\text{y}} \) est sans dimension, à condition que les deux soient en MPa. Mélanger des MPa et des kN/cm² produit un coefficient faux d'un facteur dix.
Racine carrée : elle ne s'applique qu'à un nombre sans dimension. Si votre expression sous la racine porte une unité, c'est qu'une grandeur a été oubliée — le contrôle est infaillible.
Épaisseur : le résultat sort en millimètres puisque \( c \) y est. Il se compare directement au catalogue de tôles fortes, gradué de 15 à 30 mm par pas irrégulier.
Coefficient partiel : \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \) figure au numérateur sous la racine. Il ne change rien numériquement en France, mais doit apparaître pour que la note reste transposable à un autre pays.
Masse de tôle : une platine de 300 × 300 en 20 mm pèse \( 0{,}3 \times 0{,}3 \times 0{,}02 \times 7\,850 = \mathbf{14{,}1} \) kg. L'ordre de grandeur permet de chiffrer immédiatement le coût d'un changement d'épaisseur.

Quatre calculs enchaînés : l'épaisseur strictement requise, la tôle commerciale retenue, ce que donnerait l'épaisseur immédiatement inférieure, et enfin le bouclage de tout le dimensionnement.

1. Résolution Numérique La tôle qu'exige la largeur de répartition

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat que demande la question, et parce que la largeur à y reporter n'est pas celle qu'on emploie d'ordinaire.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de la console avec la largeur strictement requise établie à la question 2, et non le débord géométrique de la platine retenue.

Substitution : \( c = 47{,}82\ \text{mm} \), \( f_{\text{jd}} = 11{,}11\ \text{MPa} \), \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
Piège évité : Employer les 50 mm géométriques. On obtiendrait 18,83 mm — la valeur de du calcul courant — soit 4,6 % de trop, puisque la platine offre plus de largeur qu'il n'en faut.
Hypothèse validée : La tôle est en S235 comme le poteau, ce que précisent les données. Pour une épaisseur inférieure à 40 mm, la limite d'élasticité reste bien de 235 MPa selon l'EN 10025-2.
Vérification croisée : Le coefficient sous la racine vaut 0,1418 et sa racine 0,3766. L'épaisseur représente donc 37,7 % du débord, conformément au repère annoncé.
Finalité : Obtenir l'épaisseur théorique minimale, qui sera ensuite portée à une cote commerciale.

\[ \begin{aligned} t_{\text{p},\text{min}} &= c \, \sqrt{\frac{3 \, f_{\text{jd}} \, \gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}}} \\ &= 47{,}82 \times \sqrt{\frac{3 \times 11{,}11 \times 1{,}00}{235}} \\ &= 47{,}82 \times \sqrt{\frac{33{,}33}{235}} \\ &= 47{,}82 \times \sqrt{0{,}1418} \\ &= 47{,}82 \times 0{,}3766 \\ &= \mathbf{18{,}01} \ \text{mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'épaisseur strictement requise vaut 18,01 mm. Avec 50 mm de largeur, on obtient 18,88 en employant le débord géométrique de 50 mm : son résultat est conservatif de 4,6 %, ce qui est sans conséquence puisque l'arrondi commercial l'absorbe.

Ordre de grandeur : Une platine dont l'épaisseur vaut environ le tiers du débord est la proportion habituelle d'un pied de poteau. Les 18 mm pour 48 de débord sont donc parfaitement plausibles.
Impact sur la suite : Aucune tôle commerciale ne se situe entre 18,01 et 20 mm hormis le 18 lui-même, qui est inférieur. La cote de 20 mm s'impose, et le calcul suivant le confirme.
Cohérence : Le rapport \( t_{\text{p},\text{min}}/c = 0{,}377 \) ne dépend que des deux résistances. Il serait identique pour n'importe quelle largeur, ce qui fournit un contrôle mental très rapide.
Attention : Cette épaisseur est celle qu'exige la largeur requise. Il reste à vérifier qu'elle autorise la largeur employée de 50 mm, ce qui n'est pas la même question.
Comparaison : En S355, le coefficient tomberait à 0,3064 et l'épaisseur requise à 14,65 mm, soit une tôle de 15. Le gain de nuance vaut ici 5 mm d'épaisseur.

Remarque pédagogique : Il faut noter que l'écart de 4,6 % entre les deux lectures va cette fois dans le bon sens : on calcule une épaisseur légèrement trop forte, ce qui est sans danger. C'est un point qu'il faut reconnaître, car il montre que sa démarche n'est pas globalement imprudente — elle est incohérente, ce qui est différent. Employer le débord géométrique de la platine choisie plutôt que la largeur requise revient à dimensionner l'épaisseur pour une platine dont on ne sait pas encore si elle convient. Si le concepteur avait retenu une platine de 400 mm de côté, pour loger des tiges d'ancrage par exemple, le même raisonnement aurait conduit à \( c = 100 \) mm et à une épaisseur de 37,7 mm — une tôle de 40 mm, deux fois trop lourde, pour la même charge et le même béton. L'incohérence ne se paie donc pas toujours en sécurité ; ici, elle se paierait en acier. Dans les deux cas, elle vient de la même cause : avoir fait de \( c \) une conséquence du choix de la platine au lieu d'une donnée du dimensionnement.

Ce que l'épaisseur commerciale permet de développer

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le calcul de la question 3 suppose 50 mm de largeur portante, et que rien ne l'a encore justifié.

Méthodologie du calcul :

On retient la première épaisseur commerciale supérieure au minimum, puis on lit la relation dans l'autre sens pour obtenir la largeur qu'elle autorise.

Substitution : \( t_{\text{p}} = 20\ \text{mm} \), avec le coefficient inverse \( \sqrt{f_{\text{y}}/(3 f_{\text{jd}} \gamma_{\text{M0}})} = 1/0{,}3766 = 2{,}655 \).
Piège évité : S'arrêter à « 20 supérieur à 18,01, donc c'est bon ». Cette comparaison ne dit rien de la largeur de 50 mm employée pour calculer la résistance — c'est une autre vérification.
Hypothèse validée : L'épaisseur de 20 mm reste inférieure à 40 mm, seuil au-delà duquel la limite d'élasticité du S235 chuterait à 215 MPa selon l'EN 10025-2. La valeur de 235 est donc conservée.
Vérification croisée : Contrôle inverse : \( 53{,}10 \times 0{,}3766 = 20{,}00 \) mm. Les deux lectures de la relation se referment exactement.
Finalité : Confirmer que la largeur de 50 mm employée à la question 3 est bien mobilisable.

\[ \begin{aligned} c_{\text{max}} &= t_{\text{p}} \, \sqrt{\frac{f_{\text{y}}}{3 \, f_{\text{jd}} \, \gamma_{\text{M0}}}} \\ &= 20 \times \sqrt{\frac{235}{33{,}33}} \\ &= 20 \times \sqrt{7{,}051} \\ &= 20 \times 2{,}655 \\ &= \mathbf{53{,}10} \ \text{mm} \ \ge \ 50 \ \Rightarrow \ \text{largeur mobilisable} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La tôle de 20 mm autorise 53,1 mm de largeur portante, alors que la platine n'en offre géométriquement que 50. C'est donc la géométrie qui plafonne, et la largeur de 50 mm employée à la question 3 est confirmée.

Ordre de grandeur : La tôle porte 2,65 fois son épaisseur en largeur. Ce rapport ne dépend que des deux nuances en présence et mérite d'être mémorisé pour les avant-projets.
Impact sur la suite : Le dimensionnement est cohérent : les deux plafonds ont été identifiés, et c'est bien le plus contraignant des deux qui a été retenu au calcul de la résistance.
Cohérence : La tôle dispose de 3,1 mm de largeur inexploitée. Élargir la platine de 6 mm les mobiliserait, sans changer l'épaisseur — un arbitrage possible mais sans cote ronde.
Attention : Au-delà de 20 mm, épaissir n'apporte plus rien. Le levier bascule sur la largeur de la tôle, comme le montre le tableau de sensibilité du schéma.
Comparaison : Une tôle de 25 mm autoriserait 66,4 mm de largeur, dont 16,4 seraient perdus faute de place. Cinq kilogrammes de tôle supplémentaires pour aucun gain.

Remarque pédagogique : Cette double vérification illustre une notion qui dépasse largement le pied de poteau : celle de contrainte active. Deux limites pèsent sur la largeur portante — la place disponible et la raideur de la tôle — et à tout moment une seule des deux est réellement contraignante. Identifier laquelle est le préalable à toute amélioration, car agir sur la limite inactive ne produit strictement aucun effet. Ici, la contrainte active est la géométrie, donc seul l'élargissement de la platine améliorerait la situation ; épaissir la tôle reviendrait à renforcer ce qui ne cède pas. Le raisonnement se retrouve partout en dimensionnement : sur une poutre, on cherche si c'est la résistance ou la flèche qui gouverne avant de choisir entre monter en nuance ou en inertie ; sur un assemblage boulonné, si c'est le cisaillement des boulons ou la pression diamétrale de la tôle. La question « qu'est-ce qui gouverne ? » précède toujours la question « comment améliorer ? », et l'ordre inverse conduit invariablement à dépenser pour rien.

Ce que donnerait la tôle de 18 mm

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que 18 mm est une épaisseur commerciale courante, très proche du 18,88 qu'on annonce, et qu'un lecteur pourrait légitimement s'y arrêter.

Méthodologie du calcul :

On calcule la largeur que cette épaisseur autorise, puis l'aire efficace et le taux qui en découlent — la largeur étant cette fois plafonnée par la flexion et non par la géométrie.

Substitution : \( t_{\text{p}} = 18\ \text{mm} \), d'où \( c_{\text{max}} = 18 \times 2{,}655 = 47{,}8\ \text{mm} \), inférieur aux 50 mm géométriquement disponibles.
Piège évité : Conserver \( c = 50 \) mm et conclure que la tôle convient. Avec 18 mm, la largeur est plafonnée par la flexion et non plus par la platine : le plafond actif a changé.
Hypothèse validée : L'aire efficace se recalcule avec cette largeur réduite : \( 4 \times 47{,}8^2 + 1\,151 \times 47{,}8 + 7\,810 = 71\,970\ \text{mm}^2 \).
Vérification croisée : Cette aire est inférieure de 30 mm² seulement aux 72 000 requis. L'écart est infime, et c'est précisément ce qui rend le cas instructif.
Finalité : Montrer que l'arrondi vers le bas, même de deux millimètres, fait basculer le verdict.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{18} &= \frac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{eff},18} \, f_{\text{jd}}} \\ &= \frac{800\,000}{71\,970 \times 11{,}11} \\ &= \frac{800\,000}{799\,500} \\ &= \mathbf{1{,}001} \ \gt \ 1{,}00 \ \Rightarrow \ \text{NON CONFORME} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La tôle de 18 mm échoue, à un millième près. Elle ne transmettrait que 799,5 kN pour 800 demandés : l'insuffisance est dérisoire en valeur, mais elle est réelle en droit.

Ordre de grandeur : Un demi-kilonewton manquant sur 800, soit 0,06 %. Aucun ouvrage ne s'effondrerait, mais aucune note de calcul ne peut conclure à la conformité.
Impact sur la suite : La tôle de 20 mm est donc bien la bonne, et pour une raison qu'on ne donne jamais : c'est la première qui permette de développer toute la largeur disponible.
Cohérence : Le \( c_{\text{max}} \) de 47,8 mm coïncide avec le \( c \) requis de 47,82 établi à la question 2. Ce n'est pas un hasard : 18 mm est presque exactement l'épaisseur minimale de 18,01.
Attention : Ce cas montre qu'une épaisseur juste inférieure au minimum ne se traduit pas par un dépassement proportionnel. Ici, 11 % d'épaisseur en moins ne coûtent que 4,6 % de résistance.
Comparaison : La tôle de 16 mm donnerait 42,5 mm de largeur et un taux de 1,126. La progression n'est pas linéaire : chaque cran perdu coûte davantage que le précédent.

Remarque pédagogique : Un taux de 1,001 place l'ingénieur devant une question qui n'est pas technique mais déontologique, et elle mérite d'être posée franchement. Cinq cents newtons manquants sur huit cent mille, c'est très en deçà de la précision de n'importe quelle donnée d'entrée : le poids propre est estimé, la charge d'exploitation est forfaitaire, la résistance du béton sera contrôlée à 28 jours avec plusieurs mégapascals de dispersion. On pourrait donc soutenir que l'écart n'a aucun sens physique, et ce serait exact. Mais c'est précisément pourquoi la règle doit être appliquée à la lettre : les coefficients partiels existent pour absorber ces incertitudes, et ils l'ont déjà fait — le taux de 1,001 est calculé après qu'ils ont joué. S'autoriser un dépassement au motif que les données sont imprécises reviendrait à compter deux fois la même marge. La règle professionnelle est donc simple et sans exception : un taux supérieur à 1 rend la note non conforme, quelle que soit l'ampleur du dépassement. Ce qui reste ouvert, c'est le choix du remède — ici, deux millimètres de tôle qui coûtent 1,4 kg.

Le dimensionnement complet et ce qu'il ne couvre pas

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une note de calcul se juge autant sur ce qu'elle déclare hors périmètre que sur ce qu'elle vérifie.

Méthodologie du calcul :

On confronte une dernière fois l'effort à la résistance de l'appui, avec la largeur confirmée, avant de recenser les vérifications qu'on n'aborde pas.

Substitution : Platine 300 × 300 × 20 mm en S235, \( c = 50\ \text{mm} \) confirmée mobilisable, \( A_{\text{eff}} = 75\,360\ \text{mm}^2 \).
Piège évité : Clore la note sur ce seul résultat. Les tiges d'ancrage, les soudures et le flambement du poteau restent entiers, et rien n'en est dit.
Hypothèse validée : Le poteau lui-même travaille à \( 800/1\,835 = 0{,}436 \) en section, et il est de classe 1 en compression selon le catalogue. Aucun voilement local à craindre.
Vérification croisée : Les deux chemins concordent : par les aires, \( 72\,000/75\,360 = 0{,}955 \) ; par les efforts, \( 800/837{,}3 = 0{,}955 \). La chaîne est bouclée.
Finalité : Conclure sur le pied de poteau et déclarer explicitement le périmètre non couvert.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{\text{final}} &= \frac{N_{\text{Ed}}}{A_{\text{eff}} \, f_{\text{jd}}} \\ &= \frac{800\,000}{75\,360 \times 11{,}11} \\ &= \frac{800}{837{,}3} \\ &= \mathbf{0{,}955} \ \le \ 1{,}00 \ \Rightarrow \ \text{CONFORME} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le pied de poteau est dimensionné : platine 300 × 300 × 20 mm en S235, taux 0,955. Quatre vérifications restent hors périmètre, et il faut le dire plutôt que de laisser croire la note complète.

Ordre de grandeur : La platine pèse 14,1 kg et le poteau 61,3 kg par mètre. Le pied représente donc l'équivalent de 23 cm de poteau — un ratio typique.
Impact sur la suite : Les tiges d'ancrage ne sont jamais dimensionnées, alors qu'elles figurent au schéma et au glossaire. Le SCI P358 impose quatre tiges, classe 8.8, scellées sur 16 à 18 diamètres.
Cohérence : Les soudures ne sont pas vérifiables : aucun effort tranchant n'est donné. SCI P358 recommande des cordons d'angle nominaux de 6 à 8 mm, dont la résistance suffit largement aux efforts courants.
Attention : Le flambement du poteau n'est pas calculable : sa longueur n'est pas donnée. C'est pourtant lui, et non la compression de section, qui dimensionne un poteau réel.
Comparaison : Sous 1 400 kN, la même platine échouerait à 1,67 et il faudrait passer à 400 × 400 × 30 mm, avec cette fois un recouvrement des bandes entre semelles.

Remarque pédagogique : Le recensement de ce que la note ne couvre pas n'est pas un aveu de faiblesse : c'est une partie du livrable, et souvent la plus utile à celui qui reprendra le dossier. Une note de calcul de pied de poteau qui s'arrête à la platine laisse trois questions ouvertes que personne ne saura devoir poser. Les tiges d'ancrage, d'abord : elles ne travaillent pas sous compression centrée, mais elles reprennent le soulèvement en cas de vent et stabilisent le poteau au montage — un pied sans tiges dimensionnées est un pied non monté. Les soudures ensuite, qui transmettent l'effort horizontal et maintiennent le poteau en position ; leur dimensionnement dépend d'un effort tranchant que l'étude ne donne pas, ce qui doit être écrit et non passé sous silence. Le flambement du poteau enfin, qui est la vraie vérification dimensionnante d'un poteau et que l'absence de longueur rend impossible. Déclarer ces trois manques transforme une note incomplète en une note honnête et utilisable — et c'est exactement ce qui distingue un document d'ingénierie d'un exercice scolaire.

LE DÉBORD DE PLATINE EST UNE CONSOLE

RÉSULTAT FINAL

\( t_{\text{p}} \) = 20 mm, pour un minimum de 18,01

"L'epaisseur n'achete pas de la resistance, elle achete de la largeur portante."

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

BILAN DES CALCULS

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous avez assimilé ce qui distingue l'aire efficace de l'aire d'une platine :

J'ai nommé chaque coefficient de la chaîne \( f_{\text{ck}} \) vers \( f_{\text{jd}} \), et cité l'article qui le fixe. J'ai calculé l'aire efficace par \( 4c^2 + P_{\text{col}} c + A_{\text{col}} \), et non par l'aire de la platine. J'ai traité \( c \) comme l'inconnue du problème, en résolvant l'équation plutôt qu'en le déduisant d'une platine choisie. J'ai contrôlé l'absence de recouvrement avant de valider l'expression employée pour l'aire efficace. J'ai vérifié que l'épaisseur retenue autorise la largeur employée au calcul de la résistance, et pas seulement qu'elle dépasse le minimum. J'ai donné le taux de travail plutôt qu'un verdict, et déclaré les vérifications hors périmètre.

Avis technique — pied de poteau CONFORME. La platine 300 × 300 × 20 mm en S235 transmet les 800 kN de compression au massif C25/30 pour une capacité d'appui de 837,3 kN, soit un taux de travail de 95,5 %. La zone réellement portante est l'aire efficace de 75 360 mm², développée sur une largeur de répartition de 50 mm que la tôle de 20 mm mobilise sans réserve, puisqu'elle en autorise 53,1. L'absence de recouvrement entre les bandes issues des deux semelles est vérifiée : 47,8 mm contre un seuil de 85. Deux réserves conditionnent cet avis. La marge d'appui n'est que de 37 kN, si bien qu'une révision de la descente de charges imposerait un nouveau calcul ; et l'épaisseur commerciale immédiatement inférieure, 18 mm, échoue à 1,001 — la cote de 20 mm n'est donc pas un arrondi de confort mais le minimum réalisable. Trois vérifications restent hors du présent périmètre : les tiges d'ancrage, qui reprennent le soulèvement et stabilisent le poteau au montage ; les soudures, non calculables faute d'effort tranchant ; et le flambement du poteau, non calculable faute de longueur — c'est pourtant lui qui dimensionne un poteau réel.

La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas de retenir une platine, elle établit la surface qui porte réellement, distingue les deux plafonds qui bornent la largeur de répartition, désigne celui qui est actif, et énonce ce qui reste à vérifier.

Dimensionnement d'un pied de poteau métallique

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Dimensionnement d'un pied de poteau métallique

Contexte de l'Étude & Enjeux

CHARGE, PROFILÉ ET MATÉRIAUX

COEFFICIENTS ET HYPOTHÈSES

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Résistance de calcul du matériau de scellement

Question 2 : Aire requise et largeur de répartition c

Question 3 : Choix de la platine et résistance de l'appui

Question 4 (Finale) : Épaisseur de la platine et bouclage

Dimensionnement d'un pied de poteau métallique

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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