Dimensionnement d'un mur à ossature bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un montant de mur à ossature bois est l'un des éléments les plus banals d'une maison — et l'un des plus délicats à vérifier. Il est comprimé par la toiture et les planchers, fléchi par le vent, et surtout très élancé : 45 mm d'épaisseur pour 2,70 m de hauteur. Cet exercice vérifie un montant C24 de 45 × 145 mm à 60 cm d'entraxe. Le point décisif n'est pas la formule d'interaction : c'est de savoir si le montant est tenu ou non par le panneau qui l'habille.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Un montant 45 × 145 mm en C24, 2,70 m de hauteur, articulé en pied et en tête.
Environnement : Mur extérieur, classe de service 2. Deux actions variables : l'exploitation et le vent.
L'objectif final : Établir les combinaisons, les contraintes, les coefficients de flambement, puis vérifier la flexion composée.
L'astuce de l'ingénieur : Deux actions variables imposent deux combinaisons, chacune avec son \( k_{\text{mod}} \). On ne prend pas le pire terme de chacune : on vérifie chaque combinaison entière.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et vous reprenez une note qui conclut à un taux d'interaction de 1,034 et recommande de passer en 60 × 145 — sur tous les montants de la maison. Votre travail consiste à refaire la vérification avec des combinaisons cohérentes, puis à statuer sur le rôle du panneau de contreventement, que la note mentionne sans jamais le compter.

Le grand défi : La longueur de flambement. Selon que le montant est tenu ou non dans le plan du mur, \( k_{\text{c}} \) varie d'un facteur huit.
Votre rôle : Produire une note traçable : deux combinaisons complètes, les deux formules d'interaction, le coefficient \( k_{\text{m}} \), et une recommandation proportionnée.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — les données du calcul : les deux combinaisons complètes avec leur \( k_{\text{mod}} \) propre, les contraintes de compression et de flexion, et les résistances de calcul associées.
Livrable 2 — les vérifications : les coefficients de flambement sur les deux axes, les taux d'interaction (6.23) et (6.24), et une recommandation chiffrée tenant compte du panneau.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 avec les valeurs de l'annexe nationale française, les actions relevant de la NF EN 1990. Trois points appellent une vigilance particulière : deux actions variables imposent deux combinaisons distinctes, chacune avec sa propre durée de charge donc son propre \( k_{\text{mod}} \) ; les formules d'interaction (6.23) et (6.24) portent un coefficient \( k_{\text{m}} \) souvent oublié ; et la longueur de flambement dans le plan du mur dépend entièrement du maintien apporté par le panneau.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Combinaison ELU — EN 1990 (6.10) \( 1{,}35\,G_{\text{k}} + 1{,}5\,Q_{\text{k},1} + 1{,}5\sum\psi_{0,i}Q_{\text{k},i} \)
Résistance de calcul \( f_{\text{d}} = k_{\text{mod}}\,\dfrac{f_{\text{k}}}{\gamma_{M}} \)
Module de flexion d'un rectangle \( W_{y} = \dfrac{b\,h^{2}}{6} \)
Moment sur poutre bi-articulée \( M_{y,\text{d}} = \dfrac{q_{\text{d}}\,H^{2}}{8} \)
Élancement relatif \( \lambda_{\text{rel}} = \dfrac{\lambda}{\pi}\sqrt{\dfrac{f_{\text{c},0,\text{k}}}{E_{0,05}}} \)
Coefficient de flambement \( k_{\text{c}} = \dfrac{1}{k + \sqrt{k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2}}} \)
Interaction — (6.23) et (6.24) \( \dfrac{\sigma_{\text{c},0,\text{d}}}{k_{\text{c}}\,f_{\text{c},0,\text{d}}} + k_{\text{m}}\dfrac{\sigma_{m,y,\text{d}}}{f_{m,y,\text{d}}} \le 1 \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( H \)	Hauteur du montant, articulé en pied et en tête	2,70	m
\( b \times h \)	Section : \( b \) dans le plan du mur, \( h \) dans son épaisseur	45 × 145	mm
\( e \)	Entraxe des montants — largeur de reprise du vent	0,60	m
\( f_{\text{c},0,\text{k}} \)	Résistance caractéristique du C24 en compression axiale NF EN 338	21	N/mm²
\( f_{m,\text{k}} \)	Résistance caractéristique en flexion — c'est elle qui nomme la classe NF EN 338	24	N/mm²
\( E_{0,05} \)	Module au fractile à 5 % — c'est lui qui sert aux instabilités NF EN 338	7 400	N/mm²
\( \beta_{\text{c}} \)	Facteur d'imperfection — 0,2 pour le bois massif, 0,1 en lamellé-collé EN 1995-1-1 - § 6.3.2	0,2	—
\( k_{m} \)	Coefficient de redistribution des contraintes de flexion, section rectangulaire EN 1995-1-1 - § 6.1.6	0,7	—
\( \gamma_{M} \)	Coefficient partiel du bois massif EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,30	—

Les trois lectures qui décident, et leurs pièges

Les combinaisons : \( \text{deux actions variables} \Rightarrow \text{deux combinaisons entieres} \)
Le k(mod) : \( \text{il suit l action de plus courte duree de la combinaison} \)
Le flambement : \( \text{la longueur de flambement depend du maintien par le panneau} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( G_{\text{k}} \)	Charge verticale permanente reprise par un montant	3,0	kN
\( Q_{\text{k}} \)	Charge verticale d'exploitation, catégorie A — durée moyen terme	1,5	kN
\( q_{w,\text{k}} \)	Pression caractéristique du vent — durée court terme	0,5	kN/m²
\( \psi_{0} \)	Coefficients d'accompagnement : 0,7 catégorie A, 0,6 vent EN 1990 - Tableau A1.1	0,7 / 0,6	—
\( k_{\text{mod}} \)	Classe de service 2 : 0,80 en moyen terme, 0,90 en court terme EN 1995-1-1 - Tableau 3.1	0,80 / 0,90	—
Panneau	Maintien du montant dans le plan du mur — hypothèse à trancher	À discuter	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Les lisses : \( \S\,6.1.5 \text{ — compression transversale en pied et en tete} \)
Le panneau : \( \text{fixations et contreventement selon le } \S\,9.2.4 \)
La fleche : \( \text{deformation horizontale sous vent, a l ELS} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Deux actions variables, deux combinaisons — EN 1990 (6.10)

Combinaison	Effort normal	Charge de vent	\( k_{\text{mod}} \)
A — vent dominant	\( 1{,}35G + 1{,}5 \times 0{,}7\,Q \)	\( 1{,}5\,q_{w} \) — entier	0,90
B — exploitation dominante	\( 1{,}35G + 1{,}5\,Q \) — entier	\( 1{,}5 \times 0{,}6\,q_{w} \)	0,80
Ce que fait la note	\( 1{,}35G + 1{,}5\,Q \) — de B	\( 1{,}5\,q_{w} \) — de A	0,90 partout

Voici la première faute de méthode de la note reprise. Elle calcule un effort normal en supposant l'exploitation dominante et le vent absent, puis une charge de vent en supposant le vent dominant — et injecte les deux dans une même formule d'interaction. Or une combinaison d'actions est un tout cohérent : une seule action variable est prise à sa valeur entière, les autres sont réduites par \( \psi_{0} \) parce qu'il est improbable qu'elles atteignent simultanément leur maximum. Prendre le pire terme de chaque combinaison n'est pas « sécuritaire » : c'est une combinaison qui n'existe pas, et surtout cela empêche de savoir quel \( k_{\text{mod}} \) appliquer, puisque celui-ci dépend de l'action dominante.

Le \( k_{\text{mod}} \) suit la durée — Tableau 3.1, classe de service 2

Durée de la charge	Exemple	\( k_{\text{mod}} \)
Permanente	Poids propre	0,60
Moyen terme	Charge d'exploitation, neige	0,80
Court terme	Vent	0,90
Instantanée	Action accidentelle	1,10

Le § 3.1.3 est explicite : dans une combinaison, \( k_{\text{mod}} \) correspond à l'action de plus courte durée. Le bois supporte mieux une charge brève qu'une charge maintenue — ce n'est pas une convention de sécurité mais une propriété du matériau, liée à sa viscoélasticité. Il en résulte que chaque combinaison a son propre \( k_{\text{mod}} \) : 0,90 quand le vent domine, 0,80 quand c'est l'exploitation. Appliquer 0,90 à une combinaison où le vent n'est qu'accompagnateur surestime la résistance de 12,5 %. C'est le piège classique du calcul bois, et il ne se voit pas dans le résultat.

Les deux formules d'interaction — § 6.3.2, équations (6.23) et (6.24)

Équation	Terme de compression	Terme de flexion
(6.23)	\( \dfrac{\sigma_{\text{c},0,\text{d}}}{k_{\text{c},y}\,f_{\text{c},0,\text{d}}} \)	\( \dfrac{\sigma_{m,y,\text{d}}}{f_{m,y,\text{d}}} \) — sans \( k_{m} \)
(6.24)	\( \dfrac{\sigma_{\text{c},0,\text{d}}}{k_{\text{c},z}\,f_{\text{c},0,\text{d}}} \)	\( k_{m}\dfrac{\sigma_{m,y,\text{d}}}{f_{m,y,\text{d}}} \) — avec \( k_{m} = 0{,}7 \)
Ce que fait la note	\( k_{\text{c},z} \) — donc (6.24)	sans \( k_{m} \) — donc (6.23)

L'Eurocode donne deux formules, à vérifier toutes les deux. Elles diffèrent par l'axe de flambement considéré — \( y \) pour l'une, \( z \) pour l'autre — et, conséquence directe, par la place du coefficient \( k_{m} \). Celui-ci vaut 0,7 pour une section rectangulaire en bois massif et traduit la redistribution possible des contraintes de flexion à l'intérieur de la section : il s'applique à la flexion qui n'est pas dans le plan de l'instabilité examinée. La note reprise emprunte le terme de compression à (6.24) et le terme de flexion à (6.23) : elle écrit donc une troisième formule, qui n'existe pas. L'effet est ici sécuritaire — elle pénalise la flexion de 30 % — mais un calcul faux dans le bon sens reste un calcul faux.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

\( f_{\text{c},0,\text{k}} = 21 \), \( f_{m,\text{k}} = 24 \) et \( E_{0,05} = 7\,400 \) N/mm² pour le C24 — NF EN 338
\( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) et \( 0{,}90 \) en classe de service 2 — tableau 3.1
La classe de durée attribuée au vent — court terme ou instantanée selon l'annexe nationale
\( \psi_{0} = 0{,}7 \) pour la catégorie A et \( 0{,}6 \) pour le vent — EN 1990 tableau A1.1
\( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \) et \( k_{m} = 0{,}7 \) pour le bois massif de section rectangulaire — § 6.3.2 et § 6.1.6
Le maintien latéral effectivement apporté par le panneau, qui relève de la justification de ses fixations

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Combinaisons d'actions

Actions 25 min | Accessible

But de l'étape : Établir deux combinaisons complètes, chacune avec son \( k_{\text{mod}} \).

Énoncé Q1 : Deux actions variables sont en présence :

établir la combinaison où le vent domine, effort normal et charge linéique ;
établir celle où l'exploitation domine, de la même façon ;
associer à chacune le \( k_{\text{mod}} \) de son action de plus courte durée.

Ne prenez pas le pire terme de chaque combinaison : cela fabriquerait un cas de charge inexistant .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Dans (6.10), une seule action variable est prise à sa valeur entière — la dominante — et les autres sont multipliées par leur \( \psi_{0} \). Comme on ne sait pas d'avance laquelle est la plus défavorable, on écrit les deux combinaisons et l'on vérifie les deux.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Vent dominant : \( N_{\text{d}} = \) 5,625 kN et \( q_{\text{d}} = \) 0,45 kN/m, avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \). Exploitation dominante : \( N_{\text{d}} = \) 6,30 kN et \( q_{\text{d}} = \) 0,27 kN/m, avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \).

Question 2 : Section et contraintes

Sollicitations 25 min | Accessible

But de l'étape : Chiffrer les quatre contraintes : compression et flexion, dans les deux combinaisons.

Énoncé Q2 : Pour une section 45 × 145 mm :

calculer l'aire et le module de flexion autour de l'axe fort ;
en déduire les contraintes de compression dans chaque combinaison ;
calculer les moments puis les contraintes de flexion correspondantes.

Le vent pousse perpendiculairement au mur : la flexion se fait donc autour de l'axe fort.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Travaillez en newtons et millimètres dès le départ. Une charge en kN/m vaut numériquement la même chose en N/mm, ce qui évite toute conversion. Le moment d'une poutre bi-articulée sous charge répartie vaut \( q H^{2}/8 \).

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( A = \) 6 525 mm² et \( W_{y} = \) 157 688 mm³. Vent dominant : \( \sigma_{\text{c}} = \) 0,862 et \( \sigma_{m} = \) 2,60 N/mm². Exploitation dominante : 0,966 et 1,56 N/mm².

Question 3 : Résistances de calcul

Matériau 15 min | Accessible

But de l'étape : Produire quatre résistances : deux sollicitations × deux \( k_{\text{mod}} \).

Énoncé Q3 : Pour le C24 en classe de service 2 :

calculer \( f_{\text{c},0,\text{d}} \) et \( f_{m,\text{d}} \) avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) ;
refaire les mêmes calculs avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) ;
chiffrer l'écart entre les deux jeux de valeurs.

Chaque combinaison sera vérifiée avec ses résistances, jamais avec celles de l'autre.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La formule est la même pour toutes les sollicitations : caractéristique multipliée par \( k_{\text{mod}} \), divisée par \( \gamma_{M} \). Le seul point de vigilance est de ne pas mélanger les jeux : une combinaison, un \( k_{\text{mod}} \), un couple de résistances.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Avec 0,90 : \( f_{\text{c},0,\text{d}} = \) 14,54 et \( f_{m,\text{d}} = \) 16,62 N/mm². Avec 0,80 : 12,92 et 14,77 N/mm², soit 12,5 % de moins.

Question 4 : Coefficients de flambement

Instabilité 35 min | Intermédiaire

But de l'étape : Chiffrer \( k_{\text{c}} \) sur les deux axes — l'écart est spectaculaire.

Énoncé Q4 : Pour un montant articulé de 2,70 m :

calculer l'élancement et l'élancement relatif autour de l'axe faible \( z \) ;
en déduire \( k_{\text{c},z} \) ;
refaire l'ensemble autour de l'axe fort \( y \), et comparer.

C'est le module au fractile à 5 % qui sert ici — les instabilités se jugent sur la pièce la plus souple.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le rayon de giration d'un rectangle vaut \( i = c/\sqrt{12} \), où \( c \) est la dimension perpendiculaire à l'axe de flambement considéré. Pour l'axe faible \( z \), c'est donc les 45 mm ; pour l'axe fort \( y \), les 145 mm.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Axe faible : \( \lambda_{z} = \) 207,8, \( \lambda_{\text{rel},z} = \) 3,52, d'où \( k_{\text{c},z} = \) 0,0762. Axe fort : \( \lambda_{y} = \) 64,5, d'où \( k_{\text{c},y} = \) 0,620 — soit huit fois plus.

Question 5 (Finale) : Vérification de la flexion composée

Le cœur du sujet 45 min | BOSS

But de l'étape : Appliquer les deux formules d'interaction, et trancher la question du panneau.

Mention spéciale — la note reprise mentionne le panneau puis l'ignore : Sa propre FAQ affirme que « le panneau OSB est crucial pour la stabilité », mais le calcul est conduit sans lui, avec une longueur de flambement égale à toute la hauteur. La recommandation qui en découle — passer tous les montants en 60 × 145 — coûte 33 % de bois sur l'ensemble de la maison.

Appliquer les équations (6.23) et (6.24) aux deux combinaisons, sans oublier \( k_{m} \). Comparer au 1,034 de la note et décomposer l'écart. Reprendre enfin la vérification en supposant le montant tenu par le panneau, et chiffrer les remèdes possibles.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Si le montant est tenu dans le plan du mur par le panneau, le flambement autour de l'axe faible est empêché : seule l'équation (6.23), qui fait intervenir \( k_{\text{c},y} \), reste à vérifier. Sinon, les deux équations s'appliquent et c'est (6.24) qui gouverne, de très loin.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Sans panneau, la combinaison à exploitation dominante gouverne : 105,4 %. Avec le panneau, le taux tombe à 25,2 %. Une entretoise à mi-hauteur suffirait à ramener à 33,7 %.

NOTE DE CALCULS

Montant d'ossature bois : le panneau qu'on oublie de compter

Question 1 : Combinaisons d'actions

Dans la tête de l'ingénieur

"La note calcule un effort normal en supposant l'exploitation dominante et le vent absent, puis une charge de vent en supposant le vent dominant — et injecte les deux dans la même formule d'interaction. Sa propre FAQ reconnaît d'ailleurs le problème : « pour simplifier, l'exercice traite les effets séparément ». Mais une combinaison d'actions n'est pas une collection de termes qu'on assemble à la carte : c'est un cas de charge, avec une action dominante et des accompagnatrices réduites par \( \psi_{0} \). Prendre le pire terme de chacune fabrique une combinaison qui n'existe pas — et surtout, cela rend le \( k_{\text{mod}} \) indéterminable, puisqu'il dépend justement de l'action dominante. Je vais donc écrire les deux combinaisons entières et les vérifier toutes les deux."

Observation : La note mélange le \( N_{\text{d}} \) d'une combinaison et le \( q_{\text{d}} \) d'une autre.
Analyse du risque : Sans action dominante identifiée, le \( k_{\text{mod}} \) devient arbitraire.
Choix stratégique : Écrire deux combinaisons entières et les vérifier séparément.
Point de méthode : Attacher à chaque combinaison le \( k_{\text{mod}} \) de sa plus courte durée.
Objectif visé : Deux jeux cohérents \( (N_{\text{d}},\,q_{\text{d}},\,k_{\text{mod}}) \), prêts pour l'interaction.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Vent dominant : 5,625 kN et 0,45 kN/m, \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) · Exploitation dominante : 6,30 kN et 0,27 kN/m, \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \)

Rappel Théorique : ce qu'est une combinaison d'actions

Une combinaison décrit un instant plausible de la vie de l'ouvrage. Elle n'est pas une enveloppe de termes défavorables pris au hasard.

Principe 1 — une seule dominante : Une action variable est prise entière ; les autres sont réduites.
Principe 2 — le rôle de \( \psi_{0} \) : Il traduit l'improbabilité que deux maxima coïncident.
Principe 3 — autant de combinaisons que de candidates : Deux actions variables, donc deux combinaisons à écrire.
Principe 4 — le \( k_{\text{mod}} \) suit : Il correspond à l'action de plus courte durée de la combinaison.
Principe 5 — on ne panache pas : Mélanger des termes de combinaisons différentes n'est pas conservatif, c'est faux.

Équations Fondamentales

La combinaison fondamentale de l'EN 1990, puis le choix du \( k_{\text{mod}} \).

Combinaison fondamentale — EN 1990 (6.10) :

États limites ultimes, situation durable.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'il serait absurde de supposer que toutes les actions variables atteignent leur maximum au même instant. Un vent de tempête cinquantennal et un plancher chargé à sa valeur caractéristique le même après-midi : c'est possible, mais si improbable qu'en tenir compte conduirait à surdimensionner tout l'ouvrage. L'Eurocode retient donc une action dominante à sa valeur entière et réduit les autres par un coefficient \( \psi_{0} \) calibré sur des considérations probabilistes. Comme on ignore a priori laquelle des candidates est la plus défavorable, on écrit autant de combinaisons qu'il y a d'actions variables, et l'on vérifie chacune d'un bout à l'autre.

Contexte de validité : Situation de projet durable, hors accidentel et sismique.
Avantage : Un dimensionnement calibré, non une accumulation de pires cas.
Paramètre clé : \( \psi_{0} \) — 0,7 en catégorie A, 0,6 pour le vent.
Vérification : Chaque combinaison doit être complète : effort normal et moment ensemble.
Limite : Le vent peut aussi agir en dépression — cas non traité ici.

\[ \begin{aligned} E_{\text{d}} = 1{,}35\,G_{\text{k}} + 1{,}5\,Q_{\text{k},1} + 1{,}5\sum_{i>1}\psi_{0,i}\,Q_{\text{k},i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : tout ne culmine pas en même temps. Le \( \psi_{0} \) n'est pas une remise de complaisance : c'est la traduction chiffrée d'une improbabilité statistique, et il vaut d'autant moins que l'action est rare.

Décomposition des termes :

\( 1{,}35 \) : coefficient des actions permanentes défavorables, unité : —
\( 1{,}5 \) : coefficient des actions variables, unité : —
\( Q_{\text{k},1} \) : action variable dominante, prise entière, unité : kN
\( \psi_{0} = 0{,}7 \) : exploitation accompagnatrice, catégorie A, unité : —
\( \psi_{0} = 0{,}6 \) : vent accompagnateur, unité : —

Choix du \( k_{\text{mod}} \) — § 3.1.3 :

EN 1995-1-1, action de plus courte durée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le bois est viscoélastique : il cède sous une charge maintenue à un niveau qu'il supporterait sans dommage pendant quelques heures. Une rafale de vent peut solliciter le matériau à 90 % de sa capacité de référence ; la même intensité maintenue un an le romprait. Le \( k_{\text{mod}} \) traduit cette dépendance à la durée — ce n'est donc pas un coefficient de sécurité, mais une propriété du matériau. Le § 3.1.3 précise que dans une combinaison, on retient le \( k_{\text{mod}} \) de l'action de plus courte durée, l'idée étant que c'est elle qui détermine le pic de sollicitation. D'où une conséquence directe : deux combinaisons différentes ont deux \( k_{\text{mod}} \) différents, et donc deux jeux de résistances.

Contexte de validité : Classe de service 2 ici — les valeurs changent en classe 1 ou 3.
Avantage : Il valorise les charges brèves, ce que ne fait aucun autre matériau.
Paramètre clé : La durée de l'action dominante, non son intensité.
Vérification : Vent = court terme (0,90), exploitation = moyen terme (0,80).
Limite : La classe de durée du vent relève de l'annexe nationale — paramètre national.

\[ \begin{aligned} k_{\text{mod}} = 0{,}90 \ \text{(vent, court terme)} \quad ; \quad 0{,}80 \ \text{(exploitation, moyen terme)} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : le bois résiste mieux vite que longtemps. Conséquence contre-intuitive : la combinaison avec le moins de vent peut être la plus défavorable, parce qu'elle s'accompagne d'un \( k_{\text{mod}} \) plus faible.

Décomposition des termes :

0,90 : court terme — la combinaison A, où le vent domine, unité : —
0,80 : moyen terme — la combinaison B, exploitation dominante, unité : —
0,60 : permanente seule — cas non dimensionnant ici, unité : —
Écart : 12,5 % de résistance entre les deux combinaisons, unité : %
Erreur de la note : 0,90 appliqué partout, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de panacher les termes de plusieurs combinaisons..."

L'approche d'ingénieur : Une combinaison est un tout : on la vérifie entière, puis on passe à la suivante.

L'erreur : Prendre le \( N_{\text{d}} \) le plus fort et le \( q_{\text{d}} \) le plus fort, de deux cas différents.
La bonne méthode : Deux combinaisons complètes, chacune avec son \( k_{\text{mod}} \).
L'astuce de pro : Se demander « quelle action domine ici ? » — la réponse fixe tout le reste.
Le moyen mnémotechnique : « Une dominante, un k_mod, une vérification ».
L'impact direct : Ici, panacher surestime le moment de 67 % mais fait oublier que \( k_{\text{mod}} \) devait tomber à 0,80.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Charges verticales : en kN , ponctuelles par montant
Pression du vent : en kN/m²
kN/m² × m = kN/m
1 kN/m = 1 N/mm , numériquement identique
Coefficients \( \gamma \) et \( \psi \) : sans unité

Attention à la nature des données : \( G_{\text{k}} \) et \( Q_{\text{k}} \) sont donnés en kilonewtons, ce sont donc des charges ponctuelles déjà rapportées à un montant — il ne faut surtout pas les multiplier par l'entraxe. Le vent, lui, est donné en kN/m² : c'est une pression, et il faut bien la multiplier par l'entraxe pour obtenir la charge linéique reprise par un montant. Une seule des trois données subit cette transformation.

1. Résolution Numérique Effort normal, combinaison à vent dominant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le vent s'accompagne d'un \( k_{\text{mod}} \) favorable.

Méthodologie du calcul :

Permanent pondéré, exploitation accompagnatrice réduite par \( \psi_{0} = 0{,}7 \).

Substitution : \( 1{,}35 \times 3{,}0 + 1{,}5 \times 0{,}7 \times 1{,}5 \).
Piège évité : Oublier \( \psi_{0} \) et prendre l'exploitation entière.
Hypothèse validée : Le vent ne produit aucun effort normal sur le montant.
Vérification croisée : 4,05 + 1,575, soit un peu moins que la combinaison B.
Finalité : La compression à associer à \( q_{\text{d}} = 0{,}45 \) kN/m.

\[ \begin{aligned} N_{\text{d,A}} &= 1{,}35 \times 3{,}0 + 1{,}5 \times 0{,}7 \times 1{,}5 \\ &= \mathbf{5{,}625 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

5,625 kN — l'exploitation n'y entre qu'à 70 %, car elle accompagne.

Ordre de grandeur : Un peu plus d'une demi-tonne par montant.
Impact sur la suite : Effort plus faible qu'en combinaison B, mais résistance plus forte.
Cohérence : Le permanent apporte 4,05 kN, l'exploitation 1,575.
Nuance : Le vent ne charge pas verticalement : il ne fait que fléchir.
Comparaison : La note retient 6,30 kN, valeur de l'autre combinaison.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que cette combinaison est celle du jour de tempête : le vent souffle à sa valeur caractéristique, et l'on admet que le plancher n'est chargé qu'à 70 % de son maximum, faute de raison de croire qu'une réception ait lieu au même moment. C'est ainsi qu'il faut lire un \( \psi_{0} \) : non comme une remise, mais comme le scénario qu'on juge plausible.

Charge de vent, combinaison à vent dominant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Le vent y est entier, c'est lui qui domine.

Méthodologie du calcul :

Pression multipliée par l'entraxe, puis pondérée par 1,5.

Substitution : \( 1{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}60 \).
Piège évité : Appliquer directement la pression au calcul de flexion.
Hypothèse validée : Pression uniforme sur toute la hauteur du montant.
Vérification croisée : 0,30 kN/m caractéristique, 0,45 pondérée.
Finalité : La flexion à associer à \( N_{\text{d}} = 5{,}625 \) kN.

\[ \begin{aligned} q_{\text{d,A}} &= 1{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}60 \\ &= \mathbf{0{,}45 \ \text{kN/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,45 kN/m — c'est la valeur que retient la note, mais dans le mauvais couple.

Ordre de grandeur : 45 kg par mètre de hauteur, poussant horizontalement.
Impact sur la suite : C'est le moment le plus fort des deux combinaisons.
Cohérence : En N/mm, la valeur numérique est identique : 0,45.
Levier : Un entraxe de 40 cm ramènerait cette charge à 0,30 kN/m.
Comparaison : En combinaison B, elle ne vaudra que 0,27 kN/m.

Remarque pédagogique : Faites relever la différence de nature entre les données. Les charges verticales sont fournies en kilonewtons, déjà rapportées à un montant ; la pression du vent est fournie en kN/m² et doit être multipliée par l'entraxe. Un étudiant qui multiplie tout par 0,60 divise l'effort normal par un facteur imprévu, et rien dans le résultat final ne le signalera.

Effort normal, combinaison à exploitation dominante

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la compression maximale.

Méthodologie du calcul :

Exploitation prise entière, sans \( \psi_{0} \).

Substitution : \( 1{,}35 \times 3{,}0 + 1{,}5 \times 1{,}5 \).
Piège évité : Lui associer \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \), comme le fait la note.
Hypothèse validée : Le vent devient accompagnateur, réduit par \( \psi_{0} = 0{,}6 \).
Vérification croisée : 4,05 + 2,25, soit 12 % de plus qu'en combinaison A.
Finalité : La compression à associer à \( q_{\text{d}} = 0{,}27 \) kN/m et \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \).

\[ \begin{aligned} N_{\text{d,B}} &= 1{,}35 \times 3{,}0 + 1{,}5 \times 1{,}5 \\ &= \mathbf{6{,}30 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

6,30 kN — la valeur que retient la note, mais avec le mauvais \( k_{\text{mod}} \).

Ordre de grandeur : 12 % de plus que la combinaison A.
Impact sur la suite : Compression plus forte et résistance plus faible : double pénalité.
Cohérence : C'est cette combinaison qui va gouverner la vérification.
Contre-intuition : La combinaison avec le moins de vent est la plus défavorable.
Cause : Le terme de flambement domine, et il ne dépend que de \( N_{\text{d}} \).

Remarque pédagogique : Faites anticiper le résultat : laquelle des deux combinaisons va gouverner ? L'intuition dit « celle avec le plus de vent ». Le calcul dira le contraire, pour deux raisons cumulées — un effort normal supérieur de 12 %, et une résistance inférieure de 12,5 % parce que \( k_{\text{mod}} \) tombe à 0,80. C'est exactement le genre de résultat qu'on ne peut pas deviner et qu'il faut poser.

Charge de vent, combinaison à exploitation dominante

Pourquoi fait-on ce calcul ? Le vent y est accompagnateur, donc réduit.

Méthodologie du calcul :

Même charge linéique, réduite par \( \psi_{0} = 0{,}6 \).

Substitution : \( 1{,}5 \times 0{,}6 \times 0{,}5 \times 0{,}60 \).
Piège évité : Conserver 0,45 kN/m ici — c'est l'erreur de la note.
Hypothèse validée : \( \psi_{0} = 0{,}6 \) pour le vent, EN 1990 tableau A1.1.
Vérification croisée : 0,27 kN/m, soit 40 % de moins qu'en combinaison A.
Finalité : Fermer le second jeu cohérent de données.

\[ \begin{aligned} q_{\text{d,B}} &= 1{,}5 \times 0{,}6 \times 0{,}5 \times 0{,}60 \\ &= \mathbf{0{,}27 \ \text{kN/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,27 kN/m — la note conserve 0,45 dans cette combinaison.

Ordre de grandeur : 40 % de moins que dans la combinaison à vent dominant.
Impact sur la suite : Le moment fléchissant sera réduit d'autant.
Sens physique : Un plancher plein et une tempête simultanés : peu probable.
Effet net : Cette réduction ne suffira pas à sauver la combinaison B.
Raison : Le terme de flexion pèsera moins d'un dixième du total.

Remarque pédagogique : Faites noter la double réduction qui apparaît ici : 1,5 pour la pondération, puis 0,6 pour l'accompagnement, soit un facteur net de 0,90 sur la valeur caractéristique. Le vent accompagnateur est donc pris à une valeur inférieure à sa caractéristique — ce qui surprend, mais traduit bien qu'on ne le considère plus comme le phénomène déclenchant.

RÉSULTAT FINAL

Deux combinaisons : 5,625 kN / 0,45 kN/m et 6,30 kN / 0,27 kN/m — avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) et \( 0{,}80 \) respectivement ; la note panache 6,30 et 0,45 avec 0,90

"Une dominante, un k_mod, une vérification !"

Question 2 : Section et contraintes

Dans la tête de l'ingénieur

"Rien de difficile ici, mais deux fois plus de travail que dans la note : quatre contraintes au lieu de deux, puisqu'il y a deux combinaisons. Je relève au passage une coquille dans le module de flexion — la note écrit 157 781 mm³ là où \( 45 \times 145^{2}/6 \) donne 157 687,5. L'écart est de six centièmes de pour cent, sans aucune conséquence, mais il révèle que le calcul a été saisi plutôt que posé. Le point qui mérite vraiment l'attention est ailleurs : c'est l'orientation. Le vent pousse perpendiculairement au mur, donc la flexion se fait autour de l'axe où la section mesure 145 mm — l'axe fort. Tandis que le flambement le plus dangereux, lui, se produira autour de l'axe où elle ne mesure que 45 mm."

Observation : Le module de flexion de la note comporte une coquille de 0,06 %.
Analyse du risque : Sans conséquence ici, mais signe d'un calcul saisi et non posé.
Choix stratégique : Produire les quatre contraintes, deux par combinaison.
Point de méthode : Distinguer l'axe de la flexion et celui du flambement : ils diffèrent.
Objectif visé : Les sollicitations de chaque combinaison, prêtes pour l'interaction.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( A = \) 6 525 mm², \( W_{y} = \) 157 688 mm³ · Combinaison A : 0,862 et 2,60 N/mm² · Combinaison B : 0,966 et 1,56 N/mm²

Rappel Théorique : deux axes, deux rôles

Une section rectangulaire n'a pas le même comportement selon la direction. Ici, chaque axe joue un rôle différent.

Principe 1 — l'axe fort \( y \) : Hauteur 145 mm dans l'épaisseur du mur : c'est lui qui reprend la flexion du vent.
Principe 2 — l'axe faible \( z \) : Largeur 45 mm dans le plan du mur : c'est lui qui gouverne le flambement.
Principe 3 — le module de flexion : \( W = bh^{2}/6 \) — la hauteur au carré, pas au cube.
Principe 4 — le moment : \( qH^{2}/8 \) pour une pièce bi-articulée sous charge répartie.
Principe 5 — la compression : Elle ne dépend que de l'aire, identique dans les deux directions.

Équations Fondamentales

Les caractéristiques de section, puis les contraintes qu'elles produisent.

Aire et module de flexion :

Section rectangulaire, flexion autour de l'axe fort.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la compression se répartit sur toute la matière — d'où l'aire — tandis que la flexion ne sollicite au maximum que les fibres les plus éloignées de l'axe neutre. Le module de flexion \( W = I/v \) synthétise ce phénomène : il rapporte le moment quadratique à la distance de la fibre extrême, et permet d'écrire directement \( \sigma = M/W \) sans repasser par l'inertie. Pour un rectangle, \( W = bh^{2}/6 \) : la hauteur intervient au carré, et non au cube comme dans l'inertie — parce qu'on a divisé par une distance qui croît elle aussi avec la hauteur. C'est une confusion fréquente, et elle fausse le résultat d'un facteur égal à la moitié de la hauteur.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine, flexion simple autour d'un axe principal.
Avantage : Un seul terme au dénominateur : \( \sigma = M/W \).
Paramètre clé : La hauteur \( h = 145 \) mm, dans l'épaisseur du mur.
Vérification : \( W = bh^{2}/6 \), et non \( bh^{3}/12 \) qui est l'inertie.
Limite : L'aire, elle, ne dépend d'aucune orientation.

\[ \begin{aligned} A = b\,h \quad ; \quad W_{y} = \frac{b\,h^{2}}{6} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la compression voit toute la matière, la flexion surtout les bords. C'est pourquoi une section peut être très efficace en flexion et très médiocre en flambement — c'est exactement le cas de ce montant.

Décomposition des termes :

\( b = 45 \) : largeur, dans le plan du mur, unité : mm
\( h = 145 \) : hauteur, dans l'épaisseur du mur, unité : mm
\( h^{2} = 21\,025 \) : terme dominant du module, unité : mm²
Facteur 6 : issu de \( I/v \) avec \( v = h/2 \), unité : —
Valeur de la note : 157 781 mm³ — coquille de 0,06 %, unité : mm³

Moment et contraintes :

Pièce bi-articulée sous charge uniformément répartie.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le montant, articulé en pied et en tête, se comporte exactement comme une poutre sur deux appuis simples — simplement dressée à la verticale. Le vent y joue le rôle d'une charge répartie, et le moment maximal se produit à mi-hauteur, valant \( qH^{2}/8 \). La portée intervient au carré, ce qui rend ce terme très sensible à la hauteur sous plafond : passer de 2,70 à 3,00 m accroît le moment de 23 %. La contrainte de compression, elle, se calcule sans détour : l'effort normal divisé par l'aire. Ces deux contraintes ne s'additionnent pas directement — elles entreront séparément dans la formule d'interaction, chacune rapportée à sa propre résistance.

Contexte de validité : Articulations parfaites en pied et en tête, charge uniforme.
Avantage : Deux formules élémentaires, applicables combinaison par combinaison.
Paramètre clé : \( H^{2} \) — la hauteur, au carré.
Vérification : En N/mm et mm, le moment sort en N·mm et la contrainte en N/mm².
Limite : L'effet du second ordre n'est pas ici explicite : il est couvert par \( k_{\text{c}} \).

\[ \begin{aligned} M_{y,\text{d}} = \frac{q_{\text{d}}\,H^{2}}{8} \quad ; \quad \sigma_{\text{c},0,\text{d}} = \frac{N_{\text{d}}}{A} \quad ; \quad \sigma_{m,y,\text{d}} = \frac{M_{y,\text{d}}}{W_{y}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : un montant de mur est une poutre debout. La seule différence avec une poutre de plancher, c'est qu'il porte en plus une compression — et que cette compression va transformer sa souplesse en danger.

Décomposition des termes :

\( H = 2\,700 \) : hauteur entre articulations, en millimètres, unité : mm
\( q_{\text{d}} \) : 0,45 ou 0,27 selon la combinaison, unité : N/mm
\( N_{\text{d}} \) : 5 625 ou 6 300 selon la combinaison, unité : N
Facteur 1/8 : propre aux appuis simples ; 1/12 si encastrements, unité : —
Séparation : les deux contraintes ne s'additionnent pas directement, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de confondre l'axe de la flexion et celui du flambement..."

L'approche d'ingénieur : On identifie la direction de chaque phénomène avant de choisir la dimension.

L'erreur : Calculer \( W \) avec les 45 mm en hauteur, ou \( \lambda \) avec les 145 mm.
La bonne méthode : Le vent pousse hors du plan : flexion autour de \( y \), avec \( h = 145 \).
L'astuce de pro : Dessiner la vue en plan du mur avant tout calcul.
Le moyen mnémotechnique : « La flexion suit le vent, le flambement suit la faiblesse ».
L'impact direct : Intervertir \( b \) et \( h \) dans \( W \) diviserait le module par plus de trois.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Hauteur : 2 700 mm , et non 2,7
Charges linéiques : en N/mm , valeur numérique inchangée
Efforts normaux : en N , donc × 1 000
Moment : N/mm × mm² = N·mm
N·mm / mm³ = N/mm²

Deux conversions à ne pas manquer, et elles ne vont pas dans le même sens. Les efforts normaux passent de kilonewtons en newtons, donc multipliés par mille. Les charges linéiques, elles, ne changent pas de valeur numérique en passant de kN/m à N/mm — coïncidence bienvenue des unités du système international. Une charge de 0,45 kN/m vaut 0,45 N/mm, et c'est cette valeur qu'on injecte telle quelle dans \( qH^{2}/8 \).

1. Résolution Numérique Aire et module de flexion de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Ce sont les dénominateurs des quatre contraintes.

Méthodologie du calcul :

Application directe, avec \( h = 145 \) mm comme hauteur de flexion.

Substitution : \( 45 \times 145 \) puis \( 45 \times 145^{2}/6 \).
Piège évité : Employer \( bh^{3}/12 \), qui est l'inertie et non le module.
Hypothèse validée : Section pleine, sans affaiblissement par entaille ou perçage.
Vérification croisée : \( 145^{2} = 21\,025 \), d'où \( 45 \times 21\,025 = 946\,125 \).
Finalité : Les deux caractéristiques géométriques du calcul.

\[ \begin{aligned} A &= 45 \times 145 = 6\,525 \ \text{mm}^{2} \\ W_{y} &= \frac{45 \times 21\,025}{6} = \mathbf{157\,688 \ \text{mm}^{3}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

157 688 mm³ — la note écrit 157 781, soit 0,06 % de trop.

Ordre de grandeur : Sans aucune conséquence sur la conclusion.
Impact sur la suite : Moins d'un millième sur la contrainte de flexion.
Diagnostic : Une faute de frappe, non une faute de méthode.
Signal : Le calcul a été saisi, non recalculé lors de la relecture.
Repère : L'inertie correspondante vaudrait 11,43 × 10⁶ mm⁴.

Remarque pédagogique : Faites relever cette coquille sans en exagérer la portée. Elle ne change rien au résultat — mais dans une note de calculs, un chiffre qu'on ne peut pas retrouver à partir de la formule affichée jette le doute sur tous les autres. Le remède est simple et systématique : afficher le produit intermédiaire, ici \( 45 \times 21\,025 = 946\,125 \), pour que le lecteur puisse refaire la division de tête.

Contrainte de compression, combinaison A

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le premier terme de l'interaction.

Méthodologie du calcul :

Effort normal de la combinaison à vent dominant, divisé par l'aire.

Substitution : \( 5\,625 / 6\,525 \).
Piège évité : Oublier la conversion des kilonewtons en newtons.
Hypothèse validée : Compression centrée, sans excentrement d'appui.
Vérification croisée : 0,862 N/mm², à comparer à une résistance de 14,54.
Finalité : Le numérateur du terme de flambement, combinaison A.

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{c},0,\text{d,A}} &= \frac{5\,625}{6\,525} \\ &= \mathbf{0{,}862 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,862 N/mm² — dérisoire face aux 14,54 de résistance en compression pure.

Ordre de grandeur : Moins de 6 % de la résistance de calcul.
Impact sur la suite : Tout se jouera sur le coefficient de flambement.
Cohérence : La section n'est pas dictée par la compression, mais par l'isolant.
Enseignement : Une pièce peut être très peu comprimée et pourtant flamber.
Comparaison : En combinaison B, elle atteindra 0,966 N/mm².

Remarque pédagogique : Faites poser dès maintenant le rapport à la résistance : 6 %. Un étudiant qui s'arrêterait là conclurait à un montant massivement surdimensionné. C'est vrai en résistance de section, et complètement faux en stabilité — le coefficient de flambement va diviser la capacité par treize. Retenir que ces deux notions sont indépendantes est l'objectif principal de cet exercice.

Contrainte de compression, combinaison B

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la compression maximale des deux cas.

Méthodologie du calcul :

Même division, avec l'effort normal de la combinaison à exploitation dominante.

Substitution : \( 6\,300 / 6\,525 \).
Piège évité : L'associer à la résistance de la combinaison A.
Hypothèse validée : Même section, même hypothèse de contact centré.
Vérification croisée : 0,966 N/mm², soit 12 % de plus qu'en A.
Finalité : Le numérateur du terme qui va gouverner la vérification.

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{c},0,\text{d,B}} &= \frac{6\,300}{6\,525} \\ &= \mathbf{0{,}966 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,966 N/mm² — c'est la valeur que retient la note, et elle est correcte.

Ordre de grandeur : À peine 1 N/mm² : le bois est loin de son écrasement.
Impact sur la suite : Associée à \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \), elle donnera le taux le plus fort.
Cohérence : La note trouve la même valeur, mais lui attribue la mauvaise résistance.
Écart : 12 % de plus qu'en combinaison A.
Conséquence : Cumulé au \( k_{\text{mod}} \), le terme de compression sera 26 % plus fort qu'en A.

Remarque pédagogique : Faites constater que ce poste de la note est exact. Ce qui ne l'est pas, c'est ce à quoi elle le compare : une résistance calculée avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \), valeur qui appartient à l'autre combinaison. Une erreur de calcul se voit ; une erreur d'appariement entre une sollicitation et sa résistance ne se voit pas, et c'est ce qui la rend redoutable.

Contrainte de flexion, combinaison A

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la flexion maximale, vent dominant.

Méthodologie du calcul :

Moment de la poutre bi-articulée, divisé par le module de flexion.

Substitution : \( M = 0{,}45 \times 2\,700^{2}/8 = 410\,063 \) N·mm.
Piège évité : Laisser la hauteur en mètres : le moment serait un million de fois trop faible.
Hypothèse validée : Pression du vent uniforme sur la hauteur.
Vérification croisée : 2,60 N/mm², identique à la note — même charge, même géométrie.
Finalité : Le second terme de l'interaction, combinaison A.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,y,\text{d,A}} &= \frac{410\,063}{157\,688} \\ &= \mathbf{2{,}60 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,60 N/mm² — trois fois la contrainte de compression.

Ordre de grandeur : 16 % de la résistance en flexion.
Impact sur la suite : Contribution modeste au taux d'interaction.
Cohérence : La note trouve la même valeur, à la coquille de \( W_{y} \) près.
Sensibilité : Une hauteur de 3,00 m porterait cette contrainte à 3,21 N/mm².
Comparaison : En combinaison B, elle ne vaudra que 1,56 N/mm².

Remarque pédagogique : Faites remarquer que la flexion produit ici une contrainte trois fois supérieure à la compression, alors que le vent semble une action bien modeste. C'est l'effet du bras de levier : une charge horizontale de 45 kg par mètre, appliquée sur 2,70 m, génère un moment que la section reprend avec un module de seulement 158 cm³. Les faibles charges transversales produisent de fortes contraintes sur les pièces élancées.

Contrainte de flexion, combinaison B

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la note ne la calcule jamais.

Méthodologie du calcul :

Même formule, avec le vent accompagnateur de 0,27 kN/m.

Substitution : \( M = 0{,}27 \times 2\,700^{2}/8 = 246\,038 \) N·mm.
Piège évité : Réutiliser le moment de la combinaison A, comme le fait la note.
Hypothèse validée : Le vent reste présent, mais réduit par \( \psi_{0} = 0{,}6 \).
Vérification croisée : 1,56 N/mm², soit 40 % de moins qu'en A.
Finalité : Compléter le jeu de la combinaison qui va gouverner.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,y,\text{d,B}} &= \frac{246\,038}{157\,688} \\ &= \mathbf{1{,}56 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,56 N/mm² — la note emploie 2,60 dans cette combinaison.

Écart : La note surestime ce terme de 67 %.
Impact sur la suite : Erreur sécuritaire — mais qui masque celle du \( k_{\text{mod}} \).
Cohérence : Le rapport vaut exactement 0,45 / 0,27.
Poids réel : Ce terme ne pèsera que 7 % du taux d'interaction.
Enseignement : Une erreur sur un terme mineur peut compenser une erreur sur un terme majeur.

Remarque pédagogique : Faites anticiper le mécanisme de compensation. La note surestime la flexion de 67 % — erreur sécuritaire — et surestime la résistance de 12,5 % — erreur non sécuritaire. Comme le terme de flexion ne pèse qu'environ 7 % du total tandis que la résistance affecte les 93 % restants, la seconde erreur l'emporte largement. C'est en posant les poids relatifs qu'on prévoit le sens du résultat.

RÉSULTAT FINAL

Quatre contraintes : 0,862 / 2,60 et 0,966 / 1,56 N/mm² — avec \( A = 6\,525 \) mm² et \( W_{y} = 157\,688 \) mm³, et non 157 781 comme l'écrit la note

"La flexion suit le vent, le flambement suit la faiblesse !"

Question 3 : Résistances de calcul

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est ici que se joue l'erreur la plus lourde de la note, et elle tient à une seule décimale. La note applique \( k_{\text{mod}} = 0{,}9 \) à l'ensemble du calcul, en justifiant : « pour une charge de vent, courte durée, en classe de service 2 ». Cette justification est exacte — mais seulement pour la combinaison où le vent domine. Dans l'autre, l'action de plus courte durée est la charge d'exploitation, de moyen terme : \( k_{\text{mod}} \) tombe à 0,80. Or c'est précisément cette combinaison-là qui porte l'effort normal maximal, celui que la note utilise. Elle apparie donc la sollicitation la plus forte avec la résistance la plus favorable — un appariement que rien dans le résultat final ne signale."

Observation : \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) est appliqué aux deux combinaisons.
Analyse du risque : La combinaison à exploitation dominante relève du moyen terme : 0,80.
Choix stratégique : Produire quatre résistances, un jeu par combinaison.
Point de méthode : Ne jamais séparer une sollicitation de la résistance qui lui correspond.
Objectif visé : Chiffrer l'écart de 12,5 % que cette erreur introduit.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) : 14,54 et 16,62 N/mm² · avec \( 0{,}80 \) : 12,92 et 14,77 N/mm², soit 12,5 % de moins

Rappel Théorique : une résistance par combinaison

La résistance du bois n'est pas une constante du matériau : elle dépend de combien de temps la charge reste appliquée.

Principe 1 — \( k_{\text{mod}} \) n'est pas un coefficient de sécurité : C'est une propriété du matériau, liée à sa viscoélasticité.
Principe 2 — \( \gamma_{M} \), lui, en est un : Il couvre la dispersion du bois, matériau naturel.
Principe 3 — la plus courte durée gouverne : § 3.1.3 : dans une combinaison, c'est elle qui fixe \( k_{\text{mod}} \).
Principe 4 — donc autant de jeux que de combinaisons : Deux combinaisons, deux \( k_{\text{mod}} \), quatre résistances.
Principe 5 — l'appariement est tout : Une sollicitation se compare toujours à la résistance de sa propre combinaison.

Équations Fondamentales

La résistance de calcul, formule commune à toutes les sollicitations.

Résistance de calcul — § 2.4.1 :

EN 1995-1-1, équation (2.14).

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une valeur caractéristique mesurée en laboratoire, sur une éprouvette chargée en quelques minutes dans un air conditionné, ne décrit pas ce que fera une pièce de charpente sous la pluie pendant trente ans. Deux corrections s'imposent, et elles n'ont pas la même nature. Le coefficient \( k_{\text{mod}} \) traduit un comportement réel du matériau : le bois cède sous une charge maintenue à un niveau qu'il supporte sans dommage brièvement, et il faiblit avec l'humidité. Le coefficient \( \gamma_{M} \), lui, est un coefficient de sécurité : il couvre la dispersion entre pièces d'un même lot, bien plus forte pour un matériau naturel que pour un acier laminé — d'où 1,30 contre 1,00. Confondre les deux conduit à croire que le bois « perd » 38 % de résistance par prudence, alors que la moitié de cette perte est physique.

Contexte de validité : Bois massif, classe de service et durée de charge identifiées.
Avantage : Une formule unique pour la compression, la flexion, le cisaillement.
Paramètre clé : \( k_{\text{mod}} \), qui change d'une combinaison à l'autre.
Vérification : \( \gamma_{M} = 1{,}30 \) en massif, 1,25 en lamellé-collé.
Limite : Le \( k_{\text{mod}} \) du flambement est celui de la combinaison, pas un autre.

\[ \begin{aligned} f_{\text{d}} = k_{\text{mod}}\,\frac{f_{\text{k}}}{\gamma_{M}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la résistance du bois dépend du scénario, pas seulement de l'essence. Une même pièce de C24 vaut 12,92 ou 14,54 N/mm² selon la combinaison examinée — et il faut savoir laquelle on examine.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{c},0,\text{k}} = 21 \) : compression axiale du C24, unité : N/mm²
\( f_{m,\text{k}} = 24 \) : flexion du C24 — c'est elle qui nomme la classe, unité : N/mm²
\( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) : combinaison A, vent dominant, unité : —
\( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) : combinaison B, exploitation dominante, unité : —
\( \gamma_{M} = 1{,}30 \) : bois massif, identique dans les deux cas, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de retenir un seul \( k_{\text{mod}} \) pour tout l'exercice..."

L'approche d'ingénieur : À chaque combinaison son \( k_{\text{mod}} \), donc son jeu de résistances.

L'erreur : Écrire « il y a du vent, donc \( k_{\text{mod}} = 0{,}9 \) » et l'appliquer partout.
La bonne méthode : Regarder quelle action domine dans la combinaison examinée.
L'astuce de pro : Écrire le \( k_{\text{mod}} \) à côté de chaque combinaison, dès la question 1.
Le moyen mnémotechnique : « La plus courte durée de la combinaison, pas du projet ».
L'impact direct : Une résistance surestimée de 12,5 % sur la combinaison la plus sollicitée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Résistances caractéristiques : en N/mm²
\( k_{\text{mod}} \) et \( \gamma_{M} \) : sans unité
Résistances de calcul : en N/mm²
N/mm² = MPa , notations équivalentes
Ne pas confondre \( f_{\text{c},0,\text{k}} \) et \( f_{m,\text{k}} \)

Aucune conversion ici, mais un risque de confusion de symboles réel. Le C24 possède au moins quatre résistances caractéristiques distinctes — flexion 24, compression axiale 21, traction axiale 14,5, cisaillement 4 N/mm² — et le nom de la classe ne renvoie qu'à la première. Employer 24 pour un calcul de compression est une erreur fréquente, qui surestime la capacité de 14 %. La règle est simple : lire l'indice avant de lire le nombre.

1. Résolution Numérique Résistance en compression, combinaison A

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le cas où le vent domine, donc le \( k_{\text{mod}} \) le plus favorable.

Méthodologie du calcul :

Compression caractéristique du C24, avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \).

Substitution : \( 0{,}90 \times 21 / 1{,}30 \).
Piège évité : Employer \( f_{m,\text{k}} = 24 \), qui est la résistance en flexion.
Hypothèse validée : Vent classé court terme — paramètre national.
Vérification croisée : 14,54 N/mm² : la note trouve la même valeur.
Finalité : Le dénominateur du terme de flambement, combinaison A.

\[ \begin{aligned} f_{\text{c},0,\text{d,A}} &= \frac{0{,}90 \times 21}{1{,}30} \\ &= \mathbf{14{,}54 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

14,54 N/mm² — soit 69 % de la caractéristique.

Ordre de grandeur : Bien supérieure aux 0,862 N/mm² de sollicitation.
Impact sur la suite : Elle sera divisée par treize par le coefficient de flambement.
Cohérence : Ce poste de la note est exact, pour cette combinaison.
Décomposition : \( 0{,}90/1{,}30 = 0{,}692 \) : le facteur global appliqué.
Comparaison : Un acier S235 admettrait 235 N/mm², seize fois plus.

Remarque pédagogique : Faites relever que ce poste est juste dans la note — mais seulement parce qu'il correspond, par hasard, à la combinaison A. Le problème n'est pas la valeur : c'est qu'elle est ensuite appliquée à la combinaison B, à laquelle elle n'appartient pas. Une valeur exacte au mauvais endroit reste une erreur.

Résistance en flexion, combinaison A

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le second dénominateur de l'interaction.

Méthodologie du calcul :

Même formule, avec la résistance en flexion du C24.

Substitution : \( 0{,}90 \times 24 / 1{,}30 \).
Piège évité : Appliquer un coefficient de hauteur \( k_{h} \) : il ne joue qu'au-delà de 150 mm.
Hypothèse validée : Pas de déversement : le montant est tenu latéralement par le mur.
Vérification croisée : 16,62 N/mm² : identique à la note.
Finalité : Le dénominateur du terme de flexion, combinaison A.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d,A}} &= \frac{0{,}90 \times 24}{1{,}30} \\ &= \mathbf{16{,}62 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

16,62 N/mm² — supérieure à la résistance en compression, ce qui surprend.

Ordre de grandeur : 14 % de plus qu'en compression axiale.
Impact sur la suite : Elle n'est pas réduite par un coefficient d'instabilité.
Explication : En flexion, seules les fibres extrêmes atteignent le maximum.
Redistribution : Le cœur de la section vient au secours des bords qui plastifient.
Comparaison : La sollicitation n'atteint que 2,60 N/mm², soit 16 %.

Remarque pédagogique : Faites expliquer pourquoi la résistance en flexion dépasse celle en compression alors que la ruine se produit du côté comprimé. La raison est statistique et mécanique à la fois : en compression pure, toutes les fibres atteignent le maximum ensemble, et le défaut le plus faible décide. En flexion, seules les fibres extrêmes sont maximalement sollicitées, et un défaut situé près de l'axe neutre ne joue presque aucun rôle.

Résistance en compression, combinaison B

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la valeur que la note n'emploie jamais.

Méthodologie du calcul :

Même formule, avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) — moyen terme.

Substitution : \( 0{,}80 \times 21 / 1{,}30 \).
Piège évité : Garder 0,90 sous prétexte qu'il y a « du vent » dans la combinaison.
Hypothèse validée : Charge d'exploitation de catégorie A, classée moyen terme.
Vérification croisée : 12,92 N/mm², soit 1,62 de moins qu'en combinaison A.
Finalité : Le dénominateur du terme qui va gouverner.

\[ \begin{aligned} f_{\text{c},0,\text{d,B}} &= \frac{0{,}80 \times 21}{1{,}30} \\ &= \mathbf{12{,}92 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

12,92 N/mm² — 12,5 % de moins que ce qu'emploie la note.

Écart : La note surestime cette résistance de 12,5 %.
Impact sur la suite : C'est l'erreur la plus lourde de toute la note.
Cohérence : Le rapport vaut exactement 0,90 / 0,80.
Poids : Elle porte sur le terme de compression, qui pèse 93 % du taux.
Effet net : Elle ajoutera près de 13 points au taux d'interaction.

Remarque pédagogique : Faites mesurer pourquoi cette erreur-là est la plus grave des trois. Elle porte sur le terme qui pèse 93 % du taux d'interaction, alors que les deux autres portent sur le terme de flexion, qui n'en pèse que 7 %. Dans une vérification, l'importance d'une erreur ne se juge pas à son ampleur relative mais au poids du terme qu'elle affecte.

Résistance en flexion, combinaison B

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter le jeu de la combinaison gouvernante.

Méthodologie du calcul :

Résistance en flexion, avec le \( k_{\text{mod}} \) de moyen terme.

Substitution : \( 0{,}80 \times 24 / 1{,}30 \).
Piège évité : Mélanger les jeux : \( f_{\text{c}} \) à 0,80 et \( f_{m} \) à 0,90.
Hypothèse validée : Le \( k_{\text{mod}} \) s'applique à toutes les résistances de la combinaison.
Vérification croisée : 14,77 N/mm², à comparer aux 1,56 de sollicitation.
Finalité : Fermer le jeu complet de la combinaison B.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d,B}} &= \frac{0{,}80 \times 24}{1{,}30} \\ &= \mathbf{14{,}77 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

14,77 N/mm² — quatrième et dernière résistance du calcul.

Ordre de grandeur : La sollicitation n'en représente que 11 %.
Impact sur la suite : Contribution marginale au taux d'interaction.
Cohérence : Même rapport 0,90 / 0,80 que pour la compression.
Récapitulatif : Quatre résistances établies : 14,54, 16,62, 12,92 et 14,77.
Règle : Chaque contrainte ira avec la résistance de sa combinaison.

Remarque pédagogique : Faites dresser le tableau des quatre résistances avant d'attaquer l'interaction. Deux lignes, deux colonnes, et le risque de mélanger les jeux disparaît. C'est une discipline de présentation, pas de calcul — mais c'est exactement ce type de discipline qui empêche l'erreur d'appariement que commet la note reprise.

RÉSULTAT FINAL

Quatre résistances : 14,54 / 16,62 et 12,92 / 14,77 N/mm² — la note n'emploie que le premier jeu, y compris là où \( k_{\text{mod}} \) devait tomber à 0,80

"La plus courte durée de la combinaison, pas du projet !"

Question 4 : Coefficients de flambement

Dans la tête de l'ingénieur

"La note calcule correctement \( k_{\text{c},z} = 0{,}076 \) et son résultat est exact. Mais elle s'arrête là, et c'est ce qui rend sa conclusion si coûteuse. Un élancement de 208 est une valeur que l'on ne rencontre jamais dans une charpente réelle : elle signifie qu'il ne reste que 7,6 % de la résistance en compression. Cela devrait alerter, non pas sur le calcul, mais sur l'hypothèse — un montant de mur n'est jamais libre de flamber dans le plan du mur, il est cloué à un panneau tous les quinze centimètres. Je vais donc calculer les deux coefficients, sur les deux axes, pour disposer du chiffre qui permettra de trancher : \( k_{\text{c},y} = 0{,}620 \), soit huit fois plus."

Observation : Le \( k_{\text{c},z} \) de la note est exact : 0,076.
Analyse du risque : Un élancement de 208 ne décrit aucune charpente réelle.
Choix stratégique : Calculer les deux axes, pour pouvoir comparer.
Point de méthode : C'est le module au fractile à 5 % qui sert aux instabilités.
Objectif visé : Chiffrer le facteur huit entre les deux hypothèses de maintien.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Axe faible : \( \lambda_{z} = \) 207,8, \( \lambda_{\text{rel},z} = \) 3,524, \( k_{\text{c},z} = \) 0,0762 · Axe fort : \( \lambda_{y} = \) 64,5, \( k_{\text{c},y} = \) 0,620

Rappel Théorique : le flambement d'une pièce élancée

Une pièce comprimée ne s'écrase pas toujours : au-delà d'un certain élancement, elle se dérobe latéralement.

Principe 1 — l'élancement : \( \lambda = L_{\text{ef}}/i \) — longueur de flambement sur rayon de giration.
Principe 2 — l'élancement relatif : Il compare la contrainte critique d'Euler à la résistance du matériau.
Principe 3 — le fractile à 5 % : Les instabilités se jugent sur la pièce la plus souple du lot.
Principe 4 — \( \beta_{\text{c}} \) : Il traduit les imperfections initiales : courbure, défauts, excentrements.
Principe 5 — la longueur de flambement : C'est l'hypothèse la plus lourde de conséquences de tout le calcul.

Équations Fondamentales

L'élancement relatif, puis le coefficient de réduction qu'il commande.

Élancement et élancement relatif — § 6.3.2 :

EN 1995-1-1, équations (6.21) et (6.22).

Pourquoi cette formule ?

Parce que le flambement n'est pas une question de résistance mais de rigidité. Euler a montré qu'une barre comprimée se dérobe au-delà d'une charge critique qui dépend de \( EI \) et du carré de la longueur — pas du tout de la résistance du matériau. L'élancement relatif \( \lambda_{\text{rel}} \) compare ces deux mondes : il vaut 1 lorsque la contrainte critique d'Euler égale la résistance en compression. En dessous de 0,3, le flambement ne joue pas et la pièce s'écrase. Au-dessus de 1, l'instabilité domine largement. Le rayon de giration \( i = c/\sqrt{12} \) mesure la manière dont la matière est répartie autour de l'axe : plus elle est éloignée, plus la pièce résiste au dérobement.

Contexte de validité : Pièce droite, compression centrée, section constante.
Avantage : Un nombre sans dimension qui situe le risque d'un coup d'œil.
Paramètre clé : \( L_{\text{ef}} \) — la longueur de flambement, hypothèse à justifier.
Vérification : C'est \( E_{0,05} = 7\,400 \) qui sert, non le module moyen.
Limite : Au-delà de \( \lambda = 150 \), le calcul reste valable mais la conception est à revoir.

\[ \begin{aligned} i = \frac{c}{\sqrt{12}} \quad ; \quad \lambda = \frac{L_{\text{ef}}}{i} \quad ; \quad \lambda_{\text{rel}} = \frac{\lambda}{\pi}\sqrt{\frac{f_{\text{c},0,\text{k}}}{E_{0,05}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce n'est pas la force du bois qui compte, c'est sa raideur. Passer en C30 n'améliorerait rien : le module au fractile ne gagne que 8 % quand la résistance en gagne 10 % — l'élancement relatif resterait identique.

Décomposition des termes :

\( c \) : dimension perpendiculaire à l'axe de flambement, unité : mm
\( L_{\text{ef}} = 2\,700 \) : hauteur entière si le montant n'est pas tenu, unité : mm
\( \sqrt{12} = 3{,}464 \) : constante du rectangle, unité : —
\( \sqrt{f_{\text{c},0,\text{k}}/E_{0,05}} \) : vaut 0,0533 pour le C24, unité : —
Seuil : sous \( \lambda_{\text{rel}} = 0{,}3 \), pas de réduction, unité : —

Coefficient de flambement — § 6.3.2 :

EN 1995-1-1, équations (6.25) à (6.28).

Pourquoi cette formule ?

Parce que la théorie d'Euler suppose une barre parfaitement droite, parfaitement homogène et chargée exactement au centre — trois conditions qu'aucune pièce de bois ne remplit. Une pièce réelle présente une courbure initiale, des nœuds qui déplacent le centre de gravité, un fil qui n'est pas rigoureusement parallèle à l'axe. Le coefficient \( \beta_{\text{c}} \) forfaitise ces imperfections : 0,2 pour le bois massif, contre 0,1 pour le lamellé-collé, plus régulier parce que ses lamelles sont purgées et réparties. La formule qui en découle donne un \( k_{\text{c}} \) toujours inférieur à 1, qui s'effondre dès que l'élancement dépasse la centaine — et qui tend vers zéro comme l'inverse du carré de l'élancement.

Contexte de validité : \( \lambda_{\text{rel}} > 0{,}3 \) ; en deçà, \( k_{\text{c}} = 1 \).
Avantage : Une formule fermée, sans itération ni abaque.
Paramètre clé : \( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \) — bois massif ici.
Vérification : \( k_{\text{c}} \) doit toujours être compris entre 0 et 1.
Limite : Le résultat est très sensible à \( \lambda_{\text{rel}} \) : soigner les décimales.

\[ \begin{aligned} k = 0{,}5\left(1 + \beta_{\text{c}}(\lambda_{\text{rel}} - 0{,}3) + \lambda_{\text{rel}}^{2}\right) \quad ; \quad k_{\text{c}} = \frac{1}{k + \sqrt{k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : l'élancement se paie au carré. Diviser la longueur de flambement par deux ne double pas la capacité : elle la quadruple presque. C'est pourquoi une simple entretoise à mi-hauteur change tout.

Décomposition des termes :

\( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \) : imperfections du bois massif, unité : —
\( \lambda_{\text{rel}}^{2} \) : terme dominant dès que l'élancement est fort, unité : —
\( k \) : facteur intermédiaire, sans signification physique propre, unité : —
\( k_{\text{c}} \) : fraction de résistance conservée, unité : —
Asymptote : \( k_{\text{c}} \to 1/\lambda_{\text{rel}}^{2} \) pour les grands élancements, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'employer le module moyen dans le calcul de flambement..."

L'approche d'ingénieur : Les instabilités se jugent sur le fractile à 5 %, les déformations sur la moyenne.

L'erreur : Prendre \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) au lieu de \( E_{0,05} = 7\,400 \) N/mm².
La bonne méthode : Une instabilité est déclenchée par la pièce la plus souple du lot.
L'astuce de pro : Se demander « une seule pièce faible suffit-elle à ruiner l'ensemble ? ».
Le moyen mnémotechnique : « Le fractile pour l'instabilité, la moyenne pour la déformation ».
L'impact direct : Le module moyen donnerait \( \lambda_{\text{rel},z} = 2{,}89 \) et un \( k_{\text{c},z} \) surestimé de 47 %.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Rayon de giration : en mm
Élancement : sans unité , mm / mm
Le rapport \( f_{\text{c},0,\text{k}}/E_{0,05} \) est sans unité
\( \lambda_{\text{rel}} \), \( k \) et \( k_{\text{c}} \) : sans unité
Conserver trois décimales sur \( \lambda_{\text{rel}} \)

Aucune unité à surveiller — tout est sans dimension à partir de l'élancement — mais une précision à tenir. Le coefficient \( k_{\text{c}} \) fait intervenir une différence \( k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2} \) sous une racine, et cette différence est petite devant chacun des deux termes. Arrondir \( \lambda_{\text{rel}} \) à deux décimales suffit ici, mais sur des élancements plus faibles la même négligence fait varier le résultat de plusieurs pour cent.

1. Résolution Numérique Élancement autour de l'axe faible

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est l'axe où le montant est le plus fragile.

Méthodologie du calcul :

Rayon de giration sur les 45 mm, puis hauteur divisée par ce rayon.

Substitution : \( i_{z} = 45/\sqrt{12} = 12{,}99 \) mm, puis \( 2\,700/12{,}99 \).
Piège évité : Employer les 145 mm : c'est l'axe fort.
Hypothèse validée : Montant non tenu dans le plan du mur — hypothèse à discuter.
Vérification croisée : 207,8 : une valeur hors normes pour une charpente.
Finalité : Alimenter le calcul de l'élancement relatif.

\[ \begin{aligned} \lambda_{z} &= \frac{2\,700}{45/\sqrt{12}} = \frac{2\,700}{12{,}99} \\ &= \mathbf{207{,}8} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

207,8 — un élancement qu'aucun bureau d'études n'accepterait tel quel.

Ordre de grandeur : Les charpentes courantes restent sous 150.
Impact sur la suite : Il ne restera que 7,6 % de la résistance en compression.
Signal d'alerte : Ce chiffre devrait faire rouvrir l'hypothèse, pas conclure le calcul.
Réalité de chantier : Un montant est cloué au panneau tous les 15 cm environ.
Comparaison : Une règle plate de 45 mm sur 2,70 m : elle plie sous son propre poids.

Remarque pédagogique : Faites traiter ce nombre comme un signal. Un élancement de 208 ne dit pas « le montant est mauvais » : il dit « l'hypothèse de longueur de flambement n'est pas réaliste ». Un bon calculateur ne poursuit pas mécaniquement — il remonte à l'hypothèse et se demande ce qui, dans l'ouvrage réel, empêche ce flambement. Ici, la réponse tient en un mot : le panneau.

Élancement relatif autour de l'axe faible

Pourquoi fait-on ce calcul ? Il compare l'instabilité à la résistance.

Méthodologie du calcul :

Élancement divisé par \( \pi \), multiplié par la racine du rapport résistance sur module.

Substitution : \( (207{,}8/\pi) \times \sqrt{21/7\,400} \).
Piège évité : Employer \( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) au lieu du fractile à 5 %.
Hypothèse validée : Valeurs du C24 lues au tableau 1 de la NF EN 338.
Vérification croisée : La racine vaut 0,0533 ; le quotient, 66,16.
Finalité : L'entrée unique de la formule du coefficient de flambement.

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel},z} &= \frac{207{,}8}{\pi}\sqrt{\frac{21}{7\,400}} \\ &= \mathbf{3{,}524} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

3,524 — très au-delà de 1 : l'instabilité domine complètement.

Ordre de grandeur : Plus de trois fois le seuil d'égalité Euler-résistance.
Impact sur la suite : Le terme \( \lambda_{\text{rel}}^{2} = 12{,}4 \) écrasera tous les autres.
Sens physique : La charge critique d'Euler ne vaut qu'un douzième de la capacité d'écrasement.
Repère : Sous 0,3, il n'y aurait aucune réduction à appliquer.
Comparaison : Sur l'axe fort, ce nombre tombera à 1,094.

Remarque pédagogique : Faites interpréter la valeur 1 de l'élancement relatif : c'est le point où la contrainte critique d'Euler égale exactement la résistance en compression du matériau. En dessous, la pièce s'écrase avant de flamber ; au-dessus, elle flambe avant de s'écraser. À 3,52, on est dans le second régime sans ambiguïté — et la résistance du bois n'a presque plus d'influence sur la capacité.

Coefficient de flambement, axe faible

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est lui qui gouverne tout si le montant est libre.

Méthodologie du calcul :

Facteur intermédiaire \( k \), puis coefficient \( k_{\text{c}} \).

Substitution : \( k = 0{,}5(1 + 0{,}2 \times 3{,}224 + 12{,}42) = 7{,}03 \).
Piège évité : Oublier de retrancher 0,3 dans le terme en \( \beta_{\text{c}} \).
Hypothèse validée : \( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \), bois massif.
Vérification croisée : \( \sqrt{7{,}03^{2} - 3{,}524^{2}} = 6{,}08 \), d'où \( 1/13{,}11 \).
Finalité : Le coefficient de l'équation (6.24).

\[ \begin{aligned} k_{\text{c},z} &= \frac{1}{7{,}03 + \sqrt{7{,}03^{2} - 3{,}524^{2}}} \\ &= \mathbf{0{,}0762} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,0762 — il ne reste que 7,6 % de la résistance en compression.

Ordre de grandeur : La capacité est divisée par treize.
Impact sur la suite : La résistance utile tombe à 0,98 N/mm² en combinaison B.
Cohérence : La note trouve 0,076 : ce poste est exact.
Vérification asymptotique : \( 1/\lambda_{\text{rel}}^{2} = 0{,}081 \), très proche : le régime est bien celui d'Euler.
Comparaison : La sollicitation vaut 0,966 : on est au bord, sans marge.

Remarque pédagogique : Faites contrôler ce résultat par l'asymptote : pour les grands élancements, \( k_{\text{c}} \) tend vers \( 1/\lambda_{\text{rel}}^{2} \), soit 0,081 ici. L'écart avec 0,0762 est de 6 %, entièrement dû au terme d'imperfection \( \beta_{\text{c}} \). Ce genre de contrôle prend dix secondes et détecte immédiatement une erreur de saisie dans une formule à racine carrée.

Élancements autour de l'axe fort

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la note ne le fait jamais.

Méthodologie du calcul :

Même démarche, avec les 145 mm comme dimension perpendiculaire.

Substitution : \( i_{y} = 145/\sqrt{12} = 41{,}86 \) mm, puis \( 2\,700/41{,}86 \).
Piège évité : Croire que cet axe est hors sujet parce qu'il porte déjà la flexion.
Hypothèse validée : Ce flambement-là n'est pas empêché par le panneau.
Vérification croisée : \( \lambda_{y} = 64{,}5 \), soit le rapport 145/45 par rapport à l'axe faible.
Finalité : Préparer le coefficient de l'équation (6.23).

\[ \begin{aligned} \lambda_{y} &= \frac{2\,700}{41{,}86} = 64{,}5 \\ \lambda_{\text{rel},y} &= \frac{64{,}5}{\pi} \times 0{,}0533 = \mathbf{1{,}094} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,094 — tout juste au-dessus du seuil d'équilibre entre Euler et résistance.

Ordre de grandeur : Un élancement de 64,5, valeur tout à fait courante.
Impact sur la suite : Le \( k_{\text{c}} \) correspondant sera bien plus favorable.
Cohérence : Le rapport des élancements vaut exactement 145/45 = 3,22.
Régime : On est ici à la frontière entre écrasement et instabilité.
Comparaison : \( \lambda_{\text{rel}}^{2} \) ne vaut que 1,20, contre 12,4 sur l'axe faible.

Remarque pédagogique : Faites relever que le rapport des élancements vaut exactement celui des dimensions : 145/45 = 3,22. C'est direct — l'élancement est inversement proportionnel au rayon de giration, lui-même proportionnel à la dimension. Mais l'effet sur \( k_{\text{c}} \), lui, n'est pas proportionnel du tout : un rapport de 3,22 sur l'élancement produira un rapport de 8,1 sur le coefficient.

Coefficient de flambement, axe fort

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le chiffre qui va tout changer.

Méthodologie du calcul :

Même formule, avec \( \lambda_{\text{rel},y} = 1{,}094 \).

Substitution : \( k = 0{,}5(1 + 0{,}2 \times 0{,}794 + 1{,}197) = 1{,}178 \).
Piège évité : La différence sous la racine est ici petite : soigner les décimales.
Hypothèse validée : Même \( \beta_{\text{c}} \), même matériau, seul l'axe change.
Vérification croisée : \( \sqrt{1{,}178^{2} - 1{,}094^{2}} = 0{,}436 \), d'où \( 1/1{,}614 \).
Finalité : Le coefficient de l'équation (6.23), celle qui s'applique si le montant est tenu.

\[ \begin{aligned} k_{\text{c},y} &= \frac{1}{1{,}178 + \sqrt{1{,}178^{2} - 1{,}094^{2}}} \\ &= \mathbf{0{,}620} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,620 — soit huit fois le coefficient de l'axe faible.

Ordre de grandeur : 62 % de la résistance conservée, contre 7,6 %.
Impact sur la suite : C'est ce facteur 8,1 qui décide de tout l'exercice.
Cause : Un rapport de dimensions de 3,22, élevé à une puissance proche de deux.
Portée : Ce coefficient s'applique si et seulement si le panneau tient le montant.
Enjeu : Toute la conclusion de la note dépend de cette hypothèse.

Remarque pédagogique : Faites mesurer ce que représente un facteur huit sur un coefficient de résistance. Aucune erreur de charge, aucune approximation de section, aucun choix de classe de bois ne produit un écart de cette ampleur. En calcul de stabilité, l'hypothèse sur la longueur de flambement pèse plus lourd que toutes les autres réunies — et c'est précisément celle qu'on énonce en une ligne, sans la justifier.

RÉSULTAT FINAL

Deux coefficients : \( k_{\text{c},z} = 0{,}0762 \) et \( k_{\text{c},y} = 0{,}620 \) — un facteur 8,1 entre les deux, selon que le montant est libre ou tenu dans le plan du mur

"Le fractile pour l'instabilité, la moyenne pour la déformation !"

Question 5 : Vérification de la flexion composée

Dans la tête de l'ingénieur

"La note annonce 1,034 et recommande de passer tous les montants en 60 × 145. Mon calcul donne 105,4 % : à peine deux points d'écart, alors que trois erreurs distinctes séparent les deux méthodes. C'est le cas le plus dangereux qui soit — elles se compensent. Mais le vrai sujet est ailleurs. La note conduit tout son calcul en supposant le montant libre de flamber dans le plan du mur, sur 2,70 m, tout en écrivant dans sa propre FAQ que « le panneau OSB est crucial pour la stabilité ». Elle sait, et elle ne compte pas. Avec le panneau, le taux tombe à 25,2 % — et la recommandation de tout reprendre en 60 × 145, qui coûte un tiers du bois de la maison, devient sans objet."

Observation : Trois erreurs distinctes, dont l'effet net ne dépasse pas deux points.
Analyse du risque : Une compensation fortuite ne se reproduira pas sur le projet suivant.
Choix stratégique : Décomposer l'écart poste par poste, pour rendre chaque erreur visible.
Point de méthode : Reprendre le calcul avec le panneau, que la note mentionne sans l'employer.
Objectif visé : Une recommandation proportionnée, chiffrée, et bien moins coûteuse.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Sans panneau : 105,4 % — non conforme · avec panneau : 25,2 % · entretoise à mi-hauteur : 33,7 % · section 60 × 145 : 47,7 %

Rappel Théorique : la flexion composée d'une pièce élancée

Compression et flexion ne s'additionnent pas simplement : la déformée due à la flexion amplifie l'effet de la compression.

Principe 1 — deux équations : (6.23) autour de \( y \), (6.24) autour de \( z \) — toutes deux à vérifier.
Principe 2 — le coefficient \( k_{m} \) : 0,7 sur la flexion hors du plan de l'instabilité examinée.
Principe 3 — l'effet du second ordre : Il est couvert forfaitairement par \( k_{\text{c}} \), non calculé explicitement.
Principe 4 — la somme des taux : Elle doit rester inférieure à 1, chaque terme rapporté à sa résistance.
Principe 5 — le maintien latéral : S'il existe, il supprime l'équation (6.24) et change tout.

Équations Fondamentales

Les deux formules d'interaction du § 6.3.2, et le rôle de \( k_{m} \).

Interaction autour de l'axe faible — équation (6.24) :

EN 1995-1-1 § 6.3.2, flambement dans le plan du mur.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une pièce comprimée et fléchie est bien plus vulnérable que la somme des deux cas pris séparément. La flexion la courbe ; la compression, agissant sur cette courbure, crée un moment supplémentaire qui accroît la courbure, et ainsi de suite. C'est l'effet du second ordre. L'Eurocode ne le calcule pas explicitement : il le couvre forfaitairement en divisant la résistance en compression par \( k_{\text{c}} \), puis en exigeant que la somme des deux taux reste sous 1. Le coefficient \( k_{m} = 0{,}7 \) qui affecte le terme de flexion traduit autre chose : la possibilité, pour une section rectangulaire, de redistribuer les contraintes de flexion vers les fibres moins sollicitées. Il ne s'applique qu'à la flexion qui n'est pas dans le plan de l'instabilité examinée — ici, la flexion autour de \( y \) alors qu'on étudie le flambement autour de \( z \).

Contexte de validité : Pièce comprimée et fléchie, sans maintien latéral intermédiaire.
Avantage : Elle évite tout calcul itératif de second ordre.
Paramètre clé : \( k_{\text{c},z} = 0{,}0762 \) — il écrase le premier terme.
Vérification : \( k_{m} = 0{,}7 \) porte bien sur la flexion, pas sur la compression.
Limite : Elle disparaît si le flambement autour de \( z \) est empêché.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{\text{c},0,\text{d}}}{k_{\text{c},z}\,f_{\text{c},0,\text{d}}} + k_{m}\,\frac{\sigma_{m,y,\text{d}}}{f_{m,y,\text{d}}} \le 1 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une pièce déjà courbée par le vent flambe bien plus tôt. Appuyez sur une règle en plastique : elle résiste. Courbez-la légèrement d'abord, puis appuyez : elle cède aussitôt.

Décomposition des termes :

\( k_{\text{c},z} = 0{,}0762 \) : flambement dans le plan du mur, unité : —
\( k_{m} = 0{,}7 \) : redistribution, section rectangulaire en massif, unité : —
Premier terme : il pèsera 93 % du total, unité : —
Second terme : 7 % seulement, unité : —
Omission de la note : \( k_{m} \) absent, ce qui pénalise la flexion, unité : —

Interaction autour de l'axe fort — équation (6.23) :

EN 1995-1-1 § 6.3.2, flambement hors du plan du mur.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le flambement peut se produire dans deux directions, et qu'il faut vérifier les deux. Ici, l'instabilité examinée est celle autour de l'axe fort \( y \), c'est-à-dire un dérobement perpendiculaire au mur. Comme la flexion du vent se produit précisément autour de ce même axe, elle est dans le plan de l'instabilité : le coefficient \( k_{m} \) ne s'applique donc pas, et le terme de flexion entre en entier. C'est la différence essentielle entre les deux équations, et elle n'est pas arbitraire — une flexion qui accompagne le dérobement ne peut pas bénéficier d'une redistribution. Cette équation devient la seule applicable lorsque le montant est tenu latéralement par le panneau, cas de figure de tout mur à ossature bois correctement mis en œuvre.

Contexte de validité : Toujours applicable ; seule applicable si le montant est tenu.
Avantage : Elle valorise la vraie raideur du montant, celle de ses 145 mm.
Paramètre clé : \( k_{\text{c},y} = 0{,}620 \) — huit fois plus favorable.
Vérification : Pas de \( k_{m} \) : la flexion est dans le plan de l'instabilité.
Limite : Le maintien doit être justifié : fixations du panneau, § 9.2.4.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{\text{c},0,\text{d}}}{k_{\text{c},y}\,f_{\text{c},0,\text{d}}} + \frac{\sigma_{m,y,\text{d}}}{f_{m,y,\text{d}}} \le 1 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : un montant tenu par son panneau est un tout autre élément. Ce n'est pas une faveur de calcul : c'est la reconnaissance d'un ouvrage qui existe réellement sur le chantier, et qu'il suffit de justifier.

Décomposition des termes :

\( k_{\text{c},y} = 0{,}620 \) : flambement hors plan, sur les 145 mm, unité : —
Pas de \( k_{m} \) : la flexion est dans le plan de l'instabilité, unité : —
Premier terme : il ne pèsera plus que 38 % du total, unité : —
Second terme : 62 % — la flexion devient dominante, unité : —
Condition : maintien du panneau justifié, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de mentionner une hypothèse favorable puis de ne pas l'employer..."

L'approche d'ingénieur : Une hypothèse se justifie et s'emploie, ou bien elle ne se mentionne pas.

L'erreur : Écrire « le panneau est crucial pour la stabilité » puis calculer sans lui.
La bonne méthode : Justifier les fixations du panneau, puis appliquer (6.23) seule.
L'astuce de pro : Toute phrase du type « en réalité… » doit devenir un calcul ou une prescription.
Le moyen mnémotechnique : « Ce qu'on sait, on le compte ».
L'impact direct : 105,4 % sans le panneau, 25,2 % avec — et 33 % de bois économisés.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Chaque terme est un rapport de contraintes : sans unité
Contraintes et résistances : toutes en N/mm²
\( k_{\text{c}} \) et \( k_{m} \) : sans unité
Le total se compare à 1 , soit 100 %
Une contrainte va toujours avec la résistance de sa combinaison

Aucune unité à surveiller ici — tout est sans dimension — mais un appariement à tenir avec rigueur. Chaque terme doit associer une contrainte et une résistance issues de la même combinaison. C'est précisément là que la note reprise trébuche : elle prend \( \sigma_{\text{c}} \) de la combinaison B, \( \sigma_{m} \) de la combinaison A, et les résistances de la combinaison A. Trois provenances pour deux termes.

1. Résolution Numérique Reproduction du calcul de la note

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer d'une base de comparaison.

Méthodologie du calcul :

Reprise des hypothèses de la note : \( \sigma_{\text{c}} \) de B, \( \sigma_{m} \) de A, \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \), sans \( k_{m} \).

Substitution : \( 0{,}966/(0{,}0762 \times 14{,}54) + 2{,}60/16{,}62 \).
Objet : Reproduire, non valider — pour chiffrer ensuite chaque écart.
Écart d'arrondi : La note annonce 1,034 ; ses propres valeurs arrondies donnent 1,028.
Vérification croisée : Terme de compression 0,871, terme de flexion 0,156.
Finalité : Le point de départ de la décomposition.

\[ \begin{aligned} \text{note} &= 0{,}871 + 0{,}156 \\ &= \mathbf{102{,}8 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

102,8 % — la note annonce 103,4 %, écart d'arrondi seul.

Cohérence : L'écart de 0,6 point vient des arrondis de la note, non d'une erreur.
Répartition : 85 % du taux vient du terme de flambement.
Conclusion de la note : Refus, et recommandation de passer en 60 × 145.
Statut : Ce chiffre n'est pas une référence : il sert seulement de repère.
À suivre : Trois corrections vont l'amener à 105,4 %.

Remarque pédagogique : Faites systématiser cette étape de reproduction. Avant de corriger une note reprise, il faut pouvoir en refaire les chiffres à partir de ses propres hypothèses : c'est la seule façon de distinguer une erreur de méthode d'un simple écart d'arrondi. Ici, la reproduction tombe à 0,6 point près — l'écart vient des arrondis, et l'on sait donc que le désaccord à venir sera méthodologique.

Interaction (6.24), combinaison à exploitation dominante

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la combinaison qui gouverne.

Méthodologie du calcul :

Jeu cohérent de la combinaison B, avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) et \( k_{m} = 0{,}7 \).

Substitution : \( 0{,}966/(0{,}0762 \times 12{,}92) + 0{,}7 \times 1{,}56/14{,}77 \).
Piège évité : Employer les résistances de la combinaison A.
Hypothèse validée : Montant non tenu dans le plan du mur.
Vérification croisée : Terme de compression 0,981, terme de flexion 0,074.
Finalité : Le taux réglementaire dans l'hypothèse de la note.

\[ \begin{aligned} \text{(6.24)}_{\text{B}} &= 0{,}981 + 0{,}074 \\ &= \mathbf{105{,}4 \ \%} > 100 \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

105,4 % — non conforme, à deux points seulement du chiffre de la note.

Verdict : Refusé, dans l'hypothèse d'un montant libre de flamber.
Répartition : 93 % du taux vient du flambement, 7 % de la flexion.
Contre-intuition : C'est la combinaison avec le moins de vent qui gouverne.
Cause : Effort normal supérieur de 12 % et résistance inférieure de 12,5 %.
Écart avec la note : +2,6 points seulement, pour trois erreurs cumulées.

Remarque pédagogique : Faites relever la contre-intuition : la combinaison la plus défavorable est celle où le vent est le plus faible. La raison est double et purement arithmétique — l'effort normal y est supérieur de 12 %, et le \( k_{\text{mod}} \) y est inférieur de 12,5 %. Comme le terme de flambement pèse 93 % du total, ces deux effets l'emportent largement sur la réduction du moment. C'est le genre de résultat qu'aucune intuition ne donne, et qui impose de vérifier toutes les combinaisons.

Interaction (6.24), combinaison à vent dominant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier qu'elle ne gouverne pas.

Méthodologie du calcul :

Jeu cohérent de la combinaison A, avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \).

Substitution : \( 0{,}862/(0{,}0762 \times 14{,}54) + 0{,}7 \times 2{,}60/16{,}62 \).
Piège évité : Supposer que le plus de vent donne le plus fort taux.
Hypothèse validée : Même hypothèse de montant non tenu.
Vérification croisée : Terme de compression 0,778, terme de flexion 0,110.
Finalité : Confirmer que la combinaison B est bien la plus défavorable.

\[ \begin{aligned} \text{(6.24)}_{\text{A}} &= 0{,}778 + 0{,}110 \\ &= \mathbf{88{,}8 \ \%} \le 100 \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

88,8 % — cette combinaison passe, alors qu'elle porte le vent maximal.

Verdict : Conforme, avec 11 points de marge.
Écart : 16,6 points de moins que la combinaison B.
Répartition : La flexion y pèse 12 %, contre 7 % en combinaison B.
Enseignement : Ne jamais présumer laquelle des combinaisons gouverne.
Conclusion partielle : C'est bien B qui décide, avec 105,4 %.

Remarque pédagogique : Faites mesurer l'écart entre les deux combinaisons : 16,6 points. Ce n'est pas un détail : si l'on n'avait vérifié que celle qui semblait la plus défavorable — celle du vent maximal — on aurait conclu à la conformité. Vérifier toutes les combinaisons n'est pas une formalité administrative, c'est ce qui empêche de valider un élément qui ne passe pas.

Décomposition de l'écart avec la note

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que trois erreurs se compensent.

Méthodologie du calcul :

Corriger les erreurs une à une, et relever le taux après chacune.

Étape 1 : \( k_{\text{mod}} \) ramené à 0,80 d'où le taux monte à 115,6 %.
Étape 2 : Combinaison cohérente, \( q_{\text{d}} = 0{,}27 \) d'où il redescend à 108,6 %.
Étape 3 : \( k_{m} = 0{,}7 \) appliqué d'où il tombe à 105,4 %.
Piège évité : Conclure « écart faible, donc note acceptable ».
Finalité : Rendre chaque erreur visible malgré la compensation.

\[ \begin{aligned} 102{,}8 \xrightarrow{\ +12{,}8\ } 115{,}6 \xrightarrow{\ -7{,}0\ } 108{,}6 \xrightarrow{\ -3{,}2\ } \mathbf{105{,}4 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

+2,6 points au net, pour des corrections individuelles de 12,8, 7,0 et 3,2 points.

Ampleur cachée : La plus grosse correction vaut cinq fois l'écart final.
Sens des erreurs : Une non sécuritaire, deux sécuritaires — d'où la compensation.
Danger : Sur d'autres données, la compensation ne jouerait pas.
Détection : Aucune relecture du seul résultat ne pouvait révéler ces erreurs.
Leçon : Ce qu'on vérifie, c'est le procédé, jamais la seule conclusion.

Remarque pédagogique : Faites de cette décomposition le cœur de la leçon. Trois erreurs, dont l'une vaut à elle seule 12,8 points, aboutissent à un écart net de 2,6 points. Une relecture du seul résultat final aurait conclu « c'est cohérent, la note est bonne ». Il n'y a qu'une méthode pour détecter ce type de situation : refaire le calcul poste par poste, indépendamment, sans regarder le résultat de départ.

Interaction (6.23) avec le montant tenu par le panneau

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la réalité d'un mur à ossature bois.

Méthodologie du calcul :

Le flambement dans le plan étant empêché, seule (6.23) subsiste, avec \( k_{\text{c},y} \).

Substitution : \( 0{,}862/(0{,}620 \times 14{,}54) + 2{,}60/16{,}62 \), combinaison A.
Piège évité : Appliquer \( k_{m} \) : la flexion est dans le plan de l'instabilité.
Hypothèse à justifier : Maintien latéral par le panneau, fixations à vérifier.
Vérification croisée : Combinaison B donnerait 22,6 % : c'est bien A qui gouverne ici.
Finalité : Le taux réel d'un montant correctement mis en œuvre.

\[ \begin{aligned} \text{(6.23)}_{\text{A}} &= 0{,}096 + 0{,}157 \\ &= \mathbf{25{,}2 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

25,2 % — quatre fois moins que sans le panneau.

Verdict : Largement conforme, sans aucune modification de section.
Renversement : C'est maintenant la flexion qui domine, à 62 % du taux.
Combinaison gouvernante : Ici c'est A, celle du vent maximal — l'inverse du cas précédent.
Condition : Le maintien doit être justifié, § 9.2.4 — ce n'est pas gratuit.
Économie : 33 % de bois épargnés sur tous les montants de la maison.

Remarque pédagogique : Faites observer le renversement complet du problème. Sans panneau, le flambement pèse 93 % du taux et c'est la combinaison B qui gouverne ; avec panneau, la flexion pèse 62 % et c'est la combinaison A. Une seule hypothèse change, et l'ensemble du diagnostic bascule — y compris la nature du remède à envisager. C'est pourquoi une hypothèse de maintien latéral ne s'écrit jamais à la légère, dans un sens comme dans l'autre.

Effet d'une entretoise à mi-hauteur

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le remède si le panneau ne peut pas être justifié.

Méthodologie du calcul :

Longueur de flambement divisée par deux, soit 1 350 mm.

Substitution : \( \lambda_{z} = 103{,}9 \), d'où \( \lambda_{\text{rel},z} = 1{,}762 \) et \( k_{\text{c},z} = 0{,}285 \).
Piège évité : Croire que diviser la longueur par deux double la capacité.
Hypothèse validée : Entretoise capable de reprendre l'effort de maintien.
Vérification croisée : \( k_{\text{c},z} \) passe de 0,0762 à 0,285, soit 3,7 fois plus.
Finalité : Une solution bien moins coûteuse que le changement de section.

\[ \begin{aligned} \text{(6.24)}_{\text{B}} \ \text{avec entretoise} &= 0{,}263 + 0{,}074 \\ &= \mathbf{33{,}7 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

33,7 % — une simple entretoise divise le taux par plus de trois.

Verdict : Largement conforme, pour quelques mètres de bois par mur.
Comparaison : La section 60 × 145 donnerait 47,7 %, pour 33 % de bois en plus.
Mécanisme : \( k_{\text{c}} \) varie comme l'inverse du carré de la longueur.
Autre voie : Un entraxe de 40 cm donnerait 70,3 % — conforme mais coûteux.
Hiérarchie : Panneau 25,2 %, entretoise 33,7 %, section 47,7 %, entraxe 70,3 %.

Remarque pédagogique : Faites classer les quatre remèdes par efficacité rapportée au coût. Compter le panneau ne coûte rien — il est déjà là — et donne le meilleur résultat. Une entretoise coûte quelques mètres linéaires de bois. Changer la section coûte un tiers du bois de tous les murs. Réduire l'entraxe coûte 50 % de montants en plus, pour le pire résultat. C'est presque exactement l'ordre inverse de celui que propose la note reprise.

RÉSULTAT FINAL

Taux d'interaction = 105,4 % sans panneau, 25,2 % avec — le changement de section proposé par la note devient sans objet dès lors qu'on compte le panneau

"Ce qu'on sait, on le compte !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — le même montant, sans puis avec le panneau

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de vérification :

J'ai écrit deux combinaisons entières , sans panacher leurs termes. J'ai attaché à chacune le \( k_{\text{mod}} \) de son action de plus courte durée. J'ai employé le module au fractile à 5 % pour le flambement. J'ai calculé \( k_{\text{c}} \) sur les deux axes , pas seulement le faible. J'ai appliqué \( k_{m} = 0{,}7 \) là où la norme le prescrit, et pas ailleurs. J'ai vérifié (6.23) et (6.24) , et non une formule intermédiaire. J'ai tranché la question du maintien latéral au lieu de la mentionner.

Avis technique — le montant est refusé à 105,4 % si on le suppose libre de flamber, mais il travaille à 25,2 % dès lors qu'on compte le panneau que la note elle-même déclare « crucial ». Les deux combinaisons réglementaires donnent 5,625 kN / 0,45 kN/m avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \), et 6,30 kN / 0,27 kN/m avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \). Les quatre contraintes correspondantes valent 0,862 et 2,60, puis 0,966 et 1,56 N/mm², pour des résistances de 14,54 / 16,62 et 12,92 / 14,77 N/mm². Les coefficients de flambement s'établissent à \( k_{\text{c},z} = \) 0,0762 et \( k_{\text{c},y} = \) 0,620 — un facteur 8,1. L'équation (6.24) donne 105,4 % en combinaison B et 88,8 % en combinaison A ; l'équation (6.23), applicable seule si le montant est tenu, donne 25,2 %.

Le défaut central de la note reprise est de mentionner le panneau de contreventement sans jamais le compter. Un élancement de 208 aurait dû servir de signal : aucune charpente réelle ne travaille à ce niveau. En comptant le maintien, \( k_{\text{c}} \) passe de 0,076 à 0,620 et le taux de 105,4 à 25,2 %. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle transforme un refus en question de conception : le montant n'est pas trop faible, c'est le modèle qui était trop pessimiste.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{\text{c},90} \) — § 6.1.5 : 1,25 et 1,50 pour le bois massif selon l'appui, 1,50 et 1,75 pour le lamellé-collé, et l'extension fixe de 30 mm.
NF EN 338 — classes de résistance : les valeurs principales des classes C24 et C30 sont celles du tableau 1 — \( f_{m,\text{k}} \), \( f_{\text{c},0,\text{k}} \), \( f_{v,\text{k}} \), \( E_{0,\text{mean}} \) et \( \rho_{\text{k}} \). La classe D40 relève du tableau des feuillus, et le \( f_{t,0,\text{k}} \) du C24 : la valeur de 14,5 retenue ici suit l'édition 2016 de la norme, quand l'édition 2003 donne 14,0.
Classe de durée du vent — Tableau 3.1 et annexe nationale : cet exercice range le vent en court terme, avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \), conformément au texte de base de l'EN 1995-1-1. L'annexe nationale française le classe en instantané, soit \( k_{\text{mod}} = 1{,}10 \) — c'est la lecture que retiennent les guides professionnels français, qui réservent le 0,90 du court terme à la neige sous 1 000 m d'altitude. En France, l'annexe nationale prévaut : les taux de travail calculés ici sur une combinaison au vent sont donc majorés d'environ 12,5 % par rapport à ce qu'exige la réglementation applicable. L'écart va dans le sens de la sécurité, mais il doit être connu — et le § 3.1.3(2) rappelle que dans une combinaison, \( k_{\text{mod}} \) suit toujours l'action de plus courte durée.

Dimensionnement d'un mur à ossature bois

Dimensionnement d'un mur à ossature bois

Rendre un calcul défendable, pas seulement juste

Montant d'ossature bois : le panneau qu'on oublie de compter

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Combinaisons d'actions

Question 2 : Section et contraintes

Question 3 : Résistances de calcul

Question 4 : Coefficients de flambement

Question 5 (Finale) : Vérification de la flexion composée

Montant d'ossature bois : le panneau qu'on oublie de compter

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

Échangez & progressez ensemble

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